Oefenmateriaal Eindtoets Voortgezette Calculus

Oefenmateriaal Eindtoets Voortgezette Calculus
Disclaimer: Deze opgaven geven slechts een globale indicatie voor mogelijke
stofkeuze en moeilijkheidsgraad van de eindtoets! Er dient niet geconcludeerd
te worden dat de eindtoets opgaven van precies hetzelfde type zal bevatten.
1. Zij f : R × R \ {0} −→ R gegeven door
f (x, y) =
x2
y
a) Bepaal het tweede orde Taylorpolynoom van f rond (x0 , y0 ) = (1, 1)
b) Geef een vergelijking voor het raakvlak aan de grafiek van f in het
punt (1, 1, 1).
c) Geef een vergelijking voor de raaklijn aan de niveaulijn van f door
het punt (1, 1).
d) Bereken de derde orde richtingsafgeleide van f in het punt (1, 1) in
richting √15 (1, −2).
2. (Niet voor TBdk)
Voor welke waarde van de parameter a heeft het lineaire stelsel


  
1
2 4
x1
9
 −2 −1 1   x2  =  0 
a
2 2
x3
6
meer dan een oplossing? Geef alle oplossingen voor deze waarde.
3. (Niet voor TBdk)
Schrijf de matrix
A=
2
1
3
−2
als product van elementaire matrices.
4. (Niet voor TBdk) Is de volgende bewering waar? Geef een beredenering
of een tegenvoorbeeld.
“Als voor een vierkante matrix A en een natuurlijk getal n > 1 geldt
An = 0 dan volgt ook A = 0.”
5. Bereken de determinant
a11
a21
0
0
a12
a22
0
0
(Probeer dit efficiënt te doen!)
1
c11
c21
b11
b21
c12
c22
b12
b22
.
6. Zij Φ : R2 −→ R2 gegeven door
Φ(x, y) =
x2 − y 2
2xy
en D = (x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1}. Bereken de oppervlakte van
Φ(D).
7. Zij K het lichaam in R3 gegeven door x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x2 +y 2 +z 2 ≤ 1.
Bereken de integraal
x
dV.
2 + y2 + z2
1
+
x
K
8. (Niet voor TBdk)
Geef aan welke van de volgende reeksen convergeert / divergeert. Beredeneer je antwoord.
∞
∞
∞
X
X
X
(−1)n
n+1
,
c)
.
a)
n2 e−n ,
b)
2 + 3n + 3
1/3
2n
n
n=1
n=1
n=1
9. Vind alle complexe getallen z die voldoen aan de vergelijking
ez = i.
10. Schets in het complexe vlak de verzameling van alle getallen die voldoen
aan de ongelijkheid
|z − 1| + |z + 1| ≤ 3.
11. Vind de oplossing voor het beginwaardeprobleem
y 00 (t) − 2y 0 (t) + y = e2t ,
y(0) = 1, y 0 (0) = −1.
12. (Alleen voor TBdk)
Zij f : R2 −→ R gegeven door
f (x, y) = x4 + y 2 − 8xy.
Vind alle kritieke punten van f en bepaal hun type.
13. (Alleen voor TBdk)
Vind de globale maxima en minima van de functie f gegeven door
f (x, y) = 2x3 + y 4
op de (gesloten) eenheidscirkelschijf D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1}.
14. (Alleen voor TBdk)
Vind de minimale en maximale waarde van de functie f (x, y, z) = z op de
snijlijn van het vlak
x + 2y + 3z = 6
en de sfeer
x2 + y 2 + z 2 = 14/5.
2