Nieuwe priemtweeling ontdekt

Nieuwe priemtweeling ontdekt
Kennislink.nl, 18 januari 2007
Op 15 januari 2007 werd een nieuwe priemtweeling gevonden: de getallen 2003663613 x 2195000 - 1 en
2003663613 x 2195000 + 1. Deze getallen hebben 58711 cijfers en vormen daarmee de grootst bekende
priemtweeling die tot nu toe. Niemand weet hoeveel priemtweelingen er bestaan.
Sinds Euclides (300 jaar voor Christus) is al bekend dat er oneindig veel priemgetallen, getallen die slechts deelbaar zijn door 1
en zichzelf, bestaan. Maar in de getallentheorie zijn vandaag de dag nog steeds veel uitdagende vragen over priemgetallen waar
nog niemand een antwoord op weet. Een van die vragen is: bestaan er oneindig veel priemtweelingen?
Figuur 1 De priemgetallen kleiner dan duizend. Met rode pijlen zijn de priemtweelingen aangegeven.
Priemtweelingen
In figuur 1 zijn de priemgetallen onder de duizend met pijlen in beeld gebracht. Met rode pijlen zijn de priemtweelingen
aangegeven, dat wil zeggen de paren priemgetallen die een verschil van precies 2 hebben. Omdat alle priemgetallen groter dan 2
oneven zijn, is er behalve het paar (2, 3) geen tweetal met verschil 1. De priemtweelingen zijn dus de 'naaste buren' in de rij van
alle priemgetallen.
In figuur 1 zie je heel wat priemtweelingen: (3,5), (5,7), (11,13), ..., maar ook bijvoorbeeld (599,601) en (881,883). Tussen 700 en
800 zit geen enkele tweeling en evenmin tussen 900 en 1000. Worden de priemtweelingen op den duur steeds zeldzamer?
Houdt de rij misschien zelfs op een zeker moment op? We weten het niet. Een heel beroemd open probleem is namelijk:
Zijn er oneindig veel priemtweelingen?
En, daaraan verwant:
Als er oneindig veel priemtweelingen zijn, hoe liggen die dan verdeeld?
Naar deze problemen is al veel onderzoek gedaan, maar de definitieve antwoorden kennen we nog steeds niet. Bijna alle experts
geloven dat er inderdaad oneindig veel priemtweelingen zijn en er zijn ook plausibele vermoedens over hun verdeling, zie figuur
2, maar bewijzen ontbreken. Een paar keer per jaar wordt er een nieuwe priemtweeling gevonden. Op 15 januari 2007 werd de
laatste – en tevens grootste – ontdekt door Eric Vautier uit Frankrijk: het getallenpaar 2003663613 x 2195000 + 1 bestaat uit
twee priemgetallen van elk 51090 cijfers. Op onderstaande link is de top 20 van grootste priemtweelingen te zien.
Figuur 2 Een grafiek van de priemtweelingen-telfunctie: het aantal priemtweelingen (p, p+2) waarvoor geldt dat p < x. Op grote
schaal ziet deze functie er tamelijk glad uit. Men vermoedt dat deze grafiek zich zo voortzet voor grote waarden van x.
Computerproject
De priemtweelingen die in de laatste jaren zijn ontdekt, werden gevonden in het kader van Twin Prime Search, een project
waaraan iedereen kan meedoen door de rekencapaciteit van zijn computer optimaal te benutten. Het gaat hierbij om het zoeken
naar speciale priemtweelingen, namelijk priemtweelingen van de vorm k x 2n + 1 en k x 2n - 1. Ook Eric Vautier vond ‘zijn’
priemtweeling via dit project. Dergelijke projecten zijn er veel: priemgetallen van de vorm 2n - 1, de zogenaamde Mersennepriemgetallen, worden gezocht in het project Great Internet Mersenne Prime Search. Jaarlijks worden enkele Mersennepriemgetallen via dit project gevonden. De Universiteit Leiden laat sinds januari 2007 vrijwilligers via een dergelijk project
zoeken naar abc-drietallen.
De constante van Brun
De Noorse wiskundige Viggo Brun (1885-1978) bewees het volgende opmerkelijke resultaat over priemtweelingen: de som (1/3 +
1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + (1/17 + 1/19) + (1/29 + 1/31) + …, waarbij in de noemers de priemtweelingen staan,
convergeert, dat wil zeggen: nadert naar een limietwaarde. Ook al weten we nog niet of er oneindig veel priemtweelingen
bestaan, het is wél al bewezen dat de genoemde som een eindige waarde heeft! Deze waarde staat bekend als de constante van
Brun. Het is niet bekend of deze constante irrationaal of rationaal is. Wie kan bewijzen dat Bruns constante irrationaal is, heeft
óók bewezen dat er oneindig veel priemtweelingen bestaan. Een eindige som van breuken is immers wéér een breuk.
Het feit dat de genoemde som een eindige waarde heeft, betekent dat de priemtweelingen in vergelijking met de priemgetallen
dun gezaaid zijn. Er geldt namelijk dat de som 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + …, waarbij in de noemers de priemgetallen staan,
divergeert, dat wil zeggen: willekeurig groot kan worden. Deze divergentie is overigens wel uiterst traag: neem je alle
‘omgekeerden’ van priemgetallen onder de miljoen, dan komt de reeks niet verder dan 2,886.