Basiswiskunde Week 4_2

Basiswiskunde Week 4_2
4.10 Taylorpolynomen, staan al in Basiswiskunde week 4_1
3.1 Inverse functies
3.2 Exponentiële en logaritmische functies
Bestudeer de inhoud van de secties 3.1 en 3.2 in hun geheel en
maak de bijbehorende opgaven.
Het schema wordt vrijdag aangepast.
2
Basiswiskunde_Week_4_2.nb
3.1 Inleiding inverse functies
Los op 2x-1 = 8x .
Dan 2x-1 = I23 Mx ofwel 2x-1 = 23 x ; Dus x - 1 = 3 x ofwel x = - 1 .
2
Als twee machten van 2 aan elkaar gelijk zijn, dan zijn hun exponenten gelijk.
Zie de grafiek.
4
3
y g 2x
2
1
-2
-1
1
2
Basiswiskunde_Week_4_2.nb
3.1 Eenduidige functies
Een functie f is eenduidig (one-to-one) als voor alle x1 en x2 in DHf L met f Hx1 L = f Hx2 L
geldt dat x1 = x2 .
Voor eenduidige functie f geldt dat voor iedere y œ RHf L de vgl y = f HxL met x als
onbekende précies één oplossing x œ DHf L heeft.
Als voor een functie f geldt dat voor iedere y œ RHf L de vgl y = f HxL met x als
onbekende précies één oplossing x œ DHf L heeft, dan is f eenduidig.
(a) f HxL = x 3 ; (b) f HxL =
x ; (c) f HxL = ‰x ; (d) f HxL =
Zijn onderstaande functies f eenduidig? Zoja, waarom?
x+1
x+2
; (e) f HxL = x 3 - x
De eerste vier functies zijn eenduidig vanwege een positieve afgeleide.
Functie (d) is eenduidig omdat de vgl y = x+1 één oplossing x geeft
x+2
3
4
Basiswiskunde_Week_4_2.nb
3.1 Inverse functie
Laat de functie f eenduidig zijn.
Bij iedere y œ RHf L heeft de vgl y = f HxL met x als onbekende, précies één oplossing
x œ DHf L.
Iedere y œ RHf L levert één x œ DHf L op met y = f HxL.
Bij de functie f hoort een inverse functie f -1 zodanig dat
als y = f HxL, dan x = f -1 HyL en als x = f -1 HyL, dat dan y = f HxL.
Overtuig u ervan dat DIf -1 M = RHf L en RIf -1 M = DHf L.
Vraag: Is f -1 een eenduidige functie?
Ja, veronderstel dat x = f -1 Hy1 L = f -1 Hy2 L. Dan f HxL = y1 en f HxL = y2 , dus y1 = y2 .
Basiswiskunde_Week_4_2.nb
3.1 Functiesamenstelling
Beschouw een eenduidige functie f .
Toepassen van f -1 aan beide kanten van y = f HxL geeft f -1 HyL = f -1 Hf HxLL
ofwel x = f -1 Hf HxLL.
Toepassen van f aan beide kanten van x = f -1 HyL geeft uiteindelijk
y = f If -1 HyLM.
Dit leidt tot de volgende twee identiteiten:
x = f -1 Hf HxLL voor alle x œ DHf L,
x = f If -1 HxLM voor alle x œ DIf -1 M = RHf L.
De functies f en f -1 heffen elkaar op.
De inverse van f -1 is f , in formule If -1 M-1 = f .
5
6
Basiswiskunde_Week_4_2.nb
3.1 Grafiek van inverse
De grafiek van f -1 is de gespiegelde aan de lijn x = y van de grafiek van f .
De lijn [1 is de raaklijn aan de grafiek van f in Ha, bL met b = f HaL.
De lijn [2 is de raaklijn aan de grafiek van f -1 in Hb, aL met a = f -1 HbL.
f HxL
a
[2
f -1 HxL
b
b
a
[1
Basiswiskunde_Week_4_2.nb
3.1 Verband tussen afgeleiden
Via plaatje
Rc van raaklijn [1 is f £ HaL en rc van raaklijn [2 is If -1 M£ HbL.
De raaklijn [2 is de gespiegelde van de lijn [1 aan de lijn y = x.
Dus If -1 M£ HbL = £1 .
Gevolg If
f HaL
M Hf HaLL =
-1 £
.
f £ HaL
Via kettingregel
1
Er geldt f -1 Hf HxLL = x.
Differentiëren aan beide kanten geeft If -1 M£ Hf HxLL f £ HxL = 1.
Dus If -1 M£ Hf HxLL =
.
f £ HxL
1
7
8
Basiswiskunde_Week_4_2.nb
3.1 Voorbeeld 1
Beschouw de functie f met DHf L = @0, ¶L en f HxL =
x2
1+x 2
voor x œ DHf L.
(a) Laat zien dat f eenduidig is.
(b) Bepaal f -1 HxL.
(a)
Methode 1 f £ HxL =
J1+x 2 N
2x
2
> 0 voor 0 < x < ¶. Dus f is strikt stijgend.
Methode 2 Verwissel de rol van x en y. Los op x = f HyL met y als onbekende.
Merk op dat geldt dat 0 § x < 1 want RHf L = @0, 1L.
Dus x =
y2
1+y 2
ofwel x + x y 2 = y 2 . Gevolg y 2 =
Nu geldt dat y = +
x
1-x
want y œ DHf L.
x
.
1-x
Er is maar een oplossing van x = f HyL, dus f is eenduidig. Dus f -1 HxL =
(b) Als u methode 2 heeft gebruikt, dan bent u klaar.
x
1-x
.
Basiswiskunde_Week_4_2.nb
3.1 Voorbeeld 2
Gegeven f HxL = x 3 + x. De functie f is eenduidig want f £ HxL = 3 x 2 + 1 > 0.
Bepaal If -1 M£ H2L.
Er geldt algemeen If -1 M£ H f HxL L =
1
.
f £ HxL
Gezocht x met f HxL = x 3 + x = 2.
Er is geen hanteerbare formule voor de oplossingen.
Uitproberen levert x = 1. Dus If -1 M£ H2L = £1 = 1 .
f H1L
4
9
10
Basiswiskunde_Week_4_2.nb
3.2 Exponentiële functies
é Een macht ab bestaat uit en grondtal (base) a en een exponent b.
é Een exponentiële functie is van de vorm f HxL = ax .
Voor alle a, a > 0 en a ∫ 0 is functie f met f HxL = ax eenduidig en
DHf L = R en RHf L = H0, ¶L.
ax
a>0
1
0<a<1
1
é Laat a > 0. Voor m œ Z en n œ N is
m
an
=
n
am de enige positieve oplossing van x n = am
Basiswiskunde_Week_4_2.nb
3.2 Eigenschappen van exponentiële functies
Laat a > 0 en b > 0. Dan geldt voor alle x en y
é
a-x =
1
ax
é
Iax My = ax y
é
ax+y = ax ay
é
Ha bLx = ax bx
11
12
Basiswiskunde_Week_4_2.nb
3.2 Logaritmen
Laat 0 < a < 1 of a > 1.
De functies f HxL = ax zijn eenduidig. Zij hebben een inverse f -1 HxL = loga HxL,
de logaritme van x bij grondtal a (of x to the base a )
Er geldt DHloga L = H0, ¶L en RHloga L = R
Er geldt dat y = ax ¨ x = loga HxL
Gevolg: loga Iax M = x voor alle x œ R en aloga HxL = x voor alle x > 0.
Voor de logaritmen zijn drie notaties: a log HxL = loga HxL = a log HxL.
loga HxL
a>1
1
0<a<1
Basiswiskunde_Week_4_2.nb
3.2 Eigenschappen van logaritmen
Laat a > 0 en a ∫ 1 en laat b > 0 en b ∫ 1.
Voor alle x > 0 en y > 0 geldt
é
é
é
é
é
loga H1L = 0
loga Hx yL = loga HxL + loga HyL
loga Ix r M = r loga HxL
loga J 1 N = -loga HxL
x
loga HxL =
logb HxL
logb HaL
13
14
Basiswiskunde_Week_4_2.nb
3.2 Voorbeelden
(1) Los op 22 x > 2x-1 .
(2) Los op J 1 N
2x
> J1N
x-1
.
(3) Vereenvoudig log3 H1 - cosHxLL + log3 H1 + cosHxLL - 2 log3 H†sinHxL§ L.
(4) Vereenvoudig log2 H5L - log 1 H3L.
2
2
(5) Vereenvoudig loga HbL logb HaL
(6) Los op log2 HxL + log2 Hx - 2L = log2 H3L
2
Antwoorden
(1) x > -1
(2) x < -1
(3) 1
(4) log2 H15L
(5) 1
(6) x = 3