Probleemoplossend werken in de tweede graad

R. Van Nieuwenhuyze
Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel.
Auteur Van Basis tot Limiet.
[email protected]
Van Nieuwenhuyze Roger
Probleemoplossend werken in de tweede graad
Pagina 1
1
EEN MEETKUNDEPROBLEEM: OPPERVLAKTES BEREKENEN
Gegeven is een convexe vierhoek ABCD.
A’, B’, C’ en D’ zijn de middens van de zijden van deze vierhoek.
v, w, x, y en z stellen de oppervlaktes voor van de stukjes waarin AA’, BB’, CC’ en DD’ de
vierhoek verdelen.
Bewijs dat v = w + x + y + z
(probleem 78 uit ‘Kun je deze oplossen’ vierkant voor wiskunde: L. Barendregt,
W.R.Oudshoorn en ZS. Ruttkay)
We controleren eerst met GeoGebra of dit klopt.
Van Nieuwenhuyze Roger
Probleemoplossend werken in de tweede graad
Pagina 2
Hoe kunnen we dit nu aantonen?
Aanwijzing:
Geef aan de vier nog niet benoemde vierhoeken een naam. Merk op dat bepaalde driehoeken
dezelfde oppervlakte hebben. Zie je dergelijke driehoeken?
Werk dit probleem verder op papier uit.
Van Nieuwenhuyze Roger
Probleemoplossend werken in de tweede graad
Pagina 3
2
EEN ANALYTISCHE EN EEN MEETKUNDIGE ZOEKTOCHT
Bewijs analytisch en meetkundig dat het lijnstuk dat de middens van 2 overstaande zijden van
een willekeurige vierhoek verbindt en het lijnstuk dat de middens van de diagonalen verbindt,
hetzelfde midden hebben.
Analytisch bewijs:
Kies het assenstelsel zo voordelig mogelijk.
Werk dit verder af op papier.
Meetkundig bewijs
We kijken eerst na met GeoGebra of dit klopt.
Hoe kunnen we nu bewijzen dat 2 lijnstukken hetzelfde midden hebben? Geef het bewijs op
papier.
Van Nieuwenhuyze Roger
Probleemoplossend werken in de tweede graad
Pagina 4
3
MINIMALE LENGTE VAN EEN LADDER BEPALEN
Naast een huis staat een 4 m hoge schutting op 1 m afstand van dit huis.
Hoe lang moet een ladder tenminste zijn om tegen de muur van het huis te kunnen komen?
Uitwerking met GeoGebra
Meetkundige benadering:
Herken je gelijkvormige driehoeken?
∆ BAE ∼ ∆ ACF want …
Dus:
| BE |
1
=
4
| FC |
Van Nieuwenhuyze Roger
of
y 4
=
1 x
Probleemoplossend werken in de tweede graad
Pagina 5
4

( x + 1) +  + 4 
x

2
2
Dus: z (lengte ladder) =
De lengte van de ladder is dus afhankelijk van hoe ver de ladder van de schutting staat.
We tekenen nu met een ICT-pakket (GeoGebra of de GRM)
de functie f(x) =
4

( x + 1) +  + 4 
x

2
2
Analytische benadering:
BC is een rechte met veranderlijke richtingscoëfficiënt en gaande door het punt A.
Dus: BC ↔ y − 4 = m( x − 1)
Van Nieuwenhuyze Roger
Probleemoplossend werken in de tweede graad
Pagina 6
Merk dan op dat we de coördinaat van B en C kunnen bepalen:
B(0, - m + 4)
 −4

C  + 1, 0 
m

 −4 
| BC | = (m − 4) 2 +  + 1
m

2
De lengte van de ladder is dus afhankelijk van de rico van BC.
We tekenen nu met een ICT-pakket (GeoGebra of de GRM ) de functie
f(x) =
 −4 
( x − 4)2 +  + 1
 x

Van Nieuwenhuyze Roger
2
Probleemoplossend werken in de tweede graad
Pagina 7
4
EEN OUD ZOEKERTJE UIT WISKUNDE EN ONDERWIJS
In de gelijkzijdige driehoek ABC zijn een aantal afmetingen gegeven (zie tekening).
Zoek x.
Uitwerking 1: x benaderen met GeoGebra
Enig idee hoe deze figuur met GeoGebra kan getekend worden en x dus benaderend kan
weergegeven worden?
•
Teken een lijnstuk [NM] met gegeven beginpunt en lengte 1
•
Teken een cirkel met middelpunt N en als straal
7
•
•
•
•
Teken een cirkel met middelpunt M en als straal
Zoek A
Teken de middelloodlijn van [MN].
…
7
Wie kan dit verder aanvullen?
Hoeveel oplossingen zijn er?
Van Nieuwenhuyze Roger
Probleemoplossend werken in de tweede graad
Pagina 8
Uitwerking 2: werken met afstanden
Probeer nu x te zoeken door vooral in driehoek MBF te werken
Uitwerking 3: werken met hoeken
In driehoek AMN zijn de drie zijden gekend. We kunnen dus met de cosinusregel de hoek
NAM berekenen. We noemen deze hoek α .
1 = 7 + 7 − 2 7 7 cos α en dus cos α =
13
14
 13 
Hieruit volgt dat α = arcos   = 0.3802512067
 14 
We kunnen de hoek CAN berekenen.
1π

CAN = β =  − 0.3802512067  = 0.3334731722
2 3

We passen nu de cosinusregel toe in driehoek ANC en vinden:
4 = x ² + 7 − 2 x 7 cos β
We vinden als oplossingen:
Van Nieuwenhuyze Roger
of
x=
x ² − 2 7 cos β x + 3 = 0 of x² - 5x + 3 = 0
5 ± 13
2
Probleemoplossend werken in de tweede graad
Pagina 9
5
DRIEHOEKSGETALLEN
We weten dat 1, 3, 6, 10, … driehoeksgetallen zijn.
D1 = 1
2. 3
2
3. 4
D3 = 1 + 2 + 3 =
2
...
n(n + 1)
Dn =
2
D2 = 1 + 2 =
Bewijs nu het volgende:
R is een driehoeksgetal
⇔
8R + 1 is een volkomen kwadraat
(Bronvermelding: getalfiguren van Gerrit-Jan Ridderbos (vierkant voor wiskunde))
Van Nieuwenhuyze Roger
Probleemoplossend werken in de tweede graad
Pagina 10
Uitwerking met de GRM
We schrijven 2 programma’s om de uitspraak te ondersteunen:
Uitwerking met GeoGebra
Van Nieuwenhuyze Roger
Probleemoplossend werken in de tweede graad
Pagina 11
Uitwerking op papier:
De pijl van links naar rechts is vrij gemakkelijk te bewijzen. Bewijs dit zelf. We bewijzen nu de
pijl van rechts naar links:
Gegeven
8R + 1 is een volkomen kwadraat
Te bewijzen
R is een driehoeksgetal
Bewijs
8 R + 1 is een volkomen kwadraat
⇓
∃m ∈ ℕ : 8 R + 1 = m²
⇓
∃m ∈ ℕ :
8R = (m + 1)(m − 1)
⇓
∃m ∈ ℕ : R =
(m + 1)(m − 1)
8
Daar R een geheel getal is moet (m + 1)(m – 1) dus een veelvoud van 8 zijn en dus zeker even.
Hieruit volgt dat m + 1 en m – 1 beiden even moeten zijn.
Dus m is oneven of van de vorm: 2k + 1.
R=
(2k + 2) . 2k k (k + 1)
=
8
2
Dus is R een driehoeksgetal.
Opdracht:
Als A en B twee opeenvolgende driehoeksgetallen zijn dan is 3A + B een driehoeksgetal. Bewijs
dit zelf.
Van Nieuwenhuyze Roger
Probleemoplossend werken in de tweede graad
Pagina 12
INHOUD
1
een Meetkundeprobleem: oppervlaktes berekenen ............................................................................................ 2
2
Een analytische en een meetkundige zoektocht ................................................................................................... 4
3
MINimale lengte van een ladder bepalen .............................................................................................................. 5
4
Een oud zoekertje uit wiskunde en onderwijs ...................................................................................................... 8
5
Driehoeksgetallen................................................................................................................................................ 10
Welke kennis komt aan bod doorheen de opdrachten?
1
2
3
4
5
Formules om de oppervlaktes van driehoeken en vierhoeken te berekenen toepassen
(herhaling van formules uit vroegere geziene leerstof), GeoGebra gebruiken om een
duidelijke tekening te maken en berekeningen uit te voeren.
Coördinaat van het midden van een lijnstuk bepalen als de coördinaten van de eindpunten
gegeven zijn, stelling van Thales, kenmerk van een parallellogram toepassen.
Gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken toepassen, vergelijking van een rechte
opstellen, afstandsformule gebruiken, grafiek van een functie met ICT tekenen, minimale
waarde van een functie bepalen aan de hand van de grafiek, snijpunten van een rechte
met de assen bepalen, een dynamische tekening in GeoGebra kunnen uitvoeren.
Eigenschappen gebruiken die gelden in gelijkzijdige driehoeken, stelling van Pythagoras
toepassen, cosinusregel in een driehoek gebruiken, een hoek zoeken als de cosinus van de
hoek gegeven is, een vierkantsvergelijking oplossen, een complexe constructie in
GeoGebra uitvoeren.
Een bewijs geven (duidelijk het gegeven en het te bewijzen noteren en het bewijs
uitwerken), het begrip kenmerk kennen, deelbaarheidskenmerken toepassen, ontbinden in
factoren, de GRM gebruiken om een eenvoudig programma te schrijven, werken met
lijsten in GeoGebra.
Van Nieuwenhuyze Roger
Probleemoplossend werken in de tweede graad
Pagina 13