[microcursus] Goniometrie: sinus, cosinus en tangens (basis)

[microcursus] Goniometrie: sinus,
cosinus en tangens (basis)
Auteurs: StrangeQuark , TD , Jan van de Velde
Inhoudsopgave



2: Aanliggende en overstaande rechthoekszijde


Inleiding
1: Hoeken, hoeken meten, driehoeken
3: Verhoudingen: tangens, sinus en cosinus
4: Toepassen: met een hoek en een zijde een andere zijde berekenen

5: Toepassen: met twee zijdes een hoek berekenen

o
o
6.2 Sinus en cosinus in de eenheidscirkel
o
o
o
6: Eenheidscirkel
6.1 Hoeken in de goniometrische eenheidscirkel
6.3 Tangens in de eenheidscirkel
6.4 Goniometrische getallen op de eenheidscirkel
6.5 Goniometrische getallen en de "sinusvormige grafiek"

7: Goniometrie zonder rekenmachine
o
o
7.1 Grafisch én rekenen
7.2 Grafisch zónder rekenen: sinus en cosinus
o
7.3 Grafisch zónder rekenen: tangens

(oefenopgaven)
Inleiding
Wat is goniometrie? Het woord goniometrie komt van het Oudgriekse woord γωνία (goonia) dat "hoek" betekent.
Sinus, cosinus en tangens zijn wiskundige gereedschappen om met hoeken te werken. Je komt ze overal in natuurkunde en
techniek tegen. Bij het bouwen van bruggen en huizen, spiegels en lenzen, samenstellen en ontbinden van krachten, bij alle
vormen van radiocommunicatie, bij radar, in je computer. Kortom, overal waar hoeken belangrijk zijn kom je ze tegen.
1: Hoeken, hoeken meten, driehoeken
Een hoek wordt bepaald door twee benen:
(afb.1)
Om een hoek te meten verdelen we die in graden.
Een cirkel kunnen zo we verdelen in 360 "partjes" van 1 graad:
(afb.2)
Hoeveel graden een hoek bedraagt kun je meten met een gradenboog, die ook op je geodriehoek staat.
De hoek tussen de rode benen hieronder is 59 graden (59°), tussen de blauwe benen hieronder is de hoek 27 graden (27°).
(afb.3) (bron:wisfaq)
Als het drie uur is, is er een hoek van 90° tussen de kleine en grote wijzer.
(afb.4)
Zo'n hoek van 90° noemen we een "rechte hoek".
In een tekening duiden we zo'n rechte hoek vaak aan met twee haakse lijntjes :
Driehoeken heten zo omdat ze drie hoeken hebben (duhh).
(afb.5)
(afb.6)
Die hoeken geven we meestal aan met Griekse letters, hier alfa (α) ,
beta (β) en gamma (γ) .
Feit: De drie hoeken van een driehoek zijn samen altijd 180°.
Een driehoek met een rechte hoek noemen we een rechthoekige driehoek .
Feit: In een rechthoekige driehoek is altijd één hoek bekend: die van 90°.
De andere twee hoeken van je rechthoekige driehoek zijn samen dus altijd 90°. Dit kunnen bijvoorbeeld twee hoeken van 45°
zijn. Of het kan, zoals je in het plaatje hieronder ziet, ook anders:
(afb.7)
En nu komt het:
Sinus, cosinus en tangens geven de verhoudigen van de lengtes van de zijdes van rechthoekige driehoeken.
Er bestaat een verband tussen de hoeken van een rechthoekige driehoek en de lengte van de zijdes.
Dus als je een hoek hebt kan je daarmee berekenen hoelang de zijdes zijn.
Als je weet hoe lang de zijdes zijn kan je daarmee de grootte van de hoeken berekenen.
Je zou het ook met een gradenboog of lineaal kunnen doen, maar dit is preciezer en het is sneller. (hoe cool is dat
)
2: Aanliggende en overstaande rechthoekszijde
Heel belangrijk is dat we afspreken hoe we de zijdes van de driehoeken noemen. In een rechthoekige driehoek zijn er drie
verschillende zijdes;

Één Schuine zijde , de enige zijde die niet aan de recht hoek grenst;
(in sommige wiskundeboeken wordt deze ook wel de Lange zijde genoemd)

Twee rechthoekszijdes, de zijdes die wél aan de rechte hoek grenzen.
Welke "voornaam" die rechthoekszijden hebben hangt af van de hoek die we bekijken: (in het plaatje hoek α,
alfa)
o
o
De Aanliggende rechthoekszijde ligt aan hoek α;
De Overstaande rechthoekszijde staat tegenover hoek α;
(afb.8)
De Schuine zijde , heet niet schuin omdat hij hier schuin op het plaatje staat.
Als de driehoek rechtop staat is deze zijde schuin, maar je kan een driehoek ook zo draaien dat hij niet schuin staat.
(of zó dat ze alledrie schuin staan)
(afb.9)
Om te weten welke zijde de schuine zijde is moet je dus zoeken naar de zijde die niet aan de rechte hoek grenst.
De rechthoekszijdes veranderen dus van naam afhankelijk van welke hoek je wilt meten. Hoe dit werkt kan je mooi bij de
eerste twee driehoeken van afb.9 zien. Het zijn bijna dezelfde driehoeken, maar omdat je een andere hoek wilt weten, draaien
de aanliggende zijde en de overstaande zijde om. Merk op dat de Schuine zijde(zijde S) wel hetzelfde blijft.
3: Verhoudingen: tangens, sinus en cosinus
Nu we weten hoe we alles noemen kunnen we naar het rekenwerk gaan kijken.
Er bestaat een vaste verhouding in rechthoekige driehoeken tussen de lengtes van de zijdes en de hoeken:
(afb.10)
Laten we we hier eens kijken naar de verhouding van de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde van
hoek α, voor een driehoek die steeds groter wordt:


De kleinste driehoek: overstaande rechthoekszijde gedeeld door aanliggende rechthoekszijde:
;
De wat grotere driehoek: overstaande rechthoekszijde gedeeld door aanliggende rechthoekszijde:

;
De nog wat grotere driehoek: overstaande rechthoekszijde gedeeld door aanliggende rechthoekszijde:
.
En welke je ook opmeet, de verhouding tussen overstaande en aanliggende rechthoekszijde blijft steeds gelijk (in deze
driehoek 0,5). Deze vaste verhouding noemen we de tangens van hoek α.
Uit je rekenmachine kun je halen dat hoek α daarom 26,56° (afgerond) moet zijn (we vertellen je later nog hoe je dat doet).
Meet maar eens na op je scherm of tik maar eens in op je rekenmachine: tan 26,56
Wat geldt voor de verhouding tussen die twee rechthoekszijdes gaat ook op voor de verhoudingen tussen de andere zijdes. De
driehoek verandert niet van vorm. Als de driehoek 2 x zo groot wordt worden ook alle zijden 2 x zo groot. Zo blijven de
verhoudingen tussen de zijdes dus steeds gelijk.
Is dat nou het hele geheim, die vaste
verhoudingen? Ja, eigenlijk wel.
Op deze manier kun je steeds drie verhoudingen berekenen:
De tangens, overstaande rechthoekszijde gedeeld door aanliggende rechthoekszijde.
Wat we de sinus noemen: overstaande rechthoekszijde gedeeld door schuine zijde.
En wat we de cosinus noemen: aanliggende rechthoekszijde gedeeld door schuine zijde.
Het wordt nu tijd om dit samen te vatten in drie korte formules, en daarvoor korten we eerst de namen van de zijden maar
eens af:
S is de Schuine zijde,
O is de Overstaande rechthoekszijde
A is de Aanliggende rechthoekszijde.
(afb.11)
Benodigde formules:
sinus(α) = O / S
cosinus(α) = A / S
tangens(α) = O / A
Deze formules zul je stomweg uit je hoofd moeten leren.
Ezelsbruggetje
(afb.12,13)
.....Wat ik onthou is:
SOSCASTOA.
Voor de Sinus deel je O door S, voor de Cosinus deel je A door S, en voor de de Tangens deel je O door A.
Voeg de letters samen en je krijgt SOS CAS TOA.
Je hoeft het niet zo te doen maar ik en een hoop andere scholieren en studenten vinden dit wel makkelijk.
4: Toepassen: met een hoek en een zijde een
andere zijde berekenen
Stappenplan:

Stap 1: Maak van je probleem een tekening in de vorm van een simpele driehoek;



Stap 2: Bepaal waar je hoek zit en welke zijdes je kent;
Stap 3: Zet bij de zijdes of ze de O-, A- of S-zijde zijn, voor de hoek waar je naar kijkt;
Stap 4: Kijk wat je hebt en wat je wilt weten, zoek daar m.b.v. SOSCASTOA de juiste formule bij. Dus sinus,
cosinus of tangens;

Stap 5: Schrijf de formule om in de vorm waarin je het wilt weten;

Stap 6: Reken het uit.
De vlaggenmast:
Hier zie je een vlaggenmast en jij wilt weten hoe hoog deze mast is:
(afb.14)
Je wilt er niet inklimmen (dat staat zo vandalistisch). Je ziet dat de zon een schaduw van 6 meter op de grond maakt, en met
je geodriehoek heb je een hoek van 33,7 graden gemeten als je over het topje van de vlaggenmast kijkt (dat staat nu juist
weer interessant).


Stap 1: Bij de afbeelding heb ik een simpele driehoek gemaakt die lijkt op het plaatje;
Stap 2: Bij de schaduwzijde heb ik 6 meter gezet en bij de hoek heb ik 33,7 graden gezet;


Stap 3: In de tekening heb ik ook de letters bij de zijdes gezet;
Stap 4: De hoek is 33,7 graden, zijde A is 6 meter en je wilt de lengte van zijde O weten. Nu ga je kijken welke
formule je nodig hebt. De tangens lijkt een goede want die berekent de verhouding tussen de O en de A.


Stap 5: tan(33,7) = O / 6 --> O = 6 x tan(33,7);
Stap 6: Tik in op je rekenmachine: 6 x tan(33,7) ........... Dus de lengte van de vlaggenmast is 4 meter.
(zorg er wel voor dat je rekenmachine hierbij ingesteld staat op graden, in het engels degrees (DEG) )
Hierboven wordt bij Stap 5 tangens(α) =O/A omgerekend naar O= A x tangens(α).
Als je het moeilijk vindt om te goochelen met getallen (of makkelijk in de war raakt), dan is daar een trucje voor dat ook veel
universitaire studenten nog steeds gebruiken:
De formuledriehoek (toepasbaar voor het omrekenen van heel veel formules):
(afb.15)
In de lege driehoek zie je een deelstreep en een vermenigvuldigingsteken.
Je kent de formule:
In deze formule staat de "O" boven de deelstreep. Die zet je dan in je driehoek óók
boven de deelstreep. Voor "tan(α)" en "A" blijven maar twee plekken aan weerszijden van het vermenigvuldigingsteken over.
Hoe je die daar neerzet doet er niet toe (want bijvoorbeeld 4 x 3 of 3 x 4, dat maakt geen verschil, dat geeft allebei 12)
(afb.16)
Nu wil je de O (overstaande zijde) berekenen, die is onbekend.
Nu, máák die dan ook onbekend door er je vinger op te leggen:
(afb.17)
De leesbare formule die overblijft is tan(α) x A, en dat is dan ook de berekening die je uitvoert om O te bepalen.
Tuidraden:
Nu staat er nogal wat wind, en de vlaggenmast moet getuid worden, d.w.z. er moet een touw van het topje van de mast naar
de grond. Stel, je wilt de haring om het touw aan vast te binden in de grond slaan op diezelfde 6 meter afstand. Hoe lang
moet je touw dan minstens zijn (de knopen niet meegerekend)?


Stap 1: Bij de afbeelding heb ik een simpele driehoek gemaakt die lijkt op het plaatje;
Stap 2: Bij de schaduwzijde heb ik 6 meter gezet en bij de hoek heb ik 33,7 graden gezet;


Stap 3: In de tekening heb ik ook de letters bij de zijdes gezet;
Stap 4: De hoek is 33,7 graden, zijde A is 6 meter en je wilt zijde S weten. Nu ga je kijken welke formule je
nodig hebt. Aan een tangens heb je niets, want die berekent de verhouding tussen de O en de A. Dankzij
SOSCASTOA weet je dat je de cosinus moet gebruiken, de verhouding tussen A en S;

Stap 5: cos(33,7) = 6 / S
(afb.18)


--> S = 6 / cos(33,7);
Stap 6: Tik in op je rekenmachine: 6 / cos(33,7) ........... Dus de lengte van je touw moet 7,21 m zijn.
5: Toepassen: met twee zijdes een hoek berekenen
Zo makkelijk als je met een hoek en een zijde de andere zijden kunt berekenen, kun je (met een goede rekenmachine
tenminste) ook de hoek berekenen als je twee zijdes kent. Alleen, als je dan de formules gebruikt die je hierboven leerde vind
je dan niet de hoek in graden, maar de sinus, cosinus of tangens van die hoek. De vraag is, hoe reken je dat nu weer om naar
graden? Hierboven rekende je met een hoek de tangens van die hoek uit. Nu moet je machine andersom werken, met de
tangens van een hoek die hoek uitrekenen. Een moeilijk woord voor "andersom" is "invers".
-------------Niet zó moeilijk hoor. Bijvoorbeeld: delen is de inverse bewerking van vermenigvuldigen.
bewerking keer drie:
en dan de inverse bewerking gedeeld door drie:
bewerking tangens:
en dan de inverse bewerking boogtangens
dus de boogtangens van (tangens alfa) is alfa zelf.
---------------
Op je machine vind je die functies onder een van de volgende drie aanduidingen:



bgsin, arcsin of sin-1;
bgcos, arccos of cos-1;
bgtan, arctan of tan-1.
Verder lijken de formules heel erg op de SOSCASTOA-formules. Neem je bijvoorbeeld de boogtangens van O/A, dan rolt daar
netjes je hoek uit.
dus type in: bgtan.... (.... O.... :.... A ....).... =
Als je dat doet voor je vlaggenmast:
bgtan.... (.... 4.... :.... 6 ....).... = , dan vindt je machine 33,7°.
De kraanmachinist
Een kraanmachinist moet een stapel balken plaatsen op een toren in aanbouw. De toren is 6 meter hoog, de onderkant van
zijn balkenlast hangt 1,66 m onder de top van zijn mast. Zijn mast heeft een lengte van 10 m gerekend van de grond. Op
welke hoek moet de machinist zijn masthendel instellen om de balken nog juist op de toren te kunnen leggen?
(afb.19)

Stap 1: Bij de afbeelding heb ik een simpele driehoek gemaakt die lijkt op het
plaatje;
(afb.20)

Stap 2: Bij de mast heb ik 10 meter gezet en bij de muur en balken heb ik (6 + 1,66 =) 7,66 m gezet;

Stap 4: Nu ga je kijken welke formule je nodig hebt. Dankzij SOSCASTOA weet je dat je de sinus moet

Stap 3: In de tekening heb ik ook de letters bij de zijdes gezet;
gebruiken, de verhouding tussen O en S;


Stap 5: sin(α) = 7,66 / 10;
Stap 6: Tik in op je rekenmachine: bgsin(7,66/10)........ Dus de hoek van de mast moet 50° zijn.
6: Eenheidscirkel
6.1 Hoeken in de goniometrische eenheidscirkel
We hebben gezien hoe we in een rechthoekige driehoek de sinus, cosinus en tangens van een hoek kunnen vinden. Deze
getallen noemen we de goniometrische getallen van de hoek. We kunnen deze getallen ook terugvinden door gebruik te
maken van een speciale cirkel. De goniometrische eenheidscirkel is een cirkel met straal 1 en middelpunt in de oorsprong
(van een rechthoekig assenstelsel), zoals weergegeven in onderstaande figuur:
(afb.21)
Hoeken worden gevormd door twee benen: we nemen het positieve deel van de x-as steeds als eerste been. Om een hoek alfa
aan te duiden op de cirkel, tekenen we een tweede been vanuit de oorsprong. Dit been maakt een hoek alfa met de x-as, de
positieve richting is tegenwijzerszin (tegen de klok in).
Het snijpunt van dit tweede been met de eenheidscirkel, noemen we het beeldpunt P. In onderstaande figuur is een hoek van
30° met het bijbehorende beeldpunt aangeduid op de goniometrische eenheidscirkel:
(afb.22)
6.2 Sinus en cosinus in de eenheidscirkel
We bekijken nu de gekleurde rechthoekige driehoek in onderstaande figuur:
(afb.23)
We weten dat de cosinus van de alfa gelijk is aan de lengte van de aanliggende zijde (A, in het rood) gedeeld door de lengte
van de schuine zijde (S, in het groen). Maar de eenheidscirkel heeft straal 1, dus S = 1. De cosinus is daarom precies gelijk
aan de lengte van de aanliggende zijde. Zoals te zien op de tekening, is dit de x-coördinaat van het beeldpunt P.
Op dezelfde manier kunnen we zien dat de y-coördinaat van P, gelijk is aan de sinus van alfa. Om de sinus te vinden, delen we
immers O (overstaande zijde, in het blauw) door S, maar S was 1. De coördinaten van P zijn dus precies de cosinus en sinus
van de hoek alfa. We kunnen dit aanduiden op de goniometrische cirkel:
(afb.24)
6.3 Tangens in de eenheidscirkel
Nu zouden we nog graag de tangens terugvinden op de goniometrische cirkel. We weten dat in een rechthoekige driehoek, de
tangens gelijk is aan de lengte van de overstaande zijde gedeeld door de lengte van de aanliggende zijde. Als we dit keer niet
de schuine zijde, maar de aanliggende zijde gelijk krijgen aan 1, dan is de tangens precies de overstaande zijde. We bekijken
dit keer dus een driehoek vanuit alfa, maar met aanliggende zijde gelijk aan 1:
(afb.25)
Omdat de straal van de cirkel gelijk is aan 1, hebben we nu A = 1 in onze driehoek en dus tan(α) = O/A = O. De overstaande
zijde ligt op een lijn die evenwijdig is met de y-as en door het punt (1,0) gaat, deze lijn is ook op de figuur getekend. Dit is de
raaklijn aan de cirkel in het punt (1,0). Het beginpunt van de overstaande zijde is het punt (1,0), op de cirkel. Het eindpunt is
het snijpunt van het tweede been van de hoek met die raaklijn. De hoogte, die we op de y-as kunnen aflezen, is dus de
tangens.
6.4 Goniometrische getallen op de eenheidscirkel
We laten de driehoeken nu weg en tonen de goniometrische getallen op de cirkel voor een hoek α van 40°:
(afb.26)
Goniometrische getallen kunnen ook negatief zijn, hieronder zijn ze aangeduid voor een hoek α van 221°:
(afb.27)
Hier zijn de sinus (≈ -0.66) en de cosinus (≈ = -0.75) negatief, de tangens (≈ 0.87) is positief.
Aangezien het beeldpunt op de cirkel ligt, zullen de x- en y-coördinaten van P altijd tussen -1 en 1 liggen. We zien dus ook op
de eenheidscirkel dat de sinus en cosinus van een hoek steeds gelegen zijn tussen -1 en 1. Voor de tangens is dit echter niet
zo, zoals te zien op de volgende figuur met een hoek α van 50°:
(afb.28)
Bij een hoek van 90° of 270°, ligt het beeldpunt P op de y-as. Het tweede been van de hoek ligt dan eveneens volgens de y-as
en is dan evenwijdig met de eerder vermelde raaklijn. De tangens werd bepaald door het snijpunt van het tweede been van de
hoek met die raaklijn. Aangezien evenwijdige lijnen niet snijden, bestaat de tangens voor deze hoeken niet.
De exacte waarden van de goniometrische getallen zijn voor enkele belangrijke hoeken in onderstaande tabel samengevat:
6.5 Goniometrische getallen en de "sinusvormige grafiek"
Je kent ze vast wel, die mooie golfgrafiekjes, "sinusoïden".
(afb.29)
Hoe komen we daar nou aan?
Dat doen we door in een grafiek op de x-as de hoek uit te zetten in graden, en op de y-as de sinus. Als je zo voor elke hoek
tussen 0° en 360° de bijbehorende sinus in de grafiek zet komt die sinusoïde tevoorschijn.
In deze applet van Fendt kun je dat zelf doen, voor sinus, cosinus en tangens. Sleep de schuine zijde rond de eenheidscirkel,
en daarnaast zie je de grafiek ontstaan.
In de applet kun je niet oneindig rond blijven slepen, na 360° houdt het op.
Een cirkel heeft echter geen einde, die gaat door, en de hoek dus ook. Na 360° komen 370°, 380° etc. Als de rondgaande
beweging steeds maar doorgaat loopt de golf ook steeds door. In deze animatie klik je op "start". (Toevallig worden hier voor
de zijdes van de driehoek dezelfde kleuren gebruikt als in de cursus.)
7: Goniometrie zonder rekenmachine
Stel je wil de sinus weten van een hoek van 49,5°. Je pakt je rekenmachine, en typt in: sin(49,5°) . Het antwoord is 0,76.
Simpel.
Maar kan dat ook anders? Jawel hoor! Grafisch............
TIPS als je grafisch gaat werken:
I.
II.
Gebruik ruitjespapier: dat geeft je al haakse lijnen én een schaalverdeling
Werk op zo groot mogelijke schaal: hoe groter je schaal, hoe nauwkeuriger je uitkomsten.
7.1 Grafisch én rekenen
Dit heb je in hoofdstuk 3 gezien. Teken een rechthoekige driehoek met een hoek van 49,5°.
(afb.30)
Meet de lengtes van de overstaande rechthoekszijde (bijv. 5,8 cm) en van de schuine zijde (die is dan 7,65 cm) en deel ze op
elkaar.
.
Wat cijferwerk (of toch weer die rekenmachine) levert ook 0,76 op.
Dit wordt al heel wat lastiger tekenen als je wel een sinus van je hoek kent, en de grootte van je hoek moet weten. Je moet
dan al heel wat gaan rekenen en met een passer gaan werken om een nette rechthoekige driehoek ervan te kunnen maken.
7.2 Grafisch zónder rekenen: sinus en cosinus
Wat je hierboven deed kan handiger. Teken je hoek in een eenheidscirkel! Dat heeft één groot voordeel, de schuine zijde heeft
dan namelijk altijd de lengte "1" . Delen door één is makkelijk, daar heb je geen rekenmachine voor nodig:
.
conclusie: in een eenheidscirkel geldt: ....
.... heel
handig !
1.
Teken met je geodriehoek een schuine zijde met een hoek t.o.v. je x-as van 49,5°.
2.
3.
Maak zo je wilt je rechthoekige driehoek af.
Meet de overstaande zijde van de driehoek in je eenheidscirkel. Op dezelfde schaal is die 0,76.
En dat is nu (dankzij die schuine zijde die altijd "1" is) gelijk de sinus van je hoek !
(afb.31)
Ook als je nu andersom moet, van een bekende sinus naar een te meten hoek is dit veel handiger.
1.
Lees die 0,76 af op de y-as, en teken een horizontale stippellijn naar je eenheidscirkel,
2.
Teken de zijdes van je rechthoekige driehoek.
3.
Hoek opmeten met je geodriehoek: 49,5°.
Ken je niet de sinus maar de cosinus van je hoek, dan is het systeem natuurlijk vergelijkbaar met wat we hierboven zagen
voor de sinus. Alleen werk je dan niet via de y-as, maar via de x-as (want daar lees je in je eenheidscirkel je cosinus af, kijk
nog maar eens in hoofdstuk 6). In de oefenopgaven zullen we zoiets voor je uitwerken.
7.3 Grafisch zónder rekenen: tangens
Ook voor de tangens is een grafische bepaling met de eenheidscirkel mogelijk. Alleen, nu heb je er niks aan om zeker te
weten dat je schuine zijde "1" is, want die schuine zijde komt in de formule voor de tangens niet voor.
.
Hier is het dus handig om voor de aanliggende rechthoekszijde 1 te nemen:
En dat is dus ook wat je in hoofdstuk 6 zag gebeuren!
Voorbeeld: bepaal grafisch de tangens van een hoek van 49,5°
1.
Teken dus een rechthoekige driehoek met aanliggende rechthoekszijde "1", d.w.z. een horizontale tot aan de
eenheidscirkel.
2.
Teken dan m.b.v. je geodriehoek een hoek van 49,5° erop.
3.
Lees de tangens af op de y-as : 1,17
(afb.32)
Dit bericht is bewerkt door Jan van de Velde: 3 January 2008, 21:00
-------------------ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenschapsforum.nl/index.php?showtopic=59270
3 January 2008, 20:51
Jan van de Velde
Main Moderator
Bericht #2
In het huiswerkforum vind je een topic voor je vragen en opmerkingen over de cursus en/of de oefenopgaven.
Zit je met een opgave over goniometrie waar je niet aan uit geraakt? Open dan een topic in het huiswerkforum.
Er is ook een volledig overzicht van alle cursussen, FAQ's en handleidingen
----------------------------------------------------------------------------------------
Oefenopgaven
Berichten: 31.815
bij de bovenstaande
[microcursus] Goniometrie: sinus, cosinus en
tangens (basis)
Het eindantwoord zonder uitwerking vind je steeds door het zwarte balkje antwoord te selecteren met je muis.
De uitwerking vind je steeds door te klikken op de
Verborgen inhoud
.
In de antwoorden en uitwerkingen volgen we niet stééds helemaal het stappenplan uit de cursus, en gebruiken we ook
niet steeds de standaardkleurtjes uit de cursus. Bij opgaven die je buiten de cursus tegenkomt zal dat ook niet het
geval zijn.
Daarom hier voor de volledigheid nog maar even het stappenplan:
Quote
Stappenplan:

Stap 1: Maak van je probleem een tekening in de vorm van een simpele driehoek;



Stap 2: Bepaal waar je hoek zit en welke zijdes je kent;
Stap 3: Zet bij de zijden of ze de O-, A- of S-zijde zijn, voor de hoek waar je naar kijkt;
Stap 4: Kijk wat je hebt en wat je wilt weten, zoek daar m.b.v. SOSCASTOA. de juiste formule bij. Dus sinus,
cosinus of tangens;

Stap 5: Schrijf de formule om in de vorm waarin je het wilt weten;

Stap 6: Reken het uit.
Let in de voorbeeldantwoorden niet op de significantie van de cijfers. Gezien de bedoeling van de oefeningen geven we
het antwoord steeds in afgeronde of anders duidelijk herkenbare getallen.
1-5: Rechttoe rechtaan
(afb.1)
Bepaal steeds wat er op de ? en ?? moet komen staan (en
bij opgave 3 wat dáár gevraagd wordt):
1?:
Antwoord: 1,732 cm
Uitwerking:
Verborgen inhoud
1??:
Antwoord: 3,464 cm
Uitwerking:
Verborgen inhoud
2?:
Antwoord: 3,727 cm
Uitwerking:
Verborgen inhoud
3: Bereken de tangens van β en ook de tangens van γ
Antwoord: tan (β) = 0,5 , en tan (γ) = 2
Uitwerking:
Verborgen inhoud
3: Bereken nu eerst hoek β en dan γ in graden
Antwoord: β = 26,56°, γ = 63,44°
Uitwerking:
Verborgen inhoud
4?:
Antwoord: ? = 1,4142 cm (
2 cm )
Uitwerking:
Verborgen inhoud
4??:
Antwoord: ? = 1,4142 cm (
2 cm )
Uitwerking:
Verborgen inhoud
5:?
Antwoord: ? = 1,865 cm
Uitwerking:
Verborgen inhoud
5:??
Antwoord: ? = 4,413 cm
Uitwerking:
Verborgen inhoud
6: Rekenmachine stuk.....
??
Je weet dat de cosinus van een hoek 0,21 is. Maar hoe groot is die hoek dan? Je rekenmachine is stuk, maar je
hebt gelukkig nog wel een vel ruitjespapier, een passer en een geodriehoek.
Antwoord: ongeveer 78°
Uitwerking:
Verborgen inhoud
7: Chainshot pirates
(afb.7)
De kaper wil kettingen afschieten op het kleinere schip, zodat ze wel de tuigage onklaar maken, maar de romp en
lading intact blijven. Met kettingen hebben de kanonnen echter maar een bereik van 100 m. De man in het
kraaiennest weet dat hij 50 m boven de waterlijn zit. Hij heeft een geodriehoek en meet vanaf zijn hoge positie
een hoek van 60° tussen zijn zichtlijn en de mast. Is de prooi al in schootsbereik?
Antwoord: Ja, ze kunnen schieten. De prooi is maar 86,6 m van hen verwijderd.
Uitwerking:
Verborgen inhoud
8: Hoogte van een boom
(afb.8)
Je wilt de hoogte van een boom bepalen met alleen een geodriehoek en een waterpas. Je weet dat je ogen op
een hoogte van 1,60 m van de grond zitten. Ten opzichte van je waterpas meet je hoeken van 35° en 8° (zie
afbeelding).
Hoe hoog is de boom?
Hint: Reken eerst met de onderste driehoek uit hoe ver je van de boom staat.
Antwoord: Afstand z tot de boom 11,38 m, hoogte van de boom x+y = 9,57 m
Uitwerking:
Verborgen inhoud
Vanaf hier moet je zelf op zoek naar je driehoeken.
9: Bomen rooien
(afb.9)
NB: In de afbeeldingen afwijkend kleurgebruik.
Twee even sterke tractoren trekken samen aan een boomstronk. Om de boomstronk te rooien is een
nettotrekkracht nodig van 8000 N. De hoek tussen de kettingen waarmee de tractoren aan de boom trekken is
73,8°. Met welke kracht moet elke tractor trekken zodat ze samen de klus kunnen klaren?
(Hint: omdat de twee tractoren even sterk zijn zal de boom midden tussen de twee tractoren in vallen. De
nettokracht van beide tractoren samen is dus een vector ter grootte van 8000 N midden tussen de
tractorvectoren in.)
Antwoord: 5000 N
Uitwerking:
Verborgen inhoud
10: Afstanden meten in het heelal: eenvoudiger dan
het lijkt
(afb.13)
Op de noordpool en op de zuidpool staan twee denkbeeldige telescopen op precies dezelfde maankrater gericht.
Ze houden elkaar telefonisch op de hoogte, en op een zeker moment meten ze allebei een hoek met het
waterpas (αα en ββ respectievelijk) van 0,94° (de waterpaslijnen zijn de dunne stippellijnen).
(NB: In de afbeelding lijkt die hoek véél groter. Aarde en Maan zijn redelijk op schaal, maar om de afstand
ertussen ook op diezelfde schaal te zetten zou de afbeelding 2 meter breed moeten zijn.)
De afstand over de aardas tussen de twee observatoria (polar radius) is 12 713,504 6 km (ja, dat weten tot op
de decimeter nauwkeurig). Hoe groot is de afstand van het middelpunt van de Aarde tot aan het
maanoppervlak?
Hint 1: De twee hoeken αα en α vormen samen een hoek van 90°
Hint 2: De getekende driehoek is niet rechthoekig, maar je kunt hem wel heel logisch in tweeën snijden tot twee
rechthoekige driehoeken
Antwoord: 387 428 km
Uitwerking:
Verborgen inhoud
11: Hellingproef
(afb.15)
Een blok met een gewicht van 80 N ligt op een spiegelgladde wrijvingloze helling. De unster die voorkomt dat
het blok langs de helling naar beneden glijdt geeft 50 N aan. Hoe groot is hoek α van de helling t.o.v. de
horizontaal?
Ontbind Fz in twee componenten, haaks op de helling en in de langsrichting van de helling. De component langs
de helling moet even groot zijn als de kracht van de unster. Daar kun je dus 50 N bij zetten. Kijk dan eens goed
welke hoeken in de afbeelding dan nog meer gelijk zijn aan α.
Antwoord: 19,47°
Uitwerking:
Verborgen inhoud