VII.2.3 Technieken voor het bepalen van kostenfuncties

VII.2.3
Technieken voor het bepalen van
kostenfuncties
Drs. G.J.M. Braam RA*
Het management van een organisatie moet bij het plannen en uitvoeren
van taken ten behoeve van het bereiken van gestelde doelen beslissingen
nemen. Binnen dit kader is cost accounting van belang. Cost accounting
kan worden omschreven als het verstrekken van kostengegevens aan het
management ten behoeve van het nemen van (economische) beslissingen.
Cost accounting functioneert als een gereedschap bij plannings- en beheersingsvraagstukken (‘planning and control decisions’). De verstrekte gegevens
dienen onder andere als basis voor het bepalen van (standaard)kostprijzen,
tarieven en verkoopprijzen, het opstellen van budgetten, het uitvoeren van
verschillen-analyses en ten behoeve van het opstellen van balansen en
winst- en verliesrekeningen. Wezenlijk hierbij is dat de manager inzicht
heeft in de manier waarop kosten reageren op veranderingen in de bedrijfsdrukte. Deze bijdrage gaat over manieren hoe dit inzicht verkregen kan
worden: kostenfuncties.
1. Doel
Kostenfuncties zijn functies die een beschrijving geven van de manier
waarop kosten reageren op veranderingen in de bedrijfsdrukte binnen
een relevante range van activiteiten en binnen een bepaalde periode. Er
wordt door middel van kostenfuncties een functioneel verband gelegd
tussen de kosten van input en de met deze kosten behaalde of te behalen output (bijvoorbeeld een aantal geproduceerde of te produceren
* Drs. G.J.M. Braam RA is universitair docent bij de Vakgroep Bedrijfswetenschappen, Sectie Bedrijfseconomie in de Faculteit der Beleidswetenschappen van de
Katholieke Universiteit Nijmegen.
Praktijkboek Financieel Management afl. 22 (maart 1994)
VII.2.3-01
eenheden in een periode). Kostenfuncties dienen om te komen tot een
adequaat inzicht in de relatie tussen veranderingen in de bedrijfsactiviteiten en de hiermee samenhangende mutaties in de kosten, en dat
alles binnen (relevante) tijdsintervallen. Op grond van dit inzicht kunnen meer verantwoorde beslissingen worden genomen, zowel in het
kader van de planning als in het kader van de evaluatie van activiteiten
(‘control’).
Teneinde inzicht in kostenstructuren te verkrijgen wordt allereerst een
analyse gemaakt van mogelijke samenhangen tussen in het verleden gemaakte kosten en activiteitenniveaus. Op grond van deze analyse worden (vermoedelijk) bestaande relaties met behulp van kostenfuncties
beschreven. Het op grond van deze analyse verkregen inzicht is van
primair belang voor met name de ‘control decisions’. Voor het nemen
van beslissingen in het kader van de planning is inzicht in de hoogten
en mogelijke fluctuaties van toekomstige kosten van primair belang.
Kostenfuncties hebben in het kader van planning primair een voorspellende functie. Het ‘planningsinzicht’ wordt mede verkregen op basis
van inzicht in de bestaande relaties en dus ook gefundeerd op een retrospectieve analyse.
2. Toepassingsgebieden
Kostenfuncties kunnen in alle situaties worden toegepast waarin inzicht in de relatie tussen de mate waarin kosten variëren bij veranderende activiteiten-niveaus binnen bepaalde tijdsintervallen relevant is
voor besluitvormingsprocessen. Relevant wil zeggen dat de kostengegevens de onzekerheid met betrekking tot de besluitvorming reduceren. Zo kan bijvoorbeeld inzicht in kostengedrag bij het opstellen
van offertes het risico reduceren dat er te laag wordt geoffreerd. Om
kostenfuncties te kunnen bepalen en gebruiken moet aan verschillende
aannames worden voldaan. Drie belangrijke aannames zijn:
– hoe meer waarnemingen er worden gedaan, hoe betrouwbaarder de
bepaling van de kostenfunctie zal zijn;
– de meetperioden zijn gelijk;
– prestatie-eenheden en kosten zijn toerekenbaar aan perioden. Indien
dit niet mogelijk is, zal de schatting van de kosten onnauwkeuriger
worden.
Ten behoeve van het inzicht in kostengedrag moeten kosten worden
ingedeeld naar verschillende gezichtspunten. Voorbeelden van indelingen zijn indelingen in vaste en variabele kosten, directe en indirecte
VII.2.3-02
kosten, naar kostensoorten en/of naar kostenfuncties. Voor het opstellen van kostenfuncties is met name het onderscheid tussen vaste en
variabele kosten van belang.
Vaste kosten zijn kosten die in een periode onafhankelijk zijn van de
bedrijfsdrukte. De bedrijfsdrukte wordt hierbij uitgedrukt in werkeenheden zoals het aantal geproduceerde eenheden of het aantal verkochte eenheden in een periode. In figuur 1 is een voorbeeld van een
vaste kostenfunctie weergegeven.
Kosten
Bedrijfsdrukte per periode
Figuur 1. Vaste kostenfunctie
Variabele kosten zijn kosten die binnen een periode veranderen als gevolg van veranderingen van de bedrijfsdrukte in die periode. In figuur
2, 3 en 4 zijn voorbeelden gegeven van kostenfuncties voor respectievelijk proportioneel variabele kosten (bijvoorbeeld het aantal flesjes in
een bierbrouwerij), progressief variabele kosten (bijvoorbeeld overuren)
en degressief variabele kosten (bijvoorbeeld arbeid waarbij een leereffect optreedt).
Praktijkboek Financieel Management afl. 22 (maart 1994)
VII.2.3-03
Kosten
Bedrijfsdrukte per periode
Figuur 2. Proportioneel variabele kosten
Kosten
Bedrijfsdrukte per periode
Figuur 3. Progressief variabele kosten
VII.2.3-04
Kosten
Bedrijfsdrukte per periode
Figuur 4. Degressief variabele kosten
De meeste kosten zijn echter ten dele vast en ten dele variabel: gemengde
kosten. In figuur 5, 6 en 7 zijn voorbeelden opgenomen van kostenfuncties waarin de kosten een gemengd karakter hebben. Figuur 5
Kosten
Bedrijfsdrukte per periode
Figuur 5. Gemengde kosten: telefoonrekening
Praktijkboek Financieel Management afl. 22 (maart 1994)
VII.2.3-05
Kosten
Aantal gereden kilometers
per periode
Figuur 6. Gemengde kosten: kosten huurauto
Kosten
Bedrijfsdrukte per periode
Figuur 7. Gemengde kosten: huur containers
VII.2.3-06
betreft een voorbeeld van een telefoonrekening: de abonnementskosten
zijn vast en de gesprekskosten zijn variabel. Figuur 6 geeft de kosten
van een huurauto weer: de kosten tot en met kilometer x zijn vast, gevolgd door een additioneel variabel tarief voor alle meer gereden kilometers. De kosten van de huur van containers is weergegeven in
figuur 7: semi vaste of variabele kosten per container.
Hierbij moet worden opgemerkt dat vaste en variabele kostenfuncties
als bijzondere varianten van een gemengde kostenfunctie kunnen worden gezien. Een variabele kostenfunctie is bijvoorbeeld een gemengde
kostenfunctie waarbij de vaste kosten nul zijn. De in paragraaf 3 uitgewerkte methode om kostenfuncties te bepalen met de diverse nader
uitgewerkte varianten resulteren alle in gemengde kostenfuncties.
3. Methode
In deze paragraaf wordt een algemene methode beschreven voor het bepalen van kostenfuncties. Bij deze algemene methode moet voor een
benaderingswijze worden gekozen. Voor deze benaderingswijze zijn
diverse varianten mogelijk, die in de paragrafen 3.2 en 3.3 beschreven
worden. De paragraaf Methode is als volgt onderverdeeld:
– 3.1 Stappen bij het bepalen van een kostenfunctie;
– 3.2 Bepaling van kostenfuncties op basis van historische gegevens;
– 3.3 Bepaling van kostenfuncties op basis van produktiefunctie.
3.1 Stappen bij het bepalen van een kostenfunctie
Om een kostenfunctie te kunnen bepalen, dienen de volgende zes stappen te worden doorlopen. Vooraf moet worden opgemerkt dat bij de
analyse de stappen wellicht meerdere keren zullen moeten worden
doorlopen alvorens een acceptabele kostenfunctie is bepaald.
Stap 1. Kies een benaderingsmethode
De methoden voor het bepalen van kostenfuncties kunnen in twee
hoofdgroepen worden opgedeeld: methoden voor het bepalen van kostenfuncties op basis van historische gegevens en methoden voor het
bepalen van kostenfuncties op basis van produktiefuncties.
Stap 2. Kies de afhankelijke variabele
De afhankelijke variabele is de variabele die moet worden geschat of
voorspeld. Bij kostenfuncties is de afhankelijke variabele de schatting
of voorspelling van de kosten waarin een manager meer inzicht in wil
Praktijkboek Financieel Management afl. 22 (maart 1994)
VII.2.3-07
hebben. Kostenschattingen hebben hierbij betrekking op historische
gegevens en kostenvoorspellingen hebben betrekking op toekomstige
verwachtingen.
Stap 3. Kies de onafhankelijke variabele(n)
De onafhankelijke variabele(n) is (zijn) de verklarende variabele(n).
Een onafhankelijke variabele is een variabele met behulp waarvan de
afhankelijke variabele kan worden geschat of voorspeld. Binnen de cost
accounting context worden in het algemeen de volgende onafhankelijke variabelen gebruikt: geproduceerde produkten in eenheden, guldens of in kilogrammen, verkochte eenheden produkt in aantallen,
omzet in guldens, directe arbeidsuren en machine-uren in guldens of in
uren enz.
Een voorwaarde waaraan moet worden voldaan bij de keuze van de onafhankelijke variabelen is dat er een economisch logische causale plausibele relatie moet bestaan met de afhankelijke variabele. De (gedefinieerde) range van de onafhankelijke variabele(n), waarbinnen de
kostenfunctie hierbij geldig is (zijn), heet de relevante range. Een
tweede voorwaarde waaraan moet worden voldaan is dat zowel de
afhankelijke als de onafhankelijke(n) variabelen meetbaar moeten zijn.
Stap 4. Verzamel gegevens van de afhankelijke en de onafhankelijke variabelen
Dit is in het algemeen de moeilijkste stap in de analyse. Essentieel is in
ieder geval dat de perioden (in minuten, uren, dagen, weken, jaren
enz.) waarin de afhankelijke en de onafhankelijke variabelen worden
gemeten identiek zijn. Verder dienen bij vergelijking tussen perioden
onderling bijvoorbeeld optredende leereffecten en/of effecten ten
gevolge van veranderende technologie die resulteren in belangrijke veranderingen in de produktietechnologie, of effecten ten gevolge van
(belangrijke) prijswijzigingen vermeden of geëlimineerd te worden. Zo
zou er in het geval er sprake is van sterke prijswijzigingen (inflatie)
bijvoorbeeld gemeten kunnen worden in eenheden fysiek produkt in
plaats van in geld.
Stap 5. Teken de gegevens
Via een tekening wordt de mogelijkheid verschaft om een mogelijke
relatie visueel waar te nemen. Een tekening biedt daarnaast de mogelijkheid om extreme waarnemingen te signaleren. Bij deze extreme
waarnemingen kan vervolgens worden gecontroleerd of ze niettemin
toch juist zijn, dan wel dat er bij het waarnemen fouten zijn gemaakt.
VII.2.3-08
Stap 6. Beoordeel de kostenfunctie
Bij het beoordelen van de kostenfunctie dient erop gelet te worden dat
de kostenfunctie (economisch) plausibel is. Dit wil zeggen dat de functie logisch en aannemelijk is. Bij lineaire regressie kan daarnaast met
behulp van een objectieve maatstaf de mate van samenhang tussen de
afhankelijke en de onafhankelijke variabelen worden beoordeeld. Deze
maatstaf heet de determinatiecoëfficiënt.
3.2 Bepaling van kostenfuncties op basis van historische gegevens
Voor het bepalen van kostenfuncties op basis van historische gegevens
worden vijf benaderingswijzen besproken:
a. analytische benadering;
b. boekhoudkundige benadering;
c. visuele benadering;
d. hoogste-laagste benadering;
e. lineaire regressie.
De benaderingswijzen worden aansluitend met een getallenvoorbeeld
nader toegelicht.
a. Analytische benadering
Bij de analytische benadering, die ook wel de technische benadering
wordt genoemd (of ‘the (industrial) engineering or work measurement
approach’), worden de relaties tussen inputs en outputs geanalyseerd en
vervolgens gekwantificeerd in fysieke termen zoals directe arbeidsuren,
kilogrammen, aantal verwerkte eenheden per periode enz. De metingen in fysieke eenheden worden vervolgens getransformeerd in standaarden of budgetten.
Een voordeel van de analytische benadering is dat de structuur van het
voortbrengingsproces in een grote mate van detaillering in kaart wordt
gebracht op basis van specificaties naar inputfactoren van het produkt
dat wordt voortgebracht.
Een nadeel van deze benadering is dat de benadering ten gevolge van
de te verrichten werkzaamheden duur is wat uitvoering betreft ten
opzichte van de economische voordelen die moeten voortvloeien uit
een vergroot inzicht. Bij deze benadering wordt overigens geen gebruik
gemaakt van wiskundige technieken.
b. Boekhoudkundige benadering
Bij de boekhoudkundige benadering worden de kosten aan de hand
van het grootboek geclassificeerd als vaste, variabele en gemengde kosPraktijkboek Financieel Management afl. 22 (maart 1994)
VII.2.3-09
ten. Deze onderverdeling vindt bijvoorbeeld plaats op grond van ervaring of op grond van lering uit voorgaande perioden.
Een voordeel van de boekhoudkundige benadering is dat – mits de gegevens toereikend zijn – de benodigde gegevens op een relatief eenvoudige wijze kunnen worden verkregen.
Nadelen van deze benaderingswijze kunnen zijn dat de inschattingen
of kosten vast of variabel zijn, verkeerd zijn en dat de kostenindeling,
zoals bij de financiële administratie wordt aangehouden, voor het opstellen van kostenfuncties niet de meest wenselijke is.
c. Visuele benadering
Bij de visuele benadering, die ook wel de grafische benadering wordt
genoemd, worden de verzamelde gegevens grafisch uitgezet. De mate
van verstrooiing van de punten in de grafiek is een indicatie voor de
mate van samenhang (ook wel correlatie genoemd) tussen de kosten en
het activiteitenniveau. Indien uit de grafiek blijkt dat er een redelijk
lineair verband bestaat tussen de mutaties in de kosten en het activiteitenniveau, dan wordt de relatie met behulp van een kostenfunctie met
de volgende gedaante benaderd:
ŷ = a . x + b
waarin:
ŷ = het bedrag van de geschatte of voorspelde kosten indien er x werkeenheden worden voortgebracht;
x = het (binnen een relevante range) voortgebrachte aantal werkeenheden;
a = het bedrag van de geschatte variabele kosten per werkeenheid;
b = het bedrag van de geschatte vaste kosten (per periode).
Door twee punten uit de puntengrafiek te kiezen, bijvoorbeeld (x1, y1)
en (x2, y2), kan de relatie worden bepaald:
ŷ = a . x + b
y 2 − y1
en b = y 2 − a.x 2 = y1 − a.x 1
x 2 − x1
De geschatte relatie is uitsluitend van toepassing in het gebied waarbinnen de waarnemingen van x zijn verricht ( de ‘relevant range’). In
figuur 8 is een grafisch voorbeeld opgenomen.
met
a=
Deze benadering heeft voordelen. Zij is eenvoudig en geeft – door de
geschatte kostenfunctie te tekenen in de grafische weergave van de
waarnemingen – inzicht in de mate waarin de kostenfunctie een adequate benadering voor de werkelijke waarnemingen is. Een nadeel is
dat de benadering uiterst subjectief is: een ieder zal (kunnen) komen
tot een andere uitkomst.
VII.2.3-10
Kosten
.
. ..
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
Bedrijfsdrukte per periode
Figuur 8. Visuele benadering
d. Hoogste-laagste benadering
Bij de hoogste-laagste benadering wordt uitgegaan van de waarneming
met de laagste kosten en de waarneming met de hoogste kosten, bijvoorbeeld (xl, yl) en (xh, yh). Op grond van deze twee waarnemingen
wordt de volgende lineaire relatie bepaald:
ŷ = a . x + b
met
a=
y h − y1
en b = y h − a.x h = y1 − a.x 1
x h − x1
waarin:
ŷ = het bedrag van de geschatte of voorspelde kosten indien er x werkeenheden worden voortgebracht;
x = het (binnen een relevante range) voortgebrachte aantal werkeenheden;
a = het bedrag van de geschatte variabele kosten per werkeenheid;
b = het bedrag van de geschatte vaste kosten (per periode).
In figuur 9 is een voorbeeld van deze benadering opgenomen.
Praktijkboek Financieel Management afl. 22 (maart 1994)
VII.2.3-11
Kosten
.
. ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
Bedrijfsdrukte per periode
Figuur 9. Hoogste-laagste benadering
Een voordeel van de benadering is dat de benadering objectief is: er
wordt immers uitgegaan van bekende waarnemingen en een ieder die
deze benaderingswijze toepast zal tot eenzelfde uitkomst komen. Een
ander voordeel is dat deze benadering sneller is dan de visuele benadering; de waarnemingen hoeven immers voor het bepalen van een kostenfunctie niet in een grafiek te worden uiteengezet.
Een nadeel van deze benadering is dat de bepaling van de kostenfunctie
uitsluitend op twee waarnemingen wordt gebaseerd. Stel bijvoorbeeld
dat de laagste waarneming een foutieve extreme waarneming is die volledig buiten het ‘normale’ bereik valt. De geschatte kostenfunctie zal
dan een volledig ander verband suggereren dan in het geval deze
extreme waarneming zou zijn geëlimineerd uit de set waarnemingen
(zie bijvoorbeeld figuur 9 en figuur 10).
Tenslotte moet erop gewezen worden dat er bij deze benadering een
probleem kan optreden als de laagste c.q. hoogste kosten niet samenvallen met het laagste c.q. hoogste bedrijfsactiviteitenniveau. In die gevallen is er namelijk geen uniek laagste en/of hoogste punt te bepalen.
e. Lineaire regressie
In deze paragraaf wordt lineaire regressie volgens de methode van de
kleinste kwadraten (‘ordinary least squares’) uitgewerkt. Bij deze benadering wordt verondersteld dat voor het bepalen van een kostenfunctie
VII.2.3-12
Kosten
.
. ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
Bedrijfsdrukte per periode
Figuur 10. Hoogste-laagste benadering foutief
een lineair verband volstaat en dat de kosten (afhankelijke variabele)
adequaat kunnen worden geschat of voorspeld door het bedrijfsactiviteitenniveau (onafhankelijke variabele(n)). Indien de afhankelijke
variabele met behulp van één onafhankelijke variabele wordt geschat is
er sprake van enkelvoudige lineaire regressie (‘simple regression’). De
kostenfunctie heeft dan de volgende gedaante:
ŷ = a . x + b
waarin:
ŷ = het bedrag van de geschatte of voorspelde kosten indien er x werkeenheden worden voortgebracht;
x = het (binnen een relevante range) voortgebrachte aantal werkeenheden;
a = het bedrag van de geschatte variabele kosten per werkeenheid;
b = het bedrag van de geschatte vaste kosten (per periode).
Indien de afhankelijke variabele met behulp van meer dan één onafhankelijke variabele wordt geschat (x1, x2, …), is er sprake van meervoudige lineaire regressie (‘multiple regression’). Door meerdere verklarende variabelen aan de vergelijking toe te voegen kan een beter
schattingsresultaat ontstaan. De kostenfunctie heeft dan de volgende
gedaante:
ŷ = a1 . x1 + a2 . x2 + … + b
Praktijkboek Financieel Management afl. 22 (maart 1994)
VII.2.3-13
Het criterium op grond waarvan de coëfficiënten worden geschat, is
het minimaliseren van de som van de verschillen tussen de werkelijke
waarnemingen van de kosten en de geschatte kosten. Stel dat er n waarnemingen zijn gedaan, yi de werkelijke kosten zijn en de geschatte kosten bij de i-de waarneming xi, dan worden de formules met behulp
waarvan de coëfficiënten worden berekend, afgeleid door de doelfunctie te minimaliseren:
n
Min.
∑( y1 − ŷ i ) 2 = Min.
i=1
n
∑( e i ) 2
i =1
Hierbij wordt ei = yi - ŷi de residuvariabele (ook wel de storingsterm)
genoemd. Bij enkelvoudige regressie valt af te leiden dat:
n
a=
∑( y i − y ).( x i − x )
i =1
n
∑( x i − x ) 2
i =1
en b = y − a.x
met x =
1 n
1 n
x
en
y
=
∑i
∑ yi
n n =1
n i =1
Om lineaire regressie toe te kunnen passen moet aan een aantal voorwaarden zijn voldaan. Deze voorwaarden zijn op te delen in vier groepen:
1. economische plausibiliteit;
2. determinatiecoëfficiënt > 0,8;
3. significantie van de ‘variabele’ coëfficiënt;
4. statistische criteria.
Ad 1. Economische plausibiliteit
Economische plausibiliteit houdt in dat er een causaal verband moet
bestaan tussen de onafhankelijke en de afhankelijke variabelen. De
manager moet daarnaast ook ‘intuïtief ’ van dit verband overtuigd zijn.
Binnen deze context wordt een correlatiecoëfficiënt tussen de onafhankelijke(n) en de afhankelijke variabelen ook wel geïnterpreteerd als een
indicatie voor de mate van economische plausibiliteit. Hierbij moet
echter worden opgemerkt dat correlatie niet per definitie causaliteit
impliceert!
VII.2.3-14
Ad 2. Determinatiecoëfficiënt > 0,8
De determinatiecoëfficiënt (R2) is een maat voor samenhang. De determinatiecoëfficiënt geeft de mate aan waarin de afhankelijke variabele
wordt verklaard door lineaire regressie met behulp van de onafhankelijke variabele. Deze coëfficiënt geeft het deel van de beweging van
de afhankelijke variabele aan dat het gevolg is van de beweging van de
onafhankelijke variabele.
In formulevorm kan de determinatiecoëfficiënt als volgt worden weergegeven:
n
n
R2 =
∑( y i − ŷ i ) 2
i =1
n
∑( y i − y ) 2
i =1
=1 −
∑( e i2 )
n =1
n
∑( y i − y ) 2
i =1
De determinatiecoëfficiënt heeft altijd een waarde tussen nul en één.
Als de coëfficiënt de waarde nul heeft dan wil dat zeggen dat er geen
sprake is van samenhang. Als de waarde één is dan wil dat zeggen dat
de schattingen voor yi, ŷi, exact gelijk zijn aan de werkelijke waarnemingen van ŷi. Een vuistregel voor een voldoende mate van samenhang is bijvoorbeeld dat de determinatiecoëfficiënt groter dan of gelijk
is aan 0,8.
Ad 3. Significantie van de ‘variabele’ coëfficiënt
Bij enkelvoudige regressie dient de geschatte variabele coëfficiënt a
(meervoudige regressie: variabele coëfficiënten a1, a2, …) significant
van nul te verschillen. Het voldoen aan deze voorwaarde impliceert dat
er een significant verband bestaat tussen veranderingen in de onafhankelijke verklarende variabele en veranderingen in de afhankelijke variabele. Teneinde vast te stellen of de geschatte variabele coëfficiënt a
significant van nul verschilt, dient de t-toets te worden uitgeoefend:
t-toets
Bij de t-toets wordt vastgesteld of een te berekenen t-waarde groter dan
of gelijk is aan een in een tabel met kritieke waarden of kwantielen van
de t-verdeling op te zoeken waarde. Als hieraan is voldaan dan verschilt
de geschatte variabele coëfficiënt a significant van nul.
De t-waarde is gelijk aan de waarde van de geschatte coëfficiënt gedeeld
door de standaardfout van de coëfficiënt. In formulevorm is de te berekenen t-waarde als volgt weer te geven: a / σa.
Praktijkboek Financieel Management afl. 22 (maart 1994)
VII.2.3-15
In een tabel met kritieke waarden of kwantielen van de t-verdeling
dient de volgende waarde te worden opgezocht: t(n-z; α/2)
waarin:
n: aantal waarnemingen;
z:
aantal (te schatten) coëfficiënten;
n-z: aantal vrijheidsgraden;
α : onbetrouwbaarheid;
1-α: betrouwbaarheid.
Om vast te stellen of de variabele coëfficiënt significant van nul verschilt moet dus gelden:
a / σa > t(n-z; α/2) (t-toets)
Bij ontbreken van een tabel met t-waarden wordt als vuistregel ook wel
genomen dat de berekende t-waarde groter dan of gelijk aan twee moet
zijn, wil er sprake zijn van een significant verband.
Betrouwbaarheidsintervallen
Met behulp van de waarde uit de ‘t-verdeling-tabel’ is het, naast het uitvoeren van een t-toets, ook mogelijk om betrouwbaarheidsintervallen
te berekenen. Bijvoorbeeld voor een schatting (voorspelling) van de
kosten ŷi kan gegeven een aantal werkeenheden xi het volgende (1-α)betrouwbaarheidsinterval (voorspellingsinterval) worden berekend:
ŷi+/- σy . t(n-z; α/2) met verwachte kosten ŷi = a . xi + b .
De interpretatie van dit interval is dat er met een kans van (1-α)%
zekerheid kan worden gesteld dat de ‘echte’ waarde van de kosten bij
een aantal werkeenheden xi ligt in het berekende betrouwbaarheidsinterval, waarbij de verwachte kosten ŷi zijn.
Ad 4. Statistische criteria
Om lineaire regressie te kunnen uitvoeren dient aan een aantal statistische criteria te zijn voldaan. De twee belangrijkste criteria zijn dat er
geen sprake mag zijn van autocorrelatie en multicollineariteit.
Geen autocorrelatie
Een van de voorwaarden om lineaire regressie te mogen uitvoeren is dat
de residuvariabelen niet met elkaar zijn gecorreleerd. Dit betekent dat
de residuvariabelen onafhankelijk zijn van elkaar. Met behulp van de
Durbin-Watson toets kan worden getoetst of aan deze voorwaarde is
voldaan.
VII.2.3-16
Geen multicollineariteit
Bij meervoudige lineaire regressie bestaat er een kans dat er multicollineariteit optreedt. Multicollineariteit is het verschijnsel dat er in een
regressievergelijking een grote mate van samenhang bestaat tussen twee
verklarende variabelen. Een voorbeeld van multicollineariteit is dat het
aantal directe arbeidsuren wordt geschat met behulp van een aantal
machine-uren en de hoeveelheid verbruikte energie door de betreffende
machine. Door toevoeging van de tweede variabele, die samenhangt
met de eerste variabele, zal de kracht van de voorspellingstechniek niet
veel toenemen. De aanwezigheid van multicollineariteit tussen paren
verklarende variabelen is vast te stellen door op deze paren ook lineaire
regressie toe te passen. Met behulp van een te berekenen determinatiecoëfficiënt kan vervolgens de mate van samenhang worden beoordeeld.
Als vuistregel zou kunnen worden genomen dat als de determinatiecoëfficiënt groter is dan 85% het gevaar van multicollineariteit zeer wel
aanwezig is.
Een voordeel van lineaire regressie is dat er – evenals bij de hoogstelaagste benadering – op een objectieve wijze gebruik wordt gemaakt
van alle waarnemingen. Daarnaast is het mogelijk om over met behulp
van de regressie-analyse bepaalde kostenfuncties uitspraken nader te
kwantificeren. Zo kunnen uitspraken over de mate van samenhang
nader worden gekwantificeerd met behulp van determinatiecoëfficiënten en kunnen uitspraken over de betrouwbaarheid nader worden
gekwantificeerd met behulp van betrouwbaarheidsintervallen.
Een nadeel van lineaire regressie is dat er aan relatief veel voorwaarden
moet zijn voldaan om de regressie te mogen uitvoeren. Lineaire regressie is verder wat bewerkelijker dan de boekhoudkundige, de visuele en
de hoogste-laagste benadering. Het rekenwerk kan echter met behulp
van bijvoorbeeld een spread-sheetprogramma tot een acceptabele hoeveelheid worden gereduceerd.
Getallenvoorbeeld
Een bedrijf brengt één soort produkt in massa voort. Het bedrijf heeft
drie managers die inzicht willen hebben in mutaties in de directe
arbeidskosten per maand. Ze besluiten de hoogte van de directe
arbeidskosten per maand te gaan schatten met behulp van een lineaire
kostenfunctie op basis van de produktie-omvang per maand.
Gedurende één jaar worden vervolgens gegevens verzameld (een waarneming per maand). Deze gegevens zijn weergegeven in tabel 1.
Praktijkboek Financieel Management afl. 22 (maart 1994)
VII.2.3-17
Maand
Productie-omvang
Totale directe
in eenheden
arbeidskosten
Januari
34
ƒ
340 000
Februari
44
ƒ
346 000
Maart
31
ƒ
287 000
April
36
ƒ
262 000
Mei
30
ƒ
220 000
Juni
49
ƒ
416 000
Juli
39
ƒ
337 000
Augustus
21
ƒ
180 000
September
41
ƒ
376 000
647
ƒ
295 000
November
34
ƒ
215 000
December
24
ƒ
275 000
Oktober
Totaal
430
ƒ 3 549 000
Tabel 1. Gedurende één jaar verzamelde gegevens
Stap 1: De managers kiezen allen een andere benaderingswijze om de
kostenfunctie gaan te bepalen. De eerste manager kiest voor de visuele
benadering, de tweede manager prefereert de hoogste-laagste benadering en de derde manager gaat gebruik maken van enkelvoudige lineaire regressie.
Stap 2: De afhankelijke variabele ŷ is het aantal directe arbeidsuren (in
guldens per maand).
Stap 3: De onafhankelijke variabele x is de produktie-omvang (in aantal eenheden per maand).
Stap 4: De verzamelde gegevens zijn gegeven in tabel 1.
Stap 5: Teken de gegevens. De verzamelde gegevens zijn grafisch weergegeven in figuur 11.
VII.2.3-18
Directe arbeidskosten per maand
(in ü)
.
400
.. .
.
300
.
200
.
.
.
.
.
.
0
10
20
30
40 50
Produktie-omvang in
eenheden per maand
Figuur 11. Grafische weergave van de waarnemingen
Stap 6: Beoordeel de kostenfunctie. De managers hebben de volgende
kostenfuncties bepaald:
Manager 1. Visuele benadering
Op basis van de grafiek in figuur 11 besluit de eerste manager de kostenfunctie te bepalen met behulp van de waarnemingen van februari en
mei.
a = ƒ (346 000 - 220 000) / (44 - 30) = ƒ 9 000 en
b = ƒ (346 000 - 9 000 . 44) = ƒ (220 000 - 9 000 . 30) = -ƒ 50 000
De kostenfunctie wordt ŷ = 9 00 . x - 50 000
Manager 2. Hoogste-laagste benadering
a = ƒ (416 000 - 180 000) / (49 - 21) = ƒ 8 429 (afgerond) en
b = ƒ (416 000 - 8 429 . 49) = ƒ (180 000 - 8 429 . 21) = ƒ 3 000
De kostenfunctie wordt ŷ = 8 429 . x + 3 000
Manager 3. Lineaire regressie
Na enig rekenwerk volgt dat a = 6 102, b = 77 083 en ,
σa = 1,693, σy = 48 620
De kostenfunctie wordt ŷ = 6 102 . x + 77 083
De t-waarde voor de variabele coëfficiënt is
6,102 / 1,693 = 3,604. Bij een betrouwbaarheid van 95% is de waarde
uit de tabel met t-waarden t(12-2 ;0,05/2)= 2,228.
Praktijkboek Financieel Management afl. 22 (maart 1994)
VII.2.3-19
Bij uitvoering van de t-toets blijkt dat 3,604 groter is dan 2,228. De
manager concludeert derhalve dat de variabele coëfficiënt significant
van nul verschilt.
De determinatiecoëfficiënt blijkt verder 0,57 te zijn. De manager concludeert dat er sprake is van een onvoldoende mate van samenhang
tussen de produktie-omvang en de directe arbeidskosten per maand.
De directe arbeidsuren worden onvoldoende verklaard door lineaire
regressie met behulp van de produktie-omvang. De manager concludeert dat er wellicht meer verklarende variabelen in de vergelijking
hadden moeten worden opgenomen en dat er meervoudige lineaire
regressie had moeten worden toegepast!
Directe arbeidskosten per maand
(in ü)
2)
.
400
300
3)
200
.. .
.
.
.
.
.
.
.
1)
.
0
10
20
30
40 50
Produktie-omvang in
eenheden per maand
Figuur 12. Grafische weergave van de waarnemingen en de kostenfuncties
De managers besluiten de kostenfuncties onderling te gaan vergelijken.
De resultaten zijn weergegeven in figuur 12. De gemiddelde produktieomvang per maand gedurende het jaar was 35,83 eenheden. De gemiddelde totale directe arbeidskosten per maand gedurende het jaar waren
ƒ 295 750. Ze besluiten op basis van deze gemiddelden de kostenfuncties te gaan vergelijken. De schatting van de totale directe arbeidskosten per maand gegeven een produktie-omvang van 35,83 eenheden
is in tabel 2 gegeven.
VII.2.3-20
Benaderingswijze
Schatting van de totale directe arbeidskosten
per maand
1) Visuele benadering
ƒ 9 000 x 35,83 - ƒ 50 000 = ƒ 272 470
2) Hoogste-laagste
ƒ 8 429 x 35,83 + ƒ 3 000 = ƒ 305 011
benadering
3) Lineaire regressie
ƒ 6 102 x 35,83 + ƒ 77 083 = ƒ 295 718
(met een 95% betrouwbaarheidsinterval van:
ƒ (295 718 ± 48 620 x 2,228 =
[ƒ 187 393; 404 043])
Tabel 2. Schatting van de totale directe arbeidskosten
In dit getallenvoorbeeld blijkt lineaire regressie de beste schatting te
geven voor de gemiddelde waarneming van de totale directe arbeidskosten per maand (ƒ 295 750).
3.3 Bepaling van kostenfuncties op basis van produktiefuncties
De wijze waarop kostenfuncties op basis van produktiefuncties kunnen
worden bepaald, wordt hierna besproken. Vervolgens wordt deze methode met een getallenvoorbeeld toegelicht.
Stappen bij bepaling van kostenfunctie op basis van produktiefunctie
Een produktiefunctie geeft een beschrijving van de relatie tussen input
(produktiefactoren) en output (produktiehoeveelheid). In figuur 13 en
14 is deze relatie met behulp van isoquanten grafisch weergegeven.
Een isoquant is een verzameling van alle combinaties van hoeveelheden
van (twee) produktiefactoren die allemaal dezelfde produktiehoeveelheid opleveren.
Bij produktiefuncties kunnen twee hoofdtypen worden onderscheiden,
namelijk:
– produktiefuncties waarbij substitutie van produktiefactoren mogelijk is, de zogenaamde Neo-klassieke-produktiefuncties (zie figuur
13); en
– produktiefuncties waarbij geen substitutie van produktiefactoren mogelijk is, de zogenaamde Leontieff-produktiefuncties (zie figuur 14).
In het eerste geval is er sprake van variabele technische coëfficiënten. In
het tweede geval is er sprake van vaste technische coëfficiënten.
Praktijkboek Financieel Management afl. 22 (maart 1994)
VII.2.3-21
Produktiefactor b
Produktiefactor a
Figuur 13. Neo-klassieke produktiefunctie
Produktiefactor b
Produktiefactor a
Figuur 14. Leontieff-produktiefunctie
VII.2.3-22
Om een kostenfunctie te kunnen bepalen op basis van een produktiefunctie, dienen de volgende drie stappen te worden doorlopen:
Stap 1. Bepaal vergelijkingen voor isoquanten en isokostenlijnen
Leid uit de produktiefunctie vergelijkingen af voor isoquanten en teken
(indien mogelijk) deze gegevens. Stel eveneens vergelijkingen op voor
isokostenlijnen en teken deze (indien mogelijk) eveneens. Een isokostenlijn is de verzameling van alle combinaties van de hoeveelheden produktiemiddelen met gelijke kosten.
Stap 2. Bepaal de optimale combinaties van produktiefactoren
De doelfunctie is, gegeven de keuze van een gewenst produktieniveau
(en daarmee de keuze van een isoquant): minimaliseer de (produktie)kosten (zie figuur 15). In deze stap dienen per isoquant de
optimale combinaties van produktiefactoren te worden bepaald. De
optimale combinaties van produktiefactoren zijn die combinaties waarbij de kosten minimaal zijn, dus de economisch meest efficiënte combinaties.
Produktiefactor b
Produktiefactor a
Figuur 15. Neo-klassieke produktiefunctie met isokostenlijnen
Zoals uit figuur 15 blijkt zijn de optimale combinaties die punten waar
de isokostenlijnen de isoquanten raken. In het voorbeeld in figuur 15
gelden de volgende (wiskundige) relaties: voor de isoquanten geldt dat
zij een continu differentieerbare functie zijn van de produktiefactoren
Praktijkboek Financieel Management afl. 22 (maart 1994)
VII.2.3-23
a en b: Q(a,b). Voor de isokostenlijnen geldt het volgende verband:
K(a,b) = pa.a +pb.b. Hierbij representeren pa respectievelijk pb de kosten per eenheid produktiefactor a en b, en zijn pa en pb groter dan of
gelijk aan nul. Er kan worden afgeleid dat voor iedere optimale combinatie van produktiefactoren de volgende relatie geldt:
pb δQ / δa
=
pa δQ / δb
(of ook : pa .δQ / δa = pb .δQ / δb ).
Stap 3. Stel de kostenfunctie op
De kostenfunctie is de functie waarbij voor iedere produktiehoeveelheid de bijbehorende kosten zijn geminimaliseerd. De kostenfunctie
kan ook worden omschreven als de functie waarbij voor iedere verzameling van alle combinaties van produktiemiddelen met gelijke kosten
de produktiehoeveelheid wordt gemaximaliseerd. Een kostenfunctie is
derhalve eigenlijk een verzameling evenwichtspunten. De evenwichtspunten zijn de per isoquant bepaalde combinaties van produktiefactoren waarbij de kosten minimaal zijn. In figuur 16 is een voorbeeld
van zo’n kostenfunctie weergegeven (gebaseerd op een Neo-klassieke
produktiefunctie).
Kosten
Produktiehoeveelheid
Figuur 16. Kostenfunctie op basis van een produktiefunctie
VII.2.3-24
Voordelen van de methode voor het bepalen van kostenfuncties op
basis van produktiefuncties zijn dat de methode op basis van een objectief criterium de optimale combinaties van produktiefactoren bepaalt,
en dat bij uitvoering van deze methode inzicht wordt verkregen in de
relaties tussen produktiefactoren, produktiehoeveelheden en (minimale) kosten.
Een nadeel van deze methode is dat de methode voor praktisch gebruik
snel te bewerkelijk zal zijn. Twee bedrijfseconomische grondbeginselen
(minimaliseer de kosten gegeven een gewenst produktieniveau en/of
maximaliseer het produktieniveau gegeven een bepaald kostenniveau)
worden bij deze methode echter duidelijk uitgewerkt.
Getallenvoorbeeld
Een bedrijf dat klompen vervaardigt, kan deze klompen produceren
met behulp van werknemers en/of met behulp van machines. Zowel
een werknemer als een machine kost ƒ 250 per dag. Alle klompen die
worden geproduceerd, kunnen worden afgezet tegen een vaste prijs.
De manager van het bedrijf wil inzicht hebben in de relatie tussen de
produktie en de kosten. Hiertoe verzamelt hij gegevens. Deze gegevens
zijn weergegeven in tabel 3.
Aantal werk-
Aantal machines
nemers
0
1
2
Kosten
Produktie
Kosten
Produktie
Kosten
Produktie
1
250
20
500
45
750
45
2
500
40
750
65
1 000
90
3
750
60
1 000
85
1 250
110
Tabel 3. Kostenoverzicht (in ƒ) en produktie-overzicht (in klompen) per dag
Op grond van de deze gegevens en de beschreven analytische benaderingsmethode stelt de manager vast dat de economisch meest efficiënte
combinaties (werknemers, klompen) zijn: (1,0), (1,1), (2,1), (2,2) en
(3,2). De hierbij behorende combinaties (kosten (in ƒ), produktie (in
klompen)) zijn: (250, 20), (500, 45), (750, 65), (1 000, 90) en (1 250,
110). Op grond van deze combinaties stelt de manager de volgende
produktiefunctie op: ŷ = 11,11 . x
waarin:
ŷ = het bedrag van de geschatte kosten per dag (in ƒ);
x = het (binnen een relevante range) aantal geproduceerde klompen per
dag.
Praktijkboek Financieel Management afl. 22 (maart 1994)
VII.2.3-25
Deze kostenfunctie is grafisch weergegeven in figuur 17.
Kosten per dag
(in ü)
1250
.
1000
.
750
.
500
250
.
0
20
40
60
80 100
Produktie-omvang per dag
Figuur 17. Grafische weergave van de kostenfunctie
4. Beoordeling van de methode
Kostenfuncties kunnen een bijzonder waardevol gereedschap zijn voor
managers bij de besluitvorming met betrekking tot (economische)
plannings- en beheersingsvraagstukken. Het gebruikmaken van kostenfuncties kan als een instrument functioneren waarmee een adequaat
inzicht in de relatie tussen veranderingen in de bedrijfsactiviteiten en
de hiermee samenhangende mutaties in de kosten binnen (bepaalde)
tijdsintervallen kan worden verkregen. Kostenfuncties kunnen de onzekerheid met betrekking tot de besluitvorming reduceren en zijn
primair beslissingsondersteunend gericht. Toepassingsgebieden zijn bijvoorbeeld budgettering en het opstellen van offertes.
De in dit artikel besproken methode om kostenfuncties te bepalen, met
haar diverse nadere invullingen, is met name gericht op het verschaffen
van inzicht in samenhang tussen veranderingen in de bedrijfsactiviteiten en hiermee samenhangende variabele kosten. De vaste kosten
worden als ‘sunk costs’ gezien. ‘Sunk costs’ zijn kosten die voor een te
nemen beslissingen niet relevant zijn.
Voor besluitvormingsprocessen is inzicht in vaste en variabele kosten
van primair belang. Voor bijvoorbeeld kostenallocatievraagstukken is
VII.2.3-26
echter inzicht in (de samenhang tussen) directe en indirect kosten van
primair belang. De in dit artikel besproken methode is ook bij dergelijke vraagstukken toepasbaar: bij de keuze voor de onafhankelijke
variabele worden directe kosten of indirecte kosten gekozen en bij de
keuze voor de afhankelijke variabelen wordt de bedrijfsdrukte genomen. De methode is echter ook toepasbaar om bijvoorbeeld inzicht te
krijgen in de samenhang tussen directe en indirecte kosten: bij de
keuze voor de afhankelijke variabele worden indirecte kosten gekozen
en bij de keuze voor de afhankelijke variabele(n) worden dan directe
kosten genomen.
5. Literatuur
- Bulte, J., J. Dijksma en R. van der Wal, Management accounting,
Wolters-Noordhoff, Groningen, 1993.
- Dijksma, J., Kosten, inleiding tot de bedrijfseconomische kostenvraagstukken, Wolters-Noordhoff, Groningen, 1988.
- Horngren, C.T. en G. Foster, Cost accounting, a managerial emphasis, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1987.
- Kaplan, R.S., Advanced management accounting, Prentice-Hall Inc.,
Englewood Cliffs, New Jersey.
Praktijkboek Financieel Management afl. 22 (maart 1994)
VII.2.3-27
VII.2.3-28