Week 1_2

Basiswiskunde_Week_1_2.nb |
Week 1_2
P.4 Functies en hun grafieken
P.5 Combineren van functies
1
Basiswiskunde_Week_1_2.nb |
P.4 Functies en grafieken
Een functie f van verzameling D in verzameling S is een
recept, dat aan iedere x in D een uniek element f HxL in S toekent.
De verzameling D wordt het domein van f genoemd en met DHf L aangegeven.
De elementen f HxL worden de functiewaarden of beelden van f genoemd.
Het bereik (range) van f , notatie RHf L, bestaat uit alle beelden f HxL, x in DHf L.
Zie figuur P.35 in Adams
De domeinconventie
Als een functie f gedefinieerd is zonder het domein te noemen, dan bestaat
DHf L uit alle x in R waarvoor f HxL een reëel getal is.
Voorbeeld: de sinus is een functie en sinHxL is een functiewaarde.
2
Basiswiskunde_Week_1_2.nb |
P.4 Voorbeeld 1
Beschouw f HxL = 2 - x .
Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek.
DHf L = H-¶, 2D, RHf L = @0, ¶L
Via gafiek van
x.
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
-4
-2
2
4
3
Basiswiskunde_Week_1_2.nb |
P.4 Voorbeeld 2
Beschouw f HxL = 1 + x 2 .
Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek.
DHf L = R, RHf L = @1, ¶L
Via f H0L = 1 en f HxL º x als x Ø ≤¶
5
4
3
2
1
-4
-2
-1
2
4
4
Basiswiskunde_Week_1_2.nb |
P.4 Voorbeeld 3
Beschouw f HxL =
x+1
.
x-2
Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek.
DHf L = H-¶, 2L ‹ H2, ¶L
We schetsen eerst grafiek van f . Als x Ø ≤¶, dan f HxL º 1.
Als x Ø 2 en x > 2, dan f HxL Ø ¶. Als x Ø 2 en x < 2, dan f HxL Ø -¶
4
2
-2
-2
-4
2
4
6
RHf L = H-¶, 1L ‹ H1, ¶L
5
Basiswiskunde_Week_1_2.nb |
P.4 Voorbeeld 4
Beschouw f HxL =
x 2 +1
.
x
Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek.
DHf L = H-¶, 0L ‹ H0, ¶L
Er geldt f HxL = x +
1
x
. We schetsen eerst de grafiek via de grafieken van x en 1 .
x
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
Omdat f £ HxL = 1 -
1
x2
heeft f een maximum in x = -1 en een minimum in x = 1.
De bijgehorende waarden zijn -2 respectievelijk 2.
Dus RHf L = H-¶, -2D ‹ @2, ¶L
6
Basiswiskunde_Week_1_2.nb |
P.4 Even en oneven functies
Beschouw een functie f met domein DHf L zó, dat als x œ DHf L, dat dan -x œ DHf L.
De functie f is even als f H-xL = f HxL voor alle x œ DHf L.
De functie f is oneven als f H-xL = -f HxL voor alle x œ DHf L.
2
4
1
-4
-2
2
2
-1
-2
4
-4
-2
2
4
-2
-4
De eerste grafiek is van een oneven functie. Hij is symmetrisch tov oorsprong.
De tweede grafiek is van een even functie. Hij is symmetrisch tov de y-as.
Beschouw de sinus. Noem alle symmetrie-assen en -punten.
7
Basiswiskunde_Week_1_2.nb |
P.4 Vraag *
Beschouw de grafiek van een functie f met domein DHf L = @0, 2D.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-3
-2
-1
1
2
3
Schets de grafieken van de functie g gedefineerd door gHxL = f H-xL, gHxL = f H2 - xL,
gHxL = f HxL + 2,
en gHxL = 2 - f HxL.
8
Basiswiskunde_Week_1_2.nb |
P.4 Antwoord
-3
-3
-2
-2
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
-1
-1
1
2
3
-3
-2
-1
3.0
2.0
2.8
1.8
2.6
1.6
2.4
1.4
2.2
1.2
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
3
1
2
3
9
Basiswiskunde_Week_1_2.nb |
P.5 Combineren van functies
Het combineren gaat op 3 manieren:
é algebraïsch
é samenstellen
é plakken (zelf bestuderen)
Enkele symbolen uit de verzamelingenleer:
é a œ V a is een element van V.
é De verzameling V ‹ W is de vereniging van V en W ,
dwz a œ V ‹ W als a œ V of a œ W
é De verzameling V › W is de doorsnede van V en W ,
dwz a œ V › W als a œ V én a œ W .
é « is de lege verzameling.
Voorbeelden: H-3, 5D ‹ @2, 8L = H-3, 8L en H-3, 5D › @2, 8L = @2, 5D
Opmerking A ‹ B ‹ C is de vereninging van de verzamelingen A, B en C etc.
10
Basiswiskunde_Week_1_2.nb |
P.5 Algebraïsch combineren
Laat f en g functies zijn met domeinen DHf L en DHgL.
Som f + g met Hf + gL HxL = f HxL + gHxL voor x œ DHf + gL = DHf L › DHgL,
Product f g met Hf gL HxL = f HxL gHxL voor x œ DHf gL = DHf L › DHgL,
Quotiënt
f
g
met J f N HxL =
f HxL
gHxL
voor x œ DJ f N.
Domein DJ f N uit alle x œ DHf L › DHgL met gHxL ∫ 0.
g
g
g
Voorbeeld: Beschouw f HxL =
1 + x en gHxL =
Wat zijn de domeinen DHf gL en DJ f N?
g
Nu is DHf L = @-1, ¶L en DHgL = H-¶, 1D.
Antwoord DHf gL = @-1, 1D en DJ f N = @-1, 1N.
g
1-x .
11
Basiswiskunde_Week_1_2.nb |
P.5 Samenstellen
Beschouw de functies f en g met hun domeinen.
De samengestelde functie f é g is de functie gedefinieerd door Hf é gL HxL = f HgHxLL
waarbij DHf é gL bestaat uit alle x œ DHgL waarvoor gHxL œ DHf L.
Zie figuur P.60 uit Adams
12
Basiswiskunde_Week_1_2.nb |
P.5 Voorbeeld 1
Beschouw gHxL =
x+1
x+2
en f HxL =
x+1
.
x
(1) Geef Hf é gL HxL en bepaal DHf é gL.
(2) Vereenvoudig de gevonden uitdrukking voor Hf é gL HxL.
(1)
Nu is Hf é gL HxL = f HgHxLL =
gHxL+1
=
x+1
+1
x+2
.
x+1
x+2
DHgL bestaat uit R behalve -2. DHf L bestaat uit R behalve 0.
De vgl gHxL = 0 heeft een oplossing en wel x = -1.
Dus DHf HgLL bestaat uit R behalve -2 en -1.
gHxL
(2)
Nu is
x+1
+1
x+2
x+1
x+2
=
x+1+x+2
x+1
=
2 x+3
.
x+1
13
Basiswiskunde_Week_1_2.nb |
P.5 Voorbeeld 2 *
Beschouw de functie f HxL =
x
x+1
en de onbekende functie g zodanig dat f HgHxLL = x 2 .
Bepaal gHxL.
Nu is
gHxL
gHxL+1
= x 2 . Dus gHxL = x 2 gHxL + x 2 ofwel gHxL =
x2
1-x 2
.
14