Uploaded by User764

Samenvatting VPBK en Meten-Meetkunde

advertisement
SAMENVATTING
Verhoudingen, Meten, Meetkunde en Verbanden
Hoofdstuk 6
Leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde
6.1 Domeinen en doelen
Rekenen-wiskunde kent op de basisschool 5 domeinen:
 Getallen (Hele getallen, breuken, kommagetallen)
 Verhoudingen (procenten en breuken)
 Meten
 Meetkunde
 Verbanden (grafieken e.d.)
Het begrip gecijferdheid kan worden opgedeeld in functionele gecijferdheid en professionele
gecijferdheid.
Functionele gecijferdheid  dat je adequaat kan handelen en redeneren in alledaagse situaties
waarin getallen en getalsmatige, meetkundige en wiskundige aspecten een rol spelen.
 In dagelijks leven schatten, hoofdrekenen en cijferen.
 Weet wiskundetaal correct en adequaat te gebruiken
 Kan betekenis geven aan getallen, bewerkingen, maten en het metriek stelsel
 Kan redeneren en rekenen met kansen, grote en kleine getallen.
 Beschikt over referentiematen en -getallen voor het doen van schattingen
Om leerlingen op de basisschool op een goede manier rekenen-wiskunde te leren is het noodzakelijk
om professioneel gecijferd te zijn. Een professioneel gecijferde leerkracht:
 beschikt zelf over voldoende rekenvaardigheid en gecijferdheid;
 kan rekenen-wiskunde betekenis geven voor kinderen;
 weet oplossingsprocessen en niveauverhoging bij kinderen te realiseren;
 kan het wiskundig denken van kinderen bevorderen.
Wat kinderen moeten leren op het gebied van rekenen-wiskunde is vastgelegd in wetten. De
kerndoelen geven globaal wat er in het onderwijsprogramma van de basisschool moet worden
aangeboden. In de referentieniveaus is vastgelegd wat leerlingen aan het eind van groep 8 moeten
beheersen, dit is beschreven op twee niveaus (1F en 1S). De streefdoelen bereiden mede voor op
meer abstracte wiskunde en gelden voor alle kinderen die doorstromen naar vmbo-TL/mavo, havo
en vwo.
Fundamentele doelen richten zich op basale kennis en inzichten en zijn meer toepassingsgericht.
Streefdoelen zijn de norm, fundamentele doelen voor kinderen voor wie de streefdoelen te hoog
gegrepen zijn.
De kerndoelen en referentieniveaus worden door uitgeverijen en methode makers verder verdeeld
over jaargroepen, blokken en lessen.
Lesdoel omvat: de leerinhoud, het leerlingengedrag en de beheersing. Bij het leerinhoud gaat het
om zaken als het(sub)domein, de bewerkingen en de getallen waarmee wordt gerekend. Het
leerlingengedrag omschrijft wat de leerling doet met de leerinhoud. Bijv. het handelingsniveau en
andere omstandigheden of voorwaarden. De beheersing beschrijft aan welke norm moet worden
voldaan (kwalitatief als kwantitatief).
6.2 Leerprocessen bij rekenen-wiskunde
3 typen kennis:
 Declaratieve kennis  Parate kennis, feiten en weetjes. Bijv. weten dat 12 bestaat uit 8 en 4.
 Procedurele kennis  Weten hoe je een opgave moet aanpakken. Kan overgaan in
declaratieve kennis. Bijv. weten dat je 3/8 kan bepalen door eerst het 1/8 deel te bepalen en
dat dan 3 maal te doen.

Metacognitieve kennis  Weten wanneer je welke aanpak gebruikt en hoe je je antwoord
kunt controleren. Bijv.: Bij een breukopgave deelantwoorden opschrijven, omdat je je anders
snel vergist.
Mathematiseren betekent verwiskundigen.
 Horizontaal mathematiseren is de vertaling van een concrete situatie naar een rekenopgave.
Hierbij kan een tussenstap worden gemaakt door de situatie te modelleren of te
schematiseren, met bijv. een verhoudingstabel.
 Verticaal mathematiseren is het oplossen van een opgave op een steeds hoger wiskundig
niveau, oftewel steeds abstracter. Daarbij gaat het bijv. om verkorten: het steeds korter en
efficiënter uitvoeren van procedures. Maar ook compliceren: het leren beheersen van steeds
complexere zaken. Via model ondersteund naar formeel.
Oefenen is belangrijk voor alle drie de typen kennis. Bij het leren van rekenen-wiskunde zorgt
oefenen voor het automatiseren, memoriseren en consolideren van kennis
 Automatiseren  Routinematig uitvoeren van rekenhandelingen, de procedure is
geautomatiseerd. (7x8 = 5x8 + 2x8 = 56)
 Memoriseren  Het uit het hoofd kennen van rekenfeiten. (7x8=56). Moet onderhouden
worden!
 Consolideren  Het onderhouden van dat wat geautomatiseerd en gememoriseerd is.
Kennis beschikbaar houden. Door parate kennis te verbinden met nieuwe kennis.
Leertheorieën




Cognitieve ontwikkelingspsychologie
Stelt dat naarmate kinderen ouder worden, hun potentieel om te leren zich ontwikkelt.
Concreet-operationele fase  kinderen in bassischoolleeftijd, ontvankelijk voor het leren
ordenen, tellen en rekenen.
Vanaf 12 jaar formeel-operationele fase  wat inhoudt dat ze steeds meer in staat zijn om
logisch en abstracter te denken.
Invloed op reken-wiskundeonderwijs  herkennen in het concreet-handelend bezig zijn
(bijv. bij breuken in het vouwen van stroken)
Handelingsleerpsyschologie
Vat leren rekenen op als een leerproces in het uitvoeren van handelingen. Handelingen
worden eerst uitgevoerd met materiaal  materiële handelingen.
Daarna verwoorden van handelingen  gematerialiseerde handelingen. Als laatst
denkhandelingen  volledig uitvoeren van alle stappen in het hoofd.
Invloed op reken-wiskunde onderwijs  Gebruik van materialen waar je in eerste instantie
echt mee kunt handelen en waar je in een later stadium aan terug kunt denken
(breekstokken).
Cognitieve psychologie
Richt zich op mentale leerprocessen, zoals het ontwikkelen van inzicht. Rekenen wordt
gezien als proces van probleem oplossen en als proces van informatie verwerken.
Invloed op reken-wiskundeonderwijs  Zichtbaar in leerinhouden en typen opgaven waarbij
het nadrukkelijk gaat om het bevorderen van het denken van de leerlingen (bijv. driehoek
opgave). Invloed ook terug te zien bij model-leren.
Sociaal constructivisme
Vat leren rekenen op als een leerproces waarin je in overleg en samenspraak met anderen
zelf kennis opbouwt (construeert).
Invloed  Doordat contexten in de vorm van voor kinderen betekenisvolle situaties niet
alleen worden gebruikt om geleerde rekenvaardigheid toe te passen, maar ook als bron voor
de ontdekking van reken-wiskunde kennis (pizza’s/pannenkoeken en breuken,
conflictopgaven)
6.3 Vakdidactiek rekenen-wiskunde
De vijf pijlers waarop het reken-wiskunde onderwijs rust zijn:
 Mathematiseren vanuit een betekenisvolle realiteit  Om ervoor te zorgen dat kinderen
zich kunnen realiseren wat getallen en bewerkingen betekenen wordt gebruikgemaakt van
contexten (=voor kinderen een betekenisvolle situatie/probleem)
 Modelleren en formaliseren  Hulpmiddelen zoals modellen, schema’s en
structuurmaterialen (bijv. strook bij procenten, positieschema bij kommagetallen,
breekstokken bij breuken).
 Ruimte voor eigen inbreng van leerlingen  Wiskundig denken moet bij leerling zelf liggen
door:
- Productief oefenen: Oefenen op een open, niet voor gestructureerde manier.
- Eigen producties: Door bijv. zelf moeilijke en makkelijke opgaven te verzinnen.
- Eigen oplossingswijze: Door veel open vragen te stellen.
 Interactie en reflectie
 Verstrengeling van leerlijnen
Didactische modellen



Het ijsbergmodel  Laat zien dat een veelheid aan informele en semi formele kennis en
inzichten ten grondslag ligt aan formele reken-wiskundige kennis en vaardigheden. Model
kan fungeren als hulpmiddel om te bedenken, aan welke onderliggende kennis en inzichten
kan worden gewerkt, om het drijfvermogen voor het formele rekenen te versterken.
Handelingsmodel  Schematische weergave van de reken-wiskundige ontwikkeling van
kinderen. Geeft van beneden naar boven opeenvolgende handelingsniveaus van kinderen
weer:
- 1e - Laagste niveau: leren kinderen op informeel niveau door iets na te spelen of te
beleven.
- 2e niveau: leren n.a.v. concrete situaties. Met gebruik van foto’s/reële situaties.
- 3e niveau: Aangeleerd door te redeneren m.b.v. modellen en schematische
voorstellingen.
- 4e niveau: Redeneren o.b.v. tekst en/of getallen.
Kan worden gebruikt om vast te stellen op welk handelingsniveau kinderen redeneren en
rekenen. Verschil met ijsbergmodel = dat ijsbergmodel gaat over hetgeen dat wordt geleerd,
terwijl handelingsmodel over het leerproces gaat.
Drieslagmodel  Biedt een analysekader voor probleemoplossend
handelen van de leerling en biedt aanknopingspunten voor het
didactisch handelen van de leerkracht. Is afgeleid van rekenen in
dagelijkse situaties. Bijv. oplossingsproces bij contextopgaven:
- Eerste wordt bepaald wat er moet worden berekend en wat de
juiste aanpak daarvoor is (plannen9
- Vervolgens wordt de gekozen aanpak uitgevoerd (uitvoeren)
- Ten slotte wordt de verkregen oplossing teruggekoppeld naar de
oorspronkelijke situatie (reflecteren).
Geschiedenis en ontwikkeling van reken-wiskundedidactiek
Tot in de jaren ’71  Voornamelijk mechanisme. Met name aandacht voor inslijpen van rekenregels
en procedures. Uitgangspunt was dat procedurele kennis vooral verworven zou kunnen worden
door veelvuldig te oefenen met opgaven op formeel niveau. Contexten speelden een ondergeschikte
rol en werden voornamelijk gebruikt als toepassing. Andere didactische stromingen waren het
structuralisme, waarbinnen het accent lag op het benutten van wiskundige structuren, en het
empirisme, waarbij veel aandacht was voor de manieren waarop wiskunde in de realiteit (de
empirie) voorkomt.
Hoofdstuk 1
Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel.
En percentage geeft de verhouding aan tussen en een geheel dat
op honderd is gesteld. Kommagetallen en procenten hebben 100
als basis. Dit hoeft bij breuken en verhoudingen niet het geval te
zijn.
Absoluut en relatief
 Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen
verwijzen. Bijv.: Er zitten 536 studenten op de pabo.
 Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar
je niet direct het daadwerkelijke getal of aantal kunt aflezen. Bijv.: 1 op de 4 pabostudenten
is man.
Het is nodig om absolute en relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden én met
elkaar in verband te brengen. Bijv. met een strookmodel. Hierin staan zowel absolute gegevens
(aantallen) als de relatieve gegevens (bijv. percentages).
1.2 Onderlinge relaties
De rationale getallen maken deel uit van de reële getallen en omvatten de gehele getallen . Elk
geheel getal is dus ook een rationaal getal en elk rationaal getal is ook een reëel getal. Niet
elk rationaal getal is echter te schrijven als decimaal getal met eindig veel decimalen.
Breuken en kommagetallen
Overeenkomsten  dat je zowel breuken als kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. Zijn beide
gebroken getallen.
Verschil: Breuken komen vaker voor als deel van een geheel en deel van een hoeveelheid.
Alle breuken kunnen ook worden genoteerd als kommagetallen.
Van breuk naar kommagetal
Van kommagetal naar breuk
Bij niet repeterende breuk: 0,012 = 1/100 + 2/1000 = 12/1000 = 6/500 = 3/250
Bij repeterende breuk: Vermenigvuldig het gezochte getal net zo vaak met 10 als het repetendum
lang is. Repetendum = 6 cijfers, dan vermenigvuldigen met 1000000. Trek van deze uitkomst de
gezochte breuk af. Wat overblijft is 999999
4
0,4444… = 9
Breuken en procenten
Een breuk kan zowel een absoluut getal zijn als een operator. Een breuk als een absoluut getal kun je
weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een heel getal. Een operator doet iets met een
getal, hoeveelheid of
prijs.
Hoofdstuk 2
Verhoudingen
2.1 Verhoudingen zijn overal
Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen. Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot (of klein)
wordt, het andere getal (of de andere getallen) ook zoveel keer zo groot (of klein) wordt.
Verschijningsvormen van verhoudingen zijn bijv.: Recepten, snelheid, bevolkingsdichtheid, sterkte
van koffie, schaal. Verschijningsvormen als snelheid en dichtheid zijn samengestelde grootheden
(km/uur = grootheid tijd, met de maat uur).
Percentage = gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op 100 gesteld.
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om aandacht te trekken
(reclame, politiek en kunst).
Kwantitatieve verhoudingen  de verhouding wordt uitgedrukt in één of meer getallen. Bijv.: 1 op
de 3 kleuters, Schaal is 1:800000.
Kwalitatieve verhoudingen  wanneer er geen getal aan te pas komt; worden uitgedrukt in
woorden. Bijv. het kind is lang voor zijn leeftijd. Is vaak een meetkundig verband.
Interne verhouding  Als een verhouding één grootheid of eenheid betreft. Bijv.: 1 op de 4
pabostudenten. Hier gaat het om de ‘eenheid’ pabostudent.
Externe verhouding  Heeft twee verschillende grootheden. Bijv.: afgelegde afstand in een
bepaalde tijd en prijs per gewicht.
Bij delen kan onderscheid gemaakt worden tussen een verhoudingsdeling en een verdelingsdeling.
Verhoudingsdeling  Het gaat om de (interne) verhouding van het deel ten opzichte van het geheel
(= groepjes maken). Bijv.: Er zijn 12 snoepjes. Hoeveel groepjes van 4 snoepjes kan ik maken? Bij de
verhoudingsdeling representeren deeltal en deler hetzelfde: 12 (snoepjes) : 4 (snoepjes) = 3 groepjes
(van elke 4 snoepjes). Is een interne verhouding.
Verdelingsdeling  Hierbij representeren deeltal en deler elk iets anders, bijv.: 3 kinderen verdelen
12 snoepjes, hoeveel snoepjes krijgt elk kind? 12 (snoepjes) : 3 (kinderen) = .. Het gaat vaak om het
verdelen of uitdelen. Is een externe verhouding.
Lineair verband  Is een verband tussen 2 grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft. Gaat die
grafiek door de oorsprong (snijpunt van de verticale en horizontale as), dan is het verband een
evenredig verband ofwel een verhouding.
Niet-evenredige verbanden
Sommige verbanden zijn niet evenredig en dus ook geen verhouding. Bijvoorbeeld verbanden tussen
lengte, oppervlakte en inhoud. Alle grafieken die geen rechte lijn zijn een niet-evenredig verband.
Bijzondere verhoudingen
Pi π De omtrek en de diameter van cirkels hebben een vaste verhouding. Als de omtrekt van een
cirkel deelt door de diameter, komt er altijd hetzelfde getal uit, ong: 3,1415926 = Pi.
Dit is een irrationeel getal en worden daarom niet als kommagetal gezien.
Wiskundetaal bij verhoudingen
Verschillende zegswijzen met verhoudingen, bijv.: iet is in ‘verhouding’ of ‘naar verhouding’ duur.
Formele verhoudingstaal is bijv.: 1 op de 4 en 1 staat tot 4. Daarnaast kunnen breuken een
verhouding aangeven. Met procenten kan een verhouding bijv. onder woorden worden gebracht als:
’60 procent van de mensen was tegen het voorstel’. Formele notatievorm: 1:4 bij schaal.
2.2 Verhoudingen op de basisschool
Bij meten en meetkunde gaat het vaak om verhoudingen. Dit komt in alle groepen aan de orde. In
groep 1 t/m 4 informeel en vanaf groep 5 steeds nadrukkelijker en formeler.
Ontwikkeling van het begrip verhoudingen start bij kleuters: vergelijken en ordenen van dingen op
grootte. Het gaat om kwalitatieve
verhoudingen: zichtbare verschillen in
grootte, afstand; zonder getal.
Vanaf ong. groep 3 begint kwantificeren: er
wordt een getal toegekend.
Model ondersteunend redeneren en
rekenen in contextsituaties
Vanaf groep 4 komen verhoudingen aan bod
bij allerlei eerlijke verdeelsituaties die
kunnen worden opgelost door te
vermenigvuldigen; aanvankelijk alleen
vermenigvuldigen overeenkomend met het
leren van de tafels.
Verhoudingen worden alleen aangeboden in
een betekenisvol perspectief 
toepassingssituaties met verhoudingen die
in het echte leven voorkomen als context
gebruiken.
Modelondersteunend en formeel
redeneren en rekenen
T/m groep 8 vooral toepassingssituaties. Dat
wil niet zeggen dat er sprake is van
contextgebonden handelen. Het
verhoudingsgewijs redeneren en rekenen
kan wel formeel van aard zijn bij gebruik van
verhoudingstabel. In de loop van
basisschool complexere contexten; zoals
werken met schaal. Naast verhoudingstabel
worden dan ook de modellen dubbele
getallenlijn, strook (procenten) en schaallijn
gebruikt. Formeel verhoudingsgewijs rekenen wordt ook toegepast bij rekenen m.b.v. analogieën.
Modellen bij verhoudingen
Dubbele getallenlijn
De dubbele getallenlijn wordt gebruikt om getallen op te ordenen en positioneren; het verband
tussen twee zaken wordt zichtbaar gemaakt; Bijv. tussen grootheden tijd en afstand.
De dubbele getallenlijn is een denkmodel: het ondersteunt het denken doordat het zichtbaar is
welke bewerking moet worden uitgevoerd.
Op de dubbele getallenlijn is de verhouding tussen twee grootheden zichtbaar, waardoor te zien is
dat wat bij de ene grootheid gebeurt, ook bij de andere gebeurt. Dit kun je dus gebruiken om greep
te krijgen op het evenredige karakter van verhoudingen. Dit is een groot verschil met de
verhoudingstabel!
Verhoudingstabel
De verhoudingstabel is abstracter van aard dan de dubbele getallenlijn, doordat de onderlinge
afstand tussen de getallenparen niet meer wordt gerepresenteerd door een afstand op een stuk
getallenlijn. In een verhoudingstabel kunnen alle basisberekeningen worden gebruikt. In eerste
instantie gaat het vooral om vermenigvuldigen en optellen, maar dat wordt al snel uitgebreid met
aftrekken en delen. Dit gaat volgens het principe van evenredigheid: wat bij de ene grootheid
gebeurt, gebeurt ook bij de andere grootheid. Als het onderwijsleerproces zorgvuldig wordt
opgebouwd – niet te snel en steeds gerelateerd aan de betekenis van de getallen – gaat de
verhoudingstabel fungeren als denkmodel.
Kruiselings vermenigvuldigen
Kruiselings vermenigvuldigen betekent dat bij gelijkwaardige breuken de teller van de ene breuk
vermenigvuldigd met de noemer van de andere breuk gelijk is aan de noemer van de ene breuk
vermenigvuldigd met de teller van de andere. Bij een verhoudingstabel kan je kruiselings
vermenigvuldigen goed toepassen.
Schaal en schaallijnen
Schaalbegrip is het inzicht dat afbeeldingen van objecten op schaal, in een vaste verhouding tot de
werkelijke grootte staan. Opgaven met schaal komen al voor vanaf groep 4 (schaallijnen). In groep
6/7 wordt het begrip schaal geformaliseerd  dat wil zeggen dat de leerlingen de formele notatie
krijgen aangeleerd; 1:200. Een cruciale stap is het vergelijken met kaarten met verschillende schalen.
Hoe kleiner de schaal (of hoe groter het schaalgebied), des te meer een afbeelding is verkleind.
Redeneren en rekenen met verhoudingen
Omdat verhoudingen altijd ergens over gaan, worden ze t/m groep 8 vooral in toepassingssituaties
aangeboden. Allerlei reële situaties komen in contextopgaven voor. Toch wil dit niet zeggen dat er
alleen sprake is van contextgebonden handelen; het verhoudingsgewijs redeneren en rekenen kan
wel degelijk formeel van aard zijn. Allerlei verschijningsvormen van verhoudingen worden benut als
toepassingssituatie: Snelheid (afstand/tijd), Mengsels (ranja/water), dichtheid, benzineverbruik.
Samenhang met andere domeinen
Verbanden
Verhoudingen zijn recht evenredige verbanden. In een grafiek een rechte lijn die door de oorsprong
gaat. Zulke grafieken komen in basisschoolmethodes al aan bod. Ook komen verhoudingen voor als
resultante van onderzoeksgegevens. Vaak als percentage, maar ook in verhoudingentaal.
Meten en meetkunde
Verhoudingen gaan vaak over grootheden afstand en tijd en samengestelde grootheden als snelheid
en prijs. Hierbij komen allerlei maten kijken, zoals kilometer, uur, km/u, m/s en euro. Soms moeten
maten worden herleid en omgerekend. Hiervoor is een goede beheersing van en inzicht in het
metriek stelsel nodig.
Er is ook inzicht nodig in bepaalde niet-evenredige verbanden. Als een schaalgetal verdubbelt,
verviervoudigt de afgebeelde oppervlakte.
Hoofdstuk 3
Procenten
3.1 Procenten kom je veel tegen
Verschijningsvormen in de realiteit
100% is het geheel of totaal waar je van uitgaat. Je kunt namelijk ook een winstverhoging hebben
van meer dan 100%. Verschijningsvormen:
 Een percentage kan een deel van het geheel betreffen; sokken bestaan uit 20%viscose en
80% katoen.
 Met percentages kunnen ook verdelingen worden aangegeven; zoals bij verkiezingsuitslagen.
 Het kan ook om een deel van een hoeveelheid gaan; 40% van de gezinnen heeft een
huisdier.
Veelvoorkomend zijn situaties waarin het gaat om een toename, bijv.: prijsstijging of -afname.
Percentages mogen alleen bij elkaar worden opgeteld als het percentages zijn van hetzelfde geheel
en als de percentages elkaar uitsluiten.
Een gestandaardiseerde verhouding
Percentages zijn verhoudingsgetallen. Gewone getallen laten een absoluut gegeven zien: het
daadwerkelijke getal of aantal. Een percentage is een relatief gegeven: het geeft aan om hoeveel het
in verhouding tot het totaal gaat. Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het geeft
aan hoe iets zich verhoudt tot de 100.
Wiskundetaal bij procenten
In nieuwsmedia wordt soms procent met procentpunt verward. Bij een daling van de rente van 4%
naar 2% wordt dan bijv. geschreven dat de rente met 2% is gedaald. Dit moet echter 2 procentpunt
zijn. De daling uitgedrukt in procenten is in dit geval 50%!
De formele rekentaal op de basisschool wordt bij procenten uitgebreid met het procentteken en met
begrippen als procent, percentage, rente en korting. De letterlijke betekenis van procent is per
honderd. Promille betekent per duizend. Inflatie = het geld wordt minder waard, waardoor de
prijzen stijgen.
3.2 Procenten op de basisschool
Procenten komen we op de basisschool alleen in de bovenbouw (groep 7/8) tegen. Aan het einde van
de basisschool moeten kinderen inzicht hebben in de begrippen procent en percentage. Daarnaast
moeten kinderen voldoende vaardig zijn in het maken van berekeningen met procenten in
veelvoorkomende situaties. Tot slot moeten kinderen aan het eind van de basisschool oplossingen
van procentberekeningen kunnen interpreteren in de context waarin ze voorkomen.
Introductie van procenten
Er zijn 2 manieren waarop procenten kunnen worden geïntroduceerd: Vanuit verschijningsvormen
van procenten in de realiteit; En vanuit situaties waarin procenten worden benut als alternatief voor
werken met breuken, wanneer dit laatste problemen oplevert.
Verschijningsvormen in de
realiteit
Bij de introductie in groep 7 wordt
hiervan gebruikgemaakt.
Zodoende wordt de informele
voorkennis geactiveerd. Door
voorbeelden van
verschijningsvormen te
bespreken, wordt de aandacht van
de kinderen direct gericht op de
betekenis van procenten. In
samenhang met de betekenissen
van procenten is het belangrijk om
direct vanaf de introductie het
relatieve aspect van procenten te
benadrukken.
Procenten als alternatief voor
breuken
Een andere manier om procenten
te introduceren, is als alternatief
voor het werken met breuken
wanneer dit problemen oplevert.
Dit is het geval als het vergelijken
van aantallen of hoeveelheden
d.m.v. breuken niet zo makkelijk
gaat.
Modellen bij procenten
Bij procenten worden vooral de
strook en de verhoudingstabel
gebruikt. De strook kan het
leerproces ondersteunen vanaf de
eerste begripsvorming tot het rekenen en redeneren met procenten. Daarnaast kom je het
cirkelmodel tegen, vooral om de verdeling van percentages binnen een geheel van 100% te
visualiseren.
De strook
Is niet nieuw voor kinderen; is in groep 6 bij de breuken al geïntroduceerd. Met de strook zijn alle
belangrijke aspecten van procenten te visualiseren: het relatieve aspect, wat het geheel is, wat het
percentage is, het deel en de onderlinge samenhang tussen het deel en het geheel.
Het snappen van het relatieve aspect van procenten kan worden ondersteund met de strook. Bijv.
door stroken te vergelijken die voor een verschillend deel zijn ingevuld. Het werken met stroken
helpt kinderen om (getal)relaties met breuken te zien. Ook toename en afname kunnen worden
gevisualiseerd met de strook.
De verhoudingstabel
Wordt bij percentages gebruikt als denkmodel en als notatieschema. Het karakter van de
verhoudingstabel hangt vooral af van de wijze waarop de leerling er gebruik van maakt.
Cirkelmodel en sectordiagram
Het cirkelmodel wordt voor procenten gebruik voor de visualisering van (getal)relaties en bij de
verschijningsvorm ‘deel van totaal’. Hierbij speelt het idee van de ‘hele’ mee.
Rekenen en redeneren met procenten
Er zijn twee hoofdtypen vraagstukken met procenten: Opgaven over het deel van een totaal en
opgaven over toename of afname.
Deel-totaalvraagstukken
Bij deze vraagstukken handelt het om een deel t.o.v. een totaal. Bij deel-totaalvraagstukken kan
worden gevraagd om bij een gegeven percentage het deel uit te rekenen, om bij een gegeven deel
het percentage te berekenen, of om het totaal te bepalen.
Het gaat hierin om het inzicht in de onderliggende samenhang tussen totaal, percentage en deel.
Toename- en afnamevraagstukken
Bij dit type vraagstukken gaat het om het geheel plus of min een deel. Het gaat om zaken als
vermeerdering en vermindering, groei, prijsverhoging en – verlaging, korting, btw, inflatie en rente.
Anders dan bij deel-totaalvraagstukken kunnen de percentages wel boven de 100% uitkomen. Dit
soort opgaven is moeilijker dan de deel-totaalvraagstukken.
Een speciaal geval van een toe- of afname is de steilheid van een helling. Ook deze wordt uitgedrukt
in procenten: het hellingspercentage. Bij een helling van 10% betekent het dat je na 100 meter
horizontaal te hebben afgelegd, je 10 meter in hoogte bent gestegen.
Hoofdrekenen mét papier
Voor het rekenen met procenten is het nodig dat kinderen voldoende kunnen (hoofd)rekenen en
veel getalrelaties met breuken paraat hebben. Nulregel  verwijst naar het feit dat er een 0 achter
het getal komt als je het met 10 vermenigvuldigt. Hoofdrekenen met het hoofd  rekenwerk uit het
hoofd, maar tussenstappen op een kladje. Hoofdrekenen uit het hoofd  Complete oplossingsproces
in het hoofd.
De standaardprocedure rekenen via 1%
Een standaardprocedure is een oplossingswijze volgens een vast stappenplan.
Procentenasymmetrie
Dit houdt in dat als ergens een bepaald percentage bij komt, er een ander percentage vanaf moet om
weer op de uitgangspositie te komen.
Samenhang met andere domeinen
Verbanden
Diagram of grafiek  hierbij worden – naast absolute getallen – vaak relatieve gegevens in de vorm
van procenten verstrekt.
Sectordiagram  Dit is een grafiek in de vorm van een cirkel, waarin een verdeling van 100% wordt
gevisualiseerd; net als bij het cirkelmodel. Het gaat hier dan ook om de verschijningsvorm deel van
het totaal.
Staafdiagram  Hierbij gaat het om verhoudingsgewijs redeneren en aflezen en vergelijken van
informatie.
Hoofdstuk 4
Breuken
4.1 Getal en verhouding
Breuken kunnen zowel een getal als een verhouding aangeven.
Verschijningsvormen

Een deel van een geheel  bijv.
1
8
deel van een taart.
3
bijv. 4
 Deel van een hoeveelheid 
van het stadion met 12000 plaatsen is gevuld.
Bij beide verschijningsvormen geeft een breuk een verdeling aan. Het verschil met de
verschijningsvorm deel van een hoeveelheid is dat er bij de verschijningsvorm verhouding geen sprake
is van een specifieke, bepaalde hoeveelheid (zoals bij deel van een hoeveelheid), maar dat de
verhouding kan worden toegepast op verschillende hoeveelheden
 Meetgetal  anderhalve meter, een half uur.
2 3
 Rekengetal waarmee formeel wordt gerekend  4 + . De breuk als rekengetal kan
3 4
worden opgevat als punt op de getallenlijn.
Rationaal getal
Breuken zijn rationele getallen  Een rationeel getal is een quotiënt van twee hele getallen (waarvan
de tweede niet 0 is). De natuurlijke getallen, oftewel de (positieve) hele getallen, zijn dus ook
rationele getallen: de noemer is dan 1.
2
Een quotiënt is de uitkomst van een deling: het quotiënt van 2 en 3 is 3.
Gelijkwaardigheid en gelijknamigheid
3
5
Sommige breuken, zoals 6 en 10, hebben een verschillende schrijfwijze maar duiden één en
1
hetzelfde getal aan, namelijk 2. We spreken dan van equivalente of gelijkwaardige breuken. Breuken
vereenvoudigen kan door de teller en de noemer te delen door hetzelfde getal. Door teller en
noemer te delen door de grootste gemene deler (GGD) krijg je in één stap een breuk die niet verder
te vereenvoudigen is.
Gelijknamige breuken hebben dezelfde noemer. Ongelijknamige breuken kunnen altijd gelijkmatig
worden gemaakt. Met behulp van het kleinste gemene veelvoud (KGV) kunnen breuken gelijknamig
worden gemaakt met en zo klein mogelijke noemer.
KGV van 18, 24  evt. zie filmpje DLO
 Eerst ontbind je de getallen in priemgetallen.
18 = 2 x 3 x 3
24 = 2 x 2 x 2 x 3
 Zet een kader om de getallen die gelijk zijn
18 = 2 x 3 x 3
24 = 2 x 2 x 2 x 3
 Maak een keer som van het ene getal keer de factoren die NIET in het kader staan.
18 x 4 = 72
24 x 3 = 72
 Als je het goed hebt gedaan komt er twee keer hetzelfde getal uit!
 KGV (18, 27) is 72
Wiskundetaal bij breuken
De formele rekentaal omvat de termen: ‘teller’, ‘noemer’, ‘breukstreep’, ‘gelijkwaardig’,
‘gelijknamig’ en ‘vereenvoudigen’.
Elk heel getal groter dan 0 kan een noemer zijn. Verschillende breuktypen kennen
verschillende benamingen:
2
3
 Echte breuken  breuken kleiner dan 1, zoals 3 𝑜𝑓 7
1
1
55

Stambreuken  echte breuken met als teller 1, bijv. : 4 𝑜𝑓

Gemengde getallen  breuken groter dan 1, zoals 1 2


Onechte breuken  niet-vereenvoudigde gemende getallen, bijv.
6
Samengestelde breuk  Een breuk waarvan teller en de noemer zelf ook een breuk zijn.
1
19
4.2 Breuken op de basisschool
De leerlijn breuken begint op de basisschool in groep 1/2, bij de kleuters. Vaak wordt gezegd en
gedacht dat het een typisch onderwerp voor de bovenbouw is. De vergissing die daarin gemaakt
wordt is dat breuken op formeel niveau inderdaad in de bovenbouw wordt aangeboden (vanaf groep
6) op informeel niveau komen breuken dus al voor vanaf de onderbouw. In de onderbouw gaat het
dan om informele ervaringen met breukentaal zoals de helft, half uur en verschijningsvormen van
breuken in halve liters etc.
Introductie van breuken
In deze eerste fase van de leerlijn breuken is het belangrijk om genoeg aandacht te besteden aan de
begripsvorming, wat is een breuk nu eigenlijk. Het werken met materiaal en eerlijk delen zijn
belangrijke stappen in dit proces. Vanaf groep 6 wordt over het algemeen begonnen met aanleren
van de formele breuknotatie. Vanuit contexten wordt de breuknotatie geïntroduceerd, meestal als
eerste vanuit de deel van een geheel relatie. Een belangrijk onderdeel van de begripsvorming is het
positioneren, vergelijken en ordenen van breuken op de getallenlijn. Veel leerlingen vinden het
verwarrend dat 1/3 kleiner is dan 1/2. Drie is toch meer dan twee? Dit nieuwe concept past niet bij
de reeds aanwezige kennis, ze zullen hun bestaande kennis dus moeten aanpassen op de nieuwe
kennis. Nadat duidelijk is wat een breuk is leren de leerlingen de basisbewerkingen uitvoeren met
breuken, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Eerst vanuit contexten, betekenisvolle
situaties, met modelondersteuning en vervolgens steeds abstracter en complexer. Net als met
verhoudingen en procenten zal niet elke leerling eind groep 8 in staat zijn om alle basisbewerkingen
met breuken op een formeelniveau uit te voeren.
Modellen bij breuken
Modellen ondersteunen het denken en vormen een brug tussen concreet voorstelbare breuksituaties
en het formele redeneren met breuken.
 Cirkelmodel  Maakt goed zichtbaar dat een breuk een deel van een geheel kan zijn. Vanuit
het vergelijken van delen kunnen gelijkwaardige breuken worden bepaald; gebruik bij eerlijk
verdeel situaties.
 Rechthoekmodel of plakmodel  Representeert zowel de verschijningsvorm deel van een
geheel als deel van een hoeveelheid. Voor kinderen is het makkelijker om een plak te
tekenen i.p.v. een cirkel. Meer mogelijkheden voor eigen oplossingswijzen. Opgaven met een
plak bereiden voor op optellen en aftrekken met breuken. De stukjes of blokjes hebben
daarbij een rol als zogenoemde bemiddelende grootheid. Het aantal van de bemiddelende
grootheid, in dit geval het aantal stukjes, levert de noemer van de gelijknamige breuken op.
 Strook of stok  Wordt ook gebruikt om een deel van het geheel te visualiseren. Ook kan de
strook worden ingezet om te meten. Kan ook ingezet worden om een deel van een
hoeveelheid te bepalen. Met breekstokken kunnen gelijkwaardige breuken worden bepaald.


Getallenlijn en verhoudingstabel  Wordt gebruikt om breuken op te positioneren. Voor
het correct positioneren moeten kinderen leren om teller en noemer in samenhang te zien.
De (dubbele) getallenlijn wordt ook gebruikt bij het bepalen en oefenen van gelijkwaardige
breuken en relaties met kommagetallen.
Een verschil tussen de dubbele getallenlijn en de strook is dat de strook vooral wordt
gebruikt als geheel (dus bij breuken kleiner dan 1), terwijl de dubbele getallenlijn in elke
getallengebied kan worden toegepast.
Verhoudingstabel wordt gebruikt voor het vereenvoudigen van breuken en het bepalen van
gelijkwaardige breuken.
Benoemde breuken  achter de breuk wordt een woord of afkorting aangegeven waar de
breuk deel van is: liter, stok, pizza enz. Hierdoor wordt het denken ondersteund en het
rekenen vergemakkelijkt.
Rekenen en redeneren met breuken
Onder breukbegrip vallen verschillende aspecten van het rekenen en redeneren met breuken:
 Verschillende betekenissen van breuken kunnen onderscheiden, bijv. breuken als het
resultaat van eerlijk delen, maar ook alle andere verschijningsvormen.
 Het relatieve karakter van breuken begrijpen: breuken verwijzen vaan naar een deel van iets.
 Inzicht hebben in de relaties tussen breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten,
1
2
en op getalsniveau allerlei getal relaties kunnen beredeneren, bijv. tussen 2 𝑒𝑛 4 en tussen


1
2
en 0.5, 50% en 4:8.
Inzicht hebben in gelijkwaardigheid en gelijknamigheid.
Breuken kunnen vergelijken en (globaal) kunnen plaatsen op een getallenlijn.
Gelijkwaardigheid
Het gaat bij inzicht in gelijkwaardigheid zowel om het inzicht dat een breuk op verschillende
manieren kan worden genoteerd, als om het inzicht dat het bij delingen met dezelfde uitkomst om
dezelfde verhouding gaat. Het kunnen bepalen van gelijkwaardige breuken is voorwaardelijk voor het
kunnen vereenvoudigen van breuken en gaat vooraf aan het leren gelijknamig maken van breuken.
Hiervoor is ook een goede beheersing van de tafels nodig.
Voor het bepalen van gelijkwaardigheid wordt naast het eerlijk delen ook gebruikgemaakt van
andere verschijningsvormen. Op concreet niveau zijn breuken even lang of even zwaar, even veel.
Op model ondersteunend niveau kunnen gelijkwaardige breuken worden afgelezen van stroken. Het
beredeneren van gelijkwaardigheid kan eerst model ondersteunend en later op formeel niveau
plaatsvinden.
Optellen en aftrekken
Een essentieel verschil in moeilijkheid bij het optellen en aftrekken van breuken is, of het gaat om
1
gelijknamige of ongelijknamige breuken. Begonnen wordt met eenvoudige opgaven als 2 aanvullen
1
tot 1. En een breuk bij een heel getal optellen (3 + = .. ). Daarna komt het optellen en aftrekken van
4
gelijknamige breuken aan de orde. Daarbij treden op formeel niveau al de eerste moeilijkheden op:
tellers worden wél opgeteld en noemers niet.
Om ongelijknamige breuken te kunnen optellen of aftrekken, is het nodig om breuken gelijknamig te
maken. Gelijknamig maken kan door:
 Bemiddelende grootheid  Stukjes van een reep chocolade kunnen fungeren als
bemiddelende grootheid bi het samenvoegen van breuken of bij het bepalen van het verschil
daartussen.
 Formele en meer regelgeleide methode  vermenigvuldigen van de noemers met elkaar, om
te bepalen wat een mogelijke gemeenschappelijke noemer.
 Gebruik maken van het KGV
Vermenigvuldigen en delen
Anders dan bij optellen en aftrekken met breuken, komen bij vermenigvuldigen en delen met
breuken de betekenissen van de basisbewerkingen niet helemaal overeen met de betekenissen
1
1
1
1
1
ervan bij hele getallen. De volgorde maakt uit: een heel getal keer een breuk: 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3.
Dus vanuit de al bekende betekenis van vermenigvuldigen: herhaald optellen. Bij delen kun je
3
opdelen of inpassen onderscheiden: hoe vaak gaat het ene in het ander: 6 : 4. Dit is herhaald
aftrekken. Verdelen, bijv. hoeveel krijgt ieder, kan worden gebruikt bij het delen van breuken door
4
een heel getal: 5 : 4.
In formele termen: de betekenissen van de bewerkingen blijven hetzelfde als bij hele getallen als de
1
1
breuk het vermenigvuldigtal is (4 x 3; herhaald aftrekken). Als de breuk de vermenigvuldiger is (4 x 4),
heeft de bewerking een voor kinderen nieuwe betekenis (een deel nemen van. Als de breuk een
4
deeltal is (5 : 4), kan de bewerking evenals hele getallen worden opgevat als verdelen, maar niet als
opdelen.
In de didactiek goed rekening houden met het gegeven dat een vermenigvuldiging met een echte
breuk (=kleiner dan 1) uitpakt als een deling. En omgekeerd, dat delen door een echte breuk een
1
groter getal oplevert, oftewel uitpakt als vermenigvuldigen. Bijv: 4 x is hetzelfde als 4 : 3. En de
1
5
3
deling 2 : is hetzelfde als 2 x 5.
Model ondersteunend en formeel vermenigvuldigen
Naast de getallenlijn kunnen ook andere modellen worden gebruikt voor vermenigvuldigen en delen
met breuken. Bijv. een maatbeker, die je kunt zien als verticale strook. Cirkelmodel kan worden
gebruikt om aan te geven wat een breuk keer een breuk betekent. Ook een rechthoekmodel /
plakmodel wordt vaak gebruikt als model ondersteuning.
Model ondersteunen en formeel delen
Het eerste type opgave is een geheel getal delen door een breuk. Hierbij hoort de context opdelen of
1
1
uitschenken van iets, bijv. bij 3 : 4 ; hoeveel glazen van 4 liter schenk je uit een fles sap van 3 liter?
Delen wordt dus in eerste instantie opgevat als inpassen of opdelen.
Het omgekeerde, een echte breuk of gemengd getal delen door een geheel getal, kan op allerlei
1
modelmatige manier worden ondersteund. Bijv. 2 : 3; visualiseren door een A4-tje in tweeën te
vouwen (dan zie je de helft) en dat weer in drieën te vouwen.
3
Op meer formeel niveau is inzicht in gelijkwaardigheid onmisbaar. Bijv. 4 : 2. Eerst moet een
gelijkwaardige breuk worden gezocht die gemakkelijk kan worden gedeeld door 2.
Samenhang met andere domeinen
Basisbewerkingen
Voor het bepalen van gelijknamige en gelijkwaardige breuken moet het vermenigvuldigen en delen
goed worden beheerst. Een breuk is een getal, maar kan ook worden gezien als een bewerking. De
1
breuk 5 is de uitkomst van de opgave 1:5. Een breuk is dus een getal en bewerking ineen. Betekenis
van breukstreep en het deelteken zijn hetzelfde.
Meten
Een van de verschijningsvormen van breuken is de breuk als meetgetal. Vanuit het meten van
objecten met stroken kunnen namelijk ook breuken ontstaan, net zoals bij eerlijk verdelen.
Hoofdstuk 5
Kommagetallen
5.1 Kommagetallen in de realiteit
Een formele benaming van kommagetallen is ‘decimale breuken’. Dit is naar analogie van decimale
getallen. De verschijningsvormen van kommagetallen in de realiteit zijn minder divers dan die van
breuken: kommagetallen kom je voornamelijk tegen als meetgetallen en in het onderwijs als
rekengetal.
Meetgetallen
Veel meetgetallen zijn kommagetallen. Of een meetgetal een kommagetal is, hangt af van de
gehanteerde maat en de precisie. Algemeen gezegd: een meetgetal is een kommagetal als de
precisie van de meting nauwkeuriger is dan de maat waarin het meetresultaat wordt uitgedrukt.
Eén van de meest in het oog springende verschijningsvormen van een kommagetal is die van geld. De
munteenheid is de maat. Als een geldbedrag niet in hele euro’s wordt aangegeven maar met de
centen erbij, is de nauwkeurigheid waarmee het bedrag wordt aangegeven (centen) preciezer dan de
maat (euro).
Decimale breuken
Breuken en kommagetallen verschillen op een paar essentiële punten van elkaar.
 De schrijfwijze van kommagetallen is positioneel en decimaal, net als bij hele getallen. Dit
betekent dat elk cijfer in een getal een positiewaarde heeft die correspondeert met een
macht van tien.
 Kommagetallen zijn gestandaardiseerde breuken: het zijn tiende, honderden enz. Dit
betekent dat je een kommagetal eenvoudig kunt positioneren op de getallenlijn.
 Door de decimale structuur van kommagetallen is verfijning eenvoudig: tussen twee
honderdsten liggen duizendsten enz.
 De notatie van kommagetalen heeft, anders dan breuken, een continu karakter  je kunt elk
kommagetal steeds preciezer benaderen door eenvoudig decimalen toe te voegen.
Kommagetallen zijn, net als hele getallen en breuken, rationale getallen. Maar ook irrationale
getallen, zoals pi, kunnen decimaal, dus met komma worden geschreven.
Repeterende breuk
1
 kommagetal, geeft een oneindige rij decimalen: 0,3333… Zo’n breuk heet een
3
repeterende breuk, omdat de reeks decimalen steeds herhaald worden. Het repeterende
deel heet het repetendum van de breuk; in dit voorbeeld 3, omdat alleen het cijfer 3 wordt
1
herhaald. Ander voorbeeld: 7 = 0.142857142857…, repetendum is 6 cijfers.
Tussen kommagetallen als meetgetallen en kommagetallen als rationale getallen bestaat een
belangrijk verschil. Als rationaal getal geldt: 0,7 = 0,70, maar als meetgetal geldt dat niet zonder
meer. De meetgetallen 0,7 en 0,70 hebben een verschillende nauwkeurigheid. Meetinterval 
afstand tussen twee getallen waarbinnen het meetresultaat ligt.
Wiskundetaal bij kommagetallen
Bij kommagetallen markeert de komma de scheiding tussen eenheden en tienden. Links van de
komma: teintallen, honderdtallen enz. Rechts van komma: tienden, honderdsten enz.
Cijfers of getallen? Uitspraak van kommagetallen
Kinderen moeten eerst de positiewaarden beheersen en de benaming van de positiewaarden niet
meer door elkaar halen, voor ze de uitspraak kunnen beheersen.
5.2 Kommagetallen op de basisschool
Eerst gaat het om betekenis geven aan kommagetallen. Een tweede stap is het ordenen van
kommagetallen op grootte en het positioneren van kommagetallen op de getallenlijn. Ten slotte
komt het opereren met kommagetallen aan de orde: de basisbewerkingen optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen en delen.
Introductie van kommagetallen
Bij introductie van kommagetallen in groep 6 ligt het startpunt bij allerlei meetcontexten. Er wordt
uitgebreid stilgestaan bij de betekenis van kommagetallen. Informele voorkennis speelt een
belangrijke rol in de begripsvorming bij kommagetallen. Snel na de introductie van kommagetallen
wordt expliciet aandacht besteed aan de positiewaarde van cijfers achter de komma. Eerst als
meetcontext: bijv. 2.435 meter = 2 m, 2 dm, 3 cm, 5 mm. Later wordt dit formeel ingevoerd  4
heeft dan een positiewaarde van 4/10.
Modellen en schema’s bij kommagetallen
Benoemde meetgetallen en geld
Net als breuken worden kommagetallen vaak benoemd genoteerd. Bij kommagetallen gaat het dan
om meetgetallen en geld. Tot aan het formele rekenen met kommagetallen blijft het mogelijk om
terug te grijpen op betekenissen van de gebruikte getallen om zo het denken en het rekenen te
ondersteunen. In die zin fungeren benoemde meetgetallen als denkmodel. Een punt van aandacht
hierbij is het mogelijk opvatten van cijfers achter de komma als hele getallen.
Geld als denkmodel heeft de beperking dat het maar gaat tot op de cent, dus maar tot honderdsten.
Geld is daardoor niet geschikt om model te staan voor de voor kommagetallen kenmerkende
decimale verfijning, die immers onbeperkt kan doorgaan.
De getallenlijn
De getallenlijn wordt ook hier eerst gebruikt om kommagetallen op te ordenen en (eerst globaal) te
positioneren. Bij kommagetallen gebeurt dat vanuit benoemde meetgetallen.
Binnen de context lengtemeting kunnen bepaalde kernvragen worden gesteld die leerlingen aan het
denken zetten over iets dat essentieel is in de begripsvorming: wat is het onderscheid tussen 8,9 en
8,90 en 8,09? De rol van de nul  soms mag deze worden weggelaten of toegevoegd, maar niet
altijd! Let op uitspraak! Als je bijv. ‘acht komma negen’ en ‘acht komma tien’ zegt, suggereert dit dat
8,10 groters is dan 8,9.
Kernvragen worden zo geformuleerd dat er een zogenoemd cognitief conflict wordt uitgelokt;
kinderen worden gedwongen om zelf na te denken.
Naast ordenen en positioneren vervult de getallenlijn nog een belangrijke functie: het kan de
decimale verfijning illustreren.
Het positieschema
In de eerste plaats wordt het positieschema gebruikt bij het vaststellen van de positiewaarden van de
cijfers achter de komma. Dit gebeurt ook m.b.v. benoemde meetgetallen, zoals geld.
In de tweede plaats kan het positieschema worden gebruikt voor het cijferend of kolomsgewijs
rekenen met kommagetallen.
Rekenen en redeneren met kommagetallen
Verwarrend is dat de notatie van kommagetallen lijkt om die van hele getallen, maar dat de
betekenis overeenkomt met die van breuken. Een tweede punt dat verwarrend werkt is dat meer
cijfers in een getal niet per se betekent dat het om een groter getal gaat.
Voor het ontwikkelen van kommagetallen zijn allerlei aspecten van belang:
 Kommagetallen globaal en precies plaatsen op de getallenlijn met een passende schaal.
 De relatieve orde van grootte doorzien en daardoor globaal schattend kunnen rekenen met
kommagetallen.
 Kommagetallen zien als meetgetallen en als rekengetallen



De decimale verfijning begrijpen
Kommagetallen als breuken opvatten
Kunnen hoofdrekenen met kommagetallen en inzicht hebben in de uitwerking van de
hoofdbewerkingen met kommagetallen
 Inzicht hebben in kommaverschuiving (bijv. bij 10 x 2.3)
 Kunnen afronden
De nul in kommagetallen
Soms kunnen nullen achteraan worden toegevoegd of juist weggelaten, zonder dat dat verschil
uitmaakt voor de grootte van het getal. Dit is in tegenspraak met de voorkennis van kinderen, want
bij hele getallen maakt dat wel uit (350 en 35). Bovendien mag de 0 van 3,50 wel worden weggelaten
maar de 0 van 3,05 weer niet.
Cijfers of getallen achter de komma?
De cijfers achter de komma lijken op hele getallen. Daardoor vatten kinderen ze gemakkelijk op als
losse getallen. Hierdoor kunnen allerlei fouten ontstaan, zoals: 3,14 + 2,5 = 5,19. Dit probleem wordt
groter als er meer cijfers achter de komma verschijnen of bij een verschillend aantal cijfers achter de
komma.
Verschillende aantallen cijfers achter de komma
Een verschillend aantal cijfers achter de komma maakt het moeilijk om de getallen te vergelijken of
bijv. op te tellen. Van bijv. 1,525 en 1,59 kunnen kinderen in eerste instantie denken dan 1,525 het
grootste getal is. Refereren aan meetgetallen biedt dan uitkomst. De decimeter, centimeter en
millimeter worden dan gebruikt als ondermaten: maten waaraan je kunt denken bij elk cijfer achter
de komma van een meetgetal.
Onbegrepen rekenregels
Regel  bij rekenen onder elkaar, de komma’s netjes onder elkaar zetten. Het doel van deze regel is
dat alleen cijfers met dezelfde positiewaarde bij elkaar worden opgeteld of afgetrokken. Als
rekenregels zonder begrip worden aangeleerd, ontstaan makkelijk allerlei fouten.
Inschatten en schattend rekenen
Het lijkt of het getal beeld voor sommige kinderen wordt verstoord met het verschijnen van
kommagetallen: zij schatten de orde van grootte van kommagetallen in het begin verkeerd in. Eerst
gaat de nadruk uit naar globaal schattend rekenen en pas later naar precies rekenen. Schattend
rekenen is essentieel. Door te schatten, kan worden gekeken hoe een bewerking ong. uitpakt en dat
is weer belangrijk voor het begrip van de orde van grootte van kommagetallen. Naast schattend
rekenen met benoemde meetgetallen wordt geleidelijk aan steeds meer beredeneerd geschat met
formele getallen  eerst schatten door alleen te kijken naar de getallen voor de komma. Een
volgende stap is dat beredeneerd schatten kan plaatsvinden door in de klemmen: kijken naar de
helen waartussen een kommagetal ligt. Bijv. 3,8 x 5,9 ligt tussen 15 (3 x 5) en 24 (4 x 6).
Optellen en aftrekken met kommagetallen
De basisbewerkingen moeten inzichtelijk kunnen worden uitgevoerd. Dat betekent dat voor
kommagetalen dat – naast globaal schattend rekenen – het grootste accent ligt op hoofdrekenen
met kommagetallen.
Vermenigvuldigen en delen met kommagetallen
Ook bij vermenigvuldigen en delen met kommagetallen blifjt het van belang te referen aan de
betekenis van getallen; meetgetallen. Vermenigvuldigen met een kommagetal kleiner dan 1 heeft de
betekenis een deel nemen van. Delen met een kommagetalen kleiner dan 1 heeft de betekenis
opdelen of inpassen. Vaak wordt gebruik gemaakt van de context het winkelbonnetje.
Samenhang met andere domeinen
Kommagetallen zijn breuken die zijn te beschouwen als niet meer dan een uitbreiding van het
systeem van hele getallen. Het grote verschil tussen hele getallen en kommagetallen zit er in dat
kommagetallen breuken zijn. Het domein kommagetallen is onlosmakelijk verbonden met het
domein meten. Ten slotte is er samenhang met het domein verbanden, met name waar het gaat om
contexten waarin in de realiteit niet alleen hele getallen, maar ook kommagetallen voorkomen.
Hoofdstuk 1
Samenhang meten en meetkunde
1.1 Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde
De domeinen meten en meetkunde hebben veel raakvlakken. Bij meten gaat het om het getalsmatig
greep krijgen op ‘eigenschappen’ van de wereld, zoals lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en
tijdsduur. Dergelijke eigenschappen heten grootheden. De essentie van meten is dat een grootheid
wordt afgepast met een maat, bijv. de maateenheid meter bij grootheid lengte.
Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringde ruimte. Het gaat bijv.
om plattegronden, routes, richtingen en eigenschappen van vormen en figuren. Verder gaat het om
projecties, schaduwen, symmetrieën, patronen en alle twee- en driedimensionale weergaven van de
werkelijkheid. Meetkunde is op te vatten als ruimte oriëntatie in wiskundige zin.
Meten van inhoud
Het in gedachte in elkaar zetten van een bouwplaat, valt binnen meetkunde. De vraag, wat de inhoud
is van een doos, valt onder meten: het gaat om het kwantificeren van de eigenschap inhoud. Een
kwantiteit is een hoeveelheid en kwantificeren betekent: ergens een getal aan toekennen.
Leerlingen ervaren dat een bepaalde inhoud – bijv. 1 liter – verschillend (ruimtelijke) vormen kan
aannemen  meten en meetkunde raken elkaar. Aangezien het gaat om de grootheid inhoud, gaat
het om het domein meten. Het onderzoeken van vormen die de liter kan aannemen, vallen binnen
meetkunde.
Lengte en oppervlakte
Ook bij deze grootheden komen meetkundige inzichten naar voren. Een meetkundige activiteit als
het omvormen van figuren kan worden toegepast bij het meten van oppervlaktes. Ook het werken
met vlakvullingen ligt op het snijvlak van meten en meetkunde: een bepaalde oppervlakte wordt vol
gelegd met meetkundige vormen.
Uit de geschiedenis van meten en meetkunde
Stelling van Pythagoras
Ook in de stelling van Pythagoras uit de klassieke oudheid komen meten en meetkunde samen. De
stelling beschrijft de vaste relatie tussen de lengtes van de drie zijden van een rechthoekige driehoek:
a2 + b2 = c2.
De gulden snede
De gulden snede is een verhouding die sinds de 17e eeuw staat voor een schoonheidsideaal: de
mooiste verhouding die bestaat. In allerlei meetkundige figuren zijn afmetingen volgends deze
verhouding terug te vinden. Als je een lijnstuk zo in tweeën verdeelt dat de verhouding van het
kleinste deel t.o.v. het grootste deel dezelfde is als de verhouding van het grootste deel tot het hele
lijnstuk, heb je de gulden snede te pakken. Een veelgebruikte benadering van de gulden snede is :
0,618 = phi.
1.2 Meten en meetkunde op de basisschool
Overeenkomsten tussen meten en meetkunde
Beide domeinen komen vanaf de kleutergroepen aan bod. Beide domeinen blijven dicht bij de
waarneembare werkelijkheid. Beide domeinen kenmerken zich door redeneren en het ontwikkelen
van een onderzoekende houding; ook wel wiskundige attitude genoemd.
Bezig zijn met meten en meetkunde levert ook een belangrijk bijdrage aan de ontwikkeling van
gecijferdheid.
Verschillen tussen meten en meetkunde
Bij meten gaat het meestal om een andere (mentale) handelingen dat bij meetkundeactiviteiten. Bij
meetactiviteiten gaat het om het leren met een passende maat en zijn kinderen vooral aan het doen
(uitvoeren van metingen, aflezen meetinstrumenten), kennen (bijv. de maten uit metriek stelsel) en
begrijpen (optreden van maatfouten, maatverfijning en kiezen van juiste maat)
Bij meetkundeactiviteiten gaat het vooral om het onderzoeken van ruimtelijke relaties en het
beredeneren hiervan; kinderen zijn bezig met waarnemen, beschouwen, stellen en beantwoorden
van ‘waarom-vraag’, gericht op verklaren.
Samenhang in activiteiten
Het heeft meerwaarde om meten en meetkunde niet geïsoleerd, maar juist geïntegreerd aan bod te
laten komen. Activiteiten rondom construeren (bouwen) en representeren (afbeelden van de
werkelijkheid, zoals plattegrond) vallen binnen meetkunde. Rondom een bouwwerk kan het
tegelijkertijd gaan om meetactiviteiten: zoals het vaststellen wat de inhoud van het bouwwerk is.
Andere voorbeeldactiviteiten liggen op het terrein van tijdzones: lokaliseren of plaatsbepaling op de
aarde valt onder meetkunde, evenals de kennis die te maken heeft met het draaien van de aarde om
haar as en om de zon. Voorspellen van schaduw valt ook onder meetkunde.
Hoofdstuk 2
Meten
2.1 Meten en meetgetallen zijn overal
Meetgetallen zeggen iets over grootheden als gewicht, inhoud, temperatuur. Bij elke grootheid
bestaan verschillende maten of meeteenheden, die afhankelijk van de situatie worden gebruikt.
In het dagelijks leven gebruik je veel meetreferenties, zoals 50 km/u in de bebouwde kom, 39 °C is
koorts; het referentiegetal waar je vanuit gaat is namelijk 37 °C. Nog meer referentiematen: pak
suiker = 1 kilo, een stap = 1 meter en een pak sap = 1 liter.
Meetinstrumenten
Afpassen van een maat = wanneer je de werking van het meetinstrument kan zien (bijv. maatbeker).
Indirect meten = de ene grootheid (lengte) meet om een andere grootheid (gewicht) te bepalen (bijv.
bij een kwikthermometer of bij een unster; weeghaak met trekveer).
Op meet instrumenten is een schaalverdeling aanwezig.
Meetnauwkeurigheid
Veel meetgetallen zijn kommagetallen. Dit hangt af van de gehanteerde maat en de precisie.
Meetgetallen hebben een verschillende meetnauwkeurigheid. De afstand tussen twee getallen
waarbinnen het meetresultaat ligt, heet meetinterval. De aanduiding 4 kilometer, betekent dus niet
altijd dat de afstand precies 4000 meter is.
Meetfouten
De meetnauwkeurigheid van metingen impliceert ook een meetonnauwkeurigheid. In die zin treden
bij meten per definitie fouten op. De meetfout valt binnen het meetinterval, dat in dit verband wordt
aangeduid als foutenmarge. Bij bijv. een lengtemeting van 186 cm loopt het meetinterval van 1855
mm tot 1865 mm en is de meetfout ten hoogste 5 mm.
Daarnaast kunnen meetfouten bij de meethandeling zelf ontstaan. Om het effect van een meetfout
op het meetresultaat te verkleinen, kun je een meting herhaald uitvoeren en vervolgens het
gemiddelde van de meetresultaten nemen.
Uit de geschiedenis van meten
Natuurlijke maten
Een natuurlijke maat is bijv. een lichaamsdeel waarmee een grootheid kan worden afgepast, zoals
een voet voor de grootheid lengte.
Standaardisering
Kort na de Franse revolutie werd een stelsel van maten en gewichten vastgesteld in het metriek
stelsel. De meter werd als standaardmaat gekozen. Aan de basiseenheid meter werden andere
maten gekoppeld, zoals de vierkante meter voor oppervlakte. Oude maten werden gelijkgesteld aan
nieuwe maten. De are = vierkante decameter, liter = kubieke decimeter, bunder = vierkante
hectometer of hectare. Ons = 100 gram, pond is 500 gram.
De huidige internationale afspraken liggen vast in het in 1960 opgestelde SI-stelsel, Internationaal
Stelsel van Eenheden.
Het imperiale systeem
In een aantal landen, waaronder de VS en UK wordt het imperiale systeem van maten gehanteerd.
Inch = 2.54 cm, foot = 12 inches, yard = 3 feet en mile = 1760 yard, 1609 m.
Wiskundetaal bij meten
Maten die zijn afgeleid van standaardmaten (zoals meter, kg, l) worden aangegeven met
voorvoegsels. Door de tientallige opzet van het stelsel zijn opeenvolgende lengtematen steeds een
factor 10 groter. Dit wordt de decimale relatie tussen de lengtematen genoemd. Bij oppervlakte is
sprake van een kwadratische relatie: opeenvolgende oppervlaktematen zijn steeds een factor 100
groter (het kwadraat 10). Bij een opeenvolgende kubieke inhoudsmaten gaat het steeds om een
factor van 1000, kubische relatie.
Overige grootheden
Snelheid is een samengestelde grootheid, km/u of m/s. De omvang van digitale data die zijn
opgeslagen op bijv. een USB kan ook worden beschouwd als een grootheid.
2.2 Grootheden en maten
Aangezien grootheden te maken hebben met uiteenlopende eigenschappen van de wereld om ons
heen, treden bij het meter ervan specifieke verschillen op. De oppervlakte van een figuur is bijv.
gelijk aan de som van de oppervlakten van de afzonderlijke delen van het figuur. Dit is de zogeheten
transitiviteitseigenschap van de oppervlakte. Dit geldt echter niet voor temperatuur.
Lengte
De grootheid lengte kan over veel verschillende dingen gaan. Ook omtrek is een vorm van lengte.
Meetinstrumenten zijn bijv. liniaal, meetlint, rolmaat.
Omtrek
Formule voor omtrek van een rechthoekige figuur = 2 x lengte + 2 x breedte. Tussen de omtrek van
een cirkel en de diameter (=middenlijn)bestaat een vaste verhouding; pi π = ong. 3,1415926 of 22/7.
De omtrek van een cirkel is: Omtrek = π x D (diameter) of 2 x π x R (straal).
Oppervlakte
Oppervlakte is bijv. hoeveelheid materiaal om dat voorwerp volledig te bedekken. Eén van de
standaardmaten is de vierkante meter. Andere oppervlakte maat is are, die 10 bij 10 (100 m2) is. Via
voorvoegsels worden centiare (1 bij 1, 1 m2) en hectoare ofwel hectare (100 bij 100, dus 10000 m2).
Als de afmetingen lengte en breedte 2 keer zo groot wordt de oppervlakte in beide richtingen
verdubbeld. De opp. wordt dus vier keer zo groot. Het bepalen van oppervlakte kan plaatsvinden
door afpassend te meten, bijv. met een rooster van hokjes. Ook kun je gebruik maken van
omvormen.
Formule oppervlakte rechthoek; Oppervlakte = lengte x breedte.
Inhoud
Bij inhoud kan gedacht worden aan ‘dat wat erin past’. Een begrip dat i.p.v. inhout ook wordt
gehanteerd is volume.
Kubieke maten worden o.a. gebruikt voor de inhouden van vertrekken en gebouwen. Voor kubieke
centimeter wordt ook de naam cc gebruikt. De inhoud van motoren van voertuigen wordt bijv.
uitgedrukt in cc. Bij litermater gaat het om een decimale relatie tussen opeenvolgende maten.
Aangezien een liter overeenkomt met dm3 geld ook dat een milliliter overeenkomt met cm3 en een
kiloliter met m3. Een ton inhoud is een kubieke meter.
M.b.v. een maatbeker kan je hoeveelheid vloeistof meten. Ook van massieve, onregelmatige vormen
kun je de inhoud bepalen. Door bijv. waterverplaatsing die het voorwerp veroorzaakt in een
maatbeker (= indirect meten).
Inhoud van een kubus of balk; lengte x breedte x hoogte. Als bijv. elke zijde van een kubus 2 keer zo
groot wordt gemaakt, verdubbelt de oppervlakte van elk zijvlak in 2 richtingen en wordt dus 4 keer
zo groot. De inhoud van de kubus wordt in 3 richtingen verdubbeld (lengte, breedte en diepte) en
wordt dus 8(2x2x2) keer zo groot.
Gewicht
Als referentiemaat kan gedacht worden aan een pak suiker; 1 kg. Andere maten zijn gram, milligram
en een ton (1000 kg). Gewicht en massa zijn niet hetzelfde. Massa geeft de hoeveelheid materie aan:
voorwerpen die van veel materie zijn gemaakt, hebben een grote massa. Bij gewicht gaat het om de
kracht die de aarde uitoefent op een bepaalde massa: de zwaartekracht. In het dagelijks leven is die
kracht meestal gelijk en kunnen we probleemloos ‘massa’ en ‘gewicht’ vervangen. In de lift of een
achtbaan kun je ervaren dat de zwaartekracht soms wat minder voelt.
Temperatuur
Voor de grootheid temperatuur worden wereldwijd verschillende temperatuurschalen gebruikt. In
Europa: Celsius, °C. Het absolute nulpunt ligt bij -273,15°C. In de natuur-scheikunde wordt de
temperatuurschaal van Kelvin (K) gebruikt. De schaal van Kelvin start bij het absolute nulpunt: 0K is
gelijk aan -273,15 °C. O.a. in de VS wordt gebruik gemaakt van de eenheid graad Fahrenheit (°F). 2
formules om te rekenen naar Fahrenheit en andersom:
5
 Graden Celsius = 9 x (graden Fahrenheit – 32)
9
 Graden Fahrenheit = 5 x graden Celsius + 32
Maatverfijning is bij temperatuur niet aan de orde; er bestaat niet zoiets als ‘centigraden’.
Tijd
Voor de grootheid tijd worden verschillende eenheden gebruikt, die in veel gevallen niet uitgaan van
een decimale structuur. De indeling van een uur in 60 minuten en de minuut in 60 seconden word
sexagesimaal genoemd. De indeling is gebaseerd op het sexagesimaal of 60-tallig stelsel. Tijd heeft
zowel een cyclisch als ene lineair karakter. Het cyclisch karakter is te herkennen aan dagen van de
week, maanden en seizoenen. Het lineaire karakter van tijd komt bijv. tot uitdrukking in de
jaartelling. Wereldwijd gelden verschillende tijdzones. Wordt aangeduid met de letters UTC.
Nederland = UTC+1 en in de zomertijd UTC+2.
Tijd wordt genoteerd als hh:mm:ss. Jaartallen worden aangeduid volgens een tientallig systeem;
Lustrum (5 jaar), decennium (10 jaar), eeuw (100 jaar) en millennium (1000 jaar). Eén jaar is 365
dagen. 1x in de vier jaar schrikkeljaar = 366 dagen.
Snelheid
De samengestelde grootheid snelheid geeft verplaatsing per tijdseenheid weer. Meetreferenties zijn
bijv. de snelheid van een wandelaar (5km/u) en van een fietser (10 km/u). In de wetenschap en
techniek worden snelheden meestal in meter per seconde uitgedrukt. m/s= km/u x 3,6
Geld
Geldelijke waarde is ook op te vatten als grootheid. Met geld kan waarde van dingen worden
vergeleken. De munteenheid, of valuta waar de waarde in wordt uitgedrukt is bijv. de euro of dollar.
Er is met geld weinig sprake van standaardisering. Valuta kunnen in elkaar worden omgerekend met
wisselkoers.
Dichtheid
Dichtheid is een samengestelde grootheid. Het gat dan bijv. om ‘aantal per oppervlaktemaat’, pixels
per cm3. Bij dichtheid kan het daarnaast gaan om ‘aantal per inhoudsmaat’ (ook soortelijke massa
genoemd), die wordt uitgedrukt in kg/m3.
Hoek
Hoek is een grootheid die het verschil in twee richtingen uitdrukt. In meetkundige termen gaat het
om een de hoek die twee snijdende lijnen in het platte vlak t.o.v. elkaar maken. Als eenheid of
hoekmaat wordt de booggraad of kortweg graad (°) gebruikt.
Hoofdstuk 3
Meten op de basisschool
In het meetonderwijs wordt gewerkt aan de ontwikkeling van het maatbesef: kinderen krijgen zicht
op verschillende maten, kunnen zich bij de maten een voorstelling maken en begrijpen de
samenhang tussen de maten.
3.1 Schets van de leerlijn meten
Ontluikend maatbesef
De leerlijn meten start in de onderbouw met verkenning van grootheden en gaat van vergelijken
(direct of indirect met een intermediair) en ordenen (ook wel seriëren genoemd) via afpassen met
een maateenheid (in eerste instantie met natuurlijke maten en later met standaardmaten)
naar aflezen van een meetinstrument (bijv. liniaal, meetlint, maatbeker, weegschaal, digitale en
analoge klokken, thermometers, enz.).
Inzicht in meten en maten:
Vanaf groep 4 leren kinderen standaardmaten gebruiken, zoals meter, liter en kilogram. Ook leren ze
een passende maat te kiezen en de tientallige samenhang van maten binnen een grootheid te
herkennen. Bovendien ontwikkelen ze meetreferenties (en dus maatgevoel) bij de verschillende
standaardmaten.
In de hogere groepen wordt het hanteren van meetinstrumenten verder uitgebreid en gaat
de maatverfijning steeds verder. Kinderen zullen
al metende ervaren, dat er
ook meetfouten kunnen ontstaan en dat het
gemiddelde van een aantal metingen het effect
van de meetfout(en) op het meetresultaat kan
verkleinen. De meetnauwkeurigheid(verschillen in
precisie waarin gemeten wordt) komt dan ook om
de hoek kijken, waardoor de kinderen inzicht
krijgen dat er bij meetgetallen sprake is van
een meetinterval, waarbinnen het meetresultaat
ligt. Het afronden krijgt zo betekenis.
Formeel redeneren en rekenen met maten en
grootheden:
In de bovenbouw verwerven de kinderen steeds
meer inzicht in het metriek stelsel, waarbij
herleiden en omrekenen van maten een grote rol
speelt. Ze leren meetgegevens te interpreteren,
waarbij de meetnauwkeurigheid en
de meetfouten, die optreden, een steeds
belangrijkere rol spelen. Bovendien wordt het
aantal grootheden uitgebreid met samengestelde
grootheden. Tot slot leren de kinderen rekenen en
redeneren met meetgetallen in allerlei
toepassingssituaties.
3.2 Ontluikend maatbesef
In het meetonderwijs staat vanaf groep 1 het ontluikend maatbesef centraal: kinderen leren
verschijnsels en situaties uit alledaagse leven kwantitatief, oftewel getalsmatig, te benaderen. Ze
leren bijv. te herkennen welke grootheden in specifieke meetsituaties aan de orde zijn, zoals stap,
dag, hand en jaar.
Groeiend inzicht in grootheden
Door als leerkracht expliciet aandacht te schenken aan taalgebruik bij de verkenning van grootheden,
ontwikkelen kinderen een passende meettaal en leren ze begrippen als lang en kort, klein en groot,
hoog en laag. Kinderen beheersen en conservatieprincipe nog niet  het inzicht dat verandering van
vorm niet van invloed is op de hoeveelheid (smal lang glas en breed laag glas = zelfde hoeveelheid)
Lengte, oppervlakte, inhoud en gewicht
Deze grootheden krijgen volop aandacht. Jonge kinderen leren dan gewicht en omvang van een
voorwerp niet per se met elkaar samenhangen. Als een groot voorwerp lichter blijkt te zijn dan een
kleiner voorwerp, kan dat een cognitief conflict oproepen. Het druist namelijk in tegen wat kinderen
aanvankelijk dachten.
Tijd
Activiteiten zijn gericht op tijdsbeleving en de ontwikkeling van tijdsbesef: inzicht in tijdsduur en het
verloop van tijd. De indeling van de dag verkennen ze bijv. via dagritmekaarten.
Kinderen krijgen inzicht in het cyclische karakter van tijd (ochtend, middag, avond, dagen van de
week) en het lineaire karakter van tijd (bij elke verjaardag een jaar ouder). De ontwikkeling van
meettaal bij tijd krijgt vorm door activiteiten waarin kinderen gebeurtenissen aan momenten
koppelen: ‘na de kring gaan we buitenspelen’. Ze leren daarbij ook situaties te beschrijven (iets duurt
lang of kort) en te kwantificeren: nog drie nachtjes slapen.
Vergelijken
Bij vergelijken wordt nog geen getal toegekend aan de meting. Kinderen doen het inzicht op dat
verschillende voorwerpen samen een net zo groot oppervlakte hebben dan een afzonderlijk
voorwerp; transitiviteitseigenschap van oppervlakte.
Vergelijken met intermediair
In sommige situaties lukt het niet om voorwerpen rechtstreeks met elkaar te vergelijken. Bijv. in elk
lokaal staat een bloembak, welke is het hoogste? In zulke situaties worden kinderen uitgedaagd om
een intermediair te vinden waarmee de vergelijking toch kan worden gemaakt (bijv. de hoogte
afmeten op het eigen lijf en hiermee vergelijken). Vergelijken met een intermediair is een belangrijke
opstap richting het hanteren van meetinstrumenten.
Ook een balans waarmee het gewicht voorwerpen kan worden vergeleken is te zien als een
intermediair. Ze leren zo ook dat gewicht niet samen hoeft te hangen met aantal en omvang.
Inzicht in de meethandeling
Activiteiten in de onderbouw zijn gericht op het ontwikkelen van een goed begrip van
meethandeling. Centraal staat hierbij wat een geschikte meetstrategie is om de grootheid af te
passen. Het is belangrijk om met leerlingen stil te staan bij de betekenis en correcte formulering van
het meetresultaat.
Kiezen van een passende maat
Als onderdeel van de meetstrategie is de keuze voor een passende maat essentieel. Het is bijv. niet
praktisch om de lengte van de klas op te meten met kleine gummetjes. Kinderen ontwikkelen mede
vanuit dit soort voorbeelden inzicht in de orde van grootte van de te kiezen maat.
Afgesproken maten
Leerlingen zullen op een zeker moment ervaren dat zelfgekozen natuurlijke maten niet toereikend
zijn. Maten als ‘voetafdruk’ of ‘stap’ zijn variabel. Deze situaties stimuleren de behoefte aan het
gebruiken van een afgesproken maat. Bijv. even lange balpennen of een bordliniaal. Dis is de opstap
naar de introductie van standaardmaten.
3.3 Inzicht in meten en maten
Introductie van standaardmaten
In de loop van groep 3 kennen kinderen vaak al de standaardmaat meten, bijv. door wat ze weten
over de eigen lichaamslengte. Door veel zelf te meten met een liniaal, maatbeker en weegschaal
raken kinderen in de loop van groep 4 verder vertrouwd met de standaardmaten. Door dingen uit
hun eigen leefwereld te verbinden aan de standaardmaten, gaan deze maten voor kinderen als
referentie fungeren en ontwikkelen de kinderen een gevoel voor die maten. Referentiematen zijn
bijv. een pak suiker = 1 kilo, inhoud van een pak sap = 1 liter. Ook wordt er vanaf groep 4 aandacht
geschonken aan het ontwikkelen van meetreferenties.
Meetinstrumenten hanteren
Vanaf groep 4 vind een verkenning plaats van meetinstrumenten, zoals meetlint, rolmaat, liniaal.
Daarbij gaat het om het correct gebruik van zo’n instrument: waar begin je precies te meten met een
liniaal en waar lees je het meetresultaat af? Al metende zullen leerlingen ervaren dat meetfouten
ontstaan; herhaald meten en het gemiddelde nemen verkleind meetfouten.
Daarnaast leren kinderen meetinstrumenten vergelijken.
Maatverfijning
Vanaf ong. groep 4 leren kinderen de tientallige structuur van bijv. een liniaal, meetlint of maatbeker
te begrijpen. Leerlingen ervaren dat een meter kan worden verdeeld in tien decimeter enz. Die
verkenning biedt steun bij het inzicht krijgen op de tientallige verfijning van de standaardmaten.
Een netwerk van referentiematen en meetreferenties
Bij het verkennen van de maatverfijning leggen kinderen ook voor de maten die ze ‘nieuw’ leren
referentiematen vast. In groep 5 gaat steeds meer de aandacht uit naar de onderlinge samenhang
van maten. Ook allerlei meetreferenties worden gekoppeld. Op deze wijze raken kinderen verder
vertrouwd met elke maat en ontwikkelen ze gevoel voor de toepassing en grootte ervan. D
Meetnauwkeurigheid
Vanaf ong. groep 6 komt het interpreteren van het meetresultaat aan de orde. Leerlingen ervaren
dat er sprake kan zijn van verschillen in de precisie waarin wordt gemeten (maatnauwkeurigheid).
Opgaven hierover dragen bij aan het inzicht dat er bij meetgetallen sprake is van een meetinterval
waarbinnen het meetresultaat ligt. Ook werken leerlingen aan inzicht in en toepassen van de
afrondregels.
3.4 Formeel redeneren en rekenen met maten en grootheden
Inzicht in het metriek stelsel
Vanuit het netwerk van referentiematen is de volgende stap voor kinderen in de bovenbouw om de
systematische samenhang tussen de verschillende maten in het metriek stelsel te doorgronden. De
kinderen leren de betekenis van de voorvoegsels, milli, centi, deci enz. Kinderen leren ook een
passend meetgetal te kiezen in situaties waarin een bepaalde maat gegeven is.
Herleiden en omrekenen van maten
In groep 7 en 8 wordt veel aandacht hieraan geschonken. Leerlingen vinden dit vaak lastig. Sommige
kinderen onthouden alleen dat ze ‘keer tien’ of ‘gedeeld door tien’ moeten doen.
Grootheden
In de hoogste groepen verdiepen kinderen hun kennis van de verschillende grootheden. Ze doen het
inzicht op dat een vierkante meter niet vierkant hoeft te zijn. Dit zijn aanvankelijk veelvoorkomende
misconcepties. Ook komt de relatie tussen de grootheden inhoud en gewicht steeds verder aan bod.
Inhoud: litermaten en kubieke maten
1 liter is gelijk aan 1 kubieke decimeter. Dat bij de litermaten sprake is van een decimale relatie en bij
de kubieke maten van een kubische relatie, is voor veel kinderen een bron van onbegrip en fouten.
Een veel voorkomende misconceptie is dat 1 centiliter gelijk is aan 1 kubieke cm. Dit hangt samen
met het voorkomen van het voorvoegsel centi in beide maten.
Lengte, oppervlakte en inhoud
Als kinderen de formule te snel leren, zonder inzicht in wat de grootheid is, levert dit makkelijk
problemen op. Als kinderen bijv. bij oppervlakte uitsluitend denken aan lengte x breedte, lopen ze
vast bij het berekenen van de oppervlakte van niet-rechthoekige figuren.
Inhoud leren beredeneren door uit te gaan van het oppervlakte van het grondvlak en de hoogte.
Samengestelde grootheid
Snelheid
Activiteiten die met snelheid te maken hebben zijn vooral gericht op het rekenen met meetgetallen.
Kinderen verwerven enkele meetreferenties .
Dichtheid
In de hoogste groepen leren kinderen te rekenen en redeneren met dichtheid als ‘aantal per
oppervlakte’. Dichtheid zoals gewicht per inhoudsmaat kan worden verkend vanuit het gegeven dat 1
liter water 1 kilogram weeg.
Rekenen en redeneren met meetgetallen
In toepassingsopgaven in de hoogste groepen gaat het vaak om rekenen en redeneren met
meetgetallen, zoals bij het toepassen van formules en het inbrengen van eigen maatkennis. Ook
wordt het rekenen met tijdsduren verdiept.
Rekenen met geld
De didactische opbouw bij geld verloopt anders dan bij de andere grootheden. Kinderen leren op de
basisschool bedragen af te passen met biljetten en punten. Eind groep 8 beheersen de leerlingen:
gepast betalen, inwisselen, afronden en omrekenen valuta. Geld vervult een didactische rol: de
tientallige structuur van het getallensysteem komt via de opbouw van ons geldstelsel op concrete
wijze aan bod en de geldbedragen geven betekenis aan het werken met kommagetallen.
3.5 Samenhang met andere domeinen
Samenhang met getallen
In de realiteit zijn veel getallen meetgetallen. Dat geldt voor zowel hele getallen als kommagetallen
en breuken. De decimale structuur van ons getal systeem is dezelfde als die van het metriek stelsel.
Meetgetallen maken duidelijk waar getallen op de getallenlijn liggen. Veel meten draagt bij aan het
verwerven van inzicht in orde van grootte van getallen.
Hele getallen
Meten heeft een belangrijke samenhang met het domein hele getallen. Als leerlingen van groep 1 en
2 afpassend leren meten, valt dat bijv. samen met het leren resultatief tellen. Als leerlingen in groep
4 bijv. de getallenrij tot 100 verkennen, biedt de tientallige structuur van een bordliniaal van 100 cm
hen daarbij ondersteuning.
Breuken
In meetsituaties ontstaan breuken op natuurlijke wijze. Meetactiviteiten worden uitgevoerd t.b.v.
breukbegrip en de ontwikkeling van breukentaal. Bijv. bij het meten van de lengte van een tafel met
een breekstok, waarbij je uitkomt op een stok en nog een halve stok.
Kommagetallen
Kommagetallen zijn in de realiteit altijd meetgetallen, waaronder geldbedragen. Net als bij breuken
fungeren benoemde meetgetallen bij kommagetallen als denkmodel.
Samenhang met verhoudingen
In veel gevallen waarin met verhoudingen wordt gerekend, gaat het om meetgetallen. Bijv.
verhouding tussen prijs en gewicht, hoeveelheid/prijs, inhoud/prijs en gewicht/prijs. Ander verband
tussen meten en verhoudingen is de samengestelde grootheid als snelheid.
Hoofdstuk 4
Meten en verbanden
4.1 Verbanden zijn overal
Verbanden weergeven
Variabelen
Grafieken zijn een middel om relaties tussen variabelen te visualiseren. Een variabele is een te meten
kenmerk, bijv. lichaamslengte. Een kwantitatieve variabele heeft getallen als waarden. Een
kwalitatieve variabele heeft niet-getalsmatige waarden, zoals bijv. ‘maand van een jaar’, of een
meetkundige vorm.
Twee kwantitatieve variabelen zijn bijv. tijd en temperatuur. Tijd is een onafhankelijke variabele: de
waarden die de variabele doorloopt staan vast tijdens de meting. Temperatuur is de afhankelijke
variabele: daarvan worden de waarden gemeten, op de vaste waarden van de variabele tijd.
Er bestaan twee typen kwantitatieve variabelen: continue en discrete. Bij een continue variabele gaat
het om een situatie waarbij tussen twee meetwaarden alle tussenliggende waarden zijn doorlopen,
wordt ook wel een continue situatie genoemd (bijv. afname lichaamsgewicht, verloop koorts). Bij
continue variabele kun je conclusies trekken over tussenliggende waarden – intrapoleren genoemd –
of verderop liggende waarden – extrapoleren.
Bij een discontinue weergave is sprake van een ontbrekend stuk in de lijngrafiek. Dit wordt gebruik
als in een continue situatie meetwaarden ontbreken. Bij een discrete variabele is het aantal
meetwaarden beperkt, bijv. schoenmaat: het aantal mogelijke uitkomsten is beperkt. In een discrete
(meet)situatie staat elke meetwaarde op zichzelf en is niet afhankelijk van andere meetwaarden.
Bijv. het aantal uren zonneschijn per dag. Deze variabele is niet afhankelijk van andere gemeten
waarden.
Staafdiagram
Een staafdiagram of staafgrafiek is geschikt voor het weergeven van discrete variabelen. De waarden
van de onafhankelijke variabele op de horizontale as. De gemeten waarde staat doorgaans op de
verticale as.
Lijngrafiek
In een lijngrafiek of lijndiagram zijn meetresultaten door een lijn met elkaar verbonden. Dat betekent
dat tussenliggende waarden wel zijn doorlopen, ook al zijn ze niet daadwerkelijk gemeten.
Lijngrafieken worden gebruikt om veranderingen van een kwantitatieve variabele weer te geven,
zoals een toename of afname.
Histogram
Lijkt op een staafdiagram. Verschil is dat bij een histogram op de horizontale as een continue
variabele is weergegeven in (meet) intervallen.
Steelbladdiagram
Een steelbladdiagram of stengel- en bladdiagram is een combinatie van een tabel en een histogram.
Alle afzonderlijke meetwaarden zijn op compacte wijze in het diagram terug te vinden. In de steel
wordt het overeenkomstige gedeelte weergegeven. In de bladeren het resterende gedeelte van elk
meetresultaat. Op deze wijze blijven alle afzonderlijke meetresultaten zichtbaar.
Misleidende weergaven
Soms is er in staafdiagrammen sprake van misleidende weergave, bijv. door een korte tijdsweergave
te laten zien.
Centrummaten
Er zijn drie centrummaten om de verdeling van een reeks (meet)getallen in één getal te vatten. Een
veel gebruikte centrummaat is het gemiddelde, maar dit biedt niet altijd voldoende informatie. De
mediaan van een geordende reeks (meet)waarden is de middelste waarde van de reeks. Wanneer
het getal even is, dan is de mediaan het gemiddelde van de middelste twee getallen. De modus is de
waarde die het vaakst voorkomt in een reeks. Als meerdere warden even vaak voorkomen, is er geen
modus aan te wijzen.
Wiskundetaal bij verbanden
Horizontale as = x-as, verticale as = y-as. De verticale as kan beginnen met een hogere waarde dan 0,
in dat geval staat er een zigzaglijntje – scheurlijntje weergegeven. Belangrijk om aandacht te
besteden aan de juiste wiskunde taal. Bijv. de grafiek stijgt of daalt, er is een geleidelijke toename of
afname en constant.
4.2 Meten en verbanden op de basisschool
Binnen het domein verbanden leren kinderen betekenis verlenen aan verschillende voorstellingen
van gegevens, zoals tabellen en grafieken. Ze leren gegevens met elkaar in verband te brengen, te
ordenen en te categoriseren en leren grafieken te interpreteren en te tekenen.
Grafieken
Komen de gehele basisschoolperiode aan de orde. In groep 3-4 komen eenvoudige tabellen en
staafdiagrammen vooral aan de orde om aantallen bij te houden. Vanaf groep 5 ook regelmatig
lijngrafieken. Ze leren af te lezen welke variabelen op de assen staan, welke schaalverdeling is
gekozen en wat de waarden zijn die worden weergegeven. In hogere groepen leren kinderen dat op
de assen van grafieken verschillende variabelen kunnen worden weergegeven. Ze leren conclusies te
trekken over bijv. afname en toename en verschillende lijngrafieken met elkaar te vergelijken. Ze
leren verder wat het begrip ‘gemiddelde’ betekent.
Tabellen
Een voorbeeld van een tabel is de (afval)kalender en tijdtabellen. Kinderen leren zulke tabellen te
interpreteren.
Hoofdstuk 5
Meetkunde
5.1 Meetkunde is overal
Deelgebieden van meetkunde
De volgende deelgebieden kunnen worden onderscheiden:
 Bij oriëntatie in de ruimte gaat het om het kunnen bepalen van de eigen positie en die van
anderen, en van objecten in de ruimte; ook het innemen van standpunten en routes vallen
hieronder.
 Bij viseren en projecteren gaat het om welke objecten je kunt zien en welke niet; bijv. als een
deel van je gezichtsveld gevuld is door een voorwerp. Ook het om verschijnselen rond
projecties en schaduwen.
 Onder transformeren vallen zaken als symmetrie en het verschuiven, draaien, verkleinen en
vergroten van figuren.
 Bij construeren gaat het om twee- en driedimensionale constructies, al dan niet vanuit een
bouwtekening of werkbeschrijving.
 Bij visualiseren en representeren gaat het om weergaven van de werkelijkheid; bijv.
plattegronden, bouwplaten, schema’s van treinennet en uitslagen van ruimtelijke figuren.
Oriëntatie in de ruimte
Bij het oriënteren in de ruimte gaat het om lokaliseren, innemen van een standpunt en navigeren.
Lokaliseren
Gaat over plaatsbepaling: waar bevinden personen of objecten zich. Kaarten en plattegronden zijn
hulpmiddelen bij het lokaliseren.
Innemen van een standpunt
Het gaat om wat je wel en niet kunt zien vanaf een bepaalde plek. Hiervoor kunnen viseerlijnen of
kijklijnen worden gebruikt. Ook met aanzichten is te beschrijven wat vanaf welke plek te zien is, bijv.
het vooraanzicht, zijaanzicht, achteraanzicht of bovenaanzicht. Een bijzonder vorm van aanzichten is
het vogelvluchtperspectief; schuin van bovenaf.
Navigeren
Het gaat om het beschrijven van hoe personen of objecten zich verplaatsen in de ruimte. Er kunnen
allerlei oriëntatiebeschrijvingen aan bod komen; hoek, evenwijdig en richting.
Viseren en projecteren
Het gaat om lichtbundels en schaduwverschijnselen, maar ook om het beschrijven en verklaren van
de (on)zichtbaarheid van objecten vanuit bepaalde standpunten.
Viseren
Is op te vatten als het kijken langs viseer- of kijklijnen. M.b.v. deze lijnen is te verklaren wat je wel en
niet kunt zien vanuit een bepaalde positie. Door een paar stappen vooruit/achteruit te zetten wordt
je blikveld of gezichtsveld groter/kleiner. Bij een camera kan de kijkhoek worden vergroot.
Projecteren
Gaat over lichtbundels en schaduwverschijnselen. Schaduw ontstaat doordat lichtstralen die vanuit
een lichtbron worden geprojecteerd, worden tegengehouden door een voorwerp. Schaduwen die
evenwijdig aan elkaar lopen zijn parallelle projectie, zoals zonlicht. Lengte van schaduw heeft te
maken met de stand van de zon. Schaduwen van andere lichtbronnen dan de zon zijn over het
algemeen niet evenwijdig. Het gaat hier om centrale projectie of puntprojectie: de lichtstralen
worden vanuit één centraal punt geprojecteerd.
Transformeren
Bij het beschrijven van transformaties kunnen figuren worden weergegeven in een coördinaten- of
assenstelsel. De coördinaten van de hoekpunten van het figuur worden weergegeven door de
posities op de x-as en y-as.
Spiegelen
Bij spiegels worden lichtstralen op een exact voorspelbare manier gereflecteerd: de hoek van inval is
daarbij gelijk aan de hoek van terugkaatsing van de lichtstralen. Bij lijnspiegelen is de spiegel
vervangen door een spiegelas of spiegellijn.
Symmetrie
Een figuur in het platte vlak is lijn symmetrisch als de figuur bij spiegeling in een symmetrieas op
zichzelf word afgebeeld. Er is sprake van een draaisymmetrie wanneer een figuur een transformatie
ondergaat maar desondanks ongewijzigd blijft. Een figuur die draaisymmetrisch is over 180° heet
puntsymmetrisch.
Roteren
Een figuur kan ook om een ander punt dan het eigen middelpunt roteren(draaien): het centrum van
de rotatie. Daarbij wordt de hoek waarover geroteerd wordt in graden uitgedrukt; de richting is met
de wijzers van de klok mee of ertegenin.
Transleren
Transleren (verschuiven) houdt in dat een figuur in een bepaalde richting wordt verschoven. In een
coördinatiestelsel kan een translatie bijv. worden beschreven als ‘4 plaatsen naar rechts en 1
omhoog’.
Verkleinen en vergroten
Twee figuren heten gelijkvormig als het ene figuur een vergroting is van de andere. Daarbij kan de
ene figuur geroteerd of gespiegeld zijn t.o.v. de andere. Als de vergrotingsfactor gelijk is aan 1, heten
de figuren congruent. Ze passen dan precies op elkaar.
Omvormen (omstructureren)
Bij omvormen of omstructureren worden de losse elementen waaruit een figuur is opgebouwd
gecombineerd tot een nieuw figuur. Hierbij verandert het oppervlakte dus niet!
Construeren
Hierbij gaat het om ‘bouwen’ en ‘in elkaar zetten’; Zowel van ruimtelijke figuren als van objecten in
het platte vlak. Vrijwel elk materiaal is constructiemateriaal (lego, touw, bakstenen). Ook het in
gedachten in elkaar zetten valt onder construeren; het gaat dan om een vorm van ruimtelijke
redeneren; dit wordt veel gebruikt bij werktekeningen en bouwinstructies. Met een instructie kun je
vaak herleiden ‘hoe iets is opgebouwd’. Dat kan ook door een ruimtelijk voorwerp open te vouwen of
open te knippen, waardoor je een uitslag van het voorwerp krijgt. Een bouwplaat is vergelijkbaar met
zo’n uitslag. Andere beschrijvingen van objecten zijn bijv. aanzichten en plattegronden met
hoogtegetallen.
Visualiseren en representeren
Hierbij gaat het om weergaven van de werkelijkheid. Binnen dit deelgebied ligt het accent op de
weergave zelf, bijv. vanuit welk gezichtspunt of op welke schaal en met welke mate van detail een
object of situatie wordt weergegeven. In schematische weergave (zoals van een kaart) wordt de
werkelijke situatie verder losgelaten. Het gaat in zo’n weergave bijv. wel om de onderlinge ligging
van plaatsen, maar niet om hun exacte geografische ligging. De representatie hiervan wordt graaf
genoemd: een verzameling punten of knopen die verbonden zijn door lijnen.
Perspectief
Door in perspectief te tekenen wordt het mogelijk om diepte weer te geven in een afbeelding van de
werkelijkheid. Daarbij wordt uitgegaan van (denkbeeldige) verdwijnpunten die op de horizon liggen.
5.2 Meetkundige figuren
Punt, lijn en vlak
Een punt is een denkbeeldige plaatsaanduiding; heeft geen dimensie; als namen voor punten worden
hoofdletters gebruikt.
Een lijn bestaat uit een aaneenschakeling van punten: het is een eendimensionale figuur. Een lijn
heeft geen begin- en eindpunt; is dat wel het geval dan wordt gesproken over een lijnpunt.
Een vlak is een tweedimensionale figuur die tot in het oneindige loopt. Als een vlak een lijn bevat dan
bevat het vlak alle punten van die lijn.
Als twee lijnen evenwijdig of parallel lopen, betekent dit dat ze geen gemeenschappelijke punt
hebben; ze liggen wel in hetzelfde vlak. De volgende notatie geldt: l // m betekent dat lijn l
evenwijdig is met lijn m.
Ook snijdende lijnen liggen in hetzelfde vlak: snijdende lijnen hebben één punt gemeenschappelijk,
het snijpunt. Als de lijnen elkaar snijden onder een hoek van 90° staan ze loodrecht of haaks op
elkaar, notatie l Ʇ m.
Twee lijnen die niet in hetzelfde vlak liggen, kruisen elkaar: ze hebben geen punten
gemeenschappelijk.
Vlakke figuren
Driehoeken
Een driehoek ontstaat door 3 punten die niet alle drie op een rechte lijn liggen met elkaar te
verbinden. De verbindende lijnstukken heten de zijden van de driehoek. Een driehoek met
hoekpunten A, B en C wordt genoteerd als
ABC.
Er zijn verschillende soorten driehoeken: bij een gelijkbenige driehoek zijn 2 zijden even lang. Bij een
gelijkzijdige driehoek zijn alle drie de zijden even lang. De hoek bij hoekpunt A wordt gevormd door
de benen AB en AC. De som van de hoeken van een driehoek is 180°. Bij een gelijkzijdige driehoek is
daarom elk van de hoeken 60°. Op basis van de hoeken kunnen driehoeken als volgt worden
ingedeeld:
 Bij een scherphoekige driehoek zijn alle hoeken kleiner dan 90°
 Bij een rechthoekige driehoek is één van de hoeken gelijk aan 90°
 Bij een stomphoekige driehoek is een van de hoek en groter dan 90°
Oppervlakte van een driehoek is ½ x basis x hoogte.
Vierhoeken
Een vierhoek ontstaat door vier punten, waarvan er geen drie op een rechte lijn liggen, met elkaar te
verbinden. De verbindende lijnstukken heten de zijden van de vierhoek. Tegenover elkaar liggende
hoekpunten worden verbonden via diagonalen.
Naam
Vierkant
Eigenschappen
 Heeft 4 gelijke zijden en 4 rechte hoeken
 De diagonalen van een vierkant zijn even lang en snijden elkaar loodrecht
Rechthoek
 Heeft 4 rechte hoeken
 De diagonalen zijn even lang en delen elkaar door het midden
Ruit
 Heeft 4 gelijke zijden
 Twee diagonalen van een ruit snijden elkaar loodrecht in het midden
Vlieger
 Heeft 2 paar gelijke aanliggende zijden
 De 2 diagonalen snijden elkaar loodrecht
Parallellogram
 Heeft 2 paar evenwijdige zijden van gelijke lengte
 De diagonalen delen elkaar doormidden
 Tegenoverliggende hoeken zijn even groot
Trapezium
 Heeft minstens 1 paar evenwijdige zijden.
Overige veelhoeken
Er bestaan ook vijfhoeken, zeshoeken, enz. In zijn algemeenheid wordt gesproken van veelhoek of nhoek, waarbij n ≥ 3.
Cirkel
Een cirkel wordt gevormd door alle punten die dezelfde afstanden hebben tot een vast punt, het
middelpunt M. De constante afstand heet straal, R. De diameter D (middenlijn) is de grootste afstand
tussen twee punten van een cirkel. Omtrek = 2 x π x r. Oppervlakte = π x r2.
Lengte van de rechthoek = halve omtrek van cirkel = π x r.
Breedte van rechthoek = straal van cirkel = r.
1
Wanneer de oppervlakte van een cirkel 1 m2 is; Straal = √π = 0,564 = 56,4 cm.
Ruimtelijke figuren
Van veelvlakken zijn alle zijkanten een plat vlak. Waar zijkanten aan elkaar vastzitten, bevinden zich
de ribben van het veelvlak; waar de ribben elkaar tegenkomen, zitten de hoekpunten.
Kubus
Is een regelmatige zesvlak, waarvan alle zijkanten vierkant zijn. Alle ribben zijn gelijk; hoeken tussen
zijvlakken zijn gelijk.
Balk
Een zesvlak waarbij alle zijvlakken rechthoeken zijn. Inhoud = lengte x breedte x hoogte.
Parallellepipedum (blok)
Een zesvlak waarvan alle vlakken parallellogrammen zijn.
Prisma
Kubus, balk en blok zijn alle drie voorbeelden van een prisma. Prima’s zijn ruimtelijke figuren met
twee identieke veelhoeken als tegenover elkaar liggen zijvlakken, verbonden door evenwijdige lijnen.
De verbindende zijvlakken zijn dus parallellogrammen.
Inhoud prisma = oppervlakte grondvlak x hoogte.
Piramide
Heeft als grondvlak een veelhoek en heeft driehoekige zijvlakken waarvan de punten samenkomen in
de top. Inhoud kan als volgt worden beredeneert: met 3 identieke vierzijdige piramides kun je een
1
kubus bouwen; Inhoud 4-zijdige piramide = 3 x G (grondvlak) x hoogte.
Bol
Een bol is een figuur waarvan alle punten die het oppervlak vormen, zich op dezelfde afstand van het
middelpunt bevinden.
3
Inhoud = x π x r3
4
Cilinder
Een cilinder is een figuur waarvan alle punten zich op dezelfde afstand van de lijn bevinden. Deze lijn
heet de as van de cilinder. Met de formule G x h kan inhoud van de cilinder worden bepaald.
Inhoud = G x h = π x r2 x h.
Kegel
Ook een kegel heeft als grondvlak een cirkel, maar de doorsneden die evenwijdig aan het grondvlak
lopen, worden steeds kleiner en komen uit in de punt van de kegel.
1
Inhoud = x π x r2 x h
3
5.3 Wiskundetaal bij meetkunde
Meetkundige handelingen zijn bijv. lokaliseren, viseren, projecteren en construeren. Meetkundige
figuren zijn bijv. een punt en lijn. Tweedimensionale figuren zijn bijv. cirkels, driehoeken.
Driedimensionale figuren zijn bijv. kubus, balk, prisma. Meetkundige begrippen worden gebruikt om
objecten of situaties te beschrijven, bijv. voor, achter, naast, omhoog, omlaag.
Hoofdstuk 6
Meetkunde op de basisschool
Meetkunde is erop gericht leerlingen op een andere manier te leren kijken naar de omgeving. Bij
meetkunde onderzoeken leerlingen verschijnselen als bijv. schaduw en de ruimte om hen heen. Ze
leren te mathematiseren; te beschrijven met wiskundige begrippen en redeneringen.
6.1 Meetkunde als leerstof
Meetkundige activiteiten zijn verdeeld in 5 deelgebieden: Oriëntatie in de ruimte, viseren en
projecteren, transformeren, construeren en visualiseren en representeren (zie H. 5).
Schets van de leerlijn meetkunde
Domein meetkunde kent geen strikte leerlijn in het basisonderwijs; wel is er een didactische opbouw
in activiteiten. Het gaat daarbij om drie typen (denk)activiteiten van toenemende complexiteit:
ervaren, verklaren en verbinden. Deze drie denkactiviteiten zijn niet strikt gebonden aan bepaalde
groepen.
Ervaren
Eerst staat ervaren centraal; kinderen verkennen hun eigen leefwereld. Het gaat hierbij vooral om
waarnemen en concreet handelen. In onderbouw bijv. een kleuter die onderzoekt hoe hij zijn eigen
schaduw groter en kleiner kan maken. In hogere groepen bijv. het onderzoeken van de werking van
de zonnewijzer.
Verklaren
Hierbij gaat het om interpreteren, beschrijven en beredeneren. Het kan hier ook gaan om mentaal
handelen  wanneer leerlingen niet over concreet materiaal beschikken, maar in gedachten een
handeling uitvoeren; bijv. een bouwplaat tot doosje vouwen.
Verbinden
Hierbij worden meetkundige ervaringen en verklaringen nader doordacht en in verband gebracht
met andere begrippen en verschijnselen. Door de combinatie van verschillende inzichten is
verbinden cognitief complexer dan ervaren en verklaring  daarom meestal pas in hogere groepen.
Verbinden is bijv. aan de orde bij landkaarten, schaal en afstand.
Wiskundetaal bij metingen
Meetkundetaal in de onderbouw
Kinderen leren ruimtelijke begrippen en meetkundetaal die nodig zijn om eenvoudige beschrijvingen
te kunnen geven en met andere over hun waarnemingen kunnen communiceren. Kleuters leren o.a.
ruimtelijke begrippen van plaatsaanduiding zoals in, voor, achter, ver, naast, onder, links, enz. en
begrippen die een richting inhouden, zoals omhoog, omlaag, eromheen, voorlangs, enz. Ook werken
ze aan het kennen van de namen van vormen en figuren.
Meetkundetaal in de bovenbouw
In de bovenbouw wordt begrippen verkent en geleerd zoals: draai, hele draai, hoek, afstand, schaal
en richting. Maar ook roteren, coördinaten, lijnsymmetrie, parallel, diagonaal enz.
6.2 Oriëntatie in de ruimte
In dit deelgebied leren kinderen aan te geven waar iet of iemand zich bevindt (lokaliseren, wat er
vanaf een bepaalde plaats wel of niet te zien is (standpunten en aanzichten) en hoe personen en
objecten zich kunnen verplaatsen in de ruimte (navigeren).
Lokaliseren
In groep 1-2 leren kinderen bijv. beschrijven waar een ‘schat’ in de klas ligt; door gebruik te maken
van ruimtelijke begrippen. Ook leren ze om op eenvoudige plattegronden van het lokaal aan te geven
waar bijv. de deur is en waar de ramen.
Vanaf groep 3 komt het beschrijven van situaties en bouwsels met ruimtelijke begrippen aan bod.
Daarnaast ook lokaliseeractiviteiten buiten school; door het maken van eenvoudige maquettes van
de eigen leefomgeving. Hierdoor leren ze om een representatie van de werkelijkheid te maken.
In hogere groepen komen verschillende soorten plattengronden en kaarten aan bod. Hierbij leren ze
om m.b.v. coördinaten de positie van plaatsen en personen aan te geven.
In de hoogste groepen wordt dit verbreed naar situaties buiten de eigen leefomgeving; bijv.
landkaarten die variëren in schaal, schaalgetrouwheid en gedetailleerdheid.
Innemen van een standpunt
In groep 1-2 leren kinderen een standpunt in te nemen en te beschrijven of een voorwerp of persoon
vanaf een bepaald standpunt te zien is. Bijv. een leerling achter de kast; overige kinderen kunnen
beschrijven vanaf welke punten in de klas je de leerling nog wel en wanneer niet meer kan zien
(raakvlak met viseren).
Vanaf groep 3 situaties waarin verschillende standpunten met elkaar worden vergeleken. Hierbij
hoort het bedenken hoe verschillende aanzichten eruit zien (voor-, boven- en zijaanzichten).
In de bovenbouw gaat het vooral om het kunnen maken van zo’n mentale voorstelling van een
situatie; minder concrete situaties worden onderzocht; bijv. de windrichtingen. In dit deelgebied
leren kinderen ook de verschillende soorten aanzichten te combineren.
Term perspectief wordt soms gebruikt als synoniem voor een bepaald standpunt dat wordt
ingenomen; andere betekenis is in de zin van lijnperspectief om perspectieftekeningen te maken.
Navigeren
In groep 1-2 leren kinderen eenvoudige routes te beschrijven. Hierbij leren ze de begrippen van
richting hanteren en gebruik maken van herkenningspunten uit de omgeving.
Vanaf groep 3 routebeschrijvingen zoals bijv. van huis naar school. Ze leren hierbij
richtingsaanduidingen te hanteren.
In hogere groepen leren kinderen koers en richtingsveranderingen te beschrijven; bijv. a.d.h.v.
windrichtingen.
6.3 Viseren en projecteren
Het gaat om het verklaren van meetkundige verschijnselen door het trekken van (denkbeeldige)
rechte lijnen.
Viseren
In groep 1-2 leren kinderen dat een deel van het gezichtsveld gevuld kan zijn door een voorwerp; ‘ik
kan jou achter mijn duim verstoppen’. Leerlingen kunnen ervaringen opdoen met het vergroten en
verkleinen van de kijkhoek; door bijv. achtereenvolgens te kijken door een luciferdoosje en wcrolletje en ze te laten beschrijven wat ze wel en niet zien.
In hogere groepen maken ze gebruik van kijklijnen of viseerlijnen. Activiteiten rondom viseren
hebben ook te maken met het innemen van een standpunt; bij viseren ligt het accent op het kijken
zelf en het beschrijven van hoe het komt dat je iets (niet) kunt zien.
Projecteren
Hierbij gaat het om het onderzoeken van projecties en de schaduwen die daardoor worden
veroorzaakt. In de onderbouw verkennen leerlingen schaduw bijv. via schaduwspelletjes; hoe kun je
je schaduw zo groot en zo klein mogelijk maken? Bij ander soort activiteiten houden kinderen
voorwerpen in de lichtbundel van een lichtbron.
Andere activiteiten gaan over het voorspellen en verklaren van het (verloop) van schaduwen. Bijv. in
de bovenbouw; leerlingen die onderzoeken hoe richting, lengte en vorm van schaduwen
samenhangen met de stand van de zon. In de bovenbouw kan het verschil tussen schaduwbeeld van
de zon (parallelle projectie) en van andere lichtbronnen (centrale projectie of puntprojectie), verder
worden onderzocht.
6.4 Transformeren
Hierbij leren kinderen te handelen met meetkundige vormen en figuren. Ook gaat het om het
onderzoeken van symmetrie van voorwerpen.
Spiegelen en symmetrie
In groep 1-2 zijn activiteiten gericht op het onderzoeken van eigenschappen van verschillende
spiegels, zoals holle en bolle spiegels. Lijnsymmetrie wordt aanvankelijk vooral spelenderwijs
onderzocht; bijv. symmetrieën op het eigen lijf ontdekken.
Vanaf groep 3 wordt symmetrie systematischer onderzocht en wordt meer nadruk gelegd op het
verklaren. Bijv. beredeneren wat het spiegelen van eenvoudige vormen en figuren zal opleveren.
In hogere groepen onderzoeken leerlingen symmetrie van abstracte vormen. Activiteiten zijn meer
gericht op het ontdekken van eigenschappen van zo’n vorm. Ze leren ook draai- en puntsymmetrie
in vormen te ontdekken.
Aan het einde van de basisschool maken leerlingen ook kennis met activiteiten rondom
symmetrieassen binnen een coördinaten- of assenstelsel.
Overige transformaties
Roteren
Dat sommige figuren na een rotatie of draaiing hetzelfde blijven, kunnen kinderen ervaren met
allerlei materiaal. In eerste instantie door daadwerkelijk te draaien; na verloop van tijd worden ze
uitgedaagd de draaiing in gedachten uit te voeren. Door leerlingen te laten beschrijven leren ze
begrippen als: linksom, rechtsom, hele draai en halve draai te hanteren.
Verkleinen en vergroten
Kinderen maken al in de onderbouw kennis met verkleinen en vergroten van figuren, bijv. verkennen
van reuzen en kabouters. Hierna verkennen leerlingen eigenschappen van een figuur. In hogere
groepen kunnen leerlingen bij uiteenlopende afmetingen berekenen welke vergrotingsfactor is
gehanteerd; begrip schaal. Vanuit het werken met roosters kunnen ook representaties worden
onderzocht waarvan niet alle gedeelte op dezelfde mate vergroot zijn.
Als kinderen onderzoeken hoe figuren door een vergroting veranderen, gaat het bijv. om
gelijkvormigheid en congruentie van figuren.
Transleren
In opgaven waarbij leerlingen transleren (verschuiven) is meestal een roosterpatroon aanwezig.
Leerlingen ervaren door dergelijke activiteiten o.a. hoe figuren zijn opgebouwd.
Omvormen
Via werken met mozaïek maken jonge kinderen kennis met allerlei figuren en kunnen ze worden
uitgedaagd om symmetrie, patronen en regelmaat in figuren te herkennen of vorm te geven. Ze leren
bijv. om samenstellingen van figuren te herkennen. Dit legt een basis voor de begripsontwikkeling
van het omvormen (omstructureren) van figuren. Omvormen is ook aan de orde bij het werken met
tangram.
6.5 Construeren
Hierbij staat bouwen en in elkaar zetten centraal. In groep 1-2 gaat het voornamelijk om het vrij
experimenteren en handelend bezig zijn; met bijv. blokken, dozen, papier.
Vanaf groep 3 verschuiving van concreet naar mentaal handelen. Bij bijv. blokkenbouwsels gaat het
niet meer om zelf bouwen, maar om het analyseren van verschillende aanzichten en onderzoeken
van plattegronden met hoogtegetallen.
In bovenbouw meer complexere bouwwerken, waarin bijv. het aantal benodigde blokken voor een
bouwsel moet worden bepaald.
Bij construeren hoort ook het interpreteren van bouwtekeningen. Het onderzoeken van patronen is
een ander type activiteiten binnen dit deelgebied; bijv. het beschrijven van regelmaat in een
kralenketting.
Ook leren kinderen uitslagen maken van ruimtelijke figuren, zoals doosjes en kokers. Andersom
beredeneren kinderen van welke bouwplaten een voorwerp kan worden gemaakt en welke
plakrandjes daarbij van belang zijn.
Construeren houdt ook in dat leerlingen onderzoeken hoe meetkundige vormen en figuren zijn
opgebouwd. Er komt bijv. in hogere groepen aan de orde hoeveel zijvlakken, hoeken en ribbe
bepaalde meetkundige figuren hebben. Andere activiteiten in de hoogste groepen zijn gericht op de
relaties tussen vlakke en ruimtelijke figuren via het maken van een doorsnede.
6.6 Visualiseren en representeren
Hierbij gaat het om activiteiten rondom (schematische) weergaven van de werkelijkheid. Activiteiten
binnen dit deelgebied zijn gericht op het verkennen, interpreteren en onderzoeken van dergelijke
opgaven.
In de onderbouw verkennen kinderen eenvoudige kaarten, plattegronden en routebeschrijvingen
(samenhang met oriëntatie in de ruimte). In hogere groepen onderzoeken kinderen verschillende
weergaven van de werkelijkheid. Ze ervaren dan o.a. dat de mate van gedetailleerdheid kan variëren.
Ze leren om na te gaan of een representatie een schaalgetrouwe afbeelding is van de werkelijkheid.
Door ook zelf eenvoudige tekeningen op schaal te maken, leren kinderen verklaren hoe
verhoudingsgewijs afbeelden van de werkelijkheid plaatsvinden.
Ook het tekenen van perspectief valt binnen dit deelgebied. Leerlingen leren voorwerpen die dichtbij
zijn, groter af te beelden.
Net als bij het deelgebied construeren komen leerlingen in het kader van visualiseren en
representeren in aanraking met bouwplaten en uitslagen van ruimtelijke figuren. Binnen dit
deelgebied ligt het accent vooral op de weergave van een situatie en het analyseren daarvan.
Andere representaties zijn aanzichten en plattegronden met hoogtegetallen (relatie met construeren
en oriëntatie in de ruimte). Bij visualiseren en representeren gaat het om activiteiten waarin
leerlingen bijv. de verschillende manieren vergelijken waarmee een blokkenbouwsel kan worden
weergegeven.
6.7 Samenhang met andere domeinen
Het domein meetkunde heeft behalve met het domein meten, een duidelijke samenhang met het
domein verhoudingen. Denk maar aan het gebruik van schaal bij plattegronden, afbeeldingen in
prentenboeken en schaduwen.
Meetkunde en verhoudingen komen daarnaast samen bij het vergroten en verkleinen.
Hoofdstuk 7
Leren, onderwijzen en differentiatie van meten en meetkunde
7.1.2 Doelen
Kerndoelen en referentiekader
Nederland kent twee wettelijke documenten
waarin de doelen voor het basisonderwijs zijn
vastgelegd. De kerndoelen geven een globale
omschrijving van de aan het einde van de
basisschool te behalen doelen voor alle vakken; dit
is heel globaal. Kerndoel 33 is het enige kerndoel
voor meten en voor meetkunde is ook maar één
kerndoel (32). Scholen zijn verplicht de inhouden
van de kerndoelen aan te bieden 
aanbodverplichting.
Het referentiekader voor taal en rekenen geeft een
meer gedetailleerde beschrijving van de
leerinhoud. Hierbij haat het om een
opbrengstverplichting. Scholen moeten laten zien
dat ze dele doelen behalen met hun leerlingen. Het
referentiekader geeft aan wat kinderen moeten
weten, kunnen en begrijpen op verschillende
momenten in hun schoolloopbaan (12, 16 en
18jarige leeftijd).
Doelen zijn op twee niveaus geformuleerd:
fundamentele doelen (F) en streefdoelen(S). Voor
het einde van de basisschool gaat het om niveau 1F
en 1S. Streefdoelen bereiden voor op meer
abstracte wiskunde  voor vmbo-TL, havo en vwo.
Fundamentele doelen richten zich op basale kennis
en inzichten en zijn meer toepassingsgericht (vmbo-BB/KB). Niveau 1S omvat het 1F niveau.
Tussendoelen en leerlijnen
Er bestaan verschillende methodeonafhankelijke tussendoelen: TAL (Tussendoelen Annex Leerlijnen)
en TULE (Tussendoelen en Leerlijnen). Deze twee leerlijnoverzichten geven beide een uitgebreid
overzicht van de leerinhouden van de verschillende groepen op de basisschool; zowel inhoudelijk als
didactisch.
Schooldoelen
Een lesdoel voor rekenen-wiskunde omvat  leerinhoud, leerlinggedrag en de beheersing.
Bij de leerinhoud gaat het om zaken als het (sub)domein, de bewerkingen en de getallen waarmee
wordt gerekend.
Het leerlinggedrag beschrijft wat de leerling doet met de leerinhoud. Dit omvat bijv. het
handelingsniveau en andere omstandigheden of voorwaarden, zoals gebruik van kladpapier.
De beheersing omschrijft aan welke norm moet worden voldaan. Dit kan zowel kwantitatief als
kwalitatief worden weergegeven.
Download
Random flashcards
Rekenen

3 Cards Patricia van Oirschot

Create flashcards