Inleiding kwantummechanica - Wageningen UR E

Inleiding kwantummechanica
BIP-20306
door
C.A. Vriezinga & F.J. Vergeldt
Leerstoelgroep Biofysica
Wageningen University
September 2010
Inleiding kwantummechanica
BIP-20306
door
C.A. Vriezinga & F.J. Vergeldt
Verplicht voor BSc Moleculaire levenswetenschappen
Leerstoelgroep Biofysica
Wageningen University
September 2010 (7e druk)
VOORWOORD
Het onderwijselement “Inleiding kwantummechanica” (BIP-20306), voorheen “Wis- en natuurkunde voor
moleculaire levenswetenschappen”, heeft tot doel studenten moleculaire levenswetenschappen voor te bereiden op het vak “Principes van molecuulbouw en chemische binding” (BIP-20806) en op meer indirecte
wijze op het vak “Spectroscopie” (BIP-31306). In deze vakken staat het kwantum karakter van de fysica
centraal.
Dit vak beoogt een brug te slaan tussen de klassieke, newtoniaanse natuurkunde en de moderne, kwantum
fysica en een inleiding te geven in de kwantummechanica. Hiervoor komen drie aspecten aan bod:
1. Kwantummechanica, ook wel golfmechanica genoemd, vertoont veel karakteristieken die we ook
aantreffen in de klassieke theorie van reële golven. De analogie tussen de kwantummechanische golffunctie en reële golven is vaak treffend. Kennis van de reële golftheorie vormt een belangrijke ondersteuning om inzicht te verwerven in het gedrag van kwantummechanische golffuncties. Dit betekent
dat zaken als golfvergelijking, lopende golf, staande golf, dispersie et cetera binnen het kader van
de reële golftheorie ontwikkeld worden en de samenhang met het kwantummechanische analogon
besproken wordt.
Een specifiek thema wordt gevormd door de interactie tussen een geladen object en een elektromagnetisch veld. Ook hier wordt de klassieke theorie ontwikkeld en in samenhang gebracht met de kwantumtheorie van genoemde interactie.
Dit alles is technisch van aard. Het betekent dat de student zich een nieuw stukje theorie eigen moet
maken, waarover geen twijfel mogelijk is en waarvan de beheersing eenvoudig te testen is.
2. In feite is de ontwikkeling van de kwantummechanica een wanhopige poging geweest om microscopische verschijnselen te verklaren binnen de fysica van de macroscopische fenomenen. Deze poging
is jammerlijk mislukt. Sommige wetten van de kwantum fysica sluiten op geen enkele wijze aan bij
welk macroscopisch fenomeen dan ook. We moeten op een andere manier leren denken. Om begrip
te krijgen is het echter belangrijk dat we iets kunnen zeggen over het waarom van dat andere denken.
De discussie rond dit thema was van meet af aan aanwezig bij de geboorte van de kwantummechanica
in 1926 en duurt voort tot op de huidige dag. In snel tempo wordt in dit dictaat de student geconfronteerd met een aantal problemen en mogelijke verklaringen. De bedoeling van dit alles is dat de
student meedenkt om op die manier zich het andere denken eigen te maken en ook om enig inzicht te
krijgen in wat kwantummechanica eigenlijk is. Een ieder, die zich op dit onderwerp stort, zij echter
gewaarschuwd.
“There was a time when the newspapers said that only twelve men understood the theory
of relativity. I do not believe that there ever was such a time . . . On the other hand, I think
it is safe to say that no one understands quantum mechanics . . . . Do not keep saying to
yourself, if you can possibly avoid it, “But how can it be like that?” because you will get
“down the drain” into a blind alley from which nobody has yet escaped. Nobody knows
how it can be like that.”
R.P. Feynman
The Character of Physical Law
(1967, page 129)
i
3. Het tweede deel (hoofdstuk 9 – 13) van dit vak is een inleiding in de kwantummechanica met het
accent op de wiskundige aspecten. Dit deel bespreekt de structuur van de kwantummechanica in zijn
wiskundige formulering. Aan de hand van vooral eendimensionale systemen wordt dit geı̈llustreerd.
Voor het begrip wordt herhaalde malen teruggegrepen naar deel 1 van dit vak.
Dit diktaat bevat een aantal onderdelen uit het oude wiskundedictaat “Analyse T33” door A. Arnoldussen –
van der Lugt en O.A. van Herwaarden. Dit geldt in het bijzonder voor § 11.1 t/m 11.3, die vrijwel letterlijk
zijn overgenomen
Januari 2005
C.A. Vriezinga
Bij wijze van experiment is de 5e druk van deel 1 opgemaakt in LATEX. Enkele fouten zijn verwijderd en
andere wellicht gecreëerd.
Voor de 6e druk is ook deel 2 is opgemaakt in LATEX en zijn beide delen samengevoegd tot een geheel.
Bij de 7e druk is de historische opdeling in twee delen verwijderd. Verder is de opmaak veranderd en zijn
fouten verwijderd. Commentaar en suggesties voor verbeteringen worden op prijs gesteld.
Augustus 2010
Frank Vergeldt
ii
Inhoudsopgave
1
2
3
4
De lopende golf
1.1 Determinisme . . . . . .
1.2 Deeltjes of golven . . . .
1.3 De lopende golf . . . . .
1.4 Naar rechts of naar links
1.5 Lichtgolven en intensiteit
1.6 De bolgolf . . . . . . . .
Vraagstukken hoofdstuk 1 . .
Antwoorden hoofdstuk 1 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
. 1
. 1
. 2
. 4
. 5
. 6
. 8
. 10
Licht als golfverschijnsel
2.1 De complexe rekenwijze . . . . . . .
2.2 Het principe van Huygens . . . . . . .
2.3 Fraunhofer interferentie aan N spleten
2.4 Fraunhoferbuiging aan een spleet . . .
2.5 Fraunhoferdiffractie aan N spleten . .
2.6 Scheidend vermogen . . . . . . . . .
2.7 Het scheidend vermogen van een tralie
Vraagstukken hoofdstuk 2 . . . . . . . . .
Antwoorden hoofdstuk 2 . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
14
15
18
19
20
21
24
27
Licht als deeltjesverschijnsel
3.1 De zwarte stralingskromme . . . . . .
3.2 Het foto-elektrisch effect . . . . . . .
3.3 De Broglie . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 één spleet en fotonen . . . . . . . . .
3.5 De onzekerheidsrelatie van Heisenberg
3.6 Scheidend vermogen (deeltjes) . . . .
Vraagstukken hoofdstuk 3 . . . . . . . . .
Antwoorden hoofdstuk 3 . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
31
32
33
33
34
36
37
38
Het golf-deeltjes gedrag bij elektronen
4.1 Twee spleten en elektronen . . . .
4.2 Meten is weten? . . . . . . . . . .
4.3 Uit onzekerheid volgt onzekerheid
4.4 Het Compton effect . . . . . . . .
4.5 De EPR-paradox . . . . . . . . .
4.6 Het projectiepostulaat . . . . . . .
4.7 De Kat van Schrödinger . . . . . .
4.8 Scholen . . . . . . . . . . . . . .
4.9 De golffunctie . . . . . . . . . . .
Vraagstukken hoofdstuk 4 . . . . . . .
Antwoorden hoofdstuk 4 . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
39
40
42
44
46
48
48
49
50
52
55
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
iii
5
6
7
8
9
De golfvergelijking
5.1 De klassieke golfvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Staande golven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Gekoppelde slingers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Dispersie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 De klassieke golfvergelijking voor driedimensionale systemen
5.6 De Schrödingervergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vraagstukken hoofdstuk 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Antwoorden hoofdstuk 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Het elektromagnetische veld en fotonen
6.1 Het elektromagnetisch veld . . . . . . . . . . .
6.2 Gepolariseerd licht en fotonen . . . . . . . . .
6.3 Fotonspin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 De kwantummechanische beschrijving van spin
Vraagstukken hoofdstuk 6 . . . . . . . . . . . . . .
Antwoorden hoofdstuk 6 . . . . . . . . . . . . . . .
De oscillator
7.1 De harmonische oscillator . . . . . . .
7.2 De aangedreven harmonische oscillator
7.3 De kwantummechanische oscillator . .
7.4 Het vibratiespectrum van CO . . . . . .
7.5 Moleculaire vibraties . . . . . . . . . .
Vraagstukken hoofdstuk 7 . . . . . . . . . .
Antwoorden hoofdstuk 7 . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
De dipooloscillator
8.1 Het veld van de dipooloscillator . . . . .
8.2 De energiestroom van de dipooloscillator
8.3 Verstrooiing . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Elektrische dipoolovergangen . . . . . . .
8.5 De oude kwantummechanica . . . . . . .
Vraagstukken hoofdstuk 8 . . . . . . . . . . .
Antwoorden hoofdstuk 8 . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Schrödingervergelijking en waarschijnlijkheid
9.1 De tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking . . .
9.2 De tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking . .
9.3 Het vrije deeltje . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Waarschijnlijkheid en waarschijnlijkheidsdichtheid
9.5 De waarschijnlijkheidsstroomdichtheid . . . . . . .
Vraagstukken hoofdstuk 9 . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Eendimensionale systemen
10.1 De potentiaalsprong (E < V0 )
10.2 De potentiaalsprong (E > V0 )
10.3 De potentiaalberg . . . . . .
10.4 De potentiaalput . . . . . . .
10.5 De harmonische oscillator .
Vraagstukken hoofdstuk 10 . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
iv
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
57
58
61
63
66
67
70
75
.
.
.
.
.
.
77
77
78
83
83
86
88
.
.
.
.
.
.
.
89
89
91
93
94
95
98
101
.
.
.
.
.
.
.
103
103
105
106
107
109
113
114
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
115
115
119
120
121
122
125
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
127
127
131
132
132
134
137
11 Enkele formele aspecten van de kwantummechanica
11.1 Orthonormale stelsels . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Observabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Het eigenwaarde-postulaat . . . . . . . . . . . .
11.5 Het golfpakket . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vraagstukken hoofstuk 11 . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
139
139
141
143
146
147
150
12 De interpretatie in de kwantummechanica
12.1 Het superpositie principe . . . . . . . .
12.2 Gemiddelde en standaarddeviatie . . . .
12.3 Onzekerheidsrelaties . . . . . . . . . .
Vraagstukken hoofdstuk 12 . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
153
153
154
156
158
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13 Diversen
161
13.1 Ontaarding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
13.2 Postulaten van de kwantummechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Vraagstukken hoofstuk 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A Goniometrie
167
B Gemiddelden
169
C Fourieranalyse
171
D De klassieke golfvergelijking voor transversale uitwijkingen.
173
E De klassieke golfvergelijking voor longitudinale uitwijkingen
177
F Taylorreeks
179
G Natuurconstanten en conversiefactoren
181
v
vi
Hoofdstuk 1
De lopende golf
1.1
Determinisme
In zijn “Philosofiae Naturalis Principia Mathematica” formuleerde Newton in 1686 zijn gedachten over de
mechanica en zwaartekracht. Het gedrag van ieder massief object of planeet kan met deze theorie exact
worden verklaard en voorspeld. Als het ooit mogelijk zou zijn om de exacte positie en snelheid van elk
deeltje in het heelal te kennen, dan zou het tevens mogelijk zijn om met de grootst mogelijke nauwkeurigheid
de toekomst van elk deeltje en daarmee van het heelal te voorspellen. De theorie laat geen ruimte over voor
onzekerheid of toeval. We noemen zo’n theorie een deterministische theorie.
Zo er een onzekerheid is, komt deze voort uit onwetendheid. Het is in de praktijk ondoenlijk om van elk
deeltje positie en snelheid te bepalen, daarvoor zijn er te veel. Ook is het niet mogelijk om een meting
volkomen exact uit te voeren door de beperkingen van het meetapparaat (meetfouten). Dit alles is echter
een technische aangelegenheid. Bij het voortschrijden van de techniek zullen we van steeds meer deeltjes,
steeds exacter positie en snelheid kunnen bepalen. Binnen de modellen van Newton is er geen mechanisme
aanwezig dat ons verhindert om in principe die onzekerheid op te heffen. Dit maakt de theorie van Newton
deterministisch.
1.2
Deeltjes of golven
De theorieën van Newton werden in hoge mate bevestigd door het experiment. Gelet op dit succes is het niet
verwonderlijk dat Newton ook het gedrag van licht probeerde te verklaren in termen van deeltjes. Lichtstralen worden tenslotte waargenomen als rechte lijnen en de manier waarop licht wordt teruggekaatst in een
spiegel lijkt sprekend op de wijze, waarop een bal door een harde muur wordt teruggekaatst. Newton nam
aan dat het licht bestond uit een stroom van deeltjes, die hij corpuscula noemde. Met deze theorie was hij in
staat de breking van licht aan het grensvlak tussen twee media, bijvoorbeeld water en lucht te verklaren. In
dit model hebben de corpuscula in de optisch dichtere substantie (water) de grootste snelheid.
Een tijdgenoot van Newton was de Nederlandse fysicus Christiaan Huygens. Hij was van mening dat licht
geen deeltjesverschijnsel, maar een golfverschijnsel was. Licht zou zich in de vorm van een golf voortplanten
in de ruimte, ongeveer zoals watergolven in het water zich voortplanten. Zijn golftheorie leverde een net
zo bevredigende verklaring voor weerkaatsing en breking van het licht als de deeltjestheorie. Volgens de
golftheorie was echter de snelheid van het licht in de optisch dichtere substantie het kleinst. Het was in
die tijd technisch niet mogelijk om via een beslissend experiment uit te maken wie gelijk had. Vanwege de
gevestigde autoriteit van de grote fysicus Newton hechtte men meer waarde aan de deeltjestheorie dan aan
de golftheorie. In de 17e en 18e eeuw waren er maar weinig mensen, die de golftheorie serieus namen.
In het begin van de 19e eeuw werden de rollen omgedraaid. De diffractie experimenten van Young en
Fresnel toonden overduidelijk aan dat licht een golfverschijnsel was. Als dan ook nog eens Maxwell rond
1860 aantoont dat licht een elektromagnetische golf is, lijkt de triomf van de golftheorie compleet. Aan het
eind van de 19e eeuw is er niemand meer, die niet gelooft dat licht een golfverschijnsel is.
Wanneer dan ook Einstein in 1905 een model introduceert, waarin licht een deeltjesstroom is, ondervindt hij
veel scepsis. Uiteindelijk blijkt dat het licht beschreven moet worden als een soort mengsel van deeltjes en
golven. In de volgende paragrafen zal dit besproken worden.
1
1.3
De lopende golf
Beschouw een homogene, wrijvingsloze snaar, horizontaal opgesteld in een gravitatievrije ruimte, waarvan het linkeruiteinde gekoppeld is aan een trillingsmachine. De machine beweegt het uiteinde op en neer
volgens de formule A cos ωt. A noemen we de amplitude, ω is de hoek- of circelfrequentie of simpelweg
frequentie en t de tijd.
We kiezen een assenkruis. De x-as leggen we langs de snaar in rust. Op de plaats x = 0 staat de trillingsmachine.
Nadat we de trillingsmachine hebben aangezet, zien we hoe zich in de snaar een golf voortplant van de
machine af (zie figuur 1.1).
Figuur 1.1: Een lopende golf
We wachten totdat de gehele snaar, die oneindig lang is, gevuld is met een zich voortplantende cosinusgolf.
In die situatie en niet eerder (!) gaan we kijken.
In de praktijk kan men volstaan met een snaar van eindige afmeting, waarbij aan het eind een energieabsorberend-systeem gekoppeld is, zodat op geen enkele wijze reflectie mogelijk is.
We zien hoe ieder snaardeeltje op en neer gaat, analoog aan de beweging van de trillingsmachine. Geen enkel
snaardeeltje beweegt naar rechts. Anderzijds zien we hoe de golftoppen zich wel naar rechts verplaatsen.
Die beweging correspondeert dus niet met de beweging van een materieel object.
We maken een foto op moment t1 en even later op moment t2 :
Figuur 1.2: De lopende golf op twee tijdstippen
Beschouwen we een punt A, dan voert die dezelfde beweging uit als punt B, punt C, enz. (de y-component
van hun positie en hun snelheid zijn op ieder moment gelijk). We zeggen: A, B, C, enz. zijn met elkaar in
fase.
Beschouwen we nu enige tijd later (op t2 ) de situatie, dan zie we dat A0 op t2 in fase is met A op t1 . De fase
heeft zich verplaatst.
Daarom noemen we de voortplantingssnelheid van één cosinusgolf, die de hele snaar heeft opgevuld, de
fasesnelheid, symbool vf .
Geef de uitwijking y van een snaardeeltje op de plaats x, op het moment t, aan met het symbool ψ(x,t).
Het punt x = 0 zal enige tijd geleden dezelfde beweging uitgevoerd hebben als het snaardeeltje op de plaats x.
Die enige tijd is gelijk aan vxf (zie figuur 1.3).
We weten dat de oorsprong een beweging uitvoert volgens A cos ωt. In de oorsprong staat immers de tril2
Figuur 1.3: Bij opstellen ψ(x,t) voor een golf naar rechts
lingsmachine. In formule:
x
x
ωx
= A cos ω t −
= A cos ωt −
ψ(x,t) = ψ 0,t −
vf
vf
vf
Voer in de afkorting:
k=
ω
vf
(1.1)
met k het circelgolfgetal of gewoon golfgetal. We vinden:
ψ(x,t) = A cos(ωt − kx)
(1.2)
Voegen we aan k het symbool λ toe volgens k = 2π
λ , dan blijkt uit substitutie in de golffunctie dat λ de
kortste afstand is tussen twee punten (bijvoorbeeld A en B), die met elkaar in fase zijn. λ noemt men de
golflengte.
Zie tabel 1.1 voor een overzicht, inclusief enige omzettingsformules en nomenclatuur.
Tabel 1.1: Omzettingsformules en nomenclatuur
Een in de richting van de +x-as lopende cosinusgolf wordt beschreven met de formule:
ψ(x,t) = A cos(ωt − kx)
ψ(x,t) = uitwijking of golffunctie
A = amplitude of amplitudo
ω = (hoek)- of (cirkel)frequentie
k = (cirkel)golfgetal
ω = 2πν
ν = frequentie
ν=
1
T
T = periode of trillingstijd
k = 2πσ
σ = golfgetal
σ=
1
λ
λ = golflengte
De dimensie van ν is s−1 of Hz (Hertz). De dimensie van ω is rad · s−1 of s−1 .
1
Het voorvoegsel hoek of cirkel bij de benoeming van ω en k laat men in de praktijk vaak
weg. We zullen dat in dit dictaat ook doen. Dit kan leiden tot verwarring!
Nu de fysische betekenis van ω en k bekend is, kunnen we afkorting (1.1) opvatten als de definitie van
fasesnelheid. Dat is dan ook gebruikelijk. Daarom, per definitie geldt:
de fasesnelheid vf ≡
ω
k
(1.3)
3
Met enige omzettingen is vergelijking (1.3) te herleiden tot:
λ = vf T
(1.4)
hetgeen te onthouden is als: afstand is snelheid maal tijd.
1.4
Naar rechts of naar links
Vervangen we in voorgaande afleiding van de naar rechts lopende golf de +x-as door de −x-as, dan gaat (1.2)
over in
ψ(x,t) = A cos(ωt + kx)
(1.5)
onder voorwaarde dat ω, k en vf positief blijven.
Draaien we vervolgens die −x-as over een hoek van 180◦ (met de y-as als rotatieas, dan mogen we (1.5)
interpreteren als een golf, die naar links loopt, dat wil zeggen in de richting van de negatieve x-as. Aldus:
naar rechts: ψ = A cos(ωt − kx) = A cos(−ωt + kx)
naar links:
ψ = A cos(ωt + kx) = A cos(−ωt − kx)
Als de tekens voor ωt en kx verschillen dan loopt de golf naar rechts (+x-as). Als de tekens gelijk zijn dan
loopt de golf naar links (−x-as). Het is nuttig dit te onthouden!
Mocht men dit vergeten zijn, dan is het vrij eenvoudig om bij gegeven golffunctie aan te tonen of de golf
naar rechts of naar links loopt. We geven een voorbeeld.
Vraag: Loopt de golf A cos(−ωt − kx) naar rechts of naar links?
Antwoord: Beschouw een snaardeeltje op de plaats x, moment t en een naburig snaardeeltje op de plaats
x + ∆x, op een iets later tijdstip t + ∆t, dus ∆t > 0. ∆x kan zowel positief als negatief zijn.
Neem aan dat beide deeltjes met elkaar in fase zijn. Zie bijvoorbeeld punt A en punt A0 in figuur 1.2. In fase
zijn met elkaar betekent dat de uitwijking ψ en de snelheid dψ
dt van het ene punt gelijk zijn aan die van het
andere punt. In formules:
de uitwijking: A cos(−ωt − kx) = A cos[−ω(t + ∆t) − k(x + ∆x)]
de snelheid: ωA sin(−ωt − kx) = ωA sin[−ω(t + ∆t) − k(x + ∆x)]
Hieraan is voldaan, indien:
−ωt − kx = −ω(t + ∆t) − k(x + ∆x) + n2π
n = 0, ±1, ±2, . . .
ofwel
ω
n2π
ω
∆x = − ∆t +
= − ∆t + nλ
k
k
k
Kies ∆x kleiner dan de golflengte, dan ∆x = − ωk ∆t.
Omdat ω en k altijd positief zijn en we ∆t positief gekozen hebben, betekent dit dat ∆x negatief is, dus het
naburige punt dat even later hetzelfde gaat doen als het deeltje op de plaats x, ligt links van x, dus de golf
beweegt naar links.
N.B. De fasesnelheid kiezen we altijd positief, ook al loopt de golf naar links.
Meestal kiest men voor een naar rechts lopende golf de uitdrukking:
ψ = A cos(−ωt + kx)
en voor een naar links lopende golf :
ψ = A cos(−ωt − kx)
4
1.5
Lichtgolven en intensiteit
De lichtgolf kan op analoge wijze als de transversale golf in een snaar beschreven worden, bijvoorbeeld als:
ψ(x,t) = A cos(−ωt + kx)
(1.6)
We doen voorlopig geen uitspraak over de vraag wat ψ(x,t) bij een lichtgolf voorstelt. De fasesnelheid van
de lichtgolf is gelijk aan de lichtsnelheid c. In vacuüm is c vrijwel gelijk aan 3 × 108 m · s−1 .
Wanneer we het linkeruiteinde van een snaar even op en neer bewegen, dan zal die oscillatie zich voortplanten in de snaar en aan het rechteruiteinde iets in beweging kunnen brengen, met andere woorden de energie
heeft zich verplaatst. We spreken van energiestroom, dit is de energie die per seconde een dwarsdoorsnede
passeert. Voor systemen met een ruimtelijke uitgebreidheid, bijvoorbeeld geluidsgolven in lucht, spreken
we van energiestroomdichtheid, dit is de energie die per seconde door één vierkante meter dwarsdoorsnede
stroomt. Bij licht noemen we dit intensiteit. We poneren de vuistregel:
D E INTENSITEIT IS EVENREDIG MET DE UITWIJKING IN HET KWADRAAT
Voor de intensiteit I van golf (1.6) kan dan geschreven worden:
I = A2 cos2 (−ωt + kx)
(1.7)
Van belang is ook de intensiteit gemiddeld in de tijd. Het gemiddelde van oscillerende functies nemen we
altijd door te integreren over één periode en te delen door die periode. Het gemiddelde van een cosinus of
sinus is nul, omdat de functie net zo vaak boven als onder de t-as zit, maar het gemiddelde van cos2 of sin2
is niet gelijk nul, maar gelijk aan 21 . Het is goed dit te onthouden. Voor het formele bewijs wordt verwezen
naar appendix B. Zodoende vinden we:
I=
A2
2
(1.8)
Stel dat we een uitwijking ψ hebben, die geschreven kan worden als de superpositie van de golven ψ1 t/m ψn ,
dus:
ψ = ψ1 + ψ2 + · · · + ψn
(1.9)
Indien alle golven ψ1 t/m ψn , dezelfde voortplantingsrichting hebben, geldt voor de totale intensiteit:
I = (ψ1 + ψ2 + · · · + ψn )2
(1.10)
Ook hier is weer de vuistregel van toepassing, dus eerst de uitwijkingen ψ1 t/m ψn optellen en dan pas
kwadrateren.
Om misverstanden te voorkomen, vermelden we dat de vuistregel niet van toepassing is op golven, die
tegen elkaar inlopen. Stel we hebben een ψ2 , lopend naar links, dan geldt wel ψ = ψ1 + ψ2 , maar voor de
intensiteit geldt:
I = ψ12 − ψ22
(1.11)
Formule (1.10) nader uitgewerkt voor twee golven ψ1 en ψ2 , dus in dezelfde richting lopend, geeft:
I = ψ12 + ψ22 + 2ψ1 ψ2
(1.12)
I = I1 + I2 + kruisterm
(1.13)
of
5
I1 is de intensiteit behorende bij golf ψ1 , analoog I2 . We zien: de totale intensiteit is in het algemeen niet
gelijk aan de som van de intensiteiten van iedere golf afzonderlijk. Dit gedrag is kenmerkend voor golven.
Ter illustratie berekenen we de somintensiteit van twee identieke golven ψ1 = A cos(−ωt + kx) en
ψ2 = A cos(−ωt + kx), beide naar rechts bewegend langs de x-as. Substitutie in (1.12) geeft:
I = A2 cos2 (−ωt + kx) + A2 cos2 (−ωt + kx) + 2A2 cos2 (−ωt + kx)
(1.14)
= 4A2 cos2 (−ωt + kx)
De intensiteit van de somgolf is vier maal zo groot als de intensiteit van één afzonderlijke golf en niet
2
twee maal. Ook gemiddeld in de tijd
intensiteit van de somgolf = 2A vier maal groter dan de
is de
2
gemiddelde intensiteit van één golf = A2 . De factor vier in plaats van twee wordt veroorzaakt door de
kruisterm 2ψ1 ψ2 .
In de deeltjesfysica komen we geen kruistermen tegen. Ter illustratie nemen we in plaats van een golf een
stroom van identieke blauwe deeltjes, die op vaste onderlinge afstand met constante snelheid langs de x-as
naar rechts bewegen. De energiestroom is dan gelijk aan de kinetisch energie van één deeltje, vermenigvuldigd met het aantal deeltjes dat per seconde een dwarsdoorsnede passeert. Tussen de blauwe deeltjes zetten
we rode deeltjes met een massa en snelheid identiek aan die van de blauwe (zie figuur 1.4).
Figuur 1.4: Twee deeltjesstromen
Het behoeft nauwelijks betoog, dat de energiestroom van de totale deeltjesstroom, de rode en de blauwe
samen, nu twee maal zo groot is, niet vier maal.
De aanwezigheid van kruistermen in de golftheorie of, zo men ook wel zegt, het interferentiegedrag van
golven, is de grote boosdoener in alle pogingen een golfgedrag te vertalen in een deeltjesgedrag. Het idee
van Einstein uit 1905, dat licht een stroom van deeltjes is, staat bijna haaks op het idee dat licht een golfverschijnsel is.
1.6
De bolgolf
Voor de lineaire golf A cos(−ωt + kx) is de gemiddelde intensiteit onafhankelijk van de plaats. De energie
schuift langs de x-as op naar rechts. Een laserstraal is een redelijk voorbeeld van dit soort licht. Een andere
situatie doet zich voor, wanneer we een puntvormige lamp hebben, die naar alle kanten op isotrope wijze
licht uitzendt (zie figuur 1.5). In dat geval moeten we de golf beschrijven volgens:
ψ(r,t) =
A cos(−ωt + kr)
r
(1.15)
Figuur 1.5: De bolgolf
Zo’n golf noemen we een bolgolf. Hierbij is de r de radius. Deze is altijd positief. De lamp kan geen golven
uitzenden in de richting van de negatieve r-as, want die is er niet. Dit betekent niet dat er geen golven
6
kunnen voorkomen evenredig met cos(−ωt − kr), dus golven die naar de lamp toelopen, maar dergelijke
golven worden veroorzaakt door reflectie van de uitgaande golf of worden gegenereerd door een andere
lamp.
De reden waarom bolgolven een factor r in de noemer hebben, in tegenstelling tot eendimensionale golven,
is de volgende. Beschouw de totale energie die door een (denkbeeldige) bol gaat, met straal r1 en de lamp
als middelpunt. Die energie is gelijk aan de intensiteit vermenigvuldigd met het bol oppervlak.
W=
A2 cos2 (−ωt + kr1 )
4πr12 = 4πA2 cos2 (−ωt + kr1 )
r12
(1.16)
Met als gemiddelde vermogen:
W = 2πA2
Gemiddeld in de tijd is W constant, dat wil zeggen onafhankelijk van de straal van de bol. Dit moet uiteraard.
Het kan niet zo zijn dat door een bol met straal r2 gemiddeld meer energie gaat dan door een bol met straal r1 ,
want dat zou betekenen dat tussen r1 en r2 extra energie geproduceerd wordt. De energie die van de lamp
uitgaat, wordt gelijkmatig over de ruimte uitgesmeerd. Dit is de reden waarom bolgolven een factor r in de
noemer hebben.
7
Vraagstukken hoofdstuk 1
1.1 Beschouw een trillingsmachine gekoppeld aan een snaar, in stationaire toestand. De machine staat
op de plaats x = 0 en beweegt volgens A sin ωt. In de snaar hebben we een lopende golf volgens
ψ = A sin(ωt − kx). De frequentie is 2 Hz en de golflengte bedraagt 10 cm.
(a) Teken de golf als functie van de plaats x op de momenten t = 0,
T T 3T
16 , 8 , 16
en T4 .
(b) Hoe groot is de hoekfrequentie, het golfgetal en de fasesnelheid.
(c) Hoeveel tijd loopt het snaardeeltje op de plaats x = 2λ achter op de beweging van de trillingsmachine.
(d) Als op t < 0 machine en snaar in rust zijn en de machine op t = 0 wordt aangezet, hoe lang duurt
het dan voordat het snaardeeltje op de plaats x = 2λ in beweging komt?
1.2 De vergelijking voor een bepaalde golf is ψ = A sin [2π(2x − 100t)], waarin A = 10 cm.
Bereken
(a) de amplitude,
(b) de golflengte,
(c) de frequentie,
(d) de fasesnelheid van de golf.
Maak een schets van de golf en geef daarin de amplitude en de golflengte aan. Loopt de golf in de
richting van de +x-as of in de richting van de −x-as?
1.3 Beschouw een snaar waarin zich een golf voortplant volgens ψ = A sin(ωt − kx).
Gegeven: ω = 25 s−1 , k = 100 m−1 en A = 2 cm.
(a) Bereken frequentie ν, de periode, de golflengte, het golfgetal en de fasesnelheid.
(b) Bereken de maximale snelheid van een snaardeeltje.
(c) Bereken de maximale versnelling van een snaardeeltje.
(d) Op een gegeven moment heeft een snaardeeltje de uitwijking nul. Hoe lang duurt het voordat de
uitwijking gelijk is aan de amplitude.
1.4 In § 1.3 van het dictaat staat:
“We vinden: ψ(x,t) = A cos(ωt − kx). Voegen we aan k het symbool λ toe volgens k = 2π
λ ,
dan blijkt uit substitutie in de golffunctie dat λ de kortste afstand is tussen twee punten,
die met elkaar in fase zijn.”
Bewijs dit.
1.5 Toon aan dat de golf A sin(ωt + kx + ϕ) naar links loopt.
1.6 Twee lichtgolven met gelijke amplitude, fasesnelheid en frequentie, en met een faseverschil π4 , lopen
in dezelfde richting.
(a) Bewijs dat de resultante een lopende golf is met dezelfde fasesnelheid en frequentie.
(b) Bereken de verhouding tussen de gemiddelde intensiteit van de somgolf en de som van de gemiddelde intensiteiten van beide golven afzonderlijk.
1.7 Toon aan dat het licht van n identieke golven, die met elkaar in fase zijn, lopend in dezelfde richting,
n maal zo helder is dan het licht van dezelfde golven, maar die nu volkomen met elkaar uit fase zijn.
8
1.8 Onder zomerse omstandigheden kunnen wolken zeer helder wit zijn. Een wolk bestaat uit kleine
waterdruppels. Iedere druppel bevat miljoenen watermoleculen. Onder invloed van het zonlicht gaat
ieder molecuul licht uitzenden (verstrooiing). Ieder molecuul gedraagt zich als een trillingsmachine.
Vat een druppel op als een rij trillingsmachines, allen met elkaar in fase.
Leg nu uit waarom de wolken zo helder kunnen zijn.
Maak een schatting van de grootte van zo’n waterdruppel in een wolk, als we voor de gemiddelde
golflengte van wit licht 500 nm nemen.
1.9 Twee harmonische golven met gelijke amplitude en frequentie lopen met gelijke snelheid in tegengestelde richting.
(a) Bepaal de resulterende golfbeweging. Maak een tekening van de uitwijking op de momenT
ten t = 0, T8 , T4 , 3T
8 en 2 .
(b) Bepaal de intensiteit van de somgolf, aannemende dat de golven lichtgolven zijn. Maak een
tekening van de intensiteit op dezelfde momenten als bij a.
(c) Op welke plaatsen is de intensiteit maximaal?
(d) Bepaal de gemiddelde intensiteit van de somgolf.
(e) Is deze golfbeweging te vertalen in deeltjesstromen?
1.10 Geef een fysisch argument waarom een bolgolf omgekeerd evenredig is met de radius.
1.11 Twee bronnen A en B zenden ieder een gelijke bolgolf uit.
(a) Bereken de gemiddelde intensiteit van het licht op de plaats P als het faseverschil tussen de
bronnen constant is in de tijd en gelijk aan nul.
(b) Dezelfde vraag voor de situatie dat er geen constant faseverschil is tussen A en B maar een
faseverschil dat op willekeurige wijze voortdurend varieert.
9
Antwoorden hoofdstuk 1
1.1
(b) ω = 4π s−1 , σ = 0,1 cm−1 en vf = 20 cm · s−1 .
(c) 1 s.
(d) Deze vraag is formeel niet te beantwoorden (zie § 1.3).
1.2
(a) A = 10 cm.
(b) λ = 0,5 m.
(c) ν = 100 Hz.
(d) vf = 50 m · s−1 .
De golf loopt in in de richting +x-as.
1.3
(a) ν = 3,98 Hz, T = 0,25 s, λ = 6,28 cm, σ = 15,9 m−1 en vf = 25 cm · s−1 .
(b) vmax = 50 cm · s−1 .
(c) amax = 12,5 m · s−2 .
(d) 63 ms.
1.6
(a) 2A cos
π
8
cos ωt − kx + π8 .
(b) 1,71.
1.8 diameter ≈ 0,25 µm.
1.9
(a) 2A cos kx cos ωt.
(b) A2 sin 2kx sin 2ωt.
(c) x = λ8 ,
3λ
8
en
5λ
8 .
(e) in ieder geval wel voor I.
10
Hoofdstuk 2
Licht als golfverschijnsel
2.1
De complexe rekenwijze
In de volgende paragrafen zullen we herhaalde malen cosinussen en/of sinussen bij elkaar op moeten tellen.
Dat vereist doorgaans een grote bekwaamheid in de goniometrie. Daarom zijn er andere methoden ontwikkeld die sneller werken of meer inzicht geven. Als voorbeeld behandelen we de volgende superpositie van
twee cosinussen.
ψ = A1 cos(ωt + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ2 )
(2.1)
Dit kunnen twee trillingen of oscillaties zijn met verschillende amplitude en een zeker faseverschil. Het
kunnen ook twee golven zijn, indien we voor ϕ1 schrijven kx1 en voor ϕ2 iets soortgelijks. In beide gevallen
zijn we geı̈nteresseerd in de amplitude van de som ψ.
Het gaat er dus om (2.1) om te zetten in een product van een amplitude maal iets van een cosinus of sinus
of wat dan ook. Het is bij voorbaat niet gezegd dat dit altijd mogelijk is, maar we gaan het gewoon proberen. Eerst proberen we het langs goniometrische weg. Daartoe is in appendix A een lijst opgenomen van
goniometrische betrekkingen, die mogelijk van nut zijn. Met de betrekking
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
(2.2)
is (2.1) om te zetten in:
ψ = A1 cos ωt cos ϕ1 − A1 sin ωt sin ϕ1 + A2 cos ωt cos ϕ2 − A2 sin ωt sin ϕ2
ψ = (A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2 ) cos ωt − (A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 ) sin ωt
kort af:
B1 = A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2
en B2 = A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2
ψ = B1 cos ωt − B2 sin ωt
Haal B1 buiten haakjes en schrijf voor
B2
B1
= tan β (zie hulpfiguur hierna)
ψ = B1 (cos ωt − tan β sin ωt)
Schrijf voor tan β =
ψ=
sin β
cos β
en haal
1
cos β
buiten haakjes.
B1
(cos ωt cos β − sin ωt sin β )
cos β
Met (2.2) is dit te schrijven als:
ψ=
B1
cos(ωt + β )
cos β
11
Uit het hulpfiguur hiernaast halen we cos β
B1
cos β = q
B21 + B22
Hulpfiguur
De amplitude is nu bekend, namelijk
B1
cosβ
B21 + B22 = (A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2 )2 + (A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 )2
= A21 + A22 + 2A1 A2 (cos ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2 )
= A21 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ1 − ϕ2 )
waarbij gebruik is gemaakt van de betrekking
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
(2.3)
Uiteindelijk vinden we:
q
ψ = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) cos(ωt + β )
(2.4)
Deze berekening illustreert hoe lastig een goniometrische uitwerking in het algemeen is. Het kan eenvoudiger. Daartoe is een rekentruc ontwikkeld, die bekend staat als de complexe rekenwijze.
Beschouw een oscillatie of golf ψ = A cos(ωt + ϕ). Deze kan geschreven worden als het reële deel van de
complexe functie
Ψ = A[cos(ωt + ϕ) + i sin(ωt + ϕ)]
(2.5)
Bij vaste t is een complexe functie niks anders dan een complex getal. Alle rekenregels ontwikkeld in de
complexe getallentheorie zijn van toepassing op complexe functies. Zo geldt bijvoorbeeld
eiα = cos α + i sin α
(2.6)
Hiermee is (2.5) ook te schrijven als
Ψ = Aei(ωt+ϕ) = Aeiωt eiϕ
(2.7)
De grootheid Aeiϕ noemen we de complexe amplitude Ψ̂, dus
Ψ̂ = Aeiϕ
en
Ψ = Ψ̂eiωt
(2.8)
De rekentruc komt erop neer dat we van iedere cosinus (of sinus, want sin ωt = cos ωt − π2 ) een complexe
oscillatie maken. Binnen de complexe wereld wordt een probleem nader uitgewerkt, waarna via een inverse
transformatie teruggekeerd wordt tot de reële wereld. We geven een voorbeeld. Gevraagd wordt de som ψ
van de volgende cosinussen:
ψ = A(cos ωt + ϕ) + A cos(ωt − ϕ) met A > 0
(2.9)
Maak van de cosinussen complexe e-machten. De som wordt dan ook complex. Ter onderscheiding schrijven
we voor de complexe som de hoofdletter Ψ.
Ψ = Aeiωt eiϕ + Aeiωt e−iϕ
(2.10)
12
Ψ = Aeiωt (eiϕ + e−iϕ )
(2.11)
Werk het vraagstuk in deze complexe vorm nader uit.
Ψ = Aeiωt (cos ϕ + i sin ϕ + cos ϕ − i sin ϕ) = 2Aeiωt cos ϕ
(2.12)
Keer terug tot de reële wereld door het reële deel te nemen.
Re(Ψ) = ψ = Re(2Aeiωt cos ϕ) = 2A cos ϕRe(cos ωt + i sin ωt) = 2A cos ϕ cos ωt
(2.13)
Dat dit antwoord correct is, kan men inzien door (2.9) direct uit te werken met de goniometrische formule:
cos p + cos q = 2 cos
p+q
p−q
cos
2
2
(zie appendix A)
Dat in dit voorbeeld de rekentruc op zo’n eenvoudige wijze toepasbaar is, komt omdat de som van de reële
delen gelijk is aan het reële deel van de som. We hebben aan (2.9) de imaginaire delen toegevoegd, toen de
optelling uitgevoerd en vervolgens de imaginaire som genegeerd door het reële deel te nemen, dus eigenlijk
hebben we, op een nogal vreemde manier, de som bepaald van (2.9) en dat was uiteraard de opzet.
Bij optellen of aftrekken mag je blind iedere component in de complexe stand verheffen, de zaak bij elkaar
optellen of aftrekken en na afloop het reële deel nemen. Ook bij integraties mag je dit doen, want integreren
is een soort sommeren. Wat ook goed gaat zijn de differentiaties. Bijvoorbeeld wordt de afgeleide naar de tijd
gevraagd van ψ = A cos(ωt + ϕ). Het antwoord is uiteraard −Aω sin(ωt + ϕ). Via de complexe rekenwijze:
d Aeiωt eiϕ
dΨ
=
= iω Aeiωt eiϕ = iωΨ
dt
dt
iωΨ = iωA[cos(ωt + ϕ) + i sin(ωt + ϕ)]
Bepaal het reële deel
dψ
= −ωAsin(ωt + ϕ)
dt
Dus het klopt. Het enige waarbij je moet uitkijken zijn vermenigvuldigingen, omdat
Re(Ψ1 )Re(Ψ2 ) 6= Re(Ψ1 Ψ2 )
Wanneer we ons oorspronkelijke probleem (2.1) op dezelfde wijze proberen op te lossen, zoals gedaan bij
probleem (2.9), zullen we spoedig vastlopen in de goniometrie, maar er bestaat gelukkig een alternatief.
Iedere complexe functie Ψ is te schrijven als:
Ψ = |Ψ| eiθ
(2.14)
met |Ψ| de modulus en θ het argument van Ψ. Nemen we van (2.14) het reële deel dan ontstaat de reële
functie ψ
ψ = |Ψ| cos θ
(2.15)
Hieruit lezen we af dat de amplitude van de reële functie ψ gelijk is aan de modulus van de complexe Ψ.
Zijn we alleen maar geënteresseerd in de amplitude, dan is het voldoende om alleen de modulus te bepalen.
Toegepast op (2.1) geeft:
Ψ = A1 eiωt eiϕ1 + A2 eiωt eiϕ2
Ψ∗ = A1 e−iωt e−iϕ1 + A2 e−iωt e−iϕ2
13
|Ψ| =
q
√
Re(Ψ)2 + Im(Ψ)2 = Ψ∗ Ψ
met Ψ∗ de complex geconjugeerde of complex toegevoegde van
Ψ
Im(Ψ)
θ = arctan
Re(Ψ)
omdat (Ψ1 + Ψ2 )∗ = Ψ∗1 + Ψ∗2 en omdat (eiα )∗ = e−iα
(amplitude)2 = Ψ∗ Ψ = A1 e−iωt e−iϕ1 + A2 e−iωt e−iϕ2 A1 eiωt eiϕ1 + A2 eiωt eiϕ2
h
i
= A21 + A21 + A1 A2 ei(ϕ1 −ϕ2 ) + ei(ϕ2 −ϕ1 )
(2.16)
= A21 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ1 − ϕ2 )
In overeenstemming met (2.4).
Om didactische redenen is in het voorgaande een complexe functie steeds met een hoofdletter Ψ en een
reële functie met een kleine letter ψ weergegeven. In de praktijk doet men dat zelden of nooit. Men gebruikt
alleen het symbool ψ. Uit de tekst blijkt vanzelf of we te doen hebben met de complexe of reële functie.
Vanaf nu zullen we dat in dit dictaat ook doen.
Naast het (relatieve) rekengemak van de complexe rekenwijze zijn er twee belangrijke argumenten om zoveel aandacht aan de complexe rekenwijze te besteden. In de eerste plaats wordt in de gehele fysische
literatuur een oscillatie of golf vrijwel altijd complex weergegeven. Zonder kennis van de complexe rekenwijze is die literatuur ontoegankelijk! In de tweede plaats is de golffunctie uit de kwantummechanica in
sommige gevallen identiek aan een complex geformuleerde oscillatie of golf. We komen hier nog op terug.
2.2
Het principe van Huygens
Wanneer licht op een scherm valt met een nauwe opening dan zal het licht niet rechtlijnig door de opening
gaan en op het opvangscherm een keurig schaduwbeeld vormen. Integendeel, het licht buigt na de opening
af. We noemen dat verschijnsel buiging. Het treedt op bij iedere situatie waarin een golffront “verminkt”
wordt door randen, obstakels, openingen etcetera. Het bijbehorende lichtbeeld op een opvangscherm noemen we het buigingspatroon. Ook weten we dat twee of meer golven afkomstig van verschillende bronnen
elkaar kunnen uitdoven of versterken. Dat verschijnsel treedt bijvoorbeeld op wanneer we een golffront laten
invallen op een scherm met meerdere openingen. Dit verschijnsel staat bekend als interferentie en het bijbehorende lichtbeeld op het opvangscherm wordt het interferentiepatroon genoemd. Buiging en interferentie
tezamen noemen we diffractie.
Huygens had als eerste een voortplantingstheorie voor golven ontwikkeld. Hij zei: ieder punt van een golffront is op te vallen als een secundaire lichtbron die (uitsluitend in “voorwaartse richting”) een bolgolf
uitzendt. De omhullende van al die secundaire bolgolven is het nieuwe golffront enige tijd later.
Fresnel en Kirchhoff hebben dit principe van Huygens mathematisch onderbouwd en verder uitgewerkt. Één
−iωt ikr
van hun resultaten is de volgende: Gegeven een puntvormige lichtbron Po die een bolgolf A e r e uitzendt
(complexe formulering). Dan wordt de complex geformuleerde golf ψ(P) op een plaats P achter een scherm
met een opening gegeven door de volgende formule:
ψ(P) = e
−iωt
iA
2λ
ZZ
eik(r+s)
(cos α + cos β ) dS
rs
(2.17)
S
figuur 2.1 verklaart de symbolen. De formule staat bekend als de diffractieformule van Fresnel-Kirchhoff.
Formule (2.17) is niet exact, maar voor praktische doeleinden ruim voldoende. Indien Po in −∞ en P in +∞
staat, spreken we van Fraunhoferbuiging. In alle andere gevallen van Fresnelbuiging. Voor Fraunhoferbuiging zijn α en β constanten over het integratieoppervlak en kunnen dus voor de integraal gehaald worden.
14
Figuur 2.1: Buiging volgens Fresnel-Kirchhoff
Ook r en s uit de noemer spelen in de integratie nauwelijks een rol. Indien een vlak golffront evenwijdig aan
de opening invalt, dan heeft ieder punt uit de opening dezelfde r, dan kan ook eikr voor het integraalteken
gehaald worden. Met al deze benaderingen houden we een zeer simpele vergelijking over voor de bepaling
van ψ(P). Vervangen we de integratie door een sommatie over alle punten van de opening, dan krijgen we,
met weglating van irrelevante factoren:
ψ(P) = e−iωt ∑ eiksn
(2.18)
n
Het is met deze formule dat we enige diffractiepatronen zullen uitwerken.
2.3
Fraunhofer interferentie aan N spleten
Gegeven een scherm met N spleten, ook wel tralie genoemd. Loodrecht op het papier is iedere spleet oneindig groot; in het vlak van het papier is iedere spleet oneindig klein (zie figuur 2.2). De onderlinge afstand
tussen de spleten is p. Een vlak golffront valt in op een scherm, zodat in alle spleten dezelfde fase heerst.
We kijken naar de som van alle secundaire golven die onder een hoek ϕ uittreden (zie figuur 2.2).
Figuur 2.2: Fraunhofer interferentie aan N spleten
De uitwijking van de golf, afkomstig van spleet 1 op een afstand x0 zal gelijk zijn aan ψ1 = A cos(−ωt +kx0 ).
Hierbij is x0 de afstand van spleet 1 tot het scherm, waar de stralen elkaar snijden. Het scherm staat zeer ver
15
weg, waardoor de stralen die bijeenkomen in het snijpunt vrijwel evenwijdig lopen. De uitwijking van de
golf afkomstig van spleet 2 is dan ψ2 = A cos[−ωt + k(x0 + x)]. Die golf legt een langere weg af en daarom
is die golf niet in fase met golf 1. De som van alle golven wordt dan:
ψ = A cos(−ωt + kx0 ) + A cos(−ωt + kx0 + kx) + A cos(−ωt + kx0 + 2kx) + · · ·
Maken we dit complex, dan ontstaat er:
h
i
ψ = Ae−iωt eikx0 + eikx0 eikx + eikx0 e2ikx + · · · + eikx0 ei(N−1)x
(2.19)
Dit is te schrijven als:
h
i
ψ = Ae−iωt eikx0 1 + eiδ + e2iδ + · · · + e(N−1)iδ
met
δ = kx =
2πx 2π p sin ϕ
=
λ
λ
(2.20)
We hebben hier een meetkundige reeks met reden eiδ . De som van n termen van een meetkundige reeks is
in formule:
sn = a
1 − rn
1−r
a = 1e term; r = reden
(2.21)
Alhier:
ψ = Ae−iωt eikx0
1 − eiNδ
1 − eiδ
(2.22)
ψ = Ae−iωt eikx0
(1 − cos Nδ ) − i sin Nδ
(1 − cos δ ) − i sin δ
(2.23)
Voor complexe getallen geldt:
z1 |z1 |
|z1 z2 | = |z1 ||z2 | en =
z2
|z2 |
en
iα e = 1
(2.24)
zodat,
|(1 − cos Nδ ) − i sin Nδ |
|(1 − cos δ ) − i sin δ |
q
√
(1 − cos Nδ )2 + sin2 Nδ
1 − cos Nδ
=A q
=A √
1 − cos δ
(1 − cos δ )2 + sin2 δ
|ψ| = A
Bedenk
δ
1 − cos δ = 2 sin
2
2
sin
|ψ| = A
sin
Nδ
2
(2.25)
δ
2
De amplitude van de reële ψ is gelijk aan de modulus van de complexe ψ. De gemiddelde intensiteit is
evenredig met de amplitude in het kwadraat, zodat we mogen schrijven:
sin2 Nδ
2
I = A2
(2.26)
2 δ
sin 2
16
I is uiteraard geen absolute, maar een relatieve maat voor de intensiteit.
Uit formule (2.26) valt af te lezen dat I = 0 als sin Nδ
2 = 0 dus voor:
δ = 0,
2π 4π 6π
,
,
, ...
N N N
Met (2.20) volgt hieruit
x = 0,
λ 2λ 3λ
,
,
, ...
N N N
Dit geldt zolang niet tegelijkertijd de noemer ook nul is. Dat betekent dat δ = 0 afvalt als minimum. Uit een
limietbeschouwing voor δ → 0 volgt I = N 2 A2
Er zijn meer punten die afvallen. Nemen we als voorbeeld N = 5. Minima als:
δ=
20π
2π 4π 6π 8π 10π 12π
,
,
,
,
,
, ...,
, ...
5 5 5 5
5
5
5
20π
Voor δ = 10π
5 , 5 , . . . enz. is ook de noemer nul. Uit een limietbeschouwing volgt dat I voor die punten
ook gelijk is aan N 2 A2 . Deze punten corresponderen met x = λ , 2λ , . . . Dit is iets dat we van tevoren
hadden kunnen bedenken. Als het weglengteverschil tussen twee naburige lichtstralen gelijk is aan een
gehele golflengte zullen al de N golven elkaar versterken en zal de intensiteit N 2 keer groter zijn dan van
één golf. Voor N = 5 gaat I als functie van δ er als volgt uitzien:
Figuur 2.3: Interferentiepatroon voor N = 5.
De nevenmaxima liggen niet exact midden tussen de minima. De hoofdmaxima zijn eenvoudig te vinden
(het weglengteverschil tussen twee naburige stralen is een geheel aantal malen de golflengte), maar voor
de minima en nevenmaxima is het prettig dat we formule (2.26) achter de hand hebben. We zien dat er
3 nevenmaxima zijn voor een scherm met 5 spleten. Dat zijn dus twee minder. Dit blijkt een algemene regel
te zijn.
Regel: VOOR N SPLETEN ZIJN ER (N − 2) NEVENMAXIMA
Dus voor N = 2 zijn er geen nevenmaxima, alleen maar hoofdmaxima. Voor N = 1000 (een tralie, zie ook
§ 2.7) zijn er 998 nevenmaxima. In de praktijk zijn die 998 nevenmaxima met het blote oog niet te zien.
Niet altijd treden er meerdere hoofdmaxima op. Immers x moet de waarde λ kunnen aannemen. Voor p < λ
hebben we alleen een 0e orde hoofdmaximum en nevenmaxima.
Merk op dat de intensiteit niet afneemt naarmate δ , ofwel x, ofwel ϕ groter is. In het echt is dat natuurlijk
wel het geval, omdat de energie verspreid wordt over een groter oppervlak. Het is de factor s uit de noemer
van (2.17) die we constant hadden genomen, maar dat is hij natuurlijk niet.
17
2.4
Fraunhoferbuiging aan een spleet
Gegeven een scherm met één spleetvormige opening, breedte b. Loodrecht op het papier heeft de spleet
oneindige afmetingen. Een vlak golffront valt in, zodat alle punten in de spleet gelijke fase hebben (zie
figuur 2.4).
Figuur 2.4: Fraunhoferbuiging aan een spleet
In gedachten verdelen we de spleet in N punten. We gaan kijken naar de som van alle secundaire golven die
onder een hoek ϕ uittreden. Gelijk voorgaande geldt:
sin2 Nδ
2
I = A2
2 δ
sin 2
met
2πx 2πd sin ϕ
=
λ
λ
d is de afstand tussen twee naburige “gedachtenpunten”. Er geldt: (N − 1)d = b. Voor N → ∞ en d → 0
geldt dan: Nd = b. Zodat:
Nδ
2πNd sin ϕ
2πb sin ϕ
sin
= sin
= sin
2
2λ
2λ
2πd sin ϕ
2πd sin ϕ
δ
≈
Voor d → 0 : sin = sin
2
2λ
2λ
δ = kx =
Dit resulteert in
I = A2
b2
2
  sin 2πb2λsin ϕ 
d2 
2πb sin ϕ
2λ

Voer in
2πb sin ϕ
= ky
λ
β is dus het faseverschil tussen onder- en bovenkant van de spleet.
!2
2
sin β2
2b
I=A 2
β
d
β=
2
Voor β → 0 :
b2
I = A2 2 = I 0
d
18
(2.27)
Wat tenslotte leidt tot
I = I0
sin β2
!2
(2.28)
β
2
Uitdoving treedt op indien het weglengteverschil y tussen boven en onderkant van de spleet gelijk is aan
een geheel aantal golflengten. Dat is eenvoudig in te zien. Stel y = λ . Verdeel de spleet in twee helften.
Iedere straal uit de bovenste helft valt altijd te combineren met een straal uit de onderste helft met een
weglengteverschil van λ2 . Paarsgewijs zullen de stralen elkaar uitdoven. Voor y = 2λ verdeel je de spleet in
4 gelijke stukken en combineer je telkens een straal uit één stuk met een straal uit een ander stuk die een
weglengteverschil van λ2 heeft. Enzovoort.
In tekening:
Figuur 2.5: Fraunhoferbuigingspatroon van een spleet
Voor b < λ is er geen uitdoving.
2.5
Fraunhoferdiffractie aan N spleten
N spleten met spleetbreedte b geven het patroon:

I(ϕ) =
I0 
N2
sin
2 
β
2
β
2
 
sin
sin
Nδ
2
2
(2.29)

δ
2
met I0 = nulde-orde hoofdmaximum, dus I voor ϕ = 0.
β=
2πb sin ϕ
;
λ
b = spleetbreedte
δ=
2π p sin ϕ
;
λ
p = periode tralie = afstand tussen twee spleten
Voor b << λ krijgen we patronen zoals figuur 2.3, zij het dat I afneemt naarmate ϕ groter is.
19
Voorbeeld:

N=2
sin
geeft I = I0 
2
β
2
β
2
 cos δ
2
2
In tekening, voor b < λ :
Figuur 2.6: Diffractie bij twee spleten voor b < λ .
2.6
Scheidend vermogen
In de voorgaande paragrafen hebben we steeds gekeken naar de superpositie van golven, waarvan amplitude,
frequentie en fase niet verandert in de tijd. Het verband tussen de golven ligt vast. We spreken van coherente
bronnen. Voor twee coherente bronnen geldt:
I = (ψ1 + ψ2 )2 = ψ12 + ψ22 + 2ψ1 ψ2
(2.30)
en voor de gemiddelde intensiteit
I = I1 + I2 + 2ψ1 ψ2
(2.31)
De kruisterm in (2.31) zal i.h.a. niet nul zijn, waardoor de interferentie ontstaat. Er bestaan echter lichtbronnen die geen vaste golf uitzenden. De amplitude en fase wisselen voortdurend in de tijd. We noemen dit
natuurlijk licht, omdat de zon dit soort licht uitzendt. Ook een gloeilamp doet dit. Voor de superpositie van
twee van zulke incoherente bronnen geldt ook (2.30) en (2.31), maar omdat ψ1 en ψ2 niet gecorreleerd zijn
in de tijd, zal de kruisterm gemiddeld in de tijd nul zijn. Dus voor incoherente bronnen hebben we:
I = I1 + I2
(2.32)
Zo zal het buigingspatroon van twee incoherente puntbronnen B1 en B2 gelijk zijn aan de som van het
buigingspatroon van B1 en dat van B2 (zie figuur 2.7).
Indien we B1 en B2 zeer dicht bij elkaar brengen, vervaagt op het detectiescherm (somintensiteit) het patroon
van twee min of meer afzonderlijke lichtvlekjes. Er ontstaat één grote lichtvlek. Het is niet meer mogelijk
dit te interpreteren als zijnde afkomstig van twee puntbronnen. Het onderscheid tussen B1 en B2 is verloren
gegaan.
Lord Rayleigh stelde: Indien het 1e minimum van B1 samenvalt met het hoofdmaximum van B2 , dan is er
nog juist scheiding mogelijk (zie figuur 2.7). In formule:
sin ϕ0 =
λ
b
of
ϕ0 =
λ
b
(kleine hoeken!)
20
Figuur 2.7: Het criterium van Rayleigh
De hoek θ tussen de bronnen, gezien vanuit de spleet, is dan gelijk aan ϕ0 .
Scheidend vermogen θ =
λ
b
(2.33)
Dit wil zeggen: voor θ < λb is er geen scheiding meer mogelijk. Deze keuze staat bekend als het criterium
van Rayleigh.
In plaats van scheidend vermogen spreekt men ook wel van oplossend vermogen of resolutie. Voor ronde
openingen met diameter D geldt:
θ = 1, 22
λ
D
(2.34)
Bijvoorbeeld: pupilopening van oog D = 2 mm (bij helder weer). De gemiddelde λ van de zon is ongeveer 550 nm, geeft θ = 0,34 × 10−3 rad.
Algemeen stelt men voor het oog:
θ = 1 boogminuut voor absoluut scherp zien
θ = 2 boogminuut voor duidelijk zien
θ = 4 boogminuut voor gemakkelijk zien
1 rad = 57◦ 170 44,800 = 34380 = 2 × 105
00
Met de symbolen ◦ voor graden, 0 voor boogminuten en 00 voor boogseconden.
Het scheidend vermogen van een apparaat stelt een beperking aan de details die je nog kunt zien, maar het
is een technisch probleem. Uit formule (2.33) kun je aflezen dat je het scheidend vermogen kunt verbeteren
door de diameter groter te maken (spiegeltelescoop) of door de golflengte kleiner te maken (elektronenmicroscoop). In principe bestaat er geen onzekerheid. De fysica is nog steeds deterministisch. De onzekerheid
die hier een rol speelt vloeit voort uit onwetendheid.
2.7
Het scheidend vermogen van een tralie
Het criterium van Rayleigh wordt ook gebruikt om een uitspraak te doen over het onderscheid tussen twee
golflengten λ en λ 1 van golven, afkomstig van één bron, die via een tralie of rooster (dit is een scherm
met N spleten) op een opvangscherm vallen. Iedere golflengte heeft zijn eigen patroon van hoofdmaxima
en nevenmaxima. Als λ en λ 1 niet veel van elkaar verschillen zullen de hoofdmaxima iets ten opzichte van
elkaar verschoven zijn.
21
Figuur 2.8: Criterium van Rayleigh voor het onderscheid tussen λ en λ 1 bij een tralie.
Het me orde hoofdmaximum voor λ 1 treedt op bij x = p sin ϕ = mλ 1 . Voor onderscheid eisen we dat
dit samenvalt met het eerste minimum rechts van het me orde hoofdmaximum van λ . Dit treedt op voor
x = p sin ϕ = mλ + Nλ . We krijgen dan:
mλ 1 = mλ +
λ
N
Noem
λ 1 = λ + ∆λ
dan
m(λ + ∆λ ) = mλ +
λ
N
ofwel
1
∆λ
=
(2.35)
λ
mN
(2.35) noemen we de resolutie van een tralie. N is het aantal spleten en m is de orde van een hoofdmaximum.
Als we maar één spleet hebben, kunnen we daar ook een scheidend vermogen aan toekennen voor het
onderscheid tussen λ en λ 1 . We hebben nu een centraal maximum met zijlobben. Zie figuur 2.9.
Figuur 2.9: Het criterium van Rayleigh voor het onderscheid tussen λ en λ 1 bij één spleet.
1
Het me maximum voor λ 1 treedt ongeveer op bij x = b sin ϕ = mλ 1 + λ2 met m = 1, 2, 3, . . . We eisen dat
dit samenvalt met het eerste minimum rechts van het me maximum voor λ , dus voor x = (m + 1λ . Met
λ 1 = λ + ∆λ geeft dit
1
(m + )(λ + ∆λ ) = (m + 1)λ
2
ofwel
∆λ
1
=
λ
2m + 1
(2.36)
22
We zouden dit het scheidend vermogen van één spleet kunnen noemen. De afbuighoek ϕ kan nooit groter
zijn dan π2 , ofwel x < b. Dit stelt een grens
aan m. Voor een minimum van de golf λ hadden we x = (m+1)λ ,
zodat (m + 1)λ < b, ofwel m < λb − 1 . Het scheidend vermogen van één spleet heeft geen enkel praktisch
nut. Indien je wilt onderscheiden tussen λ en λ 1 , kun je veel beter een tralie nemen. Het is echter wel
belangrijk om te zien dat er in principe bij één spleet ook een resolutie optreedt en dat die resolutie beter
wordt (∆λ kleiner), indien we de spleetbreedte b groter maken, zodat m groter kan worden.
23
Vraagstukken hoofdstuk 2
2.1 Bepaal met behulp van de complexe rekenwijze de som van:
ψ = a cos(ωt + ϕ) − a cos(ωt − ϕ)
Controleer uw antwoord door het vraagstuk op goniometrische wijze op te lossen.
2.2 Toon aan dat toepassing voor de complexe rekenwijze ter bepaling
(a) van x = a cos ωt + b sin ωt leidt tot de uitdrukking:
X = eiωt [a − ib]
(b) Het reële deel van een willekeurige complexe functie X is altijd te schrijven als Re(X) = x0 cos α
met
Im(X)
x0 = |X| en α = arg (X) = arctan
Re(X)
Toon aan dat voor de x uit onderdeel a geldt:
p
b
2
2
x = a + b cos ωt − arctan
a
2.3 Toon met de complexe rekenwijze aan dat:
3
x=
∑ A cos
n=0
nπ ωt −
6
ook geschreven kan worden als
π
x = 3, 35 · A cos ωt −
4
Bedenk: som van een meetkundige reeks
sn = a
1 − rn
1−r
met a = eerste term en r = reden;
n≥1
2.4 Toon aan:
Re(ψ1 )Re(ψ2 ) 6= Re(ψ1 ψ2 )
met ψ1 en ψ2 willekeurige complexe functies.
2.5 Gegeven een spanningsbron, aangesloten op een elektrisch circuit. De bronspanning wordt gegeven
door
v(t) = v̂ cos ωt
De stroom door de bron is gelijk aan
i(t) = î cos(ωt + ϕ)
De wisselstroomtheorie leert dat het door de bron afgegeven vermogen gelijk is aan P = vi.
In een publicatie vinden we echter de merkwaardige uitdrukking P = 12 Re(V ∗ I).
Wat is hier gebeurd en wat is de fysische betekenis van de laatste uitdrukking?
2.6
(a) Hoe ziet formule (2.17) uit het dictaat er in reële vorm uit?
24
(b) Hoe groot is de uitwijking van de golf in de spleet?
2.7 Voor twee oneindig smalle spleten geldt:
2π p sin ϕ
2
2 δ
I = 4A cos
met δ = kx =
2
λ
(a) Teken I als functie van δ .
(b) Teken I als functie van z (y z).
(c) Laat zien dat uitdoving optreedt bij
5λ
x = λ2 , 3λ
2 , 2 , ...
en dat maxima optreden bij
x = 0, λ , 2λ , . . .
2.8 Gegeven drie oneindig smalle spleten, onderlinge afstand p.
(a) Bereken langs goniometrische weg de intensiteit op het opvangscherm. Gebruik appendix A van
het diktaat.
(b) Bereken met behulp van de complexe rekenwijze de gemiddelde intensiteit op het opvangscherm.
(c) Vergelijk uw uitkomsten met de algemene formule
!
δN 2
2 sin 2
I=A
sin δ
2
(d) Maak een grafiek van I als functie van x.
x = weglengte verschil tussen twee naburige stralen.
2.9 Voor buiging aan één spleet geldt:
!2
sin β2
I = Io
β
2
met
2πb sin ϕ
= ky
λ
y = weglengte verschil tussen onderste en bovenste straal.
β=
(a) Teken de grafiek I als functie van y voor de situatie b > λ .
(b) Teken de grafiek I als functie van z (zie opg. 2.7.), ook weer voor de situatie b > λ .
(c) Teken de grafiek I als functie van y voor b = λ2 .
2.10 Er geldt:
I0
I= 2
N
sin β2
!2
β
2
sin Nδ
2
!2
sin δ2
Neem N = 2, b = 2λ en p = 20λ .
Teken I als functie van β .
25
2.11 Twee palen hebben loodrecht op de kijkrichting een onderlinge afstand van 1 meter. Bereken de
maximale afstand van paal tot oog, waarbij de palen nog duidelijk gescheiden worden waargenomen.
2.12 Stel één paal heeft een diameter van 10 cm. Bereken de maximale afstand van paal tot oog, waarbij
linker- en rechterkant van de paal nog duidelijk gescheiden worden waargenomen.
2.13 Twee even heldere sterren vormen een hoek van één boogseconde. Stel dat een golflengte van
5,5 × 10−7 m wordt gebruikt. Wat is de kleinste diameter van een telescoopobjectief, waarmee men
deze sterren kan onderscheiden?
λ
Gegevens: θ = 1, 22 ;
D
1 rad = 57◦ 170 44,800 .
2.14 Vlakke monochromatische golven met λ = 6,0 × 10−7 m vallen loodrecht in op een vlak transmissierooster met 500 lijnen per mm. Bepaal de afbuigingshoeken voor het eerste-, tweede- en derde-orde
maximum.
2.15 Veronderstel dat het spectrum van het zichtbare licht valt tussen golflengten 4 × 10−7 m en 7 × 10−7 m.
Bereken voor loodrechte inval op een vlak rooster met 6000 lijnen per cm de hoekafmetingen van het
eerste- en tweede-orde spectrum.
2.16 Een transmissierooster van 4 cm lengte heeft 4000 lijnen per cm. Bereken het scheidend vermogen
voor een golflengte van 5,9 × 10−7 m in de eerste orde. Zal het rooster de twee lijnen met golflengten 5,890 × 10−7 m en 5,896 × 10−7 m (de natrium D-lijnen) scheiden?
2.17 Dezelfde vragen als bij opgave 2.16, maar nu voor één spleet. Hoe groot moet m minimaal zijn, opdat
scheiding tussen de D-lijnen mogelijk is? Hoe groot is dan de spleetbreedte?
26
Antwoorden hoofdstuk 2
2.5 Blijkbaar is overgestapt op de complexe schrijfwijze, volgens
V = v̂eiωt
en I = îeiϕ eiωt
1
1
1
P = Re(v̂e−iωt îeiϕ eiωt ) = Re(v̂îeiϕ ) = v̂î cos ϕ
2
2
2
Vergelijk met
P = vi = v̂î cos ωt cos(ωt + ϕ)
Neem hiervan het gemiddelde, dus
1
P = v̂î
T
Z T
0
1
cos ωt cos(ωt + ϕ) dt = v̂î cos ϕ
2
De complexe uitdrukking moeten we interpreteren als het gemiddeld in de tijd afgegeven vermogen.
2.6
(a)
ψ=
A
2λ
ZZ
cos(−ωt + kr + ks + π2 )
(cos α + cos β ) dS
rs
S
(b)
2.7
ψ=
A cos(−ωt + kr)
r
δ=
2π p sin ϕ
2π p tan ϕ
≈
λ
λ
z=
δλy
2π p
(a)
(b)
met
tan ϕ =
27
z
y
2.8
(c)
I (hfd. max) = 9A2
2.9
I (nevenmax) = A2
(a)
(b) “y” = afstand tussen schermen.
(c)
28
2.10
2.11 1,7 km.
2.12 167 m.
2.13 13,8 cm.
2.14 Afbuigingshoek eerste-orde maximum = 17,5◦ ;
Tweede-orde maximum = 36,9◦ ;
Derde-orde maximum = 64,2◦ .
2.15 Afbuigingshoek eerste-orde maximum = 10,7◦ ;
Tweede-orde maximum = 28,4◦ .
2.16 Het scheidend vermogen is
λ
∆λ
= 16000;
Het rooster kan de natrium D-lijnen scheiden.
2.17 Het scheiden vermogen voor een spleet is
∆λ
λ
= 13 ;
De spleet kan de natrium D-lijnen niet scheiden;
m moet minimaal 500 zijn;
De spleetbreedte b is dan 0,3 nm.
29
30
Hoofdstuk 3
Licht als deeltjesverschijnsel
3.1
De zwarte stralingskromme
Voorbij het midden van de 19e eeuw bereikt de golftheorie zijn hoogtepunt, wanneer Maxwell aantoont dat
licht een elektromagnetische golf is. Aan het eind van de 19e eeuw is er niemand meer, die niet gelooft dat
licht een golf is. Men had een rotsvast vertrouwen in de fysica en meende dat deze vrijwel klaar was. In
1900 schrijft William Thomson (lord Kelvin): “De fysica lijkt mij volmaakt harmonisch en een afgerond
geheel”. Hij schrijft echter ook dat in relatie tot de theorie van het licht er nog twee wolken zijn, die een
totaal inzicht verduisteren. Deze waren:
1. Het negatieve resultaat van het experiment van Michelson en Morley.
2. De discrepantie tussen waarneming en theorie in relatie tot de zwarte stralingskromme.
Dit had Thomson verbluffend goed gezien, alleen bleken de wolken uit te groeien tot orkanen. De eerste orkaan veegt de mechanica en gravitatietheorie weg en stelt daarvoor in de plaats
de relativiteitstheorie (Einstein, 1905). De tweede orkaan verandert de totale klassieke fysica in kwantum fysica (1926). De
eerste aanzet tot de kwantum fysica wordt gegeven door Planck
in 1900. Hij komt met een theoretische verklaring van de zwarte
stralingskromme (zie figuur 3.1). Hij leidt af:
Mλ =
2πhc2
1
hc
5
λ e λ kT − 1
(3.1)
met h = 6,6256 × 10−34 J · s de constante van Planck, een natuurconstante.
Figuur 3.1: De zwarte stralingskromme
In zijn afleiding vat Planck de atomen op als oscillerende ladingen (zie figuur 3.2). Een oscillerende lading
zendt een elektromagnetische golf uit (denk aan antenne).
Figuur 3.2: Een oscillerende lading zendt een EM-golf uit
Om tot de correcte stralingskromme te komen, was Planck genoodzaakt de energie van de oscillator te
kwantiseren. Slechts veelvouden van hν zijn toegestaan, waarbij ν de frequentie is van de oscillator. In de
31
klassieke fysica is de oscillatorenergie evenredig met de amplitude in het kwadraat. De kwantum hypothese
impliceert dan dat niet alle amplitudes zijn toegestaan (zie figuur 3.3).
Figuur 3.3: Slechts bepaalde amplitudes zijn toegestaan
Er ontstaat een zeer merkwaardig beeld, waarvan Planck zich nadrukkelijk gedistantieerd heeft. Hij zag
zijn kwantum hypothese als een wiskundige truc. Voor de volledigheid zij hier reeds vermeld dat het beeld,
zoals geschetst in figuur 3.3, niet goed is. Bij een volledige kwantummechanische beschrijving van een
harmonische oscillator is het beeld van de trillende massa vervaagd, maar die berekening kon pas opgezet
worden in 1926.
h
P.S. In plaats van h werkt men vaak met h̄ (spreek uit, h streep). Er geldt h̄ = 2π
. Men noemt h̄ wel de
constante van Dirac . De energie van de oscillator is dan volgens Planck te schrijven als:
En = nhν = nh̄ω
3.2
n = 1, 2, 3, . . .
(3.2)
Het foto-elektrisch effect
Voor Einstein was de kwantum hypothese van Planck meer dan een wiskundige truc. Als de oscillator van
Planck energie verliest of energie opneemt, dan gebeurt dit altijd in de vorm van een energiepakket ter
grootte hν. Dit bracht Einstein op het idee dat licht bestaat uit een stroom van deeltjes (fotonen, kwanta,
energiepakketten) met ieder deeltje een energie hν. Met deze hypothese kon Einstein een merkwaardig
verschijnsel verklaren. Wanneer men licht (röntgenstralen) instraalt op een metaal oppervlak, dan zal het
licht elektronen uit het oppervlak vrijmaken. Men noemt dit het foto-elektrisch effect (zie figuur 3.4).
Figuur 3.4: Het foto-elektrisch effect
Het merkwaardige is nu dat dit niet lukt, indien het licht een frequentie heeft beneden een voor het metaal
karakteristieke drempelfrequentie, ook al is de intensiteit van dat licht zeer groot. Men had hier geen verklaring voor, totdat Einstein kwam in 1905. Zijn oplossing is zeer simpel. Hij stelt dat licht een stroom van
fotonen is. Ieder foton heeft de energie
E = hν = h̄ω
(3.3)
32
Hierbij is de ν de frequentie van het licht, opgevat als golf. Slechts één foton kan één elektron vrijmaken.
Om een elektron los te slaan moet de energie van het foton groter zijn dan de bindingsenergie Φ van het
elektron. Ofwel hν > Φ. Hieruit volgt dat er een drempelfrequentie is:
νdrempel =
Φ
h
Alle energie, die het foton meer bezit dan Φ, komt ten goede aan de kinetische energie van het elektron
1 2
mv = hν − Φ
2
Een grote intensiteit correspondeert in de visie van Einstein met een grote fotonenstroom, dus veel fotonen
die per seconde een dwarsdoorsnede passeren. Als dat licht een frequentie heeft beneden de drempelfrequentie is geen enkel foton in staat een elektron los te maken. Het opvoeren van de intensiteit helpt dan
niet.
Niet iedereen was gelukkig met het werk van Einstein. We citeren Planck (1910):
“dat de theorie van het licht eeuwen teruggeworpen zou worden, tot de tijd toen de volgelingen
van Newton en Huygens elkaar bestreden met de deeltjes- en golftheorie. Alle vruchten van
Maxwell’s gigantische arbeid zouden verloren gaan door een kwantisatie van energie toe te
staan, en dat alles ter wille van enkele nog dubieuze speculaties.”
Pas in 1921 krijgt Einstein de Nobelprijs voor bovengenoemd werk.
3.3
De Broglie
We maken een sprong in de geschiedenis, waarbij we de ontwikkeling van het atoommodel overslaan. In
1921 komt De Broglie met de stelling dat niet alleen fotonen, maar ook elektronen een energie hν bezitten.
Daarnaast bezitten elektronen en fotonen een impuls p, die te schrijven is als:
p=
h
= h̄k
λ
(3.4)
Een elektron is dus ook een soort golf met een ν en een λ . Bij het foton komen ν en λ overeen met de
frequentie en golflengte van het licht, opgevat als elektromagnetische golf.
We laten de geschiedenis nu even rusten en gaan in op de principes en daarbij behorende moeilijkheden van
de kwantummechanica. We doen dit aan de hand van gedachte-experimenten. Deze gedachte-experimenten
en bijbehorende discussies zijn pas ontwikkeld na voltooiing van de kwantummechanica in 1926 en duren
voort tot op de huidige dag.
3.4
één spleet en fotonen
We bekijken opnieuw buiging van licht aan één spleet. Ter hoogte van het opvangscherm zetten we een
detector neer, die in staat is de energiepakketjes of fotonen van Einstein te registreren (zie figuur 3.5).
Als detector nemen we een fotonelektron multiplier, aangesloten op een luidspreker. Iedere keer als een
foton de detector treft horen we een click. De detector zetten we neer op een vaste plaats en laten hem daar
een tijd staan. Het eerste wat opvalt, is dat we altijd dezelfde click horen. We horen nooit een 21 click of
3
1
3
4 click e.d., het is altijd dezelfde click. Dit impliceert dat er geen 2 of 4 e.d. fotonen bestaan. Een foton
is blijkbaar ondeelbaar. Ook treden er geen dubbele of drievoudige clicks op, afgezien van die momenten
waarop toevallig twee of drie fotonen de detector tegelijkertijd bereiken.
Indien we het vermogen van de lamp opvoeren, horen we meer clicks per tijdseenheid, maar ook hier altijd
dezelfde click, onder voorwaarde dat de frequentie ν van het uitgezonden licht constant blijft.
Het meest intrigerende is echter dat de clicks zich niet volgens een vast patroon in de tijd manifesteren. Het
geluid dat we horen is een zeer onregelmatige opvolging van clicks, vergelijkbaar met het geluid dat een
Geigerteller voortbrengt.
33
Figuur 3.5: Eén spleet en fotonen
We tellen een aantal keren het aantal clicks per tijdseenheid, bijvoorbeeld per minuut, en nemen daarvan
het gemiddelde. Dit gemiddelde zetten we uit in een grafiek als functie van de positie van de detector
op het opvangscherm. Daarna verplaatsen we de detector en bepalen op een andere plaats het gemiddeld
aantal clicks per tijdseenheid. Ook dat zetten we uit in de grafiek. Als we dat voor alle plaatsen gedaan
hebben, ontstaat de grafiek zoals weergegeven in figuur 3.5. Het blijkt dat deze grafiek identiek is aan het
buigingspatroon van de gemiddelde intensiteit, berekend op basis van de golftheorie. Zie figuur 2.5.
Gelet op dit experiment is het onmogelijk om met zekerheid te zeggen waar en wanneer een foton het
opvangscherm zal treffen. Wel is het mogelijk een uitspraak te doen over de waarschijnlijkheid, waarmee
een zekere plaats van het scherm, door een foton getroffen zal worden. De waarschijnlijkheidscurve wordt
bij dit experiment gegeven door het buigingspatroon. Deze zogenaamde waarschijnlijkheidsinterpretatie is
afkomstig van Max Born.
Om te illustreren hoe diep deze waarschijnlijkheidsinterpretatie afwijkt van ons dagelijks denken, nemen
we een opstelling waarbij de lamp zeer zwak is en pas een nieuw foton afschiet, indien het voorgaande foton
door de detector geregistreerd is. We mogen dit opvatten als een herhaling van telkens hetzelfde experiment,
namelijk de uitzending en registratie van één foton. Hetzelfde resultaat verkrijgen we nu, wanneer we niet
werken met één opstelling, maar met een groot aantal identiek geprepareerde opstellingen die allen per
opstelling slechts één foton afvuren op hetzelfde moment. Hoewel de uitgangspositie bij iedere opstelling
dezelfde is, zal het gedrag van ieder foton weer anders zijn. Bij de ene opstelling zal het opvangscherm
“vroeg” getroffen worden op de plaats “hier”, bij de andere opstelling zal het opvangscherm “laat” getroffen
worden op de plaats “daar”, enzovoort. Er is een grote mate van willekeur en onregelmatigheid, hoewel
de uitgangspositie dezelfde was! We kunnen slechts in termen van waarschijnlijkheid iets zeggen over het
gedrag van één foton. Deze waarschijnlijkheidsinterpretatie wordt ons opgelegd door de natuur, daar kunnen
we niet onderuit. De onzekerheid aangaande het tijdstip en de plaats, waar het foton het opvangscherm zal
treffen, komt niet voort uit onwetendheid, zoals besproken in § 1.1. Deze onzekerheid is niet door verbetering
van meetapparatuur op te heffen. We noemen dit wel onzekerheid voortkomend uit onbepaaldheid. Dit
betekent dat het deterministisch wereldbeeld verlaten wordt.
3.5
De onzekerheidsrelatie van Heisenberg
We bekijken opnieuw buiging van fotonen aan één spleet en proberen het gedrag van een foton in deeltjestermen te formuleren. Daartoe nemen we aan dat het foton een traject aflegt van bron naar detector, zoals
getekend in figuur 3.6. Zo’n traject is niet waarneembaar. Het is een denkbeeldig traject.
In dit plaatje verandert de richting van de impuls van het foton. De grootte van de impuls verandert niet,
omdat de golflengte van licht niet verandert bij buiging en de grootte van de impuls gecorreleerd is aan de
golflengte volgens De Broglie’s formule.
Na de spleet heeft het foton een impuls px = p sin ϕ, met ϕ de afbuighoek.
Uit het buigingspatroon (zie figuur 3.7) volgt dat de meeste fotonen een afbuiging ϕ krijgen liggend tussen
−ϕ0 en +ϕ0 .
34
Figuur 3.6: Een denkbeeldig traject van een foton tussen bron en detector
Figuur 3.7: De meeste fotonen krijgen een afwijking −ϕ0 < ϕ < +ϕ0
Voor deze fotonen geldt:
px max = p sin ϕ0
Uit (2.27) volgt dat het eerste minimum optreedt bij sin ϕ0 = λb , dus
px max =
pλ
b
Substitutie van De Broglie’s formule p =
px max =
h
λ
geeft
h
b
Schrijf voor px max =
∆px
2
en voor b = ∆x, dan ontstaat
∆x ∆px = 2h
(3.5)
∆px is een maat voor de spreiding in de impuls, corresponderend met de fotonen die een afbuiging krijgen
tussen −ϕ0 en +ϕ0 . We kunnen een andere spreiding kiezen, bijvoorbeeld alle fotonen met een afbuiging
+ϕ0
0
tussen −ϕ
2 en 2 . In dat geval gaat (3.5) over in:
∆x ∆px = h
(3.6)
35
Zo zijn er meerdere mogelijkheden. Afhankelijk van de definitie van ∆x en ∆px is in het algemeen (dus niet
alleen voor het één-spleet experiment) af te leiden:
∆x ∆px ≥ h of
∆x ∆px ≥ h̄ of
∆x ∆px ≥
h̄
2
(3.7)
Ze staan bekend als de onzekerheidsrelaties van Heisenberg.
∆x
De fysische betekenis is de volgende. Als een deeltje een positie heeft tussen x − ∆x
2 en x + 2 (dat wil zeggen
∆x is de onbepaaldheid in de positie van het deeltje), bezit het een impuls liggend tussen px − ∆p2 x en px + ∆p2 x ,
waarin het verband tussen ∆px en ∆x gegeven wordt door één van de relaties (3.7), afhankelijk van de
definitie van de onbepaaldheid ∆x en de onbepaaldheid in de impuls. De relatie impliceert dat hoe groter ∆x,
des te kleiner ∆px en omgekeerd. Met andere woorden, informatie omtrent de plaats van het deeltje wordt
verkregen ten koste van de kennis van zijn impuls. Hoe nauwkeuriger onze kennis van de plaats van het
deeltje, des te onnauwkeuriger is onze informatie omtrent zijn impuls en omgekeerd. Dit wordt geı̈llustreerd
door het één-spleet experiment. Hoe kleiner de spleetbreedte (= ∆x), des te breder is het buigingspatroon
(corresponderend met ∆px ).
Het is mogelijk om in zijn algemeenheid af te leiden dat geldt, waarbij ∆px en ∆x standaarddeviaties zijn.
We zullen dit later behandelen. Ook voor de y en z richting bestaan soortgelijke relaties. In de kwantummechanica werken we meestal met de volgende onzekerheid relaties:
h̄
∆x ∆px ≥ ;
2
h̄
∆y ∆py ≥ ;
2
∆z ∆pz ≥
h̄
2
(3.8)
Voor de beschrijving van het één spleet experiment is het echter handiger om gebruik te maken van
∆ x∆px ≥ h, omdat dan ∆x gelijk is aan de spleetbreedte.
3.6
Scheidend vermogen (deeltjes)
In § 2.6 is het begrip scheidend vermogen besproken, gebaseerd op de golftheorie. Als we uitgaan van een
deeltjesbeeld, waarbij de bronnen B1 en B2 fotonen uitzenden, verandert er niet veel. Het interferentiepatroon
wordt nu opgebouwd met fotoninslagen. Het criterium van Rayleigh voor het gescheiden waarnemen van
B1 en B2 blijft gehandhaafd.
Figuur 3.8: Van welke bron is een foton afkomstig?
Indien we weten dat er twee bronnen zijn, is de onzekerheid in het onderscheid afgeleid van het interferentiepatroon, een technische kwestie. Hoe gevoeliger onze intensiteitmeters, des te nauwkeuriger kunnen we
aangeven hoe groot de hoek ϕ is. Deze onzekerheid is dus gebaseerd op onwetendheid. Anders ligt het echter met de registratie van één foton, stel op de plaats A (zie figuur 3.8). Dit foton kan afkomstig zijn van B1
of B2 . Gelet op de plaats A is het waarschijnlijker dat het foton afkomstig is van B2 , maar absolute zekerheid
is onmogelijk. We hebben hier een onzekerheid gebaseerd op onbepaaldheid. Indien de bronnen B1 en B2
zeer dicht bij elkaar liggen, is de waarschijnlijkheid ongeveer 50%, zodat het onderscheid ten aanzien van
de herkomst van het foton verloren gaat.
36
Vraagstukken hoofdstuk 3
3.1 De energie van een harmonische oscillator (massa-veer systeem) is gelijk aan 12 mω 2 x02 met massa m,
hoekfrequentie ω en amplitude xo = 10 cm. Voor de demonstratie-oscillator, gebruikt tijdens het college, is gemeten dat m = 1355 g en dat 10 perioden 12,5 s. duren. Volgens Planck is de energie van
een harmonische oscillator gekwantiseerd. Stel dat de amplitude van 10 cm behoort bij het kwantumgetal n. Bereken de amplitude bij n + 1. Hoe groot is het verschil tussen de amplitude bij n + 1 en bij
n. Is dat meetbaar? Zie ook appendix F.
3.2 Bereken volgens 12 mω 2 x02 = nhν de amplitude van een oscillerend elektron in de grondtoestand n = 1
en in de eerste aangeslagen toestand n = 2. Hoe groot is nu het verschil in amplitude? Is dat meetbaar?
Neem als periode T = 1,25 s.
3.3 Beschouw een elektron als een deeltje met snelheid v. Bereken het verband tussen de fasesnelheid en
ν met behulp van E = hν en p = λh .
3.4 Elektronen die door een elektrische spanning V versneld zijn, krijgen een energievermeerdering eV .
Voor een normaal elektronenkanon (bv. een TV) geldt V ≈ 1 × 104 V. Bereken de De Broglie-golflengte van zulke elektronen. Hoe groot moet dan een spleet zijn, opdat merkbare diffractie optreedt?
Kent u zulke spleten?
3.5 Pas de onzekerheidsrelatie van Heisenberg toe op een man van 80 kg, die met een snelheid van
5 km · h−1 door een deuropening met een breedte van 80 cm, loopt. Bereken de onzekerheid in de
snelheid van de man na passage van de deuropening.
3.6 Gegeven één spleet, breedte b. Bereken I voor ϕ = ϕ20 , voor kleine hoeken; ϕ0 = hoek van 1e minimum. Hoe moeten we I interpreteren in termen van kansberekening? Schrijf in formulevorm op wat
de genormeerde kans is om een deeltje aan te treffen op het opvangscherm tussen de waarde z1 en z2 .
U hoeft de formule niet uit te werken.
3.7 Bepaal de natuurlijke lijnbreedte ∆λ van een spectraallijn voor ∆t = 1 × 10−8 s, voor λ = 600 nm.
Hoe lang is het bijbehorende golftreintje en wat is de fysische betekenis hiervan in relatie tot het
fotonmodel?
37
Antwoorden hoofdstuk 3
3.1 ∆x0 ≈ 1,5 × 10−34 m.
3.2 Agrondtoestand = 6,79 mm, Aeerste aangeslagen toestand = 9,60 mm en ∆A = 2,81 mm.
3.3 vf = 21 v.
3.4 Spleetbreedte in de orde van tienden van Å’s. Dergelijke breedtes vind je in kristalroosters (röntgendiffractie).
3.5 ∆v ≈ 1 × 10−35 m · s−1 .
3.6 I = 0, 4I0 ,
I geeft de kansdichtheid,
De genormeerde kans wordt gegeven door:
Z z2
I dz
P(z1 , z2 ) = Z
z1
+∞
.
I dz
−∞
3.7 ∆λ = 12 × 10−14 m en lgolftrein = 3 m.
38
Hoofdstuk 4
Het golf-deeltjes gedrag bij elektronen
4.1
Twee spleten en elektronen
Een elektronenkanon schiet elektronen af op twee spleten. De spleten hebben een zekere breedte. Als detector bij het opvangscherm nemen we een elektronmultiplier.
Figuur 4.1: Twee spleten en elektronen
De elektronen blijken zich net zo te gedragen als de fotonen uit § 3.4. Dus de elektronen worden altijd geregistreerd als hele eenheden, nooit registreren we bijvoorbeeld een half elektron. Indien we het vermogen
van het elektronenkanon opvoeren, arriveren er meer elektronen per tijdseenheid. De elektroninslagen geschieden onregelmatig in ruimte en tijd. Het gemiddeld aantal inslagen per tijdseenheid uitgezet als functie
van de positie van de detector bij het opvangscherm vormt een fraaie interferentiekromme, analoog aan het
diffractiepatroon van figuur 2.6.
Voor de beschrijving van dit gedrag ligt het voor de hand om ook aan elektronen een golf toe te kennen. We
kunnen voor de bepaling van de frequentie en golflengte dankbaar gebruik maken van E = hν en p = λh ,
waarbij E en p de energie en impuls zijn van het elektron bij het verlaten van het elektronenkanon.
We noemen de som van alle golven die bij spleet 1 uittreden en in de detector bij elkaar komen ψ1 en alle
golven die bij spleet 2 uittreden en bij dezelfde detector bij elkaar komen ψ2 . Dan geldt voor de inslagcurve P12 :
P12 = |ψ1 + ψ2 |2
(4.1)
Het is hierbij essentieel dat ψ1 en ψ2 complex geformuleerd zijn. In het verleden hebben we de complexe
schrijfwijze gebruikt als een wiskundige truc om reële golven te beschrijven. Het blijkt dat we in de kwantummechanica een golffunctie ψ altijd op complexe wijze moeten weergeven. Het reële deel alleen is onvoldoende. Dit geldt bijvoorbeeld ook voor de diffractie-experimenten met fotonen. Het is in de kwantummechanica niet toegestaan van de complexe ψ het reële deel te nemen teneinde een koppeling tot stand te
brengen met de reële meetbare wereld. Dat gaat op een andere manier. Dit betekent dat een foton dus niet
gerepresenteerd kan worden door een reële elektromagnetische golf. In de kwantummechanica bestaan in
39
het algemeen geen reële golven. De kwantummechanica is een theorie over deeltjes. De kwantummechanica
zegt bijvoorbeeld iets over de kans om een elektron of foton op een bepaalde plaats te vinden. De veel gehoorde term golfdeeltjes-dualisme betekent niet dat in het ene geval het systeem zich gedraagt als een golf
en in een andere situatie zich manifesteert als deeltje. Het systeem manifesteert zich altijd als een deeltje,
alleen voor de beschrijving van het gedrag van een deeltje heb je elementen uit de klassieke golftheorie
nodig.
Zoals uit de diffractie-experimenten blijkt, is de kwantummechanica geen normale deeltjes theorie á la
Newton. Indien we bij het twee spleten experiment spleet 2 afsluiten, ontstaat een buigingskromme P1 =
|ψ1 |2 , zijnde het normale buigingspatroon van één spleet. Zo kunnen we ook spleet 1 dicht maken en dan
ontstaat P2 = |ψ2 |2 . Een en ander is weergegeven in figuur 4.2, waarbij het opvangscherm niet al te ver van
de spleten verwijderd is, dus geen Fraunhoferbuiging. Er geldt uiteraard:
P12 6= P1 + P2
(4.2)
De ongelijkheid wordt veroorzaakt door de interferentie bij beide spleten open. In een normale deeltjestheorie hebben we die interferentie niet. Indien we de twee spleten beschieten met macroscopische deeltjes
(bijvoorbeeld knikkers) geldt wel
P12 = P1 + P2
(4.3)
We zien hier opnieuw, zoals ook al geconstateerd in § 1.5, dat de interferentie de grote boosdoener is om een
golfgedrag te vertalen in een macroscopisch deeltjesgedrag. Aan de andere kant zien we dat bij opheffing
van een bepaalde interferentie de elektronen zich min of meer gedragen als knikkers.
Figuur 4.2: De interferentiekromme bij spleet 1 open/2 dicht en andersom.
4.2
Meten is weten?
In een normale deeltjestheorie gaat het elektron in figuur 4.1 of door spleet 1 of door spleet 2. Mogen we
dat nu ook zeggen? Stel dat we een elektron detecteren bij de bron en even later horen inslaan in de detector
bij het opvangscherm, mag je dan zeggen dat het elektron door spleet 1 of spleet 2 gegaan is? Dit lijkt een
uitermate logische uitspraak.
Deze uitspraak mag dan wel uitermate logisch zijn, toch blijft het een vreemde zaak, want stel dat het
elektron door spleet 1 gaat, dan moet het op de één of andere manier voelen, ruiken enz. dat spleet 2 ook
open staat, want als spleet 2 dicht is dan moet het elektron een bijdrage leveren aan de curve |ψ1 |2 in plaats
van de curve |ψ1 + ψ2 |2 .
We zouden graag zien dat het elektron in tweeën splitst, waarbij de ene helft door spleet 1 en de andere helft
door spleet 2 gaat, maar helaas, zie vorige paragraaf, halve elektronen zijn nog nooit gevonden.
Dus als de uitspraak al waar is, dan zit je nog steeds met een groot mysterie.
We gaan eerst controleren of de uitspraak waar is. Zolang je niet kijkt, valt er eigenlijk geen zinnig woord
over te zeggen. Daarom plaatsen we achter het scherm met de twee spleten een krachtige lamp. Zie figuur 4.3.
40
Figuur 4.3: De elektronen worden met de lamp gedetecteerd
De gedachte is nu als volgt. Indien een elektron door spleet 1 gaat zal het door de lamp uitgezonden licht
verstrooid worden door het geladen elektron, resulterend in een flits ter hoogte van spleet 1. Je kunt voor de
eenvoud ook zeggen dat een foton uitgezonden door de lamp in botsing komt met het elektron en afbuigt
naar de waarnemer. Zien we dus een flits bij spleet 1 dan weten we dat het elektron door spleet 1 gegaan is.
Zien we daarentegen een flits bij spleet 2 dan is het elektron door spleet 2 gegaan.
Dit systeem blijkt in de praktijk uitstekend te werken (het is natuurlijk de praktijk van een gedachteexperiment), maar helaas ontstaat nu niet de interferentiekromme P12 , maar de curve P1 + P2 van figuur 4.2.
Indien we de curve tekenen van alle inslagen waar een flits bij 1 aan vooraf ging, ontstaat P1 . Analoog kunnen we P2 tekenen. De nu ontstane situatie komt overeen met de situatie van spleet 1 open/spleet 2 dicht
en andersom. De elektronen gedragen zich min of meer als knikkers. Dit is niet interessant. We willen de
curve P12 hebben en een uitspraak of een elektron door 1 of door 2 gegaan is.
Om dit te bereiken vervangen we de sterke lamp door een veel zwakkere. Mogelijk helpt dit.
Er ontstaat nu de curve van figuur 4.4c. Een nadere analyse toont aan dat die curve is opgebouwd uit het
patroon P11 , zijnde alle elektronen gezien bij 1, het patroon P21 , zijnde alle elektronen gezien bij 2 en de
1.
curve P12
1 wordt gevormd door alle elektronen die niet gezien zijn, die geen flits gegeven hebben. Een
De curve P12
zwakke lamp betekent dat er weinig fotonen per tijdseenheid worden uitgezonden. Sommige elektronen
kunnen nu de lamp passeren zonder in botsing te komen met een foton. De niet geziene elektronen vormen
de interferentiekromme, zodat we nog niks weten.
Figuur 4.4: Elektronen detectie met een zwakke lamp
Gelukkig bestaat er nog een derde mogelijkheid. Misschien wordt een elektron in zijn beweging verstoord
door de botsing met een foton, waardoor het elektron in plaats van P12 de kromme P1 of P2 gaat opbouwen.
Indien we zorgen voor minder harde botsingen zou het interferentiegedrag wel eens gehandhaafd kunnen
blijven. Een minder harde botsing verkrijgen we, indien we de energie van hν het foton verminderen, ofwel
41
indien we de frequentie ν van het lamplicht verkleinen. Dit werkt! In figuur 4.5 is het interferentiepatroon
getekend bij verschillende frequenties.
Figuur 4.5: Het interferentiepatroon bij verschillende lichtfrequenties
Bij zeer kleine ν hebben we flitsen en een bijna perfect interferentiepatroon P12 . Nu weten we hoe het zit!
Helaas, bij kleine ν of grote λ , is het scheidend vermogen van het optische meetapparaat (oog, kijker,
microscoop), waarmee naar de flitsen 1 en 2 gekeken wordt zeer slecht (zie § 2.6 en § 3.6).
Bij zeer kleine ν is het onmogelijk om uit te maken of een flits afkomstig is van spleet 1 of spleet 2.
Het is weer mislukt en zo gaat het altijd. Wat je ook verzint, nimmer zul je weten door welke spleet een
elektron gaat, gekoppeld aan een fraai interferentiepatroon P12 . Als je het een beetje weet, dus een waarschijnlijkheidsuitspraak daarover kunt doen, zal het bijbehorende interferentiepatroon daaraan aangepast
zijn.
We worden hier geconfronteerd met het onzekerheidsprincipe van Heisenberg. Het hele verhaal verloopt in
feite analoog aan het besprokene in § 3.5.
Noem de onzekerheid in de positie van het elektron, dat wil zeggen onzekerheid ten aanzien van spleet 1 of
spleet 2, noem dat ∆x. Kies binnen het interferentiepatroon een bandbreedte waarbinnen de meeste elektronen inslaan en druk dat uit in een spreiding van de impuls, dus ∆px dan zal bij de juiste definitie van ∆x en
∆px het vast wel mogelijk zijn om af te leiden:
∆x ∆px ≥ h
Terug naar ons oorspronkelijke probleem. Mag je nu wel of niet zeggen dat een elektron of door spleet 1
of door spleet 2 gegaan is? Welnu, het experiment heeft aangetoond: Als je meet, dan mag het. Als je niet
meet, dan . . . ? Dan mag het dus niet, zei Bohr. Dan mag het dus wel, zei Einstein.
4.3
Uit onzekerheid volgt onzekerheid
Is het nu echt onmogelijk om de elektronen te zien zonder het interferentiepatroon P12 te verstoren? Het
scheidend vermogen van een optisch apparaat, waarmee naar de flitsen gekeken wordt, is in formule gelijk
aan θ = λb met b de spleetopening (diameter) van het optische apparaat. Wanneer ik bij grote λ , dus kleine
ν, dat wil zeggen bij zachte tikjes, zodat het interferentiepatroon P12 gehandhaafd blijft, de b ga vergroten,
neemt de resolutie toe (θ wordt kleiner) en zal een situatie ontstaan, waarbij ik weet door welke spleet het
elektron gaat, zonder dat P12 verstoord is.
Dit lijkt een keihard argument en is zonder kennis van andere onzekerheidsrelaties zeer steekhoudend. Het
punt is namelijk dat een onzekerheidsrelatie slechts bewezen kan worden door gebruik te maken van een
andere onzekerheidsrelatie. In de voorgaande paragraaf werd dit al geı̈llustreerd. De onzekerheidsrelatie
“(Kennis van doorgang door 1 of 2)/(interferentiepatroon)” wordt in stand gehouden door de onzekerheidsrelatie ∆x ∆px ≥ h voor fotonen, die door een opening ∆x van het optisch apparaat gaan. Daarom is om
bovengenoemd argument te weerleggen, kennis nodig van onzekerheidsrelaties. Het gaat hier om een relatie, die we nog niet kennen. Deze luidt:
∆E∆t ≥ h
(4.4)
42
De fysische betekenis is afhankelijk van het verschijnsel, waar je de relatie op wil toepassen. Praat je over
emissie van een foton door een atoom, dan is ∆E de onzekerheid in de energie van het foton en ∆t de
onzekerheid in het moment, waarop het foton uitgezonden wordt. Met E = hν is (4.4) om te zetten in een
relatie voor golven. We krijgen dan:
∆ν∆t ≥ 1
(4.5)
De interpretatie is de volgende. In het golfbeeld zendt een atoom gedurende ∆t seconden een golf uit, die
zich verplaatst met de lichtsnelheid c. De lengte van zo’n golftrein (of golfpakket of golfgroep) is dan
c∆t meter. In de praktijk is ∆t ongeveer
1 × 10−8 s, zodat een atoom golftreinen uitzendt met een lengte
8
−1
van ongeveer c∆t = 3 × 10 m · s
× 1 × 10−8 s = 3 m. Bij natuurlijk licht worden de golftreinen niet
volgens een vast patroon in de tijd uitgezonden, maar op onregelmatige wijze.
Een golf-trein of -pakket bezit niet één frequentie. Alleen een mooie golf van de vorm ψ = A cos(−ωt + kx),
zich uitstrekkend van −∞ tot +∞, bezit één frequentie. Volgens de Fourieranalyse is een golfpakket te
schrijven als een superpositie van mooie golven, die zich allen uitstrekken van −∞ tot +∞, die dus per stuk
wel één frequentie hebben (zie appendix C).
Een golfpakket bezit dus meerdere frequenties. Niet alle mooie golven leveren een even belangrijke bijdrage
in de opbouw van het golfpakket. Er is een dominerende golf, dus een dominerende frequentie ν, en een
groep golven met een frequentie liggende tussen ν ± 12 ∆ν die voor het grootste deel het golfpakket opbouwen. ∆ν noemen we de bandbreedte van het golfpakket. Dit is de ∆ν die in (4.5) genoemd wordt. Dit is
de reden waarom bij spectroscopische metingen nimmer een oneindig smalle spectraallijn wordt waargenomen, maar altijd een spectraallijn met een zekere breedte, die minimaal gelijk is aan ∆ν. We spreken van de
natuurlijke lijnbreedte.
In fotontaal betekent dit dat er een kans bestaat om ergens in het golfpakket een foton aan te treffen. Een
foton heeft een vaste energie E, maar we weten niet precies hoe groot die is. Het meest waarschijnlijk is
de energie hν, met ν de frequentie van de dominerende golf, maar ook hν1 is mogelijk, waarbij ν1 globaal
ergens in het interval ν ± 21 ∆ν ligt, meestal zodanig dat de waarschijnlijkheid afneemt naarmate ν1 dichter
bij de rand van het interval ligt. De exacte waarschijnlijkheidsdistributie is afhankelijk van de vorm van het
golfpakket (gaussverdeling, cosinustrein, blokpuls, enz.).
Wat heeft dit alles voor consequenties voor de registratie van de flitsen van figuur 4.5? Welnu, zo’n flits of
foton kunnen we dus opvatten als een golfpakket. Zo’n golfpakket komt aan bij de opening of spleet van
het optische instrument, waarmee we de flitsen registreren, en wat gebeurt er dan? Simpel, een golfpakket
is opgebouwd uit een hele reeks mooie golven en we weten wat een mooie golf doet bij een spleet. Het
buigingspatroon van het golfpakket wordt de superpositie van het buigingspatroon van de mooie golven,
waaruit het pakket is opgebouwd. Vanwege het beperkt scheidend vermogen (zie eind § 2.7) is het niet
mogelijk om aan een foton dat ergens inslaat op het opvangscherm van het optische instrument één golflengte
of frequentie toe te kennen. Het kan zijn dat dit specifieke foton meehelpt de curve ν1 op te bouwen, maar
het is ook niet uitgesloten dat het een foton is behorende bij de curve van ν2 . Dit soort overwegingen krijgen
we. We weten het niet precies. Je kunt hooguit zeggen dat de frequentie ergens ligt in het interval ν ± 21 ∆ν
waarbij die ∆ν overeenkomt met ∆λ uit (2.36) volgens
∆ν = ν 2
∆λ
,
c
gebaseerd op λ =
c
ν
(4.6)
Vergelijking (4.6) volgt uit een foutenberekening. Die ∆ν kunnen we kleiner maken. Dit gebeurt namelijk
als we de spleetbreedte b groter maken (zie eind § 2.7). Het groter maken van b is dus niet zonder gevolgen.
Bij grote b wordt de onzekerheid in de energie ∆E = h∆ν per foton of flits kleiner. Dit betekent volgens
∆E∆t ≥ h dat ∆t gaat toenemen. ∆t is de spreiding in de tijd in het moment, waarop het foton geregistreerd
wordt in de detector. Dit gebeurt voor ieder foton, of dat nu afkomstig is van spleet 1 of spleet 2, dat maakt
niet uit.
Stel dat er kort na elkaar twee flitsen worden uitgezonden, flits a en flits b. Door de grote ∆t, die optreedt bij
de registratie van de flitsen in het optisch instrument, kan het gebeuren dat de mogelijke aankomsttijden van
flits a en flits b elkaar overlappen, met andere woorden de kans bestaat dat flits b eerder aankomt dan flits a.
Dit leidt ertoe dat het niet meer mogelijk is om de inslag van een elektron te correleren met de inslag van
een foton. Oh zeker, we weten exact van welke spleet een foton afkomstig is (b groot!), maar we weten
43
niet meer of dat foton nu ontstaan is door een botsing met het eerste of met het tweede elektron. Er ontstaat
precies dezelfde situatie, zoals beschreven in § 4.2, waarbij we b constant hielden, maar λ vergrootten.
Zo gaat het altijd. Wat men ook verzint, met voldoende kennis van onzekerheidsrelaties is ieder argument
tegen het bestaan van die relaties te weerleggen. Uit onzekerheid volgt onzekerheid.
4.4
Het Compton effect
In de voorgaande paragrafen hebben we de interactie tussen een elektron en een foton beschreven als een
soort botsingsproces. In het begin van deze eeuw was die opvatting ondenkbaar. Einstein stond met zijn idee
over lichtquanta of fotonen bijna geheel alleen! In die situatie komt verandering, wanneer in 1923 Compton
aantoont dat de wisselwerking tussen licht en vrije elektronen te beschrijven is als een botsingsproces tussen
twee deeltjes.
Hij stelde daarbij het invallende licht voor als een foton, bewegend met de lichtsnelheid c langs de z-as. Dit
foton botst met een stilstaand elektron. Na de botsing schieten elektron en foton elk een bepaalde kant uit.
Het wegschietende foton correspondeert dan met het verstrooide licht (zie figuur 4.6).
Figuur 4.6: Verstrooiing van licht aan vrije elektronen volgens Compton
De ingewikkelde interactie tussen een elektromagnetisch veld en een vrij elektron, wordt gereduceerd tot een
simpel botsingsprobleem. Zoals ieder botsingsproces is dit te analyseren met behulp van de behoudswetten
van impuls en energie. Vanwege het feit dat vóór de botsing er alleen maar impuls is in de richting van
de +z-as, moeten de banen van de wegschietende deeltjes en de z-as in één vlak liggen. Dat vlak is in
bovenstaand figuur getekend. Het is voldoende de getekende tweedimensionale situatie te analyseren. Nu
doet zich een klein probleem voor. De snelheid van het foton is zo groot, dat alleen een relativistische aanpak
verantwoord is. Daarom poneren we de formules voor energie en impuls zoals afgeleid door Einstein.
E = mc2
en
m0
p = mv met m = q
2
1 − vc2
(4.7)
Hierbij is m0 de zogenaamde rustmassa en v de snelheid van de deeltje. E en p zijn te combineren door
eliminatie van v. Dit geeft:
E 2 = p2 c2 + m20 c4
(4.8)
2
Een foton heeft altijd de snelheid c, dus v = c in (4.7). Dit geeft E = m00c . Wil E toch een eindige waarde
hebben, dan kan dat alleen maar als m0 = 0. Conclusie: de rustmassa van een foton is 0. Dan ontstaat de
uitdrukking E = 00 . Dit kan van alles zijn, maar de kwantummechanica leert dat de energie van het foton
gelijk is aan h̄ω. Uit (4.8) volgt dan voor de impuls van het foton: p = Ec = h̄ω
c . Met ω = ck gaat dit over in
p = h̄k, in overeenstemming met de bewering van De Broglie (zie § 3.3).
Dan nu de botsing (zie fig 4.7). We geven de impuls van het foton even aan met de letter q.
impulsbehoud x :
0 = q sin θ − p sin ϕ
→
q sin θ = p sin ϕ
44
(4.9)
Figuur 4.7: Botsing tussen foton en stilstaand elektron.
q = q cos θ + p cos ϕ
impulsbehoud z :
energiebehoud :
→
q − q cos θ = p cos ϕ
(4.10)
E + m0 c2 = E + Ee
(4.11)
De energie van het elektron voor de botsing is gelijk aan m0 c2 , omdat het stilstaat. m0 is de rustmassa van het
elektron. Ee is de energie van het elektron na de botsing. (4.9) en (4.10) gekwadrateerd en opgeteld geeft:
(q − q cos θ )2 + (q sin θ )2 = p2
Substitueer
q=
E
;
c
q=
E
;
c
2
c2 p2 = Ee − m20 c4
Dit geeft:
2
(E − E cos θ )2 + (E sin θ )2 = Ee − m20 c4
(4.12)
Elimineer uit (4.11) en (4.12) de energie Ee . Dit geeft uiteindelijk:
1 1
1
− =
(1 − cos θ )
m0 c2
E E
(4.13)
Dit is in het verband tussen de energie van het foton voor en na de botsing. Met E = h̄ω =
dit om te zetten in een verband tussen golflengten.
hc
λ
en E =
hc
λ
is
λ −λ =
h
(1 − cos θ )
m0 c
(4.14)
λ −λ =
2h
θ
sin2
m0 c
2
(4.15)
De golflengte van het verstrooide licht hangt af van de richting, waarin verstrooid wordt. Dit verschijnsel
wordt het Compton effect genoemd, naar de Amerikaanse fysicus A.H. Compton, die in het begin van de
jaren 20 dit het eerst waarnam en onderzocht.
De factor mh0 c kort men vaak af tot λc en noemt men de Compton golflengte.
Interessant is de vraag of we dit resultaat ook langs klassieke weg gevonden zouden hebben. De factor h in
formule (4.14) of (4.15) wijst er al op dat dit waarschijnlijk niet mogelijk is. Zelfs wanneer we het elektron
bombarderen met een groot aantal fotonen (wat bij de experimenten van Compton zeker het geval was),
verdwijnt de factor h niet uit de formule. Statistische manipulaties helpen niet. We hebben hier een typisch
kwantum mechanisch effect, dat met de klassieke fysica niet verklaarbaar is.
45
Figuur 4.8: Verstrooiing van licht aan vrije elektronen
4.5
De EPR-paradox
In het twee spleten experiment met de elektronen en de lamp (§ 4.2) hebben we gezien dat de botsing van
een foton met een elektron leidt tot een verstoring van het interferentiepatroon. Hoe harder de botsing,
des te groter de verstoring. Dit suggereert dat de botsing de oorzaak is van de verstoring, maar anderzijds
constateerden we een directe relatie tussen de gemeten informatie aangaande “spleet 1 of spleet 2” en het
interferentiepatroon. Is de mate van botsing direct gecorreleerd met de hoeveelheid informatie aangaande
“1 of 2” of zijn ze onafhankelijk van elkaar?
De beschikbare informatie wordt geformuleerd in de relatie van het scheidend vermogen θ = λb van het
optisch instrument. Stel we hebben bij die λ en b een zeker interferentiepatroon. Nu gaan we λ en b allebei
twee maal zo klein maken, zodat θ niet verandert. Onze informatie aangaande de positie van de spleten blijft
dan ongewijzigd, maar de botsingen zullen harder zijn. Op grond van de botsingen verwachten we dan een
deeltjesachtig patroon, maar op grond van θ alleen verwachten we geen wijziging van het oorspronkelijke
interferentiepatroon. We zijn echter iets vergeten. Een kleinere b betekent een kleinere ∆t, zodat er toch
meer informatie is dan op grond van θ alleen gesteld mag worden. Dus ook via de informatielijn krijgen we
een deeltjesachtig patroon. Het ziet ernaar uit dat er een gedegen koppeling bestaat.
Het is Einstein (Podolsky en Rosen) die middels de zogenaamde EPR-paradox vraagtekens zet bij die koppeling. Eigenlijk was het de Amerikaan Bohm die in 1951 de EPR-paradox gebruikt om op dat koppelingsprobleem te wijzen. Einstein was meer geı̈nteresseerd in de vraag naar de werkelijkheid. Met zijn paradox
toonde hij aan dat je toch kan praten over de dingen, al meet je ze niet.
Sinds de publicatie van de oorspronkelijke EPR-paradox in 1935, zijn er vele varianten op bedacht. We
spreken van verschillende versies. Ter wille van ons verhaal volgt nu de EPR-paradox, versie Vriezinga.
Daartoe plaatsen we over de lamp een kapje, zodat de fotonen uitsluitend botsen met de elektronen die door
gat 1 gaan.
We richten de opstelling zodanig in dat er bijna 100% informatie beschikbaar is. De spleten zijn goed van
elkaar te onderscheiden en ook bestaat er een goede correlatie tussen flits en elektroninslag.
De bovenste elektronen zullen een deeltjesachtig patroon P1 geven. Daar is niets vreemds aan. De vraag
is: wat doen de onderste elektronen? Wanneer we een elektroninslag constateren zonder voorafgaande flits,
dan weten we dat het elektron door gat 2 gegaan is. Omdat we dat weten moet hij een deeltjesgedrag gaan
vertonen, maar de onderste elektronen ondervinden geen botsingen met fotonen! Dus: wat doen die onderste
elektronen?
De kwantummechanica leert dat de onderste elektronen gedrag P2 vertonen. Dit is ook bevestigd in experimenten (uiteraard andere experimenten dan hier beschreven).
Op basis van deze EPR-paradox is er geen koppeling. Hiermee zitten we goed in de problemen. We weten
dat fotonen iets met elektronen doen. We weten zelfs hoe dat gebeurt (zie § 4.4). Het kan niet zo zijn dat
in figuur 4.9 P1 gelijk is aan P2 . In werkelijkheid is dat ook niet het geval. De curve P1 wijkt iets af van P2 ,
omdat de bovenste elektronen aangetikt zijn door de fotonen. Dat geldt eigenlijk ook voor de curven van
figuur 4.3, 4.4 en 4.5. De echte curven wijken iets af van de getekende, vanwege de botsing tussen foton en
elektron. Ons doel was niet om met de fotonen het gedrag van de elektronen te verstoren. Ons doel was om
te meten of een elektron door spleet 1 of door spleet 2 ging.
46
Om te meten moet het meetapparaat in wisselwerking treden met het object. Net als in de klassieke fysica
treedt er dan een verstoring op van de oorspronkelijke situatie. Stel dat we in een elektrisch circuit de
spanning
Figuur 4.9: De EPR-paradox, versie Vriezinga
willen meten over een weerstand. We moeten dan een voltmeter aanbrengen over de weerstand, wat tot
gevolg heeft dat de stroom- en spanningsverdeling in het circuit anders wordt. Deze verstoring kunnen we
in principe zo klein maken als we zelf willen door een voltmeter te nemen met een steeds grotere inwendige
weerstand. We kunnen ons voorstellen dat in het ideale geval we 100% informatie krijgen zonder dat het
systeem door de meetactie verstoord is. We noemen dat een ideale meting. Zo hebben we stilzwijgend bij de
interactie tussen foton en elektron aangenomen dat die interactie het gedrag van de elektronen in klassieke
zin nauwelijks beı̈nvloedt, maar dat we wel informatie verkrijgen. De meetactie is een ideale meting.
Ondanks het feit dat we in dit kwantum mechanisme systeem te maken hebben met een ideale meting treedt
er toch een grote verstoring op van het oorspronkelijke interferentiepatroon. Als we niet meten dan zal een
elektroninslag meehelpen de curve P12 (zie figuur 4.1) op te bouwen, maar als we wel meten dan maakt
de inslag deel uit van curve P1 of P2 (zie figuur 4.2, 4.3 of 4.9). Bij niet meten wordt de toestand van het
elektron bij het opvangscherm gerepresenteerd door de golffunctie:
ψ = ψ1 + ψ2
(4.16)
Hierbij is ψ1 de som van alle golven afkomstig van spleet 1. Analoog ψ2 .
Meten we dat het elektron door spleet 1 gaat dan verandert de oorspronkelijke ψ en hebben we:
ψ = ψ1
(4.17)
Meten we dat het elektron door spleet 2 gaat, dan krijgen we:
ψ = ψ2
(4.18)
Deze wijziging van de ψ als gevolg van een ideale meting staat bekend als de ”collapse of the wavefunction”. Ook spreekt men wel van de reductie of filtering van de golffunctie. Onduidelijk is hoe dat
gebeurt. Bij een ideale meting wordt het te meten object nauwelijks aangeraakt. Uit de EPR-paradox (figuur 4.9) blijkt duidelijk dat aanraking ook niet noodzakelijk is. Dus hoe kan dit? De discussie over deze
zaak duurt voort tot op de huidige dag.
Tot slot van deze paragraaf bespreken we een tweetal termen, die veelvuldig opduiken in de literatuur. We
illustreren deze termen aan de hand van figuur 4.9.
Ondanks het feit dat we de onderste elektronen uit figuur 4.9 niet aanraken, vindt er toch een wijziging plaats
van het gedrag. Er is geen directe oorzaak aanwijsbaar. Daarom zeggen we dat de kwantummechanica een
niet-causaal karakter heeft.
Als we dit mechanistische denken doortrekken, dus als we veronderstellen dat voor iedere wijziging van
gedrag een mechanisme aanwezig moet zijn, dan moet er dus iets zijn dat het gedrag van de onderste elektronen beı̈nvloedt. Met dit geheimzinnige mechanisme is iets heel bijzonders aan de hand. Het gedrag van
47
het elektron wordt niet bepaald door de letterlijke aanwezigheid van de lamp, maar door het criterium of de
lamp wel of niet brandt. Stel nu dat we op het allerlaatste moment, terwijl het elektron vlak bij het scherm
met de twee spleten is, besluiten om de lamp uit of aan de zetten, dan moet het signaal van dat geheimzinnige mechanisme (redelijkerwijs afkomstig van de schakelaar, waarmee we de lamp bedienen) een zeer
hoge snelheid hebben. Misschien kunnen we ons voorstellen, dat die signaalsnelheid zelfs groter is dan de
lichtsnelheid, al valt dit binnen onze versie van de EPR-paradox niet hard te maken. Andere versies, bijvoorbeeld die van Bohm, tonen echter overduidelijk aan dat die signaalsnelheid soms groter moet zijn dan
de lichtsnelheid. We noemen een theorie, waarbinnen snelheden optreden groter dan de lichtsnelheid, een
niet-lokale theorie. Daarom vinden we in de literatuur de uitspraak: de kwantum mechanica vertoont een
niet-lokaal gedrag.
4.6
Het projectiepostulaat
In 1931 wordt door Von Neumann voorgaande collapse geformaliseerd door aan de kwantummechanica een
extra postulaat toe te voegen, het zogenaamde projectiepostulaat. Dit postulaat is een wat algemenere en
meer wiskundige formulering van hetgeen in voorgaande paragraaf over de collapse gezegd is. De noodzakelijkheid van dit extra postulaat wordt door menigeen bestreden. Volgens hen bevat de kwantummechanica
voldoende elementen om het projectiepostulaat overbodig te maken, doch anderen staan op het standpunt
dat zonder projectiepostulaat de kwantummechanica incompleet is.
Alsof dit nog niet voldoende discussiestof heeft doen opwaaien, gaat Von Neumann in zijn interpretatie van
het collapse gebeuren nog verder, veel verder! We illustreren dit weer aan de hand van het twee spleten
experiment met de lamp. Stel dat we een verstrooid foton middels het optische instrument op een fotografische plaat laten vallen. Het foton gaat dan een interactie aan met een molecuul van de fotografische emulsie.
We zijn nu verplicht middels een tweede meting de juiste positie van de fotoninslag (het zwarte puntje op
de fotografische plaat) te meten, bijvoorbeeld met een optische taster. Stel dat de taster het meetresultaat
weergeeft middels de uitslag van een wijzer. Om de uitslag van de wijzer af te lezen, moeten we een derde
meetproces uitvoeren, enzovoort. Deze ketting van meetprocessen kan slechts eindigen in de hersens van
de waarnemer, waar het op de één of andere geheimzinnige wijze deel gaat uitmaken van het “Gedankliche
Innerleben des Individuums”. Dan pas en daar treedt de collapse op. Aldus Von Neumann.
Het behoeft geen betoog dat niet iedereen het met deze visie van Von Neumann eens is. Aan de andere kant
kent Von Neumann vandaag de dag een grote groep aanhangers, onder wie niet de eerste de beste fysici.
In de visie van Von Neumann geschiedt de collapse instantaan. Voor Von Neumann en zijn vrienden is dit
mogelijk geen probleem, maar andere fysici kijken of ze water zien branden, want instantane processen
komen in de fysica niet voor.
4.7
De Kat van Schrödinger
Misschien wel het meest bekende verhaal dat de moeilijkheden met betrekking tot de interpretatie van de
kwantummechanica illustreert, is het verhaal van de kat van Schrödinger, net als de EPR-paradox daterend
uit 1935.
Het verhaal gaat als volgt. Neem een volkomen afgesloten kamer. De waarnemer is buiten en kan op geen
enkele manier informatie verkrijgen over
hetgeen er in de kamer gebeurt. In de kamer is een atoom dat één foton uitzendt. Het foton valt op een
halfdoorlatende spiegel. Als het foton rechtdoor gaat, wordt het door een detector geregistreerd, dat middels
een elektronisch trigger systeem een geweer afvuurt, met als resultaat een dode kat. Wordt het foton bij de
halfdoorlatende spiegel gereflecteerd dan blijft de kat in leven. Volgens de kwantum- mechanica mogen we
het gedrag van het foton bij de spiegel niet beschrijven met een klassieke óf-óf redenering. Vergelijk dit
experiment met het twee spleten experiment. Bij de twee spleten moet je een foton of elektron beschrijven
als de superpositie van twee golven. Dat geldt hier ook. Dus de toestand van het foton na de spiegel is een
interferentietoestand. Omdat we niet weten wat er binnen gebeurt (we hebben geen informatie!), blijft die
interferentietoestand gehandhaafd, met als resultaat dat de kat in een interferentietoestand komt van dood en
levend. Wanneer de waarnemer nu de deur van de kamer opent is er volop informatie beschikbaar en wijzigt
48
Figuur 4.10: De Kat van Schrödinger
zich de toestand van de kat in helemaal dood of helemaal levend. Die wijziging zou dan veroorzaakt moeten
worden door de fotonen, die de kamer binnenvallen na opening van de deur.
Commentaar wordt aan de lezer overgelaten.
P.S. In veel beschrijvingen (dit is eigenlijk de oorspronkelijke beschrijving van Schrödinger) van de Kat-vanSchrödinger-paradox is het atoom, dat een foton uitzendt, inclusief de halfdoorlatende spiegel, vervangen
door een radioactief atoom, waarvan we weten dat de kans op verval in bijvoorbeeld een uurtijds gelijk is aan
50%. Het geweer is vaak voor alle zekerheid vervangen door een flesje cyaankali, dat kapot geslagen wordt,
indien het atoom daadwerkelijk in dat uur vervalt. Verder verloopt het verhaal analoog aan bovenstaand
verhaal.
4.8
Scholen
In de voorgaande paragrafen zijn een aantal mysterieuze zaken aan de orde gekomen. Daarin kwam ook
duidelijk naar voren dat niet iedereen het met elkaar eens is en dat deze situatie voortduurt tot op de dag van
vandaag. De discussie over de interpretatie van de kwantummechanica heeft langzamerhand het karakter
aangenomen van een strijd tussen scholen. In onderstaande volgen nu zeer kort, zeer onvolledig en zeker
geen recht doende aan welke school dan ook, een aantal meningen over de interpretatie van de kwantummechanica.
1. De bekendste en meest verbreide interpretatie is die van de Kopenhaagse school (Bohr, Heisenberg,
Born en anderen). Deze stelt onder andere: “Het is zinloos om aan een systeem een eigenschap toe
te voegen als je die niet meet”. Het is volstrekt nutteloos om je af te vragen of bij het twee spleten
experiment een elektron door spleet 1 of door spleet 2 gaat, zolang je dat niet meet. Als je niet meet
bestaat er geen eigenschap “het elektron gaat door 1 of 2”. Aanvankelijk stond Bohr op het standpunt
dat een grootheid van een systeem alleen wel gedefinieerd is, wanneer het systeem in directe interactie
is met het meetapparaat, waarmee de betreffende grootheid gemeten wordt. In ons voorbeeld komt
dat neer op de eis: alle elektronen moeten door de fotonen aangeraakt worden. Onder invloed van het
EPR-argument (figuur 4.9) moest Bohr zijn standpunt over directe interactie herzien en verving hij
dat door de term relationele interactie.
2. Een merkwaardige school is die van de kwantumlogica. Zij stelt dat ons logisch denken gebaseerd is
op waarneming. Een voorbeeld van een logische redenering is: Alle mensen zijn sterfelijk /Socrates is
een mens /conclusie: Socrates is sterfelijk. Aan deze logische redenering gaat de waarneming vooraf
dat alle mensen sterfelijk zijn en dat Socrates behoort tot het menselijk ras. Onze normale logica is
gebaseerd op waarnemingen op macroscopisch niveau. Op microscopisch niveau verlopen de zaken
echter totaal anders. Op basis van die verschijnselen is een nieuw soort logica ontworpen: de kwan49
tumlogica. Het is volstrekt onjuist om met macroscopische logica naar microscopische verschijnselen
te kijken, zo stelt deze school.
3. Een school die zich mag verheugen in een groeiende populariteit, is die van de veel-werelden-interpretatie , in 1957 ontwikkeld door Everett, doctoraalstudent van Wheeler. Everett’s interpretatie
luidt dat de golffuncties, waarvan de interactie op kwantumniveau meetbare interferentie oplevert,
niet inéénstorten. Zij zijn allemaal even werkelijk en bestaan naast elkaar. Wat er gebeurt als we
een meting verrichten op het kwantumniveau, is dat we door het proces van waarneming gedwongen
worden om één van de alternatieven uit te kiezen en deze maakt dan deel uit van wat wij als de
“werkelijke” wereld beschouwen. De andere golffuncties verdwijnen niet, maar blijven in een andere
parallelle wereld bestaand. In plaats van de collapse hebben we nu een splitsing.
4. Uiteraard is er ook een school van wat ik maar zal noemen, de pragmatici. Zij benadrukken datgene wat bij echte experimenten gemeten wordt en analyseren een echte meting. Voor gedachteexperimenten is bij hun weinig plaats, indien deze niet in realiteit uitvoerbaar zijn. Zij stellen dat bij
een echte meting een microscopisch object altijd in interactie treedt met een macroscopisch meetapparaat. Zo’n interactie leidt, vanwege het macroscopische karakter van het meetapparaat, altijd tot een
reductie van de golffunctie. Daar heb je je collapse, zo stellen zij. Dit komt erop neer dat in het twee
spleten experiment met de lamp, de collapse veroorzaakt wordt door de botsing tussen elektronen
en fotonen, met de aantekening dat die lamp vervangen moet worden door een echt macroscopisch
meetapparaat.
5. Een belangrijke stroming wordt gevormd door de aanhangers van de verborgen variabelen. Dit vormt
geen homogeen gezelschap. Zij hebben ook weer hun eigen scholen en subscholen. Hun werk is
enigszins te vergelijken met dat van Boltzmann en anderen, die door de introductie van atomen en
moleculen (verborgen variabelen!) de fenomenologische thermodynamica een corpusculaire grondslag gaven. Door de introductie van verborgen variabelen in de kwantummechanica hoopt men de
mysteriën te kunnen verklaren.
Tot zover een greep uit de vele ideeën, die er momenteel leven. Bovenstaande is een zeer grove weergave
van een paar basisideeën. Een nadere uitwerking van die ideeën met al hun subtiele details (bijvoorbeeld in
woordkeus!) en hun wiskundige fundering zou een apart college vergen en laten we daarom achterwege.
Niet onvermeld mag blijven dat het gros van de natuurkundigen niet of nauwelijks geı̈nteresseerd is in
de “mysteriën”, zo ze al erkennen dat die er zijn. In de praktijk werkt de kwantummechanica uitstekend.
Zo men al in staat is het probleem van de interpretatie op te lossen, dan zal dat niets veranderen aan de
meetresultaten. Sterker nog: al die fraaie interpretatie-ideeën zijn niet testbaar!
4.9
De golffunctie
In § 4.1 kunt u lezen dat ψ1 en ψ2 complex geformuleerde golffuncties zijn. Om u enig idee te geven
volgt hier de kwantummechanische golffunctie van een vrij deeltje met welbepaalde energie E en impuls p,
bewegende langs de x-as:
ψ = ψ0 e
−iEt
h̄
e
ipx
h̄
(4.19)
Met de substituties E = h̄ω en p = h̄k staat hier:
ψ = ψ0 e−iωt eikx
(4.20)
Dit zou de functie ψ1 kunnen zijn met als x-as de verbindingslijn tussen spleet 1 en de detector. De kwantummechanische berekening van de kansdichtheid P voor N oneindig smalle spleten, verloopt exact hetzelfde
als in § 2.3 is weergegeven, met uitzondering van de stap van reëel naar complex en van complex naar reëel.
De kwantummechanische golffuncties zijn intrinsiek complex. Dat imaginaire deel hebben we nodig en mag
niet weggelaten worden. Het gaat hier niet om een rekentruc. De overgang van complexe toestandsfunctie
50
naar reële meetwaarden verloopt via een aantal “recepten”. Zo is bijvoorbeeld de kansdichtheid om een
deeltje aan te treffen op een plaats x, moment t, gelijk aan:
P(x,t) = |ψ|2 = ψ ∗ ψ
(4.21)
Voor een vrij deeltje bewegend langs een x-as, beschreven met (4.20) levert dit op P(x,t) = ψ02 , met andere
woorden de kans om een deeltje aan te treffen op de x-as op moment t is onafhankelijk van x en t. Dus
de theorie voorspelt dat ∆x = ∞ en ∆t = ∞. Dit illustreert weer de onzekerheidsrelatie, omdat we hadden
gesteld E is welbepaald (∆E = 0) en p is welbepaald (∆p = 0).
Bij de diffractie-experimenten is het niet zo moeilijk om, naar analogie met de klassieke golftheorie, de
kwantummechanische golffunctie te raden. Die analogie ontbreekt, indien we bijvoorbeeld de golffunctie
willen hebben, corresponderende met een elektron dat rond de kern draait. Wat ontbreekt tot dusverre is
een generator van de kwantummechanische golffunctie. In de klassieke golftheorie is er wel zo’n generator.
In de volgende paragrafen gaan we die klassieke generator nader bekijken, opdat we inzicht krijgen in het
karakter en de oplossingen van de kwantummechanische generator.
51
Vraagstukken hoofdstuk 4
4.1 Gegeven: Het twee spleten experiment met elektronen, inclusief lamp. De bewering luidt: het is onmogelijk om een uitspraak te doen over “1 of 2” met behoud van interferentiepatroon. Oppositie (gehoord
in collegezaal): dat is niet waar! Je moet de opstelling gewoon anders inrichten. Gebruik twee lampen
met verschillende golflengten, bijvoorbeeld een rode en een blauwe lamp. Zie tekening.
Zien we een rode flits dan weten we dat het elektron door 1 gegaan is en bij een blauwe flits kan onze
conclusie niet anders luiden dan dat het elektron door 2 gegaan is. Net als in het dictaat gedaan is,
mogen we aannemen dat de golflengte zo groot zijn (dus de botsingen tussen fotonen en elektronen zo
zacht) dat het interferentiepatroon gehandhaafd blijft. In tegenstelling tot de opstelling met één lamp
hebben we nu niet te maken met een slechtere resolutie, zodanig dat we niet meer weten of de flits
afkomstig is van 1 of 2, want het is ondenkbaar dat een rode flits afkomstig is van 2 en een blauwe
flits afkomstig van 1. Kunt u dit weerleggen?
4.2 Gegeven:
λ −λ =
2h
θ
sin2
me c
2
(Compton-effect)
(a) Bereken het maximum van λ − λ dat kan optreden.
(b) Stel dat het foton wegschiet onder een hoek θ = π2 rad. Bereken λ , de hoek ϕ waaronder het
elektron wegschiet en de snelheid van het elektron na de botsing, als λ = 5 × 10−7 m is.
4.3 Dit is een opgave voor de liefhebbers van fysica. Gegeven het twee spleten experiment met elektronen
en de lamp. Toon aan dat de botsing tussen foton en elektron de beweging van het elektron nauwelijks verstoort. Neem aan dat het foton verstrooid wordt, zoals aangegeven in de tekening. Neem
λ = 5 × 10−7 m en v = 0, 2 × c.
4.4 Onderzoekers van de universiteiten van Innsbruck en Stanford stelden zich een situatie voor waarbij de
aanwezigheid van een uiterst lichtgevoelige bom moet worden vastgesteld: één foton is al voldoende
om de bom te laten ontploffen. Het lijkt dus een onmogelijke opdracht, maar voor wie slim gebruikt
maakt van “rare” kwantummechanische effecten, blijft zelfs in totale duisternis niets onopgemerkt.
Daartoe hebben de onderzoekers onderstaande opstelling bedacht.
52
Het systeem bestaat uit twee beamsplitters BS1 en BS2, twee spiegels S1 en S2, en twee fotondetectors D1 en D2. Bij A komt één foton het systeem binnen. De beamsplitters zijn zodanig gedimensioneerd dat een golf een fasesprong van 3π
2 rad maakt bij transmissie. Bij reflectie aan spiegels of
beamsplitters krijgt de golf een fasesprong van πrad. Voorts zijn deze beamsplitters zodanig ontworpen dat de gemiddelde intensiteit van de invallende bundel licht voor de helft rechtdoor gaat en voor
de andere helft gereflecteerd wordt. Stellen we de amplitude van de invallende bundel bij A gelijk
ψ0
, omdat de
aan ψ0 , dan is de amplitude van de doorgaande en gereflecteerde bundel gelijk aan √
2
gemiddelde intensiteit evenredig is met de amplitude in het kwadraat. Ditzelfde gebeurt bij BS2.
(a) Bekijk eerst de situatie dat bij A een reële lichtgolf (laserstraal met miljoenen fotonen) binnentreedt. Bereken de gemiddelde intensiteit van het licht in D1 en D2 bij af- en aanwezigheid
van de bom. Werk hier met reële cosinus functies, alhoewel de complexe rekenwijze hier niet
verboden is.
(b) We hebben geen lichtstraal, maar slechts één foton. Dat betekent dat we voor de beschrijving
van dit proces verplicht(!) gebruik moeten maken van de kwantummechanische golffunctie. Bij
A hebben we bijvoorbeeld ψ = ψ0 e−iωt eikx0 , waarbij x0 de positie is van A langs de baan van
53
het foton ten opzichte van een oorsprong. Bereken op kwantummechanische wijze de kans om
een foton aan te treffen in detector D1 en D2 bij afwezigheid van de bom. Omdat de totale kans
gelijk 1 moet zijn, bent u in staat om de onbekende amplitude ψ0 te berekenen. We noemen dit
het normeren van de golffunctie. Doe dit.
(c) Bereken op kwantummechanische wijze de kans om een foton aan te treffen in D1 en D2 als er
wel een bom is. Bereken ook de kans om een foton aan te treffen bij de bom. Normeer weer uw
golffunctie.
(d) Leg uit dat er dus een mogelijkheid bestaat de aanwezigheid van de bom vast te stellen zonder
ontploffing. Als we vooraf weten dat er 50% kans bestaat dat de bom aanwezig is, hoe groot is
dan de totale kans om een foton te detecteren in D1, in D2 en de kans op plof.
54
Antwoorden hoofdstuk 4
4.1 Om een uitspraak te doen over de golflengte van het licht, heb je een detectiesysteem nodig dat de
golflengte meet. Denk aan lopende golven in een snaar.
Je kunt je voorstellen dat je gedurende een tijd ∆t het aantal golftoppen telt dat het oppervlak A
passeert. Stel het zijn er N. De golf heeft de lichtsnelheid c. In de tijd ∆t is er dan gepasseerd een golf
met lengte c∆t. Die lengte moet dan gelijk zijn aan Nλ . Aldus vinden we: λ = c∆t
N .
Deze conclusie is fout. Eén golflengte is slechts toe te voegen aan een golf, die zich uitstrekt van
−∞ tot +∞. Dat betekent dat ∆t oneindig moet zijn. Een oneindig lange meettijd ∆t betekent dat
de correlatie tussen flits en elektroninslag verloren gaat. Daarom moeten we ∆t eindig kiezen. Bij
eindige ∆t passeert er een golftrein. Volgens de Fourieranalyse is die golftrein op te bouwen uit zeer
veel golven, allen met verschillende λ , allen zich uitstrekken van −∞ tot +∞. Er is dus niet één λ ,
maar er zijn er zeer veel. We krijgen een distributie van λ ’s rond bijvoorbeeld λrood . Zo ook voor
λblauw . We kunnen slechts met zekere waarschijnlijkheid aangeven wat de bijbehorende golflengte is.
Bij kleine ∆t, zodat er een grote correlatie is tussen flits en elektroninslag, zal er een grote ∆λ zijn.
Bedenk ∆ω∆t ≥ h en E = hv = hc
λ .
∆E
∆λ
∆λ hc ∆λ
=
→ ∆E =
= 2 hc
E
λ
λ λ
λ
“λblauw ” en “λrood ” zullen elkaar overlappen bij kleine ∆t, en het wordt steeds moeilijker om aan te
geven of het foton nu “rood” is of “blauw”, kortom we weten ook in deze opstelling niet van welke
spleet het foton afkomstig is.
4.2
(a) 4,8 × 10−12 m.
(b) λ = 5000,024 × 10−10 m, φ = 45◦ en 7400 km · h−1 .
4.4
(a) I(D1 met bom) =
ψ02
2
en I(D2 met bom) = 0.
ψ02
ψ2
en I(D2 zonder bom) = 0 .
4
4
P(D2) = 0 en ψ0 = 1.
I(D1 zonder bom) =
(b) P(D1) = ψ02 ,
ψ2
ψ2
ψ02
, P(D2) = 0 , P(bom) = 0 en ψ0 = 1.
4
4
2
(d) P(D1) = 62, 5%, P(D2) = 12, 5% en P(plof) = 25%.
(c) P(D1) =
55
56
Hoofdstuk 5
De golfvergelijking
5.1
De klassieke golfvergelijking
Beschouw een homogene, wrijvingsloze snaar, horizontaal opgesteld langs een x-as, in een gravitatievrije
ruimte. Ieder snaardeeltje kan op en neer bewegen. Dat noemen we een transversale oscillatie. De beweging
van een materieel deeltje wordt in de klassieke mechanica beschreven met de wet ~F = m~a. Passen we dat
toe op een snaardeeltje, dan ontstaat de bewegingsvergelijking voor transversale oscillaties:
∂ 2 ψ(x,t) ρ ∂ 2 ψ(x,t)
=
∂ x2
S ∂t 2
(5.1)
Hierbij is ψ(x,t) de transversale uitwijking op moment t van een snaardeeltje dat in rust zich bevindt op
de plaats x. S is de spankracht en ρ de dichtheid van de snaar in rust. Voor de afleiding van (5.1) wordt
verwezen naar appendix D.
Naast de transversale beweging kan een snaardeeltje ook langs de x-as een heen en weer gaande beweging
uitvoeren. Dat noemen we een longitudinale oscillatie. Voor longitudinale uitwijkingen geldt:
∂ 2 ψ (x,t)
ρ ∂ 2 ψ(x,t)
=
∂ x2
S + ba0 ∂t 2
(5.2)
Hierbij is ψ(x,t) de longitudinale uitwijking langs de x-as op moment t van een snaardeeltje dat in rust zich
bevindt op de plaats x. S en ρ zijn weer de spankracht en dichtheid van de snaar in rust. Voor de betekenis
van de term ba0 wordt verwezen naar appendix E, waar (5.2) wordt afgeleid.
Vergelijking (5.1) en (5.2) hebben wiskundig gezien dezelfde vorm. Allebei hebben ze een tweede afgeleide
naar plaats en tijd en een constante evenredigheidsfactor. Een vergelijking met deze vorm noemen we een
klassieke golfvergelijking.
De klassieke golfvergelijking heeft geen pasklare oplossing. Een snaar of strak gespannen touw kan op
vele manieren bewegen. Natuurlijk, een cosinus beweging is mogelijk, maar óók een of andere bobbel, die
zich voortplant langs de snaar of wat dan ook. Dit impliceert dat er niet een recht-toe-recht-aan wiskundige
techniek beschikbaar is, die aan de algemene oplossing van (5.1) of (5.2) genereert. We kunnen slechts in
algemene termen iets zeggen over de oplossing. Iedere oplossing moet een functie zijn met als argument
(x − vt) of (x + vt), waarbij v een positieve constante is. De algemene oplossing is dan de som van de beide
deeloplossingen (superpositie principe):
ψ(x,t) = g(x − vt) + h(x + vt)
(5.3)
g en h zijn volstrekt willekeurige functies, bijvoorbeeld (x − vt)2 , of ex−vt of A cos(x + vt) enzovoort. Dat
(5.3) als oplossing van (5.1) of (5.2) voldoet, volgt uit substitutie.
Dat levert gelijk de waarde van v. Het
q
S
blijkt dat (5.3) een algemene oplossing is van (5.1) mits v = ρ . Hiermede is de klassieke golfvergelijking
te schrijven als:
∂ 2ψ
1 ∂ 2ψ
=
∂ x2
v2 ∂t 2
(5.4)
57
Wat is de fysieke betekenis van v? Beschouw een willekeurige functie of bobbel g(x − vt) op een bepaalde
plaats x1 en bepaald moment t1 .
Beschouw dezelfde functie, maar dan op de plaats x2 = x1 + ∆x en een tijdstip t2 = t1 + ∆t. De functie
g(x2 − vt2 ) = g(x1 + ∆x − vt1 − v∆t) is gelijk aan g(x1 − vt1 ), indien v = ∆x
∆t . Dit geldt voor iedere ∆x en ∆t
en daarmee is v de snelheid waarmee de bobbel g(x − vt) zich verplaatst in de richting van de positieve x-as.
De oplossing g(x − vt) moeten we blijkbaar interpreteren als een functie die zich onvervormd met snelheid v
naar rechts (+x-as) verplaatst. v noemenq
we de voortplantingssnelheid. Deze is, zoals we gezien hebben
voor transversale uitwijkingen gelijk aan ρS .
Analoog is aan te tonen dat we h(x + vt) moeten interpreteren als een functie, die met de snelheid v met
(v > 0), naar links beweegt.
Figuur 5.1: Een bobbel verplaatst zich onvervormd met snelheid v.
Als concreet geval hebben we in § 1.3 de lopende golf ψ = A cos(−ωt + kx) besproken. Dit is een functie
van het type g(x − vt). Voor een lopende golf hadden we de fasesnelheid gedefinieerd volgens (1.3):
vf ≡
ω
k
ω en k zijn echter niet onafhankelijk van elkaar. Substitutie van A cos(−ωt + kx) in (5.1) levert het verband
op tussen ω en k. Dit verband staat bekend als de dispersierelatie van het medium. Alhier vinden we:
s
S
(5.5)
ω =k
ρ
q
Delen door k geeft volgens (1.3) de fasesnelheid. Deze is gelijk aan ρS . De fasesnelheid is dus gelijk aan de
snelheid v, waarmee een willekeurige bobbel zich in het medium voortplant. Er is in media, beschreven met
de klassieke golfvergelijking, geen onderscheid tussen fasesnelheid en voortplantingssnelheid. Dat komt
omdat een bobbel onvervormd blijft. De bobbel gaat zich niet verspreiden, oplossen, divergeren. Daarom
spreken we in dit geval van een niet-dispergerend medium. Het begrip fasesnelheid krijgt pas betekenis bij
dispergerende media.
5.2
Staande golven
Beschouw een snaar, zonder demping, met eindige lengte L. De bewegingsvergelijking voor deze snaar is
(5.1). Bij de afleiding van (5.1) is immers stilzwijgend aangenomen dat er geen demping is. (5.1) geldt
alleen maar voor ongedempte systemen. Evenzo hebben we ons bij de afleiding van (5.1) niet druk gemaakt
om de randen van het systeem. We keken naar een willekeurige beweging van de snaar. Hoe de randen de
willekeurigheid nader inperken gaan we nu bekijken. In ieder geval moet de oplossing de volgende structuur
hebben (5.3):
ψ(x,t) = g(x − vt) + h(x + vt)
Dit is de superpositie van twee tegen elkaar inlopende golven. Daarbij kan het best zo zijn dat één van de
golven ontbreekt, zie de vorige paragraaf, maar voor een snaar met eindige afmetingen, waarbij reflecties
58
aan de randen bij voorbaat niet zijn uitgesloten, hebben we beide golven nodig. Stel dat we een naar rechts
lopende golf hebben volgens ψ = ψ0 cos(−ωt + kx). Deze golf zal aan het rechtereind van de snaar terugkeren. Bij reflectie treedt in het algemeen een fasesprong op, stel α, zodat de gereflecteerde golf te schrijven is
als ψ = ψ0 cos(−ωt − kx + α). Deze golf zal bij het linkereind van de snaar opnieuw gereflecteerd worden.
Daarbij moet de fasesprong zodanig zijn dat we de oorspronkelijke golf ψ0 cos(−ωt + kx) terugkrijgen.
Hiermee voorkomen we dat we eindeloos gaan zigzaggen. Dit betekent dat aan het linker einde een fasesprong moet optreden van −α. Indien linker- en rechtereind van de snaar op dezelfde wijze begrensd worden
moet de fasesprong links gelijk zijn aan die bij rechts. Daaruit volgt dat α slechts twee waarden kan aannemen, namelijk 0 of π, omdat een fasesprong van +π gelijk is aan een fasesprong van −π. Een fasesprong
van 0 radialen correspondeert met een snaar met losse einden. De fasesprong van π radialen treedt op bij
een snaar die aan de randen is ingeklemd, omdat de heen en teruggaande golf op de plaats van inklemming
elkaar moeten compenseren. We werken de beweging uit voor de ingeklemde snaar. De uitwijking op zekere
plaats x, moment t is gelijk aan (complexe schrijfwijze):
ψ(x,t) = ψ0 e−iωt eikx + ψ0 e−iωt e−ikx eiπ
Bekend is: eiπ = cos π + i sin π = −1 zodat
ψ(x,t) = ψ0 e−iωt eikx − ψ0 e−iωt e−ikx
ψ(x,t) = ψ0 e−iωt (eikx − e−ikx ) = 2iψ0 e−iωt sin kx
In reële taal:
ψ(x,t) = 2ψ0 sin kx sin ωt
(5.6)
Hieruit lezen we af: ieder snaardeeltje oscilleert met frequentie ω en amplitude 2ψ0 sin kx. De amplitude
hangt af van de positie van het snaardeeltje. Zo’n beweging noemen we een staande golf . We kunnen (5.6)
ook op een andere, meer abstracte wijze vinden. De beweging moet een oplossing zijn van (5.1). Daartoe
proberen we een oplossing van het type ψ(x,t) = A(x) cos(ωt + ϕ). In deze oplossing zit al de kennis dat
de uitkomst een staande golf is, alleen de nadere vorm van A(x) ontbreekt nog.
Substitutie van deze probeeroplossing geeft een nieuwe differentiaalvergelijking.
d2 A(x) ω 2 ρ
+
A(x) = 0
dx2
S
(5.7)
Deze vergelijking wordt op wiskunde behandeld. Ook in § 7.1 wordt nader op de vergelijking ingegaan. We
kiezen als oplossing de vorm
A(x) = A sin kx + B cos kx
met k2 =
ω 2ρ
S
(5.8)
2
Vanwege k2 = ωS ρ (dit is de dispersierelatie) moeten we k interpreteren als het golfgetal. Vandaar het symbool k. Een mogelijke staande golf heeft de structuur
ψ(x,t) = [A sin kx + B cos kx] cos(ωt + ϕ)
(5.9)
Dit lijkt niet op (5.6). De vorm is veel algemener, omdat we ons nog niet hebben uitgesproken over de
randen. Dit is een algemeen verschijnsel in de fysica. Een elementaire aanpak werkt vaak sneller, geeft meer
inzicht, maar de resultaten zijn beperkter. Een meer abstracte, wiskundige, zo u wilt formalistische aanpak
leidt tot antwoorden met een breed geldigheidsgebied, maar het zicht op wat men eigenlijk aan het doen is,
gaat sneller verloren.
Vergelijking (5.9) moet overgaan in (5.6) indien we de randvoorwaarden substitueren. Voor de ingeklemde
snaar hebben we de randvoorwaarden ψ(0,t) = 0 en ψ(L,t) = 0, omdat op de plaats x = 0 en de plaats x = L
de snaar ingeklemd is.
Substitutie van ψ(0,t) = 0 in (5.9) geeft:
ψ(0,t) = B cos(ωt + ϕ) = 0
→
B=0
59
omdat het voor iedere t moet gelden. We houden over
ψ(x,t) = A sin kx cos(ωt + ϕ)
(5.10)
Dit is op de irrelevante fasefactor na, gelijk aan (5.6).
De fasefactor is irrelevant omdat we bij de elementaire aanpak net zo goed als uitgangspunt hadden kunnen
nemen de golf ψ0 cos(−ωt + kx − ϕ − π2 ). Dit uitgangspunt leidt tot (5.10). Er is nog een tweede randvoorwaarde, namelijk ψ(L,t) = 0. Deze randvoorwaarde moeten we nog substitueren in (5.6) of (5.10). Werken
we verder met de iets meer algemene uitdrukking (5.10), dan geeft dat
ψ(L,t) = A sin kL cos(ωt + ϕ) = 0
voor alle t
Hieraan is voldaan indien sin kL = 0, zodat kn = nπ
L voor n = 1, 2, 3, . . ..
Voor n = 0 krijgt men de triviale nuloplossing (de snaar beweegt niet) en telt daarom niet mee. Negatieve
waarden voor n zijn niet toegestaan, omdat k = 2π
λ altijd positief is. Bij iedere k hoort een ω. Het verband
wordt gegeven door de dispersierelatie, zodat de bijbehorende frequenties gelijk zijn aan
s
ωn = kn
S
nπ
=
ρ
L
s
S
ρ
We vinden de volgende trillingswijzen (of modes):
Voor n = 1 :
ψ1 (x,t) = A1 sin k1 x cos(ω1t + ϕ1 );
Voor n = 2 :
ψ2 (x,t) = A2 sin 2k1 x cos(2ω1 + ϕ2 );
Voor n = 3 :
ψ3 (x,t) = A3 sin 3k1 x cos(3ω1t + ϕ3 );
enzovoort.
In onderstaand figuur zijn enkele modes of staande golven weergegeven.
Figuur 5.2: Enkele modes of staande golven van een ingeklemde snaar.
Men spreekt van de grondtoon (n = 1) en zijn hogere harmonischen (n ≥ 2). Duidelijk zijn in de tekening buiken en knopen te herkennen. Vanwege het lineaire karakter van (5.1) is de algemene oplossing een
superpositie van de mogelijke oplossingen:
∞
ψ(x,t) =
∑ An sin kn x cos(ωnt + ϕn )
(5.11)
n=1
met kn =
nπ
L
en ωn = kn
q
S
ρ,
An en ϕn volgen uit de beginvoorwaarden.
60
Figuur 5.3: Een medium bestaande uit gekoppelde slingers.
5.3
Gekoppelde slingers
Alle systemen beschreven met de klassieke golfvergelijking (bijvoorbeeld golven in een snaar, geluidsgolven
in lucht) zijn niet dispergerend. Een willekeurige bobbel zal zich onvervormd in dat medium voortplanten.
Het in § 5.1 zorgvuldig gedefinieerde begrip fasesnelheid had slechts academische waarde, omdat de fasesnelheid gelijk was aan de voortplantingssnelheid van een willekeurige bobbel. Het begrip fasesnelheid
krijgt pas betekenis in een dispergerend medium. Als voorbeeld van een dispergerend medium nemen we
een groot aantal slingers, lengte l, met daaraan een massa m. De massa’s zijn onderling gekoppeld door
middel van veren, veerconstante b, lengte a. Zie de figuur.
We nummeren de massa’s en beschouwen massa nummer n in een willekeurige situatie.
We kijken naar zeer kleine longitudinale uitwijkingen. Dan zal massa nummer n een netto veerkracht ondervinden, die bij benadering gelijk is aan b(ψn+1 − ψn ) − b (ψn − ψn−1 ). Vanwege de slingerbeweging in het
n
gravitatieveld werkt er nog een extra kracht op de massa, gelijk aan mg sin θn = mgψ
l . Deze component van
de gravitatiekracht ligt vrijwel in het verlengde van de veerkracht en mag daarom scalair bij de veerkracht
worden opgeteld (we geven toe dat het systeem enigszins gekunsteld is). Aldus vinden we voor de totale
naar rechts werkende kracht:
b(ψn+1 − ψn ) − b(ψn+1 − ψn ) −
mgψn
d2 ψn
=m
l
dt 2
(5.12)
Figuur 5.4: Hulpfiguur voor het opstellen van F = ma.
Dit is de bewegingsvergelijking voor de ne massa. We gaan gelijk over op de continue limiet door middel
van reeksontwikkeling (zie appendix D).
∂ 2 ψ(x,t)
ba2 ∂ 2 ψ(x,t)
2
=
−ω
ψ(x,t)
+
0
∂t 2
m
∂ x2
r
met ω0 =
61
g
l
(5.13)
Iedere vergelijking met deze structuur wordt wel genoemd een golfvergelijking van het type Klein-Gordon.
Dit is dus ook een golfvergelijking. Een golfvergelijking is de bewegingsvergelijking van golven in een
medium. Het staat niet bij voorbaat vast dat een lopende golf ψ0 cos(−ωt + kx) een oplossing is van deze
differentiaalvergelijking. Dat moeten we proberen. Daartoe gaan we heel bewust, niet alleen uit gemakzucht,
over op de complexe rekenwijze. We substitueren ψ0 e−iωt eikx en vinden:
ba2 2
k
(5.14)
m
Hier staat ω als functie van k. Zo’n relatie noemden we een dispersierelatie. Vergelijking (5.14) is de disper2
sierelatie van de gekoppelde slingers. De factor bam is een positieve reële constante en korten we af met α 2 .
Gooi de vergelijking enigszins om, dan staat er
ω 2 = ω02 +
1
(ω 2 − ω02 )
α2
Nadere wiskundige uitwerking geeft
q
1
ω 2 − ωo2
k=±
α
k2 =
(5.15)
(5.16)
Nu dient zich iets merkwaardigs aan. k is het golfgetal en gelijk aan 2π
λ . Het symbool λ staat voor golflengte
en dat is een meetbare, reële positieve grootheid. k is dan ook reëel en positief en daarom kan (5.16) met het
minteken niet voldoen. Evenzo mag ω niet kleiner zijn dan ω0 , want dan wordt het getal onder de wortel
van (5.16) negatief en dat mag niet. Voor ω < ω0 heeft (5.13) ook geen oplossing. Het minteken en de
situatie ω < ω0 moeten we niet toestaan, want dat heeft geen fysische betekenis. Dit nu moeten we nooit te
snel roepen. Denk aan het uitgangspunt: de substitutie van ψ0 e−iωt eikx in (5.13). Indien k negatief en reëel
is, staat daar ψ0 e−iωt e−i|k|x . Dit is fysisch interpreteerbaar als een golf die naar links loopt met positieve
golflengte λ = 2π
|k| . De oplossing met het minteken in (5.18) heeft dus wel degelijk een fysische betekenis.
Indien ω kleiner is dan ω0 wordt k zuiver imaginair:
q
i
k=±
ω02 − ω 2
(5.17)
α
Kort dit af tot k = ±iγ. Substitutie in de complex geschreven golf geeft:
ψ(x,t) = ψ0 e−iωt e−γx
en ψ(x,t) = ψ0 e−iωt e+γx
(5.18)
In reële taal staat hier
ψ(x,t) = ψ0 e−γx cos ωt
en
ψ(x,t) = ψ0 e+γx cos ωt
(5.19)
Dit zijn staande golven, waarvan de amplitude toe of afneemt met toenemende x. Dit zijn dus correcte
oplossingen van (5.13).
In de praktijk zullen we deze functies aantreffen aan de randen van het dispergerende medium. Indien we
slinger nummer 1, uiterst links in het medium, aandrijven met een frequentie kleiner dan ω0 , ontstaat er de
volgende linkergrafiek:
Figuur 5.5: Aandrijving beneden de afsnijfrequentie ω0
62
De oplossing ψ0 e+γx cos ωt is een staande golf, waarvan de amplitude toeneemt met toenemende x-as. Dat
kan fysisch gezien nooit mogelijk zijn, zeggen relatief veel auteurs van fysische boeken, laten we die maar
vergeten. Niks ervan, wij vergeten niks. Dat minteken moeten we associëren met een golf die van rechts
komt, dus de oplossing met toenemende amplitude ontstaat wanneer we de meest rechts gelegen slinger
aandrijven. Zie het rechterplaatje van bovenstaand figuur.
Dit soort randverschijnsel doet zich bijvoorbeeld voor wanneer licht invalt op bepaalde niet transparante
stoffen. Het licht zal exponentieel afnemend in de materie binnendringen. Het is dus niet zo dat bij reflectie
van licht aan zo’n stof het licht zich gedraagt als een tennisbal, die tegen een muur gegooid wordt. Indien
de dikte van het materiaal maar klein genoeg is, zal het materiaal zelfs enigszins transparant zijn. Dit is ook
geconstateerd, bijvoorbeeld aan goudfolie.
Het is te vergelijken met het tunneleffect uit de kwantummechanica. In de elektronica zou men ω0 een
afsnijfrequentie noemen omdat dit verschijnsel toegepast kan worden voor het filteren van een signaal.
Een nadere kwantitatieve uitwerking van de situatie ω < ω0 doet wel het rekenwerk, maar niet het inzicht
toenemen en laten we daarom verder rusten.
5.4
Dispersie
In deze paragraaf beperken we ons ten aanzien van de gekoppelde slingers tot de situatie ω > ω0 . Ook een
negatieve k staan we niet meer toe. Wenst men aan te geven dat een golf naar links loopt dan gebruikt men
maar −k, met k positief, in plaats van k, met k negatief.
Voor ω > ω0 is een oplossing van (5.15) de lopende golf ψ0 cos(−ωt + kx) en het verband tussen ω en k
wordt gegeven door de dispersierelatie.
q
1
k=
ω 2 − ω02
(5.20)
α
Uit de dispersierelatie volgt de fasesnelheid, gedefinieerd volgens (1.3).
vf =
ω
α
=q
k
ω2
1 − ω02
(5.21)
We zien dat de fasesnelheid afhankelijk is van de frequentie. Dit betekent dat de voortplantingssnelheid van
een lopende golf, waarmee het hele medium “gevuld” is, groter is naarmate de frequentie groter is. Iedere
golf krijgt een aparte behandeling, afhankelijk van zijn frequentie. Dit noemen we dispersie.
Een willekeurige functie ψ(x,t) is volgens de Fourieranalyse te schrijven als een superpositie van golven
met alle mogelijke waarden voor ω en k. Ieder van die golven strekt zich uit over het hele medium, zo dat
de voortplantingssnelheid van één golf gelijk is aan diens fasesnelheid. Voor niet dispergerende media is de
fasesnelheid een constante, zodat alle golven zich met dezelfde snelheid voortplanten. De som van al die
golven, dit is de willekeurige functie ψ(x,t) zal zich dan met dezelfde snelheid voortplanten. Een bobbel
verplaatst zich met de fasesnelheid onvervormd langs de x-as. Bij dispergerende media hebben de golven van
elkaar verschillende fasesnelheden. De superpositie daarvan zal geen bobbel opleveren die zich onvervormd
verplaatst. Er treedt vervorming op. In de praktijk zien we hoe een bobbel uitgesmeerd wordt over de x-as.
De letterlijke betekenis van dispersie is uitsmeren, verdelen, verspreiden.
Ter illustratie beschouwen we twee lopende golven, met verschillende frequenties, zich uitstrekkend over
het gehele medium.
ψ(x,t) = A cos(−ω1t + k1 x) + A cos(−ω2t + k2 x)
(5.22)
voor alle x en alle t.
p+q
Met de gonioformule cos p + cos q = 2 cos p−q
2 cos 2 is ψ(x,t) te herschrijven
(ω1 − ω2 )
(k1 − k2 )
(ω1 + ω2 )
(k1 + k2 )
ψ(x,t) = 2A cos −
t+
x cos −
t+
x
2
2
2
2
(5.23)
Voer enkele afkortingen in.
ω1 − ω2
= ωmod ;
2
k1 − k2
= kmod ;
2
ω1 + ω2
= ωgem
2
63
en
k1 + k2
= kgem
2
(5.24)
mod staat voor modulatie en met gem bedoelen we gemiddeld.
ψ(x,t) = 2A cos(−ωmodt + kmod x) cos(−ωgemt + kgem x)
|
{z
}|
{z
}
“Amplitude”
(5.25)
“Golf”
Indien ω1 en ω2 weinig van elkaar verschillen zal ook het verschil k1 − k2 gering zijn, dus de met kmod
corresponderende golflengte λmod zal groot zijn, in ieder geval groter dan λgem . Er ontstaat de volgende
figuur 5.6.
Figuur 5.6: Een zweving
De stippellijn is de langzaam variërende amplitude 2A cos(−ωmodt +kmod x). De doorgetrokken lijn is ψ(x,t),
dus het systeem zoals we hem zien op een bepaald tijdstip. Dit noemen we een zweving. Indien we in gedachten even aannemen dat de amplitude constant blijft, verplaatst de gehele golf zich met de snelheid:
vgem =
ωgem ω1 + ω2
=
kgem
k1 + k2
(5.26)
De amplitude blijft niet constant, maar verplaatst zich ook, met snelheid
vmod =
ωmod ω1 − ω2
=
kmod
k1 − k2
(5.27)
Indien vgem = vmod schuift de hele figuur onvervormd op naar rechts. Dit gebeurt bij niet-dispergerende
media. Immers voor een niet-dispergerend medium geldt ω = vf k met vf constant voor alle ω. Substitutie in
(5.26) en (5.27) geeft vgem = vf en vmod = vf . Anders wordt het, indien vf frequentie afhankelijk is. (5.26)
wordt dan:
vgem =
v f 1 k1 + v f 2 k2
k1 + k2
(5.28)
Nu kunnen we dit bij een gegeven dispersierelatie nader uitwerken, maar het zal niemand verbazen, indien
we stellen dat het antwoord ongeveer v f 1 of v f 2 zal zijn, omdat ω1 ≈ ω2 , dus k1 ≈ k2 . Bij een dispergerend
medium zal vgem ongeveer gelijk zijn aan de fasesnelheid van één van de lopende golven, voor ω1 ≈ ω2 .
Voor (5.27) schrijven we
vmod =
∆ω
∆k
(5.29)
Daar ω1 vrijwel gelijk is aan ω2 mogen we hier ook voor schrijven (Taylorreeks zie appendix F):
vmod =
dω
dk
(5.30)
Nader uitgewerkt met dispersierelatie (5.20) geeft
α 2k
α 2k α 2
vmod = q
=
=
ω
vf
2
2
2
ω0 + α k
(5.31)
64
Figuur 5.7: Een golfpakket of golfgroep
De modulatiesnelheid is niet gelijk aan de fasesnelheid. De beweging van de amplitude blijft achter bij
de actuele verplaatsing van de golf (voor vf > α) en in het algemeen zal daardoor vervorming optreden.
Hebben we slechts een stukje van de gemoduleerde golf (een golfpakket of groep) zoals in onderstaand
figuur is weergegeven,
dan is het, gelet op het voorgaande, aannemelijk dat de snelle fluctuaties als het ware uit het golfpakket
ontsnappen Het golfpakket wordt breder en lager, het smeert zich uit. We krijgen dispersie. Dit is geen
bewijs, omdat de wiskundige beschrijving van een stukje van de gemoduleerde golf, beslist niet gelijk is aan
(5.22). Denk aan Fourieranalyse. We hebben het slechts aannemelijk gemaakt.
Het golfpakket wordt niet alleen lager en breder, het verplaatst zich ook. Dat gebeurt met de modulatiesnelheid (5.30). De modulatiesnelheid behoudt bij golfpakketten of andere bobbels zijn fysische betekenis. We
noemen het de groepssnelheid en het is gedefinieerd volgens (5.30), dus
vgr =
dω
dk
(5.32)
De groepssnelheid is zoiets als de snelheid, waarmee de omhullende van een golfpakket zich verplaatst.
Een waarnemer, ver weg op de x-as van voorgaand figuur, zal op een gegeven moment constateren dat
er iets aankomt. De zogenaamde forerunners dienen zich aan, maar het duurt enige tijd voordat de bulk
van de energie, die zich verplaatst met de groepssnelheid, bij hem is. Dit verschijnsel heeft zijn analoog
in de kwantummechanica. Onder bepaalde omstandigheden is het geoorloofd een zich verplaatsend deeltje
voor te stellen als een golfpakket. Men kan bewijzen dat de snelheid van het deeltje, zoals gedefinieerd in
de klassieke mechanica, gelijk is aan de groepssnelheid van het golfpakket. Maar vanwege de forerunners
bestaat er in de kwantummechanica een eindige kans dat een waarnemer het deeltje eerder detecteert dan
klassiek mogelijk zou zijn.
We beperken ons verder tot de klassieke fysica, want daar zijn problemen genoeg. Neem formule (5.21). De
fasesnelheid in het medium gekoppelde slingers is
α
vf = q
ω2
1 − ω02
Indien ω slechts weinig afwijkt van ω0 zal de fasesnelheid zeer groot zijn, zelfs groter dan de lichtsnelheid.
Volgens de relativiteitstheorie van Einstein is de maximale snelheid van een object de lichtsnelheid. Groter
kan niet. Hoe zit het dan met die fasesnelheid? Daartoe moeten we beseffen dat de fasesnelheid alleen
gedefinieerd is voor een medium die in zijn totaliteit reeds gevuld is met een lopende golf. Men neme een
slinger, men zoeke de dichtstbijzijnde slinger op die daarmee in fase is. De afstand daartussen noeme men
λ.
Vermenigvuldig λ met de frequentie v van een slinger en men heeft de fasesnelheid vf = λ v = ωk .
Het begrip fasesnelheid zegt dus niet iets over de snelheid waarmee de ruimte zich heeft opgevuld met een
cosinus. Het feit dat de slinger op een afstand λ van de eerste slinger in fase is met die eerste slinger, wil niet
65
zeggen dat de beweging van de eerste slinger zich met een snelheid vf heeft voortgeplant. Er bestaat geen
oorzakelijk verband. De fasesnelheid is daarom geen echte snelheid, in de zin dat het informatie overdraagt.
Maar, met welke snelheid wordt dan wel de beweging (= informatie) van de eerste slinger doorgegeven aan
het systeem? Dat gebeurt met de groepssnelheid vgr . En zoals we uit formule (5.31) kunnen aflezen is vgr
eindig, namelijk maximaal gelijk aan α (voor ω = ∞).
Wanneer we op moleculair niveau gaan werken, kunnen we α uitdrukken als een functie van de elektromagnetische wisselwerking tussen de moleculen en zal blijken dat α ≤ c. Dus de groepssnelheid is altijd kleiner
of gelijk aan c, zoals de relativiteitstheorie vereist.
5.5
De klassieke golfvergelijking voor driedimensionale systemen
We gaan kijken naar de golfvergelijking en zijn oplossing voor het twee- en driedimensionale analogon van
de snaar. Het uitgangspunt voor de golfvergelijking voor het eendimensionale systeem, de snaar, was een rij
van gekoppelde massa’s en veren. Het ligt voor de hand als uitgangspunt voor het tweedimensionale systeem
een vlak te nemen opgevuld met massa’s en veren. Zie figuur 5.8.
Figuur 5.8: Een tweedimensionaal rooster van massa’s en veren
De transversale uitwijking is in de z-richting. Het is duidelijk dat een willekeurige massa n niet alleen van
zijn naaste veren parallel aan de x-as een kracht ondervindt, maar ook van zijn naaste veren parallel aan de
y-as. Een inventarisatie van krachten en vervolgens met behulp van een reeksontwikkeling de limiet voor
a → 0, alles analoog aan appendix D, geeft de golfvergelijking:
2
∂ 2ψ
∂ 2ψ
2 ∂ ψ
=v
+ 2
∂t 2
∂ x2
∂y
(5.33)
Men zou verwachten dat een uitbreiding van het tweedimensionale massa-veer systeem tot een ruimtelijk
rooster van massa’s en veren het driedimensionale analogon van de snaar gaat opleveren. Dit is niet het
geval, want stel dat de uitwijking ψ in de z-richting is, dan leveren de z-veren longitudinale krachten in
plaats van transversale krachten. Vanwege de analogie willen we in drie richtingen transversale krachten.
Het massa-veer systeem laat ons in dit geval in de steek, maar het is in het geheel niet moeilijk je voor te
stellen dat ook de z-veren een transversale kracht geven en dan wordt bijna per definitie de golfvergelijking
in drie dimensies:
2
∂ 2ψ ∂ 2ψ
∂ 2ψ
2 ∂ ψ
=v
+ 2 + 2
(5.34)
∂t 2
∂ x2
∂y
∂z
66
Zoals gezegd kan ψ geen ruimtelijke uitwijking meer voorstellen, maar er zijn vele andere parameters die
je voor ψ kunt nemen, bijvoorbeeld temperatuur, elektrisch veld e.d. Voeren we in de nabla-operator
~∇ = ( ∂ , ∂ , ∂ )
∂x ∂y ∂z
met
∂ ∂ ∂
∂2
∂2
∂2
∂ ∂ ∂
∆ = ~∇ · ~∇ = ∇2 = ( , , ) · ( , , ) = 2 + 2 + 2 =
∂x ∂y ∂z
∂x ∂y ∂z
∂x
∂y
∂z
de operator van Laplace (in het Engels: Laplacian), is de golfvergelijking te schrijven als:
∂ 2ψ
= v2 ∇2 ψ
∂t 2
(5.35)
In cilindercoördinatoren x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z:
2
∂ 2ψ
∂ 2ψ 1 ∂ ψ ∂ 2ψ
2 1 ∂ ψ
=v
+ 2 +
+ 2
∂t 2
r2 ∂ ϕ 2
∂r
r ∂r
∂z
In bolcoördinaten x = r cos ϕ sin θ , y = r sin ϕ sin θ , z = r cos θ :
∂ 2ψ
∂
∂2
1
∂
1
2 1 ∂ 2 ∂
=v
ψ
r
+
sin θ
+
∂t 2
r2 ∂ r ∂ r r2 sin θ ∂ θ
∂ θ r2 sin2 θ ∂ ϕ 2
(5.36)
(5.37)
We voeren in een golfvector ~k = (kx , ky , kz ) met grootte gelijk aan het golfgetal k en richting gelijk aan de
voortplantingsrichting van een golf. Merk op dat de componenten van de golfvector negatief kunnen zijn.
Analoog aan oplossing (5.3) van de eendimensionale klassieke golfvergelijking is de algemene oplossing
van (5.34) een superpositie van de volgende functies
ψ = ψ(−ωt + kx x + ky y + kz z) = ψ(−ωt +~k ·~r)
(5.38)
De verzameling van punten met gelijke fase op één en hetzelfde tijdstip noemen we een golffront. Stel ik
heb twee golven, beide lopende in de ~k-richting en voor een zeker punt P1 is het bijbehorende argument
−ωt +~k · ~r1 en voor een punt P2 is het argument −ωt +~k · ~r2 . Deze punten hebben op moment t gelijke fase
als ~k · (~r1 − ~r2 ) = 0, dus voor ∆~r⊥~k De punten liggen in een vlak loodrecht op de voortplantingsrichting. We
spreken van een vlakke golf. Schrijven we dus voor een golf ψ = ψ(−ωt +~k ·~r) voor iedere~r dan moet dat
een vlakke golf zijn.
Een ander bijzonder geval is de bolgolf: alle punten met gelijke fase liggen op een bol rond de oorsprong.
De bolgolven zijn alleen functies van r, niet van θ en ϕ. De bijbehorende golfvergelijking is:
∂ 2ψ
∂ 2ψ
2 2 ∂ψ
=v
+ 2
(5.39)
∂t 2
r ∂r
∂r
met als algemene oplossing
ψ=
g(−ωt + kr) h(−ωt − kr)
+
r
r
met
ω
=v
k
(5.40)
De bolgolf is besproken in § 1.6.
5.6
De Schrödingervergelijking
Het is interessant om te zien hoe de klassieke golfleer de stoot gegeven heeft tot het ontstaan van de kwantummechanica, terwijl men achteraf moest vaststellen dat deze theorieën eigenlijk weinig gemeen hebben.
Ter verklaring van de zwarte stralingskromme had Planck (1900) de hypothese ingevoerd dat de stralingsbron, dat is het atoom, gekwantiseerde energieniveaus heeft, met een energieverschil E = hν. Hierin is h
67
een constante, de constante van Planck, gelijk aan 6,6256 × 10−34 J · s. ν Is de frequentie van het uitgezonh
den licht. Met h̄ = 2π
kunnen we ook schrijven E = h̄ω. Het was Einstein (1905) die hieruit de simpele
conclusie trok dat het licht dan op te vatten was als een stroom van deeltjes (fotonen) met energie h̄ω. De
volgende stap was om niet alleen aan fotonen, maar ook aan materiële deeltjes zoals elektronen en protonen
een energie h̄ω toe te kennen. Het was tenslotte De Broglie (1921) die deze gedachte omzette in zijn beroemde formule p = h̄k. Dus aan de impuls p van een deeltje wordt een golfgetal k toegevoegd. Toen lag de
weg open voor een vergelijking van ω met k. Immers klassiek geldt voor een deeltje dat de totale energie de
p2
som is van de kinetische energie 2m
en de potentiële energie V . In formule:
E=
p2
+V
2m
(5.41)
Nu is het de gewoonte in de kwantummechanica om de totale energie van een systeem weer te geven met
het symbool H. We noemen dat de klassieke Hamiltoniaan. Zo ontstaat:
H=
p2
+V
2m
(5.42)
Substitutie van E = H = h̄ω en p = h̄k geeft
h̄ω =
h̄2 k2
+V
2m
(5.43)
Hier staat ω als functie van k, dus dit is een dispersierelatie en bij een dispersierelatie hoort een golfvergelijking, zo dacht Schrödinger. Nu is er geen eenduidige wijze om van een dispersierelatie tot een golfvergelijking te komen. Om dat te kunnen moet je de oplossing van de golfvergelijking kennen, maar zoals we al
gezien hebben heeft een golfvergelijking vele oplossingen. Het is een kwestie van redeneren en proberen,
waarbij uiteindelijk de overeenstemming met experimentele resultaten de doorslag moet geven. Wij komen
tot een goede golfvergelijking, indien we als golf stellen.
ψ = Ae−iωt eikx + Be−iωt e−ikx
(5.44)
Dus lopende golven naar rechts en links, complex geformuleerd. Eenmaal differentiëren naar t en tweemaal
naar x geeft ω en k2 .
i ∂ψ
ψ ∂t
∂ψ
= −iωψ
∂t
→
ω=
∂ 2ψ
= −k2 ψ
∂ x2
→
k2 = −
(5.45)
1 ∂ 2ψ
ψ ∂ x2
(5.46)
Substitutie in de dispersierelatie geeft de Schrödingervergelijking (1926):
ih̄
h̄2 ∂ 2 ψ
∂ψ
=−
+V ψ
∂t
2m ∂ x2
(5.47)
Schrödinger was er heilig van overtuigd dat hij hiermede een golfvergelijking had voor zogenaamde materiegolven en dat de vergelijking interpreteerbaar was in termen van de klassieke golfleer. Echter, drie maanden
voor het ontstaan van de Schrödingervergelijking, had Heisenberg reeds een bruikbare kwantummechanica
(de zogenaamde Matrixmechanica) geformuleerd, waarbij hij helemaal niet uitgegaan was van de klassieke
golfleer. Alhoewel Schrödinger er binnen de kortste keren in slaagde aan te tonen dat de theorie van Heisenberg gelijkwaardig was aan de zijne, moest hij tenslotte toegeven dat een interpretatie in termen van de
klassieke golfleer slechts een deel van de waarheid was. We hebben hier te maken met een nieuwe theorie:
de kwantummechanica.
Bovenstaande mag u beslist niet opvatten als een afleiding van de Schrödingervergelijking. Immers op basis
van de dispersierelatie zijn vele golfvergelijkingen mogelijk en in het echt heeft Schrödinger zijn vergelijking ook niet op deze wijze gevonden. Dat de Schrödingervergelijking de enig juiste is, wordt bevestigd
68
door het experiment. De Schrödingervergelijking is een basisvergelijking in de fysica, zoals F = ma ook
een basisvergelijking is. Zij kennen geen afleiding.
De Schrödingervergelijking wordt later uitgebreid behandeld, zodat we er nu niet te veel over willen zeggen.
Slechts één ding: de vergelijking is dispergerend! Kijk maar naar de dispersierelatie (5.43). Stellen we ons
een vrij deeltje (dat wil zeggen V = 0) voor als een golfpakket, dan zal dat golfpakket in de loop van de tijd
uitgesmeerd worden. De onzekerheid met betrekking tot de plaats van het deeltje zal toenemen.
69
Vraagstukken hoofdstuk 5
De golfvergelijking
5.1 Gegeven de klassieke golfvergelijking voor een homogene snaar:
∂ 2ψ
ρ ∂ 2ψ
=
∂ x2
S ∂t 2
Toon aan, door middel vanqsubstitutie, dat ψ(x,t) = g(x − vt) + h(x + vt) een algemene oplossing is,
onder de conditie dat v =
S
ρ.
5.2 In een medium loopt de golf ψ(x,t) = ψ0 cos(−ωt − kx)
(a) Laat zien dat de golf naar links loopt, dat wil zeggen in de richting van de negatieve x-as. Wat is
zijn voortplantingssnelheid?
(b) Toon aan dat de golf geschreven kan worden als een functie h(x + vt).
5.3
(a) Geef in woorden weer hoe men, uitgaande van een gegeven golfvergelijking, de dispersierelatie
van het medium kan vinden.
(b) Voer dit proces uit voor de volgende golfvergelijking:
ρ ∂ 2ψ
∂ 2ψ
=
∂ x2
S ∂t 2
5.4
(a) Geef in woorden weer hoe men, uitgaande van een gegeven golfvergelijking, de fasesnelheid
van een lopende golf kan vinden.
(b) Voer dit proces uit voor de volgende golfvergelijking:
∂ 2ψ
ρ ∂ 2ψ
=
∂ x2
S + ba0 ∂t 2
5.5 Transversale oscillaties in een snaar zijn onderworpen aan de vergelijking:
∂ 2ψ
ρ ∂ 2ψ
=
∂ x2
S ∂t 2
Longitudinale oscillaties in een snaar zijn onderworpen aan de vergelijking:
∂ 2ψ
ρ ∂ 2ψ
=
∂ x2
S + ba0 ∂t 2
De aardkorst gedraagt zich bij benadering als zo’n snaarmedium. Ergens diep in de aardkorst gebeurt
iets, waardoor kortstondig longitudinale en transversale oscillaties worden opgewekt.
Ieder huis is, uit de aard der zaak, vooral gebouwd om krachten in verticale richting op te vangen.
Bestaat er voor de bewoners van een huis, gelegen pal boven het centrum van genoemde aardbeving,
een ontsnappingsmogelijkheid?
Staande golven
5.6 Gegeven een homogene snaar, onderworpen aan de klassieke golfvergelijking (5.1). In ontspannen
toestand heeft de snaar een lengte van 1 m, een diameter van 0,5 mm en een dichtheid van 9 g · cm−3 .
Aan het linkereind bevestigt men een trillingsmachine, die transversaal oscilleert volgens ψ = ψ0 sin ωt
vanaf t ≥ 0.
Om de snaar op spanning te brengen leidt men deze over een pin en hangt aan het rechtereind een
massa van 10 kg. Onder invloed van de massa rekt de snaar uit over een afstand van 10,4 cm. De
afstand tussen machine en pin is 1 m. Zie figuur.
Voor de beantwoording van de vragen mag u gebruik maken van alle formules uit het dictaat. Stel
g = 10 m · s−2 .
70
(a) De machine wekt in de snaar een golf op. Na hoeveel seconden heeft de kop van de golf de pin
bereikt?
(b) De frequentie ν van de machine is gelijk aan 250 Hz.
Bereken de golflengte van de golf.
(c) De snaar is een paar maal om de pin gedraaid, zodanig dat bij de pin volledige reflectie optreedt.
Teken de snaar op 4 ms, 6 ms en 8 ms na het aanzetten van de machine.
(d) Na 8 ms wordt de machine uitgeschakeld. Teken de snaar op t = 10 ms.
(e) Wat voor soort beweging voert de snaar uit voor t > 8 ms?
Hoe lang zal deze beweging duren?
Correspondeert de beweging met de grondtoon van de snaar?
5.7 Het linkereind van een snaar is ingeklemd. Aan het rechtereind bevindt zich een massaloos ringetje
dat wrijvingsloos om een verticale staaf kan bewegen.
Het rechtereind noemen we een vrij uiteinde. Per definitie werken op een vrij uiteinde geen transversale krachten, dat wil zeggen:
∂ψ
Fy (x,t) = S
= 0 voor x = L
∂x
De golfvergelijking van de snaar is:
∂ 2ψ
ρ ∂ 2ψ
=
∂ x2
S ∂t 2
(a) Bepaal de golflengten en frequenties van de grondtoon en de eerste twee boventonen.
(b) Geef in een figuur de situatie voor deze drie modes weer.
5.8 Is de dispersierelatie voor staande golven anders dan voor lopende golven?
5.9 In het dictaat is aangetoond dat de algemene oplossing van de klassieke golfvergelijking voor een
ingeklemde snaar gelijk is aan:
∞
ψ(x,t) =
∑ An sin kn x cos(ωnt + ϕn )
(5.48)
n=1
71
met
nπ
kn =
L
s
en ωn = kn
S
ρ
Anderzijds wordt in het dictaat beweerd dat de algemene oplossing van de klassieke golfvergelijking
altijd de structuur heeft:
s
S
ψ(x,t) = g(x − vt) + h(x + vt) met v =
(5.49)
ρ
Toon aan dat (5.48) te schrijven is in de vorm van (5.49).
Dispersie
5.10 Waaraan kan men direct zien of een medium dispergerend of niet-dispergerend is?
5.11 Iedereen weet dat zilver uitstekend geschikt is voor het maken van spiegels. Ook is algemeen bekend
dat men elektrische installaties kan afschermen van radiogolven door ze te omgeven met een metalen
omhulsel (coaxkabels). Verder weet men dat radargolven door metalen gereflecteerd worden (detectie
van vliegtuigen). Iets minder bekend is dat metalen slechts moeizaam röntgenstralen tegenhouden
(dikke platen lood). Dit alles wordt veroorzaakt door de aanwezigheid van vrije elektronen in een
metaal. Men kan aantonen dat de dispersierelatie van metalen voor elektromagnetische straling in
eerste benadering de volgende vorm heeft:
ω 2 = ω02 + c2 k2
met ω02 =
Ne2
ε0 m
met N het aantal vrije elektronen per volume eenheid.
(a) Wat is het verband tussen golflengte en frequentie van elektromagnetische stralen in vacuüm?
(b) Zilver heeft ongeveer 5,866 × 1028 vrije elektronen per m3 . Bereken de afsnijfrequentie van
zilver.
(c) Röntgenstralen hebben in vacuüm een golflengte liggende tussen 0,01 en 10 nm. Is zilver transparant voor röntgenstralen?
(d) De indringdiepte is gedefinieerd als de afstand waarvoor de amplitude van een golf is afgenomen
van A tot Ae−1 . Bereken de indringdiepte van rood licht (650 nm) en blauw licht (450 nm).
(e) Een half doorlatende spiegel is voorzien van zo’n dun laagje zilver dat de helft van de intensiteit
van het opvallende licht door het zilver wordt doorgelaten. Stel dat dit het geval is voor geel licht
(580 nm). Hoe dik moet de laag zilver zijn? Verwaarloos de reflectie die optreedt bij de overgang
van zilver naar vacuüm.
(f) Als we door deze spiegel naar wit licht kijken, wat verwacht je dan voor de kleur van het licht.
5.12 De brekingsindex n is gedefinieerd als n = cv , met c = lichtsnelheid in vacuüm en v = lichtsnelheid in
medium. Voor de brekingsindex van glas is afleidbaar:
n = 1+
met:
Ne2
2ε0 m(ω02 − ω 2 )
N = aantal glasatomen per volume-eenheid;
e = lading elektron;
m = massa elektron;
ω0 = eigenfrequentie van een oscillerend elektron in het glas;
ω = frequentie van het licht.
72
(a) De eigenfrequentie ω0 van glaselektronen ligt in het ultraviolet. Toon aan dat voor zichtbaar
licht de lichtsnelheid in het glas altijd kleiner is dan c.
Gegeven: In vacuüm λU.V. ≈ 200 nm;
λblauw ≈ 400 nm;
λrood ≈ 800 nm.
Welke kleur heeft de grootste brekingsindex?
(b) Toon aan dat voor röntgenstralen (in vacuüm λ ≈ 10 nm) de snelheid v groter is dan c.
Volgens Einstein bestaat er geen snelheid groter dan c. Wat voor soort snelheid is v dan?
(c) Toon aan dat de groepssnelheid van het licht in glas altijd kleiner is dan c.
(d) Bereken v indien ω gelijk is aan ω0 . Hoe zou u dit interpreteren?
5.13 Een kurk drijft op een wateroppervlak, waarover een sinusvormige golf zich voortplant. De golflengte
is 10 m en de amplitude 0,10 m. Voor het wateroppervlak geldt de dispersierelatie:
v2f =
g kγ
−
k ρ
Hierin is ρ de dichtheid en γ de oppervlaktespanning, welke voor water 7 × 102 N · m−1 is; g =
10 m · s−2 ; ρ = 1 × 103 kg · m−3 . Bereken de maximale snelheid van de kurk.
5.14 In een stalen staaf loopt een longitudinale golf, opgewekt door een oscillator, gekoppeld aan een
uiteinde. Voor een staaf geldt de klassieke golfvergelijking:
δ 2 ψ(z,t) Y δ 2 ψ(z,t)
=
δt 2
ρ δ z2
met Y de elasticiteitsmodulus (N · m−2 ) en ρ de massa per lengte-eenheid (kg · m−1 ).
Voor staal geldt:
Y = 2,0 × 1011 N · m−2 ;
ρ = 7,8 × 103 kg · m−3 .
Voor de staaf geldt verder:
diameter = 4 mm;
amplitudo van de trilling = 0,1 mm;
frequentie = 10 Hz.
(a) Bepaal de dispersierelatie.
(b) Bereken de vergelijking van de golf in de staaf.
De klassieke golfvergelijking gaat alleen op als er geen sprake is van zijdelingse vervorming.
Houden we hier rekening mee, dan vinden we voor de fasesnelheid:
s
Y
π 2 µ 2 R2
vf = (1 −
)
2
λ
ρ
met µ de constante van Poisson en R de straal van de staaf.
(c) Bepaal de groepssnelheid en druk deze uit in de fasesnelheid.
(d) Bespreek de verandering van vf en vgr als functie van λR .
kwantummechanica
5.15 Beschouw een vrije deeltje, massa m, snelheid v. Onder een vrij deeltje verstaat men in de kwantum
mechanica een deeltje zonder potentiële energie. In de klassieke fysica geldt dat de totale energie
E = 12 mv2 . Volgens Einstein (E = hω) en de Broglie (p = hk). Kan dit omgezet worden in een soort
dispersierelatie voor golven. Toon aan dat niet de fasesnelheid, maar de groepssnelheid correspondeert
met de snelheid v van het klassieke deeltje.
73
5.16 In de relativistische mechanica geldt voor een vrij deeltje het volgende verband tussen energie en
impuls:
E 2 = p2 c2 + m20 c4
Hierin is c de lichtsnelheid en m0 de rustmassa. Leidt op analoge wijze als in § 5.6 van het dictaat,
de bijbehorende “golfvergelijking” af. Welke naam zou u aan die “golfvergelijking” geven? Heeft uw
golfvergelijking een afsnijfrequentie? Zo ja, hoe groot is die dan?
74
Antwoorden hoofdstuk 5
Staande golven
5.6
(a) ∆t = 4 ms.
(b) λ = 1 m.
(c) en (d)
(e) Een staande golf die ∞ lang voortbestaat;
Het is de 1e boventoon.
5.7
(a)
π
2L
q
S
ρ;
grondtoon:
λ0 = 4L, ω0 =
1e boventoon:
λ1 = 13 λ0 , ω1 = 3ω0 ;
2e boventoon:
λ2 = 15 λ0 , ω2 = 5ω0 .
Dispersie
5.11
(a) λ = cT .
(b) ω0 ≈ 1,4 × 1016 s−1 .
(c) ja.
(d) δrood = 2,25 × 10−8 m en δblauw = 2,32 × 10−8 m.
(e) dikte = 78,8 Å.
(f) groenachtig.
5.12
(a) nrood < nblauw .
(b) v = fasesnelheid.
(d) absorptie.
5.13 0,25 m · s−1 .
75
5.14
(a) ω 2 =
Y 2
k .
ρ
(b) ψ(x,t) = 1 × 10−4 cos 2π(10t − 1,97 × 10−3 x).
r
Y
(c) vgr = 3vf − 2
.
ρ
5.16 Klein-Gordon-vergelijking:
2
m20 c4
∂ 2ψ
2∂ ψ
=
c
−
ψ
∂t 2
∂ x2
h̄2
en
ωafsnij =
m0 c2
.
h̄2
76
Hoofdstuk 6
Het elektromagnetische veld en fotonen
6.1
Het elektromagnetisch veld
In de klassieke theorie van de elektrodynamica is een geladen object de bron van een elektromagnetisch
veld (EM-veld) . Men kan bewijzen dat in een ruimte zonder bronnen het elektrisch veld ~E moet voldoen
aan de klassieke golfvergelijking.
∇2 ~E =
1 ∂ 2 ~E
c2 ∂t 2
met ~E = ~E(x, y, z,t)
(6.1)
Dit zijn drie vergelijkingen, ieder van de vorm (5.23). Een wisselend elektrisch veld is nooit alleen, maar
wordt altijd vergezeld door de magnetische inductie ~B. Dit ~B-veld heeft een grootte gelijk aan Ec . De richting
van ~B is zodanig dat bij draaiing van ~E naar ~B over de kleinste hoek dit volgens de kurkentrekkerregel de
voortplantingsrichting oplevert. De c uit (6.1) is de lichtsnelheid, waarvoor te schrijven is:
1
c= √
ε0 µ0
(6.2)
ε0 = permittiviteit van het vacuüm = 8,854 × 10−12 C2 · N−1 · m−2 ;
µ0 = permeabiliteit van het vacuüm = 1,2566 × 10−6 m · kg · C−2 .
Substitutie van deze getallen geeft de bekende lichtsnelheid van 3 × 108 m · s−1 in het vacuüm.
~ Voor het vacuüm geldt:
In plaats van magnetische inductie kan men ook werken met het magnetisch veld H.
met
~B = µ0 H
~
(6.3)
Zowel het elektrisch veld als de magnetische inductie (of magnetisch veld) staan loodrecht op de voortplantingsrichting. Het vacuüm gedraagt zich voor elektromagnetische golven (EM-golven) als een snaar met
transversale oscillaties. Longitudinale EM-golven zijn niet mogelijk.
In figuur 6.1 is een eendimensionale EM-golf getekend, zich voortplantend langs de x-as.
Deze golf is een mogelijke oplossing van de vergelijking
∂ 2 Ey (x,t)
1 ∂ 2 Ey (x,t)
=
∂ x2
c2
∂t 2
(6.4)
Daarnaast zou er nog een Ez met bijbehorende By kunnen bestaan volgens:
∂ 2 Ez (x,t)
1 ∂ 2 Ez (x,t)
=
∂ x2
c2
∂t 2
(6.5)
q
Stel dat Ey en Ez allebei vlakke golven zijn. Het totale veld E is gelijk aan Ey2 + Ez2 . Indien Ey en Ez
gelijke frequenties hebben, beschrijft het uiteinde van de E-vector een ellips. We spreken van elliptisch
gepolariseerd licht. Zijn bovendien de amplitudes aan elkaar gelijk en is het faseverschil gelijk aan π2 , dan
gaat de ellips over in een cirkel: circulair gepolariseerd licht. Is het faseverschil 0 of π dan vernauwt de
77
Figuur 6.1: Een eendimensionale vlakke EM-golf langs de x-as.
ellips zich tot een recht lijnstukje: lineair gepolariseerd licht oftewel een vlakke golf , zoals getekend in
voorgaand figuur. Bestaat er helemaal geen verband tussen Ez en Ey dat wil zeggen de amplitude en/of
fase en/of frequentie van zowel Ez als Ey zijn niet constant, maar veranderen voortdurend, dan spreken
we van ongepolariseerd of natuurlijk licht, (bijvoorbeeld zonlicht, licht van gloeilampen). Er bestaat een
materiaal (polaroid) dat slechts één trillingsrichting doorlaat. Met deze zogenaamde polarisatoren kan men
op éénvoudige wijze de trillingsrichting van de golf wijzigen of ongepolariseerd licht polariseren.
We poneren dat de tijdsafhankelijke energiestroomdichtheid van het elektromagnetisch veld gegeven wordt
door de formule:
~S = ~E × H
~ = c2 ε0 ~E × ~B
(6.6)
De vector ~S wordt de Poynting vector genoemd. De absolute waarde is de grootte van de energiestroomdichtheid of intensiteit van het licht. De richting van ~S correspondeert met de richting van de energiestroom,
dus met de voortplantingsrichting van de golf. Voor vlakke golven hebben we:
S = ε0 cE 2
(6.7)
De intensiteit is evenredig met de uitwijking in het kwadraat (zie hoofdstuk 1)
Voor bolgolven gaat (6.1) over in:
2 ∂ ~E ∂ 2 ~E
1 ∂ 2 ~E
+ 2 = 2 2
r ∂r
∂r
c ∂t
(6.8)
met als oplossing de geretarteerde golf:
~E t − r
c
~E =
r
6.2
(6.9)
Gepolariseerd licht en fotonen
Ongepolariseerd licht valt in op een stukje polaroid, waarvan de doorlaatrichting de x0 -as is. Alleen het veld
lineair gepolariseerd langs de x0 -as wordt doorgelaten. We noemen dit filter een polarisator (zie figuur 6.2).
Na de polarisator hebben we lineair gepolariseerd licht, waarvan het elektrisch veld oscilleert langs de
x0 -as. Voor de polarisator zijn alle trillingsrichtingen in gelijke mate aanwezig. Van iedere richting wordt
alleen de component van het elektrisch veld langs de x0 -as doorgelaten. Als de gemiddelde intensiteit voor
de polarisator gelijk is aan I0 , resulteert dit in een gemiddelde intensiteit na de polarisator gelijk aan I20 ,
ongeacht de polarisatie-as (= de doorlaatrichting) van de polarisator (zie figuur 6.3).
Het gepolariseerde veld E1 filteren we opnieuw met een stukje polaroid (dit noemen we de analysator),
waarvan de polarisatie-as gelijk is aan de x-as. Alleen de component van E1 langs de x-as wordt doorgelaten.
Noemen we de hoek tussen x- en x0 -as θ , dan is het veld na de polarisator gelijk aan E2 = E1 cos θ . De
andere component loodrecht op de doorlaatrichting E1 sin θ wordt door de polarisator geabsorbeerd. Stel
78
Figuur 6.2: Ongepolariseerd licht valt in op een polarisator met polarisatie-as x0 .
Figuur 6.3: Polarisator en analysator.
het veld E1 = A1 cos(−ωt + kz), dan geldt E2 = A1 cos θ cos(−ωt + kz + δ ). Die δ is een faseverschuiving,
veroorzaakt door het passeren van het polaroid. Deze is verder niet belangrijk. Waar het om gaat, is dat
de amplitude van het veld gereduceerd wordt met een factor cos θ . Eerder hebben we al geleerd dat de
intensiteit evenredig is met de uitwijking in het kwadraat en dat daarom de gemiddelde intensiteit evenredig
is met de amplitude in het kwadraat. Zo vinden we voor de gemiddelde intensiteit na de analysator:
I2 = I1 cos2 θ
(wet van Malus)
(6.10)
Desgewenst kan men de gemiddelde
intensiteiten exact uitrekenen door toepassing van vergelijking (6.7).
√
Stel θ = 30◦ . De cos 30◦ = 12 3. Dan ontstaat het intensiteitsprofiel zoals in figuur 6.4.
De polarisator absorbeert I20 van de invallende energie en vervolgens wordt door de analysator daarvan 41
geabsorbeerd. Totale absorptie 5I80 . Totale transmissie 3I80 .
Nu het fotonenmodel. Stel er valt slechts één foton in op de polarisator. Wat gebeurt er met dat foton? De
intensiteit is evenredig met het aantal fotonen dat per seconde een dwarsdoorsnede passeert. Dat zou betekenen dat de helft van het foton geabsorbeerd en de andere helft doorgelaten wordt, maar dat kan uiteraard
niet, want halve fotonen bestaan niet. We hebben hier weer een interpretatie in termen van kansen. Bij de
polarisator bestaat er 50% kans op transmissie en ook 50% kans op absorptie van het foton. Bij de analysator
heeft het foton een kans van 34 op transmissie en 14 op absorptie. Voor het systeem resulterend in een totale
transmissie kans van 38 en een totale absorptie kans van 58 .
79
Figuur 6.4: Gemiddelde intensiteiten voor θ = 30◦ .
Door de polarisatie van het EM-veld mee te nemen in onze beschouwingen, ontstaat binnen het fotonenmodel weer een nieuw terrein voor “rare” kwantummechanische effecten.
Figuur 6.5: Door toevoeging van een extra filter passeren meer fotonen het systeem.
In figuur 6.5 hebben we aanvankelijk alleen maar een polarisator en analysator, waarvan de polarisatieassen loodrecht op elkaar staan. Geen enkel foton zal dit systeem passeren. Voegen we echter een derde
polarisator toe, waarvan de polarisatie-as niet samenvalt met die van polarisator of analysator, dan wordt het
systeem weer gedeeltelijk transparant. Twee filters houden alles tegen, maar drie filters laten fotonen door.
In veldtermen volkomen begrijpelijk, maar in deeltjestermen toch wel een beetje vreemd.
Een schitterende illustratie van het vreemde gedrag vinden we in de kwantumwisser (quantum eraser) (zie
figuur 6.6).
Het licht kan via twee paden van de bron (een laser) naar de detector D1 en D2 gaan. BS1 en BS2 zijn
beamsplitters. S1 en S2 zijn spiegels. P1, P2, P3 en P4 zijn polarisatoren. We noemen dit wel een MachZehnder interferometer. De beamsplitters zijn perfecte splitters, dus de intensiteit van de invallende golf
wordt netjes gehalveerd. In fotonentaal: de helft van het aantal invallende fotonen gaat rechtdoor, de andere
helft wordt gereflecteerd. We bekijken eerst het licht dat in detector D1 terechtkomt. Het licht dat via het
bovenste pad (via S1) naar D1 gaat, ondergaat dezelfde faseverschuiving als het licht via het onderste pad
(via S2). Voor beide paden hebben we 1× transmissie bij BS, 1× reflectie aan BS, 1× spiegeling aan S en
ze doorlopen beide 2 polarisatoren. De golven zijn in fase met elkaar. Zonder polarisatoren krijgen we in
D1 interferentie van twee identieke golven. We moeten eerst de golven optellen en daarna kwadrateren om
de intensiteit te berekenen. In formule:
Esom = E1 + E2
→
2
Esom
= (E1 + E2 )2
(6.11)
Hierbij is E1 (E2 ) het veld in de buurt van de detector D1 dat het bovenste (onderste) pad gevolgd heeft. In
fotonentaal weten we niet welk pad het foton gevolgd heeft, dus interferentie.
Nu voegen we polarisator P1 en P2 toe, waarvan de polarisatie-assen loodrecht op elkaar staan. P1 polariseert
bijvoorbeeld langs de x-as (in het papier) en P2 langs de y-as (loodrecht op het papier). De z-as is dan het
80
Figuur 6.6: De kwantumwisser.
optische pad. Polarisator P3 is afwezig. Het licht dat nu in D1 komt, bestaat uit twee elektrische velden
loodrecht op elkaar.
Voor het somveld krijgen we (stelling van Pythagoras):
2
Esom
= E12 + E22
(6.12)
Hierbij is E1 (E2 ) weer het veld in de buurt van de detector D1 dat het bovenste (onderste) pad gevolgd heeft.
Deze zijn vanwege de lichtverzwakking en fasesprong van de polarisatoren niet identiek aan die van (6.11),
maar daar gaat het hier niet om. Het gaat erom dat we hier nu eerst moeten kwadrateren en daarna optellen
om de intensiteit te vinden. In kwantumtaal hebben we hier te maken met een collapse van de golffunctie.
Blijkbaar is er iets bekend, want een collapse treedt op als er in principe informatie beschikbaar is. Hier
kennen we het pad dat een foton gevolgd heeft, want ieder foton is gepolariseerd. Het heeft een x of een
y polarisatie. Deze polarisatie is bij detector D1 in principe meetbaar. Detector D1 meet dat niet, want dat
is een fotocel, een intensiteitsmeter. Het gaat erom dat je in principe iets kunt meten. Je zou detector D1
kunnen vervangen door een analysator met x-polarisatie. Gaat het foton daar doorheen, dan weet je dat dit
foton het bovenste pad gevolgd heeft. Komt er niets doorheen, dan moet het een y-foton geweest zijn, dat
het onderste pad gevolgd heeft. In principe is kennis aanwezig en dat is bepalend.
Nu voegen we polarisator P3 toe, wiens polarisatie-as een hoek θ met de y-as maakt.
81
We moeten nu de projectie nemen van E1 en E2 op de polarisatie-as van P3. Dit geeft:
π
Esom = E1 cos
− θ + E2 cos(θ )
2
De intensiteit bij de detector is dan evenredig met:
π
π
2
Esom
− θ + E22 cos2 (θ ) + 2E1 E2 cos
− θ cos(θ )
= E12 cos2
2
2
(6.13)
(6.14)
Als θ gelijk is aan 45◦ , kunnen we schrijven:
2
Esom
=
1
1 2
E1 + E22 + 2E1 E2 = (E1 + E2 )2
2
2
(6.15)
Nu is het weer: eerst optellen, daarna kwadrateren. Door toevoeging van P3 onder 45◦ wordt de informatie over het pad van het foton gewist. Immers ieder “45◦◦ foton” zal bij een analysator zich voor de
helft manifesteren als een x-foton en voor de andere helft als een y-foton. Tot zover het principe van de
kwantumwisser.
Als voorbeeld hoe je aan dit soort systemen kunt rekenen, werken we het één en ander nader uit.
Stel we hebben in (6.12):
E1 = Eˆ1 cos(−ωt + kz + γ) en E2 = Eˆ2 cos(−ωt + kz + γ),
want ze hadden gelijke fase. Dan vinden we met (6.7) voor de intensiteit in D1:
h
i
2
2
2
Izonder P3 = ε0 cEsom
= ε0 c Eˆ1 cos2 (−ωt + kz + γ) + Eˆ2 cos2 (−ωt + kz + γ))
Bepalen we hiervan het tijdsgemiddelde, dan levert dit op:
1
2
2
Izonder P3 = ε0 c Eˆ1 + Eˆ2 = I1 + I2
2
(6.16)
(6.17)
want het tijdsgemiddelde van de cosinus kwadraat functie is een half (zie appendix B). Nu voegen we
polarisator P3 toe, wiens polarisatie-as een hoek van 45◦ met de y-as maakt. Met (6.15) ontstaat;
h
i
1
2
2
Imet P3 = ε0 c Eˆ1 cos2 (−ωt + kz + γ) + Eˆ2 cos2 (−ωt + kz + γ) + 2Eˆ1 Eˆ2 cos2 (−ωt + kz + γ) (6.18)
2
Gemiddeld in de tijd:
1
1 ˆ2 1 ˆ2 ˆ ˆ
1
1
1
Imet P3 = ε0 c
E1 + E2 + E1 E2 = I1 + I2 + ε0 cEˆ1 Eˆ2
2
2
2
2
2
2
(6.19)
Als Eˆ1 = Eˆ2 , wat bij onze perfecte beamsplitters zeker het geval zal zijn, ontstaat:
Imet P3 = Izonder P3 = 2I1
(6.20)
De intensiteit verandert niet door toevoeging van P3. Dat is begrijpelijk, want voor P3 hebben we lineair gepolariseerd licht onder 45◦ . Filter P3 laat alles door. Filter P3 doet niks met het veld. Dit verandert overigens
niets aan het principe van de kwantumwisser. Het principe komt nog duidelijker naar voren bij detector D2,
als we aannemen dat tussen E1 en E2 een faseverschil is van 180◦ . Zonder polarisatoren krijgen we in D2
uitdoving. Met P1 en P2 wordt de interferentie opgeheven en dus ook de uitdoving. Het fotonpad is nu
bekend. Toevoeging van P4 onder 45◦ geeft weer uitdoving. De informatie is gewist.
82
6.3
Fotonspin
In de voorgaande paragraaf spraken we vrijelijk over de polarisatie van een foton. Nu is een foton een deeltje
en om daar een veldrichting aan toe te kennen is lichtelijk vreemd. Eerst moeten we beseffen dat er in feite
geen ongepolariseerd licht bestaat. Een gloeilamp bestaat uit een verzameling thermisch verhitte atomen
Het ene moment zendt atoom A gedurende ongeveer 1 × 10−8 s een golftrein uit met zekere polarisatie, het
andere moment zendt atoom B een golftrein uit waarvan de polarisatie i.h.a. niet gelijk is aan die van A.
Er ontstaat een stroom van golftreinen, waarvan de gemiddelde polarisatie gelijk nul is. Als de polarisatie
sneller varieert dan we kunnen detecteren, spreken we van ongepolariseerd licht, maar iedere golftrein op
zichzelf is gepolariseerd. Een golftrein had iets te maken met een foton, dus ieder foton moet een eigenschap bezitten, die correspondeert met gepolariseerd licht in de klassieke fysica. Een ongepolariseerd foton
komt niet voor, maar wat is dat in deeltjes taal? Daartoe moeten we weten dat circulair gepolariseerd licht
een impulsmoment bezit. Circulair gepolariseerd licht kunnen we (klassiek) opgebouwd denken uit de superpositie van twee loodrecht op elkaar staande oscillaties. Stel dat we een puntlading q in een circulair
gepolariseerd veld brengen, dan ondervindt de lading een kracht q~E, die te ontbinden is in een kracht qEx
langs de x-as en een kracht qEy langs de y-as. De puntlading gaat oscilleren langs x- en y-as, en de resultante daarvan is een cirkelbeweging van de puntlading. De lading krijgt een impulsmoment. Op grond van
de behoudswet van impulsmoment moet het licht voordat het bij de stilstaande lading aankwam, een impulsmoment gehad hebben. Conclusie: circulair gepolariseerd licht bezit een impulsmoment. Dit betekent
dat een foton, corresponderende met circulair gepolariseerd licht, ook een impulsmoment heeft, m.a.w. er
draait iets. Nu weten we niet goed wat er bij een foton (of elektron of andere elementair deeltje) draait,
zodat we die eigenschap een nieuwe naam gegeven hebben, namelijk spin. Circulair gepolariseerd licht kan
op twee manieren voorkomen: linksomdraaiend en rechtsomdraaiend. Deze kreten zeggen niets, omdat het
er maar vanaf hangt vanaf welke kant men tegen de draaiende E-vector aankijkt. Daarom spreekt men van
“right-hand-circular” (RHC) licht en van “left-hand-circular” (LHC) licht. Met RHC bedoelt men: krom de
vingers van de rechterhand in de draairichting van de E-vector, dan wijst de duim de voortplantingsrichting
aan. Analoog LHC voor de linkerhand. In de kwantummechanica zegt men: een RH-foton bezit spin+1,
een LH-foton bezit spin-1. Een LH-foton bezit een even groot, tegengesteld gericht impulsmoment. Iedere
polarisatie is te schrijven als de superpositie van RH- en LH-licht. Daarom correspondeert de macroscopische eigenschap polarisatie van het licht met de microscopische eigenschap spin van het foton. De spin
van de fotonen manifesteert zich in de macroscopische fysica als gepolariseerd licht. De macroscopische of
klassieke fysica ontstaat in dit geval door een heleboel fotonen te nemen en daar statistiek mee te bedrijven.
6.4
De kwantummechanische beschrijving van spin
Er zijn oneindig veel polarisaties mogelijk, zodat men in eerste instantie zou kunnen denken dat er ook
oneindig veel soorten fotonen zijn. Dat is ook zo, maar iedere polarisatie is op te bouwen uit bijvoorbeeld
twee loodrecht op elkaar staande oscillaties, zoals we in § 6.1 gezien hebben. Het is daarom voldoende
aan het foton twee zogenaamde basistoestanden toe te kennen. Er bestaat een grote mate van vrijheid in de
keuze van de basistoestanden. Zo kun je als basistoestanden RH en LH licht nemen, maar bijvoorbeeld ook
een oscillatie langs de x-as en langs de y-as. (In de kwantum mechanica kiest men altijd de z-as als as van
voortplanting.) Iedere polarisatietoestand is dan te schrijven als de superpositie van twee basistoestanden.
Eerder hebben we gezien hoe we de toestand van een foton bewegend langs de z-as kwantummechanisch
schreven als:
ψ = ψ0 e
−iEt
h̄
e
ipz z
h̄
= ψ0 e−iωt eikz
(6.21)
waarbij de E in de formule natuurlijk niet het veld, maar de energie van het foton is. Stel dit foton is lineair
gepolariseerd langs de x-as. Dan moeten we aan (6.21) iets toevoegen. We doen dat hier even cryptisch. We
voegen toe een zogenaamde ket-vector |xi. (Dit komt uit de Dirac- of bracket-notatie. Daar kennen we ook
een bra-vector, bijvoorbeeld hx|). Zo ontstaat voor ons foton, lineair gepolariseerd langs de x-as:
ψ = ψ0 e−iωt eikz |xi
(6.22)
83
Deze ket-vector |xi is geen golf. Immers, als je bijvoorbeeld x- en y-gepolariseerde velden bij elkaar optelt
ontstaat een nieuwe polarisatie toestand (elliptisch gepolariseerd licht) en niet een vreemde interferentietoestand van polarisaties. Aan spin voegen we geen golf toe. Bekijken we systemen waarbij de impuls van
het foton constant blijft, dan kunnen we de voorfactor uit (6.22) weglaten. Kiezen we |xi en |yi als polarisatie
basisvectoren dan wordt de toestand |x0 i van het foton uit figuur 6.3 na de polarisator geschreven als:
|x0 i = cos θ |xi + sin θ |yi
(6.23)
De modulus in het kwadraat van de factor voor een basistoestand wordt geı̈nterpreteerd als de kans om bij
meting die specifieke basistoestand te vinden. Dus de kans om een foton aan te treffen in de toestand |xi is
gelijk aan | cos2 θ | = cos2 θ en de kans op |yi is gelijk aan sin2 θ . De som van de kansen moet uiteraard gelijk
1 zijn. Dat is hier het geval. Is dit niet het geval, dan moeten we het rechterlid van (6.23) vermenigvuldigen
met een zogenaamde normeringsfactor. De meting aangaande de vraag of we te maken hebben met een |xi
of |yi foton wordt in figuur 6.3 daadwerkelijk uitgevoerd door de analysator.
Stel we vinden dat na de meting de nieuwe toestand van het foton gelijk |xi. Dit is de befaamde collapse
van de golffunctie. We kunnen bij deze filtering het meetproces beschrijven met de basisvergelijking uit
de kwantummechanica: de Schrödingervergelijking (SV). Het is zeer wel mogelijk om met behulp van de
SV de interactie te beschrijven tussen een foton |x0 i en de moleculen van de analysator. In dit geval is de
collapse van de golffunctie ogenschijnlijk geen geheimzinnige gebeurtenis.
Het punt is dat de meetopstelling, wat we daar ook voor kiezen, gebaseerd is op de gedachte dat een |x0 ifoton eigenlijk een |xi- of een |yi-foton is. Stel dat de meting een |xi-foton oplevert, dan worden we eigenlijk
bevestigd in het idee dat vóór de meting er al een |xi-foton was.
Dat is zeer gevaarlijk om dat te zeggen, zo kunnen we her en der lezen, want als je niet meet of je meet wat
anders (draai bijvoorbeeld de analysator een kwartslag), dan vind je wat anders. Akkoord, maar voor dat ene
specifieke foton, bij die ene specifieke meetopstelling, dat na de meting de toestand |xi oplevert, mag ik dat
toch wel zeggen? Dat is niet testbaar, is het volgende tegenargument. Daarin hebben ze gelijk, want om te
controleren of we voor de meting een toestand |xi hebben, moeten we voor de analysator een meetapparaat
neerzetten met alle gevolgen van dien.
De meetopstelling uit figuur 6.3 vertoont EPR-achtige trekken. Je kunt zeggen: de analysator doet niets met
een |xi-foton. Een |xi-foton wordt gewoon doorgelaten. Ook een berekening met de SV tussen |x0 i-foton
en de moleculen van de analysator geeft geen nieuwe inzichten, omdat je een vertaalslag moet maken naar
meetbare grootheden. Eén van de conclusies zal zijn: de kans dat een |xi-foton de ideale analysator passeert
is 100%. In de vertaling naar een interpreteerbaar beeld heb ik vóór de meting reeds een |xi- of een |yifoton. In dat beeld doet het ideale meetapparaat niets, het verandert de toestand |xi of |yi niet. Het geeft
alleen maar uitsluitsel of je te maken hebt met een |xi- of een |yi-foton. Alleen al de aanwezigheid van
het meetapparaat verandert de kwantummechanische uitdrukking |x0 i in de klassieke interpretatie: er is een
|xi- of een |yi-foton aanwezig. Naar mijn overtuiging is de collapse geen fysisch proces. De aanwezigheid
van meetapparatuur creëert randvoorwaarden. De collapse is niks anders dan het aanbrengen van extra
randvoorwaarden. Hiermee is het verhaal natuurlijk niet ten einde. De volgende vraag is bijvoorbeeld:
waarom werkt het zo in de kwantummechanica en niet in de klassieke mechanica of elektrodynamica?
De meest bekende versie van de EPR-paradox is die van Bohm. Toegepast op fotonen luidt het verhaal als
volgt. Een bron emitteert twee fotonen, die zich van elkaar verwijderen (zie figuur 6.7).
Figuur 6.7: EPR-paradox, versie Bohm.
84
Door de wijze waarop de fotonen gecreëerd worden, moeten ze een gelijke circulaire polarisatie toestand
hebben. Dit betekent dat als foton 1 een polarisatie heeft langs de x-as, is foton 2 gepolariseerd langs de
y-as. Net als bij het twee spleten experiment of de halfdoorlatende spiegel moeten we de toestand van het
systeem beschrijven als een superpositie van twee basistoestanden. In formule
i
|ψi = √ (|x1 i |y2 i + |y1 i |x2 i)
2
(6.24)
Als de doorlaat-as van polarisator A de x-as is en we meten met de detector daadwerkelijk dat foton 1 polarisator A gepasseerd is, dan zal volgens het projectie postulaat de nieuwe toestand gelijk zijn aan |x1 i |y2 i,
met andere woorden, foton 2 heeft een y-polarisatie, hoewel foton 2 niet beroerd wordt door enig meetinstrument. Meten we even later de polarisatie toestand van foton 2 met polarisator B, dan blijkt inderdaad dat
foton 2 een y-polarisatie heeft. Aan dit soort opstellingen wordt daadwerkelijk gemeten, vooral met het doel
het niet-lokale karakter van de kwantummechanica experimenteel te bevestigen.
85
Vraagstukken hoofdstuk 6
Het elektromagnetisch veld
6.1 In vacuüm zonder bronnen moet het EM-veld voldoen aan:
∇2 ~E =
1 ∂ 2 ~E
c2 ∂t 2
(a) Leidt de dispersierelatie af uit de golfvergelijking.
(b) Zal een EM-golftrein in de loop der tijd uitgesmeerd worden?
(c) In de kwantum mechanica stelt men zich een deeltje, dus ook een foton, graag voor als een
golfpakket van “materiegolven”. In het algemeen zal zo’n golfpakket gaan dispergeren.
Is dat in strijd met uw antwoord onder (b)?
Zie vooral ook opgave 5.16. De rustmassa m0 van een foton is nul.
6.2 Toon aan, uitgaande van de formule (6.6) voor de Poyntingvector , dat voor de intensiteit van lineair
gepolariseerd licht geschreven kan worden:
S = ε0 cE 2
6.3 Het elektrisch veld van een vlakke elektromagnetische golf in vacuüm wordt voorgesteld door
Ez = Ex = 0 en Ey = E0 cos(ωt − kx) waarin E0 = 0,5 V · m−1 en v = 1 × 108 Hz.
(a) Bepaal de golflengte, de polarisatietoestand en de richting waarin de golf loopt.
(b) Bereken de magnetisch inductie van de golf.
(c) Bereken de gemiddelde intensiteit van de golf.
6.4 De formule B = ± Ec geldt alleen voor lopende vlakken golven!
(a) Gegeven de staande golf: Ex (z,t) = A cos ωt cos kz.
Toon aan dat het bijbehorende veld H gelijk is aan:
Hy =
A
sin ωt sin kz
µ0 c
(b) Maak een schets van de situatie op de tijden t = 0,
T
8
en T4 .
6.5 Gegeven: ~S = c2 ε0 ~E × ~B
(a) Toon aan dat I ∼ (ψ1 + ψ2 )2 voor twee vlakke lichtgolven ψ1 en ψ2 , beide lopend naar rechts.
(b) Toon aan dat I ∼ ψ12 − ψ22 voor twee vlakke lichtgolven ψ1 en ψ2 , waarbij ψ1 naar rechts en
ψ2 naar links loopt.
Gepolariseerd licht en fotonen
6.6 Toon aan dat twee loodrecht op elkaar staande vlakken EM-golven met gelijke frequentie, ongelijke
amplitude en een faseverschil van 0 of π, tezamen lineair gepolariseerd licht geven.
6.7 De volgende combinatie van golven geeft circulair gepolariseerd licht.
π
Ex = A cos(ωt − kz) en Ey = A cos ωt − kz +
2
(a) Toon aan dat de grootte van het elektrisch veld in ieder punt z van de z-as, op ieder moment t,
gelijk is aan A.
86
(b) Maak een schets van de ronddraaiende E-vector op de plaats z = 0 op verschillende tijdstippen.
(c) Is dit RHC of LHC licht?
(d) Bepaal de grootte van de bijbehorende magnetische inductie en geef in een schets zijn positie
weer ten opzichte van de ronddraaiende E-vector.
6.8 De volgende combinatie van golven geeft circulair gepolariseerd licht.
π
Ex = A cos(ωt − kz) en Ey = A cos ωt − kz −
2
Is dit RHC of LHC licht?
6.9 Indien we het LHC licht zoals beschreven in opgave 6.7 en het RHC licht zoals weergegeven in
opgave 6.8 combineren, wat voor soort licht ontstaat er dan?
6.10 Lineair gepolariseerd licht valt in op een polarisator, waarvan de doorlaatrichting een hoek θ maakt
met het polarisatievlak van het licht. Zie figuur.
Bepaal de intensiteit van het licht vóór en na de polarisator met behulp van formule (6.7) uit het
dictaat. Bepaal ook hun verhouding.
6.11 Lineair gepolariseerd licht in het yz-vlak valt in op een polarisator-analysator combinatie. Zie voor de
oriëntaties de figuur.
(a) Bereken de verhouding tussen de intensiteit van het doorgelaten licht en het invallende licht.
(b) Beschrijf wat er gebeurt met één invallend foton.
6.12 Beschrijf met formules het principe van de kwantumwisser bij detector D2 van figuur 6.6. uit het
dictaat, aannemende dat de golven E1 en E2 die bij D2 aankomen 180◦ uit fase zijn.
87
Antwoorden hoofdstuk 6
Het elektromagnetisch veld
6.3
(a) λ = 3 m;
Lineair gepolariseerd licht in de richting van de +x-as.
1
(b) Bz =
cos(ωt − kx)
V · s · m−2 = Wb · m2 .
−8
6 × 10
(c) S = 3,3 × 10−4 J · m−2 · s−1 .
Gepolariseerd licht en fotonen
6.7
(c) LHC.
6.8 RHC.
6.9 lineair gepolariseerd licht.
6.10 I1 = ε0 cE 2 , I2 = ε0 cE 2 cos2 θ en
6.11
(a)
I2
I0
=
I2
I1
= cos2 θ
3
16 .
(b) Een foton heeft kans 14 om de polarisator te passeren;
Een foton heeft kans 34 om de analysator te passeren;
3
Een foton heeft kans 14 · 43 = 16
om het stelsel te passeren.
88
Hoofdstuk 7
De oscillator
7.1
De harmonische oscillator
Als voorbeeld van een harmonische oscillator beschouwen we een horizontaal opgestelde massa aan een
veer. De veer is aan een vaste wand bevestigd. De massa beweegt wrijvingsloos over een volkomen gladde
tafel (zie figuur 7.1).
Figuur 7.1: Het massa-veer systeem als harmonische oscillator.
Een oscillator noemen we harmonisch, wanneer de terugdrijvende kracht recht evenredig is met de uitwijking. In formule:
F = −bx
(wet van Hooke)
(7.1)
met x de uitwijking ten opzichte van de evenwichtsstand x = 0 en b de veerconstante of bindingssterkte. De
bewegingsvergelijking wordt:
−bx = m
d2 x
dt 2
(7.2)
of
d2 x b
+ x=0
dt 2 m
kortaf
r
ω0 =
b
m
(7.3)
zodat
d2 x
+ ω02 x = 0
dt 2
(7.4)
de karakteristieke vergelijking wordt dan:
λ 2 + ω02 = 0 → λ = ±iω0
met als oplossing:
x = a1 eiω0t + a2 e−iω0t
(7.5)
89
met eiα = cos α + i sin α is dit te schrijven als
x = (a1 + a2 ) cos ω0t + i(a1 − a2 ) sin ω0t
kortaf
a1 + a2 = b1
en i(a1 − a2 ) = b2
dit geeft:
x = b1 cos ωot + b2 sin ω0t
(7.6)
In de wiskunde zijn b1 en b2 onbepaalde complexe integratieconstanten. Dit is niet het geval in de fysica.
In de fysica moet x reëel zijn. Substitutie van de beginvoorwaarden (bijvoorbeeld op t = 0 geldt x = 0 en
v = v0 ), leidt automatisch tot een reële b1 en b2 . Daar hoeven we dus niet zelf aan te denken. We hebben hier
niet te maken met de rekentruc, waarbij we bewust overgaan op de complexe schrijfwijze en we na afloop
het reële deel nemen. In de fysica is (7.6) de oplossing van de bewegingsvergelijking (7.4) met b1 en b2
reële constanten. We kunnen (7.6) ook anders schrijven. Dat gaat als volgt:
b2
x = b1 cos ω0t + sin ω0t
b1
Stel
b2
b1
sin ϕ
= − tan ϕ = − cos
ϕ dan wordt:
x=
met x0 =
b1
(cos ϕ cos ω0t − sin ϕ sin ω0t)
cos ϕ
b1
cos ϕ
wordt dit:
x = x0 cos (ω0t + ϕ)
(7.7)
Zo hebben we voor differentiaalvergelijking (7.4) drie oplossingen gevonden:
1.
x = a1 eiω0t + a2 e−iω0t
2.
x = b1 cos ωot + b2 sin ω0t
3.
x = x0 cos (ω0t + ϕ)
De differentiaalvergelijking van het type (7.4) zijn we eerder tegengekomen bij de staande golven (vergelijking 5.7). Toen kozen we als oplossing de vorm 2, zie vergelijking (5.8). In de kwantummechanica zullen
we type (7.4) ook vele malen tegen komen. Dan kiezen we voor oplossingsvorm 1. Hier bij de harmonische
oscillator is het handig vorm 3 als oplossing te gebruiken. Dus we hebben voor de uitwijking x:
x = x0 cos (ω0t + ϕ)
q
x0 noemen we amplitude en ω0 = mb noemen we eigenfrequentie of natuurlijke frequentie van de oscillator.
ϕ heet de fase.
De snelheid van de massa volgt uit (7.7):
v=
dx
= −x0 ω0 sin (ω0t + ϕ)
dt
1
1
T = mv2 = mx02 ω02 sin2 (ω0t + ϕ)
2
2
(7.8)
De potentiële energie volgt uit de definitie van potentiële energie.
V =−
Z
Fx dx = −
Z
1
−bx dx = bx2 + K
2
90
Kies V = 0 voor x = 0, dan is K = 0.
1
1
V = bx2 = bx02 cos2 (ω0t + ϕ)
2
2
(7.9)
De totale energie is dan:
1
1
1
1
E = T +V = mx02 ω02 sin2 (ω0t + ϕ) + bx02 cos2 (ω0t + ϕ) = mx02 ω02 = bx02
2
2
2
2
q
waarbij gebruik gemaakt is van ω0 = mb .
De totale energie is constant en evenredig met de amplitude in het kwadraat (zie figuur 7.2).
(7.10)
Figuur 7.2: De potentiële en totale energie als functie van de uitwijking van een harmonische oscillator.
7.2
De aangedreven harmonische oscillator
We gaan het massa-veer systeem aandrijven door de wand heen en weer te bewegen (zie figuur 7.3).
Figuur 7.3: De aangedreven harmonische oscillator.
De veer is uitgerekt over de afstand x − z, zodat de terugdrijvende kracht gelijk is aan b(x − z). Invullen in
F = ma geeft
−b(x − z) = m
dx2
dt 2
91
ofwel
m
d2 x
+ bx = bz
dt 2
Neem voor z = z0 cos ωt
m
d2 x
+ bx = bz0 cos ωt
dt 2
Gebruik (7.3). Dit resulteerd in:
d2 x
+ ω02 x = ω02 z0 cos ωt
dt 2
(7.11)
Probeer als oplossing x = x0 cos ωt, dit geeft:
−ω 2 x0 cos ωt + ω02 x0 cos ωt = ω02 z0 cos ωt
ofwel
−ω 2 + ω02 x0 = ω02 z0
Dit levert:
x0 =
ω02 z0
−ω 2 + ω02
(7.12)
De oplossing wordt:
x=
ω02 z0
cos ωt
−ω 2 + ω02
Voor ω < ω0 is de amplitude positief:
x=
ω02 z0
cos ωt
ω02 − ω 2
(7.13)
Voor ω > ω0 wordt de amplitude negatief, maar een amplitude kiezen we nooit negatief, dus het minteken
gaan we in de cosinusterm onderbrengen.
ω > ω0
→
x=
ω02 z0
cos(ωt − π)
ω 2 − ω02
(7.14)
Voor ω = ω0 wordt voor het ongedempte systeem de amplitude oneindig groot. We spreken van amplitude
resonantie en resonantiefrequentie ω0 . Voor de volledigheid is in figuur 7.4 ook de amplitude en fase weergegeven van een gedempte harmonische oscillator, die beschreven wordt door de bewegingsvergelijking
m
d2 x
dx
+k
+ bx = bz
2
dt
dt
(7.15)
In het algemeen kunnen we stellen dat amplitude resonantie optreedt, wanneer je aandrijft met een frequentie
in de buurt van de eigenfrequentie van het systeem.
92
Figuur 7.4: Amplitude en fasekarakteristieken van de ongedempte en gedempte harmonische oscillator.
7.3
De kwantummechanische oscillator
In § 5.6 hadden we de eendimensionale Schrödingervergelijking afgeleid:
ih̄
∂ψ
h̄2 ∂ 2 ψ
+V ψ
=−
∂t
2m ∂ x2
(5.47)
Passen we dit toe op een harmonische oscillator, dan moeten we voor V de potentiële energie invullen van
de klassieke harmonische oscillator. Die kennen we. Er geldt:
1
1
V = bx2 = mω02 x2
2
2
q
want de eigenfrequentie ω0 is gelijk aan mb
Zo ontstaat de SV voor de harmonische oscillator.
ih̄
∂ψ
h̄2 ∂ 2 ψ 1
=−
+ mω02 x2 ψ
∂t
2m ∂ x2 2
(7.16)
We gaan deze vergelijking later oplossen. Op dit moment is van belang dat voor stationaire oplossingen dit
leidt tot kwantisatie van de energie.
1
En = n +
h̄ω0
(7.17)
2
Hierbij is n het zogenaamde vibratie kwantumgetal. Dus de energie van een harmonische oscillator is gekwantiseerd. Slechts discrete waarden van de energie kunnen voorkomen. Had Planck dat ook niet gezegd?
Planck zei: En = nh̄ω0 . Die Planck was zo gek nog niet. Er is slechts een klein, maar opmerkelijk verschil.
De kwantummechanica leert dat de energie van een harmonische oscillator niet nul kan zijn. Er is een minimale energie van 21 h̄ωo . We noemen dit de nulpuntsenergie. Dus zelfs bij het absolute nulpunt heeft een
vaste stof, op te vatten als een verzameling oscillerende moleculen, nog een zekere energie.
93
Voorts leert de kwantummechanica dat er alleen overgangen mogelijk zijn volgens de selectieregel ∆n = ±1.
Dit betekent dat de oscillator alleen een foton met energie h̄ωo kan emitteren of absorberen. Nu is dit niet
helemaal juist. Er is ook nog de onzekerheidsrelatie van Heisenberg ∆E ∆t ≥ h, die aanleiding geeft tot de
natuurlijke lijnbreedte van een spectraallijn (zie § 4.3). We mogen zeggen: indien je een oscillator aandrijft
met een EM-veld met een frequentie in de buurt van de eigenfrequentie van de oscillator heb je een zeer
grote kans op een kwantumsprong. De oscillator gedraagt zich in zeker zin als een aangedreven klassieke
oscillator.
In figuur 7.5 zijn de vibratie-energieniveaus weergegeven. We zien dat de afstand tussen de niveaus niet
kleiner wordt met toenemend kwantumgetal.
Figuur 7.5: De vibratie energie niveaus met emissie-overgangen van de harmonische oscillator.
7.4
Het vibratiespectrum van CO
Als illustratie berekenen we het vibratiespectrum van CO. Het uitgangspunt is een klassiek systeem. We
komen tot heel redelijke resultaten, wanneer we als uitgangspunt kiezen twee massa’s verbonden door een
veer. Er is natuurlijk geen veer, maar iets anders dat zich manifesteert als een soort veer.
Figuur 7.6: Het klassieke uitgangspunt ter beschrijving van een vibrerend CO molecuul.
Dit is een harmonische
oscillator. De twee massa’s oscilleren rond hun zwaartepunt. De eigenfrequentie ωo
q
b
is gelijk aan µ met µ de gereduceerde massa (zie Natuurkunde MW)
1
1
1
=
+
µ
m1 m2
Voor de energie geldt:
1
En = n +
h̄ω0
2
(7.18)
met
n = 0, 1, 2, 3, . . .
94
met de selektieregel ∆n = ±1
Dit betekent dat bij iedere overgang er altijd een foton vrijkomt of geabsorbeerd wordt met energie h̄ωo .
Hierbij is ω0 de frequentie van het uitgezonden of geabsorbeerde licht. We zien dat alle overgangen slechts
één emissie- of absorptielijn opleveren. Het zuivere vibratie-spectrum bestaat uit één lijn! Deze lijn ligt in
het infrarood. In de praktijk komen we nimmer een zuiver vibratiespectrum tegen. Het molecuul roteert
namelijk ook nog en de vibratie en rotatie zijn strikt genomen niet onafhankelijk van elkaar te beschouwen.
Daardoor komt er door de wisselwerking tussen vibratie en rotatie niet één lijn voor de dag, maar een groepje
van dicht bij elkaar gelegen lijnen, die men tezamen wel een band noemt. Op deze complicatie gaan we hier
niet nader in.
7.5
Moleculaire vibraties
We gaan kijken naar longitudinale oscillaties van lineaire moleculen. Hierbij doen we alsof tussen de atomen
veertjes zitten. Er zijn natuurlijk geen veertjes, maar iets anders dat zich manifesteert als een soort veertjes.
Voor twee deeltjes systemen hebben we geleerd (Natuurkunde MW) dat de massa’s oscilleren rond hun
zwaartepunt.
xc =
m1 x1 + m2 x2
m1 + m2
(7.19)
waarbij x1 en x2 de posities zijn van massa m1 en m2 op de x-as. Voorts weten we dat we in alle formules uit
§ 7.1 de massa m moeten vervangen door de gereduceerde massa µ, gedefinieerd als:
1
1
1
=
+
µ
m1 m2
(7.20)
Zodat de eigenfrequenties gelijk zijn aan:
s
b
ω0 =
µ
(7.21)
De amplituden verhouden zich omgekeerd evenredig met de massa. De grootste massa heeft de kleinste
amplitude en omgekeerd. In formule:
A1 m1
=
(7.22)
A2 m2
De massa’s zullen tegen elkaar in bewegen, zodat:
ψ1 = A1 cos (ω0t)
(7.23)
ψ2 = −A2 cos (ω0t)
Hiermee is alles bekend en is er geen reden om deze formules op een andere wijze nog eens af te leiden,
ware het niet dat de wijze waarop (7.18) tot en met (7.20) zijn afgeleid in Natuurkunde MW niet toepasbaar
is bij lineaire moleculen met meer dan twee atomen. Daarvoor is een standaard techniek ontwikkeld, die we
nu zullen bespreken. Om te laten zien hoe deze techniek werkt, beginnen we met een twee atomig molecuul.
Dat moet dan bovenstaande formules opleveren. Vervolgens laten we zien hoe de techniek werkt bij een drie
atomig molecuul.
Voorbeeld 1. Vibratiemodes van CO
Stel op F = ma voor iedere massa:
(
2
+b(ψ2 − ψ1 ) = m1 ddtψ21
−b(ψ2 − ψ1 ) = m2
(7.24)
d 2 ψ2
dt 2
95
Stel oplossing: ψ1 = A1 cos ωt en ψ2 = A2 cos ωt. Dit geeft:
(
−b + m1 ω 2 A1 + bA2 = 0
+bA1 + −b + m2 ω 2 A2 = 0
(7.25)
Dit stelsel vergelijkingen heeft een niet-triviale oplossing als:
−b + m1 ω 2
b
=0 →
2
b
−b + m2 ω (−b + m1 ω 2 )(−b + m2 ω 2 ) − b2 = 0
2
m1 m2 ω − b(m1 + m2 ) = 0
ω2 =
→
→
b (m1 + m2 )
m1 m2
Dit is gelijk µb met µ = gereduceerde massa.
m1
Substitutie van ω 2 in (7.23) en (7.24) geeft: A2 = − m
A1 .
2
In tekening:
Voor C = 12 en O = 16 wordt A2 = − 43 A1
Ter controle: Het zwaartepunt moet op zijn plaats blijven, dus:
m1 A1 + m2 A2 = 0
Dit klopt dus.
Voorbeeld 2. Vibratiemodes van CO2
Stel op F = ma voor iedere massa

d2 ψ1


b (ψ2 − ψ1 ) = m1 dt 2
−b (ψ2 − ψ1 ) + b (ψ3 − ψ2 ) = m2


−b (ψ − ψ ) = m d2 ψ3
3
2
1 dt 2
d2 ψ2
dt 2
(7.26)
96
Stel oplossing: ψ1 = A1 cos(ωt); ψ2 = A2 cos(ωt); ψ3 = A3 cos(ωt). Dit geeft:

2

2=0
 −b + m1 ω A1 + bA
2
bA1 + −2b + m2 ω A2 + bA3 = 0


bA2 + −b + m1 ω 2 A3 = 0
Dit stelsel heeft een niet-triviale oplossing als:
−b + m1 ω 2
b
0
2
=0
b
−2b
+
m
ω
b
2
2
0
b
−b + m1 ω ω 2 −b + m1 ω 2
ω12 =
b
m1
en
−2bm1 − bm2 + m1 m2 ω 2 = 0
ω22 =
→
→
b (2m1 + m2 )
m1 m2
Substitutie van ω1 en ω2 in (7.26) geeft:
voor mode 1 met ω1 : A2 = 0 A3 = −A1
−2m1 A1
voor mode 2 met ω2 : A2 =
A3 = A1
m2
Ter controle: voor iedere mode moet gelden: m1 A1 + m2 A2 + m1 A3 = 0.
Dit klopt dus.
97
(7.27)
Vraagstukken hoofdstuk 7
De ongedempte harmonische oscillator
7.1 Beschouw een horizontaal opgesteld massa-veer systeem. Het losse uiteinde van de veer is verbonden
met een onbeweegbare wand. Het systeem is ongedempt. We trekken de massa van 10 g twee centimeter uit zijn evenwichtsstand en laten daarna los. De massa gaat oscilleren met een frequentie v gelijk
aan 1,5 Hz (Hz = Hertz = s−1 ).
(a) Bereken de bindingssterkte van de veer.
(b) Bepaal de positie en snelheid van de massa 4 seconden na het loslaten.
(c) Wat is de maximale snelheid van de massa?
(d) Hoe groot is de totale energie van deze oscillator?
7.2 Een zuiver kristal kan opgevat worden als een rooster van atomen, die op gelijke afstand van elkaar
liggen. De atomen hebben een massa van 4 × 10−26 kg en voeren een eenvoudige harmonische beweging uit met frequentie 3 × 1014 Hz. Als de thermische energie van één atoom 6 × 10−21 J is, bereken
dan:
(a) de amplitude van de trilling van elk atoom en
(b) de maximale snelheid van elk atoom tijdens de trilling.
7.3 Stel de bewegingsvergelijking op voor een ongedempte slinger. Toon aan dat voor kleine uitwijkingen
de slinger zich gedraagt als een harmonische oscillator. Wat is zijn eigen frequentie?
7.4 Toon aan dat de eigenfrequentie van een massaveer systeem, verticaal opgehangen in het zwaartekrachtsveld, gelijk is aan die van het horizontaal opgestelde systeem. Vergelijk ook de energie.
7.5 Beschouw een massa m opgespannen tussen twee identieke veren, die ieder verbonden zijn aan een
vaste wand. Er is geen zwaartekracht. Een ontspannen veer heeft een lengte ao , een gespannen veer
heeft in rust een lengte a. Zie figuur.
Stel de bewegingsvergelijking op voor longitudinale oscillaties. Wat is de positie van de massa als
functie van de tijd?
7.6 Beschouw het systeem uit opgave 7.5. Stel de bewegingsvergelijking op voor zeer kleine transversale
oscillaties. Los de vergelijking op en vergelijk uw antwoord met dat van opgave 7.5.
7.7 Gegeven het systeem uit opgave 7.5. Leidt af dat voor een willekeurige oscillatie (dat wil zeggen
zowel longitudinaal als transversaal) voor zeer kleine x en y de beweging gegeven wordt door x =
x0 cos (ω0t + ϕ1 ) en y = y0 cos (ω0t + ϕ2 ) met ω02 =
(Een afleiding voor de baan wordt niet gevraagd).
2b(1−
m
a0
a )
. Wat voor soort baan beschrijft de massa?
7.8 Beschouw een aangedreven, ongedempt harmonische oscillator. Bepaal T , V en E = T +V .
Voor welke aandrijffrequentie ω is E maximaal?
98
De kwantumoscillator
7.9 Het infraroodspectrum van CO vertoont bij ongeveer 2170 cm−1 een band. Dit is het golfgetal σ .
Bereken de bindingssterkte van CO.
Gegeven:
C = 12 en O = 16;
1 atomaire massaeenheid =
1
12
massa C12 = 1,66 × 10−27 kg.
7.10 Zoutzuur (HCl) is een twee-atomig molecuul. We kunnen dit molecuul opvatten als een harmonische
oscillator, analoog aan twee massa’s verbonden door een veer. De “veer” bestaat in het geval van HCl
(ionenbinding) uit de elektrostatische aantrekking en een afstoting om te verhinderen dat de atomen
elkaar te dicht naderen. De potentiële energie die hier bij hoort, wordt in benadering gegeven door:
V (r) = −
e2
a
+ 9
4πε0 r r
Met r de afstand tussen de massamiddelpunten van de atomen en a een constante.
(a) Bepaal de onderlinge kracht tussen de atomen. Herkent u een deel van de kracht? Voor welke
waarden van r is de kracht afstotend, of aantrekkend?
Gegeven: ~F = −~∇V
(b) Maak een schets van de potentiële energie V (r) uitgezet tegen de afstand r.
(c) Bereken de afstand r0 tussen de twee atomen in de evenwichtssituatie als de dissociatieenergie
van HCl in ionen 4,43 eV is.
(d) Het systeem kan rond het evenwichtspunt ro oscilleren. Toon aan dat voor kleine uitwijkingen
de oscillatie harmonisch is met een veerconstante gelijk aan
2 dV
dr2 r0
Ontwikkel daartoe de potentiële energie in een reeks rond het evenwichtspunt.
Gegeven: Taylorreeks:
1 df
1 d2 f
h2 + · · ·
h+
f (r0 + h) = f (r0 ) +
1! dr r0
2! dr2 r0
(e) Bepaal de eigenfrequentie van HCl in eerste benadering als de massa’s.
Gegeven: mH = 1,674 × 10−27 kg;
mCl = 5,887 × 10−26 kg.
(f) Teken in uw schets van onderdeel b. de totale energie van het molecuul, indien het een oscillatie
uitvoert.
(g) Bepaal de verhouding tussen de amplitude van Cl en H.
(h) Kwantiseer dit model door aan uw grafiek van onderdeel b de vibratie energieniveaus toe te
voegen. Bereken ook de golflengte van het vibratie spectrum. Wat voor soort licht is dit?
De starre rotor
7.11 Het twee atomige roterende molecuul. Het meest simpele model van een twee-atomig roterend molecuul is de starre rotor, dat wil zeggen twee bolletjes onderling verbonden door een massaloze stijve
stang. In dit model hebben de deeltjes geen onderlinge wisselwerking. Het kost geen enkele moeite de
atomen vanuit het oneindige dichter bij elkaar te brengen. Het systeem bezit dus geen potentiële energie. De rotatie-energie is uitsluitend kinetische energie. De kwantummechanica leert dat de rotatieenergie gekwantiseerd is volgens:
T=
h2
l(l + 1) met l = 0, 1, 2, 3, . . .
8π 2 J
J is het totale traagheidsmoment.
99
p
(a) Toon aan dat het impulsmoment gelijk is aan L = h̄ l(l + 1).
(b) Het molecuul kan energie opnemen of afgeven volgens de selectieregel ∆l = ±1. Bepaal de
hoeveelheid energie die vrijkomt bij een overgang van l + 1 naar l.
(c) Absorptie of emissie van energie gaat in de vorm van een foton met energie hv; v = frequentie
van de straling. Stel een uitdrukking op voor de frequenties van de geëmitteerde straling.
(d) In de spectroscopie werkt men vaak met het golfgetal σ in plaats van de frequentie v. Het golfgetal is gedefinieerd als σ = λ1 = vc , met λ = golflengte en c = eindsnelheid. Stel een uitdrukking op
voor de golfgetallen van de geëmitteerde straling. Toon aan dat in het spectrum de emissielijnen
op gelijke afstand van elkaar liggen.
(e) Als praktijkvoorbeeld kijken we naar het rotatiespectrum van CO. Bepaal eerst van dit molecuul
de gereduceerde massa.
1
Gegeven: 1 atomaire massa-eenheid = 12
massa C12 = 1,66 × 10−27 kg;
C = 12 en O = 16.
(f) Uit metingen aan CO blijkt dat het molecuul een equidistant lijnenspectrum heeft in het verinfrarood.
Enkele lijnen: σ = 19, 222, 23, 065, 26, 907 en 30,748 cm−1 .
Bereken de gemiddelde afstand tussen de lijnen.
(g) Maak een schatting van de onderlinge afstand tussen het C- en het O-atoom.
(h) Bepaal voor ieder van de gegeven emissielijnen het bijbehorende kwantumgetal l. Het zal blijken
dat l niet echt geheeltallig is, maar daar op een systematische wijze van afwijkt. Wat is hiervan
de oorzaak?
(i) Stel de SV op in bolcoördinaten van een starre rotor.
Moleculaire vibraties
7.12 Bepaal de vibratiemode van NO; N = 14; O = 16.
7.13 Bepaal de vibratiemodes van N2 O; N = 14; O = 16.
100
Antwoorden hoofdstuk 7
De ongedempte harmonische oscillator
7.1
(a) b = 0,888 N · m−1 .
(b) x(4) = 2 cm, v(4) = 0 cm · s−1 .
(c) vmax = 18,8 × 102 m · s−1 .
(d) V + T = 1,8 × 10−4 J.
7.2
(a) x0 = 2,9 × 10−13 m.
7.3
(b) vmax = 547 m · s−1 .
q
(b) ω0 = gl .
7.5 x = x0 cos (ω0t + ϕ)
met ω0 =
q
2b
m.
q
7.6 y = y0 cos (ω1t + ϕ)
met
ω1 =
2b(1−
m
a0
a
)
.
7.7 Een ellips.
7.8 Voor de kinetische energie:
ω04 z20 ω 2
1
2
T= m
sin ωt;
2 ω2 − ω2 2
0
Voor de potentiëele energie:
ω04 z20
1
2
V= b
cos ωt;
2 ω2 − ω2 2
0
en
2 2
ω04 z20
1
ω0 cos ωt + ω 2 sin2 ωt ;
T +V = m
2
2 ω2 − ω2
0
resonantie voor ω = ω0 .
De kwantumoscillator
7.9 b = 1,9 × 103 N · m−1 .
7.10
2
(a) F = − 4πεe r2 + r9a
10 ;
0
de eerste term is de aantrekkende Coulombkracht;
h
i 18
0
evenwicht voor r0 = 36πaε
e2
wanneer r > r0 is er aantrekking;
wanneer r < ro is er afstoting.
(b)
101
(c) r0 = 2,9 Å.
(d) ω = 2,15 × 1014 rad · s−1 .
(g)
xCl
xH
= 0, 03.
(h) Een band rond λ = 8767 nm in het infrarood.
De starre rotor
7.11
.
(b) ∆T = h2 (l+1)
4π 2 J
(c) v = h (l+1)
.
4π 2 J
(l+1)
(d) σ = h 4π
2 cJ en ∆σ =
h
.
4π 2 cJ
(e) µ = 11,38 × 10−27 kg.
(f) ∆σ = 3,842 × 102 m−1 .
(g) r = 1,13 Å.
(h) l = 3, 992, 4, 990, 5, 988, en 6, 985.
(i)
ih̄
∂ψ
−h̄2
1 ∂
∂ψ
1 ∂ 2ψ
=
sin θ
+ 2
∂t
2mR sin θ ∂ θ
∂θ
sin θ ∂ ϕ 2
.
Moleculaire vibraties
7.12 ω 2 = µb y
met
µ = 7, 47 atomaire massa-eenheden;
A2 = 0, 875A1 .
7.13 ω12 = 0, 21b, A2 = −1, 9A1 en A3 = 0, 82A1 .
ω22 = 0, 07b, A2 = 0, 06A1 en A3 = −0, 93A1 .
102
met
ψ = ψ(ϕ, θ ,t)
Hoofdstuk 8
De dipooloscillator
8.1
Het veld van de dipooloscillator
In het vacuüm zonder bronnen moet het elektromagnetisch veld voldoen aan de klassieke golfvergelijking,
zie § 6.1. Het vacuüm zonder bronnen gedraagt zich als een homogene snaar. Bij de snaar hebben we ons
niet druk gemaakt om de koppeling tussen bron en golven in de snaar. Bij de aanwezigheid van een trillingsmachine konden we op elementaire wijze afleiden tot welke golven dit leidde in het medium, zie § 1.3. Dit
gaat niet zo eenvoudig bij het elektromagnetisch veld. De oorsprong van elektromagnetische golven is een
versneld bewegende lading, dus de lading verplaatst zich in het medium, waarin het golven opwekt. Met
andere woorden: de bron staat niet stil, zoals bij de snaar. Erger nog: de versnelde beweging van de lading
zelf is de bron. De lading moet versneld bewegen, want anders is er geen bron. De koppeling tussen een
bewegende lading en het bijbehorende veld is buitengewoon gecompliceerd. Maar er is wel een benadering
mogelijk. Wanneer de beweging van de lading langzaam en geleidelijk verloopt en de verplaatsing klein is,
dan zal op grote afstand van de lading, het lijken alsof de bron min of meer stilstaat. In dat geval wordt het
elektrisch veld Eθ (t) in een punt P gegeven door de formule:
q
r
Eθ (t) = −
a
t
−
(8.1)
θ
4πε0 rc2
c
Zie figuur 8.1 voor de interpretatie van deze formule.
Figuur 8.1: Het veld van een versneld bewegende lading.
Getekend is de baan van een puntlading q. Op het moment t − cr bevind q zich in A, op moment t zit q op
de plaats B. Hoewel in de figuur de afstand AP aangeduid wordt met r, wordt met r in de formule eigenlijk
bedoeld de effectieve of gemiddelde afstand van de baan van q tot het punt P. Omdat de verplaatsing van q
klein is (AB is klein) en omdat P zeer ver verwijderd is, geldt AP ≈ BP ≈ r. Met aθ wordt bedoeld de component van de versnelling a van de puntlading q, loodrecht op AP. Omdat een verstoring van het elektrische
veld zich met eindige snelheid c voortplant, duurt het enige tijd alvorens het veld van q bij P is aangekomen.
Daarom wordt het veld in P op moment t bepaald door de versnelling aθ van q op moment t − cr . Vanwege
103
het minteken in de formule is de richting van Eθ (t) tegengesteld aan die van aθ t − cr . Merk op dat een
stilstaande lading volgens deze formule geen veld om zich heen heeft. Dat is niet in strijd met de wet van
Coulomb, omdat de formule een benadering is en alleen maar het veld beschrijft dat evenredig is met 1r . Alle
andere velden evenredig met r12 worden in de formule verwaarloosd onder het motto: die zijn praktisch nul
vergeleken met het 1r veld. Een elementaire afleiding van formule (8.1) is niet mogelijk, maar we kunnen
wel proberen de oorsprong van de vergelijking aanschouwelijk te maken (zie figuur 8.2). Stel we hebben
een stilstaande lading q in punt A.
Figuur 8.2: Een lading verplaatst zich zeer snel van A naar B.
Rond A bevindt zich dan een radiaal Coulombveld EA . Vervolgens verplaatsen we q van A naar B en zetten
daar de lading weer stil. Rond B bevindt zich dan eveneens een radiaal Coulombveld EB . Ten gevolge van
het verplaatsen van de lading van A naar B moet het oude veld EA in de loop der tijd omgezet worden in
het nieuwe veld EB . Daarvoor is nodig een extra veld Eθ . Het veld Eθ is een soort correctieveld dat met
de lichtsnelheid op pad gaat en overal waar het aankomt, het oude veld EA omzet in het nieuwe veld EB .
We zien dat Eθ kleiner is, naarmate r groter is. Eveneens is uit de figuur af te lezen dat het correctieveld
evenredig is met sin θ dus met de projectie van AB loodrecht op r. Tot slot is af te lezen dat de richting van
Eθ tegengesteld is aan de geprojecteerde verplaatsingsrichting van A naar B. Meer mag men uit de figuur
niet aflezen. Er mag zeker niet aan gerekend worden. Het is slechts een hulpmiddel dat alleen maar correct
is, in zoverre het niet strijdig is met formule (8.1).
We gaan de formule toepassen op een oscillerende lading q (zie figuur 8.3).
Figuur 8.3: Een oscillerende lading met veld.
Stel de lading oscilleert langs de x-as volgens x = x0 cos ωt, dan is de versnelling gelijk aan −ω 2 x0 cos ωt.
104
De versnelling op moment t − cr is dan −ω 2 x0 cos ω(t − cr ). De projectie van a loodrecht op de r-as geeft
een extra factor sin θ . Aldus:
qx0 ω 2
r
Eθ (t) =
sin
θ
cos
ω
t
−
(8.2)
4πε0 rc2
c
Voer in het golfgetal volgens c =
Eθ (t) =
ω
k.
qx0 ω 2
sin θ cos(ωt − kr)
4πε0 rc2
(8.3)
Definieer een dipoolmoment p volgens:
p = qx
(8.4)
dus
p = qx0 cos ωt = p0 cos ωt
met
p0 = qx0
(8.5)
Dit levert
Eθ (t) =
p0 sin θ ω 2
cos(ωt − kr)
4πε0 r c
(8.6)
cos(ωt− kr )
zich uitbreidt over de ruimte,
We zien hoe vanuit de oorsprong een soort geretardeerde bolgolf
r
alleen deze bolgolf is niet bol-symmetrisch. De amplitude van Eθ is evenredig met sin θ . Voor θ = 0 is Eθ
ook nul. De oscillator straalt niet in de richting van zijn verplaatsing. Een wisselend E-veld is nooit alleen.
Hij is altijd vergezeld van een wisselend B-veld volgens:
Eθ (t)
p0 sin θ ω 2
Bθ (t) =
=
cos(ωt − kr)
(8.7)
c
4πε0 rc c
Bθ staat loodrecht op Eθ zodanig dat draaien van Eθ naar Bθ over de kleinste hoek de voortplantingsrichting
oplevert, dit is de “+r-as”.
8.2
De energiestroom van de dipooloscillator
Geponeerd was dat de energiestroom per oppervlakte eenheid gelijk is aan:
~S = c2 ε0 ~E × ~B
Poynting vector
(6.6)
Voor lineair gepolariseerd licht gaat dit over in:
S = cε0 E 2
(6.7)
Een versneld bewegende lading heeft per richting lineair gepolariseerd licht. We gaan de totale hoeveelheid
uitgezonden energie per seconde berekenen. Daartoe beschouwen we op grote afstand van de lading een
boloppervlak en rekenen uit de energiestroom door die bol (zie figuur 8.4).
De door de gearceerde band uitgezonden energie is gelijk aan:
cε0 Eθ2 (opp. band) = cε0 Eθ2 2πr2 sin θ dθ
De totale energiestroom
Z π
P = cε0
θ =0
Eθ2 2πr2 sin θ dθ
Substitutie van (8.1) met verwaarlozing van het retardatie effect geeft:
P = cε0
Z π 2 2 2
q a sin θ
0
16π 2 ε02 r2 c
2πr2 sin θ dθ =
4
q2 a2
8πε0 c3
Z π
105
0
sin3 θ dθ
Figuur 8.4: Bij de berekening van de energiestroom door een bol.
met
Z π
3
sin θ dθ = −
Z π
0
0
4
1 − cos2 θ d(cos θ ) =
3
levert dit
P=
q2 a2
6πε0 c3
(8.8)
Relatie (8.8) staat bekend als de formule van Lamor.
Voor de elektrische dipooloscillator, oscillerend volgens x = x0 cos ωt, hebben we a = −x0 ω 2 cos ωt, zodat
P=
q2 x02 ω 4 cos2 ωt
6πε0 c3
(8.9)
Gemiddeld in de tijd wordt dit:
P=
q2 x02 ω 4
12πε0 c3
(8.10)
De oscillator verliest energie. De alhier berekende energiestroom geldt voor de situatie dat de amplitude xo
van de lading q constant blijft. Blijkbaar hebben we hier te maken met een oscillator van het type: aangedreven en gedempt, zie § 7.2. Uiteraard is er aandrijving, want een lading q gaat niet uit zichzelf oscilleren.
Een mogelijke aandrijving is een extern wisselend E-veld. Plaats de lading in een oscillerend E-veld, dan
zal de lading gaan bewegen in het ritme van dat externe E-veld. Uiteraard is er demping, hoe kan er anders
energie verloren gaan?
8.3
Verstrooiing
Wanneer licht op een verzameling moleculen valt, kunnen er drie dingen gebeuren.
1. Het licht wordt geabsorbeerd. De EM-energie wordt omgezet in moleculaire warmtebeweging.
2. Het licht wordt geabsorbeerd en met dezelfde frequentie weer uitgezonden.
3. Het licht wordt geabsorbeerd en opnieuw uitgezonden als zichtbaar licht met lagere frequentie als het
aangeboden licht. Dit noemen we fluorescentie.
Vrijwel alle interacties tussen licht en materie kunnen verklaard worden door de atomen of moleculen op te
vatten als kleine oscillatoren. Dit geldt zowel in de klassieke fysica als in de kwantum fysica.
Een voorbeeld van het onder 2. genoemde effect is verstrooiing, dat kan optreden bij een stof in de gasvormige fase. Het aangeboden licht wordt geabsorbeerd en daarna in alle richtingen weer uitgezonden.
106
Figuur 8.5: Verstrooiing.
We nemen aan dat het atoom zich enerzijds gedraagt als een elektrische dipooloscillator, waarvoor we hadden afgeleid,
P=
q2 x02 ω 4
12πε0 c3
(8.11)
en anderzijds als een aangedreven gedempte harmonische oscillator. In de praktijk is de demping verwaarloosbaar, zodat we voor de amplitude x0 kunnen schrijven:
x0 =
ω02 z0
(7.12)
ω02 − ω 2
Voor het massa-veer systeem is bz0 de amplitude F0 van de aandrijvende kracht en ω02 = mb , zodat ω02 z0 te
schrijven is als Fm0 . Alhier is de aandrijvende kracht gelijk qE(t) met amplitude qE0 . We moeten in (7.12)
0
ω02 z0 vervangen door qE
m . Substitutie van (7.12) in (8.11), geeft
P=
q4 E02
ω4
12πε0 m2 c3 ω 2 − ω 2 2
0
(8.12)
Het vermogen van het verstrooide licht is afhankelijk van de aandrijffrequentie ω. Luchtmoleculen hebben
een eigenfrequentie ωo die veel groter is dan de frequenties van het zichtbare licht. Het door luchtmoleculen
verstrooide zonlicht heeft dan een intensiteit evenredig met ω 4 of met λ −4 . Voor de verhouding van de
intensiteit van verstrooid rood licht en verstrooid blauw licht kunnen we schrijven:
4 Pr
λb
4500 4
1
=
=
=
(8.13)
Pb
λr
6500
4, 4
Dus het blauwe licht wordt ongeveer 4 maal zo sterk verstrooid als het rode licht. Dit is de reden waarom
de lucht blauw is, zolang we niet tegen de zon inkijken. Kijken we tegen de zon in, dan zien we het oorspronkelijke zonlicht (dit is wit), waar vooral de blauwe component uitgehaald is, zodat de zon wat geel
lijkt. Staat de zon zeer laag, bij zonsopgang of zonsondergang, dan moet het zonlicht een relatief dikke laag
van de atmosfeer doorlopen alvorens het aardoppervlak bereikt is, waardoor zeer veel blauw licht verstrooid
wordt en de zon rood lijkt. We noemen deze vorm van verstrooiing Rayleighverstrooiing.
8.4
Elektrische dipoolovergangen
In § 8.2 werd één trillende lading een elektrische dipooloscillator genoemd. Dat is een wat merkwaardige
naam, omdat we maar één lading hebben. Een echte elektrische dipool bestaat uit een positieve en negatieve
lading op korte afstand van elkaar.
Drijven we zo’n echte dipooloscillator aan met een elektrisch veld, dan zullen de oscillaties van de positieve en negatieve lading met elkaar uit fase zijn. Het door de trillende ladingen gegenereerde veld zal op
grote afstand hetzelfde karakter hebben als het veld van één enkele oscillerende lading. Vandaar de naam
dipoolveld ook als we maar één lading hebben. We maken onderscheid tussen het dynamisch dipoolmoment p = qx met x de uitwijking van de oscillerende lading en het permanente dipoolmoment. Dit laatste is
voor een verzameling puntladingen qi gedefinieerd als
~p = ∑ qi~ri
(8.14)
107
Figuur 8.6: Een echte elektrische dipooloscillator met veld.
met ~ri de afstand van een zelf te kiezen oorsprong tot een stilstaande puntlading qi . Zo heeft de dipool uit
figuur 8.6 een permanent elektrisch dipoolmoment gelijk aan ~p = q~a, waarbij ~a een vector is wijzend van de
negatieve naar de positieve lading. De lengte a van de vector is gelijk aan de onderlinge afstand tussen de
ladingen.
Een voorbeeld van een molecuul met een permanent dipoolmoment is HCl. Ten gevolge van de ionbinding H+ Cl− is er een zekere permanente ladingverdeling met een dipoolkarakter.
Een molecuul hoeft niet noodzakelijkerwijs lineair te zijn om een permanent dipoolmoment te bezitten.
Andere voorbeelden van moleculen met een permanent dipoolmoment zijn H2 O en NH3 . Is de atomaire
bouw van het molecuul symmetrisch, dan bezit het geen permanent dipoolmoment, bijvoorbeeld O2 of
CO2 .
Het lineaire molecuul CO2 kan volgens de wetten van de mechanica, dus F = ma en CO2 is een massa-veermassa-veer-massa systeem, op drie onafhankelijke manieren oscilleren, ieder met een eigenfrequentie. We
noemen dat modes (zie figuur 8.7)
Figuur 8.7: De vibratiemodes van CO2 .
Berekenen we het stralingsveld van vibratiemode ω1 , dan vinden we netto het nulveld. Wanneer het CO2 molecuul op de één of andere manier, bijvoorbeeld door botsingen, is aangeslagen en oscilleert volgens vibratiemode ω1 , dan kan CO2 niet terugkeren naar de grondtoestand onder uitzending van een foton en omgekeerd
is het niet mogelijk door instraling van een EM-veld, ook al heeft het de juiste resonantiefrequentie ω1 het
molecuul CO2 in die vibratietoestand te krijgen. Vibratiemode ω1 koppelt niet met een EM-wisselveld. We
zien hier de oorsprong van de selectieregels in de kwantummechanica.
Het centrale idee is dat het totale dipoolmoment bij een oscillatie niet nul mag zijn, opdat een kwantum
sprong kan optreden. Dit idee geldt niet alleen ten aanzien van het vibratiespectrum, maar ook voor het
rotatiespectrum en het spectrum behorende bij elektronovergangen.
Het is toegestaan bij een kwantumsprong van een elektron te denken aan een oscillator, die even in trilling
gebracht wordt. Ter herinnering: zo’n trilling duurt ongeveer 1 × 10−8 seconden en resulteert in golftaal in
een golftreintje met een lengte van ongeveer 3 meter.
In de kwantummechanica wordt voor een elektron met lading q in een eendimensionaal systeem het dipoolmoment gedefinieerd als
Z
q
ϕm∗ xϕn dx
(8.15)
Hierbij zijn ψm en ψn de oplossingen van de tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking, corresponderende
met eigenwaarden Em en En van de energie.
Het matrixelement
xmn = hm| x |ni =
Z
ϕm∗ xϕn dx
(8.16)
108
kunnen we interpreteren als de gemiddelde positie van het elektron bij een overgang van Em naar En . Is die
gemiddelde positie gelijk aan nul, dan hebben we blijkbaar te maken met een soort oscillator, waarvan het
stralingsveld netto gelijk nul is, analoog aan de vibratiemode ω1 van CO2 .
Dus het idee achter de berekening van die matrixelementen xmn is deze. Stel dat het systeem oscilleert, wat
is dan het dipoolmoment gedurende die oscillatie? Is dat nul (dus xmn = 0), dan is zo’n oscillatie blijkbaar
niet mogelijk door koppeling met een EM-veld en derhalve verboden. Berekening van xmn voor alle m en n
leidt tot de selectieregels voor elektrische dipoolovergangen.
In de QED (kwantum elektrodynamica) wordt afgeleid dat de overgangswaarschijnlijkheid van een toestand m naar een toestand n onder emissie of absorptie van elektrische dipoolstraling met energie
h̄ω = Wm −Wn gegeven wordt door
Tmn =
e2 ω 3
|xmn |2
3πε0 h̄c3
(8.17)
Het gemiddeld uitgezonden vermogen is dan gelijk aan
P = h̄ωTmn =
e2 ω 4
|xmn |2
3πε0 c3
(8.18)
Vergelijken we dit met de klassieke dipooloscillator, in het bijzonder met formule (8.11) uit § 8.3, dan komen
we tot de gevolgtrekking, dat het elektron zich tijdens de overgang als een elektrische dipool gedraagt, met
frequentie ω en amplitude 2 |xmn |.
8.5
De oude kwantummechanica
We pikken nu de draad van de geschiedenis weer op, die we in § 3.3 verlaten hadden, toen De Broglie in
1921 zei: p = λh . Van meet af aan was alle inspanning gericht op de ontwikkeling van een atoommodel. Alle
discussies over twee spleten experimenten en het meetproces zijn van latere datum en duren voort tot op de
huidige dag.
De uitspraak van De Broglie bleek bijzonder nuttig te zijn om het eerste primitieve model van het waterstofatoom te onderbouwen. Dit primitieve model en de gedachtewereld die daar achter zit, staat bekend als
de oude kwantummechanica. Deze werd ontwikkeld door Bohr. Dit atoommodel van Bohr is incorrect. Het
juiste model ontstaat door uitwerking van de Schrödingervergelijking, die we in een volgend hoofdstuk zullen behandelen. Toch geeft het atoommodel van Bohr een redelijk inzicht in de bouw van het H-atoom. Het
model is bovendien zeer simpel en illustreert een aantal problemen, wanneer je kwantumfysica confronteert
met klassieke fysica.
Figuur 8.8: Het H-atoom: een elektron draaiend rond een kern.
Het uitgangspunt van het H-atoommodel van Bohr is een elektron draaiend rond een kern (zie figuur 8.8).
Bohr stelde de eis dat één cirkelgang van het elektron in “golftaal” overeenkwam met een geheel aantal maal
n de De Broglie golflengte van het elektron. In formule:
2πr = nλ
(8.19)
109
Met behulp van (3.4) geeft dit:
2πr = n
h
p
→
pr = n
h
= nh̄
2π
Omdat het om een circelvormige baan gaat is het impulsmoment (draai-impuls) ~L =~r ×~p gelijk aan rp.
Dus de eis kwam neer op:
L = rp = nh̄ met
n = 1, 2, 3, . . .
(8.20)
Het impulsmoment is gekwantiseerd.
Bohr stelde vervolgens dat voor een cirkelbeweging de aantrekkende kracht (de Coulombkracht) gelijk moet
zijn aan de centripetale kracht, dus:
1 e2 me v2
=
4πε0 r2
r
Met de kwantisatie eis rp = rme v = nh̄ =
r=
(8.21)
nh
2π
volgt door eliminatie van v de straal van een elektronbaan.
ε0 n2 h2
πme e2
(8.22)
komt dit voor de grondtoestand (n = 1) overeen met r = 0,53 × 10−10 m. We noemen dit de straal van Bohr.
Dit geeft ons een idee van de grootte van het H-atoom. Voor de snelheid geldt:
v=
nh̄
e2
=
me r 2ε0 nh
(8.23)
Voor de grondtoestand komt dat overeen met v = 2,2 × 106 m · s−1 . Dit is een aanzienlijke snelheid, maar
ongeveer honderd maal zo klein als de lichtsnelheid (3 × 108 m · s−1 ), zodat de boven gehanteerde nietrelativistische aanpak verantwoord is. De totale energie van het atoom is gelijk aan:
E = T +V
1
e2
= me v2 −
2
4πε0 r
2 2
1
e
e2
πme e2
−
= me
2
2ε0 nh
4πε0 ε0 n2 h2
4
4
me e
me e
= 2 2 2− 2 2 2
8ε0 n h
4ε0 n h
=−
(8.24)
me e4
8ε02 n2 h2
Voor de grondtoestand is dit gelijk aan E = −2,18 × 10−18 J, wat gelijk is aan −13,6 eV.
Dit impliceert dat de ionisatie energie van het H-atoom minimaal 13,6 eV moet zijn, hetgeen in overeenstemming is met het experiment. Voorts stelde Bohr dat het atoom kan overgaan van de ene toestand n naar
de andere n0 onder emissie of absorptie van een foton.
Energetisch wordt dit proces weergegeven in de formule van Bohr:
En − En0 = hν
(8.25)
Een en ander wordt vaak weergegeven in een energie- of termdiagram (zie figuur 8.9).
We zien dat bij toenemend kwantumgetal de afstand tussen de energieniveaus steeds kleiner wordt. Bij
grote kwantumgetallen is die afstand zo klein dat je vrijwel kunt spreken van een continue overgang van het
ene niveau naar het andere. Dit komen we ook tegen in de klassieke fysica. De klassieke fysica kent geen
discrete kwantumsprongen. Daarom kun je in sommige boeken de uitspraak tegenkomen dat voor grote
kwantumgetallen de kwantummechanica over gaat in klassieke fysica.
110
Figuur 8.9: Termdiagram met emissie-overgangen.
Een ander punt is, dat in de klassieke elektrodynamica een versneld bewegende lading elektromagnetische
straling uitzendt en daardoor energie verliest. Toegepast op het elektron, cirkelend rond de kern, zou dit
betekenen dat het elektron in zeer korte tijd (≈ 1 × 10−9 s) volgens een spiraalbaan op de kern zou ploffen.
Bohr was zich van dit probleem bewust en stelde als oplossing dat dit gewoon niet gebeurt.
We onderscheiden verschillende series spectraallijnen. Daartoe schrijven we met ν = λc vergelijking (8.25)
als:
1
1
me e4
1
1
−
(8.26)
= (−En0 + En ) = 2 3
λ
hc
8ε0 h c n02 n2
We voeren in de Rydberg constante:
R=
m e e4
8ε02 h3 c
(8.27)
Invullen van de getallen die boven staan onder (8.22), geeft R = 1,097 × 107 m−1 .
De numerieke waarde van de Rydberg constante was uit spectroscopische metingen reeds bekend, lang
voordat Bohr met zijn atoommodel kwam. De theoretische verklaring van dit getal met (8.27) was de triomf
van het atoommodel van Bohr. We schrijven (8.26) als
1
1
1
(8.28)
= R 02 − 2
λ
n
n
Door verschillende waarden voor n’ te nemen ontstaan de verschillende series spectraallijnen. Ze zijn genoemd naar hun ontdekker.
Lynman series
n0 = 1
n = 2, 3, 4, . . .
ultraviolet
Balmer series
n0 = 2
n = 3, 4, 5, . . .
zichtbaar licht
Paschen series
n0 = 3
n = 4, 5, 6, . . .
infrarood
Brackett series
n0 = 4
n = 5, 6, 7, . . .
infrarood
Pfund series
n0 = 5
n = 6, 7, 8, . . .
infrarood
Het was de Zwitser Balmer, die in 1885 als eerste het regelmatige patroon in de spectraallijnen in het
zichtbare gebied ontdekte. De formule voor de Balmer series staat dan ook bekend als de formule van
Balmer.
111
De waarde van de ionisatie energie en de Rydberg constante, zoals berekend met (8.24) en (8.27) blijken
0,1% van de gemeten waarden af te wijken. We komen tot een perfecte overeenkomst, indien we het H-atoom
opvatten als een twee deeltjes systeem, waarbij de kern (= proton) en het elektron om hun gemeenschappelijk zwaartepunt draaien. Deze correctie is eenvoudig aan te brengen door de massa in (8.24) en (8.26) te
vervangen door de gereduceerde massa.
Het atoommodel van Bohr blijkt ook op correcte wijze andere atomen met één elektron te beschrijven. Bijvoorbeeld enkelvoudig geı̈oniseerd helium (He+ ), dubbel geı̈oniseerd lithium (Li2+ ), enzovoort. We noemen dergelijke atomen waterstofachtige atomen. De kernlading is dan Ze, met Z het atoomnummer, dit is
het aantal protonen.
Uitbreiding naar atomen met meer dan één elektron gaat niet. Dan schiet het model tekort. Er zijn meerdere
mankementen. In de grondtoestand zou volgens Bohr het H-atoom een magnetisch moment moeten hebben.
Dit blijkt in de praktijk niet het geval te zijn. In de praktijk is het H-atoom in de grondtoestand elektrisch
en magnetisch neutraal en is het bolsymmetrisch. Een ander bezwaar is dat het model niet vertelt wat er
met het elektron gebeurt tijdens een overgang van het ene energieniveau naar het andere. Wij kunnen met
de klassieke elektrodynamische formules uit de vorige paragrafen proberen een relatie te leggen tussen de
frequentie van het uitgezonden licht en de hoeksnelheid van het elektron. Het zal blijken dat dit in het
algemeen niet goed werkt. Dit semi-klassieke model, dit miniatuur zonnestelsel, bleek uiteindelijk niet goed
te functioneren. Een radicaal andere aanpak is nodig. Het idee van het miniatuur zonnestelsel moeten we
overboord gooien.
112
Vraagstukken hoofdstuk 8
Verstrooiing
8.1
(a) Een watermolecuul absorbeert zonlicht en zal diezelfde hoeveelheid licht (zonder wijziging in de
golflengte) in gelijke mate naar alle kanten, uitzenden. Dit heet verstrooiing. Bij dit onderdeel a.
van de opgave mag u aannemen dat de watermoleculen geen onderscheid maken in de absorptie
en emissie van het licht in relatie tot de golflengte.
Leg uit waarom op een zomerse dag de wolken zo helder wit zijn, maar zuivere waterdamp
(zonder druppels) niet eens te zien is.
Bereken de gemiddelde grootte van een waterdruppel in een wolk, als we voor de gemiddelde
golflengte van wit licht 500 nm nemen.
(b) In werkelijkheid maakt een watermolecuul wel onderscheid in de absorptie (en dus ook emissie,
want absorptie = emissie) van zonlicht in relatie tot de golflengte. Het geabsorbeerd vermogen P
van licht met een golflengte λ , is omgekeerd evenredig met λ 4 . Dus P ≈ λ14 .
De golflengte van het zichtbare zonlicht loopt van 450 nm (blauw) tot 650 nm (rood).
Leg opnieuw uit waarom op een zomerse dag de wolken helder wit zijn en niet helder blauw.
Oude kwantummechanica
8.2
(a) In 1913 formuleert Bohr twee hypothesen ter beschrijving van het H-atoom.
1. De energie van het atoom is gekwantiseerd volgens:
En = −h
Rc
n2
(n = 1, 2, 3, . . .)
R = constante van Rydberg;
h = constante van Planck;
c = lichtsnelheid.
2. Het atoom kan van het ene naar het andere energieniveau springen onder uitzending van
een foton (EM-straling) met frequentie νQ , volgens:
met
En+1 − En = hνQ
Toon aan dat voor zeer grote n geldt:
r
Rc
(−En )3
νQ = 2 3 = 2
n
Rh3 c
(b) Klassiek gezien bestaat het H-atoom uit een kern, waar een elektron (lading −e) omheen draait.
Voor deze opgave mag u aannemen dat de kern stilstaat en het elektron een cirkelbaan beschrijft.
Een rotatie is een versnelde beweging en daarom zal het roterende elektron volgens de wetten
van de klassieke elektrodynamica elektromagnetische straling uitzenden. De frequentie νkl van
de straling is daarbij gelijk aan de omloopfrequentie van het elektron (dus het aantal rondjes dat
het elektron per seconde maakt). Toon aan:
s
4ε0 2(−E)3
νkl = 2
e
me
Hierbij is E de klassieke uitdrukking voor de totale energie van het elektron.
1 q1 q2
Gegeven: Coulombkracht:
FC =
4πε0 r2
mv2
Centripetale kracht:
Fcentr =
r
dV
Definitie potentiële energie: F = −
dr
P.S. Bij deze berekening mag u aannemen dat het elektron in een vaste cirkelbaan met constante
snelheid blijft bewegen, ook al verliest het elektromagnetische energie.
113
(c) Om een formule voor de constante van Rydberg te formuleren nam Bohr aan dat voor zeer
grote kwantumgetallen n de frequentie νQ , berekend volgens de kwantumhypothesen (zie opgave
8.2a), gelijk moest zijn aan de νkl , berekend volgens de klassieke fysica (zie opgave 8.2b), bij
gelijk energieniveau.
Bepaal de constante van Rydberg, eerst in formulevorm en daarna de numerieke waarde.
8.3 Veronderstel, gelijk Bohr in zijn vroege dagen, dat het H-atoom bestaat uit een elektron dat in een
cirkelbaan rond een stilstaande kern draait. In de klassieke elektrodynamica geldt dat iedere versneld
bewegende lading elektromagnetische energie uitzendt volgens de formule
P=
q2 a2
6πε0 c3
[J · s−1 ]
Hierbij is q de lading en a is de versnelling van de lading.
Veronderstel dat deze formule van toepassing is op genoemd H-atoom model.
(a) Bereken de energie die per seconde wordt uitgezonden, als gegeven is dat de kinetische energie
van het elektron gelijk is aan 13,6 eV en de straal van de baan 5,3 × 10−11 m is.
(b) Bereken ook de uitgezonden energie per omwenteling.
Gegeven:
Coulombkracht:
Newton:
Definitie kinetische energie:
mv2
;
r
F = ma;
mv2
T=
.
2
FC =
Antwoorden hoofdstuk 8
8.3
(a) 4,6 × 10−8 J · s−1 .
(b) 7 × 10−24 J = 4,4 × 10−5 eV.
114
Hoofdstuk 9
Schrödingervergelijking en
waarschijnlijkheid
9.1
De tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking
In § 5.6 is de Schrödingervergelijking (SV) “afgeleid”. Het uitgangspunt was de totale energie van een
klassiek systeem, de zogenaamde Hamiltoniaan. Voor een eendimensionaal systeem:
H=
p2
+V (x)
2m
(9.1)
In het algemeen kan V ook nog een functie zijn van de tijd, dus V = V (x,t). Dit is bijvoorbeeld het geval bij een harmonische oscillator, waarbij de bindingssterkte in de loop van de tijd vermindert, omdat de
temperatuur toeneemt. Deze systemen laten we buiten beschouwing. Onze V is nimmer tijdsafhankelijk.
Middels enig “gerommel” vonden we, uitgaande van (9.1) de SV in één dimensie:
ih̄
∂ψ
h̄2 ∂ 2 ψ
=−
+V ψ
∂t
2m ∂ x2
(9.2)
ψ(x,t) noemen we golffunctie of toestandsfunctie. De tijdsafhankelijkheid van ψ komt niet voort uit de
externe tijdsafhankelijkheid van V . Ook als V alleen een functie is van x, of zelfs nul, dan hebben we toch
een ψ(x,t). De SV vertelt ons wat de dynamica is van het systeem, dus het gedrag van het systeem in de
tijd. Als we de SV oplossen, kennen we de toestand ψ(x,t) van het systeem.
In drie dimensies hebben we als Hamiltoniaan:
H=
p2
+V (x, y, z)
2m
(9.3)
De overeenkomende SV ziet er als volgt uit:
h̄2
∂ψ
=−
ih̄
∂t
2m
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ
+ 2 + 2
∂ x2
∂y
∂z
+V (x, y, z)ψ
(9.4)
met ψ = ψ(x, y, z,t). Van een klassiek systeem komen we tot een SV.
H ET IS DAAROM TOEGESTAAN ALS UITGANGSPUNT EEN MICROSCOPISCH SYSTEEM OP TE VATTEN
ALS EEN KLASSIEK SYSTEEM
Let Op: Deze methode werkt alleen als er een klassiek analogon bestaat. Dus bijvoorbeeld niet bij elektronspin, want dat mogen we ons niet voorstellen als een bolletje dat om zijn eigen as roteert.
115
Van (9.1) komen we tot (9.2) en uit (9.3) ontstaat (9.4). Van klassieke Hamiltoniaan naar de SV Dit verband
is geformaliseerd:
∂
∂t
h̄ ∂
px door
i ∂x
h̄ ∂
py door
i ∂y
h̄ ∂
pz door
i ∂z
Vervang H door ih̄
t door t · (vermenigvuldigen met t)
x door x·
(9.5)
y door y·
z door z·
en laat de operatoren werken op een functie ψ.
Operatoren geven we aan door het identieke symbool met een dakje erboven. Zo schrijven we de x-component
van de impulsoperator als p̂x , dus p̂x = h̄i ∂∂x en voor de x-component van de plaatsoperator schrijven we x̂,
zodat x̂ = x· (vermenigvuldigen met x). Enzovoort. Door vervanging in (9.3) ontstaat de operator p̂2x . Om te
zien wat daarmee bedoeld wordt, laten we deze operator op een zogenaamde hulpfunctie f (x, y, z) werken.
h̄ ∂
h̄ ∂ f
h̄ ∂ f
h̄ ∂
∂2 f
2
p̂x f = p̂x p̂x f = p̂x
f = p̂x
=
= −h̄2 2
i ∂x
i ∂x
i ∂x
i ∂x
∂x
Dus
p̂2x = −h̄2
∂2
∂ x2
(9.6)
Analoog p̂2y en p̂2z . Zo kom je van (9.3) tot (9.4). In nable-taal:
~∇ =
∂ ∂ ∂
, ,
∂x ∂y ∂z
(9.7)
met operator van Laplace:
2
∂
∂2
∂2
2
~
~
∆ = ∇·∇ = ∇ =
+
+
∂ x 2 ∂ y2 ∂ z2
(9.8)
Dit levert de tijdsafhankelijke SV:
ih̄
h̄2
∂ψ
= − ∇2 ψ +V ψ
∂t
2m
(9.9)
Voorbeeld 1.
Hoe ziet de SV eruit van het H-atoom? We moeten beginnen met een klassiek model, want hoe kan je
anders de klassieke Hamiltoniaan opstellen? Het enige dat we weten is dat we te maken hebben met een
kern (lading +e), die we voorlopig even stil zetten, en een elektron op een afstand r van de kern, met een
zekere kinetische energie. Meer mogen we niet zeggen. We mogen dus niet zeggen dat het elektron rond de
kern cirkelt, want dan komen we terecht in de problematiek van de oude kwantummechanica van Bohr.
Figuur 9.1: Het klassieke uitgangspunt van het H-atoom
116
Voor dit systeem geldt:
V =−
e2
4πε0 r
(9.10)
Dit moeten we omzetten met (9.5) in een SV Bedenk:
p
p
r = x2 + y2 + z2 = x̂2 + ŷ2 + ẑ2 = r̂
(9.11)
Zo ontstaat:
ih̄
∂ψ
h̄2
=−
∂t
2m
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ
+ 2 + 2
∂ x2
∂y
∂z
−
e2
ψ
4πε0 r
In bolcoördinaten (zie bijvoorbeeld (5.37)):
h̄2 1 ∂ 2 ∂
1
∂
∂
1
∂2
∂ψ
e2
=−
r
+
sin
θ
+
ψ
ih̄
ψ
−
∂t
2m r2 ∂ r ∂ r r2 sin θ ∂ θ
∂ θ r2 sin2 θ ∂ φ 2
4πε0 r
(9.12)
(9.13)
Dit is de SV van het H-atoom. Hierbij is m de massa van het elektron. Wil je het helemaal netjes doen,
waarbij kern en elektron om hun zwaartepunt draaien, dan vervang je m door de gereduceerde massa µ. Een
nadere uitwerking van deze SV volgt op het college “Principes van molecuulbouw en chemische binding”.
Die uitwerking zal van geen enkel klassiek model een spaan heel laten. De kwantummechanica leert ons dat
we te maken hebben met een kern en daarom heen een “elektronenwolk”. Beter gezegd: een waarschijnlijkheidsverdeling waar we het elektron kunnen aan treffen bij een meting. Er draait in ieder geval geen elektron
meer in een baan rond de kern. Ook de elektronspin en kernspin zullen we met (9.12) niet vinden, want die
konden we in (9.10) niet kwijt, omdat het geen klassiek analogon had.
Voorbeeld 2.
Hoe ziet de SV eruit van het roterende CO-molecuul? Klassiek gezien kunnen we ons dit voorstellen als
twee bolletjes, die om hun zwaartepunt draaien. Als extra eis kunnen we nog stellen dat de stang tussen
de bolletjes onrekbaar is. We noemen dit een starre rotor. Meer mogen we niet zeggen. We mogen het
roterende systeem niet tekenen, zoals we in de klassieke mechanica gewend zijn, want dat suggereert dat
de twee atomen in één vlak roteren en dat is een verkeerd uitgangspunt voor de SV Net zoals we bij het
H-atoom geen roterend elektron mochten tekenen, want ook dat suggereert dat de beweging in één vlak is.
Vanwege de starheid van de rotor is er geen potentiële energie V . We hebben alleen kinetische energie van
de twee atomen. In termen van de gereduceerde massa hebben we voor de klassieke hamiltoniaan:
H=
p2
2µ
(9.14)
Dit leidt in bolcoördinaten tot dezelfde SV als voor het H-atoom (9.13) met V = 0 en m = µ. Daar komt nog
een extra eis bij, ook weer een gevolg van het starre rotor model: de afstand r tussen de atomen is constant.
Stel gelijk R. Dan is de golffunctie niet meer r-afhankelijk. We houden over:
∂ψ
h̄2
1 ∂
∂
1 ∂2
ih̄
=−
sin θ
+
ψ
(9.15)
∂t
2µR2 sin θ ∂ θ
∂ θ sin2 θ ∂ φ 2
Ook hier laten we de nadere uitwerking over aan het college “chemische binding”.
Voorbeeld 3.
Hoe ziet de SV eruit van het vibrerend CO-molecuul? Begin met een klassiek model. Hier zijn dat twee
massa-bolletjes verbonden door een veer! In dit geval geeft een tekening geen problemen, zolang we maar
niks laten vibreren.
Voor dit systeem geldt:
1
1
V = bx2 = µω 2 x2
2
2
zodat H =
p2 1
+ µω 2 x2
2µ 2
117
(9.16)
Figuur 9.2: Het klassieke uitgangspunt van een vibrerend CO-molecuul
met b de bindingssterkte van de veer en µ de gereduceerde massa. Toepassing van (9.5) geeft
ih̄
∂ψ
h̄2 ∂ 2 ψ 1
=−
+ µω 2 x2 ψ
∂t
2µ ∂ x2 2
(9.17)
Deze vergelijking zullen we later uitwerken. Het zal blijken dat er weinig meer vibreert. Ga je de zuivere
vibratiespectra van CO vergelijken met de resultaten van (9.17) dan zal blijken dat het klassieke uitgangspunt
niet helemaal correct is. CO gedraagt zich niet als een zuivere harmonische oscillator. Geen nood, dan
vervang je het model toch door een ander model met een betere oscillator. Het klassieke uitgangspunt kunnen
we aanpassen aan de gewenste resultaten, maar het blijft klassiek!
Voorbeeld 4.
Hoe zit het nu met atomen met meerdere elektronen?
Voor twee deeltjes, bijvoorbeeld een He-atoom met stilstaande kern, hebben we:
H=
p21x + p21y + p21z
2m1
+
p22x + p22y + p22z
2m2
+V1 (x1 , y1 , z1 ) +V2 (x2 , y2 , z2 ) +V3 (x1 , y1 , z1 ; x2 , y2 , z2 ) (9.18)
Hierbij is V1 de potentiële energie van elektron 1 in het veld van de kern, V2 de potentiële energie van
elektron 2 in het veld van de kern, V3 de potentiële energie tussen de twee elektronen.
We schrijven:
2
H=
p2k
+V (x1 , y1 , z1 ; x2 , y2 , z2 )
∑
k=1 2mk
(9.19)
Voor n deeltjes:
n
p2i
+V (x1 , y1 , z1 ; ...; xn , yn , zn )
i=1 2mi
H=∑
(9.20)
De bijbehorende SV ziet er als volgt uit:
ih̄
n
∇2 ψ
∂ψ
= −h̄2 ∑ k +V ψ
∂t
k=1 2mk
(9.21)
Met
V = V (x1 , y1 , z1 ; ...; xn , yn , zn )
(9.22)
ψ = ψ (x1 , y1 , z1 ; ...; xn , yn , zn ;t)
(9.23)
en
Merk op dat we één basisvergelijking hebben voor n deeltjes. Voor n deeltjes hebben we één toestandsfunctie ψ. In de klassieke mechanica van Newton hebben we voor n deeltjes n basisvergelijkingen (F = ma voor
ieder deeltje) en dus ook n toestandsfuncties (namelijk de positie als functie van de tijd voor ieder deeltje).
118
9.2
De tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking
We werken de SV nader uit voor één deeltje:
ih̄
∂ψ
h̄2
= − ∇2 ψ +V ψ
∂t
2m
(9.24)
Oplossingen ontstaan door ψ te schrijven als een product van een functie T van t en φ van~r = (x, y, z), dus:
ψ = T (t)φ (~r)
(9.25)
Substitutie geeft:
ih̄φ
dT
h̄2
= − T ∇2 φ +V T φ
dt
2m
(9.26)
deel door φ T
h̄2 2
1 dT
1
− ∇ φ +V φ
ih̄
=
T dt
2m
φ
| {z }
|
{z
}
alleen afhankelijk van t alleen afhankelijk van~r
(9.27)
Het linkerlid is alleen afhankelijk van de tijd t, het rechterlid alleen van de plaats~r. Dat kan alleen maar als
linker- en rechterlid gelijk zijn aan een constante. We noemen deze constante E, omdat hij correspondeert
met de totale energie van het deeltje. Dit volgt bijvoorbeeld uit een dimensie-analyse.
Zo ontstaan er twee vergelijkingen:
1 dT
h̄2 2
1
ih̄
= E en
− ∇ φ +V φ
=E
(9.28)
T dt
2m
φ
Voor het tijdsafhankelijke deel hebben we:
iE
dT
= − dt
T
h̄
(Scheiding variabelen)
(9.29)
Los op
ln |T | = −
iE
t +C1
h̄
→
T = T0 e−
iEt
h̄
(9.30)
We kiezen T0 = 1. Het tijdsafhankelijke stuk van de golffunctie wordt dan beschreven met:
T (t) = e−
iEt
h̄
(9.31)
Met E = h̄ω kunnen we ook schrijven:
T (t) = e−iωt
(9.32)
Het plaatsafhankelijk deel wordt beschreven door:
−
h̄2 2
∇ φ +V φ = Eφ
2m
(9.33)
We voeren in de Hamilton-operator:
Ĥ =
−h̄2 2
∇ +V
2m
(9.34)
Dan is (9.33) te schrijven als:
Ĥφ = Eφ
(9.35)
119
met φ = φ (x, y, z). Merk op dat dit een eigenwaarde vergelijking is.
Een eigenwaarde vergelijking is een vergelijking waarbij een operator op een functie werkt en dat geeft dan
een i.h.a. complex getal maal die oorspronkelijke functie.
Bij wiskunde bent u tegengekomen de eigenwaarde vergelijking als een matrix, werkend op een vector, geeft
een getal maal die vector.
Het oplossen van een eigenwaarde vergelijking genereert twee dingen. namelijk de functie en dat getal. Zo
genereert (9.35) het eigenwaarden spectrum van de energie = de verzameling mogelijke meetuitkomsten
van de energie E, met bijbehorende eigenfuncties φ (~r).
We zien hoe in de SV het symbool E voor de totale energie weer terugkeert. Het symbool H voor de
klassieke Hamiltoniaan moet H blijven, omdat i.h.a. de Hamiltoniaan een bredere betekenis heeft dan alleen
maar totale energie.
9.3
Het vrije deeltje
We beschouwen het eendimensionale vrije deeltje.
Figuur 9.3: eendimensionaal vrij deeltje
Vrij deeltje wil zeggen → geen krachten → V = 0. De tijdsonafhankelijke SV ziet er als volgt uit:
−
h̄2 d2 φ
= Eφ
2m dx2
met φ = φ (x)
(9.36)
Los op:
d2 φ 2mE
+ 2 φ =0
dx2
h̄
(9.37)
Kort af:
2mE
= k2
2
h̄
(9.38)
Bedenk dat volgende De Broglie:
2mE
2mp2
p2
=
=
= k2
2mh̄2
h̄2
h̄2
volgens De Broglie. Dit geeft:
d2 φ
+ k2 φ = 0
dx2
(9.39)
Dit is een zeer bekende vergelijking, die we eerder tegengekomen zijn bij staande golven en de harmonische
oscillator. De algemene oplossing is:
φ (x) = Aeikx + Be−ikx
(9.40)
met A en B onbepaalde integratie constanten.
Halen we het tijdsafhankelijke stuk T = e−iωt erbij, dan ontstaat:
−iωt ikx
−iωt −ikx
ψ(x,t) = Ae
| {ze }
| {z e } + Be
naar rechts
(9.41)
naar links
De interpretatie is eenvoudig. We hebben de superpositie van een golf (deeltje) lopend naar rechts en een
golf (deeltje) lopend naar links. Als u de theorie over de collaps goed begrepen heeft, zegt u nu: Het deeltje
120
bevindt zich in een interferentie toestand (Limbo), we weten niet of het deeltje naar rechts of naar links
beweegt, bij meting van het teken van de impuls + of −k, treedt er een collaps op en verandert het systeem
in één van de eigenfuncties. Als u dit denkt, dan heeft u het helemaal door! Zo moet je zeker denken als het
deeltje bijvoorbeeld tussen twee vaste wanden heen en weer kaatst, gelijk een tennisbal, maar . . . , bij het
echt volkomen vrije deeltje, zeggen we “We zijn niet helemaal onnozel”. Als we goed kijken dan zien we
vast wel ergens een lamp of elektronenkanon staan. Bijvoorbeeld
Figuur 9.4: eendimensionaal vrij deeltje met pré-informatie
Dan hebben we pré-informatie. Dan weten we gewoon dat het elektron (in dit voorbeeld) naar rechts loopt.
“Zonder collaps” zeggen we dan dat het elektron beschreven wordt door:
ψ = Ae−iωt eikx
(9.42)
of ook, met E = h̄ω en p = h̄k:
ψ(x,t) = Ae
−iEt
h̄
e
ipx
h̄
(9.43)
Dit is de kwantummechanische golffunctie van een vrij deeltje dat in de richting van de +x-as loopt.
Dit is de golffunctie die u herkent. Deze golffunctie hebben we gebruikt bij het twee spleten experiment, en
ook bij de detectie van de lichtgevoelige bom.
9.4
Waarschijnlijkheid en waarschijnlijkheidsdichtheid
Om interpretatie van een oplossing mogelijk te maken, voegen we aan de SV de volgende regel toe. Voor
een eendimensionaal systeem geldt dat de waarschijnlijkheid of kans om een deeltje met golffunctie ψ(x,t)
aan te treffen in het interval tussen x = a en x = b op moment t gelijk is aan
Z x=b
ψ ∗ (x,t)ψ(x,t) dx =
x=a
Z b
|ψ(x,t)|2 dx
(9.44)
a
met ψ ∗ de complex toegevoegde van ψ.
Als we meten over de gehele lengte L, waarin het deeltje met zekerheid zit opgesloten, zullen we het deeltje
altijd aantreffen. De kans is dan 1. Aldus ontstaat de normeringseis:
Z
ψ ∗ (x,t)ψ(x,t) dx = 1
(9.45)
L
De golffunctie ψ(x,t) zal een onbepaalde integratie-constante bevatten. Door de normeringseis te stellen,
kunnen we die integratie-constante berekenen. We noemen dit het normeren van de golffunctie.
Opdat we kunnen normeren moet gelden:
Z
ψ ∗ (x,t)ψ(x,t) dx < ∞,
dus eindig
(9.46)
L
De integraal moet bestaan. Functies die aan deze voorwaarde voldoen, noemen we kwadratisch integreerbaar, of ook wel normeerbaar. We zullen zien dat niet alle golffuncties kwadratisch integreerbaar zijn. Het
is geen vanzelfsprekendheid.
We noemen de grootheid:
P(x,t) = ψ ∗ (x,t)ψ(x,t) = |ψ(x,t)|2
(9.47)
de waarschijnlijkheidsdichtheid of kansdichtheid.
121
Systemen, waarvoor geldt dat |ψ(x,t)|2 onafhankelijk is van de tijd, noemen we stationair. Immers de kans
om een deeltje aan te treffen op een interval [a, b] is vandaag of morgen of volgend jaar altijd dezelfde. Voor
één deeltje in een driedimensionale ruimte gaan (9.44), (9.45) en (9.47) over in:
Z b Z d Z f
|ψ(x, y, z,t)|2 dx dy dz
(9.48)
x=a y=c z=e
Met de normeringseis:
ZZZ
|ψ(x, y, z,t)|2 dx dy dz = 1
(9.49)
ω
Dan geldt:
P(x, y, z,t) = |ψ(x, y, z,t)|2
(9.50)
Voorts veronderstellen we bekendheid met de volgende onzekerheidsrelaties van Heisenberg:
h̄
h̄
h̄
h̄
∆x · ∆px ≥ ; ∆y · ∆py ≥ ; ∆z · ∆pz ≥ ; ∆E · ∆t ≥
2
2
2
2
Met deze kennis kijken we opnieuw naar het vrije deeltje. We hadden:
(9.51)
ψ(x,t) = Ae−iωt eikx
De kansdichtheid wordt dan:
2
P(x,t) = Ae−iωt eikx = |A|2
(9.52)
De kansdichtheid is overal even groot en onafhankelijk van de tijd. Het systeem is stationair. Waar en
wanneer we ook zullen gaan meten op de x-as, de kans om het deeltje ergens aan te treffen is overal even
groot.
Dit is in overeenstemming met de onzekerheidsrelaties. Als de kans overal even groot is, dan is de onzekerheid ∆x gelijk ∞, dus volgens ∆x · ∆p ≥ 2h̄ , is dan ∆p = 0. Het deeltje heeft een welbepaalde impuls, dan ook
2
p
een welbepaalde energie, wat betekent dat ∆E = 0, en dus volgens ∆E · ∆t ≥ h̄2 een extreem
volgens E = 2m
grote ∆t. Er bestaat complete onzekerheid over het tijdstip en de plaats om het deeltje te treffen.
Nu gaan we de golffunctie normeren. Het deeltje bevindt zich op de x-as, van −∞ tot +∞. De normeringseis
wordt:
Z +∞
|ψ(x,t)|2 dx = 1
(9.53)
−∞
Vul in:
Z +∞ −∞
Z
Ae−iωt eikx 2 dx =
+∞
−∞
2
|A|2 dx = |A|2 [x]+∞
−∞ = |A| ∞ = ∞
(9.54)
We zien dat de golffunctie van het vrije deeltje niet-kwadratisch integreerbaar is. Het zal blijken dat voor
niet-gebonden deeltjes de golffunctie niet-kwadratisch integreerbaar is. Dit is een lastige complicatie, waar
we voorlopig niets mee zullen doen.
9.5
De waarschijnlijkheidsstroomdichtheid
Figuur 9.5: Een doos waar knikkers in- en uitstromen.
122
Beschouw een doos gevuld met knikkers (geen zwaartekracht). De doos heeft langs de x-as de afmeting ∆x
en loodrecht op de x-as een oppervlak A. Zie figuur 9.5. Aan de linkerkant kunnen er knikkers de doos instromen, aan de rechterzijde is er uitstroming van knikkers. We voeren in het begrip knikker-stroomdichtheid.
Dit is het aantal knikkers dat per seconde door één vierkante meter stroomt, in de richting van de +x-as,
symbool jx . Verder voeren we in het begrip knikkerdichtheid. Dit is het aantal knikkers in de doos per kubieke meter; symbool ρ. De dichtheid zal een functie zijn van de tijd, dus ρ(t) . Op moment t zijn in de
doos ρ(t)∆x · A knikkers aanwezig en op moment t + ∆t hebben we ρ(t + ∆t)∆x · A knikkers in de doos. De
stroomdichtheid is een functie van de plaats x. De stroomdichtheid op de plaats x, dus jx (x), zal i.h.a. niet
gelijk zijn aan de stroomdichtheid op de plaats x + ∆x, dus jx (x + ∆x).
In de tijd ∆t zullen er jx (x)A · ∆t knikkers naar binnen stromen, en jx (x + ∆x)A · ∆t naar buiten stromen. Het
verschil moet gelijk zijn aan de toename van het aantal knikkers in de doos.
IN − UIT = aantal(t + ∆t) − aantal(t)
(9.55)
jx (x)A∆t − jx (x + ∆x)A · ∆t = ρ(t + ∆t)∆x · A − ρ(t)∆x · A
(9.56)
−
jx (x + ∆x) − jx (x) ρ(t + ∆t) − ρ(t)
=
∆x
∆t
(9.57)
neem de limietovergang:
lim
∆x→0
−
jx (x + ∆x) − jx (x)
ρ(t + ∆t) − ρ(t)
= lim
∆t→0
∆x
∆t
dρ(t)
d jx (x)
=
dx
dt
(9.58)
(9.59)
dρ
d jx
+
=0
dt
dx
(9.60)
In het algemeen is er niet alleen een knikkerstroom in de x-richting, maar ook in de y- en z-richting. Het zal
geen nadere uitleg behoeven om te stellen dat we dan krijgen:
∂ ρ ∂ jx ∂ jy ∂ jz
+
+
+
=0
∂t
∂x
∂y
∂z
Met de nabla notatie ~∇ = ∂∂x , ∂∂y , ∂∂z en de vector ~j = ( jx , jy , jz ) is dit te schrijven als:
∂ρ ~ ~
+∇· j = 0
∂t
(9.61)
(9.62)
~∇ · ~j noemen we de divergentie van ~j, zodat de wet ook voorkomt als:
∂ρ
+ div~j = 0
∂t
(9.63)
Dit noemen we de continuı̈teitsvergelijking. Ook noemen we dit wel behoudswet, alhier de behoudswet
van knikkers. Er verdwijnen geen knikkers in mysterieuze putjes en er worden ook geen knikkers geboren.
Een concreet voorbeeld is de behoudswet van lading, waarbij ρ de elektrische ladingsdichtheid en ~j de
elektrische stroomdichtheid is.
In de kwantummechanica hebben we de waarschijnlijkheidsdichtheid in één dimensie gedefinieerd als
|ψ|2 = ψ ∗ (x)ψ(x).
123
Nu voegen we hier aan toe het begrip waarschijnlijkheidsstroomdichtheid, per definitie, in één dimensie:
h̄
∂ ψ(x,t)
∂ ψ ∗ (x,t)
∗
S(x,t) =
ψ (x,t)
− ψ(x,t)
(9.64)
2mi
∂x
∂x
Hier is een behoudswet voor af te leiden. Daartoe bekijken we:
∂ ψ∗
∂ψ
∂ (ψ ∗ ψ)
=ψ
+ ψ∗
∂t
∂t
∂t
(9.65)
Vermenigvuldig dit met ih̄:
ih̄
∂ (ψ ∗ ψ)
∂ ψ∗
∂ψ
= ψih̄
+ ψ ∗ ih̄
∂t
∂t
∂t
(9.66)
Volgens (9.2) geldt:
ih̄
∂ψ
h̄2 ∂ 2 ψ
+V ψ
=−
∂t
2m ∂ x2
(9.67)
en de complex toegevoegde vergelijking, mits V is reëel:
−ih̄
∂ ψ∗
h̄2 ∂ 2 ψ ∗
=−
+V ψ ∗
∂t
2m ∂ x2
(9.68)
Zo ontstaat:
2 ∗
2
∂ (ψ ∗ ψ)
h̄
∂ ψ
∗∂ ψ
ih̄
−ψ
=
ψ
∂t
2im
∂ x2
∂ x2
(9.69)
Bekijk vervolgens:
2 ∗
2
∂ S(x,t)
h̄
∂ ψ
∗∂ ψ
−ψ
=−
ψ
∂x
2mi
∂ x2
∂ x2
(9.70)
Aldus ontstaat de behoudswet van waarschijnlijkheid :
∂ (ψ ∗ ψ) ∂ S
+
=0
∂t
∂x
(9.71)
In 3 dimensies hebben we:
S(x, y, z,t) =
o
h̄ n ∗~
ψ ∇ψ − ψ~∇ψ ∗
2mi
(9.72)
en met ρ = ψ ∗ ψ,
∂ρ ~ ~
+∇·S = 0
∂t
(9.73)
124
Vraagstukken hoofdstuk 9
9.1 Beschouw een klassiek model van het enkelvoudig geı̈oniseerde He-atoom: een elektron (lading −e)
draaiend in een cirkel rond een stilstaande kern (lading +2e).
(a) Bereken de potentiële energie van dit systeem als gegeven is dat kern en elektron elkaar aantrek1 q1 q2
ken volgens de coulombkracht F = 4πε
en de definitie formule van de potentiële energie,
2
0 r
~
~
namelijk F = −∇V .
(b) Stel de klassieke Hamiltoniaan op en zet deze om in een SV met de correspondentie-regels:
∂
∂t
h̄ ~
~p → ∇
i
H → ih̄
t → t · (vermenigvuldigen met)
~r →~r·
(c) Zet uw tijdsafhankelijke SV om in een tijdsafhankelijk deel van de golffunctie en de tijdonafhankelijke SV
(d) Hoe gaat uw SV eruit zien als de kern niet stilstaat.
Gegeven: µ1 = m11 + m12
9.2 Stel de tijdsafhankelijke en tijdsonafhankelijke SV op voor het niet-geı̈oniseerde He-atoom.
9.3 Toon aan dat S(x,t) een reële functie is.
9.4 Bereken de waarschijnlijkheidsstroomdichtheid S voor het vrije deeltje, eendimensionaal.
Toon aan dat S gelijk is aan de kansdichtheid maal de klassieke deeltjessnelheid, dus:
S = v |A|2
9.5 Toon aan dat ψ = cos(kx) · e−
ih̄
iEt
h̄
ook een oplossing is van de SV:
∂ψ
−h̄2 ∂ 2 ψ
=
∂t
2m ∂ x2
Bereken de waarschijnlijkheidsstroomdichtheid S.
Geef een “verklaring” voor uw antwoord.
Antwoord: S = 0 ; staande golf.
125
126
Hoofdstuk 10
Eendimensionale systemen
10.1
De potentiaalsprong (E < V0 )
We beschouwen een deeltje met energie E dat beweegt langs een x − as. Voor x < 0 is het een vrij deeltje,
maar voor x > 0 komt het deeltje in een gebied, waar het een zekere potentiële energie V0 krijgt.
Figuur 10.1: De potentiaalsprong voor E < V0 .
Dit staat bekend als de potentiaalsprong. Zie figuur 10.1. We werken hier de situatie uit dat de kinetische
energie E van het deeltje in het vrije gebied minder is dan de potentiële energie V0 . Eerst bekijken we het
klassiek. Daartoe geven we de potentiaalsprong een zekere helling. Zie figuur 10.2.
Figuur 10.2: De potentiaalsprong met helling.
Er geldt bijvoorbeeld: V = V0 dx voor 0 ≤ x ≤ d
Volgens de definitieformule voor potentiële energie F = − dV
dx zal het van links komende deeltje in het
127
interval [0, d] een terugdrijvende kracht ondervinden gelijk aan
F =−
V0
d
(Newton)
V0
Het deeltje wordt afgeremd. De remversnelling is gelijk aan a = − md
(volgens F = ma) Stel dat het
deeltje in het vrije gebied een snelheid vo heeft, dus E = 21 mv20 , dan zal het deeltje tot stilstand komen
v2
op moment t1 = − va0 (volgens v = v0 + at). Op dat moment is het deeltje de afstand x1 = − 2a0 (volgens
x = v0t + 12 at 2 ) de potentiaalberg binnengedrongen. Voor x1 kunnen we schrijven: x1 = E Vd0 .
Het deeltje haalt niet eens de afstand d. Binnen het interval [0, d] komt het al tot stilstand en wordt vervolgens
naar buiten gedreven, omdat de kracht F = − Vd0 blijft werken.
Om het wat minder abstract te maken kun je denken aan twee condensatorplaten, met daartussen een constant elektrisch veld G (Het normale symbool voor elektrisch veld is uiteraard E, maar om verwarring te
vermijden, noemen het hier even G).
Figuur 10.3: Condensatorplaten met homogeen elektrisch veld G, als illustratie van een potentiaalberg.
Een lading q ondervindt een terugdrijvende kracht F = −qG. Bij deze kracht hoort de potentiële energie V = qGx (volgens dV = −F dx). Noem V0 = qGd, dan ontstaat V = V0 dx . Zo kun je het gebied met
potentiële energie voorstellen.
Terug naar ons oorspronkelijk probleem. Als we de hoek α uit figuur 10.2. groter maken, neemt de terugdrijvende kracht toe, wordt zelfs ∞ bij α = 90◦ . In dat geval dringt het deeltje de potentiaalberg niet binnen,
maar wordt gereflecteerd gelijk een tennisbal die je tegen een muur slaat. Klassiek gezien is het gebied voor
x > 0 verboden gebied. Daarbinnen zal je nimmer een deeltje aantreffen.
Nu gaan we het probleem kwantummechanisch uitwerken. Daartoe stellen we de tijdsonafhankelijke SV op,
zowel voor gebied 1 (x < 0), als voor gebied 2 (x > 0).
Voor gebied 1:
h̄2 d2 φ1
= Eφ1
2m dx2
Dit is de vergelijking van het vrije deeltje, die we al eerder behandeld hebben. De oplossing is:
−
φ1 (x) = Aeik1 x + Be−ik1 x
met
k12 =
2mE
h̄2
(10.1)
(10.2)
Beide “golven” hebben we nodig, omdat er reflectie zal optreden bij de potentiaalsprong.
Voor gebied 2:
−
h̄2 d2 φ2
+V0 φ2 = Eφ2
2m dx2
(10.3)
128
kan omgeschreven worden tot:
d2 φ2 (V0 − E)2m
−
φ2 = 0
dx2
h̄2
(10.4)
met
(V0 − E)2m
h̄2
(10.5)
d2 φ2
− k22 φ2 = 0
dx2
(10.6)
k22 =
Los op door substitutie van φ2 = eλ x
Dit geeft de karakteristieke vergelijking λ 2 − k22 = 0 → λ = ±k2 , met oplossing:
φ2 = Ce−k2 x + De+k2 x
(10.7)
De term Dek2 x vervalt, omdat dit zou betekenen dat de kans om het deeltje aan te treffen toeneemt met
toenemende x. Dat is fysisch gezien onmogelijk (pré-informatie).
Zo hebben we twee vergelijkingen:
φ1 (x) = Aeik1 x + Be−ik1 x
(10.8)
φ2 (x) = Ce−k2 x
met drie onbekende integratieconstanten A, B en C. Twee daarvan zijn te vinden uit de randvoorwaarden.
We vermelden nu een belangrijke kwantummechanische eis:
B IJ EEN POTENTIAALOVERGANG GELDT DAT DE GOLFFUNCTIE EN ZIJN AFGELEIDE CONTINU ZIJN .
Dus links moet gelijk zijn aan rechts, en de afgeleide van links moet gelijk zijn aan de afgeleide van rechts.
Er mag geen knik zijn, er is een vloeiend verloop van de golffunctie.
Alhier betekent het dat op de plaats x = 0 geldt:
dφ1
dφ2
φ1 (0) = φ2 (0) én
=
(10.9)
dx x=0
dx x=0
We bepalen de afgeleiden van (10.8)
dφ1
= ik1 Aeik1 x − ik1 Be−ik1 x
dx
dφ2
= −k2Ce−k2 x
dx
(10.10)
De randvoorwaarden leveren op:
A+B =C
(10.11)
ik1 A − ik1 B = −k2C
Na enig rekenwerk vinden we:
B=
ik1 + k2
2ik1
A en C =
A
ik1 − k2
ik1 − k2
(10.12)
De oplossing wordt nu:
φ1 (x) = Aeik1 x +
ik1 + k2 −ik1 x
Ae
ik1 − k2
(10.13)
2ik1
φ2 (x) =
Ae−k2 x
ik1 − k2
129
Voor φ1 kunnen we schrijven:
2ik1
k2
φ1 (x) =
A cos k1 x − sin k1 x
ik1 − k2
k1
(10.14)
met de trukendoos die we ook bij de harmonische oscillator gebruikt hebben, ontstaat:
2ik1
1
k2
A
cos(k1 x + α) met tan α =
ik1 − k2 cos α
k1
We maken een tekening van φ1 en φ2 met weglating van de gemeenschappelijke factor.
φ1 (x) =
(10.15)
Figuur 10.4: De golffunctie heeft een vloeiend verloop
We zien hoe bij de overgang op de plaats x = 0 de kromme vloeiend overgaat van 1 naar 2, zoals geëist was.
Desgewenst kunnen we de tijdsafhankelijkheid toevoegen:
ψ1 (x,t) = Ae−iωt eik1 x + Be−iωt e−ik1 x
(10.16)
ψ2 (x,t) = Ce−iωt e−k2 x
met E = h̄ω. De ω in gebied 2 is gelijk aan de ω in gebied 1, omdat het deeltje overal dezelfde energie E
heeft.
We geven weer een nieuwe kwantummechanische regel, die we later veel algemener zullen bespreken.
We kijken naar ψ1 (x,t). De functie eik1 x correspondeert met een naar rechts lopend deeltje (positieve impuls).
Voor de functie eik1 x staat de factor Ae−iωt . Nu geldt dat de modulus in het kwadraat van de factor voor eik1 x
gelijk is aan de kans om bij meting op moment t een naar rechts bewegend deeltje te vinden. Alhier:
−iωt 2
Ae
= |A|2
(10.17)
Analoog is de modulus in het kwadraat van de factor voor e−ik1 x de kans om bij meting op moment t een
deeltje te vinden dat naar links loopt. Alhier:
−iωt 2 ik1 + k2 −iωt 2
Be
=
= |A|2
(10.18)
ik1 − k2 Ae
De kans om een naar rechts bewegend deeltje te vinden is gelijk aan de kans om een naar links bewegend deeltje te vinden. Dat betekent dat het deeltje 100% gereflecteerd wordt, ook al dringt het deeltje het
verboden gebied in. Hij komt altijd terug.
Tot slot berekenen we de kansdichtheid:
|ψ1 |2 = 4 |A|2 cos2 (k1 x + α)
waarbij gebruik gemaakt is van cos α =
|ψ2 |2 =
(10.19)
√ k21 2 ,
k1 +k2
omdat tan α =
4k12
|A|2 e−2k2 x
k12 + k22
k2
k1 .
(10.20)
Er bestaat dus een kans om het deeltje te vinden in gebied 2, daar waar het volgens de klassieke mechanica
nooit gevonden kan worden.
130
10.2
De potentiaalsprong (E > V0 )
Nu de situatie dat E > V0 . Zie figuur 10.5.
Figuur 10.5: De potentiaalsprong bij E > V0 .
Het deeltje komt weer van links. Klassiek gezien zal het deeltje niet gereflecteerd worden. Het loopt in
gebied 2 gewoon door, zij het met lagere snelheid. Een deel van de energie E wordt omgezet in potentiële
energie V0 , zodat aan kinetische energie in gebied 2 resteert T = E −V0 .
Nu kwantummechanisch: Het is belangrijk om te weten dat bij iedere potentiaalsprong er reflecties kunnen
optreden, ook al is E > V0 . Dat is een golfeigenschap. Als je een licht touw vastknoopt aan een zwaar
touw en je wekt in het lichte touw lopende golven op, dan zullen die bij de knoop gedeeltelijk gereflecteerd
worden. Zo ook in de kwantummechanica.
We stellen weer de tijdsonafhankelijke SV op voor gebied 1 en gebied 2. Dat geeft, kijkend naar de vorige
paragraaf, de oplossingen:
φ1 (x) = Aeik1 x + Be−ik1 x
(10.21)
φ2 (x) = Ceik2 x
met
2mE
(E −V0 )2m
en k22 =
2
h̄
h̄2
De continuı̈teitsvoorwaarde geeft:
k12 =
(10.22)
k1 − k2
2k1
A en C =
A
(10.23)
k1 + k2
k1 + k2
2
Eerder hebben we gezien hoe Ae−iωt de kans is om een naar rechts lopend deeltje te vinden in gebied 1,
−iωt 2
Be
de kans om een naar links lopend deeltje te vinden in gebied 1 en Ce−iωt 2 de kans om een
naar rechts lopend deeltje te vinden in gebied 2. In principe is dit voldoende voor de interpretatie, maar
we kunnen in dit geval een andere, meer aansprekende interpretatie formuleren. Daartoe kijken we naar de
waarschijnlijkheidsstroomdichtheid S. In opgave 10.1 heeft u bewezen:
B=
S1 = v1 |A|2 − v1 |B|2
(10.24)
S2 = v2 |C|2
Stellen we ons voor dat we een heleboel invallende deeltjes hebben, met dichtheid |A|2 . Dus φ2 is het aantal
deeltjes per e−k2 x . Ze hebben allemaal de snelheid v1 . Hoeveel deeltjes zullen dan per seconde één vierkante
meter dwarsdoorsnede, loodrecht op de x-as, passeren?
Het antwoord luidt v1 |A|2 . Zie figuur 10.6. Dus v1 |A|2 is interpreteerbaar als de deeltjes-stroomdichtheid van
de invallende bundel. Dan is v1 |B|2 interpreteerbaar als de stroom-dichtheid van de gereflecteerde bundel,
en v2 |C|2 van de doorgelaten bundel.
Zo kunnen we een reflectiecoëfficient R invoeren als zijnde de verhouding tussen het aantal deeltjes dat per
seconde teruggaat ten opzichte van het aantal invallende deeltjes.
k1 − k2 2
v1 |B|2
=
(10.25)
R=
k1 + k2
v1 |A|2
131
Figuur 10.6: De stroomdichtheid is v1 |A|2
Ook bestaat er een transmissiecoëfficient T als zijnde het aantal doorgelaten deeltjes ten opzichte van het
aantal invallende deeltjes.
T=
v2 |C|2
2
v1 |A|
=
4k1 k2
(k1 + k2 )2
(10.26)
Altijd geldt: R + T = 1
10.3
De potentiaalberg
Figuur 10.7: De potentiaalberg.
In de kwantummechanica is het mogelijk dat een deeltje een potentiaalberg doorboort, ook al is zijn energie E minder dan de potentiële energie V0 van de berg. Zie figuur 10.7
Het is analoog aan het verschijnsel dat een lichtgolf gedeeltelijk door een dunne goudfolie gaat. We noemen
dit verschijnsel het tunneleffect.
We moeten voor gebied 1, 2 en 3 de tijdsonafhankelijke SV opstellen en oplossen. De oplossingen zullen
zijn:
φ1 (x) = Aeik1 x + Be−ikx
met
φ2 (x) = Cek2 x + De−k2 x
met
2mE
h̄2
2m(V0 − E)
k12 =
h̄2
k12 =
(10.27)
φ3 (x) = Feik1 x
De ek2 x term in φ2 moet nu wel meegenomen worden, omdat de dempende e−k2 x term bij x = a gereflecteerd
zal worden. De integratieconstanten volgen uit de continuı̈teitsvoorwaarden bij x = 0 en x = a.
Dit is een omvangrijke exercitie, die we overlaten aan het college “principes van molecuulbouw en chemische binding”.
10.4
De potentiaalput
We beschouwen een deeltje in een potentiaalput tussen x = 0 en x = a. Zie figuur 10.8. Buiten deze put is de
V oneindig groot. Daarom is de kans om daar het deeltje aan te treffen gelijk 0, zelfs kwantummechanisch
132
Figuur 10.8: De potentiaalput.
(zie opgave 10.3). Voor x ≤ 0 en x ≥ a geldt φ = 0. Het deeltje heeft een energie E. De tijdsonafhankelijke
SV wordt:
h̄2 d2 φ
= Eφ
2m dx2
(10.28)
d2 φ 2mE
+ 2 φ =0
dx2
h̄
(10.29)
−
en
Vereenvoudig dit tot:
d2 φ
+ k2 φ = 0
dx2
met k2 =
2mE
h̄2
(10.30)
Dit is de vergelijking voor het vrije deeltje, dus:
φ (x) = Aeikx + Be−ikx
(10.31)
Als enige continuı̈teitsvoorwaarde hebben we dat voor x = 0 en x = a de φ gelijk nul moet zijn. Dit geeft:
0 = A+B
(10.32)
0 = Aeika + Be−ika
De eerste vergelijking geeft B = −A. Substitueer dit in de tweede vergelijking.
eikα − e−ikα = 0
→
sin ka = 0
→
kn =
nπ
a
voor n = 1, 2, 3, . . .
(10.33)
We werken alleen met positieve k0 s. Het golfgetal is gequantiseerd, dus ook de energie E volgens (10.32).
We vinden:
En =
h̄2 kn2 n2 π 2 h̄2
=
2m
2ma2
n = 1, 2, 3, . . .
(10.34)
De bij En horende golffunctie is:
φn (x) = Aeikn x − Aeikn x = 2iA sin kn x
(10.35)
Wiskundig gezien zijn we bezig met het oplossen van de eigenwaarde vergelijking van de energie. Deze
genereert het eigenwaarde spectrum van de energie (10.34), met bijbehorende energie-eigenfuncties (10.35).
Inclusief de tijdsafhankelijkheid ontstaan de volgende stationaire energietoestanden:
nπx iEn t
ψn (x,t) = 2iAn e− h̄ sin
n = 1, 2, 3, . . .
(10.36)
a
133
De normeringseis levert op:
Z a
0
2
Z a
|φn (x)|2 dx
Z0 a
nπx =
4 |A|2 sin2
dx
a
0
Z a
2nπx
1 − cos
dx
= 2 |A|2
a
0
1
eis
= 2 |A|2 a ≡ 1 → |A|2 =
2a
|ψn (x,t)| dx =
Kies A reëel dan volgt
√
A = 1/ 2a
(10.37)
De genormeerde energie-eigenfuncties zijn dan:
nπx 2i
φn (x) = √ sin
a
2a
voor n = 1, 2, 3, . . .
(10.38)
Voor de kansdichtheid vinden we:
|ψn (x,t)|2 = |φn (x)|2 =
2 2 nπx sin
a
a
(10.39)
We tekenen de φn met weglating van de imaginaire voorfactor, en ook tekenen we de kansdichtheid (zie
figuur 10.9). Merk op de analogie met staande golven in een snaar, die aan beide zijden is ingeklemd.
Figuur 10.9: Schets van golffunctie (a) en kansdichtheid (b) bij de potentiaalput.
10.5
De harmonische oscillator
Zie ook § 6.3.
De tijdsonafhankelijke SV ziet er als volgt uit:
h̄2 d2 φ 1
+ mω 2 x2 φ = Eφ
2m dx2 2
(10.40)
d2 φ 2mE − m2 ω 2 x2
+
φ =0
dx2
h̄2
(10.41)
−
en
134
Noem
2mE
h̄2
= k2 en
mω
h̄
= λ dan ziet de vergelijking er dus zo uit:
d2 φ
+ k 2 − λ 2 x2 φ = 0
2
dx
(10.42)
Deze vergelijking heeft als oplossing:
1
En = n +
h̄ω n = 0, 1, 2, 3, . . .
2
√ 1
2
φn (x) = Cn e− 2 λ x Hn x λ
(10.43)
Waarbij Hn de polynomen van Hermite zijn, waarvoor geldt:
2
Hn (y) = (−1)n ey
2 (n)
e−y
(10.44)
et symbool (n) betekent de ne afgeleide. De 0e afgeleide betekent geen afgeleide. We vinden:
H0 (y) = 1
H1 (y) = 2y
(10.45)
2
H2 (y) = 4y − 2
enzovoort
De veeltermen (of polynomen) van Hermite zijn de oplossingen van de differentiaal vergelijking van Hermite:
d2 f
df
− 2y
+ 2n f = 0
dy2
dy
(10.46)
We tonen aan door middel van substitutie dat φn (x) een oplossing is van:
d2 φ
+ (k2 − λ 2 x2 )φ = 0
dx2
√
√
−λ x2 dHn (x
−λ x2
dφ
λ)
= −λ xCn e 2 Hn (x λ ) +Cn e 2
dx
dx
2
−λ x2
−λ x2 dHn
−λ x2 d Hn
d2 φ
2 2
2 H − 2λ xC e 2
2
=
(−λ
+
λ
x
)C
e
+C
e
n
n
n
n
dx2
dx
dx2
Substitutie, met weglating van de factor Cn e
−λ x2
2
geeft:
d2 Hn
dHn
+ (k2 − λ )Hn = 0
− 2λ x
2
dx
dx
√
Ga over op de variabele y = x λ
2
k
d2 Hn
dHn
+
− 1 Hn = 0
− 2y
dy2
dy
λ
2 n + 21 h̄ω
k2
2mE h̄
2E
−1 =
−1 =
−1 =
− 1 = 2n
λ
h̄ω
h̄ω
mω h̄2
Zo ontstaat de differentiaal vergelijking van Hermite:
d2 Hn
dHn
− 2y
+ 2nHn = 0
dy2
dy
waarvan we weten dat de Hn de oplossingen zijn.
135
Stel dat het deeltje zich bevindt in een energie-eigentoestand. De normeringseis wordt dan:
Z +∞
−∞
2
|ψn (x,t)| dx =
Z +∞
−∞
|φn (x)|2 dx = 1
(10.47)
dus
Z +∞
−∞
2 −λ x2
|Cn | e
Hn2
Z +∞
√ √ √ 2
1
|Cn |2 e−λ x Hn2 x λ d x λ
x λ dx = √
λ −∞
Z +∞
2
1
eis
|Cn |2 e−y Hn2 (y) dy ≡ 1
=√
λ −∞
(10.48)
Bij wiskunde heeft u geleerd:
√
π
(10.49)
√
2
1
|C0 |2 e−y · 1 dy = √ |C0 |2 π = 1
λ
(10.50)
Z +∞
de integraal van Gauss :
2
e−y dy =
−∞
Zo krijgen we voor n = 0:
1
√
λ
Z +∞
−∞
Daaruit volgt
r
2
|C0 | =
λ
→ C0 =
π
1/4
λ
π
(10.51)
In het algemeen geldt:
Cn =
1
√
n
2 n! π
1/2
λ 1/4
(10.52)
We maken een schets van golffunctie en kansdichtheid.
Figuur 10.10: Schets van golffunctie en kansdichtheid van de harmonische oscillator
We maken onderscheid tussen gebonden en niet-gebonden systemen. De potentiaalput en de harmonische
oscillator zijn voorbeelden van gebonden systemen. We hebben gezien dat daar quantisatie optreedt en dat
de golffuncties kwadratisch integreerbaar zijn.
Het vrije deeltje, de potentiaalsprong en potentiaalberg zijn voorbeelden van niet-gebonden systemen. Daar
is geen quantisatie en de normering gaf problemen.
136
Vraagstukken hoofdstuk 10
De vragen 10.1 – 10.4 hebben betrekking op het systeem beschreven in § 10.1.
10.1 Gegeven formule (10.16) toon aan dat de waarschijnlijkheidsstroomdichtheid S geschreven kan worden als:
S = v1 |A|2 − v1 |B|2
met v1 de klassieke snelheid in gebied 1.
10.2 Bereken S in gebied 1 en gebied 2.
Antwoord: 0,0.
10.3 Bespreek wat er gebeurt met de kansdichtheden, de golffuncties, de randvoorwaarden, als V0 oneindig
groot wordt.
10.4 Gegeven: ψ2 (x,t) = Ce−iωt eik2 x
Toon aan: S = v2 |C|2 met v2 de klassieke snelheid.
10.5 Beschouw onderstaande potentiaalsprong.
We hebben een invallend deeltje, komend van rechts, dus lopend naar links, met energie E. U krijgt
als enige gegevens de volgende formules:
ih̄
∂ψ
h̄2
= − ∇2 ψ +V ψ
∂t
2m
en
~S = h̄ ψ ∗~∇ψ − ψ~∇ψ ∗
2mi
De rest moet u uit het hoofd weten!
Bereken, zowel voor E < V0 en E > V0 :
(a) De golffunctie ψ(x,t), maak daarvan een schets;
(b) De kansdichtheid;
(c) De waarschijnlijkheidsstroomdichtheid;
(d) De reflectie- en transmissiecoëfficiënt;
(e) Geef de verschillen aan met de klassieke mechanica.
10.6 Beschouw onderstaande potentiaalkuil
2
h̄
Gegeven: − 2m
d2 φ
dx2
+V φ = Eφ met het tijdsafhankelijke deel e
Een deeltje valt in, komende van links, met energie E > V0 .
137
−iEt
h̄
(a) Bereken de eigenfunctie ϕ voor de drie gebieden, voorlopig in termen van onbepaalde integratieconstanten, uitgaande van de tijdsonafhankelijke SV.
Let op: mogelijk kent u de oplossingen uit uw hoofd. De oplossingen zonder meer opschrijven
wordt echter niet gehonoreerd. De bedoeling is dat u aantoont in staat te zijn wiskundig een
differentiaalvergelijking op te lossen. Toon dat drie keer aan.
(b) Om de formules te vereenvoudigen is gegeven dat de energie van het deeltje E = 34 V0 .
Met dit gegeven is aantoonbaar dat k2 = 2k1 , waarbij k2 het golfgetal is in gebied 2 en k1 het
golfgetal is in gebied 1. Toon dit aan.
(c) Verder is gegeven (ook weer terwille van vereenvoudiging van formules) dat de breedte van
de potentiaalkuil a = λ42 , waarbij λ2 de “golflengte” is in de kuil, met k2 = 2π
λ2 . Maak hiervan
ik
a
2
gebruik door te bedenken e = cos k2 a + i sin k2 a = . . .
Bereken nu de onbepaalde integratieconstanten van uw ϕ’s.
(d) Bereken de reflectiecoëfficiënt R en de transmissiecoëfficiënt T van het systeem. Hierbij mag u
gebruik maken van het gegeven dat voor ψ = e−iωt (Aeikx + Be−ikx ) geldt S = v |A|2 − v |B|2 .
10.7 Bereken H3 (y) en laat zien dat H3 (y) een oplossing is van de differentiaalvergelijking van Hermite
voor n = 3.
Antwoord: H3 = 8y3 − 12y.
10.8 Bereken C1 en C2 , met als uitgangspunt (10.43), (10.44), (10.49) en uiteraard de normeringseis.
Controleer uw antwoord met behulp van (10.52).
138
Hoofdstuk 11
Enkele formele aspecten van de
kwantummechanica
11.1
Orthonormale stelsels
Er bestaat een sterke analogie tussen vectoren en de golffuncties van de kwantummechanica.
Beschouw twee n-dimensionale vectoren ~x en ~y uit de reële vectorruimte:
~x = (x1 , x2 , . . . , xn )
~y = (y1 , y2 , . . . , yn )
dan wordt het inwendig product gedefinieerd als:
n
(~x,~y) ≡ x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn = ∑ xi yi
(11.1)
1
De lengte |~x| van een vector volgt uit:
s
n
(~x,~x) = |~x|2 = ∑ xi2
→
n
∑ xi2
|x| =
(11.2)
1
1
Is (~x,~y) = 0, dan noemen we de vectoren ~x en ~y orthogonaal (staan loodrecht op elkaar).
Zijn de getallenrijen {xi } en {yi } complex (complexe vectorruimte), dan moeten we het inwendig product
aanpassen:
n
(~x,~y) = x1∗ y1 + x2∗ y2 + . . . + xn∗ yn = ∑ xi∗ yi
(11.3)
1
Hierdoor is de lengte:
p
p
|~x| = (x, x) = x1∗ x1 + x2∗ x2 + . . . + xn∗ xn
(11.4)
Ook voor complexe functies, zoals die in de kwantummechanica voorkomen, introduceren we een inwendig
product.
Zo is het inwendig product tussen de functie f (x) en de functie g(x), gedefinieerd op een interval [a, b] gelijk
aan:
( f (x), g(x)) ≡
Z b
f ∗ (x)g(x) dx
(11.5)
a
De som van (11.3) is vervangen door een integraal. In plaats van lengte spreken we over de norm van de
functie. Het kwadraat van de norm is gelijk aan:
( f , f ) = k f k2 =
Z b
f ∗ (x) f (x) dx
(11.6)
a
139
De dubbele strepen brengen we aan om verwarring te vermijden met de absolute waarde van f (x). Als geldt:
( f , g) = 0
(11.7)
dan noemen we de functies orthogonaal. In gewoon Nederlands: f staat loodrecht op g, dus f ⊥g.
Dit ziet er nogal abstract uit en daarom geven we een voorbeeld.
Gegeven: f (x) = 1 en g(x) = x op het interval [a, b] = [−1, 1]. Nu is
k f k2 = ( f , f ) =
Z +1
1 · 1 dx = 2
dus
kfk =
√
2
−1
en
2
kgk = (g, g) =
Z +1
−1
Z +1
( f , g) =
2
x · x dx =
3
r
dus
kgk =
2
3
1 · x dx = 0
−1
Dus, dus f en g zijn orthogonaal op het interval [−1, +1].
Schetsen we echter de grafieken van f en
√ g dan zien
we dat de booglengten resp. zijn 2 en 2 2; de hoek
tussen f en g is π4 (zie figuur 11.1).
Figuur 11.1
Norm en orthogonaliteit heeft dus niets te maken met de booglengte en de hoek tussen functies. Het is een
abstracte beschrijving van functies in termen van vectoren. U moet tegen die functies aankijken alsof het
vectoren zijn. Als u wat wil tekenen, dan tekent u:
q
2
≈ 0, 8
√3
k f k = 2 ≈ 1, 4
kgk =
Figuur 11.2
Die parallel met vectoren trekken we verder door.
Een vectorruimte V kan worden opgespannen door een set basisvectoren {~v1 ,~v2 , . . . ,~vn }. Dat betekent dat
elk element ~v van V op precies één manier kan worden geschreven als de lineaire combinatie van basiselementen:
~v = c1~v1 + c2~v2 + . . . + cn~vn
(11.8)
Zo’n stelsel noemen we een volledig stelsel. Indien de basisvectoren loodrecht op elkaar staan, dus (~vi ,~v j ) = 0
voor i 6= j, spreken we van een volledig orthogonaal stelsel. Hebben de basisvectoren ook nog eens de
lengte 1, dan noemen we het een volledig orthonormaal stelsel.
In dat laatste geval kunnen we ci lezen als de lengte van de projectie van ~v op de ~vi -as. Vermenigvuldiging
van (11.8) links en rechts met ~vi levert op:
(~vi ,~v) = ∑ ck (~vi ,~vk ) + ci (~vi ,~vi ) = ci
(11.9)
i6=k
140
In tekening, twee dimensionaal
f = c1 v1 + c2 v2
Figuur 11.3
Analoog kunnen we een functieruimte opspannen door een set basisfuncties {φi }, zodat een willekeurige
functie uit die functieruimte te schrijven is als:
f = c1 φ1 + c2 φ2 + . . . + cn φn
(11.10)
Als (φi , φ j ) = 0 voor i 6= j, noemen we dit stelsel orthogonaal. Hebben de basisfuncties de norm 1, dus
kφi k2 = (φi , φi ) = 1, dan noemen we het stelsel orthonormaal.
Voor een orthonormaal stelsel geldt:
ci = (φi , f ) = de projectie van f op φi
(11.11)
en
n
k f k2 = ∑ |ci |2
De stelling van Parsival
(11.12)
1
In tekening, tweedimensionaal
f = c1 φ1 + c2 φ2
Figuur 11.4
In bovenstaande mag de dimensie n ook oneindig zijn. We zeggen dan dat n aftelbaar is, oneindig groot.
In de kwantummechanica hebben we te maken met twee soorten ruimten: de complexe vectorruimte (deze is
bijvoorbeeld nodig voor de beschrijving van spin) en de complexe functieruimte. We beperken ons voorlopig
tot de complexe functieruimte.
11.2
Operatoren
In de complexe functieruimte definiëren we de operator Â. Bijvoorbeeld de impulsoperator p̂x =
we reeds kennen.
We beschouwen alleen lineaire operatoren, dus:
Â (α f + β g) = α Â f + β Âg
h̄ ∂
i ∂x,
die
(11.13)
Voor alle f en g uit een bepaalde functieruimte, waarbij α en β complexe constanten zijn.
Hebben we twee operatoren Â en B̂ dan zal in het algemeen ÂB̂ niet gelijk zijn aan B̂ Â.
We voeren in de commutator:
Â, B̂ ≡ ÂB̂ − B̂Â
(11.14)
Is de commutator nul, dan heten Â en B̂ verwisselbaar. Uiteraard is de commutator zelf weer een operator.
Rekenen met commutatoren gaat eenvoudig; er gelden bijvoorbeeld de volgende rekenregels:
Â, B̂ = − B̂, Â
(11.15)
141
Âα, B̂ = α Â, B̂
(11.16)
met α een complexe constante.
In de functieruimte kunnen we een eigenwaarde vergelijking formuleren:
Â f = λ f
(11.17)
Dus de operator werkt op een functie f en dat geeft dan een in het algemeen complex getal λ , maal die
oorspronkelijke functie f . λ noemen we de eigenwaarde en f de eigenfunctie.
Het oplossen van de eigenwaarde vergelijking genereert de eigenwaarden en de eigenfuncties.
We zijn in de kwantummechanica reeds een eigenwaarde vergelijking tegengekomen, namelijk de tijdsonafhankelijke SV
Ĥφ = Eφ
(11.18)
De eigenwaarde is de energie E. Deze kan niet complex zijn. In de kwantummechanica geldt dat de eigenwaarde een reëel getal moet zijn. Een reëel getal kan negatief zijn, al is dit bij de energie uiteraard niet het
geval.
Het reëel zijn van de eigenwaarden legt een eis op aan de operatoren in de kwantummechanica. Daartoe
introduceren we de operator Â† . Dit heet de complex geadjungeerde van operator Â. Per definitie:
Â f , g = f , Â† g
(11.19)
voor alle f en g, waarvoor de producten gedefinieerd zijn.
Is Â = Â† dan heet Â een hermitische of zelfgeadjungeerde operator. Dus een operator is hermitisch als geldt:
Â f , g = f , Âg
(11.20)
Belangrijke eigenschappen van hermitische operatoren zijn:
Eigenschap 1:
De eigenwaarden van een hermitische operator zijn reëel.
Stel Â is hermitisch en Â f = λ f , dan geldt:
Â f , f = (λ f , f ) = λ ∗ ( f , f )
maar ook
Â f , f = f , Â f = ( f , λ f ) = λ ( f , f )
omdat λ ∗ ( f , f ) = λ ( f , f ) moet nu of λ ∗ = λ of ( f , f ) = 0. Dit laatste kan niet voor een eigenfunctie. Dus
volgt: λ = λ ∗ , ofwel λ is reëel.
Eigenschap 2:
Eigenfuncties van de hermitische operator die behoren bij verschillende eigenwaarden zijn onderling loodrecht.
Bewijs: Zij Â hermitisch, Â f = λ f en Âg = µg met λ 6= µ. Nu is
Â f , g = (λ f , g) = λ ( f , g)
maar ook
Â f , g = f , Âg = ( f , µg) = µ ( f , g) .
Omdat λ ( f , g) = µ ( f , g) en bovendien λ 6= µ moet ( f , g) = 0 zijn, ofwel f en g zijn orthogonaal.
142
Eigenschap 3:
Zijn Â en B̂ beide hermitisch en is bovendien Â, B̂ = 0, dan is ook het product ÂB̂ hermitisch.
Bewijs:
ÂB̂ f , g = B̂ f , Âg = f , B̂Âg = f , ÂB̂g
dus
†
ÂB̂ = ÂB̂.
Eigenschap 4:
Een niet-hermitische operator T̂ kan worden geschreven als T̂ = Â + iB̂, waarin Â en B̂ hermitisch zijn.
Bewijs: Stel
T̂ + T̂ † = 2Â
en T̂ − T̂ † = 2iB̂
dan is
T̂ = Â + iB̂.
Â is hermitisch, omdat
1
1
†
† †
T̂ + T̂ f , g = f , T̂ + T̂
g
Â f , g =
2
2
1 †
= f , T̂ + T̂ g = f , Âg
2
dus
Â = Â†
B̂ is hermitisch, omdat
1
1
†
B̂ f , g =
T̂ − T̂ f , g = −
T̂ − T̂ † f , g
2i
2i
1
1
1
† †
†
†
= f,−
T̂ − T̂
g = f,−
T̂ − T̂ g = f ,
T̂ − T̂ g = f , B̂g
2i
2i
2i
dus
B̂ = B̂†
11.3
Observabelen
In de kwantummechanica wordt aan iedere meetbare fysische grootheid A, zoals energie, impuls, impulsmoment enzovoort, een lineaire hermitische operator Â toegevoegd (vaak observabele genoemd) volgens de
regel (coördinaten representatie):
h̄ ∂ h̄ ∂ h̄ ∂
A(x, y, z; px , py , pz ) → Â x, y, z;
,
,
(11.21)
i ∂x i ∂y i ∂z
korter geformuleerd:
h̄ ~
A (~r;~p) → Â ~r, ∇
i
(11.22)
143
Dit geldt voor één deeltje. Hebben we N deeltjes, dan geldt:
h̄ ~ h̄ ~
h̄ ~
A (~r1 ,~r2 , . . . ,~rn ;~p1 ,~p2 , . . . ,~pn ) → Â ~r1 , . . . ,~rn ; ∇1 , ∇2 , . . . , ∇n
i
i
i
(11.23)
Waar het op neer komt is: x blijft x, y blijft y, z blijft z (vandaar de naam coördinaten representatie) en px
wordt h̄i ∂∂x , enzovoort.
Zo hebben we klassiek:
H=
p2
+V (~r)
2m
Pas de regel toe en er ontstaat:
Ĥ = −
h̄2 2
∇ +V (~r)
2m
Dit hebben we reeds bekeken en gebruikt.
We tonen nu aan dat x̂ en p̂x hermitisch zijn.
Wil x̂ hermitisch zijn, dan moet gelden:
(x f , g) = ( f , xg)
(11.24)
Stel dat het interval, waarop de functies f en g gedefinieerd zijn, loopt van −∞ tot +∞, Dan:
Z +∞
(x f , g) =
x∗ f ∗ g dx =
Z +∞
−∞
x f ∗ g dx =
−∞
Z +∞
f ∗ xg dx = ( f , xg)
(11.25)
−∞
Dit was een flauw bewijs. Het impliceert dat iedere reële functie V (x, y, z) ook hermitisch is. Bewijs:
+∞
ZZZ
(V f , g) =
V ∗ (x, y, z) f ∗ g dx dy dz
−∞
(11.26)
ZZZ
V (x, y, z) f ∗ g dx dy dz
ZZZ
f ∗V (x, y, z)g dx dy dz = ( f ,V g)
=
=
Met opzet hebben we een deeltje in een driedimensionale ruimte beschouwd. U mocht eens gaan denken dat
de wereld slechts ééndimensionaal is.
Veel lastiger is het bewijs dat de impulsoperator ~px hermitisch is. Dus te bewijzen:
h̄ dg
h̄ d f
,g = f,
(11.27)
i dx
i dx
Links staat de integraal
Z +∞ h̄ d f ∗
g dx
i dx
−∞
en rechts
Z +∞
f∗
−∞
h̄ dg
dx
i dx
Op het eerste gezicht nogal verschillend. Gaan we het linkerlid partieel integreren, dan komt er
h̄
f
i
∗ +∞ Z
g
−
−∞
+∞
−∞
h̄
f
i
∗
dg
dx
dx
De functie f (x) en g(x) zijn kwadratisch integreerbaar.
144
Er geldt dan
Z +∞
−∞
| f (x)|2 dx < ∞, zodat limx→±∞ f (x) = 0.
Dan is ook de stokterm
∗
+∞
h̄
f (x) g(x)
=0
i
−∞
Verder is
∗
h̄
h̄
−
=+
i
i
zodat inderdaad het rechterlid te voorschijn komt:
Z +∞
+
f∗
−∞
h̄ dg
dx
i dx
Opmerking: In de afleiding is te zien dat de constante i in de impulsoperator essentieel is voor het hermitisch
d
is dus niet hermitisch en correspondeert daarom ook niet met een fysische
zijn van de operator. Alleen dx
grootheid.
Een operator die we nog niet kennen, is die we toevoegen aan het impulsmoment
~L =~r ∧~p
(11.28)
Volgens de regels is de bijbehorende operator een vector-operator.
~Lˆ =~r ∧ h̄ ~∇
i
(11.29)
Uitgewerkt per component staat hier:
~e1
~e2
~e3 ~Lˆ = x
h̄ ∂ h̄ y∂ h̄ z∂ →
i ∂x
i ∂y
i ∂z
∂
∂
h̄
y −z
~e1
L̂x =
i
∂z
∂y
h̄
∂
∂
L̂y =
z −x
~e2
i
∂x
∂z
∂
∂
h̄
L̂z =
x −y
~e3
i
∂y
∂x
(11.30)
Zo kunnen we ook aan L2 een operator toevoegen:
L̂2 = L̂x2 + L̂y2 + L̂z2
(11.31)
Zo is bijvoorbeeld:
L̂x2 f = L̂x L̂x f
∂
∂
∂f
∂f
2
= −h̄ y − z
y
−z
∂z
∂y
∂z
∂y
∂
∂f
∂
∂f
∂
∂f
∂
∂f
2
= −h̄ y
y
−y
z
−z
y
+z
z
∂z
∂z
∂z
∂y
∂y
∂z
∂y
∂y
2
2
2
2
∂ f
∂f
∂ f
∂f
∂ f
∂ f
= −h̄2 y2 2 − y
− yz
−z
− zy
+ z2 2
∂z
∂y
∂ z∂ y
∂z
∂ y∂ z
∂y
2
2
2
∂ f
∂f
∂ f
∂f
∂ f
= −h̄2 y2 2 − y
− 2yz
−z
+ z2 2
∂z
∂y
∂ y∂ z
∂z
∂y
145
(11.32)
11.4
Het eigenwaarde-postulaat
Eén van de postulaten van de kwantummechanica luidt, dat je aan iedere meetbare fysische grootheid A een
hermitische operator Â kunt toevoegen (observabele).
Formuleer voor deze operator een eigenwaarde vergelijking, aldus:
ÂφAi = Ai φAi
(11.33)
met Ai een reëel getal.
Het oplossen van deze eigenwaarde vergelijking genereert de verzameling eigenwaarden Ai (het eigenwaarde spectrum). Deze Ai zijn gelijk aan de mogelijke meetuitkomsten bij meting van de observabele Â
van het systeem. Ook worden de eigenfuncties φ gegenereerd. Bij iedere eigenwaarde Ai hoort een eigenfunctie φAi .
Indien bij één eigenwaarde Ai meerdere eigenfuncties bestaan, bijvoorbeeld n, spreken we van n-voudige
ontaarding.
Over die eigenwaarden en eigenfuncties heeft u een aantal eigenschappen geleerd. We herhalen de belangrijkste eerste twee eigenschappen.
Eigenschap 1: De eigenwaarden van een hermitische operator zijn reëel.
Eigenschap 2: Eigenfuncties van een hermitische operator die behoren bij verschillende eigenwaarden, zijn
onderling loodrecht.
We voegen hier een belangrijke eigenschap aan toe. Zie ook opgave 11.7.
Eigenschap 5:
Indien Â, B̂ = 0 bezitten Â en B̂ gemeenschappelijke eigenfuncties en omgekeerd
1. Bewijs: gegeven Â en B̂ bezitten gemeenschappelijke eigenfuncties. Dan kan elke eigenfunctie gespecificeerd worden door twee indices, n.l. de eigenwaarde Ai van Â en B j van B̂.
ÂφAi B j = Ai φAi B j → B̂ÂφAi B j = Ai B̂φAi B j = Ai B j φAi B j
B̂φAi B j = B j φAi B j → ÂB̂φAi B j = B j ÂφAi B j = B j Ai φAi B j
Trek af: B̂Â − ÂB̂ φAi B j = 0 Hieraan is voldaan voor alle functies uit het volledige stelsel als geldt
B̂, Â = 0 of
Â, B̂ = 0.
Dus bewezen: indien er sprake is van gemeenschappelijke eigenfuncties, dan geldt
Â, B̂ = 0.
2. Nu omgekeerd. Dus gegeven: Â, B̂ = 0.
Stel B̂φB j = B j φB j (Geen ontaarding) dan
ÂB̂φB j = B̂ÂφB j
Â B j φB j = B̂ ÂφB j
B j ÂφB j = B̂ ÂφB j
omdraaien geeft de eigenwaarde vergelijking:
B̂ ÂφB j = B j ÂφB j
dus ÂφB j is een eigenfunctie van B̂, behorende bij de eigenwaarde B j .
Geen ontaarding wil zeggen dat bij iedere eigenwaarde B j er slechts één eigenfunctie φB j hoort, op een
constante factor na.
Er moet dus gelden: AφB j = constante × φB j . Noem die constante Ai → ÂφB j = Ai φB j en hiermee is φB j ook
een eigenfunctie van Â.
146
11.5
Het golfpakket
We illustreren voorgaande formele aspecten van de kwantummechanica aan de hand van een vrij deeltje.
We hadden het eigenwaarde probleem:
−
h̄2 d2 φ (x)
= Eφ (x)
2m dx2
(11.34)
Dit leverde, bij de eigenwaarde E, de volgende eigenfunctie op:
φ = φ0 eikx
(11.35)
met E = h̄ω; p = h̄k; E = p2 /2m
Bekijk nu eens de eigenwaarde vergelijking van de impuls:
p̂φ p (x) = pφ p (x)
(11.36)
Uitgeschreven:
h̄ dφ p (x)
= pφ p (x)
i dx
(11.37)
Los op! Door scheiding van de variabelen:
dφ p ip
=
dx
φp
h̄
(11.38)
Dit geeft na integratie en omschrijven
φ p = φ0,p e
ipx
h̄
(11.39)
met p = h̄k, staat hier:
φ p = φ0,p eikx
(11.40)
Dit zijn dezelfde eigenfuncties als voor de energie (11.35). Dus energie en impuls hebben (alhier!) gemeenschappelijke eigenfuncties.
Dat moet ook, want er geldt:
h̄2 d2 h̄ d
−
,
=0
(11.41)
2m dx2 i dx
Nu hebben we eerder gezien dat de eigenfuncties van de energie of impuls (voor dit vrije deeltje) niet
kwadratisch integreerbaar zijn. Dat is lastig.
Om dit probleem te omzeilen voeren we een ander soort normering in. Sluit het deeltje op in een willekeurig
grote, maar eindige lengte L op de x − as, gecentreerd in de oorsprong en eis dat φ (x) voldoet aan periodieke
randvoorwaarden , dat wil zeggen
φ (x + L) = φ (x)
(11.42)
In tekening:
Figuur 11.5
147
Dit impliceert dat k niet langer willekeurig is, maar alleen discrete waarden kan hebben. We eisen:
eik(x+L) = eikx
(11.43)
Dit geldt wanneer:
eikL = 1
→
cos kL + i sin kL = 1
dus
cos kL = 1
en
sin kL = 0
zodat
kn L = n · 2π
→
kn =
2πn
L
(11.44)
Waarmee:
φn (x) = φ0 eikn x
(11.45)
Hiermee kunnen we de eigenfuncties van de impuls normeren.
We eisen:
Z
L
2
− L2
φn∗ φn dx = 1
(11.46)
uitgewerkt:
Z
L
2
+L
2
|φn∗ |2 e−ikn x e+ikn x dx = |φ0 |2 x| −L
= |φ0 |2 L = 1
L
−2
2
Zodat
1
φ0 = √
L
(11.47)
De genormeerde eigenfuncties van de impuls zijn dan:
1
φn (x) = √ eikn x
L
(11.48)
met kn = 2πn
L voor n = 1, 2, 3, . . .
Met deze kunstgreep kunnen we ook aantonen dat de eigenfuncties behorende bij verschillende eigenwaarden van de impuls pn en pm , orthogonaal zijn, zoals eigenschap 2 van een hermitische operator vereist.
Z
+L
2
−L
2
φn∗ (x)φm (x) dx =
=
+L
2
Z
−L
2
1
L
Z
1
1
√ e−ikn x √ eikm x dx
L
L
ei(km −kn )x dx
1
=
ei(km −kn )x d {i (km − kn ) x}
Li (km − kn )
+ L2
1
i(km −kn )x
=
e
iL (km − kn )
− L2
L
L
1
=
ei(km −kn ) 2 − e−i(km −kn ) 2
iL (km − kn )
2
L
=
sin (km − kn )
L (km − kn )
2
2
=
sin π (m − n) = 0
L (km − kn )
Z
148
(11.49)
Op deze wijze hebben we een orthonormaal stelsel eigenfuncties van de impuls gecreëerd.
Inclusief de tijdsafhankelijkheid hebben we voor een naar rechts lopend vrij deeltje met welbepaalde energie E en impuls p de volgende golffunctie:
1
ψ(x,t) = e−iωt √ eikx
L
(11.50)
Nu is de tijdsafhankelijke SV lineair, dat wil zeggen als ψ1 en ψ2 oplossingen zijn, dan ook αψ1 + β ψ2 ,
met α en β constanten. In het algemeen hebben we als oplossing:
1
1
ψ(x,t) = A1 e−iω1t √ eik1 x + A2 e−iω2t √ eik2 x + . . .
L
L
(11.51)
Dit is geen stationaire oplossing.
Bij continue k’s, bijvoorbeeld liggend tussen ko − ε en ko + ε ontstaat:
Z ko +ε
ψ(x,t) =
A(k)ei(kx−ωt) dk
(11.52)
ko −ε
Dit is een golfpakket, waarvan we weten dat het een groepssnelheid Vgr =
dω
dk
en een fase-snelheid V f =
bezit. Ook weten we dat dit golfpakket dispergeert, omdat de bijbehorende dispersierelatie E =
2 2
h̄ω = h̄2mk ons dat leert.
Maar het is geen golf, maar een deeltje, dus moet er nog iets verteld worden.
149
p2
2m ,
ω
k
dus
Vraagstukken hoofdstuk 11
11.1 Kies: f (x) = x2 , g(x) = x, h(x) = 1; x ∈ [−1, 1]
Bepaal: k f k2 , kgk2 en khk2 .
Bepaal ook (g, h).
Antwoord: 52 ; 32 ; 2 en 0
11.2 Zelfde als opgave 11.1, maar nu voor x ∈ [0, 1].
Antwoord: 15 ; 31 ; 1 en
1
2
11.3 f (x) = eix , g(x) = eix/2 ; x ∈ [−π, π].
Bereken: k f k , kgk en k f + gk
Bereken ook: ( f , ig) en (ig, f ).
√
√
√
Antwoord: 2π; 2π; 2 π + 2; 4i en − 4i
11.4 Toon aan dat sin x en cos x loodrecht op elkaar staan op het interval [0, π]
11.5 Toon aan (11.11) en (11.12), uitgaande van (11.10)
11.6 Bewijs de volgende rekenregels:
Â + B̂ f , g = Â f , g + B̂ f , g
∗
(b) Â f , g = g, Â f
(a)
11.7 Als Â en B̂ twee operatoren zijn, dan geldt:
2 Â , B̂ = Â Â, B̂ + Â, B̂ Â
Ga dit na. Als bovendien geldt dat Â, B̂ = Â, wat wordt dan een eenvoudige gedaante van Â2 , B̂ ?
11.8 Twee operatoren Â en B̂ zijn verwisselbaar. Â heeft een eigenfunctie f , waarvoor geldt Â f = λ f .
Ga na, dat nu ook B̂ f een eigenfunctie is van Â, voor dezelfde λ .
11.9 Voor twee operatoren P̂ en Q̂ geldt: P̂, Q̂ = Q̂.
Verder is P̂ f = λ f ( f eigenfunctie van P).
Toon aan dat Q̂ f eigenfunctie is van P. Voor welke eigenwaarde?
Antwoord: λ + 1.
11.10 Ga de volgende eigenschappen na:
†
(a) Â ± B̂ = Â† ± B̂†
(b) Â†† = Â
(c) (iA)† = −iÂ†
†
(d) ÂB̂ = B̂† Â†
11.11 Â en T̂ zijn operatoren, Â is hermitisch. Toon aan dat ook T̂ † ÂT̂ hermitisch is.
In de volgende opgaven mag u gebruik maken van de kennis dat x̂, ŷ, ẑ en p̂x , p̂y , p̂z hermitische operatoren
zijn.
11.12 Toon aan dat x̂ p̂x + p̂x x̂ een hermitische operator is.
2
2
h̄ d
+V (x) hermitisch is.
11.13 Toon aan dat de Hamilton operator Ĥ = − 2m
dx2
150
11.14 Ga na dat L̂x , L̂y en L̂z hermitisch zijn.
11.15 Ga na dat L̂x , L̂y = ih̄L̂z en bereken: L̂y , L̂z en L̂z , L̂x
Antwoord: ih̄L̂x ;
11.16 Bereken L̂x , y
ih̄L̂y .
Antwoord: ih̄z.
11.17 Bereken L̂2 , L̂z met gebruikmaking van de resultaten van opgave 11.15.
Antwoord: 0.
11.18 De operator Û heeft de eigenschap Û Û † = 1.
Voor de operator Â en een zekere functie f 6= 0 geldt Â f = λ f . Toon aan dat λ eigenwaarde is van de
operator B̂ = Û † ÂÛ en bepaal een eigenfunctie, die erbij hoort.
Antwoord: U † f .
151
152
Hoofdstuk 12
De interpretatie in de kwantummechanica
12.1
Het superpositie principe
We hebben een observabele A met eigenwaarde Ai en eigenfuncties φAi , dus ÂφAi = Ai φAi .
We schrijven een willekeurige toestand als een superpositie van eigenfunctie:
ψ(x,t) = c1 (t)φA1 + c2 (t)φA2 + c3 (t)φA3 + . . .
(12.1)
Dit heet het superpositie principe.
De φAi zijn genormeerd, dus kφAi k = 1 (zie figuur 12.1).
Figuur 12.1: Het superpositie principe in beeld.
De interpretatie is de volgende. We hebben een oneindig aantal identiek geprepareerde opstellingen. Van
iedere opstelling gaan we op moment t de observabele A meten. Dan vinden we bij de ene opstelling A4 , bij
de andere A86 , en weer een andere A2 , enz. Sommige waarden komen vaker voor. De kans om Ai te meten
is gelijk aan |ci (t)|2 .
Na de meting stort de golffunctie in (collaps). Stel we meten A1 , dan zal na de meting het systeem zich
bevinden in de toestand φA1 .
In schema:
opstelling
opstelling
opstelling
...
↓
↓
↓
...
A1
A2
A3
...
|c1 (t)|2
|c2 (t)|2
|c3 (t)|2
...
φA1
φ A2
φA3
...
meetwaarde
kans
collaps
De som van alle kansen moet 1 zijn, dus:
∑ |ci (t)|2 = 1
(12.2)
153
Hieraan is voldaan als ψ (x,t) genormeerd is, dus als geldt:
Z +∞
ψ ∗ (x,t)ψ(x,t) dx = 1
(12.3)
−∞
Bewijs:
Z
∗
Z
(c∗1 φ1∗ + c∗2 φ2∗ + . . .) (c1 φ1 + c2 φ2 + . . .) dx
Z
|c1 |2 φ1∗ φ1 dx +
ψ ψ dx =
=
Z
|c2 |2 φ2∗ φ2 dx +
Z
c∗1 c2 φ1∗ φ2 dx + . . .
= |c1 |2 (φ1 , φ1 ) + |c2 |2 (φ2 , φ2 ) + . . . + c∗1 c2 (φ1 , φ2 ) + . . .
= ∑ |ci |2
Terug naar ons golfpakket, geschreven als som:
1
1
ψ(x,t) = A1 e−iω1t √ eik1t + A2 e−iω2t √ eik2 x + . . .
L
L
(12.4)
We nemen aan dat de functie ψ genormeerd is. We kunnen schrijven:
ψ(x,t) = A1 e−iω1t φ1 + A2 e−iω2t φ2 + . . .
(12.5)
met φi de genormeerde eigenfunctie van de impuls, behorende bij eigenwaarde pi . Formule (12.5) is nu
uitgeschreven gelijk (12.1). Nu ga ik van dit vrije deeltje (het is maar één deeltje) de impuls meten. Wat zal
ik vinden?
Een mogelijke waarde is p1 of p2 , of p3 , of . . . Ik weet niet wat het wordt, maar ik kan wel zeggen wat de
kans is om p1 te vinden. Deze is namelijk:
−iω t 2
A1 e 1 = |A1 |2
Stel ik meet echt p1 , dan is “na de meting” het deeltje in de eigentoestand φ1 (collapse of the wave function).
Een bijzonder geval is onze oorspronkelijke stationaire oplossing van het vrije deeltje:
1
ψ(x,t) = e−iωt √ eikx
L
De ψ(x,t) is reeds genormeerd. Ik meet de impuls. Dan vind ik altijd p (= h̄k), behorende bij de eigenfunc
2
ikx
tie e√L . Met welke kans? Met de kans e−iωt = 1, dus altijd, zoals reeds gezegd.
Treedt er een collapse op? Nee! We zitten al in een eigentoestand.
12.2
Gemiddelde en standaarddeviatie
Ter introductie van de begrippen gemiddelde en standaarddeviatie kijken we naar het volgende experiment.
Er is een examen kwantummechanica geweest. Uw examinator moet dit nakijken en cijfers vaststellen.
Geheel in de geest van de kwantummechanica gaat dit als volgt. Uw examinator loopt met de examenwerken
in de hand een trap op, 10 treden hoog. Daarna gooit hij de stapel examenwerken naar beneden. Het werk
dat op de laagste tree blijft liggen, krijgt het cijfer 1, op de één na laatste twee krijgt een 2, enzovoort. Zo
ontstaat voor de 30 deelnemers de volgende distributie.
Er zijn dus 6 deelnemers met cijfer 7, 2 met cijfer 9, enzovoort.
het gemiddeld cijfer < s >=
∑ Ni si
N
(12.6)
In dit geval geeft dat < s >= 5, 83
De kans op een 6 is 7/30, de kans op een 9 is 2/30, enzovoort.
154
Figuur 12.2: Distributie van cijfers over de deelnemers.
We kunnen ook schrijven:
Ni
< s >= ∑
si = ∑ (kans op si ) · si
N
(12.7)
Vervolgens willen we een maat hebben voor de spreiding van de cijfers. Een of andere grootheid ∆s, waarvan
je kan zeggen dat de meeste cijfers liggen in het interval tussen < s > − 12 ∆s en < s > + 21 ∆s. Die ∆s is een
soort maat voor de breedte van de piek. Daartoe is ingevoerd:
de variantie van s =
2
∑ (si − < s >) Ni
N
de standaarddeviatie ∆s =
(12.8)
√
variantie van s
(12.9)
Voor de variantie nemen we het verschil tussen een cijfer en het gemiddelde cijfer, dus si − < s >. Dit
kwadrateren we, opdat er altijd iets positiefs uitkomt. We geven het een gewichtsfactor NNi . Zo heeft in ons
voorbeeld het cijfer 4 de gewichtsfactor 5/30. Stel dat niet 5 maar slechts 2 deelnemers een 4 gehaald zouden
hebben. Dan zou de gewichtsfactor 2/30 geweest zijn, resulterend in een kleinere ∆s, dus in een scherpere
piek, maar dat moet dan ook. Vandaar de gewichtsfactor. We hebben gekwadrateerd, dus de variantie heeft
de verkeerde dimensie. We moeten de wortel nemen uit de variantie als maat voor de piekbreedte. Dit is
onze standaarddeviatie.
We kunnen ook schrijven:
variantie s = ∑ (kans op si ) (si − < s >)2
(12.10)
Voor ons voorbeeld:
variantie s = 3, 14
standaard deviatie ∆s =
p
3, 14 = 1, 77
In de kwantummechanica hebben we ook cijfers (eigenwaarden) met bijbehorende kans.
Voor systeem ψ = c1 φ1 + c2 φ2 + . . . met {φi } eigenfuncties van operator Â hebben we:
We definiëren: de gemiddelde waarde van A of verwachtingswaarde van A:
Z
< A >=
ψ ∗ Âψ dx
(12.11)
2
de variantie van A =< Â− < A > >
(12.12)
155
Figuur 12.3: Kansverdeling van de eigenwaarden Ai
en de standaarddeviatie van A:
√
∆A = variantie A
(12.13)
mits ψ en φ genormeerd.
We bewijzen dat
Z
ψ ∗ Âψ dx = ∑ (kans op Ai ) · Ai
Z
(c∗1 φ1∗ + c∗2 φ2∗ + . . .) Â (c1 φ1 + c2 φ2 + . . .) dx
Z
(c∗1 φ1∗ + c∗2 φ2∗ + . . .) (c1 A1 φ1 + c2 A2 φ2 + . . . ) dx
<A>=
=
=
want φi is eigenfunctie van Â, dus Âφi = Ai φi
Z
=
|c1 |2 A1 φ1∗ φ1 dx +
2
= A1 |c1 |
Z
|
Z
|c2 |2 A2 φ2∗ φ2 dx + . . . +
φ1∗ φ1
2
Z
dx +A2 |c2 |
{z }
|
φ2∗ φ2
1
{z
1
Z
c∗1 c2 A2 φ1∗ φ2 dx
dx + . . . + c∗1 c2 A2
}
Z
φ1∗ φ2 dx + . . .
| {z }
0
want φi is genormeerd en ze staan loodrecht op elkaar, dus (φi , φi ) = 1 en (φi , φi ) = 0 voor i 6= j.
= ∑ |ci |2 Ai = ∑ (kans op Ai ) · Ai
(12.14)
Dus de uitdrukking
Z
< A >=
ψ ∗ Âψ dx = ψ, Âψ
is volkomen in overeenstemming met het normale begrip gemiddelde.
Zo is eveneens te bewijzen.
2
variantie A =< Â− < A > >= ∑ (kans op Ai ) (Ai − < A >)2
(12.15)
dus de kwantummechanische variantie en standaarddeviatie zijn volkomen in overeenstemming met de normale begrippen variantie en standaarddeviatie.
12.3
Onzekerheidsrelaties
Indien twee observabelen commuteren, dus Â, B̂ = 0, dan bezitten Â en B̂ gemeenschappelijke eigenfuncties. Dit impliceert dat A en B met oneindige precisie tegelijkertijd scherp gemeten kunnen worden. Immers
het systeem bevindt zich na meting van bijvoorbeeld A in de eigentoestand φAi met eigenwaarde Ai . Dit is
156
ook een eigenfunctie van B met bijvoorbeeld de eigenwaarde B j . Zodoende vinden we op één moment zowel
Ai als B j . Als voorbeeld kijken we naar het naar rechts lopende vrije deeltje
1
1
ψ(x,t) = A1 e−ivω1t √ eik1 x + A2 e−iω2t √ eik2 x + . . .
L
L
(12.16)
Stel we meten de energie. Dan vindt er een reductie plaats van de golffunctie, bijvoorbeeld naar
x
e−ik
√2 .
L
h̄2 k2
De bijbehorende
eigenwaarde van de energie is dan E2 = 2m2 . Hiermee ligt ook de impuls vast, volgens
√
p2 = 2mE2 = h̄k2 , omdat alleen positieve k’s meededen in dit verhaal.
Indien Â, B̂ 6= 0, kunnen de met deze observabelen corresponderende fysische grootheden niet gelijktijdig
willekeurig scherp worden gedefinieerd. Men kan het volgende bewijzen. Indien
Â, B̂ = iĈ
(12.17)
is Ĉ een hermitisch operator en geldt:
1
∆A · ∆B ≥ < Ĉ >
2
Hierbij zijn ∆A en ∆B de standaarddeviaties.
Dit passen we toe op de operatoren x̂ = x en p̂x =
(12.18)
h̄ d
i dx .
Er geldt:
[x̂, p̂x ] = ih̄
(12.19)
Zodat
∆x · ∆px ≥
h̄
2
(12.20)
Analoog is afleidbaar: ∆y · ∆py ≥ h̄2 en ∆z · ∆pz ≥ 2h̄
De relatie ∆E · ∆t ≥ h̄2 volgt niet direct uit bovenstaande, omdat de tijd geen observabele is.
In dit verband moet ook het begrip complementariteit genoemd worden. In navolging van Bohr zeggen we
dat “positie” en “impuls” complementair zijn, omdat de exacte kennis van de positie (impuls) impliceert dat
alle mogelijke meetuitkomsten van de impuls (positie) even waarschijnlijk zijn.
Voor ons vrije deeltje, beschreven middels (11.52), het golfpakket, ontstaan de volgende plaatjes.
Figuur 12.4: Schematisch gedrag van een golfpakket.
157
Vraagstukken hoofdstuk 12
12.1 Bewijs (12.15)
12.2 Gegeven de potentiaalput:
Gegeven: Ĥφ = Eφ , dus −
h̄2 d 2 φ
2 +V φ = Eφ
2m dx
(a) Bewijs dat de genormeerde eigenfuncties van de energie gelijk zijn aan:
nπx 2i
φn (x) = √ sin
voor n = 1, 2, 3, . . .
a
2a
(b) Eigenschap 2 zegt: Eigenfuncties van een hermitische operator die behoren bij verschillende
eigenwaarden zijn orthogonaal.
Toon aan: (φn , φm ) = 0 voor n 6= m
(c) Voeg het tijdsafhankelijke deel e−iωt toe aan uw energie eigenfuncties.
Hoe groot is de kans om bij een meting een deeltje te vinden dat naar rechts (links) loopt?
Antwoord: 12 ; 21
(d) Bereken voor de stationaire toestanden uit c) de verwachtingswaarde hxi, hpi, hEi en p2
a
Antwoord: ; 0; En ; 2mEn
2
(e) Bereken de standarddeviatie ∆p, ∆E en ∆ p2 .
nπ h̄
; 0; 0
Antwoord:
a
12.3 Ter herinnering:
Oneven functie: f (y) = − f (−y)
Z +∞
(oneven functie) dy = 0
−∞
Even functie: f (y) = + f (−y)
Z +∞
Z ∞
(even functie) dy = 2
−∞
158
0
(even functie) dy 6= 0
Beschouw de harmonische oscillator:
1
En = n +
h̄ω
2
φn (x) = Cn e
Cn =
−λ x2
2
1
√
n
2 n! π
√ Hn x λ
12
met
λ=
mω
h̄
1
λ4
Gegeven: H0 (y) = 1; H1 (y) = 2y; H2 (y) = 4y2 − 2
(a) Toon aan (φ1 , φ2 ) = 0
(b) Toon aan < x >= 0 voor φ1 (x)
(c) Toon aan < p >= 0 voor φ1 (x)
(d) Zie § 8.4 van Trillingen en Golven, waar ten behoeve van de overgangswaarschijnlijkheid het
matrix-element xmn wordt geı̈ntroduceerd.
Z
xmn =
Toon aan dat
r
x10 =
φm∗ xφn dx
h̄
.
2mω
(e) Toon aan dat x20 = 0
159
160
Hoofdstuk 13
Diversen
13.1
Ontaarding
Voor iedere observabele kunnen we een eigenwaarde vergelijking opstellen:
ÂφAi = Ai φAi
(13.1)
Indien bij één waarde Ai meerdere eigenfuncties bestaan, spreken we van ontaarding. Zijn er n eigenfuncties,
dan zeggen we dat het systeem n-voudig ontaard is.
Ter illustratie van het begrip ontaarding beschouwen we een deeltje opgesloten in een driedimensionale
doos.
Figuur 13.1: Een deeltje in een doos.
We hebben een driedimensionaal probleem. De tijdsonafhankelijke SV wordt:
h̄2 ∂ 2 φ ∂ 2 φ ∂ 2 φ
−
+ 2 + 2 = Eφ
2m ∂ x2
∂y
∂z
φ (x, y, z) = X (x) ·Y (y) · Z (z)
met φ = φ (x, y, z)
en k2 =
2mE
h̄2
(13.2)
(13.3)
Substitutie geeft:
1 d2 X
X dx2
| {z }
alleen functie van x
1 d2Y 1 d2 Z
=−
−
− k2
Y dy2 Z dz2
|
{z
}
(13.4)
alleen functie van y en z
Het linkerlid kan alleen maar gelijk zijn aan het rechterlid als dit een constante is. Noem deze −kx2 . Aldus
ontstaat:
1 d2 X
+ kx2 = 0
X dx2
en
1 d2Y 1 d2 Z
+
+ k2 = kx2
Y dy2 Z dz2
161
(13.5)
ofwel:
1 d2Y
Y dy2
| {z }
alleen functie van y
1 d2 Z
=−
− k2 + kx2
2
Z
dz
|
{z
}
(13.6)
alleen functie van z
Noem de constante nu −ky2 . Aldus ontstaat:
1 d2Y
+ ky2 = 0
Y dy2
(13.7)
1 d2 Z
+ k2 − kx2 − ky2 = 0
Z dz2
(13.8)
k2 − kx2 − ky2 = kz2
(13.9)
ofwel
Zo ontstaan er drie vergelijkingen:
d2 X
+ kx2 X = 0
dx2
d2Y
+ ky2Y = 0
dy2
d2 Z
+ kz2 Z = 0
dz2
(13.10)
Randvoorwaarde: voor x = 0 moet gelden X(x) = 0, dus 0 = A1 + B1 → B1 = −A1 , zodat
h
i
X(x) = A1 eikx x − e−ikx x = 2iA1 sin kx x
(13.11)
Randvoorwaarde: voor x = a moet gelden X(x) = 0, dus
0 = 2iA1 sin (kx a) → kx = n1
π
a
n1 = 1, 2, 3
met
(13.12)
Op analoge wijze is Y (y) en Z(z) te vinden. We krijgen:
φ (x, y, z) = 2iA1 sin (kx x) · 2iA2 sin (ky y) · 2iA3 sin (kz z)
(13.13)
We schrijven:
φ (x, y, z) = C sin (kx x) sin (ky y) sin (kz z)
(13.14)
met de kwantisatie eisen:
π
kx = n1 ;
a
ky = n2
π
b
en kz = n3
π
c
(13.15)
De energie is gekwantiseerd volgens:
E=
h̄2 k2
h̄2 2
=
ky + ky2 + kz2
2m
2m
h̄2 π 2
E=
2m
n21 n22 n23
+ +
a2 b2 c2
(13.16)
(13.17)
162
We gaan φ (x, y, z) normeren. Bedenk dat alle formules met integralen, zoals het inwendig product, de norm,
de verwachtingswaarde, de standaarddeviatie, de overgangswaarschijnlijkheid, enzovoort in drie dimensies
integralen worden over dx dy dz.
Aldus:
kφ k2 =
Z a Z b Z c
eis
φ ∗ φ dz dy dx = 1
(13.18)
x=0 y=0 z=0
voluit
Z aZ bZ c
o
o
eis
|C|2 sin2 (kx x) sin2 (ky y) sin2 (kz z) dx dy dz = 1
(13.19)
o
Gebruik
Z a
0
sin2 (kx x) dx =
a
2
(13.20)
zodat
a b c
kφ k = |C| · · = 1
2 2 2
2
2
→
√
2 2
C= √
abc
(13.21)
De genormeerde energie eigenfunctie wordt:
√
2 2
φ (x, y, z) = √
sin (kx x) sin (ky y) sin (kz z)
abc
(13.22)
We berekenen nog eens iets, bijvoorbeeld:
Z aZ bZ c h̄ ∂
< px >=
φ dx dy dz
φ∗
i ∂x
0 0 0
(13.23)
Deze integraal nader uitwerken geeft < px >= 0
Ander voorbeeld:
2
Z aZ bZ c ∂2
∂2
∂
h̄2
∗
+
+
φ dx dy dz
< E >=
φ −
2m
∂ x 2 ∂ y2 ∂ z2
0 0 0
(13.24)
Deze integraal is eenvoudig oplosbaar, omdat Ĥφ = Eφ , dus
Z aZ bZ c
< E >= E
0
0
φ ∗ φ dx dy dz = E
(13.25)
0
want φ hadden we genormeerd.
Een belangrijk aspect is het volgende. Kies a = b = c, dus een kubische potentiaalput (doos). Dan krijgen
we voor de energie:
E=
h̄2 π 2 n2
h̄2 π 2 2
2
2
n
+
n
+
n
=
1
2
3
2ma2
2ma2
(13.26)
met
n2 = n21 + n22 + n23
(13.27)
en de bijbehorende golffuncties:
√
πn1 x
πn2 y
πn3 z
2 2
sin
sin
φ = √ sin
a a
a
a
a
(13.28)
De energie hangt alleen af van n2 = n21 + n22 + n23 . Dit betekent dat alle golffuncties φ , behorende bij positieve
gehele waarden van n1 , n2 en n3 , die dezelfde waarde voor n2 opleveren, dezelfde energie hebben. Als echter
163
de getallen n1 , n2 en n3 veranderd worden zonder dat n2 verandert, dan verandert de golffunctie ook. Dus
een zeker energieniveau kan beantwoorden aan verscheidene golffuncties.
Dit noemen we ontaarding. De ontaardingsgraad g van een energieniveau is gelijk aan het aantal verschillende (lineair onafhankelijke golffuncties) bij de gegeven energie.
Deze zijn voor de eerste zes energieniveaus van een kubische potentiaalput in tabel 13.1 aangegeven, waarbij
E1 =
π 2 h̄2
2ma2
(13.29)
Tabel 13.1: Energieniveaus, bijbehorende lineaire golffuncties en ontaardingsgraden van een kubische potentiaal put
energie
combinaties van n1 , n2 , n3
ontaardingsgraad g
3E1
(1,1,1)
1
6E1
(2,1,1) (1,2,1) (1,1,2)
3
9E1
(2,2,1) (2,1,2) (1,2,2)
3
11E1
(3,1,1) (1,3,1) (1,1,3)
3
12E1
(2,2,2)
1
14E1
(1,2,3) (3,2,1) (2,3,1)
(1,3,2) (2,1,3) (3,1,2)
6
We zien 3E1 en 12E1 zijn niet ontaard. Die toestand ligt volkomen vast wanneer we de energie meten. Zo
niet bij de andere energieniveaus. Naast de energie moet je ook de px (dus n1 ) en de py (dus n2 ) meten. Als
E, px en py bekend zijn, ligt pz vast, dus die hoef je niet meer te meten. In zijn algemeenheid wordt het
systeem (de golffunctie) vastgelegd door drie kwantumgetallen, behorende bij de energie, de px en de py .
De observabelen moeten commuteren, want dan zijn E, px en py tegelijkertijd met willekeurige precisie vast
te leggen. Het systeem ligt niet vast door bijvoorbeeld te meten E, px en x, want px en x commuteren niet.
Technisch gezien, is het wel mogelijk om tegelijkertijd E, px en x te meten. Daar ligt het probleem niet.
Stel we meten E en vinden bijvoorbeeld 14E, we meten px en vinden bijvoorbeeld n1 = 3. Stel we meten
x en vinden bijvoorbeeld x1 . Als we dit opnieuw doen aan hetzelfde systeem, dan vinden we opnieuw
14E, en n1 = 3, want dat zijn eigentoestanden van de energie en impuls px , maar we vinden een andere x,
bijvoorbeeld x2 . Het systeem is geen eigentoestand van x.
Als dat wel was geweest, had ik altijd de plaats x1 gevonden, maar dan had ik de toestand ook gekend.
Hier is het geen eigentoestand van de plaats en derhalve geeft de meetuitkomst x1 geen informatie over de
golffunctie.
De eigenfunctie bij alle ontaarde energieniveaus ligt volledig vast door de observabelen Ĥ, p̂x en py .
We noemen de verzameling een volledig stelsel commuterende observabelen.
Die eigenfunctie is ook een eigenfunctie van iedere observabele die met Ĥ, p̂x en py commuteert, bijvoorbeeld pz , maar die pz mogen we niet toevoegen aan het volledige stelsel, omdat het systeem vast ligt met
3 kwantumgetallen, waarvoor we hier gekozen hebben n, n1 en n2 . Een vierde kwantumgetal is overbodig.
De eigenfuncties bij één eigenwaarde zijn lineair onafhankelijk, met andere woorden, de functies moeten
orthogonaal zijn.
164
In het algemeen kunnen we voor de willekeurige golffunctie van
het deeltje in de doos schrijven:
ψ(x, y, z,t) = A1 e−iω1t φ1 (x, y, z) + A2 e−iω2t φ2 (x, y, z) + . . .
met h̄ω1 = 3E1 en h̄ω2 = 6E1 enzovoort.
Maar het energieniveau 6E1 kent een 3-voudige ontaarding.
Figuur 13.2
De eigenfunctie φ2 is weer te schrijven als een superpositie van
basisfuncties.
n1 n2
↓ ↓
φ2 = c1 φ ( 2 , 1 ) + c2 φ (1, 2) + c3 φ (1, 1)
Figuur 13.3
Zodat:
ψ(x, y, z,t) = A1 e−iω1t φ1 (x, y, z) + A2 e−iω2t [c1 φ (2, 1) + c2 φ (1, 2) + c3 φ (1, 1)] + . . .
Dit ziet er ingewikkeld uit maar de praktijk is minder moeilijk. Als het gaat om de bouw van moleculen en
atomen zijn we in de eerste plaats geı̈nteresseerd in stationaire oplossingen.
Zo ook bij dit deeltje in een doos, dus de superpositie van de energie eigenfuncties speelt geen rol, want de
superpositie levert geen stationair systeem op.
Was dit deeltje in de doos een atoom geweest, dan zouden we het laagste energieniveau 3E1 de grondtoestand
noemen en 6E1 de eerste aangeslagen toestand. Als het systeem is aangeslagen kan het terugkeren naar de
grondtoestand onder uitzending van een foton met frequentie ω f , waarvoor geldt: h̄ω f = 6E1 − 3E1 = 3E1 .
Dit proces levert (voor veel dozen) één spectraallijn op met frequentie ω f , ongeacht het feit dat het energieniveau 6E, drievoudig ontaard is. Als we echter een extern elektrisch of magnetisch veld aanbrengen in de
doos, dan krijgen we een andere Hamiltoniaan.
Dat zal in het algemeen resulteren in een opsplitsing van het 6E1 niveau in 3 nieuwe niveaus. Onder die
conditie krijgen we 3 spectraallijnen. We zeggen: de ontaarding is opgeheven.
Zo heeft men de elektronspin ontdekt. Als je een waterstofatoom in een constant homogeen magnetisch
veld brengt, zullen bepaalde spectraallijnen opsplitsen in twee nieuwe lijnen (Zeeman-effect). Er was een
tweevoudige ontaarding, die men nog niet in kaart gebracht had. Er moest een nieuwe observabele zijn. Dit
werd de elektronspin.
Het volledige stelsel commuterende observabelen van het waterstofatoom bestaat uit:
Ĥ, L̂2 , L̂z en Ŝz
met
Ŝz = “z-component van de spin operator”
Het waterstofatoom kent dus veel ontaarding.
165
13.2
Postulaten van de kwantummechanica
I) Met elke fysische toestand van een fysisch systeem correspondeert een genormeerde toestandsfunctie
in de Hilbertruimte H (toestandsruimte) en omgekeerd (superpositie-principe).
II) Met iedere meetbare grootheid correspondeert een hermitische operator Â in H waarvan de eigenwaarden Ai juist de mogelijke meetresultaten zijn. Het stelsel eigenfuncties φAi van Â vormt een orthonormale basis in H. Indien deze niet eenduidig bepaald is (ontaarding) moeten we voor Â lezen
een volledig stelsel commuterende observabelen Â, B̂, . . . , L̂ met basisfuncties φAi B j ...Lk .
III) De waarschijnlijkheid bij een meting van A aan het systeem in de toestand ψ de waarde Ai te vinden
is |(φAi , ψ)|2 .
IV) De ontwikkeling in de tijd wordt bepaald door de Schrödingervergelijking (9.9).
Vraagstukken hoofdstuk 13
13.1 Toon aan:
(a) Ĥ, p̂x = 0;
Ĥ, p̂y = 0 en
(b) Ĥ, x̂ 6= 0 en [ p̂x , x̂] 6= 0
[ p̂x , p̂y ] = 0
13.2 Toon aan dat de 3 eigenfuncties, behorende bij het energieniveau 6E1 in de tabel op pagina 164
orthogonaal zijn.
166
Bijlage A
Goniometrie
Twee relaties zijn van belang:
sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cos α
cos(α + β ) = cos α cos β − sin β sin α
Alle hierna volgende relaties zijn uit voorgaande twee relaties af te leiden.
sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cos α
cos(α − β ) = cos α cos β + sin β sin α
tan(α + β ) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
tan(α − β ) =
tan α − tan β
1 + tan α tan β
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α
2 tan α
tan 2α =
1 − tan2 α
p+q
p−q
cos
2
2
p−q
p+q
sin(α + β ) − sin(α − β ) = 2 sin β cos α → sin p − sin q = 2 sin
cos
2
2
p+q
p−q
cos(α + β ) + cos(α − β ) = 2 cos α cos β → cos p + cos q = 2 cos
cos
2
2
p+q
p−q
sin
cos(α + β ) − cos(α − β ) = −2 sin α sin β → cos p − cos q= −2 sin
2
2
sin(α + β ) + sin(α − β ) = 2 sin α cos β → sin p + sin q = 2 sin
Tenslotte kunnen de volgende regels van pas komen:
cos(−α) = cos(α)
sin(−α) = − sin(α)
1
sin(α) = cos(α − π)
2
1
cos(α) = sin(α − π)
2
167
168
Bijlage B
Gemiddelden
De gemiddelde amplitude van een cosinusfunctie wordt per definitie (zie § 1.5 gegeven door:
1 T
cos(ωt + ϕ) dt
T 0
Z T
1
=
cos(ωt + ϕ) d(ωt + ϕ)
ωT 0
1
[sin(ωt + ϕ)]T0
=
ωT
2π
T + ϕ − sin ϕ
= sin
T
=0
Z
cos(ωt + ϕ) =
omdat ω = 2π/T
cos2 (ωt + ϕ)
1 T
=
cos2 (ωt + ϕ) dt
T 0
Z
1 T
=
[cos(2ωt + 2ϕ) + 1] dt
2T 0
Z
omdat cos 2α = 2cos2 α − 1
cos2 (ωt + ϕ)
T
1
1 T
=
cos(2ωt + 2ϕ) d(2ωt + 2ϕ) +
dt
4ωT 0
2T 0
1
1
=
[sin(2ωT + 2ϕ) − sin(0 + 2ϕ)] +
[T + 0]
4ωT
2T
1
=
2
Z
Z
Op analoge wijze is te bewijzen:
sin(ωt + ϕ) = 0
en
sin2 (ωt + ϕ) =
1
2
169
170
Bijlage C
Fourieranalyse
Volgens de Fourieranalyse is voor een golfpakket f (x,t) te schrijven:
Z ∞
f (x,t) =
A(ω) cos(ωt − kx) dω +
0
Z ∞
B(ω) sin(ωt − kx) dω
0
met
1
A(ω) =
π
Z +∞
1
π
Z +∞
f (0,t) cos ωt dt
−∞
en
B(ω) =
f (0,t) sin ωt dt
−∞
Voor licht geldt:
ω
=c
k
171
172
Bijlage D
De klassieke golfvergelijking voor
transversale uitwijkingen.
We nemen als medium een lange rij identieke massa’s, onderling verbonden door identieke veren. De veren
staan onder voorspanning. In ontspannen toestand heeft een veer een lengte ao . In de voorgespannen situatie
is de lengte gelijk a, zodat iedere massa een kracht b(a − ao ) ondervindt, zowel naar links als naar rechts.
We noemen die kracht de spankracht S, dus S = b(a − ao ) (zie figuur D.1).
Figuur D.1
Dit systeem kan longitudinale en transversale oscillaties uitvoeren. We werken verder met transversale uitwijkingen. We wensen de uitwijking in de y-richting te kennen voor iedere massa op ieder moment. Men
dient te beginnen met een assenkruis. Uiteraard kiezen we de symmetrie-as als x-as. De positie van de oorsprong is niet relevant, die ligt ergens op de symmetrie-as. Vervolgens tekenen we een willekeurige situatie
(zie figuur D.2).
In deze tekening heeft massa nummer n (we geven de massa’s een nummer) een willekeurige transversale
uitwijking ψn (t) op moment t. Ook de uitwijking van zijn naaste buren is getekend, omdat we dat nodig
hebben. ψn (t) is de positie yn (t) voor massa nummer n, maar om redenen die in de loop van het verhaal
duidelijk zullen worden, kiezen we bij voorkeur een apart symbool voor de uitwijking.
De volgende stap is het opstellen van de bewegingsvergelijking.
Veer 1 heeft een lengte a cos θ1 . Massa nummer n ondervindt van veer 1 een scheef naar beneden trekkende
kracht gelijk aan
b(
a
− a0 ).
cos θ1
Ontbindt deze kracht in een kracht naar links:
a
b
− a0 cos θ1 = b (a − a0 cos θ1 )
cos θ1
en een kracht naar beneden:
a
b
− a0 sin θ1 = b (a tan θ1 − a0 sin θ1 )
cos θ1
173
Figuur D.2
Veer 2 heeft een lengte
kracht gelijk aan
b(
a
cos θ2 .
Massa nummer n ondervindt van veer 2 een scheef naar boven trekkende
a
− a0 ).
cos θ2
Ontbindt deze kracht in een kracht naar rechts:
a
b
− a0 cos θ2 = b (a − a0 cos θ2 )
cos θ2
en een kracht naar boven:
a
b
− a0 sin θ2 = b (a tan θ2 − a0 sin θ2 )
cos θ2
Zodat op massa n werkt een netto kracht naar rechts:
−ba0 (cos θ2 − cos θ1 )
en een netto kracht omhoog:
b (a tan θ2 − a0 sin θ2 ) − b (a tan θ1 − a0 sin θ1 )
Voor kleine uitwijkingen geldt
tan θ ≈ sin θ ≈ θ
en
cos θ ≈ 1.
Met deze benadering wordt de netto kracht naar rechts gelijk aan nul. Dit betekent dat een transversale
uitwijking niet tegelijkertijd een longitudinale uitwijking oproept. Dit bespaart ons enorm veel werk. We
houden één verticale kracht over en stellen deze gelijk aan massa maal versnelling.
b (aθ2 − a0 θ2 ) − b (aθ1 − a0 θ1 ) = m
b(a − a0 )(θ2 − θ1 ) = m
θ1 ≈ tan θ1 =
d2 ψn
dt 2
d2 ψn
dt 2
ψn − ψn−1
ψn+1 − ψn
en θ2 ≈ tan θ2 =
en S = b(a − a0 )
a
a
174
ψn+1 − ψn
S
a
ψn − ψn−1
−S
a
=m
d2 ψn
dt 2
(D.1)
Dit is de bewegingsvergelijking van de ne massa. Zij geldt voor iedere massa met twee naburen. Er zijn net
zoveel bewegingsvergelijkingen als dat er massa’s zijn.
In de macroscopische fysica kennen we geen atomen of een massa-veer systeem dat model staat voor een
vaste stof. In de macroscopische fysica is een vaste stof een substantie, een massa, gedefinieerd op iedere
plaats en op iedere moment, zonder innerlijke moleculaire structuur. Daarom moeten we, om een macroscopisch medium te creëren, het massa-veer systeem omzetten in een homogene elastische substantie, ofwel
een snaar! Dat is mogelijk door de afstand a tussen de massa’s tot nul te laten naderen. Dat gaat als volgt.
Stel dat de x-coördinaat van de ne massa gelijk is aan x, dan kan men in plaats van de uitwijking ψn (t) ook
spreken van de uitwijking ψ(t) op de plaats x. We gaan over van een labeling met nummers op een labeling
middels positie. Wanneer men de afstand a tussen de massa’s maar klein genoeg maakt, is er voor iedere x
een bijbehorende uitwijking ψ(t). Dit betekent dat de tijdsafhankelijke functie ψ(t) ook een functie wordt
van x. Zoals gebruikelijk in de wiskunde noteren we dat als ψ(x,t). Hiermede is het mogelijk het grote
aantal differentiaal vergelijkingen (D.1) voor alle n om te zetten in één vergelijking voor alle x. Voor ψn (t)
schrijven we ψ(x,t), voor ψn+1 (t) schrijven we ψ(x + a,t) en ψn−1 (t) wordt dan ψ(x − a,t). Ontwikkel
ψ(x + a,t) en ψ(x − a,t) in een Taylorreeks voor a is zeer klein.
ψ(x + a,t) = ψ(x,t) +
1 ∂ψ
1 ∂ 2ψ 2
a +···
a+
1! ∂ x
2! ∂ x2
1 ∂ψ
1 ∂ 2ψ 2
a +···
a+
1! ∂ x
2! ∂ x2
Met deze benadering gaat (D.1) over in:
ψ(x − a,t) = ψ(x,t) −
m ∂ 2 ψ(x,t)
∂ 2 ψ(x,t)
=
∂ x2
aS ∂t 2
(D.2)
De massa per lengte-eenheid is de dichtheid ρ = ma .
Dit is de dichtheid van de snaar in de evenwichtssituatie, zoals ook S de spankracht is in de evenwichtssituatie. Uiteindelijk vinden we voor de bewegingsvergelijking van de snaar:
∂ 2 ψ(x,t) ρ ∂ 2 ψ(x,t)
=
∂ x2
S ∂t 2
(D.3)
175
176
Bijlage E
De klassieke golfvergelijking voor
longitudinale uitwijkingen
Het uitgangspunt is het massa-veer systeem van Appendix D.
Beschouw een willekeurige longitudinale uitwijking (zie figuur E.1).
Figuur E.1
De bewegingsvergelijking voor de ne massa is:
−b (ψn − ψn−1 − a0 ) + b (ψn+1 − ψn − a0 ) = m
d 2 ψn
dt 2
Stap met behulp van reeksontwikkeling over op een continu systeem.
Dit geeft:
∂ 2 ψ(x,t)
m ∂ 2 ψ(x,t)
=
∂ x2
ba2 ∂t 2
Met ρ =
m
a
en ba = S + bao ontstaat:
∂ 2 ψ(x,t)
ρ ∂ 2 ψ(x,t)
=
∂ x2
S + ba0 ∂t 2
177
178
Bijlage F
Taylorreeks
In de wiskunde wordt bewezen dat een functie f (x) op de plaats x + h ontwikkeld kan worden in een
zogenaamde Taylorreeks:
1 d2 f
1 df
h+
h2 + · · ·
f (x + h) = f (x) +
1! dx
2! dx2
We passen deze formule toe op de functie f (x) = xn
df
= nxn−1 ;
dx
d2 f
= n(n − 1)xn−2 ;
dx2
enz.
Aldus kunnen we in eerste benadering schrijven:
(x + h)n ≈ xn + nxn−1 h
Met de keuze x = 1 ontstaat dan de vuistregel:
(1 + h)n ≈ 1 + nh
Bijvoorbeeld:
p
1
1
1
1+δ ≈ 1+ δ √
= (1 + δ )−1/2 ≈ 1 − δ
2
2
1+δ
p
1
1
1
1−δ ≈ 1− δ √
= (1 − δ )−1/2 ≈ 1 + δ
2
2
1−δ
Dit geldt uiteraard alleen voor δ << 1 (convergentie).
Staat er geen 1, dan maak je een 1. Bijvoorbeeld:
1
1
1
1b
b
√
=q q
≈ √ 1−
als
<< 1
a
2a
a
a+b
a 1 + ba
In de fysica wordt veel gebruik gemaakt van deze vuistregel. Daarom om te onthouden:
(1 + δ )n ≈ 1 + nδ
179
180
Bijlage G
Natuurconstanten en conversiefactoren
Tabel G.1: Natuurconstanten
Constante
Symbool
Waarde
Eenheden
Snelheid van het licht
c
2,997 93 × 108
m · s−1
Elementaire lading
e
1,602 18 × 10−19
C
Constante van Boltzmann
k
1,380 65 × 10−23
J · mol−1
Constante van Planck
h
6,626 08 × 10−34
J·s
Constante van Dirac
h
h̄ =
2π
1,054 57 × 10−34
J·s
me
mp
9,109 38 × 10−31
1,672 62 × 10−27
kg
kg
Permittiviteit van het vacuüm1
ε0
4πε0
8,854 19 × 10−12
1,112 65 × 10−10
C2 · J−1 · m−1
C2 · J−1 · m−1
Permeabiliteit van het vacuüm1
µ0
4π × 10−7
J · s2 · C−2 · m−1
4πε0 h̄2
m e e2
5,291 77 × 10−11
m
R∞
1,097 37 × 107
m−1
2,426 31 × 10−12
m
Massa van een elektron
Massa van een proton
a0 =
Bohr radius
Constante van Rydberg
Compton golflengte van het elektron
1ε
0
en µ0 zijn gerelateerd via
λC =
h
me c
1
= c2
ε0 µ0
181
Tabel G.2: Conversiefactoren voor energie
eV
eV
cm−1
cal
J
Hz
8067
3,829 × 10−20
1,602 × 10−19
2,418 × 1014
4,747 × 10−24
1,986 × 10−23
2,998 × 1010
4,184
1,584 × 10−34
cm−1
1,240 × 10−4
cal
2,612 × 1019
2,1067 × 1023
J
6,242 × 1018
5,035 × 1022
0,2390
Hz
4,136 × 10−15
3,336 × 10−11
1,5837 × 10−34
1,509 × 1033
182
6,626 × 10−34
Errata (per 25 oktober 2010)
Pagina 19 Vergelijking (2.28) is fout. Er staat:
I = I0
2
sin β2
!2
β
2
Er moet staan:
I = I0
sin β2
!2
β
2
Pagina 55 Het antwoord op vraag 4.4a in het diktaat is fout en incompleet. De uitwerking op de Blackboard
site is goed. In het diktaat staat nu:
4.1 (a) I(D1) = ψ02
en I(D2) = 0.
Dit moet zijn:
4.1 (a) I(D1 zonder bom) =
I(D1 met bom) =
ψ02
4
ψ02
2
en
I(D2 zonder bom) = 0.
en I(D2 met bom) =
ψ02
.
4
Pagina 77 De titel van hoofdstuk 6 klopt niet en is verwarrend. Hij luidt:
D E DIPOOLOSCILLATOR
Dit moet zijn:
H ET ELEKTROMAGNETISCHE VELD EN FOTONEN
Pagina 124 Tussen vergelijking (9.66) en (9.67) ontbreekt een korte toelichting voor het waarom van
(9.67). Er moet staan:
Volgens (9.2) geldt:
Pagina 138 In vraag 10.8 klopt de verwijzing naar de formule waarmee het antwoord moet worden gecontroleerd niet. Er staat:
Controleer uw antwoord met behulp van (10.50).
Er moet staan:
Controleer uw antwoord met behulp van (10.52).
Pagina 184 In tabel G.2 staat kcal mol−1 als eenheid van energie, dat is onzin. Daarmee kloppen de conversiefactoren die hierop betrekking hebben ook niet. De correcte tabel is:
183
Tabel G.2: Conversiefactoren voor energie
eV
eV
cm−1
cal
J
Hz
8067
3,829 × 10−20
1,602 × 10−19
2,418 × 1014
4,747 × 10−24
1,986 × 10−23
2,998 × 1010
4,184
1,584 × 10−34
cm−1
1,240 × 10−4
cal
2,612 × 1019
2,1067 × 1023
J
6,242 × 1018
5,035 × 1022
0,2390
Hz
4,136 × 10−15
3,336 × 10−11
1,5837 × 10−34
1,509 × 1033
6,626 × 10−34

Inleiding kwantummechanica - Wageningen UR E

Related documents

Products

Support

Inleiding kwantummechanica - Wageningen UR E

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib