SAMENVATTING Verhoudingen, Meten, Meetkunde en Verbanden Hoofdstuk 6 Leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde 6.1 Domeinen en doelen Rekenen-wiskunde kent op de basisschool 5 domeinen: Getallen (Hele getallen, breuken, kommagetallen) Verhoudingen (procenten en breuken) Meten Meetkunde Verbanden (grafieken e.d.) Het begrip gecijferdheid kan worden opgedeeld in functionele gecijferdheid en professionele gecijferdheid. Functionele gecijferdheid dat je adequaat kan handelen en redeneren in alledaagse situaties waarin getallen en getalsmatige, meetkundige en wiskundige aspecten een rol spelen. In dagelijks leven schatten, hoofdrekenen en cijferen. Weet wiskundetaal correct en adequaat te gebruiken Kan betekenis geven aan getallen, bewerkingen, maten en het metriek stelsel Kan redeneren en rekenen met kansen, grote en kleine getallen. Beschikt over referentiematen en -getallen voor het doen van schattingen Om leerlingen op de basisschool op een goede manier rekenen-wiskunde te leren is het noodzakelijk om professioneel gecijferd te zijn. Een professioneel gecijferde leerkracht: beschikt zelf over voldoende rekenvaardigheid en gecijferdheid; kan rekenen-wiskunde betekenis geven voor kinderen; weet oplossingsprocessen en niveauverhoging bij kinderen te realiseren; kan het wiskundig denken van kinderen bevorderen. Wat kinderen moeten leren op het gebied van rekenen-wiskunde is vastgelegd in wetten. De kerndoelen geven globaal wat er in het onderwijsprogramma van de basisschool moet worden aangeboden. In de referentieniveaus is vastgelegd wat leerlingen aan het eind van groep 8 moeten beheersen, dit is beschreven op twee niveaus (1F en 1S). De streefdoelen bereiden mede voor op meer abstracte wiskunde en gelden voor alle kinderen die doorstromen naar vmbo-TL/mavo, havo en vwo. Fundamentele doelen richten zich op basale kennis en inzichten en zijn meer toepassingsgericht. Streefdoelen zijn de norm, fundamentele doelen voor kinderen voor wie de streefdoelen te hoog gegrepen zijn. De kerndoelen en referentieniveaus worden door uitgeverijen en methode makers verder verdeeld over jaargroepen, blokken en lessen. Lesdoel omvat: de leerinhoud, het leerlingengedrag en de beheersing. Bij het leerinhoud gaat het om zaken als het(sub)domein, de bewerkingen en de getallen waarmee wordt gerekend. Het leerlingengedrag omschrijft wat de leerling doet met de leerinhoud. Bijv. het handelingsniveau en andere omstandigheden of voorwaarden. De beheersing beschrijft aan welke norm moet worden voldaan (kwalitatief als kwantitatief). 6.2 Leerprocessen bij rekenen-wiskunde 3 typen kennis: Declaratieve kennis Parate kennis, feiten en weetjes. Bijv. weten dat 12 bestaat uit 8 en 4. Procedurele kennis Weten hoe je een opgave moet aanpakken. Kan overgaan in declaratieve kennis. Bijv. weten dat je 3/8 kan bepalen door eerst het 1/8 deel te bepalen en dat dan 3 maal te doen. Metacognitieve kennis Weten wanneer je welke aanpak gebruikt en hoe je je antwoord kunt controleren. Bijv.: Bij een breukopgave deelantwoorden opschrijven, omdat je je anders snel vergist. Mathematiseren betekent verwiskundigen. Horizontaal mathematiseren is de vertaling van een concrete situatie naar een rekenopgave. Hierbij kan een tussenstap worden gemaakt door de situatie te modelleren of te schematiseren, met bijv. een verhoudingstabel. Verticaal mathematiseren is het oplossen van een opgave op een steeds hoger wiskundig niveau, oftewel steeds abstracter. Daarbij gaat het bijv. om verkorten: het steeds korter en efficiënter uitvoeren van procedures. Maar ook compliceren: het leren beheersen van steeds complexere zaken. Via model ondersteund naar formeel. Oefenen is belangrijk voor alle drie de typen kennis. Bij het leren van rekenen-wiskunde zorgt oefenen voor het automatiseren, memoriseren en consolideren van kennis Automatiseren Routinematig uitvoeren van rekenhandelingen, de procedure is geautomatiseerd. (7x8 = 5x8 + 2x8 = 56) Memoriseren Het uit het hoofd kennen van rekenfeiten. (7x8=56). Moet onderhouden worden! Consolideren Het onderhouden van dat wat geautomatiseerd en gememoriseerd is. Kennis beschikbaar houden. Door parate kennis te verbinden met nieuwe kennis. Leertheorieën Cognitieve ontwikkelingspsychologie Stelt dat naarmate kinderen ouder worden, hun potentieel om te leren zich ontwikkelt. Concreet-operationele fase kinderen in bassischoolleeftijd, ontvankelijk voor het leren ordenen, tellen en rekenen. Vanaf 12 jaar formeel-operationele fase wat inhoudt dat ze steeds meer in staat zijn om logisch en abstracter te denken. Invloed op reken-wiskundeonderwijs herkennen in het concreet-handelend bezig zijn (bijv. bij breuken in het vouwen van stroken) Handelingsleerpsyschologie Vat leren rekenen op als een leerproces in het uitvoeren van handelingen. Handelingen worden eerst uitgevoerd met materiaal materiële handelingen. Daarna verwoorden van handelingen gematerialiseerde handelingen. Als laatst denkhandelingen volledig uitvoeren van alle stappen in het hoofd. Invloed op reken-wiskunde onderwijs Gebruik van materialen waar je in eerste instantie echt mee kunt handelen en waar je in een later stadium aan terug kunt denken (breekstokken). Cognitieve psychologie Richt zich op mentale leerprocessen, zoals het ontwikkelen van inzicht. Rekenen wordt gezien als proces van probleem oplossen en als proces van informatie verwerken. Invloed op reken-wiskundeonderwijs Zichtbaar in leerinhouden en typen opgaven waarbij het nadrukkelijk gaat om het bevorderen van het denken van de leerlingen (bijv. driehoek opgave). Invloed ook terug te zien bij model-leren. Sociaal constructivisme Vat leren rekenen op als een leerproces waarin je in overleg en samenspraak met anderen zelf kennis opbouwt (construeert). Invloed Doordat contexten in de vorm van voor kinderen betekenisvolle situaties niet alleen worden gebruikt om geleerde rekenvaardigheid toe te passen, maar ook als bron voor de ontdekking van reken-wiskunde kennis (pizza’s/pannenkoeken en breuken, conflictopgaven) 6.3 Vakdidactiek rekenen-wiskunde De vijf pijlers waarop het reken-wiskunde onderwijs rust zijn: Mathematiseren vanuit een betekenisvolle realiteit Om ervoor te zorgen dat kinderen zich kunnen realiseren wat getallen en bewerkingen betekenen wordt gebruikgemaakt van contexten (=voor kinderen een betekenisvolle situatie/probleem) Modelleren en formaliseren Hulpmiddelen zoals modellen, schema’s en structuurmaterialen (bijv. strook bij procenten, positieschema bij kommagetallen, breekstokken bij breuken). Ruimte voor eigen inbreng van leerlingen Wiskundig denken moet bij leerling zelf liggen door: - Productief oefenen: Oefenen op een open, niet voor gestructureerde manier. - Eigen producties: Door bijv. zelf moeilijke en makkelijke opgaven te verzinnen. - Eigen oplossingswijze: Door veel open vragen te stellen. Interactie en reflectie Verstrengeling van leerlijnen Didactische modellen Het ijsbergmodel Laat zien dat een veelheid aan informele en semi formele kennis en inzichten ten grondslag ligt aan formele reken-wiskundige kennis en vaardigheden. Model kan fungeren als hulpmiddel om te bedenken, aan welke onderliggende kennis en inzichten kan worden gewerkt, om het drijfvermogen voor het formele rekenen te versterken. Handelingsmodel Schematische weergave van de reken-wiskundige ontwikkeling van kinderen. Geeft van beneden naar boven opeenvolgende handelingsniveaus van kinderen weer: - 1e - Laagste niveau: leren kinderen op informeel niveau door iets na te spelen of te beleven. - 2e niveau: leren n.a.v. concrete situaties. Met gebruik van foto’s/reële situaties. - 3e niveau: Aangeleerd door te redeneren m.b.v. modellen en schematische voorstellingen. - 4e niveau: Redeneren o.b.v. tekst en/of getallen. Kan worden gebruikt om vast te stellen op welk handelingsniveau kinderen redeneren en rekenen. Verschil met ijsbergmodel = dat ijsbergmodel gaat over hetgeen dat wordt geleerd, terwijl handelingsmodel over het leerproces gaat. Drieslagmodel Biedt een analysekader voor probleemoplossend handelen van de leerling en biedt aanknopingspunten voor het didactisch handelen van de leerkracht. Is afgeleid van rekenen in dagelijkse situaties. Bijv. oplossingsproces bij contextopgaven: - Eerste wordt bepaald wat er moet worden berekend en wat de juiste aanpak daarvoor is (plannen9 - Vervolgens wordt de gekozen aanpak uitgevoerd (uitvoeren) - Ten slotte wordt de verkregen oplossing teruggekoppeld naar de oorspronkelijke situatie (reflecteren). Geschiedenis en ontwikkeling van reken-wiskundedidactiek Tot in de jaren ’71 Voornamelijk mechanisme. Met name aandacht voor inslijpen van rekenregels en procedures. Uitgangspunt was dat procedurele kennis vooral verworven zou kunnen worden door veelvuldig te oefenen met opgaven op formeel niveau. Contexten speelden een ondergeschikte rol en werden voornamelijk gebruikt als toepassing. Andere didactische stromingen waren het structuralisme, waarbinnen het accent lag op het benutten van wiskundige structuren, en het empirisme, waarbij veel aandacht was voor de manieren waarop wiskunde in de realiteit (de empirie) voorkomt. Hoofdstuk 1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen 1.1 Verhoudingen zijn de basis Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel. En percentage geeft de verhouding aan tussen en een geheel dat op honderd is gesteld. Kommagetallen en procenten hebben 100 als basis. Dit hoeft bij breuken en verhoudingen niet het geval te zijn. Absoluut en relatief Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen. Bijv.: Er zitten 536 studenten op de pabo. Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke getal of aantal kunt aflezen. Bijv.: 1 op de 4 pabostudenten is man. Het is nodig om absolute en relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden én met elkaar in verband te brengen. Bijv. met een strookmodel. Hierin staan zowel absolute gegevens (aantallen) als de relatieve gegevens (bijv. percentages). 1.2 Onderlinge relaties De rationale getallen maken deel uit van de reële getallen en omvatten de gehele getallen . Elk geheel getal is dus ook een rationaal getal en elk rationaal getal is ook een reëel getal. Niet elk rationaal getal is echter te schrijven als decimaal getal met eindig veel decimalen. Breuken en kommagetallen Overeenkomsten dat je zowel breuken als kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. Zijn beide gebroken getallen. Verschil: Breuken komen vaker voor als deel van een geheel en deel van een hoeveelheid. Alle breuken kunnen ook worden genoteerd als kommagetallen. Van breuk naar kommagetal Van kommagetal naar breuk Bij niet repeterende breuk: 0,012 = 1/100 + 2/1000 = 12/1000 = 6/500 = 3/250 Bij repeterende breuk: Vermenigvuldig het gezochte getal net zo vaak met 10 als het repetendum lang is. Repetendum = 6 cijfers, dan vermenigvuldigen met 1000000. Trek van deze uitkomst de gezochte breuk af. Wat overblijft is 999999 4 0,4444… = 9 Breuken en procenten Een breuk kan zowel een absoluut getal zijn als een operator. Een breuk als een absoluut getal kun je weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een heel getal. Een operator doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs. Hoofdstuk 2 Verhoudingen 2.1 Verhoudingen zijn overal Evenredige verbanden Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige beschrijvingen. Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot (of klein) wordt, het andere getal (of de andere getallen) ook zoveel keer zo groot (of klein) wordt. Verschijningsvormen van verhoudingen zijn bijv.: Recepten, snelheid, bevolkingsdichtheid, sterkte van koffie, schaal. Verschijningsvormen als snelheid en dichtheid zijn samengestelde grootheden (km/uur = grootheid tijd, met de maat uur). Percentage = gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op 100 gesteld. Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om aandacht te trekken (reclame, politiek en kunst). Kwantitatieve verhoudingen de verhouding wordt uitgedrukt in één of meer getallen. Bijv.: 1 op de 3 kleuters, Schaal is 1:800000. Kwalitatieve verhoudingen wanneer er geen getal aan te pas komt; worden uitgedrukt in woorden. Bijv. het kind is lang voor zijn leeftijd. Is vaak een meetkundig verband. Interne verhouding Als een verhouding één grootheid of eenheid betreft. Bijv.: 1 op de 4 pabostudenten. Hier gaat het om de ‘eenheid’ pabostudent. Externe verhouding Heeft twee verschillende grootheden. Bijv.: afgelegde afstand in een bepaalde tijd en prijs per gewicht. Bij delen kan onderscheid gemaakt worden tussen een verhoudingsdeling en een verdelingsdeling. Verhoudingsdeling Het gaat om de (interne) verhouding van het deel ten opzichte van het geheel (= groepjes maken). Bijv.: Er zijn 12 snoepjes. Hoeveel groepjes van 4 snoepjes kan ik maken? Bij de verhoudingsdeling representeren deeltal en deler hetzelfde: 12 (snoepjes) : 4 (snoepjes) = 3 groepjes (van elke 4 snoepjes). Is een interne verhouding. Verdelingsdeling Hierbij representeren deeltal en deler elk iets anders, bijv.: 3 kinderen verdelen 12 snoepjes, hoeveel snoepjes krijgt elk kind? 12 (snoepjes) : 3 (kinderen) = .. Het gaat vaak om het verdelen of uitdelen. Is een externe verhouding. Lineair verband Is een verband tussen 2 grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft. Gaat die grafiek door de oorsprong (snijpunt van de verticale en horizontale as), dan is het verband een evenredig verband ofwel een verhouding. Niet-evenredige verbanden Sommige verbanden zijn niet evenredig en dus ook geen verhouding. Bijvoorbeeld verbanden tussen lengte, oppervlakte en inhoud. Alle grafieken die geen rechte lijn zijn een niet-evenredig verband. Bijzondere verhoudingen Pi π De omtrek en de diameter van cirkels hebben een vaste verhouding. Als de omtrekt van een cirkel deelt door de diameter, komt er altijd hetzelfde getal uit, ong: 3,1415926 = Pi. Dit is een irrationeel getal en worden daarom niet als kommagetal gezien. Wiskundetaal bij verhoudingen Verschillende zegswijzen met verhoudingen, bijv.: iet is in ‘verhouding’ of ‘naar verhouding’ duur. Formele verhoudingstaal is bijv.: 1 op de 4 en 1 staat tot 4. Daarnaast kunnen breuken een verhouding aangeven. Met procenten kan een verhouding bijv. onder woorden worden gebracht als: ’60 procent van de mensen was tegen het voorstel’. Formele notatievorm: 1:4 bij schaal. 2.2 Verhoudingen op de basisschool Bij meten en meetkunde gaat het vaak om verhoudingen. Dit komt in alle groepen aan de orde. In groep 1 t/m 4 informeel en vanaf groep 5 steeds nadrukkelijker en formeler. Ontwikkeling van het begrip verhoudingen start bij kleuters: vergelijken en ordenen van dingen op grootte. Het gaat om kwalitatieve verhoudingen: zichtbare verschillen in grootte, afstand; zonder getal. Vanaf ong. groep 3 begint kwantificeren: er wordt een getal toegekend. Model ondersteunend redeneren en rekenen in contextsituaties Vanaf groep 4 komen verhoudingen aan bod bij allerlei eerlijke verdeelsituaties die kunnen worden opgelost door te vermenigvuldigen; aanvankelijk alleen vermenigvuldigen overeenkomend met het leren van de tafels. Verhoudingen worden alleen aangeboden in een betekenisvol perspectief toepassingssituaties met verhoudingen die in het echte leven voorkomen als context gebruiken. Modelondersteunend en formeel redeneren en rekenen T/m groep 8 vooral toepassingssituaties. Dat wil niet zeggen dat er sprake is van contextgebonden handelen. Het verhoudingsgewijs redeneren en rekenen kan wel formeel van aard zijn bij gebruik van verhoudingstabel. In de loop van basisschool complexere contexten; zoals werken met schaal. Naast verhoudingstabel worden dan ook de modellen dubbele getallenlijn, strook (procenten) en schaallijn gebruikt. Formeel verhoudingsgewijs rekenen wordt ook toegepast bij rekenen m.b.v. analogieën. Modellen bij verhoudingen Dubbele getallenlijn De dubbele getallenlijn wordt gebruikt om getallen op te ordenen en positioneren; het verband tussen twee zaken wordt zichtbaar gemaakt; Bijv. tussen grootheden tijd en afstand. De dubbele getallenlijn is een denkmodel: het ondersteunt het denken doordat het zichtbaar is welke bewerking moet worden uitgevoerd. Op de dubbele getallenlijn is de verhouding tussen twee grootheden zichtbaar, waardoor te zien is dat wat bij de ene grootheid gebeurt, ook bij de andere gebeurt. Dit kun je dus gebruiken om greep te krijgen op het evenredige karakter van verhoudingen. Dit is een groot verschil met de verhoudingstabel! Verhoudingstabel De verhoudingstabel is abstracter van aard dan de dubbele getallenlijn, doordat de onderlinge afstand tussen de getallenparen niet meer wordt gerepresenteerd door een afstand op een stuk getallenlijn. In een verhoudingstabel kunnen alle basisberekeningen worden gebruikt. In eerste instantie gaat het vooral om vermenigvuldigen en optellen, maar dat wordt al snel uitgebreid met aftrekken en delen. Dit gaat volgens het principe van evenredigheid: wat bij de ene grootheid gebeurt, gebeurt ook bij de andere grootheid. Als het onderwijsleerproces zorgvuldig wordt opgebouwd – niet te snel en steeds gerelateerd aan de betekenis van de getallen – gaat de verhoudingstabel fungeren als denkmodel. Kruiselings vermenigvuldigen Kruiselings vermenigvuldigen betekent dat bij gelijkwaardige breuken de teller van de ene breuk vermenigvuldigd met de noemer van de andere breuk gelijk is aan de noemer van de ene breuk vermenigvuldigd met de teller van de andere. Bij een verhoudingstabel kan je kruiselings vermenigvuldigen goed toepassen. Schaal en schaallijnen Schaalbegrip is het inzicht dat afbeeldingen van objecten op schaal, in een vaste verhouding tot de werkelijke grootte staan. Opgaven met schaal komen al voor vanaf groep 4 (schaallijnen). In groep 6/7 wordt het begrip schaal geformaliseerd dat wil zeggen dat de leerlingen de formele notatie krijgen aangeleerd; 1:200. Een cruciale stap is het vergelijken met kaarten met verschillende schalen. Hoe kleiner de schaal (of hoe groter het schaalgebied), des te meer een afbeelding is verkleind. Redeneren en rekenen met verhoudingen Omdat verhoudingen altijd ergens over gaan, worden ze t/m groep 8 vooral in toepassingssituaties aangeboden. Allerlei reële situaties komen in contextopgaven voor. Toch wil dit niet zeggen dat er alleen sprake is van contextgebonden handelen; het verhoudingsgewijs redeneren en rekenen kan wel degelijk formeel van aard zijn. Allerlei verschijningsvormen van verhoudingen worden benut als toepassingssituatie: Snelheid (afstand/tijd), Mengsels (ranja/water), dichtheid, benzineverbruik. Samenhang met andere domeinen Verbanden Verhoudingen zijn recht evenredige verbanden. In een grafiek een rechte lijn die door de oorsprong gaat. Zulke grafieken komen in basisschoolmethodes al aan bod. Ook komen verhoudingen voor als resultante van onderzoeksgegevens. Vaak als percentage, maar ook in verhoudingentaal. Meten en meetkunde Verhoudingen gaan vaak over grootheden afstand en tijd en samengestelde grootheden als snelheid en prijs. Hierbij komen allerlei maten kijken, zoals kilometer, uur, km/u, m/s en euro. Soms moeten maten worden herleid en omgerekend. Hiervoor is een goede beheersing van en inzicht in het metriek stelsel nodig. Er is ook inzicht nodig in bepaalde niet-evenredige verbanden. Als een schaalgetal verdubbelt, verviervoudigt de afgebeelde oppervlakte. Hoofdstuk 3 Procenten 3.1 Procenten kom je veel tegen Verschijningsvormen in de realiteit 100% is het geheel of totaal waar je van uitgaat. Je kunt namelijk ook een winstverhoging hebben van meer dan 100%. Verschijningsvormen: Een percentage kan een deel van het geheel betreffen; sokken bestaan uit 20%viscose en 80% katoen. Met percentages kunnen ook verdelingen worden aangegeven; zoals bij verkiezingsuitslagen. Het kan ook om een deel van een hoeveelheid gaan; 40% van de gezinnen heeft een huisdier. Veelvoorkomend zijn situaties waarin het gaat om een toename, bijv.: prijsstijging of -afname. Percentages mogen alleen bij elkaar worden opgeteld als het percentages zijn van hetzelfde geheel en als de percentages elkaar uitsluiten. Een gestandaardiseerde verhouding Percentages zijn verhoudingsgetallen. Gewone getallen laten een absoluut gegeven zien: het daadwerkelijke getal of aantal. Een percentage is een relatief gegeven: het geeft aan om hoeveel het in verhouding tot het totaal gaat. Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het geeft aan hoe iets zich verhoudt tot de 100. Wiskundetaal bij procenten In nieuwsmedia wordt soms procent met procentpunt verward. Bij een daling van de rente van 4% naar 2% wordt dan bijv. geschreven dat de rente met 2% is gedaald. Dit moet echter 2 procentpunt zijn. De daling uitgedrukt in procenten is in dit geval 50%! De formele rekentaal op de basisschool wordt bij procenten uitgebreid met het procentteken en met begrippen als procent, percentage, rente en korting. De letterlijke betekenis van procent is per honderd. Promille betekent per duizend. Inflatie = het geld wordt minder waard, waardoor de prijzen stijgen. 3.2 Procenten op de basisschool Procenten komen we op de basisschool alleen in de bovenbouw (groep 7/8) tegen. Aan het einde van de basisschool moeten kinderen inzicht hebben in de begrippen procent en percentage. Daarnaast moeten kinderen voldoende vaardig zijn in het maken van berekeningen met procenten in veelvoorkomende situaties. Tot slot moeten kinderen aan het eind van de basisschool oplossingen van procentberekeningen kunnen interpreteren in de context waarin ze voorkomen. Introductie van procenten Er zijn 2 manieren waarop procenten kunnen worden geïntroduceerd: Vanuit verschijningsvormen van procenten in de realiteit; En vanuit situaties waarin procenten worden benut als alternatief voor werken met breuken, wanneer dit laatste problemen oplevert. Verschijningsvormen in de realiteit Bij de introductie in groep 7 wordt hiervan gebruikgemaakt. Zodoende wordt de informele voorkennis geactiveerd. Door voorbeelden van verschijningsvormen te bespreken, wordt de aandacht van de kinderen direct gericht op de betekenis van procenten. In samenhang met de betekenissen van procenten is het belangrijk om direct vanaf de introductie het relatieve aspect van procenten te benadrukken. Procenten als alternatief voor breuken Een andere manier om procenten te introduceren, is als alternatief voor het werken met breuken wanneer dit problemen oplevert. Dit is het geval als het vergelijken van aantallen of hoeveelheden d.m.v. breuken niet zo makkelijk gaat. Modellen bij procenten Bij procenten worden vooral de strook en de verhoudingstabel gebruikt. De strook kan het leerproces ondersteunen vanaf de eerste begripsvorming tot het rekenen en redeneren met procenten. Daarnaast kom je het cirkelmodel tegen, vooral om de verdeling van percentages binnen een geheel van 100% te visualiseren. De strook Is niet nieuw voor kinderen; is in groep 6 bij de breuken al geïntroduceerd. Met de strook zijn alle belangrijke aspecten van procenten te visualiseren: het relatieve aspect, wat het geheel is, wat het percentage is, het deel en de onderlinge samenhang tussen het deel en het geheel. Het snappen van het relatieve aspect van procenten kan worden ondersteund met de strook. Bijv. door stroken te vergelijken die voor een verschillend deel zijn ingevuld. Het werken met stroken helpt kinderen om (getal)relaties met breuken te zien. Ook toename en afname kunnen worden gevisualiseerd met de strook. De verhoudingstabel Wordt bij percentages gebruikt als denkmodel en als notatieschema. Het karakter van de verhoudingstabel hangt vooral af van de wijze waarop de leerling er gebruik van maakt. Cirkelmodel en sectordiagram Het cirkelmodel wordt voor procenten gebruik voor de visualisering van (getal)relaties en bij de verschijningsvorm ‘deel van totaal’. Hierbij speelt het idee van de ‘hele’ mee. Rekenen en redeneren met procenten Er zijn twee hoofdtypen vraagstukken met procenten: Opgaven over het deel van een totaal en opgaven over toename of afname. Deel-totaalvraagstukken Bij deze vraagstukken handelt het om een deel t.o.v. een totaal. Bij deel-totaalvraagstukken kan worden gevraagd om bij een gegeven percentage het deel uit te rekenen, om bij een gegeven deel het percentage te berekenen, of om het totaal te bepalen. Het gaat hierin om het inzicht in de onderliggende samenhang tussen totaal, percentage en deel. Toename- en afnamevraagstukken Bij dit type vraagstukken gaat het om het geheel plus of min een deel. Het gaat om zaken als vermeerdering en vermindering, groei, prijsverhoging en – verlaging, korting, btw, inflatie en rente. Anders dan bij deel-totaalvraagstukken kunnen de percentages wel boven de 100% uitkomen. Dit soort opgaven is moeilijker dan de deel-totaalvraagstukken. Een speciaal geval van een toe- of afname is de steilheid van een helling. Ook deze wordt uitgedrukt in procenten: het hellingspercentage. Bij een helling van 10% betekent het dat je na 100 meter horizontaal te hebben afgelegd, je 10 meter in hoogte bent gestegen. Hoofdrekenen mét papier Voor het rekenen met procenten is het nodig dat kinderen voldoende kunnen (hoofd)rekenen en veel getalrelaties met breuken paraat hebben. Nulregel verwijst naar het feit dat er een 0 achter het getal komt als je het met 10 vermenigvuldigt. Hoofdrekenen met het hoofd rekenwerk uit het hoofd, maar tussenstappen op een kladje. Hoofdrekenen uit het hoofd Complete oplossingsproces in het hoofd. De standaardprocedure rekenen via 1% Een standaardprocedure is een oplossingswijze volgens een vast stappenplan. Procentenasymmetrie Dit houdt in dat als ergens een bepaald percentage bij komt, er een ander percentage vanaf moet om weer op de uitgangspositie te komen. Samenhang met andere domeinen Verbanden Diagram of grafiek hierbij worden – naast absolute getallen – vaak relatieve gegevens in de vorm van procenten verstrekt. Sectordiagram Dit is een grafiek in de vorm van een cirkel, waarin een verdeling van 100% wordt gevisualiseerd; net als bij het cirkelmodel. Het gaat hier dan ook om de verschijningsvorm deel van het totaal. Staafdiagram Hierbij gaat het om verhoudingsgewijs redeneren en aflezen en vergelijken van informatie. Hoofdstuk 4 Breuken 4.1 Getal en verhouding Breuken kunnen zowel een getal als een verhouding aangeven. Verschijningsvormen Een deel van een geheel bijv. 1 8 deel van een taart. 3 bijv. 4 Deel van een hoeveelheid van het stadion met 12000 plaatsen is gevuld. Bij beide verschijningsvormen geeft een breuk een verdeling aan. Het verschil met de verschijningsvorm deel van een hoeveelheid is dat er bij de verschijningsvorm verhouding geen sprake is van een specifieke, bepaalde hoeveelheid (zoals bij deel van een hoeveelheid), maar dat de verhouding kan worden toegepast op verschillende hoeveelheden Meetgetal anderhalve meter, een half uur. 2 3 Rekengetal waarmee formeel wordt gerekend 4 + . De breuk als rekengetal kan 3 4 worden opgevat als punt op de getallenlijn. Rationaal getal Breuken zijn rationele getallen Een rationeel getal is een quotiënt van twee hele getallen (waarvan de tweede niet 0 is). De natuurlijke getallen, oftewel de (positieve) hele getallen, zijn dus ook rationele getallen: de noemer is dan 1. 2 Een quotiënt is de uitkomst van een deling: het quotiënt van 2 en 3 is 3. Gelijkwaardigheid en gelijknamigheid 3 5 Sommige breuken, zoals 6 en 10, hebben een verschillende schrijfwijze maar duiden één en 1 hetzelfde getal aan, namelijk 2. We spreken dan van equivalente of gelijkwaardige breuken. Breuken vereenvoudigen kan door de teller en de noemer te delen door hetzelfde getal. Door teller en noemer te delen door de grootste gemene deler (GGD) krijg je in één stap een breuk die niet verder te vereenvoudigen is. Gelijknamige breuken hebben dezelfde noemer. Ongelijknamige breuken kunnen altijd gelijkmatig worden gemaakt. Met behulp van het kleinste gemene veelvoud (KGV) kunnen breuken gelijknamig worden gemaakt met en zo klein mogelijke noemer. KGV van 18, 24 evt. zie filmpje DLO Eerst ontbind je de getallen in priemgetallen. 18 = 2 x 3 x 3 24 = 2 x 2 x 2 x 3 Zet een kader om de getallen die gelijk zijn 18 = 2 x 3 x 3 24 = 2 x 2 x 2 x 3 Maak een keer som van het ene getal keer de factoren die NIET in het kader staan. 18 x 4 = 72 24 x 3 = 72 Als je het goed hebt gedaan komt er twee keer hetzelfde getal uit! KGV (18, 27) is 72 Wiskundetaal bij breuken De formele rekentaal omvat de termen: ‘teller’, ‘noemer’, ‘breukstreep’, ‘gelijkwaardig’, ‘gelijknamig’ en ‘vereenvoudigen’. Elk heel getal groter dan 0 kan een noemer zijn. Verschillende breuktypen kennen verschillende benamingen: 2 3 Echte breuken breuken kleiner dan 1, zoals 3 𝑜𝑓 7 1 1 55 Stambreuken echte breuken met als teller 1, bijv. : 4 𝑜𝑓 Gemengde getallen breuken groter dan 1, zoals 1 2 Onechte breuken niet-vereenvoudigde gemende getallen, bijv. 6 Samengestelde breuk Een breuk waarvan teller en de noemer zelf ook een breuk zijn. 1 19 4.2 Breuken op de basisschool De leerlijn breuken begint op de basisschool in groep 1/2, bij de kleuters. Vaak wordt gezegd en gedacht dat het een typisch onderwerp voor de bovenbouw is. De vergissing die daarin gemaakt wordt is dat breuken op formeel niveau inderdaad in de bovenbouw wordt aangeboden (vanaf groep 6) op informeel niveau komen breuken dus al voor vanaf de onderbouw. In de onderbouw gaat het dan om informele ervaringen met breukentaal zoals de helft, half uur en verschijningsvormen van breuken in halve liters etc. Introductie van breuken In deze eerste fase van de leerlijn breuken is het belangrijk om genoeg aandacht te besteden aan de begripsvorming, wat is een breuk nu eigenlijk. Het werken met materiaal en eerlijk delen zijn belangrijke stappen in dit proces. Vanaf groep 6 wordt over het algemeen begonnen met aanleren van de formele breuknotatie. Vanuit contexten wordt de breuknotatie geïntroduceerd, meestal als eerste vanuit de deel van een geheel relatie. Een belangrijk onderdeel van de begripsvorming is het positioneren, vergelijken en ordenen van breuken op de getallenlijn. Veel leerlingen vinden het verwarrend dat 1/3 kleiner is dan 1/2. Drie is toch meer dan twee? Dit nieuwe concept past niet bij de reeds aanwezige kennis, ze zullen hun bestaande kennis dus moeten aanpassen op de nieuwe kennis. Nadat duidelijk is wat een breuk is leren de leerlingen de basisbewerkingen uitvoeren met breuken, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Eerst vanuit contexten, betekenisvolle situaties, met modelondersteuning en vervolgens steeds abstracter en complexer. Net als met verhoudingen en procenten zal niet elke leerling eind groep 8 in staat zijn om alle basisbewerkingen met breuken op een formeelniveau uit te voeren. Modellen bij breuken Modellen ondersteunen het denken en vormen een brug tussen concreet voorstelbare breuksituaties en het formele redeneren met breuken. Cirkelmodel Maakt goed zichtbaar dat een breuk een deel van een geheel kan zijn. Vanuit het vergelijken van delen kunnen gelijkwaardige breuken worden bepaald; gebruik bij eerlijk verdeel situaties. Rechthoekmodel of plakmodel Representeert zowel de verschijningsvorm deel van een geheel als deel van een hoeveelheid. Voor kinderen is het makkelijker om een plak te tekenen i.p.v. een cirkel. Meer mogelijkheden voor eigen oplossingswijzen. Opgaven met een plak bereiden voor op optellen en aftrekken met breuken. De stukjes of blokjes hebben daarbij een rol als zogenoemde bemiddelende grootheid. Het aantal van de bemiddelende grootheid, in dit geval het aantal stukjes, levert de noemer van de gelijknamige breuken op. Strook of stok Wordt ook gebruikt om een deel van het geheel te visualiseren. Ook kan de strook worden ingezet om te meten. Kan ook ingezet worden om een deel van een hoeveelheid te bepalen. Met breekstokken kunnen gelijkwaardige breuken worden bepaald. Getallenlijn en verhoudingstabel Wordt gebruikt om breuken op te positioneren. Voor het correct positioneren moeten kinderen leren om teller en noemer in samenhang te zien. De (dubbele) getallenlijn wordt ook gebruikt bij het bepalen en oefenen van gelijkwaardige breuken en relaties met kommagetallen. Een verschil tussen de dubbele getallenlijn en de strook is dat de strook vooral wordt gebruikt als geheel (dus bij breuken kleiner dan 1), terwijl de dubbele getallenlijn in elke getallengebied kan worden toegepast. Verhoudingstabel wordt gebruikt voor het vereenvoudigen van breuken en het bepalen van gelijkwaardige breuken. Benoemde breuken achter de breuk wordt een woord of afkorting aangegeven waar de breuk deel van is: liter, stok, pizza enz. Hierdoor wordt het denken ondersteund en het rekenen vergemakkelijkt. Rekenen en redeneren met breuken Onder breukbegrip vallen verschillende aspecten van het rekenen en redeneren met breuken: Verschillende betekenissen van breuken kunnen onderscheiden, bijv. breuken als het resultaat van eerlijk delen, maar ook alle andere verschijningsvormen. Het relatieve karakter van breuken begrijpen: breuken verwijzen vaan naar een deel van iets. Inzicht hebben in de relaties tussen breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten, 1 2 en op getalsniveau allerlei getal relaties kunnen beredeneren, bijv. tussen 2 𝑒𝑛 4 en tussen 1 2 en 0.5, 50% en 4:8. Inzicht hebben in gelijkwaardigheid en gelijknamigheid. Breuken kunnen vergelijken en (globaal) kunnen plaatsen op een getallenlijn. Gelijkwaardigheid Het gaat bij inzicht in gelijkwaardigheid zowel om het inzicht dat een breuk op verschillende manieren kan worden genoteerd, als om het inzicht dat het bij delingen met dezelfde uitkomst om dezelfde verhouding gaat. Het kunnen bepalen van gelijkwaardige breuken is voorwaardelijk voor het kunnen vereenvoudigen van breuken en gaat vooraf aan het leren gelijknamig maken van breuken. Hiervoor is ook een goede beheersing van de tafels nodig. Voor het bepalen van gelijkwaardigheid wordt naast het eerlijk delen ook gebruikgemaakt van andere verschijningsvormen. Op concreet niveau zijn breuken even lang of even zwaar, even veel. Op model ondersteunend niveau kunnen gelijkwaardige breuken worden afgelezen van stroken. Het beredeneren van gelijkwaardigheid kan eerst model ondersteunend en later op formeel niveau plaatsvinden. Optellen en aftrekken Een essentieel verschil in moeilijkheid bij het optellen en aftrekken van breuken is, of het gaat om 1 gelijknamige of ongelijknamige breuken. Begonnen wordt met eenvoudige opgaven als 2 aanvullen 1 tot 1. En een breuk bij een heel getal optellen (3 + = .. ). Daarna komt het optellen en aftrekken van 4 gelijknamige breuken aan de orde. Daarbij treden op formeel niveau al de eerste moeilijkheden op: tellers worden wél opgeteld en noemers niet. Om ongelijknamige breuken te kunnen optellen of aftrekken, is het nodig om breuken gelijknamig te maken. Gelijknamig maken kan door: Bemiddelende grootheid Stukjes van een reep chocolade kunnen fungeren als bemiddelende grootheid bi het samenvoegen van breuken of bij het bepalen van het verschil daartussen. Formele en meer regelgeleide methode vermenigvuldigen van de noemers met elkaar, om te bepalen wat een mogelijke gemeenschappelijke noemer. Gebruik maken van het KGV Vermenigvuldigen en delen Anders dan bij optellen en aftrekken met breuken, komen bij vermenigvuldigen en delen met breuken de betekenissen van de basisbewerkingen niet helemaal overeen met de betekenissen 1 1 1 1 1 ervan bij hele getallen. De volgorde maakt uit: een heel getal keer een breuk: 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3. Dus vanuit de al bekende betekenis van vermenigvuldigen: herhaald optellen. Bij delen kun je 3 opdelen of inpassen onderscheiden: hoe vaak gaat het ene in het ander: 6 : 4. Dit is herhaald aftrekken. Verdelen, bijv. hoeveel krijgt ieder, kan worden gebruikt bij het delen van breuken door 4 een heel getal: 5 : 4. In formele termen: de betekenissen van de bewerkingen blijven hetzelfde als bij hele getallen als de 1 1 breuk het vermenigvuldigtal is (4 x 3; herhaald aftrekken). Als de breuk de vermenigvuldiger is (4 x 4), heeft de bewerking een voor kinderen nieuwe betekenis (een deel nemen van. Als de breuk een 4 deeltal is (5 : 4), kan de bewerking evenals hele getallen worden opgevat als verdelen, maar niet als opdelen. In de didactiek goed rekening houden met het gegeven dat een vermenigvuldiging met een echte breuk (=kleiner dan 1) uitpakt als een deling. En omgekeerd, dat delen door een echte breuk een 1 groter getal oplevert, oftewel uitpakt als vermenigvuldigen. Bijv: 4 x is hetzelfde als 4 : 3. En de 1 5 3 deling 2 : is hetzelfde als 2 x 5. Model ondersteunend en formeel vermenigvuldigen Naast de getallenlijn kunnen ook andere modellen worden gebruikt voor vermenigvuldigen en delen met breuken. Bijv. een maatbeker, die je kunt zien als verticale strook. Cirkelmodel kan worden gebruikt om aan te geven wat een breuk keer een breuk betekent. Ook een rechthoekmodel / plakmodel wordt vaak gebruikt als model ondersteuning. Model ondersteunen en formeel delen Het eerste type opgave is een geheel getal delen door een breuk. Hierbij hoort de context opdelen of 1 1 uitschenken van iets, bijv. bij 3 : 4 ; hoeveel glazen van 4 liter schenk je uit een fles sap van 3 liter? Delen wordt dus in eerste instantie opgevat als inpassen of opdelen. Het omgekeerde, een echte breuk of gemengd getal delen door een geheel getal, kan op allerlei 1 modelmatige manier worden ondersteund. Bijv. 2 : 3; visualiseren door een A4-tje in tweeën te vouwen (dan zie je de helft) en dat weer in drieën te vouwen. 3 Op meer formeel niveau is inzicht in gelijkwaardigheid onmisbaar. Bijv. 4 : 2. Eerst moet een gelijkwaardige breuk worden gezocht die gemakkelijk kan worden gedeeld door 2. Samenhang met andere domeinen Basisbewerkingen Voor het bepalen van gelijknamige en gelijkwaardige breuken moet het vermenigvuldigen en delen goed worden beheerst. Een breuk is een getal, maar kan ook worden gezien als een bewerking. De 1 breuk 5 is de uitkomst van de opgave 1:5. Een breuk is dus een getal en bewerking ineen. Betekenis van breukstreep en het deelteken zijn hetzelfde. Meten Een van de verschijningsvormen van breuken is de breuk als meetgetal. Vanuit het meten van objecten met stroken kunnen namelijk ook breuken ontstaan, net zoals bij eerlijk verdelen. Hoofdstuk 5 Kommagetallen 5.1 Kommagetallen in de realiteit Een formele benaming van kommagetallen is ‘decimale breuken’. Dit is naar analogie van decimale getallen. De verschijningsvormen van kommagetallen in de realiteit zijn minder divers dan die van breuken: kommagetallen kom je voornamelijk tegen als meetgetallen en in het onderwijs als rekengetal. Meetgetallen Veel meetgetallen zijn kommagetallen. Of een meetgetal een kommagetal is, hangt af van de gehanteerde maat en de precisie. Algemeen gezegd: een meetgetal is een kommagetal als de precisie van de meting nauwkeuriger is dan de maat waarin het meetresultaat wordt uitgedrukt. Eén van de meest in het oog springende verschijningsvormen van een kommagetal is die van geld. De munteenheid is de maat. Als een geldbedrag niet in hele euro’s wordt aangegeven maar met de centen erbij, is de nauwkeurigheid waarmee het bedrag wordt aangegeven (centen) preciezer dan de maat (euro). Decimale breuken Breuken en kommagetallen verschillen op een paar essentiële punten van elkaar. De schrijfwijze van kommagetallen is positioneel en decimaal, net als bij hele getallen. Dit betekent dat elk cijfer in een getal een positiewaarde heeft die correspondeert met een macht van tien. Kommagetallen zijn gestandaardiseerde breuken: het zijn tiende, honderden enz. Dit betekent dat je een kommagetal eenvoudig kunt positioneren op de getallenlijn. Door de decimale structuur van kommagetallen is verfijning eenvoudig: tussen twee honderdsten liggen duizendsten enz. De notatie van kommagetalen heeft, anders dan breuken, een continu karakter je kunt elk kommagetal steeds preciezer benaderen door eenvoudig decimalen toe te voegen. Kommagetallen zijn, net als hele getallen en breuken, rationale getallen. Maar ook irrationale getallen, zoals pi, kunnen decimaal, dus met komma worden geschreven. Repeterende breuk 1 kommagetal, geeft een oneindige rij decimalen: 0,3333… Zo’n breuk heet een 3 repeterende breuk, omdat de reeks decimalen steeds herhaald worden. Het repeterende deel heet het repetendum van de breuk; in dit voorbeeld 3, omdat alleen het cijfer 3 wordt 1 herhaald. Ander voorbeeld: 7 = 0.142857142857…, repetendum is 6 cijfers. Tussen kommagetallen als meetgetallen en kommagetallen als rationale getallen bestaat een belangrijk verschil. Als rationaal getal geldt: 0,7 = 0,70, maar als meetgetal geldt dat niet zonder meer. De meetgetallen 0,7 en 0,70 hebben een verschillende nauwkeurigheid. Meetinterval afstand tussen twee getallen waarbinnen het meetresultaat ligt. Wiskundetaal bij kommagetallen Bij kommagetallen markeert de komma de scheiding tussen eenheden en tienden. Links van de komma: teintallen, honderdtallen enz. Rechts van komma: tienden, honderdsten enz. Cijfers of getallen? Uitspraak van kommagetallen Kinderen moeten eerst de positiewaarden beheersen en de benaming van de positiewaarden niet meer door elkaar halen, voor ze de uitspraak kunnen beheersen. 5.2 Kommagetallen op de basisschool Eerst gaat het om betekenis geven aan kommagetallen. Een tweede stap is het ordenen van kommagetallen op grootte en het positioneren van kommagetallen op de getallenlijn. Ten slotte komt het opereren met kommagetallen aan de orde: de basisbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Introductie van kommagetallen Bij introductie van kommagetallen in groep 6 ligt het startpunt bij allerlei meetcontexten. Er wordt uitgebreid stilgestaan bij de betekenis van kommagetallen. Informele voorkennis speelt een belangrijke rol in de begripsvorming bij kommagetallen. Snel na de introductie van kommagetallen wordt expliciet aandacht besteed aan de positiewaarde van cijfers achter de komma. Eerst als meetcontext: bijv. 2.435 meter = 2 m, 2 dm, 3 cm, 5 mm. Later wordt dit formeel ingevoerd 4 heeft dan een positiewaarde van 4/10. Modellen en schema’s bij kommagetallen Benoemde meetgetallen en geld Net als breuken worden kommagetallen vaak benoemd genoteerd. Bij kommagetallen gaat het dan om meetgetallen en geld. Tot aan het formele rekenen met kommagetallen blijft het mogelijk om terug te grijpen op betekenissen van de gebruikte getallen om zo het denken en het rekenen te ondersteunen. In die zin fungeren benoemde meetgetallen als denkmodel. Een punt van aandacht hierbij is het mogelijk opvatten van cijfers achter de komma als hele getallen. Geld als denkmodel heeft de beperking dat het maar gaat tot op de cent, dus maar tot honderdsten. Geld is daardoor niet geschikt om model te staan voor de voor kommagetallen kenmerkende decimale verfijning, die immers onbeperkt kan doorgaan. De getallenlijn De getallenlijn wordt ook hier eerst gebruikt om kommagetallen op te ordenen en (eerst globaal) te positioneren. Bij kommagetallen gebeurt dat vanuit benoemde meetgetallen. Binnen de context lengtemeting kunnen bepaalde kernvragen worden gesteld die leerlingen aan het denken zetten over iets dat essentieel is in de begripsvorming: wat is het onderscheid tussen 8,9 en 8,90 en 8,09? De rol van de nul soms mag deze worden weggelaten of toegevoegd, maar niet altijd! Let op uitspraak! Als je bijv. ‘acht komma negen’ en ‘acht komma tien’ zegt, suggereert dit dat 8,10 groters is dan 8,9. Kernvragen worden zo geformuleerd dat er een zogenoemd cognitief conflict wordt uitgelokt; kinderen worden gedwongen om zelf na te denken. Naast ordenen en positioneren vervult de getallenlijn nog een belangrijke functie: het kan de decimale verfijning illustreren. Het positieschema In de eerste plaats wordt het positieschema gebruikt bij het vaststellen van de positiewaarden van de cijfers achter de komma. Dit gebeurt ook m.b.v. benoemde meetgetallen, zoals geld. In de tweede plaats kan het positieschema worden gebruikt voor het cijferend of kolomsgewijs rekenen met kommagetallen. Rekenen en redeneren met kommagetallen Verwarrend is dat de notatie van kommagetallen lijkt om die van hele getallen, maar dat de betekenis overeenkomt met die van breuken. Een tweede punt dat verwarrend werkt is dat meer cijfers in een getal niet per se betekent dat het om een groter getal gaat. Voor het ontwikkelen van kommagetallen zijn allerlei aspecten van belang: Kommagetallen globaal en precies plaatsen op de getallenlijn met een passende schaal. De relatieve orde van grootte doorzien en daardoor globaal schattend kunnen rekenen met kommagetallen. Kommagetallen zien als meetgetallen en als rekengetallen De decimale verfijning begrijpen Kommagetallen als breuken opvatten Kunnen hoofdrekenen met kommagetallen en inzicht hebben in de uitwerking van de hoofdbewerkingen met kommagetallen Inzicht hebben in kommaverschuiving (bijv. bij 10 x 2.3) Kunnen afronden De nul in kommagetallen Soms kunnen nullen achteraan worden toegevoegd of juist weggelaten, zonder dat dat verschil uitmaakt voor de grootte van het getal. Dit is in tegenspraak met de voorkennis van kinderen, want bij hele getallen maakt dat wel uit (350 en 35). Bovendien mag de 0 van 3,50 wel worden weggelaten maar de 0 van 3,05 weer niet. Cijfers of getallen achter de komma? De cijfers achter de komma lijken op hele getallen. Daardoor vatten kinderen ze gemakkelijk op als losse getallen. Hierdoor kunnen allerlei fouten ontstaan, zoals: 3,14 + 2,5 = 5,19. Dit probleem wordt groter als er meer cijfers achter de komma verschijnen of bij een verschillend aantal cijfers achter de komma. Verschillende aantallen cijfers achter de komma Een verschillend aantal cijfers achter de komma maakt het moeilijk om de getallen te vergelijken of bijv. op te tellen. Van bijv. 1,525 en 1,59 kunnen kinderen in eerste instantie denken dan 1,525 het grootste getal is. Refereren aan meetgetallen biedt dan uitkomst. De decimeter, centimeter en millimeter worden dan gebruikt als ondermaten: maten waaraan je kunt denken bij elk cijfer achter de komma van een meetgetal. Onbegrepen rekenregels Regel bij rekenen onder elkaar, de komma’s netjes onder elkaar zetten. Het doel van deze regel is dat alleen cijfers met dezelfde positiewaarde bij elkaar worden opgeteld of afgetrokken. Als rekenregels zonder begrip worden aangeleerd, ontstaan makkelijk allerlei fouten. Inschatten en schattend rekenen Het lijkt of het getal beeld voor sommige kinderen wordt verstoord met het verschijnen van kommagetallen: zij schatten de orde van grootte van kommagetallen in het begin verkeerd in. Eerst gaat de nadruk uit naar globaal schattend rekenen en pas later naar precies rekenen. Schattend rekenen is essentieel. Door te schatten, kan worden gekeken hoe een bewerking ong. uitpakt en dat is weer belangrijk voor het begrip van de orde van grootte van kommagetallen. Naast schattend rekenen met benoemde meetgetallen wordt geleidelijk aan steeds meer beredeneerd geschat met formele getallen eerst schatten door alleen te kijken naar de getallen voor de komma. Een volgende stap is dat beredeneerd schatten kan plaatsvinden door in de klemmen: kijken naar de helen waartussen een kommagetal ligt. Bijv. 3,8 x 5,9 ligt tussen 15 (3 x 5) en 24 (4 x 6). Optellen en aftrekken met kommagetallen De basisbewerkingen moeten inzichtelijk kunnen worden uitgevoerd. Dat betekent dat voor kommagetalen dat – naast globaal schattend rekenen – het grootste accent ligt op hoofdrekenen met kommagetallen. Vermenigvuldigen en delen met kommagetallen Ook bij vermenigvuldigen en delen met kommagetallen blifjt het van belang te referen aan de betekenis van getallen; meetgetallen. Vermenigvuldigen met een kommagetal kleiner dan 1 heeft de betekenis een deel nemen van. Delen met een kommagetalen kleiner dan 1 heeft de betekenis opdelen of inpassen. Vaak wordt gebruik gemaakt van de context het winkelbonnetje. Samenhang met andere domeinen Kommagetallen zijn breuken die zijn te beschouwen als niet meer dan een uitbreiding van het systeem van hele getallen. Het grote verschil tussen hele getallen en kommagetallen zit er in dat kommagetallen breuken zijn. Het domein kommagetallen is onlosmakelijk verbonden met het domein meten. Ten slotte is er samenhang met het domein verbanden, met name waar het gaat om contexten waarin in de realiteit niet alleen hele getallen, maar ook kommagetallen voorkomen. Hoofdstuk 1 Samenhang meten en meetkunde 1.1 Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde De domeinen meten en meetkunde hebben veel raakvlakken. Bij meten gaat het om het getalsmatig greep krijgen op ‘eigenschappen’ van de wereld, zoals lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en tijdsduur. Dergelijke eigenschappen heten grootheden. De essentie van meten is dat een grootheid wordt afgepast met een maat, bijv. de maateenheid meter bij grootheid lengte. Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringde ruimte. Het gaat bijv. om plattegronden, routes, richtingen en eigenschappen van vormen en figuren. Verder gaat het om projecties, schaduwen, symmetrieën, patronen en alle twee- en driedimensionale weergaven van de werkelijkheid. Meetkunde is op te vatten als ruimte oriëntatie in wiskundige zin. Meten van inhoud Het in gedachte in elkaar zetten van een bouwplaat, valt binnen meetkunde. De vraag, wat de inhoud is van een doos, valt onder meten: het gaat om het kwantificeren van de eigenschap inhoud. Een kwantiteit is een hoeveelheid en kwantificeren betekent: ergens een getal aan toekennen. Leerlingen ervaren dat een bepaalde inhoud – bijv. 1 liter – verschillend (ruimtelijke) vormen kan aannemen meten en meetkunde raken elkaar. Aangezien het gaat om de grootheid inhoud, gaat het om het domein meten. Het onderzoeken van vormen die de liter kan aannemen, vallen binnen meetkunde. Lengte en oppervlakte Ook bij deze grootheden komen meetkundige inzichten naar voren. Een meetkundige activiteit als het omvormen van figuren kan worden toegepast bij het meten van oppervlaktes. Ook het werken met vlakvullingen ligt op het snijvlak van meten en meetkunde: een bepaalde oppervlakte wordt vol gelegd met meetkundige vormen. Uit de geschiedenis van meten en meetkunde Stelling van Pythagoras Ook in de stelling van Pythagoras uit de klassieke oudheid komen meten en meetkunde samen. De stelling beschrijft de vaste relatie tussen de lengtes van de drie zijden van een rechthoekige driehoek: a2 + b2 = c2. De gulden snede De gulden snede is een verhouding die sinds de 17e eeuw staat voor een schoonheidsideaal: de mooiste verhouding die bestaat. In allerlei meetkundige figuren zijn afmetingen volgends deze verhouding terug te vinden. Als je een lijnstuk zo in tweeën verdeelt dat de verhouding van het kleinste deel t.o.v. het grootste deel dezelfde is als de verhouding van het grootste deel tot het hele lijnstuk, heb je de gulden snede te pakken. Een veelgebruikte benadering van de gulden snede is : 0,618 = phi. 1.2 Meten en meetkunde op de basisschool Overeenkomsten tussen meten en meetkunde Beide domeinen komen vanaf de kleutergroepen aan bod. Beide domeinen blijven dicht bij de waarneembare werkelijkheid. Beide domeinen kenmerken zich door redeneren en het ontwikkelen van een onderzoekende houding; ook wel wiskundige attitude genoemd. Bezig zijn met meten en meetkunde levert ook een belangrijk bijdrage aan de ontwikkeling van gecijferdheid. Verschillen tussen meten en meetkunde Bij meten gaat het meestal om een andere (mentale) handelingen dat bij meetkundeactiviteiten. Bij meetactiviteiten gaat het om het leren met een passende maat en zijn kinderen vooral aan het doen (uitvoeren van metingen, aflezen meetinstrumenten), kennen (bijv. de maten uit metriek stelsel) en begrijpen (optreden van maatfouten, maatverfijning en kiezen van juiste maat) Bij meetkundeactiviteiten gaat het vooral om het onderzoeken van ruimtelijke relaties en het beredeneren hiervan; kinderen zijn bezig met waarnemen, beschouwen, stellen en beantwoorden van ‘waarom-vraag’, gericht op verklaren. Samenhang in activiteiten Het heeft meerwaarde om meten en meetkunde niet geïsoleerd, maar juist geïntegreerd aan bod te laten komen. Activiteiten rondom construeren (bouwen) en representeren (afbeelden van de werkelijkheid, zoals plattegrond) vallen binnen meetkunde. Rondom een bouwwerk kan het tegelijkertijd gaan om meetactiviteiten: zoals het vaststellen wat de inhoud van het bouwwerk is. Andere voorbeeldactiviteiten liggen op het terrein van tijdzones: lokaliseren of plaatsbepaling op de aarde valt onder meetkunde, evenals de kennis die te maken heeft met het draaien van de aarde om haar as en om de zon. Voorspellen van schaduw valt ook onder meetkunde. Hoofdstuk 2 Meten 2.1 Meten en meetgetallen zijn overal Meetgetallen zeggen iets over grootheden als gewicht, inhoud, temperatuur. Bij elke grootheid bestaan verschillende maten of meeteenheden, die afhankelijk van de situatie worden gebruikt. In het dagelijks leven gebruik je veel meetreferenties, zoals 50 km/u in de bebouwde kom, 39 °C is koorts; het referentiegetal waar je vanuit gaat is namelijk 37 °C. Nog meer referentiematen: pak suiker = 1 kilo, een stap = 1 meter en een pak sap = 1 liter. Meetinstrumenten Afpassen van een maat = wanneer je de werking van het meetinstrument kan zien (bijv. maatbeker). Indirect meten = de ene grootheid (lengte) meet om een andere grootheid (gewicht) te bepalen (bijv. bij een kwikthermometer of bij een unster; weeghaak met trekveer). Op meet instrumenten is een schaalverdeling aanwezig. Meetnauwkeurigheid Veel meetgetallen zijn kommagetallen. Dit hangt af van de gehanteerde maat en de precisie. Meetgetallen hebben een verschillende meetnauwkeurigheid. De afstand tussen twee getallen waarbinnen het meetresultaat ligt, heet meetinterval. De aanduiding 4 kilometer, betekent dus niet altijd dat de afstand precies 4000 meter is. Meetfouten De meetnauwkeurigheid van metingen impliceert ook een meetonnauwkeurigheid. In die zin treden bij meten per definitie fouten op. De meetfout valt binnen het meetinterval, dat in dit verband wordt aangeduid als foutenmarge. Bij bijv. een lengtemeting van 186 cm loopt het meetinterval van 1855 mm tot 1865 mm en is de meetfout ten hoogste 5 mm. Daarnaast kunnen meetfouten bij de meethandeling zelf ontstaan. Om het effect van een meetfout op het meetresultaat te verkleinen, kun je een meting herhaald uitvoeren en vervolgens het gemiddelde van de meetresultaten nemen. Uit de geschiedenis van meten Natuurlijke maten Een natuurlijke maat is bijv. een lichaamsdeel waarmee een grootheid kan worden afgepast, zoals een voet voor de grootheid lengte. Standaardisering Kort na de Franse revolutie werd een stelsel van maten en gewichten vastgesteld in het metriek stelsel. De meter werd als standaardmaat gekozen. Aan de basiseenheid meter werden andere maten gekoppeld, zoals de vierkante meter voor oppervlakte. Oude maten werden gelijkgesteld aan nieuwe maten. De are = vierkante decameter, liter = kubieke decimeter, bunder = vierkante hectometer of hectare. Ons = 100 gram, pond is 500 gram. De huidige internationale afspraken liggen vast in het in 1960 opgestelde SI-stelsel, Internationaal Stelsel van Eenheden. Het imperiale systeem In een aantal landen, waaronder de VS en UK wordt het imperiale systeem van maten gehanteerd. Inch = 2.54 cm, foot = 12 inches, yard = 3 feet en mile = 1760 yard, 1609 m. Wiskundetaal bij meten Maten die zijn afgeleid van standaardmaten (zoals meter, kg, l) worden aangegeven met voorvoegsels. Door de tientallige opzet van het stelsel zijn opeenvolgende lengtematen steeds een factor 10 groter. Dit wordt de decimale relatie tussen de lengtematen genoemd. Bij oppervlakte is sprake van een kwadratische relatie: opeenvolgende oppervlaktematen zijn steeds een factor 100 groter (het kwadraat 10). Bij een opeenvolgende kubieke inhoudsmaten gaat het steeds om een factor van 1000, kubische relatie. Overige grootheden Snelheid is een samengestelde grootheid, km/u of m/s. De omvang van digitale data die zijn opgeslagen op bijv. een USB kan ook worden beschouwd als een grootheid. 2.2 Grootheden en maten Aangezien grootheden te maken hebben met uiteenlopende eigenschappen van de wereld om ons heen, treden bij het meter ervan specifieke verschillen op. De oppervlakte van een figuur is bijv. gelijk aan de som van de oppervlakten van de afzonderlijke delen van het figuur. Dit is de zogeheten transitiviteitseigenschap van de oppervlakte. Dit geldt echter niet voor temperatuur. Lengte De grootheid lengte kan over veel verschillende dingen gaan. Ook omtrek is een vorm van lengte. Meetinstrumenten zijn bijv. liniaal, meetlint, rolmaat. Omtrek Formule voor omtrek van een rechthoekige figuur = 2 x lengte + 2 x breedte. Tussen de omtrek van een cirkel en de diameter (=middenlijn)bestaat een vaste verhouding; pi π = ong. 3,1415926 of 22/7. De omtrek van een cirkel is: Omtrek = π x D (diameter) of 2 x π x R (straal). Oppervlakte Oppervlakte is bijv. hoeveelheid materiaal om dat voorwerp volledig te bedekken. Eén van de standaardmaten is de vierkante meter. Andere oppervlakte maat is are, die 10 bij 10 (100 m2) is. Via voorvoegsels worden centiare (1 bij 1, 1 m2) en hectoare ofwel hectare (100 bij 100, dus 10000 m2). Als de afmetingen lengte en breedte 2 keer zo groot wordt de oppervlakte in beide richtingen verdubbeld. De opp. wordt dus vier keer zo groot. Het bepalen van oppervlakte kan plaatsvinden door afpassend te meten, bijv. met een rooster van hokjes. Ook kun je gebruik maken van omvormen. Formule oppervlakte rechthoek; Oppervlakte = lengte x breedte. Inhoud Bij inhoud kan gedacht worden aan ‘dat wat erin past’. Een begrip dat i.p.v. inhout ook wordt gehanteerd is volume. Kubieke maten worden o.a. gebruikt voor de inhouden van vertrekken en gebouwen. Voor kubieke centimeter wordt ook de naam cc gebruikt. De inhoud van motoren van voertuigen wordt bijv. uitgedrukt in cc. Bij litermater gaat het om een decimale relatie tussen opeenvolgende maten. Aangezien een liter overeenkomt met dm3 geld ook dat een milliliter overeenkomt met cm3 en een kiloliter met m3. Een ton inhoud is een kubieke meter. M.b.v. een maatbeker kan je hoeveelheid vloeistof meten. Ook van massieve, onregelmatige vormen kun je de inhoud bepalen. Door bijv. waterverplaatsing die het voorwerp veroorzaakt in een maatbeker (= indirect meten). Inhoud van een kubus of balk; lengte x breedte x hoogte. Als bijv. elke zijde van een kubus 2 keer zo groot wordt gemaakt, verdubbelt de oppervlakte van elk zijvlak in 2 richtingen en wordt dus 4 keer zo groot. De inhoud van de kubus wordt in 3 richtingen verdubbeld (lengte, breedte en diepte) en wordt dus 8(2x2x2) keer zo groot. Gewicht Als referentiemaat kan gedacht worden aan een pak suiker; 1 kg. Andere maten zijn gram, milligram en een ton (1000 kg). Gewicht en massa zijn niet hetzelfde. Massa geeft de hoeveelheid materie aan: voorwerpen die van veel materie zijn gemaakt, hebben een grote massa. Bij gewicht gaat het om de kracht die de aarde uitoefent op een bepaalde massa: de zwaartekracht. In het dagelijks leven is die kracht meestal gelijk en kunnen we probleemloos ‘massa’ en ‘gewicht’ vervangen. In de lift of een achtbaan kun je ervaren dat de zwaartekracht soms wat minder voelt. Temperatuur Voor de grootheid temperatuur worden wereldwijd verschillende temperatuurschalen gebruikt. In Europa: Celsius, °C. Het absolute nulpunt ligt bij -273,15°C. In de natuur-scheikunde wordt de temperatuurschaal van Kelvin (K) gebruikt. De schaal van Kelvin start bij het absolute nulpunt: 0K is gelijk aan -273,15 °C. O.a. in de VS wordt gebruik gemaakt van de eenheid graad Fahrenheit (°F). 2 formules om te rekenen naar Fahrenheit en andersom: 5 Graden Celsius = 9 x (graden Fahrenheit – 32) 9 Graden Fahrenheit = 5 x graden Celsius + 32 Maatverfijning is bij temperatuur niet aan de orde; er bestaat niet zoiets als ‘centigraden’. Tijd Voor de grootheid tijd worden verschillende eenheden gebruikt, die in veel gevallen niet uitgaan van een decimale structuur. De indeling van een uur in 60 minuten en de minuut in 60 seconden word sexagesimaal genoemd. De indeling is gebaseerd op het sexagesimaal of 60-tallig stelsel. Tijd heeft zowel een cyclisch als ene lineair karakter. Het cyclisch karakter is te herkennen aan dagen van de week, maanden en seizoenen. Het lineaire karakter van tijd komt bijv. tot uitdrukking in de jaartelling. Wereldwijd gelden verschillende tijdzones. Wordt aangeduid met de letters UTC. Nederland = UTC+1 en in de zomertijd UTC+2. Tijd wordt genoteerd als hh:mm:ss. Jaartallen worden aangeduid volgens een tientallig systeem; Lustrum (5 jaar), decennium (10 jaar), eeuw (100 jaar) en millennium (1000 jaar). Eén jaar is 365 dagen. 1x in de vier jaar schrikkeljaar = 366 dagen. Snelheid De samengestelde grootheid snelheid geeft verplaatsing per tijdseenheid weer. Meetreferenties zijn bijv. de snelheid van een wandelaar (5km/u) en van een fietser (10 km/u). In de wetenschap en techniek worden snelheden meestal in meter per seconde uitgedrukt. m/s= km/u x 3,6 Geld Geldelijke waarde is ook op te vatten als grootheid. Met geld kan waarde van dingen worden vergeleken. De munteenheid, of valuta waar de waarde in wordt uitgedrukt is bijv. de euro of dollar. Er is met geld weinig sprake van standaardisering. Valuta kunnen in elkaar worden omgerekend met wisselkoers. Dichtheid Dichtheid is een samengestelde grootheid. Het gat dan bijv. om ‘aantal per oppervlaktemaat’, pixels per cm3. Bij dichtheid kan het daarnaast gaan om ‘aantal per inhoudsmaat’ (ook soortelijke massa genoemd), die wordt uitgedrukt in kg/m3. Hoek Hoek is een grootheid die het verschil in twee richtingen uitdrukt. In meetkundige termen gaat het om een de hoek die twee snijdende lijnen in het platte vlak t.o.v. elkaar maken. Als eenheid of hoekmaat wordt de booggraad of kortweg graad (°) gebruikt. Hoofdstuk 3 Meten op de basisschool In het meetonderwijs wordt gewerkt aan de ontwikkeling van het maatbesef: kinderen krijgen zicht op verschillende maten, kunnen zich bij de maten een voorstelling maken en begrijpen de samenhang tussen de maten. 3.1 Schets van de leerlijn meten Ontluikend maatbesef De leerlijn meten start in de onderbouw met verkenning van grootheden en gaat van vergelijken (direct of indirect met een intermediair) en ordenen (ook wel seriëren genoemd) via afpassen met een maateenheid (in eerste instantie met natuurlijke maten en later met standaardmaten) naar aflezen van een meetinstrument (bijv. liniaal, meetlint, maatbeker, weegschaal, digitale en analoge klokken, thermometers, enz.). Inzicht in meten en maten: Vanaf groep 4 leren kinderen standaardmaten gebruiken, zoals meter, liter en kilogram. Ook leren ze een passende maat te kiezen en de tientallige samenhang van maten binnen een grootheid te herkennen. Bovendien ontwikkelen ze meetreferenties (en dus maatgevoel) bij de verschillende standaardmaten. In de hogere groepen wordt het hanteren van meetinstrumenten verder uitgebreid en gaat de maatverfijning steeds verder. Kinderen zullen al metende ervaren, dat er ook meetfouten kunnen ontstaan en dat het gemiddelde van een aantal metingen het effect van de meetfout(en) op het meetresultaat kan verkleinen. De meetnauwkeurigheid(verschillen in precisie waarin gemeten wordt) komt dan ook om de hoek kijken, waardoor de kinderen inzicht krijgen dat er bij meetgetallen sprake is van een meetinterval, waarbinnen het meetresultaat ligt. Het afronden krijgt zo betekenis. Formeel redeneren en rekenen met maten en grootheden: In de bovenbouw verwerven de kinderen steeds meer inzicht in het metriek stelsel, waarbij herleiden en omrekenen van maten een grote rol speelt. Ze leren meetgegevens te interpreteren, waarbij de meetnauwkeurigheid en de meetfouten, die optreden, een steeds belangrijkere rol spelen. Bovendien wordt het aantal grootheden uitgebreid met samengestelde grootheden. Tot slot leren de kinderen rekenen en redeneren met meetgetallen in allerlei toepassingssituaties. 3.2 Ontluikend maatbesef In het meetonderwijs staat vanaf groep 1 het ontluikend maatbesef centraal: kinderen leren verschijnsels en situaties uit alledaagse leven kwantitatief, oftewel getalsmatig, te benaderen. Ze leren bijv. te herkennen welke grootheden in specifieke meetsituaties aan de orde zijn, zoals stap, dag, hand en jaar. Groeiend inzicht in grootheden Door als leerkracht expliciet aandacht te schenken aan taalgebruik bij de verkenning van grootheden, ontwikkelen kinderen een passende meettaal en leren ze begrippen als lang en kort, klein en groot, hoog en laag. Kinderen beheersen en conservatieprincipe nog niet het inzicht dat verandering van vorm niet van invloed is op de hoeveelheid (smal lang glas en breed laag glas = zelfde hoeveelheid) Lengte, oppervlakte, inhoud en gewicht Deze grootheden krijgen volop aandacht. Jonge kinderen leren dan gewicht en omvang van een voorwerp niet per se met elkaar samenhangen. Als een groot voorwerp lichter blijkt te zijn dan een kleiner voorwerp, kan dat een cognitief conflict oproepen. Het druist namelijk in tegen wat kinderen aanvankelijk dachten. Tijd Activiteiten zijn gericht op tijdsbeleving en de ontwikkeling van tijdsbesef: inzicht in tijdsduur en het verloop van tijd. De indeling van de dag verkennen ze bijv. via dagritmekaarten. Kinderen krijgen inzicht in het cyclische karakter van tijd (ochtend, middag, avond, dagen van de week) en het lineaire karakter van tijd (bij elke verjaardag een jaar ouder). De ontwikkeling van meettaal bij tijd krijgt vorm door activiteiten waarin kinderen gebeurtenissen aan momenten koppelen: ‘na de kring gaan we buitenspelen’. Ze leren daarbij ook situaties te beschrijven (iets duurt lang of kort) en te kwantificeren: nog drie nachtjes slapen. Vergelijken Bij vergelijken wordt nog geen getal toegekend aan de meting. Kinderen doen het inzicht op dat verschillende voorwerpen samen een net zo groot oppervlakte hebben dan een afzonderlijk voorwerp; transitiviteitseigenschap van oppervlakte. Vergelijken met intermediair In sommige situaties lukt het niet om voorwerpen rechtstreeks met elkaar te vergelijken. Bijv. in elk lokaal staat een bloembak, welke is het hoogste? In zulke situaties worden kinderen uitgedaagd om een intermediair te vinden waarmee de vergelijking toch kan worden gemaakt (bijv. de hoogte afmeten op het eigen lijf en hiermee vergelijken). Vergelijken met een intermediair is een belangrijke opstap richting het hanteren van meetinstrumenten. Ook een balans waarmee het gewicht voorwerpen kan worden vergeleken is te zien als een intermediair. Ze leren zo ook dat gewicht niet samen hoeft te hangen met aantal en omvang. Inzicht in de meethandeling Activiteiten in de onderbouw zijn gericht op het ontwikkelen van een goed begrip van meethandeling. Centraal staat hierbij wat een geschikte meetstrategie is om de grootheid af te passen. Het is belangrijk om met leerlingen stil te staan bij de betekenis en correcte formulering van het meetresultaat. Kiezen van een passende maat Als onderdeel van de meetstrategie is de keuze voor een passende maat essentieel. Het is bijv. niet praktisch om de lengte van de klas op te meten met kleine gummetjes. Kinderen ontwikkelen mede vanuit dit soort voorbeelden inzicht in de orde van grootte van de te kiezen maat. Afgesproken maten Leerlingen zullen op een zeker moment ervaren dat zelfgekozen natuurlijke maten niet toereikend zijn. Maten als ‘voetafdruk’ of ‘stap’ zijn variabel. Deze situaties stimuleren de behoefte aan het gebruiken van een afgesproken maat. Bijv. even lange balpennen of een bordliniaal. Dis is de opstap naar de introductie van standaardmaten. 3.3 Inzicht in meten en maten Introductie van standaardmaten In de loop van groep 3 kennen kinderen vaak al de standaardmaat meten, bijv. door wat ze weten over de eigen lichaamslengte. Door veel zelf te meten met een liniaal, maatbeker en weegschaal raken kinderen in de loop van groep 4 verder vertrouwd met de standaardmaten. Door dingen uit hun eigen leefwereld te verbinden aan de standaardmaten, gaan deze maten voor kinderen als referentie fungeren en ontwikkelen de kinderen een gevoel voor die maten. Referentiematen zijn bijv. een pak suiker = 1 kilo, inhoud van een pak sap = 1 liter. Ook wordt er vanaf groep 4 aandacht geschonken aan het ontwikkelen van meetreferenties. Meetinstrumenten hanteren Vanaf groep 4 vind een verkenning plaats van meetinstrumenten, zoals meetlint, rolmaat, liniaal. Daarbij gaat het om het correct gebruik van zo’n instrument: waar begin je precies te meten met een liniaal en waar lees je het meetresultaat af? Al metende zullen leerlingen ervaren dat meetfouten ontstaan; herhaald meten en het gemiddelde nemen verkleind meetfouten. Daarnaast leren kinderen meetinstrumenten vergelijken. Maatverfijning Vanaf ong. groep 4 leren kinderen de tientallige structuur van bijv. een liniaal, meetlint of maatbeker te begrijpen. Leerlingen ervaren dat een meter kan worden verdeeld in tien decimeter enz. Die verkenning biedt steun bij het inzicht krijgen op de tientallige verfijning van de standaardmaten. Een netwerk van referentiematen en meetreferenties Bij het verkennen van de maatverfijning leggen kinderen ook voor de maten die ze ‘nieuw’ leren referentiematen vast. In groep 5 gaat steeds meer de aandacht uit naar de onderlinge samenhang van maten. Ook allerlei meetreferenties worden gekoppeld. Op deze wijze raken kinderen verder vertrouwd met elke maat en ontwikkelen ze gevoel voor de toepassing en grootte ervan. D Meetnauwkeurigheid Vanaf ong. groep 6 komt het interpreteren van het meetresultaat aan de orde. Leerlingen ervaren dat er sprake kan zijn van verschillen in de precisie waarin wordt gemeten (maatnauwkeurigheid). Opgaven hierover dragen bij aan het inzicht dat er bij meetgetallen sprake is van een meetinterval waarbinnen het meetresultaat ligt. Ook werken leerlingen aan inzicht in en toepassen van de afrondregels. 3.4 Formeel redeneren en rekenen met maten en grootheden Inzicht in het metriek stelsel Vanuit het netwerk van referentiematen is de volgende stap voor kinderen in de bovenbouw om de systematische samenhang tussen de verschillende maten in het metriek stelsel te doorgronden. De kinderen leren de betekenis van de voorvoegsels, milli, centi, deci enz. Kinderen leren ook een passend meetgetal te kiezen in situaties waarin een bepaalde maat gegeven is. Herleiden en omrekenen van maten In groep 7 en 8 wordt veel aandacht hieraan geschonken. Leerlingen vinden dit vaak lastig. Sommige kinderen onthouden alleen dat ze ‘keer tien’ of ‘gedeeld door tien’ moeten doen. Grootheden In de hoogste groepen verdiepen kinderen hun kennis van de verschillende grootheden. Ze doen het inzicht op dat een vierkante meter niet vierkant hoeft te zijn. Dit zijn aanvankelijk veelvoorkomende misconcepties. Ook komt de relatie tussen de grootheden inhoud en gewicht steeds verder aan bod. Inhoud: litermaten en kubieke maten 1 liter is gelijk aan 1 kubieke decimeter. Dat bij de litermaten sprake is van een decimale relatie en bij de kubieke maten van een kubische relatie, is voor veel kinderen een bron van onbegrip en fouten. Een veel voorkomende misconceptie is dat 1 centiliter gelijk is aan 1 kubieke cm. Dit hangt samen met het voorkomen van het voorvoegsel centi in beide maten. Lengte, oppervlakte en inhoud Als kinderen de formule te snel leren, zonder inzicht in wat de grootheid is, levert dit makkelijk problemen op. Als kinderen bijv. bij oppervlakte uitsluitend denken aan lengte x breedte, lopen ze vast bij het berekenen van de oppervlakte van niet-rechthoekige figuren. Inhoud leren beredeneren door uit te gaan van het oppervlakte van het grondvlak en de hoogte. Samengestelde grootheid Snelheid Activiteiten die met snelheid te maken hebben zijn vooral gericht op het rekenen met meetgetallen. Kinderen verwerven enkele meetreferenties . Dichtheid In de hoogste groepen leren kinderen te rekenen en redeneren met dichtheid als ‘aantal per oppervlakte’. Dichtheid zoals gewicht per inhoudsmaat kan worden verkend vanuit het gegeven dat 1 liter water 1 kilogram weeg. Rekenen en redeneren met meetgetallen In toepassingsopgaven in de hoogste groepen gaat het vaak om rekenen en redeneren met meetgetallen, zoals bij het toepassen van formules en het inbrengen van eigen maatkennis. Ook wordt het rekenen met tijdsduren verdiept. Rekenen met geld De didactische opbouw bij geld verloopt anders dan bij de andere grootheden. Kinderen leren op de basisschool bedragen af te passen met biljetten en punten. Eind groep 8 beheersen de leerlingen: gepast betalen, inwisselen, afronden en omrekenen valuta. Geld vervult een didactische rol: de tientallige structuur van het getallensysteem komt via de opbouw van ons geldstelsel op concrete wijze aan bod en de geldbedragen geven betekenis aan het werken met kommagetallen. 3.5 Samenhang met andere domeinen Samenhang met getallen In de realiteit zijn veel getallen meetgetallen. Dat geldt voor zowel hele getallen als kommagetallen en breuken. De decimale structuur van ons getal systeem is dezelfde als die van het metriek stelsel. Meetgetallen maken duidelijk waar getallen op de getallenlijn liggen. Veel meten draagt bij aan het verwerven van inzicht in orde van grootte van getallen. Hele getallen Meten heeft een belangrijke samenhang met het domein hele getallen. Als leerlingen van groep 1 en 2 afpassend leren meten, valt dat bijv. samen met het leren resultatief tellen. Als leerlingen in groep 4 bijv. de getallenrij tot 100 verkennen, biedt de tientallige structuur van een bordliniaal van 100 cm hen daarbij ondersteuning. Breuken In meetsituaties ontstaan breuken op natuurlijke wijze. Meetactiviteiten worden uitgevoerd t.b.v. breukbegrip en de ontwikkeling van breukentaal. Bijv. bij het meten van de lengte van een tafel met een breekstok, waarbij je uitkomt op een stok en nog een halve stok. Kommagetallen Kommagetallen zijn in de realiteit altijd meetgetallen, waaronder geldbedragen. Net als bij breuken fungeren benoemde meetgetallen bij kommagetallen als denkmodel. Samenhang met verhoudingen In veel gevallen waarin met verhoudingen wordt gerekend, gaat het om meetgetallen. Bijv. verhouding tussen prijs en gewicht, hoeveelheid/prijs, inhoud/prijs en gewicht/prijs. Ander verband tussen meten en verhoudingen is de samengestelde grootheid als snelheid. Hoofdstuk 4 Meten en verbanden 4.1 Verbanden zijn overal Verbanden weergeven Variabelen Grafieken zijn een middel om relaties tussen variabelen te visualiseren. Een variabele is een te meten kenmerk, bijv. lichaamslengte. Een kwantitatieve variabele heeft getallen als waarden. Een kwalitatieve variabele heeft niet-getalsmatige waarden, zoals bijv. ‘maand van een jaar’, of een meetkundige vorm. Twee kwantitatieve variabelen zijn bijv. tijd en temperatuur. Tijd is een onafhankelijke variabele: de waarden die de variabele doorloopt staan vast tijdens de meting. Temperatuur is de afhankelijke variabele: daarvan worden de waarden gemeten, op de vaste waarden van de variabele tijd. Er bestaan twee typen kwantitatieve variabelen: continue en discrete. Bij een continue variabele gaat het om een situatie waarbij tussen twee meetwaarden alle tussenliggende waarden zijn doorlopen, wordt ook wel een continue situatie genoemd (bijv. afname lichaamsgewicht, verloop koorts). Bij continue variabele kun je conclusies trekken over tussenliggende waarden – intrapoleren genoemd – of verderop liggende waarden – extrapoleren. Bij een discontinue weergave is sprake van een ontbrekend stuk in de lijngrafiek. Dit wordt gebruik als in een continue situatie meetwaarden ontbreken. Bij een discrete variabele is het aantal meetwaarden beperkt, bijv. schoenmaat: het aantal mogelijke uitkomsten is beperkt. In een discrete (meet)situatie staat elke meetwaarde op zichzelf en is niet afhankelijk van andere meetwaarden. Bijv. het aantal uren zonneschijn per dag. Deze variabele is niet afhankelijk van andere gemeten waarden. Staafdiagram Een staafdiagram of staafgrafiek is geschikt voor het weergeven van discrete variabelen. De waarden van de onafhankelijke variabele op de horizontale as. De gemeten waarde staat doorgaans op de verticale as. Lijngrafiek In een lijngrafiek of lijndiagram zijn meetresultaten door een lijn met elkaar verbonden. Dat betekent dat tussenliggende waarden wel zijn doorlopen, ook al zijn ze niet daadwerkelijk gemeten. Lijngrafieken worden gebruikt om veranderingen van een kwantitatieve variabele weer te geven, zoals een toename of afname. Histogram Lijkt op een staafdiagram. Verschil is dat bij een histogram op de horizontale as een continue variabele is weergegeven in (meet) intervallen. Steelbladdiagram Een steelbladdiagram of stengel- en bladdiagram is een combinatie van een tabel en een histogram. Alle afzonderlijke meetwaarden zijn op compacte wijze in het diagram terug te vinden. In de steel wordt het overeenkomstige gedeelte weergegeven. In de bladeren het resterende gedeelte van elk meetresultaat. Op deze wijze blijven alle afzonderlijke meetresultaten zichtbaar. Misleidende weergaven Soms is er in staafdiagrammen sprake van misleidende weergave, bijv. door een korte tijdsweergave te laten zien. Centrummaten Er zijn drie centrummaten om de verdeling van een reeks (meet)getallen in één getal te vatten. Een veel gebruikte centrummaat is het gemiddelde, maar dit biedt niet altijd voldoende informatie. De mediaan van een geordende reeks (meet)waarden is de middelste waarde van de reeks. Wanneer het getal even is, dan is de mediaan het gemiddelde van de middelste twee getallen. De modus is de waarde die het vaakst voorkomt in een reeks. Als meerdere warden even vaak voorkomen, is er geen modus aan te wijzen. Wiskundetaal bij verbanden Horizontale as = x-as, verticale as = y-as. De verticale as kan beginnen met een hogere waarde dan 0, in dat geval staat er een zigzaglijntje – scheurlijntje weergegeven. Belangrijk om aandacht te besteden aan de juiste wiskunde taal. Bijv. de grafiek stijgt of daalt, er is een geleidelijke toename of afname en constant. 4.2 Meten en verbanden op de basisschool Binnen het domein verbanden leren kinderen betekenis verlenen aan verschillende voorstellingen van gegevens, zoals tabellen en grafieken. Ze leren gegevens met elkaar in verband te brengen, te ordenen en te categoriseren en leren grafieken te interpreteren en te tekenen. Grafieken Komen de gehele basisschoolperiode aan de orde. In groep 3-4 komen eenvoudige tabellen en staafdiagrammen vooral aan de orde om aantallen bij te houden. Vanaf groep 5 ook regelmatig lijngrafieken. Ze leren af te lezen welke variabelen op de assen staan, welke schaalverdeling is gekozen en wat de waarden zijn die worden weergegeven. In hogere groepen leren kinderen dat op de assen van grafieken verschillende variabelen kunnen worden weergegeven. Ze leren conclusies te trekken over bijv. afname en toename en verschillende lijngrafieken met elkaar te vergelijken. Ze leren verder wat het begrip ‘gemiddelde’ betekent. Tabellen Een voorbeeld van een tabel is de (afval)kalender en tijdtabellen. Kinderen leren zulke tabellen te interpreteren. Hoofdstuk 5 Meetkunde 5.1 Meetkunde is overal Deelgebieden van meetkunde De volgende deelgebieden kunnen worden onderscheiden: Bij oriëntatie in de ruimte gaat het om het kunnen bepalen van de eigen positie en die van anderen, en van objecten in de ruimte; ook het innemen van standpunten en routes vallen hieronder. Bij viseren en projecteren gaat het om welke objecten je kunt zien en welke niet; bijv. als een deel van je gezichtsveld gevuld is door een voorwerp. Ook het om verschijnselen rond projecties en schaduwen. Onder transformeren vallen zaken als symmetrie en het verschuiven, draaien, verkleinen en vergroten van figuren. Bij construeren gaat het om twee- en driedimensionale constructies, al dan niet vanuit een bouwtekening of werkbeschrijving. Bij visualiseren en representeren gaat het om weergaven van de werkelijkheid; bijv. plattegronden, bouwplaten, schema’s van treinennet en uitslagen van ruimtelijke figuren. Oriëntatie in de ruimte Bij het oriënteren in de ruimte gaat het om lokaliseren, innemen van een standpunt en navigeren. Lokaliseren Gaat over plaatsbepaling: waar bevinden personen of objecten zich. Kaarten en plattegronden zijn hulpmiddelen bij het lokaliseren. Innemen van een standpunt Het gaat om wat je wel en niet kunt zien vanaf een bepaalde plek. Hiervoor kunnen viseerlijnen of kijklijnen worden gebruikt. Ook met aanzichten is te beschrijven wat vanaf welke plek te zien is, bijv. het vooraanzicht, zijaanzicht, achteraanzicht of bovenaanzicht. Een bijzonder vorm van aanzichten is het vogelvluchtperspectief; schuin van bovenaf. Navigeren Het gaat om het beschrijven van hoe personen of objecten zich verplaatsen in de ruimte. Er kunnen allerlei oriëntatiebeschrijvingen aan bod komen; hoek, evenwijdig en richting. Viseren en projecteren Het gaat om lichtbundels en schaduwverschijnselen, maar ook om het beschrijven en verklaren van de (on)zichtbaarheid van objecten vanuit bepaalde standpunten. Viseren Is op te vatten als het kijken langs viseer- of kijklijnen. M.b.v. deze lijnen is te verklaren wat je wel en niet kunt zien vanuit een bepaalde positie. Door een paar stappen vooruit/achteruit te zetten wordt je blikveld of gezichtsveld groter/kleiner. Bij een camera kan de kijkhoek worden vergroot. Projecteren Gaat over lichtbundels en schaduwverschijnselen. Schaduw ontstaat doordat lichtstralen die vanuit een lichtbron worden geprojecteerd, worden tegengehouden door een voorwerp. Schaduwen die evenwijdig aan elkaar lopen zijn parallelle projectie, zoals zonlicht. Lengte van schaduw heeft te maken met de stand van de zon. Schaduwen van andere lichtbronnen dan de zon zijn over het algemeen niet evenwijdig. Het gaat hier om centrale projectie of puntprojectie: de lichtstralen worden vanuit één centraal punt geprojecteerd. Transformeren Bij het beschrijven van transformaties kunnen figuren worden weergegeven in een coördinaten- of assenstelsel. De coördinaten van de hoekpunten van het figuur worden weergegeven door de posities op de x-as en y-as. Spiegelen Bij spiegels worden lichtstralen op een exact voorspelbare manier gereflecteerd: de hoek van inval is daarbij gelijk aan de hoek van terugkaatsing van de lichtstralen. Bij lijnspiegelen is de spiegel vervangen door een spiegelas of spiegellijn. Symmetrie Een figuur in het platte vlak is lijn symmetrisch als de figuur bij spiegeling in een symmetrieas op zichzelf word afgebeeld. Er is sprake van een draaisymmetrie wanneer een figuur een transformatie ondergaat maar desondanks ongewijzigd blijft. Een figuur die draaisymmetrisch is over 180° heet puntsymmetrisch. Roteren Een figuur kan ook om een ander punt dan het eigen middelpunt roteren(draaien): het centrum van de rotatie. Daarbij wordt de hoek waarover geroteerd wordt in graden uitgedrukt; de richting is met de wijzers van de klok mee of ertegenin. Transleren Transleren (verschuiven) houdt in dat een figuur in een bepaalde richting wordt verschoven. In een coördinatiestelsel kan een translatie bijv. worden beschreven als ‘4 plaatsen naar rechts en 1 omhoog’. Verkleinen en vergroten Twee figuren heten gelijkvormig als het ene figuur een vergroting is van de andere. Daarbij kan de ene figuur geroteerd of gespiegeld zijn t.o.v. de andere. Als de vergrotingsfactor gelijk is aan 1, heten de figuren congruent. Ze passen dan precies op elkaar. Omvormen (omstructureren) Bij omvormen of omstructureren worden de losse elementen waaruit een figuur is opgebouwd gecombineerd tot een nieuw figuur. Hierbij verandert het oppervlakte dus niet! Construeren Hierbij gaat het om ‘bouwen’ en ‘in elkaar zetten’; Zowel van ruimtelijke figuren als van objecten in het platte vlak. Vrijwel elk materiaal is constructiemateriaal (lego, touw, bakstenen). Ook het in gedachten in elkaar zetten valt onder construeren; het gaat dan om een vorm van ruimtelijke redeneren; dit wordt veel gebruikt bij werktekeningen en bouwinstructies. Met een instructie kun je vaak herleiden ‘hoe iets is opgebouwd’. Dat kan ook door een ruimtelijk voorwerp open te vouwen of open te knippen, waardoor je een uitslag van het voorwerp krijgt. Een bouwplaat is vergelijkbaar met zo’n uitslag. Andere beschrijvingen van objecten zijn bijv. aanzichten en plattegronden met hoogtegetallen. Visualiseren en representeren Hierbij gaat het om weergaven van de werkelijkheid. Binnen dit deelgebied ligt het accent op de weergave zelf, bijv. vanuit welk gezichtspunt of op welke schaal en met welke mate van detail een object of situatie wordt weergegeven. In schematische weergave (zoals van een kaart) wordt de werkelijke situatie verder losgelaten. Het gaat in zo’n weergave bijv. wel om de onderlinge ligging van plaatsen, maar niet om hun exacte geografische ligging. De representatie hiervan wordt graaf genoemd: een verzameling punten of knopen die verbonden zijn door lijnen. Perspectief Door in perspectief te tekenen wordt het mogelijk om diepte weer te geven in een afbeelding van de werkelijkheid. Daarbij wordt uitgegaan van (denkbeeldige) verdwijnpunten die op de horizon liggen. 5.2 Meetkundige figuren Punt, lijn en vlak Een punt is een denkbeeldige plaatsaanduiding; heeft geen dimensie; als namen voor punten worden hoofdletters gebruikt. Een lijn bestaat uit een aaneenschakeling van punten: het is een eendimensionale figuur. Een lijn heeft geen begin- en eindpunt; is dat wel het geval dan wordt gesproken over een lijnpunt. Een vlak is een tweedimensionale figuur die tot in het oneindige loopt. Als een vlak een lijn bevat dan bevat het vlak alle punten van die lijn. Als twee lijnen evenwijdig of parallel lopen, betekent dit dat ze geen gemeenschappelijke punt hebben; ze liggen wel in hetzelfde vlak. De volgende notatie geldt: l // m betekent dat lijn l evenwijdig is met lijn m. Ook snijdende lijnen liggen in hetzelfde vlak: snijdende lijnen hebben één punt gemeenschappelijk, het snijpunt. Als de lijnen elkaar snijden onder een hoek van 90° staan ze loodrecht of haaks op elkaar, notatie l Ʇ m. Twee lijnen die niet in hetzelfde vlak liggen, kruisen elkaar: ze hebben geen punten gemeenschappelijk. Vlakke figuren Driehoeken Een driehoek ontstaat door 3 punten die niet alle drie op een rechte lijn liggen met elkaar te verbinden. De verbindende lijnstukken heten de zijden van de driehoek. Een driehoek met hoekpunten A, B en C wordt genoteerd als ABC. Er zijn verschillende soorten driehoeken: bij een gelijkbenige driehoek zijn 2 zijden even lang. Bij een gelijkzijdige driehoek zijn alle drie de zijden even lang. De hoek bij hoekpunt A wordt gevormd door de benen AB en AC. De som van de hoeken van een driehoek is 180°. Bij een gelijkzijdige driehoek is daarom elk van de hoeken 60°. Op basis van de hoeken kunnen driehoeken als volgt worden ingedeeld: Bij een scherphoekige driehoek zijn alle hoeken kleiner dan 90° Bij een rechthoekige driehoek is één van de hoeken gelijk aan 90° Bij een stomphoekige driehoek is een van de hoek en groter dan 90° Oppervlakte van een driehoek is ½ x basis x hoogte. Vierhoeken Een vierhoek ontstaat door vier punten, waarvan er geen drie op een rechte lijn liggen, met elkaar te verbinden. De verbindende lijnstukken heten de zijden van de vierhoek. Tegenover elkaar liggende hoekpunten worden verbonden via diagonalen. Naam Vierkant Eigenschappen Heeft 4 gelijke zijden en 4 rechte hoeken De diagonalen van een vierkant zijn even lang en snijden elkaar loodrecht Rechthoek Heeft 4 rechte hoeken De diagonalen zijn even lang en delen elkaar door het midden Ruit Heeft 4 gelijke zijden Twee diagonalen van een ruit snijden elkaar loodrecht in het midden Vlieger Heeft 2 paar gelijke aanliggende zijden De 2 diagonalen snijden elkaar loodrecht Parallellogram Heeft 2 paar evenwijdige zijden van gelijke lengte De diagonalen delen elkaar doormidden Tegenoverliggende hoeken zijn even groot Trapezium Heeft minstens 1 paar evenwijdige zijden. Overige veelhoeken Er bestaan ook vijfhoeken, zeshoeken, enz. In zijn algemeenheid wordt gesproken van veelhoek of nhoek, waarbij n ≥ 3. Cirkel Een cirkel wordt gevormd door alle punten die dezelfde afstanden hebben tot een vast punt, het middelpunt M. De constante afstand heet straal, R. De diameter D (middenlijn) is de grootste afstand tussen twee punten van een cirkel. Omtrek = 2 x π x r. Oppervlakte = π x r2. Lengte van de rechthoek = halve omtrek van cirkel = π x r. Breedte van rechthoek = straal van cirkel = r. 1 Wanneer de oppervlakte van een cirkel 1 m2 is; Straal = √π = 0,564 = 56,4 cm. Ruimtelijke figuren Van veelvlakken zijn alle zijkanten een plat vlak. Waar zijkanten aan elkaar vastzitten, bevinden zich de ribben van het veelvlak; waar de ribben elkaar tegenkomen, zitten de hoekpunten. Kubus Is een regelmatige zesvlak, waarvan alle zijkanten vierkant zijn. Alle ribben zijn gelijk; hoeken tussen zijvlakken zijn gelijk. Balk Een zesvlak waarbij alle zijvlakken rechthoeken zijn. Inhoud = lengte x breedte x hoogte. Parallellepipedum (blok) Een zesvlak waarvan alle vlakken parallellogrammen zijn. Prisma Kubus, balk en blok zijn alle drie voorbeelden van een prisma. Prima’s zijn ruimtelijke figuren met twee identieke veelhoeken als tegenover elkaar liggen zijvlakken, verbonden door evenwijdige lijnen. De verbindende zijvlakken zijn dus parallellogrammen. Inhoud prisma = oppervlakte grondvlak x hoogte. Piramide Heeft als grondvlak een veelhoek en heeft driehoekige zijvlakken waarvan de punten samenkomen in de top. Inhoud kan als volgt worden beredeneert: met 3 identieke vierzijdige piramides kun je een 1 kubus bouwen; Inhoud 4-zijdige piramide = 3 x G (grondvlak) x hoogte. Bol Een bol is een figuur waarvan alle punten die het oppervlak vormen, zich op dezelfde afstand van het middelpunt bevinden. 3 Inhoud = x π x r3 4 Cilinder Een cilinder is een figuur waarvan alle punten zich op dezelfde afstand van de lijn bevinden. Deze lijn heet de as van de cilinder. Met de formule G x h kan inhoud van de cilinder worden bepaald. Inhoud = G x h = π x r2 x h. Kegel Ook een kegel heeft als grondvlak een cirkel, maar de doorsneden die evenwijdig aan het grondvlak lopen, worden steeds kleiner en komen uit in de punt van de kegel. 1 Inhoud = x π x r2 x h 3 5.3 Wiskundetaal bij meetkunde Meetkundige handelingen zijn bijv. lokaliseren, viseren, projecteren en construeren. Meetkundige figuren zijn bijv. een punt en lijn. Tweedimensionale figuren zijn bijv. cirkels, driehoeken. Driedimensionale figuren zijn bijv. kubus, balk, prisma. Meetkundige begrippen worden gebruikt om objecten of situaties te beschrijven, bijv. voor, achter, naast, omhoog, omlaag. Hoofdstuk 6 Meetkunde op de basisschool Meetkunde is erop gericht leerlingen op een andere manier te leren kijken naar de omgeving. Bij meetkunde onderzoeken leerlingen verschijnselen als bijv. schaduw en de ruimte om hen heen. Ze leren te mathematiseren; te beschrijven met wiskundige begrippen en redeneringen. 6.1 Meetkunde als leerstof Meetkundige activiteiten zijn verdeeld in 5 deelgebieden: Oriëntatie in de ruimte, viseren en projecteren, transformeren, construeren en visualiseren en representeren (zie H. 5). Schets van de leerlijn meetkunde Domein meetkunde kent geen strikte leerlijn in het basisonderwijs; wel is er een didactische opbouw in activiteiten. Het gaat daarbij om drie typen (denk)activiteiten van toenemende complexiteit: ervaren, verklaren en verbinden. Deze drie denkactiviteiten zijn niet strikt gebonden aan bepaalde groepen. Ervaren Eerst staat ervaren centraal; kinderen verkennen hun eigen leefwereld. Het gaat hierbij vooral om waarnemen en concreet handelen. In onderbouw bijv. een kleuter die onderzoekt hoe hij zijn eigen schaduw groter en kleiner kan maken. In hogere groepen bijv. het onderzoeken van de werking van de zonnewijzer. Verklaren Hierbij gaat het om interpreteren, beschrijven en beredeneren. Het kan hier ook gaan om mentaal handelen wanneer leerlingen niet over concreet materiaal beschikken, maar in gedachten een handeling uitvoeren; bijv. een bouwplaat tot doosje vouwen. Verbinden Hierbij worden meetkundige ervaringen en verklaringen nader doordacht en in verband gebracht met andere begrippen en verschijnselen. Door de combinatie van verschillende inzichten is verbinden cognitief complexer dan ervaren en verklaring daarom meestal pas in hogere groepen. Verbinden is bijv. aan de orde bij landkaarten, schaal en afstand. Wiskundetaal bij metingen Meetkundetaal in de onderbouw Kinderen leren ruimtelijke begrippen en meetkundetaal die nodig zijn om eenvoudige beschrijvingen te kunnen geven en met andere over hun waarnemingen kunnen communiceren. Kleuters leren o.a. ruimtelijke begrippen van plaatsaanduiding zoals in, voor, achter, ver, naast, onder, links, enz. en begrippen die een richting inhouden, zoals omhoog, omlaag, eromheen, voorlangs, enz. Ook werken ze aan het kennen van de namen van vormen en figuren. Meetkundetaal in de bovenbouw In de bovenbouw wordt begrippen verkent en geleerd zoals: draai, hele draai, hoek, afstand, schaal en richting. Maar ook roteren, coördinaten, lijnsymmetrie, parallel, diagonaal enz. 6.2 Oriëntatie in de ruimte In dit deelgebied leren kinderen aan te geven waar iet of iemand zich bevindt (lokaliseren, wat er vanaf een bepaalde plaats wel of niet te zien is (standpunten en aanzichten) en hoe personen en objecten zich kunnen verplaatsen in de ruimte (navigeren). Lokaliseren In groep 1-2 leren kinderen bijv. beschrijven waar een ‘schat’ in de klas ligt; door gebruik te maken van ruimtelijke begrippen. Ook leren ze om op eenvoudige plattegronden van het lokaal aan te geven waar bijv. de deur is en waar de ramen. Vanaf groep 3 komt het beschrijven van situaties en bouwsels met ruimtelijke begrippen aan bod. Daarnaast ook lokaliseeractiviteiten buiten school; door het maken van eenvoudige maquettes van de eigen leefomgeving. Hierdoor leren ze om een representatie van de werkelijkheid te maken. In hogere groepen komen verschillende soorten plattengronden en kaarten aan bod. Hierbij leren ze om m.b.v. coördinaten de positie van plaatsen en personen aan te geven. In de hoogste groepen wordt dit verbreed naar situaties buiten de eigen leefomgeving; bijv. landkaarten die variëren in schaal, schaalgetrouwheid en gedetailleerdheid. Innemen van een standpunt In groep 1-2 leren kinderen een standpunt in te nemen en te beschrijven of een voorwerp of persoon vanaf een bepaald standpunt te zien is. Bijv. een leerling achter de kast; overige kinderen kunnen beschrijven vanaf welke punten in de klas je de leerling nog wel en wanneer niet meer kan zien (raakvlak met viseren). Vanaf groep 3 situaties waarin verschillende standpunten met elkaar worden vergeleken. Hierbij hoort het bedenken hoe verschillende aanzichten eruit zien (voor-, boven- en zijaanzichten). In de bovenbouw gaat het vooral om het kunnen maken van zo’n mentale voorstelling van een situatie; minder concrete situaties worden onderzocht; bijv. de windrichtingen. In dit deelgebied leren kinderen ook de verschillende soorten aanzichten te combineren. Term perspectief wordt soms gebruikt als synoniem voor een bepaald standpunt dat wordt ingenomen; andere betekenis is in de zin van lijnperspectief om perspectieftekeningen te maken. Navigeren In groep 1-2 leren kinderen eenvoudige routes te beschrijven. Hierbij leren ze de begrippen van richting hanteren en gebruik maken van herkenningspunten uit de omgeving. Vanaf groep 3 routebeschrijvingen zoals bijv. van huis naar school. Ze leren hierbij richtingsaanduidingen te hanteren. In hogere groepen leren kinderen koers en richtingsveranderingen te beschrijven; bijv. a.d.h.v. windrichtingen. 6.3 Viseren en projecteren Het gaat om het verklaren van meetkundige verschijnselen door het trekken van (denkbeeldige) rechte lijnen. Viseren In groep 1-2 leren kinderen dat een deel van het gezichtsveld gevuld kan zijn door een voorwerp; ‘ik kan jou achter mijn duim verstoppen’. Leerlingen kunnen ervaringen opdoen met het vergroten en verkleinen van de kijkhoek; door bijv. achtereenvolgens te kijken door een luciferdoosje en wcrolletje en ze te laten beschrijven wat ze wel en niet zien. In hogere groepen maken ze gebruik van kijklijnen of viseerlijnen. Activiteiten rondom viseren hebben ook te maken met het innemen van een standpunt; bij viseren ligt het accent op het kijken zelf en het beschrijven van hoe het komt dat je iets (niet) kunt zien. Projecteren Hierbij gaat het om het onderzoeken van projecties en de schaduwen die daardoor worden veroorzaakt. In de onderbouw verkennen leerlingen schaduw bijv. via schaduwspelletjes; hoe kun je je schaduw zo groot en zo klein mogelijk maken? Bij ander soort activiteiten houden kinderen voorwerpen in de lichtbundel van een lichtbron. Andere activiteiten gaan over het voorspellen en verklaren van het (verloop) van schaduwen. Bijv. in de bovenbouw; leerlingen die onderzoeken hoe richting, lengte en vorm van schaduwen samenhangen met de stand van de zon. In de bovenbouw kan het verschil tussen schaduwbeeld van de zon (parallelle projectie) en van andere lichtbronnen (centrale projectie of puntprojectie), verder worden onderzocht. 6.4 Transformeren Hierbij leren kinderen te handelen met meetkundige vormen en figuren. Ook gaat het om het onderzoeken van symmetrie van voorwerpen. Spiegelen en symmetrie In groep 1-2 zijn activiteiten gericht op het onderzoeken van eigenschappen van verschillende spiegels, zoals holle en bolle spiegels. Lijnsymmetrie wordt aanvankelijk vooral spelenderwijs onderzocht; bijv. symmetrieën op het eigen lijf ontdekken. Vanaf groep 3 wordt symmetrie systematischer onderzocht en wordt meer nadruk gelegd op het verklaren. Bijv. beredeneren wat het spiegelen van eenvoudige vormen en figuren zal opleveren. In hogere groepen onderzoeken leerlingen symmetrie van abstracte vormen. Activiteiten zijn meer gericht op het ontdekken van eigenschappen van zo’n vorm. Ze leren ook draai- en puntsymmetrie in vormen te ontdekken. Aan het einde van de basisschool maken leerlingen ook kennis met activiteiten rondom symmetrieassen binnen een coördinaten- of assenstelsel. Overige transformaties Roteren Dat sommige figuren na een rotatie of draaiing hetzelfde blijven, kunnen kinderen ervaren met allerlei materiaal. In eerste instantie door daadwerkelijk te draaien; na verloop van tijd worden ze uitgedaagd de draaiing in gedachten uit te voeren. Door leerlingen te laten beschrijven leren ze begrippen als: linksom, rechtsom, hele draai en halve draai te hanteren. Verkleinen en vergroten Kinderen maken al in de onderbouw kennis met verkleinen en vergroten van figuren, bijv. verkennen van reuzen en kabouters. Hierna verkennen leerlingen eigenschappen van een figuur. In hogere groepen kunnen leerlingen bij uiteenlopende afmetingen berekenen welke vergrotingsfactor is gehanteerd; begrip schaal. Vanuit het werken met roosters kunnen ook representaties worden onderzocht waarvan niet alle gedeelte op dezelfde mate vergroot zijn. Als kinderen onderzoeken hoe figuren door een vergroting veranderen, gaat het bijv. om gelijkvormigheid en congruentie van figuren. Transleren In opgaven waarbij leerlingen transleren (verschuiven) is meestal een roosterpatroon aanwezig. Leerlingen ervaren door dergelijke activiteiten o.a. hoe figuren zijn opgebouwd. Omvormen Via werken met mozaïek maken jonge kinderen kennis met allerlei figuren en kunnen ze worden uitgedaagd om symmetrie, patronen en regelmaat in figuren te herkennen of vorm te geven. Ze leren bijv. om samenstellingen van figuren te herkennen. Dit legt een basis voor de begripsontwikkeling van het omvormen (omstructureren) van figuren. Omvormen is ook aan de orde bij het werken met tangram. 6.5 Construeren Hierbij staat bouwen en in elkaar zetten centraal. In groep 1-2 gaat het voornamelijk om het vrij experimenteren en handelend bezig zijn; met bijv. blokken, dozen, papier. Vanaf groep 3 verschuiving van concreet naar mentaal handelen. Bij bijv. blokkenbouwsels gaat het niet meer om zelf bouwen, maar om het analyseren van verschillende aanzichten en onderzoeken van plattegronden met hoogtegetallen. In bovenbouw meer complexere bouwwerken, waarin bijv. het aantal benodigde blokken voor een bouwsel moet worden bepaald. Bij construeren hoort ook het interpreteren van bouwtekeningen. Het onderzoeken van patronen is een ander type activiteiten binnen dit deelgebied; bijv. het beschrijven van regelmaat in een kralenketting. Ook leren kinderen uitslagen maken van ruimtelijke figuren, zoals doosjes en kokers. Andersom beredeneren kinderen van welke bouwplaten een voorwerp kan worden gemaakt en welke plakrandjes daarbij van belang zijn. Construeren houdt ook in dat leerlingen onderzoeken hoe meetkundige vormen en figuren zijn opgebouwd. Er komt bijv. in hogere groepen aan de orde hoeveel zijvlakken, hoeken en ribbe bepaalde meetkundige figuren hebben. Andere activiteiten in de hoogste groepen zijn gericht op de relaties tussen vlakke en ruimtelijke figuren via het maken van een doorsnede. 6.6 Visualiseren en representeren Hierbij gaat het om activiteiten rondom (schematische) weergaven van de werkelijkheid. Activiteiten binnen dit deelgebied zijn gericht op het verkennen, interpreteren en onderzoeken van dergelijke opgaven. In de onderbouw verkennen kinderen eenvoudige kaarten, plattegronden en routebeschrijvingen (samenhang met oriëntatie in de ruimte). In hogere groepen onderzoeken kinderen verschillende weergaven van de werkelijkheid. Ze ervaren dan o.a. dat de mate van gedetailleerdheid kan variëren. Ze leren om na te gaan of een representatie een schaalgetrouwe afbeelding is van de werkelijkheid. Door ook zelf eenvoudige tekeningen op schaal te maken, leren kinderen verklaren hoe verhoudingsgewijs afbeelden van de werkelijkheid plaatsvinden. Ook het tekenen van perspectief valt binnen dit deelgebied. Leerlingen leren voorwerpen die dichtbij zijn, groter af te beelden. Net als bij het deelgebied construeren komen leerlingen in het kader van visualiseren en representeren in aanraking met bouwplaten en uitslagen van ruimtelijke figuren. Binnen dit deelgebied ligt het accent vooral op de weergave van een situatie en het analyseren daarvan. Andere representaties zijn aanzichten en plattegronden met hoogtegetallen (relatie met construeren en oriëntatie in de ruimte). Bij visualiseren en representeren gaat het om activiteiten waarin leerlingen bijv. de verschillende manieren vergelijken waarmee een blokkenbouwsel kan worden weergegeven. 6.7 Samenhang met andere domeinen Het domein meetkunde heeft behalve met het domein meten, een duidelijke samenhang met het domein verhoudingen. Denk maar aan het gebruik van schaal bij plattegronden, afbeeldingen in prentenboeken en schaduwen. Meetkunde en verhoudingen komen daarnaast samen bij het vergroten en verkleinen. Hoofdstuk 7 Leren, onderwijzen en differentiatie van meten en meetkunde 7.1.2 Doelen Kerndoelen en referentiekader Nederland kent twee wettelijke documenten waarin de doelen voor het basisonderwijs zijn vastgelegd. De kerndoelen geven een globale omschrijving van de aan het einde van de basisschool te behalen doelen voor alle vakken; dit is heel globaal. Kerndoel 33 is het enige kerndoel voor meten en voor meetkunde is ook maar één kerndoel (32). Scholen zijn verplicht de inhouden van de kerndoelen aan te bieden aanbodverplichting. Het referentiekader voor taal en rekenen geeft een meer gedetailleerde beschrijving van de leerinhoud. Hierbij haat het om een opbrengstverplichting. Scholen moeten laten zien dat ze dele doelen behalen met hun leerlingen. Het referentiekader geeft aan wat kinderen moeten weten, kunnen en begrijpen op verschillende momenten in hun schoolloopbaan (12, 16 en 18jarige leeftijd). Doelen zijn op twee niveaus geformuleerd: fundamentele doelen (F) en streefdoelen(S). Voor het einde van de basisschool gaat het om niveau 1F en 1S. Streefdoelen bereiden voor op meer abstracte wiskunde voor vmbo-TL, havo en vwo. Fundamentele doelen richten zich op basale kennis en inzichten en zijn meer toepassingsgericht (vmbo-BB/KB). Niveau 1S omvat het 1F niveau. Tussendoelen en leerlijnen Er bestaan verschillende methodeonafhankelijke tussendoelen: TAL (Tussendoelen Annex Leerlijnen) en TULE (Tussendoelen en Leerlijnen). Deze twee leerlijnoverzichten geven beide een uitgebreid overzicht van de leerinhouden van de verschillende groepen op de basisschool; zowel inhoudelijk als didactisch. Schooldoelen Een lesdoel voor rekenen-wiskunde omvat leerinhoud, leerlinggedrag en de beheersing. Bij de leerinhoud gaat het om zaken als het (sub)domein, de bewerkingen en de getallen waarmee wordt gerekend. Het leerlinggedrag beschrijft wat de leerling doet met de leerinhoud. Dit omvat bijv. het handelingsniveau en andere omstandigheden of voorwaarden, zoals gebruik van kladpapier. De beheersing omschrijft aan welke norm moet worden voldaan. Dit kan zowel kwantitatief als kwalitatief worden weergegeven.
