Worteltrekken

WORTELTREKKEN
Wortels
Weet je wat wortels zijn, als we
het
over
getallen
hebben?
Bijvoorbeeld de wortel van 25? Dat
is het getal dat wanneer je het met
zichzelf vermenigvuldigt 25 levert.
In dit geval dus: 5, want 5x5 = 25.
We schrijven 25 = 5. En net zo:
16 = 4, 9 = 3, 4 = 2, 1 = 1 en
0 = 0.
Zo kun je doorgaan: wortel 2 ligt
tussen 1 en 2, en tussen 1,4 en
1,5 en tussen 1,41 en 1,42 en
tussen 1,414 en 1,415 en zo kun
je steeds verder. Je kunt 2 dus
steeds beter benaderen, maar
precies wordt het nooit: net als
wanneer je 1/3 = 0,33333…
schrijft: als je stopt met de decimalen, klopt het antwoord niet
precies, maar wel steeds beter.
Opgave 1.
Opgave 2.
Bereken de volgende wortels:
Tussen welke twee getallen ligt:
36;
100;
1/4;
0,01;
1000;
3;
300;
30000.
1000000.
Wortels berekenen
Je vraagt je misschien af waar
wortels goed voor zijn. Stel je voor
dat je een vierkant hebt met
oppervlakte 25. Hoe lang is dan
de zijde? Precies: 25. En als de
oppervlakte 100 is, dan is de
zijkant 10 lang, weer precies de
wortel. Dat klopt natuurlijk omdat
de oppervlakte zijde x zijde is. Er
is wel een probleempje. Als het
vierkant nou oppervlakte 2 heeft,
hoe lang is dan de zijde? Langer
dan 1, want 1x1 = 1. Maar korter
dan 2, want 2x2 = 4. Meer dan 1,4
want 1,4x1,4 = 1,96. En weer
minder dan 1,5: 1,5x1,5 = 2,25.
Wortels kun je berekenen door
een methode die op staartdelen
lijkt. Het is alleen iets ingewikkelder. We laten aan de hand van
een voorbeeld zien hoe het werkt.
We willen 106276 berekenen.
Om te beginnen verdelen we het
getal in groepjes van 2 cijfers,
achteraan beginnend:
106276 = 10|62|76
Van de eerste groep (10) bepalen
we de wortel, maar naar beneden
afgerond. Wortel 10 ligt tussen 3
en 4: we nemen daarom 3.
Worteltrekken
Het antwoord dat we zoeken ligt
daarom tussen 300 en 400. We
schrijven de eerste stap als
staartdeling:
/10|62|76\3
9
1
We doen nu weer hetzelfde: we
verdubbelen 32, en zoeken *
zodat
64* x * = 3876.
We proberen weer * te vinden. Dat
ziet er moeilijk uit, maar we
kunnen wel bij * = 5 beginnen:
Daarna halen we volgende groep
van 2 cijfers aan:
/10|62|76\3
9
162
645 x 5 = 3225;
646 x 6 = 3876.
Dat klopt precies. Dus we kunnen
de staartdeling afmaken:
/10|62|76\326
9
162
124
3876
3876
0
Verdubbel de uitkomst: 2x3 = 6,
en bepaal het getal * zodat:
162 = 6* x *
Dat lukt niet precies, maar we
zoeken de grootste * die er niet
overheen gaat. We proberen eerst
* = 1, 2 en 3:
61 x 1 = 61;
62 x 2 = 124;
63 x 3 = 189.
Wij moeten dus * = 2 hebben,
want * = 3 is te groot. Het
antwoord dat we zoeken ligt
daarom tussen 320 en 330. We
kunnen weer verder met de
staartdeling, en halen alvast de
volgende groep aan:
/10|62|76\32
9
162
124
3876
Dus 106276 = 326.
Opgave 3.
Bereken de wortels van:
196;
1024;
12321;
904401;
Bereken de eerste 2 decimalen van
2;
Dit algoritme is al heel lang bekend: het komt
al voor in Nederlandse rekenboeken uit de
17e eeuw.