Wortels met getallen 1 Inleiding 2 Voorbeeldenen met de

Wortels met getallen
© WISNET-HBO
update sept 2009
1 Inleiding
Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten.
Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de
basisrekenregels voor machten.
Deze rekenregels worden geoefend in de les over Machten.
We gaan ervan uit dat we in deze les rekenen met alleen de reële getallen.
Voor het rekenen met complexe getallen, waarbij er aan de verzameling van de reële
getallen de imaginaire getallen worden toegevoegd, zien we een andere les.
Dit komt later.
De bedoeling is deze les door te werken met behulp van pen en papier.
2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel
(Tweedemachts wortel)
De vierkantswortel (Engels: square root afkorting sqrt) is de (tweede machts) wortel.
Denk aan
.
2.1 leer uit het hoofd
In de volgende voorbeelden staan de letters steeds voor positieve reële getallen.
Ga zorgvuldig de volgende voorbeelden na en als je het niet helemaal begrijpt, kijk je
naar de aanwijzingen die erbij gegeven worden.
Vaak zijn er verschillende schrijfwijzen voor dezelfde vorm.
Het is belangrijk voor de communicatie dat je álle mogelijke schrijfwijzen kent.
De volgende rode voorbeelden zijn eigenlijk basisrekenregels voor wortels.
Ga deze in ieder geval even na.
2.2 voorbeeld
De wortel uit
is het zelfde als de macht van
De betekenis is de volgende:
De uitkomst van
is een getal dat in het kwadraat levert.
want
want
Het zal duidelijk zijn dat onder het wortelteken geen negatief getal kan staan.
Immers iets in het kwadraat kan niet negatief zijn.
2.2.1 vraag
Je zou kunnen zeggen: kan de uitkomst van
Immers
dan niet
zijn?
is toch ook 4?
2.2.1.1 antwoord
De afspraak is dat een wortelfunctie éénwaardig is en dat we de positieve
waarde nemen.
Dus de uitkomst van
2.2.2 vraag
is steeds per afspraak een positief getal.
Wat komt er uit
als je niet weet of
zelf positief of negatief is?
2.2.2.1 antwoord
Zie voor de afspraak van de eenwaardige wortelfunctie bij vraag 2.2.1.
Je zou kunnen zeggen
als x positief is en
als x negatief is.
Dus
Korter is te zeggen dat
Zo ben je ingedekt.
2.2.3 vraag
Wat is de uitkomst van
.
2.2.3.1 antwoord
Zie bij vraag 2.2.1 voor de afspraak die gemaakt is over eenwaardige
wortelfuncties.
2.3 voorbeeld
Ga ervan uit dat a en b reëel zijn en positief.
Bedenk een voorbeeld van de rekenregel
2.3.1 antwoord
Een antwoord zou kunnen zijn:
2.4 voorbeeld
Ga na dat
en dat dit voor elk positief getal geldt.
2.4.1 aanwijzing
Je kunt dit op verschillende manieren beredeneren.
Het eenvoudigste is om te bedenken dat
Je moet dan natuurlijk wel de rekenregels voor machten kennen en dan zul je zien
dat dit natuurlijk niet alleen voor het getal 3 geldt maar ook dat bijvoorbeeld
.
2.5 voorbeeld
Bedenk een voorbeeld van de rekenregel
2.5.1 antwoord
Een antwoord zou kunnen zijn
2.6 voorbeeld
Vaak is het handig om niet al te grote getallen onder het wortelteken te hebben.
Maak de getallen onder het wortelteken zo klein mogelijk zodat de formule er
eenvoudiger op wordt.
2.6.1 antwoord
Verder kan
is.
natuurlijk korter geschreven worden omdat het getal 4 en kwadraat
Zoek dus de kwadraten in een groot getal.
2.7 voorbeeld
Zie voorbeeld 2.6 en vereenvoudig de volgende wortelvormen:
2.7.1 antwoord
3 Optellen en vermenigvuldigen van wortels
Zoals in voorbeeld 5 is te zien, kun je gelijke wortels optellen (en aftrekken)
Als de wortels ongelijk zijn, kun je niet optellen en aftrekken (maar wel
vermenigvuldigen).
kan niet verder opgeteld worden
kan verder geschreven worden als
3.1 voorbeeld (optellen en vermenigvuldigen van wortels)
Vereenvoudig de volgende wortelvormen waarbij aangenomen wordt dat
en positief zijn.
3.1.1
3.1.1.1 antwoord
Dezelfde wortels kun je optellen tot
3.1.2
3.1.2.1 antwoord
Vermenigvuldigen levert:
De volgorde van de vermenigvuldiging veranderen:
3.1.3
3.1.3.1 antwoord
Ongelijke wortels kun je niet verder optellen dus dat blijft zo staan
3.1.4
en
reëel
3.1.4.1 antwoord
Vermenigvuldigen levert:
3.2 voorbeeld (wortels zo klein mogelijk maken)
Ga zorgvuldig na dat
Het doel is eigenlijk om het getal onder het wortelteken zo klein mogelijk te
houden.
3.2.1 aanwijzing
Zie ook voorbeeld 2.3 dat je kunt schrijven
3.3 voorbeeld (wortel uit de noemer halen)
Ga zorgvuldig na dat
Het doel is eigenlijk om geen wortelvormen in de noemer te hebben.
3.3.1 aanwijzing
Vermenigvuldig teller en noemer met
Immers
zie ook voorbeeld 2.4.
3.4 voorbeeld (breuken uit de wortel halen)
Ga zorgvuldig na dat
Hier is het doel eigenlijk om geen breuken onder het wortelteken te hebben en
geen wortels meer in de noemer.
3.4.1 aanwijzing
Ga na dat
waarbij
truc
Zorg dus dat je van de noemer een kwadraat maakt zodat de wortel eruit
getrokken kan worden.
Dus
4 Training
Neem pen en papier ter hand en maak de volgende opgaven waarbij de gebruikte
letters positieve reële getallen voorstellen.
Bij het vereenvoudigen van wortelvormen zorg je ervoor dat het getal onder het
wortelteken zo klein mogelijk is en vrij is van breuken.
Zorg er ook voor dat in breuken er geen wortels in de noemer zitten.
Klik steeds op het antwoord om te zien of je het goed deed.
Ga er steeds van uit dat de gebruikte letters staan voor positieve reële getallen.
4.1 oefening
Vereenvoudig de volgende wortelvorm en maak het getal onder het wortelteken zo
klein mogelijk.
4.1.1 aanwijzing
Ontbind zoveel mogelijk in kwadraten.
4.1.2 antwoord
Zie ook de rekenregel van voorbeeld 2.3.
4.2 oefening
Vereenvoudig de volgende wortelvorm en maak de wortelvorm breukvrij.
4.2.1 aanwijzing 1
Maak van
de breuk
en zie ook voorbeeld 3.4.
4.2.2 aanwijzing 2
Je kunt ook apart de wortel van de teller en de noemer nemen
Vervolgens de teller en de noemer met
vermenigvuldigen
4.2.3 antwoord
Dit wordt ook wel geschreven als
4.3 oefening
Vereenvoudig de volgende vorm.
De bedoeling is dat onder het wortelteken het getal zo klein mogelijk is.
=
4.3.1 antwoord
4.3.2 aanwijzing
Ga na dat
Evenzo geldt
Zie verder voorbeeld 3.1 om wortels samen te nemen.
4.4 oefening
Vereenvoudig de volgende vorm.
De bedoeling is dat onder het wortelteken het getal zo klein mogelijk is.
4.4.1 antwoord
4.4.2 aanwijzing
5 Basisrekenregels voor machten
We noemen de uitdrukking
een macht van a (in dit geval de vierde macht van a).
Het grondtal is a en de exponent is hier het getal 4.
Voor a en b ongelijk aan 0 gelden de volgende algemene rekenregels voor het werken
met machten.
Hierbij kunnen de getallen m en n (de exponenten) zowel negatief als positief, maar ook
gebroken zijn.
Eerst oefenen we met gehele exponenten om de rekenregels te leren kennen.
Als er een spatie tussen de letters staat, dan betekent dat een vermenigvuldiging:
.
Ga onderstaande rekenregels nog eens na en probeer in gedachten even een voorbeeld
erbij te bedenken.
Als je geen voorbeelden kunt bedenken, ga je naar de les over Machten.
=
=