1 Opgave 1

1ste jaar Bachelor BIOMEDISCHE WETENSCHAPPEN
2006-2007
Academiejaar
BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing
1
Opgave 1
Een blokje met massa 0,2 kg heeft onder aan een vlakke helling een snelheid
van 7,2 m/s en schuift omhoog langs de helling. De helling maakt een hoek
van 15◦ met het horizontaal vlak. Er is geen wrijving tussen blokje en helling.
Na hoeveel tijd komt het blokje tot stilstand en welke verplaatsing heeft het
dan gemaakt ?
Oplossing: Als systeem kiezen we uiteraard het blokje. De krachten op
het blokje en een handig assenstelsel zijn in volgende figuur getekend:
Veelgemaakte fout: Assenstelsel vergeten. Om te kunnen rekenen met x- en
y-componenten van vectoren, moet je een assenstelsel tekenen.
Nu moeten we de tweede wet van Newton projecteren op de assen:
y-as: 0 = may = N − G cos(15◦ ). Dus de normaalkracht zorgt ervoor dat
de y-component van de zwaartekracht opgeheven wordt, er is immers geen
beweging in de y-richting. Veelgemaakte fout: veel mensen hebben N = G
gebruikt, wat niet waar is. De normaalkracht staat loodrecht op het opper1
vlak, en zorgt ervoor dat er geen beweging is in de richting loodrecht op het
oppervlak.
x-as: max = −G sin(15◦ ) = mg sin(15◦ ).
We weten nu dus dat het blokje een beweging maakt volgens de x-as, met
x0 = 0, vx,0 = 7, 2m/s en ax = −g sin(15◦ ). Aangezien de versnelling een
constante is, kunnen we direct de snelheid en de positie als functie van de
tijd opschrijven. Voor de snelheid hebben we:
vx (t) = v0 + ax t = 7, 2 − g sin(15◦ )t
Nu weten we dus het tijdstip t1 waarop het blokje tot stilstand komt, want
7,2
dan is vx (t1 ) = 0, dus t1 = g sin(15
◦ ) = 2, 84s.
Voor de positie hebben we:
x(t) = x0 + v0 t +
a x t2
t2
= 7, 2t − g sin(15◦ )
2
2
Op het moment t1 waarop het blokje tot stilstand komt heeft het dus x(t1 )m
afgelegd.
(2, 84)2
x(t1 ) = 7, 2 · 2, 84 − g sin(15◦ )
= 10.2m
2
We kunnen het ook iets exacter uitrekenen:
7, 2
g sin(15◦ )
x(t1 ) = 7, 2 ·
−
g sin(15◦ )
2
2
(7, 2)
=
2g sin(15◦ )
= 10.21m
µ
7, 2
g sin(15◦ )
¶2
Conclusie: Het blokje komt na 2,8s tot stilstand en heeft dan 10,2m afgelegd.
2
2
Opgave 2
Een fysische grootheid y voldoet aan een vergelijking van de vorm
dy
+ αy(t) = 0. Op moment t = 0 is de waarde van y gelijk aan −4. De
dt
tijdsconstante is 10 s. Wat is α? Maak hieronder een grafische voorstelling
van de oplossing(τ is de tijdsconstante). Uit de grafiek moet duidelijk blijken
dat je het begrip tijdsconstante beheerst.
Oplossing : De oplossing van een dergelijke differentiaalvergelijking staat
in het formularium: y(t) = Ae−αt , met A een nog te bepalen constante. De
constante A bepalen we uit de beginvoorwaarde: op het moment t = 0 moet
y = −4, dus: −4 = y(0) = A. De constante α is gelijk aan τ1 , en is dus
0, 1s−1 We hebben dus dat
y(t) = −4e−0,1t
Nu moeten we een grafische voorstelling maken van de oplossing. We zien in
de oplossing dat de streefwaarde gelijk is aan nul, dus weten we al hoe de grafiek ongeveer moet lopen: hij zal starten in y=-4 en dan steeds trager stijgen
en dus steeds dichter bij nul komen. maar de tekening moet voldoende precies zijn, zodanig dat uit de tekening blijkt dat we het begrip tijdsconstante
beheersen. Om dit te doen hebben we twee manieren. De eerste manier is
om een lijn te trekken van het punt -4 op de y-as naar het punt τ op de lijn
y = 0. Dit is de raaklijn van de grafiek op t = 0 (zie onderstaande figuur).
De tweede manier is om de waarde van y uit te rekenen voor t = τ, 2τ, . . ..
Uit de definitie van het begrip tijdsconstante volgt dat y(τ ) = − 4e ≈ 1, 5,
y(2τ ) = − e42 ≈ 0, 5, etc, (zie onderstaande figuur). Nu hebben we genoeg
informatie om een vrij nauwkeurige grafiek te maken:
3
3
Opgave 3
Een staaf met massa 20 kg wordt door een scharnier en een kabel in horizontale stand gehouden. Bereken de spankracht in de kabel. Tip: hiervoor heb
je enkel momenten nodig.
Oplossing: Als systeem kiezen we de staaf. In de figuur zijn alle krachten getekend die op de staaf inwerken: De zwaartekracht, de spankracht in
het touw en een kracht in het scharnierpunt.
Merk op dat we de lengte L van de staaf niet kennen en dat de zwaartekracht
aangrijpt in het massacentrum van de staaf (op de halve lengte).
De staaf is in evenwicht, dus weten we dat de som van alle krachten op de
staaf nul is en dat de som van alle krachtmomenten ten opzichte van het
referentiepunt ook nul is. In de opgave staat dat je alleen met momenten
moet werken, dus dat doen we dan ook: Allereerst moet duidelijk aangegeven worden wat het referentiepunt is van de krachtmomenten. In dit geval
nemen we als referentiepunt het scharnierpunt, waar de staaf vastzit aan de
muur. Dit is de meest logische keuze, omdat dan het krachtmoment van de
onbekende kracht F nul is. Wat overblijft is dus:
~T = 0
M~G + M
~ met ~r de vector die begint
Het krachtmoment van de zwaartekracht is ~r × G,
~ De hoek tussen deze
in het scharnierpunt en eindigt in de staart van G.
L
◦
. De richting
twee vectoren is 90 . De grootte van M~G is: 2 G sin(90◦ ) = mgL
2
van het moment bepalen we met de rechterhandregel, en is in het blad gericht.
4
Het krachtmoment van de spankracht is r~0 × T~ , met r~0 de vector die begint
in het scharnierpunt en eindigt in de staart van T~ . De hoek tussen deze twee
~ T is: LT sin(127◦ ). M
~T is uit het blad
vectoren is 127◦ . De grootte van M
gericht.
Als we willen dat deze twee krachtmomenten elkaar opheffen, moeten
ze dezelfde grootte hebben, want ze hebben tegengestelde richtingen. We
hebben dus dat
mgL
= LT sin(127◦ )
2
oftewel dat
mg
T =
= 122, 8N
2 sin(127◦ )
5