die lesgeeft aan eerstejaarsstudenten economie en informatica aan

Wim Groen
[1], die lesgeeft aan eerstejaarsstudenten economie en informatica aan de Vrije
Universiteit in Amsterdam, stelt vast dat zijn studenten een aantal vrij elementaire algebraïsche
berekeningen niet meer met pen en papier kunnen uitvoeren. Nochtans gaat het om studenten
die 'wiskunde B' (vergelijkbaar met onze 6 en 8 uur) gedaan hebben in het secundair onderwijs.
Zijn die studenten té afhankelijk geworden van hun rekenmachine?
Paul Igodt, professor aan de KULAK (Kortrijk) en organisator van de Vlaamse wiskunde­
olympiades, neemt in [2} een radicaal standpunt in met betrekking tot het gebruik van
computers en rekenmachines in het secundair onderwijs. Experimenteren aan de hand van
Cabri en werken met grafische rekenmachines hoeven voor hem niet. Wel ziet hij een plaats
voor een aantal goed gekozen 'applets' om zaken te visualiseren en voor het gebruik van e-mail
om over wiskunde te communiceren.
basisbegrippen en
-technieken onder
Leerlingen moeten in het secundair ondenvijs vooral
de
knie
krijgen en precies
leren redeneren.
Teveel
experimenteren (en zeker als het bij experimenteren en vaststellen blijft) kan het gevoel voor
exactheid ondermijnen.
We hebben in Uitwiskeling altijd gepleit voor het gebruik van grafische rekenmachines,
Cabri, ... wanneer dit het leren van wiskunde ten goede komt en niet omdat het nu eenmaal in
de mode is. We zien computers en rekenmachines niet als een bedreiging voor het leren van
wiskunde. Als ze goed gebruikt worden, bieden ze integendeel juist mogelijkheden om beter
wiskunde te leren: de tijd die vrij komt door te bezuinigen op manueel rekenwerk kan voor
zinvoller dingen gebruikt worden,· computers en rekenmachines kunnen een mooie rol spelen bij
het aanbrengen van een begrip als afgeleide; het zelf ontdekken en verkennen van meetkundige
eigenschappen met Cabri kan leerlingen soms op het spoor brengen van bewijzen ...
Dac:rmee willen we niet gezegd hebben dat de vrees van Paul Igodt en de kritiek van Wim
Groen ongegrond zouden zijn. Je kunt computers en rekenmachines inderdaad op zo'n manier
inzetten dat ze leiden tot 'beschrijven zonder te verklaren'. Deze valkuil moeten we zeker blijven
vermijden. En de ervaring van Wim Groen zet ons aan om na te denken over de vraag welke
algebraïsche
rekentechnieken
leerlingen
nog
met
de
hand
moeten
kunnen
uitvoeren.
Onvermijdelijk zullen bepaalde algebraïsche vaardigheden verdwijnen, net zoals het trekken
van vierkantswortels met pen en papier verdwenen is met de komst van de wetenschappelijke
rekenmachine. Wie vindt dat erg? Zeker niet de jongere lezers onder jullie want die hebben het
nooit geleerd. Maar er zijn wellicht ook algebraïsche berekeningen waarvan we vinden dat de
leerlingen ze met pen en papier moeten kunnen maken omdat ze noodzakelijk zijn voor het
inzicht. Waar leggen we de grens? Waar mogen leerlingen eigenlijk hun rekenmachine niet
voor nodig hebben? Welke kennis moeten ze paraat bezitten? En hoe maken we dit dan duidelijk
aan de leerlingen?
Michel, namens de redactie
[1] W. Groen, Parate wiskundekennis enformulevaardigheden, Nieuwe Wiskrant 20/3 (2001), 50-52.
[2] P. lgodt, De schermen van !CT: een wiskunde van lajkcif
j ers?, Wiskunde en Onderwijs 105 (2001), 4-27.
Simulatie van een basketbalspel op een TI 83(Plus)
Renée Gossez
In dit artikel stellen we een oefening voor waarin leerlingen van het 4de jaar hun kennis van de
kwadratische functie moeten toepassen. De rekenmachine wordt door de leerlingen in de klas
gebruikt mn hun antwoord grafisch te controleren. Zo ontstaat de oplossing op een dynamische
manier, waarbij de leerlingen de gelegenheid krijgen zichzelf te verbeteren.
Deze tekst is de neerslag van een voordracht die gehouden werd in het kader van een nascholing
van het Centrum voor Beroepsvervolmaking Leraren (Universiteit Antwerpen) op 17 oktober
2001. Dezelfde voordracht werd ook gehouden op het T3 -symposium in Brussel in mei 2000. De
voordracht is geïnspireerd op
[ 1].
Opgave
Een basketbalkorf hangt vast aan een metalen paal, op een hoogte van 3 meter. Een speler die
op 5 meter van de korf staat, werpt een bal vanaf een hoogte van 1 meter 80. Men veronderstelt
dat de wrijving van de lucht verwaarloosbaar is, dat de korf en de bal punten zijn en dat de baan
die door de bal gevolgd wordt helemaal gelegen is in het vlak bepaald door de paal en de
startpositie van de bal.
We kiezen het volgende assenstelsel:
y
1.8
0
5
x
Het vlak Oxy is het vlak bepaald door de paal en de startpositie van de bal.
Opdracht: vind de vergelijking van één van de banen die de bal moet volgen om in de korf te
vallen.
2
het spinnenweb
Invoeren van de data
...,
I)
!)
U:
------
1
L3
1.B
3
------
L1 ={0,5)
!>.3
!>.3
!>.:<
!>.3
!>.3
!>.3
!>.3
L3
L2
1.B
3
------
L� ={.
5.3
!>.3
!>.3
5.3
!>.3
S:.3
!>.3
"Cl
.2
.�
.6
.B
1
1.2
1.�
�
2, . 4, . 6' . 8 ...
De lijsten
L1
lijsten
en L4 bevatten de coördinaten van punten van de paal. Om een mooie tekening te
L3
en L2 bevatten de coördinaten van de startpositie van de bal en van de korf. De
krijgen kozen we als x-coördinaat
5,3.
Tekening van de bal en de paal op het scherm van de rekenmachine
In het STATPLOT menu definiëren we de volgende plots 1 en 2:
l o �On
p·e�oç:
k:::
L1
L2
2: Plot2... 0n
L�
k::: L3
3: Plot3... 0ff
k::: L 1
L2
4.J.·Plots0ff
a
a
We kiezen een geschikt venster:
ldiNDOI.t.l
Xro·1in= -2
Xri'Ja:x:=15
Xscl=l
'-Ir•) in= -2
"t1P)ax=15
Yscl=l
Xre�=l
Oplossing van het probleem
De leerlingen komen nogal vlug tot de conclusie dat de kromme die het best de baan van de bal
zal voorstellen een parabool is met vergelijking y = ax2 + bx + c . Ze moeten nu een parabool
vinden die door de punten met coördinaten (0; 1,8) en
(5; 3)
gaat. Sonunige leerlingen proberen
oruniddellijk tnet een of andere parabool. Dat geeft in het algemeen geen goed resultaat:
3
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
Iml J:l.l.1H P' 1 (I t3
y 1 axA2-X+ 1.8
··.Y2S -XA2+3*X+1. 8
·
...
-...Y3=1
'-YLt=
'Ys:=
-...Ys=
Andere leerlingen voeren eerst berekeningen uit:
f(x) = ax2 +bx+c
f(O) = c = 1,8 Ç::> f(x) = ax2 +bx+1,8
f(S) = 3
Ç::>
2Sa+Sb+1,8= 3
Ç::>
1,2-Sb
a= -2S
Ze vinden dat er oneindig veel parabolen zijn die voldoen en dat hun vergelijking gegeven
wordt door
y=
1,2- Sb
2S
-,
x- +bx+1,8.
Om één van de banen te vinden, is het voldoende een waarde aan b te geven bijvoorbeeld
b = -1 , en de overeenkmnstige grafiek te tekenen:
f'lot3
'Y196.2/25*XA2-X
1. 8
'Y2=
'Y3=
'Y�.t=
-...Ys:=
·-..Y6=
Deze leer 1.mg hee ft een voorwaarde vergeten:
I
\
1'2- Sb
Nieuwe invoer:
11(1.2-5*8)/25*XA
2+B*X+1.811-*Y1
Done
1-*B
1
I
4
2S
<
0 Ç::> b > 0 , 24 11
. .
het spinnenweb
1'*8
Done
1
3"*8
0.25'*8
I
3
.25
r,
I
Van deze drie pogingen is de tweede (B
=
3)
1) zou
0,25) botst
de beste. Bij de eerste poging (B
via de paal langs boven uit de korf kunnen botsen. Bij de laatste poging (B
=
=
de bal
de bal
tegen de voorkant van de korf aan. Alleen ballen die voldoende steil in de korf belanden, vallen
erdoor. Met leerlingen van een
5de
jaar zou men als extra voorwaarde mogen stellen dat de bal
de korf raakt onder een gegeven hoek.
Bibliografie
[1]
Charles Vonder Embse, Arne Engebretsen, A
mathematica/look at free throw using technology,
The
Mathernaties Teacher 89/9 (December 1996), 774- 779.
5
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
Dissectie van de regelmatige twaalfhoek
LucVan den Broeck
In het vierde jaar ASO
(5
uur) stelden we onlangs een tabel op met de omtreks- en
oppervlakteformules van regelmatige n-hoeken ingeschreven in een cirkel met straal
van deze resultaten waren opvallend omwille van de gehele coëfficiënten bij
merkwaardigste onder hen was, volgens
twaalfhoek
3r2
mij,
r
r.
of bij
Enkele
r2•
De
de oppervlakteformule van de regehnatige
(drie keer de oppervlakte van een vierkant met zijde
r).
Dit bracht me op een
idee. Ik ben de gelukkige bezitter van [1], een boek waarin een millukwekkend aantal vlakke en
ruimtelijke dissecties geïnventariseerd is. In het eerste hoofdstuk reeds vond ik een ontwerp van
Tai Chen dat best door leerlingen van een vierde jaar herontdekt zou kunnen worden. We
namen de proef op de som.
De eerste opdracht voor de leerlingen was de regelmatige twaalfhoek te verdelen in drie delen
met een gelijke oppervlakte. De leerlingen kozen unamiem voor drie delen met een zelfde vonn,
een wijze keuze.
De volgende opdracht was elk van de puzzelstukken te versnijden zo dat er rechte hoeken
tevoorschijn kwamen. Ook hier waren er geen meningsverschillen.
6
het spinnenweb
De laatste suggestie was de driehoekige puzzelstukken nog één maal te versnijden en de
vijfhoekige stukken onaangeroerd te laten. Het duurde niet lang eer de leerlingen uitgerekend
hadden dat ze op twee plaatsen nog een hoek van 15° nodig hadden om de vijfhoeken te
vervolledigen tot vierkanten. De volgende tnorgen kreeg ik meer dan één dissectie-ontwerp. De
puzzel tnet het kleinste aantal puzzelstukken (identiek aan deze van Tai Chen) zag er als volgt
uit:
We controleerden alles vooraan in de klas met grote puzzelstukken. Toen de platte gelij kbenige
driehoekjes op hun voorbehouden plaatsen schoven, waren de leerlingen overtuigd.
Zelf had ik het moeilijk met dit knipselbewijs. Eén leerling had het nmnelijk klaargespeeld de
twaalfhoek op totaal een andere manier te verknippen tot drie bijna-vierkanten. Ook hij kreeg de
goedkeuring van de klas. Het bewijs dat de resulterende vierhoeken van Tai Chen werkelijk
vierkanten waren, mocht dus niet ontbreken. Met enkele vragen probeerde ik 4MtWi tot een
kritische houding aan te manen: "Zou het voldoende zijn te bewijzen dat alle zijden van de
vierhoeken even lang zijn en dat alle hoeken 90° zijn om met zekerheid te kunnen besluiten dat
het hier om vierkanten (met als zijde de straal r van de n-hoek) gaat? Of zouden de
puzzelstukken elkaar in dit geval nog kunnen overlappen?" De klasdiscussie kon starten ...
7
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
Enkele weken na deze klasoefening kreeg het verhaal van de twaalfhoek een staartje. De
allerlaatste vraag van de eerste ronde van de zestiende Vlaamse Wiskunde Olympiade
suggereerde een totaal nieuwe dissectie. Volgens deze vraag zou de oppervlakte van de
regelmatige twaalfhoek gelijk zijn aan de oppervlakte van één vierkant met als zijde één van de
diagonalen van de twaalfhoek
Met behulp van de stelling van Pythagoras konden de
deelnemers uitrekenen dat het om de derdelangste (of de derdekortste) diagonaal ging. Ze heeft
natnelijk een lengte gelijk aan
oppervlakte 3
·
r2
-/3
·
r,
net gepast voor de versnijding tot een vierkant met
•
Het uitdenken van een dissectie die een twaalfhoek omvormt tot één vierkant is geen kinderspel.
Ofwel kan je de leerlingen enkele dagen tijd geven om thuis te experimenteren met
papiersnippers ofwel kan je in de klas een vooraf geprepareerde puzzel tonen. Er zijn 1neerdere
goede oplossingen voor dit probleem mogelijk. We laten hier twee "geknipte" ontwerpen zien.
Het eerste werd uitgedacht door Harry Lindgren (1912-1992). Deze naar Australië uitgeweken
Engelsman ontplooide zich in de eerste helft van vorige eeuw tot de wereldexpert op gebied van
geometrische dissecties (Greg Frederickson verwijst in [1] naar [2]) en hield zich op latere
leeftijd bezig 1net de Engelse spellingshervorming. Geniet van de schoonheid en de eenvoud
van zijn kunstwerk.
Het tweede ontwerp is me toegespeeld door een wiskunde-collega die ik mocht ontmoeten
tijdens een woensdagnamiddagbijscholing in het CBL te Wilrijk. De naam van deze collega ben
ik helaas kwijt. Zijn ontwerp, een variant op dat van Harry Lindgren, bleef me bij.
8
het spinnenweb
Bibliografie
[1] Greg N. Frederickson, Dissections: Plane
&
Fancy/, University Press (Cambridge), 1997
[2] Hany Lindgren, Geometrie dissections, Australian Mathmatics Teacher 7 (1951), 7-10
9
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
Aanvulling bij de 'Onder de loep' van UW 18/1
De volgende werktekst verscheen reeds in UW 1811, blz. 39. Ondertussen hebben we van het
Belgische leger een steekproef van de lengte van 18-jarige Belgische mannen in 1950 en in
2000 ontvangen. We danken hiervoor Med. Maj. Goossens, C Med Medische Basisselectie
(Centrum voor Medische expertise, Militair Hospitaal Brussel).
Zo kwmen we in deze opgave
realistische cijfers geven.
Ben ik groter dan mijn grootvader?
Zoals je weet worden mensen almaar langer. Hiermee bedoelt men niet dat ieder van
ons steeds blijft groeien maar dat de gemiddelde lengte, bv. van alle Belgen, gedurende
de laatste eeuw( en) toegenomen is. In 1950 was een 18-jarige van 1m80 echt groot
terwijl er nu in je klas vermoedelijk wel enkele jongens groter dan 1m80 zijn. We
willen in deze opgave toch proberen individuele lengten nu en vroeger te vergelijken.
Jeroens grootvader was 18 jaar in 1950 en hij was 1m80 groot. In 2000 was Ieroen 18
jaar en 1m90 groot. Uiteraard is Ieroen groter dan zijn grootvader. Maar hoe zit dat in
vergelijking met de rest van de bevolking?
Het Belgische leger houdt veel statistieken bij van de militairen (en vroeger dus van
bijna alle ongeveer 18-jarige jongens). De lengte van jongens (en tneisjes!) op een
bepaalde leeftijd is normaal verdeeld. In 1950 was de gemiddelde lengte van 18-jarige
jongens 170,0 cm en de standaardafwijking 5,6. In 2000 was het gemiddelde 176,1 cm
en de standaardafwijking 7,7.
1.
Vergelijk beide lengten met behulp van de z-scores. Duid je resultaten aan op
schetsen van de normale verdelingen.
190-176,1
180-170
=1.8052)
=1,7857en
(
5.6
7 ,7
2.
Vergelijk beide lengten ook door het percentage kleinere personen te berekenen.
Duid ook nu je resultaten aan op schetsen van de normale verdelingen.
Arri:IJ=.962927
ll)t.t):(l
Uf>=1B(l
Arri:IJ=.96LtLt78
l.;.w:O
Uf>=190
Jan
10
Getallen, een begin zonder einde
Inhoud
1.
Inleiding
a.
Het getalbegrip van 500 vóór tot 2000 na Christus
b.
Het getalbegrip van 5 tot 20 jaar
2.
Situatie op het einde van de basisschool
3.
Breuken
4.
5.
a.
Het breukbegrip laten groeien
b.
Rekenregels aanbrengen en inoefenen: optellen en aftrekken
c.
Rekenregels aanbrengen: vermenigvuldigen van breuken
d.
Rekenregels aanbrengen en inoefenen: delen van breuken
Negatieve getallen
a.
Motivatie
b.
Bewerkingen met negatieve getallen
Reële getallen
a.
Onderling onmeetbare grootheden - irrationale verhoudingen
b.
Decimale vormen
c.
Punten op de getallenrechte
1. Inleiding
Getallen zijn, zowel binnen als buiten de klasmuren, zo vertrouwd geworden dat we er zelden
bij stilstaan. We gebruiken ze om aantallen te tellen en te vergelijken, om berekeningen te
maken en om allerlei zaken te n1eten. Het lijkt alsof ze er altijd geweest zijn. Nochtans zijn ze
het resultaat van een lang groeiproces, zowel in de geschiedenis van de mensheid als in de
schoolloopbaan van een kind. In deze loep willen we een stuk van dit groeiproces schetsen
nan1elijk het stuk dat zich in het secundair onderwijs afspeelt, van het rekenen met breuken via
het gebruik van negatieve getallen tot en met het onderscheid tussen rationale en irrationale
-------
11
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
getallen. De complexe getallen laten we hier buiten beschouwing omdat deze 'onder de loep' zo
al complex' genoeg is. Wie dit maar al te reëel vindt, kan zijn hart ophalen in Uitwiskeling 7/1.
a. Het getalbegrip van 500 vóór tot 2000 na Christus
Oude Grieken
De getallen die wij gebruiken om discrete aantallen te tellen en de getallen die we gebruiken om
continue grootheden te meten, maken voor ons deel uit van één en hetzelfde getalbegrip: het
zijn allemaal reële getallen. Dit is niet altijd zo geweest. Bij de Oude Grieken, waar we een
groot deel van onze schoolwiskunde aan ontlenen, werd het begrip 'getal' voorbehouden voor
aantallen: 1, 2, 3,
.. (0 werd pas veel later als een volwaardig getal aanvaard: "als er niets is
.
kun je ook niet tellen hoeveel dingen er zijn", heeft men eeuwenlang gevonden). Nu nog gaat
het
vak
'getaltheorie'
priemgetallen, . . .
in
Continue
de
eerste
grootheden
plaats
over
kregen
de
in de
natuurlijke
getallen,
Oudheid een
aparte,
deelbaarheid,
meetkundige
behandeling. Ze werden voorgesteld door (lengten van) lijnstukken en hun producten door
(oppervlakten van) rechthoeken. Er was nog wel een verband tussen de 'getallen' en de
grootheden'. Twee lijnstukken kunnen zich bv. tot elkaar verhouden zoals de getallen 4 en 7.
Dit wil dan zeggen dat één vierde van het ene lijnstuk even lang is als één zevende van het
andere. Neem je zo'n stukje als eenheid van lengte, dan kun je er beide lijnstukken mee meten
en vind je als maatgetallen 4 en 7. Nu zeggen wij dat hun verhouding gelijk is aan de breuk
en die breuk bekijken wij als één getal (zie paragraaf
f,
3).
d
De Pythagoreeërs in de 6 e eeuw v. Chr. waren er heilig van overtuigd dat het altijd mogelijk
was om de verhouding van twee grootheden van een zelfde soort, bv. twee lengten of twee
toonhoogten, uit te drukken als een verhouding van twee 'getallen'. Desnoods moest je de
eenheid maar piepklein nemen. Na een revolutionaire ontdekking moesten de Pythagoreeërs
deze overtuiging opgeven: de diagonaal en de zijde van een vierkant zijn onderling onmeetbaar
en dit konden ze bewijzen (zie paragraaf 5). Voor ons, achteraf beschouwd, is dit de geboorte
van de irrationale getallen. Zo bekeken de Oude Grieken het echter niet. Voor hen was dit het
fiasco van hun doctrine "alles is getal". Met getallen kon je dus niet alle grootheden meten. Het
werken met grootheden en het rekenen met getallen bleven dan ook eeuwenlang van elkaar
gescheiden.
Zeventiende eeuw
d
Pas in de 17 e eeuw werden ze weer met elkaar in verband gebracht. In de analytische
meetkunde werd het rekenen met getallen en met letters die getalwaarden kunnen aannemen
aangewend om meetkundige problemen aan te pakken. Dankzij het decimale cijfersysteem van
de Indiërs en de Arabieren, dat op het einde van de middeleeuwen en in de loop van de
12
onder de loep
1
renaissance stilletjes aan in onze contreien ingang had gevonden, was het rekenen met getallen
ook een heel stuk efficiënter geworden. De punten van een rechte kon je voorstellen door
getallen en de punten van het vlak door koppels van getallen. Om dit eenduidig te kunnen doen,
had men zowel negatieve als positieve getallen nodig en moest ook het getal 0 meedoen. Het
heeft erg lang geduurd voor men de negatieve getallen ("nog minder dan niets ... ") als
volwaardige getallen aanvaardde.
Negentiende en twintigste eeuw
In de 19de eeuw werd, vanuit problemen met functies en oneindige rijen en reeksen, de vraag
gesteld wat die reële getallen precies zijn. Men wou een waterdichte definitie van het
getalbegrip en van de bewerkingen met getallen. Het antwoord "een reëel getal is een punt op de
getallenrechte" voldeed niet meer. Men wou een definitie die geen beroep doet op meetkundige
voorstellingen. Na heel wat pogingen kwamen theoretische 'constructies' uit de bus (zie
paragraaf
5). De verzameling lN van de natuurlijke getallen werd vastgelegd aan de hand van
enkele axioma s (Peano) of gefundeerd vanuit de verzamelingenleer (Cantor). Vervolgens
werden de verzamelingen 7L.. van de gehele, 0 van de rationale en IR van de reële getallen
'geconstrueerd' aan de hand van die natuurlijke getallen. Hierbij kwamen deze getallen tot stand
als vrij ingewikkelde objecten (Dedekind, Cantor), maar men kan waterdicht aantonen dat ze
zich 'behoorlijk gedragen'. Men kan immers IN als deelverzameling 'terugvinden in 7L en 7L in
0 en 0 in IR; men kan de vertrouwde bewerkingen met natuurlijke getallen 'uitbreiden' tot de
grotere getallenverzamelingen en aantonen dat hierbij alle eigenschappen gelden die men voor
het rekenen nodig heeft. Bovendien kunn en de reële getallen inderdaad in verband worden
gebracht met de punten op de getallenrechte.
b. Het getalbegrip van 5 tot 20 jaar
Het is niet onze bedoeling om uitgebreid in te gaan op de groei van het getalbegrip van een
kind. We beperken ons tot een onvolledig overzicht 'per helikopter'.
Natuurlijke getallen
Een kind ontmoet getallen in zijn omgeving en hoeft daar de eerste schooldag niet voor af te
wachten. De allereerste getallen zijn 'kleine aantallen' zoals 1, 2, 3 en 4. Dergelijke aantallen
zijn iinmers visueel te herkennen zonder ze echt te tellen. Het kind leert die aantallen los te
koppelen (te abstraheren) van de aard en de schikking van de objecten (er zijn evenveel stoelen
als kinderen; het aantal stoelen verandert niet als je die in een kring zet). Het rijtje getallen' 1, 2,
3, 4, 5, ..." dat het kind kan opzeggen, kan vervolgens gebruikt worden om aantallen te tellen.
De getallen worden benoemd, geordend en gebruikt in berekeningen. De getallenverzameling
1
niet op enkele dagen tijd zoals de invoering van de euro: het heeft eeuwen geduurd voor het 'cijferen'
ook bij de gewone gebruikers (handelaars, ... ) de plaats innam van de Romeinse cijfers en het rekenen
met 'penningen'.
13
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
wordt hierbij steeds groter. Als vuistregel hoor je wel eens zeggen: een kleuter rekent tot zijn
leeftijd; in het eerste leerjaar rekent een leerling tot 20, in het tweede tot 100 en in het derde tot
1000. Dit moet uiteraard met een korrel zout worden genomen want het leerritme kan erg
verschillen van kind tot kind. Een zelfde getal kan op verschillende manieren voorgesteld
worden. Het kind moet niet alleen 3 + 2 kunnen uitrekenen, maar ook weten dat je het getal 5
kunt vervangen door 3 + 2 want dat is nuttig bij het berekenen van bv. 27 + 5. De kennis van de
natuw·lijke getallen groeit dus niet alleen in de breedte (steeds grotere getallen), maar ook in de
diepte. Het kind leert er efficiënter en inzichtelijker mee werken. Binnen bepaalde contexten
ontdekt het bv. ook de deelbaarheid. Een mogelijke opgave hierover voor 8-jarigen: "teken op
de lijntjes van het ruitjespapier zoveel mogelijk rechthoeken waarvan de oppervlakte 24 ruitjes
bedraagt". Op de natuurlijke getallen, deelbaarheid, priemgetallen, ... komen we in deze 'onder
de loep' niet terug, hoe interessant ook.
Decimale getallen en breuken
Een kind komt al heel vroeg in aanraking met grootheden die niet 'juist uitkomen
op de
eenheid. Een kind van "drie en een half jaar" weet best dat het ouder is dan drie jaar. 2,5 liter is
iets tussen 2 liter en 3 liter.
Breuken zijn in eerste instantie gekoppeld aan visuele voorstellingen in 'verdeel en neem scenario's.
f van
een taart: je kunt dit opeten of - bij gebrek aan een echte taart - inkleuren.
Slechts stilletjes aan krijgt de breuk zelf betekenis:
f
is "het verdelen van een eenheid in vier
en er drie stukken van nemen". Pas nog later worden breuken echt begrepen als getallen. Je kunt
ennee rekenen; je kunt ze plaatsen op de getallenrechte; je kunt ze omzetten in decimale vorm.
Dit proces is meestal nog aan de gang bij de aankomst in het secundair onderwijs. Breuken
hebben
niet
alleen
met
verdelen
in
stukken te
maken,
maar ook
met
verhoudingen.
Verhoudingen en evenredigheden (gelijke verhoudingen) spelen een belangrijke rol in het
dagelijks leven, in de meetkunde (denk maar aan gelijkvormige figuren), in de kansrekening ...
Het begrip 'rationaal getal' blijft dus groeien, ook in het secundair onderwijs. We besteden er in
deze 'onder de loep' uitgebreid aandacht aan in paragraaf 3.
Negatieve getallen
Een kind ontmoet negatieve getallen op allerlei schaalverdelingen (temperatuur, enz.). Pas in het
eerste jaar van het secundair onderwijs wordt er echt mee gerekend en krijgen deze getallen dus
een gelijkwaardig statuut als de positieve. Vooral het aannemelijk maken van de tekenregel
voor de vermenigvuldiging (min maal1nin is plus), is een didactische heksentoer. In paragraaf 4
verneem je er meer over.
Reële getallen
Het bestaan van irrationale maatgetallen wordt in de tweede graad aangekaart naar aanleiding
van de stelling van Pythagoras. Het onderscheid tussen rationale en irrationale getallen is eerder
14
onder de loep
van theoretische dan van praktische aard. In de praktijk van het meten en het rekenen werkt men
in feite altijd met benaderingen, dus met rationale getallen. In de geschiedenis van de wiskunde
en in de wiskundige theorie speelt het onderscheid tussen rationale en irrationale getallen echter
een fundatnentele rol. We verwachten niet dat de leerlingen hier even hevig op reageren als de
Oude Grieken ten tijde van Pythagoras. Ik heb in de les over de irrationaliteit van
J2 in
het
derde jaar nog geen leerling wanhopig horen uitroepen "help, nu stort mijn wereldbeeld in
elkaar!". Toch worden sommige leerlingen wel aangesproken door een aantal mysterieuze
aspecten van deze getallen met hun oneindig aantal, soms niet vooraf te voorspellen cijfers na
de komma, die de onzichtbare gaatjes moeten opvullen in de rationale getallenrechte .. . Wat
voor de rationale getallen geldt, geldt des te meer voor de reële getallen: het inzicht hierin groeit
niet van vandaag op morgen. Voor vele leerlingen blijft het begrip 'reëel getal' erg vaag.
Sommige leerlingen krijgen er wat meer vat op via een tweede kennismaking in de derde graad,
bv. bij lünieten van rijen. Een grondige wiskundige behandeling van de reële getallen bv. via
een theoretische 'constructie' of een aximnatische invoering, is maar voor een beperkt aantal
leerlingen weggelegd in het hoger ondetwijs.
Complexe getallen
Leerlingen van wiskundeklassen maken bovendien kennis met complexe getallen. Vooral
wanneer ze hier verder nog iets mee 'doen
bv. in elektriciteitsleer of in de analytische
meetkunde, krijgen deze getallen echt betekenis. Zoals aangekondigd, gaan we er in deze loep
niet verder op in.
2. Situatie op het einde van de basisschool
Om de beginsituatie van de leerlingen van het eerste jaar in te schatten kijken we naar het
leerplan van de lagere school. We geven een kort overzicht.
De
tekst
is
gebaseerd
op
het
leerplan
van
het
Vlaams
Verbond
van
het
Katholiek
Basisonderwijs. Het leerplan van het Gemeenschapsonderwijs komt hiermee in grote lijnen
overeen. Wanneer bij een onderdeel een (*) staat, betekent dit, dat het niet in de eindtelmen
venneld wordt. De eindtermen zijn de minimale doelstellingen die bereikt moeten worden. Deze
zijn
voor
alle
onderwijsnetten
scholen
in
Vlaanderen
dezelfde.
De
leerplannen
van
de
verschillende
zijn hierop gebaseerd maar zijn uitgebreider en bevatten meestal meer
doelstellingen.
Breuken
•
In de lagere school staan reeds vanaf het derde leerjaar breuken op het programma.
Opvallend is het feit dat het leerplan vaak spreekt over werken
in praktische
met eenvoudige breuken
en
gevallen (d.w.z. vertrekkend vanuit een context).
15
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
•
Voor wat betreft getallenkennis, hebben leerlingen kennisgemaakt met een breuk als
operator
(t
van een geheel), als getal (plaats op de getallenas) en als verhouding (onder
meer als aanduiding voor een kans). Ze hebben eenvoudige breuken leren vergelijken,
ordenen, gelijknamig maken en herstructureren
(t
is 2 en
i).
Voor
t
en
t
wordt de
term 'gelijkwaardige breuken' gebruikt.
•
Bij de bewerkingen wordt een breuk genomen van een grootheid, een hoeveelheid en een
getal. De leerlingen kunnen (ook ongelijknamige) breuken optellen en aftrekken. Ze
kunnen eveneens breuken vermenigvuldigen met en (*)delen door een natuw-lijk getal
( 5 x t, t: 4 ) In het zesde leerjaar maken ze kennis met het (*)vermenigvuldigen van
.
breuken (
t f)
x
2
en met het (*)delen van breuken door stambreuken
( f: f )
.
Van deze
laatste twee onderwerpen wordt slechts een inzichtelijke kennismaking gegeven. Het zijn
nog geen verworven vaardigheden.
•
Een breuk delen door een willekeurige breuk en een natuurlijk getal delen door een
willekeurige breuk staan niet op het leerplan.
Kommagetallen
•
Voor getallenkennis worden kotnmagetallen met hoogstens
geordend en geherstructureerd
3 decimalen vergeleken,
(0,75 is 0,5 en 0,25; 0,75 is 3 keer 0,25). In eenvoudige en
zinvolle gevallen zien de leerlingen de gelijkwaardigheid van breuken en kommagetallen
in en kunnen ze breuken naar kommagetallen omzetten en omgekeerd.
•
Hoofdrekenen met kommagetallen beperkt zich hoofdzakelijk tot eenvoudige gevallen en
rekenvoordelen (vermenigvuldigen met
•
0,5 wordt delen door 2; 0,1 x 0,3
=
0,03 ; ... ).
Bij het cijferen (onder elkaar rekenen) met kommagetallen worden de algoritmes voor
optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen inzichtelijk aangeleerd en ingeoefend.
•
Kommagetallen en breuken worden eveneens gebruikt in toepassingen en vraagstukken.
•
Voor het getal D wordt
3,14 als benaderende waarde gebruikt.
Negatieve getallen
•
In concrete situaties (temperatuur, tijdslijn, lift, ...) worden ervaringen opgedaan met
negatieve getallen. Deze worden gelezen, geschreven en vergeleken.
•
2
Bewerkingen met negatieve getallen worden niet behandeld.
een stambreuk is een breuk met teller 1
16
onderdeloep
3. Breuken
a. Het breukbegrip laten groeien
In het secundair onderwijs is het breukbegrip niet nieuw voor de leerlingen. Bij het leren
werken met breuken wordt meestal vrij snel overgegaan naar een abstract gebruik en naar het
rekenen met breuken (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen). Vaak constateren we
echter dat het de leerlingen ontbreekt aan voldoende inzicht en dat ze de regels hoofdzakelijk op
een 1nechanische manier toepassen. In deze paragraaf geven we een aantal mogelijkheden om
het breukbegrip bij leerlingen te verdiepen zodat ze een beter inzicht krijgen. Een deel van deze
materie is reeds in de lagere school behandeld. Nochtans is het geen verloren tijd om een aantal
basisinzichten opnieuw op te nemen in de leerstof. Het is niet onze bedoeling om een volledige
leerlijn over de aanbreng van breuken uit te werken. Dat zou te ver leiden binnen het bestek van
deze loep.
Breuken, meer dan een streep tussen twee getallen
Alhoewel het breukbegrip op het eerste gezicht vrij eenvoudig lijkt (verdelen en nemen), zit hier
veel 1neer in verscholen. We vertrekken van een stuk taart, gaan over naar een verhouding, en
vormen daaruit een nieuwe soort getallen. Deze aspecten- en nog andere - komen tijdens de
lessen over breuken aan bod. Dat die niet voor alle leerlingen even duidelijk zijn, blijkt uit de
huiver wamnee vaak over breuken gesproken wordt. Niet iedereen heeft prettige herinneringen
aan deze lessen. Dit kan gedeeltelijk verklaard worden doordat vrij snel wordt overgegaan naar
bewerkingen met breuken. Hierbij wordt gebruik gemaakt van een aantal tamelijk eenvoudige
regels: teller
x
teller, noemer
x
noemer, tellers optellen en noemers behouden, vermenigvuldi­
gen met de omgekeerde breuk, ... Vermits leerlingen 'het waarom' vaak niet begrijpen, steken
ze hun energie in 'het hoe'. Ze leren eerder te gehoorzamen aan de regels en het uitvoeren ervan
dan dat ze leren beroep te doen op hun inzicht in wiskunde. Dit geeft veel1ninder voldoening en
bevestigt de vooroordelen die er bestaan rond het vak wiskunde.
Om dit te vermijden is het belangrijk om vóór het introduceren van bewerkingen, leerlingen
langere tijd de verschillende aspecten van breuken te laten verkennen. Op die manier komen ze
tot een
beter inzicht in wat een breuk is.
Het breukbegrip groeit:
door verschillende
verschijnselen uit het dagelijkse leven waarbij breuken voorkomen te behandelen, door een
breuk als operator op een grootheid te laten inwerken, door breukdelen te manipuleren, door
verhoudingen te bestuderen, door evenredigheden en maten te bestuderen. Dit gebeurt best
voordat we bewerkingen met breuken behandelen. Ook bij het aanbrengen van de bewerkingen
met breuken blijft het nodig om breukdelen te manipuleren en zo te werken naar abstractie. Het
is hierbij belangrijk dat we van concrete voorbeelden naar abstractere werken. Wanneer het
begrip groeit, krijgen de breuken stilaan het statuut van getallen waarmee we kunnen rekenen en
die we kunnen ordenen.
17
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
Verdelen en nemen
verdelen en nemen.
Een eerste benadering van breuken, en wellicht de bekendste, is het
Spontaan denken we hierbij aan taarten en pizza's die in stukken gesneden worden. Op deze
manier kunnen we vanuit eenvoudig verstaanbare verdeelsituaties vertrekken. Hierbij moeten
we benadrukken dat er verdeeld moet worden in
gelijke
delen. De noemer geeft weer in hoeveel
delen we verdelen en de teller hoeveel we nemen. We laten een breuk inwerken op een
grootheid (een cirkel, een rechthoek, een aantal, ...). Het resultaat (
t
cirkel,
f
rechthoek)
krijgen we door een verdeeloperatie. We laten de breuk opereren op het geheel. We spreken in
dit geval over een breuk als operator.
..
i)·: :-_-:�·::··: _
\\. rMJ � M )·>;
.
.---_:_
.,...
�
..
.
.
.
·. .
· . :. ·.:
_
Onechte breuken
Een volgende stap zetten we bij de introductie van onechte breuken. Als we drie vijfde van een
taart nemen, verdelen we de taart in vijf en nemen we drie delen. Dit zijn twee operaties die
elkaar eenvoudig
opvolgen.
De taart is
het geheel.
Dat we dit zo noemen,
maakt de
gedachtensprong om meer te nemen dan het geheel moeilijker. Om zeven vijfde te nemen is één
taart niet tneer voldoende, er zijn er twee nodig. Dit wordt duidelijker voor de leerlingen als we
vertrekken van een goede context. (De bakker verkoopt stukken taart. Hij verdeelt elke taart in
zes stukken. Ik wil voor mijn verjaardag trakteren. Ik heb acht stukken taart nodig of ik heb acht
zesden van een taart nodig. Maak van deze situatie een tekening.) Het taartmodel gebruiken
voor het geheel is een extra hindernis omdat het een ronde, volledig afgewerkte eenheid is. We
kunnen taarten immers niet tegen elkaar 'plakken'. Daarom is het belangrijk om de voorstelling
18
onder de loep
van een geheel te variëren (een rechthoek, een lijnstuk, een cirkel, een strook, een gewicht, een
tijdsduur, ...).
Een breuk als een deling gevolgd door een vermenigvuldiging of een vermenigvuldiging
gevolgd door een deling
In de vorige paragraaf hebben we een breuk steeds benaderd als een deling gevolgd door een
3
vermenigvuldiging . Bij het volgende probleem kan je ontdekken dat er twee benaderingen
mogelijk zijn die hetzelfde resultaat geven. Als we drie repen chocolade willen verdelen over
vijf personen, hoeveel krijgt ieder dan?
•
Je verdeelt een reep in vijf en je neemt drie vijfden voor één persoon (een deling gevolgd
door een vennenigvuldiging).
•
Je neemt drie repen (een vermenigvuldiging). Je verdeelt deze nieuwe hoeveelheid in vijf
gelijke delen en je krijgt één vijfde deel van deze nieuwe hoeveelheid voor één persoon
(een deling).
Het is niet zo eenvoudig om aan te tonen dat 3
vijfden van
I evenveel is als I
vijfde van
3. We
kunnen het proberen te verduidelijken met behulp van een strokenmodeL
•
•
•
•
•
•
We vertrekken van één geheel, we verdelen het in vijf gelijke delen en we nemen er drie delen
van. Dit vind je terug op het bovenste deel van de figuur. Daarna nemen we datzelfde geheel
drie keer. We verdelen dit in vijf gelijke delen en we behouden één vijfde deel. Je kan nu
constateren dat de twee gearceerde delen even groot zijn. Toch lijkt het nog wat op gegoochel
dat toevallig juist uitkomt. Dit komt omdat de vermenigvuldiging en de verdeling zich in één
richting afspelen. Bij een rechthoekmodel komt deze redenering beter tot uiting als we de
vennenigvuldiging in de ene richting uitzetten en de deling in de andere.
We nemen één grote rechthoek als geheel. We verdelen die in vijf gelijke delen en nemen drie
delen (delen door vijf en vermenigvuldigen met drie). Voor de tweede benadering nemen we
eerst drie keer het geheel, of ven11enigvuldigen we met drie, en dan delen we door 5, of we
nemen één vijfde deel.
3
In het volgende deel maken we herhaaldelijk gebmik van het x-symbool voor de vermenigvuldiging
i.p.v. het gebruikelijke punt. We willen hiermee de nadmk leggen op 'het aantal keer' nemen.
19
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
Eenmaal de leerlingen begrepen hebben dat beide werkwijzen hetzelfde resultaat opleveren,
kunnen we beide denkwijzen abstracter noteren in een volgend schema:
Dit schema kan samengevat worden als
'f van'.
De breuk wordt met andere woorden als
vermenigvuldigingsfactor gebruikt:
3
3
-van A= -x A = 3 x (A : 5) = (3 x A) : 5 .
5
5
Een breuk als verhouding
Het verhoudingsaspeet van breuken is veel moeilijker en minder bekend bij leerlingen dan
verdelen en nemen. Nochtans voelen ze wel intuïtief verhoudingen aan. De onderstaande figuur
laat dit duidelijk zien.
De derde figuur toont een man met een paraplu die duidelijk te groot is, de tweede persoon heeft
een paraplu die te klein is en bij de eerste persoon kloppen de verhoudingen. Verhoudingen
worden pas moeilijk als we een getal op de verhoudingen willen kleven. Figuren waarbij tussen
verschillende 'lengten' een zelfde verhouding bestaat, noemen vve 'gelijkvormige' figuren. Als
je kijkt naar de volgende figuur dan zie je dat de verhouding tussen de twee hoogtes van de
vazen dezelfde is als de verhouding tussen de twee breedtes.
20
onder de loep
In het volgende deel willen we verhoudingen kenmerken door een getal. We beperken ons
hierbij tot eenvoudige voorstellingen (lijnstuk, cirkel, rechthoek, aantal) die ook gebruikt
worden om grootheden voor te stellen. Op die manier kunnen we dit later gemakkelijker in
verband brengen met breuken.
A
•
B
•
•
•
c
•
•
D
•
•
•
•
•
•
De verhouding tussen A en B is zoals die tussen 1 en 3. Tussen C en D is de verhouding zoals
die tussen 2 en 6. We kunnen ook zeggen dat C drie keer in D gaat en zo kan je ook stellen dat
de verhouding tussen C en D is als tussen 1 en 3.
In de volgende figuur verhoudt E zich tot F als 4 tot 10. Maar als we twee punten als één geheel
beschouwen, kunnen we ook zeggen dat E zich tot F verhoudt als 2 tot 5. We noemen dit
gelijkwaardige verhoudingen.
E
•
•
•
•
F
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
In het dagelijkse leven komen we dit soort situaties, waarbij een verhouding uitgedrukt wordt
door twee getallen, ook tegen. Denk maar aan: de jaarlijkse intrest op een kapitaal is 4 procent.
Of: de verhouding tussen de intrest en het kapitaal is als de verhouding van 4 en 100. Een ander
voorbeeld is het trekken van een kaart uit een spel van 52 kaarten. De kans dat deze kaart een
ruiten is, is 13 op 52. Dit voorbeeld illustreert ook een verhouding tussen een deel (de ruiten) en
het geheel (de 52 kaarten).
Een gelijkaardige redenering kan opgezet worden over continue grootheden.
A
B
Het grote lijnstuk is drie keer zo groot als het kleine of het kleine lijnstuk gaat drie keer in het
grote. Het kleine lijnstuk is een derde van het grote. Hierbij wordt de lengte van A als 1
genomen. De verhouding tussen A en B is zoals 1 tot 3.
21
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
In een volgende stap kan de lengte van A niet meer genomen worden als eenheid die een geheel
aantal keer in B past.
A
B
Als je de figuur echter grondiger bekijkt, zie je dat als we A in twee verdelen, we opnieuw een
verhouding tussen beide kunnen vinden.
A
B
A en B verhouden zich nu als 2 en 5.
Nu we een beter inzicht in de betekenis van een verhouding hebben, kunnen we de stap zetten
naar het verband met breuken. Bij breuken ging het steeds over een grootheid (bv. B) en een
deel ervan (bv.
4
B). Hoe kunnen we dit in verband brengen met verhoudingen?
V eronderstel dat A en B zich verhouden als 1 en 3 zoals in het eerste voorbeeld van continue
grootheden. We kunnen dan B construeren door drie keer A te tekenen en, omgekeerd, A
construeren als één derde van B. We krijgen dus:
B=3A
en
1
A=- B.
3
Hierbij wordt telkens gebruik gemaakt van slechts één getal in tegenstelling tot bij een
verhouding waarbij twee getallen worden gebruikt. Het wordt iets moeilijker bij het tweede
voorbeeld. A en B verhouden zich daar als 2 en 5. We kunnen A construeren door B in vijf te
verdelen en dit deel twee keer te nemen. Omgekeerd kunnen we B construeren door A in twee
te verdelen en dit deel vijf keer te nemen. Ofwel:
A= 2
x
(
1
2
B)= - B
5
5
-
en
B= 5
x
(
1
5
A)= - A.
2
2
-
Opnieuw maken we gebruik van slechts één getal, een breuk. Als dit getal en één van de twee
grootheden gekend is, is ook de andere grootheid gekend. Een breuk krijgt hier een nieuwe
betekenis: naast die van een operator, die we laten inwerken op een grootheid, drukt een breuk
hier een verhouding tussen twee grootheden uit.
22
onder de loep
Extraatje: het omgekeerde verband
B is een figuur gevormd door
f
van de hoogte van A te nemen. We kunnen zo een rij van
figuren construeren:
D
D
A
B
Bij elke nieuwe rechthoek is de hoogte
D D
c
f van de vorige.
D
Hoe kunn en we deze rij uitbreiden naar
links? Het is niet moeilijk om een verhouding, die uitgedrukt wordt door twee getallen, om te
keren. Als de verhouding tussen A en Bis zoals de verhouding van 3 tot 7, dan is de verhouding
tussen B en A als de verhouding van 7 tot 3. Dit wordt niet zoveel moeilijker als er breuken
gebruikt worden om de verhouding uit te drukken: als de verhouding van A op B
f
is, wil dit
zeggen dat A bestaat uit drie delen en B uit zeven delen. Met deze formulering wordt het
omgekeerde verbandB op A, de verhouding 7 op 3. De bijbehorende breuk is dan
f.
Het is echter gevaarlijk om te snel zulke uitspraken door leerlingen abstract, zonder tekening of
concrete situatie te laten formuleren. We geven enkele voorbeelden van mogelijke uitspraken en
waar het mis kan lopen:
•
Als de verhouding tussen beide grootheden geheel is, zijn er gewoonlijk geen directe
problemen: Bis drie keer zo groot als A, dan is A drie keer zo klein alsB.
•
B is drie en een halve keer zo groot als A is niet moeilijk om je voor te stellen. Keer je dit
om zonder over een context na te denken, dan krijg je: A is drie en een halve keer zo klein
als B. En wat zou dit betekenen?
•
B is een kwart groter dan A, wordt wiskundig ondubbelzinn ig vertaald als B =A+
_.!._ A.
4
Het omgekeerde hiervan is echter niet: A is een kwart kleiner danB. Maar we krijgen dan
B=
� A dus is A = i Bof A is een vijfde kleiner dan B!
4
5
Als toepassing hierop kan je de leerlingen de volgende vraag laten oplossen. Tijdens de
koopjesperiode koop ik een broek die oorspronkelijk € 74 kostte. Ik krijg 30 o/o vennindering.
De broek moet echter vermaakt worden. Hiervoor wordt de broek opnieuw 10 % duurder. Heb
ik nu n1eer dan/minder dan/juist 20 o/o korting gekregen?
Gelijkwaardige breuken, gelijkwaardige verhoudingen
Twee vrienden willen paaseieren uitwisselen. Een klein paasei is € 2 waard, een groot € 3. Ze
hebben echter geen euro's ter beschikking en willen enkel ruilen. Het is duidelijk dat 3 kleine
-----
23
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
eieren evenveel waard zijn als 2 grote. Het gebruik van een verhoudingstabel toont de mogelijke
uitwisselingen:
aantal grote eieren
2
4
6
8
10
12
14
16
aantal kleine eieren
3
6
9
12
15
18
21
...
. . .
Opmerkelijk is de verwisseling van 2 en 3:
een klein ei is € 2 waard, een groot ei is € 3 waard,
3 kleine eieren zijn evenveel waard als 2 grote.
De getallen 2 en 3 verwisselen van plaats. Dit kunnen we geometrisch voorstellen. Een klein ei
stellen we voor door een strook van 2 vakjes, een groot door een strook van 3 vakjes. De
volgende figuur toont dat 3 strookjes van waarde 2, gelijkwaardig zijn met 2 strookjes van
waarde 3, doordat 2
x
3
=
3
x
2.
6
3
�
�
��
�
9
�
��
2
��
��
4
6
De figuur kan verder verlengd worden om andere gelijkwaardige verhoudingen te vinden. Deze
worden gegeven door die plaatsen waar een hoeveelheid van de kleine eieren overeenkomt met
een hoeveelheid van de grote eieren. De verhouding
figuur toont er nog andere, bv.
�
en
f
is de eerste die hieraan voldoet. De
t. Ze suggereert er nog oneindig veel andere.
Ook bij tandwielen komen gelijkwaardige verhoudingen voor. We nemen bijvoorbeeld een
klein tandwiel met 6 tanden en een groot tandwiel met 15 tanden.
24
onder de loep
Een omwenteling van het grote wiel verhoudt zich tot een omwenteling van het kleine wiel als
fshet 7;
15 tot 6. Dit betekent dat als het grote tandwiel een tand vooruit gaat, het
van een
mnwenteling maakt. Als het kleine tandwiel een tand vooruit gaat, maakt
van een
omwenteling. Als het kleine tandwiel een volledige omwenteling maakt, gaat ze 6 tanden
vooruit. Het grote tandwiel gaat dan ook 6 tanden vooruit, d.w.z.
�
1
van een omwenteling. Als
het grote tandwiel een volledige omwenteling maakt, gaat het 15 tanden vooruit. Het kleine
tandwiel gaat dan ook 15 tanden vooruit, d.w.z.
1
g van
een omwenteling of twee volledige
omwentelingen en nog drie tanden, of twee en een halve omwenteling.
Als we het kleine tandwiel volledige omwentelingen laten maken, wanneer maakt dan ook het
grote tandwiel volledige omwentelingen?
Hiervoor stellen we een tabel op:
aantal omwentelingen van het kleine tandwiel
1
2
3
4
5
6
aantal tanden van het kleine tandwiel
6
12
18
24
30
36
aantal tanden van het grote tandwiel
6
12
18
24
30
36
aantal omwentelingen van het grote tandwiel
6
12
18
24
30
36
-
-
-
-
-
-
15
15
15
15
15
15
Om de vraag op te lossen, zoeken we het eerste veelvoud van 15 in de rij 6, 12, 18, ... Of
wiskundig gezegd: we zoeken het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van 6 en 15. Dat is 30.
Dus als het kleine wiel 5 omwentelingen maakt, maakt het grote er 2.
b. Rekenregels aanbrengen en inoefenen: optellen en aftrekken
We brengen de rekenregels voor breuken zoveel mogelijk via inzicht aan. We werken hierbij
telkens met een schematische voorstelling die de gedachtegang verklaart. V aak vertrekken we
van eenvoudige en duidelijke voorbeelden. Het is niet de bedoeling dat de leerlingen voor alle
rnagelijke breuken deze rekenregels schematisch kunnen verklaren, maar wel dat ze de
schematische verklaringen als geheugensteuntje gebruiken om met inzicht de rekenregels te
kunnen onthouden en gebruiken.
Zowel de optelling als de aftrekking van breuken is herhaling voor de leerlingen van de eerste
graad. Aan de hand van enkele korte oefeningen kan de regel worden opgefrist. Schematische
voorstellingen ondersteunen het inzicht in de regel. We geven enkele voorbeelden voor de
optelling, de aftrekking verloopt analoog. Merk op dat het geheel niet altijd op dezelfde manier
voorgesteld wordt (cirkel, aantal, strook, ... ) zodat leerlingen ervaren dat de regel onafhankelijk
is van de gekozen schematische voorstelling. De volgende gevallen kunnen best aan bod komen.
---
25
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
Gelijknamige breuken:
•
2
3
-+-=?
8
8
Bij het optellen verandert het aantal delen waarin het geheel
verdeeld is niet. Daarom blijft de noemer dezelfde. Het aantal
delen dat genomen wordt, verandert wel. Dit vind je terug in
de teller.
Gelijknamige breuken waarbij het resultaat een onechte breuk
•
is (de teller is groter dan de noemer):
Ongelijknamige breuken:
•
eeeoo
3
4
-+-=?
5
5
••••o
1
1
-+-=?
2
4
Optellen kan maar als de twee breuken gelijknamig gemaakt
worden. Daarna kan gewoon de bovenstaande regel toegepast
worden.
c.
Rekenregels aanbrengen: vermenigvuldigen van breuken
Een natuurlijk getal vermenigvuldigen met een breuk
Ook
dit
hebben
de leerlingen
reeds geleerd
in
de
lagere
school.
Het
inzicht
in
de
vermenigvuldiging wordt bevorderd door het vermenigvuldigingsteken te lezen als 'keer'. Op
die manier beseffen ze beter dat het hier gaat om een herhaalde optelling.
voorbeeld:
3
2
·-
=?
7
Het geheel wordt in zeven gelijke delen verdeeld.
We nemen hiervan twee delen. Deze twee delen
netnen we drie keer .
We noteren onze denkwijze:
2
2
2
2
6
3· 2
3·-=-+-+-=-=
7
7
7
7
7
7
-
26
I
I
I
onder de loep
Besluit:
Om een breuk te vermenigvuldigen met een getal, vermenigvuldigen we de teller van
de breuk met dit getal en behouden we de noemer.
Een breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal
Dit is nog steeds leerstof van de lagere school. Het sluit aan bij het gebruik van een breuk als
operator. We zeggen immers:
3
- van 12
4
3
=
-
4
·
12
(We verwijzen hiervoor naar: 3.a Het breukbegrip laten groeien)
Een breuk vermenigvuldigen met een breuk
Hiervan wordt slechts een aanzet gegeven 1n de basisschool. Het is dus belangrijk dat dit
inzichtelijk wordt aangebracht.
Voorbeeld:
3
-
4
5
· -
6
=
?.
Een eerste stap is een betekenis aan deze opgave te geven. Deze uitdrukking kan niet
betekenisvol gelezen worden als "drie vierde keer vijf zesde". Uit vroegere lessen over breuken
weten leerlingen dat een vermenigvuldiging waarvan het eerste getal bestaat uit een breuk, kan
gelezen worden als "drie vierde van vijf zesde". Als we dit op deze wijze lezen, kan er wel een
betekenisvolle situatie aan vastgeknoopt worden.
We redeneren op een figuur. We vertrekken van een vierkant en nemen
(figuw·links). Vervolgens nemen we
f
van het gearceerde stuk of
f
van
i
i
van dit vierkant
(zie figuur rechts).
-----
27
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
Eerst deelden we de figuur op in 6 stroken. Elk van deze stroken deelden we nadien verder op in
4 rechthoekjes. Zo kregen we 24 (= 4
·
6) rechthoekjes. De noemer van het resultaat kunnen we
dus vinden door de noemers van de oorspronkelijke breuken met elkaar te vermenigvuldigen.
We namen 5 stroken en per strook namen we 3 rechthoekjes. We kregen 15 (= 3
·
5) recht­
hoekjes. De teller van het resultaat kunnen we dus vinden door de tellers van de oorspronkelijke
breuken met elkaar te vermenigvuldigen. Samengevat wordt dit:
3
5 .
15
- van
IS
van het totaal
6
4
24
-
-
3
of
-·
4
5
-
6
15
--
24
Na een aantal inzichtelijke oefeningen wordt de regel geformuleerd:
Om twee breuken met elkaar te vermenigvuldigen, vermenigvuldigen we de tellers met
elkaar en de noemers met elkaar.
d. Rekenregels aanbrengen en inoefenen: delen van breuken
Verdelingsdeling en verhoudingsdeling
Delen kan je op twee manieren bekijken. Neem bijvoorbeeld de deling 6 : 3 = 2. Een eerste
manier om deze opgave op te lossen is door te
verdelen. Dit wordt de verdelingsdeling
genoemd. Ik verdeel zes knikkers over drie leerlingen. Ik deel een eerste keer uit:
0
0
0
Ik heb nog knikkers over en dus verdeel ik een tweede keer:
Om het resultaat te vinden, tel ik hoeveel knikkers elke leerling krijgt. Dit zijn er twee. Bij de
verdelingsdeling tellen we
het aantal elementen per groep.
Een tweede 1nanier om deze opgave op te lossen is door na te gaan hoe vaak 3
wordt de
in 6 gaat. Dit
verhoudingsdeling genoemd.
1 keer
�
2keer
het aantal groepjes
van 3 dat gevonnd kan worden. Het verband tussen de eerste berekeningswijze en de tweede
Het resultaat is, gelukkig maar, opnieuw 2. Voor de verhoudingsdeling tel ik
28
onder de loep
kan je als volgt verklaren: je telt het aantal keer dat je 3 knikkers hebt kunnen uitdelen. Dit moet
gelijk zijn aan het aantal knikkers dat ieder gekregen heeft. Het voordeel van de verhoudings­
deling is dat die veel efficiënter is om mee te werken.
Afhankelijk van de context wordt de ene keer een verdelingsdeling en de andere keer een
verhoudingsdeling gebruikt. De verdelingsdeling is voor de leerlingen degene die het meest
aansluit bij hun dagelijkse leven. Maar beide zijn aan bod gekomen in de lagere school.
Een breuk delen door een natuurlijk getal
Dit is herhalingsleerstof uit de lagere school. We brengen twee verschillende regels aan.
1.
De teller is een veelvoud van het natuurlijk getal, bv.
Er is
t
�
7
: 3=?
van een reep chocolade over. We verdelen dit eerlijk over drie leerlingen. Welk deel
krijgt elke leerling?
We tekenen het geheel. Daarna kleuren we wat overblijft van de reep grijs.
We hebben dus zes van de zeven delen. Die tnoeten we verdelen in drie gelijke delen. Elke
leerling krijgt twee zevende.
3_ 6:3
�
:3= =
7
7
7
We stellen vast dat het aantal delen waarin het geheel verdeeld was (de noemer) niet verandert.
Het aantal delen dat we krijgen na de verdeling (de teller), is wel veranderd. Na enkele
oefeningen kan de regel geformuleerd worden:
Om een breuk te delen door een natuurlijk getal, delen we de teller van de breuk door
dat getal en behouden we de noemer.
2.
De teller is geen veelvoud van het natuurlijk getal,
t van een reep
Voorbeeld 1: An heeft
I_: 2 =?, �: 5 =?
3
4
chocolade over en verdeelt dit eerlijk tussen zichzelf en
haar vriendin. Welk deel van de reep krijgt zij?
We lossen de opgave
'
I_ : 2 =?'
3
op. Hiervoor tekenen we een strook die de reep chocolade
voorstelt. Het deel dat over is, arceren we.
-----
29
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
An verdeelt dit stuk tussen zichzelf en haar vriendin. Ze krijgt de helft. We passen de
verdelingsdeling toe. Dit deel kan zes keer in het oorspronkelijk geheel. Hier passen we de
verhoudingsdeling toe. Ze krijgt dus
t
van het geheel.
Dus:
Voorbeeld 2:
3
-:5
4
=
?
We nemen als geheel een cirkel. Van deze cirkel werken we met
Deze
f
f.
moeten we in 5 verdelen. Het aantal delen (3) kunnen we niet delen door 5. We kiezen
daarom voor een andere strategie. We delen elk vierde in 5 gelijke delen. Per vierde krijgen we
zo één klein deeltje. Vermits we 3 vierde hadden, maakt dat in totaal drie kleine deeltjes. Eén
klein deeltje gaat 4 keer 5, of20 keer, in het geheel. Of het is
maakt dit
}
0
van de totale cirkel.
Dus:
3·
3 - 3
5
4' -�20
30
210
-ste deel van het geheel. Samen
onder de loep
Na enkele oefeningen kunnen de leerlingen op zoek gaan naar de wetmatigheid in de
voorbeelden. Ze kunnen dan zelf de regel vinden:
Om een breuk te delen door een getal, vermenigvuldigen we de noemer van de breuk
met dat getal en we behouden de teller.
Een natuurlijk getal delen door een stambreuk (slechts aanzet in de basisschool)
We hebben een lint van 4 meter. We willen dit lint verdelen in stukken van
t
meter. Hoeveel
stukken kunnen we maken?
We lossen de deling 4: _!_
3
=
op. We tekenen hiervoor het lint van 4 meter.
' ../i\.. ../i\... ../
We gebruiken hier de verhoudingsdeling. We gaan met andere woorden na hoe vaak een lint
van
t
meter in 4 meter gaat. Uit 1 meter kunnen we 3 stukken knippen van
t
meter. Uit 4
meter kunnen we vier keer zoveel stukken knippen, dus 4 3 stukken of 12 stukken.
·
Besluit:
1
4:-=4·3=12
3
De leerlingen maken een aantal gelijkaardige oefeningen. De besluiten worden bij elkaar
genoteerd. Hieruit kunnen ze zelf de regel afleiden:
Om een natuurlijk getal te delen door een stambreuk, vermenigvuldigen we het getal
met de noemer van de stambreuk.
Het afleiden van deze regel lijkt vrij evident. Nochtans is het inzicht in de werkwijze heel
belangrijk voor de volgende twee rekenregels. Die berusten op hetzelfde principe. Daarom is het
nodig dat leerlingen goed beseffen dat delen door een getal, nagaan is, hoe vaak dit getal in het
andere getal gaat. Het is m.a.w. essentieel dat ze de verhoudingsdeling goed begrijpen.
Een natuurlijk getal delen door een willekeurige breuk (nieuwe leerstof)
De volgende oefeningen zijn, zoals je wel zal merken, niet willekeurig gekozen. We kozen ze
met opzet zo, dat gemakkelijk op de figuur geredeneerd kan worden en het resultaat duidelijk
afleesbaar is op de figuur. Om er voor te zorgen dat de leerlingen via een schematische
voorstelling een resultaat vinden, moet de breuk best een geheel aantal keren in het natuurlijk
-----
31
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
getal gaan. Het is de bedoeling om, op een inzichtelijke manier, de leerlingen een regel te laten
:l
vinden. Een moeilijker geval (bv. 5
2
=)kan, eventueel nadat de regel gevonden is, een keer
geverifieerd worden. Het is geen doelstelling om de leerlingen systematisch oefeningen op deze
manier te laten oplossen. Nadat de regel gekend en begrepen is, kunnen ze deze toepassen.
We werken het voorbeeld
'3: l
4
=
? 'uit. We tekenen de gehelen.
1
0
In de vorige paragraaf hebben we geleerd hoeveel
vaak
-;\- in 3 gaat. We duiden dit aan op de figuur.
... _
... )
...
_
... )
... _
... ) ...
-
... �
... _
... )
...
_
... )
...
3 : _!_
4
_
is. We weten met andere woorden hoe
,J ... -
I
... � ...
In een volgende stap duiden we op de figuur aan hoeveel keer
hand van de figuur hoeveel
...
�
...
...
r--...
gaat 12keer in
3. i
_
...
...
... _
......
....._
...
-')� ...
"""'
V
....._
l----'
is drie keer zo groot.
i
... _
... � ...
...)� ...
l----'� "�
gaat dan maar
t
We besluiten:
3
4
-
We werken nog een voorbeeld uit:
32
... )
...
_
... ) ...
I
_
... �
i in 3 gaat. Of we zoeken aan de
m.a.w. we moeten 12delen door 3.
3:
... j ... -
is.
-')�
t.,...V
..-"
......
-;\-
...
3:l
4
3
�
=
(3
4.
:
1
-
4
2
·-
3
=
?.
): 3 =(3
. 4) : 3
=
3. 4
3
-
.... _
...
...
...;
_.,..V
van het aantal (12)keren in
3,
onder de loep
We tekenen de gehelen en gaan na hoeveel 4 :
_!_
is. Dit komt neer op het zoeken hoe vaak
f
in 4 gaat. Dit komt neer op het zoeken, aan de
3
t
in
4 gaat (12). De volgende figuur illustreert dit.
We duiden nu op de figuur aan hoeveel keer
hand van de figuur hoevee1 4 :
2
- .1s.
3
...
...
"')�
� "')i\'
"'J�'
"')
")i\'
11'\ �
"r---�V "r---�V 't---�V "1"'-�V 'I'-�!7 't---�l7
�...
t
....
...
...
gaat 12 keer in 4.
f
....
...
...
... _
is twee keer zo groot.
f
...
...
...
...
gaat dan half zoveel keer in 4 m.a.w. 12 delen
door 2. We besluiten:
2
4:3
1
=
( 4:-): 2
3
=
(4 . 3): 2
4·3
=-
2
Als algemene regel besluiten we:
Om een getal te delen door een breuk vermenigvuldigen we dit getal met de
omgekeerde breuk.
Een breuk delen door een breuk (nieuwe leerstof)
Bij dit onderdeel is het enige nieuwe element dat het eerste getal een breuk is, terwijl dit vroeger
een natuurlijk getal was. We onderzoeken of de vroeger gevonden regel geldig blijft.
10 5
.
3 6
We checken dit voor het voorbeeld:
=
Hiervoor gaan we, op de ondertussen bekende manier, na hoe vaak
i
in
Jf
gaat.
1_
6
-�V
v�
b'
1-"'
...
....
...
....
�V
...
1-"'
...
...
...
-�v--...
...
...
...
...
...
� ...
""'
...
"'io"
� ...
...
"'
L
-------
33
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
Uit wat we op de tekening kunnen waarnemen, blijkt dat de regel die we reeds kenden,
behouden blijft. We vinden immers:
We formuleren de regel:
Om een breuk te delen door een breuk, vermenigvuldigen we de eerste breuk met het
omgekeerde van de tweede breuk.
Ga
3
-
4
met
:
1
-
5
behulp
15
=-
4
=
van
een
tekening
na
dat
de
gevonden
regel
ook
geldt
voor
bv.
3
3 +-.Neem voor 1 geheellû cm.
4
lx
V
3x
L X
�V
""""'�
_..._
vn
�
... -
x
- ....
4. Negatieve getallen.
a. Motivatie
Voor leerlingen van de eerste graad zijn negatieve getallen niet echt nieuw. Ze kennen uit het
dagelijkse leven immers verschillende contexten waarbij negatieve getallen gebruikt worden:
vriestempera turen, kelderverdiepingen van een parkeergarage,. . . Berekeningen met negatieve
getallen zijn echter nog niet behandeld. Voor een praktisch gebruik breiden we hun getalbegrip
best nog uit naar andere situaties: diepten van de zee, een negatief saldo bij de bank, het maken
van verlies, het negatieve doelsaldo van een zwakke voetbalploeg.
Omdat leerlingen vanuit de basisschool ook al vertrouwd zijn met breuken, kunnen negatieve
gehele getallen en negatieve rationale getallen gelijktijdig ingevoerd worden. Op die manier kan
je de bewerkingen met negatieve getallen in 7L en in <D samen behandelen. Een nadeel aan deze
werkwijze is dat het rekenwerk met negatieve getallen pas vrij laat in het schooljaar op het
programma staat. Je moet leerlingen dan zeker nog genoeg voorbeelden aanbieden.
In de volgende paragraaf werken we enkel met gehele getallen. De ideeën zijn echter
probleemloos uit te breiden naar G:l.
34
onder de loep
I
I
'...-r..o
.L.
o2
b. Bewerkingen met negatieve getallen
Optelling en aftrekking van negatieve getallen
De contexten die we daarstraks aanhaalden, kunnen leerlingen helpen bij het leren rekenen met
negatieve getallen. We geven enkele voorbeelden, gebaseerd op [7]:
Leerlingen kunnen volgende vragen eenvoudig beantwoorden, eventueel met behulp van
concreet materiaal (schets van een flatgebouw, klok, thermometer):
1.
Hoeveel verdiepingen stijg je om van de derde kelderverdieping naar de vierde
verdieping boven de begane grond te gaan?
2.
Hoeveel tijd verloopt er van twee minuten eerder tot zes minuten later?
3.
Maarsbergen ligt 5 m boven de zeespiegel en Schipluiden 3 m onder de zeespiegel.
Welk hoogteverschil overbrug je als je van Schipluiden naar Maarsbergen gaat? En
welk als je van Maarsbergen terugkeert naar Schipluiden?
4.
Vandaag is het 4°C, gisteren was het -l°C. Wat is het temperatuurverschil?
5.
Vandaag is het -1 oe, gisteren was het 4 oe. Wat is het temperatuurverschil?
6.
Overdag is de temperatuur 3°C, 's nachts wordt het 5 graden kouder. Wat is de
nachttemperatuur?
-------
35
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
We constateren dat we deze omschrijvingen kunnen uitdrukken m.b.v. bewerkingen. We krijgen
dan een nieuwe probleemstelling: hoe kunnen we gehele getallen optellen en aftrekken?
Berekeningen met kleinere getallen kunnen we uitvoeren door te steunen op een thermometer.
Door de thermometer horizontaal te leggen, maken we er een getallenas van. Op die manier
krijgen we een visuele ondersteuning van de optelling en de aftrekking die ook bruikbaar is voor
grotere getallen.
vb. 3 +
(-5) = -2.
-4
-3
.
-2
t
-1
0
1
2
.
-5
3
l
4
5
.
Een andere mooie context vonden we in [8]. Deze context heeft als bijkomend voordeel dat het
verband tussen aftrekking en optelling goed tot uiting komt en dat ze ook bruikbaar is bij het
invoeren van de vermenigvuldiging met negatieve getallen:
Harry Potters magische temperatuurblokken
Een heks heeft blokjes om de temperatuur in een ketel te regelen. Ze gebruikt warme en
koude blokjes. Als er evenveel warme als koude blokjes in de ketel zitten, is de
temperatuur 0°. Gooit ze er 8 warme blokjes bij, dan stijgt de temperatuur met 8°. Als
de temperatuur in de ketel
1.
5 graden moet dalen, dan gooit ze er vijfkoude blokjes bij.
Op een dag zitten er 5 warme en 7 koude blokjes in de ketel. Hoeveel graden is de
temperatuur dan?
2.
De heks gooit er nog eens 6 warme blokjes bij. Wat wordt dan de nieuwe
temperatuur?
3.
Op een andere dag is d e begintemperatuur -3°. De heks voegt 9 koude blokjes toe
aan haar brouwsel. Wat wordt de eindtemperatuur?
4.
5.
Als de heks er blokjes bijvoegt, kan je dat omschrijven met een bewerking. Welke?
Welke gelijkheid hoort bij de volgende uitspraak: "als de begintemperatuur -7° is
en de heks doet er 3 warme blokjes bij, dan wordt de eindtemperatuur -4°"?
6.
Verzin een verhaaltje bij de volgende optelling: 6 + (-9) = -3
7.
Maak de volgende optellingen. Denk aan de heks.
-3 +4=
-2
+
(- 1 3 ) =
4 + (-9) =
36
onder de loep
De heks kan de temperatuur echter ook veranderen door blokjes uit de ketel te halen.
8.
De heks haalt twee warme blokjes uit de ketel. Wordt de temperatuur nu lager of
hoger?
9.
Wat gebeurt er met de temperatuur als de heks 5 koude blokjes uit de ketel haalt?
10. Op een dag is de temperatuur in de ketel 6°C. De heks haalt er
4 wartne blokjes uit.
Wat is nu de temperatuur?
11. Als de begintemperatuur
3°C is en de heks haalt 5 koude blokjes uit de ketel, wat
wordt dan de eindtemperatuur?
12. De temperatuur in de ketel is -2°C en de heks schept 7 koude blokjes uit de ketel.
Wat wordt dan de eindtemperatuur?
13. Aan welke bewerking denk je als de heks blokjes uit de ketel haalt? Druk de
volgende situatie uit met zo n bewerking: "Als de begintemperatuur
heks haalt er
5 °C is en de
8 wmme blokjes uit, dan wordt de eindtemperatuur -3°C".
14. Bereken de volgende verschillen:
8-6=
-4-5 =
2-(-7)=
-1-
1/ttlll
1[1 •
(-9) =
• •
�
-------
37
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
Het verband tussen aftrekking en optelling kan als volgt afgeleid worden:
15. De temperatum in de ketel is -6°C. De heks wil de temperatum 5 graden hoger
maken. Leg uit dat ze dat kan doen door er blokjes bij te doen of door er blokjes uit
te halen. Schrijf de optelling en de aftrekking die hierbij horen op.
16. De temperatum in de ketel is -2°C. Noem twee manieren waarop de heks de
temperatum 9 graden kan laten dalen. Schrijf opnieuw de optelling en de aftrekking
op die hierbij horen.
17. Hoe kan je de volgende verschillen dan nog met een andere bewerking schrijven:
-2-8
-
3
-
( 7)
-
18. Een verschil van twee getallen kan je dus steeds ook anders noteren. Hoe?
Vermenigvuldiging met negatieve getallen
Ook hier kunnen we gebruik maken van de context uit [8]. Bij de optelling en de aftrekking
berekenden we wel telkens de eindtemperatum, terwijl we hier op zoek gaan naar de
temperatumsverandering.
Harry Potters magische temperatuurblokken, deel 2
De heks schaft een schepje aan, waarmee ze meer blokjes tegelijk in de ketel kan doen.
1.
De heks doet er 5 keer een schepje bij met 8 warme blokjes. Wat gebeurt er met de
temperatum?
2.
Een andere keer doet de heks er 4 keer een schepje bij met op elk schepje 3 koude
blokjes. Wat gebetrrt er dan met de tetnperatum?
De heks kan haar schepje ook gebruiken om snel blokjes uit de ketel te halen.
3.
De heks haalt twee keer een schepje met vier koude blokjes eruit. Daalt of stijgt de
temperatum? Met hoeveel graden?
4.
Wat gebetrrt er met de temperatum als de heks vijf keer twee warme blokjes uit de
ketel schept?
Vul de volgende tabel verder aan:
38
aantal schepjes
erbij of eruit
aantal warme of koude
blokjes per schepje
temperatumsverandering
twee keer erbij
3 warme blokjes
+ 60
vier keer eruit
5 koude blokjes
+ 20°
drie keer eruit
6 warme blokjes
vijf keer erbij
2 koude blokjes
één keer eruit
7 koude blokjes
vermenigvuldiging
die erbij hoort
2. 3
=
-4. (-5)
6
=
20
onder de loep
Tenslotte kan de tekemegel nog geformuleerd worden:
5.
Als je twee negatieve getallen vermenigvuldigt, wat is dan het toestandsteken van
de uitkomst?
6.
Welk toestandsteken heeft het product van een positief en een negatief getal?
Regels voor bewerkingen met negatieve getallen.
In de vorige paragrafen beperkten we het formuleren van regels tot een minimum. We hebben
hier bewust voor gekozen. Ervaring leert ons immers dat het expliciteren van een regel
contraproductief kan werken. De algemene regel voor de optelling van gehele getallen is
hiervan een
typevoorbeeld: de formulering ervan sluit niet aan bij het beeld dat leerlingen
gevormd hebben van een optelling. Bijgevolg is deze regel enorm abstract voor leerlingen
waardoor hij moeilijk toepasbaar is en de opgebouwde intuïtie niet meer gebruikt wordt.
5. Reële getallen
In het derde jaar van het secundair onderwijs vernemen de leerlingen voor het eerst iets over
irrationale getallen.
De rationale getallen blijken, althans in theorie, niet te volstaan als
maatgetallen. In de derde graad kunnen leerlingen in het kader van de analyse opnieuw
geconfronteerd worden met bepaalde aspecten van de verzameling d�r reële getallen. Toch zou
het een illusie zijn om te denken dat leerlingen in het secundair onderwijs alle aspecten van de
reële getallen zouden vatten. Misschien hoeft dit ook niet. Sommige zaken moeten ze gewoon
weten: het feit dat
J2 , J3 ,
n, ... niet als breuk geschreven kunnen worden en dus
irrationaal
zijn; het verband tussen het rationaal zijn van een getal en zijn decimale vorm. Andere aspecten
zoals het feit dat er 'veel meer' irrationale dan rationale getallen bestaan of de historiek rond het
construeren van IR vanuit�' kunnen eens op een informele manier ter sprake komen om op een
nieuwsgierige vraag van een leerling in te gaan, zonder dat dit leerstof hoeft te zijn.
Net als rationale getallen, hebben reële getallen verschillende betekenissen. We zetten ze hier
eens op een rij. De verdere indeling van deze paragraaf is gebaseerd op deze betekenissen.
•
Een reëel getal is een
verhouding tussen twee grootheden van een zelfde soort
(bv. twee
lengten, twee massa's ...), voorzien van een plus- of een minteken. Alleen hoeven deze
grootheden zich niet meer tot elkaar te verhouden zoals twee natuurlijke getallen. Anders
gezegd: de twee grootheden kunnen ook
onderling onmeetbaar
zijn. Zo zijn bv. de
diameter en de omtrek van een cirkel onderling onmeetbaar: hoe klein je de lengte-eenheid
ook kiest, die zal nooit exact een natuurlijk aantal keer passen in zowel de diameter als de
omtrek. De verhouding omtrekldiameter, het getal n, is irrationaal. Dit is lang niet
eenvoudig te bewijzen, maar het bewijs dat bv.
.J2
en
J3
irrationaal zijn, is wel
toegankelijk voor leerlingen van de tweede graad (zie Sa).
-------
39
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
•
Een reëel getal is een oneindige decimale vorm. De rationale getallen hebben in hun
decimale vorm een periode, de irrationale niet. Er hoeft zelfs helemaal geen regelmaat in
de opeenvolgende decimalen te zitten. In Sb gaan we hierop in.
•
Een reëel getal kan worden voorgesteld door een punt van de getallenrechte. De rationale
getallen vullen de getallenrechte nog niet volledig op. Ofschoon er tussen twee rationale
getallen oneindig veel andere rationale getallen te vinden zijn, blijven er nog gaten over,
meer gaten zelfs dan dat er rationale getallen zijn! De reële getallen ·vullen de rechte
helemaal op, zonder gaten. De getallenrechte heeft iets mysterieus waar ook vele
wiskundigen in de geschiedenis mee hebben geworsteld (zie Sc).
•
Een reëel getal is ook een kettingbreuk. Kettingbreuken staan niet op het leerplan maar
vormen misschien wel een boeiend thema voor een project in de derde graad. Ze werpen
immers een bijkomend licht op het onderscheid tussen rationale en irrationale getallen: de
rationale getallen zijn de eindige kettingbreuken, de irrationale getallen de oneindige.
Bovendien leveren ze 'beste' rationale benaderingen op (beter dan alle andere breuken met
een noemer die niet groter is). Voor een paragraaf over kettingbreuken was geen plaats
meer in dit n ummer. We verwijzen hiervoor naar een oude bijdrage uit UW4/4, nu als pdf­
bestand te lezen op onze site (www .uitwiskeling.be).
a. Onderling onmeetbare grootheden - irrationale verhoudingen
Pythagoras en vierkantswortels
De eerste kennismaking met een irrationaal getal gebeurt in het derde jaar bij de stelling van
Pythagoras. Uit de stelling van Pythagoras volgt dat
.J2
een vierkant tot de zijde van dat vierkant. Anders gezegd:
een vierkant met zijde 1. Ook
J3, J5
de verhouding is van de diagonaal van
.J2
is de lengte van de diagonaal van
. . . kunnen als lengten geconstrueerd worden en krijgen
aldus een meer 'tastbare' betekenis dan de mysterieuze "positieve getallen waarvan het
kwadraat zoveel is" en waarvan je rekenmachine de eerste cijfers laat zien.
2
Irrationaal versus (onderling onmeetbaar'
De Pythagoreeërs
(6de
eeuw v. Chr.) gingen ervan uit dat je de diagonaal en de zijde van een
zelfde vierkant kon uitdrukken met natuurlijke maatgetallen. Het volstond volgens hen om een
voldoende kleine lengte-eenheid te nemen. In feite komt deze veronderstelling op hetzelfde neer
40
onder de loep
als zeggen dat
J2 een breuk
is. Laten we eerst even uitleggen waarom beide formuleringen op
hetzelfde neerkomen.
Als je een lengte-eenheid zou vinden die een natuurlijk aantal keer past zowel in de
diagonaal als in de zijde van een vierkant, bv. 41 keer in de diagonaal en 29 keer in de
zijde (om maar iets te zeggen), dan zou de verhouding van de diagonaal tot dè zijde
gelijk zijn aan de breuk
Omgekeerd, als
J2
i� . Dus zou
J2
gelijk zijn aan die breuk.
gelijk zou zijn aan een breuk, bv. aan
��
(of een andere breuk,
het maakt niet uit), dan zou je één twaalfde van de zijde als lengte-eenheid kunnen
nemen en dan zou die lengte-eenheid juist 12 keer in de zijde en 17keer in de diagonaal
passen!
Zeggen dat
J2
gelijk is aan een breuk, komt dus inderdaad op hetzelfde neer als
veronderstellen dat je de zijde en de diagonaal met een zelfde lengte-eenheid kunt meten.
Merk op dat je nooit experimenteel kunt uitmaken of een getal rationaal is of irrationaal. Een
maatgetal (de verhouding van een bepaalde grootheid tot de gekozen eenheid) kan in theorie
rationaal of irrationaal zijn, maar een praktisch 1neetresultaat is altijd rationaal! Enkel een
redenering kan de doorslag geven om irrationaliteit vast te stellen.
Bewijzen dat J2 irrationaal is
Men kan bewijzen dat
J2
niet gelijk is aan een breuk, anders gezegd een irrationaal getal is,
of nog dat de diagonaal en de zijde van een vierkant onderling onmeetbaar zijn. Er zijn
verschillende bewijzen mogelijk. We overlopen er enkele. Uiteraard is het niet de bedoeling om
die bewijzen één voor één met de leerlingen te bestuderen. Eentje volstaat. Of misschien kun je
opteren voor één algebraïsch en één meetkundig bewijs.
Eén van de eenvoudigste en meest bekende bewijzen steunt op de eenduidigheid van de
ontbinding van een natuurlijk getal in priemfactoren. Vooraf laat je de leerlingen op
voorbeelden ontdekken dat het kwadraat van een natuurlijk getal een even aantal priemfactoren
2 heeft.
Als
J2
gelijk zou zijn aan een breuk
moeten gelden: a2
=
�
met a en b natuurlijke getallen, dan zou
2 b2. Maar dit is onmogelijk want het linkerlid heeft een even
aantal priemfactoren 2 terwijl het rechterlid er een oneven aantal heeft.
Merk op dat je op dezelfde manier kunt aantonen dat bv
.
.J3
en
J5
inationaal zijn: het
volstaat de priemfactoren 3, respectievelijk 5 te bekijken i.p.v. de priemfactoren 2.
Een variant is het bewijs dat velen van ons zich nog herinneren van op de school- of
universiteitsbanken. Als je voor dit bewijs opteert, is het nuttig om de leerlingen vooraf te laten
ontdekken en eventueel verantwoorden dat het kwadraat van een oneven getal altijd oneven is.
-----
41
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
Als
gelijk zou zijn aan een breuk, dan zouden we die breuk kunnen schrijven als
2
2
2
. We zouden dan hebben: a
2b . Dus zou a even
een onvereenvoudigbare breuk
J2
�
=
zijn, en dus ook a zelf (het kwadraat van een oneven getal is immers altijd oneven). Dus
mogen we a vervangen door 2c, met c een natuurlijk getal. Invullen en beide leden
2
2
2
delen door 2 geeft: 2c
b . Dit betekent dat b , en dus ook b zelf, even is. Dit vormt
=
een tegenspraak met het feit dat
�
onvereenvoudigbaar is.
Naast deze algebraïsche bewijzen bestaan
er ook mooie meetkundige bewijzen voor
de irrationaliteit van
J2 .
Het bewijs dat
B3 C2
D
aan bij
onmeetbaarheid
de
Griekse
van
de
B2
onderlinge
zijde
en
c
C3
we in Uitwiskeling 7/2 aanhaalden, sluit
volledig
Bl
Cl
de
diagonaal van een vierkant. Je vindt de
werktekst
van
toen
op
onze
site
www.uitwiskeling.be.
V eronderstel dat er een lengte-eenheid
zou bestaan waar zowel diagonaal [BD]
als
de
veelvouden
zijde
van
[BC]
zijn.
natuurlijke
Dan
kun
je
aantonen dat ook de zijden van de
kleinere 'halve vierkanten' B;C;D (zie
figuur) natuurlijke veelvouden moeten
A�----�B
zijn van diezelfde lengte-eenheid. Maar deze zijden worden willekeurig klein, kleiner
zelfs dan die lengte-eenheid, wat een tegenspraak oplevert.
Dit meetkundig bewijs is historisch gezien interessanter dan de vorige algebraïsche bewijzen,
maar wellicht iets te moeilijk voor de meeste leerlingen van het derde jaar.
Een half meetkundig half algebraïsch bewijs steunt op het betegelen van een A4-blad. Het zou
aan bod kunnen komen bij de gelijkvormige figuren (namelijk rechthoeken) in het derde jaar.
We verwijzen naar Uitwiskeling 9/2 of naar www.uitwiskeling.be.
Tot slot halen we nog een meetkundig bewijs aan dat we vonden in [12]. Het sluit goed aan bij
de Pythagoreïsche werkwijze met 'vierkantsgetallen'.
Als
J2 gelijk
zou zijn aan een breuk, dan konden we
die breuk in de vorm
�
mogelijk. We zouden dan hebben: a
2
=
IV
I
schrijven met a en b zo klein
2
2b en a en b
zouden de kleinste natuurlijke getallen zijn waarvoor
II
dit geldt. We interpreteren die gelijkheid meetkundig:
a
een vierkant patroon van a steentjes op a bevat dus
juist dubbel zoveel steentjes als een vierkant van b
2
steentjes op b. We leggen het vierkant van a steentjes
in het zand en we duiden hierin twee keer een vierkant
42
b
V
III
onder de loep
van b2 steentjes aan (door er een lijn rond te trekken). Er ontstaan vijf gebieden (zie
figuur). Het aantal steentjes van elk gebied benoemen we met een Romeins cijfer. Er
geldt:
2 (I+II)=I+II +III+IV +V.
Maar omdat III=I en V=IV, geeft dit:
2·I+2·II=2·I+II+2·IV
of nog:
II=2·IV.
Maar II en IV zijn kleinere vierkanten van steentjes dan a2 en b2. Dit vormt een
tegenspraak met de veronderstelling dat die a en b zo klein mogelijk waren.
b. Decimale vormen
De ontmoeting met irrationale getallen in het derde jaar vormt een goede gelegenheid om in te
gaan op de decimale schrijfwijze van zowel rationale als irrationale getallen.
Van breuk naar decimale vorm
Met de rekenmachine of met een staartdeling kun je elke breuk schrijven als een decimale vorm.
Deze decimale vorm is steeds ofwel eindig ofwel repeterend (dit wil zeggen dat vanaf een
bepaalde plaats een zelfde groepje cijfers, periode genaamd, altijd terugkomt). Een eindig
decimaal getal kun je aanvullen met nullen en dus ook bekijken als een repeterende decimale
vorm met '0' als periode.
Hierbij kun je de leerlingen aan de hand van voorbeelden laten onderzoeken:
•
hoe je vooraf aan een breuk kunt zien of de decimale vorm eindig is;
•
waarom een breuk altijd een repeterende decimale vorm oplevert.
De leerlingen ontdekken dat de eindige decimale getallen overeenkomen met de breuken die, na
vereenvoudiging, een noemer hebben van de vorm 2"5m. Aan de hand van een uitgewerkt
voorbeeld met een staartdeling kunnen ze ook inzien dat, vanaf een bepaald moment, hetzelfde
groepje cijfers wel altijd moet terugkomen. Het aantal mogelijke 'resten' is immers beperkt
mndat ze kleiner zijn dan de noemer en je doet er identiek hetzelfde mee: kijken hoeveel keer de
noemer er in gaat, enz.
Van decimale vorm naar breuk
Elke breuk is gelijk aan een repeterende decimale vorm, maar geldt ook het omgekeerde?
-------
43
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
Neem bv. de decimale vorm 1,2838383 ...
Met de rekenn1achine gaat het in dit geval wel.
Getallen met een te lange periode of waarbij de eerste periode te ver na de komma begint, zal de
rekenn1achine echter niet meer kunnen omzetten. Maar er is ook een mooi trucje om het zonder
rekenn1achine te doen.
Noemen we dit getal x , dan heeft het getal 100 x identiek dezelfde 'staart'. (Als de periode uit
drie cijfers bestaat, neem je 1000 x , enz.) Trek je nu die twee van elkaar af, dan is de staart weg.
Op die manier kun je het getal als een breuk schrijven.
100 x = 128,3838383 .. .
x=
1,2838383 .. .
99 x = 127,1
x=
1271
--
990
Twee decimale vormen voor een zelfde getal?
Laat je de leerlingen dezelfde truc toepassen op het getal 0,999 . . . dan vinden ze dat dit getal
gelijk is aan 1. Analoog vinden ze dat bv. 2,13999 ...
=
2,14. Leerlingen van het derde jaar
hebben vaak moeite om dit te geloven. Ten onrechte gaan zij er stilzwijgend van uit dat de
decin1ale schrijfwijze eenduidig is, anders gezegd dat elk getal overeenkomt met juist één
decimale vorm. Van 0,999 . .. verwachten ze dat het toch een heel klein beetje kleiner is dan 1.
In [9] wordt hierover een fictieve discussie tussen een leraar en een leerling uitgewerkt. De
leraar vraagt aan de leerling hoe groot dan het verschil is als 0,999 ... en 1 niet gelijk zijn. De
leerling: het verschil is
0, 0 0 0 ... 1
'----y---J
oo veel nullen
De leraar werpt op dat je nooit aan die 1 komt als er eerst oneindig veel nullen komen. Maar de
leerling ziet hier geen graten in: "hetzelfde geldt voor 0,999 .. . : je komt nooit aan de laatste 9 en
dus wordt het nooit gelijk aan 1 ". De leraar werpt het vervolgens over een andere boeg: als
0,999 .. . en 1 verschillend zijn, dan moeten er getallen tussen zitten. De leerling heeft hier geen
moeite mee en geeft zo'n getal:
0, 999 ... 5
"----y--J
oo veel9's
44
onder de loep
De leraar onderneemt een laatste poging om te laten zien dat dit niet kan: als de leerling gelijk
zou hebben, dan zou het volgende juist zijn:
0,999 ... < 0,999 ...5
.
0,999 . . + 0,000 ...1 < 0,999 ...5 + 0,000 ...1
1 < 0,999...6.
4
Dit laat zien dat wat de leerling doet (nog een cijfer toevoegen na de oneindige 'staart' ), leidt
tot een tegenspraak als je er de vertrouwde rekenregels op toepast. Daarom kan de uitleg van de
fictieve leerling niet weerhouden worden. Je kunt je hierbij wel afvragen of een 'echte leerling
uit deze discussie het juiste besluit zou trekken
,
namelijk "0,999 ... = 1 "
en niet bv. "dat
0,999 ... en 1 elkaar onmiddellijk opvolgen en toch verschillend zijn", of nog: "dat je in de
wiskunde gelijk wat kunt aantonen". Misschien toch opletten met het uitlokken van dergelijke
discussies ...
Er is ook een 'veiliger' bijkomend argument voor de gelijkheid 0,999.. . = 1. "Je weet dat
0 333 . .. =
+ .Welnu:
0,999 .. . = 3
·
0,333 ... = 3
·
+
=
1."
.
In de derde graad kan daar nog een derde argument bij komen: 0,999 .. is de som van de
1neetktmdige reeks
� -91011
�
11=1
en die convergeert naar 1.
Decimale schrijfo;ij'ze van irrationale getallen
De decimale schrijfwijze van een irrationaal getal is niet repeterend, want een repeterende
decimale vorm kun je altijd als een breuk schrijven (zie hoger). De rekenmachine bevestigt dit
maar bewijst eigenlijk niets. Je ziet immers maar een eindig aantal cijfers; de periode zou in
principe verderop kunnen beginnen.
Een irrationaal getal hoeft geen superstar te zijn zoals
J2,
e of n. Je kunt gerust zelf een
inationaal getal ontwerpen. Bijvoorbeeld:
1,01001000100001 ...
0,1223334444555556666667777777888888889999999991010101010101010101011 ...
Sterker nog, er hoeft zelfs helemaal geen regelmaat in te zitten.
0,045073175766429007007084133214438576787695221087 ...
4
Op zich is dit nog zo gek niet. De constructie van de fictieve leerling lijkt een beetje op wat Cantor doet
in zijn theorie van 'oneindige ordinaalgetallen': 'achter' de (oneindige) rij van de natuurlijke getallen
plaatst hij nog andere elementen: 0, 1, 2, 3, ..,
.
co,
co+ 1, ...
-------
45
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
Maar als je het begin opschrijft van een decimale vorm zonder enige regelmaat, heb je dan wel
een getal 'bepaald'? 'Bestaat' het getal als je niet kunt weten wat de verdere cijfers zijn?
Je zou (in principe) zo'n willekeurige decimale vorm tot stand kunnen brengen door telkens het
volgende cijfer door het toeval te laten bepalen. Denk bv. aan een soort rad van fortuin met 10
mogelijkheden: 0, 1, 2 ... 9. Je draait telkens aan het wiel om het volgende cijfer te bepalen, en
je blijft zo eeuwig bezig. Neem even aan dat je dat kunt volhouden en verwaarloos je eigen
sterfelijkheid en die van de wereld. Zou je dan op die manier 'per ongeluk' een rationaal getal
kunnen verkrijgen? Dat zou betekenen dat er vanaf een bepaalde plaats een periode ontstaat die
oneindig veel keren identiek terugkomt! Dit lijkt uitgesloten! De kans dat dit gebeurt is
inderdaad 0. Dit betekent dat onder de reële getallen 'bijna geen' rationale getallen zijn. Er zijn
'oneindig veel meer' irrationale dan rationale getallen. En toch zijn er oneindig veel rationale
getallen ... Hier word je even stil van als je bedenkt dat wij in de praktijk enkel met rationale
getallen
werken
(waaronder
rationale
benaderingen
van
een
beperkt
aantal
irrationale
superstargetallen) ...
c. Punten op de getallenrechte
Gaten met kaas
Gehele getallen, eindige decimale getallen en breuken kunnen zonder problemen op een
getallenrechte worden 'geplaatst' en zelfs 'met passer en liniaal geconstrueerd'. Omgekeerd,
duid je een punt op de getallenrechte aan, dan kun je de indruk hebben dat je kunt 'meten' welk
getal hiermee overeenstemt. Afhankelijk van de meetnauwkeurigheid (en daar nijpt natuurlijk
het schoentje) vind je een decimaal getal met bv. twee of drie cijfers na de komma. Het lijkt
alsof alle punten van de getallenas rationale getallen voorstellen.
Deze indruk wordt nog versterkt door het feit dat tussen twee rationale getallen steeds oneindig
veel andere rationale getallen liggen. Men zegt dat de rationale getallen dicht liggen op de
getallenas.
Dit is niet zo moeilijk te verklaren. Immers, als
rationaal. Op dezelfde manier ligt er tussen
q
q
en
en r rationaal zijn, is ook
=
q+
2
r
s een rationaal getal Ue kunt bv. ook
weer het gemiddelde nemen), enz. Dus liggen er tussen
getallen.
s
q
en r oneindig veel rationale
Een en ander kan bij leerlingen de indruk wekken dat de rationale getallen de rechte volledig
opvullen.
Je kunt aan leerlingen van het derde jaar echter laten zien dat de rationale getallen nog
gaatjes
overlaten op de getallenrechte. Ze kunn en immers (met passer en liniaal) punten construeren die
overeenkomen met
46
J2 , .J3, .J5, . . en ze weten dat dit geen rationale getallen zijn (zie Sa).
.
onder de loep
r---------1
1\
I \
I
I:
\
\
\
'.J2
Ûl
I
I
I
I
I
1 I:
I
J3
I
I
I
: I
I
I
I
1/
Met 1t gaat dit niet met passer en liniaal maar je zou kunnen denken aan een 'oneindig precies
touwtje' dat juist de lengte heeft van een halve cirkel met straal 1 ...
Het dicht zijn van de rationale getallen op de getallenrechte en het feit dat er toch nog gaatjes
overblijven, lijken voor veel leerlingen contradictorische uitspraken. Misschien helpt hierbij de
vergelijking met de overgang van de decimale getallen naar de breuken.
Elk decimaal getal is een rationaal getal, bv. -2,17
=
-?0�7.
Maar het omgekeerde geldt
niet. Enkel de breuken met noemer van de vorm 2"5m zijn decimale getallen; de andere
breuken zijn oneindige, periodieke decimale vormen. Nochtans liggen de decimale
getallen ook dicht op de getallenrechte: tussen twee decimale getallen zijn er oneindig
veel decimale getallen! Maar dit neemt niet weg dat er gaten zijn in die verzameling
van de decimale getallen, bv. op de plaats waar
1
moet komen.
·
In Sb zagen we dat er meer irrationale dan rationale getallen zijn omdat een toevallig decimale
vorm met cijfers die door het toeval gegenereerd zijn, geen kans maakt om rationaal te zijn. In
sommige wiskundeklassen van de derde graad kun je misschien iets vertellen over het verschil
tussen
aftelbare
en
overaftelbare
oneindige verzamelingen. 0 is aftelbaar; dit betekent dat het
mogelijk is om alle rationale getallen in een rij te plaatsen. Bv. zo: (
I
,
2
f-;
-
+, +;
-
f,
-
+,
2
I
3
I
2
I
4
3
I
3
3 .
2 .
-2
4
' - 3 , - 4 ' 4 ' 3 ' 2 ' I ' . . . ). D oor a11 e rat'wna1 e
I , - I ' - 3 , 3' T ' - I,
•
getallen in een rij te plaatsen, krijgen ze een rangnummer en kunnen ze geteld worden (mits je
'
eeuwig blijft tellen). Iets technischer gezegd: er bestaat een 'bijectie van lN naar 0 . Bij IR is dit
niet meer mogelijk. Men kan bewijzen dat bij elke schikking van reële getallen in een oneindige
rij bepaalde reële getallen ontbreken.
0 is aftelbaar, IR is
overaftelbaar.
De rationale getallenrechte bevat dus meer gaatjes dan kaas.
De volledigheid van IR
Wat volgt is zeker niet meer bedoeld voor leerlingen van de tweede graad. In een goede
wiskundeklas van de derde graad kan de volledigheid van IR misschien wel ter sprake komen,
niet als 'leerstof maar op een informele manier. Je kunt er met de leerlingen eens over praten en
------- 47
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
hilll nieuwsgierigheid aanwakkeren. Laten we echter niet verwachten dat hilll euro volledig valt
in het secundair onderwijs, zie ook het citaat hieronder.
The assumption of the completeness of the real numbers had been unrecognised by such
mathematica! giants as Cauchy, Dirichlet and Riemann, who worked in the field, so it is nat
reasanabie to presume that today 's first year undergraduate can see the need when affered a 15
minute introduetion to the idea. (B. Burn in [9]).
Het verschil tussen (Q en lR. is dus dat de rationale getallenrechte nog gaatjes vertoont en de reële
volledig is. Je kunt je afvragen wat het belang is van piepkleine gaatjes die je toch niet ziet. De
volledigheid van lR. heeft echter belangrijke wiskundige implicaties.
•
In IR is het zo dat
elke stijgende rij die naar boven begrensd is, een limiet heeft. In (Q is dat
niet altijd zo. Je kunt bv. een rij maken met de opeenvolgende decimale 'afbrekingen' van
J2, (1; 1,4;
•
1,41; ...). Deze rij heeft in (Q geen limiet. In lR. heeft die rij
J2
als limiet.
Zowel in (Q als in lR. kun je een gesloten interval steeds blijven halveren. Na elke stap kun
je kiezen met welke helft je verder werkt. Je krijgt op die manier een rij intervallen waarbij
het volgende interval half zo lang is als het vorige en er ook een deelverzameling van is.
Wat gebeurt er echter als je dit oneindig blijft herhalen? Welnu, in IR hou je in de limiet
één pilllt over terwijl het in (Q ook mogelijk is dat je niets overhoudt. Stel immers dat je
start met het interval [1, 2]. Je halveert steeds en je werkt verder met het stuk waar
zit (of, in het geval van (Q het gaatje waar
J2
1n
J2 moet komen). Dus:
[1, 2]; [1; 1,5]; [1,25; 1,5]; ...
In IR is de doorsnede van dit oneindige 'nest' van intervallen {
J2};
in (Q is die doorsnede
leeg.
•
Wat gebeurt er als je de getallenrechte in twee stukken knipt? Iets preciezer gezegd: je wilt
de getallenrechte verdelen in twee disjuncte stukken A en B waarvan de unie de hele rechte
vormt en zodanig dat elk element van A kleiner is dan elk element van B. In lR. knip je dan
altijd 'op' een getal en je kunt kiezen bij welk stuk je dat getal laat horen. Je krijgt bv. A=
]-co, 5] en B
=
]5, +oo[; of bv. A = J-oo,
J2 [
en B
=
[ J2, +oo[. Steeds is er een
'grensgetal' dat tot één van de twee stukken behoort. In (Q is het mogelijk dat je 'op' een
getal knipt, maar het is ook mogelijk dat je in een gaatje knipt. Er is dan geen grensgetal!
Zie
ook
de
historische
noot
in
het
kader
hieronder. Deze
historische
noot
is
achtergrondinformatie voor de leerkracht. Op zeldzame uitzonderingen na denken we niet
dat leerlingen hier al rijp voor zijn.
Historische noot over een exacte definitie van 'reëel getal'
In de loop van de geschiedenis groeide het besef dat een exacte definitie van het begrip reëel getal nodig
(Paradoxien des Unendlichen) had een precies getalbegrip nodig om een sluitend bewijs te
a en positief in b, dan heeft
die functie ergens tussen a en b een nulpunt". Intuïtief is deze stelling overduidelijk als je bij continuïteit
was. Bolzano
kunnen opschrijven van zijn stelling "als een continue functie negatief is in
denkt aan een grafiek die geen sprongen maakt, maar Bolzano wou helemaal niet steunen op de grafische
intuïtie; hij wou een bewijs op basis van Cauchy's formele E-8-definitie van continuïteit en hij besefte dat
48
onder de loep
hij het bewijs maar tot op het bot coneet kon formuleren als hij niet alleen een formele definitie van
continu'iteit had maar ook van reëel getal. Dedekind (Stetigkeit zmd irrationale Zahlen) vond dat de
meetkundige intuïtie van
een getallenrechte wel kon volstaan bij een eerste kennismaking maar
ontoereikend was voor wetenschappelijk gebruik. Cantor had een preciezer getalbegrip nodig om
problemen in verband met reeksen op te lossen.
Dedekind maakte een constructie van IR vertrekkend van
verzameling
(0
(0.
Je kunt in
(0
een getal q kiezen en dan de
in twee stukken snijden: het stuk A van de getallen die kleiner zijn dan of gelijk aan q en
het stuk B van de getallen die groter zijn dan q (het maakt eigenlijk niet uit of je het grenspunt q bij A of
bij B erbij neemt). De stukken A en B voldoen dan aan drie eigenschappen:
en
(3) elk element
(1) A
u
B
=
(0 (2) A
nB
=
0
van A is kleiner dan elk element van B. Er zijn echter ook dergelijke 'sneden' mogelijk
zonder dat ze bepaald zijn door een rationaal grensgetal q. B.v.
A
(A, B)
Deze 'snede'
=
{q
E
(0 I q <
2
0 of q �
2}
en B
voldoet aan de drie eigenschappen
=
{q
E
(0 I q >
(1), (2) en (3)
2
0 en q >
2}.
maar A bestaat niet uit alle rationale
getallen die kleiner zijn dan of gelijk aan een zeker rationaal getal. Eerst dacht Dedekind gewoon het
bestaan van een (inationaal) grenspunt voor dergelijke sneden te poneren. Russell had daar kritiek op:
gewoon bijverzinnen wat je nodig hebt is al te gemakkelijk. Het komt overeen met stelen in plaats van te
werken om je boterham te verdienen. De oplossing die dan uit de bus kwam, is zo'n snede zelf, een
koppel
(A B)
als een getal te nemen. Dit lijkt gek want zo'n koppel van deelverzamelingen van
(0
lijkt
helemaal niet op een getal. Maar het is wel een constructieve definitie, waarbij je de nieuwe objecten
consttueert' aan de hand van wat je al hebt, hier de verzameling
m.
De sneden die wel een rationaal
grenspunt hebben, worden dan 'geassocieerd' met dat rationaal getal. Op die manier wordt
(0
dan
'ingebed' in de nieuwe verzameling IR. Dan moeten wel nog bewerkingen (optelling, vermenigvuldiging)
gedefinieerd worden met deze sneden en wel zodanig dat die in overeenstemming zijn met de
bewerkingen die we al hadden in
(0.
Cantor had een andere constructie, aan de hand van 'Cauchyrijen
maar we gaan er hier niet verder op in.
Tenslotte is er de mogelijkheid om de reële getallen axiomatisch in te voeren. Bij de constructies van
Dedekind en Cantor zijn de reële getallen ingewikkelde objecten, maar eens alle eigenschappen
aangetoond
zijn,
vergeet
men
zo
snel
mogelijk
wat
ze
zijn
(bv.
bij
Dedekind:
koppels
van
deelverzamelingen ...) en steunt men verderop enkel op de eigenschappen waar ze aan voldoen. Vandaar
de idee om de reële getallen niet te construeren en om gewoon aan te nemen dat ze er zijn en dat ze aan
alle eigenschappen voldoen. Je definieert dan IR als "een totaal geordend veld dat Archimedisch en
volledig is", waarbij deze vaktermen staan voor een hele lijst van eigenschappen. Het blijft echter zo dat
je pas bewijst dat er iets bestaat dat aan al die axioma's voldoet, als je een constructieve definitie geeft.
Bibliografie
1998
[ 1]
Wiskunde/eelplan, Vlaams Verbond van het Katholiek Basisonderwijs,
[2]
BaO- Lee1plan Wiskunde Gemeenschapsonderwijs, http:// www.argo.be/BaO/LO/WIS/
[ 3]
N. Rouche, Pourquoi ont-i/s inventé les fractions?, Ellipses (Paris),
[ 4]
T. Gielis, Breuken, rationale getallen, Khlim (Hasselt),
1998,
ISBN
2-7298-5824-5
1998
49
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
[5]
R. Aerts, M. Deckers, Kinderen rekenen, Acco (Leuven), 1989
( 6]
J. Von den Steinen, Einstiege in die Bruchrechnung, bespreking in UW 12/3 (1996), 32-34
[7]
B. Lagerwerf, Wiskundeonderwijs in de basisvorming, Wolters Noordhoff (Groningen), 1994, ISBN
9001 520227
[8]
J. Dijkstra e.a., Moderne Wiskunde 1 a havo vwo, Wolters Noordhoff (Groningen), 1998, ISBN 9001
600212
(9]
B. Burn, Filling holes in the real line, The mathematica! gazette 74/469 (1990), 228-232
[I 0] T. Gilbert, N. Rouche, La notion d'infini. L'infini mathématique entre mystère et raison, Ellipses
(Paris), 2001, ISBN 2-7298-0617-2
[ 11] B. Honclaire e.a., Les mathématiques de la maternelle jusqu 'à 18 ans. Essai d'élaboration d'un
cadre
global
pour
l'enseignement
des
mathématiques,
C.R.E.M
(Nivelles),
1995,
ISBN
2-930161-01-9
[12] J.
van
Maanen,
zomeruniversiteit
"Telling
mathernaties ".
An
activity
that
inlegrates,
Derde
Ew·opese
geschiedenis en epistemologie in het wiskundeonderwijs, Proceedings 11,
Louvain-la-Neuve, 411-420
In de tekst wordt verwezen naar enkele fragmenten van vroegere nummers van Uitwiskeling.
•
UW 4/4: paragraaf 2a uit de loep over getallenleer "kettingbreuken: van ggd naar een diepere
kennismaking met IR" (beschikbaar op
•
•
UW 7/1: loep over complexe getallen
UW 7/2: paragraaf 2 uit de loep over rekenen in de tweede graad "een meetkundige kijk op J2,
de gulden snede" (beschikbaar op
•
www .uitwiskeling.be)
UW 9/2: spinnenwebbijdrage
n
en
www . uitwiskeling. be)
"J2
is irrationaal - een bewijs met tegels" (beschikbaar op
www . uitwiskeling. be)
Michel, Els VE, Jos Willems
50
l lili\l\ lil lili\1\'\l\l\l\l\l'l'.lil ·ili\1\i\l\ l \l ·l·l l lili:ili\i\i\·11111111111\!\' i:ilililil l'li'l l !l !l l l l l.ili:l!l:l\l·l l !lil l l lilililil·l
K. Aspetsberger, Lineare und exponentielle Prozesse.
Modellbildung mit dem TI-92
Mathematiklehren 102 (2000), 20-22
Lineaire en exponentiële groei zijn ondertussen goed bekend in het secundair onderwijs. Deze
groeiprocessen komen uitgebreid aan bod in de derde graad bij de studie van de exponentiële
functies. In het artikel dat we hier bespreken, worden lineaire en exponentiële groei al veel
vroeger ter sprake gebracht. In het artikel wordt onder meer gewerkt met de volgende mooie
opgave rond exponentiële afname.
Een bepaalde glasplaat van
1 mm dik absorbeert 8% van het invallende licht
(dit percentage
hangt af van het soort glas dat gebruikt werd om de plaat te maken).
2, 5,
a.
Hoeveel licht dringt er door 1,
b.
Bij hoeveel glasplaten dringt nog ongeveer
c.
Maak een grafiek!
d.
e.
respectievelijk
10 glasplaten?
60o/o van het invallende licht door?
Hoeveel glasplaten moeten er op elkaar gelegd worden opdat er nog
invallende licht doorgaat? En 1 o/o?
10%
van het
Hoeveel glasplaten moeten er op elkaar gelegd worden opdat er nog de helft, een
vierde, een achtste van het invallende licht doorgaat?
f.
Bij een andere glassoort laat een glasplaat van
20
mm
dik
35o/o van het invallende licht
door. Hoeveel procent van het invallende licht wordt geabsorbeerd door een glasplaat
van 1 mm dik?
De onafhankelijke veranderlijke is nu eens niet de tijd, maar het aantal glasplaten. Omdat zo'n
aantal steeds een
natuurlijk
discreet afnameproces: de
0, 1, 2, 3, ... glasplaten vormen
beschreven worden door een recursieve
getal is, hebben we te maken met een
percentages van het invallende licht dat doorgelaten wordt door
een rij. Het afnameproces kan heel eenvoudig
vergelijking. Als 111 aangeeft hoeveel procent van het invallende licht doorgelaten wordt doorn
platen, dan is
Grafische rekenmachines kunnen met behulp van zo'n recursieve vergelijking een grafiek en
een tabel opstellen (in het artikel wordt een
van een
TI-83).
TI-92
gebruikt; de figuren hieronder zijn afkomstig
51
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
Pl�t1 Plot2 Pl�t3
n
nMin=0
�
8·.u(n)au<n-1)-0.0 1
2
*u<n-1)
3
u<nMin)a{100)
Lt
5
·.v(n)=
6
v<nMin)=
·.J...I(n)=
r,.=0
nMin=0
nMax=20
PlotStart=1
PlotSteP=1
X�Y�in=-.4
X�Y�ax=18.4
Xscl=1
u<n)
1(1(1
92
8'1.6'1
77.869
71.639
65.908
60.636
Plot...St.eP=1
X�Y�in=-.4
Xr1ax=l8.4
Xscl=1
YMin=-2
YMax=122
Yscl=10
De auteur heeft met zijn leerlingen eerst een hele tijd gewerkt met behulp van dergelijke
recursievergelijkingen, tabellen en grafieken (rond voorbeelden van lineaire en exponentiële
groei). Met behulp van de tabel kan je bijvoorbeeld de antwoorden vinden op de vragen
hierboven. Door zo te werken, kregen de leerlingen een heel concreet beeld van lineaire en
exponentiële groei.
Pas later, wanneer bij de leerlingen de nood ontstond om sneller te kunnen werken, werd een
11
expliciete vergelijking opgesteld voor de rij: 111 = 100 0,92 • We zien nu dat het om een
·
meetkundige rij gaat. Tot hier past de aanpak van de auteur in het vierde jaar.
Nog later werd dan de stap gezet van discreet naar continu. Dat betekent dat de onafhankelijke
veranderlijke niet langer alleen maar natuurlijke getallen als waarde kan aannemen. De
meetkundige rij wordt dan vervangen door een exponentiële functie. In de context van het
d
aangehaalde voorbeeld: I= 100 · 0,92 , waarbij d de totale dikte is van het glas. De auteur wijst
ook op positieve gevolgen van zijn aanpak voor het invoeren van de logaritmische functies.
Johan
I. Gosselink, Praktische opdrachten Voortgezette Meetkunde
Nieuwe Wiskrant 18/4 ( 1999), 4-9
In het kader van het Profi-project experimenteerden drie Nederlandse proefprojectscholen met
praktische en zelfontdekkende meetkunde. Het uiteindelijke doel was de voorbereiding van het
nieuwe wiskunde B-programma voor de tweede fase, waarin voor het profiel 'Natuur &
Techniek' een studielast (niet pejoratief te interpreteren) van 120 uren is voorzien rond het
onderwerp 'Voortgezette Meetkunde'. Deze 'Voortgezette Meetkunde' is het vervolg op de
52
de bibwijzer
studiepakketjes
'Afstanden,
grenzen
en
gebieden',
'Denken
in
cirkels
en
lijnen'
en
Conflictlijnen en spiegels', opgesteld in een vergelijkbaar concept rond leerlingentaken en
computerexperimenten (zie UW
14/3).
In Vlaamse oren klinkt het wel wat utopisch nauwelijks
nog theorie te doceren en de leerlingen zelf alle stellingen te laten ontdekken. In Nederland deed
men een poging deze doelstelling te verwezenlijken ...
Beschrijving van het proefproject
Eén van de onderzoeksopdrachten die door de leerlingen in drie à vier uur moest worden
uitgewerkt, handelde over doorsteeklijnen in rakende cirkels. De leerlingen kregen Cabri­
tekeningen voorgeschoteld met kringen van (ten hoogste acht) rakende cirkels (zie volgende
bladzijde) waarop ze hun fantasie mochten loslaten. Tegen mijn wiskundig voorgevoel in heb ik
vastgesteld dat deze kringen niet op evidente manier te construeren zijn. De cirkels werden c1,
c2, c3, . .,
.
C11
genoemd, de middelpunten M" M2, M3 , ..., Mn, de raakpunten R12, R23, R34 , ...,
R111• Om een doorsteeklijn te construeren moesten de leerlingen een willekeurig punt P1 kiezen
op c1• Het 'tweede' snijpunt van de rechte P1R12 en de cirkel c2 werd P2 genoemd, het 'tweede'
snijpunt van de rechte P2R23 en de cirkel c3 was P3 , ... Op deze manier kwam een gebroken
doorsteeklijn P1P2P3
•
•
•
tot stand.
Buiten de definitie van doorsteeklijnen moest alle inspiratie van de leerlingen komen. Ze
mochten twee per twee aan de slag met Cabri. Afhankelijk van de school werd gevraagd een
verslag te maken met een beschrijving van één of twee vermoedens voorzien van een wiskundig
bewijs. In dit verslag moest ook beschreven staan hoe de vermoedens ontdekt werden, wat men
n1et het onderzoek bereikt had, wat er niet gelukt was, ... Hoewel de ingediende verslagen erg
van elkaar konden afwijken, werd op voorhand een puntenverdeling en beoordelingsschema
uitgedeeld. Voor de heldere formulering, de lay-out, de overzichtelijkheid, het ontbreken van
spel- en taalfouten was bv. 1 Oo/o van de punten voorzien. In één van de drie colleges moesten de
leerlingen enkele weken na het schoolonderzoek een proefwerk afleggen waarbij individuele
vragen gesteld werden in verband met het project. Elke leerling moest zich persoonlijk bezinnen
over een delicate overgang, een foute conclusie of een gemiste kans in het eigen verslag. Dit
laatste bleek voor de docenten een te arbeidsintensieve bezigheid te zijn om ze buiten de
proefscholen in praktijk te laten brengen.
Nadien waren de organisatoren enthousiast over de werksfeer. Er werd gedurende de volle tijd
hard gewerkt. De wiskundige resultaten vielen echter wat tegen. Eigenlijk werden alleen heel
eenvoudige vermoedens correct bewezen. De oorzaak hiervan was, volgens de docenten, het
verschil in moeilijkheidsgraad tussen het probleem met de doorsteeklijnen en de voorafgaande
lespakketjes. Zoals je verderop kan lezen zitten er verschillende subtiliteiten in de gevraagde
bewijzen. De leerlingen hadden nadien vaak een onbevredigd gevoel wanneer ze een ontdekte
stelling slechts gedeeltelijk hadden kunnen bewijzen.
Vermoedens vinden met Cabri
Het eenvoudigst te bewijzen vermoeden in verband met doorsteeklijnen is de evenwijdigheid
van de rechten M1P1, M2P2, M3P3,
•
•
•
Iedereen die dit vermoeden ontdekte, heeft dit ook kunnen
53
Uitwiskeling 18/2 (maart 2002)
bewijzen. De ingrediënten voor dit bewijs waren minimaal: overstaande hoeken, gelijke
basishoeken in een gelijkbenige driehoek en de omgekeerde eigenschap van de 'verwisselende
binnenhoeken'.
Een tweede vermoeden dat vrijwel door iedereen ontdekt werd, is dat de veelhoekslijn P1P2P3
in een kring met n cirkels zich sluit. Wanneer n even is
• . •
sluit de veelhoekslijn zich na n
doorsteeklijnen; wanneer n oneven is, sluit de veelhoekslijn zich na 2n doorsteeklijnen. Deze
stelling wordt reeds duidelijk bij eenvoudige kringen. Op de linkse tekening stel je vast dat P1
gelijk is aan P5, bij de rechtse tekening is P1 gelijk aan P11.
Mt .·:....
......
. ..
.
. .,
Laten we even kijken naar het geval dat n
=
4. Bewijzen dat P1 gelijk is aan P5 kan vrij direct
door gebruik te maken van het vorige vermoeden. Vermits M1P1 11 M2P2, M2P2 11 M3P3,
54
de bibwijzer
en
M3P3 11 MJ>4
MJ>4 11 M1P5
weten we dat M1P1 11 M1P5 waaruit bijna onmiddellijk het
gevraagde volgt.
Het opeenstapelen van vermoedens was een denkpiste die door weinig leerlingen bewandeld
werd. De voorkeur van de leerlingen ging uit naar een bewijs dat steunde op de som van de
binnenhoeken van de vierhoek P1P2P 3P4. Dat deze som gelijk is aan 360° is evident. Deze
uitspraak zegt echter niets over het hoekpunt P5• Er hapert dus iets aan de verwoording van het
overigens waardevolle basisidee. Wat eigenlijk bewezen moest worden (ga dit na) is dat:
LR41�R12
+ LR12P2R23 +
LR23P3R34
+
LR34P4R41
=
360°,
ook weer een som van vier binnenhoeken die gelijk moet zijn aan 360°. Het bewijs van deze
gelijkheid lukt pas na de constructie van de vierhoek M1M2M3M4. De zijden van deze vierhoek
gaan door de raakpunten R12, R23, R3 4 en �1 van de opeenvolgende cirkels. Steunend op de
zekerheid dat:
LR41MIRI2
+
LRI2M2R23
+
LR23M3R34
+
LR34M4R41
=
360°'
op het verband tussen middelpuntshoeken en omtrekshoeken en op het verband tussen
overstaande hoeken in een koordenvierhoek vinden we uiteindelijk wat bewezen moest worden.
Slechts één enkele leerling werkte dit bewijs correct uit.
Het laatste leerlingenvermoeden voor deze bibwijzerbijdrage oppert dat bij een keten met drie
cirkels de rechte P1P4 een middellijn is van c1 (zie volgende figuur). Eén stel leerlingen vond
een bewijs zonder gebruik te maken van doorsteeklijnen. Uiteraard werd dit tweetal op het
mondelinge
proefwerk
aangemaand de cirkelredenering
bloot
te
leggen.
Hieronder een
samengebalde versie van het leerlingenbewijs:
stel LM 1P1R12 =a, dan LM 1R12P1 =a
stel LM1P4 R12
=
f3 + f3
=
a+ a+
a+
f3
=
f3, dan
LM1R12 P4
180°
90°
P1P4 is een middellijn van cirkel c1
=
f3
basishoeken in een gelijkbenige driehoek
basishoeken in een gelijkbenige driehoek
hoekensom in driehoek PtR12P4
beide leden delen door twee
rechte omtrekshoek steunt op middellijn
Luc
-------
55
lil 'l il!l \l !l \l\,'l l l l l i\l l\:l il l il l i"\i ,I ,I\1\I\I I I I!I\Jilllll������i!il l ,l l l l l l l l l lil:!,l l l,l l'i'l,lil:l,l:i:l:l:l,ilil l lililil l
Eindtermen en leerplannen
De eindtermen voor de tweede en derde graad zijn eindelijk in het parlement goedgekeurd. Eindtermen
zijn de minimumdoelen die voor alle leerlingen nagestreefd moeten worden. Per gr.aad is er één lijst
eindtermen voor alle leerlingen uit het ASO en één lijst voor alle leerlingen uit KSO en TSO. Op onze
site (www.uitwiskeling.be) vind je een verwijzing naar de definitieve teksten. In de eerste graad zijn de
eindtermen in 1997 ingevoerd. In principe hadden de eindtemen voor de tweede graad dus reeds drie jaar
geleden ingevoerd moeten worden. In de rubriek 'Actualiteit' van UW 15/2 gingen we al in op de
belangrijkste wijzigingen. De laatste jaren werkten wij reeds verscheidene onderwerpen uit volgens de
filosofie van de eindtermen,
o.a. UW 15/3: Statistiek, tellen en kansen in de tweede graad en UW 16/4:
Ruimtemeetkunde in de tweede graad.
Vanaf volgend schooljaar moet er in het derde jaar in alle scholen gewerkt worden op basis van
leerplannen die op deze eindtermen gebaseerd zijn. In het gemeenschapsonderwijs en bij steden en
gemeenten betekent dit volledig nieuwe leerplannen. In het vrij gesubsidieerd onderwijs voerde men
reeds drie jaar geleden nieuwe leerplannen in die gebaseerd waren op een voorlopige versie van de
eindtermen. Ze worden nu aangepast aan de definitieve eindtermen en aan de eerste ervaringen in de
scholen. In principe moeten de verschillende leerplannen in de loop van de volgende maanden in de
scholen toekomen.
Nascholingscursussen en symposium T3-VIaanderen
Grafische en symbolische rekernnachines doen hun intrede in het Vlaamse wiskunde-onderwijs vanaf de
tweede graad. T3-Vlaanderen verzorgt allerlei nascholingscursussen om leerkrachten te helpen bij het
gebtuik van
zo'n grafische of symbolische rekernnachine in de klas.
verschillende plaatsen in het land door.
Deze
cursussen gaan op
Er zijn nascholingscursussen rond diverse onderwerpen:
kennismaking met de grafische rekernnachine, gebruik van een grafische rekernnachine in de tweede en
derde graad, statistiek m.b.v. een grafische rekernnachine, gebtuik van een grafische rekernnachine in
combinatie
met een gegevensverzamelaar in
het labo
fysica en chemie,
kennismaking met een
symbolische rekenmachine, . . .
We vermelden speciaal het jaarlijkse symposium (dat reeds voor de vijfde maal doorgaat) van dinsdag 20
tot donderdag 22 augustus 2002 in Oostende. Voor een volledig overzicht van de nascholingen verwijzen
we naar de website van T3-Vlaanderen, namelijk: http:// www.wis.kuleuven.ac.be/alo/t3.htm, of naar het
volgende e-mailadres: [email protected].
Nascholingscursussen CBL (Universiteit Antwerpen)
Voor
leerkrachten
wiskunde
worden
allerlei
cursussen
ingericht.
Voor
meer
inlichtingen
en
inschrijvingen verwijzen we naar het volgende adres: UIA-CBL, Universiteitsplein 1, 2610 Wilrijk, tel.
03/820.29.60,
fax 03/820.29.57. Meer gedetailleerde en geregeld aangepaste informatie over het
cursusaanbod is ook online beschikbaar op http://cbl- www.uia.ac.be.
56