Deel 3: Eerstegraads vergelijkingen

VBC WisA 2014
Deel 3: Eerstegraads vergelijkingen
Vergelijkingen
Je komt in het dagelijks leven heel vaak situaties tegen waar je een onbekend getal moet vinden. Soms
zijn dat heel eenvoudige vragen, zoals: ik heb nog 5 euro in mijn portemonnee, hoeveel zakken snoep
kan ik ervoor kopen als een zak snoep 75 cent kost? Dit doe je waarschijnlijk zonder moeite in je
hoofd, maar je lost eigenlijk een vergelijking daarbij op, namelijk:
aantal zakken = 5 / 0,75
of
aantal zakken x 0,75 = 5
Dit noem je een woordvergelijking omdat je er (nog) geen letters gebruikt om variabelen aan te geven.
Als je nu ‘aantal zakken’ vervangt met ‘x’ (je onbekende), dan krijg je een ‘echte’ algebraische
vergelijking:
x 5
0,75
of
x 75  500
(waarin x het aantal zakken snoep is).
Soms zijn de vergelijkingen moeilijker op te zetten,
 bijvoorbeeld als je uit bepaalde gegevens een
prijs voor een product moet bepalen waarbij de winst maximaal wordt. Maar ook voor deze
problemen gebruik je de algemene regels voor het oplossen van vergelijkingen, namelijk:
1. bepaal je onbekende(n)
2. verzamel informatie met betrekking tot deze onbekenden in (een) vergelijking(en)
3. los de vergelijking(en) op
Eerstegraads vergelijkingen
Een vergelijking heet ver’gelijk’ing omdat er een gelijkteken in staat. Meestal gebruik je de letter ‘x’
om je onbekende in vergelijkingen aan te tonen. Met het gelijkteken druk je uit wat voor informatie je
over je onbekende hebt (bijvoorbeeld: 6 appels gaan in 1 zak, je hebt 36 appels, hoeveel zakken kun je
ervan maken: 1 zak = 6 appels, x zakken = 36 appels , dus 6x = 36).
[let op: gebruik van de letter x kan soms voor verwarring zorgen als je ook een ‘x’ als teken voor het
maalnemen gebruikt; als je ooit twijfels hebt of een x als variabele of als maalteken bedoeld is, vraag
het dan even!]
Een eerstegraads vergelijking heet ‘eerste’graads vergelijking omdat je onbekende (x) er met macht 1
staat – maar omdat x1 = x kan je deze macht ook weglaten (soms staan er wellicht toch machten, maar
die kan je dan bij de oplossing kwijtraken).
Een vergelijking oplossen betekent: een waarde voor alle betrokken letters te vinden waarmee de
vergelijking ‘waar’ wordt. De vergelijking is ‘waar’ als aan allebei de kanten van het gelijkteken
hetzelfde getal staat. Bijvoorbeeld de vergelijking 2x – 2 = 0 wordt ‘waar’ als je voor x een 1 invult
(dan staat er namelijk 0 = 0), maar niet als je voor x een 2 invult (dan staat er namelijk 2 = 0).
Over het algemeen los je een vergelijking op door de vergelijking zodanig te veranderen of te
herleiden dat er aan het einde alleen nog de letter aan de linkerkant van het gelijkteken staat (zie
beneden)
Oplossen van eerstegraads vergelijkingen:
Om een vergelijking zodanig te herleiden dat er uiteindelijk je onbekende in z’n eentje aan de
linkerkant staat, moet je alle losse getallen van deze onbekende weghalen. Je moet daarbij wel altijd
aan allebei de kanten van de vergelijking hetzelfde doen. Denk aan een weegschaal in balans – als je
29
VBC WisA 2014
er aan allebei de kanten hetzelfde weghaalt of bijlegt, dan blijft de weegschaal in balans. Bij
eerstegraads vergelijkingen hoef je alleen optellen/aftrekken en vermenigvuldigen/delen gebruiken:

Aan allebei de kanten hetzelfde getal optellen of aftrekken
Voorbeelden:
x36
x4 3
/ trek 3 af
x 3363
x  (3  3)  3


/ tel 4 op
x  4  4  3 4
of
x  (4  4)  7
x 0  3
x 0  7
x3
x7
Aan allebei de kanten met hetzelfde getal vermenigvuldigen of door hetzelfde getal delen
(let op: je mag niet door 0 delen)

Voorbeelden:
3x  6
/deel door 3
3 x 6

3
3
3
 x 2
3
x 2
of
1
x3
/vermenigvuldig met 4
4
1
4  x  3 4
4
4
x  12
4
x  12
De voorbeelden boven had je wellicht ook nog zonder herleiden op kunnen lossen.
Handig wordt de oplosmethode pas als de vergelijkingen wat ingewikkelder eruit zien. Je moet dan

namelijk stap voor stap werken, waarbij je op 
zich in omgekeerde volgorde van de rekenregels werkt.
Voorbeelden:
(I)
tel 5 op
(dus eerst de -5 weg)
3x  5  4
(II)
3x  5  5  4  5
3x  9
x3
7 x  8  3x  2
7 x  8  3x  3x  2  3x
10x  8  2
10x  8  8  2  8
10x  10
x  1
deel door 3
(dan pas de 3)
tel 3x op
(eerst alle x naar links)
trek 8 af
(dan de +8 weg)
delen door 10 (dan pas de 10)
Algemene formule
Wiskundigen houden ervan om alles in algemeen geldige formules uit te drukken, dus hier een
wiskundige opmerking: door de boven besproken veranderingen kun je elke eerstegraads vergelijking
naar een ‘algemene’ vorm brengen:
(a en b zijn willekeurige getallen, maar a ≠ 0)
ax  b  0
De oplossing is dan altijd x  
b
a
Voorbeelden:
 vergelijking 4 x  20  0 : a = 4 en b = 20,, dus is de oplossing x = -20/4 = -5;
 vergelijking 75x  0 : a = 75 en b = 0, dus is de oplossing x = -0/75 = 0


30
VBC WisA 2014
Ongelijkheden
Bij sommige problemen ben je niet op zoek naar één getal, maar naar een grote groep van getallen –
een voorbeeld: je hebt 8 mensen in een groep en iedereen moet meer dan 4 werkbladeren krijgen,
hoeveel papier heb je dan minimaal nodig? Dit kun je als een ongelijkheid uitdrukken, dan is het
aantal benodigde bladeren (x) namelijk x  8 4 .
Ongelijkheden los je eigenlijk op dezelfde manier op als vergelijkingen, maar met één belangrijk
verschil:
 allebei de kanten van de ongelijkheid, net als met gewone
 Doe altijd hetzelfde aan
vergelijkingen
 Maar: als je allebei de kanten met een negatief getal vermenigvuldigt of door een negatief
getal deelt, dan moet je het ongelijkheidsteken omdraaien.
Voorbeeld:
5  3x  8
/trek 5 af
3x  8  5
3x  3
/deel door (3)
3
3
x
3
3
x  1
Dus je oorspronkelijke ongelijkheid wordt ‘waar’ voor alle getallen die kleiner zijn dan -1.
Je kunt dit checken:
 -2 (een getal kleiner dan -1) voor x in: 5 – (-6) > 8, of 11 > 8, dat klopt (waar);
 vul
 vul -3 (nog een getal kleiner dan -1) voor x in: 5 – (-9) > 8, of 14 > 8, klopt ook (waar);
 vul 0 voor x in: 5 – 0 > 8, of 5 > 8, dat klopt niet (onwaar)
 vul 1 voor x in: 5 – 3 > 8, of 2 > 8, dat klopt niet (onwaar)
 let op: er staat x  1 en niet x  1 , dus je zou verwachten dat ook voor x = -1 de
ongelijkheid onwaar is: 5 – (-3) > 8, of 8 > 8, dat is onwaar, dus het klopt.


Praktische voorbeelden:
1. Een gasbedrijf geeft de afnemers de keuze uit twee tarieven:
Tarief
A
B
Vastrecht per jaar
€ 60,€500,-
Prijs per m3 gas
€ 0,45
€ 0,35
a. Iemand verbruikt x m3 gas per jaar. Dus je onbekende x staat voor verbruik.
Druk de kosten bij tarief A en b uit als een vergelijking met x als onbekende. Druk ook
de kosten per jaar bij tarief B op dezelfde manier uit.
De kosten bij tarief A zijn
De kosten bij tarief B zijn
K A  0,45x  60
K B  0,35x  500
b. Mevrouw Jansen heeft tarief A gekozen. Ze betaalt € 1410,- per jaar.
Hoeveel m3 gas heeft zij dat jaar gebruikt?
Als de kosten KA = € 1410 dan bereken je x als volgt:
31
VBC WisA 2014
0,45x  60  1410
/trek 60 af
0,45x  1410  60
0,45x  1350
/deel door 0,45
x  1350 /0,45
x  3000m 3
Mevrouw Jansen heeft 3000m3 gas gebruikt.
c. De buurman van mevrouw Jansen betaalt met tarief B ook € 1410,- per jaar.
Hoeveel
m3 gas heeft hij gebruikt?

Als de kosten KB = € 1410 dan bereken je x als volgt:
0,35x  500  1410
/trek 500 af
0,35x  1410  500
0,35x  910
/deel door 0,35
x  910 /0,35
x  2600m 3
De buurman van mevrouw Jansen heeft 2600m3 gas gebruikt
d. Hoeveel m3 gas moet je per jaar verbruiken om met tarief B goedkoper uit te zijn dan
met
 tarief A?
Wij willen dat KB<KA, dus stel je de volgende ongelijkheid op:
KB  KA
0,35x  500  0,45x  60
/trek (0,45x) af
0,35x  0,45x  500  60
/trek 500 af
0,35x  0,45x  60  500
0,1x  440
/deel door (0,1)
0,1
440
x
0,1
0,1
x  4400
(let op het omdraaien van het ongelijkteken bij het delen door (-0,1)!!)
Als je meer dan 4400m3 gas per jaar verbruikt ben je met tarief B goedkoper uit.

2. Je moet voor je werk een nieuwe auto kopen. Voor het gekozen model kost de
dieseluitvoering 5 cent per kilometer aan brandstof en de benzine-uitvoering 10 cent. Aan
belasting en verzekering kost de dieseluitvoering 2860 euro per jaar en de benzineuitvoering 1600 euro.
3.
a. Noem het aantal kilometers dat je per jaar rijdt x. Druk voor de dieseluitvoering
de totale kosten uit in x. Doe hetzelfde voor de benzine-uitvoering.
Kosten dieseluitvoering: K D  0,05x  2860
Kosten benzine-uitvoering: K B  0,10 x  1600
b. Hoeveel kilometer moet je per jaar rijden om met de dieseluitvoering voordeliger
te zijn?
Wij willen dat KD<KB, dus stel je de volgende ongelijkheid op:
32
VBC WisA 2014
KD  KB
0,05 x  2860  0,10 x  1600
0,05 x  0,10 x  1600  2860
 0,05 x  1260
x  25200
Als je meer dan 25200 km per jaar rijdt ben je met een dieseluitvoering
goedkoper uit.
33