Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality

Can Quantum-Mechanical Description of Physical
Reality Be Considered Complete?
Reinder Nijhoff
Johan Stiefelhagen
juli 2005
Einstein, Podolsky en Rosen (1935) behandelen in Can Quantum-mechanical
Description of Physical Reality Be Considered Complete?[1] de vraag of de
quantummechanica een complete theorie is. Een theorie is compleet indien elk
element van fysische realiteit een tegenhanger in de theorie heeft. Een element
van fysische realiteit is een grootheid van een systeem, waarvan de waarde met
zekerheid voorspeld kan worden, zonder metingen aan het systeem zelf te doen.
Door een twee-deeltjes systeem quantummechanisch te beschouwen laten Einstein et al. zien dat het mogelijk is om met zekerheid zowel plaats als impuls
van één van de deeltjes te voorspellen zonder aan dit deeltje zelf te meten. Omdat in de quantummechanische beschrijving niet beide elementen van fysische
realiteit terugkomen, concluderen zij dat de quantummechanica niet compleet
is.
In deze samenvatting zal de lijn van het originele artikel gevolgd worden. Het
artikel bestaat uit twee delen. In het eerste deel wordt aangegeven aan welke
voorwaarden een theorie moet voldoen wil zij succesvol zijn. In het tweede
deel analyseren Einstein et al. de quantummechanische beschrijving van een
twee-deeltjes systeem. Op grond van deze analyse geven zij aan of de quantummechanica een succesvolle theorie kan zijn.
1
Bij het beoordelen van een fysische theorie spelen twee zaken een rol:
1. Is de theorie correct?
Een theorie is correct indien de empirische uitspraken van de theorie overeen komen met de ervaring.
2. Is de beschrijving die door de theorie gegeven wordt compleet?
Een theorie is compleet indien elk element van fysische realiteit een tegenhanger in de theorie heeft. Deze voorwaarde wordt de compleetheidsvoorwaarde genoemd.
Indien een theorie succesvol is, voldoet zij in ieder geval aan beide voorwaarden. De vraag is nu of de quantummechanica aan beide voorwaarden voldoet.
Om aan de compleetheidsvoorwaarde te kunnen voldoen is het nodig eerst een
definitie te geven voor een element van fysische realiteit.
Indien je, zonder op enige wijze het systeem te verstoren, met zekerheid de
waarde van een fysische grootheid kunt voorspellen, dan bestaat er een element
van fysische realiteit dat overeen komt met deze fysische grootheid.
Bekijk bijvoorbeeld een systeem dat zich in de toestand ψ bevindt, waarbij ψ
een eigentoestand is van een operator A zodanig dat Aψ = aψ.
Bij het meten van de grootheid A behorende bij operator A zal dus met zekerheid waarde a gevonden worden. In dit geval moet het systeem een element
van fysische realiteit hebben dat overeenkomt met grootheid A.
2
Nemen we nu voor de toestand ψ:
i
ψ = e ~ po x ,
(1)
met p0 een constante en x een onafhankelijke variabele, dan vinden we voor de
impuls:
pψ = p0 ψ
(2)
Omdat ψ een eigentoestand van de impulsoperator p is, vinden we met zekerheid
waarde p0 . De impuls van het deeltje is hierdoor een element van fysische
realiteit.
Wanneer we de plaats van het deeltje willen voorspellen, blijkt ψ geen eigentoestand van de plaatsoperator q te zijn. De waarschijnlijkheid een deeltje tussen
plaats a en b aan te treffen is wel te berekenen en gelijk aan:
P (a, b) =
Z
b
ψ ∗ ψdx =
a
Z
b
dx = b − a
(3)
a
Alle waarden voor de plaats zijn dus even waarschijnlijk en een precieze waarde
is niet voorspelbaar. Plaats is in dit geval geen element van fysische realiteit.
De plaats kan wel via een directe meting bepaald worden, maar dan bevindt
het deeltje zich daarna niet langer in de toestand ψ.
Meer algemeen geldt in de quantummechanica dat als twee, met twee fysische
grootheden corresponderende, operatoren A en B niet met elkaar commuteren
([A, B] 6= 0), precieze kennis over de één precieze kennis over de ander uitsluit.
Hieruit volgt dat ófwel:
1. De quantummechanische beschrijving van de realiteit door de golffunctie
is niet compleet, ófwel
2. Indien twee operatoren niet commuteren, kunnen hun bijbehorende grootheden geen gelijktijdige realiteit hebben.
2
In plaats van een één-deeltje systeem, beschouwen we nu twee deeltjes (systeem
I en II). Deze deeltjes hebben tussen t = 0 en t = T een interactie. Verder
nemen we aan dat de toestanden van de deeltjes op t = 0 bekend zijn. Met de
Schrödingervergelijking kunnen we nu de golffunctie Ψ van het gecombineerde
systeem bereken.
Stel A is een grootheid behorend bij systeem I, met a 1 , a2 , a3 , . . . de eigenwaarden en u1 (x1 ), u2 (x1 ), u3 (x1 ), . . . de bijbehorende eigenfuncties.
Ψ kan dan geschreven worden als:
3
∞
X
Ψ(x1 , x2 ) =
ψn (x2 )un (x1 )
(4)
n=1
waarbij x1 en x2 staan voor de variabelen die nodig zijn om systeem I respectievelijk systeem II te beschrijven en ψ n (x2 ) de coëfficiënten van de ontwikkeling
van Ψ in een reeks orthogonale functies u n (x1 ) zijn.
Stel dat we bij het meten van A in systeem I waarde a k vinden. Systeem I
zal zich dan direct na de meting in de toestand u k (x1 ) bevinden. Het tweede
systeem bevindt zich in dat geval in de toestand ψ k (x2 ). De reeks uit (4) is nu
gereduceerd tot één term ψk (x2 )uk (x1 ).
Hadden we een andere grootheid, B, gekozen, met eigenwaarden b s en eigenfuncties us (x1 ) dan zouden we de reeks
Ψ(x1 , x2 ) =
∞
X
ϕs (x2 )us (x1 )
(5)
s=1
krijgen, met ϕs (x2 ) de coëfficiënten.
Indien we B in systeem I meten en daarbij b r vinden, dan moet systeem I zich
in de toestand ur (x1 ) en systeem II zich in de toestand ϕr (x2 ) bevinden. De
reeks uit (5) reduceert dan tot ϕr (x2 )ur (x1 ).
We zien dus dat afhankelijk van het meten van twee verschillende grootheden
in systeem I, systeem II in twee verschillende toestanden kan komen.
Omdat de twee systemen mogelijk ver van elkaar verwijderd zijn kan systeem II
niet veranderen als gevolg van metingen aan systeem I. Hieruit kan geconcludeerd worden dat het mogelijk is om twee verschillende golffuncties (in dit
voorbeeld ψk en ϕr ) toe te kennen aan dezelfde realiteit.
Het kan echter voorkomen, dat die twee golffuncties eigenfuncties zijn van twee
fysische grootheden, wier operatoren niet commuteren. Neem bijvoorbeeld voor
een twee-deeltjes systeem:
Z ∞
i
(6)
e ~ (x1−x2+x0)p dp
Ψ(x1 , x2 ) =
−∞
met x0 constant. Stel dat A de impuls van deeltje 1 is. Dan zijn de bijbehorende
eigenfuncties voor dit deeltje:
i
up (x1 ) = e ~ px1
(7)
met bijbehorende eigenwaarde p. Vergelijking (4) wordt nu continu:
Ψ(x1 , x2 ) =
Z
∞
ψp (x2 )up (x1 )dp
−∞
waarin
4
(8)
i
ψp (x2 ) = e ~ (x2 −x0 )p
(9)
Deze ψp is echter precies een eigenfunctie van de impulsoperator van deeltje 2
met eigenwaarde −p.
Bekijken we de plaats B van deeltje 1, dan worden de eigenfuncties van de
bijbehorende operator B gegeven door:
ux (x1 ) = δ(x1 − x)
(10)
met bijbehorende eigenwaarde x.
Nu wordt (5):
Ψ(x1 , x2 ) =
Z
∞
ϕx (x2 )ux (x1 )dx
(11)
−∞
waarbij
ϕx (x2 ) =
Z
∞
i
e ~ (x−x2 +x0 )p dp
−∞
= hδ(x − x2 + x0 )
(12)
Deze ϕx is weer precies de eigenfunctie van de plaatsoperator voor deeltje 2 met
eigenwaarde x + x0 .
We kunnen dus door de impuls van deeltje 1 (A) te meten, met zekerheid
voorspellen wat de impuls van deeltje 2 is. Ook kunnen we door de plaats van
deeltje 1 (B) te meten, met zekerheid voorspellen wat de plaats van deeltje 2
is. In beide gevallen kan dit zonder deeltje 2 (systeem II) te verstoren; het kan
immers ver weg zijn, zodat interactie niet mogelijk is.
Zowel de plaats als de impuls van deeltje 2 moeten dus een element van fysische
realiteit zijn. Echter, de bijbehorende operatoren voor de impuls en de plaats
van deeltje 2, P en Q, commuteren niet:
[P, Q] = i~ 6= 0
(13)
We hebben nu dus aangetoond, dat er gevallen zijn, waarin twee fysische grootheden, waarvan de bijbehorende operatoren niet commuteren, tóch gelijktijdige
realiteit kunnen hebben.
Aan het einde van deel 1 stelden we dat ófwel
1. de quantummechanische beschrijving van realiteit niet compleet is, ófwel
dat
2. grootheden, waarvan de operatoren niet commuteren, geen gelijktijdige
realiteit kunnen hebben.
Zojuist toonden we aan, dat (2) niet juist is en dus moeten we concluderen, dat
de quantummechanische beschrijving van realiteit niet compleet is.
5
Referenties
[1] A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen (1935). Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Physical review, 47,
777-780.
6