Oplossingen functievergelijkingen.

Oplossingen functievergelijkingen.
Nog even kort de strategieën die je kunt gebruiken bij het oplossen van functievergelijkingen:
• Vul getallen in voor de variabelen in je functievergelijking.
• Gebruik inductie om patronen die je ziet te bewijzen voor gehele getallen.
• Schrijf x =
p
q
om dat wat je voor gehele getallen weet, ook voor breuken te bewijzen.
• Is je functie injectief? Dat betekent dat voor alle x en y geldt: als f (x) = f (y), dan
x = y. In dit geval mag je f -jes links en rechts tegen elkaar wegstrepen.
• Is je functie surjectief? Dat betekent dat voor alle y in het codomein geldt dat er een
x in het domein is met f (x) = y. In dit geval mag je f (x) in je functievergelijking
door y vervangen (waarbij y dus alle waarden in je codomein mag aannemen).
• Als je een functie gevonden denkt te hebben die aan de vergelijking voldoet, controleer
dat dan door de functie in te vullen in de vergelijking.
Nu volgen de oplossingen van de eerste twee opgaven die we op de trainingsdag hebben
gedaan.
Opgave 1
Opgave 1
Vind alle functies f : R → R met f (x)f (y) = f (x) + yf (x) voor alle x, y ∈ R.
Oplossing.
Vul in: y = 0. Dat geeft f (x)f (0) = f (x) voor alle x ∈ R. Als er een x is met f (x) 6= 0,
dan volgt hieruit f (0) = 1. In het andere geval geldt f (x) = 0 voor alle x ∈ R. Dit vullen
?
we in in de vergelijking om te controleren of deze functie voldoet: 0 · 0 = 0 + y · 0. Dit is
waar, dus de functie f (x) = 0 voor alle x voldoet.
Nu nemen we verder aan dat f (0) = 1. Vul in: x = 0. Dat geeft f (0)f (y) = f (0) + yf (0),
dus f (y) = 1 + y voor alle y ∈ R. We controleren weer of deze functie voldoet: (x + 1)(y +
?
1) = x + 1 + y(x + 1). Dit is waar, dus deze functie voldoet ook.
We hebben nu laten zien dat de enige twee functies die voldoen zijn: f (x) = 0 voor alle
x ∈ R en f (x) = x + 1 voor alle x ∈ R.
1
Opgave 2
Opgave 2
Vind alle functies f : Q → Q met f (x + y) + f (x − y) = 2(f (x) + f (y)) voor alle x, y ∈ Q.
Oplossing.
Vul in: x = y = 0. Dat geeft 2f (0) = 4f (0), dus
f (0) = 0.
(1)
Vul in: y = x. Dat geeft (met behulp van (1))
f (2x) = 4f (x).
(2)
f (2x) = 2f (x) + 2f (−x).
(3)
Vul in: y = −x. Dat geeft
Omdat de linkerkanten van (2) en (3) gelijk zijn, moeten de rechterkanten ook gelijk zijn,
dus
f (−x) = f (x).
(4)
Verder zien we dat f (2x) = 4f (x) volgens (2). [ Als je nog geen patroon ziet, kun je eerst
f (3x) en/of f (4x) nog proberen uit te rekenen. Als je dan een patroon ziet, kun je dat
gaan proberen te bewijzen. ] We willen nu gaan bewijzen dat f (nx) = n2 f (x) voor alle
x ∈ R en n ∈ Z. We doen dit eerst voor de positieve n met inductie naar n. Voor n = 1
is het triviaal en voor n = 2 hebben we het al laten zien. [ We hebben twee beginstappen
nodig, omdat de inductiestap straks de twee vorige gebruikt. ] Stel nu dat n ≥ 2 en dat
voor alle k ≤ n geldt dat f (kx) = k 2 f (x) voor alle x ∈ R. Vul in: y = nx. Dat geeft
f ((n + 1)x) + f ((n − 1)x) = 2f (x) + 2f (nx).
We passen de inductiehypothese toe met k = n en k = n − 1:
f ((n + 1)x) + (n − 1)2 f (x) = 2f (x) + 2n2 f (x).
Haakjes uitwerken geeft
f ((n + 1)x) = (n + 1)2 f (x).
Dit voltooit de inductiestap. Voor de negatieve n volgt f (nx) = n2 f (x) nu uit (4). Ten
slotte geldt het ook voor n = 0 volgens (1). We weten nu dus dat
f (nx) = n2 f (x) voor alle x ∈ R en n ∈ Z.
(5)
We kunnen nu de functiewaarden op alle gehele getallen berekenen door x = 1 te nemen
in (5): f (n) = n2 f (1) voor alle n ∈ Z. We willen dit nu gaan uitbreiden naar alle breuken.
Neem x ∈ Q en schrijf x = pq met p en q geheel. In (5) kiezen we nu n = q, zodat
f (p) = q 2 f (x).
2
Omdat p een geheel getal is, weten we de functiewaarde al: f (p) = p2 f (1). Dus
f (x) =
p2
f (1) = x2 f (1).
q2
Zij c = f (1), dan geldt dus voor alle x ∈ Q:
f (x) = cx2 .
Nu gaan we controleren of deze functie voldoet aan de functievergelijking:
?
c(x + y)2 + c(x − y)2 = 2(cx2 + cy 2 ).
Door de haakjes uit te werken, zien we dat dit inderdaad waar is. De gezochte functies
zijn dus de functies f (x) = cx2 voor alle x ∈ Q, waarbij c ∈ Q. [ We hebben dus oneindig
veel oplossingen: elke c ∈ Q geeft een andere oplossing. Ze voldoen allemaal. ]
3