Achtergronden Gonio Wereld

Achtergronden Gonio Wereld
Versie dit document 1.04 (20-7-2017)
Versie GonioWereld: 20060908
De gereedschappen
Sinus, cosinus en tangens spelen in dit spel vooral de rol van handige hulpjes/ gereedschappen.
Daarbij speelt mee de bedoeling om vooral ook wat meer praktisch ingestelde leerlingen te bereiken.
Bij de kennismaking met sinus (Wat is sinus? )is gekozen voor een definitie in beelden en getallen in
plaats van in woorden. Er is een robotarm te zien die kan worden rondgedraaid. Zolang de lengte van
de arm 1 blijft, is de sinus van een hoek ‘gewoon’ de hoogte. Deze omschrijving van sinus sluit
trouwens nauw aan bij de eenheidscirkel die in de bovenbouw van havo/vwo gebruikt wordt, Wanneer
de robotarm wordt uitgeschoven (bijv. tot 1,5) is de hoogte uiteraard niet meer gelijk aan de sinus. Er
zijn nu verschillende manieren om te beschrijven wat er aan de hand is
1. sin(40º) ≈ 0,643
1,5 × sin(40º)≈0,964
2. sin(40º) ≈ 0,643
64,3 % van 1,5 = 0,964
De laatste manier wat meer aan bij de gebruikelijke om de sinus als verhouding te definiëren. De
eerste manier sluit aan bij bovenbouw havo/vwo [o.a . y = 1,5·sin(x) ]
Overigens is het om het spel te spelen voldoende om te zien dat de robotarm gedraaid en uitgeschoven
kan worden en is het (nog) niet nodig alle verbanden echt te begrijpen.
Om een actieve (hernieuwde?) kennismaking te bevorderen zijn wat opdrachten toegevoegd, waarbij
de antwoorden ook gecontroleerd worden.
Voor de cosinus geldt eigenlijk het zelfde. Ook hier fungeert de robotarm als ‘interactieve definitie’ .
De overeenkomst en het verschil tussen beide is als het goed is meteen helder
Voor de tangens is gekozen voor een soort beweegbaar platvorm. De hoek is hier een kijkhoek bij een
vaste afstand tot de onderkant van het platform. Het grappige is dat het platform als het ware
‘omhooggekeken’ wordt.
In gestileerde vorm zijn de robotarm en het platform oproepbaar als gereedschap
Opdrachten en beoordeling
De opdrachten zijn (op dit moment) berekeningen van lengtes, afstanden en hoeken
Intypen van een juist antwoord levert punten op, hoe hoger het niveau hoe meer punten.
Bij het beoordelen of een antwoord goed is wordt gekeken wat redelijk in de gegeven situatie - gezien
ook de hulpmiddelen - verwacht mag worden. De details zijn wat technisch, maar op verzoek
beschikbaar. Antwoorden die net te onnauwkeurig zijn, worden als zodanig herkend. Bij een niet
(helemaal) juist antwoord volgt een herkansing, en zonodig meerdere, maar dit kost wel punten. Na
drie foute antwoorden zijn er geen punten meer te verdienen voor een opdracht.
Niveau 1
Het spelen op niveau 1 is zeer instrumenteel. Sinus, cosinus en tangens worden nu echt als
gereedschappen gebruikt. Het belangrijkste denkwerk is de keuze van het juiste gereedschap.
In het algemeen moeten in een bepaalde ‘wereld’(bijv “Hoe staat de ladder”) alle gereedschappen een
of meer keren gebruikt worden. Hoe dat gebruikt moet worden hangt van de soort opgave af . Er zijn
eigenlijk drie soorten opdrachten
1.
Er is een hoek gegeven en een zijde die bij het gereedschap direct kan worden ingesteld, dus bij
de (co)sinus de schuine zijde en bij de tangens de aanliggende zijde. Dit kan met het
gereedschap snel worden opgelost
2.
Er zijn twee zijden gegeven en de hoek wordt gevraagd. Dit vraagt wat uitproberen
3.
Er is een hoek gegeven en een zijde die niet direct kan worden ingesteld ( bijv de hoogte bij
sinus) . Dit vraagt op dit niveau wat langer uitproberen, maar er zijn uiteraard slimmere
manieren mogelijk. Deze opgaven kunnen mede aanleiding om een hoger niveau te gaan
proberen.
Niveau 2
Op niveau 2 moet er wat meer geredeneerd worden, en een verband gelegd tussen de rechthoekige
driehoek in de opgave (de ‘wereld’) en die van het gereedschap. Hierbij is een extra hulpmiddel
aanwezig de (vermoedelijk zeer bekende) verhoudingstabel. Om te bevorderen dat de leerlingen zich
concentreren op het verband tussen beide rechthoekige driehoeken ( in feite gaat het om herkennen
van overeenkomstige zijden) wordt het rekenwerk uit handen genomen. Wanneer drie vakjes zijn
ingevuld, wordt het derde automatische berekend. Omdat het gereedschap niet maar kan worden
vergroot, zijn er eigenlijk nog maar twee typen opgaven:
a]
Hoek en zijde bekend. Na keuze van het juiste gereedschap moet uiteraard eerst de hoek
aangepast worden. Van het gereedschap zijn nu twee zijden bekend, die in de rechterkolom van
de tabel gezet kunnen worden – bij voorkeur met de 1 op de onderste plek. Nadat het juiste
‘wereldvakje’ is ingevuld, is het antwoord af te lezen ( in rood)
b]
Twee zijden gegeven en de hoek gevraagd. Na de keuze van het juiste gereedschap, kunnen
beide lengtes naar de beide vakjes onder wereld gesleept worden. In de juiste volgorde staat
daar dan de goniometrische verhouding. Wanneer daarna in het juiste vakje 1 gezet wordt, is de
‘andere zijde’ van het gereedschap bekend, en kan (via proberen) de juiste hoek “opgezocht”
worden. Uiteraard is het niet verboden om andere hulpmiddelen ( zoals een rekenmachine) in te
schakelen om sneller achter de hoek te komen
Niveau 3
Op niveau 3 moet er ook gerekend worden. Het ligt voor de hand hiervoor een rekenmachine met
sin/cos en tan te gebruiken, hoewel dat strikt gezien niet nodig is. In feite is men op dit niveau
helemaal vrij in de aanpak, en hoeft het gereedschap ook niet gebruikt te worden.
Het gebruik van gereedschap heeft wel voordelen, zoals geïllustreerd zal worden aan de hand van een
paar voorbeelden
a] Hoek en zijde bekend (zie illustratie)
Met behulp hiervan kan een verhoudingstabel gemaakt worden en/of als
volgt geredeneerd:
I De horizontale afstand is 20,8 % van de lengte van de ladder en dan
schatten en terugrekenen. De ladder is ca. 5×1,2 meter, preciezer:
1,2 /0,208≈ 5,77
II In de werkelijkheid zijn de getallen bijna 6 (preciezer 1,20/0,208 ≈
5,77) maal zo groot als bij het gereedschap. Het antwoord is dus 5,77× 1
= 5,77 De zelfde berekening met een iets andere redenering .
Uiteraard is het ook mogelijk om ‘terug te vallen’ op kruiselings
vermenigvuldigen, wanneer men daar erg mee vertrouwd is.
De belangrijkste rol van het gereedschap is dat het kan helpen om bekende fouten (‘net verkeerd om’
en verkeerde goniometrische verhouding ) te voorkomen.
b]
Twee zijden bekend
Het gereedschap kan gebruikt worden om te schatten hoe groot de
hoek ongeveer is. Een voor de handliggende volgende stap is dat de
sinus van de hoek gelijk moet zijn aan 6,9/7,2 ≈0,958
De bijbehorende hoek kan via uitproberen worden opgezocht, of met
een rekenmachine berekend. De rol van het gereedschap is hier
beperkter, maar de keuze van het juiste gereedschap is natuurlijk wel
van groot belang.
Actie-elementen
Bij Gonio Wereld wordt meestal – zoals ook gebruikelijk in het wiskundeonderwijs – een antwoord
verwacht en beoordeeld. Er zijn ook een tweetal opdrachten toe gevoegd waarbij geen antwoord maar
een (doelgerichte) actie wordt verwacht, die ook wordt beoordeeld (raak of mis). Het gaat om een
schiet- en een reddingsoefening, waarbij het aanvankelijk nog mogelijk is (met wat geluk) “op het
oog” goed te scoren, maar door de nauwkeurigheid die gevraagd word ( per niveau oplopend)
noodzakelijk wordt gonio te gebruiken. Bij de schietoefening moet gericht worden op basis van de
positie van het doel (de tangens moet dus invers gebruikt worden). Bij het redden van drenkelingen
moeten in feite poolcoördinaten (richting en afstand) omgezet worden in cartesische coördinaten.
Hierbij is de (co)sinus onontbeerlijk.
Ten slotte
Gonio Wereld is bedoeld om het onderwerp goniometrie in de onderbouw/middenbouw
aantrekkelijker en inzichtelijker te maken. Wat op dit moment klaar is niet meer dan een eerste poging.
Ik hoop dat er nog eens een ook een echt spel (‘game’) ontwikkeld wordt, compleet met levensechte
virtuele werelden. Ook is het mogelijk om wat ingewikkelder situaties te scheppen waarbij de
rechthoekige driehoeken in eerste instantie nog niet aanwezig zijn maar gemaakt moeten worden. Het
gaat dan richting sinusregel en cosinusregel. Kortom ik hoop dat deze Gonio Wereld leerlingen,
leraren en onderwijsontwikkelaars zal inspireren.
Gerard Koolstra
-----------------