De sinus van 30°, 15°, 7,5°

begin lesactiviteit
De sinus van 30°, 15°, 7,5° ...
De sinus, cosinus en tangens van de hoek van 30° ken je vast nog uit het hoofd. Indien dit niet het geval is,
teken je een rechthoekige driehoek in je schrift met een hoek van 30° en eentje van 60°. Stel de schuine
zijde gelijk aan 2.
1.
Zoek door een redenering de andere zijden.
2.
Bepaal de waarde van de sinus, de cosinus en de tangens van een hoek van 30°.
Je kunt de driehoek die je hierboven tekende (of bedacht) gebruiken om een rechthoekige driehoek te
tekenen met een scherpe hoek van 15°. Dit doe je door de lange rechthoekszijde te verlengen en een
cirkelboog te tekenen vanuit het scherpste hoekpunt.
15°
1
2
30°
15°
2
√
3.
Verklaar waarom de bijgetekende driehoek gelijkbenig is met basishoeken van 15°.
4.
Duid de rechthoekige driehoek aan met een scherpe hoek van 15° en reken na dat de schuine zijde
√
gelijk is aan
√ .
5.
Geef de exacte waarde voor
. Zorg er zo mogelijk voor dat er geen wortels in de noemer
voorkomen. Controleer de gevonden waarde met de zakrekenmachine.
Deze werkwijze voor het halveren van hoeken kan nog een stapje verder doorgetrokken worden. Als je de
langste rechthoekszijde weer doortrekt en je tekent een cirkelboog vanuit het hoekpunt van 15°, ontstaat
er een hoek van 7,5°.
6.
Verklaar opnieuw waarom de bijgetekende driehoek gelijkbenig is met een basishoek van 7,5°.
7.
Duid de rechthoekige driehoek aan met een scherpe hoek van 7,5° en reken na dat de schuine zijde
gelijk is aan
8.
√
√
√
Geef de exacte waarde voor
met de zakrekenmachine.
√
√ .
, liefst zonder wortels in de noemer, en controleer deze waarde
1
7,5°
15°
√
2
7,5°
√
√
Een exacte uitdrukking vinden voor een hoek van 1° is onmogelijk. Dat werd bewees Carl Friedrich Gauss
in 1801 in zijn meesterwerk over de getaltheorie, Disquisitiones Arithmeticae (Rekenkundig Onderzoek).
Maar misschien ben je ondertussen al op het idee gekomen om de hoeken te blijven halveren en een
exacte uitdrukking te zoeken voor de sinus van een hoek, dicht bij 1°. Hoewel het een gevaar inhoudt om
een formule na twee stappen al te veralgemenen, durf je wellicht toch een gok doen naar een formule voor
de sinus van de hoeken van
, , ,
...
9.
Geef een formule voor de sinus van 56'15". Reken met je zakrekenmachine uit of deze uitdrukking
klopt.
einde lesactiviteit