K.1 De substitutiemethode - Willem

K.1 De substitutiemethode [1]
Voorbeeld 1:
Differentieer de functie f(x) = (x2 + x)5
Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel:
Stap 1:
Schrijf de functie f(x) als volgt:
y = u5 met u = x2 + x
Stap 2:
Bereken de afgeleide van u5 en x2 + x:
y’ = 5u4 en u’ = 2x + 1
Stap 3:
Vermenigvuldig de beide afgeleiden met elkaar:
f’(x) = y’ · u’ = 5u4 · (2x + 1) = 5(x2 + x)4 · (2x + 1)
Willem-Jan van der Zanden
1
K.1 De substitutiemethode [1]
In Hoofdstuk 10 hebben we gezien dat integreren “het omgekeerde” van
differentiëren is.
Voorbeeld 2:
Primitiveer de functie f(x) = 5(x2 + x)4 · (2x + 1)
5(x2 + x)4 · (2x + 1) dx =
5( x 2  x )4
2x  1
d( x 2  x ) 
2x  1
5(x2 + x)4 d(x2 + x) =
5u4 du =
du5 =
d(x2 + x)5
[Let op: dx = 1!!!]
[Let op: d(x2 + x) = (2x + 1)
Daarom deel je de functie door 2x+1]
[Vervang x2 + x door u]
[Let op: du5 = 5u4du]
Hieruit volgt dat de primitieve van f(x) gelijk is aan F(x) = (x2 + x)5 + C
Let op:
Bij het differentiëren in voorbeeld 1 werd vermenigvuldigd met 2x +1;
Bij het integreren in voorbeeld 2 wordt gedeeld door 2x + 1!!!.
Willem-Jan van der Zanden
2
K.1 De substitutiemethode [1-Alternatief]
Substitutiemethode integreren:
∫(f ∙ g)dx = ∫f dG
Voorbeeld 1:
Primitiveer de functie f(x) = 5(x2 + x)4 · (2x + 1)
∫ 5(x2 + x)4 · (2x + 1) dx =
∫ 5(x2 + x)4 d(x2 + x)
∫ 5u4 du =
u5 = (x2 + x)5
[Neem x2 + x = u]
Hieruit volgt dat de primitieve van f(x) gelijk is aan F(x) = (x2 + x)5 + C
Let op:
Door het “handig” toepassen van de substitutiemethode krijgt je een functie,
die je kunt primitiveren met de regels uit Hoofdstuk 10.
Willem-Jan van der Zanden
3
K.1 De substitutiemethode [1]
Voorbeeld 3:
Primitiveer de functie f(x) =
10x 3
x4  7
10x
3
dx 
1
d( x 4  7) 
3
x 4  7 4x

10x 3
x4 7
[Let op: dx = 1!!!]
[Let op: d(x4 + 7) = 4x3
Daarom deel je de functie door 4x3]
10
1

 d( x 4  7) 
4
x4  7
10 1
1  12

 du  2 u du 
4 u
2
[Vervang x4 + 7 door u]
d5u½ =
d5(x4 + 7)½
Hieruit volgt dat de primitieve van f(x) gelijk is aan F(x) = 5 x  7  C
4
Willem-Jan van der Zanden
4
K.1 De substitutiemethode [1-Alternatief]
Substitutiemethode integreren:
Voorbeeld 2:
Primitiveer de functie f(x) =


10x 3
x4 7
2,5
x 7
4
dx  
1
d( x 4 )  
10x 3
x4 7
[De 2,5 mag je voor de d zetten.]
d(2,5x 4 ) 
x4 7
2,5
x 7
4
1
1  12
 2,5 u du   2 2 u du 
∫ (f ∙ g)dx = ∫ f dG
d( x 4  7)
[x4 mag je in x4 + 7 veranderen. De
afgeleiden hiervan zijn aan elkaar gelijk.]
[Schrijf x4 + 7 als u]
5u½ = 5(x4 + 7)½
Hieruit volgt dat de primitieve van f(x) gelijk is aan F(x) = 5 x  7  C
4
Willem-Jan van der Zanden
5
K.1 De substitutiemethode [1]
Opgave 4D:
3x 2 sin( x 3  1)dx 
2
3
3
x
sin(
x
 1)dx 

1
3x  2 sin( x 3  1)d( x 3  1) 
3x
sin( x 3  1)d( x 3  1) 
sin udu 
3
3
sin(
x

1)
d
(
x
)

d(  cos u)  d(  cos( x 3  1))
 cos u   cos( x 3  1)
2
3
3
sin(
x

1)
d
(
x
 1) 

 sin udu 
Willem-Jan van der Zanden
6
K.1 De substitutiemethode [2]
Voorbeeld 1:
sin( x )
Primitiveer de functie f(x) = tan(x) =
cos( x )
sin( x )
dx 
cos( x )
[Let op: dx = 1!!!]
[Let op: d(-cos(x)) = sin(x)
Daarom deel je de functie door sin(x)]
sin( x )
1

d(  cos( x )) 
cos( x ) sin( x )
1
 d(  cos( x )) 
cos( x )

1
1
d(cos( x ))   du
cos( x )
u
[Vervang cos(x) door u]
- dln |u| = d(-ln |u|) = d(-ln |cos(x)|)
Hieruit volgt dat de primitieve van f(x) gelijk is aan F(x) = -ln|cos(x)| + C
Willem-Jan van der Zanden
7
K.1 De substitutiemethode [2-Alternatief]
Substitutiemethode integreren:
∫(f ∙ g)dx = ∫ f dG
Voorbeeld 1 (Alternatief):
sin( x )
Primitiveer de functie f(x) = tan(x) =
cos( x )
sin( x )
 cos( x ) dx 
1
 cos( x ) d( cos( x )) 
1
 d(cos( x )) 
cos( x )
1

 u du 

[Het minteken mag je voor de d zetten]
[Schrijf cos(x) als u]
-ln|u| = -ln|cos(x)|
Hieruit volgt dat de primitieve van f(x) gelijk is aan F(x) = -ln|cos(x)| + C
Willem-Jan van der Zanden
8
K.1 De substitutiemethode [2]
Voorbeeld 2:
Primitiveer de functie f(x) = cos3(x) =
cos3(x)dx = cos2(x) · cos(x)dx =
(1 – sin2(x)) · cos(x)dx =
(1  sin2( x ))
[Let op: dx = 1!!!]
cos( x )
d(sin( x )) 
cos( x )
(1 – u2)du =
[Let op: d(sin(x)) = cos(x)
Daarom deel je de functie door cos(x)]
[Vervang cos(x) door u]
1
1
d(u  u3 )  d(sin( x )  sin3( x ))
3
3
1
Hieruit volgt dat de primitieve van f(x) gelijk is aan F(x) = sin( x )  sin3( x )  C
3
Willem-Jan van der Zanden
9
K.1 De substitutiemethode [2-Alternatief]
Substitutiemethode integreren:
∫(f ∙ g)dx = ∫ f dG
Voorbeeld 2 (Alternatief):
Primitiveer de functie f(x) = cos3(x) =
∫ cos3(x)dx = ∫ cos2(x) · cos(x)dx =
∫ (1 – sin2(x)) · cos(x)dx =
2
(1

sin
( x ))d(sin( x )) 

∫ (1 – u2)du =
[Schrijf cos(x) als u]
1
1
u  u3  sin( x )  sin3( x )
3
3
1
Hieruit volgt dat de primitieve van f(x) gelijk is aan F(x) = sin( x )  sin3( x )  C
3
Willem-Jan van der Zanden
10
K.1 De substitutiemethode [2]
Opgave 9C:
1
x2
e
0
x2
e
dx
2 x3
2 x3
dx 
2 2 x
x
 e dx 
3
e
2 x 3
1
d( x 3 ) 
3
1 2 x3
3

e
d
(

2
x
)
 6
1 u

 6 e du 
3
1
1
 eu   e 2 x
6
6
1
x2
1
1 2 1 0
1 2 1
 1 2 x3 
dx


e


e

e


e 
3
0 e2x
 6

6
6
6
6

0
Willem-Jan van der Zanden
11
K.2 Partieel integreren [1]
p(x) = f(x) · g(x) heeft als afgeleide:
p’(x) = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x)
Dit is de productregel voor het differentiëren.
Anders genoteerd wordt dit:
d(p(x)) = d(f(x)) · g(x) + f(x) · d(g(x))
d(f(x) · g(x)) = g(x) · d(f(x)) + f(x) · d(g(x))
Omschrijven geeft:
-g(x) · d(f(x)) = -d(f(x) · g(x)) + f(x) · d(g(x))
g(x) · d(f(x)) = d(f(x) · g(x)) - f(x) · d(g(x))
Voorbeeld 1:
Primitiveer de functie h(x) = x ln(x)
x · ln(x)dx = ln(x) d(½ x2)
d(½x2) = x
x · ln(x)dx kun je niet primitiveren met de regels die je tot nu toe gehad hebt.
Willem-Jan van der Zanden
12
K.2 Partieel integreren [1]
Voorbeeld 1:
Primitiveer de functie h(x) = x ln(x)
ln(x) d(½ x2) is van de vorm: g(x) · d(f(x)) = d(f(x) · g(x)) - f(x) · d(g(x))
met f(x) = ½ x2 en g(x) = ln(x)
Er geldt nu:
ln(x) d(½ x2)
= d(½ x2 · ln(x)) – ½ x2 · d(ln(x))
= d(½
x2
· ln(x)) – ½
x2
1
· dx
x
= d(½ x2 · ln(x)) – ½ x dx
= d(½ x2 · ln(x)) - d(¼ x2)
= d(½ x2 · ln(x) - (¼ x2))
H(x) = ½ x2 · ln(x) - ¼ x2 + C is de primitieve van de functie h(x) = x ln(x)
Willem-Jan van der Zanden
13
K.2 Partieel integreren [1-Alternatief]
Voor partieel integreren geldt de volgende regel: ∫(f ∙ g)dx = ∫ f dG
Voorbeeld 1 (Alternatief):
Primitiveer de functie h(x) = x ln(x)
∫ x ln(x)dx
= ∫ln(x) d(½ x2)
[f = ½x2 en g = ln(x)]
= ½ x2 · ln(x) – ∫ ½ x2 · d(ln(x))
=½
x2
· ln(x) – ∫ ½
x2
1
· dx
x
= ½ x2 · ln(x) – ∫ ½ x dx
= ½ x2 · ln(x) - ¼ x2
H(x) = ½ x2 · ln(x) - ¼ x2 + C is de primitieve van de functie h(x) = x ln(x)
Willem-Jan van der Zanden
14
K.2 Partieel integreren [1]
Algemeen:
f’(x) · g(x) dx = g(x) df(x) = d(f(x) · g(x)) – f(x) · d(g(x))
Bij het primitiveren van een functie, die het product van twee functies is,
noem je het ene deel f’(x) en het andere deel g(x). Met behulp van de
bovenstaande formule bereken je dan de primitieve. Dit heet partieel
primitiveren. Als je vastloopt, moet je de f’(x) en g(x) andersom kiezen.
Voorbeeld 2:
h(x) = x sin(x)
x sin(x) dx
f’(x) = x en g(x) = sin(x)
= sin(x) d(½x2)
f(x) = ½x2
= d(½x2 · sin(x)) - ½x2 d sin(x)
= d(½x2 · sin(x)) - ½x2 cos(x)dx
Dit geeft geen oplossing. De functie -½x2 cos(x)dx is niet te primitiveren.
Let op dat er nu nog steeds een product is. De x-term is nu niet meer 1e graads
maar 2e graads.
Willem-Jan van der Zanden
15
K.2 Partieel integreren [1]
Voorbeeld 2:
h(x) = x sin(x)
We kiezen nu f’(x) en g(x) andersom
f’(x) = sin(x) en g(x) = x
x sin(x) dx
f(x) = - cos(x)
= x d(-cos(x))
= d(-x cos(x)) - -cos(x) dx
= d(-x cos(x)) + d sin(x)
= d(-x cos(x) + sin(x))
sin(x) is primitieve van cos(x)
H(x) = -x cos(x) + sin(x) + C
Voorbeeld 2 (Alternatief):
h(x) = x sin(x)
∫ x sin(x) dx
= ∫ x d(-cos(x))
= -x cos(x)) - ∫-cos(x) dx
= -x cos(x) + sin(x)
[∫ gdf = f · g - ∫ f dg]
[f = -cos(x) en g = x]
H(x) = -x cos(x) + sin(x) + C
Willem-Jan van der Zanden
16
Opgave 16C:
K.2 Partieel integreren [1]
 x ln ( x )dx 
3
1 2
3
ln
(
x
)
d
2x  



1 2 3
1
x  ln ( x )   x 2d(ln3( x )) 
2
2
1 2 3
1
1
x  ln ( x )   x 2  3ln2( x )  dx 
2
2
x
1 2 3
1
x  ln ( x )   1 x ln2( x )dx 
2
2
1 2 3
3 
x  ln ( x )   ln2( x )d  x 2  
2
4 
1 2 3
3
3
x  ln ( x )  x 2 ln2( x )   x 2d(ln2( x )) 
2
4
4
1 2 3
3
3
1
x  ln ( x )  x 2 ln2( x )   x 2  2ln( x )  dx 
2
4
4
x
1 2 3
3
1
x  ln ( x )  x 2 ln2( x )   1 x ln( x )dx 
2
4
2
Nog een keer partieel integreren
geeft de oplossing.
Willem-Jan van der Zanden
17
K.2 Partieel integreren [2]
Voorbeeld 1:
h(x)
= x2 sin(x) dx
= x2 d(-cos(x))
= d(-cos(x) · x2) + cos(x) dx2
= d(-x2 · cos(x)) + 2x cos(x) dx
[f’(x) = sin(x) en g(x) = x2]
[g(x) · f’(x) = g(x) · d(f(x))]
partieel integreren
De functie x2 sin(x) kon niet op de normale manier geprimitiveerd worden.
Na toepassen van partiële integratie kan de functie 2x cos(x) niet op de normale
manier geprimitiveerd worden. In plaats van een x2 staat er nu wel een 2x.
Wanneer we de functie 2x cos(x) nu nogmaals partieel integreren, zal deze
2x dus een los getal worden. Een functie van de vorm a · sin(x) kan op de normale
manier geprimitiveerd worden.
= d(-x2 · cos(x)) + 2x d sin(x)
= d(-x2 · cos(x)) + d(sin(x) · 2x) – sin(x) d 2x
= d(-x2 · cos(x)) + d(2x sin(x)) - 2sin(x) dx
= d(-x2 · cos(x)) + d(2x sin(x)) + d 2 cos(x)
= d(-x2 · cos(x) + 2x sin(x) + 2 cos(x))
H(x) = -x2 · cos(x) + 2x sin(x) + 2 cos(x) + C
Willem-Jan van der Zanden
18
K.2 Partieel integreren [2-Alternatief]
Voorbeeld 1 (Alternatief)
∫ x2 sin(x) dx
= ∫ x2 d(-cos(x))
= -cos(x) · x2 - ∫ -cos(x) dx2
= -x2 · cos(x) + ∫ 2x cos(x) dx
[∫ gdf = f · g - ∫f dg]
[f = -cos(x) en g = x2]
partieel integreren
De functie x2 sin(x) kon niet op de normale manier geprimitiveerd worden.
Na toepassen van partiële integratie kan de functie 2x cos(x) niet op de normale
manier geprimitiveerd worden. In plaats van een x2 staat er nu wel een 2x.
Wanneer we de functie 2x cos(x) nu nogmaals partieel integreren, zal deze
2x dus een los getal worden. Een functie van de vorm a · sin(x) kan op de normale
manier geprimitiveerd worden.
-x2 · cos(x) + ∫ 2x cos(x) dx
= -x2 · cos(x) + ∫2x d sin(x)
= -x2 · cos(x) + sin(x) · 2x – ∫sin(x) d 2x
= -x2 · cos(x) + 2x sin(x) - ∫ 2sin(x) dx
= -x2 · cos(x) + 2x sin(x) + 2 cos(x)
De primitieve van x2 sin(x) is gelijk aan: -x2 · cos(x) + 2x sin(x) + 2 cos(x) + C
Willem-Jan van der Zanden
19
K.2 Partieel integreren [2]
Voorbeeld 2:
h(x)
= ex sin(x) dx
= ex d(-cos(x))
= d(-cos(x) · ex) + cos(x) dex
= d(-ex · cos(x)) + ex cos(x) dx
[f’(x) = sin(x) en g(x) = ex]
[g(x) · f’(x) = g(x) · d(f(x))]
partieel integreren
De functie ex sin(x) kon niet op de normale manier geprimitiveerd worden.
Na toepassen van partiële integratie kan de functie ex cos(x) ook niet op de normale
manier geprimitiveerd worden. We passen nu nogmaals partiële integratie toe.
= d(-ex · cos(x)) + ex d sin(x)
= d(-ex · cos(x)) + d(sin(x) · ex) – sin(x) d ex
= d(-ex · cos(x)) + d(ex sin(x)) – ex sin(x) dx
= d(-ex · cos(x) + ex sin(x)) – ex sin(x) dx
ex sin(x) dx = d(-ex · cos(x) + ex sin(x))– ex sin(x) dx
2ex sin(x) dx = d(-ex · cos(x) + ex sin(x))
ex sin(x) dx = d(-½ex · cos(x) + ½ex sin(x))
[herschrijven]
H(x) = -½ex · cos(x) + ½ex sin(x) + C
Willem-Jan van der Zanden
20
K.2 Partieel integreren [2-Alternatief]
Voorbeeld 2 (Alternatief):
∫ ex sin(x) dx
= ∫ ex d(-cos(x))
= -cos(x) · ex + ∫ cos(x) dex
= -ex · cos(x) + ∫ ex cos(x) dx
[∫ gdf = f · g - ∫ f dg]
[f = -cos(x) en g = ex]
partieel integreren
De functie ex sin(x) kon niet op de normale manier geprimitiveerd worden.
Na toepassen van partiële integratie kan de functie ex cos(x) ook niet op de normale
manier geprimitiveerd worden. We passen nu nogmaals partiële integratie toe.
= -ex · cos(x) + ∫ ex d sin(x)
= -ex · cos(x) + sin(x) · ex – ∫sin(x) d ex
= -ex · cos(x) + ex sin(x) – ∫ex sin(x) dx
∫ ex sin(x) dx = -ex · cos(x) + ex sin(x)– ∫ex sin(x) dx
∫ 2ex sin(x) dx = -ex · cos(x) + ex sin(x))
∫ ex sin(x) dx = -½ex · cos(x) + ½ex sin(x))
[herschrijven]
De primitieve wordt nu: -½ex · cos(x) + ½ex sin(x) + C
Willem-Jan van der Zanden
21
K.2 Partieel integreren [2]
Opgave 24A:
2
x
(
x

x
)
e
dx 

2
x
(
x

x
)
de


( x 2  x )e x   e x d( x 2  x ) 
( x 2  x )e x   (2x  1)e x dx 
( x 2  x )e x   (2x  1)de x 
( x 2  x )e x  (2x  1)e x   e x d(2x  1) 
( x 2  x )e x  (2x  1)e x   2e x dx 
( x 2  x )e x  (2x  1)e x  2e x
3
2
x
2
x
x
x 3
3
(
x

x
)
e
dx

[(
x

x
)
e

(2
x

1)
e

2
e
]

3
e
e
1

1
Willem-Jan van der Zanden
22
K.3 Cyclometrische functies [1]
Herhaling: In het algemeen geldt: Uit glog(x) = y volgt x = gy
Er bestaat dus een verband tussen een machtsfunctie en een
logaritmische functie.
De grafieken van f(x) = 2x en g(x) = 2log(x) spiegelen in de lijn y = x.
We noemen f en g nu inverse functies.
Willem-Jan van der Zanden
23
K.3 Cyclometrische functies [1]
In het plaatje hiernaast is de blauwe
functie f(x) = tan(x) op het interval
< - ½π, ½π> gespiegeld in de lijn
y = x.
Hierdoor ontstaat de rode inverse
functie g(x) = finv(x) = arctan(x)
= tan-1(x) met Df = |R en
Bf = < - ½π, ½π>
De inverse functie van een goniometrische formule heet een
cyclometrische functie.
Let op:
De inverse functie van tan(x) is dus
niet
Willem-Jan van der Zanden
1
 (tan( x ))1
tan( x )
24
K.3 Cyclometrische functies [1]
Er geldt:
1
heeft als primitieve: F(x)= arctan(x) + C
x2  1
1
De functie g(x) = arctan(x) heeft als afgeleide: g’(x) = 2
x 1
De functie f(x) =
Wanneer je een exacte oplossing moet geven bij een goniometrische functie
kun je onderstaande tabel gebruiken:
hoek
30°
45°
60°
sinus
½
½√2
½√3
cosinus
½√3
½√2
½
tangens
1
1
√3
3 √3
Let op:
Op de GR is de arctan te vinden via 2ND | tan
Willem-Jan van der Zanden
25
K.3 Cyclometrische functies [1]
Voorbeeld 1:
arctan( 1 3 √3) =
arctan (1) =
arctan(√3) =
1

4
1

3
1

6
(of 30°)
want tan( 1 ) =
6
1
3
√3
1
(of 45°)
want tan( 4 ) = 1
(of 60°)
want tan( 1 ) = √3
3
Voorbeeld 2:
Los algebraïsch op arctan(x) = 1. Rond het antwoord af op drie decimalen.
arctan(x) = 1
x = tan(1)
x ≈ 1,557
[arctan(x) is de inverse functie van tan(x)]
Willem-Jan van der Zanden
26
K.3 Cyclometrische functies [1]
Voorbeeld 3:
Differentieer f(x) = arctan(x2 + 1)
f(x) = arctan(x2 + 1) = arctan(u) met u = x2 + 1
f’(x) =
1
 2x 
2
u 1
2x

2
2
( x  1)  1
2x
x 4  2x 2  2
Voorbeeld 4:
Bereken exact
[Gebruik de kettingregel]
1
1
0 x 2  1 dx
1
1
1
1
1
dx

[arctan(
x
)]

arctan(1)

arctan(0)



0


0
0 x 2  1
4
4
Willem-Jan van der Zanden
27
K.3 Cyclometrische functies [2]
Voorbeeld 1:
Primitiveer de functie f(x) =
Stap 1:
Schrijf de functie in de vorm
f (x) 
12
9x 2  4
1
x2  1
12
3
3
1



3

9x 2  4 9 x 2  1  3 2
u2  1 met u =
 2 x  1
4
 
3
x
2
Stap 2:
Primitiveer nu de functie.
3
1
F(x) = 3 · arctan(u) ·
= 2 · arctan( x)
3
2
2
3
1
Let op: Vermenigvuldig de primitieve met 3 vanwege u = x
2
2
Willem-Jan van der Zanden
28
K.3 Cyclometrische functies [2]
Voorbeeld 2:
Primitiveer de functie f(x) = arctan(x)
∫arctan(x)dx
Gebruik: ∫gdf = f ∙ g - ∫ fdg
= x · arctan(x) - ∫x d arctan(x)
1
dx
2
x 1
1
= x · arctan(x) - ∫ 2
d(½x2 )
Gebruik: ∫ (f ∙ g)dx = ∫ f dG
x 1
1
= x · arctan(x) - ∫ ½ · 2 d(x2 +1) Neem x2 + 1 = u
x 1
1
= x · arctan(x) - ∫ ½ ·
du
u
= x · arctan(x) - ∫x ·
= x · arctan(x) - ½ · ln|u|
= x · arctan(x) - ½ · ln(x2 + 1)
Willem-Jan van der Zanden
29
K.3 Cyclometrische functies [2]
Voorbeeld 3:
Bereken exact
2
6
0 x 2  4x  8 dx
Stap 1:
1
Schrijf de functie in de vorm x 2  1
6
6
6



2
2
2
x  4 x  8 x  4 x  4  4 ( x  2)  4
11
11
11
1 1
2
2
2



1
 2
2
1
( x  2)2
2
u 1
2
 1  x  2   1 ( x  1)  1
2
4
 2 
f (x) 
Willem-Jan van der Zanden
met u = ½x - 1
30
K.3 Cyclometrische functies [2]
Voorbeeld 3:
Bereken exact
2
6
0 x 2  4x  8 dx
Stap 2:
Primitiveer nu de functie.
1 1
f (x)  1  2
2 u 1
1
2
F(x) = 1 arctan(u)
1
1
 3 arctan( x  1)
1/2
2
1
Let op:
1
Vermenigvuldig de primitieve met 1 vanwege u = x  1
2
2
Willem-Jan van der Zanden
31
K.3 Cyclometrische functies [2]
Voorbeeld 3:
Bereken exact
2
6
0 x 2  4x  8 dx
Stap 3:
Bereken nu het gevraagde:
2
6
1
2
dx

[3
arctan(
x

1)]
0 
0 x 2  4x  8
2
3 arctan(0) – 3 arctan(-1) = 3 · 0 – 3 · - ¼π = ¾π
Willem-Jan van der Zanden
32
K.3 Cyclometrische functies [3]
De inverse van f(x) = sin(x)
met het domein [-½π, ½π]
is de functie g(x) = arcsin(x)
g(x) = arcsin(x) heeft
domein [-1, 1] en bereik [-½π, ½π]
De functie f(x) =
1
1 x
2
heeft als
primitieve: F(x)= arcsin(x) + C
De functie g(x) = arcsin(x) heeft als
afgeleide: g’(x) =
Willem-Jan van der Zanden
1
1  x2
33
K.3 Cyclometrische functies [3]
De inverse van f(x) = cos(x)
met het domein [0, π]
is de functie g(x) = arccos(x)
g(x) = arcsin(x) heeft
Domein [-1, 1] en bereik [0, π]
De functie f(x) =
1
heeft als
1  x2
primitieve: F(x)= arccos(x) + C
De functie g(x) = arccos(x) heeft als
afgeleide: g’(x) =
Willem-Jan van der Zanden
1
1  x2
34
K.3 Cyclometrische functies [3]
Voorbeeld:
3

Bereken exact
1
3

1
3
1
4 x
2
dx 

1
1
4 x
2
dx
1
1
4(1  x 2 )
4
3
dx 

1
1
1
2 1  x2
4
dx 
3
1 1
1
1
1 

dx  
arcsin  x   
1 2
2
2 1
 2 
1 
2

1
1 x 
2 
1
1 1
1
1
arcsin( 3)  arcsin( )      
2
2 3
6
6
3
Willem-Jan van der Zanden
35
K.4 Breuksplitsen [1]
Voorbeeld 1:
De functie f(x) = 2 +
3
heeft als integraal F(x) = 2x + 3ln|x + 1| + C
x 1
De functie f(x) is te schrijven als één breuk:
2
3
2( x  1)
3
2x  5



x 1
x 1
x 1 x 1
De functie f(x) =
2x  5
valt niet te integreren. Wanneer deze breuk gesplitst
x 1
wordt, kan wel een integraal berekend worden.
Willem-Jan van der Zanden
36
K.4 Breuksplitsen [1]
Voorbeeld 2:
2x  5
Primitiveer de functie f(x) =
x 1
Stap 1:
Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren:
x+1/
2x + 5 \ 2
2x + 2
-------- 3
De functie f(x) =
2 maal x + 1 = 2(x + 1) = 2x + 2
Let op: hierdoor valt de 2x weg!!!
3
2x  5
is nu te schrijven als 2 +
x 1
x 1
Stap 2:
Bereken de primitieven van de functie f(x):
F(x) = 2x + 3ln|x + 1| + C
Willem-Jan van der Zanden
37
K.4 Breuksplitsen [1]
Voorbeeld 3: 4 2
2x  5x  1
dx
Bereken exact 
x 1
1
Stap 1:
Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren:
x+1/
2x2 + 5x + 1 \ 2x
2x2 + 2x
---------------- 3x + 1
2x maal x + 1 = 2x(x + 1) = 2x2 + 2x
Let op: Hierdoor valt de 2x2 weg.
x+1/
2x2 + 5x + 1 \ 2x + 3
2x2 + 2x
---------------- 3x + 1
3x + 3
--------- -2
3 maal x + 1 = 3(x + 1) = 3x + 3
Let op: Hierdoor valt de 3x weg.
Willem-Jan van der Zanden
38
K.4 Breuksplitsen [1]
Voorbeeld 3:
Bereken exact
4
2x 2  5x  1
1 x  1 dx
Stap 1:
Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren:
2x 2  5x  1
De functie f(x) =
kan dus geschreven worden als:
x 1
2
f(x) = 2x + 3 +
x 1
Stap 2:
2
De primitieven van de functie f(x) = 2x + 3 zijn:
x 1
F(x) = x2 + 3x – 2ln|x + 1| + C
Let op: Staartdelen kan alleen als de graad van de teller groter of gelijk is
Dan de graad van de noemer.
Willem-Jan van der Zanden
39
K.4 Breuksplitsen [1]
Voorbeeld 3:
Bereken exact
4
2x 2  5x  1
1 x  1 dx
Stap 3:
Bereken nu de gevraagde integraal:
4
4
2x 2  5x  1
2
dx

2
x

3

dx 
1 x  1
1
x 1
4
 x 2  3x  2ln| x  1| 
1
(42  3  4  2ln| 4  1|)  (12  3 1  2ln|1  1|) 
28  2ln|5| 5  2ln|2|
23  2ln|5| 2ln|2|
Willem-Jan van der Zanden
40
K.4 Breuksplitsen [2]
Voorbeeld 1:
Primitiveer de functie f(x) =
2x  1
x 2  4x  5
Let op:
1) De discriminant van de noemer (x2 + 4x + 5) is kleiner dan 0 (42 – 4 · 1 · 5 = -4).
Je kunt de noemer niet ontbinden in factoren;
1) De afgeleide van x2 + 4x + 5 is 2x + 4;
2) Staartdelen is niet mogelijk.
2x  1
2x  4  5
2x  4
5
dx

dx


 x 2  4x  5  x 2  4x  5  x 2  4x  5 x 2  4x  5dx
2x  4
 x 2  4x  5 dx 
1
2
d
(
x
 x 2  4x  5  4x  5) 
1
 u du ln| u |
ln| x 2  4 x  5|
Door het herschrijven van de functie ontstaan
twee breuken die je kunt primitiveren:
1) Gebruik de substitutiemethode (breuk 1);
2) Primitieve is de natuurlijke log. (breuk 2).
Willem-Jan van der Zanden
41
K.4 Breuksplitsen [2]
Voorbeeld 1:
Primitiveer de functie f(x) =
5
dx 
2
x  4x  5
5

 ( x  2)2  1dx 

2x  1
x 2  4x  5
Herleiden van de breuk zorgt dat je
de tweede breuk kunt primitiveren.
 5arctan( x  2)
De primitieve van de functie f(x) =
2x  1
x 2  4x  5
wordt nu:
F(x) = ln|x2 + 4x + 5| - 5 arctan(x + 2) + C
Willem-Jan van der Zanden
42
K.4 Breuksplitsen [2]
Voorbeeld 2:
Primitiveer de functie f(x) =
2x  1
x 2  4x  4
Let op:
1) De discriminant van de noemer (x2 + 4x + 4) is gelijk aan 0 (42 – 4 · 1 · 4 = 0);
2) De noemer is te schrijven als x2 + 4x + 4 = (x + 2)2;
3) De teller is te schrijven als 2x - 1 = 2x + 4 – 5 = 2(x + 2) – 5;
4) Staartdelen is niet mogelijk.
2x  1
2( x  2)  5
dx

 x 2  4x  4  ( x  2)2 dx 
2
5
2
2

dx

 x  2 ( x  2)2  x  2  5( x  2) dx 
Door het herschrijven van de functie
ontstaan twee breuken die je kunt
primitiveren.
2ln| x  2| 5( x  2)1 
Willem-Jan van der Zanden
43
K.4 Breuksplitsen [3]
Voorbeeld:
Bereken de primitieven van f ( x ) 
x 8
x 8

x 2  x  2 ( x  1)( x  2)
Let op:
1) De discriminant van de noemer (x2 + x -2) is groter dan 0 (12 – 4 · 1 · -2 = 9).
De noemer kan in factoren ontbonden worden;
1) De noemer geschreven worden als x2 + x -2 = (x – 1)(x + 2);
2) Staartdelen is niet mogelijk.
Stap 1:
Merk op dat je deze functie niet kunt primitiveren op de manieren zoals geleerd.
Dit is op te lossen door de functie f als volgt te schrijven: f ( x ) 
Willem-Jan van der Zanden
a
b

x 1 x  2
44
K.4 Breuksplitsen [3]
Stap 1:
a
b


x 1 x  2
a( x  2)
b( x  1)


( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2)
a( x  2)  b( x  1)

( x  1)( x  2)
ax  2a  bx  b

( x  1)( x  2)
(a  b)x  2a  b
( x  1)( x  2)
We kiezen a en b nu zodanig dat (a + b)x + 2a – b gelijk is aan x + 8
Er geldt nu: a + b = 1 en 2a – b = 8
Willem-Jan van der Zanden
45
K.4 Breuksplitsen [3]
Stap 2:
Los het nu ontstane stelsel van vergelijkingen op:
 ab 1

2a  b  8
 
3a  9
a 3
Invullen van a = 3 in a + b = 1 geeft b = -2.
De vergelijking f ( x ) 
f (x) 
x 8
x 8
kan dus geschreven worden als:

2
x  x  2 ( x  1)( x  2)
a
b
3
2


met a = 3 en b = -2. Dit geeft: f ( x ) 
x 1 x  2
x 1 x  2
Willem-Jan van der Zanden
46
K.4 Breuksplitsen [3]
Stap 3:
3
2
f
(
x
)


Primitiveer de functie
x 1 x  2
F(x) = 3 ln|x-1| - 2ln |x+2| + C
Willem-Jan van der Zanden
47
K Samenvatting
• Substitutiemethode integreren:
• Partieel integreren:
∫(f ∙ g)dx = ∫f dG
∫gdf = f ∙ g - ∫ fdg
• De inverse functie van f(x) = tan(x) is g(x) = finv(x) = arctan(x) = tan-1(x) met
Df = |R en Bf = < - ½π, ½π>;
• De inverse functie van een goniometrische formule heet een cyclometrische
functie;
1
• De functie f(x) = 2
heeft als primitieve: F(x)= arctan(x) + C;
x 1
1
• De functie g(x) = arctan(x) heeft als afgeleide: g’(x) = 2
;
x 1
• De inverse van f(x) = sin(x) met het domein [-½π, ½π] is de functie g(x) =
arcsin(x);
• g(x) = arcsin(x) heeft domein [-1, 1] en bereik [-½π, ½π];
•De functie f(x) =
1
1  x2
heeft als primitieve: F(x)= arcsin(x) + C
• De functie g(x) = arcsin(x) heeft als afgeleide: g’(x) =
Willem-Jan van der Zanden
1
1  x2
48
K Samenvatting
• De inverse van f(x) = cos(x) met het domein [0, π] is de functie g(x) = arccos(x);
• g(x) = arccos(x) heeft domein [-1, 1] en bereik [0, π];
• De functie f(x) =
1
heeft als primitieve: F(x)= arccos(x) + C;
1 x
• De functie g(x) = arccos(x) heeft als afgeleide: g’(x) =
2
1
1  x2
• Als in een gebroken functie de teller een gelijke of hogere graad heeft dan de
noemer kun je door een staartdeling deze functie herschrijven;
• Als in een gebroken functie de discriminant van de noemer kleiner is dan 0 kun
je de noemer niet in factoren ontbinden. Probeer de teller te herschrijven zodat
je bij integratie de substitutiemethode kunt gebruiken;
• Als in een gebroken functie de discrimimant van de noemer gelijk is aan 0 heb je
een oplossing van de vorm (x + p)2. Zorg dat ook in de teller (x + p) komt te staan;
• Als in een gebroken functie de discriminant van de noemer groter is dan 0 kun je
deze schrijven in de vorm (x + p)(x + p). Herschrijf de breuk nu naar de vorm:
a
b
f (x) 

x  p x q
Willem-Jan van der Zanden
49