Nauwkeurigheid, precisie & resolutie Laatste wijzigingen: 18 december 2017 Grootheden kunnen nooit met absolute zekerheid bepaald worden. Toleranties van meethulpmiddelen en verstoringen in meetopstellingen en instrumenten zullen een zekere mate van onzekerheid introduceren. Daarnaast is ook het onderscheidend vermogen een limiterende factor. De volgende termen worden vaak gebruikt in relatie tot de meetonzekerheid: Nauwkeurigheid: De accuraatheid van de meting. Precisie: De willekeurig spreiding van meetwaarden rond het gemeten gemiddelde. Resolutie: De kleinst nog te onderscheiden grootte van de meetwaarde. De praktijk leert dat deze termen vaak met elkaar verward worden. In dit artikel wordt nader ingegaan op deze begrippen. Meetonzekerheid Meetonzekerheden kunnen worden onderscheiden in systematische en toevallige meetfouten. De systematische fouten worden veroorzaakt door afwijkingen in versterking en nulpunt instellingen van de gebruikte meetapparatuur en hulpmiddelen. De toevallige fouten ontstaan door ruis en geïnduceerde spanningen en/of stromen. Definitie nauwkeurigheid en precisie Veelal worden de begrippen nauwkeurigheid en precisie door elkaar gebruikt, ze worden als synoniemen van elkaar beschouwd. Deze twee termen hebben echter een geheel verschillende betekenis. De nauwkeurigheid heeft geeft aan hoe accuraat de meting is, ofwel hoe groot de afwijking is tussen de gemeten en werkelijke waarde. De precisie heeft betrekking op de willekeurige spreiding van de gemeten waarden. Fig. 1: Definities meetonzekerheden. Links een reeks metingen. Rechts zijn de meetwaarden uitgezet in een histogram. Als een serie metingen wordt verricht aan een stabiele spanning of andere parameter zullen de gemeten waarden onderling een zekere variatie vertonen. Dit wordt onderander veroorzaakt door thermische ruis in het meetcircuit van de gebruikte meetapparatuur en de meetopstelling. De grafiek links in figuur 1 geeft deze variatie weer. Histogram De gemeten waarden kunnen worden uitgezet in een histogram zoals rechts in figuur 1. Het histogram geeft aan hoe vaak een gemeten waarde voorkomt. De top van het histogram, dit is de gemeten waarde die vaakst gemeten is, geeft de gemiddelde waarde aan. Deze is aangeduid met de blauwe lijn in beide grafieken. De zwarte lijn representeert de werkelijke waarde van de parameter. Het verschil tussen de gemiddeld gemeten waarde en de werkelijke waarde is de nauwkeurigheid. De breedte van het histogram geeft aan hoeveel de individuele metingen uit elkaar liggen. Deze spreiding van meetwaarden wordt aangeduid als precisie. Gebruik de juiste definitie Nauwkeurigheid en precisie hebben dus een verschillende betekenis. Het is daarom heel goed mogelijk dat een meting heel precies is maar niet nauwkeurig. Of omgekeerd: een zeer nauwkeurige meting, maar niet precies. Over het algemeen wordt een meting geldig beschouwd als de meting zowel precies als nauwkeurig is. Nauwkeurigheid De nauwkeurigheid is een aanduiding voor de juistheid van een meting. Omdat bij een enkele meting de precisie ook invloed heeft op de nauwkeurigheid wordt hiervoor een gemiddelde genomen van een serie metingen. De meetonzekerheid van meetinstrumenten wordt normaliter gegeven door middel van twee waarden: onzekerheid ten opzichte van de afgelezen waarde en onzekerheid ten opzichte van de volle schaal. Deze twee specificaties samen bepalen de totale meetonzekerheid. Deze waarden voor de meetonzekerheid wordt opgegeven in procenten of in ppm (parts per million) in relatie tot de nationaal geldende standaard. 1 % komt overeen met 10000 ppm. De opgegeven meetonzekerheid wordt opgegeven voor gespecificeerde temperatuurgebieden en voor bepaalde tijdperiode na kalibratie. Houd er ook rekening mee dat voor de verschillende meetbereiken andere meetonzekerheden kunnen gelden. Fig. 2: Onzekerheid bij 5 % reading en een afgelezen waarde van 70 V. Onzekerheid t.o.v. afgelezen waarde In het engels wordt dit aangeduid als "reading" of afgekort "rdg". Een opgave van een percentuele afwijking zonder verdere aanduiding heeft ook betrekking op de afgelezen waarde. Deze onnauwkeurigheid wordt veroorzaakt door toleranties van de spanningsdelers, de exacte versterking en absolute afwijking van de uitlezing of digitalisatie. Een voltmeter waarop 70,00 V wordt afgelezen en een specificatie "±5 % reading" heeft, heeft een meetonzekerheid van 3,5 V (5 % van 70 V) naar boven en beneden. De werkelijke spanning kan liggen tussen 66,5 en 73,5 volt. Fig. 3: Onzekerheid bij 3 % full scale in het 100 V bereik. Onzekerheid t.o.v. volle schaal Engels: "full scale". Dit type onnauwkeurigheid wordt veroorzaakt door offsetfouten en niet lineairiteits fouten van versterkers. En bij instrumenten die signalen digitaliseren, door de niet lineairiteit en onzekerheid van de conversie in AD-converters. Deze specificatie heeft betrekking op het meetbereik, ofwel volle schaal, waarin gemeten wordt. Een voltmeter kan bijvoorbeeld een specificatie "3 % full scale" hebben. Wordt dan gemeten in het meetbereik 100 V (= volle schaal) dan is de meetonzekerheid 3 % van 100 V = 3 V ongeacht de spanning die wordt gemeten. Wordt in dit meetbereik 70 V afgelezen, dan kan de werkelijke spanning tussen 67 en 73 volt liggen. Figuur 3 maakt al duidelijk dat de dit type tolerantie onafhankelijk is van de afgelezen waarde. Zou een waarde van van 0 V worden afgelezen, dan zou in dit geval de spanning in werkelijkheid tussen -3 en +3 volt liggen. Full scale onzekerheid in digits Vaak wordt bij digitale multimeters de volle schaal onzekerheid opgegeven in digits in plaats van een procentuele waarde. Van een multimeter met een digitale 3½ digit uitlezing (bereik -1999 t/m +1999) kan de specificatie luiden "+ 2 digits". Dit houd in dat de meetonzekerheid 2 eenheden van het display bedraagt. Wordt bijvoorbeeld gemeten in het 20 volt bereik (±19.99) dan is de volle schaal onzekerheid ±0,02 V. Wordt op het display een waarde van 10.00 afgelezen dan zal de werkelijke waarde moeten liggen tussen 9,98 en 10,02 volt. Fig. 4: Totale onzekerheid bij 5 % reading en 3 % full-scale op een bereik van 100 V bij een afgelezen waarde van 70 V. Berekening meetonzekerheden De specificatie van de tolerantie van de aflezing en volle schaal bepalen samen de totale meetonzekerheid van een instrument. In het rekenvoorbeeld worden dezelfde waarden gebruikt als in de voorbeelden hierboven: Acuracy: ±5 % reading (3 % full scale) Bereik: 100 V, afgelezen waarde: 70 V De totale meetonzekerheid wordt nu als volgt berekend: [equ. 1] In deze situatie geldt een totale meetonzekerheid van 7,5 V naar boven en beneden. De werkelijke waarde moet dan liggen tussen 62,5 en 77,5 volt. In figuur7 4 is dit nog eens grafisch weergegeven. De procentuele onzekerheid is de verhouding tussen de afgelezen waarde en onzekerheid. In deze situatie is dit: [equ. 2] Digits Bij digitale multimeters zou men de specificatie "±2,0 % rdg, + 4 digits" kunnen aantreffen. Dit houdt in dat nog 4 digits bij de afleesonzekerheid van 2 % moet optellen. Als voorbeeld hier weer een digitale 3½ digit uitlezing. Hierop wordt 5.00 V afgelezen in het 20 V bereik. 2 % van de afgelezen waarde zou betekenen een onzekerheid van 0,1 V. Tel hierbij de onnauwkeurigheid van de digits (= 0.04 V) op. De totale onzekerheid komt dan op 0.14 V. De werkelijke waarde moet liggen tussen 4,86 en 5,14 volt. Cumulatieve meetonzekerheid Vaak wordt alleen rekening gehouden met de meetonzekerheid van het meetinstrument. Maar er dient ook rekening gehouden te worden met extra gebruikte meethulpmiddelen die de meetonzekerheid kunnen vergroten. Hieronder staan een aantal voorbeelden beschreven: Vergrootte onzekerheid bij gebruik 1:10 probe Als gebruik wordt gemaakt van een 1:10 probe, dient niet alleen rekening gehouden te worden met de meetonzekerheid van het meetinstrument. Ook de tolerantie van de ingangsimpedantie en de weertand van de probe die samen een spanningsdeler vormen hebben invloed op de meetonzekerheid. Fig. 5: Een 1:1 probe aangesloten op een oscilloscoop. In figuur 5 staat een oscilloscoop met een 1:1 probe schematisch weergegeven. Als we deze probe als ideaal beschouwen (geen serieweerstand) zal de spanning die op de probetip wordt aangeboden rechtstreeks aankomen bij de ingang van de oscilloscoop. De meetonzekerheid wordt nu alleen bepaald door de toleranties in de verzwakker, versterker en verdere bewerkingen die gespecificeerd zijn door de fabrikant. (De onzekerheid wordt ook beïnvloed door het weerstandnetwerk die de inwendige weerstand Ri vormen. Dit is inbegrepen bij de opgegeven toleranties.) Fig. 6: Een 1:10 probe aangesloten op een oscilloscoop veroorzaakt een extra geïntroduceerde meetonzekerheid. In figuur 6 staat dezelfde scoop afgebeeld, maar nu is hier een 1:10 probe op aangesloten. Deze probe heeft inwendig een serieweerstand Rp die samen met de ingangsweerstand van de oscilloscoop Ri een spanningsdeler vormt. Deze spanningsdeler heeft door de tolerantie van de weerstanden een eigen meetonzekerheid. De tolerantie van de ingangsweerstand van de oscilloscoop is een gegeven dat in de specificaties terug is te vinden. De tolerantie van de serieweerstand van de probe Rp wordt niet altijd als zodanig vermeld. Wel wordt de systeem onzekerheid vermeld van de combinatie van de probe met een voorgeschreven type oscilloscoop. Wordt een gegeven probe gebruikt bij een ander dan voorgeschreven oscilloscoop, dan is de meetonzekerheid onbepaald. Dit moet dus te allen tijde worden vermeden. Kwadratisch optellen Om tot de effectieve meetonzekerheid te komen moeten alle toleranties kwadratisch opgeteld worden. In het voorbeeld heeft de oscilloscoop een tolerantie heeft van 1,5 % en een 1:10 probe gebruikt is met een systeemonzekerheid van 2,5 %. Deze twee waarden worden kwadratisch opgeteld om de totale reading-onzekerheid te verkrijgen: [equ. 3] Meten met een shuntweerstand Fig. 7: Meetonzekerheid verhoging bij gebruik shuntweerstand. Voor het meten van stromen wordt soms gebruik gemaakt van een externe shuntweerstand. Deze shunt heeft ook een zekere tolerantie die invloed heeft op de meting. De opgegeven tolerantie van de shuntweerstand heeft betrekking op de afleesonzekerheid. Om de totale onzekerheid te weten moet de tolerantie van de shunt en de reading-onzekerheid van het meetinstrument kwadratisch bij elkaar worden opgeteld: [equ. 4] In dit voorbeeld wordt de totale aflees onzekerheid 2,5 %. De weerstand van de shunt is temperatuurafhankelijk. De weerstandwaarde wordt gespecificeerd voor één gegeven temperatuur. De temperatuur afhankelijkheid wordt vaak opgegeven in ppm/°C. Als voorbeeld de berekening van de weerstandswaarde bij een omgevingstemperatuur (Tamb) van 30 °C. De shunt heeft als specificatie: R=100 Ω @ 22 °C (respectievelijk Rnom & Tnom), en een temperatuurafhankelijkheid van 20 ppm/°C. [equ. 5] De stroom die door de shunt loopt heeft tot gevolg dat de shunt opwarmt waardoor de temperatuur en daarmee de weerstandswaarde verloopt. Het verloop van de weerstandswaarde als gevolg van de stroomdoorgang is van meerdere factoren afhankelijk. Voor zeer nauwkeurige metingen moet de weerstand gekalibreerd worden bij een stroom en omgevingscondities waarbij deze gebruikt gaat worden. Precisie Met precisie wordt de toevallige meetafwijking uitgedrukt. Het willekeurige karakter van de afwijkingen van de meetwaarde is veelal van thermische oorsprong. Door het willekeurige karakter van deze ruis is geen absolute fout te geven van de meetafwijking. De precisie geeft dan ook aan hoe groot de kans is dat de meetwaarde binnen aangegeven grenzen valt. Fig. 8: Kansverdeling bij μ=2 en σ=1. Gaussische verdeling Thermische ruis heeft een gaussische, ofwel normale verdeling. Deze wordt beschreven met de volgende vergelijking: [equ. 6] Hierin is μ de gemiddelde waarde en σ geeft de mate van spreiding aan en komt overeen met de RMS-waarde van het ruissignaal. De funktie levert een kansverdelingscurve zoals deze staat afgebeeld in figuur 8 waar de gemiddelde waarde μ 2 en de effectieve ruis amplitude σ 1 is. Tabel 1: Kanswaarden Grens Kans 0,5·σ 38,3 % 0,674·σ 50,0 % 1·σ 68,3 % 2·σ 95,4 % 3·σ 99,7 % Kanstabel In tabel 1 staan enkele kansgroottes uitgedrukt bij een zeker grenswaarden. Zoals te zien is de kans dat een meetwaarde binnen ±3·σ valt, 99,7 % is. Verbeteren precisie De precisie van een meting kan worden verbeterd door oversampeling of filtering. Hierdoor worden individuele meetwaarden uitgemiddeld waardoor het ruisaandeel sterk verminderd. De spreiding van de meetwaarden neemt hierdoor ook af. Bij oversampling of filtering moet wel rekening worden gehouden dat de bandbreedte hierdoor afneemt. Resolutie De resolutie, ook wel oplossend vermogen van een meetsysteem is het kleinst nog te maken onderscheid in twee verschillende meetwaarden. De opgegeven resolutie van een meetinstrument heeft geen relatie tot de juistheid van de meting. Digitale meetsystemen Digitale systemen zetten met een AD-converter het aangeboden meetsignaal om in een digitaal equivalent. Het verschil tussen twee meetwaarden dus de resolutie is hierdoor altijd gelijk aan één bit. Of in het geval van een digitale multimeter wordt dit 1 digit. Behalve in bits of digits kan de resolutie ook in een andere eenheid worden genoteerd. Als voorbeeld een digitale oscilloscoop die over een 8 bits AD-converter beschikt en staat ingesteld op verticale gevoeligheid van 100 mV/div. Het totaal aantal divisions is 8 waardoor het totale meetbereik 800 mV beslaat. De 8 bits representeren 28 = 256 verschillende waarden. De resolutie in volts wordt dan 800 mV / 256 = 3,125 mV. Analoge meetsystemen In het geval van analoge meetinstrumenten waarbij de meetwaarde op mechanische wijze wordt weergegeven, bijvoorbeeld door een draaispoelmeter, is een exact getal voor de resolutie nauwelijks te geven. Enerzijds wordt de resolutie beperkt door de hysterese veroorzaakt door mechanische wrijving van de lagering van de naald. Anderzijds wordt de resolutie bepaald door de waarnemer, waardoor dit een subjectief
