Goniometrie : formularium

Jaar 6 : Formularium 6u en 7u
Formularium goniometrie
• Definities : tan α =
Gevolg : tan α =
sin α
cos α
cot α =
1
cot α
cot α =
sec α =
1
cos α
Gevolg : 1 + tan 2 α = sec2 α
• Tegengestelde hoeken
cos(−α ) = cos α
sin(α + 2kπ) = sin α, k ∈ ]
sin(−α ) = − sin α
tan(α + 2kπ) = tan α, k ∈ ]
tan(−α) = − tan α
cot(α + 2kπ) = cot α, k ∈ ]
cot(−α ) = − cot α
sin ( π2 + α ) = cos α
tan ( π2 + α ) = − cot α
cot ( π2 + α ) = − tan α
• Antisupplementaire hoeken
cos ( π2 − α ) = sin α
cos(π + α ) = − cos α
sin ( π2 − α ) = cos α
sin(π − α ) = sin α
sin(π + α ) = − sin α
tan ( π2 − α ) = cot α
tan( π − α) = − tan α
tan(π + α ) = tan α
cot ( π2 − α ) = tan α
cot(π − α) = − cot α
1 + cot 2 α = csc 2 α
• Anticomplementaire hoeken
• Complementaire hoeken
cos( π − α) = − cos α
1
sin α
cos ( π2 + α ) = − sin α
cos(α + 2kπ) = cos α, k ∈ ]
• Supplementaire hoeken
csc α =
1
tan α
• Hoofdformule : cos 2 α + sin 2 α = 1
• Gelijke hoeken
cos α
sin α
cot(π + α ) = cot α
• Bijzondere waardentabel
α
0° = 0
30° = π6
45° = π4
60° = π3
90° = π2
180° = π
270° = 32π
cos α
1
3
2
2
2
1
2
0
−1
0
sin α
0
1
2
2
2
3
2
1
0
−1
tan α
0
3
3
1
3
n.g.
0
n.g.
cot α
n.g.
3
1
0
n.g.
0
3
3
• Basisvergelijkingen
sin x = a met a ∈ [ −1, 1] ⇔ x = α + 2kπ of
x = π − α + 2kπ, k ∈ ]
sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ ]
cos x = a met a ∈ [ −1, 1] ⇔ x = α + 2kπ of
cos x = 0 ⇔ x =
x = −α + 2kπ, k ∈ ]
π
+ kπ, k ∈ ]
2
tan x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ ]
1
Jaar 6 : Formularium 6u en 7u
• Som- en verschilformules
cos(α + β) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β
sin(α + β) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β
tan(α + β) =
cos(α − β) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β
sin(α − β) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β
tan α + tan β
1 − tan α ⋅ tan β
tan(α − β) =
tan α − tan β
1 + tan α ⋅ tan β
• Formules voor de dubbele hoek
sin 2α = 2 ⋅ sin α ⋅ cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
cos 2α = 2 ⋅ cos 2 α − 1
⇒
1 + cos 2α = 2 ⋅ cos 2 α
cos 2α = 1 − 2 ⋅ sin 2 α
⇒
1 − cos 2α = 2 ⋅ sin 2 α
tan 2α =
2 ⋅ tan α
1 − tan 2 α
• Formules van Simpson : eerste vorm
• Formules van Simpson : tweede vorm
p+q
p−q
⋅ cos
2
2
p+q
p−q
⋅ sin
sin p − sin q = 2 ⋅ cos
2
2
p+q
p−q
cos p + cos q = 2 ⋅ cos
⋅ cos
2
2
p+q
p−q
cos p − cos q = −2 ⋅ sin
⋅ sin
2
2
2 ⋅ sin p ⋅ cos q = sin ( p + q ) + sin ( p − q )
sin p + sin q = 2 ⋅ sin
2 ⋅ cos p ⋅ sin q = sin ( p + q ) − sin ( p − q )
2 ⋅ cos p ⋅ cos q = cos ( p + q ) + cos ( p − q )
−2 ⋅ sin p ⋅ sin q = cos ( p + q ) − cos ( p − q )
Formularium analyse
f ( x) − f (a)
getal is.
een reeel
x−a
De afgeleide van f in a is de waarde van deze limiet.
f is afleidbaar in a indien lim
x →a
Meetkundige betekenis van de afgeleide van een functie in een punt
van de
De afgeleide van een functie f in een punt a is de richtingscoefficient
raaklijn t A in het punt A met coordinaat
( a, f ( a ) ) aan de grafiek van f .
Vergelijking
t A : y − f ( a ) = f '( a ) ⋅ ( x − a )
Rekenregels om de afgeleide functie te bepalen
Stellen we g ( x ) = u, h ( x ) = v en k ( x ) = w, dan kunnen we de afgeleide functie f ' van f
bepalen door te steunen op :
1. f ( x ) = c ⇒ f ' ( x ) = 0
(c) ' = 0
(x)' =1
2. f ( x ) = x ⇒ f ' ( x ) = 1
2
Jaar 6 : Formularium 6u en 7u
3. f ( x ) = x q ⇒ f ' ( x ) = q ⋅ x q −1
l \ {0, 1}
q∈ Q
f ( x ) = u q ⇒ f ' ( x ) = q ⋅ u q −1 ⋅ u '
4. f ( x ) = x ⇒ f ' ( x ) =
f ( x ) = u ⇒ f '( x ) =
l \ {0, 1}
q∈ Q
( x )' = q ⋅ x
q −1
( u )' = q ⋅ u
q −1
q
q
2⋅ x
( x ) = 2 ⋅1 x
u'
2⋅ u
( u ) = 2 ⋅u ' u
⋅u'
'
1
'
5. f ( x ) = u + v ⇒ f ' ( x ) = u ' + v '
( u + v )' = u ' + v '
f ( x ) = u − v ⇒ f '( x ) = u ' − v '
( u − v )' = u ' − v '
6. f ( x ) = u ⋅ v ⇒ f ' ( x ) = u ' ⋅ v + u ⋅ v '
( u ⋅ v )' = u ' ⋅ v + u ⋅ v '
f ( x ) = u ⋅ v ⋅ w ⇒ f '( x ) = u ' ⋅ v ⋅ w + u ⋅ v ' ⋅ w + u ⋅ v ⋅ w '
7. f ( x ) = c ⋅ u ⇒ f ' ( x ) = c ⋅ u '
8. f ( x ) =
( c ⋅ u )' = c ⋅ u '
'
⎛ u ⎞ u'⋅v − u⋅v'
⎜ ⎟ =
v2
⎝v⎠
u
u'⋅v − u⋅v'
⇒ f '( x ) =
v
v2
9. f ( x ) = sin x ⇒ f ' ( x ) = cos x
( sin x )' = cos x
f ( x ) = sin u ⇒ f ' ( x ) = cos u ⋅ u '
( sin u )' = cos u ⋅ u '
10. f ( x ) = cos x ⇒ f ' ( x ) = − sin x
( cos x )' = − sin x
f ( x ) = cos u ⇒ f ' ( x ) = − sin u ⋅ u '
( cos u )' = − sin u ⋅ u '
11. f ( x ) = tan x ⇒ f ' ( x ) =
1
cos 2 x
( tan x )' =
1
cos 2 x
f ( x ) = tan u ⇒ f ' ( x ) =
u'
cos 2 u
( tan u )' =
u'
cos 2 u
12. f ( x ) = cot x ⇒ f ' ( x ) =
−1
sin 2 x
( cot x )' =
−1
sin 2 x
f ( x ) = cot u ⇒ f ' ( x ) =
−u '
sin 2 u
( cot u )' =
−u '
sin 2 u
13. f ( x ) = bgsin x ⇒ f ' ( x ) =
f ( x ) = bgsin u ⇒ f ' ( x ) =
1
1− x
( bgsin x )' =
2
u'
( bgsin u )' =
1− u2
3
1
1− x2
u'
1− u2
Jaar 6 : Formularium 6u en 7u
14. f ( x ) = bgcos x ⇒ f ' ( x ) =
f ( x ) = bgcos u ⇒ f ' ( x ) =
−1
( bgcos x )' =
1− x2
−u '
1− u
( bgcos u )' =
2
−1
1− x2
−u '
1− u2
15. f ( x ) = bgtan x ⇒ f ' ( x ) =
1
1+ x2
( bgtan x )' =
1
1+ x2
f ( x ) = bgtan u ⇒ f ' ( x ) =
u'
1+ u2
( bgtan u )' =
u'
1+ u2
De regel van de l'Hospital
Als voor a ∈ lR
− lim g ( x ) = lim h ( x ) = 0,
x →a
x →a
g'
gedefinieerd is in een verminderde basisomgeving van a,
h'
g '( x )
− lim
gedefinieerd is,
x →a h ' ( x )
−
g ( x)
g' ( x )
= lim
x →a h ( x )
x →a h' ( x )
dan geldt : lim
0
De regel van de l 'Hospital geldt bij de onbepaaldheid .
0
Men kan aantonen dat deze eigenschap ook geldt voor de onbepaaldheden
+∞ +∞ −∞
−∞
,
,
en
. De regel geldt ook voor linker- en rechterlimieten.
+∞ −∞ −∞
+∞
Cyclometrische functies
⎛
⎡ π π⎤⎞
bgsin = ⎜ sin | ⎢ − , ⎥ ⎟
⎣ 2 2⎦⎠
⎝
dom bgsin = [ −1, 1]
⎡ π π⎤
ber bgsin = ⎢ − , ⎥
⎣ 2 2⎦
−1
bgcos = ( cos | [ 0, π])
dom bgcos = [ −1, 1]
ber bgcos = [ 0, π]
−1
⎛
⎤ π π⎡⎞
bgtan = ⎜ tan | ⎥ − , ⎢ ⎟
⎦ 2 2 ⎣⎠
⎝
dom bgtan = lR
−1
⎤ π π⎡
ber bgtan = ⎥ − , ⎢
⎦ 2 2⎣
⎡ π ⎤
⎡ π⎤
∀ a ∈ [ −1, 0] : bgsin a = b ⇔ sin b = a en b ∈ ⎢ − , 0⎥ ∀ a ∈ [ 0, 1] : bgsin a = b ⇔ sin b = a en b ∈ ⎢ 0, ⎥
⎣ 2 ⎦
⎣ 2⎦
⎡π ⎤
∀ a ∈ [ −1, 0] : bgcos a = b ⇔ cos b = a en b ∈ ⎢ , π ⎥
⎣2 ⎦
⎡ π⎤
∀ a ∈ [ 0, 1] : bgcos a = b ⇔ cos b = a en b ∈ ⎢0, ⎥
⎣ 2⎦
⎤ π ⎤
∀ a ∈ lR − : bgtan a = b ⇔ tan b = a en b ∈ ⎥ − , 0 ⎥
⎦ 2 ⎦
⎡ π⎡
∀ a ∈ lR + : bgtan a = b ⇔ tan b = a en b ∈ ⎢0, ⎢
⎣ 2⎣
4
Jaar 6 : Formularium 6u en 7u
Exponentiële en logaritmische functies
• Definitie
In symbolen : ∀ a ∈ lR 0+ \ {1} , ∀ x ∈ lR 0+ : a log x = y ⇔ x = a y
10
log x = log x
e
log x = ln x
• Eigenschappen en rekenregels voor logaritmen
y
1. a log a = y
a log a = 1
2. a log1 = 0
3. a
a log x
a log x =
b log x
b log a
=x
4. ∀ x, y ∈ lR 0+ : a log ( x ⋅ y ) = a log x + a log y
x a
= log x − a log y
y
6. ∀ x ∈ lR 0+ , ∀ r ∈ lR : a log x r = r ⋅ a log x
a log x = log x
log a
5. ∀ x, y ∈ lR 0+ : a log
5
a log x = ln x
ln a
Jaar 6 : Formularium 6u en 7u
Verdere rekenregels om de afgeleide functie te bepalen
( e )' = e
( e )' = e
16. f ( x ) = e x ⇒ f ' ( x ) = e x
f ( x ) = eu ⇒ f ' ( x ) = eu ⋅ u '
x
x
u
u
( a )' = a
( a )' = a
17. f ( x ) = a x ⇒ f ' ( x ) = a x ⋅ ln a
f ( x ) = a u ⇒ f ' ( x ) = a u ⋅ ln a ⋅ u '
⋅u'
x
x
⋅ ln a
u
u
⋅ ln a ⋅ u '
1
x
u'
f ( x ) = ln u ⇒ f ' ( x ) =
u
( ln x )' =
1
x
u'
( ln u )' =
u
1
x ⋅ ln a
u'
f ( x ) = a log u ⇒ f ' ( x ) =
u ⋅ ln a
(
18. f ( x ) = ln x ⇒ f ' ( x ) =
'
log x ) =
1
x ⋅ ln a
( a log u )' = u ⋅uln' a
19. f ( x ) = a log x ⇒ f ' ( x ) =
a
Hyperbolische functies
De functie sinh : \ → \ : x 6
ex − e− x
noemen we de hyperbolische sinus.
2
ex + e− x
noemen we de hyperbolische cosinus.
De functie cosh : \ → \ : x 6
2
De functie tanh : \ → \ : x 6
sinh
noemen we de hyperbolische tangens.
cosh
We tekenen de grafiek van deze functies.
dom sinh = \
ber sinh = \
dom cosh = \
dom tanh = \
ber cosh = [1, + ∞[
ber tanh = ]−1, 1[
20. f ( x ) = sinh x ⇒ f ' ( x ) = cosh x
f ( x ) = sinh u ⇒ f ' ( x ) = cosh u ⋅ u '
21. f ( x ) = cosh x ⇒ f ' ( x ) = sinh x
f ( x ) = cosh u ⇒ f ' ( x ) = sinh u ⋅ u '
22. f ( x ) = tanh x ⇒ f ' ( x ) =
1
cosh 2 x
f ( x ) = tanh u ⇒ f ' ( x ) =
6
u'
cosh 2 u
Jaar 6 : Formularium 6u en 7u
Formularium bij WPP 6.2 Analyse
Fundamentele bepaalde integralen
b
1.
b
∫ 1dx = [ x ]a
b
6.
a
2.
b
∫
b
3.
∫
∫
a
b
∫
b
8.
a
9.
10.
dx = ⎡⎣e x ⎤⎦
x
b
b
a
b
⎡1
⎤
e dx = ⎢ ep x ⎥
⎣p ⎦a
b
10 '.
∫
px
a
n
11.
a
a
∫e
b
⎡ 1
⎤
sin px dx = ⎢ − cos px ⎥
⎣ p
⎦a
∫ cos x dx = [sin x ]
∫
1− x
dx = [ bgsin x ]a = − [ bgcos x ]a
b
2
a
a
5'.
dx = [ bgtan x ]a
b
2
1
∫
b
b
b
b
1
a
b
5.
b
∫ 1+ x
b
sin x dx = [ − cos x ]a
∫
4 '.
2
a
a
b
x
dx = [ − cot x ]a
b
1
∫ sin
a
b
f '( x )
dx = ⎡⎣ ln f ( x ) ⎤⎦
a
f (x)
b
4.
7.
b
1
dx = ⎡⎣ln x ⎤⎦ a
x
a
3'.
b
met r ∈ lR \ {−1, 0}
r
a
x
dx = [ tan x ]a
2
a
⎡ x r +1 ⎤
x dx = ⎢
⎥
⎣ r + 1⎦ a
b
1
∫ cos
∫
m
b
⎡1
⎤
cos px dx = ⎢ sin px ⎥
⎣p
⎦a
n
11'.
n
⎡ ax ⎤
a dx = ⎢
met a ∈ lR 0+ \ {1}
⎥
⎣ ln a ⎦ m
∫
m
x
n
⎡ 1 a px ⎤
a dx = ⎢
met a ∈ lR 0+ \ {1}
⎥
⎣ p ln a ⎦ m
px
Oppervlakte van vlakdelen
b
Als f continu is in [ a, b ] , dan geldt : SV = ∫ f ( x ) dx, met V het vlakdeel begrensd door de
a
grafiek van f , de x-as en de verticalen x = a en x = b.
De oppervlakte begrensd door y = f ( x ) , y = g ( x ) , de verticalen p : x = a en q : x = b
b
is gelijk aan ∫ f ( x ) − g ( x ) dx.
a
⎧⎪ x = g ( t )
Voor een kromme met stelsel parametervergelijkingen ⎨
met t ∈ [ p, q ] ,
⎪⎩ y = h ( t )
h continu en positief in [ p, q ] en g afleidbaar in [ p, q ] geldt :
als de kromme de grafiek is van een functie f die waarden aanneemt in [ a, b] met
b
q
a
p
a = g ( p ) en b = g ( q ) , dan is ∫ f ( x ) dx = ∫ h ( t ) ⋅ g ' ( t ) dt .
Deze eigenschap kan gebruikt worden om oppervlakten van vlakdelen te bepalen.
7
Jaar 6 : Formularium 6u en 7u
Goniometrische substitutie
Volgende substituties leveren soms resultaat op:
Vorm in de integrand :
r 2 − x 2 met r ∈ lR 0+
Vorm in de integrand :
r 2 + x 2 met r ∈ lR 0+
Vorm in de integrand :
x 2 − r 2 met r ∈ lR 0+
⎡ −π π ⎤
Substitutie : x = r sin u met u ∈ ⎢ , ⎥ of
⎣ 2 2⎦
x = r cos u met u ∈ [ 0, π]
⎤ −π π ⎡
Substitutie : x = r tan u met u ∈ ⎥ , ⎢
⎦ 2 2⎣
⎡ π⎡
Substitutie : x = r sec u met u ∈ ⎢0, ⎢ als x > 0
⎣ 2⎣
−π ⎡
⎡
en u ∈ ⎢ −π,
als x < 0
2 ⎢⎣
⎣
Partiële integratie
Formules :
b
∫ u dv = u v − ∫ v du
b
∫ u dv = [ u v] − ∫ v du
b
;
a
a
a
Inhoud van een lichaam
Stel L een lichaam dat ligt tussen x = a en x = b. Als de oppervlakte van een loodrechte
doorsnede op de x-as van L en αx gelijk is aan S(x) met S continu, dan is de inhoud I van L
b
n
gelijk aan lim
n →+∞
S ( c ) ⋅ Δx , of nog, aan ∫ S ( x ) dx .
∑
=
i
i 1
a
Inhoud van een omwentelingslichaam
Als f continu is in het interval [a, b], dan is de inhoud van het omwentelingslichaam ontstaan
door het wentelen om de x-as van het vlakdeel begrensd door de grafiek van f, de x-as en de
b
rechten x = a en x = b gelijk aan π ⋅ ∫ ( f ( x ) ) dx .
2
a
Lengte van een kromme
b
Als f ' continu is in [ a, b ] , dan is de lengte L van de grafiek van f in [ a, b] gelijk aan ∫ 1 + ( f ' ( x ) ) dx .
a
Veronderstel dat f een functie is waarbij f ' continu is in [ a, b ].
⎧⎪ x = g ( t )
De grafiek van f in [ a, b ] is een kromme met parametervoorstelling ⎨
⎪⎩ y = h ( t )
met g ( p ) = a en g ( q ) = b en g ', h ' continu in [ p, q ] of [ q, p ] .
q
Dan is L = ∫
p
( g ' ( t )) + ( h ' ( t ))
2
2
p
dt indien p < q en L = ∫
q
8
(g ' ( t )) + ( h ' ( t ))
2
2
dt indien p > q.
2
Jaar 6 : Formularium 6u en 7u
Zijdelingse oppervlakte van een omwentelingslichaam
Als f ' continu is in [a, b], dan is de zijdelingse oppervlakte van het omwentelingslichaam verkregen
b
door de grafiek van f te laten wentelen om de x-as in [a, b] gelijk aan: 2π ⋅ ∫ f ( x ) 1 + ( f ' ( x ) ) dx .
2
a
Veronderstel dat f een functie is waarbij f positief en f ' continu is in [ a, b ] .
⎧⎪ x = g ( t )
De grafiek van f in [ a, b ] is een kromme met parametervoorstelling ⎨
⎪⎩ y = h ( t )
met g ( p ) = a en g ( q ) = b en g ', h ' continu in [ p, q ] of [ q, p ].
q
Dan is ZO L = 2π ⋅ ∫ h ( t )
( g ' ( t )) + ( h ' ( t ))
2
2
dt.
(p < q)
p
De verplaatsing van een voorwerp dat rechtlijnig en continu beweegt in het tijdsinterval
t2
[t1, t2] is
∫ v ( t ) dt .
t1
De totale afgelegde weg van een voorwerp dat rechtlijnig en continu beweegt in het tijdsinterval
t2
[t1, t2] is
∫ v ( t ) dt .
t1
t2
De snelheidsverandering tussen de tijdstippen t1 en t2 is gelijk is aan
∫ a ( t ) dt .
t1
Als een voorwerp langs de x-as beweegt in de positieve zin van x = a tot x = b en er in elk
punt x tussen a en b een continue kracht f(x) uitgeoefend wordt op het voorwerp, dan is de
b
verrichte arbeid om het voorwerp van a naar b te bewegen gelijk aan: W = ∫ f ( x ) dx .
a
Als de productie wordt verhoogd van x1 naar x2 eenheden dan is de kostenverhoging
x2
∫ MK ( x ) dx . Hierbij is MK de marginale kostenfunctie.
x1
9