De speltheorie bestudeert wiskundige modellen voor (conflict

125
SAMENVATTING
De speltheorie bestudeert wiskundige modellen voor (conflict)situaties waarin de belangen van verschillende individuen een rol spelen en waarin elk van deze individuen
een of meer keuzes voor een actie heeft. Het doel van de speltheorie is om voor
elke gemodelleerde situatie een `oplossing' te vinden. Een oplossing bestaat uit een
voorschrift voor de keuzes van elk individu waarbij rekening is gehouden met het eigenbelang van elk individu. De speltheorie is ruwweg onder te verdelen in cooperatieve
speltheorie en niet-cooperatieve speltheorie. De eerste theorie beschrijft situaties
waarin door de individuen afspraken kunnen worden vastgelegd, terwijl de tweede
theorie zich richt op situaties waarin juist geen bindende afspraken kunnen worden
gemaakt.
Dit proefschrift is gewijd aan de niet-cooperatieve speltheorie en bestudeert oplossingen voor situaties waarin de belangen van twee individuen een rol spelen, en waarin
beide individuen slechts een keuze uit een verzameling van keuzes kunnen maken. Er
wordt van uit gegaan dat de verzameling van keuzes voor beide spelers in principe
eindig is, maar dat de spelers ook de keuzes kunnen `mengen'. Een voorbeeld daarvan
is dat een speler twee keuzes selecteert en vervolgens door een muntje op te gooien
bepaald welk van deze twee het moet worden. Er wordt dan gezegd dat die speler de
twee geselecteerde keuzes elk met kans 12 speelt.
De modellen behorend bij dergelijke situaties worden `bimatrix spelen' genoemd, omdat ze te beschrijven zijn met behulp van twee matrices. De mogelijke keuzes heten
in zo'n model `strategieen'.
De oplossingen die bekeken worden hebben een uitgangspunt gemeen: gegeven de
keuze die de ander heeft gemaakt, mag geen van de twee individuen mag achteraf
spijt hebben van zijn/haar keuze. Dit is het principe van een oplossingsconcept dat
bekend is als het `Nash-evenwicht'. Dit proefschrift gaat in op de problematiek dat er
vaak meerdere (en soms oneindig veel) oplossingen van dit type (of een aanverwant
type) mogelijk zijn. Door inzicht te verschaen in de wiskundige `ligging' van de mogelijke oplossingen ten opzichte van elkaar, kan soms een antwoord gegeven worden
op de vraag voor welke oplossing gekozen zou moeten worden. Het laatste gebeurt
in dit proefschrift niet expliciet, maar wel wordt de struktuur van verzamelingen van
de oplossingen van eenzelfde type bekeken. Dit wordt voor verschillende typen van
oplossingen gedaan, zowel in algemene als meer specieke modellen van situaties.
126
Hoofdstuk 1 is inleidend. In hoofdstuk 2 wordt een nieuw bewijs gegeven van het
feit dat de verzameling van Nash-evenwichten voor een bimatrix spel bestaat uit de
vereniging van eindig veel maximale Nash verzamelingen, die bestaan uit het produkt van twee polytopen. Verder wordt in hoofdstuk 1 ingegaan op de bijzondere
eigenschappen van extreme evenwichten en wordt globaal een algoritme beschreven
waarmee deze uit de beide matrices die bij het spel horen kunnen worden afgeleid.
Omdat volgens een bekend algoritme alle andere evenwichten uit de extreme evenwichten kunnen worden afgeleid, is er in principe dus een algoritme beschikbaar om
alle evenwichten van een bimatrix spel te vinden.
In hoofdstuk 3 worden evenwichten bestudeerd die bestand zijn tegen minstens een
of juist alle kleine verstoringen van de strategieenruimten van beide spelers. In de
literatuur wordt wel gezegd dat dit evenwichten zijn die bestand zijn tegen de `trillende handen' van de spelers. Evenwichten die bestand zijn tegen minstens een zo'n
verstoring heten `perfect'. Evenwichten die bestand zijn tegen alle verstoringen heten
`strict perfect'. De laatste bestaan niet altijd, maar wel bestaat altijd een verzameling
van evenwichten die in zijn geheel bestand is tegen al zulke verstoringen. De kleinste verzamelingen van dit type heten `minimaal strict perfecte verzamelingen'. Het
hoofdresultaat uit dit hoofdstuk is dat zulke verzamelingen altijd bestaan uit eindig
veel evenwichten. Verder wordt aangetoond dat er voor een bimatrix spel eindig veel
essentieel verschillende minimaal strict perfecte verzamelingen bestaan.
In hoofdstuk 4 wordt gekeken naar verschillende verjningen van perfecte evenwichten,
zoals propere evenwichten en equalized perfecte en propere evenwichten. Er worden
onderlinge verbanden gelegd en verbanden met andere verjningen van evenwichten.
In hoofdstuk 5 worden twee extreme typen van evenwichten bekeken: volledig gemengde en zuivere evenwichten. Er wordt gekeken naar de speciale eigenschappen van spelen met alleen maar volledig gemengde evenwichten, spelen met minstens een maximale Nash verzameling die bestaat uit alleen maar volledig gemende evenwichten, en
spelen die geen zuivere evenwichten bezitten.
In hoofdstuk 6 wordt een bepaalde methode om matrix spelen te symmetrizeren uitgebreid naar de situatie voor bimatrix spelen. Er worden verbanden gelegd tussen
(verjningen van) evenwichten in het originele spel en de symmetrizering van het spel.
In hoofdstuk 7 wordt gekeken naar spelen waarbij een van de spelers een zuivere
strategieenruimte heeft met aftelbaar oneindig veel elementen. Omdat er voor zulke
spelen niet altijd evenwichten bestaan, worden er `bijna-evenwichten' gedenieerd.
Het hoofdresultaat zegt dat als de speler met de eindige zuivere strategieenruimte
maar twee zuivere strategieen heeft, er altijd bijna-evenwichten bestaan.