dag van de wiskunde

DAG VAN DE WISKUNDE
22/11/03
middelloodlijnen en
omgeschreven cirkel
O
I hear and I forget
I see and I remember
I do and I understand
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
1
1. Het gebruik van Cabri in de lessen wiskunde
1.1.
De nieuwe versie Cabri II plus
Wat is nieuw?

Het ontwerpen van een schakelaar
Teken een driehoek ABC.
Teken de drie middelloodlijnen in de driehoek.
Noem hun snijpunt M.
Teken de omgeschreven cirkel van de getekende driehoek ABC.
Kies bij het laatste icoontje op de werkbalk, de Toon/Verberg knop.
Teken nu een knop.
Klik nadien op de drie middelloodlijnen, op hun snijpunt en op de
omgeschreven cirkel van de getekende driehoek ABC.
Je hebt de knop geassocieerd met deze aangeduide elementen.
Klik nu eerst op de selecteerknop en nadien op de schakelaar en de
aangeduide elementen verdwijnen of verschijnen.

Je kan getekende figuren exporteren naar de TT-83 plus.
Vooreerst is het natuurlijk nodig om CabriJr te installeren op de TI-83
plus. Dit doe je als volgt:
Ga naar:
http://education.ti.com/us/product/apps/83p/cabrijr.html
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
2
Dan kies je voor:
Get the CabriJr App (gratis!!)
Je bewaart dit eerst op de harde schijf van je computer.
Via TI-connect, breng je dit dan naar je TI-83 plus.
Let op: er moet genoeg geheugen beschikbaar zijn op je TI-83 plus. (geen
probleem voor de Silver Edition)
Dit kan je controleren door op 2nd + te drukken en nadien te kiezen voor
het tweede menu: Mem Mgmt/Del.
Als je nu in Cabri II plus een figuur getekend hebt die je wil exporteren
naar de TI-83 plus dan ga je als volgt te werk:
Sla eerst de figuur op op je computer in een bepaalde map.
Nadien verbind je je rekenmachine met de computer via TI-connect.
Sleep nu het bewaarde bestand van de map op je computer naar je
rekenmachine.

Men kan opnames doen van getekende figuren en van figuren die
men versleept heeft.
Kies voor Begin opname.
Nadien krijg je een schermpje waarop staat:
Dit betekent dat bij het verslepen elke 2 seconden een opname gebeurt.
Je kan dit anders instellen (vakje aanvinken).
Druk nadien op de OK knop en geef een naam aan je sessie.
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
3
Voer nadien je constructies uit (bemerk het rode “bolletje” dat telkenmale
op je scherm verschijnt!) en versleep eventueel je figuur.
Als je alles getekend en versleept hebt, klik dan op Stop opname.
Nadien kan je de opgenomen sessie bekijken door te kiezen voor:
Lees een sessie.
Bemerk dat er een mapje met de gekozen naam (bvb. parallellogram)
ontstaan is.
Ga op parallellogram_1 staan en klik op openen.
Klik nadien steeds op F7.

Je kan veel gemakkelijker grafieken tekenen.
Kies eerst toon assenstelsel en nadien voor definieer rooster.
Klik op het voorlaatste icoontje en kies voor uitdrukking.
Voer je uitdrukking als volgt in: 2*x – 4 of x*sin(x)
Klik nadien op het derde laatste icoontje en kies voor pas een uitdrukking
toe . Klik eerst op de uitdrukking en klik nadien op de x-as en de grafiek
wordt getekend.

Om een ietwat volledig overzicht te krijgen van de verdere nieuwe
realisaties (lay-out, gebruik van smart lines, …):
Surf naar:
http://www.pandd.demon.nl/cabriplus.htm#2
Er zijn echter ook een aantal nadelen:

Maat overbrengen vanuit een punt lukt niet meer
Je brengt op het scherm 5cm.
Je tekent dan best een halfrechte en je kiest op de werkbalk voor maat
overbrengen en klikt dan op de halfrechte en nadien op het getal.
5.00 cm
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
4

Een reeds gecreëerde macro aanpassen lukt niet meer.
Dit is wellicht een fout in het programma en zal bij een update wel
aangepast worden.
In de oude versie van Cabri kon dit wel.
1.2.
Het gebruik van bestaande demo’s of / en applets.
Op het internet zijn tal van demoprogramma’s en applets te vinden die bruikbaar
zijn in de lessen wiskunde.
Hiervoor is het uiteraard wel nodig dat men ofwel over een computer met beamer
beschikt om dit alles te projecteren in de klas of dat de toegang tot een voldoende
ruim computerlokaal mogelijk is.
Voorbeelden van mogelijke demoprogramma’s:
(deze programma’s zijn bewaard in de map demo’s)
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Het getal pi.
Indeling van de hoeken.
Merkwaardige lijnen in een driehoek.
Bissectrice van een hoek.
Som van de hoeken in een driehoek.
Ontvouwing van een kubus.
Invariante eigenschappen van een draaiing.
Voorbeelden van mogelijke applets:
http://grrddkkr.tripod.com/ en kies nadien voor Java Applets klas 1 t/m 4.
Bij klas 1 kies je voor Aanzichten raden, nadien voor Driehoek:
hoekensom, voor Spiegeling en tenslotte voor Huisjes draaien
Bij klas 2 kies je voor Hoekprobleem 1 en Hoekprobleem 2
Bij klas 3 kies je voor Lengte – oppervlakte - verhouding
Bij klas 4 kies je voor Translatie
http://www.ping.be/ursula/wiskunde.htm
Kies bij het eerste jaar voor Online CabriJava-applets.
Kies nadien voor: Merkwaardige lijnen in een driehoek:
middelloodlijn
Kies bij het tweede jaar eveneens voor Online CabriJava-applets.
Kies nadien voor: Verschuiving: eigenschappen
Kies nadien voor: Middelloodlijncriterium
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
5
1.3.
Zelf demoprogramma’s ontwerpen
Met de nieuwe versie van Cabri is het mogelijk om zelf gemakkelijker dan
vroeger “didactische toepassingen” op te stellen.
Men kan, zoals hiervoor vermeld, vrij gemakkelijk een “knop” installeren om
tekeningen of tekst te verbergen of op het scherm te brengen.
Voorbeeld: zie map zelfgemaakte demo’s
Kies dan voor bijzondere lijnen driehoek
Kies nadien voor spiegeling
In de nieuwe versie van Cabri kan men ook een bepaalde sessie opnemen en
nadien afspelen.
Voorbeeld: zie map parallellogram
In een parallellogram delen de diagonalen elkaar middendoor en zijn de
overstaande hoeken even groot.
Kies op de werkbalk eerst voor Sessie en nadien voor Lees een sessie.
Kies voor parallellogram_1 en open dit.
Klik nadien steeds op F7.
1.4.
Uitgewerkte lesvoorbeelden met bijhorende werkbladen
1.4.1. Voorbeeld 1
Classificatie van de driehoeken volgens de zijden en volgens de hoeken.
Het bestand classificatie driehoeken.fig (zie map uitgewerkte lessen) wordt
aan iedere leerling bezorgd.
Hierbij horen dan de werkbladen: classificatie driehoeken.
1.4.2. Voorbeeld 2
Maak de volgende tekening in Cabri: driehoek in driehoek.
Om het uiteindelijk resultaat even te bekijken, roep hiervoor het bestand
driehoek in driehoek.fig op (zie map uitgewerkte lessen)
Om deze tekening te maken, heb je een speciale macro nodig.
(driehoek in driehoek)
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
6
1.4.3. Voorbeeld 3
De transformaties van het vlak en hun eigenschappen.
De bestanden transformaties.fig en eigenschappen transformaties.fig
(zie map uitgewerkte lessen) worden aan iedere leerling bezorgd.
Hierbij horen dan de werkbladen: transformaties van het vlak.
1.4.4. Voorbeeld 4
Eigenschappen van bijzondere vierhoeken.
Hierbij horen de macro’s:
Vierkant
Rechthoek
Ruit
Parallellogram
Trapezium
Je vindt deze macro’s terug in de map Macro’s.
Je kunt alle macro’s samen inladen als je vierhoeken.men opent in de map
werkbladen.
Bij dit voorbeeld horen de werkbladen eigenschappen van bijzondere
vierhoeken.
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
7
CLASSIFICATIE VAN DE DRIEHOEKEN VOLGENS
DE ZIJDEN EN VOLGENS
DE HOEKEN
1.
Classificatie volgens de zijden
Stap1:
Open het bestand classificatie driehoeken.fig
Stap2:
Kies vervolgens onderstaande knop op de werkbalk en meet alle zijden van alle
driehoeken.
Stap3:
Vul nu volgende tabel in:
Zijde 1
Zijde 2
Zijde 3
Naam driehoek
Driehoek 1
Driehoek 2
Driehoek 3
Driehoek 4
Driehoek 5
Stap4:
Sla het bestand op onder een zelfgekozen naam. Kies hiervoor: Opslaan als …
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
8
2.
Classificatie volgens de hoeken
Stap1:
Open het bestand classificatie driehoeken.fig
Stap2:
Meet alle hoeken met onderstaande knop.
Stap3:
Vul nu de volgende tabel in:
Hoek 1
Hoek 2
Hoek 3
Naam driehoek
Driehoek 1
Driehoek 2
Driehoek 3
Driehoek 4
Driehoek 5
Stap4:
Sla het bestand op onder een zelfgekozen naam. Kies hiervoor: Opslaan als …
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
9
3.
Conclusies
CLASSIFICATIE VOLGENS DE ZIJDEN
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek waarvan minstens 2 zijden …………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarvan …………………………….
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Een ongelijkbenige driehoek is een driehoek ……………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
CLASSIFICATIE VOLGENS DE HOEKEN
Een scherphoekige driehoek is een driehoek waarvan alle hoeken ……………..
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Een stomphoekige driehoek is een driehoek …………………………………….
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Een rechthoekige driehoek is een driehoek ……………………………………..
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
10
4.
Bijkomende opdrachten
Bijkomende opdracht 1
Je hebt bemerkt dat Cabri de hoeken weergeeft als 137.4°
We gaan de hoeken nu uitdrukken in graden, minuten en seconden.
We gebruiken hiervoor de rekenmachine van Cabri.
In Cabri bestaat de instructie floor
Zo is floor (137.4) = 137
floor (-45.89) = -46
Als een hoek weergegeven wordt als:
seconden als volgt:
Aantal graden:
Aantal minuten:
Aantal seconden:
a = 45.567° dan vind je het aantal graden, minuten en
floor (a)
(a-floor (a))*60 = b
(b-floor(b))*60
45
(45.567-floor (45.567))*60 = 34.02
(34.02-floor (34.02))*60 = 1.2
A = 45° 34’ 1”
Zet de hoeken van driehoek ABC om in graden, minuten en seconden.
Controleer tevens dat de som van de hoeken 180° is.
A
B
C
ABC 
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
11
Bijkomende opdracht 2
Teken een scherphoekige driehoek.
Vervorm de driehoek zo dat je een stomphoekige driehoek krijgt door een hoekpunt te
verslepen.
Zou je nu van de driehoek ook door een hoekpunt te verslepen een rechthoekige driehoek
kunnen maken?
Teken zelf een rechthoekige driehoek.
Stap1:
Open een nieuw werkblad in Cabri
Stap2:
Teken een scherphoekige driehoek
Stap3:
Controleer dat je wel degelijk een scherphoekige driehoek getekend hebt door de
hoeken te meten.
Stap4:
Maak van deze driehoek een stomphoekige driehoek door een punt te verslepen.
Hoe kan je dit goed volgen op het scherm?
Stap5:
Probeer van deze driehoek nu een rechthoekige driehoek te maken. Als je gewoon
een punt versleept en een hoek wordt aangeduid als 90,0° ben je dan zeker dat je
een rechthoekige driehoek getekend hebt?
Hoe kan je dit controleren?
Besluit?
Stap 6:
Teken zelf een rechthoekige driehoek. Beschrijf je methode hieronder.
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
12
Construeren van een driehoek in een driehoek
Stap 1: Voorbereidende constructies
1. Teken een regelmatige driehoek
2. Teken 3 halfrechten waarvan de oorsprong telkens samenvalt met een
hoekpunt van de driehoek en het andere punt met een ander hoekpunt van de
driehoek
3. Teken “over” deze regelmatige driehoek een gewone driehoek
4. Breng 5 mm op het scherm
5. Gebruik maat overbrengen en breng de 5 mm over op de drie halfrechten
6. Teken een nieuwe driehoek met de 3 overgebrachte punten
5.00 mm
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
13
Stap 2: Ontwerp de macro voor het tekenen van een driehoek in een driehoek
Beginelementen: de gewone driehoek en de 5 mm
Eindelement: de laatst getekende driehoek
Als naam geef je aan de macro: driehoek in driehoek.
Vergeet de macro niet op te slaan.
Bijkomende opdracht: ontwerp thuis zelf volgende figuur:
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
14
TRANSFORMATIES VAN HET VLAK
Deel 1
Stap1:
Open het bestand transformaties.fig
-50.00 ° (draaiingshoek)
spiegelas a
B
A
C
(centrum draaiing)
Stap2:
Stap3:
O
(centrum puntspiegeling)
Onthoud het volgende:
Transformatie
Bepaald door …
Spiegeling
Puntspiegeling
Verschuiving
Draaiing
Rechte a (in dit geval)
Punt O
Georiënteerd lijnstuk AB (vector)
Centrum C en draaiingshoek -50°
Vul nu volgende tabel in. Je moet wel steeds onderzoeken of je antwoorden
algemeen geldig zijn door je originele figuur te verslepen of te manipuleren. Je
kan soms ook controles uitvoeren: als een punt op de originele figuur ligt, moet
het beeld van dit punt door de transformatie op de getekende beeldfiguur liggen.
Geef je originele figuur steeds een naam en werk steeds hiermee!!!!
Bij het onderzoek van een nieuwe figuur neem steeds het beginbestand. Zo heb je
geen overbodige tekeningen op het scherm.
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
15
ORIGINEEL
BEELD DOOR …
Rechte
Rechte
Spiegeling
Puntspiegeling
BEELD
Merk je iets bijzonders?
Rechte
Verschuiving
Merk je iets bijzonders?
Rechte
Draaiing
Halfrechte
Halfrechte
Spiegeling
Puntspiegeling
Merk je iets bijzonders?
Halfrechte
Verschuiving
Merk je iets bijzonders?
Halfrechte
Draaiing
Lijnstuk
Lijnstuk
Spiegeling
Puntspiegeling
Merk je iets bijzonders?
Lijnstuk
Verschuiving
Merk je iets bijzonders?
Lijnstuk
Draaiing
Hoek
Hoe teken je een hoek?
Hoek
Hoek
Hoek
Spiegeling
Puntspiegeling
Verschuiving
Draaiing
Vierhoek
Vierhoek
Vierhoek
Vierhoek
Spiegeling
Puntspiegeling
Verschuiving
Draaiing
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
16
Deel 2
Stap1:
Open het bestand eigenschappen transformaties.fig
-50.00 ° (draaiingshoek)
spiegelas a
B
A
A
B
D
C
(centrum draaiing)
O
C
(centrum puntspiegeling)
Merk op dat ABCD een trapezium is en dat dus AB // CD.
Stap2:
Meet een zijde en een hoek van het trapezium ABCD. Meet de oppervlakte van
ABCD.
Stap3:
Vul onderstaande tabel in.
Originele
figuur
Na spiegeling
Na
puntspiegeling
Na
verschuiving
Na draaiing
Lengte van
een zijde
Grootte van
een hoek
Oppervlakte
Evenwijdige
rechten
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
17
Stap4:
Onderzoek of de bevindingen algemeen geldig zijn door het origineel trapezium te
vervormen.
Stap5:
Conclusies
Een spiegeling, puntspiegeling, verschuiving en draaiing zijn transformaties van het vlak die
de afstand,
de hoekgrootte,
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
bewaren.
Behouden deze transformaties ook de loodrechte stand?
Verklaar je antwoord.
Stap6:
Vul de volgende tabel in en verantwoord je antwoord.
Figuur
Beeld van de figuur
Verantwoording
Vierkant
Ruit
Rechthoek
Parallellogram
Trapezium
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
18
Gelijkbenige driehoek
Gelijkzijdige driehoek
Scherphoekige driehoek
…
Cirkel
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
19
EIGENSCHAPPEN VAN BIJZONDERE VIERHOEKEN
(1)
vier gelijke hoeken
(2)
vier gelijke zijden
(3)
twee gelijke diagonalen
(4)
vier rechte hoeken
(5)
overstaande zijden gelijk
(6)
overstaande zijden evenwijdig
(7)
overstaande hoeken gelijk
(8)
diagonalen snijden elkaar loodrecht
(9)
diagonalen snijden elkaar middendoor
(10) diagonalen zijn bissectrices van de corresponderende hoeken
De bedoeling is om volgende tabel in te kleuren:
Kleur het vakje groen als de voorwaarde steeds geldt.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Trapezium
Parallellogram
Ruit
Rechthoek
Vierkant
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
20
Voorafgaande opmerking:
Teken de figuren groot genoeg.
Teken steeds de diagonalen.
Onderzoek enkel de uitdrukkingen waaraan je twijfelt of ze al dan niet algemeen geldig zijn.
Het gemakkelijkste werk je als je alle macro’s samen opent. Open hiervoor vierhoeken.men
in de map werkbladen.
Stap1:
Open de macro trapezium.mac en teken een trapezium.
Teken hiervoor eerst 2 punten die de grote basis bepalen.
Het derde punt bepaalt de hoogte en het vierde punt legt (ongeveer) de kleine
basis vast.
Stap2:
Onderzoek welke van de 10 voorwaarden gelden in eender welk trapezium en vul
de tabel aan.
Stap3:
Open de macro parallellogram.mac en teken een parallellogram.
Teken hiervoor eerst 2 punten die de basis bepalen.
Het derde punt bepaalt de hoogte van het parallellogram.
Stap4:
Onderzoek welke van de 10 voorwaarden gelden in eender welke parallellogram
en vul de tabel aan.
Stap5:
Open de macro ruit.mac en teken een ruit.
Teken hiervoor eerst 2 punten die de lengte van een diagonaal bepalen.
Het derde punt bepaalt de halve lengte van de andere diagonaal.
Stap6:
Onderzoek welke van de 10 voorwaarden gelden in eender welke ruit en vul
de tabel aan.
Stap7:
Open de macro rechthoek.mac en teken een rechthoek.
Teken hiervoor eerst 2 punten die de basis bepalen.
Het derde punt bepaalt de hoogte van de rechthoek.
Stap8:
Onderzoek welke van de 10 voorwaarden gelden in eender welke rechthoek en vul
de tabel aan.
Stap9:
Open de macro vierkant.mac en teken een vierkant.
Teken hiervoor 2 punten die de lengte van een zijde bepalen.
Stap10:
Onderzoek welke van de 10 voorwaarden gelden in eender welk vierkant en vul
de tabel aan.
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
21
Een aantal denkvragen:
Hoe kan je aan de ingekleurde tabel zien dat elke ruit een parallellogram is?
Hoe kan je aan de ingekleurde tabel zien dat een vierkant een vierhoek is die zowel rechthoek
als ruit is?
Bestaan er trapezia waarin de diagonalen loodrecht op elkaar staan?
Zo ja, teken zo’n trapezium.
Moet vakje (8) dan niet groen gekleurd zijn?
Als je de vierhoeken rangschikt volgens het meest aantal ingekleurde groene vakjes, welke
schikking krijg je dan? Kan je dit verklaren?
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
22
CONCLUSIES
Formuleer in volledige zinnen zoveel mogelijk eigenschappen:
In een parallellogram
zijn de overstaande zijden gelijk
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
In een ruit
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
In een rechthoek
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
23
In een vierkant
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Van Nieuwenhuyze Roger
Dag van de wiskunde
24