8.1 Rekenen met complexe getallen [1] - Willem

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
Natuurlijke getallen:
Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .........................................
Het symbool voor de natuurlijke getallen is
Gehele getallen:
Dit zijn alle gehele getallen.
............., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .........
Het symbool voor de gehele getallen is
Willem-Jan van der Zanden
1
8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
Rationale getallen:
Dit zijn alle gehele getallen en alle breuken.
Er zijn twee soorten breuken:
1. Breuken met een eindig aantal decimalen:
1
4
 0,25
1
8
 0,125
1
32
 0,03125
2. Breuken met een oneindig aantal decimalen, die zich steeds herhalen:
1
3
9
11
5
7
 0,3333.....  0,3
 0,81818181....  0,81
 0,714285714285.....  0,714285
Willem-Jan van der Zanden
2
8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
Irrationale getallen:
Dit zijn alle getallen met oneindig veel decimalen, waarbij de decimalen
zich niet herhalen. Een irrationaal getal is dus niet te schrijven als een breuk.
Getallen zoals 2 en π zijn irrationale getallen.
Reele getallen:
Dit zijn alle rationale
en irrationale getallen
bij elkaar.
Dit is de verzameling van
alle getallen die bestaan en
op de getallenlijn liggen.
Willem-Jan van der Zanden
3
8.1 Rekenen met complexe getallen [2]
Voorbeeld 1:
De vergelijking x2 = -1 heeft geen oplossing in IR.
Er wordt afgesproken dat vanaf nu geldt: i2 = -1.
x2 = -1
x2 = i2
x = i of x = -i
Voorbeeld 2:
(2x – 4)2 = - 5 heeft geen oplossing in IR.
Met behulp van i2 = -1 is deze vergelijking wel op te lossen.
(2x – 4)2 = - 5
(2x – 4)2 = 5 ∙ i2
2x – 4 = √5 ∙ i
2x = 4 + i√5
x = 2 + ½i√5
of
of
of
2x – 4 = - √5 ∙ i
2x = 4 – i√5
x = 2 - ½i√5
De twee uitkomsten zijn voorbeelden van complexe getallen.
Willem-Jan van der Zanden
4
8.1 Rekenen met complexe getallen [2]
Algemeen:
Een getal van de vorm a + bi met a en b reële getallen en met i2 = -1 heet
een complex getal.
De twee uitkomsten zijn voorbeelden van complexe getallen.
a is het reële deel van het complexe getal.
b is het imaginaire deel van het complexe getal.
Een complex getal van de vorm bi is een zuiver imaginair getal.
Je gebruikt bij het rekenen met complexe getallen dezelfde rekenregels als je
tot nu toe gebruikt hebt bij het rekenen met reële getallen.
Willem-Jan van der Zanden
5
8.1 Rekenen met complexe getallen [2]
Voorbeeld 3:
Los op in
2x + 3i = 5x + 6i
-3x = 3i
x = -i
Voorbeeld 4:
Los op in
4x2 + 12x + 15 = 0
4x2 + 12x + 9 + 6 = 0
(2x + 3)2 + 6 = 0
(2x + 3)2 = -6
(2x + 3)2 = 6i2
2x + 3 = i√6
of
2x = -3 + i√6
of
x = -1½ + ½i√6 of
2x + 3 = - i√6
2x = -3 - i√6
x = -1½ - ½i√6
Willem-Jan van der Zanden
6
8.1 Rekenen met complexe getallen [3]
Voorbeeld 1:
Herleid tot de vorm a + bi
(2 + 4i) – (1 + i) =
2+ 4i – 1 – i =
1 – 3i
Voorbeeld 2:
Herleid tot de vorm a + bi
(2 + 4i) ∙ (1 + i) =
2 + 2i + 4i + i2 =
2 + 6i – 4 =
-2 + 6i
Willem-Jan van der Zanden
7
8.1 Rekenen met complexe getallen [3]
Voorbeeld 3:
Herleid tot de vorm a + bi
2  4i

3  4i
2  4i 3  4i


3  4i 3  4i
6  8i  12i  16i2
9  16i2
6  4i  16

9  16
22  4i 22 4

 i
25
25 25
Willem-Jan van der Zanden
8
8.1 Rekenen met complexe getallen [4]
Gegeven is het complexe getal z = a + bi
Het reële deel a van dit complexe getal wordt genoteerd met Re(z)
Het imaginaire deel b van dit complexe getal wordt genoteerd met Im(z)
De geconjungeerde van dit complexe getal is a – bi (of z  a  bi )
Voorbeeld:


(a  bi)  a  bi 
(a  bi)  (a  bi) 
a2  abi  abi  b2i2 
a2  b2 
(Re(z))2  (Im(z))2
Willem-Jan van der Zanden
9
8.2 Het complexe vlak [1]
Hiernaast is het complexe getal a + bi
getekend in een assenstelsel.
De horizontale as is de reële as.
De verticale as is de imaginaire as.
Dit complexe vlak wordt ook wel het
vlak van Gauss of een Argand-diagram genoemd.
Hiernaast worden vectoren gebruikt om twee
complexe getallen bij elkaar op te tellen.
z1 = 2 + i z2 = 2 + 4i
z1 + z2 = 2 + i + 2 + 4i = 4 + 5i (= z)
Er ontstaat nu een parallellogram-constructie
Willem-Jan van der Zanden
10
8.2 Het complexe vlak [1]
De lengte van de vector (ook modulus of
absolute waarde) die bij het complexe getal
z hoort, is te berekenen met de stelling van
Pythagoras:
|z| = |4 + 5i| =
|z1| = |2 + i| =
|z2| = |2 + 4i| =
42  52  16  25  41
22  12  4  1  5
22  42  4  16  20
Let op 1: Er geldt nu: |z| ≠ |z1 + z2|
Let op 2: Er geldt nu: z  z  z
2
Let op 3: Er geldt nu: |z1 ∙ z2| = |z1| ∙ |z2|
Willem-Jan van der Zanden
(Dit is over het algemeen zo)
(Te bewijzen in opgave 20)
(Te bewijzen in opgave 21)
11
8.2 Het complexe vlak [1]
im
4i
3i
De lijn a beschrijft alle
getallen z waarvoor geldt:
Re(z) = 4
2i
De lijn b beschrijft alle
getallen z waarvoor geldt:
Re(z) = Im(z)
i
b
re
0
-i
-2i
Willem-Jan van der Zanden
a
12
8.2 Het complexe vlak [2]
In het assenstelsel is het complexe
getal z1 = 1 + i getekend.
Hierbij hoort een draaiingshoek (φ)
of argument (Arg(z1)) van 45˚.
Het argument tussen -180˚ en 180˚
is de hoofdwaarde van het argument.
Alle waarden voor het argument
van het complexe getal z1 zijn: 45˚ + k⋅ 360˚
waarbij k een geheel getal is.
Op de GR kun het argument berekenen via
MATH | CMPLX | 4: ANGLE
De letter i krijg je met 2ND | ∙
Willem-Jan van der Zanden
13
8.2 Het complexe vlak [2]
Voorbeeld:
Teken de getallen z waarvoor geldt:
90˚ ≤ Arg(z) ≤ 135˚ ⋀ 1 ≤ |z| ≤ 1,5
Stap 1:
Teken één lijnstuk dat begint
in de oorsprong met een hoek
van 90 graden t.o.v.
de reële as.
Teken één lijnstuk dat begint
in de oorsprong met een hoek
van 135 graden t.o.v.
de reële as.
Willem-Jan van der Zanden
14
8.2 Het complexe vlak [2]
Voorbeeld:
Teken de getallen z waarvoor geldt:
90˚ ≤ Arg(z) ≤ 135˚ ⋀ 1 ≤ |z| ≤ 1,5
Stap 2:
Alle punten die voldoen aan |z| = 1
liggen op een afstand 1 van de
oorsprong.
Teken een cirkel met middelpunt
O en straat 1.
Teken een cirkel met middelpunt
O en straal 2.
Stap 3:
Markeer het gezochte gebied.
Willem-Jan van der Zanden
15
8.2 Het complexe vlak [3]
Willem-Jan van der Zanden
16
8.2 Het complexe vlak [3]
In het plaatje hiernaast
is een rechthoekige
driehoek te zien.
Hieruit volgen:
sin( ) 
Im( z )
 Im( z ) | z |cos( )
|z|
cos( ) 
Re( z )
 Re( z ) | z |cos( )
|z|
|z| is de afstand van het punt
tot de Oorsprong.
We noemen deze afstand nu r.
Het reële en imaginaire deel van het complexe getal z zijn nu te schrijven als:
Re(z) = r cos(φ) en Im(z) = r sin(φ).
r (= |z|) en φ (= arg(z)) zijn de poolcoördinaten van het complexe getal z.
Willem-Jan van der Zanden
17
8.2 Het complexe vlak [3]
Het complexe getal z = a + bi kan genoteerd worden m.b.v. poolcoördinaten:
z = r cos(φ) + i r sin(φ) = r (cos(φ) + i sin(φ))
Voorbeeld 1:
Schrijf z = 3 – 4i met poolcoördinaten. Rond het argument zo nodig af op 1
decimaal.
| z | 32  (4)2  9  16  5
φ = arg(z) = arg(3 – 4i) = - 53,1˚
(Gebruik de GR!!!)
Hieruit volgt: z = 5(cos(-53,1˚) + i sin(-53,1˚))
Willem-Jan van der Zanden
18
8.2 Het complexe vlak [3]
Voorbeeld 2:
Schrijf z = (2 + i)2 met poolcoördinaten.
(2+ i)2 = (2 + i)(2 + i) = 4 + 2i + 2i + i2= 4 + 4i – 1 = 3 + 4i
| z | 32  42  9  16  5
φ = arg(z) = arg(3 + 4i) = 53,1˚
(Gebruik de GR!!!)
Hieruit volgt: z = 5(cos(53,1˚) + i sin(53,1˚))
Voorbeeld 3:
Schrijf het volgende getal zonder poolcoördinaten. Geef een exacte uitkomst:
z = 20(cos 60˚ + i sin 60˚)
20(cos 60˚ + i sin 60˚) =
20 cos 60˚ + 20 i sin 60˚ =
20 ∙ ½ + 20 i ∙ ½ √3 =
10 + 10√3 i
Willem-Jan van der Zanden
19
8.3 De formule van De Moivre [1]
Er gelden vanaf nu de volgende regels als z1 en z2 complexe getallen zijn:
1) |z1 ∙ z2| = |z1| ∙ |z2|
2) arg(z1 ∙ z2) = φ1 +φ2 = arg(z1) + arg(z2)
z1
z1

3)
z2
z2
 z1 
  arg( z1 )  arg( z2 )
z
 2
4) arg 
Voorbeeld 1:
Bereken de modulus en een argument van: (2 + 2i)(-1 + i)
|(2 + 2i)(-1 + i)| = |2 + 2i| ⋅ |-1 + i| =
22  22  (1)2  12  8  2  16  4
arg((2 + 2i)(-1 + i)|) = arg(2 + 2i) + arg(-1 + i) = 45˚ + 135˚ = 180˚
Willem-Jan van der Zanden
20
8.3 De formule van De Moivre [1]
Er gelden vanaf nu de volgende regels als z1 en z2 complexe getallen zijn:
1) |z1 ∙ z2| = |z1| ∙ |z2|
2) arg(z1 ∙ z2) = φ1 +φ2 = arg(z1) + arg(z2)
z1
z1

3)
z2
z2
 z1 
  arg( z1 )  arg( z2 )
z
 2
4) arg 
Voorbeeld 2:
6 2(cos40  i sin40)
Bereken de modulus en een argument van:
3(cos15  i sin15)
6 2(cos40  i sin40) 6 2

2 2
3(cos15  i sin15)
3
 6 2(cos40  i sin40) 
arg 
 40  15  25
 3(cos15  i sin15) 


Willem-Jan van der Zanden
21
8.3 De formule van De Moivre [2]
Uit |z1 ∙ z2| = |z1| ∙ |z2| volgt:
|zn| = |z ∙ z ∙ z ∙ … ∙ z | = |z| ∙ |z| ∙ |z| ∙ … ∙ |z| = |z|n
Uit arg(z1 ∙ z2) = arg(z1) + arg(z2) volgt:
arg(zn) = arg(z ∙ z ∙ z ∙ … ∙ z) = arg(z) + arg(z) + … + arg(z) = n ∙ arg(z)
Voor z = r cos(φ) + i r sin(φ) krijg je: |zn| = rn en arg(zn) = n ∙ φ.
Hieruit volgt: zn = rn (cos(nφ) + i sin(nφ) )
Als r een waarde van 1 heeft ontstaat de formule van De Moivre:
zn = (cos(φ) + i sin(φ) )n = cos(nφ) + i sin(nφ)
Willem-Jan van der Zanden
22
8.3 De formule van De Moivre [2]
Voorbeeld 1:
Herleid tot de vorm a + bi: (√3 + i)5
r  ( 3)2  12  4  2
φ = arg(z) = arg(√3 + i) = 30˚
(√3 + i)5 = (2(cos 30˚ + i sin 30˚))5
= 25 ∙ (cos (5 ∙ 30˚) + i sin (5 ∙ 30˚))
= 25 ∙ (cos (150˚) + i sin (150˚)
= 32 ∙ (-½√3 + ½i)
= -16√3 + 16i
Voorbeeld 2:
Herleid tot de vorm a + bi: (9(cos 45˚ + i sin 45˚))-2
(9(cos 45˚ + i sin 45˚))-2
= 9-2 (cos (-2 ∙ 45˚) + i sin ((-2 ∙ 45˚))
= 811 ∙ (cos (-90˚) + i sin (-90˚))
= 811 ∙ (0 + i ∙ -1)
1
= - 81 i
Willem-Jan van der Zanden
23
8.3 De formule van De Moivre [3]
De vergelijking z3 = 1 heeft drie oplossingen:
Oplossing 1:
(cos 0˚ + i sin 0˚)3 = cos(3 ∙ 0˚) + i sin(3 ∙ 0˚) = cos 0˚ + i sin 0˚
= 1 + i ⋅0 = 1
cos 0˚ + i sin 0˚ = 1 + i ⋅0 = 1
Oplossing 2:
(cos 120˚ + i sin 120˚)3 = cos(3 ∙ 120˚) + i sin(3 ∙ 120˚)
= cos 360˚ + i sin 360˚ = 1 + i ⋅0 = 1
cos 120˚ + i sin 120˚ = - ½ + ½i√3
Oplossing 3:
(cos (-120˚) + i sin (-120˚))3 = cos(3 ∙ -120˚) + i sin(3 ∙ -120˚)
= cos (-360˚) + i sin (-360˚) = 1 + i ⋅0 = 1
cos (-120˚) + i sin (-120˚) = ½ - ½i√3
Willem-Jan van der Zanden
24
8.3 De formule van De Moivre [3]
Er is aangetoond dat de vergelijking z3 = 1 drie oplossingen heeft.
Deze wortel is driewaardig.
Elke complexe wortel is meerwaardig.
De vergelijking zn = c met c ≠ 0, heeft n oplossingen in
Deze oplossingen zijn de uitkomsten van de n-demachtswortel van c.
Willem-Jan van der Zanden
25
8.3 De formule van De Moivre [3]
Voorbeeld 1:
Los exact op in
: z3 = -8
z3 = 8(cos 180˚ + i sin 180˚) v z3 = 8(cos 540˚ + i sin 540˚) v z3 = 8(cos 900˚ + i sin 900˚)
1) cos 180˚ + i sin 180˚ = -1 + i ∙ 0 = -1;
2) Dit geldt ook voor een argument dat 360˚ van 180˚ verschilt;
3) Je noteert nu drie argumenten die steeds 360˚ verschillen, omdat er drie
oplossingen zijn.
z = 2(cos 60˚ + i sin 60˚) v z = 2(cos 180˚ + i sin 180˚) v z = 2(cos 300˚ + i sin 300˚)
Hier gebruik je de formule van De Moivre.
z = 2(½ + ½i√3) v z = 2(-1 + 0i)
z = 1 + i√3)
v z = -2
v z = 2(½ - ½i√3)
v z = 1 - i√3
Willem-Jan van der Zanden
26
8.3 De formule van De Moivre [3]
Voorbeeld 2:
Los exact op in
: (z – 2i)2 = -i
(z – 2i)2 = cos (-90˚) + i sin (-90˚) v (z – 2i)2 = cos 270˚ + i sin 270˚)
1) cos (-90)˚ + i sin (-90)˚ = 0 + i ∙ -1 = -i;
2) Dit geldt ook voor een argument dat 360˚ van 180˚ verschilt;
3) Je noteert nu twee argumenten die steeds 360˚ verschillen, omdat er twee
oplossingen zijn.
z – 2i = cos (-45˚) + i sin (-45˚) v z – 2i = cos 135˚ + i sin 135˚)
Hier gebruik je de formule van De Moivre.
z – 2i = ½√2 - ½i√2
z = ½√2 + 2i - ½i√2
z = ½√2 + (2 - ½√2)i
v z – 2i = -½√2 + ½i√2
z = -½√2 + 2i + ½i√2
z = -½√2 + (2 + ½√2)i
Willem-Jan van der Zanden
27
8.4 Complexe functies [1]
Voorbeeld 1:
Gegeven zijn de functies f(z) = 3 + 2i en g(z) = 5 + 5i (= 3 + 2i + 2 + 3i)
De functie g(z) ontstaat uit de functie van f(z) door het toepassen van de translatie (2, 3)
Algemeen:
Bij de functie f(z) = z + a + bi hoort de translatie (a, b).
Voorbeeld 2:
Gegeven is het rode vierkant. Pas hierop de functie
f(z) = 2z toe.
Linksonder: z = 1 + i => f(1 + i) = 2 ∙ (1 + i) = 2 + 2i
Rechtsonder: z = 3 + i => f(3 + i) = 2 ∙ (3 + i) = 6 + 2i
Linksboven: z = 1 + 4i => f(1 + 4i) = 2 ∙ (1 + 4i) = 2 + 8i
Rechtsboven: z = 3+ 4i => f(3 + 4i) = 2 ∙ (3 + 4i) = 6 + 8i
Algemeen:
Bij de functie f(z) = az met a een reëel getal hoort de
Vermenigvuldiging t.o.v. 0 met factor a.
Willem-Jan van der Zanden
28
8.4 Complexe functies [1]
Voorbeeld 3:
Gegeven is de driehoek met de hoekpunten
1 + 2i, 3 + i en 1 + 3i.
Teken het beeld bij de functie f(z) = -2z + 4 + 3i.
Stap 1:
Een vermenigvuldiging t.o.v. 0 met factor -2 van
de rode driehoek geeft de groene driehoek.
Stap 2:
De translatie (4, 3) van de groene driehoek geeft
de blauwe driehoek.
Willem-Jan van der Zanden
29
8.4 Complexe functies [1]
Voorbeeld 4:
Het getal 0 ligt op de blauwe driehoek (het beeld).
Een getal dat door een functie f op 0 wordt afgebeeld,
heet een nulpunt van f.
Het oplossen van f(z) = 0 geeft het nulpunt.
-2z + 4 + 3i = 0
-2z = -4 – 3i
2z = 4 + 3i
z = 2 + 1½i
Voorbeeld 5:
Een dekpunt van de complexe functie f is een getal dat
op zichzelf wordt afgebeeld.
Het oplossen van f(z) = z geeft het dekpunt.
-2z + 4+ 3i = z
-3z = -4 – 3i
3z = 4 + 3i
z = 113 + i
Willem-Jan van der Zanden
30
8.4 Complexe functies [2]
Bij de functie f(z) = a + bi hoort de draaivermenigvuldiging die bestaat uit de
rotatie over arg(a + bi) en de vermenigvuldiging t.o.v. 0 met factor |a + bi|
Voorbeeld 1:
Gegeven is de functie f(z) = (1 – i)z.
Teken het beeld bij de functie f van het rode
vierkant met hoekpunten
-2 + i, 3 + i, 3 + 6i, -2 + 6i.
2
2
|1 – i| = 1  (1)  2
arg(1 – i) = -45˚
Er is sprake van een rotatie over -45˚ en een
vermenigvuldiging t.o.v. 0 met √2. Zo ontstaat
het groene vierkant.
Willem-Jan van der Zanden
31
8.4 Complexe functies [2]
Bij de functie f(z) = a + bi hoort de draaivermenigvuldiging die bestaat uit de
rotatie over arg(a + bi) en de vermenigvuldiging t.o.v. 0 met factor |a + bi|
Voorbeeld 1:
Het lijnstuk van O tot het punt -2 + i op het
rode vierkant wordt -45 graden geroteerd.
De lengte die √5 was, wordt √2 ∙ √5 = √10.
Zo ontstaat het punt -1 + 3i op het groene
vierkant.
Het lijnstuk van O tot het punt -2 + 6i op het
rode vierkant wordt -45 graden geroteerd.
De lengte die √40 was, wordt √2 ∙ √40 = √80.
Zo ontstaat het punt 4 + 8i op het groene
vierkant.
Willem-Jan van der Zanden
32
8.4 Complexe functies [2]
Bij de functie f(z) = a + bi hoort de draaivermenigvuldiging die bestaat uit de
rotatie over arg(a + bi) en de vermenigvuldiging t.o.v. 0 met factor |a + bi|
Voorbeeld 1:
Het lijnstuk van O tot het punt 3 + i op het
rode vierkant wordt -45 graden geroteerd.
De lengte die √10 was, wordt √2 ∙ √10 = √20.
Zo ontstaat het punt 4 - 2i op het groene
vierkant.
Het lijnstuk van O tot het punt 3 + 6i op het
rode vierkant wordt -45 graden geroteerd.
De lengte die √45 was, wordt √2 ∙ √45 = √90.
Zo ontstaat het punt 9 + 3i op het groene
vierkant.
Willem-Jan van der Zanden
33
8.4 Complexe functies [2]
Bij de functie f(z) = a + bi hoort de draaivermenigvuldiging die bestaat uit de
rotatie over arg(a + bi) en de vermenigvuldiging t.o.v. 0 met factor |a + bi|
Voorbeeld 2:
Geef het bereik van f bij het domein
|z| ≤ 2 ⋀ -45˚ ≤ Arg(z) ≤ 45˚
Er is een vermenigvuldiging met √2.
Hieruit volgt bij het bereik: |z| ≤ 2√2
Er is een rotatie van -45˚.
Hieruit volgt bij het bereik: -90˚ ≤ Arg(z) ≤ 0˚
Willem-Jan van der Zanden
34
8.4 Complexe functies [3]
Bij de functie f(z) = (a + bi)z + c + di met a, b, c en de reëel hoort de
vermenigvuldiging t.o.v. 0 met de factor |a + bi| en de rotatie over arg(a + bi)
gevolgd door de translatie (c, d)
Voorbeeld 1:
Gegeven is de functie f(z) = (1 + i)z – 2 + 3i.
Teken het beeld bij f van het vierkant met de hoekpunten 1 + i, 3 + i, 3 + 3i en 1 + 3i
|1 + i| = 12  12  2
arg(1 + i) = 45˚
Het roteren van het rode vierkant over 45˚ en het
vermenigvuldigen t.o.v. 0 met √2 geeft het groene vierkant.
De translatie (-2, 3) van het groen vierkant geeft het
blauwe vierkant.
Willem-Jan van der Zanden
35
8.4 Complexe functies [3]
Bij de functie f(z) = (a + bi)z + c + di met a, b, c en de reëel hoort de
vermenigvuldiging t.o.v. 0 met de factor |a + bi| en de rotatie over arg(a + bi)
gevolgd door de translatie (c, d)
Voorbeeld 2:
Gegeven is de functie f(z) = (1 + i)z – 2 + 3i.
Wat is het origineel van f bij 10 + i?
f(z) = 10 + i
(1 + i)z – 2 + 3i = 10 + i
(1 + i)z = 12 – 2i
z
12  2i 12  2i 1  i 12  12i  2i  2



 5  7i
1i
1i 1i
2
Willem-Jan van der Zanden
36
8.4 Complexe functies [4]
Voorbeeld:
Gegeven is de functie f(z) = z3.
Teken in twee aparte figuren de cirkelsector |z| ≤ 1,5 ⋀ -30˚ ≤ Arg(z) ≤ 30˚
en het beeld bij f.
|f(z)| = |z3| = |z|3 =1,53 = 3,375.
arg(z3) = 3 ∙ arg(z) dus
-90˚ ≤ Arg(z) ≤ 90˚.
Willem-Jan van der Zanden
37
8.5 Krachten en snelheden [1]
Voorbeeld:
Op een voorwerp werken drie krachten.
Bereken de grootte en de richting van
de resultante van deze krachten.
Noteer de complexe getallen die bij de
krachten horen.
z1 = 20
z2 = 15(cos 40˚ + i sin 40˚)
z3 = 25(cos 160˚ + i sin 160˚)
De grootte van de resultante is de absolute waarde van de som van de drie complexe
getallen: |z1 + z2 + z3| ≈ 19,9.
De richting van de resultante is het argument van de som van de drie complexe
getallen: arg(z1 + z2 + z3) ≈ 66,3˚.
Willem-Jan van der Zanden
38
8.5 Krachten en snelheden [2]
• In de luchtvaart en scheepvaart wordt vaak met een kompas gewerkt;
• Als je naar het zuiden vaart, vaar je met een koers van 180°;
• Als je naar het noordwesten vaart, vaar je met een koers van 315°.
Willem-Jan van der Zanden
39
8.5 Krachten en snelheden [2]
Een ijsschots drijft met een snelheid van 3 km/uur naar het zuidoosten.
Op de ijsschots loopt een persoon op zijn kompas pal naar het zuiden
met een snelheid van 4 km/uur. Bereken in één decimaal nauwkeurig
de resulterende snelheid van deze persoon en in graden nauwkeurig zijn koers.
Bij de snelheden horen de complexe getallen:
z1 = 3(cos(-45˚) + i sin(-45˚))
z2 = 4(cos(-90˚) + i sin(-90˚))
|z1 + z2| ≈ 6,48
arg(z1 + z2) ≈ - 70,9˚
De resulterende snelheid van de persoon is 6,5 km/uur.
De koers van de persoon is 90˚ + 71˚ = 161˚.
(Gebruik hiervoor het plaatje op de vorige pagina)
Willem-Jan van der Zanden
40