Wiskunde LJ1P3 Ruimtemeetkunde

Wiskunde
Leerjaar 1 - periode 3
Ruimtemeetkunde
Hoofdstuk 1 - Inleiding ruimtefiguren
A. Zeven verschillende ruimtefiguren
Hieronderziejezevenverschillenderuimtefiguren.Deruimtefigurenontstaanuitvlakkefiguren,zoalseen
vierkant,rechthoek,cirkel,driehoekofveelhoek.
1. Kubus
Eenkubusontstaatuiteenvierkant.Leghetvierkantals
eengrondvlak‘opdegrond’.Kopieerhetgrondvlaken
maakdaareenbovenvlakvan.Verbindnudehoekpunten
dierechtbovenelkaarliggen.
DefiniDevaneenkubus:regelmaDgzesvlakwaarvanalle
vlakkenvierkantzijn.Eenkubusisduseenruimtefiguurmet
6grensvlakken,8hoekpuntenen12ribbendieallemaalevenlangzijn.
2. Balk
Eenbalkontstaatuiteenrechthoek.Legderechthoekals
eengrondvlak‘opdegrond’.Kopieerhetgrondvlaken
maakdaareenbovenvlakvan.Verbindnudehoekpunten
dierechtbovenelkaarliggen.
DefiniDevaneenbalk:zesvlakwaarvanallevlakken
rechthoekzijn.Eenbalkisduseenruimtefiguurmet6
grensvlakken,8hoekpuntenen12ribben.De12ribben
zijnteverdelenindriegroepjesvanviergelijkeribben.
Opmerking:eenkubusisóókeenbalk;maareenbalkhoeMgeenkubustezijn.
3. Cilinder
Eencilinderontstaatuiteencirkel.Legdecirkelalseen
grondvlak‘opdegrond’.Kopieerhetgrondvlakenmaak
daareenbovenvlakvan.Verbindnubeidevlakkenmet
eenderde‘vlak’;demantel.
DefiniDevaneencilinder:ruimtefiguurmeteen
cirkelvormiggrondvlakénbovenvlak.Beidevlakkenzijn
metelkaarverbondendooreenderde-gebogen-vlak;
demantel.
© 2017 H.J. Riksen
!1
4. Prisma
Eenprismaontstaatuitiederevormdiegeenvierkant,
rechthoekofcirkelis.Datkanduseendriehoekzijn,maar
ookeenvijSoekofbijvoorbeelddevormvaneenhuis.
Legdevormalseengrondvlak‘opdegrond’.Kopieerhet
grondvlakenmaakdaareenbovenvlakvan.Verbindnu
dehoekpuntendierechtbovenelkaarliggen.
DefiniDevaneenprisma:ruimtefiguurmeteenveelhoekiggrondvlakeneenidenDekbovenvlak.De
bovenelkaarliggendehoekpuntenzijnloodrechtmetelkaarverbonden.Dezijvlakkenvaneenprisma
zijnalDjdrechthoeken.
5. Piramide
Eenpiramideontstaatuiteenveelhoek,bijvoorbeeldeen
driehoek,vierhoekofvijSoek.Legdeveelhoekalseen
grondvlak‘opdegrond’.Kiesmiddenbovendeveelhoek
eenpuntinderuimteenverbinddehoekenvanhet
grondvlakindatpunt.
DefiniDevaneenpiramide:ruimtefiguurmeteenveelhoekalsgrondvlakenzijvlakkenvanuitelkvande
zijdenvandeveelhoeknaareengemeenschappelijkepunt,detop.Dezijvlakkenvaneenpiramidezijn
alDjddriehoeken.
6. Kegel
Eenkegelontstaatuiteencirkel.Legdecirkelalseen
grondvlak‘opdegrond’.Kiesmiddenbovendecirkeleen
puntinderuimteenverbindhetgrondvlakmetdatpunt
doormiddelvaneentweedevlak,demantel.
DefiniDevaneenkegel:ruimtefiguurmeteencirkelals
grondvlakenééngebogenzijvlakdatsamenkomtinéénpunt.
7. Bol
Eenbolontstaatuiteencirkel.Legdecirkelinderuimte
entekenoneindigveelnieuwecirkelsmetdezelfdestraal
rondhetzelfdemiddelpunt.
DefiniDevaneenbol:ruimtefiguurwaarvanallepunten
diehetoppervlakvormen,zichopdezelfdeafstandvan
hetmiddelpuntbevinden.
© 2017 H.J. Riksen
!2
B. Ruimtefiguren in de architectuur
Ruimtefigurenkomjeoveraltegen;zowelindenatuuralsindetechniek.Vandezevenruimtefigurenzijn
bijvoorbeeldvelegebouwengemaakt.Hieronderziejeeenaantalvoorbeelden.
1. Kubus
ArchitectPietBlomontwierpbeginjarentachDgeenaantal
kubuswoningen.ZestaanaandeBlaakinRoZerdam.Omdat
dewoningenoppalenstaan,heethetcomplexookwel
‘BlaakseBos’.EénvandewoningenistebezichDgen.De
woningenzijntrouwensnietergprakDsch.Erzitnietveel
ruimteinenerisbijnageenrechtemuuromeenkast
tegenaantezeZen.
2. Balk
OokinRoZerdamstaat‘DeDelMsePoort’uit1991,
ontworpendoorAbeBonnema.Hetgebouwis151meter
hoogenwasbijnatwinDgjaarlanghethoogste
kantoorgebouwvanNederland.InhetcomplexziZen28
liMenenhetgeheelrustop957heipalen. 3. Cilinder
DeSchuZerstoreniseenwoontoreninAmsterdamvanDKV
architecten(2006).ZijwonnenerdeAmsterdamse
Nieuwbouwprijsmee.InhetgebouwziZen54
appartementen.Detorenstaatopeensoortgrasheuvel
(terp)waarinparkeerplaatsenzijnverstoptenophetdakzijn
groenedakterrassen.Debewonersdoenveelsamenomhet
gebouwendeomgevingmooitehouden.Zehebbenzelfs
eengemeenschappelijkewebsite(www.schuZerstoren.info).
© 2017 H.J. Riksen
!3
4. Prisma
HetAmerikaanseMinisterievanDefensieisgehuisvestin
‘HetPentagon’,eenvijSoekiggebouwinArlington,Virginia.
HetgebouwwerdalDjdensdeTweedeWereldoorlog
gebouwd(1942)enisontworpendoorGeorgeBergstrom.Bij
hetcomplexhorenindrukwekkendegetallen:Delengtevan
ééngevelis280m;erziZen284toileZenin;degangen
hebbeneengezamenlijkelengtevan28kilometerener
werkeniederedagmaarliefst25.000mensen.
5. Piramide
InAstana(Kazachstan)staatsinds2006dePiramidevan
VredevandeBritsearchitectNormanFoster.Opfoto’slijkt
hetgebouwklein,maaralleenalindekelderziteen
operazaaldieplaatsbiedtaan1325mensen.HetAtriumis
geschiktvoorcongressenenverderhuisvesthetgebouween
museumenhangendetuinen.Depiramideisbedoeldom
mensenvanallerleigelovenenculturensamentebrengen.
6. Kegel
HetcentralewinkelcentruminMelbourne(Australië)heeM
eenkegelvormigglazendak,waarondereenhistorische
kogeltorenuit1888staat.Kogeltorenswerdeninde19e
eeuwgebruiktomrondelodenkogelstemaken,door
vloeibaarloodvangrotehoogteinkoudwatertelaten
vallen.Ontwerp:KishoKurokawa,1991.
7. Bol
DeEricssonGlobeinStockholm(Zweden)iseen
evenementenhalwaarvoornamelijkijshockeywedstrijdenen
concertenwordengeorganiseerd.Erisplekvoorruim16.000
mensen.DeGlobeishetgrootstebolvormigegebouwter
wereldmeteendiametervan110meter.Hetgebouwisook
bekendvanhetEurovisieSongfesDval(2000en2016).
Ontwerp:BergArkitektkontor,1989.
© 2017 H.J. Riksen
!4
C. Oppervlakte van ruimtefiguren
Omdeoppervlaktevanruimtefigurenteberekenenmoetjedeoppervlaktevanallevlakkenbijelkaar
optellen.Somsgaatdateenvoudig,somsmoetjeevennadenken.Hieronderwordtuitgelegdhoejede
oppervlaktevandezevenfigurenberekent.
1. Kubus
Deoppervlaktevaneenkubusbestaatuitzesgelijkevierkanten.Alsjedusdelengtevanéénzijdevan
éénvierkantweet,kunjedeoppervlakteberekenen.Deoppervlaktevaneenvierkantiszijde×zijde,
oMewelzijde2.Erzijnzesvierkanten,dusdetotaleoppervlaktevaneenkubusis:6×zijde2
2. Balk
Deoppervlaktevaneenbalkbestaatuitdriepaargelijkerechthoeken.Hetmakkelijkstisomte
onthoudendatjedeoppervlaktevanallezesdezijdesbijelkaaroptelt:Oppervlaktevanallezeszijdes
optellen.
3. Cilinder
Deoppervlaktevaneencilinderbestaatuitdeoppervlaktevanhetgrondvlak+deoppervlaktevanhet
bovenvlak+deoppervlaktevandemantel.Grondvlakenbovenvlakzijngelijk,namelijkeencirkelmet
deformule: π ⋅ r (uitgaandevandestraal)of 14 ⋅ π ⋅ D (uitgaandevandediameter).
2
2
Deoppervlaktevandemantelberekenjemetdezeformule: 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h (uitgaandevandestraal)of
π ⋅ D ⋅ h (uitgaandevandediameter).
Zokomenweopdevolgendeformulesvoordetotaleoppervlaktevaneencilinder:
2 ⋅ π ⋅ r 2 + 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h (uitgaandevandestraal)of 12 ⋅ π ⋅ D 2 + π ⋅ D ⋅ h (uitgaandevandediameter).
4. Prisma
Hetgrondvlakvaneenprismakanvelevormenaannemen.Eenalgemeneformulevoordeoppervlakte
bestaatdaaromniet.NetalsbijdebalkisdeenigeregeldiewélalDjdgeldtvoordeoppervlakte:
Oppervlaktevanallezijdesoptellen.
5. Piramide
Hetgrondvlakvaneenpiramidekanvelevormenaannemen.Eenalgemeneformulevoorde
oppervlaktebestaatdaaromniet.NetalsbijdebalkisdeenigeregeldiewélalDjdgeldtvoorde
oppervlakte:Oppervlaktevanallezijdesoptellen.
6. Kegel
Deoppervlaktevaneenkegelbestaatuitdeoppervlaktevanhetgrondvlak+deoppervlaktevande
mantel.Grondvlakiseencirkelmetdeformule: π ⋅ r (uitgaandevandestraal)of 14 ⋅ π ⋅ D (uitgaande
2
2
2
2
vandediameter).Deoppervlaktevandemantelberekenjemetdeformule: π ⋅ r ⋅ r + h (uitgaande
vandestraal)of 12 ⋅ π ⋅ D ⋅
1
4
⋅ D 2 + h2 (uitgaandevandediameter).
Zokomenweopdevolgendeformulesvoordetotaleoppervlaktevaneenkegel:
π ⋅ r 2 + π ⋅ r ⋅ r 2 + h2 (uitgaandevandestraal)of 14 ⋅ π ⋅ D 2 + 12 ⋅ π ⋅ D ⋅
diameter).
© 2017 H.J. Riksen
!5
1
4
⋅ D 2 + h2 (uitgaandevande
7. Bol
Deoppervlaktevaneenbolberekenjemetdevolgendeformule:
4 ⋅ π ⋅ r 2 (uitgaandevandestraal)of π ⋅ D 2 (uitgaandevandediameter).
D. Inhoud van ruimtefiguren
Deinhoudvanruimtefigurenberekenjeoverhetalgemeendoordeoppervlaktevanhetgrondvlakte
vermenigvuldigenmetdehoogte.Bijeenpiramideeneenkegelmoetjedatantwoordnogdelendoor3.
1. Kubus
Deinhoudvaneenkubusberekenjedoordeoppervlaktevanhetgrondvlak(zijde2)te
vermenigvuldigenmetdehoogte(zijde);dus:zijde3.
2. Balk
Deinhoudvaneenbalkberekenjedoordeoppervlaktevanhetgrondvlak(lengte×breedte)te
vermenigvuldigenmetdehoogte,dus:lengte×breedte×hoogte.
3. Cilinder
Deinhoudvaneencilinderberekenjedoordeoppervlaktevanhetgrondvlak(cirkel)te
2
2
vermenigvuldigenmetdehoogte,dus: π ⋅ r ⋅ h (uitgaandevandestraal)of 14 ⋅ π ⋅ D ⋅ h (uitgaandevan
dediameter).
4. Prisma
Deinhoudvaneenprismaberekenjedoordeoppervlaktevanhetgrondvlaktevermenigvuldigenmet
dehoogte.Aangezienhetgrondvlakverschillendevormenkanaannemen,isergeenbetereformulete
gevendan:oppervlaktegrondvlak×hoogte.
5. Piramide
Deinhoudvaneenpiramideberekenjedoordeoppervlaktevanhetgrondvlaktevermenigvuldigen
metdehoogte;endatantwoordtedelendoor3.Aangezienhetgrondvlakverschillendevormenkan
aannemen,isergeenbetereformuletegevendan:⅓×oppervlaktegrondvlak×hoogte.
6. Kegel
Deinhoudvaneencilinderberekenjedoordeoppervlaktevanhetgrondvlak(cirkel)te
2
vermenigvuldigenmetdehoogte;endatantwoordtedelendoor3.Datwordtdus: 13 ⋅ π ⋅ r ⋅ h 2
(uitgaandevandestraal)of 121 ⋅ π ⋅ D ⋅ h (uitgaandevandediameter).
7. Bol
Deinhoudvaneenbolberekenjemetdevolgendeformule:
4
3
⋅ π ⋅ r 3 (uitgaandevandestraal)of 61 ⋅ π ⋅ D 3 (uitgaandevandediameter).
© 2017 H.J. Riksen
!6
Hoofdstuk 1 - Opgaven
1.
BerekendeoppervlakteendeinhoudvaneenbalkmetdevolgendeafmeDngen:l=3m,b=
3dmenh=15cm.
2.
Berekendeoppervlakteenhetvolumevaneenkubusmeteenribbevan12cm.
3.
Vaneenbalkisdeoppervlakte1090cm2.Delengteis13cmendehoogteis2,1dm.Bereken
debreedteenhetvolumevandebalk.
4.
Deinhoudvaneenbalkis533,52cm3.Debreedteis1,2dm,terwijldehoogte5,7cmis.
Berekendelengteendetotaleoppervlaktevandezebalk.
5.
EenkubusheeMeeninhoudvan1728cm3.Berekendelengtevandezijdeendetotale
oppervlakte.
6.
DetotaleoppervlaktevaneenkubusisA=726cm2.Berekendelengtevaneenzijdeende
inhoud.
7.
Dedwarsdoorsnedevanfiguur3iseengelijkbenigedriehoekmetgelijkerecht-hoekzijden
van6cm.Dezijvlakkenzijnrechthoekenmeteenhoogtevan10cm.
a)
Berekendeschuinezijdesvandedwarsdoorsnede.
b)
Berekendeoppervlaktevanhetprisma.
c)
Berekenhetvolumevanhetprisma.
8.
Hetgrondvlakvandepiramideiseenvierkantmetzijdenvan5cm.DehoogteTT1=15cm.
a)
Berekendeoppervlaktevandepiramide.
b)
Berekendeinhoudvandepiramide.
9.
Eenzijdevanhetgrondvlakvaneenpiramideis25cm.Dehoogtebedraagt30cm..
a)
Berekendeoppervlaktevandepiramide.
b)
Berekendeinhoudvandepiramide.
10.
Eenzijdevanhetgrondvlakvaneenpiramideis25cm.Deinhoudbedraagt2000cm3.
a)
Berekendehoogtevandepiramide.
b)
Berekendeoppervlaktevandepiramide.
© 2017 H.J. Riksen
!7
11.
Hetgrondvlakvaneenprismaiseenrechthoekigedriehoekmetrechthoekszijdenvan6cm
en7cm.Deinhoudis126cm3.
a)
Berekendehoogtevanhetprisma.
b)
Berekendeoppervlaktevanhetprisma.
12.
HetgrondvlakvaneenrechtregelmaDgprismaheeM6zijdenvanelk8cm.Dehoogte
bedraagt15cm.
a)
Berekendeomtrekvanhetgrondvlak.
b)
Bepaaldeoppervlaktevanhetgrondvlak.
c)
Berekendetotaleoppervlaktevanhetprisma.
d)
Berekenhetvolumevanhetprisma
13.
Berekendeoppervlakteendeinhoudvaneenbolmeteenstraalvan2m.
14.
Berekendeoppervlakteendeinhoudvaneenbolmeteenmiddellijnvan6cm.
15.
EenbolheeMeenoppervlaktevan100cm2.
a)
Berekendestraalvandebol.
b)
Bepaaldeinhoudvandebol.
16.
EenbolheeMeeninhoudvan250cm2.
a)
Berekendestraalvandebol.
b)
Bepaaldeoppervlaktevandebol.
17.
EenconservenblikheeMeendiametervan10cmenis12,7cmhoog
a)
Berekendeoppervlaktevanhetblik.
b)
Berekendeinhoudvanhetblik.
18.
EenanderblikheeMdezelfdeinhoudvan750cm3enis15cmhoog.
a)
Berekendestraalvandebodem.
b)
Berekenoppervlaktevanhetblik.
19.
EencilinderheeMeeninhoudvan80cm3eneendiametervan8cm.
a)
Berekendehoogte.
b)
Berekendetotaleoppervlakte.
© 2017 H.J. Riksen
!8
20.
Deoppervlaktevandemantelvaneencilinderis30cm2.Destraalis4cm.
a)
Berekendehoogtevandecilinder.
b)
Berekendeinhoudvandecilinder.
21.
EenrondekerktorenheeMeendiametervan7m.Despitsis5mhoog.
a)
Berekendeoppervlaktevandespits.
b)
Berekendeinhoudvandespits.
22.
HetgrondvlakvaneenkegelheeMeenstraalvan8cm.Dehoogteis10cm.
a)
Berekendeoppervlaktevandekegel.
b)
Berekendeinhoudvandekegel.
23.
EenkegelheeMeeninhoudvan1000cm3.Dehoogteis12cm.
a)
Berekendestraalvanhetgrondvlakvandezekegel.
b)
Berekenhetoppervlakvandezekegel.
24.
EenkegelheeMeeninhoudvan480cm3.Destraalvanhetgrondvlakis7cm.
a)
Berekendehoogtevandezekegel.
b)
Berekenhetoppervlakvandezekegel.
© 2017 H.J. Riksen
!9