Wortels met getallen en letters 1 Inleiding 2 Voorbeeldenen met de

Wortels met getallen en letters
© WISNET-HBO
update sept 2009
1 Inleiding
Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten.
Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de
basisrekenregels voor machten.
Deze rekenregels worden geoefend in de les over Machten.
We gaan ervan uit dat we in deze les rekenen met alleen de reële getallen.
Voor het rekenen met complexe getallen, waarbij er aan de verzameling van de reële
getallen de imaginaire getallen worden toegevoegd, zien we een andere les.
Dit komt later.
De bedoeling is deze les door te werken met behulp van pen en papier.
2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel
(Tweedemachts wortel)
De vierkantswortel (Engels: square root afkorting sqrt) is de (tweede machts) wortel.
Denk aan
.
2.1 leer uit het hoofd
want
want
want
want
want
want
want
want
want
want
want
In de volgende voorbeelden staan de letters steeds voor positieve reële getallen.
Ga zorgvuldig de volgende voorbeelden na en als je het niet helemaal begrijpt, kijk je
naar de aanwijzingen die erbij gegeven worden.
Vaak zijn er verschillende schrijfwijzen voor dezelfde vorm.
Het is belangrijk voor de communicatie dat je álle mogelijke schrijfwijzen kent.
De volgende rode voorbeelden zijn eigenlijk basisrekenregels voor wortels. Ga
deze in ieder geval even na.
voorbeeld 1
De wortel uit
is het zelfde als de macht van
De betekenis is de volgende:
De uitkomst van
is een getal dat in het kwadraat levert.
want
want
Het zal duidelijk zijn dat onder het wortelteken geen negatief getal kan staan.
Immers iets in het kwadraat kan niet negatief zijn.
vraag 1
Je zou kunnen zeggen: kan de uitkomst van
is toch ook 4?
dan niet
zijn? Immers
antwoord
De afspraak is dat een wortelfunctie éénwaardig is en dat we de positieve
waarde nemen.
Dus de uitkomst van
is steeds per afspraak een positief getal.
vraag 2
Wat komt er uit
als je niet weet of
zelf positief of negatief is?
antwoord
Zie voor de afspraak van de eenwaardige wortelfunctie bij vraag 1.
Je zou kunnen zeggen
is.
= x als x positief is en
=
als x negatief
Dus
Korter is te zeggen dat
. Zo ben je ingedekt.
vraag 3
Wat is de uitkomst van
antwoord
=3
Zie bij vraag 1 voor de afspraak die gemaakt is over eenwaardige
wortelfuncties.
voorbeeld 2
Ga ervan uit dat a en b reëel zijn en positief.
Bedenk een voorbeeld van de rekenregel
antwoord
Een antwoord zou kunnen zijn:
=
voorbeeld 3
Ga na dat
als reëel en positief is.
aanwijzing
Je kunt dit op verschillende manieren beredeneren.
Het eenvoudigste is om te bedenken dat
=
Ervan uigaande dat dus een positief reëel getal is.
Je moet dan natuurlijk wel de rekenregels voor machten kennen.
voorbeeld 4
Bedenk een voorbeeld van de rekenregel
antwoord
Een antwoord zou kunnen zijn
=
voorbeeld 5
Vaak is het handig om niet al te grote getallen onder het wortelteken te hebben.
Maak de getallen onder het wortelteken zo klein mogelijk zodat de formule er
eenvoudiger op wordt.
antwoord
Verder kan
is.
natuurlijk korter geschreven worden omdat het getal 4 en kwadraat
Zoek dus de kwadraten in een groot getal.
voorbeeld 6
Zie voorbeeld 5 en vereenvoudig de volgende wortelvormen:
antwoord
=
=
=
=
=
=
=
=
3 Optellen en vermenigvuldigen van wortels
Zoals in voorbeeld 5 is te zien, kun je gelijke wortels optellen (en aftrekken)
Als de wortels ongelijk zijn, kun je niet optellen en aftrekken (maar wel
vermenigvuldigen).
kan niet verder opgeteld worden
kan verder geschreven worden als
voorbeeld 7 (optellen en vermenigvuldigen van wortels)
Vereenvoudig de volgende wortelvormen waarbij aangenomen wordt dat
en positief zijn.
1
=
antwoord
Dezelfde wortels kun je optellen tot
2
=
antwoord
Vermenigvuldigen levert:
=
=
=
3
=
antwoord
Ongelijke wortels kun je niet verder optellen dus dat blijft zo staan
4
=
en
reëel
antwoord
Vermenigvuldigen levert:
=
voorbeeld 8 (zoveel mogelijk voor het wortelteken halen)
Ga na dat als een positief reëel getal is:
=
aanwijzing
Immers
x.
Ook kun je zeggen dat
en als gegeven is dat x positief is dan is
=
=
.
Verder is
=
=x
=
Haal altijd zoveel mogelijk vóór het wortelteken.
voorbeeld 9 (breuken onder de wortel)
Ga zorgvuldig na voor positieve reële a dat:
=
aanwijzing
Je kunt de vorm
ook anders schrijven met behulp van de rekenregel van voorbeeld 2.
=
en onder het wortelteken vervolgens de haakjes wegwerken.
gelijk aan
=
=
voorbeeld 10 (wortels zo klein mogelijk maken)
Ga zorgvuldig na dat
=
Het doel is eigenlijk om het getal onder het wortelteken zo klein mogelijk te
houden.
aanwijzing
Zie ook voorbeeld 2 dat je kunt schrijven
=
voorbeeld 11 (wortel uit de noemer halen)
Ga zorgvuldig na dat
Het doel is eigenlijk om geen wortelvormen in de noemer te hebben.
aanwijzing
Vermenigvuldig teller en noemer met
=
Immers
zie ook voorbeeld 3.
voorbeeld 12 (breuken uit de wortel halen)
Ga zorgvuldig na dat
Hier is het doel eigenlijk om geen breuken onder het wortelteken te hebben en
geen wortels meer in de noemer.
aanwijzing
Ga na dat
=
waarbij
truc
Zorg dus dat je van de noemer een kwadraat maakt zodat de wortel eruit
getrokken kan worden.
Dus
voorbeeld 13 (ontbinden onder het wortelteken)
Vereenvoudig de volgende wortelvorm:
aanwijzing
Misschien zie je dat
=
Oefen anders nog met het wegwerken van haakjes en het ontbinden in
factoren.
antwoord
Als je met letters werkt moet je wel controleren of deze uitkomst wel positief is
want de wortel uit een getal is per definitie een positief getal.
Zie daarvoor ook bij voorbeeld 1.
voorbeeld 14 (gebroken vorm onder het wortelteken)
Vereenvoudig de volgende wortelvorm zodat er geen breuken meer onder het
wortelteken staan.
=
antwoord
Maak van de vorm onder het wortelteken één breuk en zorg ervoor dat de
noemer dan kwadratisch is.
=
Dit kun je verder vereenvoudigen tot:
voorbeeld 15
Vereenvoudig de volgende wortelvorm zodat er geen breuken meer onder het
wortelteken staan.
=
antwoord
Voor het wortelteken staat 9 en daarvan maak je
Nu de twee wortels samen nemen:
Dan de binnenste haakjes wegwerken:
4 Worteltruc
Bij het volgende voorbeeld heb je nodig de formule die je bij het ontbinden in factoren
geleerd hebt.
Kijk anders nog even bij het ontbinden in factoren en haakjes wegwerken.
Vergelijk de volgende herleidingen met de standaardvorm hierboven.
=
4.1 Meer voorbeelden worteltruc
Werk de haakjes weg om te zien dat het klopt.
=4
=3
=2
Merk op dat je hierdoor na het wegwerken van de haakjes geen wortel meer terugziet!
Dit kun je gebruiken bij het vereenvoudigen van breuken met wortels in de noemer!
4.2 Toepassing van de worteltruc
Vereenvoudigen van een breuk waarbij er wortels zitten in de noemer.
voorbeeld 16
Vereenvoudig de volgende breuk zodat er geen wortels meer in de noemer zit en
dat de wortels zo eenvoudig mogelijk worden.
=
aanwijzing
Vermenigvuldig teller en noemer met
.
antwoord
Als je teller en noemer met
vermenigvuldigt, verdwijnt de wortel uit de
noemer.
Er komt dan wel een wortel in de teller tevoorschijn maar dat is minder erg.
=
Herleiden:
=
Minteken verwerken door teller en noemer met -1 te vermenigvuldigen:
=
Zie daarvoor eventueel in de les Minteken in de breuk.
voorbeeld 17
Vereenvoudig de volgende breuk zodat er geen wortels meer in de noemer zit en
dat de wortels zo eenvoudig mogelijk worden.
Ga ervan uit dat a een positief getal is.
aanwijzing
Vermenigvuldig teller en noemer met
.
antwoord
Als je teller en noemer met
vermenigvuldigt, verdwijnt de wortel uit de
noemer.
Er komt dan wel een wortel in de teller tevoorschijn maar dat is minder erg.
=
5 Training
Neem pen en papier ter hand en maak de volgende opgaven waarbij de gebruikte
letters positieve reële getallen voorstellen.
Bij het vereenvoudigen van wortelvormen zorg je ervoor dat het getal onder het
wortelteken zo klein mogelijk is en vrij is van breuken.
Zorg er ook voor dat in breuken er geen wortels in de noemer zitten.
Klik steeds op het antwoord om te zien of je het goed deed.
Ga er steeds van uit dat de gebruikte letters staan voor positieve reële getallen.
oefening 1
Vereenvoudig de volgende wortelvorm en maak het getal onder het wortelteken zo
klein mogelijk.
aanwijzing
Ontbind zoveel mogelijk in kwadraten.
antwoord
=
a
=
of ook wel als
geschreven.
Zie ook de rekenregel van voorbeeld 2.
oefening 2
Vereenvoudig de volgende wortelvorm en maak de wortelvorm breukvrij.
aanwijzing 1
Maak van
de breuk
en zie ook voorbeeld 9.
aanwijzing 2
Je kunt ook apart de wortel van de teller en de noemer nemen
=
Vervolgens de teller en de noemer met
vermenigvuldigen
=
=
antwoord
Dit wordt ook wel geschreven als
oefening 3
Vereenvoudig de volgende wortelvorm en zorg dat er geen breuken onder het
wortelteken staan.
De letter a staat dus voor een positief reëel getal.
aanwijzing
Herleid de vorm onder het wortelteken tot één breuk.
Zie eventueel in de les over breuken hoe je breuken optelt tot één breuk.
antwoord
=
Onder het wortelteken één breuk maken:
=
Teller en noemer apart de wortel nemen:
oefening 4
Vereenvoudig de volgende wortelvorm en zorg ervoor dat hetgeen onder het
wortelteken staat zo eenvoudig mogelijk wordt.
Ga er weer van uit dat a positief en reëel is.
aanwijzing
Haal zoveel mogelijk kwadratische factoren uit de vorm onder het wortelteken.
antwoord
=
uitleg
=
Onder het wortelteken
buiten haakjes halen
=
Van beide factoren apart de wortel nemen.
oefening 5
Vereenvoudig de volgende wortelvorm en zorg ervoor dat hetgeen onder het
wortelteken staat zo eenvoudig mogelijk wordt.
=
antwoord
uitleg
Steeds anders geschreven waarbij je onder het wortelteken zoveel mogelijk
kwadratische factoren maakt (ontbinden in factoren).
=
=
=
=
oefening 6
Vereenvoudig de volgende wortelvorm waarbij aangenomen wordt dat de symbolen
positief en reëel zijn.
=
aanwijzing
Voor positieve reële y is
antwoord
=
uitwerking
.
=
=
=
oefening 7
Vereenvoudig de volgende vorm. De bedoeling is dat onder het wortelteken het getal
zo klein mogelijk is.
=
antwoord
=
aanwijzing
Ga na dat
=
Evenzo geldt
=
Zie verder voorbeeld 7 om wortels samen te nemen.
oefening 8
Vereenvoudig de volgende vorm. De bedoeling is dat onder het wortelteken het getal
zo klein mogelijk is.
=
antwoord
oefening 9 met machten werken
Schrijf de volgende vormen zo eenvoudig mogelijk met behulp van wortels.
=
tip
Ga na dat
en dat
=
Ga ook eventueel nog de rekenregels van machten repeteren.
Deze staan ook in deze les onderaan.
antwoord
=
en als je geen wortels in de noemer wilt hebben kun je eventueel nog verder:
=
aanwijzing
Neem de machten met gelijke grondtallen bij elkaar.
=
=
=
oefening 10
Vereenvoudig de volgende vorm zodat er geen breuken meer onder het wortelteken
staan.
=
tip
Je kunt de teller van de breuk onder het wortelteken ontbinden tot een kwadraat!
Als je niet goed kunt ontbinden in factoren, doe dan de oefeningen met Ontbinden
in Factoren.
antwoord
=
Moeite hiermee? Loop dan nog eens de voorbeelden 1 t/m 8 na en kijk in de
volgende tips.
extra tip
De wortel van een breuk is de wortel uit de teller gedeeld door de wortel uit de
noemer.
=
nog een tip
De wortel uit een kwadraat is gemakkelijk:
(Neem in dit geval wel aan dat
anders komt er iets negatiefs onder het
wortelteken.
Als
dan is
)
=
=
nog een tip
Ga na dat
=
.
Werk met machten en de rekenregels van machten. (
oefening 11 werken met machten
Vereenvoudig de volgende wortelvorm
antwoord
=
berekening
=
Onder het wortelteken ontbinden (
buiten haakjes halen).
=
Van beide factoren apart de wortel nemen.
=
)
Als je niet goed met machten kunt werken en met ontbinden in factoren, doe dan
eerst de les Werken met machten.
Onderaan deze les staan nog even de rekenregels van machten op een rij.
oefening 12 wortel uit de noemer halen
Vereenvoudig de volgende vorm zodat er in de noemer geen x meer staat.
antwoord
=
aanwijzing
De teller en de noemer is vermenigvuldigd met
oefening 13 met de worteltruc
Vereenvoudig de volgende vorm zodat er in de noemer geen
meer staat.
antwoord
=
aanwijzing
Je kunt de teller en de noemer vermenigvuldigen met
, want dan komt er
na vermenigvuldiging met noemer in ieder geval geen wortel meer in de noemer.
Immers
.
Als je dit niet goed weet ga dan de haakjes maar wegwerken en dan zie je dat het
mooi uitkomt.
Dus:
=
=
6 Basisrekenregels voor machten
We noemen de uitdrukking
een macht van a (in dit geval de vierde macht van a).
Het grondtal is a en de exponent is hier het getal 4.
Voor a en b ongelijk aan 0 gelden de volgende algemene rekenregels voor het werken
met machten. Hierbij kunnen de getallen m en n (de exponenten) zowel negatief als
positief, maar ook gebroken zijn.
Eerst oefenen we met gehele exponenten om de rekenregels te leren kennen.
Als er een spatie tussen de letters staat, dan betekent dat een vermenigvuldiging:
b
=
.
Ga onderstaande rekenregels nog eens na en probeer in gedachten even een voorbeeld
erbij te bedenken.
Als je geen voorbeelden kunt bedenken, ga je naar de les over Machten.
=
=