Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor
1 havo/vwo
Deel 2
Versie 2013
Samensteller
© 2013
Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechthebbende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.
Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele
aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal
Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland
Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).
Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is
speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website
www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de
vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te
bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via [email protected].
Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.
Inhoud
Voorwoord
3
1
5
Hoeken
1.1
Hoeken
1.2
Hoeken meten
1.3
Hoeken tekenen
1.4
Gelijke hoeken
1.5
Hoeken berekenen
1.6
Totaalbeeld
2
6
12
19
25
31
36
Negatieve getallen
41
2.1
Wat is negatief?
42
2.2
Negatieve getallen optellen
2.3
Negatieve getallen aftrekken
2.4
Negatieve getallen vermenigvuldigen
2.5
Negatieve getallen delen
2.6
Totaalbeeld
3
Grafieken
48
72
77
Globale grafieken
78
3.2
Grafieken aflezen
86
3.3
Grafieken tekenen
3.4
Som- en verschilgrafiek
100
3.5
Maximum en minimum
106
3.6
Periodieke grafieken
3.7
Totaalbeeld
Kijkmeetkunde
114
127
Kijklijnen
4.2
Kijkhoeken
136
4.3
Aanzichten
142
4.4
Bouwtekeningen
4.5
Perspectief
4.6
Totaalbeeld
Verbanden
94
121
4.1
5
61
67
3.1
4
54
128
150
152
158
165
5.1
Verbanden
5.2
Formules
5.3
Van formule naar grafiek
5.4
Kort maar krachtig
5.5
Vergelijkingen
5.6
Totaalbeeld
STICHTING MATH4ALL
166
172
178
184
191
198
3 OKTOBER 2013
PAGINA 1
6
Diagrammen
203
6.1
Schema's
6.2
Afstandstabellen
6.3
Gemiddelden
6.4
Frequentietabellen
6.5
Diagrammen
6.6
Steelbladdiagram
6.7
Cirkeldiagram
6.8
Totaalbeeld
Register
PAGINA 2
204
213
220
225
233
242
247
254
260
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
Voorwoord
Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat je kunt vinden op de website
www.math4all.nl. In de tekst staan dan ook regelmatig verwijzingen naar die website. Waar je precies
moet zijn op die website kun je zien in de kopregel van iedere pagina.
Bij bestudering van het lesmateriaal kom je in de tekst ook aanwijzingen tegen. Je ziet dan bijvoorbeeld
in de tekst:
Bekijk eerst:
www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstanden > Toepassen
Je kunt met de muis elk deel van de wereld bekijken en er op inzoomen.
Als zo’n aanwijzing in een opgave staat, kun je die opgave waarschijnlijk alleen maar maken als je
inderdaad op de website hebt gekeken.
Ieder hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen en wordt steeds afgesloten met een paragraaf Totaalbeeld waar de leerstof wordt samengevat en/of herhaald. Iedere paragraaf is ingedeeld in vaste
rubrieken die houvast geven bij de bestudering van het lesmateriaal.
>
>
>
>
>
Verkennen
Uitleg
Theorie en Voorbeelden
Verwerken
Toepassen
Indien er in het lesmateriaal wordt verwezen naar werkbladen dan kun je deze terugvinden op de
website.
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 3
PAGINA 4
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
1
Hoeken
Hoeken
6
Hoeken meten
12
Hoeken tekenen
Gelijke hoeken
19
25
Hoeken berekenen
Totaalbeeld
36
31
1.1
Hoeken
Verkennen
Opgave 1
Hier zie je de plattegrond van een appartement
in een flatgebouw. Hij staat ook op het werkblad.
Er zijn nogal wat kamers die niet de vorm van
een rechthoek hebben.
a
Welke kamers hebben de vorm van een rechthoek?
b
De hobbyruimte heeft twee rechte hoeken. Geef
die met een rechte hoek teken aan.
c
De hobbyruimte heeft ook twee hoeken die niet
recht zijn. Eén van beide noem je scherp en de
andere stomp. Zet een tekentje in de scherpe
hoek.
d
Op welke schaal is deze tekening gemaakt?
e
In de hobbyruimte moeten vierkante plavuizen
van 40 cm bij 40 cm op de vloer komen. Teken
de hobbyruimte na en teken in je figuur de plavuizen.
f
Hoeveel plavuizen moeten in de juiste vorm
worden geslepen?
Uitleg
Iedere hoek heeft een hoekpunt en twee benen.
Bij het hoekpunt zet je een hoofdletter. In de hoek zet je een boogje.
De naam van de hoek is: hoek 𝐴.
In plaats van hoek 𝐴 schrijf je ook wel ∠𝐴.
In een ingewikkelde figuur gebruik je meestal drie letters om een hoek aan te
geven.
De middelste letter hoort dan bij het hoekpunt.
In deze figuur is ∠𝐵𝐴𝐶 door een boogje aangegeven.
PAGINA 6
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 2
Deze vierhoek stelt een op maat geslepen vloertegel voor. Er zijn vier hoeken.
a
Welke van deze vier hoeken is recht?
b
Welke benen heeft ∠𝐵?
c
Welke hoeken zou je kleiner noemen dan de rechte hoek?
Opgave 3
Teken de figuur in de Uitleg op pagina 6 na. (Hij hoeft niet precies hetzelfde te zijn, maar wel ongeveer
die vorm hebben.)
a
Waarom moet je de hoeken bij 𝐴 met drie letters aangeven?
b
Schrijf beide hoeken bij 𝐴 met drie letters op. Zijn ze gelijk, denk je?
c
Waarom is dat voor ∠𝐶 niet noodzakelijk?
d
Zet een sterretje in ∠𝐴𝐷𝐸 en een rondje in ∠𝐴𝐸𝐷. Welke van beide lijkt je groter?
Theorie en voorbeelden
Voorbeeld 1
De benen van hoek B staan verder uit elkaar dan de benen van hoek A:
∠𝐵 > ∠𝐴.
Hoek C is gelijk aan hoek A, alleen de benen zijn korter:
∠𝐶 = ∠𝐴
De lengten van de benen van de hoek hebben geen invloed op de grootte van de hoek. (Eigenlijk hebben
die benen helemaal geen lengte, het zijn halve lijnen die in het hoekpunt beginnen maar oneindig ver
doorlopen.)
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 7
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 4
Hier zie je de vierhoek van opgave 2 op pagina 7 nog eens.
a
Welke hoek is het grootst?
b
Welke hoek is het kleinst?
c
Zet alle hoeken op volgorde van klein naar groot.
Opgave 5
Je ziet hier zes hoeken.
a
Welke hoek lijkt op het eerste gezicht het grootst? Hoe kun je zeker weten of hij dat ook is?
b
Welke hoeken zijn even groot?
c
Schrijf de hoeken op van klein naar groot.
Voorbeeld 2
Sommige bijzondere hoeken hebben een naam gekregen:
>
>
>
>
Als beide benen loodrecht op elkaar staan spreek je van een rechte hoek.
Een hoek die kleiner is dan een rechte hoek heet een scherpe hoek.
Als beide benen in elkaars verlengde liggen, spreek je van een gestrekte hoek.
Een hoek die kleiner is dan een gestrekte hoek, maar groter dan een rechte hoek is een stompe
hoek.
> Een hoe die groter is dan een gestrekte hoek heet een overstrekte hoek.
PAGINA 8
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 6
Bekijk de figuur van opgave 2 op pagina 7 nog eens.
a
Welke hoek is stomp?
b
Welke hoeken zijn scherp?
c
Controleer met de rechte hoek van je geodriehoek dat ∠𝐴 inderdaad recht is.
Opgave 7
Schrijf bij elk van de hoeken van opgave 5 op pagina 8 of hij scherp, of recht, of stomp is.
Opgave 8
Teken een stompe hoek met hoekpunt 𝐴.
a
Verdeel ∠𝐴 in twee scherpe hoeken. Lukt dit altijd?
b
Verdeel ∠𝐴 in een stompe en een scherpe hoek. Lukt dit altijd?
c
Kun je ∠𝐴 in twee stompe hoeken verdelen?
d
Kun je ∠𝐴 altijd verdelen in een rechte hoek en een scherpe hoek?
Opgave 9
Bekijk de plattegrond van het appartement in opgave 1 op pagina 6. Let op de entree.
a
Hoeveel stompe hoeken heeft de entree? Zijn er ook scherpe hoeken?
b
Hoeveel rechte hoeken heeft de entree?
c
Eén van de hoeken van de entree is een overstrekte hoek. Waar zit die hoek?
d
Hoeveel scherpe hoeken heeft de woonkamer?
Verwerken
Opgave 10
Hieronder staan zes verschillende hoeken getekend.
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 9
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
a
Zet ze op volgorde van klein naar groot.
b
Welke hoeken zijn scherp?
c
Welke hoeken zijn stomp?
d
Welke hoek is gestrekt? En welke is overstrekt?
Opgave 11
Een muur op een zolderkamer moet behangen
worden. De muur is 3 meter lang en de banen
behang zijn 50 cm breed. Op één rol zit 8 m behang. De eerste baan behang zit er al op.
a
Welke hoek is de grootste hoek van deze muur?
b
De rol behang is scheef afgesneden. Wanneer je
een nieuwe baan afsnijdt past het scheef afgesneden stuk dan precies op het volgende stuk
muur?
c
Hoeveel rollen behang zijn er nodig voor deze
muur?
Opgave 12
Je kent vast het tangramspel nog wel. In driehoek nummer 3 zie je een rondje en een rechte hoek teken
staan. Deze figuur staat ook op het werkblad.
a
Zet in iedere hoek die ook recht is het rechte hoek teken.
b
Zet een rondje in de hoeken die gelijk zijn aan de hoek waar een rondje in staat.
c
Zijn de hoeken waar geen rechte hoek teken of rondje in staat gelijk aan elkaar? Zet in de gelijke hoeken
hetzelfde tekentje.
PAGINA 10
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 13
Hier zie je een rechthoekig trapezium met daarin twee diagonalen.
Hierin geef je hoeken met drie letters aan.
a
Schrijf de twee rechte hoeken met drie letters op.
b
Is ∠𝐴𝑆𝐵 scherp of stomp?
c
Welke hoek is even groot?
Toepassen
Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting.
Opgave 14: De wijzers van een klok
De wijzers van een klok vormen een hoek. Daarmee wordt meestal de kleinste hoek bedoeld die ze
met elkaar maken. Zie
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken > Toepassen
a
Waarom is het belangrijk om af te spreken dat de hoek tussen de wijzers van een klok de kleinste hoek
is?
b
Maken de wijzers om 4:00 uur een scherpe of een stompe hoek met elkaar?
c
En wat voor hoek maken ze als het 4:30 uur is?
d
Op welk tijdstip maken de wijzers een gestrekte hoek met elkaar. Geef één voorbeeld.
e
Op welke twee gehele uren maken de wijzers van de klok een rechte hoek met elkaar?
Opgave 15: Biljart
Als een biljartbal tegen de donkergroene rand van het biljart stuit, maakt hij een bepaalde hoek. De
speler die aan de beurt is om te stoten speelt met de witte bal rechtsonder op het biljart.
Teken de baan die deze witte bal moet afleggen om als eerste de rode bal te raken via één band. Schrijf
in de hoek die de bal bij deze band maakt of hij scherp is of stomp. Gebruik de figuur op het werkblad.
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 11
1.2
Hoeken meten
Verkennen
Opgave 1
Hier zie je een windroos met de windrichtingen er in
getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk van
die hoekjes heet 1 graad. Bij het Noorden (N) hoort 0
graden (en dus ook 360 graden).
a
Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten?
b
Geldt dit ook voor andere windrichtingen?
c
Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?
d
Hoeveel graden hoort er bij het Noord-Oosten? En bij
Noord-Noord-Oost?
e
Hoeveel graden
Zuid-Zuid-Oost?
hoort
er
bij
Zuid?
En
bij
f
Hoeveel graden hoort
West-Noord-West?
er
bij
West?
En
bij
Uitleg
Als je wilt weten hoe groot een hoek precies is, moet je er een cirkel
opleggen met het middelpunt precies in het hoekpunt. Op die cirkel
maak je dan een schaalverdeling, bijvoorbeeld een verdeling in 12
uren zoals op een klok.
Het is tegenwoordig gebruikelijk om zo’n cirkel in 360 gelijke hoekjes te verdelen die graden heten.
Een kompasroos bijvoorbeeld is verdeeld in 360 graden. Je ziet de
schaalverdeling op de cirkel lopen van 0 tot 360. (Hoewel de 0 niet
is neergezet, want op dezelfde plaats als 360.)
Elk hoekje is 1 graad.
Je schrijft 1°.
Op je geodriehoek (geometrische driehoek, ‘geometrie’ is ‘meetkunde’) staat een halve kompasroos, die dus loopt van 0° tot 180°. Bekijk je geodriehoek maar eens goed.
Je gebruikt hem om hoeken te meten.
Opgave 2
Gegeven is een rechte hoek 𝐴.
a
Teken ∠𝐴. Hoeveel graden passen er in de rechte hoek?
b
Hoeveel graden is de helft van een rechte hoek? Is zo’n hoek scherp of stomp?
c
Hoeveel graden is een kwart van een rechte hoek? Is zo’n hoek scherp op stomp?
PAGINA 12
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 3
Bekijk je geodriehoek.
a
Welke verschillen zijn er tussen de verdeling in graden van de kompasroos (of windroos) en de geodriehoek?
b
Hoe groot (dus hoeveel graden) is een gestrekte hoek?
Theorie en voorbeelden
Voorbeeld 1
Als je helemaal ronddraait leg je 360° af:
een volle hoek is 360°.
Dit betekent:
>
>
>
>
een
een
een
een
rechte hoek is een kwart van zo’n volle hoek, dus 90°
gestrekte hoek is de helft van een volle hoek, dus 180°
scherpe hoek ligt tussen de 0° en de 90° in
stompe hoek ligt tussen 90° en 180° in
Opgave 4
Je ziet hier een scherpe hoek en een stompe hoek.
a
Tussen welke aantallen graden ligt de scherpe hoek 𝐵?
b
Is ∠𝐵 kleiner of groter dan een halve rechte hoek?
c
Schat de grootte van ∠𝐵.
d
Schat ook de grootte van ∠𝐴.
Opgave 5
Bij het werken met de geodriehoek is het vooraf schatten van de grootte van een hoek erg handig. Er
staan immers telkens twee getallen bij een maatstreepje.
Je ziet hier zes hoeken.
Schat van elk hoek de grootte.
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 13
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Voorbeeld 2
Zo moet je de geodriehoek op een hoek leggen om hem te meten:
Opgave 6
Hier en op het werkblad zie je een driehoek met drie scherpe hoeken. Om te meten hoeveel graden die
hoeken zijn gebruik je je geodriehoek. Soms moet je de zijden van de driehoek langer maken.
a
Schat eerst de grootte van ∠𝐴.
b
Leg vervolgens je geodriehoek zo op deze hoek, dat de 0 (het midden van de langste zijde) op het
hoekpunt 𝐴 ligt, de langste zijde langs een been van de hoek ligt en de hoek wordt bedekt. Bepaal nu
de grootte van ∠𝐴 in graden nauwkeurig.
c
Meet vervolgens de twee andere hoeken.
PAGINA 14
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 7
Het meten van een scherpe hoek kun je oefenen via
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken meten > Practicum
Je maakt eerst een scherpe hoek door de punten 𝐴, 𝐵 en 𝐶 te verplaatsen. Dan draai je met het punt
‘draaien’ de geodriehoek in de goede stand en verschuif je hem met ‘verschuiven’ naar de goede plek.
Je kunt de driehoek nog een beetje bijdraaien en verschuiven tot hij precies goed ligt. Lees nu het juiste
aantal graden af en controleer je antwoord. Oefen jezelf (of met een medeleerling).
Voorbeeld 3
Bij het meten van een hoek moet je er goed op letten of hij scherp of stomp is!
Hier zie je hoe een stompe hoek wordt gemeten: ∠𝐴 ≈ 142°.
Opgave 8
a
Hier en op het werkblad zie je een driehoek met twee scherpe en één stompe hoek. Om te meten
hoeveel graden die hoeken zijn gebruik je je geodriehoek. Soms moet je de zijden van de driehoek
langer maken.
Welke hoek is stomp?
b
Waarom kan een driehoek geen twee stompe
hoeken hebben?
c
Schat eerst de grootte van de stompe hoek en
meet hem vervolgens in graden nauwkeurig.
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 15
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 9
Het meten van een stompe hoek kun je ook oefenen via
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken meten > Practicum
Je maakt eerst een stompe hoek door de punten 𝐴, 𝐵 en 𝐶 te verplaatsen. Je legt dan de geodriehoek
op de juiste plaats. Lees nu het juiste aantal graden af en controleer je antwoord. Oefen jezelf (of met
een medeleerling).
Opgave 10
Leg uit hoe je met je geodriehoek een overstrekte hoek meet. Geef een voorbeeld.
Verwerken
Opgave 11
Hieronder en op het werkblad staan zes verschillende hoeken getekend.
Meet elke hoek in graden nauwkeurig.
Opgave 12
Hier en op het werkblad zie je een plattegrond de kamer van Marieke. Ze krijgt nieuwe vloerbedekking. Dat zijn vloertegels van 50 cm
bij 50 cm. Om ze in de juiste vorm te snijden meet ze de hoeken
van haar kamer die niet recht zijn.
a
Meet alle niet rechte hoeken van Marieke’s kamer.
b
Teken de vloertegels op de plattegrond.
c
Hoeveel hele tegels heeft ze nodig? En hoeveel moeten er worden
bijgesneden?
PAGINA 16
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 13
De Toren van Pisa staat scheef.
Meet op de foto hiernaast de hoek die de toren van Pisa met de grond
maakt. Hoeveel graden wijkt dit af van de 90°?
Opgave 14
Je ziet hier en op het werkblad een driehoek en een pijlpuntvlieger.
a
Meet de hoeken van de driehoek in graden nauwkeurig.
b
Hoeveel graden zijn de hoeken van deze driehoek samen?
c
Meet de hoeken van de pijlpuntvlieger in graden nauwkeurig.
d
Hoeveel graden zijn de hoeken van deze pijlpuntvlieger samen?
Opgave 15
Hier zie je een rechthoekig trapezium met daarin twee diagonalen. Hierin geef je hoeken met drie letters aan.
a
Meet ∠𝐴𝑆𝐵. Gebruik de figuur op het werkblad.
b
Welke hoek is even groot? Controleer je antwoord door meten.
c
Meet de hoeken 𝐴𝐵𝐶 en 𝐵𝐶𝐷. Hoeveel graden zijn de hoeken
van het trapezium samen?
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 17
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Toepassen
Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting.
Opgave 16: Hoekmeter
Er bestaan allerlei instrumenten om hoeken te meten. Ze worden vooral gebruikt in de bouw en door
landmeters. Lees hierover
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken meten > Toepassen
Maak een overzicht van minstens drie verschillende hoekmeters en de beroepen waarbij ze gebruikt
worden. Beschrijf ook hoe ze worden gebruikt.
Opgave 17: Vliegerij
Je ziet hier op het werkblad een kaart van een deel van Nederland.
Elke cm op deze kaart is 5 km. Je kunt vliegveld Teuge zien liggen. Een vliegtuig vliegt een bepaalde
afstand met een bepaalde koers. De afstand geef je in km en de koers in graden. Die koers is steeds
een hoek met het Noorden, net als op de kompasroos met de wijzers van de klok mee gemeten. Als je
aangeeft dat een vliegtuig vliegt volgens (40°|20) dan bedoel je dat het 20 km vliegt met een koers van
40° ten opzichte van het Noorden. (40°|20) heet de koersvector.
Je ziet hier een vlucht getekend. Die vlucht kan worden beschreven door vier koersvectoren.
a
Schrijf elk van die vier koersvectoren op.
b
Bedenk zelf zo’n rondvlucht vanaf Teuge en laat een medeleerling de koersvectoren bepalen.
PAGINA 18
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
1.3
Hoeken tekenen
Verkennen
Opgave 1
In de vliegerij wordt de vliegrichting bepaald met een
kompasroos zoals deze. Je gaat nu op roosterpapier
een koers uitzetten, 1 cm komt overeen met 1 km. Een
koers is een aantal graden ten opzichte van het Noorden, gemeten met de wijzers van de klok mee.
a
Teken eerst op doorzichtig papier zelf een kompasroos, trek eventueel de figuur hierboven over. Punt 𝑉
stelt het vliegveld voor, zet het ergens als roosterpunt
op je roosterpapier.
b
Je wilt eerst 5 km met een koers van 30° vliegen. Teken
dit op je papier, gebruik je kompasroos op doorzichtig
papier.
c
Vervolgens ga je 6 km met een hoek van 110°. Teken
dit.
d
Daarna wil je weer terug naar het vliegveld 𝑉. Wat wordt je koers?
Uitleg
Zo teken je met je geodriehoek een hoek:
> Teken het hoekpunt en het eerste been van de hoek.
> Leg de lange zijde van je geodriehoek langs dit been met de 0 op de plaats van het hoekpunt.
Zet een streepje bij het juiste aantal graden (is het een scherpe of een stompe hoek?).
> Teken het tweede been van de hoek.
> Zet de juiste letter bij het hoekpunt.
In Voorbeeld 1 op pagina 20 zie je hoe je een scherpe hoek tekent. In Voorbeeld 2 op pagina 21 zie
je hoe je een scherpe hoek tekent.
Opgave 2
Je wilt een hoek 𝐴 tekenen van 30°.
a
Teken het hoekpunt 𝐴 en één been van de hoek.
b
Teken nu aan de hand van de beschrijving in de uitleg de gevraagde hoek 𝐴.
c
Laat een medeleerling je tekening controleren door de hoek na te meten.
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 19
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Theorie en voorbeelden
Voorbeeld 1
Hier zie je het tekenen van een scherpe hoek: ∠𝐴 = 72°.
Opgave 3
Teken de volgende hoeken: ∠𝐴 = 60°, ∠𝐵 = 24° en ∠𝐶 = 87°.
Opgave 4
Maak de volgende figuur af als ∠𝐷 = 31° en ∠𝐸 = 76°. Gebruik het werkblad.
PAGINA 20
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 5
Hier zie je het begin van een driehoek 𝐴𝐵𝐶. 𝐴𝐵 = 6 cm, ∠𝐴 = 45° en ∠𝐵 = 70 °.
a
Teken zelf deze figuur en teken ∠𝐵 in punt 𝐵 zo, dat je Δ𝐴𝐵𝐶 krijgt.
b
Hoe groot is ∠𝐶?
Voorbeeld 2
Hier zie je het tekenen van een stompe hoek: ∠𝐴 = 113°.
Opgave 6
Teken de volgende hoeken: ∠𝐴 = 160°, ∠𝐵 = 124° en ∠𝐶 = 97°.
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 21
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 7
Maak de volgende figuur af als ∠𝐷 = 131° en ∠𝐸 = 93°. Gebruik het werkblad.
Opgave 8
Hier zie je het begin van een driehoek 𝐴𝐵𝐶. 𝐴𝐵 = 6 cm, ∠𝐴 =
30° en ∠𝐵 = 100 °.
a
Teken de figuur na. Teken ∠𝐵 in punt 𝐵 zo, dat je Δ𝐴𝐵𝐶
krijgt.
b
Hoe groot is ∠𝐶?
Verwerken
Opgave 9
Teken de volgende vier hoeken: ∠𝐴 = 65°, ∠𝐵 = 170°, ∠𝐶 = 111° en ∠𝐷 = 14°.
Opgave 10
Hier zie je een plattegrond de kamer van Marieke. Ze krijgt
nieuwe vloerbedekking. Dat zijn vloertegels van 50 cm bij 50
cm. Om ze in de juiste vorm te snijden meet ze de hoeken
van haar kamer die niet recht zijn.
a
Meet alle niet rechte hoeken van Marieke’s kamer. Gebruik het
werkblad.
b
Teken de vier vloertegels die moeten worden bijgesneden en
in de niet rechte hoeken moeten komen.
PAGINA 22
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 11
Van driehoek 𝐴𝐵𝐶 is het begin getekend. ∠𝐶 = 62°.
a
Maak de driehoek af. Gebruik het werkblad.
b
Meet de grootte van ∠𝐴 en ∠𝐵 in graden nauwkeurig.
c
Hoeveel graden zijn de hoeken van de driehoek samen?
Opgave 12
Een robot beweegt op een groot vlak. Hij begint in punt 𝑆 (het startpunt)
in een bepaalde richting vooruit te rijden. Je kunt zijn bewegingsrichting
veranderen met een afstandsbediening. Daarmee kun je een hoek instellen.
Stel je bijvoorbeeld 10° in, dan draait de bewegingsrichting tegen de wijzers
van de klok in met 10°.
a
Je laat de robot eerst 5 cm vooruit bewegen, dan 4 cm onder 10°, dan 3 cm
onder 20°, dan 2 cm onder 30° en tenslotte 1 cm onder 40°. Teken de baan
van de robot.
b
Je laat de robot nu rechtstreeks naar het startpunt teruglopen. Hoeveel cm
en onder welke hoek moet hij lopen?
c
Je laat de robot eerst 4 cm vooruit lopen, dan 4 cm onder 10°, dan 4 cm
onder 20°, enzovoorts. Steeds dezelfde afstand, maar een hoek die telkens
10° groter wordt. Komt deze robot weer in het startpunt 𝑆 uit?
d
Wat gebeurt er als je de robot eerst 4 cm vooruit lopen, dan 5 cm onder 10°, dan 6 cm onder 20°,
enzovoorts. Steeds wordt de afstand 1 cm groter en hoek 10° groter.
Toepassen
Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting.
Opgave 13: Driehoeken tekenen
Een driehoek wordt vaak bepaald door drie gegevens: een zijde en twee hoeken, twee zijden en een
hoek, drie zijden. Lees hierover
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken tekenen > Toepassen
a
Teken zelf beide driehoeken die worden beschreven.
b
Teken Δ𝐾𝐿𝑀 met ∠𝐾 = 60°, ∠𝑀 = 40° en 𝐾𝑀 = 4 cm. Meet vervolgens de grootte van ∠𝐿.
c
Teken Δ𝐷𝐸𝐹 met ∠𝐸 = 117°, 𝐷𝐸 = 4 cm en 𝐸𝐹 = 3 cm. Meet vervolgens beide andere hoeken van de
driehoek.
d
Teken Δ𝐺𝐻𝐼 met 𝐺𝐻 = 5 cm, 𝐻𝐼 = 4 cm en 𝐺𝐼 = 3 cm. (Gebruik je passer.) Meet de drie hoeken van
deze driehoek.
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 23
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 14: Vliegerij
Zoek via Google-maps een deel van een kaart van Nederland rond vliegveld Teuge tussen Apeldoorn
en Deventer en druk die kaart af. Zorg dat Teuge ongeveer in het midden ligt en je naar alle kanten
ongeveer 10 km kunt vliegen.
Een vliegtuig stijgt op vliegveld Teuge op en vliegt een bepaalde afstand met een bepaalde koers. De
afstand geef je in km en de koers in graden. Die koers is steeds een hoek met het Noorden, net al op de
kompasroos met de wijzers van de klok mee gemeten. Als je aangeeft dat een vliegtuig vliegt volgens
(40°|20) dan bedoel je dat het 20 km vliegt met een koers van 40° ten opzichte van het Noorden. (40°|20)
heet de koersvector.
a
Teken de vlucht met de koersvectoren (40°|5), (110°|4), (240°|5) en geef aan waar het vliegtuig dan vliegt.
b
Bereken de koersvector voor de terugvlucht naar vliegveld Teuge.
c
Bedenk zelf zo’n rondvlucht vanaf Teuge en laat een medeleerling de vlucht tekenen en de koersvector
van de terugvlucht bepalen.
PAGINA 24
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
1.4
Gelijke hoeken
Verkennen
Opgave 1
Hier zie je de tafelbladen van vier hoektafeltjes die precies in de hoeken
van Marieke’s kamer passen. Marieke wil elk blad zo schilderen dat er twee
gelijke helften ontstaan met een verschillende kleur.
a
Hoe krijgt ze dat voor elkaar?
De vier tafelbladen passen tegen elkaar.
b
Hoe groot is de hoek die de vier tafelbladen dan maken?
c
Welke twee tafelbladen maken samen een hoek van 180°?
d
Tafelblad I heeft een hoek van 101°. Van welke tafeltje weet je nu ook de
hoek?
Uitleg
De lijn die een hoek in twee gelijke hoeken verdeelt, heet de deellijn of bissectrice van die hoek. Zo
teken je de deellijn van een hoek:
> Meet hoe groot de hoek is, bijvoorbeeld 64°.
> Deel het aantal graden door twee: 64° / 2 = 32°.
> Pas 32° af en teken de deellijn.
Er zijn nog andere situaties waarin hoeken gelijk zijn. Daarvan zie je er enkele in de voorbeelden. Het
gaat om X-hoeken, F-hoeken en Z-hoeken.
Dat hoeken gelijk zijn geef je aan door er hetzelfde tekentje (een boogje, een rondje, een sterretje) in
te zetten.
Opgave 2
Hier zie je een hoekpunt 𝐴 met twee hoeken ∠𝐴1 en ∠𝐴2 die
samen een gestrekte hoek vormen.
a
Meet ∠𝐴1 op en teken de deellijn van ∠𝐴1 . Gebruik het werkblad.
b
Hoe groot is ∠𝐴2 ?
c
Teken de deellijn van ∠𝐴2 .
d
Welke hoek maken de twee getekende deellijnen met elkaar?
Moet je die hoek opmeten?
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 25
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 3
Teken Δ𝐴𝐵𝐶 met 𝐴𝐵 = 6 cm, ∠𝐴 = 50° en ∠𝐵 = 70°.
a
Teken de deellijn van ∠𝐴.
b
Teken ook de deellijnen van ∠𝐵 en ∠𝐶.
c
Valt je iets op?
Theorie en voorbeelden
Voorbeeld 1
Deze vier hoeken vormen een volle hoek. Je ziet hoe ze
zijn genummerd.
Je ziet dat ∠𝐴1 = 53°. Dan is:
> ∠𝐴1 en ∠𝐴2 zijn samen 180°.
Dus ∠𝐴2 = 180° − 53° = 127°.
> ∠𝐴3 en ∠𝐴2 zijn samen 180°.
Dus ∠𝐴3 = 180° − 127° = 53°.
> Dus ∠𝐴3 = ∠𝐴1 .
Je noemt ∠𝐴1 en ∠𝐴3 wel overstaande hoeken of
X-hoeken.
Ook als ∠𝐴2 een andere grootte heeft blijven deze overstaande hoeken gelijk. Op dezelfde manier kun
je laten zien dat ∠𝐴2 en ∠𝐴4 gelijk zijn. Ook dat zijn overstaande hoeken.
Je hebt nu laten zien: Overstaande hoeken zijn altijd gelijk.
Opgave 4
Bekijk de applet in
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Gelijke hoeken > Voorbeeld 1
Je kunt ∠𝐴1 aanpassen door in de applet de rode punten te verplaatsen.
a
Stel ∠𝐴1 in op 37°. Hoe kun je dan de grootte van ∠𝐴2 weten?
b
Leg nu uit waarom ∠𝐴3 = ∠𝐴1 .
c
Leg ook uit waarom ∠𝐴4 = ∠𝐴2 .
PAGINA 26
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 5
Bekijk de figuur hiernaast.
a
Waarom is nu ∠𝐴1 ≠ ∠𝐴3 ?
b
Stel je voor dat ∠𝐴1 = 56°. Van welke hoek weet je dan ook de
grootte? Hoe groot is die hoek?
Voorbeeld 2
Hier zie je nog twee situaties waarin hoeken gelijk zijn. Omdat de
lijnen u� en u� evenwijdig zijn, zijn:
> F-hoeken zoals ∠𝐴1 en ∠𝐵1 gelijk.
> Z-hoeken zoals ∠𝐴2 en ∠𝐵4 gelijk.
Dat komt omdat lijn u� en punt 𝐵 eigenlijk alleen evenwijdige verschuivingen zijn van lijn u� en punt 𝐴. De hoeken verschuiven dan
gewoon mee...
De F-hoeken herken je aan de vorm van een (soms omgekeerde) F
die ze maken. En zo herken je de Z-hoeken aan de Z-vorm.
Opgave 6
Bekijk de applet in
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Gelijke hoeken > Voorbeeld 2
a
Met welke hoek vormt ∠𝐴2 een stel F-hoeken?
b
Met welke hoek vormt ∠𝐴2 een stel Z-hoeken?
c
Leg uit waarom ∠𝐴4 = ∠𝐵2 .
d
Stel in ∠𝐴2 = 30°. Hoe groot is dan ∠𝐵3 ?
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 27
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 7
Bekijk de volgende figuur. De lijnen u� en u� zijn evenwijdig, evenals de lijnen u� en u�.
a
Waarom is ∠𝐴1 ≠ ∠𝐵1 ?
b
Waarom is ∠𝐴1 = ∠𝐶1 ?
c
Waarom is ∠𝐶1 ≠ ∠𝐷3 ?
d
Welke hoek is ook gelijk aan ∠𝐴1 ? En waarom?
e
Stel dat ∠𝐴1 = 60°. Van welke hoeken weet je nu ook hoe groot ze zijn? Schrijf ze allemaal op.
Opgave 8
In deze figuur zijn de lijnen u� en u� evenwijdig. Verder is ∠𝐴1 = 43°.
Bereken alle andere genummerde hoeken in deze figuur.
Verwerken
Opgave 9
Teken zelf drie van deze hoeken en in elke hoek de deellijn.
PAGINA 28
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 10
Hier zie je een plattegrond de kamer van Marieke. Ze krijgt nieuwe vloerbedekking. Dat zijn vloertegels
van 50 cm bij 50 cm. Om ze in de juiste vorm te snijden meet ze de hoeken van haar kamer die niet
recht zijn.
Waarom hoeft ze maar twee hoeken te meten? Welke twee bijvoorbeeld?
Opgave 11
Teken Δ𝐴𝐵𝐶 met ∠𝐴 = 50°, 𝐴𝐵 = 6 cm en 𝐴𝐶 = 4 cm.
a
Laat zien dat de bissectrices van de hoeken van deze driehoek door één punt 𝑆 gaan.
b
Om punt 𝑆 zitten nu zes hoeken. Geef met gelijke tekentjes aan welke van die hoeken gelijk zijn.
Opgave 12
Bereken in deze figuur alle hoeken als de lijnen u� en u� evenwijdig zijn en gegeven is: ∠𝐵4 = 40° en
∠𝐵6 = 25°.
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 29
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Toepassen
Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting.
Opgave 13: Doelman
Het uitlopen van de doelman op een doorgebroken speler die op doel wil schieten is een mooi voorbeeld van het toepassen van een deellijn. Lees
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Gelijke hoeken > Toepassen
Bij een voetbalwedstrijd heeft een speler vanaf de punt van het strafschopgebied een vrije schietkans
op doel. De keeper komt uit zijn doel om het scoren te bemoeilijken. Hoe moet hij uitlopen? In de
Wikipedia: voetbalveld vind je de afmetingen van een voetbalveld.
Opgave 14: Parallellogram
Gegeven is een parallellogram 𝐴𝐵𝐶𝐷 met 𝐴𝐵 = 6 cm en 𝐴𝐷 = 4 cm. Verder is ∠𝐵𝐴𝐷 = 50°.
a
Teken dit parallellogram.
b
Leg uit, hoe je met behulp van F-hoeken de andere hoeken van dit parallellogram kunt berekenen.
PAGINA 30
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
1.5
Hoeken berekenen
Verkennen
Opgave 1
Hiernaast zie je een klok met een minutenwijzer (de lange wijzer)
en een urenwijzer. De klok staat op 2:00 uur.
a
Hoe groot is de hoek die de minutenwijzer en de urenwijzer met
elkaar maken?
b
Eigenlijk zijn er twee antwoorden mogelijk. Hoe zit dat?
c
Op welke tijdstippen is de kleinste hoek tussen beide wijzers 90°?
Opgave 2
Het berekenen van de hoeken tussen de minutenwijzer en de urenwijzer van een klok is nog niet zo
heel eenvoudig.
Probeer de hoek te berekenen tussen beide wijzers als het 5 over 3 is.
Uitleg
Het is niet altijd verstandig om hoeken te meten.
Meten levert namelijk onnauwkeurigheden op.
En soms is meten niet nodig:
> Als twee hoeken samen een rechte hoek vormen en je weet er één dan weet je ook de andere. Ze
zijn immers samen 90°.
> Als twee hoeken samen een gestrekte hoek vormen en je weet er één dan weet je ook de andere. Ze
zijn immers samen 180°.
> Als twee hoeken samen een volle hoek vormen en je weet er één dan weet je ook de andere. Ze zijn
immers samen 360°.
> Een deellijn verdeelt een hoek in twee gelijke hoeken. Weet je er één van, dan weet je ook de andere.
> Overstaande hoeken (X-hoeken) zijn gelijk.
> Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn, dan zijn de F-hoeken en de Z-hoeken gelijk.
En zo kun je soms door redeneren de grootte van een hoek te weten komen.
Dat noem je hoeken berekenen.
Opgave 3
Bekijk de situaties die in de Uitleg op pagina 31 worden genoemd.
Geef bij elk van die situaties een voorbeeld met een bijpassende figuur.
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 31
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 4
Ayse wil een hoek van 210° tekenen. De geodriehoek gaat maar tot 180°.
a
Ayse tekent een hoek van 150°. Leg uit waarom ze nu ook een hoek van 210° heeft getekend.
b
Teken een hoek van 310°.
Theorie en voorbeelden
Voorbeeld 1
De twee hoeken hiernaast vormen samen een gestrekte hoek.
De kleinste hoek is 45°.
De grootte van de andere hoek kun je uitrekenen:
180° − 45° = 135°.
In de tweede figuur zijn de lijnen u� en u� evenwijdig.
Je wilt ∠𝐴3 uitrekenen. Dat kan zo:
> ∠𝐵1 = 90° − 25° = 65°.
> ∠𝐵2 = ∠𝐵1 (overstaande hoeken).
> Dus ∠𝐴3 = ∠𝐵2 = 65° (F-hoeken).
Opgave 5
Bereken in de volgende figuren de hoek met het vraagteken erin.
Opgave 6
Bekijk de figuur hieronder, u� en u� zijn evenwijdige lijnen.
Bereken de hoek met het vraagteken er in.
PAGINA 32
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Voorbeeld 2
In de figuur hiernaast zie je een voorbeeld van de stelling:
> De som van de hoeken in elke driehoek is 180°.
Er is een lijn door hoekpunt 𝐶 evenwijdig aan zijde 𝐴𝐵 getekend.
Met behulp van Z-hoeken kun je nu laten zien dat de drie hoeken van
elke driehoek samen een gestrekte hoek vormen. En daarom zijn ze
samen altijd 180°.
Dit betekent dat als je twee hoeken van een driehoek weet je de
derde kunt uitrekenen. En dat is soms erg handig als je een driehoek
wilt tekenen...
Opgave 7
Bekijk de applet in
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken berekenen > Voorbeeld 2
a
Beweeg punt 𝐶. Waarom zijn de drie hoeken bij hoekpunt 𝐶 samen altijd 180°?
Noem de hoeken bij 𝐶 van links naar rechts ∠𝐶1 , ∠𝐶2 en ∠𝐶3 .
b
Met welke hoek vormt ∠𝐶1 een stel Z-hoeken?
c
Met welke hoek vormt ∠𝐶3 een stel Z-hoeken?
d
Leg uit waarom de som van de hoeken van deze driehoek 180° is.
e
Waarom geldt deze regel voor elke driehoek? (In de applet kun je de punten 𝐴, 𝐵 en 𝐶 verplaatsen.)
Opgave 8
Je wilt een driehoek 𝐴𝐵𝐶 tekenen met ∠𝐴 = 60°, ∠𝐶 = 40° en 𝐴𝐵 = 6 cm.
a
Bereken eerst de grootte van ∠𝐵.
b
Teken nu Δ𝐴𝐵𝐶.
Opgave 9
Een driehoek met drie gelijke zijden heeft ook drie gelijke hoeken.
Hoe groot zijn die hoeken?
Opgave 10
In een rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷 snijden de diagonalen 𝐴𝐶 en 𝐵𝐷 elkaar in punt 𝑆. Verder is ∠𝐵𝐴𝐶 = 32°.
Bereken de grootte van ∠𝐴𝐶𝐵 en ∠𝐴𝑆𝐵.
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 33
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 11
Je ziet hier een vierhoek 𝐴𝐵𝐶𝐷.
a
Hoe kun je de vierhoek in twee driehoeken verdelen?
b
Hoeveel graden zijn de hoeken van deze vierhoek samen?
c
Op hoeveel manieren kun je deze vierhoek in twee driehoeken verdelen?
d
Geef een voorbeeld van een vierhoek die je maar op één manier in twee
driehoeken kunt verdelen.
e
Zijn er ook vierhoeken die je niet in twee driehoeken kunt verdelen?
f
Hoeveel graden zijn de hoeken van elke vierhoek samen?
Verwerken
Opgave 12
Bereken in deze figuur de hoeken die met een vraagteken zijn aangegeven. (De pijltjes geven aan dat
de twee horizontale lijnen ook echt evenwijdig zijn.)
Opgave 13
Je ziet hier twee lijnen u� en u� gesneden door derde lijn onder hoeken van 60° en 70°. Het snijpunt van
u� en u� ligt buiten beeld.
Welke hoeken maken de lijnen u� en u� in dat snijpunt?
Opgave 14
Teken Δ𝐴𝐵𝐶 met ∠𝐵 = 50°, ∠𝐶 = 100° cm en 𝐴𝐶 = 4 cm.
PAGINA 34
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 15
Je wilt weten hoeveel graden de hoeken van een vijfhoek samen zijn.
a
Teken een vijfhoek 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 en verdeel hem in drie driehoeken.
b
Hoeveel graden zijn de hoeken van jouw vijfhoek samen?
c
Geldt dit voor elke vijfhoek?
Een regelmatige vijfhoek is een vijfhoek waarvan alle zijden even groot zijn en alle hoeken even groot
zijn.
d
Hoe groot zijn de hoeken van zo’n regelmatige vijfhoek?
Toepassen
Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting.
Opgave 16: De wijzers van een klok
Het berekenen van de hoek tussen de minutenwijzer en de urenwijzer op een klok is nog best lastig.
Lees
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken berekenen > Toepassen
Ga er van uit dat onder de hoek tussen de minutenwijzer en de urenwijzer steeds de kleinste hoek
tussen beide wordt verstaan.
a
Welke hoek maken de minutenwijzer en de urenwijzer met elkaar om 12:25 uur?
b
En om 7:35 uur?
c
En om 11:19 uur?
d
Om 0:00 uur maken de urenwijzer en de minutenwijzer een hoek van 0°. Op welke tijdstippen is dat
weer zo? Geef nauwkeurige antwoorden, ook in delen van minuten.
Opgave 17: Honderdhoek
Hoeveel graden is het aantal hoeken van een honderdhoek (een veelhoek met 100 hoekpunten)?
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 35
1.6
Totaalbeeld
Samenvatten
Hoe vaak ga je niet een hoek om of bekijk je iets onder een bepaalde hoek. Het woord ‘hoek’ is normaal
spraakgebruik. In de wiskunde moet je iets nauwkeuriger afspreken wat een hoek is. En vervolgens wil
je hem kunnen meten, tekenen en berekenen...
De volgende opgaven zijn bedoeld om overzicht over het onderwerp ‘Hoeken’ te krijgen. Dit betreft de
onderdelen 1, 2, 3, 4 en 5 van dit onderwerp. Het is nuttig om er een eigen samenvatting bij te maken.
De opgaven hieronder zijn bedoeld om je daarbij te helpen.
Je hebt geleerd
> de begrippen hoek met hoekpunt en benen en scherpe, stompe, rechte, gestrekte en overstrekte hoeken herkennen ( Uitleg op pagina 6);
> het begrip graad en het meten van hoeken in graden ( Uitleg op pagina 12);
> hoeken tekenen als het aantal graden ervan is gegeven ( Uitleg op pagina 19);
> de deellijn (bissectrice) van een hoek tekenen, werken met X-hoeken (overstaande hoeken),
F-hoeken en Z-hoeken ( Uitleg op pagina 25);
> de grootte van hoeken beredeneren, de som van de hoeken van een driehoek gebruiken (
Uitleg op pagina 31);
Voorkennis
> de namen en basiseigenschappen van de belangrijkste vlakke (rooster)figuren (Figuren);
> oppervlakte en omtrek van vlakke (rooster)figuren bepalen (Oppervlakte en omtrek);
Opgave 1
Teken een ∠𝐴. Zet er op de juiste plaats de woorden ‘hoekpunt’ en ‘been’ (2 ×) bij en zet de letter bij
het hoekpunt. Waarom is een boogje in de hoek nodig?
Opgave 2
Hier zie je zes verschillende hoeken. Ze
staan ook op het werkblad.
a
Schrijf bij elk van de hoeken of hij scherp,
stomp, recht, gestrekt of overstrekt is. Zet
in de rechte hoek het rechte hoek teken.
b
Zet in elke hoek het juiste aantal graden.
Opgave 3
Met een geodriehoek kun je hoeken tekenen.
a
Teken ∠𝐴 = 24∘ en ∠𝐵 = 100∘
b
Teken in ∠𝐴 en in ∠𝐶 een deellijn.
PAGINA 36
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 4
In deze figuur kun je gelijke X-hoeken, F-hoeken en Z-hoeken herkennen.
a
Schrijf van elk van deze drie soorten gelijke hoeken één paar op. Geef de hoeken met drie letters aan
of met behulp van een genummerde letter.
b
De vier hoeken bij punt 𝐶 zijn recht en ∠𝐴1 = 110∘ . Hoe groot is dan ∠𝐶𝐷𝐸?
Opgave 5
Met drie gegevens kun je een driehoek tekenen.
a
Teken Δ𝐴𝐵𝐶 met zijden 𝐴𝐵 = 3 cm, 𝐴𝐶 = 2 cm en 𝐵𝐶 = 4 cm.
b
Teken Δ𝐾𝐿𝑀 met 𝐾𝐿 = 6 cm, ∠𝐾 = 40∘ en ∠𝑀 = 110∘ .
Testen
De volgende opgaven zijn bedoeld om na te gaan of je de onderdelen 1 tot en met 5 van het onderwerp
‘Hoeken’ voldoende beheerst.
Opgave 6
Deze vier hoeken vind je ook op het werkblad.
a
Zet bij elke hoek of hij scherp, stomp, recht, gestrekt of overstrekt is.
b
Meet hoe groot de hoeken zijn in graden nauwkeurig.
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 37
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 7
Teken de hoeken ∠𝐴 = 32∘ , ∠𝐵 = 161∘ , ∠𝐶 = 199∘ .
Opgave 8
Teken op het werkblad in deze twee hoeken een
deellijn en schrijf in je figuur hoe groot de beide
delen van de hoek zijn.
Opgave 9
Beredeneer de grootte van ∠𝐴𝐵𝐶 als ∠𝐴1 =
112∘ .
Opgave 10
De hoeken 𝐴1 en 𝐴2 vormen samen een gestrekte hoek en 𝐴1 is vier keer zo groot als ∠𝐴2 .
Beredeneer de grootte van 𝐴1 .
Opgave 11
Teken de volgende driehoeken.
a
Δ𝐾𝐿𝑀 met ∠𝐿 = 40∘ , 𝐾𝑀 = 4 en 𝐾𝐿 = 5 cm.
b
Δ𝑃𝑄𝑅 met ∠𝑃 = 40∘ , ∠𝑄 = 60∘ en 𝑄𝑅 = 4 cm.
Opgave 12
Bereken de exacte hoek die de wijzers van de klok met elkaar maken als het vijf voor half drie is.
Toepassen
Geef van de volgende opgaven een uitgebreide uitwerking.
Opgave 13: Hoe ver uit de kust?
Een schip vaart ’s nachts evenwijdig aan de (rechte) kust van Noord-Holland. Op een bepaalde positie
ziet de stuurman de vuurtoren van Egmond aan Zee onder een hoek van 20∘ ten opzichte van de
vaarrichting van het schip. Na 5 km varen ziet de stuurman diezelfde vuurtoren onder een hoek van
60∘ met de vaarrichting.
Maak een tekening op schaal van deze situatie en bepaal hoe ver de afstand van het schip tot de kust
is.
PAGINA 38
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 14: Borden boven de snelweg
Het volgende probleem is heel mooi op te lossen met behulp van GeoGebra.
Boven de snelweg hangen vaak borden om je de weg te wijzen. Die borden hangen zuiver verticaal met
hun onderrand 5 m boven het wegdek. Neem aan dat zo’n bord 1,50 m hoog is. Je zit voorin een auto
en rijdt onder dit bord door. Je oog zit steeds op 1 m boven het wegdek. De hoek tussen de twee lijnen
vanuit je oog naar de onderrand en de bovenrand van het bord verandert daardoor steeds.
Op welke afstand voor het bord is die hoek het grootst?
STICHTING MATH4ALL
3 OKTOBER 2013
PAGINA 39