Logic notes 2008-2009

Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Inleiding Logica
(Vierde kwartiel, 2008-2009)
1
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Inhoud
Wat is logica? .................................................................................................. 3
Aristoteles (384 – 322 vC). ............................................................................. 7
Propositielogica ............................................................................................ 26
Tableaux ....................................................................................................... 39
Correctheid en volledigheid ......................................................................... 47
Natuurlijke deductie ..................................................................................... 50
Propositielogica als calculus ......................................................................... 64
Predicaatlogica ............................................................................................. 67
Natuurlijke deductie ................................................................................. 80
Signaturen, structuren en vervullen ............................................................. 82
Tableaux ....................................................................................................... 87
Predicaatcalculus .......................................................................................... 92
Theorie van een structuur ............................................................................ 94
Nummeren ................................................................................................... 94
Theorie van structuren ................................................................................. 99
Peano rekenkunde en de onvolledigheidsstelling ..................................... 103
Paradox ....................................................................................................... 107
Intensionaliteit ........................................................................................... 110
2
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Wat is logica?
Het woord logica stamt uit het Grieks. Het is afgeleid van “logos”, of,
zoals de Grieken het schreven . De vertaling is niet eenduidig. Het
kan “woord” betekenen, of “gedachte”, “begrip”, “verstand van”,
“idee”, “redenering”, of “principe”. Alle Nederlandse woorden die
eindigen op “-loog” of “-logie” zijn tot dit “logos” terug te voeren
Het begint bij waar en onwaar.
Logica gaat over zaken die je kunt indelen in “waar” (“true”) en “niet
waar” (“false”).
Bijvoorbeeld:
beweringen (die juist zijn of niet).
Maar ook:
overtuigingen (die je hebt, of niet),
verwachtingen (die je hebt of niet),
dingen die je gelooft (of niet).
We onderzoeken consistentie en geldigheid.
We denken na over vragen als:
 Is deze verzameling (van beweringen of overtuigingen of
verwachtingen of dingen die je gelooft of ...) consistent?
 Is deze redenering geldig?
Consistentie
Een verzameling is consistent (Engels idem) als de elementen gelijktijdig
waar kunnen zijn (kunnen worden). Eventueel in een gefantaseerde
wereld.
Een verzameling is inconsistent (Engels idem) als de elementen niet
gelijktijdig waar kunnen zijn (kunnen worden). Zelfs niet in een
gefantaseerde wereld.
Randgevallen
Een lege verzameling is consistent.
Ook een verzameling met één element kan inconsistent zijn. Denk aan
“Niemand is zichzelf.”
Een bewering die op zichzelf inconsistent is, is een contradictie (Engels
contradiction).
Een bewering waarvan de ontkenning een contradictie is, is een
noodzakelijke waarheid (of een tautologie). In het Engels: necessary
truth of tautology.
Een noodzakelijke waarheid is bijvoorbeeld: “1=1”.
3
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Eenduidigheid
Om over consistentie te kunnen oordelen moeten tenminste twee zaken
duidelijk zijn.
Kijk naar de twee zinnen:
“Ik overreed haar.” en
“Zij is nooit door mij overreden.”
Twee vragen doen zich voor:
 Slaan “haar” en “zij” op dezelfde persoon?
 Is “overreed” in de eerste zin de tegenwoordige tijd van overreden
(d.w.z. overhalen, of overtuigen), of is het de verleden tijd van
overrijden (over iemand of iets heen rijden).
Om over consistentie van een verzameling te kunnen oordelen, moeten
gelijkheden en verschillen tussen alle verwijzingen (naar personen,
dingen, gebeurtenissen,...) zijn vastgesteld.
Om over consistentie van een verzameling te kunnen oordelen, moeten
alle dubbelzinnigheden zijn opgelost.
Ambiguïteit
Als een zin (een fragment tekst) met meer dan één betekenis kan
worden gebruikt, spreken we van ambiguïteit (Engels ambiguity,
ambiguous).
Losse woorden kunnen ambigu zijn:, denk aan “overreed” en “bank”.
Daardoor zijn zinnen als:
“Ik overreed haar”
“Ik zie een bank”
ook ambigu.
Deze ambiguïteit in woordbetekenis is lexicale ambiguïteit (Engels:
lexical).
Maar ook als alle woorden eenduidig zijn in hun betekenis kan
ambiguïteit optreden. Dat is structurele ambiguïteit (Engels: structural).
Bijvoorbeeld:
“Ik zag een dief met mijn verrekijker.”
“Op welke universiteit zijn de studenten van plan een masteropleiding
te gaan volgen?”
En in combinatie van structureel en lexicaal:
“Zij zagen het meisje met een verrekijker.”
(dat heeft vier betekenissen)
En wat te denken van (structureel):
“Hoe laat heb je de wekker gezet?”
En tenslotte de zin (structureel, ambiguïteit van referentie):
4
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
“Zij had al bijna 10 minuten met Jolanda staan praten voor zij ontdekte
dat het haar tweelingzus was.”
Zij stond 10 minuten met iemand te praten van wie zij dacht dat het
Jolanda was, maar het was Jolanda’s tweelingzus. Of (meer de
verhaallijn van een soap dan realistisch): Zij stond al 10 minuten met
iemand te praten, ene Jolanda, en toen realiseerde zij zich dat het haar
tweelingzus was (van wie zij direct na de geboorte was gescheiden).
Consistentie en w aarheid
Een consistente verzameling behoeft niet te bestaan uit alleen maar
ware beweringen.
Neem de verzameling
“Socrates is een vrouw.” “Alle vrouwen zijn sterfelijk.” “Socrates is
sterfelijk.”
We stellen vast dat Socrates beide keren naar dezelfde persoon verwijst.
De verzameling is consistent. We kunnen ons namelijk voorstellen dat
deze drie beweringen tegelijkertijd waar zouden zijn.
Terzijde: de verzameling is ook consistent als de naam Socrates voor
twee verschillende entiteiten gebruikt zou zijn.
We weten ook (of menen dat te weten) dat de eerste bewering niet
waar is. Maar we kunnen ons een wereld voorstellen waarin hij wel
waar is. De onwaarheid van de bewering (in de context van onze wereld
en onze kennis) staat de consistentie van de verzameling (de waarheid
in een voorstelbare andere wereld, met andere kennis) niet in de weg.
Contradicties en noodzakelijke waarheden zijn echt anders dan
onwaarheden en waarheden.
“Alle koeien hebben twee staarten” is een onwaarheid, maar nog geen
contradictie.
“Alle koeien hebben uiers” is een waarheid, maar nog geen
noodzakelijke waarheid (hoewel).
Noodzakelijke waarheden en inconsistenties zijn van een meer
fundamentele orde. Waar x ook voor staat, x=x is een noodzakelijke
waarheid.
En welke wereld wij ons ook kunnen verbeelden, de volgende twee
uitspraken zijn samen inconsistent: “Alle koeien zijn wit”, “Er bestaan
wel koeien, maar ze zijn nooit wit”. Immers, een eigenschap (“wit zijn”)
is er, of is er niet. Maar een bewering over een eigenschap kan nooit
gelijktijdig waar en onwaar zijn.
5
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Redeneringen
Een redenering (argument in het Engels) is een samenhangende
verzameling beweringen. Eén van die beweringen is de conclusie
(conclusion), de bewering waar de redenering op uit is. De andere zijn
premissen (premises), zij worden aangevoerd ter ondersteuning van, als
bewijsvoering voor de conclusie.
Redeneringen kunnen in allerlei vormen gepresenteerd worden. Een
reeks losse zinnen kunnen een redenering zijn, maar ook een enkele zin.
De premissen kunnen aan de conclusie voorafgaan, maar het kan ook
omgekeerd.
Een redenering in twee zinnen, eerst een premisse, dan een conclusie, is
bijvoorbeeld:
“De auto staat al uren in de felle zon. Je kunt op de motorkap een eitje
bakken.”
Een redenering in een enkele zin, eerst de conclusie dan de premisse, is
bijvoorbeeld:
“De straten zijn kletsnat omdat het nu al uren regent.”
Nog een redenering in een enkele zin, maar nu gaat de premisse aan de
conclusie vooraf:
“Door de aanhoudende regen staan de tunnels blank.”
En tenslotte een redenering in drie zinnen, eerst de conclusie en dan
twee premissen:
“Zij kon vandaag het gras niet maaien. De zon scheen op het grasveld. Zij
is allergisch voor zonlicht.”
Geldigheid
Geldigheid is een eigenschap van redeneringen.
Een redenering is geldig als de verzameling van alle premissen en de
ontkenning van de conclusie inconsistent is.
De verzameling van premissen plus ontkenning van de conclusie
noemen we het tegenvoorbeeld (counterexample set).
Een inconsistent tegenvoorbeeld wijst op een geldige redenering. Een
consistent tegenvoorbeeld maakt de redenering ongeldig.
Verwar de begrippen geldig en consistent niet met elkaar. Consistentie
slaat op verzamelingen zinnen. Geldigheid op redeneringen. Wie spreekt
van een “consistente redenering” of van een “geldige verzameling
zinnen” heeft de klok wel horen luiden, ….
Pas op met “ontkenning van”. Ontkennen doe je door “niet” te
gebruiken. Maar wel op de goede manier.
Sommige schoenen zijn roze
Sommige schoenen zijn niet roze.
6
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De tweede zin is niet de ontkenning van de eerste (noch omgekeerd).
Bij sommige en alle werkt ontkennen als volgt.
Sommige schoenen zijn roze
Geen enkele schoen is roze
Sommige schoenen zijn niet roze
Alle schoenen zijn wel roze.
Geldigheid en w aarheid van premissen en conclusie
Een geldige redenering kan onware premissen hebben!
Sommige docenten zijn kale mannen. Alle kale mannen dragen een bril.
Sommige docenten dragen een bril.
Een geldige redenering kan een onware conclusie hebben.
Alle koeien hebben twee staarten. Sommige koeien zijn zwartgevlekt.
Sommige tweestaartigen zijn zwartgevlekt.
Als de premissen van een redenering inconsistent zijn, is die
redenering geldig. (Ex absurdo quodlibet)
Dit volgt uit de definitie. Om een redenering te verwerpen is een
consistent tegenvoorbeeld nodig. Als de premissen inconsistent zijn,
bestaat er geen consistent tegenvoorbeeld.
Als de conclusie van een redenering een noodzakelijke waarheid is, is
die redenering geldig.
Om een redenering te verwerpen is een consistent tegenvoorbeeld
nodig. Als de conclusie een noodzakelijke waarheid is, is zijn ontkenning
een contradictie. Dus bestaat er geen consistent tegenvoorbeeld.
Leiden tot en volgen uit
In een geldige redenering volgt de conclusie uit (of zelfs noodzakelijk uit)
de premissen.
In een geldige redenering leiden de premissen (of zelfs leiden
noodzakelijk) tot de conclusie.
Voor leiden tot is de Engelse term: to entail. Voor volgen uit is de
Engelse term to follow (from).
Aristoteles (384 – 322 v.C).
De Griekse filosoof Aristoteles had veel aandacht voor de analyse van
het geldig redeneren. Hij introduceerde en bestudeerde syllogismen.
Drogreden
Een redenering die niet geldig is, is een drogreden. De Engelse term is
fallacy.
7
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De klassieke filosofische interesse begon bij deze drogredenen. Meest
intrigerend zijn de drogredenen die op het eerste gezicht geldige
redeneringen lijken, maar het toch niet zijn. Wat maakt het
onderscheid?
Verbal fallaci es
Verbale drogredenen (Engels: verbal fallacies) zijn redeneringen die
misbruik maken van overeenkomsten in vorm, zonder aandacht voor de
betekenis.
Bloed is rood.
Rood staat voor hartstocht.
Dus:
Bloed staat voor hartstocht?
Niets gaat boven Groningen.
Alles is beter dan niets.
Dus:
Alles is beter dan Groningen?
Material fallacies
Materiële drogredenen (Engels: material fallacies) zijn redeneringen met
premissen die niet ter zake doen (maar die wel relevant lijken).
Er is een enorme variëteit aan materiële drogredenen. We noemen vijf
argumenten uit de sfeer van “Tell Sell” en het tv-debat
(1) Beroep op het oordeel van een autoriteit.
De bekende violiste Janine Jansen zweert bij Bose audio apparatuur1.
(2) Beroep op het meerderheidsstandpunt.
Het programma van de Frogers is niet walgelijk. Moet je de kijkcijfers
eens zien.
(3) Beroep op de “vrije wil”.
Ze hebben ijs in 50 smaken, en jij wilt alleen vanille? Jullie nemen altijd
al vanille. Probeer eens iets anders.
(4) “Chantage”.
Je krijgt een onvoldoende als je zo weinig tijd aan dit vak besteedt.
(5) Belachelijk maken (ad hominem)
Natuurlijk wil ik niet beweren dat een wiskundige als jij te
wereldvreemd is om het praktisch belang van mijn voorstel te
doorgronden. Ik vraag je alleen je mening over mijn voorstel te herzien.
Maar er zijn er meer. Vooral ook in de categorie “valse verbanden”.
1
Dit is een voorbeeld, ik weet van niets.
8
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Denk daarbij bijvoorbeeld aan de vaststelling dat Q uit P volgt (“Als het
morgen regent, komen we niet met de fiets”), met als conclusie dat uit
de ontkenning van P (“als het morgen niet regent”) wel de ontkenning
van Q (“komen we wel met de fiets”) moet volgen.
Of denk aan de vaststelling dat Q uit P volgt, met als conclusie dat dan
ook P uit Q zal volgen. (“Als het regent worden de straten nat. Dus als de
straten nat zijn, regent het.”)
Of aan de redenering waarin wordt vastgesteld dat Q altijd optreedt in
samenhang met P, met als conclusie dat P de oorzaak is van Q.
Dat zijn allemaal materiële drogredenen.
Deducti ve fallacies
Deductieve drogredenen (Engels: deductive fallacies) zijn redeneringen
met redeneerstappen die niet deugen.
Over het deugen van redeneerstappen gaan de volgende secties.
Sluitreden of syllogisme
Aristoteles heeft redeneringen naar hun vorm geordend.
Hij beperkt zich tot redeneringen met twee premissen en een conclusie.
Vervolgens heeft hij in kaart gebracht welke van deze vormen geldige
redeneringen zijn, en welke niet. De ongeldige zijn “deductive fallacies”.
Een geldige redenering volgens Aristoteles is een sluitreden. De meer
gebruikelijke term is syllogisme (Engels: syllogism).
Twee voorbeelden.
Mensen zijn sterfelijk.
Socrates is een mens.
Dus: Socrates is sterfelijk.
Apen zijn harig.
Geen kikker is harig.
Dus: kikkers zijn geen apen.
Geldigheid van deze redeneringen laat zich vertalen (volgens de definitie
van geldigheid) naar de volgende betekenis van het woord “Dus”. “Dus”
staat hier voor: “(zijn) inconsistent met de ontkenning van.”
Let op: Wij gaan de redeneringen volgens Aristoteles analyseren op een
wijze die historisch ongepast is. We gebruiken het woord concept dat bij
Aristoteles niet te vinden is. Wij bespreken de betekenis van concepten
in terminologie (extensioneel en intensioneel) die voortkomt uit
filosofische discussies uit het eind van de 19e eeuw (Frege, Sinn und
Bedeutung). We beroepen ons op een wiskundige aanpak en op een
wiskundig begrip (het begrip verzameling) die ook pas in die periode
(Cantor, 1874) werden geïntroduceerd. Onze analyse is dus een vrije
9
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
interpretatie achteraf van Aristoteles’ bedoelingen, zelf zou hij onze
uiteenzetting in deze termen niet begrepen hebben.
De vormanal yse : bew eringen leggen rel aties tussen concepten.
Premissen en conclusie in Aristoteles’ sluitredenen leggen elk een relatie
tussen twee concepten.
Concepten zijn bijvoorbeeld:
Gerrit, Obama, België, Amsterdam, Arsenal, Bokito, 312,…
Mensen, vrouwen, landen, steden, hockeyclubs, apen, priemgetal,….
Oud, mooi, tropisch, druk, sterk, harig, groter dan 10 …..
Concepten zoals “Obama” (of beter: “Obama zijn”, “being Obama”) en
“312” (of beter: “312 zijn”, “being 312”) karakteriseren een individu.
Concepten zoals “land” en “hockeyclub” (of beter “een land zijn” en
“een hockeyclub zijn”) karakteriseren soorten individuen.
Concepten zoals “sterk” en “harig” (beter: “sterk zijn” en “harig zijn”)
karakteriseren eigenschappen van individuen.
Deze opdeling van concepten dient alleen ter illustratie van de
reikwijdte van het begrip concept. De opdeling zelf is hier geen
onderwerp van discussie.
De vormanal ys e: aantal concepten in een redenering.
In de premissen en conclusie van Aristoteles’ redeneervormen komen in
totaal 3 verschillende concepten voor.
Elk concept verschijnt op twee plaatsen in de redenering.
De twee premissen hebben een concept gemeenschappelijk.
De conclusie heeft een concept gemeenschappelijk met de ene
premisse, en een concept met de andere. De concepten in de conclusie
zijn niet het gemeenschappelijk concept van de premissen.
Dezelfde twee voorbeelden.
Mensen zijn sterfelijk.
Socrates is een mens.
Dus: Socrates is sterfelijk.
De concepten in deze redenering zijn “(een) mens (zijn)”, “sterfelijk
(zijn)” en “Socrates (zijn)”. De premissen hebben “mens” als
gemeenschappelijk concept. De conclusie deelt het concept “sterfelijk”
met de ene premisse, en “Socrates” met de andere
Apen zijn harig.
Geen kikker is harig.
Dus: kikkers zijn geen apen.
De concepten in deze redenering zijn “harig (zijn)”, “(een) aap (zijn)” en
“kikker (zijn)”. De premissen hebben “harig” als gemeenschappelijk
10
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
concept. De conclusie deelt het concept “aap” met de ene premisse, en
“kikker” met de andere
De vormanal yse: extensionaliteit van concepten.
De concepten worden in premissen en conclusie van de sluitredenen
van Aristoteles extensioneel gebruikt.
Met extensioneel (Engels: extensional) bedoelen we dat we het concept
begrijpen als de verzameling van alle dingen die passen in het concept.
Een individueel concept (bijvoorbeeld België) begrijpen we extensioneel
als een verzameling met één element.
Een concept als “aap” begrijpen we als de verzameling van alle apen,
alle dingen die aap zijn; een concept als “tropisch” begrijpen we als de
verzameling van alle dingen die tropisch zijn.
Je kunt je beperken tot “tastbare” concepten. Dat zijn concepten die te
begrijpen zijn als een verzameling met tenminste één aanwijsbaar
element.
Dat standpunt werd en wordt niet door alle filosofen gedeeld. Het
concept “(een) eenhoorn (zijn)” is in die discussie populair. Volgens de
meeste denkers is dat een reëel en zinnig concept. Maar niemand heeft
ooit een eenhoorn gezien. Het is een denkbeeldig dier. Aristoteles zou
het concept daarom niet hebben geaccepteerd (zeggen wij met onze
wijsheid achteraf).
Wij wel. Ons uitgangspunt is: er zijn niet tastbare “lege” concepten.
Terzijde: intensionaliteit .
In de volgende twee beweringen komen concepten voor, maar in deze
context zijn ze niet extensioneel te begrijpen.
Rood is de kleur van de hartstocht.
Hier staat “rood” niet voor de verzameling van alle dingen die rood zijn.
De president van de Verenigde Staten wordt om de vier jaar gekozen.
Hier staat “de president van de Verenigde Staten” niet voor de ene
persoon die president van de Verenigde Staten is (integendeel haast).
Ziek zijn is vervelend
Hier staat “ziek zijn” niet voor de verzameling van alle zieke mensen (en
dieren). Het gaat om het concept zelf.
Concepten zijn niet alleen extensioneel maar ook intensioneel (Engels:
intensional) te begrijpen.
Op de relatie tussen extensioneel en intensioneel (Bedeutung und Sinn,
denotatie en connotatie) komen we later terug.
11
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De vormanal yse: de modes A, E, I, en O
Aristoteles onderscheidt vier soorten elementaire relaties die tussen
twee concepten kunnen worden gelegd. Hij noemt die soorten: A, E, I en
O. We spreken meestal over modes (Engels idem) als we deze vier
soorten bedoelen.
In een redenering volgens Aristoteles hebben de relaties die voorkomen
in de (twee) premissen en in de conclusie elk één van deze modes, maar
niet noodzakelijk alle drie dezelfde.
A
Een relatie tussen concepten X en Y is een A-relatie als hij wordt
uitgedrukt door een “allemaal (wel)” bewering:
Alle X zijn Y.
of “wiskundiger”:
Alle elementen van de verzameling X behoren tot de verzameling Y.
Een “allemaal (wel)” bewering heeft de mode A.
Een A-relatie is universeel en positief: het concept X wordt in zijn geheel
(universeel) omvat (positief) door het concept Y.
E
Een relatie tussen concepten X en Y is een E-relatie als hij wordt
uitgedrukt door een “allemaal niet” bewering:
Geen enkele X is Y.
of “wiskundiger”:
Geen enkel element van de verzameling X behoort tot de verzameling Y.
Een “allemaal niet” bewering heeft de mode E.
Een E-relatie is universeel en negatief: het concept X wordt in zijn geheel
(universeel) buitengesloten (negatief) door het concept Y.
I
Een relatie tussen concepten X en Y is een I-relatie als hij wordt
uitgedrukt door een “sommige (wel)” bewering:
Sommige X zijn Y.
of “wiskundiger”:
Sommige elementen van de verzameling X behoren tot de verzameling
Y.
Een “sommige (wel)” bewering heeft de mode I.
Een I-relatie is particulier en positief: het concept X wordt gedeeltelijk
(particulier) omvat (positief) door het concept Y.
O
12
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Een relatie tussen concepten X en Y is een O-relatie als hij wordt
uitgedrukt door een “sommige niet” bewering:
Sommige X zijn niet Y.
of “wiskundiger”:
Sommige elementen van de verzameling X behoren niet tot de
verzameling Y.
Een “sommige niet” bewering heeft de mode O.
Een O-relatie is particulier en negatief: het concept X wordt gedeeltelijk
(particulier) buitengesloten (negatief) door het concept Y.
De Engelse terminologie voor de beschrijving van de modes en hun
karakteristieken is de volgende:
universal voor universeel, particular voor particulier,
positive of affirmative voor positief en negative voor negatief, en
to include en to exclude voor omvatten en buitensluiten.
De vormanal yse van Aristoteles: voorbeelden van modes
[A] Mensen zijn sterfelijk.
[A] Socrates is een mens.
[A] Socrates is sterfelijk.
[A] Apen zijn harig.
[E] Geen kikker is harig.
[E] Kikkers zijn geen apen.
[I] Sommige mannen zijn ouder dan 50.
[E] Anja is geen vrouw.
[O] Sommige steden zijn geen gorilla.
[A] Obama is president van de VS.
[A] Iedere Obama is president van de VS.
[O] Er zijn vrouwen die geen president zijn van de VS.
[?E] Enschede is geen Hengelo.
De vormanal yse : relatie tussen modes
In het onderstaande plaatje staan de vier modes gegroepeerd aan de
vier hoekpunten van een rechthoek.
Boven staan de universele modes, onder de particuliere modes.
Links staan de positieve modes, rechts staan de negatieve modes.
13
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
positief
negatief
A
E
I
O
universeel
particulier
De gestippelde pijlen tussen A en E (universeel) en tussen I en O
(particulier) verbinden modes die elkaar tegendeel (Engels: contrary)
zijn.
Dus “Alle wel” beweringen (mode A) en “Alle niet” beweringen (mode E)
over dezelfde concepten zijn elkaars tegendeel. Zo zijn ook “Sommige
wel” beweringen (mode I) en “Sommige niet” beweringen (mode O)
over dezelfde concepten elkaars tegendeel.
De diagonale pijlen tussen A en O (universeel positief versus particulier
negatief) en tussen E en I (universeel negatief versus particulier positief)
verbinden modes die met elkaar in tegenspraak zijn. (Engels:
contradiction).
Dus “Alle wel” beweringen (mode A) en “Sommige niet” beweringen
(mode O) over dezelfde concepten spreken elkaar tegen, ze zijn
inconsistent. Zo zijn ook “Sommige wel” beweringen (mode I) en “Alle
niet” beweringen (mode E) over dezelfde concepten met elkaar in
tegenspraak.
De tegendeel en de tegenspraak relatie zijn beide symmetrisch.
Beweringen zijn elkaars tegendeel, of met elkaar in tegenspraak.
Lege concepten en modes
Het is verleidelijk om tegendeel als een speciaal geval van tegenspraak
te zien. Maar dat is onjuist.
In het geval van de particuliere modes I en O is die verleiding ook niet zo
groot. Het is duidelijk dat enerzijds
“Sommige elementen van de verzameling X behoren tot de verzameling
Y”
en anderzijds
14
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
“Sommige elementen van de verzameling X behoren niet tot de
verzameling Y”
tegelijkertijd waar kunnen zijn en elkaar op geen enkele manier
tegenspreken.
Maar nu de universele modes A en E. Kunnen enerzijds
“Alle elementen van de verzameling X behoren tot de verzameling Y”
en
“Alle elementen van de verzameling X behoren niet tot de verzameling
Y”
wel tegelijkertijd waar zijn?
Ja, dat kan. Maar slechts in één uitzonderlijk geval, namelijk het geval
dat X staat voor een leeg concept.
Over de even delers van 27 (“even deler van 27 zijn” is een leeg
concept) kun je alles beweren. Bijvoorbeeld: “Alle even delers van 27
zijn kleiner dan 8”. Maar tegelijkertijd het tegendeel daarvan: “Alle even
delers van 27 zijn groter dan 7”. Volstrekt consistent, je kunt geen
tegenvoorbeeld geven.
De vormanal yse : subject en predicaat
Een bewering in de mode A, E, I of O heeft twee termen.
Een term (Engels idem) is een woord of woordgroep die een concept
aanduidt. (Let op: we gebruiken term hier voor een stukje tekst, een
concept is de betekenis van die tekst.)
De twee termen in de bewering spelen een verschillende rol.
De ene term beschrijft het concept waarvan de elementen worden
gekarakteriseerd. Dus de X in “Alle/Sommige elementen van X... ”. Die
term is het subject (Engels idem).
De andere term beschrijft het concept dat we gebruiken om te
karakteriseren. Dus de Y in “...zijn wel/niet elementen van Y.” Die term
is het predicaat (Engels: predicate).
In de onderstaande voorbeelden zijn de onderstreepte woorden
(woordgroepen) de twee termen die de concepten aanduiden. De
cursieve s en p markeren de subject- en de predicaatterm.
[A] Apens zijn harigp.
[E] Geen kikkers is harigp.
[E] Kikkerss zijn geen apenp.
[I] Sommige mannens zijn ouder dan 50p.
15
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
[E] Anjas is geen vrouwp.
[O] Sommige stedens zijn geen gorillap.
[A] Een eenhoorns is groenp.
[I] Sommige eenhoornss zijn geelp.
[O] Sommige biljartclubss zijn niet toegankelijk voor vrouwenp.
[E] Even getallens zijn niet priemp.
De vormanal yse : major, minor en midden(1)
In een redenering volgens Aristoteles komen drie concepten voor. Dat
hebben we eerder besproken.
De termen voor die concepten hebben een naam. Die naam is
gerelateerd is aan de plaats die het concept in de redenering heeft.
De major term (Engels idem) is het predicaat van de conclusie. Deze
term komt ook in één van de premissen voor.
De minor term (Engels idem) is het subject van de conclusie. Deze term
komt ook in een premisse voor, de andere premisse dan die met de
major term.
De middenterm (Engels: middle term) tenslotte staat voor het concept
dat de twee premissen gemeenschappelijk hebben. De middenterm
komt niet in de conclusie voor.
We bekijken weer de vertrouwde voorbeelden.
Mensen zijn sterfelijk.
Socrates is een mens.
Dus: Socrates is sterfelijk.
De concepten in deze redenering zijn “mens”, “sterfelijk” en “Socrates”.
“Sterfelijk” is de major term, “Socrates” is de minor term, en “mens” is
de middenterm.
Apen zijn harig.
Geen kikker is harig.
Dus: kikkers zijn geen apen.
De concepten in deze redenering zijn “harig”, “aap” en “kikker”. De
“Aap” is de major term, “kikker” is de minor term, en “harig” is de
middenterm.
De vormanal yse van Aristotel es: Major en minor (2)
De premissen van een redenering volgens Aristoteles zijn eenvoudig te
onderscheiden aan de termen die erin voorkomen.
Niet aan de middenterm, want die komt in beide voor.
16
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Maar de ene premisse bevat de major term, en de andere de minor
term.
De major premisse is de premisse die de major term bevat.
De minor premisse is de premisse die de minor term bevat.
Aan de hand van onze standaard voorbeelden illustreren we deze
begrippen als volgt.
Mensen zijn sterfelijk.
Socrates is een mens.
Dus: Socrates is sterfelijk.
“Mensen zijn sterfelijk” is hier de major premisse, “Socrates is een
mens” is de minor premisse.
Apen zijn harig.
Geen kikker is harig.
Dus: kikkers zijn geen apen.
“Apen zijn harig” is hier de major premisse, “Geen kikker is harig” is de
minor premisse
De vormanal yse : de mood
Het is gebruikelijk om de premissen en de conclusie van een redenering
volgens Aristoteles te ordenen: eerst major premisse, dan minor
premisse, dan conclusie. Dat is een afspraak, geen logische
noodzakelijkheid. De redenering wordt niet beter of slechter als de
volgorde wordt veranderd (als voor de lezer/toehoorder maar duidelijk
blijft wat de structuur is).
Bij iedere redenering volgens Aristoteles hoort een rijtje van drie modes,
als volgt opgebouwd: eerst de mode van de Major premisse, dan die van
de minor premisse, dan die van de conclusie.
Dit rijtje van drie modes is de mood (Engels idem) van de redenering.
We kijken weer naar onze standaardvoorbeelden.
Mensen zijn sterfelijk.
Socrates is een mens.
Dus: Socrates is sterfelijk.
Deze redenering heeft de mood “AAA”.
Apen zijn harig.
Geen kikker is harig.
Dus: kikkers zijn geen apen.
Deze redenering heeft de mood “AEE”.
Het wordt tijd voor vier nieuwe (wat minder gebruikelijke) voorbeelden
17
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Republieken zijn geen koninkrijk.
Sommige landen zijn wel een koninkrijk.
Dus: sommige landen zijn geen republiek.
Deze redenering heeft de mood “EIO”
Alle huisdieren zijn lief.
Sommige huisdieren zijn vissen.
Dus: sommige vissen zijn lief.
Deze redenering heeft de mood “AII”
Rond is niet vierkant.
Cirkels zijn rond.
Dus: cirkels zijn niet vierkant.
Deze redenering heeft de mood “EAE”
Een school is geen ziekenhuis.
Een ziekenhuis is een gebouw.
Dus: sommige gebouwen zijn geen school.
Deze redenering heeft de mood “EAO”
De vormanal yse: aantal moods
Een mood is een rijtje van drie modes. Er zijn vier verschillende modes.
Dus er zijn 444 = 64 verschillende moods.
De vormanal yse: de figuur
De middenterm in een redenering volgens Aristoteles komt in beide
premissen voor. In elk van beide premissen kan hij op twee manieren
voorkomen, namelijk als subject of als predicaat.
De figuur (Engels figure) van een redenering volgens Aristoteles is de
manier waarop de middenterm in de twee premissen voorkomt. Er zijn
vier figuren.
In de eerste figuur is de middenterm subject van de major premisse en
predicaat van de minor premisse.
In de tweede figuur is de middenterm predicaat van beide premissen.
In de derde figuur is de middenterm subject van beide premissen.
In de vierde figuur is de middenterm predicaat van de major premisse
en subject van de minor premisse.
We lichten de figuren toe aan de hand van onze nieuwe voorbeelden.
Republieken zijn geen koninkrijk.
Sommige landen zijn wel een koninkrijk.
Dus: sommige landen zijn geen republiek.
18
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De middenterm is “koninkrijk” die tweemaal als predicaat voorkomt. Dit
is een redenering met de tweede figuur.
Alle huisdieren zijn lief.
Sommige huisdieren zijn vissen.
Dus: sommige vissen zijn lief.
De middenterm is “huisdieren” die tweemaal als subject voorkomt. Dit
is een redenering met de derde figuur.
Rond is niet vierkant.
Cirkels zijn rond.
Dus: cirkels zijn niet vierkant.
De middenterm is “rond” die subject is in de major premisse en
predicaat in de minor. Dit is een redenering met de eerste figuur.
Een school is geen ziekenhuis.
Een ziekenhuis is een gebouw.
Dus: sommige gebouwen zijn geen school.
De middenterm is “ziekenhuis” die predicaat is in de major premisse, en
subject in de minor Dit is een redenering met de vierde figuur.
De “oude” voorbeelden (over de sterfelijke Socrates en de kikkers die
geen apen zijn) zijn redeneringen met de eerste en de tweede figuur.
De vormanal yse compleet: 256 schema’s
De structuur van een redenering volgens Aristoteles wordt volledig
bepaald door mood en figuur. Er zijn 64 moods en 4 figuren, dus een
redenering volgens Aristoteles heeft altijd één van 644 = 256 mogelijke
vormen.
Elk van die 256 redeneerschema’s kunnen we presenteren zoals in de
volgende voorbeelden.
De schematische voorstelling van
Rond is niet vierkant.
Cirkels zijn rond.
Dus: cirkels zijn niet vierkant.
is als volgt
Emp
Asm
Esp
In de schematische voorstelling staan premissen en conclusie onder
elkaar. Een horizontale streep scheidt de premissen van de conclusie. De
major premisse staat boven, de minor premisse daaronder.
19
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De conclusie heeft altijd de vorm M s p, waarin M één van de vier
modes is. s en p stellen respectievelijk subject en predicaat van de
conclusie voor, zij zijn de minor term (s) en major term (p).
De voorstelling van de major premisse begint met een mode, gevolgd
door aanduidingen van subject en predicaat, in die volgorde. Eén
daarvan is altijd m, de middenterm, de ander is altijd p, de major term.
Maar op welke positie m en p voorkomen in deze premisse hangt van de
figuur van de redenering af.
De voorstelling van de minor premisse begint ook met een mode,
gevolgd door aanduidingen van subject en predicaat, in die volgorde.
Eén daarvan is altijd m, de middenterm, de ander is altijd s, de minor
term. Maar op welke positie m en s voorkomen in deze premisse hangt
van de figuur van de redenering af.
De schematische voorstelling van
Republieken zijn geen koninkrijk.
Sommige landen zijn wel een koninkrijk.
Dus: sommige landen zijn geen republiek.
is als volgt
Epm
Ism
Osp
De schematische voorstelling van
Alle huisdieren zijn lief.
Sommige huisdieren zijn vissen.
Dus: sommige vissen zijn lief.
is als volgt
Amp
Ims
Isp
De schematische voorstelling van
Een school is geen ziekenhuis.
Een ziekenhuis is een gebouw.
Dus: sommige gebouwen zijn geen school.
is als volgt
Epm
Ams
Osp
20
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Van vorm naar geldigheid : de formel e benadering.
Nu hebben 256 schema’s, waarvan elk een mogelijke redenering
symbolisch weergeeft. Maar het onderwerp van gesprek is in die
schema’s onherkenbaar geworden. In de symbolische voorstelling
kunnen we niet zien welke concepten voorkomen. We zien alleen hoe ze
voorkomen, in welke onderlinge relaties.
Kunnen we nu op basis van deze beschikbare schematische informatie
een uitspraak doen over de geldigheid van de redenering?
Deze benadering van het geldigheidsprobleem noemen we
tegenwoordig een formele benadering. Het woord formeel kan daar
letterlijk begrepen worden. We brengen het probleem terug naar een
vraag over vormen. We abstraheren van wezenlijke inhoud. (Namelijk:
waar gaat die redenering eigenlijk over?)
Let op het volgende.
In de formele benadering gaan we schema’s karakteriseren als “geldig”
en “niet geldig”.
Als we een schema karakteriseren als geldig, dan zijn alle concrete
redeneringen volgens dat schema geldig. Er bestaat geen consistent
tegenvoorbeeld (bestaande uit premissen en ontkenning van de
conclusie) in het schema.
Als we een schema karakteriseren als niet geldig, dan bedoelen we dat
er een tegenvoorbeeld is in het schema. Daarmee zijn niet alle
redeneringen volgens het schema verworpen. Om een individuele
redenering volgens het schema te verwerpen moet de consistentie van
het concrete tegenvoorbeeld worden aangetoond
Van vorm naar geldigheid: manipuleren met verzamelingen
In de manier waarom wij de discussie over de vormanalyse begonnen
ligt al de sleutel tot het geldigheidsonderzoek van redeneerschema’s.
We hebben in een redeneerschema temaken met drie concepten, p, s
en m, die we extensioneel beschouwen, dus als verzamelingen.
We herkennen in het schema vier mogelijke relaties A, E, I en O tussen
concepten, verzamelingen dus, te begrijpen in termen van geheel of
gedeeltelijk omvatten of buitensluiten.
De vraag waar we voor staan is nu:
kunnen we uit een gegeven relatie tussen twee willekeurige
verzamelingen p en m en een tweede gegeven relatie tussen een
willekeurige verzameling s en dezelfde m, concluderen dat een gegeven
relatie tussen s en p bestaat.
De vier relaties tussen verzamelingen v en w zijn de volgende.
De relatie A staat voor geheel omvatten: v  w, of vw = 
21
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De relatie E staat voor geheel buitensluiten: v  w = .
De relatie I staat voor gedeeltelijk omvatten: v  w  .
De relatie O staat voor gedeeltelijk buitensluiten: v  w, of vw  
De drie verzamelingen uit een redenering kunnen we representeren in
een Venndiagram zoals hieronder.
p
s
3
1
2
7
5
6
4
m
Een analyse van het al dan niet geldig zijn van een redeneerschema is
een analyse van het leeg of niet leeg zijn van verenigingen van
deelverzamelingen die in deze representatie met 1 /m 7 genummerd
zijn.
Dat illustreren we aan een paar voorbeelden.
Een geldig schema
We beschouwen
Amp
Ism
Isp
A m p zegt dat mp leeg is, dus 4 en 5 zijn beide leeg.
I s m zegt dat s  m niet leeg is, dus 5 en 7 zijn niet allebei leeg.
Maar dan moet 7 niet leeg zijn.
Dan is s  p dus niet leeg. En dat betekent I s p.
Conclusie: we zullen voor een redenering volgens dit schema nooit een
consistent tegenvoorbeeld kunnen construeren. Dit schema is geldig.
Nog een gel dig schema
We beschouwen
22
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Apm
Esm
Esp
A p m zegt dat pm leeg is, dus 2 en 3 zijn beide leeg.
E s m zegt dat s  m leeg is, dus 5 en 7 zijn beide leeg.
Maar als 3 en 7 beide leeg zijn dan is s  p dus leeg. Dat betekent E s p.
Conclusie: we zullen voor een redenering volgens dit schema nooit een
consistent tegenvoorbeeld kunnen construeren. Dit schema is geldig.
Een schema met een tegenvoorbeeld
We beschouwen
Ipm
Ims
Isp
I p m zegt dat pm niet leeg is, dus 6 en 7 zijn niet beide leeg.
I m s zegt dat ms niet leeg is, dus 5 en 7 zijn niet beide leeg.
Kunnen we nu een tegenvoorbeeld construeren waarin 3 en 7 wel beide
leeg zijn en dus niet I s p.
Dat is eenvoudig. We zoeken twee concepten s en p die elkaar uitsluiten
(niet I s p) en een derde concept dat zowel s als p gedeeltelijk omvat.
Bijvoorbeeld s=”man”, p=”vrouw” en m=”jonger dan 25”.
Sommige vrouwen zijn jonger dan 25
Sommigen jonger dan 25 zijn man
Consistent met: geen enkele man is een vrouw (de ontkenning van
sommige mannen zijn vrouwen).
Conclusie: we kunnen bij dit schema een consistent tegenvoorbeeld
construeren. Dit schema is niet geldig.
Een existentiële drogreden
We beschouwen
Emp
Ams
Osp
E m p zegt dat mp leeg is, dus 6 en 7 zijn beide leeg.
A m s zegt dat ms leeg is, dus 4 en 6 zijn beide leeg.
Kunnen we nu een tegenvoorbeeld construeren waarin 1 en 5 wel beide
leeg zijn en dus niet O s p.
23
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Dat klinkt eenvoudig. We weten immers iets over 4, 6 en 7, en helemaal
niets over 1 en 5. Maar er is een complicatie. In een tegenvoorbeeld
waarin 1 en 5 leeg zijn, terwijl we al weten dat ook 4, 6 en 7 leeg zijn
staat de middenterm m voor een leeg concept. Immers, m is de
vereniging van 4, 5, 6 en 7.
Conclusie: De geldigheid van dit schema hangt samen met de opvatting
over het voorkomen van lege concepten. Maar in abstract wiskundige
zin zijn er tegenvoorbeelden, gebaseerd op lege concepten. Dit schema
is dus niet geldig.
Soms wordt het schema beschouwd als geldig onder voorbehoud van
een niet-lege middenterm. En het gebruik van het schema met een lege
middenterm geldt dan als een existentiële drogreden.
Een geldige redenering in dit schema is:
Een ziekenhuis is geen school.
Een ziekenhuis is een gebouw.
Dus: sommige gebouwen zijn geen school.
Maar pas op, het is geldigheid met een verborgen aanname. In
denkbeeldige werelden waar ziekenhuizen niet bestaan, is er een
tegenvoorbeeld. De geldigheid van de redenering leunt op het niet-leeg
zijn van het concept ziekenhuis.
We hebben in dit schema ook het volgende tegenvoorbeeld.
Geen enkele even deler van 27 is een natuurlijk getal.
Alle even delers van 27 zijn een even getal.
Consistent met: alle even getallen zijn een natuurlijk getal (de
ontkenning van sommige even getallen zijn geen natuurlijk getal).
In het tegenvoorbeeld zien we een lege middenterm: “even deler van
27.” Dat maakt deze redenering tot een existentiële drogreden.
Uni versele premissen en particuliere conclusi es
Er is een uiterlijk kenmerk van het schema uit de vorige sectie dat het
onmiddellijk “verdacht” maakt.
Emp
Ams
Osp
De premissen hebben de modes A en E, beide universeel. De conclusie
heeft de mode O, en die is particulier.
De geldigheid van redeneringen met deze karakteristiek, twee
universele premissen en een particuliere conclusie, leunt altijd op
verborgen aannames over het niet-leeg zijn van één of meer concepten.
24
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Verplaats je immers in de extreme denkbeeldige wereld waarin alle
concepten uit de redenering leeg zijn. In die wereld zijn universele
beweringen over de concepten vrijblijvend. Ze dichten een niet
bestaande eigenschap toe aan niet bestaande individuen. Dat kan altijd,
een dergelijke loze bewering is waar. Vanwege deze “waarheid door
vrijblijvendheid” zijn in die wereld de premissen van de redenering
waar. Maar ook de ontkenning van de conclusie is er waar. De
ontkenning van een particuliere bewering over lege concepten is
immers een (vrijblijvende en dus ware) universele bewering over lege
concepten. We hebben een tegenvoorbeeld.
25
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Propositielogica
Dit hoofdstuk gaat over het construeren van complexe beweringen uit
meer elementaire.
Het is een lange inleiding tot een beschouwing van technieken voor het
vaststellen van de consistentie van verzamelingen van dergelijke
samengestelde beweringen.
Tenslotte kijken we naar de structuur van geldige redeneringen waarin
premissen en conclusie samengestelde beweringen zijn van de soort die
we hier behandelen.
Samengestel de bew eringen, het taalkundig perspectief.
In de formele taalkunde (linguïstiek, Engels linguistics) noemt men een
woord of woordgroep waarmee twee zinsdelen worden verbonden wel
een functor (Engels idem). Het typische voorbeeld van een dergelijke
functor is het werkwoord (Engels: verb) dat in een eenvoudige zin het
onderwerp (Engels: subject) met het lijdend voorwerp (Engels:
object)verbindt.
In de zin “Wij zagen haar” is “zagen” de functor. De structuur “zien(x,y)”
noemen we de matrix (Engels idem) van deze zin.
Terzijde
Niet alle werkwoorden zijn functoren op dezelfde manier als “zien”. Bij
verschillende werkwoorden horen namelijk verschillende matrices. Bij
de zin “Wij fietsen” met de functor “fietsen” hoort de matrix
“fietsen(x)”, en niet “fietsen(x,y)”. Er wordt niet iets gefietst.
Bij de zin “Wij gaven haar een kus” met de functor “gaven” hoort de
matrix “geven(x,y,z)”. Er wordt niet alleen iets gegeven (y), maar het
wordt ook aan iemand (z) gegeven.
Samengestel de zinnen
In de zin “Omdat het al uren regende, stonden de tunnels blank” is
“omdat” een functor. De matrix van de zin is “omdat(,)”.
De zinsdelen  en  die door “omdat” verbonden worden, zijn zelf
zinnen. In het voorbeeld zijn het de zinnen “Het regende al uren” en “De
tunnels stonden blank”.
Afspraak over notatie.
We gebruiken Griekse letters zoals  (phi) en  (psi) en soms ook  (chi)
en  (xi) om beweringen en zinnen mee aan te duiden.
Er zijn vele functoren waarmee zinnen uit zinnen kunnen worden
gebouwd.
Zodra het voorgerecht is afgeruimd, wordt het hoofdgerecht opgediend.
26
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De functor “Zodra” verbindt de zinnen “Het voorgerecht is afgeruimd.”
en “Het hoofdgerecht wordt opgediend.”
Indien het voorgerecht is afgeruimd, kan het hoofdgerecht worden
opgediend.
De functor “Indien” verbindt de zinnen “Het voorgerecht is afgeruimd.”
en “Het hoofdgerecht kan worden opgediend.”
Terwijl het voorgerecht wordt afgeruimd, wordt het hoofdgerecht
opgediend.
De functor “Terwijl” verbindt de zinnen “Het voorgerecht wordt
afgeruimd.” en “Het hoofdgerecht wordt opgediend.”
En zo zijn er nog veel meer. Denk aan voegwoorden als “mits”, “tenzij”,
“hoewel”, “opdat”, “voordat”, “zodat” en ook aan woordcombinaties,
zoals “als … dan”.
Samengestel de z innen, meer voorbeel den
Nog een paar zinssamenstellingen, met iets andere en andersoortige
functoren.
Op het gevaar af dat ik voor gek sta, zal ik bij zijn afscheid een liedje
zingen
De functor “Op het gevaar af dat” verbindt de zinnen “Ik sta voor gek.”
en “Ik zal bij zijn afscheid een liedje zingen.”
Iedereen weet dat ik bij zijn afscheid een liedje zal zingen.
De functor “Iedereen weet dat” creëert een nieuwe zin uit “Ik zal bij zijn
afscheid een liedje zingen.”
Het is niet toegestaan dat bij een afscheid een liedje wordt gezongen.
De functor “Het is niet toegestaan dat” creëert een nieuwe zin uit “Er
wordt bij een afscheid een liedje gezongen.”
Het is niet waar dat ik bij zijn afscheid een liedje heb gezongen.
De functor “Het is niet waar dat” creëert een nieuwe zin uit “Ik heb bij
zijn afscheid een liedje gezongen.”
Samengestel de zinnen, schijnvoorbeel den
We kijken naar de zin:
Wij zagen haar met de verrekijker die zij zelf voor ons gekocht had.
In deze zin kunnen wij twee deelzinnen onderscheiden:
“Wij zagen haar met de verrekijker.”
“Zij zelf had hem voor ons gekocht.”
Toch beschouwen wij het verbindende woord “die”hier niet als een
functor zoals “omdat”en “indien” en alle andere voorbeelden uit de
vorige secties.
27
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Het essentiële verschil is het volgende. In dit voorbeeld is de matrix van
de tweede zin “kopen(x,y)”. De y in deze matrix is echter gefixeerd door
een zinsdeel uit de eerste zin, namelijk “verrekijker”. En die dwingende
relatie maakt dit voorbeeld anders dan de eerdere voorbeelden.
Om het contrast aan te scherpen.
In de zin
Zodra wij het voorgerecht hebben afgeruimd, zullen zij het
hoofdgerecht opdienen
Kunnen “wij”, “voorgerecht”, “zij” en “hoofdgerecht” door willekeurige
andere begrippen worden vervangen, en het resultaat is een zin. “Zodra
de gasten het borduurwerk hebben afgeruimd, zullen de zusjes de
televisie opdienen.” Een rare zin, maar wel een zin.
Maar
Wij zagen haar met de verrekijker die zij zelf voor ons een boek gekocht
had
slaat nergens op.
Samengestel de zinnen uit logisch perspec tief
Logica gaat over consistentie en geldigheid. Alle logica begint bij een
begrip van waarheid.
Logische analyse van samengestelde zinnen begint bij de volgende
vraag: voor welke functoren geldt dat uit de waarheid of onwaarheid
van de samenstellende delen de waarheid of onwaarheid van de
samenstelling afgeleid kan worden, steeds op dezelfde wijze,
onafhankelijk van de context.
Een dergelijke functor zullen wij een logisch connectief of kortweg
connectief noemen (Engels: logical connective).
Modelbenaderi ng
Onze analyse van logische connectieven zullen we plegen aan de hand
van een model. We baseren ons niet op samengestelde beweringen in
natuurlijke taal om ons inzicht in connectieven te ontwikkelen.
In plaats daarvan introduceren we abstracte structuren, die we kunnen
zien als schematische representatie van beweringen. En we
introduceren een formeel wiskundig mechanisme om waarheid en
onwaarheid met dergelijke schematische representaties te associëren.
In het uitwerken van de modelbenadering zullen we wel zo nu en dan
terugkeren naar het niveau van concrete beweringen in natuurlijke taal.
Waarheid
Het waar zijn van een bewering hangt af van de (mogelijk denkbeeldige)
wereld waarin en het tijdstip waarop je de bewering beoordeelt.
28
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Maar we hebben de volgende zekerheid over het waar zijn van een
bewering. Als we de context (wereld en tijdstip) hebben vastgelegd is de
bewering waar of hij is het niet.
Wiskundiger geformuleerd: in een gegeven context kunnen we iedere
bewering “waarderen” met een 1 (hij is waar) of een 0 (hij is niet waar).
De mogelijke waarderingen 0 en 1 noemen we waarheidswaarden.
Dit is ons uitgangspunt. Al valt er wel iets op af te dingen. De volgende
secties plaatsen een paar kritische noten.
Waarheid nader beschouw d: vaagheid
Veel beweringen leggen relaties tussen concepten. Zoals bijvoorbeeld
de bewering: “Het glas is vol”, waarin “het glas zijn” wordt gerelateerd
aan “vol zijn”.
Als we de context hebben vastgesteld, kunnen we het unieke individu
aanwijzen dat in die context het glas is. Maar kunnen we ook eenduidig
aanwijzen wat de verzameling dingen is die vol zijn?
Over de objectiviteit van dat laatste kun je twisten. Het is goed
verdedigbaar dat “vol zijn” een vaag begrip is. De verzameling dingen
die vol zijn kent een “grijs gebied”. In dat grijze gebied zijn dingen zeer
goed gevuld, maar of ze “vol” genoemd kunnen worden is twijfelachtig.
Er is een benadering van waarheid die beweringen niet waardeert met
een 1 (waar) of een 0 (niet waar) maar met een “rapportcijfer” tussen 0
en 1. De 0 staat voor absoluut onwaarheid, en de 1 voor volmaakte
waarheid. De 0,5 is twijfelachtig, de 0,2 is zwaar onvoldoende, en de 0,7
is ruim voldoende, maar zeker niet volmaakt.
In die benadering is een grijs gebied, waarin het onduidelijk is of het glas
nu vol is of toch niet, eenvoudig formeel weer te geven. De bijna volheid
krijgt een hoog rapportcijfer, maar niet een 1.
En er zijn veel concepten die vergelijkbare grijze gebieden kennen. Denk
aan: “warm zijn”, “lang zijn”, “jong zijn”.
Logica gebaseerd op het waarderen van beweringen met een
rapportcijfer in het interval [0,1] heet “Fuzzy Logic”. In fuzzy logic zijn
alle getallen in het interval [0,1] waarheidswaarden.
Waarheid nader beschouw d: construeer baarheid
Ons uitgangspunt is: in een gegeven context kunnen we iedere bewering
“waarderen” met een 1 (hij is waar) of een 0 (hij is niet waar).
Maar hoe moet hier “kunnen we waarderen” gelezen worden?
Je kunt het standpunt aanhangen dat een effectieve
waarderingsprocedure nodig is om iets te kunnen waarderen. Dan vind
je dus dat de waardering “geconstrueerd” moet kunnen worden. Dat
29
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
heeft consequenties. Hebben we wel voor iedere bewering in iedere
context een waarderingsprocedure om de juiste waardering te
construeren?
Het is zeer goed verdedigbaar dat we dergelijke procedures niet voor
alle beweringen hebben en ook nooit zullen hebben. Er zullen immers
altijd onbewezen stellingen zijn. Er zullen altijd beweringen zijn waarvan
we (nog) niet hebben ingezien hoe we aan de correcte waardering
moeten komen.
Logica gebaseerd op uitsluitend “constructieve” waarderingen van
beweringen met een 0 of een 1 heet “Intuïtionistische logica”.
Begrijp dit standpunt goed. De constructieve opvatting introduceert niet
een derde mogelijke waarheidswaarde, zoiets als: “?”. Intuïtionistische
logica heeft dezelfde waarheidswaarden als onze standaard logica. Ook
in de constructieve benadering waardeer je beweringen met 0 of 1. Het
gaat in de constructieve opvatting om de fundamentele twijfels aan het
altijd kunnen construeren van de correcte waardering.
Het feit dat wij die twijfels naast ons neer leggen, is een benadering die
Platonisch heet. Want wij weten natuurlijk ook wel van ons zelf dat wij
niet echt zelf van elke bewering kunnen vaststellen of hij een 0 of een 1
verdient in een gegeven context. Maar wij denken vanuit een
geïdealiseerd beeld, dat zijn oorsprong vindt bij de Griekse filosoof
Plato. Hij formuleerde de overtuiging dat de juiste waardering voor
iedere bewering wel degelijk een gegeven is, ook al is die waardering bij
ons niet bekend, en zelfs al hebben we geen procedure voorhanden om
hem te vinden.
Propositievariabelen
We keren terug naar het plan dat we hebben aangekondigd. We gaan
beweringen en hun waarheid (in Platonische zin begrepen) modelleren.
De fundamentele bouwsteen voor de schematische representatie van
beweringen is de propositievariabele (Engels: propositional variable).
Het domein voor de interpretatie van propositievariabelen zijn atomaire
beweringen (Engels: atomic propositions) in een context.
Atomair zoals wij het hier gebruiken, betekent dat de bewering niet is
opgebouwd uit andere beweringen met behulp van connectieven.
We gebruiken letters p, q en dergelijke om propositievariabelen te
noteren.
Interpretatie van propositievariabelen
Een voorkomen van een propositievariabele staat voor een niet
samengestelde uitspraak in een context.
30
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Dus p kan staan voor “het regent” met als context de Sahara, in de
brandende zon.
Maar p kan ook staan voor “het is ijskoud”met als context de
Noordpool, midden januari.
In wiskundige zin doen alle details waar p voor kan staan er eigenlijk niet
toe. De essentie is, dat p staat voor 0 (niet waar) of 1 (waar).
In wiskundige zin interpreteren we propositievariabelen daarom
middels waarderingen (Engels: valuations). Een waardering voor een
verzameling V van propositievariabelen is een functie v:V  {0,1}.
De waardering v associeert met iedere pV een waarheidswaarde
v(p){0,1}.
Waarheidstafels
In de wereld van waarheidswaarden bestaan ook waarheidsfuncties
De volgende tabellen representeren vijf waarheidsfuncties (Engels: truth
functions).
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
De tabellen zelf noemen we waarheidtafels (Engels: truth tables).
Links van de verticale strepen staan rij voor rij alle combinaties van
waarheidswaarden die deze waarheidsfuncties als argument kunnen
verwachten.
Rechts van de verticale strepen staan de resultaten die de
waarheidsfuncties bij de verschillende argumenten opleveren.
De eerste twee waarheidsfuncties hebben één argument, dat 0 of 1 kan
zijn, één van de twee waarheidswaarden.
De eerste waarheidsfunctie levert als resultaat de tegenspraak van zijn
argument op, de tweede waarheidsfunctie levert 0, ongeacht zijn
argument.
De laatste drie waarheidsfuncties hebben twee argumenten, en dus vier
mogelijke combinaties van argumentwaarden: (0,0), (0,1), (1,0) en (1,1).
De eerste van deze laatste drie levert 0 als één van de argumenten 0 is,
of beide. Alleen bij twee enen als argument is het resultaat ook 1. De
volgende levert 0 op als het eerste argument 1 is en het tweede 0, in
alle andere gevallen is het resultaat een 1. De laatste levert een 1 op als
de argumenten verschillend zijn, zijn ze gelijk dan is het resultaat 0.
31
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Waarheidstafels en waarheidsfuncties zijn essentieel voor de
interpretatie van connectieven.
Funct oren in het model van samengestelde bew eringen
Een samengestelde bewering is uit één of (meestal) twee beweringen
gevormd met behulp van een functor.
In ons model voor samengestelde beweringen zullen we structuren zien
verschijnen zoals de volgende:
p pq, (pq) r, p (q), …
In deze structuurvoorbeelden zijn de symbolen  en  gebruikt om
functoren te noteren.
De functor genoteerd als  is een éénplaatsige functor, die uit één
bewering een nieuwe bewering creëert. Je kunt daarbij denken aan
mogelijke interpretaties als “Ik weet dat…” of “Het is niet waar dat…”.
De functor genoteerd als  is een tweeplaatsige functor, die uit twee
beweringen een nieuwe bewering maakt. Denk daarbij aan
interpretaties als “…omdat…” of “…en…”.
Wij zullen alleen functoren modelleren die connectieven zijn. Dus
interpretaties als “Ik weet dat …” en “…omdat…” passen niet bij ons
model.
De symbolen  en  zijn hier gebruikt om de structuur van
“geschematiseerde beweringen” te laten zien. We zullen uiteindelijk
met vier connectieven werken, die we in onze schema’s met de
volgende symbolen gaan aanduiden:
 (éénplaatsig) en
, , en  (tweeplaatsig).
De precieze introductie van deze connectieven volgt hierna.
Propositionele formules
De schematische voorstelling van samengestelde beweringen is de
propositionele formule (Engels: propositional formula).
Een propositionele formule is een structuur opgebouwd uit
propositievariabelen en logische operatoren.
De logische operatoren (Engels: logical operators) zijn:
 (éénplaatsig) en
, , en  (tweeplaatsig).
De regels die de structuur van propositionele formules bepalen, zijn:
Iedere propositionele variabele is op zichzelf een propositionele
formule.
32
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Als  een logische formule is, dan is () ook een logische formule.
Als  en  logische formules zijn, dan zijn (), () en () ook
logische formules.
Om de samengestelde formules uit te kunnen spreken, hebben we
woorden nodig die de logische operatoren aanduiden.
De aanduiding van de operatoren is:
 : niet (Engels: not),
 : en (Engels: and),
 : of (Engels: or),
 : impliceert, als … dan … (Engels: implies).
Dat die woorden goed gekozen zijn, zal spoedig blijken.
Interpretatie van propositionele formul es
Een propositionele formule  staat voor een (samengestelde) bewering
in een context. De propositievariabelen in  staan voor de
samenstellende atomaire beweringen in die context.
Dus als p staat voor “het regent” met als context de Sahara, in de
brandende zon, en q staat voor “het is ijskoud” in dezelfde context, dan
kunnen we de volgende samenstellingen hebben (een paar
voorbeelden):
pq: het regent of het is ijskoud
qp: het is ijskoud en het regent niet
pq : als het regent is het ijskoud,
alle drie in de context van de Sahara in de brandende zon.
Maar, zoals al bij propositievariabelen opgemerkt, in wiskundige zin
doen alle details waar p en q voor kunnen staan er eigenlijk niet toe.
Essentieel zijn twee zaken:
 Dat er een waardering is, die aan de propositievariabelen in de
formule een 0 (niet waar) of een 1 (waar) toekent.
 Dat er voor iedere logische operator een waarheidsfunctie is,
waarmee uit de waarheidswaarde voor de samenstellende delen
een waarheidswaarde voor het geheel kan worden bepaald.
In wiskundige zin interpreteren we de logische operatoren dus als
waarheidsfuncties.
Daarbij gaat het dan om vier specifieke waarheidsfuncties, die door de
volgende vier tabellen worden gerepresenteerd.
p
0
1
p
1
0
p
0
0
1
q
0
1
0
pq
0
0
0
p
0
0
1
q
0
1
0
33
pq
0
1
1
p
0
0
1
q
0
1
0
pq
1
1
0
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Connectieven, logi sche operat oren, w aarheidsfuncties
We begonnen met de een introductie van het begrip connectief die de
volgende strekking had:
Een connectief creëert uit één of twee beweringen een nieuwe
bewering, en wel zo dat in iedere context de waarheid van de
gecreëerde nieuwe bewering steeds op dezelfde wijze te bepalen is uit
de waarheid van de oorspronkelijke bewering.
Daar staat met de nodige woorden dat bij ieder connectief een vaste
waarheidsfunctie hoort, onafhankelijk van context.
Met de afspraak dat wij de logische operatoren interpreteren als de
waarheidsfuncties in de bovenstaande waarheidstafels, leggen wij vast
dat de logische operatoren vier connectieven modelleren. We zullen de
logische operatoren soms ook connectieven noemen.
In de volgende secties onderzoeken we de relatie van het beschreven
model van propositielogische formules met de werkelijkheid van (het
gebruik van) natuurlijke taal.
34
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De ont kenni ng en de conjunctie, de logische operatoren  en 
De formule  modelleert de ontkenning (Engels: negation) van de
bewering gemodelleerd door . De waarheid van een bewering in een
context en de waarheid van zijn ontkenning in die zelfde context zijn
tegengesteld. De waarheidsfunctie behorend bij  modelleert dat
correct.
De formule  modelleert de conjunctie (Engels: conjunction) van de
beweringen gemodelleerd door  en  afzonderlijk. De conjunctie van
twee beweringen is de bewering die uitdrukt dat beide gelijktijdig het
geval zijn. Dat doen we met het woord en in natuurlijke taal. De
waarheidsfunctie behorend bij  modelleert dat “gelijktijdig het geval
zijn” correct.
De disjunctie, de logische operator 
De formule  modelleert de disjunctie (Engels: disjunction) van de
beweringen gemodelleerd door  en  afzonderlijk. De disjunctie van
twee beweringen is de bewering die uitdrukt dat tenminste één van
beide het geval is. Dat associëren we met het woord of in natuurlijke
taal. De waarheidsfunctie behorend bij  modelleert correct dat
“tenminste één van beide het geval is”.
Maar het woord of wordt in natuurlijke taal meestal niet gebruikt als de
logische operator die de disjunctie modelleert.
Als iemand zegt “Ik neem koffie of ik neem thee” dan verwachten we
niet dat hij koffie en thee gaat bestellen. Als iemand van zijn pasgeboren
baby zegt: “Het is een jongen of het is een meisje” dan kijken we
verbaasd op. Een ware bewering, maar wat bedoel je nu eigenlijk. En als
een vraag wordt gesteld, zoals “wil je koffie of wil je thee?” of “Is het
een jongen of is het een meisje?” dan verwacht je al helemaal niet dat
er “Ja” geantwoord zal worden.
In een gesprek tellen bedoelingen waarmee beweringen gedaan worden
meer dan de waarheid in logische zin. Het alledaagse gebruik van het
woord “of” is meestal bedoeld om beschikbare alternatieven op te
sommen, en tegelijkertijd aarzeling of twijfel uit te drukken over de
vraag wat het juiste of gewenste of van toepassing zijnde alternatief is.
Het alledaagse gebruik van of is verwant aan het logische. Maar het
logische gebruik heeft een beperktere strekking. Het logische gebruik
van “of” is ook goed in negatieve termen te verklaren. In negatieve
termen is de logische duiding van “Ik neem koffie of ik neem thee” is:
“Het is in de huidige situatie niet zo dat ik geen koffie neem en ook geen
thee.”
35
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De implicatie, de logische operator 
De formule  modelleert de implicatie (Engels: implication): de
bewering gemodelleerd door  impliceert de bewering gemodelleerd
door . De bewering dat de antecedent (Engels: condition) de
consequent (Engels consequence) impliceert, drukt uit dat het in de
gegeven context niet zo is dat de antecedent het geval is, en de
consequent tegelijkertijd niet. We associëren de implicatie met de
woordcombinatie als..dan... in natuurlijke taal. De waarheidsfunctie
behorend bij  modelleert correct dat “het in de gegeven context niet
zo is dat de antecedent het geval is en de consequent niet”.
Maar de woorden als...dan... worden in natuurlijke taal anders beleefd
dan als uitdrukking van de logische implicatie. Er is bovendien een
conversationeel begrip van “implicatie” en “impliceren” met een andere
strekking dan de logische implicatie.
We beschouwen de bewering: “Als ik nu zing, zijn de straten nat”. Die is
vreemd. Er is geen verband tussen zingen en natte straten.
In logische zin, is het een bewering die waar is in ieder context waarin ik
niet zing. In die context is het niet zo dat ik tegelijkertijd zing, terwijl de
straten niet nat zijn. Om de simpele reden dat ik niet zing.
Nu de bewering: “Als het nu regent, zijn de straten nat”. Die is niet
vreemd. Er is een oorzakelijk verband tussen regen en natte straten, en
we herkennen dit als een ware bewering. Ook in logische zin is hij waar.
Zelfs in een kurkdroge nederzetting in de brandende zon in de woestijn.
Ook daar is het niet het geval dat het nu regent, terwijl de straten niet
nat zijn. Om de simpele reden dat het er nu niet regent.
In het dagelijks taalgebruik is er een verband tussen antecedent en
consequent van een als...dan... constructie. Dat kan een oorzakelijk
verband zijn, denk aan: “Als het sneeuwt worden de daken wit”. Het kan
ook een voorwaardelijk verband zijn: “Als je vandaag niet achter je
computer gaat zitten, kopen we morgen voor jou een nieuwe
spijkerbroek.” Meestal is er ook een tijdsvolgorde: we denken aan de
antecedent als voorafgaand aan de consequent.
Oorzakelijke en voorwaardelijke samenhang, noch tijdsvolgorde, zijn bij
de logische implicatie aan de orde.
Implicatie in het alledaagse taalgebruik
In het alledaagse taalgebruik komen we het begrip implicatie op nog
heel andere wijze tegen.
“Ondanks zijn Zwitserse afkomst, gaat hij naar de zeevaartschool.” Met
deze uitspraak doet een spreker drie beweringen. “Zijn afkomst is
Zwitsers”, “Hij gaat naar de zeevaartschool” en “Het is tegenstrijdig om
Zwitser te zijn en naar de zeevaartschool te gaan.” De eerste twee zijn
zichtbaar in de bewering, de derde wordt geïmpliceerd door het gebruik
36
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
van het woord “Ondanks”. Maar deze implicatie is niet een logische
implicatie. Bij een logische implicatie kan de consequent alleen onwaar
zijn wanneer de antecedent dat ook is. Maar in dit geval kan de
antecedent waar zijn (“Ondanks zijn Zwitserse afkomst, gaat hij naar de
zeevaartschool”), terwijl de geïmpliceerde tegenstrijdigheid niet hoeft
te bestaan, dus onwaar is (“Het is helemaal niet tegenstrijdig om Zwitser
te zijn en naar de zeevaartschool te gaan”.) Voor deze “geïmpliceerde”
beweringen, die in logische zin toch niet een consequent zijn van de
oorspronkelijke bewering, gebruiken we de term (conventional)
implicature” (H.P. Grice, "Logic and conversation" in his Studies in the
Way of Words; also in ed. Frank Jackson, Conditionals.)
Een andere verschijningsvorm van de zelfde implicatie treffen we in een
zin als: “Sommige mannen zijn mensen.” De uitspraak impliceert een
strijdigheid tussen man zijn en mens zijn. Want anders had de spreker
wel gezegd: “Alle mannen zijn mensen”. Of niets.
Er bestaan nog andere vormen van implicature dan de conventional
implicature, die geassocieerd is met het gebruik van een bepaald woord
(zoals ondanks, of hoewel, of sommige i.p.v. alle).
Denk aan de bewering: “Spelling uitstekend!” als enige terugkoppeling
van de docent op een ingeleverd verslag. In die uitspraak, in die context,
is een consequent verborgen, namelijk: “De inhoud is minder goed.” Dat
is niet een logische consequent. Maar het is wel een bewering die in het
normale taalgebruik als geïmpliceerd wordt ervaren.” Dit noemen we
een conversational implicature. Niet gekoppeld aan een uiterlijk
kenmerk van de bewering, maar aan het feit dat die bewering in die
context gedaan wordt.
Terug naar de logische thema’ s
We zijn onze analyse van samengestelde beweringen begonnen met
functoren om samenstellingen te vormen, en we zijn geëindigd met vier
logische operatoren als model voor connectieven met
waarheidsfuncties.
We hebben gezien dat het model een heel beperkte strekking heeft.
Veel woordgebruik in alledaagse taal draagt betekenis die niet in het
logische model is terug te vinden. Het model is alleen een goed model
voor formeel, precies, wetenschappelijk, wiskundig taalgebruik.
Nu we het model hebben ontwikkeld, keren we terug naar de
oorspronkelijke thema’s van de logica. We gaan onderzoeken hoe
consistentie van een verzameling beweringen kan worden vastgesteld,
hoe we de geldigheid van redeneringen vaststellen, en uiteindelijk hoe
we geldige redeneringen kunnen opbouwen.
37
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Nogmaals w aarheidstafels
We hebben waarheidstafels geïntroduceerd om de werking van
waarheidsfuncties zichtbaar te maken. We gebruiken (uitgebreide)
waarheidstafels om het gedrag van formules bij verschillende
waarderingen zichtbaar te maken.
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
pr rq pq (rq)(pq)
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
(pr) ((rq) (pq))
1
1
1
1
1
1
1
1
De eerste drie kolommen laten alle mogelijke waarderingen voor de
propositievariabelen p, q en r zien.
In de volgende drie kolommen zien we regel voor regel de
waarheid/onwaarheid van drie implicaties pr, rq en pq
weergegeven (met 1 en 0 respectievelijk), behorend bij de waardering
uit de eerste drie kolomen.
In de zevende kolom zien we de waarheid/onwaarheid van
(rq)(pq), zoals die volgt uit de waarheid/onwaarheid van , rq
en pq in de voorafgaande twee kolommen.
In de laatste kolom zijn de vierde (pr) en de voorgaande kolom
((rq)(pq)) gecombineerd tot de waarheid/onwaarheid van
(pr) ((rq) (pq)), uitgedrukt in 0 en 1.
We zien dat (pr) ((rq) (pq)) altijd waar is, ongeacht de
waardering van de variabelen die in de formule voorkomen.
Anders gezegd: welke beweringen in welke context p, q, en r ook
modelleren, de bewering gemodelleerd in de formule (pr) ((rq)
(pq)) is een ware bewering in die context.
We noemen de tabel hierboven de waarheidstafel voor (pr)
((rq) (pq)). De “tussenkolommen” 4 t/m 7 mogen weggelaten
worden (allemaal, of sommige).
Consistentie in het propositielogische model
We hebben de consistentie van een verzameling beweringen
gedefinieerd als: “het bestaan van een context waarin alle beweringen
uit de verzameling waar zijn, is voorstelbaar.”
We vertalen deze definitie als volgt naar het propositielogische model.
38
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Een verzameling formules  is consistent als er tenminste één
waardering is van de propositievariabelen die voorkomen in de formules
van  waaronder alle formules in  waar zijn.
Of anders gezegd: als we de waarheidstafels voor alle formules uit 
samenvoegen, dan is daarin tenminste één rij waarin voor iedere
formule uit  een 1 staat.
Tableaux
Consistentieonderzoek
We hebben een verzameling propositielogische formules . Iedere 
modelleert een (samengestelde) bewering;  staat voor een
verzameling beweringen. Hoe bepalen we of  consistent is?
Per definitie kan dat door de waarheidtafels te inspecteren. Daar komen
we later op terug.
De benadering die wij kiezen is een reductiebenadering. We gaan op
zoek naar regels met de volgende vorm:
 als de verzameling  consistent is, dan moet ook de verzameling 
consistent zijn, of
 als de verzameling  consistent is, dan moet ook tenminste één van
de verzamelingen 1 of 2 consistent zijn.
Zulke regels gebruiken we om de consistentievraag voor  te vervangen
door een eenvoudiger consistentievraag voor , of voor één van 1 of
2.
Het is wel heel belangrijk dat de nieuwe consistentievraag inderdaad
eenvoudiger is dan de oorspronkelijke, anders schiet deze
reductiebenadering niet op. Wij zullen die vereenvoudiging vinden in de
complexiteit van de samengestelde formules in , , 1 en 2.
In , 1 en 2 vinden we alle formules uit  terug, op één na, en die ene
is vervangen door een of twee eenvoudiger formules, met minder
logische operatoren.
Een voorbeeld van c onsist entieonderzoek
We hebben een verzameling met twee formules:
 = {p  r, (r  q)  (p  q)}
Is deze verzameling consistent? Kunnen wij een waardering vinden
zodat alle beweringen in deze verzameling gelijktijdig waar zijn?
Als  consistent is, dan is ook
1 = {p  r, r  q, (p  q)} consistent.
Immers, een conjunctie is waar als beide leden waar zijn.
39
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Als 1 deze consistent is, dan moet ook
2 = {pr, r  q, p, q)} consistent zijn. Immers, als p  q niet waar is,
zijn p en q gelijktijdig het geval.
Als 2 consistent is, dan is tenminste één van de volgende twee
3a = {p, r  q, p, q } of 3b = {r, (r  q), p, q } consistent. Immers,
als p  r waar is, is r waar of p is niet waar, het kan niet zo zijn dat
gelijktijdig p waar is en r niet.
Maar in 3a komt zowel p voor als zijn ontkenning p. Die verzameling
is dus niet consistent, onder elke waardering is één van de twee p of p
niet waar.
We volgen het andere spoor. Als 3b = {r, (r  q), p, q } consistent is,
dan is tenminste één van de twee
4ba = {r, r , p, q } of 4bb = {r, q, p, q } consistent.
Voor beide geldt hetzelfde als voor 3a: ze zijn niet consistent, want er
komt een bewering in voor (r in de ene, q in de andere) samen met zijn
ontkenning (r respectievelijk q).
Maar dan lopen alle sporen dood. De oorspronkelijke verzameling
 = {p  r, (r  q)  (p  q)} is niet consistent.
40
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De “boomvoorstelli ng” van dit consistentieonderzoek
Het is gebruikelijk de “sporen” van het consistentieonderzoek zoals we
het zojuist hebben uitgevoerd voor de te stellen in een plaatje zoals
hieronder.
Bovenaan links van de verticale streep staan de elementen van de
verzameling die we onderzoeken.
Iedere volgende “laag”, en er zijn er vier, correspondeert met een
reductie.
Onderstreepte formules zijn formules die in de loop van het
reductieproces verdwijnen, het nummer bij de onderstreping geeft aan
in welke laag zij verdwenen zijn.
Links van de verticale streep staan formules  die in de (gereduceerde)
verzameling voorkomen. Rechts van de verticale streep staan formules
die niet zelf voorkomen, maar wel hun ontkenning .
p  r3, (r  q)  (p  q)1
r  q4 p  q2
(1)
p q
(2)
r
r
p
q
(3)
(4)
We lopen laag voor laag het ontstaan van dit plaatsje nog eens langs.
We beginnen met een verzameling met twee formules:
 = {p  r, (r  q)  (p  q)}
p  r, (r  q)  (p  q)
Als  consistent is, dan is ook
1 = {p  r, r  q, (p  q)} consistent.
p  r, (r  q)  (p  q)1
rq pq
41
(1)
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
In het plaatje wordt deze reductie als volgt zichtbaar. De conjunctie
(r  q)  (p  q) krijgt een grijze markering 2met het nummer 1. Hij
komt in 1 niet meer voor, hij wordt in laag 1 “gereduceerd” tot iets
anders. De formules waartoe hij reduceert, namelijk (r  q) en
(p  q) verschijnen in laag 1; r  q links van het spoor, en p  q
rechts (immers (p  q) is element van 1).
Als 1 deze consistent is, dan moet ook
2 = {pr, r  q, p, q)} consistent zijn.
p  r, (r  q)  (p  q)1
r  q p  q2
(1)
p q
(2)
In het plaatje wordt deze reductie zichtbaar door de grijze markering
van p  q met het nummer 2, en het verschijnen van p en q in laag 2, de
één links (p2), de ander rechts (q2).
Als 2 consistent is, dan is tenminste één van de volgende twee
3a = {p, r  q, p, q } of 3b = {r, (r  q), p, q } consistent.
2
Werkend met pen en papier markeren we niet met grijs maar we “strepen door”
42
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
p  r3, (r  q)  (p  q)1
r  q p  q2
(1)
p q
(2)
r
p
(3)
In het plaatje wordt deze reductie zichtbaar door
de grijze markering van p  r met het nummer 3,
het splitsen van het spoor in een linkertak (3b) en een rechtertak
(3a),
het verschijnen van r in laag 3 in de linkertak, links van de streep
(r3b),
en het verschijnen van p in laag 3 in de rechtertak, rechts van de streep
(p3a).
Maar in 3a komt zowel p voor als zijn ontkenning p. In het plaatje
wordt dat zichtbaar als volgt. Lopen we langs de rechtertak vanuit laag 3
langs het spoor terug omhoog naar de oorsprong, dan komen we p
eenmaal rechts van het spoor tegen (laag 3) en daarna links van het
spoor (laag 2). De rechtertak van het spoor loopt dood.
We volgen het andere spoor. Als 3b = {r, (r  q), p, q } consistent is,
dan is tenminste één van de twee
4ba = {r, r , p, q } of 4bb = {r, q, p, q } consistent.
In het plaatje wordt deze reductie zichtbaar door
de grijze markering van r  q met het nummer 4,
het splitsen van het spoor in een linkertak (4ba) en een rechtertak
(4bb),
het verschijnen van r in laag 4 in de linkertak, rechts van de streep
(r4ba),
en het verschijnen van q in laag 4 in de rechtertak, links van de streep
(q4bb).
43
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
p  r3, (r  q)  (p  q)1
r  q4 p  q2
(1)
p q
(2)
r
r
p
q
(3)
(4)
Voor beide nieuwe takken geldt hetzelfde als voor de rechtertak in laag
drie. Als je vanuit laag 4 omhoog gaat, terug naar de oorsprong, kom je
dezelfde propositievariabele (r in de linkertak en q in de rechtertak)
zowel links als rechts van het spoor tegen. Dus ook deze sporen lopen
dood.
Maar dan lopen alle sporen dood. De oorspronkelijke verzameling
 = {p  r, (r  q)  (p  q)} is niet consistent.
De tableaumethode
We noemen het consistentieonderzoek door reduceren, voorgesteld in
een boomstructuur met alle “ reductiesporen” de tableaumethode.
We hebben van de tableaumethode een voorbeeld gezien, maar we
kennen de methode nog niet in alle details. We sommen alle
reductiestappen, d.w.z. alle mogelijke manieren waarop een volgende
laag in de boom kan worden gevormd, op.
De conjunctie
  x
,
  y
(x)


(y)
De waarheid van een conjunctie reduceert tot de waarheid van beide
leden. Ofwel: een conjunctie links van het spoor kan worden vervangen
door beide leden ervan, links van het spoor.
De onwaarheid van een conjunctie leidt tot twee sporen, in het ene
spoor de onwaarheid van het ene lid, in het andere spoor de
onwaarheid van het andere. Ofwel: een conjunctie rechts van het spoor
leidt tot een splitsing in twee sporen, de een met het ene lid van de
conjunctie rechts, de andere met het tweede lid van de conjunctie
rechts.
44
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De disjunctie
  x


  y
,
(x)
(y)
De waarheid van een disjunctie leidt tot twee sporen, in het ene spoor
de waarheid van het ene lid, in het andere spoor de waarheid van het
andere. Ofwel: een disjunctie links van het spoor leidt tot een splitsing
in twee sporen, de een met het ene lid van de conjunctie links, de
andere met het tweede lid van de conjunctie links.
De onwaarheid van een disjunctie reduceert tot de onwaarheid van
beide leden. Ofwel: een disjunctie rechts van het spoor kan worden
vervangen door beide leden ervan, rechts van het spoor.
De implicatie
  x


  y
 
(x)
(y)
De waarheid van een implicatie leidt tot twee sporen, in het ene spoor
de onwaarheid van de antecedent, in het andere spoor de waarheid van
de consequent. Ofwel: een implicatie links van het spoor leidt tot een
splitsing in twee sporen, de een met de antecedent rechts, de andere
met de consequent links.
De onwaarheid van een implicatie reduceert tot de waarheid van
antecedent en de onwaarheid van de consequent. Ofwel: een implicatie
rechts van het spoor kan worden vervangen door de antecedent links en
de consequent rechts van het spoor.
45
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De negatie
De negatie leidt tot een sprong naar de andere kant van het spoor.
Meestal wordt de reductie van de negatie gelijktijdig met een andere
reductie (van , , of ) uitgevoerd.
Sluitende tableaus
In de volgende sectie wordt duidelijk waarom, maar er is speciale
interesse in tableaus die sluiten.
Een tableau sluit als alle sporen in het tableau doodlopen. Dat wil
zeggen dat er langs elk spoor in het tableau een formule is die zowel
links als rechts van dat spoor voorkomt.
Een sluitend tableau is een teken dat de startsituatie inconsistent was.
Geldigheid als i nconsistentie van het t egenvoorbeeld
In het propositielogische model is een redenering een verzameling
formules {}, waarin de elementen van  de premissen modelleren,
en  de conclusie.
Een dergelijke redenering is geldig, of anders gezegd,  is een logisch
gevolg van , als {} inconsistent is. Zo hebben we geldigheid van
een redenering immers gedefinieerd.
Dat betekent dat we geldigheid van een redenering kunnen
onderzoeken met de tableaumethode. Start van het tableau is een
spoor met  links en  rechts.
De redenering is geldig als dit tableau sluit.
Voorbeeld van een geldige redenering
We laten zien met de tableaumethode dat p  q een logisch gevolg is
van { p  r, r  q}.
p  r2, r  q3 p  q1
p q
r
r
(1)
p
q
(2)
(3)
46
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Correctheid en volledigheid
Het begrip sequent
Een sequent is een formele bewering over de relatie tussen een
verzameling formules en een losse formule.
Er zijn twee soorten sequenten, de syntactische sequent en de
semantische sequent.
Beide soorten sequenten kennen we eigenlijk al, we hebben ze alleen
niet zo genoemd.
De semantische sequent kennen we onder de naam “logisch gevolg”.
We noteren deze sequentrelatie tussen en  als  |=  .
De precieze definitie van  |=  is:
Iedere waardering van propositievariabelen die alle formules van  waar
maakt, maakt ook  waar. Of equivalent:
Er bestaat geen waardering die tegelijkertijd alle formules van  waar
maakt, maar  niet.
Ofwel: {} is inconsistent.
De syntactische sequent kennen we al als “sluitend tableau”. We
noteren deze sequentrelatie tussen en  als  |  .
De precieze definitie van  |  is:
Het tableau dat start met  “links van het spoor” en  “rechts van het
spoor” sluit.
Als  de lege verzameling is, laten we haar in de notatie weg. Dan
schrijven we |=  respectievelijk | . De betekenis van deze twee
sequenten is duidelijk: “Iedere waardering van propositievariabelen
maakt  waar”, respectievelijk: “Het tableau met  rechts van het spoor
sluit.”
Een formule zodat |=  is een noodzakelijke waarheid.
De sequentrelatie wordt soms in gegeneraliseerde vorm gebruikt, met
een verzameling formules  rechts, in plaats van de losse formule . De
betekenis van deze gegeneraliseerde vorm ligt voor de hand. Waar in de
oorspronkelijk vorm iets beweerd wordt over , wordt in de
generalisatie hetzelfde beweerd, maar dan over alle formules van 
gelijktijdig.
Het onderscheid tussen s yntactisch en semantisch
Syntactisch is het bijvoeglijk naamwoord bij het begrip syntax of
syntaxis. We gebruiken de term syntax(is) voor het systeem van regels
dat de structuur van de zinnen (uitdrukkingen, formules) van een taal
beheerst.
47
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Semantisch is het bijvoeglijk naamwoord behorend bij het begrip
semantiek. Semantiek of betekenisleer is de studie van de betekenis van
taalelementen, en de regels die bepalend zijn voor het vaststellen van
de betekenis van een groter geheel uit de betekenis van zijn delen.
We noemen  |=  een semantische sequent omdat we de
waarheidstafels voor de connectieven nodig hebben om vast te stellen
of de sequent waar is of niet. Die waarheidstafels gebruiken we om de
waarheid van  en de formules in  “uit te rekenen” uit de waardering
van de variabelen.
We noemen  |  een syntactische sequent omdat we het sluiten van
tableau bepalen aan de hand van de structuur van de formules, en uit
niets anders. De reductieregels waarmee we  en de formules in 
geleidelijk “afbreken” zijn bepaald door vorm van de formules.
De relatie tussen syntactisch en semantisch
De twee sequentrelaties die we hebben geïntroduceerd zijn nauw
verwant. Nauwer kan niet, ze zijn namelijk equivalent.
 |=    | .
Die equivalentie zal niet verrassen. Bij het introduceren en verklaren van
de tableaumethode hebben we steeds als leidraad gebruikt dat tableaus
een middel moesten zijn om consistentie vast te stellen. De equivalentie
tussen syntactische en semantische sequenten bevestigt dat we het
goed hebben gedaan.
Als een verzameling consistent is, dan zal de tableaumethode dat
vaststellen, en omgekeerd, als de tableaumethode consistentie
vaststelt, dan is de verzameling ook consistent. Zo waren tableaus
bedoeld, en zo werken ze inderdaad. Overigens: wie dit met wiskundige
ogen bekijkt, zal toch een precies bewijs willen zien. Dat bestaat, maar
wij gaan het hier niet geven.
Correctheid en voll edighei d
In de volgende secties zullen we zien dat de tableaumethode maar één
van de mogelijke syntactische sequentrelaties oplevert. Syntactische
sequenten kunnen ook anders worden gedefinieerd dan via sluitende
tableaus.
We noemen de verschillende manieren om syntactische sequenten te
definiëren bewijsmethoden.
De syntactische sequent  |  lezen we dan als:  is bewijsbaar uit of
afleidbaar uit .
De tableaumethode is dus één van de bewijsmethoden voor de
propositielogica. Het klinkt wat vreemd, maar het tableau met  links en
 rechts sluit, dan is  afleidbaar uit .
48
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Onder de correctheid (Engels: soundness) van een bewijsmethode
verstaan we de volgende implicatie:
 |    |= .
In woorden: de bewijsmethode is correct als iedere formule die uit 
afleidbaar is ook logisch uit  volgt.
Onder de volledigheid (Engels: completeness) van een bewijsmethode
verstaan we de volgende implicatie:
 |=    | .
In woorden: de bewijsmethode is volledig als iedere formule die logisch
uit  volgt ook afleidbaar is uit .
In de vorige sectie stelden we de equivalentie tussen syntactische en
semantische sequenten vast (zonder formeel bewijs). Met de nu
geïntroduceerde terminologie kan die equivalentie ook geformuleerd
worden als: de tableaumethode is correct en volledig.
Even recapituleren
Sinds we Aristoteles verlieten, hebben we het propositielogische model
voor beweringen en hun waarheid (of preciezer: hun waarheid in een
context) geïntroduceerd. Het model bestaat uit propositievariabelen en
logische operatoren (connectieven). Waarheid wordt gemodelleerd
door waarderingsfuncties voor de variabelen, en waarheidsfuncties
(waarheidstafels) voor de operatoren.
In dit model hebben we aan consistentie (van een verzameling
formules) en geldigheid (van een redenering) formeel inhoud gegeven.
We hebben de tableaumethode geïntroduceerd als een syntactische
methode om geldigheid van redeneringen (en consistentie van
verzamelingen) vast te stellen. Syntactische methoden voor het
vaststellen van geldigheid van redeneringen zijn we bewijsmethoden
gaan noemen.
We hebben twee sequentrelaties geïntroduceerd: de semantische
sequentrelatie “(noodzakelijk) volgen uit” en de syntactische sequentrelatie “afleidbaar zijn uit.” Die syntactische relatie, de afleidbaarheid,
omvat eigenlijk een hele familie begrippen. Bij iedere bewijsmethode
behoort een syntactische sequentrelatie. We hebben tot nu toe één
bewijsmethode gezien, de tableaumethode. Syntactische sequenten
staan vooralsnog alleen voor sluitende tableaus.
Tussen bewijsmethoden en noodzakelijk volgen hebben we twee
belangrijke relaties gelegd: de correctheid en de volledigheid (van de
bewijsmethode t.o.v. de noodzakelijkgevolgrelatie).
49
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De correctheid en de volledigheid van (syntactische) bewijsmethoden
ten opzichte van een semantisch concept (zoal noodzakelijk volgen),
zijn een belangrijk weerkerend thema in de (mathematische) logica.
Van de ene bewijsmethode die we kennen, hebben we vastgesteld dat
hij correct en volledig is. De semantische en de syntactische
sequentrelatie vallen samen. Het “(noodzakelijk) volgen uit” en het
“sluiten van tableaus” zijn elkaars gelijke.
Natuurlijke deductie
Een echte redenering
In de wiskunde wordt al eeuwen gewaakt over het toepassen van de
juiste spelregels voor het redeneren. Het begrip “bewijs” is een
kernbegrip van de wiskunde.
Wij hebben het begrip “bewijsmethode” geïntroduceerd in een
propositielogisch model. We onderzoeken de relatie met een wiskundig
bewijs.
We analyseren daarvoor eerst de wiskundige redenering die aantoont
dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Een priemgetal is een positief
geheel getal, groter dan 1, dat geen echte delers heeft. Een deler van
een getal is echt, als het niet 1 is, en ook niet het getal zelf. Van de
getallen in de rij 2 ... 20 zijn 2,3,5,7,11,13,17,19 de priemgetallen. De
getallen 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20 zijn geen priemgetallen.
Van die priemgetallen zijn er oneindig veel. Dat zien we als volgt in.
Bewijs
(1) Stel er zijn maar eindig veel priemgetallen.
Beschouw dan het getal H dat het product is van alle priemgetallen.
(2) H bestaat en dus ook H+1, en dat zijn allebei geen priemgetallen.
Anders gezegd:
(3) er geldt voor H dat ieder priemgetal een deler is van H.
Voor H+1 moet gelden, omdat het zelf geen priemgetal is:
(4 ) H+1 heeft tenminste één echte deler (bijvoorbeeld de kleinste) die
een priemgetal is.
Nu weten we dat een gezamenlijke deler van twee getallen ook een
deler is van het verschil van die twee getallen. Dus:
(5) H en H+1 hebben 1 als enige gemeenschappelijke deler
Dan is er een priemgetal dat een echte deler is van H+1. (zie 4)
Maar dat priemgetal moet ook een deler zijn van H (zie 3).
Terwijl H en H+1 geen echte delers met elkaar gemeen hebben (zie 5).
50
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Dus de veronderstelling (1) kan niet kloppen.
Er zijn oneindig veel priemgetallen. 
De structuur van de redeneri ng
We gaan abstraheren. In de redenering die we hebben gevolgd om de
oneindigheid van de verzameling priemgetallen aan te tonen,
identificeren we de volgende vijf “atomaire” beweringen.
p1 = Er zijn eindig veel priemgetallen.
p2 = H en H+1 bestaan en zijn geen priemgetal.
p3 = ieder priemgetal is echte deler van H.
p4 = H+1 heeft een priemgetal als echte deler.
p5 = H en H+1 hebben 1 als enige gemeenschappelijke deler.
Zonder verder argument stellen we vijf “waarheden” vast:
p1  p2,
p1  p3,
p2  p4,
(p4  p5)   p3,
p5.
We noemen de verzameling met deze 5 formules .
De essentie van het bewijs is dan dat |= p1.
En dat kunnen we nagaan door een tableau.
Maar dat tableau doet weinig recht aan de manier waarop we echt
hebben geredeneerd.
De volgende boomstructuur doet dat veel beter.
p15 p1  p2
p15
p2
(1a)
p2  p4
p4
p5
(2)
p4 p5
(p4  p5)   p3
 p3
p1  p3
p3
p1
(1b)
(3)
(4)
(5)
In deze structuur zien we 6 horizontale lijnen. Boven iedere lijn staan
twee formules, eronder staat er één. We noemen die structuur een
afleidingsregel of inferentieregel. (Engels: derivation rule, inference rule
of deduction rule).
De analogie met de sluitredenen van Aristoteles ligt voor de hand.
Boven de lijn in de afleidingsregel staan de premissen eronder staat de
conclusie.
51
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Het geheel van de toegepaste afleidingsregels in hun samenhang
noemen we een afleiding (Engels derivation of deduction).
We lopen de gebruikte afleidingsregels in de voorbeeld afleiding langs,
van het laagste niveau (5) tot het hoogste (1a en 1b). Dat wil zeggen dat
we de redenering van achter naar voor reconstrueren.
We houden de bedoelde betekenis van de propositievariabelen bij de
hand.
p1 = Er zijn eindig veel priemgetallen.
p2 = H en H+1 bestaan en zijn beide geen priemgetal.
p3 = ieder priemgetal is echte deler van H.
p4 = H+1 heeft een priemgetal als echte deler.
p5 = H en H+1 hebben 1 als enige gemeenschappelijke deler.
Op niveau 5 trekken we de conclusie p1 uit de premissen  p3 en p3.
Een gevonden tegenspraak doet ons een aanname, namelijk p1 die we
op niveau 5 hebben gemaakt, verwerpen. Het feit dat hier de aanname
p1 “verdwijnt” wordt zichtbaar door de grijze markering 3van p1, met
het superscript 5.
Op niveau 4 trekken we de conclusie  p3 uit de premissen p4 p5 en
(p4  p5)   p3. De implicatie is een element uit de verzameling . De
conjunctie is de antecedent van de implicatie. Dat rechtvaardigt dat we
de conclusie  p3 trekken, die is immers de consequent van de
implicatie.
Op niveau 3 concluderen we p4 p5 uit de premissen p4 en p5. De
laatste is een aanname.
Op niveau 2 concluderen we p4 uit twee premissen, namelijk de
implicatie p2  p4 en zijn antecedent p2. De implicatie p2  p4 is een
element van .
Op niveau 1 trekken we twee conclusies. Enerzijds (1a) p2 uit p1 en
p1  p2, anderzijds (1b) p3 uit p1 en p1  p3. De beide implicaties op
dit niveau zijn element van . De propositievariabele p1 is de aanname
die we op niveau 5 verwerpen. Vandaar de grijze markering met het
cijfer 5.
3
Werkend met pen en papier markeren we niet met grijs maar we “strepen door”
52
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Daar ging de hele redenering om, het verwerpen van deze aanname.
De aanpak, de begrippen, en  |  opnieuw gedefinieerd
Een structuur als de voorafgaande, opgebouwd met afleidingsregels
kunnen we schematisch voorstellen als een graph, d.w.z. een
verzameling punten, verbonden met pijlen.
Dat levert het volgende plaatje.
Ieder punt in het plaatje staat voor een formule. Pijlen in het plaatje
lopen van premisse naar conclusie.
5
1b
1a
2
3
4
5
Punten waar geen pijl naar toe gaat staan voor aannamen (Engels:
assumptions).
Grijze punten zijn altijd punten waar geen pijl naar toe gaat. Het zijn
bijzondere aannamen. Het zijn aannamen die bij het trekken van een
conclusie zijn komen te vervallen. Dit vervallen heet ook wel intrekken,
in het Engels: “to discharge”.
Een aanname die niet is komen te vervallen (niet ingetrokken is), is een
open aanname (Engels: open assumption).
Een afleiding zonder open aannamen is gesloten.
Het enige punt waar geen pijl vanuit gaat is de conclusie van de
redenering.
Het construeren van afleidingen met een structuur als deze is een
bewijsmethode.
Dat geeft ons een nieuwe definitie van de syntactische sequent  | .
53
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De relatie  |  bestaat tussen  en  als er een afleiding bestaat met
 als conclusie en  als verzameling open aannamen.
Nu hebben we één voorbeeld van een afleiding en een flinke
hoeveelheid terminologie geïntroduceerd. En we hebben het begrip
syntactische sequent gedefinieerd, terwijl we van dat begrip al een
definitie hadden. We moeten twee dingen doen om ons betoog ordelijk
te houden.
 We behandelen het begrip afleiding systematisch, door alle
toegestane afleidingsregels te bespreken.
 We laten zien dat de nieuwe definitie van de syntactische sequent
gelijkwaardig is aan de oude. Een afleiding met conclusie  uit de
open aannamen  kan alleen geconstrueerd worden als het tableau
met  links en  rechts sluit, en omgekeerd.
Al le afleidingsregel s, behal ve de regel s voor negatie
Er zijn 10 afleidingsregels. In de voorbeeld afleiding zijn er daarvan 3
gebruikt.
We kunnen de afleidingsregels groeperen naar de logische operator die
in de regel centraal staat. Bij iedere logische operator (, , , ) zijn
twee soorten afleidingsregels.
De ene soort regel is de introductieregel, en de andere de
eliminatieregel. In een introductieregel bij een connectief verschijnt het
connectief in de conclusie, terwijl het niet in de premisse(n) stond. In
een eliminatieregel bij een connectief staat het connectief in een
premisse of in een open aanname, en is het in de conclusie verdwenen.
De 4 simpelste regels:
conjunctie-eliminatie en disjunctie-introductie.
Vier regels met een voor de hand liggende conclusie uit één premisse.


-E
-E






-I
Twee regels met twee premissen:
implicatie-eliminatie en conjunctie-introductie.
 
 
-E


-I
-I
De implicatie-eliminatie zijn we veelvuldig tegengekomen in ons
priemgetallen voorbeeld. De conclusies op niveau 1a, 1b, 2 en 4 zijn
getrokken uit een dergelijke eliminatie. De klassieke benaming voor
implicatie-eliminatie is modus ponens.
54
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Ook de conjunctie-introductie treffen we in het priemgetallenvoorbeeld.
De conclusie op niveau 3 volgt uit een conjunctie-introductie.
De zes regels die we nu hebben geïntroduceerd, zijn op dezelfde manier
op te vatten als de syllogismen van Aristoteles. Ze beschrijven een
“leiden tot” relatie tussen formules, de premisse(n) enerzijds en de
conclusie anderzijds. Bepalend voor de relatie is (net als bij de
syllogismen) de vorm van de formules.
In de praktijk gaat het ons zelden alleen om de relatie tussen formules,
het gaat om de constructie van afleidingen. De afleidingsregels zijn dus
vooral constructieregels. We gebruiken ze om afleidingen te verlengen
(regels met één premisse) of om twee afleidingen aan elkaar te knopen
(regels met twee premissen).
Anders gezegd: in het gebruik zullen de premissen van afleidingsregels
soms aannamen zijn, beweringen zonder voorgeschiedenis, maar vaak
ook conclusies van een voorafgaande afleiding, beweringen met een
mogelijke lange en ingewikkelde voorgeschiedenis.
Overigens is de opvatting van de afleidingsregel als relatieregel tussen
premissen en conclusie een bijzonder geval van de opvatting van de
afleidingsregel als constructieregel. Ook een losse formule, een
premisse zonder enige voorgeschiedenis, kunnen we opvatten als een
afleiding. De ene formule waaruit die afleiding bestaat, is tegelijkertijd
een aanname in de afleiding, en de conclusie van de afleiding.
De resterende vier afleidingsregels kunnen alleen begrepen worden als
constructieregels om een nieuwe afleiding uit (een) oude te creëren.
Het is wezenlijk dat we de premissen opvatten als conclusies van een
afleiding. De eigenschappen van de hele afleiding spelen bij het
formuleren van de regel een rol.
Twee regels waarbij aannamen worden ingetrokken:
implicatie-introductie en disjunctie-eliminatie.
x


-I (x)

y
y



-E (y)
De -I regel construeert uit een afleiding met conclusie  een afleiding
met conclusie , waarbij alle voorkomens van de aanname  komen
te vervallen.
De -E regel construeert uit drie gegeven afleidingen, één met conclusie
, de andere twee met conclusie  een nieuwe afleiding met
conclusie . Daarbij komen alle voorkomens van aanname  in de ene
55
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
gegeven afleiding van , en alle voorkomens van de aanname  in de
andere gegeven afleiding van  te vervallen.
De “notatie”
x

moet dus begrepen worden als: een afleiding met conclusie , waarin
alle voorkomens van de aanname  bij het toepassen van de
afleidingsregel op niveau x zijn/worden ingetrokken.
Vaak is sprake van meer aannamen in een afleiding. Soms wordt in de
notatie de hele verzameling aannamen zichtbaar gemaakt. Dat leidt tot
onderstaande figuur, met  in de rol van de verzameling overige
aannamen, buiten de genoemde .
, x

De kort ste gesl oten afleiding, en een onverw achte verlenging

1

-I (1)
1

()
-I (1)
-I (2)
Hier staan drie afleidingen.
De meest linkse afleiding ziet eruit als de losse formule . Maar we
begrijpen die formule als een afleiding. Van die afleiding is  de
conclusie, en tegelijkertijd een open aanname.
In de middelste afleiding is uit de afleiding links m.b.v. de -I regel een
langere afleiding geconstrueerd, met als conclusie . De consequent
in deze  is de conclusie van de afleiding links, de antecedent in
deze  is de open aanname van de afleiding links. Die open
aanname is dan ook komen te vervallen. De middelste afleiding is een
gesloten afleiding.
In de rechter afleiding is uit de middelste afleiding opnieuw met de -I
regel een langere afleiding geconstrueerd met de conclusie ().
De consequent  in deze () is de conclusie van de
middelste afleiding. De antecedent  is een willekeurige formule. Alle
voorkomens van die formule als aanname in de middelste afleiding zijn
ingetrokken.
56
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De laatste bewering uit de vorige alinea is waar. Maar vreemd is hij ook.
Er is immers helemaal geen open aanname  in de middelste afleiding.
Er zijn zelfs helemaal geen aannamen in die afleiding, hij is gesloten.
We kunnen wat hier gebeurt begrijpen met de volgende analogie.
“De gewerkte uren op 29 februari worden normaal uitbetaald.” “Maar
dit jaar is helemaal geen schrikkeljaar.” “Nou mooi, dan is de uitbetaling
bij dezen geregeld.”
“Alle voorkomens van  als open aanname in de afleiding worden
ingetrokken.” “Maar er komt helemaal geen aanname  in de afleiding
voor.” “Nou mooi, dan is het intrekken bij dezen geregeld.”
Overigens kunnen we de twee toepassingen van de -I regel in de
derde afleiding omwisselen. Dat levert ons een gesloten afleiding van de
formule ().
De laatste tw ee afleidingsregels: de regels voor negatie
Introductie en eliminatie van de negatie zijn beide uitsluitend op te
vatten als constructieregels voor afleidingen. De conclusie van de
geconstrueerde afleiding is gerelateerd aan een open aanname van de
afleidingen waaruit de nieuwe geconstrueerd wordt. Dat is een
opvallende verschil met de vorige regels. Daar was de conclusie van de
geconstrueerde afleiding gerelateerd aan een premisse.
Het principe dat zowel aan introductie als eliminatie van de negatie ten
grondslag ligt, is het bewijs uit het ongerijmde (Engels: proof by
contradiction). De klassieke benaming voor dit principe is reductio ad
absurdum.
x
x



y
y


-I (x)

-E (y)
De introductieregel zegt: uit twee gegeven afleidingen met een
tegengestelde conclusie kan een afleiding van  worden
geconstrueerd, waarbij alle voorkomens van de aanname  in beide
gegeven afleidingen komen te vervallen.
De eliminatieregel zegt: uit twee gegeven afleidingen met tegengestelde
conclusie kan een afleiding van  worden geconstrueerd, waarbij alle
voorkomens van de aanname  in beide gegeven afleidingen komen te
vervallen.
In het priemgetallenvoorbeeld is de laatste stap, op niveau 5, een
voorbeeld van een negatie-introductie.
57
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Een gesloten afleiding met negatie- eliminatie


1 

-E (1)
1 2


-E (1)
-I (2)
Hier staan vier afleidingen.
De linkse twee afleidingen zien eruit als de losse formules,  en .
Maar we begrijpen die formules als afleidingen. Van die afleidingen zijn
de formules zowel de conclusie als de open aanname.
In de middelste afleiding is uit de afleidingen links m.b.v. de -E regel
een langere afleiding geconstrueerd, met als conclusie . Deze conclusie
is het tegengestelde van de open aanname . Die open aanname komt
alleen in de meest linkse afleiding voor, en dat voorkomen is bij
toepassing van deze regel komen te vervallen.
In de rechter afleiding is uit de middelste afleiding met de -I regel een
langere afleiding geconstrueerd met de conclusie . De
consequent  is de conclusie van de middelste afleiding. De antecedent
 is een open aanname uit de middelste afleiding. Alle voorkomens
van die formule als aanname in de middelste afleiding zijn ingetrokken.
58
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Een gesloten afleiding met negatie-intr oductie
Zonder verder commentaar een gesloten afleiding van ()
-E(1b)
2
2
-E(1a)


-I(2)
()
Een onverw acht gebruik van negatie -eliminatie
Een variant op het voorgaande is de volgende afleiding.
-E(1b)
3
3
-E(1a)


-E(2)

()
-I(3)
In stap -E(2) wordt uit twee gegeven afleidingen met tegengestelde
conclusie een afleiding van  geconstrueerd, waarbij alle voorkomens
van de aanname  in beide gegeven afleidingen komen te vervallen.
Dat ziet er een beetje vreemd uit, er is helemaal geen aanname .
Maar de analogie waarmee we dat kunnen begrijpen, hebben we al
eerder gezien.
“De gewerkte uren op 29 februari worden normaal uitbetaald.” “Maar
dit jaar is helemaal geen schrikkeljaar.” “Nou mooi, dan is de uitbetaling
bij dezen geregeld.”
“Alle voorkomens van  als open aanname in de afleiding worden
ingetrokken.” “Maar er komt helemaal geen aanname  in de afleiding
voor.” “Nou mooi, dan is het intrekken bij dezen geregeld.”
Tableaux versus natuur lijke deductie, het begrip bew ijs.
We hebben nu twee bewijsmethoden, de tableaumethode gedefinieerd
door reductieregels, en de natuurlijke deductie, gedefinieerd door
afleidingsregels.
De syntactische sequent  |  heeft daardoor twee definities:
 Het tableau dat begint met  links en  rechts sluit.
 Er is een afleiding met conclusie  en open aannamen .
Zonder bewijs stellen we vast dat beide definities het zelfde zijn.
Het tableau met dat begint met  links en  rechts sluit als er een
afleiding is met conclusie  en open aannamen , en omgekeerd
er is een afleiding met conclusie  en open aannamen , als het
tableau dat begint met  links en  rechts sluit.
Daarmee is onmiddellijk ook de correctheid en volledigheid van
natuurlijke deductie als bewijsmethode vastgesteld.
59
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
In onze beschouwingen heeft inmiddels het woord “bewijs” zijn intrede
gedaan.
In de propositielogische benadering van de beweringenwereld hebben
we de semantische sequent geïntroduceerd als model voor de geldige
redenering. In de definitie van de semantische sequent volgen we de
oorspronkelijke definitie van geldigheid: een redenering is geldig als het
tegenvoorbeeld inconsistent is.
De syntactische sequent is een equivalent van de semantische sequent
gebaseerd op een bewijsmethode, een werkwijze om geldigheid
(inconsistentie van het tegenvoorbeeld) vast te stellen.
Een (succesvolle) toepassing van een bewijsmethode noemen we een
bewijs. Een afleiding in natuurlijke deductie, en een gesloten tableau in
de tableaumethode, zijn in die zin bewijzen.
Het eerder behandelde priemgetallenvoorbeeld is een typisch bewijs in
deze zin. De gebruikte bewijsmethode in dat voorbeeld is natuurlijke
deductie. Natuurlijke deductie is een bewijsmethode die dicht bij de
wiskundige praktijk van bewijzen ligt.
We zetten twee bewijzen naast elkaar. Het gaat om () | 
Eerst het tableau
()0 2
1
,

(0)
(1)

(2)
Het tableau sluit. Let op: regel 0 is een expliciete negatieregel, in regel 2
hebben we de negatieregel impliciet toegepast.
60
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Vervolgens de afleiding in natuurlijke deductie.
-I(1a)
2a
()

()
-I(2a)



2b

-I(3)
-I(1b)
-I(2b)
De tableaumethode is geheel mechanisch, de enige serieuze variatie die
aangebracht zou kunnen worden is het verwisselen van stap 1 en stap 2.
De afleiding in natuurlijke deductie vraagt iets meer inspiratie. De
laatste stap in die afleiding is de introductie van een conjunctie, dat ligt
voor de hand. De premissen van die introductie  en  volgen uit
een tegenspraak, ook dat is aannemelijk. Tot die tegenspraak komen we
vanuit de aanname van zowel  als , zo werkt een bewijs uit het
ongerijmde. Het ongerijmde is het feit dat die beide aannamen tot 
leiden, terwijl () een gegeven was.
De tableaumethode is een systematische opeenvolging van
reductiestappen. Na een eindig aantal stappen zijn we klaar, dan is er
geen reductiestap meer mogelijk omdat ieder connectief is
“verdwenen” bij de toepassing van een regel. Het is een bewijsmethode
voor  |  die tegelijkertijd een mechanische beslismethode is.
Natuurlijke deductie vraagt meer om “zoeken” naar de juiste
opeenvolging van stappen. In die zoektocht worden aannamen
geïntroduceerd en weer ingetrokken. Die aannamen zijn niet
willekeurig, maar ze zijn ook niet volkomen voorspelbaar. Natuurlijke
deductie is daarom niet een mechanische beslismethode zoals de
tableaumethode dat wel is. Maar de zoektocht naar het bewijs, naar
nuttige aannamen om te introduceren en weer in te trekken, en de
stappen waaruit het bewijs is opgebouwd, zijn bij natuurlijke deductie
van een soort die je in “echt” bewijzen tegenkomt. Veel meer dan de
reductiestappen van de tableaumethode.
Waarschuwing. De tableaumethode is een beslismethode in het
propositielogische model. In het rijkere model van de predicaatlogica is
de tableaumethode niet een beslissingsinstrument, net zo min als
natuurlijke deductie. Daar komen we op terug.
61
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De deductiestelling
Er is een intuïtief verband tussen de implicatie als connectief en het
noodzakelijk volgen uit als eigenschap van redeneringen.
Dat intuïtieve verband wordt uitgedrukt met de volgende bewering.
  {} |=    |= 
Daarin is  een (mogelijk lege) verzameling formules, die  niet bevat.
De waarheid van deze equivalentie laat zich snel inzien door een beroep
op de volledigheid en correctheid van natuurlijke deductie als
bewijsmethode.
De implicatie van links naar rechts (de ) is een toepassing van de
implicatie-introductieregel. De implicatie van rechts naar links (de ) is
een toepassing van modus ponens, de implicatie-eliminatieregel.
De transitiviteit van het noodzakelijk volgen uit.
Het begrip noodzakelijk gevolg, en dus ook de semantische sequent, zijn
tegenhanger het propositielogische model, heeft de volgende
eigenschap.
Als alle beweringen uit een verzameling  noodzakelijk volgen uit de
verzameling , en de bewering  volgt uit , dat volgt deze  ook uit .
Dat klinkt vanzelfsprekend. Maar voor de zekerheid geven we bij deze
conclusie nog een argument.
Stel dat een wereld voorstelbaar was, waarin alle beweringen uit  waar
waren, maar  niet. Met andere woorden: stel je voor dat het
tegenvoorbeeld wel consistent was.
In die wereld is tenminste één bewering  uit de verzameling  niet
waar. We weten immers dat  volgt uit , dus in een wereld waar alle
beweringen uit  waar zijn, moet  ook waar zijn.
Maar dan volgt deze  niet uit , we hebben namelijk een consistent
tegenvoorbeeld.
Dat is in strijd met ons eerste gegeven, dat alle beweringen in  wel uit
 volgen. Maar dan is die wereld waarvan wij het bestaan
veronderstelden ondenkbaar. Er is geen consistent tegenvoorbeeld, 
volgt noodzakelijk uit .
In het propositielogische model, ziet deze eigenschap van het
noodzakelijk gevolg er als volgt uit:
 |=  en  |=    |= .
Een dergelijke “keteneigenschap” van een relatie noemen we
transitiviteit.
62
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Een onmiddellijk gevolg van de correctheid en volledigheid van de
syntactische sequentrelaties is dat ook zij die transitiviteitseigenschap
hebben.
 |  en  |    | .
Voor natuurlijke deductie als bewijsmethode is dat ook onmiddellijk
voorstelbaar. Om een bewijs te construeren voor de formule  uit de
aannamen , terwijl je al een bewijs voor  hebt uit de aannamen ,
substitueer je overal waar een aanname  uit  voorkomt, deze
aanname door een bewijs van  uit .
Theorie en axioma’s
Een verzameling beweringen  is een logische theorie als het volgende
het geval is:
 is consistent, en iedere bewering die noodzakelijk volgt uit een
deelverzameling van  is zelf element van .
Deze betekenis van het woord theorie wijkt nogal af van wat je daar in
het dagelijks leven onder verstaat. Dan gebruik je het woord theorie
voor een verzameling beweringen die een verschijnsel (van welke soort
ook: economisch, psychologisch, natuurkundig, scheikundig,
meteorologisch, …) verklaart.
In de logische zin waarin we het begrip hier introduceren heeft een
theorie vooral de vormkenmerken die je verwacht.
Een theorie is consistent, dus je kunt je een wereld voorstellen waarin
alle beweringen uit de theorie waar zijn. De theorie beschrijft een
verschijnsel in die wereld.
Bovendien, iets wat volgt uit een theorie hoort ook tot die theorie. Dus
het gaat niet alleen om een beschrijving van het verschijnsel, maar ook
om conclusies die je daaruit kunt trekken.
Maar het begrip logische theorie zegt niets over theorievorming zoals je
die in een onderzoekspraktijk zou tegenkomen. En het zegt ook niets
over de kwaliteit van een concrete theorie.
In het propositielogische model is een theorie een verzameling formules
 met de volgende eigenschappen.
  is consistent
 Voor iedere formule  en iedere deelverzameling ,
 |=     
De meest saaie theorie is de theorie van alle noodzakelijke waarheden,
de verzameling {  | |=  }. Dat dit een theorie is, volgt uit de
transitiviteit van de semantische sequent.
63
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Een vraag die vooral in de wiskunde aan de orde komt (kwam), is de
volgende. Gegeven een theorie , bestaat er een (bij voorkeur eindige)
deelverzameling    zodat  |=     .
Een dergelijke verzameling  vormt de kern of de basis van de theorie.
Alle beweringen uit de theorie volgen noodzakelijk uit deze kern.
Voor sommige wiskundige theorieën waren de oude Grieken al op zoek
naar de basisbeweringen, waaruit alle andere waarheden noodzakelijk
volgeden. Het beroemde voorbeeld is de vlakke meetkunde die werd
geanalyseerd door Euclides. Met de vlakke meetkunde bedoelen we dan
de theorie van lijnen, punten, cirkels en hoeken (en alle figuren die je uit
lijnen kunt opbouwen) in het platte vlak. Hij legde voor die theorie de
basisbewegingen vast (5 stuks).
Een dergelijke deelverzameling van basisbewegingen uit een theorie,
waaruit de gehele theorie noodzakelijk volgt, noemen we in de
wiskundige context de axioma’s.
In die context spreken we over de andere beweringen van de theorie
(die noodzakelijk uit de axioma’s volgen, maar zelf geen axioma zijn) als
stellingen.
Propositielogica als calculus
We hebben propositievariabelen geïntroduceerd als model voor
atomaire beweringen.
We hebben logische operatoren geïntroduceerd als model voor
zinsfunctoren (althans voor die zinsfunctoren die connectieven zijn).
We hebben de semantische sequent geïntroduceerd als model voor
geldig redeneren en noodzakelijk volgen uit.
We hebben de bewijsmethode geïntroduceerd als wiskundige methode
om de geldigheid van een redenering vast te stellen (tableaux), en om
geldige redeneringen op te bouwen (natuurlijke deductie).
Maar er is een veel simpeler opvatting van dit alles.
Propositielogica is rekenen met 0 en 1.
Logica als rekenen met 0 en 1
De propositievariabelen hebben als domein de verzameling {0,1}. De
logische operatoren zijn simpele manipulaties met deze getallen:
 p =def 1–p

pq
=def min{p, q}

pq
=def max{p, q}

pq =def max{1–p, q}
64
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
In deze rekenbenadering van de propositielogica kunnen we dingen
opschrijven als:  = ,   ,  = 1,  = 0. Dergelijke formules hebben
een logische betekenis.
   is hetzelfde als  |= , “ is een noodzakelijk gevolg van ”. Uit
de deductiestelling volgt dan ook dat    hetzelfde is als “  is een
noodzakelijke waarheid”.
Omdat  =  de combinatie is van    en   , zal  =  dus
betekenen “ is een noodzakelijk gevolg van , en omgekeerd” ofwel
“de equivalentie van  en , d.w.z. de implicatie beide kanten op, is een
noodzakelijke waarheid.”
 = 0 tenslotte zegt dat  een contradictie is.
Omgekeerd kunnen we de centrale notie die we hiervoor hebben
besproken, de semantische sequent, ook in deze rekenbenadering
beschrijven, als volgt:
 |=  is hetzelfde als min()  .
Om dat helemaal correct te maken, moeten we wel afspreken dat het
minimum van de lege verzameling in deze context 1 zal zijn.
Om het concreet te maken de volgende twee voorbeelden.
Voor alle p, q  {0,1} geldt min{p, max{1–p,q}}  q. Dat is namelijk
dezelfde bewering als {p, pq} |= q, ofwel modus ponens.
Voor alle p  {0,1} geldt 1  max (1–(1–(1–p)), p}. Dat is namelijk
dezelfde bewering als |= p  p
Historisch perspect ief
Het propositielogische model voor geldigheid van redeneringen stamt
uit het einde van de 19e eeuw.
Een belangrijke grondlegger is Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848 –
1925). Het begrip sequent danken we aan Gerhard Gentzen (1909 –
1945).
Het rekenen met 0 en 1 is ouder. De theorie is ontwikkeld door George
Boole (1815 – 1864). Rekenen met 0 en 1 heeft ook betekenis buiten het
domein van de logica. Het hoeft niet over consistentie of geldigheid te
gaan. Deze vorm van rekenen is ook relevant in het domein van de
digitale schakelingen.
De opvatting van het propositielogisch model voor consistentie en
geldigheid als was het rekenen met 0 en 1 past in een heel oud
wiskundig ideaal.
Voor Gottfried Leibniz (1646 – 1716) was het “kunnen rekenen” aan een
begrip het ultieme kenmerk van het inzicht in en de beheersing van dat
begrip. Boole bouwde voort op ideeën van Leibniz over logica. Leibniz
65
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
was tijdgenoot van Newton, één van de grondleggers van calculus (en
elementaire analyse) in de moderne wiskunde. In de tijd van Leibniz en
Newton, en vooral dankzij Newton, begon men te begrijpen hoe je kon
rekenen aan snelheid en versnelling. Met Leibniz wordt de lijfspreuk
“calculemus” (laat ons rekenen) geassocieerd. In de sfeer van zijn
opvatting heet het propositielogisch model ook wel de
propositiecalculus.
Onderlinge definieerbaarheid van logische operatoren
Tussen de logische operatoren bestaan tal van relaties. Sommige zijn
eerder aan de orde geweest, zonder expliciet benoemd te zijn.
We geven een opsomming van relevante gelijkheden in de
propositiecalculus.
De implicatie uitgedrukt in  en :
   =   
De wetten van de Morgan:
(  ) =   
(  ) =   
De dubbelenegatiewet:
 = 
Voor het verifiëren van dergelijke gelijkheden worden waarheidtafels
gebruikt. Daarmee kunnen we over het algemeen toch sneller en
inzichtelijker “rekenen” dan met minimum en maximum.
Door deze gelijkheden kunnen we iedere propositielogische formule 
vertalen naar een formule ’ waarin uitsluitend de connectieven  en
 voorkomen, terwijl ’ = .
Immers:
1. Als    vertaal dan  naar ’=, en de gevraagde ’ is ’
2. Als      vertaal dan  naar ’= en  naar ’=, en de
gevraagde ’ is ’  ’
3. Als      vertaal dan  naar ’= en  naar ’=, en de
gevraagde ’ is (’  ’)
4. Als      vertaal dan  naar ’= en  naar ’=, en de
gevraagde ’ is ’  ’.
In vertaalstap 3 gebruiken we De Morgan en de dubbelenegatiewet.
Vertaalstap 4 is gebaseerd op de uitdrukking van implicatie in negatie en
disjunctie.
66
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Nieuw e logische operatoren
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
pNANDq
1
1
1
0
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
pNORq
1
0
0
0
Niet uit de klassieke logica maar uit de digitale techniek komen de twee
logische operatoren waarvan de waarheidstafels hierboven staan
weergegeven.
pNANDq = (p  q), pNORq = (p  q).
Ze hebben een bijzondere eigenschap: iedere logische operator is in
termen van NAND uit te drukken, en ook in termen van NOR. Om
propositielogische formules te schrijven is eigenlijk maar één operator
nodig.
Voor het gemak schrijven we pNANDq even als (p q). Dan hebben we de
volgende gelijkheden:
p = (p p)
p  q = ((p p) (q q))
p  q = ((p q) (p q))
p  q = (p (q q))
We schrijven pNORq als (pq). Dan hebben we de volgende gelijkheden:
p = (pp)
p  q = ((pq)  (pq ))
p  q = ((p p)  (qq))
p  q = ((pp)q))
De logische operator NAND waarmee alle andere te definiëren zijn
heette vroeger (in het predigitale tijdperk) “Sheffer’s stroke” , naar zijn
bedenker. Die werd genoteerd als |. De NAND uit de digitale techniek
heeft Sheffer en zijn stroke uit de geschiedenisboeken verdreven.
Predicaatlogica
Een geldige redenering?
We beschouwen de volgende redenering:
Charly is getrouwd met de vader van Sammy
Sammy is een kind van Charly
Dus: Charly is een vrouw.
67
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Is deze redenering geldig? Kunnen we een tegenvoorbeeld vinden,
d.w.z. is er context denkbaar waarin Charly getrouwd is met de vader
van Sammy, Sammy een kind is van Charly, terwijl Charly een man is?
Dat we ons niet mogen laten afleiden door eigennamen en de associatie
die daar door wordt opgeroepen, zal duidelijk zijn. Charly kan de
afkorting zijn van Charles en van Charlotte, Sammy kan voor Samuel
staan, maar ook voor Samantha.
Om de analyse te vereenvoudigen brengen we de volgende
gelijkwaardige wijziging aan. Van de tweede premisse maken we
Charly is een ouder van Sammy.
Bovendien stellen we vast dat mannelijke ouder zijn hetzelfde concept is
als vader zijn.
Het feit dat Charly met een man getrouwd is, zegt niets over Charly’s
geslacht. We kennen contexten waarin mannen met mannen getrouwd
zijn. Dat iemand niet met zichzelf getrouwd kan zijn, beschouwen we
weer wel als een vaststaand feit. We verwerpen contexten waarin dat
wel een mogelijkheid is. In alle denkbare contexten is Charly iemand
anders dan de vader van Sammy.
We accepteren bovendien alleen contexten waarin sprake is van
geslachtelijke voortplanting: van twee ouders is altijd maar één een
man. Dan moet de ander een vrouw zijn, een derde mogelijkheid is er
niet.
Omdat in alle denkbare contexten de vader van Sammy een man is,
moet Charly, ook een ouder van Sammy en niet dezelfde persoon, wel
een vrouw zijn.
De redenering is geldig!
Model voor deze redenering
Het propositielogische model schiet tekort om de redenering hierboven
te analyseren. De premissen en de conclusie zijn niet samengesteld,
logische operatoren spelen geen rol. (Die observatie zullen we verderop
nuanceren.)
De redenering heeft enige overeenkomsten met een sluit- of drogreden
volgens Aristoteles. De drie beweringen hebben alle drie de mode A. We
herkennen de volgende concepten: “Charly zijn”, “getrouwd zijn met de
vader van Sammy”, “Sammy zijn”, “kind van Charly zijn” en tenslotte
“vrouw zijn”.
Om te beginnen zijn dat teveel concepten om een analyse in termen van
het systeem van Aristoteles mogelijk te maken.
68
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Wat het nog lastiger maakt, is dat de concepten niet onafhankelijk van
elkaar zijn. Er is een verband tussen “Sammy zijn” en “getrouwd zijn met
de vader van Sammy”, en tussen “Charly zijn” en “kind zijn van Charly”.
In het concept “getrouwd zijn met de vader van Sammy”zit bovendien
het concept “vader zijn van Sammy” verborgen.
Willen we de redenering en zijn geldigheid “formeel” benaderen, dan
hebben we nieuw gereedschap nodig.
De bouw stenen van het nieuw e model
Het model voor de meer ingewikkelde consistentie- en
geldigheidsvraagstukken is de predicaatlogica. Predicaatlogica is een
formuletaal met een wiskundig mechanisme om aan de formules
betekenis te geven. De formules van de predicaatlogica en het
mechanisme dat betekenis geeft aan die formules zijn anders, maar de
analogie met de propositielogica is duidelijk. Ook dat is een formuletaal
met een mechanisme dat betekenis geeft. De formules van de
propositielogica zijn opgebouwd uit propositievariabelen en logische
operatoren. Het wiskundig mechanisme dat betekenis geeft aan die
formules is de waarderingsfunctie.
De taal van de predicaatlogica is rijker en ingewikkelder dan die van de
propositielogica. De predicaatlogische formules zijn opgebouwd uit de
volgende bouwstenen:
 individuele variabelen,
 individuele constanten,
 predicaatsymbolen
 het =-teken
 logische operatoren
 kwantoren.
Individuele constanten zijn namen voor individuen. “Charly” en
“Sammy” zijn individuele constanten. We gebruiken vaak ook
nietszeggende aanduidingen, letters, c, d, soms met subscripten: c0, c1,
d0, ... .
Individuele variabelen noteren we met letters x, y, z, soms ook met
subscripten x0, y1, .... Het domein van de individuele variabelen zijn de
individuen (in een gegeven context). Zoals Sammy en Charly, maar dan
ook de vader van Charly, de moeder van de moeder van Sammy, ... .
Predicaatsymbolen zijn namen voor eigenschappen en relaties. “Man”
en “Vrouw” zijn predicaatsymbolen, “Getrouwd” ook. We gebruiken
vaak weinigzeggende een of tweeletterige aanduidingen, geschreven
met een hoofdletter.
We maken een onderscheid tussen predicaatsymbolen van
verschillende plaatsigheid. Een eigenschap dicht je toe aan één individu.
Een predicaatsymbool dat een eigenschap benoemt is éénplaatsig. Maar
69
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
een relatie bestaat tussen twee (en soms zelfs meer) individuen. Een
predicaatsymbool dat een relatie tussen twee individuen benoemt
(“getrouwd zijn met”, “ouder zijn van”) is tweeplaatsig. En gaat het om
een relatie tussen n individuen, dan is het predicaatsymbool n-plaatsig.
(Bijvoorbeeld: “op één lijn liggen” is een relatie tussen punten in het
platte vlak die interessant is als drieplaatsige relatie)
Het symbool = staat voor gelijkheid tussen individuen. Een bekend
symbool.
De logische operatoren zijn inmiddels ook bekend. Het zijn dezelfde als
in de propositielogica.
Kwantoren tenslotte zijn taal hulpmiddelen om mee uit te kunnen
drukken dat beweringen gaan over alle dan wel sommige van de
individuen. De kwantor die “allemaal” uitdrukt, noemen we universeel.
De kwantor die “sommige” uitdrukt, noemen we existentieel. Die
begrippen kwamen we bij de analyse van de sluitredenen van
Aristoteles ook al tegen. We gebruikten toen het woord particulier voor
wat we nu existentieel gaan noemen.
Het symbool voor de notatie van de universele kwantor is een
omgekeerde A: . Het symbool voor de existentiële kwantor is een
gespiegelde E: .
Voorbeelden van predicaatlogische formules
Om predicaatlogische formules te kunnen lezen en schrijven, is inzicht in
de relatie tussen beweringen (in gewone taal) en formules noodzakelijk.
Formules geven de oorspronkelijke beweringen schematisch weer. In de
vertaalslag van bewering naar formules maak je keuzes. Welke
individuen worden benoemd in de bewering, en hoe vertaal je hun
namen naar individuele constanten? Welke eigenschappen en relaties
spelen een rol in de bewering, en hoe vertaal je die naar
predicaatsymbolen?
We gebruiken de Charly en Sammy redenering om de vertaalslag naar
de schematische weergave van beweringen, en daarmee ook de
opbouw van predicaatlogische formules, te illustreren.
Laat F (female) het éénplaatsige predicaatsymbool zijn voor de
eigenschap “vrouw zijn”. En c is de individuele constante waarmee we
het unieke individu Charly benoemen. Dan staat de formule
F(c)
voor de bewering dat Charly een vrouw is.
Omgekeerd, de formule M(s) geeft schematisch een bewering weer die
aan het individu s de eigenschap M toedicht. We kunnen afspreken dat
M staat voor de eigenschap “man zijn”, en s voor het individu dat we
kennen als Sammy. Dan staat M(s) voor de bewering dat Sammy een
man is.
70
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Hoe lezen we de formule
M(s)  F(s)?
Deze formule zegt van het individu s dat het tenminste één van de
eigenschappen M of F heeft. Het is een schematische weergave van de
bewering dat Sammy een man of een vrouw is.
Een schematische weergave van de bewering:
“als Charly een vrouw is, is zij geen man”
is de predicaatlogische formule
F(c)  M(c).
Hoe lezen we de formule
x F(x)?
Deze formule ontkent () dat alle individuen (x) de eigenschap F
hebben. Het is een schematische weergave van de bewering dat niet
alle individuen vrouw zijn.
Een schematische weergave van de bewering
“Er bestaat een man”, of (hetzelfde in andere woorden)
”Tenminste één individu is man”
is de predicaatlogische formule
x M(x)
De schematisering van
“Een man is geen vrouw”
is de predicaatlogische formule
x (M(x)  F(x)).
Hier zien we de E-mode van Aristoteles in predicaatlogische vorm terug.
De concepten M en F sluiten elkaar volledig uit. Losjes uitgedrukt: voor
ieder individu x geldt dat als het een M is, dan kan het geen F zijn.
De predicaatlogische formule
x ((M(x)  F(x))  (F(x)  M(x)))
is een schematische weergave van de bewering dat alle individuen man
of vrouw zijn, maar nooit beide tegelijk. Als we de structuur van het
schema volgen, lezen we: “voor ieder individu x is tenminste een van
beide het geval: x heeft de eigenschap M maar niet de eigenschap F, of x
heeft de eigenschap F maar niet de eigenschap M.
De predicaatlogische schema’s zijn abstracties van de concrete
beweringen die zij modelleren. Alle formules die we hebben
opgeschreven laten zich ook begrijpen als schematisering van
beweringen over getallen. Het predicaatsymbool F had ook kunnen
staan voor “even zijn”, en M voor “oneven zijn”. De individuele
constante s had de naam kunnen zijn van het individu 7, en c voor 100.
Dan schematiseert de formule
F(c)  M(c)
de bewering: “als 100 even is, is het niet oneven” en
71
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
x ((M(x)  F(x))  (F(x)  M(x)))
is dan een predicaatlogische weergave van de bewering dat alle getallen
even of oneven zijn, maar nooit beide tegelijk.
Meer voorbeelden van predi caatlogische formules
We introduceren twee nieuwe predicaatsymbolen: P en C. Beide staan
voor tweeplaatsige relaties. We gebruiken ze als de representaties voor
de relatie “ouder zijn van” (P, parent), en “getrouwd zijn met” (C,
couple).
Dat Sammy een kind is van Charly laat zich dan schematiseren in de
formule
P(s, c)
We hebben ervoor gekozen in de representatie van de P-relatie eerst
het kind en daarna de ouder te noemen. P(s,c) laat zich dan lezen als
“een P van s is c”. Maar dat had ook andersom gekund.
Met de formule
x y P(x, y)
wordt dan schematisch weer gegeven dat ieder individu een ouder
heeft. Bij ieder individu x is er een individu y zodat x en y in de P-relatie
tot elkaar staan, ofwel zodat y een P van x is.
Dat Sammy een vader heeft laat zich schematisch weergeven in de
formule
y (P(s, y)  M(y)).
Daar staat dat er een individu y is dat een P van s is en tegelijkertijd de
eigenschap M heeft.
We beschouwen de formule
x y ((z (P(z, x)  P(z, y))  M(x)  M(y))  x=y)
Die kan worden opgevat als een schematische weergave van de
bewering dat iedereen hoogstens één vader heeft. De formule gaat over
twee individuen x en y die twee eigenschappen delen. De eerste
eigenschap is dat zij beide P zijn van hetzelfde individu z: z (P(z, x) 
P(z, y)). De tweede eigenschap is dat zij beide M zijn: M(x)  M(y). De
formule geeft een implicatie die voor elk tweetal het geval is: als zij de
genoemde eigenschappen delen, dan zijn zij gelijk.
Dit is een typische manier om in een predicaatlogische formule uniciteit
uit te drukken. Dat er maar één individu met een bepaalde eigenschap
kan zijn, druk je uit door te zeggen dat iedere twee die die eigenschap
delen aan elkaar gelijk zijn.
Een volgende bewering die we schematisch zullen weergeven, is dat
ieder individu precies één moeder heeft. Dat gaat als volgt:
x y (P(x, y)  F(y)  z ((P(x, z)  F(z))  z=y))
Hier wordt het bestaan van tenminste één individu y met de gezochte
eigenschappen P(x, y)  F(y) vastgesteld, tegelijkertijd met het feit dat
72
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
een tweede individu z met dezelfde eigenschappen aan deze y gelijk is.
Let op het verschil met de vorige formule. De y verzekert het bestaan
van tenminste één individu met de gewenste eigenschappen. Die
existentiële kwantor ontbrak hiervoor, daar werd alleen het “hoogstens
één” vastgesteld.
We kijken naar de volgende formules
x y (C(x, y)  C(y, x)) en
x y (C(x, y)  (x = y))
De eerste is een schematische weergave van de symmetrie van de
huwelijksrelatie. Als y een C van x is, dan is x een C van y. Lees
“huwelijkspartner” voor C.
De tweede formule is een schematische weergave van het feit dat
huwelijkspartners verschillende individuen zijn. Als y een C van x is dan
zijn x en y verschillende individuen.
Dat laatste hadden we ook schematisch kunnen uitdrukken in de
formule x C(x, x).
We zullen in het vervolg (x = y) afkorten door x  y.
En tenslotte de bewering dat Charly getrouwd is met de vader van
Sammy. Daarvoor hebben we de volgende schematische weergave.
x (P(s, x)  M(x)  C(c, x))
De formule zegt wat hij moet zeggen, maar de structuur wijkt nogal af
van de formulering van de bewering. Er bestaat een individu x met drie
eigenschappen: een P zijn van s (ouder zijn van Sammy), en een M zijn
(man zijn) en een C zijn van c (huwelijkspartner zijn van Charly).
In de bewering is sprake van “de vader”. In het lidwoord “de” ligt de
uniciteit van het vader zijn besloten. Dat komt niet tot uitdrukking in
bovenstaande formule. Het uitdrukken van die uniciteit hebben we
eerder al gedaan.
Charl y is een vrouw
We introduceerden predicaatlogica met de volgende redenering
Charly is getrouwd met de vader van Sammy
Sammy is een kind van Charly
Dus: Charly is een vrouw.
In het predicaatlogische model kunnen we deze redenering vangen in de
volgende drie formules:
x (P(s, x)  M(x)  C(c, x)) (eerste premisse)
P(s, c)
(tweede premisse)
F(c)
(conclusie)
Maar in het schematiseren hebben we geabstraheerd. Belangrijke
aspecten van het man of vrouw zijn, van het ouder zijn en van het
73
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
getrouwd zijn, kun je niet reconstrueren uit de predicaatsymbolen. We
moeten die aspecten dus expliciet maken.
In de analyse van de geldigheid van deze redenering deden we een
beroep op de volgende inzichten.
Getrouwd ben je nooit met jezelf:
x C(x, x).
Iedereen heeft maximaal één vader:
x y ((z (P(z, x)  P(z, y))  M(x)  M(y))  x=y),
en wie geen man is, is vrouw:
x (M(x)  F(x)).
In de predicaatlogische benadering kunnen de interessante logische
vragen nu als volgt geherformuleerd worden.
Ten eerste:
is F(c) een noodzakelijk gevolg van {x (P(s, x)  M(x)  C(c, x)), P(s, c),
x C(x, x), x y ((z (P(z, x)  P(z, y))  M(x)  M(y))  x=y),
x (M(x)  F(x))}?
Ten tweede:
is er een bewijsmethode om F(c) af te leiden uit
{x (P(s, x)  M(x)  C(c, x)), P(s, c), x C(x, x),
x y ((z (P(z, x)  P(z, y))  M(x)  M(y))  x=y),
x (M(x)  F(x))}?
Ten derde:
is er een volledigheidsstelling voor die bewijsmethode?
Maar om de eerste vraag te kunnen beantwoorden missen we nog een
belangrijke ingrediënt. We hebben voor het predicaatlogisch model nog
niet vastgesteld hoe we zullen omgaan met “waarheid in denkbare
contexten”. Het betekenisdeel van het model (zoals de waarderingen in
het propositielogisch model) ontbreekt nog.
We kiezen voor een andere aanpak. We beginnen met de
bewijsmethode.
Af l eiden in de predi caatlogica
We bouwen de predicaatlogische redenering die tot de conclusie F(c)
leidt op in omgekeerde volgorde. De laatste inferentie (twee inferenties)
zijn als volgt:
x (M(x)  F(x))
M(c)
M(c)  F(c)
F(c)
(2)
(1)
74
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De gewenste conclusie (1) wordt getrokken in de vorm van modus
ponens.
De ene premisse van deze modus ponens, M(c)  F(c) (2), wordt
afgeleid uit x (M(x)  F(x)), wie geen man is, is vrouw. De gebruikte
afleidingregel heet ook wel instantiatie. (of -eliminatie.)
De andere premisse van modus ponens (Charly is geen man) kent een
lange afleiding, Die afleiding (de stippellijn) vullen we nu verder in.
De conclusie M(c) wordt getrokken uit het ongerijmde. We gaan twee
afleidingen opzetten met de open aanname M(c), die tot een
tegengestelde conclusie leiden. Dan kunnen we M(c) intrekken als
aanname, en M(c) concluderen.
M(c)3
x C(x, x)
C(c, c)
C(c,c)
M(c)
(3)
De ene afleiding (links in de figuur) blijkt heel kort en heeft de aanname
M(c) in het geheel niet nodig. Het is een enkele instantiatie. Niemand is
partner van zichzelf, dus Charly is geen partner van zichzelf. De andere
afleiding, met de conclusie C(c,c), Charly is wel partner van zichzelf,
werken we nu verder uit.
Daarin speelt de premisse x (P(s, x)  M(x)  C(c, x)) een belangrijke rol.
Het is de premisse die het bestaan van de vader van Sammy vaststelt,
die partner is van Charly. Voor die vader van Sammy hebben we geen
naam, er is geen individuele constante die hem benoemt. Voor het
argument is het gewenst dit individu toch te kunnen benoemen. We
introduceren een uitverkoren variabele a die fungeert als naam van de
vader van Sammy.
Het sluitstuk van de afleiding die tot de conclusie C(c,c) leidt uit de open
aanname M(c) is de volgende -eliminatie.
75
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
M(c), P(s, a)  M(a)  C(c,a)4
x (P(s, x)  M(x)  C(c, x))
C(c,c)
C(c,c)
(4)
De premisse x (P(s, x)  M(x)  C(c, x)) rechtvaardigt de introductie van
de uitverkoren variabele a en de aanname P(s, a)  M(a)  C(c, a). Op
het moment dat uit die aanname de gewenste conclusie C(c,c) bereikt is,
wordt hij weer ingetrokken. De conclusie C(c,c) heeft de aanname niet
nodig, hij volgt rechtstreeks uit de oorspronkelijke existentiebewering.
De laatste stap in de afleiding van C(c,c) uit de aannamen M(c) en P(s, a)
 M(a)  C(c,a) is een substitutie: als twee individuen aan elkaar gelijk
zijn, kunnen we de een door de ander vervangen in elke mogelijke
bewering.
M(c), P(s, a)  M(a)  C(c,a)
P(s, a)  M(a)  C(c,a)
c=a
C(c,a)
C(c,c)
De rechter premisse C(c,a) volgt uit de aanname P(s, a)  M(a)  C(c,a)
door een enkele -eliminatie. Afleiden van c = a uit M(c), P(s, a)  M(a)
 C(c,a) (de stippellijn) vergt meer stappen.
In de afleiding van c = a gaan twee premissen een rol spelen die tot nu
toe buiten beschouwing zijn gebleven: P(s, c) en
x y ((z (P(z, x)  P(z, y))  M(x)  M(y))  x=y). Ze drukken
schematisch uit dat Sammy een kind is van Charly en dat een kind maar
één vader heeft .
De redenering met conclusie c=a eindigt met een toepassing van modus
ponens.
M(c), P(s, a)  M(a)  C(c,a), P(s,c)
x y ((z (P(z, x)  P(z, y))  M(x)  M(y))  x=y)

 c=a
c=a
76
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De linker premisse van deze regeltoepassing  = z (P(z, c)  P(z, a)) 
M(c)  M(a) vergt een paar (eenvoudige) stappen. De rechter premisse
 c=a is de conclusie van een enkele instantiatie.
Het laatste ontbrekende stuk, de afleiding van z (P(z, c)  P(z, a)) 
M(c)  M(a), beschrijven we in woorden.
Uit de aanname P(s, a)  M(a)  C(c,a) volgt P(s,a) (-eliminatie).
Combinatie met P(s,c) leidt tot P(s,c)  P(s,a) (-introductie). Uit die
conjunctie volgt door -introductie z (P(z, c)  P(z, a)).
Nog een -introductie leidt ons tot z (P(z, c)  P(z, a))  M(c) (M(c) is
een open aanname). Met een -eliminatie tenslotte leiden we M(a) af
uit de aanname P(s, a)  M(a)  C(c,a) , en een laatste -introductie
levert het gezochte z (P(z, c)  P(z, a))  M(c)  M(a).
De taal van de predi caatlogica
De precieze beschrijving van de taal van de predicaatlogica begint bij het
begrip term. Termen zijn de taalconstructies die naar individuen
verwijzen.
Er zijn twee soorten termen. Individuele constanten (of kortweg
constanten) zijn termen. Individuele variabelen (of kortweg variabelen)
zijn termen.
We noteren constanten en variabelen met letters en subscripten. c, d,
c0, c1, d2,... voor constanten, x, y, z, x0, y1, z2, ... voor variabelen.
Dit termbegrip is anders dan bij Aristoteles. De termen daar waren
concepten, waarvan de classificatie in major, minor en midden was
gerelateerd aan de plaats die de concepten in de redenering innamen.
Het begrip term in de predicaatlogica wordt interessanter als we
complexere constructies toelaten om naar individuen te verwijzen. We
zien vaak de toevoeging van operatoren en functies. Denk aan een
operator +, zodat je bijvoorbeeld x+1 kunt schrijven, en aan een
logaritme, zodat je log(x) kunt schrijven. Die +1 zullen we later nog
tegenkomen.
Vervolgens hebben we predicaatsymbolen, elk met zijn eigen
plaatsigheid. Losse hoofdletter noteren predicaatsymbolen.
Dan hebben we de gelijkheid (tussen individuen). Die noteren we met
het gebruikelijke symbool =.
Uit termen, predicaatsymbolen en gelijkheid kunnen we de atomaire
formules bouwen.
Die zijn er in twee soorten:
t = s, waarbij t en s termen zijn, en
P(t1, …, tn), waarbij t1, … , tn termen zijn.
77
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Uit formules (beginnend bij de atomaire) kunnen we nieuwe
(samengestelde) formules bouwen met behulp van de bekende logische
operatoren.
Als  en  formules zijn, dan ook:
,
(  ),
(  ),
(  ).
Tenslotte kunnen we over formules (zowel atomair als samengesteld)
kwantificeren:
Als  een formules is, dan ook:
x, x een variabele,
x, x een variabele.
De haakjes in de samengestelde formules zijn om dubbelzinnigheid te
voorkomen. Maar waar van dubbelzinnigheid geen sprake is, laten we ze
weg. De formule P(s, a)  M(a)  C(c, a) die we eerder tegenkwamen,
had eigenlijk geschreven moeten worden als ((P(s, a)  M(a))  C(c, a))
of als (P(s, a)  (M(a)  C(c, a))). Maar de haakjes maken hier niets
duidelijk, ze maken eerder de formule onduidelijk. Zulke haakjes laten
we dus weg.
In een andere oude bekende, namelijk in de formule
(z (P(z, x)  P(z, y))  M(x)  M(y))  x=y, staan haakjes die we niet
weg kunnen laten. In z (P(z, x)  P(z, y))  M(x)  M(y)  x=y kun je
namelijk ook lezen z (P(z, x)  P(z, y))  M(x)  (M(y)  x=y), en dat is
iets heel anders. Overigens, als we alle haakjes volgens de regels hadden
geschreven, had er gestaan:
((z (P(z, x)  P(z, y))  (M(x)  M(y)))  x=y)
Voorbeelden van dergelijke formules zijn (ook oude bekenden):
z (P(z, c)  P(z, a)) en
x (M(x)  F(x)).
Kw antoren en variabelen
Als de variabele x in de formule  niet voorkomt, heeft het niet zoveel
zin om op te schrijven x of x. Dat zullen we dus ook niet gauw
doen. Maar het is niet verboden. Je kunt x en x schrijven zonder
dat x in  voorkomt.
Om zichtbaar te maken dat de term t in  voorkomt, schrijft men soms
(t). Ook die notatie moet met zorg gelezen worden. Soms wordt (t)
ook gebruikt om aan te geven dat t in  voor zou kunnen komen. Maar
dat is niet zeker. Als t in (t) een variabele is, dan gaat het om vrije
voorkomens van de variable in . (De definitie van een vrij voorkomen
volgt nog.) Als we ingewikkelder termen hebben, met operatoren en
78
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
functies, dan gaat het in (t) om voorkomens van t waarin alle
variabelen binnen t vrij zijn.
Het begrip vrije variabele, of nauwkeuriger het vrij voorkomen van een
variabele, is gedefinieerd door de volgende clausules.
In een formule zonder kwantoren zijn alle voorkomens van variabelen
vrije voorkomens.
Een variabele kan zijn status van vrije variabele alleen verliezen door
binding. Binding vindt plaats bij de introductie van kwantoren. Een
variabele die niet bij binding betrokken is, is en blijft vrij.
In de formules x en x zijn alle vrije voorkomens van x in 
gebonden. In het ene geval vindt binding plaats door de kwantor x, in
het andere door x.
Beschouw bijvoorbeeld de formules (x) en (x). In beide komt de
variabele x vrij voor.
In x((x)  (x)) zijn de oorspronkelijk vrije voorkomens van x in (x)
en (x) gebonden. In x(x)  (x) zijn de vrije voorkomens van x in
(x) gebonden, maar die in (x) zijn nog steeds vrij.
In x(x(x)  (x)) zijn alle voorkomens van x gebonden. De vrije
voorkomens in (x) zijn betrokken in binding door de “overkoepelende”
x waar de formule mee begint. De vrije voorkomens in (x) zijn
betrokken in binding door de x van x(x).
x(x(x)  (x)) is een moeilijk leesbare formule. Twee verschillende
bindingen van één variabele x is verwarrend. Omnoemen van variabelen
is hiervoor een oplossing.
Als we alle vrije voorkomens van x in  vervangen door y, dan zijn x
en y gelijkwaardig. Allebei drukken ze uit dat voor alle individuen de
bewering  geldt. Bij existentiële kwantificatie geldt hetzelfde. Let wel
op, de y de gebruikt wordt als vervanging van x mag niet al in  voor
komen.
De volgende voorbeelden illustreren de gewenste zorgvuldigheid bij het
omnoemen.
x A(x,y) is niet hetzelfde als y A(y,y), maar wel als z A(z,y)
xy A(x,y) is niet hetzelfde als yy A(y,y), maar wel als zy A(z,y)
Het moeilijk leesbare x(x(x)  (x)) laat zich beter opschrijven als
y(x(x)  (y)), op voorwaarde dat het omnoemen van x naar y in 
mogelijk is. (D.w.z. y komt niet al voor).
Een formule waarin alle voorkomens van variabelen gebonden
voorkomens zijn, is een zin.
79
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Bedenk dat een variabele geen naam is van een individu. Een zin is
opgebouwd met logische operatoren uit onderdelen. Een dergelijk
onderdeel heeft als strekking: “voor alle individuen geldt de bewering
” of “er is een individu voor wie de bewering  geldt”. De rol van de
variabele is om in dergelijke constructies de plekken binnen de
bewering  te markeren waar het individu een rol speelt.
Er is overigens één uitzonderlijke situatie waar een variabele wel als
naam gebruikt wordt. Dat is in afleidingen met als premisse een
existentiële formule x. Er is een individu voor wie  geldt, maar we
weten niet wie. Dan voeren we een individu met de naam a (een
willekeurige variabele) op als getuige: voor hem geldt . De premisse x
 rechtvaardigt de aanname (a). Een conclusie die wij uit die aanname
trekken, mogen we ook uit x  trekken.
Natuurlijke deductie
We hebben de beschrijving van de taal van de predicaatlogica. We
hebben uitgeweid over het gebruik van variabelen, in het bijzonder over
het concept van binding. We hebben de ingrediënten om natuurlijke
deductie in detail te behandelen. De principes zijn dezelfde als in de
propositielogica. De inferentieregels van de propositielogica gelden ook
voor de predicaatlogica. Maar predicaatlogica heeft 6 extra inferentieof afleidingsregels.
De 6 nieuwe regels zijn:
De introductie van ,  en =.
De eliminatie van ,  en =.
Vier regels zijn eenvoudig. Ze kunnen worden begrepen zonder de
voorgeschiedenis (afleiding) van de premissen te beschouwen.
x(x)
(t)
-E
-I
(t)
x(x)
t=s (s)
(t)
=-E
t=t
=-I
De -E regel heet ook instantiatie. De term t waar we x door vervangen
moet vrij zijn in (t).
De gebonden x in de conclusie x(x)van de -I regel moet niet al in
(t) voorkomen.
De =-E regel noemen we ook substitutie. De term t die in de conclusie de
s uit de premisse vervangt moet vrij zijn in , zoals s dat is in de
premisse.
Overal waar sprake is van substitutie (in alle bovenstaande regels
behalve =-I) worden alle voorkomens van de getoonde term of variabele
80
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
in de premisse vervangen door de getoonde term of variabele in de
conclusie.
De laatste twee regels zijn inferenties waarbij het niet volstaat om de
premissen als formules te beschouwen. We moeten hun afleiding
(deels) in de toepassing van de regel betrekken.

(y)
x(x)
(y)n
-I
x(x)


-E (n)
Bij het vervangen van y door x in de -introductieregel, en bij het
vervangen van x door y bij het vormen van de open aanname in de eliminatieregel gelden de gebruikelijke regels. De vervangende
variabelen komen niet al elders voor, en alle oorspronkelijke
voorkomens worden vervangen.
Bij toepassing van -E wordt de aanname (y) ingetrokken. In de
conclusie  komt y niet vrij voor! Bij toepassing van -I wordt een
bijzondere eis gesteld aan de open aannamen . In deze aannamen
mag y nergens vrij voorkomen.
De synt actische sequent
De introductie van natuurlijke deductie stelt ons in staat om de
syntactische sequent voor de predicaatlogica te definiëren.
De syntactische sequent  |  staat voor: er is een afleiding in
natuurlijke deductie met conclusie  en open aannamen .
Zoals gebruikelijk schrijven we |  als er een gesloten afleiding van 
is.
We gebruiken een van de sluitredenen van Aristoteles om natuurlijke
deductie en syntactische sequent nog eens te illustreren.
Republieken zijn geen koninkrijk.
Sommige landen zijn wel een koninkrijk.
Dus: sommige landen zijn geen republiek.
De predicaatlogische schematisering van deze redering is als volgt. We
introduceren eerst drie éénplaatsige predicaatsymbolen L voor “land
zijn”, K voor “koninkrijk zijn”, en R voor “Republiek zijn.
Republieken zijn geen koninkrijk wordt schematisch: x (R(x)  K(x))
Sommige landen zijn wel een koninkrijk wordt schematisch:
x (L(x)  K(x))
Sommige landen zijn geen republiek wordt: x (L(x)  R(x)).
81
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De sluitreden van Aristoteles laat zich symbolisch representeren in de
syntactische sequent:
{x (R(x)  K(x)), x (L(x)  K(x))} | x (L(x)  R(x)).
Dat dat inderdaad een syntactische sequent is, blijkt uit de volgende
afleiding.
x (R(x)  K(x)
L(a)  K(a)1
R(a)4b
K(a) (5a,-E)
L(a) (4a,-E)
x (L(x)  K(x))
R(a)  K(a)
(6,-E)
K(a)
(5b,-E)
R(a)
(4b,-I)
L(a)  R(a)
(3,-I)
x (L(x)  R(x))
(2,-I
x (L(x)  R(x))
(1,-E)
Bij alle conclusies van regels staat rechts vermeld wat het karakter van
de toegepaste regel is. De ingetrokken aannamen zijn grijs gemarkeerd.
Uit de verwijzing bij de ingetrokken aannamen, blijkt bij welke inferentie
de aanname vervalt.
In het bewijs is (weer) sprake van een uitverkoren variabele a die de rol
van getuige van een existentiële kwantor speelt. De conclusie R(a) in
regel 4b heeft een bewijs uit het ongerijmde.
Signaturen, structuren en vervullen
Een verzameling formules heeft een signatuur. Daaronder verstaan we
een opsomming die duidelijk maakt hoeveel individuele constanten in
de formules in de verzameling voorkomen, hoeveel éénplaatsige
predicaatsymbolen, hoeveel tweeplaatsige, en zo verder.
Bij iedere signatuur hoort een structuur.
Een structuur heeft componenten, corresponderend met de opsomming
uit de gegeven signatuur.
Kern van de structuur is het domein. In dat domein zijn een aantal
speciale elementen aangewezen. Met elke individuele constante
correspondeert een dergelijk aangewezen element.
Er zijn bovendien deelverzamelingen van het domein aangewezen. Met
elk éénplaatsig predicaatsymbool correspondeert een aangewezen
deelverzameling.
Voor n-plaatsige predicaatsymbolen in het algemeen geldt dat zij
corresponderen met deelverzamelingen die in de structuur zijn
aangewezen. Dat zijn dan deelverzamelingen van Dn wel te verstaan,
waarbij D het domein is.
82
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Denken we aan een signatuur met 1 constante, 1 éénplaatsig
predicaatsymbool en 1 tweeplaatsig predicaatsymbool, dan zou een
structuur kunnen zijn:
 Als domein alle dagen van het jaar.
 Als aangewezen element voor de constante de datum van mijn
verjaardag.
 Als aangewezen deelverzameling de data van het jaar waarop twee
of meer medewerkers van de Universiteit Twente gelijktijdig jarig
zijn.
 Als tweede aangewezen deelverzameling (maar nu van paren data)
alle tweetallen dagen in het jaar waarop twee medewerkers van
dezelfde leeftijd jarig zijn. Dus het tweetal 6 en 7 mei komt in deze
laatste verzameling voor als het de verjaardagen zijn van twee even
oude medewerkers.
Maar bij dezelfde signatuur kun je ook een heel andere structuur
denken.
 Het domein zijn alle delers van 60.
 Het aangewezen element voor de constante is 4 (omdat dat het
grootste kwadraat onder de delers is)
 De aangewezen deelverzameling bestaat uit alle oneven delers.
 De tweede aangewezen deelverzameling (van paren delers) bestaat
uit alle tweetalen waarvan het product deelbaar is door 36.
En nog anders.
Domein zijn alle punten in het platte vlak, het aangewezen element is de
oorsprong, de aangewezen deelverzameling zijn de punten op de cirkel
met straal 1, middelpunt de oorsprong, en de tweede deelverzameling
bestaat uit alle tweetallen punten waarvan de verbindingslijn door de
oorsprong gaat.
Een structuur bij een signatuur kan beschreven worden als een tweetal
bestaande uit een domein D, en een interpretatiefunctie I; deze I geeft
de correspondentie tussen constanten en predicaatsymbolen aan de
ene kant en elementen en deelverzamelingen aan de andere kant.
We definiëren nu wat we bedoelen met het vervullen van een formule
door een structuur. Vervullen is het woord dat uitdrukt dat de structuur
de formule waar maakt.
De structuur is de abstractie van de context, zoals de formule de
abstractie van de bewering is.
We noteren het vervullen van een formule door een structuur met het
zelfde symbool dat we ook voor de semantische sequent, het
noodzakelijk gevolg, gebruikten: |=.
Voor de definitie van |=. in deze rol hebben we een extra begrip nodig.
Dat is het begrip bedeling. Een bedeling (met klemtoon op de tweede e)
83
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
is een functie V die aan iedere individuele variabele een element uit het
domein toevoegt.
Als we een bedeling hebben, dan benoemt iedere term een element uit
het domein. De interpretatiefunctie zegt voor elke constante welk
element uit het domein hij benoemt. De bedeling doet hetzelfde voor
elke individuele variabele. De interpretatiefunctie zorgt er ook voor dat
ieder predicaatsymbool een deelverzameling benoemt.
We definiëren nu |=.V : vervullen onder de bedeling V. We danken het
begrip vervullen op deze manier gedefinieerd aan Alfred Tarski (19021983). De relatie |=tussen een structuur en een formule (al dan niet
onder een bedeling) wordt de satisfactierelatie genoemd.
A |=.V R(t1,…,tn) als het n-tal elementen van D benoemd door t1,…,tn
behoort tot de verzameling benoemd door R (de interpretatie
van R).
A |=.V t = s als de elementen van D benoemd door t en s hetzelfde zijn.
A |=.V , als A |=.V 
A |=.V   , als A |=.V  en A |=.V 
A |=.V   , als A |=.V  of A |=.V 
A |=.V   , als A |=.V  of A |=.V 
A |=.V x, als voor alle d in het domein D van A geldt: A |=.V x,d 
A |=.V x, als voor tenminste één d in het domein D van A geldt:
A |=.V x,d 
In deze formules hebben we V x,d gebruikt om de bedeling V te noteren
die met elke variabele hetzelfde element uit D associeert als V, behalve
met de variabele x. Daarmee wordt nu het element d geassocieerd.
Vervullen (zonder bedeling) is gedefinieerd als:
A |=.  als A |=.V , voor elke bedeling V.
Voor zinnen  doet de bedeling niet ter zake. A |=.  is voor een zin 
hetzelfde als A |=.V , voor elke bedeling V.
We schrijven |=.  als elke structuur de zin  waar maakt (vervult). Dan is
 een noodzakelijke waarheid, en de ontkenning van  een contradictie.
We schrijven A |=. ,  een verzameling formules, als A |=.  voor elke
.
84
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Consistentie van een verzameling zinnen laat zich nu gemakkelijk
formuleren, in het predicaatlogisch model. De verzameling  is
consistent als en een structuur (van de juiste signatuur, natuurlijk)
bestaat zodat A |=. .
Ook noodzakelijk gevolg en geldigheid laten zich eenvoudig uitdrukken
in het model. De redenering met premissen  en conclusie  is geldig als
er geen tegenvoorbeeld bestaat, dat wil zeggen dat er geen structuur is
zodat A |=.   {}.
Hetzelfde in iets andere woorden: de semantische sequent in het
predicaatlogisch model is als volgt gedefinieerd:
 |=  als voor iedere structuur A geldt: A |=.  .A |=. .
Correct en volledig
Het zal niet verbazen dat ook voor de predicaatlogica een
volledigheidsstelling geldt. De zojuist geïntroduceerde semantische
sequent is gelijkwaardig aan de eerder geïntroduceerde syntactische.
Voor het predicaatlogisch model geldt:
 |=    |– 
Model en w erkelijkheid
We gebruiken predicaatlogica als model voor beweringen in natuurlijke
taal. Maar in het gebruik van natuurlijke taal gelden net iets andere
regels dan in de predicaatlogica.
Bij het introduceren van de propositielogica hebben we al gesproken
over het gebruik van het woord “of”.
Het is ongewoon om op de vraag over een pasgeboren baby: “Is het een
jongen of een meisje?” te antwoorden met “Ja”. De vragensteller drukt
in zijn vraag de wens uit om meer informatie te krijgen. Het gaat hem
niet om waarheid van een bewering. Hij heeft onduidelijkheid over twee
alternatieven. In een normaal gesprek proberen beide sprekers
eensgezind in dezelfde best mogelijke informatietoestand te komen. Op
de vraag “Is het een jongen of een meisje” antwoord je dus: “Een
meisje”, of “Een jongen”, of “Ik weet het niet.”
Het is even ongewoon om op de vraag “Heeft zij twee kinderen?” te
antwoorden: “Ja, ze heeft er drie”. Als zij drie kinderen heeft, Bobby,
Bonnie en Boris, kun je op wel drie manieren aantonen dat zij er twee
heeft; Bobby en Bonnie, Bobbie en Boris en Bonnie en Boris. Maar net
als bij “of” gaat het om het bereiken van de best mogelijke gedeelde
informatietoestand. Dus je antwoordt: “Nee, ze heeft er drie.”
Na het vertalen naar predicaatlogische formules is informatietoestand
niet meer aan de orde. Het gaan om waar of niet waar. Over de
waarheid van de predicaatlogische formule die uitdrukt dat er twee
85
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
individuen zijn met een bepaalde eigenschap, in een structuur waar drie
van dergelijke individuen bestaan, hoeven we niet te twijfelen. In die
structuur is de uitspraak over het bestaan van 2 gewoon waar.
Toen we het begrip consistentie voor het eerst noemden,
karakteriseerden we het in termen van het voorstelbaar zijn van de
gelijktijdige waarheid van beweringen, eventueel in een denkbeeldige
context. Met woorden als voorstelbaar en denkbeeldig benadrukten we
de gewenste abstractie van waarheid hier en nu.
In het predicaatlogisch model hebben we in deze zin een toppunt van
abstractie bereikt. Vertalen naar predicaatsymbolen die we
interpreteren in een abstracte structuur tart alle verbeelding. We laten
de betekenis van woorden volledig los.
Dat betekent dat een geldigheidsonderzoek in het predicaatlogisch
model meer nodig heeft dan schematisering van de beweringen uit de
redenering. We moeten zinnen toevoegen om de cruciale
eigenschappen van de predicaten vast te houden bij het abstraheren.
Zoals we in de redenering over het vrouw zijn van Charly zinnen
toegevoegd hebben als: “niemand is met zichzelf getrouwd”, “wie geen
man is, is vrouw”, en “iedereen heeft maximaal één vader”.
Je zou ook kunnen zeggen dat predicaatlogische analyse van geldigheid
je dwingt om alle eigenschappen van voorkomende concepten volledig
expliciet te maken.
Een laatste observatie over het predicaatlogisch model betreft het
gebruik van het woord “de” (of “het”). In natuurlijke taal spreken wij
over “de vader” van iemand. Daarmee doen we eigenlijk drie dingen
tegelijk: we stellen het bestaan van een vader vast, we beweren dat er
geen tweede van is, en we benoemen dit unieke individu. Weliswaar
niet met een naam, maar wel met een constructie die dezelfde
eigenschappen heeft.
Nu is dat bij “vader” niet zo heel opvallend. De twee beweringen: hij
bestaat en is uniek zijn namelijk altijd waar. Dus je kunt hem ook
benoemen. Maar we kunnen ook spreken over “de dochter” van
iemand. Dan is het op voorhand helemaal niet duidelijk dat er een
dochter is, en dat die uniek is, en dat je die zou kunnen benoemen. Door
het benoemen met het lidwoord “de”, verklaar je tegelijkertijd het
bestaan van de persoon en haar uniekheid.
Een constructie met het karakter van een term (benoemend) die
tegelijkertijd een aantal aspecten van een bewering (iets bestaat en het
is uniek) in zich heeft, kent de predicaatlogica niet. Naar dergelijke
descriptoren is wel veel logisch onderzoek gedaan. Het is een
intrigerend verschil tussen natuurlijke taal en deze kunstmatige taal.
86
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Nog even over Charl y
Onze predicaatlogische verkenningen begonnen met de volgende
redenering.
Charly is getrouwd met de vader van Sammy
Sammy is een kind van Charly
Dus: Charly is een vrouw.
Die hebben we geldig bewezen.
Maar nu vernam ik onlangs het volgende.
De ouders van Sammy zijn enige tijd geleden uit elkaar gegaan. Een
pijnlijke geschiedenis. Sammy’s moeder kreeg van haar man te horen
dat hij ontdekt had op mannen te vallen. Hij had al een tijdje een vriend,
en met die vriend wilde hij verder door het leven.
Sammy’s moeder droeg ook nog een geheim met zich mee. Al vele
jaren. In de tijd dat Sammy werd verwekt had zij een relatie met een
andere man. En hoewel Sammy’s vader nooit had getwijfeld, wist
Sammy’s moeder het eigenlijk wel zeker. Sammy was verwekt door die
ander.
Nu is Charly, Sammy’s vader, onlangs getrouwd met zijn nieuwe vriend.
Sammy’s moeder is naar het feest gegaan. Het was een drama voor
haar. Daar stond zij ineens oog in oog met haar ex-man’s nieuwe
partner. Een oude bekende! De verwekker van Sammy. Kun je het je
voorstellen? Sammy is het kind van Charly, Sammy weet niet beter. En
nu is Charly getrouwd met de vader van Sammy.
Daar hebben we toch een context waarin de conclusie van de
redenering onwaar is, terwijl de premissen waar zijn.
We hadden ons dan ook eerst van de ondubbelzinnigheid van de
woorden in de redenering moeten vergewissen. Dan hadden we ons
gerealiseerd dat vader en kind dubbelzinnig zijn. We gebruiken ze voor
rollen in een gezinssituatie. Ze hebben ook een biologische betekenis.
Vaak vallen die twee samen (al zijn er meestal weinig getuigen aan de
biologische kant). Maar samenvallen hoeft niet. Het tegenvoorbeeld is
gebaseerd op de betekenis van kind als gezinslid, en van vader in de
biologische zin. En dan gaat ons bewijs niet op. Dat gaat er vanuit dat
beide woorden in biologische zin zijn gebruikt.
Tableaux
Zoals voor propositielogica, is er ook voor predicaatlogica een
tableaumethode om noodzakelijk gevolg vast te stellen.
De methode is een uitbreiding van de methode voor propositielogica.
Regels om om te gaan met kwantoren maken het verschil.
87
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Over de gelijkheid (=) zullen we het in de context van tableaux niet
hebben. Om met de = te werken moet tableaux eigenlijk steeds
beginnen met “gelijkheidsaxioma’s” rechts van het spoor xyz ((x=y
 y=z)  x=z) en xy (x=y  y=x). Dan kan gelijkheid verder als een
gewone tweeplaatsige relatie worden beschouwd.
We beginnen met een voorbeeld. We vertalen een eerder besproken
sluitreden volgens Aristoteles naar predicaatlogica.
Rond is niet vierkant.
Cirkels zijn rond.
Dus: cirkels zijn niet vierkant.
In de vertaling komen drie predicaatsymbolen voor: R, V en C. Ze
representeren de concepten Rond zijn, Vierkant zijn en Cirkel zijn.
Rond is niet vierkant verschijnt in formulevorm als: x (R(x)  V(x)).
Cirkels zijn rond heeft de schematische representatie: x (C(x)  R(x)).
Cirkels zijn niet vierkant tenslotte, wordt: x (C(x)  V(x)).
x (R(x)  V(x)), x (C(x)  R(x)) x (C(x)  V(x))1
C(a)  V(a)2
(1)
C(a), V(a)
(2)
R(a)  V(a)5, C(a)  R(a)4
(3)
R(a)
R(a)
C(a)
V(a)
(4)
(5)
Het tableau begint met de premissen links van het spoor en de conclusie
rechts. De opbouw van het tableau wordt gedreven door de wens een
tegenvoorbeeld te vinden. We zoeken een domein en een interpretatie
van de predicaatsymbolen zodat de premissen in die structuur waar zijn,
maar de conclusie niet.
In regel (1) zien we een getuige verschijnen. In een structuur waar x
(C(x)  V(x)) niet waar is, is tenminste één individu a (de getuige,
aangeduid met een uitverkoren variabele) waarvoor C(a)  V(a)) niet
waar is. Bij het introduceren van de getuige wordt de oorspronkelijke
formule geschrapt.
88
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
In regel (2) zien we een toepassing van de implicatieregel die al uit de
propositielogica bekend was. C(a)  V(a)) is niet waar alleen als C(a)
en V(a)) beide wel waar zijn.
De introductie van een getuige in het domein is aanleiding tot
instantiatie. Die instantiatie zien we in regel (3). De instantiatie houdt in:
als een universele formules waar is, is elke instantie voor elk individu
waar. In het bijzonder de instantie van de formules met de
geïntroduceerde getuige a.
Bij instantiatie verdwijnen de oorspronkelijke formules niet uit het
tableau. Als later nieuwe getuigen worden geïntroduceerd voor andere
formules, is nieuwe instantiatie aan de orde.
Regels (4) en (5) tenslotte zijn gewone implicatieregels. Ze leiden tot het
sporen die doodlopen. He tableau sluit.
Een tweede voorbeeld, geïnspireerd door de volgende sluitreden(?):
Walvissen hebben geen baard.
Walvissen zijn zoogdieren.
Dus: Sommige zoogdieren hebben geen baard.
In de predicaatlogische vertaling gebruiken we de predicaatsymbolen W
(walvis zijn), B (baarddrager zijn) en Z (zoogdier zijn)
Walvissen hebben geen baard verschijnt in formulevorm als:
x (W(x)  B(x)).
Walvissen zijn zoogdieren heeft de schematische representatie:
x (W(x)  Z(x)).
Sommige zoogdieren hebben geen baard tenslotte, wordt:
x (Z(x)  B(x)).
89
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
x (W(x)  B(x)), x (W(x)  Z(x)) x (Z(x)  B(x))
W(a)  B(a)3, W(a)  Z(a)4 Z(a)  B(a)2
B(a)
Z(a)
W(a)
Z(a)
B(a)
(1)
(2)
(3)
W(a)
(4)
Dit tableau begint merkwaardig. Er is geen noodzaak een getuige te
introduceren om iets te bevestigen of weerleggen.  links en  rechts
vragen om een dergelijke getuige.
Maar er is tenminste één individu in het domein. We beginnen dus met
instantiaties van alle kwantoren (de  rechts en  links) voor dit
minimaal aanwezige individu.
De rest van het getoonde tableau is onaf. Het is gebaseerd op bekende
regeltoepassingen uit de predicaatlogica.
In de meest linkse twee sporen is elke mogelijkheid nog een regel toe te
passen uitgeput. Maar ze zijn beide niet doodgelopen. Het tableau sluit
niet.
In de twee openstaande sporen lezen we zelfs een tegenvoorbeeld af.
Het doemin heeft 1 individu, a. Het hele domein is baarddragend, niets
in het domein is een walvis (De interpretatie van W is de lege
verzameling, de interpretatie van B het hele domein). Of het individu a
een zoogdier is, doet niet ter zake.
Voegen we aan de premissen toe x W(x), dan verloopt de opbouw van
het tableau heel anders.
90
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
x W(x)1, x (W(x)  B(x)), x (Z(x)  B(x))
x (W(x)  Z(x))
W(a)
4
W(a)  B(a) , W(a)  Z(a)5 Z(a)  B(a)3
B(a)
W(a)
(1)
(2)
Z(a)
B(a)
(3)
(4)
W(a)
Z(a)
(5)
Nu sluit het wel.
De noodzaak van het toevoegen van deze premisse wijst op de situatie
dat de gebruikte sluitreden een existentiële drogreden is. Het Walvis zijn
mag niet een leeg concept zijn. In dat geval kan de conclusie niet uit de
premissen getrokken worden.
Tableauregels voor kw antoren
We zijn in het voorgaande alle tableauregels voor kwantoren
tegengekomen.
Voor de  links en  rechts is er een “getuige”-regel: introduceer een
individu dat de formule bevestigt ( links) of weerlegt ( rechts). Nooit
een individu dat al elders in het tableau voorkomt. Schrap hierbij de
oorspronkelijke formules. Gebruik een uitverkoren (nieuwe) variabele
om dit individu te benoemen.
Voor de  links en  rechts is er een instantiatieregel. Bij ieder nieuw
individu dat in het domein wordt geïdentificeerd worden instanties van
de kwantoren toegevoegd, die de formule bevestigen ( links) of
weerleggen ( rechts) voor dit individu. Schrap de oorspronkelijke
formules niet, er kan nog een individu komen.
Mocht in de beginsituatie geen individu aanwezig zijn, en ook geen
getuigeregel van toepassing zijn, introduceer dan als getuige het
minimaal aanwezige individu in het domein.
91
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
xy R(x,y) yx R(x,y)
y R(a,y)2 x R(x,a)4
R(a,b)
y R(b,y)6 x R(x,b)8
R(c,a)
y R(c,y) x R(x,c)
R(b,d)
y R(d,y) x R(x,d)
R(e,b)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
In dit tableau zien we eerst een individu a opduiken. Het domein is niet
leeg. Na de instantiatie (1) zijn er twee formules die een getuige zoeken.
In (2) krijgt de linker een getuige b. In (4) krijgt de rechter getuige c. Dan
Na de introductie van b zijn er in (3) nieuwe instanties ontstaan. In (5)
gebeurt hetzelfde na de introductie van c.
Dit proces zal zich herhalen. Er is geen aanleiding te denken dat het
tableau gaat sluiten. Het sluit ook niet, er is geen sprake van een geldige
redenering.
Tableaux voor predicaatlogica zijn anders dan die voor propositielogica.
In de predicaatlogica kan het proces van spoorzoeken soms oneindig
doorgaan. De tableaux zijn geen beslismethode voor geldigheid.
Merk op dat iedere getuige een nieuw individu moet zijn. Zoals ook bij
de getuigeregel vermeld.
Syntactische sequent en volledigheid
Ook met behulp van tableaux kan de syntactische sequent gedefinieerd
worden.
De syntactische sequent  |  staat voor: er is een sluitend tableaux
beginnend met  rechts en  links
Ook bij deze definitie van syntactische sequent geldt de
volledigheidsstelling:
 |=    |– 
Daaruit volgt de equivalentie van de twee syntactische sequenten:
natuurlijke deductie en tableau.
Predicaatcalculus
Predicaatlogica is niet op te vatten als rekenen met 0 en 1, zoals de
propositielogica.
92
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Maar “rekenregels” voor kwantoren laten zich wel formuleren. De
rekenregels voor de andere logische operatoren zijn bovendien
onverminderd geldig in de predicaatlogica: DeMorgan, Dubbelenegatie
en Distributiviteit.
De rekenregels voor kwantoren zijn als volgt.
De Morgan extended:
x  = x 
x  = x 
en dus met dubbelenegatie:
x  = x 
x  = x 
Daar komen bij:
Distributiviteit  over  :x(  ) = x   x 
Distributiviteit  over : x(  ) = x   x 
Het distribueren van  over  is aan voorwaarden gebonden.
Als x niet vrij in : x(  ) =   x 
Als x niet vrij in : x(  ) = x   
Ook het distribueren van  over  is aan dergelijke voorwaarden
gebonden.
Als x niet vrij in : x(  ) =   x 
Als x niet vrij in  : x(  ) = x   
Het toepassen van de distributieregels stelt ons in staat kwantoren naar
de buitenkant van de formule te halen. Zo ontstaat de prenex vorm. We
zullen dat niet verder uitwerken. Vertalen van formules naar prenex
vorm vergt grote zorgvuldigheid in het benoemen (en omnoemen) van
gebonden variabelen.
x (x)  x (x)
x ((x)  (x))
x (y (y)  (x))
x (x (x)  (x))
y x ((x)  (y))
x (x)  y (y)
(1)
(2) is niet 1
is 1
is 1
is 1
is 1
Het bovenstaande rijtje toont 6 formules waarvan er 5 equivalent zijn
(gelijk aan de eerste), en één afwijkend. De afwijkende is de tweede in
het rijtje. De tweede en de voorlaatste zijn beide in prenex vorm, ze
hebben alle kwantoren aan het begin. Ze zijn wel verschillend.
93
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Het analoge rijtje voor de existentiële kwantor (kwantoren) is als volgt.
x (x)  x (x)
x ((x)  (x))
x (y (y)  (x))
x (x (x)  (x))
y x ((x)  (y))
x (x)  y (y)
(1)
(2) is niet 1
is 1
is 1
is 1
is 1
Prenex vormen zijn ook hier de tweede en de voorlaatste. Ze zijn
verschillend. De voorlaatste hoort bij de 5 die gelijk zijn aan de eerste.
De tweede wijkt af.
Theorie van een structuur
We hebben een structuur A met een gegeven signatuur. De theorie van
A is de verzameling zinnen die waar zijn in A.
Th(A) =def {  | A |=.  }.
De interesse in de theorie van een structuur is meestal wiskundig.
Consistentie en geldigheid zijn niet de centrale vragen. Het gaat erom te
bewijzen welke eigenschappen A heeft (en welke niet).
De logische interesse wordt weer groter als we ons de vraag stellen naar
axiomatisering. Kunnen wij een verzameling zinnen  bepalen zodat
Th(A) = {  |  |  }.
En dan gaat het natuurlijk om een eindige verzameling, of op zijn minst
om een verzameling die in een eindig aantal schema’s te beschrijven is.
We zullen ons in het bijzonder gaan buigen over de axiomatisering van
de theorie van de structuur N, de verzameling natuurlijke getallen, met
een tweeplaatsig predicaatsymbool (<) voor de relatie “kleiner dan zijn”.
We zullen daarbij twee constanten introduceren, 0 en 1. We zullen ook
het begrip term uitbreiden, met optelling (+) en vermenigvuldiging ().
Ter voorbereiding kijken we naar tellen en getalverzamelingen.
Nummeren
De wiskunde kent vier centrale getalbegrippen: de reële getallen (R), de
rationale getallen (Q), de gehele getallen (Z) en de natuurlijke getallen
(N).
Voor de logica is het genoeg de natuurlijke getallen te beschouwen. Dat
is de verzameling N ={0,1,2,3,....}, alle voorstelbare gehele aantallen.
94
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Daar rekenen we 0 bij, ook al is 0 lang niet als een echt aantal gezien.
Pas rond 1600 werd 0 als hoeveelheid geaccepteerd. (Het is ook erg
weinig.)
Er is ook een begrip van natuurlijk getal als rangnummer. Bestemd voor
het vaststellen van de plaats van een object in een rij. Hoewel het
tegenwoordig gebruikelijk is om ook dat tellen van objecten in een rij bij
0 te laten beginnen, is dat toch een beetje vreemd. Ik houd vast aan het
idee dat getallen als rangnummer (en dat zijn geen aantallen of
hoeveelheden) begint bij 1. Ook getallen als rangnummer zijn overigens
natuurlijke getallen.
De gehele getallen omvatten ook negatieve getallen. Negatieve
hoeveelheden zijn niet goed voorstelbaar, maar als je getallen gaat
interpreteren als punten op een schaal, dan komt het idee van tellen
onder het nulpunt natuurlijk aan de orde.
De rationale getallen zijn de breuken. In de natuur te vinden
bijvoorbeeld bij het verdelen van aantallen objecten over aantallen
personen.
De reële getallen zijn een verrijking van de breuken, waarbij getallen
voorkomen die in de natuur te vinden zijn als verhoudingen (tussen de
cirkel en zijn straal, tussen de diagonaal en de zijden van een rechthoek,
enzovoort). Getallen als en 2 behoren hierbij, en dat zijn geen
breuken.
Om van de natuurlijke voorbeelden tot het volledige wiskundige
getalbegrip te komen, is nog de nodige abstractie en generalisatie nodig.
Daar gaan we hier niet op in.
Af t elbaar oneindig
Er zijn oneindig veel natuurlijke getallen. Als je geduldig blijft tellen, kom
je uiteindelijk elk natuurlijke getal tegen. Die vorm van oneindigheid
noemen we aftelbaar.
Het is duidelijk wanneer twee eindige verzamelingen even groot zijn.
Telling van het aantal elementen moet tot dezelfde uitkomst leiden.
Voor oneindige verzamelingen ligt dat lastiger. Tellen houdt nooit op.
Voor het even groot zijn van verzamelingen in het algemeen (ook de
oneindige) gebruiken we het woord gelijkmachtig.
Twee verzamelingen zijn gelijkmachtig als zij een diagonaal hebben. een
diagonaal voor de verzamelingen A en B is een verzameling paren (a,b)
zodat iedere a uit A precies een keer in een paar voorkomt, en iedere b
uit B ook.
De even getallen zijn bijvoorbeeld gelijkmachtig aan de natuurlijke
getallen. De diagonaal bestaat uit alle paren (n, 2n).
95
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Rangnummers en paren
We zijn geïnteresseerd in het nummeren van formules. We gaan laten
zien dat er een diagonaal bestaat tussen de formules van de
propositielogica en de rangnummers (natuurlijke getallen met
uitzondering van 0).
De constructie van die diagonaal begint met de constructie van een
diagonaal tussen de verzameling rangnummers enerzijds, en de
verzameling paren van rangnummers anderzijds.
(1,4)
(4,1)
(2,2)
(3,1)
(1,3)
(2,1)
(1,2)
(1,1)
1
2
3
4
5
6
7
8
De figuur laat een stukje van de diagonaal zien. (1,1) correspondeert
met 1, (1,2) met 2, (2,1) met 3, en zo verder.
Het is een algoritmische diagonaal. Dat betekent dat we uit de helft van
een paar op de diagonaal de andere helft kunnen uitrekenen.
Die procedure is als volgt.
Eerst beginnen met een rangnummer. Bepaal de grootste oneven deler.
Neem daarvan de helft, naar boven afgerond, dat is het eerste stuk van
het bijbehorende paar. Het twee stuk van dat paar is 1 plus het aantal
keren dat je na deling door de grootste oneven deler nog door 2 kunt
delen.
Dus beginnend met 120. De grootste oneven deler is 15. Het paar dat bij
15 hoort is (8,...). Na deling door 15 hebben we 8. Dat kunnen we nog 3
keer door 2 delen; levert 4,2,1. Dus het volledige paar is (8,4)
Omgekeerd, we hebben een paar. Neem het dubbele van het eerste
deel en trek daar 1 vanaf. Ga vervolgens vermenigvuldigen met 2. Doet
dat op 1 keer na even vaak als het tweede lid aangeeft.
Dus beginnend met (14, 4). Het dubbele van de eerste deel, met 1
verminderd is 27. Dat gaan we nu drie keer met 2 vermenigvuldigen. Dat
levert achtereenvolgens: 54, 108, 216. Dus 216 hoort bij (14,4).
Rangnummers en f ormules
Nu construeren we een algoritmische diagonaal tussen
propositielogische formules en rangnummers.
96
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
We beginnen met een rangnummer.
Als het eerstvolgende vijfvoud 4 groter is dan dit rangnummer, ligt dit
nummer op de diagonaal met een variabele. De index van die variable is
het eerstvolgende vijfvoud gedeeld door 5.
Bij 11 hoort p3.
Als het eerstvolgende vijfvoud drie groter is dan dit rangnummer, ligt
het nummer op de diagonaal met een negatie. De formule waarvan de
negatie bedoeld is, is de formule die correspondeert met het
rangnummer verkregen door het eerstvolgende vijfvoud door 5 te
delen.
Bij 22 hoort ,  is de formule met het rangnummer 5. (dat is 25/5)
Als het eerstvolgende vijfvoud twee groter is dan dit rangnummer, ligt
het op de diagonaal met een disjunctie. De twee helften van de
disjunctie corresponderen met het paar rangnummers (zie vorige sectie)
dat hoort bij het rangnummer dat ontstaat na deling van het
eerstvolgende vijfvoud door 5.
Bij 13 hoort . De formules  en  horen bij de rangnummers 3 en 1
respectievelijk, omdat 3 (=15/5) hoort bij het paar (3,1)
Als het eerstvolgende vijfvoud een groter is dan dit rangnummer, ligt
het op de diagonaal met een conjunctie. De twee helften van de
disjunctie corresponderen met het paar rangnummers (zie vorige sectie)
dat hoort bij het rangnummer dat ontstaat na deling van het
eerstvolgende vijfvoud door 5.
Bij 4 hoort . De formules  en  zijn gelijk, horen bij het
rangnummer 1, omdat 1 (=5/5) hoort bij het paar (1,1)
Als dit rangnummer een vijfvoud is, ligt het op de diagonaal met een
implicatie. De twee helften van de disjunctie corresponderen met het
paar rangnummers (zie vorige sectie) dat hoort bij het rangnummer dat
ontstaat na deling door 5.
Bij 5 hoort . De formules  en  zijn gelijk, horen bij het
rangnummer 1, omdat 1 (=5/5) hoort bij het paar (1,1)
Voor de volledigheid: Bij 1 hoort p1, bij 3 hoort p1 p1.
Nu beginnen we bij een formule.
Een propositievariabele is geassocieerd met 5i – 4, waarbij i de index
van de variabele is.
Dus bij p4 hoort 16.
Een formule  is geassocieerd met 5n– 3, waarbij n het getal is
geassocieerd met .
97
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Dus bij p1 hoort 2.
Een formule  is geassocieerd met 5n– 2, waarbij n hoort bij het
paar dat bij  respectievelijk  hoort.
Dus bij p1p1 hoort 13, omdat (2,1) bij 3 hoort.
Een formule  is geassocieerd met 5n– 1, waarbij n hoort bij het
paar dat bij  respectievelijk  hoort.
Dus bij p4p1 hoort 154, omdat (16,1) bij 31 hoort.
Een formule  is geassocieerd met 5n, waarbij n hoort bij het paar
dat bij  respectievelijk  hoort.
Dus bij p4p1 hoort 310, omdat (16,2) bij 62 hoort.
Alle formules in welke taal dan ook zijn op een vergelijkbare manier te
nummeren. Ook de formules van de predicaatlogische theorie van de
natuurlijke getallen.
Het gaat nog verder. Ook bewijzen (met natuurlijke deductie) zijn te
nummeren.
In alle gevallen is de diagonaal algoritmisch. Dat heeft een bijzonder
gevolg voor de zinnen uit de theorie van de natuurlijke getallen.
We kunnen formules opschrijven die iets zeggen over zinnen (die
gecodeerd zijn en over natuurlijke getallen gaan). En over hun
afleidbaarheid.
In de predicaatlogische taal van de natuurlijke getallen (signatuur volgt
later) kun je een formule opschrijven:
x (x,y)
die waar is onder een bedeling V als V(y) een zin codeert die bewijsbaar
is (met natuurlijke deductie, uit gegeven axioma’s).
Overaftelbaar
Dit alles roept de vraag op of er oneindige verzamelingen zijn die je niet
kunt nummeren. Wanneer is er geen diagonaal?
Er zijn oneindig veel verzamelingen met natuurlijke getallen.
Bijvoorbeeld:
de even getallen;
getallen waarvan alle delers groter zijn dan 14 (behalve 1);
getallen die te schrijven zijn als som van 2 derdemachten;{2};
{3,1000,20000};...
Maar je e kunt geen diagonaal vormen tussen die deelverzamelingen en
de natuurlijke getallen zelf.
98
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Je kunt altijd een verzameling aanwijzen die je niet tegenkomt als je
maar geduldig blijft tellen.
De vorm van oneindigheid van de verzameling van deelverzamelingen
van de natuurlijke getallen noemen we overaftelbaar oneindig.
Om ons van die overaftelbaarheid te overtuigen, stel dat er wel een
diagonaal te vormen is. Yi is de verzameling natuurlijke getallen die
hoort bij i.
Definieer M met de volgende eigenschap:
als k  Yk dan k  M
als k  Yk dan k  M.
M ligt op de diagonaal (immers, iedere verzameling ligt op de
diagonaal): M= Yn. Dat leidt tot een paradox. We zouden dan de
volgende equivalentie hebben. n  Yn  n  Yn.
Dat kan niet. Ons uitgangspunt: stel er bestaat wel een diagonaal, deugt
dus niet. De diagonaal bestaat niet.
Theorie van structuren
We zijn in ons betoog van beweringen naar formules gegaan. Dat was
een stap van concrete natuurlijke taal naar abstracte symbolentaal. We
zijn van context naar structuur gegaan. Dat was een stap van een
concrete (zij het misschien gefantaseerde) wereld naar een abstract
wiskundig concept op basis van willekeurige verzamelingen met
willekeurige elementen.
De verhouding tussen beweringen en context was in onze
beschouwingen niet anders dan die tussen formules en structuur. De
verzameling beweringen was primair, de contexten waren de toetssteen
voor geldigheid en consistentie. Voor formules en structuren net zo.
Met het introduceren van de theorie van een structuur wisselen we van
perspectief.
Ter herinnering: de theorie van de structuur A is de verzameling zinnen
die waar zijn in A.
Th(A) =def {  | A |=.  }.
Een logische interessante vraag rond theorieën is de vraag naar
axiomatisering. Kunnen wij een verzameling zinnen  bepalen zodat
Th(A) = {  |  |=  }.
En dan gaat het natuurlijk om een eindige verzameling, of op zijn minst
om een verzameling die in een eindig aantal schema’s te beschrijven is.
Maar de perspectiefwisseling roept ook een andere vraag op. Waar
komen structuren vandaan? We kennen nu de route van bewering naar
99
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
formule naar interpretatie van die formule in een structuur. Maar wat is
de “werkelijkheid” als we in de tegengestelde richting bewegen: van
werkelijkheid naar structuur naar formules die waar zijn in de structuur
(theorie) en formules die de structuur karakteriseren (axioma’s).
Structuren en hun karakteristiek zijn typisch het domein van de
wiskunde. Wiskundige structuren (of vaak ook families van vergelijkbare
structuren) zijn abstracties van (meestal) fysische (maar bijvoorbeeld
ook economische) werkelijkheid. Die werkelijkheid blijkt verrassend
vaak te vangen in een ruimte met punten, waarin elk punt aspecten van
die werkelijkheid representeert.
De meest simpele wiskundige structuur is de structuur waarin we de
abstractie van het tellen, het optellen en het vermenigvuldigen vinden.
Alles voor gehele hoeveelheden. Het is de structuur van de natuurlijke
getallen. Wiskundig een enerverende structuur als het gaat om
priemgetallen, en specialistische getaltheorie. Voor logici een
enerverende structuur omdat er iets aan de hand is met het
axiomatiseren van de theorie van die structuur.
Voor we daar op in gaan, bekijken we een andersoortige structuur. Niet
een structuur die wiskundig aanspreekt. Een structuur die illustreert hoe
(predicaat)logica een rol kan spelen in systeembeschrijvingen.
De theorie van de pinautomaat
Als uitgangspunt voor het introduceren van een structuur nemen we
niet een denkbare context voor de interpretatie van beweringen, maar
de abstractie van systeemgedrag.
Als voorbeeld van een systeem nemen we de pinautomaat.
Het domein van een structuur die het gedrag van dit systeem
modelleert is een verzameling gebeurtenissen (Engels: events).
Belangrijke tweeplaatsige relatie op dit domein is een ordening, die we
met < noteren. Dat symbool schrijven we tussen de termen in die
worden geordend. In dit systeemmodel geeft x < y aan dat de
gebeurtenis x in de tijd voorafgaat aan y.
Vervolgens verrijken we het domein met een aantal predicaten.
Er is een deelverzameling C (card) van gebeurtenissen die “het invoeren
van een pinpas” zijn.
Er is een deelverzameling P van gebeurtenissen die “het geven van een
pincode” zijn.
Er is een deelverzameling B van gebeurtenissen die “het kiezen van een
bedrag” zijn.
Er is een deelverzameling van W gebeurtenissen die “het weigeren van
de transactie” zijn.
100
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Er is een deelverzameling R (retour) van gebeurtenissen die “het
teruggeven van de pinpas” zijn.
Er is een deelverzameling U van gebeurtenissen die “het uitbetalen van
een bedrag” zijn.
Er is een deelverzameling I van gebeurtenissen die “het innemen van de
pinpas” zijn.
Het verrijken met predicaten kan verder in detail worden uitgewerkt.
Denk aan gebeurtenissen als pincodecontrole, van saldocontrole, van
controle van de geldvoorraad en meer. Het afdrukken van
transactiebonnen kan worden meegenomen. Iedere vraag die op het
scherm van de automaat verschijnt kan als aparte gebeurtenis worden
onderscheiden. Er zijn vele structuren die in verschillende mate van
detail het gedrag van hetzelfde systeem beschrijven.
Niet onbelangrijk voor het modelleren van systeemgedrag, is de
mogelijkheid om overeenkomsten tussen sommige gebeurtenissen te
kunnen uitdrukken.
Een heel zinvolle relatie is G (gelijk), die alleen kan bestaan tussen twee
gebeurtenissen als de ene een B-gebeurtenis is (het kiezen van een
bedrag) en de ander een U-gebeurtenis (het uitbetalen van een bedrag).
Hij bestaat als het gekozen en het uitbetaalde bedrag hetzelfde zijn.
Een andere zinvolle relatie is de relatie S (same), die alleen kan bestaan
tussen twee gebeurtenissen als beide een handeling met een pinpas
betreffen (een C-, R- of I-gebeurtenis zijn). Hij bestaat als het gaat om
twee handelingen met dezelfde pinpas.
Observeer nu een dag lang een pinautomaat en noteer alle
gebeurtenissen in de juiste tijdsvolgorde. Dan heb je een structuur. Je
kunt onderzoeken wat de theorie van die structuur is.
Interessanter is te inventariseren van welke beweringen het
noodzakelijk is dat ze waar zijn in de structuur van elke pinautomaat op
elke dag. Waarna de vraag zich voordoet of het ontwerp van de
automaat de waarheid van al die beweringen afdwingt.
We bekijken een paar beweringen.
Eerst: xy( (x<y  B(x)U(y)z (x<z<y  B(z)))  G(x,y) )
Als tussen het kiezen van een bedrag en een uitbetaling geen andere Bgebeurtenis is, wordt het gekozen bedrag uitbetaald.
Ook: xy((x<y  C(x)C(y)z(x<z<y  B(z)))  z(x<z<y  W(z)))
Als tussen tweemaal aanbieden van een kaart geen uitbetaling
plaatsvindt, dan is er sprake geweest van een weigering van een
transactie.
En: xy((x<y  I(x)C(y))  E(x,y))
101
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Na het inslikken van een pinpas, kan dezelfde pas niet opnieuw worden
aangeboden.
(x,y,z) =def x<y<z v (v=x  v=y  v=z  v<x  z<v) drukt uit:
x, y en z zijn drie gebeurtenissen die onmiddellijk op elkaar volgen.
(x,y,z)  C(x)  P(y)  W(z)
beschrijft een mislukte transactie vanwege het intoetsen van een foute
pincode.
Het inslikken van een pinpas na 3 foute pogingen laat zich zo ook
beschrijven, maar het wordt een hele lange formule.
Systeembeschri jvingen en predicaatlogica
Het voorafgaande illustreert hoe het gereedschap van de
predicaatlogica (de taal en het structuurbegrip) kunnen worden ingezet
om het gedrag van systemen te beschrijven.
De pinautomaat is een betrekkelijk willekeurig voorbeeld. Alle
automaten (koffieautomaten, kaartjesautomaten, ..) kunnen worden
beschreven in een structuur van gebeurtenissen. Maar ook de interactie
tussen een mens een website (voor het boeken van een vlucht, voor het
bestellen van een boek, ...) en het verloop van een spel met strikte
regels zijn op deze manier te modelleren.
Bij de praktische toepasbaarheid van deze aanpak kun je je vraagtekens
zetten. De formules die het systeemgedrag karakteriseren worden al
snel onleesbaar. Hulpmiddelen en afkortingen zijn dan nodig, zeker als
meer detail in de systeembeschrijving wordt gezocht.
Hele globale eigenschappen van het systeem corresponderen met
typisch logische vragen. Neem bijvoorbeeld de vraag of een systeem kan
blokkeren. Kan het zijn dat na een zekere reeks gebeurtenissen geen
enkele gebeurtenis meer mogelijk is?
Als we het systeemgedrag hebben gevangen in een verzameling
karakteristieke eigenschappen, dan is dat een geldigheidsvraag.
Namelijk: is er een tegenvoorbeeld voor de combinatie van de
karakteristieke eigenschappen van het systeem en xy(x<y)?
De structuur
N
en de taal die da ar bi j hoort
N is de verzameling natuurlijke getallen met hun gewone ordening, en
met de normale operaties optellen en vermenigvuldigen.
De predicaatlogische taal voor deze structuur kent een begrip term. dat
rijker is dan het tot nu toe gehanteerde.
 Er zijn twee individuele constanten: 0 en 1. Dat zijn termen, zoals
gebruikelijk.
 Er zijn individuele variabelen, ook termen, zoals gebruikelijk.
102
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven

Er zijn, en dat is nieuw, twee regels voor de vorming van termen:
Als t en s termen zijn, dan ook (t+s) en (ts).
Haakjes laten we weg waar ze niet nodig zijn.
Verder is er één tweeplaatsig predicaat symbool <. We schrijven het
tussen de termen.
De interpretatie van 0, 1 en < ligt voor de hand.
We onderscheiden een aparte soort van termen, die nummers (Engels:
numerals) zijn. Het zijn de termen 0, 0+1, 0+1+1+1, 0+1+1+1+1,
enzovoort. Voor ieder getal is er een nummer. We korten het nummer
voor het natuurlijke getal n af als n. De notatie n staat dus voor 0
gevolgd door n maal “+1”.
Peano rekenkunde en de onvolledigheidsstelling
Een oude vraag:
Th(N) =def { | N |= },
Kunnen we Th(N) axiomatiseren, d.w.z. is er een eindige, of in ieder
geval eindig representeerbare verzameling formules  zodat
Th(N) = {  |  |  }?
Peano axioma’s
Giuseppe Peano (1858-1932) schreef in 1889 een artikel (in het Latijn
nota bene) waarin hij de postulaten (ander woord voor axioma) van de
rekenkunde formuleerde.
Formele rekenkunde heet dan ook Peano-rekenkunde
De axioma’s die Peano introduceerde voor 0, 1 en het optellen en
vermenigvuldigen waren
x (x+1=0)
x (x+1=y+1  x=y)
x (x+0=x)
xy (x+ (y+1)=(x+y)+1)
x (x0=0)
xy (x(y+1)=xy+x))
Daar voegen nog aan toe
xy (x<y  x=y  y<x)
xy (x<y  z(y=(x+z)+1))
xy (z(y=(x+z)+1)  x<y)
die het kleiner dan zijn karakteriseren.
Tenslotte is er dan een axiomaschema, als volgt:
x(x)  y((y)  z(z<y   (z)))
103
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Het zegt voor iedere formule : als er een individu is waarop  van
toepassing is, dan is er een kleinste individu waarop  van toepassing is.
Dat klinkt nogal vanzelfsprekend. Dat is het ook. Toch blijkt het
bijzonder krachtig.
Een onmiddellijke consequentie van dit axiomaschema is, dat we de
volgende redeneerwijze kunnen toepassen.
Uit de premissen dat (0) het geval is, en ook x((x)  (x+1)) volgt
noodzakelijk (t) voor elke willekeurige term.
Immers, als er een individu t zou zijn waarvoor  (t), dan was eer
kleinste individu s waarvoor  (s). Dat kleinste individu kan niet 0 zijn,
vanwege de eerste premisse. Maar het kan ook niet x+1 zijn. De tweede
premisse zegt namelijk dat (x+1)  (x). En dan is x+1 dus niet de
kleinste s waarvoor  (s).
Gepresenteerd in de vorm van dit redeneerschema spreken we over
volledige inductie. Inductie is een redeneerwijze waarbij we een
bewering vaststellen voor alle individuen op basis van:
 de vaststelling voor een aantal bijzondere gevallen en
 een generalisatieregel, die uitbreiding naar het volledige domein
rechtvaardigt.
Het bijzondere geval is hier 0, en de generalisatieregel is
x((x)  (x+1)).
We noemen de oneindige verzameling zinnen bestaande uit de axioma’s
voor 0, +,  en alle gevallen van inductie (voor iedere ) PA. De letters
staan voor Peano Arithmetic.
De kracht van P A
Met volledige inductie laten zich vele eenvoudige eigenschappen
bewijzen. Zoals
xy (x+y = y+x) en
xyz (x(y+z) = (xy)+(xz)).
Maar ook de meest ingewikkelde beweringen over getallen zijn
afleidbaar in PA.
Men dacht dat alle waarheden over getallen uit PA af te leiden zouden
zijn. Maar In 1931 bewees Kurt Friedrich Gödel (1906-1978) dat er ware
zinnen in N zijn die niet kunnen worden afgeleid uit de axioma’s van
Peano.
Gödel maakte briljant gebruik van de codeerbaarheid van formules en
afleidingen in getallen. Het op die coderingen gebaseerde bewijs dat PA
als axiomatisering van Th(N) tekort schoot, geldt als een hoogtepunt in
de (wiskundige) logica.
104
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
De zin  die Gödel construeerde en waarvan hij kon aantonen dat hij
waar was in N, maar niet in PA te bewijzen, is een zin die weliswaar over
getallen gaat, maar die in feite iets zegt over gecodeerde formules en
bewijzen.
Pas in 1977 formuleerden Paris en Harrington een rekenkundige
bewering echt over getallen die waar is in N, maar niet bewijsbaar in
PA.
De Gödelzin en de onvolledigheidsstel ling
Gödel ontwierp coderingsschema’s die met iedere term, iedere formule,
ieder bewijs een getal associëren. Over dergelijke coderingen hebben
we het eerder gehad. Daar maakte hij ook de ontcijfering bij die in
getallen een term, een formule of een bewijs “herkent”. Alles
algoritmisch, de codering en ontcijfering is uit te drukken in formules
van de Peano rekenkunde.
Dat coderen door Gödel levert hem tegenwoordig de bijnaam op
“eerste hacker”.
De associatie van getallen met formules (en afleidingen) heet
Gödelnummering
Met die coderingen kunnen in de taal van de rekenkunde formules
geschreven worden die eigenschappen van getallen uitdrukken, die
eigenlijk eigenschappen zijn van gecodeerde termen, formules, en
bewijzen.
Denk aan onze codering van propostielogische formules.
(x) =def y(x+3=5y)
Dan zegt (x) dat x een negatie is. (3 staat voor het nummer 0+1+1+1).
Ingewikkelder: er zijn formules  en ’ zodat
PA |– (n) : n codeert een zin (heeft geen vrije variabelen)
PA |– ’(n) : n codeert een Peano-axioma.
En ook: er zijn formules  en  zodat:
PA |– (k,n,m) : k,n en m coderen drie formules, de laatste volgt uit de
eerste twee via modus ponens.
PA |– (n,m) : n codeert een bewijs van de formule m in de Peano
rekenkunde.
Daarnaast liet Gödel zien dat voor Peano rekenkunde een hulpstelling
bestaat die bekend is geworden als het diagonaal lemma. Dat luidt als
volgt:
Als (x) een eigenschap van de door x gecodeerde formule uitdrukt, dan
is er een zin  met code n waarvoor geldt dat  en (n) equivalent zijn.
105
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Dus als (x) bijvoorbeeld zegt “x codeert een zin”, dan is er een  die
zegt: “n codeert een zin”, waarbij n de code van deze  is.
Dat is opmerkelijk.  zegt iets over zichzelf.  zegt: “ik ben een zin”.
Het bewijs van het diagonaal lemma zullen we niet proberen te
doorgronden. Voor Gödel’s stelling is het van doorslaggevende
betekenis.
Want er is een formule y (y,x) die zegt: er bestaat geen code voor
een bewijs in de Peano rekenkunde van de formule gecodeerd door x.
Dan zegt het diagonaal lemma: er is een  met code n, die equivalent is
aan y (y,n).
Deze  is de Gödel zin, hij zegt: ik ben niet bewijsbaar.
De Gödel zin is waar in N.
Dat tonen we aan uit het ongerijmde. Neem aan dat N |= .
Dan N |= y (y,n). Dus kunnen we een getal m vinden zodat
N |= (m,n). Dat getal m codeert dus een bewijs van de formule die
gecodeerd wordt door n. Maar een bewijs dat gecodeerd kan worden is
een bewijs dat bestaat. En de code n die de conclusie van dat bewijs
aangeeft, staat voor de Gödel zin . Dus we hebben een bewijs van .
De correctheid van het bewijzen met natuurlijke deductie staat buiten
kijf. Als er een bewijs is van , dan N |= . Tegenspraak
De Gödel zin is niet bewijsbaar in PA.
Ook dat tonen we aan uit het ongerijmde. Neem aan de Gödel zin
 = y (y,n) bewijsbaar was in PA. Dan (natuurlijke deductie is
correct) zou gelden: N |= y (y,n).
We zouden het bewijs kunnen coderen, in een getal m. De conclusie van
het bewijs is , met code n.
Dus uit de bewijsbaarheid volgt dat voor een zekere m: N |= (m,n).
Maar dan ook N |= y (y,n). Tegenspraak.
De consequentie van deze redenering
Deze redenering gaat verder dan een bewijs van het feit dat PA de
theorie van N niet volledig axiomatiseert.
De codering van termen formules en bewijzen is mogelijk in ieder
acceptabel axiomatisch systeem voor rekenkunde.
Het diagonaal lemma zal voor ieder acceptabel axiomatisch systeem
kunnen worden bewezen.
Gödel’s bewijs krijgt daarmee een heel algemene betekenis: ieder
axiomatisch systeem voor rekenkunde zal onvolledig zijn.
Deze stelling heet de onvolledigheidsstelling
106
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Opmerkelijk
Gödels bewijs van onvolledigheid kreeg veel aandacht.
In de eerste plaats omdat het onverwacht kwam. Men dacht dat het
volledigheidsbewijs voor PA spoedig gevonden zou worden.
In de tweede plaats door de vreemde bewijsstructuur. Het is ongewoon
van uitspraken over constructies als de Gödel zin te laten zien dat ze
zichzelf tegenspreken. Zoals ook de paradox in het bewijs van de
overaftelbaarheid van de verzamelingen natuurlijke getallen
ongemakkelijk aanvoelt.
Maar wat vooral de aandacht trok was het feit dat het bewijs leunde op
de mogelijkheid om in de rekenkunde uitspraken over de rekenkunde te
doen. Zelfreflectie wordt vaak aangevoerd als het typische kenmerk van
menselijke intelligentie. En nu vinden we in de rekenkunde, deze
eenvoudige mentale constructie, die zelfreflectie terug. Met een
vergaande consequentie. Juist door die zelfreflectie zal die mentale
constructie nooit tot in alle consequenties in een eindig aantal
uitgangspunten (zoals PA) te vangen zijn.
Paradox
Het ongerijmde en het paradoxale
Sprekend over afleidbaarheid hebben we het begrip “bewijs uit het
ongerijmde” geïntroduceerd. Om  aan te tonen introduceren we de
aanname . Vervolgens tonen we aan dat nu twee tegengestelde
conclusie kunnen worden getrokken, zowel als . Dan moeten we de
aanname  verwerpen, en  concluderen.
In het bewijs van de onvolledigheidsstelling komen we twee keer het
bewijs uit het ongerijmde tegen.
We nemen aan dat de Gödel zin bewijsbaar is in PA. Dat leidt tot de
conclusie N |= y (y,n) en de conclusie N |= y (y,n), d.w.z. N |=
y (y,n). Dan moeten we de aanname van bewijsbaarheid verwerpen,
en concluderen dat de Gödel zin niet bewijsbaar is.
We nemen ook aan dat de Gödel zin niet waar is: N |= . Dat leidt tot
de conclusie N |= . Dan moeten we de aanname dat  onwaar is
verwerpen, en concluderen dat de Gödel zin wel waar is.
Er is een verschil in structuur tussen deze twee vormen van bewijs uit
het ongerijmde.
In het eerste geval hebben we te maken met twee redeneringen vanuit
één aanname, met tegenstrijdige conclusie.
In het tweede geval hebben we te maken met één aanname en één
redenering. De conclusie van de redenering is de ontkenning van de
107
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
aanname. De redenering laat zien dat de aanname zichzelf
tegenspreekt.
Een bewering die zichzelf tegenspreekt wordt wel een paradox
genoemd. We zullen dat woord reserveren voor een nog extremere
situatie. We noemen het zichzelf tegenspreken paradoxaal.
Griekse filosofen bogen zich al over paradoxale uitspraken. De Kretenzer
die zegt dat alle Kretenzers altijd liegen is het bekende voorbeeld dat
aan hen wordt toegeschreven. De passende variant in deze context zou
zijn:
Deze aantekeningen zijn louter leugens.
Als dat waar is, dan valt de zin zelf ook onder de kwalificatie “louter
leugens”, want “louter” staat geen uitzonderingen toe. Maar als de zin
een leugen is, dan is hij niet waar. De zin spreekt zichzelf tegen. Hij is
paradoxaal.
Russell’s paradox
Rond 1880 introduceerde Cantor het begrip verzameling in de wiskunde.
Dat zorgde voor de nodige commotie. Bijvoorbeeld omdat het
aanleiding gaf tot bewijzen dat er verschillende soorten oneindigheid
waren. Met die bewijzen, en met het idee van variaties in oneindigheid,
had men het moeilijk.
Betrand Russell (1872-1970) vatte het probleem van het concept
verzameling samen in de volgende redenering.
Een willekeurige collectie objecten kan een verzameling vormen. Als we
het concept verzameling accepteren, en verzamelingen als wiskundige
objecten beschouwen, dan is er dus een verzameling U van alle
verzamelingen.
U heeft een deelverzameling S met de volgende definitie.
S={ x U | xx }
Dat ziet er vreemd uit. Je zou niet verwachten dat er een verzameling x
bestond die element is van zichzelf. S lijkt op een ingewikkelde manier
de lege verzameling te definiëren.
De bewering SS (S is immers een verzameling) is overduidelijk
paradoxaal. Voor elementen van S geldt juist dat zij geen element zijn
van zichzelf. Uit SS concluderen we SS.
Paradoxale beweringen zijn niet waar, dus we hebben SS. Maar dat is
ook paradoxaal. Want als dat het geval is, dan SS. Zo is S gedefinieerd.
Dit is een echte paradox. Een bewering die zichzelf tegenspreekt, en
waarvan de ontkenning zichzelf evenzeer tegenspreekt.
108
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Voordat verzamelingen als wiskundig concept werden geaccepteerd,
moest deze paradox worden opgeheven. Voor de goede orde, toen
Russell zijn paradox formuleerde was al aangegeven door Zermelo hoe
dat zou moeten.
Het probleem zit in de allereerste zin van het betoog.
“Een willekeurige collectie objecten kan een verzameling vormen.”
Dus niet. Zermelo gaf aan dat je het begrip verzameling “in bedwang”
moest houden door het bestaan van een aantal bijzondere
verzamelingen te accepteren, samen met een reeks van
constructieprincipes die uit bestaande verzamelingen weer nieuwe
creëren. Een inductieve aanpak, die het begrip verzameling afbakent,
zonder elke collectie objecten tot een verzameling te verklaren.
Paradox
Paradoxen zijn voor de logica lastig hanteerbaar. Ze moeten worden
opgeheven door een aanvullend inzicht. Als ze bijvoorbeeld voortkomen
uit een aanname, dan is het ontdekken van de paradox aanleiding om
de aanname te verwerpen. Dan vervalt ook de paradox.
Maar nu is mij het volgende ter ore gekomen.
Een oude man overlijdt en laat zijn treurende kinderen achter in de
veronderstelling dat hun vader zijn hele leven analfabeet is geweest en
gebleven. Hij heeft nooit kunnen lezen, en nooit kunnen schrijven.
Dan vinden zijn kinderen tot hun enorme verrassing, bij het verdelen
van de boedel, toch een briefje. Er staat:
Geen zin die ik heb geschreven is waar.
De kinderen kunnen niet anders concluderen dan dat hun vader dit
geschreven moet hebben, en dat het ook de enige zin is die hij ooit
geschreven heeft.
Maar is die enige zin die vader geschreven heeft nu waar, of niet waar?
Hier is sprake van een paradox, een oordeel waar of onwaar leidt altijd
tot een tegenspraak. Dat kunnen we heel precies maken. Laat V de
verzameling van vaders ware zinnen zijn. De gevonden zin is v. Dan zien
we eenvoudig dat v  V leidt tot v  V. Maar het omgekeerde is ook
het geval. Als immers v  V dan moet vader een ware zin geschreven
hebben. Omdat v de enige zin is die hij heeft geschreven, volgt v  V.
We moeten concluderen dat vader een zin heeft opgeschreven die wij
niet kunnen begrijpen als een bewering in de logische zin van het
woord. Het is onmogelijk hem te kwalificeren als waar of onwaar.
Het verhaal gaar nog iets verder.
109
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Jaren later besluiten de nieuwe bewoners van vaders oude huis tot een
grondige opknapbeurt. Als zij de lagen behang in de slaapkamer
verwijderen, vinden zij op de muur geschreven de volgende boodschap:
Ik heb spijt van elke zin die ik geschreven heb.
We moeten aannemen dat vader deze boodschap hier lang geleden
heeft achtergelaten. Hij heeft dus toch meer geschreven dan die ene zin.
Deze vondst verandert het oordeel over de waarheid/onwaarheid van
de oorspronkelijke zin.
Toen we uit v  V concludeerden dat v  V baseerden we ons op de
aanname (zekerheid, dachten we) dat vader maar 1 zin geschreven had.
Die aanname blijkt onjuist. Maar zodra er meer zinnen van vaders hand
zijn, kunnen we v  V niet meer afleiden. De zin v blijft paradoxaal, maar
het is geen echte paradox meer. Hij is gewoon niet waar. En dat vader
spijt heeft, is wel waar.
Intensionaliteit
Sinn und Bedeut ung
Je kunt op twee manieren naar een concept X kijken.
De eerste is: het concept X staat voor de verzameling van alle dingen die
X zijn. Frege noemde dat Bedeutung, (Engels: Reference), men gebruikt
hiervoor ook denotatie, of extensie
De tweede is: het concept X als zichzelf (en dat is een stuk moeilijker
precies te vatten). Frege noemde dat Sinn, (Engels: Sense), men gebruikt
hiervoor ook connotatie, of intensie.
In “Rood is een stopsignaal” wordt het concept rood intensioneel
gebruikt.
In “De president wordt elke vier jaar gekozen” wordt het concept
president intensioneel gebruikt.
Natuurlijke taal kent vele concepten en uitdrukkingen die vooral
intensioneel te begrijpen zijn. Een concept als “Sinterklaas” is een
overduidelijk voorbeeld. Dat is een leeg concept, in extensionele zin.
Sinterklaas bestaat niet. Maar het begrip heeft een rijke lading. “De
route naar Indië” is een ander voorbeeld, van een andere orde. Het
staat niet alleen voor een reisweg die kan worden afgelegd. Het staat
ook voor iets waarnaar men op zoek is geweest, in de zestiende en
zeventiende eeuw. Waarvan men toen de extensie nauwelijks kende, en
zeker niet begreep.
110
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Mogelijke w erelden
In die laatste constatering ligt een opvatting over intensie en extensie
besloten die tegenwoordig algemeen wordt gedeeld. De extensie van
een concept kan van context tot context variëren. Maar de intensie niet.
Wie de president is, kan van context tot context anders zijn. Maar het
begrip president heeft in alle denkbare contexten dezelfde lading. Tot
die lading behoort bijvoorbeeld de afspraak dat om de vier jaar een
nieuwe extensie zal worden bepaald (een nieuwe president zal worden
gekozen).
Welke dingen rood zijn, kan van context tot context verschillen. Maar in
alle denkbare contexten heft het begrip rood dezelfde lading. Tot die
lading behoort bijvoorbeeld de afspraak dat rood wordt gebruikt in
stopsignalen.
Het idee dat je intensie kunt begrijpen door niet een enkele context
maar vele contexten tegelijkertijd in beschouwing te nemen, wordt aan
velen toegeschreven. Lucretius (99-55 v.C), Leibniz (1646-1716),
Wittgenstein (1889-1951), Carnap (1891-1970), Lewis (1883-1964), en
Kripke (1940).
De laatste twee in het rijtje zijn daar zeker erg expliciet over in hun
werk. Kripke heeft deze mogelijke werelden semantiek zelfs een
wiskundige basis gegeven.
Intensionele zinsfunctoren
In onze eerdere discussies over het natuurlijk gebruik van de implicatie
en de disjunctie (als ... dan en of) was een spanning tussen intensioneel
en extensioneel gebruik. Dat wordt duidelijker als we bij het begrijpen
van zinnen niet alleen kijken naar een (eventueel gefantaseerde)
context, maar naar een collectie mogelijke werelden tegelijkertijd.
In natuurlijke taal drukt een spreker met het woord of een
onduidelijkheid, onzekerheid of onbeslistheid uit. Het gaat hem er niet
om aan te geven dat in een of andere context tenminste één van de
alternatieven waar zal zijn. Het gaat hem erom aan te geven dat hij
alleen mogelijke contexten ziet waarin tenminste één alternatief het
geval is. En dat hij op zoek is naar meer informatie over die contexten,
om uitsluitsel te krijgen.
Met de combinatie als ... dan is vaak hetzelfde aan de hand. Met de
uitspraak “Als het regent worden de straten nat” zegt de spreker iets
over de contexten die hij mogelijk acht. Namelijk de contexten waarin
de straten nat worden als het regent.
De disjunctie en de implicatie hebben een interpretatie als extensionele
logische operator, naast hun gebruik in natuurlijke taal, dat vaak
intensioneel is.
111
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Er zijn vele zinsfunctoren die helemaal geen extensionele interpretatie
kennen. Ze zijn door hun aard intensioneel. Denk aan (éénplaatsige)
functoren als: “het is noodzakelijk dat”, “het is zeker dat”, het is
onvermijdelijk dat”, “het is verplicht dat”. De waarheid van beweringen
die met deze functoren zijn gevormd, reiken verder dan “waar in een
(eventueel gefantaseerde) context”. Ze zijn intensioneel. Er is bij hun
waarheid een verzameling mogelijke werelden betrokken.
Intensionele logica’s
De basis voor intensionele logica’s is de propositielogica. Op die basis
bouwen we vier intensionele varianten: (klassieke) modale logica,
temporele logica, epistemische logica en deontische logica.
Daartoe worden (tenminste) 2 intensionele éénplaatsige operatoren
toegevoegd.
De eerste operator heeft verschillende verschijningsvormen:, K, O.

Klassiek: p staat voor p is noodzakelijk waar;

Temporeel: p staat voor p is blijvend waar;

Epistemisch: K p staat voor het is zeker dat p waar is

Deontisch: O p staat voor het is verplicht dat p waar is
Het karakteristieke principe voor deze operator is (geldt ook voor K en
O)
 (p  q)  (p  q)
De tweede operator heeft opnieuw verschillende verschijningsvormen:
, -, P
Het karakteristieke principe dat operator 2 uitdrukt in 1, is als volgt (ook
voor P): p = p;

Klassiek modaal: het is mogelijk (niet noodzakelijk niet);

Temporeel: het is onvermijdelijk (niet blijvend niet);

Epistemisch: het is denkbaar (het tegendeel is niet zeker);

Deontisch: het is toegestaan (het tegendeel is niet verplicht).
112
Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven
Het definiëren van interpretaties voor deze logica’s (semantische
sequent) is een zoektocht op zich. Voor de syntactische sequent is het
niet anders. Alleen al het onderzoek naar noodzakelijke waarheden in
deze logica’s is een ingewikkelde onderneming.
Wat te denken van p  p en (p  p) en p  p (ook voor K en
O)? En nog veel meer.
We gaan daar verder niet op in.
113