Complexe getallen

Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1.1
Rekenen met complexe getallen
1.1.1 We kunnen reële getallen opvatten als punten van een rechte lijn, de getallenrechte. Net zo kunnen we complexe getallen opvatten als punten van het
vlak. Om voor punten van het vlak de naam “getallen” waar te maken,
moeten we een optelling en een vermenigvuldiging voor punten in het vlak
gaan definiëren. In deze paragraaf bespreken we
• het begrip complex getal,
• de optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen,
• de beschrijving van complexe getallen in termen van poolcoördinaten,
• quotiënten van complexe getallen,
• de geconjugeerde van een complex getal,
• diverse rekenregels,
• de meetkundige interpretatie van complexe getallen.
1.1.2 We nemen in het platte vlak een loodrecht assenstelsel. Van dit assenstelsel
noemen we de horizontale as de reële as en de verticale as de imaginaire
as. Ieder punt in het vlak wordt ten opzichte van dit assenstelsel bepaald
door twee coördinaten a en b, die uiteraard reëel zijn. We noemen het punt
(a, b) een complex getal, dat we in de regel in plaats van met (a, b) zullen
noteren als a + bi. De punten (a, 0) op de eerste as noteren we eenvoudigweg
met a en de punten (0, b) op de tweede as met bi. In het bijzonder is i het
33
34
Complexe getallen
punt (0, 1). Voor een complex getal gebruiken we vaak de letter z of w. De
verzameling complexe getallen wordt aangegeven met C.
bi
imaginaire as
z = a + bi
-
0
a
6
reële as
1.1.3 (Som) We definiëren de som van twee complexe getallen z1 = a1 + b1 i en
z2 = a2 + b2 i als volgt:
z1 + z2 := (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i.
Bijvoorbeeld is (1 + i) + (−2 + 4i) = −1 + 5i. Optelling van complexe
getallen is dus de coördinaatsgewijze optelling in het vlak. Meetkundig is
het de bekende vectoroptelling. Door uitschrijven gaan we eenvoudig na
dat voor deze optelling van complexe getallen alle rekenregels gelden die
we van de optelling van reële getallen kennen. Bijvoorbeeld is de optelling
commutatief : voor alle complexe getallen z en w geldt z + w = w + z.
De optelling is ook associatief : voor alle complexe getallen z1 , z2 , z3 geldt
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ).
1.1.4 (Product) We definiëren het product van twee complexe getallen z1 = a1 +
b1 i en z2 = a2 + b2 i door
z1 z2 := (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 ) i.
Dit lijkt een ingewikkelde formule, maar hij is eenvoudig te onthouden. Werk
het product (a1 + b1 i) (a2 + b2 i) uit, gebruik makend van de rekenregels
voor reële getallen, en gebruik als extra eigenschap i2 = − 1, dan volgt de
formule van het rechterlid. Ga na dat
(1 + i) (−2 + 4i) = −2 + 4i + (−2)i + i(4i) = −6 + 2i.
Vanwege de manier waarop we deze vermenigvuldiging gedefinieerd hebben is het niet verwonderlijk dat voor de vermenigvuldiging van complexe
getallen en de interactie met de optelling van complexe getallen dezelfde rekenregels gelden als voor de reële getallen, met de extra eigenschap i2 = − 1.
De verificatie hiervan is betrekkelijk veel maar eenvoudig rekenwerk. Naast
commutativiteit en associativiteit is de zogenaamde distributiviteit van de
vermenigvuldiging over de optelling een voorbeeld van zo’n rekenregel: voor
alle complexe getallen z1 , z2 , z3 geldt z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 .
1.1 Rekenen met complexe getallen
35
1.1.5 (Absolute waarde en argument) Vermenigvuldiging van complexe getallen heeft ook een meetkundige interpretatie. Daarbij gebruiken we de nu te
bespreken absolute waarde en argument, zie verder 1.1.9 en 1.1.12. We kunnen in het vlak een punt, behalve in Cartesische coördinaten, ook weergeven
met poolcoördinaten:
• de absolute waarde is de afstand tot de oorsprong;
• het argument is de hoek met de positieve x–as.
De absolute waarde
van het complexe getal z = a + bi (met a en b reëel!)
√
2
is gelijk aan a + b2 . Het argument is slechts op een veelvoud van 2π na
bepaald. Als we het argument kiezen tussen −π en π dan spreken we van
de hoofdwaarde van het argument. De hoofdwaarde van het argument van
punten op de negatieve reële as is π. Voor de oorsprong is het argument
ongedefinieerd.
z O
I
|z|
arg(z)
R
Als een complex getal z absolute waarde |z| en argument ϕ heeft, dan zijn
de coördinaten respectievelijk |z| cos ϕ en |z| sin ϕ, zodat we dat complexe
getal kunnen schrijven als
z = |z| cos ϕ + i|z| sin ϕ,
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
of
√
1.1.6 Voorbeeld. Het complexe getal i heeft absolute waarde 02 + 12 = 1 en
argument π/2.
p
√
Het complexe getal −1 + i heeft absolute waarde (−1)2 + 12 = 2; de
hoofdwaarde van het argument is 3π/4. Het getal is dus ook te schrijven als
√
2 (cos(3π/4) + i sin(3π/4)). Het voordeel van deze schrijfwijze is dat we
onmiddellijk zien wat absolute waarde en argument van −1 + i zijn.
1.1.7 (Reële en imaginaire deel) Als z = a + bi met a, b ∈ R, dan heten a en b
respectievelijk het reële deel van z, genoteerd door Re(z), en het imaginaire
deel van z, genoteerd door Im(z). Re en Im zijn dus afbeeldingen van C
36
Complexe getallen
naar R. Merk op dat het imaginaire gedeelte van een complex getal reëel is!
De volgende eigenschappen volgen direct uit de definities:
Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ),
Re(z1 z2 ) = Re(z1 )Re(z2 ) − Im(z1 )Im(z2 ),
Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ),
Im(z1 z2 ) = Re(z1 )Im(z2 ) + Im(z1 )Re(z2 ).
Uit de absolute waarde en het argument van een complex getal z kunnen we
eenvoudig het reële en imaginaire gedeelte vinden:
Re(z) = |z| cos(arg(z)),
Im(z) = |z| sin(arg(z)).
Omgekeerd vinden we uit het reële en imaginaire gedeelte de absolute waarde
van z met de formule
p
|z| = Re(z)2 + Im(z)2 .
Vaak denkt men dat (de hoofdwaarde van) het argument gegeven wordt
door de formule
³ Im(z) ´
.
arg(z) = arctan
Re(z)
Dit is juist als Re(z) > 0, maar in het algemeen onjuist. Ga dit zelf na aan
de hand van het complexe getal −1 − i. De volgende (niet zo belangrijke)
formule is wel correct als z niet op de negatieve reële as ligt:
arg(z) = 2 arctan
Im(z)
.
|z| + Re(z)
1.1.8 (Driehoeksongelijkheid) De absolute waarde heeft de volgende eigenschap:
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.
Deze eigenschap staat bekend als de driehoeksongelijkheid. Zie verder Opgave 6.
1.1.9 (Absolute waarde en argument: rekenregels) Beschouw twee complexe
getallen z1 en z2 met poolcoördinaten (|z1 |, ϕ1 ) en (|z2 |, ϕ2 ), respectievelijk.
Dan geldt
z1 = |z1 | cos ϕ1 + i |z1 | sin ϕ1 ,
z2 = |z2 | cos ϕ2 + i |z2 | sin ϕ2 ,
1.1 Rekenen met complexe getallen
37
waaruit volgt:
³
z1 z2 = |z1 | |z2 | (cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) +
´
i(cos ϕ1 sin ϕ2 + cos ϕ2 sin ϕ1 )
³
´
= |z1 | |z2 | cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ) .
Hieruit volgen de volgende twee belangrijke formules (mod=modulo):
|z1 z2 | = |z1 | |z2 |,
arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )
(mod 2π).
(1.1)
Door herhaald toepassen van deze regels vinden we voor n complexe getallen
z1 , z2 , . . . , zn :
|z1 z2 · · · zn | = |z1 | |z2 | · · · |zn |,
arg(z1 z2 · · · zn ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) + · · · + arg(zn )
(mod 2π).
(1.2)
Zijn z1 , z2 , . . . , zn alle gelijk aan het getal z, dan vinden we:
|z n | = |z|n ,
arg(z n ) = n arg(z)
(mod 2π).
(1.3)
1.1.10 (Het quotiënt) Voor ieder complex getal z 6= 0 bestaat ook ‘1/z’. Immers,
1/z dient te voldoen aan
z (1/z) = 1,
dus wegens formule (1.1) aan
|z| |1/z| = |1| = 1 ,
arg(z) + arg(1/z) = arg(1) = 0,
zodat we 1/z in poolcoördinaten kunnen definiëren door
¯1¯
¯ ¯ = 1,
z
|z|
arg(1/z) = − arg(z).
Het quotiënt z/w van twee complexe getallen (met w 6= 0) definiëren we nu
als het product
z (1/w).
In termen van poolcoördinaten volgt met formule (1.1) voor het quotiënt:
|z/w| = |z|/|w|,
arg(z/w) = arg(z) − arg(w)
(mod 2π).
(1.4)
38
Complexe getallen
Voor dit quotiënt gelden de gebruikelijke rekenregels; zo is bijvoorbeeld
z 1 w1
z 1 w1
=
.
z 2 w2
z 2 w2
We kunnen van 1/z ook het reële en imaginaire deel opsporen. Stel z = a+bi
met a, b ∈ R en niet beide nul. Dan is
1
a − bi
a − bi
1
=
=
= 2
.
z
a + bi
(a + bi)(a − bi)
a + b2
Ga na dat
1
3 − 4i
=
3 + 4i
25
en dat
1+i
5−i
=
.
2 + 3i
13
1.1.11 (De geconjugeerde) Als z = a + bi met a, b ∈ R een complex getal is, dan
heet a−bi de geconjugeerde van z, ook genoteerd als conj(z) of z̄. Conjugeren
is dus spiegelen t.o.v. de reële as. Ieder van de volgende eigenschappen kan
eenvoudig nagegaan worden, meetkundig of door “invullen”.
Re(z)
Im(z)
Re(z)
Im(z)
|z|
arg(z)
z1 + z2
z1 z2
z + z̄
z z̄
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Re(z̄),
− Im(z̄),
1
2 (z + z̄),
1
2i (z − z̄),
|z̄|,
− arg(z̄),
z1 + z2 ,
z1 · z 2 ,
2 Re(z),
|z|2 .
Merk op dat uit de laatste formule volgt
1
z̄
= 2 ,
z
|z|
in overeenstemming met 1.1.10. We vinden dus 1/z door eerst te spiegelen
t.o.v. de x–as en dan door |z|2 te delen.
1.1.12 (Meetkundige interpretatie) Laat z = a+bi en w = c+di twee complexe
getallen zijn. De absolute waarde |z − w| heeft
p als meetkundige interpretatie
de afstand van z tot w. Immers, |z − w| = (c − a)2 + (d − b)2 , terwijl de
stelling van Pythagoras vertelt dat dit de afstand is van z tot w. Van deze
interpretatie kunnen we soms gebruik maken:
1.1 Rekenen met complexe getallen
39
• De vergelijking |z − i| = 5 heeft als oplossingen precies die complexe
getallen z die afstand 5 tot i hebben. Dit is een cirkel om i met straal 5.
Natuurlijk kunnen we deze vergelijking ook omwerken tot de bekende
vergelijking van een cirkel: als z = x + iy, dan volgt
|z − i| = 5 ⇔ |z − i|2 = 25 ⇔ |x + (y − 1)i|2 = 25 ⇔ x2 + (y − 1)2 = 25.
• De vergelijking |z − a| = |z − b| heeft als oplossingen alle punten z die
dezelfde afstand tot a en b hebben. Dit is de middelloodlijn tussen a
en b.
Er is ook een meetkundige interpretatie voor het vermenigvuldigen met een
complex getal; deze interpretatie volgt uit 1.1.9. We illustreren haar aan de
hand van het vermenigvuldigen met i. Als z 6= 0, dan is |zi| = |z| · |i| = |z|,
terwijl arg(zi) = arg(z) + arg(i) = arg(z) + π/2. Met andere woorden, zi
wordt uit z verkregen door z over de hoek π/2 te roteren. Op een zelfde
manier volgt dat z vermenigvuldigen
√ met 1 + i betekent dat we z in absolute
waarde oprekken met een factor 2 en het resultaat draaien over de hoek
π/4.
1.1.13 Rekenen met complexe getallen vereist een redelijke rekenvaardigheid. We
dienen steeds een keuze te maken of we de representatie in Cartesische
coördinaten of in poolcoördinaten zullen gebruiken. Ruwweg kunnen we
daarbij de volgende vuistregels hanteren:
• als de berekening hoofdzakelijk optellingen bevat, dan is gebruik van
Cartesische coördinaten raadzaam;
• als de berekening hoofdzakelijk vermenigvuldigingen bevat, dan is rekenen in poolcoördinaten aan te bevelen.
Bij het oplossen van vergelijkingen speelt een rol dat twee complexe getallen
aan elkaar gelijk zijn dan en slechts dan als zowel de reële als imaginaire gedeelten aan elkaar gelijk zijn; voor twee complexe getallen ongelijk 0
geldt dat ze gelijk zijn dan en slechts dan als ze dezelfde absolute waarden hebben en de argumenten op een veelvoud van 2π na gelijk zijn. Met
deze eigenschappen kunnen we complexe vergelijkingen omzetten in reële
vergelijkingen. Dat is overigens niet altijd handig of nodig.
1.1.14 Voorbeeld. We lossen de vergelijking z 2 = 2i op.
40
Complexe getallen
• (Eerste oplossing) Bij deze oplossing schrijven we z = x + iy (met x
en y reëel) en vullen in:
x2 + 2ixy − y 2 = 2i.
Gelijkstellen van de reële en imaginaire delen levert de twee vergelijkingen x2 − y 2 = 0 en 2xy = 2. Uit de eerste vergelijking (voor de
reële getallen x en y) volgt x = y of x = −y. Invullen in de tweede
geeft x2 = 1 en x2 = −1. De vergelijking x2 = −1 heeft geen (reële!)
oplossingen en de vergelijking x2 = 1 leidt tot x = 1 of x = −1. We
vinden ten slotte de twee oplossingen 1 + i en −1 − i.
• (Tweede oplossing) Gebruik makend van de absolute waarde en het
argument redeneren we als volgt.
z 2 = 2i ⇔ |z 2 | = 2 en arg(z 2 ) = π/2 + 2kπ (k geheel)
⇔ |z|2 =√2 en 2 arg(z) = π/2 + 2kπ (k geheel)
⇔ |z| = 2 en arg(z) = π/4 + kπ (k geheel).
Hieruit volgen de twee oplossingen
√
√
2 (cos(π/4) + i sin(π/4)) en
2 (cos(5π/4) + i sin(5π/4))
(we gebruiken enkel de waarden k = 0 en k = 1, omdat we voor k = 2
weer dezelfde oplossing vinden als voor k = 0, voor k = 3 dezelfde
oplossing als voor k = 1 enz.). Ga na dat dit dezelfde getallen zijn als
beschreven in de eerste oplossing.
1.2
De complexe e–macht, sinus en cosinus
Tot nu toe kunnen we met complexe getallen alleen optellen en aftrekken,
vermenigvuldigen en delen, en machtsverheffen tot een gehele macht. We
zullen nu laten zien hoe we in de complexe getallen de e–macht en de sinusen cosinusfunctie definiëren.
1.2.1 Definitie. (Complexe e–macht) Voor ieder complex getal z definiëren
we het complexe getal ez door
|ez |
= eRe(z) ,
arg(ez ) = Im(z) .
1.2 De complexe e–macht, sinus en cosinus
41
1.2.2 Merk op dat we in deze definitie de van de reële getallen bekende e–macht
gebruiken. Als z een reëel getal is, dan is |ez | = ez en arg(ez ) = 0, dus
definitie 1.2.1 levert de reële e–macht op en breidt derhalve de definitieverzameling van de e–macht uit van R naar C. Omdat de reële e–macht nooit
0 is, volgt dat de complexe e–macht ook nooit 0 is: |ez | = eRe(z) 6= 0, en een
getal waarvan de absolute waarde ongelijk 0 is, is zelf ongelijk 0.
1.2.3 Voorbeeld. Het complexe getal eπi heeft absolute waarde eRe(πi) = e0 = 1
en argument Im(πi) = π zodat eπi = −1. Het getal e1+πi/2 heeft absolute
waarde eRe(1+πi/2) = e1 en argument Im(1+πi/2) = π/2 zodat e1+πi/2 = e i.
1.2.4 Voorbeeld. Om de vergelijking ez = 1+i op te lossen stellen we de absolute
waarden links en rechts gelijk en ook de argumenten. Met z = x+iy betekent
dit
√
π
ex = 2 en y = + 2kπ met k geheel.
4
We vinden dus de volgende (oneindige) oplossingsverzameling:
π
1
{ log(2) + i( + 2kπ) | k ∈ Z },
2
4
waarin log de natuurlijke logaritme is.
1.2.5 Stelling. ez1 ez2 = ez1 +z2 .
Bewijs.
|ez1 ez2 | = |ez1 | |ez2 | = eRe(z1 ) eRe(z2 ) = eRe(z1 )+Re(z2 ) ,
|ez1 +z2 | = eRe(z1 +z2 ) = eRe(z1 )+Re(z2 ) .
Het linker– en het rechterlid hebben dus dezelfde absolute waarde. Ook
geldt
arg(ez1 ez2 ) = arg(ez1 ) + arg(ez2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ) ,
arg(ez1 +z2 ) = Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ) .
Het linker– en het rechterlid hebben dus ook hetzelfde argument, en daarmee
zijn ze gelijk.
¤
1.2.6 Stelling. (ez )n bestaat voor ieder complex getal z en voor iedere gehele
(dus ook negatieve) n. Voor iedere gehele n en iedere complexe z geldt
(ez )n = enz .
42
Complexe getallen
Bewijs. Omdat voor iedere z het getal ez 6= 0, bestaat (ez )n voor iedere z en
iedere gehele (dus ook negatieve) n. Resteert het bewijs van de gelijkheid
(ez )n = enz . Voor positieve n is deze eigenschap een gevolg van de vorige.
Voor n = 0 zijn linkerlid en rechterlid per definitie 1.
Nu n = − 1. Wegens 1.1.10 is de absolute waarde van 1/ez gelijk aan
³
´−1
|(ez )−1 | = |ez |−1 = eRe(z)
= e− Re(z) = eRe(− z)
en analoog vinden we voor het argument
³
´
arg (ez )−1 = − arg(ez ) = − Im(z) = Im(− z) .
Dus is (ez )−1 = e−z . Dat nu de eigenschap voor alle negatieve n waar is
volgt uit Stelling 1.2.5.
¤
1.2.7 Gevolg. e2πin = 1 , eπin = (− 1)n voor iedere gehele n.
Beide eigenschappen volgen direct uit de definitie van ez en Stelling 1.2.6.
1.2.8 Stelling. De functie ez is periodiek met periode 2πi.
Bewijs. ez+2πi = ez e2πi = ez · 1 = ez .
¤
1.2.9 De formules in Gevolg 1.2.7 zijn een bijzonder geval van een algemene eigenschap. Laat ϕ een reëel getal zijn. Dan is eiϕ een complex getal met
absolute waarde 1 en argument ϕ, dus:
Eigenschap. Voor ieder reëel getal ϕ geldt
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ .
Deze relatie legt het verband tussen de e–macht, de sinus en de cosinus en
geeft bovendien een andere veel gebruikte notatie voor een complex getal in
termen van zijn absolute waarde en argument:
Zo is bijvoorbeeld 1 + i =
√
z = |z| ei arg z .
2 eπi/4 .
1.2.10 Uit 1.2.9 volgt voor reële ϕ
e−iϕ = cos ϕ − i sin ϕ ,
1.2 De complexe e–macht, sinus en cosinus
43
zodat voor iedere reële ϕ geldt
³
´
eiϕ + e−iϕ ,
cos ϕ =
1
2
sin ϕ =
1
2i
³
´
eiϕ − e−iϕ .
We definiëren nu voor complexe z de sinus en de cosinus.
1.2.11 Definitie. (Complexe sinus en cosinus)
³
´
cos z = 21 eiz + e−iz ,
sin z =
1
2i
³
eiz − e−iz
´
.
Wegens 1.2.9 resulteren deze definities voor het geval dat z reëel is in de van
ouds bekende sinus en cosinus.
1.2.12 Stelling. De sinus en de cosinus zijn periodiek met periode 2π. Ook geldt
sin2 (z) + cos2 (z) = 1
∀z ∈ C.
Bewijs.
sin(z + 2π) =
1
2i
³
´
ei(z+2π) − e−i(z+2π) =
=
1
2i
³
´
eiz − e−iz = sin z,
1
2i
³
eiz e2πi − e−iz e−2πi
´
want e−2πi heeft absolute waarde 1 en argument − 2π, en is dus ook gelijk
aan 1.
Net zo tonen we aan dat de cosinus periodiek is met periode 2π.
De betrekking sin2 (z) + cos2 (z) = 1 vinden we door de definities van
sin(z) en cos(z) in te vullen.
¤
1.2.13 Voorbeeld. Los op de vergelijking
cos(z) = 2 .
Het is duidelijk dat er binnen R geen oplossingen zijn. We moeten oplossen
´
1 ³ iz
e + e−iz = 2 .
2
44
Complexe getallen
Noem eiz = w, dan is w 6= 0 wegens 1.2.2 en vinden we de vergelijking
w+
1
w
=4,
w2 − 4w + 1 = 0 ,
(w − 2)2 = 3 ,
w =2±
√
3.
Hieruit volgt
|eiz | = e−Im(z) = |w| = 2 ±
√
3 , dus Im(z) = − log(2 ±
√
3) .
arg(eiz ) = Re(z) = arg w = 0 (mod 2π), dus Re(z) = k 2π , k ∈ Z .
Alle oplossingen van de vergelijking zijn dus
√
z = − i log(2 + √3) + k · 2π , k ∈ Z,
z = − i log(2 − 3) + k · 2π , k ∈ Z.
Merk op dat de absolute waarde van de complexe cosinus dus niet altijd
kleiner dan of gelijk is aan 1, zoals voor de reële cosinus!
1.2.14 Stelling.
ez
= ez̄ ,
sin(z) = sin(z̄),
cos(z) = cos(z̄).
Bewijs.
z
Re(z) = eRe(z̄) ,
z
³ |e ´| = |e | = e
= − arg(ez ) = − Im(z) = Im(z̄),
arg ez
dus ez = ez̄ .
´ ³ 1 ´³
´
´
1 ³ īz̄
1 ³ iz
e − e−iz =
e − e−īz̄
eiz − e−iz = −
2i
2i
2i
´
´
1 ³ −iz̄
1 ³ iz̄
=−
e
− eiz̄ =
e − e−iz̄
2i
2i
sin(z) =
= sin(z̄).
De formule voor cos(z) wordt analoog bewezen.
¤
1.3 Complexe polynomen
45
1.2.15 Met de rekenregel ez ew = ez+w voor de complexe e–macht zijn de diverse gonioformules snel af te leiden en handig te onthouden. Herschrijf bijvoorbeeld
de gelijkheid e2it = eit eit (voor reële t) als volgt:
cos(2t) + i sin(2t) = (cos t + i sin t)(cos t + i sin t).
Werk het rechterlid uit en vergelijk het reële deel en het imaginaire deel van
het linkerlid en van het uitgewerkte rechterlid:
cos(2t) = cos2 t − sin2 t en sin(2t) = 2 sin t cos t.
Deze formules gelden ook voor complexe waarden van t; dat is eenvoudig te
verifiëren door de definitie van de complexe sinus en cosinus toe te passen.
Uit de gelijkheid eia eib = ei(a+b) is op soortgelijke manier af te leiden dat
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b;
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
1.3
Complexe polynomen
1.3.1 Het oplossen van vergelijkingen is een belangrijke bezigheid in de wiskunde.
Met complexe getallen kunnen we meer vergelijkingen aan dan enkel met
reële getallen. Een veel voorkomend type vergelijking is de veeltermvergelijking of polynoomvergelijking. In deze paragraaf bespreken we het begrip
complex polynoom en een aantal typen polynoomvergelijkingen.
1.3.2 (Complexe polynomen) Een uitdrukking van de gedaante
an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0
waarin a0 , . . . , an complexe getallen zijn, heet een complex polynoom (of
complexe veelterm) in z. Als an 6= 0 dan heet n de graad van het polynoom.
De getallen a0 , . . . , an heten de coëfficiënten van het polynoom. Zijn ze alle
reëel, dan noemen we het polynoom reëel.
Laat p(z) een polynoom zijn. Als p(α) = 0, dan heet α een nulpunt van het polynoom of ook wel een wortel of oplossing van de (polynoom)vergelijking p(z) = 0.
We gebruiken in deze paragraaf, en ook later, regelmatig de formules
(1.2) en (1.3):
|z1 z2 · · · zn | = |z1 | |z2 | · · · |zn |,
arg(z1 z2 · · · zn ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) + · · · + arg(zn )
(mod 2π)
46
Complexe getallen
en in het bijzonder als z1 = z2 = ... = zn = z:
|z n | = |z|n ,
arg(z n ) = n arg(z)
(mod 2π).
1.3.3 Voorbeeld. We bepalen alle oplossingen in C van
z3 = i .
Zo’n oplossing moet voldoen aan
|z 3 | = |z|3 = |i| = 1 , dus |z| = 1 .
Ook moet gelden
arg(z 3 ) = 3 arg(z) = arg(i) =
π
+ k · 2π , k ∈ Z ,
2
zodat
π
2π
+k·
, k∈Z.
6
3
Op veelvouden van 2π na vinden we dus slechts 3 verschillende waarden van
arg(z), namelijk voor k = 0, 1 en 2. De drie oplossingen van de vergelijking
zijn dus
arg(z) =
z = cos
π
π
+ i sin ,
6
6
z = cos
5π
5π
+ i sin ,
6
6
z = cos
9π
9π
+ i sin .
6
6
1.3.4 Net zo als in dit voorbeeld lossen we in het algemeen de vergelijking
zn = a
op, waarin n een natuurlijk getal is en a een complex getal met a 6= 0.
Immers, uit z n = a volgt
p
|z n | = |z|n = |a| , dus |z| = n |a| ,
arg(z n ) = n arg(z) = arg(a) + k · 2π , k ∈ Z ,
2π
1
, k∈Z.
arg(z) = arg(a) + k ·
n
n
Op veelvouden van 2π vinden we dus n verschillende waarden voor arg z,
namelijk voor k = 0, ..., n − 1.
De vergelijking p
z n = a heeft dus n verschillende oplossingen, die alle
n
op de cirkel |z| =
|a| liggen en waarvan de onderlinge hoekafstand van
twee opeenvolgende 2π/n is. Hieronder zijn de vier oplossingen van z 4 = 1
geschetst.
1.3 Complexe polynomen
47
i
−1
1
−i
De vergelijking z n = 0 geeft aanleiding tot ‘n’ vergelijkingen z = 0. De
vergelijking z n = 0 heeft dus n samenvallende oplossingen 0. Zie ook 1.3.6.
In het bijzonder heeft de vergelijking
z 2 = a , a 6= 0
twee oplossingen, beide met absolute waarde
1
1
2 arg(a) en 2 arg(a) + π als argument.
p
|a| en met respectievelijk
We onderzoeken nu in het algemeen de nulpunten van een ne graads complex
polynoom p(z).
1.3.5 Stelling. Als voor een complex polynoom p(z) van graad n geldt p(α) = 0,
dan bevat p(z) een factor z − α, d.w.z. er bestaat een polynoom q(z) van
graad n − 1 zo dat
p(z) = (z − α) q(z) .
Bewijs. Voor iedere keuze van α kunnen we p(z) delen door z − α. We
vinden dan een quotiënt q(z) en een rest r, een complex getal. Dus:
r
p(z)
= q(z) +
,
z−α
z−α
p(z) = (z − α)q(z) + r .
Nu is p(α) = 0, zodat
0 = p(α) = (α − α)q(α) + r
dus r = 0.
¤
1.3.6 Als p(α) = 0, dan kan p(z) geschreven worden als (z − α)q(z). Als q(α) = 0,
dan bevat ook q(x) een factor (z − α), en geldt dus
p(z) = (z − α)2 r(z) , enz.
48
Complexe getallen
Definitie. α heet een nulpunt van multipliciteit m van een complex polynoom p(z) als er een polynoom t(z) met t(α) 6= 0 bestaat zo dat
p(z) = (z − α)m t(z) .
De multipliciteit van een nulpunt α is dus het aantal factoren (z − α) van
p(z).
1.3.7 Als p(z) een polynoom van graad n is, dan volgt direct uit het voorgaande dat het aantal nulpunten van p(z), ieder geteld met zijn multipliciteit,
hoogstens n is. In feite geldt een nog veel sterkere eigenschap.
1.3.8 Stelling. (Hoofdstelling van de algebra) Ieder complex polynoom van
graad n heeft precies n nulpunten als ieder nulpunt geteld wordt met zijn
multipliciteit.
Het bewijs van deze stelling valt buiten het kader van deze cursus. Merk
op dat we de stelling al bewezen hebben voor polynomen van het type z n −
a. Merk ook op dat de hoofdstelling van de algebra niet geldt binnen de
reële getallen: x2 + 1 is een reëel polynoom van graad 2 dat binnen R geen
nulpunten heeft.
1.3.9 (Graad 1) Voor polynomen van graad 1 is het nulpunt altijd direct te vinden: Uit
az + b = 0 , a 6= 0
volgt z = − b/a.
1.3.10 (Graad 2) We beschouwen nu polynomen van graad 2:
az 2 + bz + c , a 6= 0 .
We herschrijven het polynoom als volgt
b
b
4ac − b2
az 2 + bz + c = a(z 2 + z) + c = a(z + )2 +
.
a
2a
4a
Noem nu z +
b
2a
= w, dan vinden we de (kwadratische) vergelijking
b2 − 4ac
.
4a2
Deze heeft twee oplossingen voor w (tenzij b2 − 4ac = 0), zie 1.3.4, waaruit
direct de twee oplossingen voor z volgen.
Bovenstaande techniek heet kwadraat afsplitsen. Merk op dat we de
abc–formule niet gebruiken; die geeft aanleiding tot wortels van complexe
getallen en die hebben we niet gedefinieerd.
w2 =
1.3 Complexe polynomen
49
1.3.11 Voorbeeld. Beschouw de vergelijking
z 2 + (2 + 4i)z + i = 0 .
Kwadraat afsplitsen levert
(z + (1 + 2i))2 = −3 + 3i ,
zodat wegens 1.3.4.
z + 1 + 2i =
√
4
18(cos(
3π
3π
) + i sin( )) of
8
8
z + 1 + 2i =
√
4
18(cos(
11π
11π
) + i sin(
)).
8
8
Hieruit volgt
z = −1 +
z = −1 −
√
4
18 cos(
√
3π
3π
) + i(− 2 + 4 18 sin )
8
8
√
4
18 cos(
√
3π
3π
) + i(− 2 − 4 18 sin ).
8
8
of
1.3.12 (Graad 3 en hoger) Het is nog mogelijk om voor polynomen van graad
3 en graad 4 algoritmen te geven die leiden naar de drie of vier nulpunten
van deze polynomen. Voor polynomen van graad hoger dan vier bestaan
dergelijke algoritmen niet, en is het dus betrekkelijk toevallig als we de
nulpunten exact kunnen vinden. Uiteraard bestaan er algoritmen die de
nulpunten numeriek benaderen.
Tot slot van deze paragraaf besteden we enige aandacht aan polynomen
waarvan de coëfficiënten reëel zijn.
1.3.13 Stelling. Beschouw het polynoom
p(z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 ,
waarin an , an−1 , ..., a1 , a0 reëel zijn. Als het complexe getal α voldoet aan
p(α) = 0, dan geldt ook p(ᾱ) = 0.
Bewijs. Gegeven is
an αn + an−1 αn−1 + · · · + a1 α + a0 = 0 .
50
Complexe getallen
Complex conjugeren geeft
an αn + an−1 αn−1 + · · · + a1 α + a0 = 0̄ .
Toepassen van de rekenregels 1.1.11. levert dan
an ᾱn + an−1 ᾱn−1 + · · · + a1 ᾱ + a0 = 0,
dus p(ᾱ) = 0.
¤
1.3.14 Gevolg. Elk polynoom (ongelijk het nulpolynoom) met reële coëfficiënten
is ontbindbaar in factoren van graad 1 of 2 met reële coëfficiënten.
Bewijs. Laat p(z) een polynoom met reële coëfficiënten zijn. Als α een reëel
nulpunt van p is, dan kan p(z) geschreven worden als
p(z) = (z − α)q(z) ,
waarin q ook een polynoom met reële coëfficiënten is. Als α een niet–reëel
nulpunt is, dan is ᾱ ook een nulpunt en is
p(z) = (z − α)(z − ᾱ) r(z)
= (z 2 − (α + ᾱ)z + αᾱ) r(z)
= (z 2 − 2Re(α)z + |α|2 ) r(z) .
De eerste factor heeft reële coëfficiënten, dus r(z) ook. Aangezien q(z) en
r(z) lagere graad hebben dan p(z), kunnen we deze constructie herhalen,
net zo lang tot we voor q(z) of r(z) een polynoom van graad 0, dus een reële
constante, gevonden hebben.
¤
1.3.15 Voorbeeld. Van het polynoom
p(z) = z 5 − 6z 4 + 25z 3 − z 2 + 6z − 25
is gegeven dat 3 − 4i een nulpunt is. We gaan dit polynoom ontbinden in
reële factoren van graad 1 en 2. Omdat het polynoom reële coëfficiënten
heeft, is 3 + 4i ook een nulpunt, en moet het een factor
(z − 3 + 4i)(z − 3 − 4i) = z 2 − 6z + 25
bevatten. Een staartdeling geeft dan
p(z) = (z 2 − 6z + 25)(z 3 − 1) .
De laatste factor heeft z = 1 als nulpunt en bevat dus een factor z − 1:
p(z) = (z 2 − 6z + 25)(z − 1)(z 2 + z + 1) .
De derde factor is verder onontbindbaar.
1.4 Complexwaardige functies van een reële variabele,
harmonische trillingen
1.4
51
Complexwaardige functies van een reële variabele, harmonische trillingen
1.4.1 We beschouwen in deze paragraaf complexwaardige functies van een reële
variabele t, gedefinieerd op een interval I. Aan de orde komen:
• continuı̈teit van zulke functies,
• differentiatie en integratie van dergelijke functies,
• de rol van deze functies bij de beschrijving van harmonische trillingen.
1.4.2 Als we de variabele van een complexwaardige functie als de tijd opvatten dan
vormen de functiewaarden een “baan” in het complexe vlak. Een voorbeeld
is de functie
f (t) = eit ,
waarin t de reële getallen doorloopt. Voor iedere t is f (t) een complex getal
met coördinaten (cos t, sin t). Als t een interval met lengte 2π doorloopt, dan
beschrijft f (t) een cirkel in C om de oorsprong met straal 1. Beschouwen
we t als de tijd, dan beschrijft f (t) een eenparige cirkelbeweging.
1.4.3 Definitie. (Reële en imaginaire deel) Laat f : I → C een complexwaardige functie zijn. Dan definiëren we Re(f ) : I → R en Im(f ) : I → R
voor alle t ∈ I door
Re(f )(t) = Re(f (t)),
Im(f )(t) = Re(f (t)).
Dus
f (t) = (Re f )(t) + i(Im f )(t).
1.4.4 (Continuı̈teit) Een complexwaardige functie f : I → C heet continu in
t = α ∈ I als
lim f (t) = f (α) ,
t→α
dus als
³
´ ³
´
lim Re(f )(t), Im(f )(t) = Re(f )(α), Im(f )(α) .
t→α
Hieruit volgt dat een complexwaardige functie f continu in t = α is dan en
slechts dan als de beide coördinaatfuncties Re(f ) en Im(f ) continu zijn in
t = α. Daaruit volgt weer dat de complexwaardige functie f continu is op I
dan en slechts dan als de beide coördinaatfuncties Re(f ) en Im(f ) continu
zijn op I. In het bijzonder vinden we dat als de beide coördinaatfuncties
52
Complexe getallen
Re(f ) en Im(f ) combinaties (som, product, quotiënt – let wel op delen door
0 – en samenstelling) zijn van continue functies gedefinieerd op I, de functie
f continu is op I.
1.4.5 (Differentieerbaarheid) Een complexwaardige functie f : I → C heet
differentieerbaar in t = α als
lim
∆t→0
f (α + ∆t) − f (α)
= f ′ (α)
∆t
bestaat. Uiteraard is f ′ (α) hier een complex getal. Noteren we f (α + ∆t) −
f (α) door ∆f , dan geldt dus voor kleine ∆t
∆f ≃ f ′ (α)∆t .
De richting van f ′ (α) is dus de richting van de raakvector aan de baan.
1.4.6 Stelling. f ′ (α) = Re(f )′ (α) + i Im(f )′ (α).
Bewijs.
f (α + ∆t) − f (α)
∆t
Re(f )(α + ∆t) + iIm(f )(α + ∆t) − Re(f )(α) − iIm(f )(α)
= lim
∆t→0
∆t
Re(f )(α + ∆t) − Re(f )(α)
= lim
+
∆t→0
∆t
Im(f )(α + ∆t) − Im(f )(α)
+i lim
∆t→0
∆t
= Re(f )′ (α) + iIm(f )′ (α)
¤
f ′ (α) = lim
∆t→0
Deze stelling zegt dus dat het reële gedeelte van de afgeleide de afgeleide
is van het reële gedeelte, en analoog dat het imaginaire gedeelte van de
afgeleide de afgeleide is van het imaginaire gedeelte.
1.4.7 Eigenschap. Net zo als dat bij reëelwaardige functies gebeurt, tonen we de
volgende eigenschappen van het differentiëren van complexwaardige functies
aan:
• optelregel: (f + g)′ (α) = f ′ (α) + g ′ (α);
• productregel: (f g)′ (α) = f ′ (α)g(α) + f (α)g ′ (α).
1.4 Complexwaardige functies van een reële variabele,
harmonische trillingen
53
1.4.8 In principe kunnen we de afgeleide van een complexwaardige functie vinden
door het reële en het imaginaire deel afzonderlijk te differentiëren en de
resultaten weer samen te voegen volgens Stelling 1.4.6. Vaak is dat onhandig.
Met de definitie van afgeleide gaan we eenvoudig na dat
d
(a t) = a
dt
voor ieder complex getal a. Daaruit leiden we met de optel– en productregel
direct af dat
d
(an tn + an−1 tn−1 + · · · + a1 t + a0 ) = n an tn−1 + (n − 1)an−1 tn−2 + · · · + a1
dt
waarin an , ..., a0 complexe getallen zijn.
De volgende eigenschap is wat we op grond van de kettingregel zouden
verwachten:
1.4.9 Stelling. Laat a(t) een complexwaardige differentieerbare functie zijn. Dan
is
d a(t)
e
= a′ (t)ea(t) .
dt
Bewijs. We splitsen ea(t) in het reële en imaginaire gedeelte, differentiëren
en voegen het resultaat weer samen; hiervoor gebruiken we x(t) = Re(a(t))
en y(t) = Im(a(t)).
ea(t) = ex(t)+iy(t)
= ex(t) cos y(t) + i ex(t) sin y(t),
dus, gebruik makend van de regels voor reëelwaardige functies en van stelling
1.4.6, vinden we:
d a(t)
e
= ex(t) x′ (t) cos y(t) − ex(t) y ′ (t) sin y(t) +
dt
i ex(t) x′ (t) sin y(t) + i ex(t) y ′ (t) cos y(t)
= ex(t) x′ (t) cos y(t) + i ex(t) x′ (t) sin y(t) +
i ex(t) y ′ (t) cos y(t) + i2 ex(t) y ′ (t) sin y(t)
= ex(t) (cos y(t) + i sin y(t))(x′ (t) + iy ′ (t))
= ea(t) a′ (t).
¤
54
Complexe getallen
1.4.10 Voorbeeld.
d2
dt2
´
³
´
³ 2
d (1+4i)t
e
et sin 4t
= Im dt
2
¡
¢
= Im (1 + 4i)2 e(1+4i)t
¡
¢
= Im (− 15 + 8i)et (cos 4t + i sin 4t)
= 8et cos 4t − 15et sin 4t.
1.4.11 (Integratie) We gaan nu over tot bepaalde en onbepaalde integralen van
een complexwaardige functie f . De bepaalde integraal
Zb
f (t) dt
a
wordt net zo gedefinieerd als voor een reëelwaardige functie. We verdelen
het interval [a, b] in eindig veel deelintervalletjes met lengte (∆t)i , kiezen in
ieder deelinterval een punt ξi en vormen de Riemannsom
n
X
f (ξi ) (∆t)i
i=1
De integraal is nu de limiet van de Riemannsom voor maximale deelintervallengte naar nul.
Nu geldt voor de Riemannsom
n
X
f (ξi )(∆t)i =
i=1
n
X
Re(f )(ξi )(∆t)i + i
i=1
n
X
Im(f )(ξi )(∆t)i ,
i=1
zodat we vinden voor de limiet voor maximale deelintervallengte naar nul
Zb
a
f (t) dt =
Zb
a
Re(f )(t)dt + i
Zb
Im(f )(t)dt.
a
Deze eigenschap zegt dus dat het reële gedeelte van een integraal de integraal
van het reële gedeelte is, en dat het imaginaire gedeelte van een integraal de
integraal van het imaginaire gedeelte is.
1.4 Complexwaardige functies van een reële variabele,
harmonische trillingen
55
1.4.12 Stel F is een primitieve van de complexwaardige functie f . Dan is Re(F )′ =
Re(f ) en Im(F )′ = Im(f ) zodat
Zb
f (t)dt =
a
Zb
Re(f )(t)dt + i
a
Zb
Im(f )(t)dt
a
= Re(F )(b) − Re(F )(a) + i(Im(F )(b) − Im(F )(a))
= F (b) − F (a).
De hoofdstelling van de integraalrekening geldt dus ook voor complexwaardige functies.
1.4.13 De volgende eigenschappen komen bij toepassingen veel voor. Stel T > 0 en
definieer ω = 2π
T . Dan is voor n ∈ Z, n 6= 0
ZT
einωt dt =
0
=
1 inωt ¯¯T
e
¯
inω
t=0
´
1 ³ 2πin
e
− e0 = 0,
inω
en voor n = 0 is
ZT
i0ωt
e
dt =
0
ZT
dt = T.
0
De voor reëelwaardige functies geldende regels voor partiële integratie en
substitutie gelden ook voor complexwaardige functies.
1.4.14 Voorbeeld. We bepalen voor iedere n ∈ Z
1
cn =
2
Z1
t e2πint dt
0
Partiële integratie levert voor n 6= 0
Z1
¯1
1
t
2πint ¯
e
e2πint dt .
cn =
¯ −
4πin
4πin
0
0
56
Complexe getallen
Deze laatste integraal is 0 wegens het vorige voorbeeld, dus
1
i
=−
voor n 6= 0
4πin
4πn
= 1/4.
cn =
c0
1.4.15 Complexe e–machten worden vaak gebruikt bij het beschrijven van harmonische trillingen.
1.4.16 Definitie. (Harmonische trilling) Laat A een positief reëel getal zijn en
ω en ϕ reële getallen. Dan heet de functie
A cos(ωt + ϕ) (t ∈ R)
een harmonische trilling met amplitudo A, hoeksnelheid ω en fasehoek ϕ. In
plaats van het woord hoeksnelheid wordt vaak het woord hoekfrequentie, of
soms zelfs kortweg frequentie, gebruikt.
1.4.17 Een harmonische trilling is periodiek, en de periode is
T =
2π
.
ω
Deze periode heet de trillingstijd. De frequentie (in Herz) is het aantal
trillingen per tijdseenheid, dus gelijk aan 1/T . De hoekfrequentie is dus 2π
maal zo groot als de frequentie in Herz.
1.4.18 Laat a een complex getal zijn met absolute waarde A en argument ϕ. Dan
is
a = A(cos ϕ + i sin ϕ) = Aeiϕ .
Dan is
a eiωt = A eiϕ eiωt = Aei(ωt+ϕ)
= A cos(ωt + ϕ) + iA sin(ωt + ϕ),
zodat
A cos(ωt + ϕ) = Re(a eiωt ).
Iedere harmonische trilling is dus het reële gedeelte van de complexwaardige
functie
a eiωt .
Omgekeerd, als t de reële getallen doorloopt, dan beschrijft
a eiωt
1.4 Complexwaardige functies van een reële variabele,
harmonische trillingen
57
een baan in het complexe vlak, in parametervoorstelling gegeven door
½
x = A cos(ωt + ϕ)
y = A sin(ωt + ϕ).
Dit is de parametervoorstelling van een eenparige cirkelbeweging in het vlak
om de oorsprong met straal A, hoeksnelheid ω en starthoek ϕ. Iedere harmonische trilling is dus de projectie op de reële as van zo’n eenparige cirkelbeweging in het complexe vlak.
Voor de meeste berekeningen met harmonische trillingen blijkt dat werken met het reële gedeelte niet echt handig is. We hebben echter al een
eenvoudige formule voor het reële gedeelte van een complex getal gezien:
1
Re(z) = (z + z̄) .
2
Voor de harmonische trilling vinden we dus
´ 1³
´
³
´ 1³
a eiωt + a eiωt =
a eiωt + ā e−iωt .
A cos(ωt + ϕ) = Re a eiωt =
2
2
Merk op dat ā e−iωt de gespiegelde t.o.v. de reële as is van aeiωt . De harmonische trilling is dus de som van twee gespiegelde eenparige cirkelbewegingen
in het complexe vlak en omgekeerd.
1.4.19 Voorbeeld.
³
³
´
´
1
e3it − e−3it + 12 · 21 e3it + e−3it
5 sin(3t) + 12 cos(3t) = 5 · 2i
³
´
³
´
= 6 − 52 i e3it + 6 + 25 i e−3it .
Inderdaad is 5 sin(3t) + 12 cos(3t) de som van twee geconjugeerde eenparige
cirkelbewegingen³in het ´complexe vlak en dus een harmonische trilling.
Stel ϕ = arg 6 − 25 i = arctan −5
12 . Dan is
5 sin 3t + 12 cos(3t) =
=
13 iϕ 3it
2 e e
13
2
³
+
13 −iϕ −3it
e
2 e
ei(3t+ϕ) + e−i(3t+ϕ)
´
= 13 cos(3t + ϕ).
De harmonische trilling
³ ´ heeft dus een amplitudo 13, hoeksnelheid 3 en fasehoek ϕ = arctan −5
12 .
58
1.5
Algebra 2
Verzamelingenleer
en Algebra
Functie–
theorie
Algebra
Complexe getallen
Aantekeningen
Veel uitgewerkte voorbeelden van het rekenen met complexe getallen zijn te vinden
in [6] en [7] (zie de bibliografie aan het eind van de syllabus).
De constructie van complexe getallen kan opgevat worden als een speciaal geval
van een constructie van rekensystemen die in Algebra 2 aan de orde komt. De
formulering van de complexe getallen met behulp van paren reële getallen zoals in
dit hoofdstuk gegeven dateert uit 1833 en gaat terug op W.R. Hamilton (1805–
1865), zie [1], p. 524. Hamilton wist deze constructie nog te generaliseren tot een
rekensysteem met elementen van de vorm a+bi+cj +dk (met a, b, c, d ∈ R), waarin
i2 = −1, j 2 = −1, k 2 = −1, ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik; dit is het
rekensysteem der quaternionen.
Voor de lineaire algebra ligt het nut van complexe getallen daarin dat we allerlei
polynoomvergelijkingen kunnen oplossen (dat zal in de volgende hoofdstukken blijken). Rekenen met polynomen komt bij Verzamelingenleer en Algebra uitgebreider
aan de orde.
De Hoofdstelling van de Algebra gaat terug op C.F. Gauss (1777–1855), zie
[1]; er bestaan diverse bewijzen van deze stelling, sommige algebraı̈sch, sommige
analytisch. Een bewijs dat gebruik maakt van complex integreren wordt behandeld
bij Functietheorie. Dat er geen expliciete formules bestaan om veeltermvergelijkingen van graad 5 en hoger op te lossen, vergt de nodige algebraı̈sche voorkennis;
soortgelijke algebraı̈sche technieken zijn nodig om een vergelijkbaar verschijnsel te
begrijpen, namelijk dat er van sommige in bekende functies uit te drukken functies
geen primitieven bestaan die zelf weer combinaties van bekende functies zijn (een
2
voorbeeld van zo’n functie is ex ). Zulke technieken (voornamelijk uit de groepentheorie en de lichaamstheorie) komen aan de orde bij latere (keuze)vakken in de
algebra.
De analyse van functies f : C → C (d.w.z. differentieerbaarheids- en integreerbaarheidskwesties) komt aan de orde bij het vak Functietheorie. Deze complexe
analyse wordt veel gebruikt in de elektrotechniek en de mathematische fysica.
1.6
Opgaven
§1
1 Schrijf de volgende complexe getallen in de vorm a + bi met a en b reëel:
7+i
a. (2 + 3i)(1 − i),
d.
,
1 + 2i
b.
√
√
(− 12 + 21 i 3)(− 12 − 21 i 3),
e.
9 − 3i
,
1 + 3i
c.
1
,
4 − 3i
f.
√
√
z
1
1
,
met
z
=
2
+
2
2 2i.
(z + 1)2
1.6 Opgaven
59
2 Schrijf de volgende complexe getallen in de vorm r(cos ϕ + i sin ϕ), waarbij
r > 0 en −π ≤ ϕ ≤ π, en teken deze punten in het complexe
vlak:
√
a. −3,
d.
3 + i,
b.
2i,
e.
5 + 12i,
c.
1 + i,
f.
4 − 4i.
3 Teken in het complexe vlak een willekeurig complex getal z, met ongespecificeerd reëel en imaginair deel en ongespecificeerde absolute waarde en
argument.
a. Teken zonder te rekenen (!) de volgende complexe getallen op hun juiste
positie t.o.v. z:
z + 2,
−2z,
1
,
z
z − 2i,
iz,
z,
−iz.
b. Idem voor de getallen z(cos(π/2)−i sin(π/2)), 3z(cos(7π/6)+i sin(7π/6))
en z(cos(2π/3) + i sin(2π/3)).
4 Schets in het complexe vlak de verzameling van die z ∈ C die voldoen aan:
|z + 1 − i|2 ≤ 2
en
π
3π
≤ arg z ≤
.
2
4
5 Bepaal de verzameling van complexe getallen z die voldoen aan:
√
a. |z − i| = |z + 3i|,
d. Re(z 2 + 1) = 0 en |z| = 2,
b.
|z − 3i| = |4 + 2i − z|,
c.
Re(z 2 ) = Im(z 2 ),
e.
arg(z/z) =
2π
3 .
6 Bewijs de driehoeksongelijkheid |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | aan de hand van de
volgende onderdelen.
a. Bewijs de ongelijkheid voor z1 = 1; schrijf daarbij z2 in poolcoördinaten:
z2 = r(cos φ + i sin φ).
b. Bewijs de ongelijkheid |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | voor z1 6= 0 door aan beide
kanten een factor |z1 | naar buiten te halen.
Laat verder zien dat voor complexe getallen z1 , z2 , . . . , zn geldt:
|z1 + z2 + · · · + zn | ≤ |z1 | + |z2 | + · · · + |zn |.
60
Complexe getallen
§2
7 Teken de volgende getallen in het complexe vlak en schrijf hen in de vorm
a + bi:
a. 2eπi/2 ,
d. e5πi/3 ,
b.
3e2πi/3 ,
e.
e(−πi/3)+3 ,
c.
√
f.
e−5πi/6+2kπi , k ∈ Z.
d.
e|z| = 1,
e.
e−z = −i,
f.
e2iz =
2eπi/4 ,
8 Los de volgende vergelijkingen op:
a. ez = 1 + i,
√
b.
ez = 1 +
c.
eRe(z) = 5,
3i,
2
1+i
1−i .
9 Laat met behulp van de definities van cosinus en sinus zien dat voor alle
complexe z geldt:
a. sin 2z = 2 sin z cos z.
b. cos 2z = cos2 z − sin2 z.
10 Los de volgende vergelijkingen op:
a.
1 iz
2 (e
+ e−iz ) = 0,
b. sin(2z) = 4.
§3
11 Los de volgende vergelijkingen op en teken de oplossingen in het complexe
vlak:
a. z 6 = 1,
e. (z + 2 − i)6 = 27i,
b.
z 3 = 8,
f.
z 2 = z,
c.
z 4 = 16i,
g.
z 3 = −z.
d.
(z + i)4 = −1,
1.6 Opgaven
61
12 Los de volgende vergelijkingen op en teken de oplossingen in het complexe
vlak:
a. z 2 + z + 1 = 0,
b. z 2 − 2iz + 8 = 0,
c. z 2 − (4 + 2i)z + 3 + 4i = 0,
d. z 2 (i + z 2 ) = −6.
13 a. De vergelijking z 3 + (2 − 3i)z 2 + (−2 − 6i)z − 4 = 0 heeft een oplossing
z = i. Bepaal de andere oplossingen.
b. De vergelijking z 4 +4z 3 +3z 2 −14z +26 = 0 heeft een oplossing z = 1+i.
Bepaal de andere oplossingen.
c. Van een derdegraads polynoom met reële coëfficiënten is gegeven dat 5
en 1 + 2i nulpunten zijn. Bepaal zo’n polynoom.
d. Van een vierdegraads polynoom met reële coëfficiënten is gegeven dat i
en 2 − 3i nulpunten zijn. Bepaal zo’n polynoom.
14 Ontbind in reële factoren van zo laag mogelijke graad:
a. z 4 − 3z 2 − 4,
b. z 3 + 3z 2 + 4z + 2,
c. z 4 + z 3 + 2z 2 + z + 1.
15 a. Bereken (1 + i)11 .
b. Van het complexe getal z is gegeven dat
√
π
z 4 = 8 3 + 8i en
≤ arg(z) ≤ π.
2
Geef de exacte waarde van |z 23 | en van arg(z 23 ), gemeten tussen 0 en
2π.
16 Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n geldt:
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ
(formule van De Moivre, naar de Franse wiskundige A. de Moivre (1667–
1754)). Bepaal hiermee formules voor cos 3ϕ en sin 4ϕ in termen van cos ϕ
en sin ϕ.
62
Complexe getallen
§4
17 a. Bepaal de afgeleide van de functie f (t) = t2 e3it .
b. Laat zien dat voor de functie f (t) = 41 t(1−it)eit geldt: f ′′ (t)+f (t) = teit .
18 Gegeven is de functie
f (t) = et cos t.
Bereken f (10) (t).
19 Herschrijf elk van de volgende uitdrukkingen in de vorm A cos(ωt + ϕ) met
reële A, ω en ϕ en met A > 0:
a. ie3it − ie−3it ,
b. (1 + i)e5it√+ (1 − i)e−5it ,
√
c. (− 12 + 12 i 3)e2it + (− 21 − 12 i 3)e−2it ,
d. 3 sin(2t) + 4 cos(2t),
e. 2 sin(t + 1) − 3 cos(t + 1).
20 Zij p(z) = az 2 + bz + c een complex polynoom met a 6= 0. Bewijs de
volgende bewering: Het polynoom p heeft een dubbel nulpunt (nulpunt met
multipliciteit 2) dan en slechts dan als b2 − 4ac = 0. In de bewering zijn
twee implicaties opgenomen. Behandel beide implicaties apart als volgt.
• Te bewijzen: als p een dubbel nulpunt heeft dan geldt b2 − 4ac = 0.
Neem dus aan dat p een dubbel nulpunt heeft, zeg λ. Lever het bewijs
van deze stap als volgt.
– Er geldt p(z) = az 2 + bz + c = a(z − λ)2 .
– Druk b en c uit in termen van λ en verifieer dat b2 − 4ac = 0.
• Te bewijzen: als b2 − 4ac = 0 dan heeft p een dubbel nulpunt.
Splits een kwadraat af en maak gebruik van de relatie b2 − 4ac = 0.
1.6.1
Oefenen op tentamenniveau
21 Bepaal de verzameling van de elementen z ∈ C die voldoen aan
¯
¯
¯ z̄ · z ¯
¯
¯
¯ (1 − z)2 ¯ = 1.
1.6 Opgaven
63
22 Los de volgende vergelijking op in C :
e2iz =
1+i
.
1−i
23 a. Schets in het complexe vlak de verzameling van alle z ∈ C waarvoor
geldt
π
| arg(z)| = ,
4
en de verzameling van alle z ∈ C waarvoor geldt
|z + 2i| = |z − 3|.
b. Bereken alle z ∈ C waarvoor geldt
| arg(z)| =
π
4
en |z + 2i| = |z − 3|.
24 Het polynoom z 4 − 2z 3 + 9z 2 − 8z + 20 heeft z = 1 + 2i als nulpunt. Geef
de ontbinding in reële factoren van zo laag mogelijke graad en bereken de
andere nulpunten.
√
25 Schrijf − 3 cos(3t) − sin(3t) in de vorm A cos(ωt + φ) met reële A > 0, ω
en φ.
64
Complexe getallen