Slide 1 - Toegepaste statistiek voor de gedragswetenschappen

STATISTIEK 2
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
Vanhoomissen & Valkeneers, hoofdstuk 2
PREVIOUSLY ON STATISTIEK 2
• Onderzoek begint met een onderzoeksvraag. Daaruit wordt afgeleid wat
•
•
•
•
•
2
de populatie is (verzameling waarover we een uitspraak willen doen) en
wat de onderzoekseenheden zijn (de elementen van die verzameling).
Bedoeling van statistiek is om op basis van verzamelde data een
onderbouwde beslissing te nemen over verband/verschil. We gebruiken
hiervoor steekproeven omdat de hele populatie onderzoeken te
omslachtig is.
Daarom zijn we nooit 100% zeker over onze beslissing. Dat is niet erg, zo
lang we maar de mate van onzekerheid kennen.
Om die mate van onzekerheid te bepalen, hebben we kansberekeningen
nodig. We willen vooral te weten komen hoe (on)waarschijnlijk het is om
de verzamelde data te observeren.
Op basis daarvan kunnen we beslissen of een verband/verschil
significant is.
Statistiek is geen wetenschap op zich. Statistische conclusies zijn pas
waardevol als ook aan de randvoorwaarden voldaan is en statistiek niet
misbruikt wordt.
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
VANDAAG
Kansverdelingen en kansberekening
Om antwoorden te geven op vragen als
“Als ik straks op straat een willekeurige jongeling aan de haak sla, hoe groot is dan de kans dat
hij groter is dan 1m75 maar kleiner dan 1m95?”
KANSEN
Kans = waarschijnlijkheid om een bepaalde gebeurtenis te observeren,
uitgedrukt met een getal tussen 0 en 1
Hoe waarschijnlijk is het om een “3” te gooien met 1 worp van een
dobbelsteen?
-> P(3) = 1/6 (of 0.1666)
of nog:
Hoe waarschijnlijk is het om
bij aselecte trekking van “een
docent statistiek” de gebeurtenis
“niet saai” te observeren?
-> P(“niet saai”) = ???
4
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
WAAROM KANSEN?
Waarom kansen nodig in statistiek?
Belangrijk doel in statistiek: op basis van steekproefgegevens conclusies
trekken over populatie
Soorten vragen:
1. Interval-estimatie
2. Hypothesetoetsing
5
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
WAAROM KANSEN?
1. Interval-estimatie
•
Vraag: Wat is het gemiddelde IQ van alle kinderen in het 1e jaar secundair
onderwijs die 1 of meerdere jaren blijven zitten zijn in het basisonderwijs?
•
Antwoord op basis van gegevens uit steekproef: “Het gemiddelde IQ van alle
kinderen in het 1e jaar SO die 1 of meerdere jaren blijven zitten zijn in het
BaO ligt tussen X1 en X2 met 95% zekerheid.”
•
Betekenis: Indien je steeds deze bewering aanhoudt, dan weet je dat je in
5% van de gevallen fout zal zijn OF de kans op een fout is 0.05 -> zegt iets
over nauwkeurigheid van de schatting van de populatieparameter op basis
van de steekproefgegevens
•
Nodig: Steekproefstatistieken (gemiddelde, standaardafwijking, grootte
steekproef) + Kansverdeling
6
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
WAAROM KANSEN?
2. Hypothesetoetsing
•
•
•
•
•
->
->
7
Hypothese: Het IQ van leerlingen in het 1e jaar SO die 1 of meerdere jaren in het
BaO zijn blijven zitten (populatie 1) is gelijk aan het IQ van leerlingen 1e jaar SO
die niet zijn blijven zitten (populatie 2).
Antwoord op basis van gegevens uit steekproef: “We verwerpen deze hypothese”
of “We kunnen deze hypothese niet verwerpen”.
Nodig: Steekproefstatistieken (gemiddelde, standaardafwijking, grootte
steekproef) + Kansverdeling
Waarom kansverdeling nodig? Stel dat we vinden dat IQ in steekproef 1 = 105 en
IQ in steekproef 2 = 115 .
Hoe groot is de kans om dit verschil te vinden als er in werkelijkheid geen
verschil is tussen de twee populatiegemiddelden?
grote kans: hypothese niet verwerpen
kleine kans: hypothese verwerpen
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
KANSEN
Relevante begrippen
Uitkomst = 1 enkelvoudig resultaat
− “een 3” bij het gooien met een dobbelsteen
− “Chad Smith” bij het trekken van een bandlid van RHCP
Uitkomstenruimte = verzameling van alle mogelijke enkelvoudige
uitkomsten
− bij dobbelsteen {1,2,3,4,5,6}
− bij trekking bandlid {Chad Smith, Anthony Kiedis, Flea, Josh
Klinghoffer}
8
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
KANSVERDELING
Kansverdeling = combinatie van uitkomstenruimte met respectievelijke
kansen - overzicht van mogelijke waarden van een variabele en
bijhorende kansen
− bij dobbelsteen:
9
uitkomst
kans
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
1
2
3
4
5
6
KANSVERDELING
variabele = aantal ogen bij werpen van 2 dobbelstenen
18
16,67
16
13,89
14
procent
12
13,89
11,11
11,11
10
8,33
8,33
8
5,56
6
4
5,56
2,78
2,78
2
0
2
10
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
KANSVERDELING
Kansverdeling is analoog aan de frequentieverdeling (zie Statistiek 1)
verschil:
frequentieverdeling bij geobserveerde waarden
kansverdeling bij theoretische waarden
gemiddelde en standaardafwijking bij kansverdeling niet echt
mogelijk wegens geen observaties, maar wél op basis van
kansberekening
11
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
KANSVERDELING
gemiddelde van de kansverdeling : verwachte waarde
bv bij het gooien van 1 dobbelsteen:
12
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
KANSVERDELING
Variantie van een kansverdeling:
bv bij het gooien van 1 dobbelsteen:
13
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
DE STEEKPROEVENVERDELING
Een bijzondere kansverdeling: de
steekproevenverdeling van het gemiddelde
Stel:
• We trekken uit een populatie een oneindig aantal steekproeven.
• Elke steekproef wordt gekenmerkt door een aantal steekproefstatistieken
zoals het gemiddelde. We krijgen dus een oneindig aantal
steekproefgemiddelden waarvan we een verdeling kunnen opstellen.
• Steekproevenverdeling van gemiddelde = alle mogelijke waarden van
steekproefgemiddelden samen met de kansen op die steekproefgemiddelden
• Daarna kunnen we dus de kans bepalen op het vinden van een bepaald
steekproefgemiddelde.
14
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
populatie
steekproef
steekproevenverdeling
15
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
DE STEEKPROEVENVERDELING
We trekken een steekproef van n = 2 uit de populatie van getallen 2,
4, 6
16
Waarden
steekproef
Gemiddelde
van
steekproef
Kans
X
P(X)
2
2
2
1/9
2
1/9
2
4
3
1/9
2
6
4
1/9
3
2/9
4
2
3
1/9
4
3/9
4
4
4
1/9
5
2/9
4
6
5
1/9
6
1/9
6
2
4
1/9
6
4
5
1/9
6
6
6
1/9
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
DE STEEKPROEVENVERDELING
Verwachte waarde van steekproevenverdeling =
populatiegemiddelde 
E( X )   X  
(2 + 4 + 6)/3 = 4
(1/9 x 2) + (2/9 x 3) + (3/9 x 4) + (2/9 x 5) + (1/9 x 6) = 4
-> gemiddelde van de steekproef is een ‘zuivere schatter’ van het gemiddelde
van de populatie
Schatter: we schatten met behulp van het steekproefgemiddelde het
populatiegemiddelde
Zuiver: er zullen geen systematische afwijkingen zijn wanneer men kijkt naar
het gemiddelde van alle mogelijke steekproeven om de populatiegrootheid
te schatten
17
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
DE STEEKPROEVENVERDELING
Standaardafwijking van steekproevenverdeling = standaardfout van
gemiddelde
SE X   X 

N
standaardafwijking van populatie
steekproefgrootte
standaardafwijking van het gemiddelde
Standard Error of standaardfout van het gemiddelde
standaardafwijking van de steekproef
18
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
indien
niet
gekend
s
N
DE STEEKPROEVENVERDELING
Hoe groter de steekproef, hoe kleiner de standaardfout
Gemiddelde lengte van alle 20-jarige mannen = 180cm met een
standaardafwijking van 10cm.
Bij een steekproef van n = 300
Bij een steekproef van n = 700
19
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
10
SE X 
 0.58cm
300
10
SE X 
 0.38cm
700
DE STEEKPROEVENVERDELING
Vorm van de steekproevenverdeling
gemiddelde en standaarddeviatie van deze verdeling zijn bekend
dus:
als de verdeling normaal verdeeld is, kennen we het volledige verloop
maar: is de verdeling normaal verdeeld?
Centrale Limiet Theorema (A. De Moivre, 17E)
20
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
DE STEEKPROEVENVERDELING
Hoe groter de steekproef, hoe meer de normale verdeling benaderd wordt:
(vb: gooien van 1 dobbelsteen)
21
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
DE STEEKPROEVENVERDELING
Vorm van de steekproevenverdeling
•
Als de populatie waaruit men steekproeven trekt normaal verdeeld is, dan is
de steekproevenverdeling van het gemiddelde ook normaal verdeeld met
een verwachte waarde μ en een standaardafwijking  / N .
•
Als de populatie waaruit men een steekproeven trekt niet normaal verdeeld
is, maar de steekproeven zijn groot genoeg (N > 30), dan zal de
steekproevenverdeling bij benadering normaal verdeeld zijn met een
verwachte waarde μ en een standaardafwijking  / N . (wat als N < 30?
zie later)
•
Als σ niet gekend is, mag men σ vervangen door de standaardafwijking van
de steekproef als N > 100.
22
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
DE STEEKPROEVENVERDELING
Wat is er nu zo cool aan de steekproevenverdeling van het
gemiddelde?
Aangezien:
− we het gemiddelde van deze verdeling kennen (µ)
− we de standaardafwijking van de verdeling kennen (
s )
of indien σ niet gekend is en N>100 :

N
N
− we weten dat ze normaal verdeeld is (als populatie normaal verdeeld
is of als N > 30)
kunnen we z-scores berekenen en kansen
uit de standaardnormaalverdeling halen!
23
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
z
x  X
X
NORMALE VERDELING
Waarom is die vorm zo belangrijk?
• kennis over de verdeling van kansen van een bepaalde variabele
maakt intervalestimatie en hypothesetoetsing mogelijk.
• kansvariabelen die passen in theoretische verdeling (model) bieden
meer mogelijkheden voor verwerking.
• veelgebruikt model: normale verdeling (= vaak voorkomende
verdeling van kansen in gedragswetenschappen)
Probability Density
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-4
24
-3
-2
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
-1
0
1
2
3
4
NORMALE VERDELING
•
•
•
normale verdelingen verschillen enkel in gemiddelde en
standaarddeviatie. De curve is altijd klokvormig en symmetrisch.
kans om een waarde te observeren tussen 2 grenzen is gelijk aan de
oppervlakte onder de curve
totale oppervlakte onder de curve is dus 1
0,3
Probability Density
0,25
0,2
0,15
0,1
6,43%
0,05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
25
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
NORMALE VERDELING
Formule:
1
f X  
e
 2
 X  
2 2
f (X) = hoogte in curve
π = 3.14
e = 2.72
μ = mu = verwachte waarde, gemiddelde van de normale verdeling
-> bepaalt de plaats van het midden van de verdeling
σ = sigma = standaardafwijking van de verdeling, spreiding van scores
-> bepaalt hoe breed of smal de verdeling is (kleine sigma geeft smalle en hoge
curve; grote sigma geeft brede en lage curve)
Dus:
μ en σ bepalen de normaalverdeling
er zijn vele soorten normaalverdelingen (naargelang μ en σ )
26
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
Verschillende μ ,
gelijke σ
Y
NORMALE VERDELING
-4
-2
0
2
4
6
8
5
10
15
X
Y
Gelijke μ ,
verschillende σ
-15
-10
-5
0
X
27
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
NORMALE VERDELING
• Totale oppervlakte onder curve = 1

28

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening






NORMALE VERDELING
• Kans op een waarde in bepaald gebied = oppervlakte onder curve

29

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening






NORMALE VERDELING
.3413 .3413
.0228
μ -3σ
30
.1359
μ -2σ μ -σ
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
.1359
μ
μ +σ
.0228
μ +2σ
μ +3σ
NORMALE VERDELING
.3413 .3413
.0228
μ -3σ
.1359
μ -2σ μ -σ
.1359
μ
μ +σ
.0228
μ +2σ
μ +3σ
IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15
ongeveer 68% heeft IQ tussen 85 en 115
ongeveer 95% heeft IQ tussen 70 en 130
ongeveer 2.3% heeft een IQ lager dan 70; ongeveer 2.3% heeft een IQ hoger dan
130
31
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
STANDAARDNORMALE VERDELING
Standaardnormale verdeling
− Eén bepaald type normale verdeling
− Namelijk met μ = 0 en σ = 1





32
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening






STANDAARDNORMALE VERDELING
Waarom die speciale verdeling?
− bij normaal verdeelde gegevens -> kans afleiden uit oppervlakte
onder de curve
− oppervlakte berekenen = heel omslachtig -> beter aflezen uit
tabel
− onmogelijk om van elke normale verdeling een tabel op te stellen
(oneindige verzameling)
=> slechts 1 tabel opstellen en elke normale verdeling transformeren
naar de verdeling waarvoor de tabel is gemaakt, nl. de
standaardnormale verdeling
33
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
STANDAARDNORMALE VERDELING
Hoe gaat dat in zijn werk?
Transformatie van normale verdeling: vorm blijft behouden, maar µ
en σ worden resp. 0 en 1.
Transformatie = “standaardiseren” = Z-waarden berekenen:
z
x  X
X
De verdeling is dan standaardnormaal en de kansen kunnen
afgelezen worden uit de tabel voor de standaardnormale
verdeling.
34
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
STANDAARDNORMALE VERDELING
IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15.
Wat is kans op een IQ groter of gelijk aan 112?
Stap 1:
z
x  X
X
dus:
Z(IQ112) 
35
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
112  100
 0.8
15
STANDAARDNORMALE VERDELING
Stap2: kans van waarde 0.8 opzoeken in tabel











Z = 0.80
P(z < 0.80) = 0.7881
P(z ≥ 0.80) = 1 – 0.7881
Pr(0.80) = 0.2119
36
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
STANDAARDNORMALE VERDELING
Andere soorten oefeningen ivm kansberekening: analoog aan
berekening van percentages in statistiek 1 (hoofdstuk 6).
Voor herhaling: zie slides achteraan.
37
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
DE STEEKPROEVENVERDELING
We kunnen nu dus raadsels als deze oplossen:
− We hebben een normaal verdeelde populatie met μ = 100 en σ =
15. Uit deze populatie trekken we een steekproef van n = 40. Het
gemiddelde van de steekpoef is 102 en de standaardafwijking is
14. Hoe groot is de kans op een steekproefgemiddelde van 102 of
hoger?
− Wat is gevraagd?
P(X ≥ 102)
− Is de steekproevenverdeling normaal verdeeld?
Ja, want de populatie is normaal verdeeld
38
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
DE STEEKPROEVENVERDELING
Dus:
Stap1: z-score berekenen
zx 
X 
x

X 


X 

N
zx 
102  100
40  0.843
15
N
Stap 2: kans van z-score bepalen via standaardnormale verdeling
39
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
DE STEEKPROEVENVERDELING











Z = 0.84
P(z ≥ 0.84) = 1 - P(z ≤ 0.84)
= 1 - 0.7995 = 0.2005
40
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
DE STEEKPROEVENVERDELING
Dus:
P(z ≥ 0.84) = 0.2005
Conclusie: De kans op een gemiddelde van 102 of groter is 0.20
We kunnen dus de kans berekenen op het voorkomen van een bepaald
gemiddelde van een steekproef. M.a.w.: we kunnen nagaan of ons
steekproefgemiddelde uitzonderlijk is of juist heel acceptabel.
En dat is net wat we nodig hebben om hypotheses te toetsen!!
41
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
SAMENGEVAT
Kansen zijn van groot belang in onderzoek omdat ze ons in staat stellen
om te beslissen of een observatie heel uitzonderlijk is of eerder heel
gewoon.
Om kansen te berekenen maken we gebruik van kansverdelingen:
theoretische verdelingen van mogelijke waarden en bijhorende
kansen van een variabele.
In de psychologie wordt de normale verdeling vaak gebruikt, aangezien
veel kenmerken van mensen als normaal verdeeld in de populatie
worden beschouwd.
Omdat voor elk kenmerk een normale verdeling met een ander
gemiddelde en standaarddeviatie geldt, is het onmogelijk om voor
elke verdeling de exacte kansen te kennen. Daarom herleiden we die
normale verdeling naar een standaardnormale verdeling door zscores te berekenen. Daarna kunnen we de kansen van de z-scores
aflezen uit een tabel.
Een specifieke kansverdeling is de steekproevenverdeling van het
gemiddelde, waarmee we kunnen uitrekenen hoe groot de kans is om
een bepaald gemiddelde te observeren.
42
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
Herhalingsoefeningen: kansen berekenen
in de normale verdeling.
(zelfstudie – zie statistiek 1)
STANDAARDNORMALE VERDELING
scenario 1
IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15.
Wat is kans op een IQ groter of gelijk aan 112?
Stap 1:
dus:
44
z
x  X
X
112  100
Z(IQ112) 
 0.8
15
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
STANDAARDNORMALE VERDELING
Stap2: kans van waarde 0.8 opzoeken in tabel











Z = 0.80
P(z < 0.80) = 0.7881
P(z ≥ 0.80) = 1 – 0.7881
Pr(0.80) = 0.2119
45
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
STANDAARDNORMALE VERDELING
scenario 2
IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15.
Wat is kans op een IQ groter of gelijk aan 87?
Stap 1:
Z(IQ87) 
87  100
 0.867
15


Stap 2: P(z ≥ -0.867)=?

?




-0.867
46
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening




STANDAARDNORMALE VERDELING
Stap2: kans van waarde -0.867 opzoeken in tabel
Probleem: tabel
bevat enkel
kansen voor
positieve
z-waarden!
47
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
STANDAARDNORMALE VERDELING
Gelukkig is de standaardnormale verdeling symmetrisch!


P (z ≤ -0.867)
P (z ≥ 0.867)





Dus: P ( z ≤ -0.867) = P ( z ≥ 0.867)
En ook: P (z ≥ -0.867) = P ( z ≤ 0.867)
48
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening




STANDAARDNORMALE VERDELING
En uit de tabel lezen we af:
P ( z ≤ 0.867) = 0.8078
= P (z ≥ -0.867)
49
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
STANDAARDNORMALE VERDELING
scenario 3
IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15.
Wat is kans op een IQ kleiner of gelijk aan 114?
Stap 1:
Z(IQ114) 
114  100
 0.93
15


Stap 2: P(z ≤ 0.93)=?

Lees rechtstreeks af uit de tabel:
P(z ≥ 0.93) = 0.8238


50
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening






STANDAARDNORMALE VERDELING
scenario 4
IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15.
Wat is kans op een IQ kleiner of gelijk aan 87?
Stap 1:
Z(IQ87) 
87  100
 0.867
15

Stap 2: P(z ≤ -0.867)=?

Niet af te lezen uit tabel! Maar we weten dat:
P(z ≤ -0.867) = P(z ≥ 0.867)


Dus:
P(z ≤ 0.867) = 0.8078
En P(z ≥ 0.867) = 1 - 0.8078 = 0.1922
51
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening







STANDAARDNORMALE VERDELING
Meer varianten op hetzelfde thema!
IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15.
Wat is kans op een IQ kleiner of gelijk aan 87 OF groter of gelijk aan
113?
87  100
Z(IQ87) 
 0.867
15
Stap 1:
113  100
Z(IQ113) 
 0.867
15








OF
52
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening



STANDAARDNORMALE VERDELING
Stap 2:
P(z ≥ 0.867) OF P(z ≤ -0.867)=
P(z ≥ 0.867) + P(z ≤ -0.867)





P(z ≥ 0.867) + P(z ≤ -0.867)




= 0.192 + 0.192
= 0.384
=> kans op IQ kleiner dan of gelijk aan 87 OF groter dan of gelijk aan
113 is 0.384
53
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening


STANDAARDNORMALE VERDELING
Meer varianten op hetzelfde thema!
IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15.
Wat is kans op een IQ tussen 87 en 113?
Stap 1:
87  100
 0.867
15
113  100
Z(IQ113) 
 0.867
15
Z(IQ87) 


?



54
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening






STANDAARDNORMALE VERDELING
Stap 2:
P( -0.867 ≤ z ≤ 0.867) =
P(z ≤ 0.867) - P(z ≤ -0.867)



P(z ≤ 0.867) = 0.8078
en
P(z ≤ -0.867) = 1 - P(z ≤ 0.867) = 0.1922


Dus:
P(z ≤ 0.867) - P(z ≤ -0.867) = 0.8078 – 0.1922
= 0.616
=> kans op IQ tussen 87 en 113 is 0.616
55
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening






STANDAARDNORMALE VERDELING
Algemene werkwijze bij gelijkaardige oefeningen:
• Bereken de z-scores
• Noteer in P(z ≥ x)-vorm wat je zoekt
• Haal uit de tabel wat rechtstreeks kan afgelezen worden
• Gebruik optelling of aftrekking om kansen af te leiden die niet in de
tabel staan => makkelijker als je even de tekening maakt!





56
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening






STANDAARDNORMALE VERDELING
Verdere toepassing van dezelfde techniek:
Een normaal verdeelde test heeft een gemiddelde van 100 en een
standaardafwijking van 15. Welke score moet men hebben om bij
de 5% best scorende mensen te behoren?

Wat is gevraagd?
Een score x waarvoor P (z ≥ x) = 0.05
0.05





Dus: omgekeerde richting: een score zoeken op basis
van een kans ipv een kans op basis van een score
57
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening




?

STANDAARDNORMALE VERDELING
In de tabel zien we dat de Z-score die een P van 0.95 heeft gelijk is aan
1.65
Dus: we zoeken een score x waarvan de Z score gelijk is aan 1.65
Remember:
x – 100
15
x
x
z
x  X
= 1.65
X

0.05


= (1.65 x 15) + 100
= 124.7 ~ 125







?
Antwoord: men moet een score van 125 hebben om bij de 5% best
scorende mensen te horen
58
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening

STANDAARDNORMALE VERDELING
Een variabele is normaal verdeeld met een gemiddelde van 70 en een
standaardafwijking van 12. Hoeveel % van de mensen scoort hoger
dan 58?
Wat is gevraagd?
P (x ≥ 58) = ?
Stap 1: score van 58 omzetten in Z score
58 – 70 = -1
12
Stap 2: P (z ≥ -1) = ?
[scenario 2]
=> 0.8413 of 84%
59
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening