SOHOWPGLL cover.indd

Voorwoord
De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair
onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in
wetenschappelijke, technologische en wiskundige richtingen.
Toch blijkt de aansluiting tussen het secundair onderwijs (SO) en het hoger onderwijs
(HO) niet eenvoudig, zeker als het op wiskunde aankomt. Enerzijds hebben in de leerplannen bepaalde onderwerpen (denk aan deelbaarheid, determinanten, verzamelingenleer,
projectieve meetkunde . . . ) plaats geruimd voor nieuwe inhouden (probleemoplossende
vaardigheden, onderzoekscompetenties, kansrekenen, statistiek . . . ). Anderzijds worden
er tussen het secundair en het hoger onderwijs ook grote vormelijke verschillen vastgesteld,
verschillen in de manier van wiskunde aanbrengen, opbouwen, presenteren. Vandaar dat
vaak over de SOHO-problematiek wordt gesproken.
Vanuit beide onderwijsniveaus worden steeds meer constructieve inspanningen geleverd
om de SOHO-uitdaging aan te gaan. Leerkrachten maken dankbaar gebruik van de vrije
ruimte om in richtingen met zeven of acht lesuren wiskunde extra onderwerpen aan te
bieden en een meer rigoureuze opbouw te hanteren dan in een gemiddelde zesuursklas
gebruikelijk is. Ook in het hoger onderwijs werden al heel wat initiatieven in het leven
geroepen, zowel voor laatstejaarsleerlingen als voor eerstejaarsstudenten.
Met de reeks SOHO Wiskunde Plantyn hopen we hierin ook een rol te spelen. We willen
leerlingen van de derde graad met minstens zes lesuren wiskunde kennis laten maken
met zowel inhoudelijke als vormelijke aspecten van wiskunde die in het hoger academisch
onderwijs meer aandacht krijgen dan in het secundair. Ook voor studenten van een
professionele bachelor wiskunde kan deze reeks een interessante kennismaking met meer
academische wiskunde vormen.
SOHO Wiskunde Plantyn biedt een kant-en-klaar geheel aan, dat zowel als lessenreeks
als voor begeleide zelfstudie gebruikt kan worden.
De boekjes uit deze reeks worden geschreven door veranderlijke teams, waarin leerkrachten SO met wiskundigen van een universiteit samenwerken. Daardoor kunnen we een
academische stijl en inhoud combineren met een correct instapniveau, met aandacht voor
de voorkennis van leerlingen en de nodige duiding.
Met elke titel binnen SOHO Wiskunde Plantyn willen we leerlingen, studenten, leerkrachten en docenten een excursie in de wondere wereld van de wiskunde aanreiken, wellicht
langs nieuwe paden, soms over steile heuvels, maar telkens met nieuwe ervaringen en
mooie vergezichten. Deze kennismakingen vinden hun vervolg in menige academische
cursus, in opleidingen wiskunde en daarbuiten.
We wensen iedereen een leerrijke ervaring met dit boekje.
Area trianguli rectanguli in numeris non potest esse quadratus
Hujus theorematis a nobis inventi demonstrationem, quam et ipsi
tandem non sine operosa et laboriosa meditatione deteximus, subjungemus. Ioc nempe demonstrandi genus miros in Arithmeticis suppeditabit progressus.
Si area trianguli esset quadratus, darentur duo quadratoquadrati
quorum differentia esset quadratus; unde sequitur dari duo quadratos
quorum et summa et differentia esset quadratus datur itaque numerus, comipositus ex quadrato et duplo quadrati, æqualis quadrato, ea
conditione ut quadrati eum componentes faciant quadratum. Sed,
si numerus quadratus componitur ex quadrato et duplo alterius
quadrati, ejus latus similiter componitur ex quadrato et duplo quadrati, ut facillime possumus demonstrare; unde concludetur latus
illud esse summam laterum circa rectum trianguli rectanguli, et
unum ex quadratis illud componentibus efficere basem, et duplum
quadratum æquari perpendiculo.
Illud itaque triangulum rectangulum conficietur a duobus quadratis quorum summa et differentia erunt quadrati. At isti duo
quadrati minores probabuntur primis quadratis primo suppositis,
quorum tam summa quam differentia faciunt quadratum: ergo, si
dentur duo quadrati quorum summa et differentia faciant quadratum, dabitur in integris sunmma duorum quadratorum ejusdem
nature, priore minor.
Eodem ratiocinio dabitur et minor ista inventa per viam prioris,
et semper in infinitum minores invenientur numeri in integris idem
prastantes. Quod impossibile est, quia, dato numero quovis integro,
non possunt dari infiniti in integris illo minores.
Dit is het enige bewijs dat Pierre de Fermat naliet, zoals het werd teruggevonden
door zijn zoon na zijn dood, in de marge van een boek van Diophantus. Het is
een bewijs door afdaling van de stelling dat de oppervlakte van een rechthoekige
driehoek met gehele zijden onmogelijk een kwadraat kan zijn. Meer over deze
bewijstechniek lees je in Hoofdstuk 4.
Inleiding
Van Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) doet het volgende citaat de ronde:
Wiskunde is de koningin van de natuurwetenschappen, en getaltheorie is de koningin
van de wiskunde.
Wie zijn wij om een van de grootste wiskundigen aller tijden tegen te spreken? Getaltheorie
is de tak van de wiskunde die de eigenschappen van de natuurlijke getallen bestudeert,
dit zijn de getallen 0, 1, 2, . . ., waarbij we meestal uitbreiden tot de gehele getallen,
0, ±1, ±2, . . ., en soms tot breuken van gehele getallen, de rationale getallen. Natuurlijke
getallen bestaan al langer dan de mens zelf, zodat het plausibel is om aan te nemen dat ze
de basis zullen vormen van iedere aardse of buitenaardse wiskundecultuur. Als neveneffect
brengen ze onvermijdelijk ook concepten voort zoals optellen, vermenigvuldigen, negatieve
getallen, priemgetallen, enzoverder. Of om het in de woorden van Leopold Kronecker
(1823 – 1891) te formuleren, een andere bekende Duitse wiskundige en filosoof:
De gehele getallen zijn door de goede God gemaakt, al het andere is mensenwerk.
Omdat deze koningin van de wiskunde onafhankelijk van de mens bestaat, heeft ze ook
de status van meest zuivere wiskunde, niet ‘bezoedeld’ door een menselijke toepassing,
een studieobject op zichzelf, vrij van iedere verplichting om zich te verantwoorden als
middel voor een ander doel. Een van de beste getaltheoretici van de vorige eeuw, de
Brit Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947) heeft in 1940 de zuiverheid van zijn vakgebied
glashelder en elegant bezongen in zijn verhandeling A Mathematician’s Apology. Hierin
bekent hij dat hij in zijn werk nooit iets ‘nuttigs’ gedaan heeft, en dat waarschijnlijk geen
enkele van zijn uitvindingen ooit tot een praktische toepassing zal leiden. De ironische
aanhalingstekens bij ‘nuttigs’ zijn van zijn hand. Hardy kon niet weten dat enkele decennia
na zijn dood de getaltheorie de basis zou leveren voor de beveiligingstechnologie voor
digitale communicatie (banktransacties, internetverkeer . . . ). Het is zeer de vraag of
hij dit een aangename verrassing zou gevonden hebben of eerder een vervuiling van het
zuivere blazoen van de getaltheorie.
Het feit dat de getaltheorie de meest fundamentele wiskunde behandelt, mag vooral niet
verward worden met de meest gemakkelijke wiskunde. De objecten en de vragen in deze
theorie laten zich inderdaad vlot formuleren, begrijpbaar door een kind van de lagere
school, maar om een oplossing te vinden wordt ons verstand tot aan de limieten van zijn
kunnen uitgedaagd. Niet zelden heeft een eenvoudige vraag over getallen in het verleden
aanleiding gegeven tot nieuwe en geavanceerde technieken en zelfs hele gebieden in de
wiskunde. Vele problemen in de getaltheorie zijn trouwens nog niet opgelost. Bijvoorbeeld
het vermoeden van Goldbach dat ieder even getal groter of gelijk aan 4 als de som van
twee priemgetallen kan geschreven worden, is op het moment van dit schrijven nog altijd
niet bewezen (of tegengesproken).
Dit boekje is als volgt samengesteld. In Hoofdstuk 1 verwachten we van de lezer enkel
dat hij kan tellen, en bewijzen we stap voor stap de hoofdstelling van de getaltheorie die
iv
zegt dat ieder natuurlijk getal op een unieke manier als een product van priemgetallen
kan geschreven worden. We vegen hierbij geen enkel detail onder de mat, en gaan
nauwkeurig te werk volgens de waterdichte bewijslogica die Euclides al in de derde eeuw
voor Christus publiceerde in zijn Elementen. Onze tussenstations naar deze hoofdstelling
zijn de euclidische deling, het algoritme van Euclides, de stelling van Bachet-Bézout en
het lemma van Euclides. Als eerbetoon aan de Elementen van Euclides, waaraan iedere
wiskundige schatplichtig is, bewijzen we nog eens dat er oneindig veel priemgetallen zijn.
Hoofdstuk 2 tilt meteen de resultaten van Hoofdstuk 1 op een hoger niveau, dit wil
zeggen in een bredere context. Dit hoofdstuk zal vooral academische wiskundestudenten
aanspreken of leerlingen in het secundair onderwijs die een universitaire studie ambiëren
die sterk wiskundig gekleurd is. Voor de andere lezers kan het overgeslagen worden
zonder gevaar de rest niet te begrijpen. Het begrip natuurlijk of geheel getal wordt hier
uitgebreid, met als bedoeling om begrippen zoals ‘priemgetal’ of eigenschappen zoals
‘unieke priemfactorisatie’ te bestuderen voor objecten die iets algemener zijn dan de gehele
getallen. De aard van een wiskundige eigenschap en de diepere verklaring waarom ze
eigenlijk waar is, komt meestal net tot uiting wanneer we buiten het gebruikelijke kader
kijken. In Hoofdstuk 2 bespreken we bijvoorbeeld de gehelen van Gauss, imaginaire gehele
getallen zeg maar, waarvoor het concept ‘priemgetal’ bijgestuurd moet worden, maar
waar we toch een unieke factorisatie kunnen bewijzen. In Hoofdstuk 2 verwachten we dat
de lezer vertrouwd is met complexe getallen en hun bewerkingen.
In Hoofdstuk 3 leggen we het principe van congruentierekenen uit, ook soms wel modulorekenen genoemd. Hierbij worden bij het optellen of vermenigvuldigen de gehele getallen
vervangen door hun rest bij deling door een vast getal m. Deze techniek laat toe om snel
besluiten te formuleren over heel grote getallen of om niet evidente eigenschappen op een
elegante manier te bewijzen dankzij de reductie tot een eindig aantal resten. Bovendien
is congruentierekenen de basis van beknopte controles op foutjes in het nummer van onze
bankrekening, van sommige deelbaarheidscriteria, van de folkloristische negenproef en
zelfs van heel wat goocheltrucs. Dit hoofdstuk mondt uit in de Chinese reststelling, de
sleutel voor menig quizraadsel.
Ten slotte bevat Hoofdstuk 4 wellicht de grootste uitdagingen voor de lezer en is dit
hoofdstuk dan ook bedoeld voor de meerwaardezoeker. We kunnen het immers niet over
ons hart krijgen om een boek over getaltheorie te publiceren zonder de klassiekers te
behandelen die tot de cultuur van iedere getaltheoreticus horen. In dit hoofdstuk geven
we de formuleringen en de volledige bewijzen van de stelling van Wilson, de kleine stelling
van Fermat en de stelling van Euler. De volhouder wordt beloond met het sluitend
antwoord op de vraag welke natuurlijke getallen als de som van twee kwadraten kunnen
geschreven worden.
We willen bij deze ook Pedro Tytgat bedanken, zonder wiens gedetailleerde terugkoppeling
en nuttige tips dit boekje nooit tot stand zou zijn gekomen.
Paul Levrie
Rudi Penne
december 2016
Inhoudsopgave
1 Basisbegrippen in Z
1.1 Inleidende begrippen . . . . . . . . .
1.2 Het algoritme van Euclides . . . . .
1.3 Priemgetallen en unieke factorisatie .
1.4 Oefeningen en bibliografie . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
7
10
2 Unieke-factorisatiedomeinen
2.1 Getallendomeinen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Eenheden en irreducibele elementen . . . . . .
2.3 Norm van een getallendomein . . . . . . . . . .
2.4 Factorisaties in een kwadratisch getallendomein
2.5 Euclidische domeinen . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Unieke factorisatie voor de gehelen van Gauss .
2.7 De Kerststelling van Fermat . . . . . . . . . . .
2.8 Magische sommen van kwadraten . . . . . . . .
2.9 Oefeningen en bibliografie . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
16
18
20
24
25
27
28
3 Lineaire congruenties
3.1 Congruentierekenen . . . . .
3.2 Lineaire congruenties met een
3.3 De Chinese reststelling . . . .
3.4 Oefeningen en bibliografie . .
. . . . . . .
onbekende .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
31
36
40
44
4 De
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
kwadraten
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47
47
48
49
51
56
klassieke stellingen
De stelling van Wilson . . . .
De kleine stelling van Fermat
De stelling van Euler . . . . .
Toepassing: sommen van twee
Oefeningen en bibliografie . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Index
57
Lijst van bewijstechnieken
Bewijs
Bewijs
Bewijs
Bewijs
Bewijs
Bewijs
uit het ongerijmde . . . . . . . . . .
van een equivalentie . . . . . . . . .
door contrapositie . . . . . . . . . .
van meerdere equivalente uitspraken
door constructie . . . . . . . . . . .
door eindige afdaling . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
18
35
35
42
52