Wiskunde Vakstudie 2

Wiskunde Vakstudie 2: Meetkunde
1. Meetkunde deel 1
1.1 Inleidende begrippen
1.1.1 Grondbegrippen.
Grondbegrippen in vlakke meetkunde
Relaties tussen grondbegrippen
Het vlak
Een punt
Een rechte
- Vlak
- Punt
- Rechte
- Ligt op
- Gaat door
Negaties van deze relaties worden ook gebruikt.
Voorgesteld door blad papier of beeldscherm.
Voorgesteld door een stip.
Notatie: grote letter.
Voorgesteld door lijn getekend met liniaal.
Notatie: kleine letter.
1.1.2 Axioma’s.
Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten.
Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling van het vlak.
Axioma 3: Een rechte is bepaald door twee verschillende punten van het vlak.
Axioma 4: Er bestaan minstens vier punten waarvan er geen drie op een zelfde rechte liggen.
Axioma 5: Door een punt gaat juist één rechte die evenwijdig is met een gegeven rechte. Dit is het
“parallellenpostulaat van Euclides”.
1.1.3 Halfrechte, lijnstuk en afstand.
Wat is een halfrechte:
Een halfrechte is langs één kant begrensd.
Een is halfrechte gedefinieerd door zijn grenspunt en een tweede punt.
Notatie: [𝐴𝐵
Wat is een lijnstuk: Een lijnstuk is begrensd door twee punten.
Notatie: [𝐴𝐵]
1.1.4 Hoek
Wat is een hoek:
Het is een deel van het vlak die uitsluitend begrensd is door twee halfrechten met een
gemeenschappelijk hoekpunt.
Een hoek wordt bepaald door twee halfrechten, die dezelfde oorsprong hebben. We noemen deze
halfrechten de benen van de hoek.
Notatie: 𝐴̂ en B𝐴̂C
Gestrekte hoek
Rechte hoek= 90°
1.1.5 Cirkel.
Wat is een cirkel:
Een cirkel is de verzameling van alle punten die op eenzelfde afstand liggen van een gegeven punt.
Notatie: c( M,r)
M is het middelpunt van de cirkel
De straal r is een positief reëel getal.
Middelpuntshoek: Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek met als hoekpunt met
middelpunt van de cirkel.
Omtrekshoek: Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt op die cirkel ligt
terwijl de benen die cirkel snijden.
Middellijn: Middellijn van een cirkel is een rechte die door het middelpunt gaat.
Koorde: Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat twee punten van de cirkel verbindt.
Boog: Een deel van de cirkel begrensd door 2 punten.
Een straal van een cirkel:
De straal van een cirkel: de afstand van een punt van de cirkel tot het middelpunt.
Een diameter van een cirkel:
Een diameter van een cirkel is een koorde die door het middelpunt van een cirkel gaat.
Een diameter van een cirkel is een middellijn als lijnstuk bekeken.
De diameter van een cirkel is de koorde die door het middelpunt gaat.
Omtrek:
Omtrek cirkel= 2. 𝜋. 𝑟
De cirkelschijf heeft een oppervlakte. We spreken kortweg van de oppervlakte van de cirkel.
Formule:
Oppervlakte= r². 𝜋
Wat is een radiaal:
De radiaal is gedefinieerd als de hoek gemeten vanuit het middelpunt van een cirkel waarvan de
lengte van de boog gelijk is aan de lengte van de straal (halve diameter van de cirkel).
𝜋
Een rechte hoek meet 2 𝑟𝑎𝑑
Twee hoeken zijn Supplementair als en slechts als de som van de hoeken 180° is.
Twee hoeken zijn Complementair als en slechts als de som van de hoeken 90° is.
Meten van een grootheid is deze vergelijken met een gelijksoortige grootheid.
1.1.6 Onderlinge ligging van rechten.
Wat zijn snijdende rechten:
Twee rechten a en b snijden elkaar als en slechts als ze juist 1 punt gemeenschappelijk hebben
Bespreek de onderlinge ligging van rechten
1) Twee rechten a en b zijn evenwijdig als en slechts als ze samenvallen of geen enkel punt
gemeenschappelijk hebben.
Overstaande hoeken bij twee snijdende rechten:
Twee hoeken zijn overstaand als en slechts als de benen van de ene hoek liggen in het verlengde van
de benen van de andere hoek.
Stelling: De overstaande hoeken bij twee snijdende rechten zijn even groot.
Bewijs:
Gegeven:
Hoek A
Rechte a en b die snijden.
ˆ  Aˆ
Te bewijzen: A
1
3
en Aˆ 2  Aˆ 4
Bewijs:
Aˆ1  Aˆ 2  180 ( gestrektehoek)
dus is Aˆ1  180   Aˆ 2
Aˆ 2  Aˆ 3  180 ( gestrekte hoek)
dus Aˆ 3  180   Aˆ 2
dus moet Aˆ1  Aˆ 3
1.1.7 Hoeken gevormd door twee rechten en een snijlijn.
Overeenkomstige hoeken:
Aˆ1  Bˆ1
Aˆ 2  Bˆ 2
Aˆ 3
 Bˆ 3
Aˆ 4  Bˆ 4
Verwisselende binnenhoeken:
Aˆ 3  Bˆ1
Aˆ 4  Bˆ 2
Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn:
Aˆ 3 en Bˆ 2
Aˆ 4 en Bˆ1
Verwisselende buitenhoeken:
Aˆ1  Bˆ 3 en Aˆ 2  Bˆ 4
Buitenhoeken aan dezelfde kan van de snijlijn:
Aˆ1 en Bˆ 4
Aˆ 2 en Bˆ 3
Stelling: Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde recht, dan zijn elke twee
overeenkomstige hoeken gelijk.
- Gevolgen: Als twee evenwijdigen gesneden worden door een derde rechte, dan zijn
o Elke twee verwisselende binnenhoeken gelijk;
o Elke twee verwisselende buitenhoeken gelijk;
o Elke twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair;
o Elke twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair.
Omgekeerde stelling:
Als bij twee rechten die gesneden worden door eenzelfde derde rechte, twee overeenkomstige
hoeken gelijk zijn, dan zijn deze twee rechten evenwijdig.
- Gevolgen: Als bij twee rechten die gesneden worden door eenzelfde derde recht,
o Twee verwisselende binnenhoeken gelijk zijn, dan zijn deze twee rechten evenwijdig.
o Twee verwisselende buitenhoeken gelijk zijn, dan zijn deze twee rechten evenwijdig.
o Twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn, dan zijn
deze twee rechten evenwijdig.
o Twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn, dan zijn
deze twee rechten evenwijdig.
1.1.8 Middelloodlijn van een lijnstuk en deellijn van een hoek.
Wat is de middelloodlijn van een lijnstuk:
De middelloodlijn van een lijnstuk AB is de rechte m die door het midden van dit lijnstuk gaat en
loodrecht staat op de drager van dit lijnstuk.
De deellijn van een hoek:
De deellijn van een hoek is de rechte die de hoek in 2 gelijke hoeken verdeelt.
Deellijn van 2 snijdende rechten:
De deellijn van een hoek is ook de deellijn van de overstaande hoek: Opdracht 7.
1.1.9 Projecties.
1.1.10 Spiegelingen
1.1.11 Afstandsvraagstukken
1.1.12 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel
Wat is een raaklijn aan de cirkel:
Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel
gemeenschappelijk heeft.
De afstand van het middelpunt van de cirkel tot de raaklijn is gelijk aan de straal van de cirkel.
1.2 Driehoeken
1.2.1 Benamingen en notaties
Teken een driehoek waarvan de lengte van de drie zijden gegeven is. Kan je bij drie willekeurige
lengtes steeds een driehoek tekenen.
Stelling
In een driehoek is een zijde korter dan de som van de lengtes van de twee andere zijden en langer
dan het verschil van de lengtes van de twee andere zijden. Dit is de driehoeksongelijkheid in een
driehoek.
L1  L2  L3
Voorwaarde driehoek te tekenen.
L1  L2  L3
L2  L1  L3
L3  L1  L2
L1  L2  L3
1.2.2 Eigenschappen van de hoeken en de zijden van een driehoek.
Stelling
De som van de hoeken van een driehoek is gelijk aan  (radialen).
Bewijs
Stelling: Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de niet aanliggende
binnenhoeken.
Bewijs:
1.2.3. Soorten driehoeken:
Een scherphoekige driehoek: is een driehoek waarvan alle hoeken scherp zijn
Een stomphoekige driehoek: is een driehoek waarvan één hoek stomp is.
Een rechthoekige driehoek: is een driehoek waarvan een hoek recht is.
Een ongelijkzijdige driehoek: is een driehoek die niet gelijkbenig is( d.w.z. drie zijden met
verschillende lengte).
Een gelijkbenige driehoek: is een driehoek waarvan minstens 2 zijden even lang zijn.
Een gelijkzijdige driehoek: is een driehoek waarvan de 3 zijden even lang zijn.
Bij een gelijkbenige driehoek ABC met |AB|=|AC| spreken we over de top A en de tophoek Â, over
de benen [AB] en [AC], over de basis [BC] en over de basishoeken ∡B en ∡C.
1.2.4 Congruente driehoeken.
Twee driehoeken zijn congruent dan en slechts dan als de drie zijden van de ene driehoek even lang
zijn als de zijden van de tweede driehoek en als de drie hoeken van ene driehoek even groot zijn als
de hoeken van de tweede driehoek.
ABCA’B’C’
1) |AB|=|A’B’|
4) Aˆ  Aˆ '
2) |AC|=|A’C’|
5) Bˆ  Bˆ '
3) |BC|=|B’C’|
6) Cˆ  Cˆ '
Congruentiekenmerken:
Kenmerk 1: ZHZ
Twee driehoeken zijn congruent als twee zijden van de ene driehoek even lang zijn als twee zijden
van de andere driehoek en die ingesloten hoeken even groot zijn.
Kenmerk 2: HZH
Twee driehoeken zijn congruent als een paar zijden van de tweede driehoeken even lang zijn en de
twee paar aanliggende hoeken gelijk zijn.
Gevolgen kenmerk 2: ZHH
Twee driehoeken zijn congruent als een paar zijden van de twee driehoeken even lang zijn een
aanliggende hoeken gelijk zijn en het paar overstaande hoeken gelijk zijn.
Kenmerk 3: ZZZ
Twee driehoeken zijn congruent als 3 zijden van de eerste driehoek even lang zijn als 3 zijden van de
andere driehoek.
Kenmerk 4 ( voor rechthoekige driehoeken)
Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als de schuine zijde en een rechthoekszijde van de ene
driehoek even lang zijn als de schuine zijde en een rechthoekszijde van de andere driehoek.
1.2.5 Merkwaardige lijnen in een driehoek.
Wat is een middelloodlijn van een driehoek?
Een middelloodlijn van een driehoek is de rechte die door het midden gaat van een zijde en
loodrecht staat op de drager van deze zijde.
Wat is een deellijn van een driehoek?
Een deellijn ( bissectrice) van een driehoek is de rechte die door een hoekpunt gaat en de bijhorende
hoek in twee gelijke delen verdeelt.
Wat is een hoogtelijn in een driehoek?
Een hoogtelijn van een driehoek is de loodlijn uit een hoekpunt op de drager van de overstaande
zijde.
Wat is een hoogte van en driehoek?
Een hoogte van een driehoek is de afstand van een hoekpunt tot de overstaande zijde.
Wat is een zwaartelijn in een driehoek?
Een zwaartelijn van een driehoek is de rechte door een hoekpunt en door het midden van de
overstaande zijde.
De term zwaartelijn wordt in twee betekenissen gebruikt. Al naar het geval wordt de rechte of het
lijnstuk binnen de driehoek bedoeld.
1.2.6 Eigenschap in een gelijkbenige driehoek.
Stelling:
In een gelijkbenige driehoek is de deellijn van de tophoek ook de zwaartelijn en de hoogtelijn door
de top. Ze is ook de middelloodlijn van de basis.
1.2.7 Kenmerk van een gelijkbenige driehoek.
Stelling:
In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken even groot.
Bewijs:
Omgekeerd: Als in een driehoek twee hoeken even groot zijn, dan is de driehoek gelijkbenig.
Bewijs:
Wat is een kenmerk: Een stelling en een omgekeerde. Vanaf we als en slechts als hebben.
Wat is een criterium: Het zelfde als een kenmerk.
1.2.8 Kenmerk van een rechthoekige driehoek.
Stelling
In een rechthoekige driehoek is de lengte van zwaartelijn naar de schuine zijde gelijk aan de helft
van de lengte van die zijde.
Bewijs:
Omgekeerde stelling
Als in een driehoek een zwaartelijn naar een zijde gelijk is aan de helft van die zijde, dan is de hoek
tegenover die zijde recht.
Bewijs:
1.2.9 Verband tussen zijden en hoeken in een driehoek.
Stelling
Als twee zijden van een driehoek ongelijk zijn, dan ligt de grootste hoek tegenover de langste zijde.
Stelling
Als twee zijden van een driehoek ongelijk zijn dan ligt de langste zijde tegenover de grootste hoek.
1.2.10 Kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk.
Stelling
Een punt dat op gelijke afstand ligt van twee gegeven punten, ligt op de middelloodlijn van het
lijnstuk bepaald door de gegeven punten.
Omgekeerde stelling
Elk punt van de middelloodlijn van een lijnstuk ligt op gelijke afstand van de grenspunten van het
lijnstuk.
Bewijs:
1.2.11 Kenmerk van de deellijn van een hoek.
Een punt dat op gelijke afstand ligt van twee gegeven snijdende rechten, ligt op de deellijn van de
hoek gevormd door de twee rechten.
Omgekeerd
Als een punt op de deellijn ligt van de hoek gevormd door twee snijdende rechten dan ligt het even
ver van de benen van die hoek.
Construeer de deellijn van een hoek en verklaar de constructie.
1.3 Vierhoeken
1.3.1 Benamingen en notaties
Vierhoek: een vierhoek is een vlakke figuur gevormd door 4 zijden en 4 hoeken.
Wat is een diagonaal van een vierhoek:
Een verbindingslijnstuk van 2 overstaande hoekpunten.
Wat is een koordenvierhoek:
Een convexe vierhoek heet koordenvierhoek als de hoekpunten op één cirkel liggen.
1.3.2 Soorten vierhoeken
Een vierkant: Een vierkant is een vierhoek met vier gelijke zijden en met 4 gelijke rechte hoeken.
In een vierkant zijn de diagonalen even lang, staan ze loodrecht op elkaar en delen elkaar
middendoor.
Een rechthoek: Een rechthoek is een vierhoek met 4 rechte hoeken.
|AB| is de lengte van de rechthoek
|AD| is de breedte van de rechthoek.
In een rechthoek zijn de diagonalen even lang( en delen ze elkaar middendoor).
Een ruit: Een ruit is een vierhoek met 4 gelijke zijden.
In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar en delen ze elkaar middendoor.
Een Parallellogram: Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden.
Schuine zijden: [AD] en [BC]
De hoogte: [AE]
De diagonalen van een parallellogram delen elkaar middendoor.
Een trapezium: Een trapezium is een vierhoek met tenminste één paar evenwijdige zijden.
[AD] is de kleine basis van de trapezium
[BC] is de grote basis van de trapezium
[AF] is de hoogte van de trapezium
Een gelijkbenig trapezium: Een trapezium waarvan de opstaande zijden even lang en niet evenwijdig
zijn noemt men een gelijkbenig trapezium.
1.1.3 oppervlakte
Vierkant:
Oppervlakte=Zijde. Zijde= z²
Parallellogram:
Oppervlakte=b.h
Ruit:
Oppervlakte= kleine diagonaal. Grote diagonaal:2
Oppervlakte=
Dd
2
Trapezium: oppervlakte=
kleine basis . grote basis
.hoogte
2
b.B
.h
2
1.4 Veelhoeken
Oppervlakte=
1.4.1 Convexe veelhoeken
Definitie convexe veelhoek:
Is een veelhoek waarvan de diagonalen binnen de figuur zelf liggen.
Bepaal formule voor de som van de hoeken van een convexe veelhoek.
Bepaal de formule voor het aantal diagonalen van een convexe veelhoek.
n   n  3
Aantal diagonalen van een convexe veelhoek:
2
1.4.2 Regelmatige veelhoeken
Definitie van een regelmatige veelhoek:
Veelhoeken waarvan alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot zijn.
Toon aan dat de straal van de omgeschreven cirkel van een regelmatige zeshoek gelijk is aan de zijde
van deze zeshoek.
1.5 Nog meer over driehoeken
1.5.1 Kenmerk van de middenparallel van een driehoek.
Wat is een middenparallel van een driehoek:
De lijn door de middens van twee zijden van een driehoek is een middenparallel van die driehoek.
Stelling1:
Het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt, is evenwijdig met de derde
zijde en gelijk aan de helft ervan.
Bewijs:
In driehoek ABC zijn D en E de middens van
AB en AC.
Trek nu CG // AB en verleng ED tot G.
Nu is in de driehoeken ADE, CDG:
(1) hoek A = hoek C (Z-hoeken)
(2) |AD| = |CD|
(3) hoek D = hoek D (overstaande hoeken)
Dus ADE, CDG zijn congruent (HZH),
waaruit volgt dat |CG| = |AE| = |EB| ......(4)
en
ED = DG = ½EG ......(5)
Nu is BCGE een parallellogram, waaruit volgt
dat EG // BC, en dus ook ED // BC.
Maar ook BC = EG, zodat uit (5) volgt: ED =
½BC 
Stelling2:
Als een rechte door het midden van een zijde van driehoek gaat en evenwijdig is met een tweede
zijde, dan gaat ze door het midden van de derde zijde
Bewijs:
geg: ABC, rechte a//CB
a door E met |AE|=|EB|
te bewijzen:
a door midden van [AB] of |AD|=|DC|
bewijs:
CG//AE en EGCB parallellogram.
|GC|=|AE| (parallellogram)
Dˆ 1  Dˆ 2 (overstaande hoeken)
Aˆ  Bˆ (verwisselende binnenhoeken bij
1
CG//AB, snijlijn AC
ADECDG (ZHH)
|AD|=|CD|
1.5.2 Merkwaardige punten in een driehoek:
De middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt en dit punt is het middelpunt van de
omgeschreven cirkel van de driehoek.
De deellijnen van een driehoek gaan door één punt en dit punt is het middelpunt van de
ingeschreven cirkel van de driehoek.
De hoogtelijnen van een driehoek zijn concurrent. Het snijpunt heet het hoogtepunt van de driehoek.
De zwaartelijnen zijn concurrent. Het zwaartepunt verdeelt de zwaartelijn in twee stukken waarvan
het stuk van het zwaartepunt tot het hoekpunt het dubbele is van het andere stuk.
1.6 Congruente figuren
1.6.1 Definitie van Congruente figuren.
Wat zijn congruente figuren: zijn 2 figuren die dezelfde grote en dezelfde vorm hebben.
Notatie: fig F  fig F’
Welke eigenschappen hebben congruente figuren?
- even grote overeenkomstige hoeken
- even lange overeenkomstige zijden.
Congruente figuren kunnen door een translatie of een verschuiving, door een rotatie of draaiing,
door een spiegeling of door een samenstelling van deze transformatie in elkaar overgaan.
1.7 Cirkeleigenschappen
1.7.1 Eigenschappen in een cirkel.
Stelling1:
Een middellijn loodrecht op een koorde deelt de koorde middendoor.
Wat is het apothema van een koorde?
Het apothema van een koorde is het lijnstuk dat vanuit het middenpunt loodrecht op de koorde
staat.
Stelling 2:
Even lange koorden in een cirkel hebben even lange apothema’s
Stelling 3:
Een omtrekshoek van een cirkel is de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat in de
cirkel.
Stelling 4:
Omtrekshoeken op eenzelfde boog of op gelijke bogen zijn even groot.
- Uit vorige stelling omtrekshoek is helft van de middelpuntshoek op dezelfde boog.
- Als je twee hoeken hebt met de zelfde boog en zelfde middelpuntshoek.
Geg:
 
 

Aˆ op PQ

Bˆ op PQ


P Q  PQ
TB : Aˆ  Bˆ
1
B : Aˆ  Mˆ 1
2
1
Bˆ  Mˆ 2
2
Booglente = r. ( zie 1.1)

PQ  r.Mˆ 1

PQ  r.Mˆ 2
 Mˆ 1  Mˆ 2  Aˆ  Dˆ
Of Hoek A, B en C staan alle drie op dezelfde boog PQ
Dus Hoek PMG is het dubbel van PBQ, PAQ en PCQ.
Dus hoek B=hoek A=hoek C
Stelling 5:
Elke omtrekshoek die op een halve cirkel staat, is recht.
Geg: driehoek BAC
Te bewijzen: Hoek BAC= ½ BMC
Bewijs: Een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat: Boog
hier|BC| gemeenschappelijk.
Dus hoek APB= ½. AMB=1/2.180°=90°
Stelling 6:
In een koordenvierhoek zijn de overstaande hoeken elkaars supplement.
Wat is een raakomtrekshoek van een cirkel?
Een raakomtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en waarvan
een been de cirkel snijdt en het andere been de cirkel raakt.
Stelling 7:
Een raakomtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat.
Stelling 8:
Een raaklijn aan de cirkel staat loodrecht op de middellijn door het raakpunt.
1.7.2 Onderlinge ligging van 2 cirkels.
1.7.3 Constructies van raaklijnen.
Construeer de raaklijn in een punt aan een cirkel
Construeer de raaklijn uit een punt aan een cirkel
Construeer de gemeenschappelijke raaklijnen aan twee cirkels.( inwendige en uitwendige raaklijnen).
Gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen.
Gemeenschappelijke inwendige raaklijnen.
1.8 De stelling van Thales
1.8.1 Evenredige lijnstukken.
Met de verhoudingen van twee lijnstukken bedoelen we de verhouding van de lengtes van de
lijnstukken.
Als de verhouding van twee lijnstukken gelijk is aan de verhouding van twee andere lijnstukken, dan
ontstaat een evenredigheid zoals we die in de getallenleer bestuderen. De lijnstukken zijn dan
evenredig genoemd.
AB
CD

EF
GH
1.8.3 De stelling van Thales
De lijnstukken die evenwijdige rechten van een snijlijn afsnijden zijn evenredig met de
overeenkomstige lijnstukken die ze afsnijden van elke andere snijlijn.
AB
CD

A' B'
C ' D'
Omgekeerde stelling
Als twee rechten AA’ en BB’ evenwijdig zijn waarbij C een punt van AB en C’ een punt van A’B’ is en
waarbij de lijnstukken[AB],[CB],[A’C’] en [C’B’] een evenredigheid vormen, dan is ook de rechte CC’
evenwijdig met AA’( en met BB’)
1.8.3 Constructie
Zie oefeningen
1.9 Gelijkvormige figuren
1.9.1 Definitie van gelijkvormige figuren.
Wat zijn gelijkvormige figuren:
Figuren met dezelfde vorm waarbij de overeenkomstige hoeken even groot zijn en de
overeenkomstige zijden dezelfde verhouding hebben.
Notatie: fig F Fig F’
Eigenschappen
Verklaar waarom alle vierkanten gelijkvormig zijn.
Verklaar waarom alle cirkels gelijkvormig zijn:
De cirkel is altijd gelijkvormig omdat ze allemaal een hoek hebben van 360 graden. Ze hebben
dezelfde vorm en de straal bedraagt bij tot de verhouding.
Als [AB] een lijnstuk van de eerste figuur F is en [A’B’] een lijnstuk van de gelijkvormige figuur F’ is,
dan is de verhouding
AB
A' B'
 k de gelijkvormigheidsfactor van de gelijkvormigheid genoemd.
1.9.2 Gelijkvormige driehoeken.
Twee driehoeken zijn gelijkvormig dan en slecht dan als de lengte van de overeenkomstige zijden van
de twee driehoeken dezelfde verhouding hebben en als de overeenkomstige hoeken even groot zijn.
Notatie:ABCDEF
- Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee hoeken van de ene gelijk zijn aan twee hoeken
van de andere.(HH)
o Geg: ABC en DEF
o
-
Aˆ  Dˆ en Bˆ  Eˆ
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee zijden van de ene driehoek evenredig zijn met
Z Z
H 
Z Z
twee zijden van de andere driehoek en de ingesloten hoeken gelijk zijn. 
o
Dus als Aˆ  Dˆ
AB
DE
-

BC
EF

CA
FD
dan ABCDEF
Als de 3 zijden van een driehoek evenredig zijn met de zijden van een andere, dan zijn deze
Z Z Z

Z Z Z
twee driehoeken gelijkvormig als 
1.10 Stelling van Pythagoras
1.10.1 Hulpstellingen
Bewijs de volgende zeer belangrijke stellingen in een rechthoekige driehoek.
Stelling 1:
In een rechthoekige driehoek is de hoogtelijn op de schuine zijde middelevenredig tussen de stukken
waarin ze de schuinde zijde verdeelt.
Stelling 2
In een rechthoekige driehoek is elke rechthoekszijde middelevenredig tussen de schuine zijde en
haar loodrechte projectie op de schuine zijde.
1.10.2 De stelling van Pythagoras
Stelling
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de
kwadraten van de rechthoekszijde.
Bewijs
Omgekeerde stelling:
Als in een driehoek het kwadraat van één zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de andere
zijde dan is de hoek tegenover die zijde recht.
1.10.3 Constructies
Construeer Vierkantswortel (n). Hierbij is n een natuurlijk getal.
Construeer de middelevenredige bij twee gegeven lijnstukken.
1.10.4 Oefeningen
1.11 Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek.
1.11.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek.
Wat is de sinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek?
De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het
beeldpunt van die hoek op de goniometrische cirkel.
( met andere woorden de y-coördinaat.)
Wat is de cosinus van een scherp hoek in een rechthoekige driehoek?
De cosinus van een hoek is het eerste coördinaat getal van het beelpunt van die hoek op de
goniometrische cirkel.( met andere woorden de x-coördinaat).
Wat is de tangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek?
De tangens van een hoek(90° + k. 180°) is het quotiënt van de sinus van die hoek  en de cosinus
van de hoek .
Voorwaarde dat cos0
Wat is de cotanges van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek?
( met sin0)
De cotanges van een hoek  (   k. 180°) is het quotiënt van de cosinus van die hoek en dsinus van
die hoek.
=> verdere informatie in VBTL 4: p 8 t.e.m 19
2. Georiënteerde meetkunde
Inleiding
in het voorgaande deel gaat het over lijnstukken en hoeken. Een lijnstuk is bepaald door de twee
grenspunten. Een hoek is bepaald door twee halfrechten met gemeenschappelijk grenspunt,
hoekpunt van de hoek genaamd. In het volgende deel bekijken we opnieuw een lijnstuk en ee oek
maar voegen we er een oriëntatie aan toe.
2.1 Georiënteerde lijnstuk
Een lijnstuk [AB] is bepaald door de grenspunten A en B of door B en A. De volgorde van de punten
speelt geen rol. Dit is niet zo bij een georiënteerd lijnstuk.
AB heeft A als beginpunt en B als eindpunt.
BA heeft B als beginpunt en A als eindpunt.
Meteen is de notatie duidelijk. Het pijltje geeft de orientatie van het georiënteerde lijnstuk aan.
Twee georiënteerde lijnstukken zijn gelijk dan en slechts dan als ze dezelfde richting, dezelfde zin en
dezelfde lengte hebben.
Zie VBTL 2 p 51
2.2 Georiënteerde hoek
Een hoek AÔB is bepaald door de halfrechten AO] en BO] met gemeenschappelijk punt O, ongeacht
de volgorde van de benen van de hoek. De hoek wordt aangegeven door een boogje. Dit is niet zo bij
een georiënteerde hoek.
AÔB heeft als begin been [OA en als eindbeen [OB.
BÔA heeft als beginbeen [OB en als eindbeen [OA.
De volgorde van de punten in de notatie is belangrijk. Op het boogje dat de hoek toont wordt een
pijltje geplaatst dat de oriëntatie aangeeft.
Er wordt een afspraak gemaakt over het meten van georiënteerde hoeken. Als de orientatie van
beginbeen naar eindbeen in tegenwijzerzin gaat, dan krijgt de hoek een positief maatgetal; l de
oriëntatie in wijzerzin gaat, dan krijgt de hoek een negatief maatgetal.
Zie VBTL 2 p 63
2.3 Transformatie van het vlak.
Een vlak is een verzameling van punten. Een transformatie van het vlak beeldt ieder punt van het
vlak af op een punt van het vlak.
2.4 Translatie of een verschuiving
Waardoor wordt een translatie vastgelegd?
Een translatie wordt vastgelegd door een georiënteerd lijnstuk.
VBTL 2 p 50 onderaan
Wat is een translatie of verschuiving ?
De verschuiving bepaald door het georiënteerde lijnstuk [AB] is een transformatie van het vlak
waarbij elk punt X een beeld Y heeft zodat de georiënteerde lijnstukken [AB] en [XY] dezelfde zin,
richting en lengte hebben.
t 
 is de notatie van de translatie bepaald door het georiënteerde lijnstuk AB .
AB
Het beeld van een rechte door een verschuiving is een rechte. Deze rechte is evenwijdig met de
gegeven rechte.
Een verschuiving behoud:
- de lengte van een lijnstuk;
- de grootte van een hoek;
- de oppervlakte;
- de evenwijdigheid.
VBTL 2 p 51 bovenaan
2.5 Rotatie of draaiing
Waardoor wordt een draaiing bepaald?
Een rotatie word bepaald door een georiënteerde hoek.
Wat is een rotatie of draaiing?
De draaiing of rotatie met centrum O over een georiënteerde hoek α is een transformatie van het
vlak waarbij O op zichzelf wordt afgebeeld en elk ander punt X op een punt Y zodanig dat |OX|=|OY|
en ∡XOY=α.
r(O,α) is de notatie van de rotatie bepaald door het centrum O en de georiënteerde hoek α.
Het beeld van een rechte bepaald door een draaiing is een rechte.
Een draaiing beboud:
- de lengte van een lijnstuk;
- de grootte van een hoek;
- de oppervlakte;
- de evenwijdigheid.
VBTL 2 p 64
2.6 Homothetie
Waardoor wordt een homothetie bepaald?
Wat is het verband tussen de lengt van een gegeven lijnstuk en zijn beeld?
Wat is het verband tussen de oppervlakte van een figuur en zijn beeldfiguur?
2.7 Spiegelingen
VBTL 2 vanaf p 27
2.8 Samensteling van transformatie van het vlak.
3 Driehoeksmeting.
In VBTL 4: hoofdstuk 1.