PowerPoint-presentatie

Gemaakt door J. Aarts, A. de Lange
Inhoudsopgave
• Driehoeken
• Vierhoeken
•Soorten driehoeken & rekenen met hoeken
•De opp.van een parallellogram
•Rekenvoorbeelden Hoekensom-regel
•De opp. van een trapezium
•Rekenvoorbeeld Gestrekte hoek.
•Bijzondere vierhoeken
•Gecombineerd rekenvoorbeeld
•Vierhoeken puzzel
•Oppervlakte van driehoeken
• Hoeken berekenen
•De algemene formule
•Overstaande hoeken
•De hoogte blijft binnen de driehoek
•Z-hoeken
•De hoogte valt buiten de driehoek
•F-hoeken
• Bijzondere lijnen
•Bissectrices
•Middelloodlijnen
•Zwaartelijnen
•Hoogtelijnen
•Bijzondere lijnenpuzzel
Als je mij ziet kun je op mij klikken
om terug te keren naar de
inhoudsopgave!
• Kennen & Kunnen
• Afsluitende sommen
•VWO A27 blz. 50, HAVO A31 blz.50
•VWO A28 blz. 50
•VWO A29 blz. 50, HAVO A32 blz.50
• Einde presentatie
1
90o
Eigenschap:
Er is één rechte hoek
2
3
Eigenschappen:
Eigenschappen:
• 3 gelijke zijden
• 2 gelijke benen
• 3 gelijke hoeken van 60o
• 2 gelijke basishoeken
• 3 symmetrieassen
• 1 symmetrieas (wit gestippeld)
C
A
A + B + C =
Spreek uit:
Hoek …
B
o
180
C
A
1 2
D
B
C
Gegeven:
A = 34o
C = 22o
A
B
Bereken:
Oplossing:
B
A + C =
34o + 22o = 56o
B = 180o – 56o
B = 124o
R
Gegeven:
P = 64o
ΔPQR = gelijkbenig
Bereken:
P
●
●
Q
Oplossing:
R
P = Q (want PR = QR)
P + Q = 128o
R = 180o – 128o
R = 52o
M
Gegeven:
T1 = 74o
Bereken:
 T2
1 2
K
T
L
Oplossing:
 T12 = een gestrekte
hoek
T2 = 180o – 74o
T2 = 106o
Gegevens:
C
●
●●
1 2 3
(zie tekening)
Bereken:
A
50o
1 2
D
C1 =C2= C3
1 2
E
28o
B
Oplossing:
C1
In ΔABC:
A + B = 78o
 C123 = 180o – 78o
 C123 = 102o
C1 = 102o : 3 = 34o
Gegevens:
C1 =C2= C3
Bereken:
Bereken in ΔCDE
alle hoeken.
C
C1 = 34o1●●2●3
34o
A
50oo
?1 2
D
1 2
E
28o
B
Eerst  D1
Oplossing: In ΔADC:
A +  C1 = 84o
 D1 = 180o – 84o
 D1 = 96o
Gegevens:
C1 =C2= C3
Bereken:
Bereken in ΔCDE
alle hoeken.
C
●
●●
1o 2 3
34
A
50oo
961o ?2
D
D1 = 96o
1 2
E
28o
B
Nu D2
 D12 is een gestrekte hoek, dus:
D2 = 180o – 96o = 84o
C
● ●●
A
1 284o
C1 =C2= C3
Bereken:
Bereken in ΔCDE
alle hoeken.
C2 = 34o
1 2 o3
34
50o
Gegevens:
?1 2
D
E
D2 = 84o
28o
B
Nu  E1 en  E2
Oplossing: In ΔCDE:
 D2 +  C2 = 118o
 E1 = 180o – 118o
 E1 = 62o
 E12 is een gestrekte hoek, dus:
E2 = 180o – 62o = 118o
De bissectrice of deellijn van
een hoek deelt die hoek doormidden.
Het maakt niet uit
hoelang de benen
van de hoek zijn!
Een deellijn verdeelt
de hoek altijd in 2
gelijke hoeken.
In een driehoek snijden de drie
deellijnen elkaar in één punt.
Als de vorm van de
driehoek veranderd
zullen de deellijnen
meeveranderen.
Ze blijven
elkaar in één
punt snijden.
B
A
De hoek tussen het lijnstuk
AB en de middelloodlijn is
altijd 90o.
De middelloodlijn gaat
altijd door het midden van
lijnstuk AB.
In een driehoek snijden de middelloodlijnen
van de zijden elkaar in één punt.
Als de vorm van de
driehoek veranderd
zullen de
middelloodlijnen
meeveranderen.
Ze blijven elkaar in één
punt snijden.
Een zwaartelijn van een driehoek is een lijn die gaat door
een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde.
Als de vorm van de
driehoek veranderd zullen
de zwaartelijnen
meeveranderen.
Ze blijven elkaar in één punt
snijden. Dit punt wordt het
ZWAARTEPUNT van de
driehoek genoemd.
Als de vorm
De hoogte van een driehoek
is eenvan
lijndedie door
driehoekopveranderd
zullen zijde staat.
een hoekpunt gaat en loodrecht
de overstaande
de hoogtelijnen mee
veranderen. Bijbehorende
Zijde
hoogte
C
De drie hoogtelijnen
R
P
∟
A
snijden elkaar in een punt.
Q
AB
CQ
AC
BP
BC
AR
B
De stippellijnen met de kleur:
Blauw zijn …………..……?
bissectrices.
Rood zijn …………..……..?
middelloodlijnen.
De groene lijnen zijn ………...…...?
zwaartelijnen.
Goed kijken
De snijpunten
en eerst zelf van
de proberen!!!
drie soorten
bijzondere lijnen
liggen niet op
dezelfde plaats in
de driehoek !!!
∟
∟
∟
∟
Hoeken
Zijden
Diagonalen
4 rechte hoeken
4 gelijke zijden
Snijden elkaar
loodrecht
Delen elkaar
doormidden
De 2 diagonalen
zijn gelijk
∟
▲
∟
Zijden
4 rechte hoeken
Overstaande
zijden
evenwijdig
Overstaande
zijden gelijk
▲
Diagonalen
Als je een
Delen elkaar
doormiddenlanger
vierkant
maakt ontstaat er
De 2 diagonalen
een
zijnrechthoek.
gelijk.
∟
Hoeken
•
•
∟
Als je een
vierkant
vervormt kun je
er een ruit van
maken.
Hoeken
Zijden
Diagonalen
Overstaande
hoeken zijn
gelijk
Vier gelijke
zijden
Snijden elkaar
loodrecht
Overstaande
zijden
evenwijdig
Delen elkaar
doormidden
••




••
▲
Als je een
rechthoek vervormt
kun je er een
parallellogram van
Hoeken
maken. Zijden
Overstaande
hoeken zijn
gelijk
Overstaande
zijden evenlang
Overstaande
zijden
evenwijdig
◦

x
•
Diagonalen
Delen elkaar
doormidden


• x

◦
▲
◦ •

x
Hoeken
De 2 bovenste
hoeken zijn
gelijk
De 2 basishoeken
zijn gelijk
•
In een gelijkbenig
trapezium
Zijden lopen
Diagonalen
twee zijden
De bovenste
De 2 diagonalen
De
zijdeevenwijdig.
en onderste
zijn gelijk
zijde zijn
andere
twee zijden
evenwijdig
zijn gelijk.
De linker- en
rechterzijde zijn
gelijk



• ◦
•
x
Een gewoon
trapezium heeft
géén gelijke
benen.
Hoeken
Zijden
De bovenste
zijde en onderste
zijde zijn
evenwijdig

◦
◦
Diagonalen
▲
Hoeken
Zijden
Diagonalen
De linker- en
rechter hoek
zijn gelijk
De 2 bovenste
zijden zijn
gelijk
snijden
elkaar
loodrecht
Door een
ruit te 2
De onderste
zijden
zijn
veranderen
kun
gelijk
je er een vlieger
maken.
De verticale
diagonaal
snijdt de
horizontale
middendoor
•
 
•▲
 
Alle eigenschappen van een:
• ruit gelden voor ...................................?
géén van de andere vierhoeken.
• Parallellogram gelden ook voor een ………….?
ruit.
Een vierkant is een bijzonder soort …………………….?
ruit.
Een rechthoek is een bijzonder soort …………………..?
parallellogram.
Bij twee snijdende lijnen
zijn de overstaande hoeken
gelijk.
•Twee snijdende lijnen
•Gelijke overstaande
hoeken
In een Z-figuur zijn twee
lijnen evenwijdig en zijn de
Z-hoeken gelijk.
•Twee evenwijdige lijnen
• Twee paren gelijke Zhoeken
In een Z-figuur zijn twee
lijnen evenwijdig en zijn de
Z-hoeken gelijk.
•Twee evenwijdige lijnen
•Gelijke Z-hoeken
Z-hoeken
In een F-figuur zijn twee
lijnen evenwijdig en zijn de
F-hoeken gelijk.
•Twee evenwijdige lijnen
•Gelijke F-hoeken
Gegeven:
•Vierhoek ABCD
D
C
>
42o
2
•AB // PR // CD
1
46o
•CQ = CR
P
2
1
>
4
1 2
A
3 2
1
Q
>
>
2
1
R
B
•C1 = 46o
•D = 42o
Gevraagd:
a)
P2
b)
C2
c)
Q1
Eerst:
a) P2
D
C
>
42oo
2
1
46o
P
2
>
1 42o
4
1 2
A
3 2
1
Q
>
>
2
1
R
CD // PR
B
D = P1 = 42o
D = P1 = 42o
F-hoeken
Eerst:
a) P2
D
C
>
42o
2
1
46o
180o - 42o
P
2
>
1 42o
4
1 2
A
3 2
1
Q
>
>
2
1
R
CD // PR
B
D = P1 = 42o
D = P1 = 42o
F-hoeken
P2 = 180o – 42o = 138o
Gestrekte hoek
Dan:
b)
D
C
>
42o
C2
2
1
46o
P
2
>
1 42o
4
3 2
1
Q
1 2
A
>
>
2
1
R
B
C
QRC is gelijkbenig
Q2 = R2
Gelijke basishoeken.
46o
<
Q2
2
Q
R
= (180o – 46o) : 2
= 134 : 2
= 67o
Dan:
b)
D
C
>
42o
P
2
C2
67o2 1
46o
3 2
4 1
>
1 42o
67o
Q
1 2
A
>
>
Q2 = 67o
2
1
R
B
C2 = Q2 = 67o
Z-hoeken
Dan als laatste
D
C
>
42o
2
c)
1
Q1
46o
P
2
1
3 2
4 1
>
67o
Q
1 2
A
>
>
2
1
R
Q2 = 67o
B
Q1 = 180o – 67o = 113o
Gestrekte hoek
VWO
HAVO
Opgave 29 bladzijde 50
Opgave 32 bladzijde 50
∠D12 = 180-69 = 111°
∠E1 = ∠C1 = 40°
69°
D
F -hoek
a bereken ∠D12
b bereken ∠E1
∆ABD is gelijkbenig
c bereken ∠S1
1
C
2 42°
40,0 °
69°
1
2
98°
4
Z -hoek
3
2
1
S
98°
69,0 °
2
A
E
E
1
40°
42° 1 2
B
∟
Bekijk twee soorten driehoeken
Teken er rechthoeken omheen
Vul de lege ruimtes met nieuwe driehoeken
∟
De oppervlakte van de GELE driehoek
=
De oppervlakte van de WITTE driehoek
∟
De oppervlakte van de driehoek,
is precies de HELFT van het rechthoek
hoogte
Breedte
hoogte
Breedte
∟
∟
Lengte = zijde
Lengte = zijde
De oppervlakte van de driehoek,
Opp.  = ½ x zijde x bijbehorende hoogte
is precies de HELFT van het rechthoek
Als één zijde en de bijbehorende hoogte bekend is,
Kun je de oppervlakte van de driehoek uitrekenen.
Zijde
C
R
P
∟
A
Q
Bijbehorende
hoogte
AB
CQ
AC
BP
BC
AR
B
Er zijn drie zijden. Er zijn drie bijbehorende hoogten.
Er zijn drie manieren om de oppervlakte te berekenen
Zijde
C
R
P
∟
A
Q
Bijbehorende
hoogte
AB
CQ
AC
BP
BC
AR
B
Er zijn drie zijden. Er zijn drie bijbehorende hoogten
Eerste Manier:
Zijde
C
Breedte
AB
A
Q
Bijbehorende
hoogte
CQ
B
Opp. ABC = ½ x zijde x Bijbehorende hoogte
= ½ x AB x CQ
Er zijn drie zijden. Er zijn drie bijbehorende hoogten
Tweede manier:
C
Zijde
Bijbehorende
hoogte
P
AC
A
BP
B
Opp. ABC = ½ x zijde x Bijbehorende hoogte
= ½ x AC x BP
Er zijn drie zijden. Er zijn drie bijbehorende hoogten
Derde manier:
C
Zijde
R
BC
A
Bijbehorende
hoogte
AR
B
Opp. ABC = ½ x zijde x Bijbehorende hoogte
= ½ x BC x AR
Opp. ABC = ½ x zijde x
C
P
∟
A
Bijbehorende hoogte
R
Q
B
Opp. ABC = ½ x AB x CQ
Opp. ABC = ½ x AC x BP
Opp. ABC = ½ x BC x AR
Opp. ABC = ½ x zijde x
Bijbehorende hoogte
C
∟
hoogte
L
A
B
M
K
Opp. ABC = ½ x AC x BL
Opp. ABC = ½ x AB x CK
Opp. ABC = ½ x BC x AM
VWO
HAVO
Opgave 27 bladzijde 50
Opgave 31 bladzijde 50
C
2
bereken ∠D1
bereken ∠C2
bereken ∠D2
bereken ∠E2
1
30,0 °
E
a
b
c
d
CD // DE
1
2
2
54,0 °
A
1
3
D
68,0 °
B
Kopiëer het trapezium
Draai het trapezium om.
Aansluiten!!
Er ontstaan 2 paren
evenwijdige lijnen!
Er ontstaat een parallellogram
De oppervlakte van het
parallellogram is twee keer zo
groot als de oppervlakte van
het oorspronkelijke trapezium.
a
a
De onderste zijde van het
oorspronkelijke trapezium
noemen we a.
a
b
a
b
De bovenste zijde van het
oorspronkelijke trapezium
noemen we b.
a
hoogte
b
a
b
De hoogte van het
parallellogram is gelijk aan de
hoogte van het oorspronkelijke
trapezium.
De zijde
a =
(a + b)
hoogte
b
a
b
Opp. Parallellogram
=
(a zijde
+ b) x hoogte
a
hoogte
b
a
b
Opp. Parallellogram
trapezium
De opp. van het trapezium is de
helft van de oppervlakte
van het
=
parallellogram
½ x (a + b) x hoogte
a
hoogte
b
a
b
De algemene formule:
Opp. Trapezium = ½ x (a + b) x hoogte
b
2.
hoogte
1.
3.
Tel de lengten van de
onderste en de bovenste
zijden bij elkaar op
Vermenigvuldigen met de
hoogte!
Vermenigvuldigen met ½!
Het resultaat levert je de
oppervlakte van het
trapezium op.
a
De algemene formule:
Opp. Trapezium = ½ x (a + b) x hoogte
Oppervlakte parallellogram
• Vierhoek
• Overstaande zijden evenwijdig
• Overstaande zijden even lang
Oppervlakte parallellogram
Oppervlakte parallellogram = zijde x bijbehorende hoogte
hoogte
zijde
Oppervlakte parallellogram
hoogte
zijde
Oppervlakte parallellogram
Oppervlakte parallellogram = zijde x bijbehorende hoogte
hoogte
zijde
Oppervlakte driehoek = ½ x zijde x bijbehorende hoogte