File - Engels proefwerkweek 3!

§6.1 De productregel
We passen de productregel toe bij onafhankelijke samengestelde kansexperimenten.
Eline gooit met 4 dobbelstenen:
a. De kans dat je met elke dobbelsteen meer dan 4 gooit?
P(4x meer dan 4)= 2/6 x 2/6 x 2/6 x 2/6 = 1/81
b. De kans dat ze geen enkele keer 6 gooit?
P(geen 6)= 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 = 625/1296
c. De kans dat ze met minstens één dobbelsteen meer dan 2 gooit?
P(minstens 1x meer dan 2) = 1 – P(niet meer dan 2) = 1 – 2/6 x 2/6 x 2/6 x 2/6 = 80/81
P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2)
P(G1 en G2) = P(G1) x P(G2)
§6.2 Het herhalen van kansexperimenten
De productregel kun je meerdere keren gebruiken als je een experiment meerdere keren
uitvoert.
Er is een vaas met 7 groene en 5 blauwe knikkers. Lisette pakt één voor één tot ze een groene
knikker pakt. Bereken dat ze:
a. 2 keer moet pakken
P(bg) = 5/12 x 7/11 = 0,265
b. 5 keer moet pakken
P(bbbbg) = 5/12 x 4/11 x 3/10 x 2/9 x 7/8 = 0,09
§6.3 Trekken met en zonder terugleggen
Je gebruikt dit als je meerdere dingen moet ‘pakken’ uit een groter aantal.
Trekken met terugleggen: productregel
Trekken zonder terugleggen: combinaties
Beroepsbevolking Leiden: 45% hoog opleidingsniveau, 29% middel, 26% laag. Hieruit worden
9 mensen gekozen, willekeurig.
a. 9 hebben hoog of middelbaar
P(allemaal hoog of middel) = (0,45+0,29)9 = 0,067
b. 2 precies hoog opleidingsniveau
P(2 hoog, 7 mid of laag) = (9C2) x 0,452 x (0,26 + 0,29)7 = 0,111
c. 5 hoog en 4 middelbaar
P(5 hoog, 4 mid) = (9C5) x 0,455 x 0,294 = 0,016
d. hoogstens 2 inwoners middelbaar
P(max 2 met mid) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,719 + (9C1) x 0,29 x 0,788 + (9C2) x 0,292 x
0,717 = 0,491
Bij een steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder als trekken met
terugleggen opvatten.
§6.4 Toevalsvariabelen
X is een toevalsvariabele in bijvoorbeeld P(X=16). Y kan dat ook zijn.
X en Y zijn onafhankelijk als voor elke mogelijke x, y geldt. Dus P(X=x onder de voorwaarde
Y=y) = P(X=x)
8
7
6
5
4
3
11 12 13 14 15 16
10 11 12 13 14 15
9 10 11 12 13 14
8 9 10 11 12 13
7 8 9 10 11 12
6 7 8 9 10 11
3 4 5 6 7 8
X = som van de getallen
Y = niet-negatieve verschil van de getallen
a.
P(X=10) = 6/36
P(X≤8) = 1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6
P(Y>0) = 1 – P(Y=0) = 1 – 6/36 = 30/36 = 5/6
b. X en Y onafhankelijk? Nee, (X=6, alleen als Y=1) = 0, niet X=6
§8.1 Centrum- en spreidingsmaten
gemiddelde: som van de getallen gedeeld door het aantal getallen
mediaan: middelste waarnemingsgetal (of gemiddelde van middelste twee getallen)
modus: waarnemingsgetal met de grootste frequentie
Om de bovenstaande centrummaten met de GR te berekenen voer je in een tabel List1 en
List2 in. Is List1 een bepaalde klasse, neem dan het midden van die klasse. Vervolgens neem
je de optie 1VAR.
Hiernaast zie je een boxplot. De mediaan van de eerste helft
heet het eerste kwartiel > Q1. De mediaan van de tweede helft
heet het derde kwartiel > Q3. Elk deel is 25%.
Spreidingsbreedte: verschil tussen grootste en kleinste waarnemingsgetal (=spreidingsmaat)
Kwartielafstand: verschil tussen derde en eerste kwartiel (=spreidingsmaat)
Standaardafwijking met de hand berekenen van de getallen 3,5,8,9,10.
Gemiddelde = (3+5+8+9+10) : 5 = 7
Deviaties (afwijking van gemiddelde) = d: -4, -2, 1, 2, 3
Kwadraten van deviaties = d2: 16, 4, 1, 4, 9
Gemiddelde van kwadraten = (som d2):n = (16+4+1+4+9) : 5 = 6,8
Standaardafwijking = √(som d2):n = √6,8 = 2,6
§8.2 Eigenschappen van de normale verdeling
De normale verdeling heeft een klokvorm. Oppervlakte onder
de lijn is 100%, symmetrisch verdeeld. De scheidingslijnen
hebben ‘namen’. Zie links.
De inhoud van 750 jampotten is normaal verdeeld met een gemiddelde van 460 gram en een
standaardafwijking van 8 gram. Hoeveel van deze potten hebben volgens de vuistregels
hierboven bij de normale verdeling een inhoud van:
a. meer dan 444 gram?
460 – 444 = 16, dus 2 x σ naar de linkse kant (444 ligt onder gemiddelde 460). Dus
eigenlijk 100% – 2,5% = 97,5%. 750 x 0,975 = 731 potten jam.
b. tussen 468 en 476 gram?
tussen σ en 2 x σ, dus 13,5%. 750 x 0,315 = 101 potten.
§8.3 Oppervlakten onder de normaalkrommen
Oppervlakte onder de normale verdeling:
normalcdf (l, r, µ, σ)
Grens onder de normale verdeling, bijvoorbeeld R:
invNorm(opp. links, µ, σ)
(Hierbij wel het totale oppervlak links van R)
Standaardafwijking berekenen:
invoeren:
y1 = P((grens - µ) : σ)
y2 = oppervlakte links van de grens
P((23-28):x)
1-0,83
Optie Isect geeft x = 5,24, dus σ = 5,24
§8.4 Toepassen van de normale verdeling
Dit komt erop neer dat je een verhaaltje om kan zetten in een som.
Een machine vult dozen met drop. De inhoud is normaal verdeeld met σ = 4 gram.
Gemiddelde kan ingesteld worden tussen 247 en 256 gram. Welk gemiddelde moet men
instellen opdat 10% van de dozen in inhoud van minder dan 250 gram heeft?
invoeren
y1 = P((250-x):4)
y2 = 0,1
Isect geef x = 255,1, dus µ = 255,1