Ijkingstoets 4 juli 2012

1
Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1
Ijkingstoets 4 juli 2012
Oefening 1
In de apotheek bezorgt de apotheker zijn assistent op verschillende tijdstippen van de dag een voorschrift
voor een te bereiden geneesmiddel. Dit doet hij door het voorschrift telkens bovenaan op de nog te verwerken
stapel van voorschriften te leggen. Telkens hij tijd heeft, neemt de assistent het bovenste voorschrift om
de bereiding te maken. In totaal bezorgt de apotheker 5 voorschriften in de volgorde 1-2-3-4-5 aan zijn
assistent. Welke van de volgende volgordes kan ONMOGELIJK de volgorde zijn waarin de bereidingen
gemaakt worden?
(A) 1 - 2 - 3 - 4 - 5
(B) 2 - 4 - 3 - 5 - 1
(C) 3 - 2 - 4 - 1 - 5
(D) 4 - 5 - 2 - 3 - 1
(E) 5 - 4 - 3 - 2 - 1
Oplossing: D
juist beantwoord: 94 %
c
Vlaamse Wiskunde Olympiade: variant op tweede ronde, jaargang 1987, probleem 12. Vlaamse
Wiskunde Olympiade, v.z.w.
Oefening 2
Definieer de functie f : R → R met als voorschrift
f (x) = n als n ≤ x < n + 1 met n een geheel getal, m.a.w. n ∈ Z.
Z
Bepaal
(A) 4
4
f (x)dx
0
(B) 6
(C) 8
(D) 10
(E) 12
Oplossing: B
juist beantwoord: 27 %
Oefening 3
Een complex getal z kunnen we schrijven als z = a + ib met a en b reële getallen en i2 = −1. Dan zijn er
onder de lijst van complexe getallen
(1 + i)4 (1 − i)4 (1 + i)2 (1 − i)2 2
,
,
,
,i
4
4
2
2
precies n die gelijk zijn aan -1. Bepaal n.
(A) n = 1
(B) n = 2
Oplossing: C
juist beantwoord: 64 %
(C) n = 3
(D) n = 4
(E) n = 5
2
Ijkingtoets 4 juli 2012 - vragenreeks 1
Oefening 4
Bij deze vraag dien je gebruik te maken van de toelichting vragen ruimtelijk inzicht.
Het object uit de figuur is bekomen door het samensmelten van kleine kubussen in een ruimte van maximaal
5 bij 5 bij 5 identieke kubussen. Kies op basis van de ruimtelijke isometrische voorstelling in de figuur boven
links welke voorstelling van de snede correct is. De positie van de letters ’AB’ in de snedetekening heeft
enkel tot doel om de kijkrichting aan te geven en heeft geen verband met de positie van de letters in de
isometrie.
(C)
(A)
(B)
(D)
(E)
Oplossing: E
juist beantwoord: 85 %
Oefening 5
De grafiek stelt de snelheid voor van een bal die een rechtlijnige beweging uitvoert:
Op welke(e) tijdstip(pen) is de bal het verst verwijderd van zijn positie op het tijdstip t = 0 s?
(A) t = 2 s.
(B) t = 3 s.
(C) t = 4 s.
(D) t = 5 s.
(E) t = 2 s en t = 4 s.
Oplossing: A
juist beantwoord: 70 %
Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1
3
Oefening 6
De breedte b, de lengte l en de hoogte h van een balkvormig voorwerp zijn op een bepaald ogenblik respectievelijk 10 cm, 5 cm en 3 cm. De breedte en de hoogte groeien allebei op dat ogenblik met een snelheid van
2 cm/s. De lengte neemt af met een snelheid van 1 cm/s. Hoe snel groeit het volume van het voorwerp op
het gegeven ogenblik?
(A) 4 cm3 /s.
(B) 35 cm3 /s.
(C) 95 cm3 /s.
(D) 100 cm3 /s.
(E) 160 cm3 /s.
Oplossing: D
juist beantwoord: 28 %
Oefening 7
Een lineair stelsel met 7 vergelijkingen en 3 onbekenden
(A) is altijd strijdig.
(B) is nooit strijdig.
(C) heeft in sommige gevallen precies 4 oplossingen.
(D) heeft nooit oneindig veel oplossingen.
(E) heeft in sommige gevallen oneindig veel oplossingen.
Oplossing: E
juist beantwoord: 46 %
Oefening 8
Veronderstel dat x en y reële getallen zijn die voldoen aan ex = 3 ey . Wat mag je besluiten over x en y?
(A) x = 3y.
(B) x = y ln 3.
(C) x = 3 + y.
(D) x = y + ln 3.
(E) x = y 3 .
Oplossing: D
juist beantwoord: 69 %
4
Ijkingtoets 4 juli 2012 - vragenreeks 1
Oefening 9
Bij deze vraag dien je gebruik te maken van de toelichting vragen ruimtelijk inzicht.
Het object uit de figuur is bekomen door het samensmelten van kleine kubussen in een ruimte van maximaal
5 bij 5 bij 5 identieke kubussen. Kies op basis van de ruimtelijke isometrische voorstelling in de figuur boven
links welke voorstelling van de snede correct is. De positie van de letters ’AB’ in de snedetekening heeft
enkel tot doel om de kijkrichting aan te geven en heeft geen verband met de positie van de letters in de
isometrie.
(C)
(A)
(B)
(D)
(E)
Oplossing: C
juist beantwoord: 88 %
Oefening 10
Bij rustig weer vliegt een vliegtuig van Brussel naar Dublin heen en terug met een constante snelheid van
500 km/h. Op een dag is er een storm. Op de heenreis heeft het vliegtuig, gehinderd door een felle
tegenwind, een constante snelheid van 400 km/h. Tijdens de terugweg vliegt het vliegtuig dan tegen een
constante snelheid van 600 km/h. Noem de reistijd bij rustig weer tr en de reistijd bij storm ts . Welk van
volgende uitspraken is dan geldig?
(A) ts ≥ 1.1tr .
(B) 1.1tr > ts > tr .
(C) ts = tr .
(D) tr > ts > 0.9tr .
(E) 0.9tr ≥ ts .
Oplossing: B
juist beantwoord: 58 %
5
Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1
Oefening 11
Hieronder zie je de grafieken van twee reële functies, links van de functie g, rechts van de functie f . De
schaal in beide tekeningen is dezelfde. Wat is het verband tussen g en f ?
(A) Voor alle x ∈ R is f (x) = g(2x + 1/2).
g
f
(B) Voor alle x ∈ R is f (x) = g(2x − 1).
(C) Voor alle x ∈ R is f (x) = g(x/2 + 1).
1
(D) Voor alle x ∈ R is f (x) = g(x/2 − 1).
1
1
x
1
x
(E) Voor alle x ∈ R is f (x) = g(x/2 + 1/2).
Oplossing: E
juist beantwoord: 40 %
Oefening 12
Bepaal de y-coördinaat van de vector ~v3 = ~v1 + ~v2 in het xy-vlak als je weet dat
• ~v1 een lengte 2 heeft, een hoek van 30◦ maakt met de positieve x-as en een positieve y-coördinaat
heeft.
• ~v2 georiënteerd is volgens de negatieve y-as, en dus x-coördinaat 0 heeft.
• ~v3 een hoek van −30◦ maakt met de positieve x-as.
√
√
√
(D) 3
(E) − 3
(A) -1
(B) 1
(C) − 2
Oplossing: A
juist beantwoord: 57 %
Oefening 13
Bereken, indien mogelijk, volgende limiet:
4x3 − 3x + 1
·
x→1/2 4x3 − 4x2 + x
lim
(A) Deze limiet bestaat en is gelijk aan 0.
(B) Deze limiet bestaat en is gelijk aan 1.
(C) Deze limiet bestaat en ligt in het interval [2, 2012].
(D) Deze limiet bestaat en is gelijk aan +∞.
(E) Deze limiet bestaat niet.
Oplossing: C
juist beantwoord: 42 %
6
Ijkingtoets 4 juli 2012 - vragenreeks 1
Oefening 14
Welk object kan je openplooien tot bijgevoegde figuur?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Oplossing: B
juist beantwoord: 90 %
Oefening 15
De letter F uit onderstaande figuur is opgebouwd uit 7 vierkanten met elk zijde 2. Elk vierkant heeft dezelfde
massa m. Het zwaartepunt van elk vierkant is gelegen in het midden van elk vierkant. Bepaal de coördinaten
van het zwaartepunt van de volledige letter.
Tip: de coördinaten van het zwaartepunt van een object dat samengesteld is uit twee objecten A en B is
mA xA + mB xB mA yA + mB yB
gegeven door (
,
). Hierbij zijn mA en mB de massa’s van respectievelijk het
mA + mB
mA + mB
object A en het object B. (xA , yA ) zijn de coördinaten van het zwaartepunt van object A; (xB , yB ) zijn de
coördinaten van het zwaartepunt van object B.
y
(A) (3, 4)
(B) (7/4, 5)
(C) (12/7, 5)
(D) (15/7, 5)
1
0
(E) (15/7, 33/7)
1
x
Oplossing: E
juist beantwoord: 77 %
7
Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1
Oefening 16
We noemen twee natuurlijke getallen onderling ondeelbaar als ze geen gemeenschappelijke delers hebben
behalve 1. Dan bevat de lijst van de natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4, · · · , 2012 precies n getallen die onderling
ondeelbaar zijn met 12. Bepaal n.
(A) n = 336
(B) n = 503
(C) n = 671
(D) n = 1006
(E) n = 1845
Oplossing: C
juist beantwoord: 30 %
Oefening 17
1
.
1 + a ex
Hierin is a ∈ R. Wat kan je op basis van de grafiek besluiten over a?
Hier zie je de grafiek van de functie f : R → R : x 7→
1
1/2
0
1
(A) a ≤ 1/2
(B) 1/2 < a < 1
(C) a = 1
(D) 1 < a < 2
(E) a ≥ 2
Oplossing: D
juist beantwoord: 68 %
Oefening 18
De functie f : R → R heeft als voorschrift f (t) = a e−t/τ , met a en τ constant. Verder weten we dat f (0) = e
en f (2) = 1. Bereken
Z
2
f (t)dt·
0
(A) e-1
(B) 2e-2
Oplossing: B
juist beantwoord: 55 %
(C) 2e
(D) 2-2/e
(E) 1
8
Ijkingtoets 4 juli 2012 - vragenreeks 1
Oefening 19
Welk object kan je openplooien tot bijgevoegde figuur?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Oplossing: B
juist beantwoord: 94 %
Oefening 20
De schepbak van een kleine graafmachine is verbonden aan de hefarm ACDE, die roteert rond het punt A.
Een zuiger BC is met scharnieren verbonden aan het frame van de machine (in het punt B) en aan de arm
van de schepbak (in het punt C). De schepbak wordt opgetild door de lengte van de zuiger BC te vergroten.
De linkerhelft van de figuur toont de machine met de hefarm in de rusttoestand. De rechterhelft van de
figuur toont een andere stand van de machine. De stand van de schepbak hangt af van de geöriënteerde hoek
α tussen de positieve x-as en de lijn AC. Dit betekent dat in de linkerfiguur α < 0 en voor de rechterfiguur
α > 0.
Als de lengte van de zuiger BC een klein beetje vergroot, zal het punt C een kleine verplaatsing maken
in de richting evenwijdig met een eenheidsvector, die we ~e noemen. Wat zijn de coördinaten van deze
eenheidsvector?
E
D
C
A
A
α
B
C
E
x
Oplossing: E
juist beantwoord: 12 %
(B) (cos α, sin α)
(C) (sin α, cos α)
(D) (cos α, − sin α)
B
D
y
α
(A) (1, 0)
(E) (− sin α, cos α)
y
x
Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1
9
Oefening 21
De grafiek van de functie f : R → R is gegeven in onderstaande figuur.
Definieer drie functies, α, β, γ : R → R, met voorschriften
• α(t) = f (cos t)
• β(t) = f (2 cos(t/2))
• γ(t) = f (3 cos(t/3))
waarbij t ∈ R. Als a het maximum is van de functie α, b het maximum van de functie β en c het maximum
van de functie γ, welk van de volgende uitspraken is dan geldig:
(A) a = b = c
(B) a > b > c
(C) a < b < c
(D) a = b 6= c
(E) a 6= b = c
Oplossing: E
juist beantwoord: 27 %
Oefening 22
Welke van volgende integralen is strikt positief?
Z π
sin x
(A)
dx
2
−π 1 + x
Z π
cos x
(B)
dx
2
1
−π + x
Z π
(C)
x4 sin x dx
−π
Z
π
(D)
x4 cos x dx
−π
Z
(E)
π
(x − π/2)2 cos x dx
0
Oplossing: B
juist beantwoord: 9 %
10
Ijkingtoets 4 juli 2012 - vragenreeks 1
Oefening 23
Bepaal de afgeleide van de functie f : R → R met voorschrift f (x) =
(A) f 0 (x) =
1
1 + cos(2x)
(B) f 0 (x) =
− sin x cos x
1 − 2 sin(2x)
(C) f 0 (x) =
cos(2x)
1 − 2 sin(2x)
(D) f 0 (x) =
sin x cos x[−1 − cos(2x) + 2 sin(2x)]
[1 + cos(2x)]2
(E) f 0 (x) =
sin(2x)
[1 + cos(2x)]2
sin x cos x
.
1 + cos(2x)
Oplossing: A
juist beantwoord: 43 %
Oefening 24
Onderstaande kubus heeft vier vlakken met bijgevoegde patronen. Twee vlakken hebben zeker geen patroon
en zijn lichtgrijs. Welke van de vijf kubussen kan het resultaat zijn van het draaien of kantelen van de gegeven
kubus?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Oplossing: A
juist beantwoord: 98 %
Oefening 25
Je plaatst een ladder van 5 meter lengte op een horizontale vloer tegen een verticale muur. Als de ladder
onderaan op de vloer steunt op een afstand van xv meter van de muur, steunt hij bovenaan op een hoogte
van ym meter tegen de muur. Zoek de functie f die ym uitdrukt in functie van xv (dus ym = f (xv )). Bereken
dan de afgeleide van f in xv = 3.
(A) -1/8
(B) -1/4
(C) -1/2
(D) -3/4
(E) -1
Oplossing: D
juist beantwoord: 73 %
11
Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1
Oefening 26
Onderstaande figuur geeft de grafiek weer van de functie f : R+ → R met als voorschrift f (t) = e1−t/τ cos(2πt/T ),
waarbij T en τ constant zijn. Bepaal T /τ .
(A) T /τ = 0.1
(B) T /τ = 0.2
(C) T /τ = 1/e
(D) T /τ = e
(E) T /τ = 5
Oplossing: B
juist beantwoord: 8 %
Oefening 27
Onderstaande figuur toont de grafiek van f 0 , de afgeleide van de functie f : R → R. Welke waarde heeft de
richtingscoëfficiënt van de rechte die de punten (−1, f (−1)) en (1, f (1)) met elkaar verbindt?
(A) -1
(B) -1/2
(C) 0
(D) 1/2
(E) 1 Oplossing: D
juist beantwoord: 24 %
Oefening 28
Een glijbaan moet bekleed worden met een gladde folie. In de onderstaande figuur wordt een doorsnede van
de glijbaan getoond. Het eerste stuk, AB, is een recht stuk van 6m lang dat een hoek maakt van 60◦ met
de horizontale. Het tweede stuk is een cirkelboog die in B raakt aan het eerste stuk, en die in C raakt aan
de horizontale. Het hoogteverschil tussen B en C bedraagt 2 m. Het laatste stuk is een horizontaal stuk van
lengte 1 m. Hoe lang (uitgedrukt in m) moet de folie zijn?
A
(A) 7 + 4π/3
√
(B) 7 + 4 2π/3
√
(C) 7 + 2π
√
(D) 7 + 2 2π/3
6m
60◦
B
2m
C
D
1m
Oplossing: A
juist beantwoord: 33 %
(E) 11
12
Ijkingtoets 4 juli 2012 - vragenreeks 1
Oefening 29
Onderstaande kubus heeft vier vlakken met bijgevoegde patronen. Twee vlakken hebben zeker geen patroon
en zijn lichtgrijs. Welke van de vijf kubussen kan het resultaat zijn van het draaien of kantelen van de gegeven
kubus?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Oplossing: B
juist beantwoord: 98 %
Oefening 30
In de elektrische schakeling uit nevenstaande figuur staan twee weerstanden R1 en R2 in serie geschakeld. Dit betekent dat één uiteinde van de
ene weerstand R1 verbonden is met één uiteinde van de andere weerstand
R2 zódat door deze twee weerstanden dezelfde stroom vloeit. Wanneer
twee weerstanden met grootte R1 en R2 in serie geschakeld zijn tussen
A en B, kunnen ze vervangen worden door één vervangingsweerstand
met grootte RAB = R1 + R2 .
In de elektrische schakeling uit nevenstaande figuur staan twee weerstanden R1 en R2 in parallel geschakeld. Dit betekent dat beide uiteindes
met elkaar verbonden zijn zódat over deze twee weerstanden exact dezelfde spanning staat. Wanneer twee weerstanden met grootte R1 en R2
in parallel geschakeld zijn tussen A en B, kunnen ze vervangen worden
door één vervangingsweerstand met grootte RAB = (1/R1 + 1/R2 )−1 .
Gebruik bovenstaande principes om de vervangingsweerstand RAB tussen A en B in onderstaande elektrische
schakeling te bepalen.
(A) 4Ω
(B) 8/3Ω
(C) 2Ω
(D) 8/5Ω
(E) 4/3Ω
Oplossing: B
juist beantwoord: 20 %