Eenzame priemgetallen?

Eenzame priemgetallen?
In 1975 merkte de Duitse wiskundige Don Zagier tijdens een lezing het volgende op:
Er zijn twee feiten over de verdeling van priemgetallen, waarvan ik u zo overweldigend hoop te
overtuigen dat zij permanent in uw geheugen gegrift staan. De eerste is dat, ondanks hun eenvoudige
definitie en rol als bouwstenen van de natuurlijke getallen, de priemgetallen tussen de natuurlijke
getallen als onkruid groeien, waarbij zij schijnbaar aan geen andere wet dan aan de wetten van het
toeval gehoorzamen, en niemand kan voorspellen, waar het volgende priemgetal zal opduiken. Het
tweede feit is des te meer verbazingwekkend, want het stelt precies het tegenovergestelde: de
priemgetallen vertonen een verbluffende regelmaat, er bestaan wetten die hun gedrag regeren, en de
priemgetallen gehoorzamen met bijna militaire precisie aan deze wetten.
Je hebt zeker al een indruk gekregen van het onkruid-karakter van de priemgetallen. In deze werktekst zal
je meer te weten komen over het militaire karakter van deze bijzondere getallen.
In de wiskunde wordt het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan x genoteerd als π ( x)
.
1. Zoek het aantal priemgetallen tussen 1 en 100. Gebruik SofthMaths! Wat is de gemiddelde
afstand tussen de priemgetallen tussen 1 en 100? Gebruik de juiste notaties voor de gevonden
getallen.
2. Doe hetzelfde voor de priemgetallen tussen 1 en 500, tussen 1 en 1000.
3. Vul nu de volgende tabel aan.
π ( x)
x
102
5 ⋅102
103
104
105
106
107
108
x
π ( x)
1 229
9 592
78 498
664 579
5 761 455
4. We kunnen uit de stelling van Hadamard-de La Vallée-Poussin afleiden dat de breedtes van
de gaten tussen de priemgetallen kleiner dan x gemiddeld ongeveer ln x zijn. Verklaar.
5. Het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan x is dus ongeveer gelijk aan x / ln x x ln x
wanneer x groot is. Schat aan de hand van deze bewering het aantal priemgetallen kleiner dan
100000.
6. Hoeveel procent wijkt deze schatting af van de werkelijke waarde π (100000) = 9592
?π 100000 = 9592?
7. Welk percentage (ruw geschat) van de getallen kleiner dan 100000 is priem?
8. Wat is dat percentage bij de getallen onder 1015 als je weet dat π (1015 ) = 29 844 570 422 669
?
9. Hoe groot moet je, ruwweg en afgaande op de schatting, n nemen om er voor te zorgen dat
gemiddeld nog maar 1 op elke 100 getallen onder n priem is? Bepaal het aantal cijfers van dat
getal n.
10. Uit de stelling van Hadamard en de La Vallée-Poussin kunnen we afleiden dat de kans dat een
!
1
getal met hoogstens n cijfers priem is, ongeveer gelijk moet zijn aan
. Verklaar!
!
!"
!"
n ln10
Uitwiskeling werktekst
1