4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] - Willem

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
Voorbeeld 1:
5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15)
Voorbeeld 2:
5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3 -3 -3 -3 -3 = -15)
Voorbeeld 3:
-5 x 3 = -15
Afspraak: In plaats van x gebruiken we voortaan ∙
Voorbeeld 4:
-5 ∙ 3 ∙ 9 ∙ 2 =
-15 ∙ 9 ∙ 2 =
-135 ∙ 2 = -270
Voorbeeld 5:
-3 ∙ 0 ∙ 5 ∙ -7 = 0
Afspraak: Een getal vermenigvuldigen met nul geeft als uitkomst nul.
Willem-Jan van der Zanden
1
4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
We kennen tot nu toe de volgende regels voor het vermenigvuldigen van
getallen:
positief x positief = positief
negatief x positief = negatief
positief x negatief = negatief
[4 ∙ 7 = 28 ]
[-4 ∙ 7 = -28]
[4 ∙ -7 = -28]
Voorbeeld 6:
-4 ∙ 3 = -12
-4 ∙ 2 = -8
-4 ∙ 1 = -4
-4 ∙ 0 = 0
-4 ∙ -1 = 4
-4 ∙ -2 = 8
Hieruit volgt:
negatief x negatief = positief
[-4 ∙ -7 = 28]
Willem-Jan van der Zanden
2
4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [3]
Volgorde bij berekeningen:
1) Haakjes wegwerken
2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
3) Optellen en aftrekken van links naar rechts
Let op:
Schrijf ALLE stappen ONDER elkaar
Voorbeeld:
-6 - (3 - 7) ⋅ -6 - 3
-6 - - 4 ⋅ -6 - 3
-6 + 4 ⋅ -6 - 3
-6 - 24 - 3
-30 - 3 = -33
Let op:
1) De rode mintekens zijn aftrekminnen;
2) De groene mintekens zijn negatieve minnen.
Willem-Jan van der Zanden
3
4.2 Negatieve getallen delen [1]
Herhaling:
positief x positief = positief
negatief x positief = negatief
positief x negatief = negatief
negatief x negatief = positief
[4 ∙ 7 = 28 ]
[-4 ∙ 7 = -28]
[4 ∙ -7 = -28]
[-4 ∙ -7 = 28]
De rekenregels voor het delen van positieve en negatieve getallen zijn:
positief : positief = positief
negatief : positief = negatief
positief : negatief = negatief
negatief : negatief = positief
[8 : 2 = 4]
[-8 : 2 = -4]
[8 : -2 = -4]
[-8 : -2 = 4]
Willem-Jan van der Zanden
4
4.2 Negatieve getallen delen [2]
Voorbeelden:
12 12
12

   3
4
4
4
36
36
16
4
   1  1
20
20
20
5
24 24 6

 6
4
4 1
Afspraak:
• Laat in een breuk geen minteken in de teller of de noemer staan.
Voorbeeld:
18  10 28

 7
2  6
4
Rekenregel:
Deel pas wanneer er in de teller en noemer nog maar één getal staat.
Willem-Jan van der Zanden
5
4.2 Negatieve getallen delen [3]
Er geldt:
0
 0 want 0 x5  0
5
0
 0 want 0 x  8  0
8
5
 0 want 0 x0  5
0
5
 5 want 5 x0  5
0
5
 getal want getal x0  5
0
Er is geen getal te vinden dat vermenigvuldigd met 0 als uitkomst 5 geeft.
Dus: Delen door 0 is flauwekul
Willem-Jan van der Zanden
6
4.2 Negatieve getallen delen [3]
Willem-Jan van der Zanden
7
4.2 Negatieve getallen delen [3]
Er geldt:
0
 0 want 0 x0  0
0
0
 1 want 1x0  0
0
0
 5 want 5 x0  0
0
0 delen door 0 geeft dus heel veel uitkomsten. Daarom spreken we af dat
0 gedeeld door 0 niet bestaat.
Voorbeelden:
8
 k.n.(kan niet)
0
0
 k.n.
0
0
0
8
8
1
8
8  8 64

 k.n.
88 0
88 0

0
8 8 64
Willem-Jan van der Zanden
8
4.2 Negatieve getallen delen [3]
Rekenregels breuken optellen:
• Alleen breuken met een gelijke noemer mag je optellen/aftrekken;
• Neem als noemer van twee breuken de kgv van deze twee breuken;
• Haal uit het antwoord de helen eruit;
• Vereenvoudig het antwoord zo veel mogelijk (deel teller en noemer door
hetzelfde getal).
Rekenregels breuken vermenigvuldigen:
• Breuken vermenigvuldigen betekent: teller x teller en noemer x noemer;
• Eerst hele wegwerken, dan breuken vermenigvuldigen;
• Noemers hoeven NIET gelijk te zijn bij vermenigvuldigen breuken;
• Bij het antwoord hele eruit halen en zoveel mogelijk vereenvoudigen.
Willem-Jan van der Zanden
9
4.3 Negatieve breuken [1]
Voorbeelden:
12 12
12

   3
4
4
4
36
36
16
4
   1  1
20
20
20
5
24 24 6

 6
4
4 1
Afspraak:
• Laat in een breuk geen minteken in de teller of de noemer staan.
Voorbeeld:
18  10 28

 7
2  6
4
Rekenregel:
Deel pas wanneer er in de teller en noemer nog maar één getal staat.
Willem-Jan van der Zanden
10
4.3 Negatieve breuken [2]
Voorbeeld 1:
4 2 4 2 8
  

5 3 5  3 15
Als je twee breuken met elkaar vermenigvuldigd moet je de tellers en
de noemers van beide breuken met elkaar vermenigvuldigen.
Voorbeeld 2 (Eerst vermenigvuldigen en dan vereenvoudigen):
3 3
1  
5 4
8 3
 
5 4
24
4
1
  1  1
20
20
5
Werk eerst de helen weg en vermenigvuldig dan.
Als je twee breuken vermenigvuldigd hoeven de
noemers van beide breuken NIET gelijk te zijn.
Haal bij het antwoord de helen er weer uit en
vereenvoudig zoveel als mogelijk.
Willem-Jan van der Zanden
11
4.3 Negatieve breuken [2]
Voorbeeld 2 (Eerst vereenvoudigen en dan vermenigvuldigen):
3 3
1  
5 4
8 3
 
5 4
2 3
 
5 1
6
1
  1
5
5
Werk eerst de helen weg en vereenvoudig dan.
Als je twee breuken vermenigvuldigd hoeven de
noemers van beide breuken NIET gelijk te zijn.
Haal bij het antwoord de helen er weer uit.
Willem-Jan van der Zanden
12
4.3 Negatieve breuken [3]
De som van 5 en -5 is gelijk aan 0. Deze getallen zijn elkaars
tegengestelde.
Tegengestelde getallen: Dit zijn twee getallen met als som 0.
Het product van 5/7 en 7/5 is gelijk aan 1. Deze getallen zijn elkaars
omgekeerde.
Omgekeerde getallen: Dit zijn twee getallen met als product 1.
Willem-Jan van der Zanden
13
4.3 Negatieve breuken [4]
Let op: Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het
omgekeerde van deze breuk
Voorbeeld 1:
3 5 3 6 18
:   
7 6 7 5 35
Voorbeeld 2:
1
1
3 : 2 
2
3
7 7
 : 
2 3
7 3
  
2 7
1 3
  
2 1
3 1
1
2 2
Willem-Jan van der Zanden
14
4.3 Negatieve breuken [4]
Voorbeeld 3:
2
:3 
7
2 3
: 
7 1
2 1 2
 
7 3 21
Let op:
Werk eerst de helen weg uit de breuk voordat je de tweede breuk
“omdraait”
Willem-Jan van der Zanden
15
4.4 Woordformules [1]
Figuur 4: Aantal lucifers = 2 · 4 + 1 = 9
Figuur 3: Aantal lucifers = 2 · 3 + 1 = 7
Figuur 2: Aantal lucifers = 2 · 2 + 1 = 5
Figuur 1: Aantal lucifers = 2 · 1 + 1 = 3
Dus: Aantal lucifers = 2 ⋅ nummer figuur + 1
Dit is een woordformule. Vaak is de woordformule gegeven.
Willem-Jan van der Zanden
16
4.4 Woordformules [1]
Voorbeeld:
Bereken het aantal lucifers in figuur 8:
Aantal lucifers
= 2 · nummer + 1
=2·8+1
= 16 + 1 = 17
Let op:
• Schrijf de woordformule over;
• Vul in de formule het getal in;
• Reken verder als bij een “normale” som.
Willem-Jan van der Zanden
17
4.5 Formules met letters [1]
Voorbeeld 1:
Lengte in cm = -6 ∙ aantal branduren + 30
Deze formule kunnen we korter opschrijven:
• Schrijf in plaats van “aantal branduren” “b” op.
Lengte in cm = -6 ∙ b + 30
De formule kan nog korter opgeschreven worden:
• Schrijf in plaats van “lengte in cm” “l” op.
l = -6 ∙ b + 30
Er staat nu nog steeds dezelfde formule, maar dan veel korter.
Willem-Jan van der Zanden
18
4.5 Formules met letters [1]
Voorbeeld 2:
l = -6 ∙ b + 30. Bereken l voor b = 2
l = -6 ∙ b + 30
= -6 ∙ 2 + 30
= -12 + 30 = 18
Let op:
1) Schrijf eerst de formule over.
2) Vul de formule in.
3) Reken de som uit volgens de rekenregels.
Willem-Jan van der Zanden
19
4.5 Formules met letters [2]
Voorbeeld 1:
l = -6 ∙ b + 30
Deze formule kan nog korter geschreven worden door het keer teken
tussen -6 en b weg te laten.
l = -6b + 30
Let op:
-6b betekent dus “-6 keer b”
Bereken l voor b = 3
l = -6b + 30
= -6 ∙ 3 + 30
= -18 + 30 = 12
Willem-Jan van der Zanden
20
4.5 Formules met letters [2]
Voorbeeld 2:
Bereken -6b + 30 voor b = 5
-6b + 30 =
-6 ∙ 5 + 30 =
-30 + 30 = 0
Voorbeeld 3:
Bereken 8a voor a = 3
8a = 8 ∙ 3 = 24
Voorbeeld 4:
Bereken 8a voor a = -8
8a = 8 ∙ -8 = -64
Willem-Jan van der Zanden
21
4.5 Formules met letters [2]
Voorbeeld 5:
Bereken 8(a – 5) + 3 voor a = 2
8(a – 5) + 3 =
8 ∙ (2 – 5) + 3 =
8 ∙ -3 + 3 =
-24 + 3 = -21
Voorbeeld 6:
Bereken 3 – 6(b – 5) voor b = 3
3 – 6(b – 5) =
3 – 6 ∙ (3 – 5) =
3 – 6 ∙ -2 =
3 + 12 = 15
Willem-Jan van der Zanden
22
4.6 Formules en grafieken [1]
Voorbeeld:
Teken de grafiek van de formule:
Waterhoogte = 30 – 5t met t als de tijd in minuten.
Stap 1:
Maak een tabel
• Wat je in de formule invult (t) staat in de eerste rij;
• Wat er uit de formule komt (Waterhoogte) staat in de tweede rij.
t
0
2
4
6
Waterhoogte
30
20
10
0
Stap 2:
Teken de grafiek
• Teken de horizontale as en zet de getallen erbij;
• Teken de verticale as en zet de getallen erbij;
• Schrijf bij de assen waar het over gaat (horizontale as is wat je invult [t],
verticale as is wat er uit komt [Waterhoogte])
• Teken de punten uit de tabel;
• Teken de grafiek door een lijnWillem-Jan
door de
vanpunten
der Zandente trekken.
23
4.6 Formules en grafieken [1]
Voorbeeld:
Teken de grafiek van de formule:
Waterhoogte = 30 – 5t met t als de tijd in minuten.
Willem-Jan van der Zanden
24
4 Samenvatting
Getallen vermenigvuldigen of delen:
positief EN positief = positief
negatief EN positief = negatief
positief EN negatief = negatief
negatief EN negatief = positief
We gebruiken voor vermenigvuldigen geen x teken meer maar: ∙
• Delen door nul is flauwekul;
• Laat in een breuk geen minteken in de teller of de noemer staan;
• Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde van deze breuk;
• Werk eerst de hele weg voordat je een breuk omkeert.
Tegengestelde getallen zijn twee getallen met als som 0;
Omgekeerde getallen zijn twee getallen met als product 1.
Willem-Jan van der Zanden
25
4 Samenvatting
Rekenen met (woord)formules:
• Schrijf de (woord)formule over;
• Vul in de (woord)formule het gegeven getal in;
• Reken verder als bij een “normale” som.
6b betekent 6 ∙ b;
6(b – 4) betekent 6 ∙ (b – 4).
Het tekenen van een grafiek:
1) Maak een tabel
• Wat je in de formule invult staat in de eerste rij;
• Wat er uit de formule komt staat in de tweede rij.
2) Teken de grafiek
• Teken de horizontale as en zet de getallen erbij;
• Teken de verticale as en zet de getallen erbij;
• Schrijf bij de assen waar het over gaat (horizontale as is wat je invult, verticale as
is wat er uit komt);
• Teken de punten uit de tabel;
• Teken de grafiek door een lijn door de punten te trekken.
Willem-Jan van der Zanden
26