Elektro-magnetisme deel I

Elektro-magnetisme
deel I
Auteur : Jouri Van Landeghem
Versie 0.91
1
Copyright (c) 2008 Jouri Van Landeghem.
Toestemming wordt verleend tot het kopiëren, verspreiden en/of wijzigen van dit
document onder de bepalingen van de GNU Vrije Documentatie Licentie, versie 1.2
of iedere latere versie uitgegeven door de Free Software Foundation. Een kopie van
de licentie is terug te vinden op http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt.
2
Inhoudsopgave
1 Elektrische verschijnselen.................................................................................................................6
1.1 Waarnemingen...........................................................................................................................6
1.2 Geleiders en isolatoren...............................................................................................................6
1.3 Microscopische verklaring.........................................................................................................7
1.3.1 Verklaring geleiding..........................................................................................................7
1.3.2 Hoe worden voorwerpen “geladen” ? ...............................................................................8
1.4 Elektrische inductie....................................................................................................................9
1.4.1 Inductie bij een isolator......................................................................................................9
1.4.2 Inductie bij geleiders..........................................................................................................9
1.5 Aarding....................................................................................................................................10
1.6 Oefeningen...............................................................................................................................11
2 De Coulombkracht...........................................................................................................................12
2.1 Elektrische stroom...................................................................................................................12
2.1.1 Spanning...........................................................................................................................12
2.1.2 Spanningsbron..................................................................................................................12
2.1.3 Belasting...........................................................................................................................13
2.2 Eenheid van stroomsterkte.......................................................................................................14
2.3 De Coulombkracht...................................................................................................................15
2.3.1 Eenheid van lading...........................................................................................................15
2.3.2 De Coulombkracht...........................................................................................................15
2.4 Oefeningen...............................................................................................................................17
3 Het elektrisch veld en veldsterkte....................................................................................................18
3.1 Het elektrisch veld...................................................................................................................18
3.2 De elektrische veldsterkte........................................................................................................18
3.2.1 Definitie...........................................................................................................................18
3.2.2 Veldsterkte rondom een puntlading.................................................................................18
3.2.3 Elektrisch veld opgewekt door meerdere puntladingen...................................................20
3.3 Elektrische veldlijnen..............................................................................................................20
3.4 Onderzoek van een aantal veldconfiguraties...........................................................................21
3.4.1 Elektrisch veld van een puntlading..................................................................................21
3.4.2 Homogene velden............................................................................................................22
3.4.3 Veldsterkte binnen in een neutrale geleider.....................................................................22
3.4.4 Radiaal veld van een bolvormige geleider.......................................................................22
3.4.5 Elektrisch veld in en rond een geladen geleider in evenwicht.........................................23
3.4.6 Dipoolveld........................................................................................................................23
3.5 Oefeningen...............................................................................................................................24
4 Elektrische potentiaal .....................................................................................................................25
4.1 Potentiaal in het veld van een puntlading................................................................................25
4.1.1 Arbeid verricht door Coulombkracht...............................................................................25
4.1.2 Potentiële energie in het veld van een puntlading............................................................26
4.1.3 Elektrische potentiaal.......................................................................................................27
4.1.4 Arbeid verricht bij verplaatsing in een elektrisch veld....................................................28
4.2 Equipotentiaaloppervlakken....................................................................................................28
4.3 Potentiaal in en rond een bolvormige geleider........................................................................29
4.4 Potentiaal in een homogeen veld.............................................................................................30
4.4.1 Verband tussen potentiaalverschil en veldsterkte............................................................30
3
4.4.2 Potentiaal in een homogeen veld.....................................................................................30
4.5 Oefeningen...............................................................................................................................32
5 Gelijkstroomkringen........................................................................................................................33
5.1 Weerstand................................................................................................................................33
5.1.1 Spanning...........................................................................................................................33
5.1.2 Stroom..............................................................................................................................33
5.1.3 Definitie weerstand..........................................................................................................34
5.1.4 Weerstand van meettoestellen..........................................................................................34
5.2 Wet van Ohm...........................................................................................................................35
5.3 Schakelen van weerstanden.....................................................................................................36
5.3.1 Serieschakeling................................................................................................................36
a Stroom en spanning over een serieschakeling...................................................................36
b Substitutieweerstand..........................................................................................................36
c Spanningsdeler...................................................................................................................37
5.3.2 Parallelschakeling............................................................................................................38
a Stroom en spanning in een parallelschakeling..................................................................38
b Substitutieweerstand..........................................................................................................38
c Stroomdeler.......................................................................................................................39
5.3.3 Gemengde schakelingen..................................................................................................39
a Uitgewerkt voorbeeld........................................................................................................40
5.4 Factoren die de weerstand beïnvloeden...................................................................................42
5.4.1 Invloed van de lengte.......................................................................................................42
5.4.2 Invloed van de doorsnede................................................................................................42
5.4.3 Invloed van het materiaal.................................................................................................43
5.4.4 Wet van Pouillet...............................................................................................................43
5.4.5 Invloed van de temperatuur..............................................................................................44
a Geleiders............................................................................................................................44
b Isolatoren...........................................................................................................................44
c Temperatuurscoëfficiënt....................................................................................................44
5.4.6 Supergeleiding.................................................................................................................45
5.5 Inwendige weerstand van een spanningsbron..........................................................................46
5.6 De wetten van Kirchhoff..........................................................................................................47
5.6.1 Stroomwet........................................................................................................................47
5.6.2 Spanningswet...................................................................................................................47
5.6.3 Toepassingen....................................................................................................................48
a Circuits met één bron.........................................................................................................48
b Circuits met meerdere bronnen.........................................................................................50
5.7 Elektrische energie en vermogen.............................................................................................50
5.8 Oefeningen...............................................................................................................................52
6 Condensatoren.................................................................................................................................54
6.1 Constructie en werking van een condensator..........................................................................54
6.1.1 Constructie.......................................................................................................................54
6.1.2 Opladen en ontladen van een condensator.......................................................................54
a Principe..............................................................................................................................54
b Oplaad- en ontlaadcurves..................................................................................................55
6.1.3 Capaciteit van een condensator........................................................................................56
6.1.4 De invloed van de weerstand op het ontladen..................................................................57
6.2 Schakelen van condensatoren..................................................................................................57
4
6.2.1 Serieschakeling................................................................................................................57
6.2.2 Parallelschakeling............................................................................................................57
6.2.3 Experimentele bevestiging...............................................................................................57
6.3 Oefeningen...............................................................................................................................58
7 Magnetische verschijnselen.............................................................................................................59
7.1 Eigenschappen van permanente magneten..............................................................................59
7.2 Het magnetisch veld.................................................................................................................60
7.2.1 Definitie...........................................................................................................................60
7.2.2 Magnetische veldlijnen....................................................................................................60
7.2.3 Het aardmagnetisch veld..................................................................................................61
7.3 Oefeningen...............................................................................................................................63
8 Elektro-magnetisme.........................................................................................................................64
8.1 Magnetisch veld van stroomvoerende geleiders......................................................................64
8.1.1 Algemeen.........................................................................................................................64
8.1.2 Magnetisch veld rond een rechte stroomvoerende geleider.............................................64
8.1.3 Magnetisch veld van een stroomvoerende winding.........................................................65
8.1.4 Magnetisch veld van een solenoïde of een spoel.............................................................65
8.2 Oorzaak van permanent magnetisme.......................................................................................67
8.2.1 Diamagnetisme.................................................................................................................67
8.2.2 Paramagnetisme...............................................................................................................67
8.2.3 Ferromagnetisme..............................................................................................................68
8.3 Magnetische krachtwerking.....................................................................................................68
8.3.1 Lorentzkracht...................................................................................................................68
8.3.2 Magnetische veldsterkte...................................................................................................69
a Definitie.............................................................................................................................69
b Magnetische veldsterkte in een punt op afstand r van een rechte, stroomvoerende geleider
..............................................................................................................................................71
c Magnetische veldsterkte in een punt binnenin een stroomvoerende solenoïde.................71
8.4 Toepassingen...........................................................................................................................72
8.4.1 Kracht op twee evenwijdige geleiders.............................................................................72
8.4.2 De elektromotor...............................................................................................................73
8.5 Oefeningen...............................................................................................................................77
5
Elektrische verschijnselen
1 Elektrische verschijnselen
1.1
Waarnemingen
Wat gebeurt er als we met een ebonietstaaf een stapel papiersnippers naderen ?
Wat gebeurt er als we met een ebonietstaaf een stapel papiersnippers naderen,
nadat we eerst over de ebonietstaaf gewreven hebben met een wollen doek ?
Wat gebeurt er als we met een glasstaaf een stapel papiersnippers naderen,
nadat we eerst over de glasstaaf gewreven hebben met een wollen doek ?
Wat gebeurt er als we met een koperen staaf een stapel papiersnippers naderen,
nadat we eerst over de koperen staaf gewreven hebben met een wollen doek ?
Wat gebeurt er als we met een opgewreven ebonietstaaf een andere (niet
opgewreven) ebonietstaaf naderen die (draaibaar) op een statief is geplaatst ?
Wat gebeurt er als we met een opgewreven ebonietstaaf een andere
opgewreven ebonietstaaf naderen die (draaibaar) op een statief is geplaatst ?
Wat gebeurt er als we met een opgewreven glasstaaf een opgewreven
ebonietstaaf naderen die (draaibaar) op een statief is geplaatst ?
Welke conclusies kan je trekken ?
Bovenstaande verschijnselen zijn gevallen van elektrische verschijnselen. We
kunnen alle bovenstaande verschijnselen verklaren door volgend model aan te
nemen :
●
Er zijn twee soorten ladingen, positieve en negatieve. Bij conventie
zeggen we dat glas een positieve lading krijgt, en eboniet een negatieve
lading.
●
Ladingen kunnen niet verschijnen of verdwijnen.
●
Ladingen oefenen een kracht uit op elkaar: gelijksoortige ladingen
stoten elkaar af, verschillende ladingen trekken elkaar aan.
●
De oorzaak van elektrische verschijnselen is scheiding van lading.
De elektroscoop
Afbeelding 1:
De
elektroscoop
1.2
De elektroscoop is een toestel waarmee we de aanwezigheid van
lading kunnen detecteren. Het bestaat uit twee metalen stroken,
waarvan één beweeglijk en de ander vast, die geïsoleerd van de
grond zijn opgesteld. Als we de elektroscoop naderen met een
geladen voorwerp, dan zien we dat de beweeglijke strook uitwijkt.
Hoe meer de strook uitwijkt, hoe groter de lading. Eens het
geladen voorwerp uit de buurt gehaald is, verdwijnt de uitwijking.
Je kan ook een elektroscoop laden door een geladen voorwerp in
contact te brengen met de elektroscoop. Een deel van de lading
wordt dan overgebracht op de elektroscoop, en de uitwijking blijft
tot de elektroscoop “ontladen” wordt (bvb. door je vinger er op te
leggen...).
Geleiders en isolatoren
Wat gebeurt er als we een geladen elektroscoop aanraken met een ongeladen
6
Elektrische verschijnselen
glas- of ebonietstaaf ? En als we de elektroscoop aanraken met een koperstaaf
of met onze vinger ?
We zetten twee elektroscopen naast elkaar, en verbinden ze met een koperen
draad. Wat gebeurt er met de tweede elektroscoop als we de eerste
elektroscoop laden ?
We zetten twee elektroscopen naast elkaar, en verbinden ze met een wollen
draad. Wat gebeurt er met de tweede elektroscoop als we de eerste
elektroscoop laden ?
Uit bovenstaande proeven kunnen we concluderen dat ladingen mobiel zijn. De
mobiliteit hangt echter duidelijk af van de middenstof. We kunnen materialen
grofweg indelen in drie categorieën :
1.3
●
Geleiders : in geleiders hebben ladingen een grote mobiliteit en
kunnen ze gemakkelijk doorheen het hele materiaal bewegen. Via een
geleider kan lading gemakkelijk van een plaats naar een andere vloeien.
Voorbeelden van geleidende materialen zijn : koper, aluminium, ijzer, ...
●
Isolatoren : materialen waarin ladingen weinig tot geen mobiliteit
hebben. De ladingen zitten vast op hun plaats. Voorbeelden van
isolatoren zijn : PCV, glas, porselein, ...
●
Halfgeleiders : materialen die zich onder bepaalde omstandigheden
gedragen als geleiders, onder andere omstandigheden als isolatoren.
Voorbeelden : germanium, silicium, ...
Microscopische verklaring
Een atoom is elektrisch neutraal. Het bestaat
uit een positieve kern, die op zijn beurt
bestaat positieve protonen en neutrale
neutronen,
waarrond
negatief
geladen
elektronen
bewegen
in
“schillen”.
De
elektronen in de buitenste schil (de valentieelektronen) zorgen zowel voor de chemische
als elektrische eigenschappen van een stof.
De elektronen blijven bij de kern omdat hun
negatieve lading aangetrokken wordt door de
positieve lading van de protonen. Maar hoe
komt het dat de protonen, die allemaal een
positieve lading hebben (en elkaar bijgevolg
afstoten), toch in de kern blijven ?
1.3.1
Verklaring geleiding
Afbeelding 2: De
atoomstructuur met de
protonen, neutronen en
elektronen (bron :
education.jlab.org)
Goede geleiders hebben weinig valentieelektronen. De materialen zijn opgebouwd uit
een rooster bestaande uit positieve ionen die samengehouden worden door een
“vrije elektronenwolk”. De elektronen zijn niet gebonden aan één ion en
bewegen vrij door het rooster, waardoor lading zich gemakkelijk kan verplaatsen
doorheen het materiaal.
Isolatoren hebben atomen met een bijna gevulde schil, die onderling zeer
sterke covalente bindingen vormen. In een isolator zijn er geen vrije
7
Elektrische verschijnselen
ladingsdragers, en bijgevolg is
er geen transport van lading
mogelijk.
Afbeelding 3: De structuur van een
geleider : een rooster van positieve
ionen met vrij bewegende elektronen.
Als er lading verplaatst wordt
doorheen een medium door de
beweging van geladen deeltjes,
dan
spreken
we
van
een
elektrische
stroom
in
dat
materiaal.
Afbeelding 4: De structuur van twee isolatoren (kwarts en
diamant) toont de covalente bindingen tussen de individuele
atomen.
1.3.2
Hoe worden voorwerpen “geladen” ?
Een isolator kan je laden door wrijving. Dit kan elektronen van het ene voorwerp
wegnemen en op een ander voorwerp plaatsen.
Als we een glasstaaf opwrijven met een wollen doek, waar zullen dan elektronen
verdwijnen en waar komen er bij ?
Als we een ebonietstaaf opwrijven met een wollen doek, waar zullen dan
elektronen verdwijnen en waar komen er bij ?
Een metaal kan je laden door ofwel elektronen toe te voegen (dan krijgt het
een negatieve lading) ofwel door elektronen af te nemen (positieve lading).
De lading van een isolator zal lokaal blijven, terwijl in een metaal de lading
verdeeld zal zijn over het hele voorwerp.
Bij een geladen metaal zal de lading zich altijd aan de oppervlakte bevinden.
Kan jij verklaren waarom ?
8
Elektrische verschijnselen
1.4
Elektrische inductie
Twee ladingen oefenen op elkaar een aantrekkende of afstotende kracht uit.
Maar hoe komt het dat een geladen voorwerp ook een kracht uitoefent op een
ongeladen voorwerp, en dat die kracht altijd aantrekkend werkt ? De oorzaak
hiervan is de elektrische inductie (ook wel influentie of polarisatie
genoemd). We bekijken wat er gebeurt als we een isolator en een geleider
naderen met een negatief geladen ebonietstaaf...
1.4.1
Inductie bij een isolator
Naderen
we
een
neutrale isolator (bv.
papiersnipper)
met
een negatief geladen
staaf.
Als
we
op
moleculair
niveau
kijken, zien we dat
door de nabijheid
van de negatieve
lading de moleculen Afbeelding 5: Elektrische inductie op een neutrale
enigszins vervormd papiersnipper.
worden. De negatieve
elektronen
die nog
het meest mobiel zijn, zullen zich proberen verwijderen van de staaf maar raken
niet weg van hun kern, terwijl de positieve kernen ter plaatse blijven. Hierdoor
krijg je aan de kant van de staaf een netto positieve lading, en aan de kant weg
van de staaf een netto negatieve lading. Tussen de netto positieve lading en de
negatieve staaf ontstaat aantrekking, die sterker is dan de afstoting tussen de
staaf en de negatieve kant, die ietsje verder is van de staaf. De papiersnipper
in zijn geheel blijft wel degelijk neutraal !!!
1.4.2
Inductie bij geleiders
Als je een niet
geladen
metalen
voorwerp
(bv.
bolletje
zilverpapier) nadert
met een negatief
geladen
staaf,
verschuift
een
gedeelte van de
vrije elektronen Afbeelding 6: Elektrische inductie op een neutrale geleider.
van het metalen
voorwerp naar de
tegenoverliggende rand. Daardoor heeft de kant die het dichtst bij de staaf ligt
een tekort aan elektronen (en bijgevolg een netto positieve lading). Wat wordt
de netto lading van het gepolariseerd metaal ?
9
Elektrische verschijnselen
1.5
Aarding
We spreken van een “geaard” toestel als het toestel verbonden is met de
aarde door middel van een geleider. Een aarding voorkomt dat er zich lading
gaat opbouwen op het voorwerp, waardoor je een elektrische schok zou kunnen
krijgen als je het aanraakt. Een aarding wordt symbolisch voorgesteld door drie
horizontale streepjes. De kabel naar de aarde in elektrische leidingen is dikwijls
groen-geel gestreept.
Afbeelding 8:
Symbool
aarding
Afbeelding 7: De groen-geel
gestreepte kabels in een
schakelkast zijn de
verbindingen naar de aarde.
De aarde zelf kan beschouwd worden als een reusachtige geleider (=”vat van
vrije elektronen”). Een negatief geladen voorwerp zal door de verbinding
elektronen aan de aarde afstaan en wordt neutraal. Bij aarding van een positief
geladen voorwerp verplaatsen elektronen zich van de aarde naar het voorwerp,
waardoor de positieve lading verdwijnt.
10
Elektrische verschijnselen
1.6
Oefeningen
1. Welke van onderstaande uitspraken is/zijn waar ?
➢
Een neutrale geleider bevat evenveel elektronen als rooster-ionen.
➢
Een neutrale geleider bevat evenveel vrije elektronen als roosterionen.
➢
Een neutrale geleider bevat evenveel elektronen als protonen.
➢
Een neutrale geleider bevat evenveel vrije elektronen als protonen.
➢
Geen van bovenstaande uitspraken is waar.
2. Een elektrisch neutraal voorwerp wordt dikwijls een “ongeladen” voorwerp
genoemd. Het woord “ongeladen” is hier nogal ongelukkig gekozen.
Verklaar.
3. P is een positief geladen isolator. Q is een horizontaal geplaatste, neutrale
geleider. R is een heel licht aluminium bolletje, opgehangen aan een
katoenen draadje, dat rechts contact maakt met de metalen staaf. Teken
de opstelling. Verklaar waarom R zich naar rechts verplaatst als als P links
tegen de metalen staaf gebracht wordt.
4. Doe-het-zelf : Neem een neutrale elektroscoop, en nader die met een
opgewreven ebonietstaaf. Wat neem je waar ? Raak nu de elektroscoop
aan met je vinger, terwijl je de ebonietstaaf nog altijd bij de elektroscoop
houdt (zonder echter deze aan te raken !!!). Wat neem je waar ?
Verwijder nu tegelijkertijd je vinger en de ebonietstaaf. Wat neem je waar
? Is de elektroscoop positief of negatief geladen ? Hoe kan je dit nagaan ?
Geef een verklaring voor de waargenomen fenomenen.
11
De Coulombkracht
2 De Coulombkracht
We weten nu dat er zoiets bestaat als lading, dat lading de oorzaak is van de
elektrische krachtwerking, maar we hebben er nog geen idee van hoe we lading
kunnen meten, noch wat we als eenheid kunnen gebruiken. In dit hoofdstuk
bekijken we hoe we tot een definitie kunnen komen van de eenheid van lading
via een omweg langs de elektrische stroom, en bekijken we de elektro-statische
krachtwerking in detail.
2.1
Elektrische stroom
2.1.1
Spanning
Beschouw twee elektroscopen. We laden één elektroscoop positief, de andere
laten we neutraal. Vervolgens verbinden we beide elektroscopen met een
geleider. Wat neem je waar ?
De uitwijking van de geladen elektroscoop zal
afnemen, terwijl de uitwijking van de ongeladen
zal toenemen, totdat beide uitwijkingen gelijk
zijn. Dan blijft de situatie ongewijzigd.
Indien in A een grotere lading aanwezig
dan in B, en we verbinden A en B met een
geleider, dan zal door de geleider een
elektrische stroom vloeien totdat de lading
in A en B gelijk is. Eens de lading gelijk in A
en B, stopt de stroom.
Indien er een ladingsverschil is tussen A en B,
zeggen we dat er een spanning is tussen A en
B.
Een spanning tussen twee punten A en B is
noodzakelijk wil er een stroom vloeien tussen
die twee punten A en B.
Er is een spanning tussen twee punten A en B
als beide punten een verschillende potentiaal
hebben. Het punt met de grootste positieve
lading heeft de hoogste potentiaal. We komen
later nog uitgebreid terug op het begrip potentiaal.
Afbeelding 9: Bij verbinden van
een geladen en een ongeladen
elektroscoop zal er een stroom
vloeien totdat de lading op
beide elektroscopen even groot
is.
De elektrische stroom stroomt bij conventie altijd van het punt met de
hoogste potentiaal (+) naar het punt met de laagste potentiaal (-).
Welke ladingsdragers zijn verantwoordelijk voor de elektrische stroom ? In
welke richting bewegen zij ? Wat is de het verschil tussen de conventionele
stroomzin en de effectieve stroomzin ?
Een geaard punt heeft altijd potentiaal nul (0).
2.1.2
Spanningsbron
Een stroom tussen twee punten zal altijd proberen het potentiaalverschil tussen
die twee punten weg te werken. Als je een stroom wil onderhouden, moet je er
dus voor zorgen dat je op de één of andere manier ook de spanning constant
12
De Coulombkracht
houdt. Dit kan met een spanningsbron.
Een spanningsbron heeft twee polen, waartussen een potentiaalverschil
heerst. De pool op hoogste potentiaal is de positieve pool (+), de andere de
negatieve pool (-). Door de polen te verbinden vloeit er stroom van (+) naar
(-).
Afbeelding 11: symbool
van een spanningsbron.
Het lange streepje duidt
altijd de positieve pool
aan.
Afbeelding 10: Een
conventionele
batterij is een
spanningsbron in
dagdagelijks gebruik.
Een spanningsbron kan vergeleken worden met een “elektronenpomp”. In een
gesloten kring vloeien de elektronen van de negatieve pool naar de positieve
pool, en ze worden dan door het interne mechanisme (chemisch, mechanisch,
elektronisch, ...) van de bron terug naar de negatieve pool “gepompt”. Hier is
arbeid voor nodig, die geleverd wordt door bvb. chemische of mechanische
processen in de bron. Als de kring gesloten is, wordt de potentiële energie
opgeslagen in de bron omgezet in kinetische energie van de elektronen.
Afbeelding 12: Conventionele
stroomzin versus beweging van
elektronen.
2.1.3
Belasting
De kinetische energie van de elektronen in een gesloten stroomkring kan
gebruikt worden door een elektrisch toestel om arbeid te verrichten, en de
13
De Coulombkracht
kinetische energie van de elektronen om te zetten in licht, warmte, mechanische
arbeid, ... Een aangesloten toestel dat de kinetische energie van de elektronen
omzet naar een andere vorm noemen we een “belasting”.
Hierdoor zal de kinetische energie van de elektronen afnemen. Het toestel vormt
een “weerstand” voor de elektrische stroom.
Een gesloten kring zonder belasting noemen we een kortgesloten kring. De
stromen in een kortgesloten kring kunnen zéér groot worden, zodanig dat het
interne mechanisme van de stroombron niet kan volgen en we spanningsverlies
krijgen.
Afbeelding 13: Links een stroomkring met belasting,
rechts een kortgesloten kring.
2.2
Eenheid van stroomsterkte
We definiëren de stroomsterkte I door een kring
als de hoeveelheid lading Q die per tijdsinterval ∆t
door de kring wordt verplaatst.
I=
Q
t
Het probleem is dat we lading nog niet kunnen
meten, en bijgevolg I ook (nog) niet.
Om I te meten hebben we een goed gedefiniëerde
eenheid nodig. En die eenheid bekomen we door
gebruik te maken van een merkwaardig fenomeen
dat zich afspeelt tussen twee stroomvoerende
geleiders. Beschouw twee evenwijdige geleiders,
waarover we eenzelfde spanning aanleggen. Als we
de stroomkring sluiten, zie je dat beide geleiders
op elkaar een kracht uitoefenen.
En een kracht, dat kennen we en kunnen we
meten ! Dus vertrekkende van dit fenomeen,
kunnen we als volgt de eenheid van elektrische
stroom definiëren, de ampère :
Afbeelding 14: Twee
stroomvoerende geleiders
oefenen een kracht uit op
elkaar.
Eén ampère (symbool A) is de constante
elektrische stroom, die, wanneer deze loopt door twee parallelle geleiders van
oneindige lengte en met een verwaarloosbare diameter, op 1 meter van elkaar
geplaatst in vacuüm, een kracht tussen deze geleiders produceert van 2 × 10 -7
newton per meter lengte.
14
De Coulombkracht
Deze eenheid, is naast de m, s en kg, één van de
standaardeenheden van het SI-stelsel. Zij kan met
andere woorden niet afgeleid worden uit andere
eenheden.
2.3
De Coulombkracht
2.3.1
Eenheid van lading
Uit de definitie van de elektrische stroom en van de
ampère kunnen we nu de eenheid van lading definiëren,
de coulomb.
Afbeelding 15:
André-Marie
Ampère, 1775 - 1836
Eén coulomb is de hoeveelheid lading die door een
stroom van 1A in 1s wordt verplaatst.
1C =1 A⋅1 s
2.3.2
De Coulombkracht
Een puntlading is een bol met verwaarloosbaar kleine
afmetingen waarop een lading wordt aangebracht.
Beschouw twee puntladingen Q1 en Q2 op een afstand
r van elkaar. Elke lading oefent een elektrische kracht
uit op de andere.
Beschouw nu
op Q2.
Voor
Afbeelding 16:
Charles-Augustin de
Coulomb (1736 - 1806)
F1,2 , de kracht uitgeoefend door Q1
F1,2 geldt :
●
het aangrijpingspunt is de lading Q2
●
de richting is de verbindingslijn tussen de
ladingen
●
als beide ladingen hetzelfde teken hebben, is
de zin weg van Q1
●
als beide ladingen hetzelfde teken hebben, is de zin gericht naar Q1.
Voor de grootte van de kracht toonde Coulomb experimenteel aan dat
●
●
●
∣F1,2∣~∣Q 1∣
∣F1,2∣~∣Q 2∣
1
∣F1,2∣~ 2
r
Daaruit volgt dat
In vacuüm is die constante
∣Q ∣⋅∣Q ∣
∣F1,2∣=k⋅ 1 2 2
r
2
9 Nm
k =8,99⋅10
2
C
Hoe groot is dan de kracht die Q2 op Q1 uitoefent ? Hoe is die gericht ?
15
De Coulombkracht
Afbeelding 18: een schets van de
torsiebalans zoals gebruikt door
Coulomb
Afbeelding 17: een replica
van de torsiebalans
16
De Coulombkracht
2.4
Oefeningen
1. Bereken de grootte van de kracht tussen twee tegengesteld geladen
bolletjes als de grootte van beide ladingen 0,50 µC bedraagt, en hun
middelpunten zich op een onderlinge afstand van 3,0 cm bevinden.
2. Bereken de grootte van twee identieke puntladingen opdat ze elkaar op
een onderlinge afstand van 0,50 m met een kracht van 100 N zouden
afstoten.
3. Welke is de grootte van de kracht waarmee twee heliumkernen elkaar
afstoten als ze zich op een afstand van 100.10-15 m van elkaar
bevinden ?
4. We veronderstellen dat in het waterstofatoom het elektron op een
cirkelvormige baan rond de kern draait. Als de straal van deze cirkelbaan
gelijk is aan 5,3.10-11m, bereken dan de grootte van de elektrostatische
kracht, waarmee het proton het elektron aantrekt.
5. Een lading van 3,0 µC bevindt zich op een afstand van 0,25 m van een
lading van 5,0 µC en op een afstand van 0,30 m van een lading van 6,0
µC. Welke kracht ondervindt de lading van 3,0 µC indien de drie ladingen
op een rechte lijn staan ?
6. Twee identieke kleine geladen metalen sferen staan met hun
middelpunten op 0,050 m van elkaar en trekken elkaar aan met een
kracht van 2700 N. We brengen ze met elkaar in contact en brengen ze
vervolgens naar hun oorspronkelijke situatie terug. Nu stoten ze elkaar
met een kracht van 1102.5 N af. Bereken hieruit de oorspronkelijke
ladingen.
7. Twee identieke vliermergbolletjes dragen dezelfde lading en hebben een
massa van 0,100 g. Ze zijn met twee draadjes in een punt a opgehangen.
De lengte van de draadjes is 13,0 cm en de bolletjes zijn in rust wanneer
ze op een afstand van 10,0 cm van elkaar komen. Zoek de lading van elk
bolletje.
8. Twee bolletjes, elk met een massa van 89,9g, worden door middel van
lichte en niet geleidende draden in eenzelfde punt opgehangen. Elk
bolletje draagt een lading van 1,00 µC. De bolletjes blijken in evenwicht
te zijn als ze op een afstand van 0,100 m van elkaar verwijderd zijn.
Bereken de hoek tussen de twee draden.
17
Het elektrisch veld en veldsterkte
3 Het elektrisch veld en veldsterkte
3.1
Het elektrisch veld
De aanwezigheid
eigenschappen :
van
een
lading
geeft
de
ruimte
rondom
specifieke
●
als we een geladen voorwerp in die ruimte plaatsen, dan ondervindt het
een kracht,
●
plaatsen we een ongeladen voorwerp in die ruimte, dan wordt het
gepolariseerd.
Rond een elektrisch geladen voorwerp is er een ruimte waarin andere
voorwerpen een duidelijke (elektrische) invloed ondervinden. Deze ruimte
noemen we het elektrisch veld van het geladen voorwerp.
Het elektrisch veld is de ruimte rond een geladen voorwerp waarin de
elektrische kracht zich laat voelen.
3.2
De elektrische veldsterkte
3.2.1
Definitie
Plaatsen we een lading Q in een punt P van een elektrisch veld, dan zal deze
 ondervinden.
lading een elektrische kracht F
We definiëren nu de elektrische veldsterkte in het punt P als volgt :
De elektrische veldsterkte in een punt P is de vector die de verhouding
geeft van de elektrische kracht op een lading Q in P tot die lading:

F

E=
Q
Die verhouding is onafhankelijk van de lading Q
De eenheid van elektrische veldsterkte is N.C-1.
We onthouden :
–
Het aangrijpingspunt van 
E is het punt P.
–
De grootte van 
E is
–
De richting van
–
De zin van 
E is dezelfde als die van de de Coulombkracht op een positieve
lading in P.
∣
∣F
.
Q

E is die op van de Coulombkracht op de lading Q.
Uit de definitie volgt dat als in een bepaald punt P van de ruimte de elektrische
veldsterkte 
E gegeven is, dat dan de kracht die een puntlading Q zal
ondervinden in dat punt P berekend kan worden door :
 =Q⋅E

F
3.2.2
Veldsterkte rondom een puntlading
Beschouw een puntlading Qb (de bronlading). Deze lading wekt in de omliggende
ruimte een elektrisch veld op. We gaan nu proberen de elektrische veldsterkte te
18
Het elektrisch veld en veldsterkte
bepalen in een punt P van het elektrisch veld opgewekt door een bronlading Qb.
Plaatsen we in het punt P een tweede, positieve, puntlading Qt (de testlading),
dan zal deze een in het punt P een kracht ondervinden
●
met aangrijpingspunt in P
●
waarvan de grootte gegeven wordt door : ∣FC∣=k
∣Qt∣∣Qb∣
afstand is tussen Qb en P,
r2
, waarbij r de
●
met als richting de verbindingslijn tussen Qb en Qt
●
met als zin weg van Qb als Qb positief is, en naar Qb toe als Qb negatief is.
Uit de definitie van de elektrische veldsterkte volgt dan dat de elektrische
veldsterkte opgewekt door Qb in het punt P gegeven wordt door de vector

E , met
●
aangrijpingspunt in P
●
 ∣=k
waarvan de grootte gegeven wordt door : ∣E
afstand is tussen Qb en P,
∣Q b∣
r2
, waarbij r de
●
met als richting de verbindingslijn tussen Qb en P
●
met als zin weg van Qb als Qb positief is, en naar Qb toe als Qb negatief is.
Wat wordt dit voor een negatieve testlading ?
Afbeelding 19: Elektrische veldsterkte en Coulombkracht
bij verschillende configuraties.
Samengevat kunnen we schrijven :
De elektrische veldsterkte opgewekt door een puntlading Q in een punt P op een
afstand r van Q, is gegeven door
19
Het elektrisch veld en veldsterkte
Q

E =k⋅ 2⋅er
r
waarbij er een eenheidsvector is volgens de verbindingslijn Q en P, met zin
van Q naar P.
3.2.3
Elektrisch veld opgewekt door meerdere puntladingen
In dit geval is de veldsterkte in een bepaald punt P de vectorsom van de
veldsterkten opgewekt door de verschillende puntladingen in dit punt.
E1 , E2 , E3 ,... , En de veldsterkten opgewekt door Q1, Q 2, Q 3, ... Q n in het
Zijn
punt P, dan geldt dat de veldsterkte in P gegeven wordt door :

E = E1 E2 E3... En=∑ Ei
3.3
Elektrische veldlijnen
We verbinden een geïsoleerde geleider waaraan verschillende papiersnippers
bevestigd zijn, met de elektriseermachine. Wat merk je ?
We strooien in een oliebad een aantal griesmeelkorrels. We plaatsen in het bad
verschillende elektroden en laden de elektroden met de elektriseermachine. Wat
merk je ?
Afbeelding 22: Elektrische
veldlijnen zichtbaar
gemaakt bij een puntlading.
Afbeelding 20: Elektrische
veldlijnen van een dipool
Afbeelding 21: Elektrische
veldlijnen tussen twee
evenwijdige platen
In een elektrisch veld richten de materiedeeltjes zich volgens bepaalde
richtingen, elektrische veldlijnen genoemd.
Een elektrische veldlijn is een lijn waarvan in elk van haar punten de
richting van de raaklijn overeenstemt met de richting van de elektrische
veldsterkte.
Afbeelding 23: De elektrische veldsterkte is rakend in elk
punt van de veldlijn.
20
Het elektrisch veld en veldsterkte
De zin van een elektrische veldlijn is
steeds van positieve lading weg naar
negatieve toe (verklaar !).
Door elk punt van het veld gaat slechts
één veldlijn. Waren er twee, dan zou de
veldsterkte in dit punt twee verschillende
richtingen tegelijk kunnen aannemen, wat
natuurlijk onmogelijk is.
Veldlijnen kunnen elkaar alleen kruisen,
daar waar zich een lading bevindt.
Veldlijnen
hebben
bovendien
de
eigenschap dat ze steeds loodrecht op
geleidende oppervlakken staan.
De verzameling van alle veldlijnen
noemen we het elektrisch spectrum.
Hoe groter de dichtheid van de veldlijnen,
hoe sterker het elektrisch veld.
3.4 Onderzoek van een aantal
veldconfiguraties
3.4.1
Afbeelding 24: Bij contact met een
elektriseermachine richt het haar zich
volgens de elektrische veldlijnen.
Elektrisch veld van een puntlading
We hebben hierboven de elektrische veldsterkte van een veld opgewekt door
een puntlading al afgeleid, maar het is interessant om het elektrisch spectrum te
bekijken.
We zien dat de veldlijnen recht zijn en samenkomen in de puntlading. Een
dergelijk veld noemen we een radiaal veld. De zin van de veldlijnen is
afhankelijk of de lading positief is (naar buiten toe) of negatief (naar de lading
toe).
Afbeelding 25: eldlijnen in geval van een positieve puntlading (links) en een
negatieve puntlading (rechts)
21
Het elektrisch veld en veldsterkte
3.4.2
Homogene velden
Beschouw twee evenwijdige geladen geleiders
die een even grote maar tegengestelde lading
dragen (+Q en -Q). Als we de randen buiten
beschouwing laten, lopen de veldlijnen tussen
de geleiders evenwijdig en op regelmatige
afstand van elkaar. Het veld is overal even
sterk. We spreken van een homogeen veld.
3.4.3 Veldsterkte binnen in een neutrale
geleider
Afbeelding 26: Homogeen veld
tussen twee evenwijdige,
tegengesteld geladen geleiders.
Beschouw een neutrale geleider. We
plaatsen deze geleider in een homogeen
elektrisch veld. Hierdoor wordt een kracht
uitgeoefend op de vrije elektronen, die zich
zullen verplaatsen tegen het veld in, en zich zullen verzamelen aan één kant
van de geleider. Aan één kant van de geleider is nu een overschot aan
negatieve lading (-), terwijl aan de andere kant een tekort is aan negatieve
lading (+). Hierdoor zal er binnen de geleider een nieuw elektrisch veld
vormen, die het oorspronkelijke zal tegenwerken, waardoor de netto elektrische
veldsterkte binnen de geleider
steeds nul zal zijn.
Dit effect kan gebruikt worden
om een ruimte af te schermen
van een elektrisch veld
door
gebruik te maken van een holle
geleider. Plaatsen we zo'n holle
geleider in een extern elektrisch
veld, dan zal er een kracht
inwerken
op
de
vrije
Afbeelding 27: Principe van de kooi van
ladingsdragers van de geleider,
Faraday. Het veld veroorzaakt een scheiding
en zal er een stroom ontstaan.
van lading, wat op zijn beurt een veld
Hierdoor
verschuiven
de
veroorzaakt dat het oorspronkelijke veld zal
ladingsdragers van plaats, tot ze
opheffen. Binnen in de geleider zal geen netto
een positie hebben waardoor hun
veld aanwezig zijn.
eigen veld het externe veld
opheft, en de stroom stopt. Op
dezelfde
manier
wordt
het
elektrisch veld van een eventuele lading binnen de holle geleider geblokkeerd
naar buiten toe. Dit principe staat bekend als de kooi van Faraday. Dit principe
wordt gebruikt bij bliksemafleiders en is de oorzaak dat je de GSM niet kan
gebruiken in een (volledige) metalen lift.
3.4.4
Radiaal veld van een bolvormige geleider
Breng je een lading Q aan op een bolvormige (holle of massieve) geleider
met straal R, dan verspreidt de lading zich over het oppervlak.
22
Het elektrisch veld en veldsterkte
De
veldlijnen
vertrekken
loodrecht
op
het
boloppervlak en vormen een radiaal veld buiten de
bol.
Binnen in de geleider zijn er geen veldlijnen; de
veldsterkte is er nul.
3.4.5 Elektrisch veld in en rond een geladen
geleider in evenwicht
We kunnen het bovenstaande veralgemenen tot
geladen geleiders van eender welke vorm...
Afbeelding 28: Veldlijnen in
geval van een positief
geladen sfeer. In het
binnenste van de sfeer is de
veldsterkte nul (geen
veldlijnen).
de geleider;
3.4.6
Indien er binnen in een geleider geen netto
ladingsverplaatsing is (met andere woorden geen
stroom vloeit door de geleider), dan is de geleider in
elektrostatisch evenwicht.
Een geleider in elektrostatisch
volgende eigenschappen :
●
evenwicht
heeft
het elektrisch veld is nul overal binnen in
●
niet gecompenseerde lading op een geïsoleerde geleider bevindt
zich steeds aan het oppervlak;
●
het elektrisch veld aan het oppervlak van een geleider staat
steeds loodrecht op het oppervlak;
●
het veld is het sterktst daar waar de kromming van het oppervlak
het sterkts is (spitseffect).
Dipoolveld
Brengen we twee even grote, maar tegengestelde ladingen op een kleine
afstand van elkaar. Het lijnenbeeld vormt een dipoolveld. Tussen de twee
tegengestelde ladingen is het veld sterk: de lijnen liggen dicht bij elkaar.
Brengen we twee even grote puntladingen met hetzelfde teken dicht bij elkaar,
dan verschilt het lijnenbeeld grondig: in het midden tussen de twee gelijke
ladingen is het veld vrijwel nul.
Afbeelding 29: De veldlijnen in de omgeving van twee even
grote bronladingen. In de figuur links hebben beide ladingen
hetzelfde teken, in de figuur rechts een tegengesteld teken.
23
Het elektrisch veld en veldsterkte
3.5
Oefeningen
1. Bepaal de grootte van de veldsterkte in een punt op 30,0 cm van een
puntvormige lading van 5,0.10-9 C. Bepaald de kracht, die een lading van
4,0.10-4 C in dat punt vanwege het veld ondervindt.
2. Gegeven een puntlading van 2,0.10-7 C en een van -5,0.10-8 C op een
afstand van 10,0 cm van elkaar verwijderd. Zoek de veldsterkte in het
midden van de verbindingslijn van beide ladingen. Bepaal ook de kracht
die een lading van 4,0.10-8 C in dat punt ondervindt.
3. Twee ladingen, respectievelijk 10,0.10-10 C en 160.10-10 C groot, staan op
68 cm van elkaar. Bepaal het punt op de verbindingslijn van beide
puntladingen waarvan de grootte van de veldsterkte 0 N/C is.
4. Een bolvormige geleider met een straal van 7,0 cm draagt een lading van
16 µC. Bereken:
a) De grootte van de veldsterkte in een punt op de bol;
b) De grootte van de veldsterkte in een punt p op 12,0 cm van het
middelpunt van de bol;
c) De grootte van de kracht die een lading van 5,0 µC in het punt p
ondervindt;
d) De grootte van de veldsterkte in een punt op 6,5 cm van het
middelpunt van de bol.
24
Elektrische potentiaal
4 Elektrische potentiaal
4.1
Potentiaal in het veld van een puntlading
4.1.1
Arbeid verricht door Coulombkracht
Als een lading Q zich verplaatst in het elektrisch veld opgewekt door een
bronlading Qb, wordt op Q door de Coulombkracht arbeid verricht. We
kunnen nu aantonen dat de arbeid verricht door de Coulombkracht op de lading
Q enkel afhankelijk is van het beginpunt en het eindpunt van de
verplaatsing, en onafhankelijk van de gevolgde weg.
De Coulombkracht is met andere woorden een conservatieve kracht. We
tonen dit aan als volgt :
De Coulombkracht is geen constante kracht. Om de arbeid te berekenen
verricht door de Coulombkracht bij een verplaatsing van punt a naar punt b
gaan we als volgt te werk :
Veronderstel dat punt A bepaald wordt door de plaatsvector r1 , en punt B door
de plaatsvector r2 . Verder veronderstellen we dat Qb, a en b op één lijn liggen.
Verplaatsen we nu een lading Q van A naar B. We delen de verplaatsing r2− r1
r zodat binnen
op in n zeer kleine, even grote plaatsveranderingen  
elk stukje de Coulombkracht als constant mag beschouwd worden.
Afbeelding 30: Verplaatsing van lading Q in het veld van Q'.
Dit betekent dat het voor het punt C, ergens tussen A en B, gelegen op een
afstand r van Qb, praktisch geen verschil uitmaakt of wij de grootte van de
Coulombkracht inwerkende op Q in C aangeven door
k⋅Q⋅Q b
r2
,
of door
k⋅Q⋅Qb
r  r 2
,
of door de tussenliggende waarde
k⋅Q⋅Qb
.
r⋅r r 
De arbeid  W , verricht bij een verplaatsing  r , is bijgevolg:
 W = F c⋅ r
k⋅Q⋅Q b⋅ r
W =
r⋅r  r 
25
Elektrische potentiaal
aangezien
r
1
1
= −
r⋅r  r  r r  r
is
1
1
 W =k⋅Q⋅Q b⋅ −

r r  r
r2− r1 opgedeeld in n kleine verplaatsingen  r .
r of r 2=r 1n⋅ r waarbij n een zeer groot getal
Dit betekent dat r2= r1n⋅ 
We hebben
is.
De afstand van de lading Qb tot het begin van het eerste stukje is dan
r1 .
De afstand van de lading Qb tot het begin van het tweede stukje is dan
r 1 r .
De afstand van de lading Qb tot het begin van het derde stukje is dan
r 12  r .
De afstand van de lading Qb tot het begin van het i-e stukje is dan
r 1i−1 r .
De afstand van de lading Qb tot het begin van het n-e stukje is dan
r 1 n−1 r .
De arbeid verricht door de Coulombkracht als de lading Q wordt verplaatst langs
het i-e stukje is dan :
 W =k⋅Q⋅Q b 
1
1
−

r 1i−1 r r 1i  r
De totale arbeid bij verplaatsing van a naar b wordt gegeven door
W =∑  W
W =k⋅Q⋅Qb
1
1
1
1
1
1
1
1
 −

−

−
...
−

r 1 r 1 r
r 1 r r 12  r
r 12 r r 13 r
r 1 n−1 r r 1n  r
Alle termen tussen de haken vallen weg, alleen de eerste en de laatste blijven
over, zodat :
W =k⋅Q⋅Qb⋅
1 1
− 
r1 r 2
Men kan aantonen dat dit resultaat eveneens geldig is als Q b, A en B niet op één
lijn liggen. (hoe ? Doe dit als oefening...)
De geleverde arbeid wordt dus enkel bepaald door de afstand van het beginpunt
tot de bronlading, en de afstand van het eindpunt tot de bronlading, en de
gevolgde weg speelt geen rol.
De Coulombkracht is bijgevolg een conservatieve kracht.
4.1.2
Potentiële energie in het veld van een puntlading
Zoals gezien in de cursus mechanica, verkrijgt een voorwerp waarop een
conservatieve kracht inwerkt, potentiële energie.
De potentiële energie van een voorwerp in positie P ten opzichte van een
referentiepunt O, is bij definitie de arbeid verricht door de conservatieve kracht
26
Elektrische potentiaal
bij verplaatsing van het voorwerp van P naar het referentiepunt.
We gaan nu de potentiële energie bepalen van een lading Q, in een punt P op
een afstand r van een bronlading Qb.
Als referentiepunt nemen we een punt O op een oneindige afstand van de
bronlading Qb. De arbeid geleverd door de Coulombkracht bij verplaatsing van P
naar O wordt dan :
1 1
W =k⋅Qb⋅Q⋅ − ∞ 
r
Qb⋅Q
W =k
r
De potentiële energie van een lading Q, in het veld van een bronlading
Qb op een afstand r van Qb, is bijgevolg gegeven door :
Q b⋅Q
r
E p =k
Zijn er meerdere bronladingen in de ruimte, dan levert elke bronlading zijn
bijdrage in de potentiële energie :
E p =E p ,1 E p ,2 E p ,3 ...
Q ⋅Q
Q ⋅Q
Q ⋅Q
E p =k 1 k 2 k 3 ...
r1
r2
r3
4.1.3
Elektrische potentiaal
Beschouw een punt P in het veld van een bronlading Qb, op een afstand r van
Qb. Plaatsen we een lading Q in het punt P, dan verkrijgt de lading Q een
potentiële energie gegeven door :
E p =k
Qb
⋅Q
r
De grootheid
k⋅Qb
hangt niet af van de lading Q, maar enkel van de plaats in
r
het elektrisch veld en van Q'. Deze grootheid noemen we de potentiaal V in het
beschouwde punt.
De elektrische potentiaal V in een punt P is de scalair die de verhouding
geeft van de potentiële energie van een lading Q in dat punt P tot die
lading Q.
V=
Ep
Q
Die verhouding is onafhankelijk van de lading Q.
De eenheid van elektrische potentiaal is de Volt (1 V = 1 JC-1).
In een radiaal veld opgewekt door een puntlading Q is de potentiaal op een
afstand r van Q gegeven door :
V=
k⋅Q
r
Zijn er meerdere ladingen in de ruimte, dan kan de potentiaal in een punt P
geschreven worden als de som van de potentialen opgewekt door de individuele
ladingen :
27
Elektrische potentiaal
V =V 1V 2...V n
k⋅Q 1 k⋅Q 2
k⋅Q n
V=

...
r1
r2
rn
Afbeelding 31: Vergelijking tussen grootte van elektrische veldsterkte en elektrische
potentiaal rond een positieve puntlading (links) en een negatieve puntlading (rechts)
4.1.4
Arbeid verricht bij verplaatsing in een elektrisch veld
Verplaatsen we lading Q in een elektrisch veld van een punt A naar een punt B,
dan wordt de arbeid geleverd door de Coulombkracht gegeven door :
W =E p , A−E p , B
W =Q⋅V A−Q⋅V B
W =Q⋅V A −V B 
Het potentiaalverschil tussen twee punten wordt ook de spanning genoemd.
4.2
Equipotentiaaloppervlakken
Elk punt in een elektrisch veld heeft een potentiaal.
Een equipotentiaaloppervlak is een verzameling punten met dezelfde
potentiaal.
In een ruimte met één puntlading,
concentrische sferen rond de puntlading.
zijn
de
equipotentiaaloppervlakken
28
Elektrische potentiaal
Afbeelding 32: Equipotentiaaloppervlakken
(stippellijnen) en veldlijnen rond een positieve en
een negatieve puntlading.
Het oppervlak van een geleider is altijd een equipotentiaaloppervlak.
(verklaar !)
4.3
Potentiaal in en rond een bolvormige geleider
Bekijken we de potentiaal in het veld
opgewekt door een bolvormige geleider,
dan moeten we onderscheid maken
tussen twee gebieden :
●
Buiten de bol is de situatie dezelfde
als mocht de gehele lading Q
geconcentreerd zijn in één punt. De
potentiaal op een afstand r van het
middelpunt van de bol met lading Q
wordt gegeven door :
V =k
●
Afbeelding 33: Veldsterkte en
potentiaal in en rond een bolvormige
geleider.
Q
r
Binnen in de bol is er geen elektrisch
veld. Om een lading in de bol te
verplaatsen moet je geen arbeid
leveren. Het potentiaalverschil tussen
punten gelegen binnen de bol is
bijgevolg nul. Alle punten in de bol
hebben dezelfde potentiaal als de
punten aan het oppervlak van de bol,
gegeven door :
V =k
Q
R
Bovenstaande figuur geeft zowel de grootte van de elektrische veldsterkte als de
elektrische potentiaal weer in- en rond een geladen bolvormige geleider.
(hoe lopen de equipotentiaaloppervlakken in en rond een bolvormige geleider ?)
29
Elektrische potentiaal
4.4
Potentiaal in een homogeen veld
4.4.1
Verband tussen potentiaalverschil en veldsterkte
Beschouw twee vlakke platen met oppervlakte A waartussen de afstand d is. We
brengen op de platen twee gelijke, tegengestelde ladingen +Q en -Q.
Hierdoor ontstaat tussen de
potentiaalverschil V a – V b .
platen
een
homogeen
veld 
E en
een
De arbeid verricht door de Coulombkracht als een positieve lading Q' van plaat a
naar plaat b wordt overgebracht, wordt gegeven door :
W =F⋅d
W =Q '⋅∥ 
E∥⋅d
Deze arbeid is ook gelijk aan
W =Q '⋅V a −V b 
Uit bovenstaande volgt
 ∥⋅d =Q '⋅V a−V b 
Q '⋅∥E
V −V b
E= a
d
uit bovenstaande formule blijkt dat de grootte van de elektrische veldsterkte ook
kan uitgedrukt worden in Vm-1 in plaats van NC-1.
4.4.2
Potentiaal in een homogeen veld
Beschouwen we nu een punt P tussen de twee
platen, op een afstand x van de negatieve plaat.
De arbeid om een lading Q' te verplaatsen van P
naar de negatieve plaat wordt dan :
W =Q '⋅∥ 
E∥⋅x
Deze arbeid kan ook berekend worden door :
W =Q '⋅V −V b 
met V de potentiaal in het punt P.
Hieruit volgt dat het potentiaalverschil tussen de
negatieve plaat en een punt op afstand x van de
negatieve plaat gegeven wordt door :
V −V b=∥ 
E∥⋅x
Afbeelding 34: veldlijnen en
equipotentiaaloppervlakken
van een homogeen veld.
Hieronder staat zowel de grootte van het
elektrisch veld als van de elektrische potentiaal in
een homogeen veld in functie van de positie tussen de platen.
De equipotentiaaloppervlakken zijn vlakken evenwijdig met de platen. In een
homogeen veld staan de equipotentiaaloppervlakken loodrecht op de veldlijnen.
30
Elektrische potentiaal
Afbeelding 35: Veldsterkte van een
homogeen veld.
Afbeelding 36: Potentiaalverloop in
homogeen veld.
31
Elektrische potentiaal
4.5
Oefeningen
1. Hoe groot is de arbeid die geleverd moet worden om een lading Q te
verplaatsen tussen twee punten op éénzelfde equipotentiaaloppervlak ? Is
de gevolgde weg hier van belang ?
2. Een elektron bevindt zich in rust in een elektrisch veld. Als men dat
elektron niet vasthoudt op die plaats, zal het zich dan spontaan
verplaatsen in de richting van toenemende of afnemende potentiaal ? Wat
gebeurt er met een positieve testlading in dezelfde situatie ? Hoe
verandert in beide gevallen de potentiële energie van beide ladingen ?
Wat is er met die potentiële energie gebeurt ?
3. Hoeveel arbeid moet er geleverd worden op een lading van 5,0.10 -8 C te
verplaatsen van een punt met potentiaal van 150 V naar een punt met
potentiaal 40V ?
4. Men moet een arbeid van 0,60 J verrichten om een lading van 10,0 mC in
het elektrisch veld tussen twee punten te verplaatsen. Bereken het
potentiaalverschil tussen beide punten.
5. Vier puntladingen bevinden zich op de hoekpunten van een vierkant met
een zijde van 0,10 m. Hierbij is (in wijzerzin) Q1 = 2,0 µC, Q2 = 2,0 µC
en Q3 = - 4,0 µC. Opdat de potentiaal in het middelpunt van het vierkant
nul volt zou bedragen, moet Q4 gelijk zijn aan:
a) – 4,0 µC;
b) + 4,0 µC;
c) – 2,0 µC;
d) 0,0 µC;
6. Twee puntladingen, respectievelijk met een waarde van +10,0 nC en
+28.8 nC staan 130 mm van elkaar. Men beschouwt een punt P
respectievelijk op 50 mm van het eerste, en op 120 mm van de tweede
lading.
○
Maak een schets van de opstelling.
○
Teken de resulterende veldsterkte in het beschouwde punt P en
bereken haar grootte.
○
Bereken de potentiaal in het punt P.
32
Gelijkstroomkringen
5 Gelijkstroomkringen
5.1
Weerstand
5.1.1
Spanning
Als in een punt a de elektrische potentiaal gegeven wordt
door Va, en in een punt b door Vb, dan wordt bij definitie
de elektrische spanning over a en b gegeven door het
potentiaalverschil tussen a en b.
De spanning U over 2 punten op verschillende
potentiaal, is het verschil in potentiaal.
U ab=V a−V b
De eenheid van spanning is dezelfde als deze van
potentiaal: de Volt (V).
Afbeelding 37:
Voltmeter
Een spanning in een stroomkring wordt onderhouden door
een spanningsbron.
Het punt op de hoogste potentiaal wordt de positieve pool genoemd (+),
het punt op de laagste potentiaal de negatieve pool (-).
Een
spanningsbron
kan
gelijkspanning (DC) leveren
of
wisselspanning
(AC).
Gelijkspanning
blijft
constant in de tijd, terwijl
wisselspanning periodiek zal
variëren. In dit gedeelte
beperken
we
ons
tot
gelijkspanning, wisselspanningskringen
komen
volgend jaar nog uitgebreid
aan bod.
Afbeelding 38: Een voltmeter schakel je
parallel over het element waarover je de
spanning wilt meten.
Spanning meten we met
een voltmeter. Als we de
spanning willen meten over een bepaald elektrisch element, schakelen we de
voltmeter parallel (naast elkaar) aan het elektrisch element.
5.1.2
Stroom
Plaatsen we een spanning over een geleider, dan veroorzaakt die spanning
een elektrische stroom door de geleider.
De elektrische stroomsterkte werd gedefinieerd als de hoeveelheid lading die per
tijdseenheid doorheen de geleider wordt getransporteerd.
I=
Q
t
De eenheid van elektrische stroomsterkte was de ampère (A)
Stroom meten we met een ampère-meter. Als we de stroom willen meten door
33
Gelijkstroomkringen
een geleider, schakelen we de ampère-meter in serie (achter elkaar) met de
geleider.
Afbeelding 40: Een ampèremeter schakel je in serie
met het element waardoor je de stroom wil meten.
Afbeelding 39: Ampèremeter
5.1.3
Definitie weerstand
We definiëren de weerstand R van een element als de verhouding
tussen de spanning over het element en de stroom door het element.
R=
U
I
De weerstand is positief
De eenheid van weerstand is de Ohm (Ω)
1=1
V
A
De weerstand van een component is een grootheid die aangeeft in welke mate
de vrije elektronen energie verliezen bij doorgang door die component.
In een component met lage weerstand kunnen de vrije elektronen zich
gemakkelijk verplaatsen en gaat er in eenzelfde tijd meer lading door de
component dan in een component met hoge weerstand, waarin de elektronen
zich minder makkelijk kunnen verplaatsen omdat ze meer botsen (en kinetische
energie verliezen) met de roosterionen.
De weerstand van een element kan afhankelijk zijn van zeer vele factoren :
5.1.4
●
de spanning over het element;
●
de stroom door het element;
●
de temperatuur;
●
invallend licht;
●
...
Weerstand van meettoestellen
Om de stroom in een elektrische kring te meten, moet een ampèremeter deel
uitmaken van de kring (in serie geschakeld zijn) waardoor je de stroom wil
meten. Als de ampèremeter zelf een weerstand heeft, beïnvloedt die de stroom
in de kring en is de meting niet betrouwbaar. De ideale ampéremeter mag
bijgevolg geen weerstand hebben. In de praktijk heeft de weerstand een
grootte-orde van ongeveer 0,01 Ω.
Om de spanning te meten over een element van de elektrische schakeling plaats
34
Gelijkstroomkringen
je een voltmeter parallel over dat element. Zo maak je een zijtak, waar stroom
door kan lopen als de weerstand van de voltmeter niet groot genoeg is. Door
stroom af te takken, beïnvloed je de spanning over het element, en is de meting
niet betrouwbaar. De ideale voltmeter heeft bijgevolg een oneindig grote
weerstand. In de praktijk heeft de weerstand een grootte-orde van ongeveer
10 MΩ.
Het is van cruciaal belang dat je het meettoestel correct schakelt. Immers,
5.2
●
er loopt geen stroom door de schakeling als je een voltmeter in serie zou
plaatsen;
●
als je een ampéremeter parallel plaatst over een component, maak je een
kortsluiting.
Wet van Ohm
In 1827 publiceerde de Duitse fysicus Georg Ohm de
resultaten van verschillende metingen waar hij de
stroom door een groot aantal typen geleidende
materialen bepaalde in functie van de spanning over de
uiteinden van de geleider.
Hij vond dat, bij constante temperatuur, de stroom
door de geleider recht evenredig was met de
spanning over de geleider :
U =R⋅I
Met andere woorden, de weerstand van dergelijk
materiaal (ook wel Ohmse weerstanden of
kortweg weerstanden genoemd) is constant bij
gegeven temperatuur.
Voorbeelden van Ohmse weerstanden zijn :
●
koper;
●
aluminium;
●
ijzer;
●
...
Afbeelding 41:
Verschillende
weerstanden.
Het symbool voor een Ohmse weerstand in een elektronisch schema is hieronder
weergegeven.
Afbeelding 42: Een aantal
verschillende types Ohmse
weerstanden.
Afbeelding 43: Gebruikte symbolen
voor Ohmse weerstanden. In deze
cursus zullen wij consequent gebruik
maken van het bovenste symbool.
35
Gelijkstroomkringen
5.3
Schakelen van weerstanden
5.3.1
Serieschakeling
Schakel je twee weerstanden achter elkaar, dan ontstaat er een serieschakeling.
Afbeelding 44: Twee weerstanden in
serie geschakeld.
a
Stroom en spanning over een serieschakeling
Beschouw twee weerstanden R1 en R2 in serie geschakeld. Over beide
weerstanden plaatsen we een bron met spanning Ub. Als je met een
ampèremeter de stroom I meet voor R1, tussen R1 en R2, en na R2, zie je dat de
stroom overal gelijk is.
Meten we met een voltmeter de spanning
UR1 over R1 en de spanning UR2 over R2,
dan zien we dat de som van beiden gelijk
is aan de bronspanning.
U R1U R2=U b
Dat geldt ook als meer dan twee
weerstanden in serie geschakeld zijn.
Samengevat
In
een
serieschakeling
is
de
stroomsterkte I in elk punt hetzelfde.
de
I 1 =I 2 =I 3=...=I
Afbeelding 45: Meten van stromen en
spanningen in serieschakeling.
In een serieschakeling wordt de spanning
verdeeld over de weerstanden :
U b=U R1U R2U R3...
b
Substitutieweerstand
Twee weerstanden R1 en R2 zijn in serie aangesloten over een bron met spanning
Ub.
Beide weerstanden kan je vervangen door één weerstand, die aangesloten op
dezelfde bron, dezelfde stroom I levert. We noemen die weerstand de
substitutieweerstand of de vervangingsweerstand Rs.
We zoeken de waarde voor een serieschakeling van weerstanden. In de
schakeling geldt :
36
Gelijkstroomkringen
U b =U R1U R2
U b=R1⋅I R 2⋅I
U b= R1R 2⋅I
U b=R s⋅I
Dit geldt ook als meer dan 2 weerstanden in serie zijn geschakeld.
De substitutieweerstand Rs van weerstanden R1, R2, R3, ... in serie is gelijk aan
de som van de weerstanden :
R s=R1R 2R3...
c
Spanningsdeler
Als je over een bron beschikt van bvb. 12 V, waarmee je een lampje wil doen
branden waarover maximaal 9 V mag geschakeld worden, dan kan je dit
oplossen met een spanningsdeler.
Een spanningsdeler is niks anders dan 2 in serie geschakelde weerstanden. De
spanning van de bron zal zich verdelen over beide weerstanden, en van die
lagere spanningen kan je gebruik maken. Dit is een techniek die courant wordt
toegepast in elektronische schakelingen.
Beschouw twee weerstanden
spanningsbron Ub.
R1
en
R2
in
serie
geschakeld
over
een
Uit de wet van Ohm volgt:
U R1=R1⋅I
U R2= R2⋅I
waaruit :
U R1 R1
=
U R2 R 2
Over de grootste weerstand ontstaat de grootste
spanning.
Volgens de wetten van serieschakeling geldt :
U b=U R1U R2
U b=R1 I R 2 I
1
I=
⋅U
 R1R 2 b
Waaruit
R1
⋅U
R 1 R 2 b
R2
U R2= R2⋅I =
⋅U
R1R2 b
U R1=R1⋅I =
De spanning over elke weerstand ligt tussen 0 V en
de waarde van Ub. Ze is afhankelijk van de waarde
van R1 en R2.
Deze techniek wordt ook toegepast in de zgn.
potentiometer-schakeling. In deze schakeling wordt
een
regelbare
weerstand
over
een
vaste
spanningsbron geschakeld om zo een regelbare
spanningsbron te verkrijgen. Probeer zelf te
Afbeelding 46: Een
regelbare weerstand als
regelbare spanningsbron
(potentiometerschakeling)
37
Gelijkstroomkringen
verklaren hoe deze schakeling werkt...
Welke twee weerstanden zou je kunnen gebruiken om het in het begin van deze
paragraaf aangehaalde probleem op te lossen ?
5.3.2
a
Parallelschakeling
Stroom en spanning in een parallelschakeling
Schakel je twee weerstanden naast elkaar, dan
ontstaat er een parallelschakeling.
Een knooppunt is een punt waar meerdere
stromen samenkomen. Op bovenstaande figuur
zijn er twee knooppunten, aangeduid met 1 en 2.
Een tak is een deel van de schakeling tussen twee
opeenvolgende knooppunten.
De takken die de bron verbinden
schakeling worden hoofdtak genoemd.
met
de
Als we in bovenstaande schakeling de stroom I
meten die vloeit door de hoofdtak (waar plaats je
de ampèremeter ?), en vervolgens de stroom I1
die vloeit door R1 en de stroom I2 die vloeit door
R2 (waar plaats je de ampèremeters ? ), dan stel
je vast dat :
I =I 1 I 2
Afbeelding 47: Twee
weerstanden parallel
geschakeld.
Als je de spanning UR1 en UR2 meet over resp. R1
en R2 (waar plaats je de voltmeters ?) , en
vervolgens de spanning U tussen knooppunt 1 en 2, dan stel je vast dat
U =U R1=U R2
In bovenstaande schakeling is U = Ub.
Samengevat :
In een parallelschakeling is de spanning U over elke tak gelijk.
U R1=U R2=...=U =U b
In een parallelschakeling is de stroom verdeeld over de weerstanden.
I =I 1 I 2...
b
Substitutieweerstand
Twee weerstanden R1 en R2 zijn parallel aangesloten over een bron met spanning
Ub, zoals hieronder getekend.
Beide weerstanden kan je ook nu weer vervangen door één weerstand, die
aangesloten
op
dezelfde
bron,
dezelfde
stroom
I
levert,
de
substitutieweerstand of de vervangingsweerstand Rs genoemd.
Uit de wet van Ohm volgt :
Ub
R1
U
I 2= b
R2
I 1=
38
Gelijkstroomkringen
Hieruit :
I =I 1I 2
Ub Ub
I= 
R1 R2
1
1
I =  ⋅U b
R1 R2
1
I = ⋅U b
Rs
Afbeelding 48: Weerstanden
in parallel met stromen door
alle takken.
Dit geldt ook als er meerdere weerstanden in serie
zijn geschakeld.
De substitutieweerstand Rs van een reeks parallel
geschakelde weerstanden R1, R2, ... , Rn bereken je met de formule :
1
1
1
1
=  ...
Rs R1 R 2
Rn
De substitutieweerstand is altijd kleiner dan de kleinste weerstand.
c
Stroomdeler
5.3.3
Gemengde schakelingen
In de praktijk worden we meestal geconfronteerd met een combinatie van serieen parallelschakelingen. Het komt er dan op aan om :
●
de substitutieweerstand Rs te bepalen van de hele schakeling;
●
de spanning over elke weerstand te berekenen;
●
de stroom door elke tak te berekenen.
Dit kan je doen met onderstaande methode :
Zoek de substitutieweerstand van de gemengde schakeling.
●
Duid alle knooppunten aan op de figuur van de schakeling.
●
Vervang in elke tak weerstanden die in serie staan door hun
substitutie-weerstand. Herteken de vereenvoudigde schakeling.
●
Vervang parallelle weerstanden door hun substitutie-weerstand.
Herteken de vereenvoudigde schakeling.
●
Herhaal deze stappen tot je de hele schakeling hebt herleid tot een
schakeling met één enkele substitutie-weerstand.
Bereken de stroom door de hoofdtak door de wet van Ohm toe te
passen.
Bereken de stroom in elke tak en de spanning over elke weerstand door
de wet van Ohm toe te passen voor de verschillende takken in de
gepaste schakeling.
●
●
●
Werk van de vereenvoudigde schakeling in stappen terug naar de oorspronkelijke
schakeling.
Bepaal met de wet van Ohm de spanningen over weerstanden in serie in de
vereenvoudigde schakelingen.
Bepaal dan de stroom door de verschillende takken.
39
Gelijkstroomkringen
●
Herhaal dit tot je de stroom hebt door alle takken en de spanning over
alle weerstanden.
a
Uitgewerkt voorbeeld
Beschouw
4
weerstanden
geschakeld zoals in nevenstaand
schema.
●
Bereken de substitutieweerstand van de hele
schakeling.
●
Bereken de stroom door
elke weerstand.
●
Bereken de spanning over
elke weerstand.
Er
zijn
twee
knooppunten,
aangeduid met A en B.
Afbeelding 49: Opgegeven schakeling
In de bovenste tak tussen A en B
staan twee weerstanden in serie
geschakeld. We berekenen de
substitutieweerstand.
RS1=R 1R2=400 600 =1000 
We passen de schakeling een eerste maal aan, en vervangen de serieschakeling
van R1 en R2 door de substitutie-weerstand :
Afbeelding 50: Serieschakeling tussen A en B
is vervangen.
Tussen A en B staat nu een parallelschakeling van twee weerstanden. We
berekenen de substitutie-weerstand :
1
1
1
1
1
1
=
 =

=
Rs2 Rs1 R3 1000  250  200 
We passen weer de figuur aan, en vervangen de parallelschakeling van RS1 en R3
door de substitutie-weerstand.
Rs2 en R4 zijn in serie geschakeld:
40
Gelijkstroomkringen
Afbeelding 51: Vervanging
van parallelschakeling door
substitutieweerstand
R s=R s2R4=200 600 =800 
We passen de figuur weer aan :
Afbeelding 52: Vervanging
van serieschakeling door
substitutie-weerstand
Met behulp van de wet van Ohm berekenen we de stroom door de hoofdtak :
I=
U b 25V
=
=31,25 mA
R s 800 
Nu werken we in stappen terug tot de oorspronkelijke schakeling:
U R4 =R4⋅I =600 ⋅31,25 mA=18,75 V
R4 en RS2 staan in serie over de bron, dus er geldt :
U R4U Rs2 =U b
U Rs2 =U b−U R4=6,25 V
Dit hadden we analoog kunnen vinden door :
U Rs2 =R s2⋅I =200 ⋅31,25 mA=6,25V
R3 en Rs1 staan parallel, dus geldt er:
U Rs2 =U Rs1=U R3=6,25 V
Hiermee kunnen we de stroom door beide takken tussen A en B berekenen. Zij
I1 de stroom door de bovenste en I2 de stroom door de onderste tak :
41
Gelijkstroomkringen
U Rs1 6,25 V
=
=6,25 mA
Rs1 1000
U R3 6,25V
I 2=
=
=25 mA
R 3 250 
I 1=
Reken na dat I =I 1 I 2 !
Tenslotte berekenen we de spanning over R1 en R2 :
U R1=R1⋅I 1=400⋅6,25 mA=2,5 V
U R2= R2⋅I 1 =600 ⋅6,25 mA=3,75 V
Antwoord :
De totale substitutieweerstand bedraagt 800 Ω.
De spanning over R1 bedraagt 2,5 V, de stroom door R1 bedraagt 6,25 mA
De spanning over R2 bedraagt 3,75 V, de stroom door R2 bedraagt 6,25 mA
De spanning over R3 bedraagt 6,25 V, de stroom door R3 bedraagt 25 mA
De spanning over R4 bedraagt 18,75 V, de stroom door R4 bedraagt 31,25 mA
5.4
Factoren die de weerstand beïnvloeden
We bekijken nu hoe volgende factoren de grootte van de weerstand beïnvloeden
voor een geleider :
5.4.1
●
Lengte l van de draad
●
De doorsnede (dikte) van de draad
●
Het materiaal waaruit de draad vervaardigd is.
●
De temperatuur.
Invloed van de lengte
De weerstand van een geleider is recht evenredig met de lengte. We kunnen dit
aantonen als volgt :
Beschouw een weerstand R met lengte l. Plaatsen we daarachter een identieke
weerstand R, eveneens met lengte l. Volgens de wetten van serie-schakeling
krijgen we dan een weerstand 2R, met lengte 2l.
Plaatsen we n identieke weerstanden achter elkaar, dan krijgen we via analoge
redenering een weerstand nR, met lengte nl.
Hieruit volgt :
R~l
5.4.2
Invloed van de doorsnede
De weerstand van de geleider is omgekeerd evenredig met de doorsnede. We
kunnen dit aantonen als volgt :
Beschouw een weerstand R met doorsnede A. Plaatsen we daarnaast een
identieke weerstand R, eveneens met doorsnede A. Volgens de wetten van
parallelschakeling krijgen we dan een weerstand
1
, met doorsnede 2A.
2R
42
Gelijkstroomkringen
Plaatsen we n identieke weerstanden na elkaar, dan verkrijgen we via analoge
redenering een weerstand
1
, met doorsnede nA.
nR
Hieruit volgt :
R~
5.4.3
1
A
Invloed van het materiaal
Twee verschillende geleiders met dezelfde lengte en gelijke doorsnede, maar
gemaakt van verschillende materialen, kunnen toch een verschillende weerstand
hebben.
De weerstand is eveneens afhankelijk van het materiaal.
5.4.4
Wet van Pouillet
De drie bovenvermelde eigenschappen worden samengevat in de wet van
Pouillet.
De weerstand R van een geleidende draad met lengte l en doorsnede A is gelijk
aan
R=⋅
l
A
Daarin is ρ de specifieke weerstand of resistiviteit van het materiaal.
In welke eenheid wordt ρ uitgedrukt ?
De resistiviteit is kenmerkend voor een stof.
In onderstaande tabel zie je dat metalen een lage resistiviteit hebben en dus
goede geleiders zijn, voor isolatoren is de resistiviteit dan weer heel groot.
Elektrische conductiviteit σ is het reciproke van resistiviteit.
=
1

Specifieke weerstand van enkele materialen bij kamertemperatuur in Ωm.
aluminium
2,65 . 10-8
bakeliet
105
constantaan
47 . 10-8
diamant
1013
goud
2,2 . 10-8
eboniet
108
ijzer
9,7 . 10-8
glasvezel
1015
koper
1,67 . 10-8
kwik
108
Nichroom (Ni, Fe,
Cr)
100 . 10-8
kwarts
1020
platina
10,6 . 10-8
PVC
1014
porselein
1012
teflon
1020
wolfraam
zilver
5,6 . 10-8
1,59 . 10-8
43
Gelijkstroomkringen
5.4.5
a
Invloed van de temperatuur
Geleiders
Als de temperatuur van een geleider
stijgt, neemt zijn weerstand toe. De
verklaring
hiervoor
ligt
in
het
structuurmodel
van
een
metaal.
Wanneer de temperatuur van de
geleider
toeneemt,
zullen
de
roosterionen heftiger gaan trillen, en
een groter obstakel gaan vormen voor
de vrije elektronen. De vrije elektronen
zullen dus meer botsen met de
roosterionen, en minder vlot door de
geleider kunnen passeren.
De mate waarin de resistiviteit toeneemt
met
de
temperatuur,
is
materiaalsafhankelijk (zie verder bij
temperatuurscoëfficiënt).
b
Afbeelding 53: Resistiviteit in functie van
temperatuur voor een geleider.
Isolatoren
Neemt de temperatuur van een isolator
toe, dan zal in eerste instantie de
weerstand ongeveer constant blijven.
Overschrijden we echter een zekere
kritische temperatuur, dan zal de
weerstand
van
de
isolator
sterk
beginnen afnemen. De verklaring ligt
ook hier in het structuurmodel van een
isolator. In een isolator zitten alle
atomen sterk covalent gebonden aan
elkaar. Voeren we energie toe in de
vorm van warmte, dan zullen de atomen Afbeelding 54: Resistiviteit in functie
meer en meer beginnen trillen, tot in die van temperatuur voor een isolator.
mate dat er covalente bindingen
gebroken worden. De elektronen komen
vrij uit de covalente binding, en worden vrije ladingsdragers. Hoe meer
covalente bindingen er gebroken worden, hoe meer vrije ladingsdragers er vrij
komen, en hoe beter het materiaal zal geleiden.
c
Temperatuurscoëfficiënt
Veronderstel dat een component bij temperatuur T0 een weerstand heeft van R0.
Als we de temperatuur verhogen met ∆T, dan zal de weerstand wijzigen met een
waarde ∆R. We definiëren de temperatuurscoëfficient α als de verhouding
tussen de relatieve toename in weerstand en de wijziging in temperatuur, of
R
=⋅ T
R0
Als de weerstand toeneemt bij toenemende temperatuur (zoals bij een geleider),
is α positief en spreken we van materiaal met een PTC (Positieve
Temperatuurs-Coëfficiënt).
Als de weerstand afneemt bij toenemende temperatuur (zoals bij een isolator),
44
Gelijkstroomkringen
is α negatief en spreken we van materiaal met een NTC (Negatieve
Temperatuurs-Coëfficiënt).
5.4.6
Supergeleiding
De meeste metalen hebben bij het absolute nulpunt nog een kleine weerstand.
In 1911 ontdekte Kamerlingh Onnes dat sommige metalen bij een zekere
kritische temperatuur (Tk) hun weerstand volledig verliezen. In een dergelijk
materiaal, gekoeld onder de kritische temperatuur, kan een elektrische stroom
in theorie oneindig lang blijven lopen zonder verliezen.
In het geval van supergeleiding voldoet de voorstelling niet meer van een
geleidelijk afnemende weerstand naarmate de trilling van het ionenrooster
vermindert. Er is een meer verfijnd model nodig. In dit model, ontwikkeld door
Cooper, Bardeen en Schrieffer, vormen de elektronen bij temperaturen onder T k
elektronenparen in het rooster.
Afbeelding 55: Weerstand in functie van temperatuur van
supergeleidend materiaal.
Afbeelding 56: Heike
Kamerlingh Onnes,
de ontdekker van
supergeleiding
De elektronen van deze zgn. “cooperparen” zijn zwak aan elkaar gebonden, en
vormen een kluwen vrije elektronen. Dit kluwen zal zich vormen bij Tk, en zeer
vlug verdwijnen eens de temperatuur boven Tk komt. Dit kluwen gaat zich op
een andere, vlottere manier door het kristalrooster verplaatsen, zonder
beïnvloed te worden door de roosterpunten, dus zonder energieverlies. Als door
een elektrische potentiaal de verzameling cooperparen eenmaal in beweging is
gebracht, dan loopt de stroom onbeperkt door.
Het praktisch gebruik van supergeleiding werd tot hiertoe sterk afgeremd door
de noodzaak van het instandhouden van extreem lage temperaturen. De laatste
decennia werden materialen ontwikkeld die reeds supergeleidend worden in
vloeibaar stikstof, bij – 178 °C. Vermits vloeibaar stikstof aanmerkelijk
goedkoper is dan het dure helium, opende dit perspectieven tot praktische
toepassingen. In onder andere NMR-scanners, waar zeer sterke magnetische
velden nodig zijn, worden supergeleidende spoelen gebruikt om deze op te
wekken.
45
Gelijkstroomkringen
Voor op grote schaal commercieel
bruikbare
toepassingen
zou
men
materiaal moeten ontwikkelen dat
supergeleidend
wordt
op
kamertemperatuur,
maar
dat
is
(voorlopig nog ?) toekomstmuziek.
Hieronder vind je een tabel met een
aantal supergeleidende materialen met
bijhorende Tk.
Materiaal
5.5
Tk (K)
Gallium
1.1
Aluminium
1.2
Indium
3.4
Tin
3.7
Kwik
4.2
Lood
7.2
Nobium
9.3
Nobium-tin
17.9
La-Ba-Cu-oxide
30
Y-Ba-Cu-oxide
92
Tl-Ba-Cu-oxide
125
Afbeelding 57: Een permanente magneet
zweeft boven een supergeleidende,
stroomvoerende geleider.
Inwendige weerstand van een spanningsbron
Een ideale
weerstand.
spanningsbron
heeft
zelf
geen
In de praktijk heeft elke spanningsbron een
inwendige weerstand. De invloed van deze
inwendige weerstand is in de praktijk dikwijls niet
verwaarloosbaar, en moet in rekening gebracht
worden.
Nemen we een batterij met bronspanning Ub en
inwendige weerstand Ri, waarover we een
weerstand R aansluiten.
We definiëren de klemspanning als de spanning
die we meten over de klemmen van de batterij.
In bovenstaande schakeling geldt :
Afbeelding 58:
Spanningsbron met
inwendige weerstand.
U b=U RiU R
U b=Ri⋅I U R
Hieruit volgt dat de spanning over de weerstand gelijk is aan :
46
Gelijkstroomkringen
U R =U b−Ri⋅I
De spanning over R is dus niet gelijk aan de bronspanning, maar kleiner. Ze is
gelijk aan de klemspanning Uk die gemeten wordt over de klemmen van de
batterij, dus :
U k =U b −Ri⋅I
Hoe groter I, hoe kleiner de klemspanning.
Als de kring open is, is I = 0 A. De bron is dan onbelast, en de klemspanning is
gelijk aan de bronspanning. De spanning van een onbelaste bron noemen we de
elektro-motorische spanning (ems).
Samengevat :
De elektromotorische spanning (ems) van een batterij is de spanning
Ub van de batterij in een onbelaste kring.
De klemspanning Uk van een batterij met inwendige weerstand Ri en
ems Ub is gelijk aan :
U k =U b −Ri⋅I
5.6
De wetten van Kirchhoff
We hebben de wetten van Kirchhoff al experimenteel vastgesteld bij het
schakelen van weerstanden, zonder ze echter expliciet te vermelden. We
vermelden ze hieronder voor de volledigheid.
5.6.1
Stroomwet
Komen meerdere geleiders in een punt a samen,
dan wordt in dat punt geen lading opgehoopt.
Alle lading die per tijdseenheid worden
aangevoerd, moet meteen ook afgevoerd
worden. Deze wet is een gevolg van behoud van
lading : je kan geen lading vernietigen of bij
creëeren.
Afbeelding 59: De som
van inkomende stromen
is de som van uitgaande
stromen.
5.6.2
In elk knooppunt is de som van de
aankomende stromen gelijk aan de som van
de wegvloeiende stromen.
Bvb., voor het geval gegeven in de nevenstaande
figuur :
I 1 I 2 I 3= I 4 I 5
Spanningswet
Doorloop je een gesloten stroomlus éénmaal volledig, dan kom je, vertrekkende
van een punt a met potentiaal Va, na het doorlopen van een aantal
potentiaalverschillen terug in a, zodat het uiteindelijke potentiaalverschil Va – Va
= 0 V.
Bij een volledige omloop in één gesloten stroomlus is de som van alle
potentiaalverschillen nul.
Deze wet is een gevolg van behoud van energie.
47
Gelijkstroomkringen
Praktische werkwijze :
●
Kies een omloopzin in de stroomlus.
●
Duid bij elk schakelelement (weerstand, spanningsbron, ...) het punt met
de hoogste potentiaal (+) en het punt met de laagste potentiaal (-) aan.
●
Wordt een schakelelement doorlopen
van + naar -, dan daalt de potentiaal
(∆V = -U).
●
Wordt een schakelelement doorlopen
van – naar +, dan stijgt de
potentiaal (∆V = +U).
Bijvoorbeeld in bovenstaande stroomlus is,
vertrekkend
bij
a
in
aangeduide
omloopzin :
Afbeelding 60: Stroomkring met
gekozen doorloopzin en aanduiding van
punten op hoge en lage potentiaal.
onderstaande grafiek :
 V bc  V de  V fg  V ha =0
−U R1−U R2−U R3U b=0
−IR 1−IR 2−IR 3U b=0
Het potentiaalverloop stellen we voor in
Afbeelding 61: Potentiaalverloop in functie van doorlopen
punten in stroomkring
5.6.3
a
Toepassingen
Circuits met één bron
We kunnen de regels van Kirchhoff perfect toepassen op gelijkaardige circuits als
deze die we hierboven behandeld hebben. Hernemen we het bovenvermelde
voorbeeld, en proberen met de wetten van Kirchhoff de stromen door de
48
Gelijkstroomkringen
verschillende takken te bepalen :
Uit de stroomwet volgt :
I =I 1 I 2
(1)
Passen we spanningswet toe op lus abef :
U R3U R4 −U b=0 V
R3 I 1R 4 I −U b=0V
(2)
Op lus acdf :
U R1U R2U R4 −U b=0 V
R1 I 2 R2 I 2 R4 I −U b =0 V
(3)
We hebben nu drie vergelijkingen, en drie onbekenden.
Uit (2) en (3) volgt :
R3 I 1= R1R 2 I 2
R1R 2
I 1=
I2
R3
(4)
Dit invullen in (1) geeft :
I=
R1R2 R3
I2
R3
(5)
(4) en (5) in (2) geeft :
R4
 R  R2R3  I 2=U b
R3 1
U b R3
I 2=
R3  R1R 2 R4  R1R 2R3 
25 V⋅250 
I 2=
250 ⋅1000600⋅1250 
V⋅250 
I 2=25
¿
1000000 2
I 2=6,25 mA
 R1R2  I 2
Hieruit volgt :
49
Gelijkstroomkringen
I 1=
400 600 
6,25 mA
250 
I 1=25 mA
En bijgevolg :
I =I 1 I 2=31,25 mA
b
Circuits met meerdere bronnen
De wetten van Kirchhof kunnen het rekenwerk vereenvoudigen bij analyse van
complexe netwerken met één bron, maar hun grote kracht ligt in de analyse van
netwerken waar méér dan één bron is in opgenomen. Beschouw bv. Het
volgende netwerk, bestaande uit twee bronnen en twee weerstanden.
We gaan nu proberen de stroom te bepalen in het circuit. We doorlopen het
circuit in wijzerzin. Gaan we van a naar b, dan stijgt de potentiaal met 6 V. Van
b naar c is er een spanningsval van −IR1 . Van c naar d is daalt de potentiaal
met 12 V, en van d naar a is er een spanningsval van −IR2 .
de spanningswet geeft ons :
U b1−IR1−U b2− IR2=0V
waaruit :
I=
U b1−U b2 6 V −12 V
1
=
=− A
R1R 2 8 10 
3
Het negatieve teken voor I geeft aan dat de stroomzin tegengesteld aan hetgeen
we verwacht hadden, dus tegenwijzerzin...
5.7
Elektrische energie en vermogen
Een elektrisch toestel zet elektrische energie om in een andere vorm van
energie, zoals licht (lampen, ...), warmte (verwarming, gloeilamp, ...),
mechanische energie (wasmachine, boormachine, ...).
We schakelen een verbruikerstoestel over een spanningsbron die een spanning U
levert.
De elektrische energie ∆E die in het toestel wordt omgezet naar een andere
vorm is gelijk aan het verlies aan potentiële energie van de lading Q die erdoor
stroomt.
50
Gelijkstroomkringen
 E=E pA−E pB
 E=Q⋅V A−V B 
 E=Q⋅U
Het is eenvoudiger stroomsterkte te meten dan lading. Daarom herschrijven
we :
 E=U⋅I⋅ t
Hieruit volgt dat het elektrisch vermogen van het toestel, zijnde de elektrische
energie die per seconde wordt omgezet, gegeven wordt door:
P=
E
=U⋅I
t
De teller in huis meet hoeveel elektrische energie er verbruikt is door alle
toestellen in huis gedurende een zekere periode. De
teller is dus een energiemeter.
De verbruikte energie wordt gemeten in kWh
(kilowattuur). Eén kilowattuur is de energie die
omgezet is door een toestel met een vermogen van 1
kW als het één uur gewerkt heeft.
1 kWh = 103 W x 3600 s = 3,6.106 J.
De kWh is een praktische eenheid wanneer het gaat
over grote hoeveelheden elektrische energie. De kWh
is geen SI -eenheid.
In een ohmse weerstand wordt de elektrische
energie volledig omgezet in warmte. Die warmteontwikkeling noemt met het joule-effect. Het jouleeffect wordt veroorzaakt door de energie-overdracht
van de elektronen op de roosterionen waartegen ze
botsen.
Voor een ohmse weerstand R geldt er :
P=U⋅I =R⋅I 2
Afbeelding 62: kWh-meter
in huis.
51
Gelijkstroomkringen
5.8
Oefeningen
1. Men schakelt twee weerstanden, respectievelijk 60,0 Ω en 90,0 Ω parallel
en plaatst daarmee in serie een weerstand van 24,0 Ω. Het geheel staat
op een spanning van 24,0 V geschakeld. Teken het schakelschema,
bereken de stroomsterkte in elke tak en bereken de spanning over elke
weerstand.
2. Twee weerstanden, respectievelijk 20,0 Ω en 80,0 Ω staan parallel. Een
derde weerstand wordt hiermee in serie geschakeld en aangesloten op
een spanning van 220 V. Bereken deze weerstand opdat de stroomsterkte
in de hoofdketen 5,5 A zou bedragen. Bereken tevens de spanning over
elke weerstand.
3. Een bepaalde stroom splitst zich in punt a in twee takken: de weerstand
van de eerste tak is 5,0 Ω, deze in de tweede tak is 10,0 Ω. Bereken de
stroomsterkte in de eerste tak en in de hoofdtak (voor de splitsing) als je
weet dat de stroomsterkte in de tweede tak 3,0 A is.
4. Hoe kan je met drie identieke weerstanden van 30 Ω een schakeling
maken waarvan de totale weerstand slechts 20 Ω bedraagt ?
5. Een bron met e.m.s. van 110 V en een inwendige weerstand van 5,2 Ω
levert door een uitwendige weerstand een stroom van 0,43 A. Bepaal de
klemspanning en de uitwendige weerstand.
6. Je beschikt over een weerstand van 2 Ω en twee weerstanden van 4 Ω.
Hoe moet je ze alledrie schakelen opdat :
•
De resulterende weerstand minder dan 2 Ω zou bedragen ?
•
De resulterende weerstand meer dan 4 Ω maar minder dan 8 Ω zou
bedragen ?
•
Teken beide schakelingen.
7. Bereken
de
schakelingen :
substitutieweerstand
voor
elk
van
onderstaande
8. Bereken de stroomsterkte in elke vertakking, en de spanning over elke
weerstand bij volgende schakelingen:
52
Gelijkstroomkringen
9. Zelfde opgave als hierboven, maar nu met onderstaande schakelingen :
10.Op een broodrooster staat aangeduid : 220 V/1400 W.
a) Bepaal de stroom door het toestel.
b) Hoe groot is de weerstand ervan ?
53
Condensatoren
6 Condensatoren
6.1
Constructie en werking van een condensator
6.1.1
Constructie
Een condensator bestaat uit twee geleidende platen, die gescheiden worden
door een diëlectricum (isolerend materiaal). Als isolerend materiaal worden
vooral keramische materialen of lucht gebruikt. Voor condensatoren met hoge
capaciteit worden ook wel elektrolytische materialen gebruikt, zoals dunne
laagjes aluminiumoxide.
Condensatoren worden veelvuldig gebruikt in elektrische toestellen om
kortstondig energie op te slaan, om plotse spanningsvallen te compenseren,
storingen af te vlakken, ...
Afbeelding 64:
Symbool van een
condensator in een
elektrische schakeling.
In de cursus zullen we
consequent het
onderste symbool
gebruiken.
6.1.2
a
Afbeelding 63: Elektrolytische condensatoren.
Opladen en ontladen van een condensator
Principe
Als we een spanning U plaatsen over de condensator , zullen elektronen onder
invloed van het potentiaalverschil migreren van de éne plaat naar de andere. Er
zal een kortstondige stroom vloeien door de kring (a).
Door de ladingsmigratie komt er op de ene plaat een lading +Q, op de andere
een lading -Q. Hierdoor ontstaat over de platen van de condensator een
spanning UC. De ladingsmigratie gaat door totdat de spanning over de
condensator gelijk is aan de bronspanning. Als Uc = U, dan stopt de
stroom, en de condensator is opgeladen.
Koppelen we condensator los van de bron, dan blijft de lading op de platen, en
blijft de spanning over de platen bestaan (b).
54
Condensatoren
Afbeelding 65: Opladen en ontladen van een
condensator.
De condensator kan nu
gebruikt
worden
als
spanningsbron. Verbinden
we beide platen nu door
middel van een geleider, dan
zal
de
condensator
ontladen (b). Er zal een
kortstondige stroom vloeien,
de lading op beide platen zal
verdwijnen,
evenals
de
spanning over beide platen.
Als
alle
lading
gerecombineerd is, en het
spanningsverschil
verdwenen,
dan
is
de
condensator ontladen.
b
Oplaad- en ontlaadcurves
We kunnen het opladen en ontladen van de condensator bestuderen met behulp
van onderstaande schakeling. Met de schakelaar in de bovenste stand zal de
condensator opladen. Eens de condensator opgeladen, switchen we de
schakelaar naar onderen, waardoor we condensator loskoppelen van de bron, en
de condensator zich zal ontladen. Over
de condensator plaatsen we een
spanningsensor, en in serie met de
condensator
plaatsen
we
een
stroomsensor.
Bekijken we de spanning en stroom in
functie van de tijd tijdens het opladen
en het ontladen, dan krijgen we een
verloop zoals afgebeeld in afb. 67. In
de grafiek is ook de geaccumuleerde
lading te zien in functie van de tijd.
Wat is de relatie tussen de stroom
door de kring en de lading op de
condensator ?
Hoe wordt uit de grafiek van de
stroom de grafiek van de lading
afgeleid ?
Vergelijk
de
curves
van
geaccumuleerde lading en spanning.
Wat stel je vast ?
Afbeelding 66: Experimentele opstelling
om het op- en ontladen van een
condensator te bestuderen.
55
Condensatoren
6.1.3
Afbeelding 67: Grafieken van de stroom, geaccumuleerde lading
en spanning bij op-en ontladen van condensator.
Capaciteit van een condensator
We bekijken nu de geaccumuleerde lading in functie van de aangelegde
spanning. We verhogen stelselmatig de spanning over de condensator, en
noteren in onderstaande tabel de lading :
U (V)
Q (C)
Verwerk bovenstaande metingen met foutentheorie in EXCEL, en maak een
grafiek van Q in functie van U. Voeg deze grafiek toe aan je cursus. Wat stel je
vast ?
Bereken nu voor elke meting de verhouding
Q
. Wat is je conclusie ?
U
We definiëren de capaciteit van een condensator als volgt :
De capaciteit van een condensator is de constante verhouding van de
opgenomen lading Q tot het potentiaalverschil U tussen de platen.
C=
Q
U
De eenheid van capaciteit is de farad (F).
Uit de definitie volgt : F = CV-1
56
Condensatoren
6.1.4
De invloed van de weerstand op het ontladen
We vergelijken het op- en ontladen van éénzelfde condensator bij verschillende
waarden van R.
Wat stel je vast ? Heeft de weerstand invloed op de totaal geaccumuleerde
lading ? Wat is het enige verschil tussen beide gevallen ?
We definiëren de tijdsconstante van een RC-keten als het product van de
weerstand en de capaciteit.
= RC
Verifiëer dat de eenheid van de tijdsconstante de seconde is !
Men kan aantonen dat de tijd nodig om op te laden tot 67% van de maximale
lading gelijk is aan de tijdsconstante.
6.2
Schakelen van condensatoren
6.2.1
Serieschakeling
We kunnen theoretisch afleiden dat de totale
capaciteit van twee in serie geschakelde
condensatoren berekend kan worden door
1 1
1
= 
C C1 C 2
Afbeelding 68: Twee in serie
geschakelde condensatoren.
6.2.2
Parallelschakeling
We kunnen theoretisch afleiden dat de totale capaciteit van twee parallel
geschakelde condensatoren berekend kan worden
door
C=C 1C 2
6.2.3
Afbeelding 69:
Twee parallel
geschakelde
condensatoren.
Experimentele bevestiging
We nemen twee condensatoren, en bepalen op
analoge wijze als hierboven de capaciteit. Eerst
bepalen we de capaciteit van de individuele
condensatoren, dan van beide condensatoren in
serie, en tenslotte parallel.
We bepalen de capaciteit van de eerste condensator :
U
Q
C
En van de tweede:
57
Condensatoren
U
Q
C
Nu schakelen we beide condensatoren in serie. We bepalen nu de capaciteit van
de schakeling :
U
Q
C
Komt dit overeen met de verwachte waarde ?
________________________________________________________
Vervolgens schakelen we beide condensator parallel. We bepalen nu de
capaciteit van de schakeling :
U
Q
C
Komt dit overeen met de verwachte waarde ?
________________________________________________________
6.3
Oefeningen
1. Bepaal de totale capaciteit van onderstaande schakelingen :
2. Bepaal de spanning over en de lading op alle capaciteiten in onderstaande
schakeling :
58
Magnetische verschijnselen
7 Magnetische verschijnselen
7.1
Eigenschappen van permanente magneten
We brengen een magneet in de buurt van een ijzeren nagel. Wat merk je ?
Wat gebeurt er als we een magneet in de buurt van een stukje aluminium of
koper brengen ?
Wat nemen we waar als we een magneet in de buurt van een andere magneet
brengen ? Wat gebeurt er als we de magneet omdraaien ?
Wat gebeurt er als we een ijzeren nagel, in contact met een magneet, in de
buurt van een andere nagel brengen ?
Uit een aantal waarnemingen
volgende conclusies trekken :
Afbeelding 70:
Permanente
hoefijzermagneet
kunnen
we
Magneten oefenen een kracht uit op
bepaalde metalen. Magneten trekken duidelijk
ijzer en nikkel aan, maar oefenen geen kracht
uit op aluminium of koper. We kunnen materie
ruwweg
onderverdelen
in
magnetische
stoffen
(gevoelig
voor
de
magnetische
krachtwerking) en niet-magnetische stoffen
(ongevoelig
voor
de
magnetische
krachtwerking). Deze onderverdeling verfijnen
we verderop...
Magneten oefenen een kracht uit op
elkaar. Soms is deze kracht aantrekkend,
soms afstotend. Als we één magneet omdraaien wijzigt ook de krachtwerking.
Dit doet ons besluiten dat er twee soorten “magnetische lading” zijn, en dat
beide uiteinden van een magneet een verschillende “lading” hebben. We noemen
deze de polen van de magneet. Als we een magneet vrij ophangen, zal na een
tijd één uiteinde steeds naar het geografische
noorden wijzen (kompaswerking). Bij conventie
noemen we dit uiteinde de noordpool (N) van
de magneet, en het andere uiteinde noemen
we de zuidpool (Z) van de magneet.
We merken dat :
●
Gelijke polen elkaar afstoten.
●
Verschillende
aantrekken.
●
De kracht van de magneet altijd het
sterkst is aan de polen.
●
Polen komen altijd in paren. Breek
een magneet in twee, en je hebt twee
stukken met elk een noord- en een
zuidpool.
polen
elkaar
Magnetisch materiaal in contact met een
magneet
krijgt
zelf
magnetische
Afbeelding 71: Krachtwerking
tussen staafmagneten.
59
Magnetische verschijnselen
eigenschappen. We noemen dit verschijnsel magnetische influentie.
Afbeelding 72: Breek je een magneet in
twee, krijg je twee noordpolen en twee
zuidpolen.
7.2
Het magnetisch veld
7.2.1
Definitie
Het magnetisch veld is de ruimte rond een
magnetische krachtwerking zich laat voelen.
magneet
waar de
Hoe groter de magnetische krachtwerking, hoe sterker het veld zal zijn. Het veld
is dus duidelijk het sterkst in de nabijheid van de polen.
7.2.2
Magnetische veldlijnen
Plaatsen we rondom een magneet
allemaal kompasnaaldjes of strooien we
rond een magneet stukjes ijzervijlsel,
dan zien we dat deze zich richten volgens
denkbeeldige lijnen, de veldlijnen.
Een magnetische veldlijn is een lijn
waarvan de raaklijn in elk punt de
richting
geeft
waarin
een
kompasnaaldje wijst dat in dat punt
gezet wordt.
De zin van de magnetische veldlijn is
de zin waarnaar de noordpool van de
kompasnaald
wijst.
Magnetische
veldlijnen lopen buiten de magneet
bijgevolg altijd van noord naar zuid.
Hieronder staan afbeeldingen van de
veldlijnen
tussen
gelijknamige
en
verschillende polen.
Afbeelding 73: Ijzervijlsel en
magneetnaaldjes in een magnetisch
veld richten zich volgens de
magnetische veldlijnen.
Hoe groter de dichtheid van de magnetische veldlijnen, hoe sterker het
magnetisch veld.
De verzameling van de magnetische veldlijnen noemen we het magnetisch
spectrum.
Het magnetisch veld binnen in een staafmagneet is homogeen. De veldlijnen
zijn evenwijdig en de dichtheid is overal hetzelfde. Het veld is bijgevolg overal
60
Magnetische verschijnselen
even sterk.
Afbeelding 74: De magnetische
veldlijnen tussen twee verschillende
polen.
Afbeelding 75: De magnetische
veldlijnen tussen twee gelijknamige
polen.
Afbeelding 76: Veldlijnen van
een staafmagneet.
Afbeelding 77:
Veldlijnen van het
magnetisch veld in het
binnenste van een
hoefijzermagneet.
7.2.3
Het aardmagnetisch veld
Naar welke geografische richting wijst het noorden van een kompasnaald ?
Naar welke magnetische pool wijst het noorden van een kompasnaald ?
Het magnetisch veld aan het aardoppervlak kan ruwweg vergeleken worden met
het veld van een staafmagneet, die een hoek maakt van 11° met de rotatie-as
van de aarde. Dit maakt dat de geomagnetische noord- en zuidpool niet
samenvallen met de geografische noord- en zuidpool.
Verder moet opgemerkt worden dat de geomagnetische noordpool
eigenlijk een magnetische zuidpool is, en vice versa.
Op de eenvoudige vraag “hoe komt het dat de Aarde een magnetisch veld
heeft ?” is helaas geen eenvoudig antwoord te geven. Het is een feit dat de kern
61
Magnetische verschijnselen
van de aarde bestaat uit magnetische materialen (ijzer en nikkel), maar de
temperatuur in het binnenste van de aarde is te hoog om die metalen een
permanent magnetisme te laten houden.
Afbeelding 78: Voorstelling van het aardmagnetisch veld. De
rotatie-as maakt een hoek van ongeveer 11° met de
magnetische as.
Het is alleszins wel duidelijk dat de oorzaak moet gezocht worden in de relatief
snelle omlooptijd van de aarde rond haar as. Zo heeft de planeet Venus een
gelijkaardige samenstelling van de kern, maar geen magnetisch veld. Venus
draait echter véél trager om haar as dan de Aarde.
Door de snelle rotatie treedt er effect op dat gekend staat als het “dynamoeffect”: wanneer een geleidende vloeistof door een bestaand magnetisch veld
stroomt, worden er elektrische stromen in die vloeistof opgewekt, die op hun
beurt weer een magnetisch veld opwekken dat het bestaande veld gaat
versterken. Op deze manier kunnen magnetische velden op schaal van
kosmische objecten (sterren, planeten, ...) opgewekt en in stand gehouden
worden. Over de exacte werking bestaat nog discussie.
Het belang van het aardmagnetisch veld is groot, omdat het ons in grote mate
beschermt tegen kosmische straling. Hoog-energetische deeltjes afkomstig
van de zon en andere bronnen in het heelal worden gevangen in magnetisch
veld en bereiken op die manier de aarde niet. Het wegvallen van deze
bescherming zou nefaste gevolgen hebben voor het leven op Aarde.
Het aardmagnetisch veld is niet constant. De positie van de polen wijzigt met
de jaren, en er zijn zelfs al complete omkeringen gebeurd. Een dergelijke
omkering doet het veld niet verdwijnen, de bescherming tegen kosmische
straling blijft intact.
62
Magnetische verschijnselen
7.3
Oefeningen
1. Je hebt twee identieke ijzeren staven. De ene is magnetisch, de andere
niet. Hoe kan je met behulp van een kompas vinden welke staaf
magnetisch is ? Hoe kun je dat vinden zonder enig ander hulpmiddel ? 3
2. Twee staafmagneten liggen met de zuidpolen naar elkaar gericht. Maak
een schets van de veldlijnen.
63
Elektro-magnetisme
8 Elektro-magnetisme
8.1
Magnetisch veld van stroomvoerende geleiders
8.1.1
Algemeen
We plaatsen een kompasnaald in de buurt van een rechte, stroomvoerende
geleider. Wat merk je ?
Conclusie:
Ladingen in beweging veroorzaken een magnetisch veld.
We bekijken nu het magnetisch veld veroorzaakt door een aantal verschillende
stroomvoerende geleiders.
8.1.2
Magnetisch veld rond een rechte stroomvoerende geleider
Beschouw een rechte geleider. Rond de geleider plaatsen we een aantal
magneetnaaldjes. Zolang we geen stroom door de geleider sturen, wijzen alle
magneetnaaldjes naar het geografische noorden.
Wat gebeurt er als we de stroom inschakelen ?
We kunnen ook de veldlijnen zichtbaar maken door ijzervijlsel rondom de
geleider te strooien. Welke vorm neem je waar ?
Kenmerken van het veld :
●
Vorm van de veldlijnen : concentrische cirkels
●
Ligging van de veldlijnen : in een vlak loodrecht op de stroomgeleider
●
Zin van de veldlijnen
kompasnaaldjes
:
aangegeven
door
de
noordpool
van
de
Om de zin van de veldlijnen te bepalen kan je gebruik maken van volgende
regel: als de duim van je rechterhand de stroomzin aangeeft, dan geven de
gekromde vingers de zin aan van de veldlijnen. Dit is de eerste
rechterhandregel.
Afbeelding 80: De magnetische
veldlijnen rond een rechte,
stroomvoerende geleider.
Afbeelding 79: Illustratie van de eerste
rechterhandregel.
64
Elektro-magnetisme
8.1.3
Magnetisch veld van een stroomvoerende winding
Beschouw een cirkelvormig gewonden geleider. We stellen enkele
magneetnaaldjes op in een vlak loodrecht op het vlak van de winding. Wat neem
je waar als je we stroom door de geleider sturen ? Wat gebeurt er als we de
stroomzin omdraaien ?
We maken de veldlijnen zichtbaar door ijzervijlsel rond de geleider te strooien.
Welke vorm hebben de veldlijnen ?
Afbeelding 81: De magnetische veldlijnen
rond een stroomvoerende winding
zichtbaar gemaakt door ijzervijlsel.
Afbeelding 82: 3D afbeelding van de
veldlijnen.
Kenmerken van het veld :
●
De sterkste ordening treedt op in
het vlak van de winding.
●
Ook nu
loodrecht
geleider.
●
De zin wordt bepaald door de
noordpool van de kompasnaald.
staan de veldlijnen
op het vlak van de
Om de zin van de veldlijnen bij een
gekromde geleider te bepalen kan je
gebruik
maken
van
de
tweede
rechterhandregel
:
de
gekromde
vingers geven de stroomzin aan, de
gestrekte duim geeft de zin van de
veldlijnen aan.
8.1.4 Magnetisch veld van een solenoïde
of een spoel
Afbeelding 83: Het magnetisch
veld opgewekt door een
stroomvoerende winding.
Wordt een geleider in een cilindervormige spiraal gewonden, dan spreekt van
een spoel. Is de lengte van de spoel groot ten opzichte van de doorsnede
ervan, dan spreekt men van een solenoïde.
Beschouw een spoel. We plaatsen enkele magneetnaaldjes binnen en buiten de
spoel. Wat merk je als we de stroom inschakelen ? Wat gebeurt er als we de
65
Elektro-magnetisme
stroomzin omkeren ?
We maken de veldlijnen zichtbaar door ijzervijlsel in er rond de spoel te
strooien. Hoe lopen de veldlijnen binnen in de spoel ? Hoe noem je een dergelijk
veld ? Hoe lopen ze buiten de spoel ? Komt de vorm van de veldlijnen buiten de
spoel je bekend voor ?
Wat gebeurt er als we een (week)ijzeren kern in de spoel brengen ? Wordt het
veld sterker of zwakker ?
Kenmerken van het veld :
Afbeelding 84: Veldlijnen binnen en rond
een spoel zichtbaar gemaakt met
ijzervijlsel.
●
De sterkste ordening van het
ijzervijlsel treedt op binnen de
solenoïde.
●
Binnen de solenoïde lopen de
veldlijnen loodrecht op het vlak
van de windingen, evenwijdig aan
de as van de solenoïde.
●
Binnen in de solenoïde is het veld
over even sterk, het is een
homogeen veld.
●
De middenstof binnen in de
spoel beïnvloedt de sterkte van
het magnetisch veld.
De zin van de veldlijnen wordt
bepaald door de noordpool van
de kompasnaald en is afhankelijk van de stroomzin. Om de zin van de
veldlijnen te bepalen kan je ook hier gebruik maken van de tweede
rechterhandregel : de gekromde vingers geven de stroomzin aan, de
duim geeft de zin aan van de veldlijnen binnen de spoel.
Afbeelding 86: Veldlijnen in en rond een
stroomvoerende solenoïde.
●
Afbeelding 85: Illustratie
2e rechterhandregel.
Vergelijk nu het magnetisch veld van de solenoïde met het magnetisch veld van
een staafmagneet. Er is een merkwaardige gelijkenis tussen de spectra van
beide magnetische velden.
Net als bij een staafmagneet kunnen wij ook aan een stroomvoerende solenoïde
een noord- en een zuidpool toekennen. Hoe lopen de veldlijnen buiten de
spoel ? En hoe binnen de spoel ?
66
Elektro-magnetisme
De
gemeenschappelijke
kenmerken
van
deze
magnetische velden doen ons
vermoeden dat de oorzaak
ervan
eveneens
gemeenschappelijk moet zijn.
Wat
veroorzaakt
het
magnetisch
veld
van
de
solenoïde ? Zijn er in een
staafmagneet ook bewegende
ladingen ? Waar moet je die
situeren ?
Afbeelding 87: Vergelijking tussen veld van een
staafmagneet en het veld van een solenoïde.
8.2
Oorzaak van permanent magnetisme
In de vorige paragraaf hebben we gezien dat een elektrische stroom, en in
uitbreiding elke lading in beweging, een magnetisch veld opwekt.
Als we de atomen van een vaste stof voorstellen als kernen waarrond elektronen
bewegen, dan kunnen de elektronen beschouwd worden als elementaire
solenoïden, die elk een magnetisch veld opwekken.
Daarnaast draaien elk van deze elektronen rond hun eigen as (spin), wat ook
een magnetisch moment opwekt.
Of een materiaal magnetisch is of niet, hangt af van de structuur van de
eigenschappen van zijn elektronen. We onderscheiden volgende gevallen :
8.2.1
Diamagnetisme
Diamagnetische materialen worden gekenmerkt door het feit dat alle orbitalen
twee elektronen bevatten met tegengestelde spins (gepaarde elektronen).
De magnetische velden van de elektronen heffen elkaar op en er is geen netto
magnetische werking.
8.2.2
Paramagnetisme
Paramagnetisch materiaal bevat ongepaarde elektronen, zodat er een netto
magnetische werking kan ontstaan. Door de thermische beweging zijn de
magnetische velden van de elektronen echter allemaal random gericht, zodat er
buiten een extern magnetisch veld geen specifiek effect waar te nemen is.
Brengen we een paramagnetisch materiaal echter in een extern magnetisch
veld, dan zal de neiging van de elektronen om hun magnetisch veld te
richten volgens het extern magnetisch veld groter zijn dan de het effect
van de thermische beweging, en zullen zij het extern magnetisch veld
versterken (wat gebeurt als we een weekijzeren kern in een spoel schuiven).
Wordt het extern veld weg genomen, dan verdwijnt ook de ordening, en zal het
materiaal niet meer magnetisch zijn.
67
Elektro-magnetisme
Afbeelding 88: Oriëntatie van magnetische velden van
elektronen in paramagnetisch materiaal zonder extern
veld (A) en met extern veld (B).
8.2.3
Ferromagnetisme
Ferromagetisch materiaal is eveneens materiaal met ongepaarde elektronen,
maar er is een koppeling tussen de magnetische velden van de
elektronen, zodat er gebieden optreden waarin alle magnetische velden van
de elektronen gelijk gericht zijn (Weiss-domeinen). De scheidingsgebieden
tussen twee Weiss-domeinen, waar de oriëntatie gradueel wijzigt, zijn de Blochwanden.
Brengen
we
dergelijk
materiaal
in
een extern
magnetisch veld, dan zal een
gelijkaardig effect optreden
als
bij
paramagnetisch
materiaal, en zal het extern
veld
versterkt
worden.
Nemen we nu echter het
extern veld, dan zal door
de koppeling de oriëntatie
niet verdwijnen, en het
materiaal zal magnetisch blijven (permanent magnetisme).
Warmen we gemagnetiseerd ferromagnetisch materiaal op, dan zal de
thermische beweging steeds dominanter worden, en de gemeenschappelijke
oriëntatie langzaam maar zeker teniet doen. De temperatuur waarop de netto
magnetisatie nul wordt, wordt de Curie-temperatuur genoemd.
8.3
Magnetische krachtwerking
8.3.1
Lorentzkracht
We plaatsen een geleider in magnetisch veld. Wat gebeurt er als we de geleider
koppelen aan een spanningsbron en er stroom door laten lopen ?
Wat gebeurt er als we de stroomzin omkeren ?
Wat gebeurt er als we de zin van het magnetisch veld omkeren ?
68
Elektro-magnetisme
Een stroomvoerende geleider, en bij
uitbreiding elke lading in beweging,
ondervindt een kracht in een magnetisch
veld. Deze kracht wordt de Lorentzkracht FL genoemd.
De zin (en bijgevolg de richting) van de
kracht kan je bepalen met de 3e
rechterhandregel :
Afbeelding 89: Experimentele
opstelling om Lorentz-kracht
waar te nemen.
●
Je duim geeft de stroomzin aan.
●
Je uitgestoken wijsvinger geeft de zin
aan van het magnetisch veld.
●
Steek je middenvinger uit in een hoek
van 90° met je wijsvinger. Deze vinger
geeft je de zin en richting van de
Lorentzkracht.
Wat de grootte van de kracht betreft kunnen we volgende vaststellingen doen :
8.3.2
a
●
Hoe sterker de stroom, des te groter de Lorentzkracht;
●
Hoe langer de geleider, des te groter de Lorentzkracht;
●
Hoe sterker het magnetisch veld, des te groter de Lorentzkracht.
Magnetische veldsterkte
Definitie
Om de sterkte van het magnetisch veld te kwantificeren, definiëren we nu de
magnetische veldsterkte 
B in een punt P van het magnetisch veld.
●
Het aangrijpingspunt van 
B is het punt P.
●
De richting van
●
De zin van
●

B is de raaklijn aan de magnetische veldlijn door P.

B is de zin van de magnetische veldlijn door P.
De grootte van 
B wordt zo gedefinieerd, dat als we een geleider van
lengte l waardoor een stroom I vloeit in een homogeen veld plaatsen met
dezelfde magnetische veldsterkte als de magnetische veldsterkte in het
punt P, de grootte van de Lorentz-kracht op die geleider gegeven wordt
door F =∣
B∣⋅I⋅l
De eenheid van magnetische veldsterkte is de Tesla (T). Een magnetisch veld
met veldsterkte van 1T, zal op een geleider van 1m waardoor een stroom van
1A vloeit, een kracht van 1N uitoefenen. Hieruit volgt dat
T=
N
Am
Nemen we nu een geleider met lengte l. We plaatsen deze geleider in een
homogeen magnetisch veld met veldsterkte 
B . Door die geleider sturen we
een stroom, zodanig dat na een tijd ∆t een positieve lading Q van het ene
uiteinde naar het andere verplaatst is. De Lorentzkracht op de geleider wordt
bijgevolg gegeven door
F =∣
B∣⋅I⋅l .
69
Elektro-magnetisme
Dit kan ook geschreven worden als :
∣⋅ Q ⋅l
F L =∣B
t
De gemiddelde snelheid van de lading in de geleider is
v=
l
, wat geeft :
t
l
F L =∣ 
B∣⋅ ⋅Q
t

F L=∣ B∣⋅v⋅Q
De grootte van de magnetische veldsterkte in een punt P kan dan
gedefinieerd worden als de verhouding van de kracht die een lading Q,
die beweegt met een snelheid v, ondervindt in het magnetisch veld tot
de lading Q en de snelheid v.
∣
B∣=
∣FL∣
Q⋅v
1 T is dan de grootte van de magnetische veldsterkte waarin een lading van 1 C
die beweegt met een snelheid van 1 m/s een kracht ondervindt van 1 N.
In wat hierboven staat, zijn we ervan uitgegaan dat Q positief is. Maar wat als Q
negatief is ?
●
De grootte van de kracht bereken je analoog, maar je moet wel de
absolute waarde van Q nemen.
●
De zin van de kracht op een negatieve lading is tegengesteld aan de zin
van de kracht op een positieve lading.
Afbeelding 90: Zin en richting van Lorentzkracht op een
bewegende lading in een homogeen veld (gericht in het
blad).
Een nauwkeuriger analyse toont dat het bovenstaande alleen geldig is als
B . Indien dit niet het geval, moeten we de component beschouwen van
v ⊥ 

B die loodrecht staat op v (de normaalcomponent). Als de hoek tussen

B en v gegeven wordt door α, dan is
F L =∣ 
B∣sin ⋅Q⋅v
70
Elektro-magnetisme
Afbeelding 91:
Normaalcomponent van
de magnetische
veldsterkte
b Magnetische veldsterkte
stroomvoerende geleider
in
een
punt
op
afstand
r
van
een
rechte,
Zoals reeds gezien in punt 2.1.3 van dit hoofdstuk, wekt een rechte,
stroomvoerende geleider een magnetisch veld op in de ruimte rondom. Uit
experimenten blijkt dat de grootte van de magnetische veldsterkte afhankelijk is
van volgende factoren :
●
De sterkte van het veld neemt af naarmate men zich verder van de
geleider verwijdert. Nauwkeurige metingen tonen aan dat ∣
B∣ is
omgekeerd evenredig is met de afstand r tot de geleider.
●
De sterkte van het veld op een gegeven afstand r neemt toe als de
stroom door de geleider opgevoerd wordt. Nauwkeurige metingen
tonen aan ∣
B∣ recht evenredig is met de stroomsterkte I.
●
De sterkte van het veld hangt ook af van de middenstof. Als de geleider
in een ijzeren omhulsel zit, zal het veld in het omhulsel veel sterker zijn
dan mocht de geleider enkel in lucht hangen.
Samengevat wordt dit :
 I
∣
B∣= ⋅
2 r
µ wordt de magnetische permeabiliteit van de stof genoemd, en geeft weer
hoe gemakkelijk een magnetisch veld in een middenstof kan doordringen. Hoe
groter µ, hoe gemakkelijker het magnetisch veld de middenstof kan
binnendringen.
In tabellen vinden we dikwijls de relatieve permeabiliteit µr terug. De relatie
tussen magnetische permeabiliteit en relatieve permeabiliteit wordt gegeven
door :
=r⋅0
waar µ0 de magnetische permeabiliteit van vacuüm is. De grootte van µ0
bedraagt 1,26.10-6 N/A²
Voor diamagnetische stoffen is µr < 1, bij paramagnetische stoffen is µr > 1 en
bij ferromagnetische stoffen is µr véél groter dan 1.
De factor 2π wordt ingevoerd om symmetrie-redenen, waarop we hier nu verder
niet op ingaan.
c
Magnetische veldsterkte in een punt binnenin een stroomvoerende solenoïde
71
Elektro-magnetisme
Zoals reeds gezien in punt 2.1.4, is het veld binnen in een stroomvoerende
solenoïde homogeen. We bekijken hoe sterk het veld is door een solenoïde
met n windingen en lengte l waardoor een stroom I vloeit.
Uit experimenten blijkt dat :
●
Het magnetisch veld sterker wordt naarmate de stroomsterkte
toeneemt. Nauwkeurige metingen wijzen uit dat ∣
B∣ recht evenredig
is met de stroomsterkte I.
●
Het magnetisch veld sterker is in solenoïdes met een groter aantal
windingen. Nauwkeurige metingen wijzen uit dat ∣
B∣ recht evenredig
is met het aantal windingen n.
●
Het magnetisch veld sterker wordt naarmate de dichtheid van de
windingen groter wordt. Met andere woorden, voor een spoel met een
gegeven aantal windingen, wordt het magnetisch veld sterker als we de
lengte van de spoel kleiner maken. Nauwkeurige metingen wijzen uit dat
∣
B∣ omgekeerd evenredig is met l.
●
De sterkte van het magnetisch veld hangt eveneens af van de
middenstof. Als we in de spoel een ijzeren kern schuiven, zal de
magnetische veldsterkte aanzienlijk toenemen.
Samengevat wordt dit :
nI
∣
B∣=⋅
l
8.4
Toepassingen
8.4.1
Kracht op twee evenwijdige geleiders
Beschouw twee evenwijdige geleiders, op kleine afstand van elkaar. De geleiders
zijn zodanig verbonden met een spanningsbron dat de stroom door beide
geleiders in dezelfde zin loopt. Wat neem je waar ? Wat gebeurt er als we de
geleiders zodanig verbinden met een spanningsbron dat de stroom in beide
geleiders in tegengestelde zin loopt ?
We geven nu een verklaring voor het
fenomeen als de zin van de stroom in
beide geleiders dezelfde is. Het geval
van tegengestelde zin laten we als
oefening aan de lezer.
Noemen we I1 de stroom door
geleider 1, en I2 de stroom door
geleider 2. Veronderstellen we dat de
afstand tussen beide geleiders gelijk
is aan r.
Afbeelding 92: Krachtwerking tussen
twee evenwijdige geleiders als de
stroom in dezelfde zin vloeit (A) en in
tegengestelde zin (B)
We bekijken nu de opstelling in
bovenaanzicht.
Op
onderstaande
figuur is de stroom weergegeven
(loopt in het blad, aangegeven door
een bolletje met kruisje erin).
Noemen we B1 de veldsterkte van
het magnetisch veld opgewekt door I1
72
Elektro-magnetisme
op een afstand r (dus op de positie van de
tweede geleider). Op de figuur staan zowel
B als de veldlijnen aangeduid. De zin van
1
de veldlijnen bepaal je met de eerste
rechterhandregel. Als je de de zin van B1
hebt bepaald, kan je met de derde
rechterhandregel de zin van F1,2 bepalen,
de kracht uitgeoefend door geleider 1 op
geleider 2.
Je kan hieruit afleiden dat twee geleiders
met stroom in dezelfde zin elkaar zullen
aantrekken.
Afbeelding 93: Veldsterkte opgewekt
door geleider 1 op positie van geleider
2 en kracht uitgeoefend door geleider
1 op geleider 2.
Bereken we nu de kracht per lengte-eenheid
uitgeoefend door geleider 1 op geleider 2.
I1 veroorzaakt op de positie van geleider 2
B1 , waarvan de
een magnetisch veld
grootte gegeven wordt door :
∣B1∣=
⋅I 1
2 ⋅r
Op een lengte l van de tweede geleider (die zich in het magnetisch veld
B1
bevindt) werkt een kracht F1,2 gegeven door
∣ F1,2∣=∣B1∣⋅I 2⋅l
⋅I 1⋅I 2
∣F1,2∣=
⋅l
2⋅r
De kracht per lengte-eenheid op geleider 2 wordt bijgevolg gegeven door :
F 2,1 ⋅I 1⋅I 2
=
l
2⋅r
Wat weet je over de kracht per lengte-eenheid uitgeoefend door geleider 2 op
geleider 1 ?
8.4.2
De elektromotor
Een eenvoudige gelijkstroommotor bestaat uit een rechthoekige geleider (spoel),
die draaibaar is opgesteld in een homogeen magnetisch veld. Als de geleider
over een spanningsbron wordt geschakeld, zal er stroom vloeien door de
geleider.
Doordat de geleider zich in een magnetisch veld bevindt, zal er een kracht
werken op de geleider.
We bekijken nu hoe deze krachten gericht zijn. We vertrekken vanuit de situatie
dat het raam evenwijdig gericht is aan de magnetische veldlijnen (afbeelding
25). Op de delen van de spoel die evenwijdig staan met de richting van het
magnetisch veld (bvb het deel tussen B en C), zal geen kracht inwerken
(waarom niet ?).
Op het gedeelte tussen A en B zal een kracht F 1 inwerken met zin loodrecht
naar boven op het vlak van de spoel. Op het gedeelte tussen C en D zal een
73
Elektro-magnetisme
kracht F 2
inwerken met zin
loodrecht naar beneden op het
vlak van de spoel. Onder invloed
van deze krachten zal de spoel
beginnen draaien in wijzerzin en
zich proberen richten loodrecht op
de veldlijnen.
De zin van de krachten F 1 en
F zal niet wijzigen als het raam
2
Afbeelding 94: Constructie van een
eenvoudige elektro-motor.
begint
te
draaien
(verklaar
waarom), zelfs niet als het raam
helemaal in verticale positie komt
te staan. Doordat de zin van F 1
en F 2 niet wijzigt als de geleider
voorbij de verticale stand draait, wordt zijn beweging eerst afgeremd en draait
hij dan in tegenwijzerzin terug naar de verticale stand.
Tenzij de stroomzin in de geleider zou
omkeren op het moment dat het raam
loodrecht op de veldlijnen staat: dan
keert ook de zin van de lorentzkrachten
om. Daardoor blijft de geleider in dezelfde
zin draaien: je hebt een elektrische
motor. Elektro-magnetische energie
wordt omgezet in bewegingsenergie.
De stroomzin omkeren gebeurt met een
commutator: elk uiteinde van de spoel is
verbonden met een halve koperen ring.
Die zijn van elkaar gescheiden door een
isolator. Ze maken permanent contact
met de bron doordat ze glijden tegen
sleepcontacten die verbonden zijn met de
bron.
In afbeelding 94 is een commutator
voorgesteld. De positieve pool van de
Afbeelding 95: Krachtwerking
bron is verbonden met het punt P van de
geleider (a). Als de geleider 90° gedraaid
op spoel van een elektromotor.
is, maakt hij even geen contact met de
bron (b) zodat de stroom nul is. Als hij nog verder draait (c) maakt het punt P
van de geleider contact met de negatieve pool van de bron. De stroomzin van de
geleider is nu omgekeerd.
74
Elektro-magnetisme
Afbeelding 96: Principe van een commutator.
In afbeelding 95 wordt de spoel voorgesteld in vier opeenvolgende standen
tijdens één omwenteling. De stroom loopt altijd volgens de wijzerzin.
In stand a staat het vlak van de geleider verticaal, evenwijdig met de veldlijnen.
De geleider draait – in tegenwijzerzin – via stand b tot in stand c. De stroom
loopt telkens van A naar B. In stand c is de geleider bijna horizontaal. Even later
gaat hij door het horizontale vlak en wisselt het contact van de halve ringen met
de sleepcontacten.
In stand d loopt de stroom van B naar A. De stroomzin in de geleider is nu
tegengesteld aan de stroomzin in de vorige drie posities. De geleider blijft
draaien in tegenwijzerzin.
Afbeelding 97: Opeenvolgende standen de spoel in een draaiende motor.
75
Elektro-magnetisme
In werkelijkheid telt een motor niet slechts één rechthoekige geleider, maar
verschillende windingen, waardoor de krachten groter zullen zijn.
Als de windingen in hetzelfde vlak liggen, start de motor niet als hij stilvalt met
het vlak van de windingen loodrecht op de veldlijnen. Daarom liggen de
windingen bij een motor niet in één enkel vlak. Het magnetisch veld is meestal
niet afkomstig van een permanente magneet, maar van een elektromagneet.
Afbeelding 98: Een elektromoto met meerdere
windingen onder verschillende hoeken.
76
Elektro-magnetisme
8.5
Oefeningen
1. Bepaal de grootte van de kracht inwerkend op een verticale koperdraad
van 20,0 cm lengte, waardoor een stroom van 6A vloeit, in een homogeen
horizontaal magnetisch veld van 0,1 T.
2. Door een verticale geleider met lengte van 10,0 cm loopt een stroom van
2,00 A. De geleider hangt in een horizontaal homogeen magnetisch veld
met een veldsterkte van 0,40 T. Maak een schets en duid de richting en
zin van de kracht op de geleider aan. Bereken ook de grootte.
3. Door een geleider met een lengte van 20,0 cm loopt een stroom van 5,00
A. De geleider bevindt zich in een magnetisch veld; de hoek tussen de
geleider en de magnetische veldsterkte is 60°. De kracht op de geleider is
2.10-5 N. Hoe groot is de magnetische veldsterkte ?
4. Een rechte stroomgeleider van 50 mm lengte wordt doorlopen door een
stroom van 1,5 A en ondervindt een kracht van 4,5 mN als hij in een
homogeen magnetisch veld van 0,090 T wordt geplaatst. Welke hoek
sluiten de magnetische veldsterkte en de geleider met elkaar in ?
5. De afstand tussen twee evenwijdige geleiders bedraagt 5,00 cm. De
geleiders oefenen op elkaar een per lengte-eenheid een kracht uit van
6.10-5 N/m uit. Door de eerste geleider loopt een stroom van 2,00 A. Hoe
groot is de stroom door de tweede geleider ?
6. Een lange solenoïde heeft 1200 windingen en een totale lengte van 20,0
cm. Ze wordt door een stroom van 7,0 A doorlopen. Bereken de grootte
van de magnetische veldsterkte in het midden, indien de middenstof het
luchtledige is.
7. Door ieder van twee lange rechte evenwijdige draden die op 10 cm van
elkaar staan, gaat een stroom van 9,0 A. Maak en schets van de
opstelling en duid de richting en zin van de magnetische veldsterkte aan.
Bereken in alle gevallen eveneens de grootte van de magnetische
veldsterkte in het aangegeven punt :
•
In het midden tussen de draden, als de stroomzin in beide draden
dezelfde is.
•
In het midden tussen de draden, als de stroomzin in beide draden
tegengesteld is.
•
In een punt op 3,00 cm van de ene en 7,00 cm van de andere, indien
de stroomzin in beide tegengesteld is.
77