Formuleverzameling

IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 1/16
Formuleverzameling
√
√
2 ≈ 1, 41; 3 ≈ 1, 73
Logaritmische en exponentiële functie
e = lim (1 + 1/x)x ≈ 2, 72
x→∞
loga x =a log x = y ↔ x = ay (a ∈ R+
0 \ {1})
ln x = loge x; exp(x) = ex
loga (xy) = loga x + loga y
loga xy = loga x − loga y
loga (xn ) = n loga x
loga b logb c = loga c
ax+y = ax ay ; axy = (ax )y
Trigoniometrische functies
sin α
cos α
1
tg α = tan α = cos
α ; cotg α = cot α = sin α = tan α
1
1
sec α = cos α ; cosec α = sin α
Bgsin x = arcsin x, (|x| ≤ 1)
Bgcos x = arccos x, (|x| ≤ 1)
Bgtan x = arctg x = arctan x; Bgcot x = arccot x
Bgsec x = arcsec x, (|x| ≥ 1)
Bgcosec x = arccosec x (|x| ≥ 1)
sin2 α + cos2 α = 1; tan2 α + 1 = sec2 α; 1 + cot2 α = cosec 2 α
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
tan(α ± β) = (tan α ± tan β)/(1 ∓ tan α tan β)
2 tan α
sin 2α = 2 sin α cos α = 1+tan
2α
cos 2α = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1 =
2 tan α
tan 2α = 1−tan
2α
tgα
cotgα
1
sin α
α
0
1−tan2 α
1+tan2 α
α−β
α−β
α+β
sin α + sin β = 2 sin α+β
2 cos 2 ; sin α − sin β = 2 sin 2 cos 2
α−β
α+β
α−β
cos α + cos β = 2 cos α+β
2 cos 2 ; cos α − cos β = −2 sin 2 sin 2
2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β)
2 cos α cos β = cos(α + β) + cos(α − β)
−2 sin α sin β = cos(α + β) − cos(α − β)
Sinus-en cosinusregel in een driehoek
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
α
c
b
γ
β
a
Verzamelingenleer
AT
∪ B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B behoren.
A B is de verzameling van alle elementen die tot A en tot B behoren.
A \ B is de verzameling van alle elementen die tot A maar niet tot B behoren.
A ⊂ B als alle elementen van A ook tot B behoren.
cos α
1
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 2/16
Afstanden en hoeken in het vlak en in de ruimte
(cartesiaans assenstelsel)
p
Afstand tussen twee punten p1 (x1 , y1 ) en p2 (x2 , y2 ) in het vlak: |p1 p2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
|ax0 + by0 + c|
√
Afstand van het punt p(x0 , y0 ) tot de rechte L ↔ ax + by + c = 0 in het vlak: d(p, L) =
a2 + b2
~u · ~v
x1 x2 + y1 y2
p
Hoek α tussen twee vectoren ~u(x1 , y1 ) en ~v (x2 , y2 ) in het vlak: cos α =
=p 2
k~uk k~uk
x1 + y12 x22 + y22
Afstand p
tussen twee punten p1 (x1 , y1 , z1 ) en p2 (x2 , y2 , z2 ) in de ruimte:
|p1 p2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
Afstand van het punt p(x0 , y0 , z0 ) tot het vlak γ ↔ ax + by + cz + d = 0 in de ruimte:
|ax0 + by0 + cz0 + d|
√
d(p, γ) =
a2 + b2 + c2
Hoek α tussen twee vectoren ~u(x1 , y1 , z1 ) en ~v (x2 , y2 , z2 ) in de ruimte:
~u · ~v
x 1 x 2 + y1 y2 + z 1 z2
p
cos α =
=p 2
k~uk k~uk
x1 + y12 + z12 x22 + y22 + z22
Tweedegraadsvergelijkingen met reële coëfficiënten
ax2 + bx + c = 0, a 6= 0
D = b2 − 4ac
√
D
Als D > 0; x1,2 = −b±
; ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
2a
−b
Als D = 0, x1 = x2 = 2a ; ax2 + bx + c = a(x − x1 )2
Als D < 0, geen reële oplossingen.
Afgeleiden
f (x)
f 0 (x)
f (x)
f 0 (x)
g(x) ± h(x)
g 0 (x) ± h0 (x)
g(h(x))
g(x)h(x)
g(x)
h(x)
g 0 (x)h(x) + g(x)h0 (x)
g 0 (x)h(x) − g(x)h0 (x)
(h(x))2
g −1 (x)(inverse)
xq , q ∈ Q
qxq−1
g 0 (h(x))h0 (x)
1
0
−1
g (g (x))
1
x
1
x ln a
1
√
(|x| < 1)
1 − x2
1
−√
(|x| < 1)
1 − x2
1
1 + x2
1
−
1 + x2
1
√
, (|x| > 1)
|x| x2 − 1
1
− √
, (|x| > 1)
|x| x2 − 1
x
e
a
x
ln x
a
log x
x
e
Bgsin x
x
a ln a
Bgcos x
sin x
cos x
cos x
− sin x
Bgtan x
tan x
sec2 x
Bgcot x
cot x
−cosec 2 x
Bgsec x
sec x
tan x sec x
cosec x
− cot x cosec x
Bgcosec x
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 3/16
Primitieven
Z
f (x)
f (x)dx
g 0 (x)
g(x) + C
1
x,
x 6= 0
ln |x| + C
ln x
x ln x − x + C
√ 1
k2 −x2
Bgsin xk + C
√
ln |x + k 2 + x2 | + C
x−a 1
ln
2a
x+a + C
√ 1
k2 +x2
1
,a
x2 −a2
6= 0
R
R
0 (x) dx =
Substitutie: f (g(x))g
f (u) du
R
R
0
Partiële integratie: u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u0 (x) dx
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 4/16
Oefening 1
Hieronder zie je de grafieken van twee reële functies, links van de functie f , rechts van de functie g. De
schaal in beide tekeningen is dezelfde. Wat is het verband tussen g en f ?
(A) Voor alle x ∈ R is g(x) = f (x/2 − 1/2).
(C) Voor alle x ∈ R is g(x) = f (x/2) − 1/2.
(D) Voor alle x ∈ R is g(x) = f (2x − 1/2).
g
f
(B) Voor alle x ∈ R is g(x) = f (x/2 + 1/2).
1
1
1
x
1
x
(E) Voor alle x ∈ R is g(x) = f (2x) − 1/2.
Oefening 2
De olympische schans van Garmisch Partenkirchen kunnen we modelleren door een lijnstuk in het cartesische
vlak door de punten A(0,a) en B(b,0) met lengte 104 m en torenhoogte a=60 m. De hoek θ is de hellingshoek
van deze schans (=hoek van de schans met de horizontale). Welk van onderstaande beweringen is correct?
(A) cos θ = 60/104
(B) sin θ = 60/104
(C) tan θ = 60/104
(D) cot θ = 60/104
(E) arctanθ = 60/104
Oefening 3
Z
Bereken I =
1
(A) ln 4
(B)
1
2
ln 4
(C) 2(ln 4)2
(D) 2(ln 2)2
(E) 3
4
ln x
dx
x
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 5/16
Oefening 4
Volgens de montagehandleiding van een kast, kan je deze best monteren met de voorzijde naar beneden, om
daarna te kantelen. De afmetingen van de kast zijn 100 cm×60 cm×200 cm (breedte×diepte×hoogte).
Veronderstel dat onderstaande ruimtes allemaal groter zijn dan 4 m×4 m, maar een verschillende hoogte
hebben. De kelder heeft een hoogte van 205 cm, de zolder een hoogte van 220 cm, de keuken een hoogte van
240 cm en de living een hoogte van 265 cm. In welk van deze ruimtes kan de kast gekanteld worden zonder
het plafond te raken?
(A) In geen van bovenstaande ruimtes.
(B) Enkel in de living.
(C) Enkel in de living en de keuken.
(D) Enkel in de living, de keuken en de zolder.
(E) In alle bovenstaande ruimtes.
Oefening 5
Welk perspectief kan bij het onderstaande grondplan horen?
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 6/16
Oefening 6
Beschouw de onderstaande functies:
• f1 : R → R : x 7→ f1 (x) = x2
• f2 : R → R : x 7→ f2 (x) = |x|
• f3 : R → R : x 7→ f3 (x) = sin(x)
• f4 : R → R : x 7→ f4 (x) =
x
2
We beschouwen verder de samengestelde functies fi (sin(x)) (voor i = 1, 2, 3, 4). Indien de functie fi periodiek
is, noteren we de periode in x van de functie fi (sin(x)) als Pi . Is de functie fi niet periodiek, dan stellen
we Pi = 0. Wat is de waarde van P1 + P2 + P3 + P4 ?
(A) 4π
(B) 5π
(C) 6π
(D) 7π
(E) 8π
Oefening 7
Bepaal tan[arccos(− 21 )]
√
√
(A) − 3
(B) 3
(C)
√
3/3
√
(D) − 3/3
Oefening 8
Hoeveel (reële) oplossingen heeft de vergelijking |x − 1| = x2 + 1?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(E)
√
3/2
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 7/16
Oefening 9
Bij het verwachte verloop van een griepepidemie wordt het volgende model gehanteerd voor het geschatte
aantal nieuwe besmettingen op dag t (t > 0):
2
N (t) = 80e−0.04(t−20)
Het tijdstip T is het tijdstip waarop de toename van het aantal nieuwe gevallen het grootst is. Welke
uitspraak is dan geldig?
(A) T ligt in het interval [10,20[
(B) T is precies gelijk aan 20
(C) T ligt in het interval ]20,30[
(D) T ligt in het interval [30,40[
(E) T is meer dan 40
Oefening 10
In tekeningen 1, 2 en 3 wordt een object met een vaste vorm afgebeeld, telkens vanuit een ander standpunt.
Welke is de logisch daaropvolgende tekening van dit object?
1.
2.
3.
4A.
4B.
4C.
4D.
4E.
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 8/16
Oefening 11
Van een functie f : R → R : x 7→ f (x) zegt men dat ze additief is als en slechts als, voor alle x en y in R,
f (x + y) = f (x) + f (y)
Welke van de volgende uitspraken is correct?
(A) f met f (x) = ln(x) is additief.
(B) f met f (x) = ex is additief.
(C) f met f (x) = cos x is additief.
(D) f met f (x) = (x + 2)2 − 2(x + 2) is additief.
(E) f met f (x) = (x + 2)2 − (x − 2)2 is additief.
Oefening 12
Beschouw de volgende punten in het xy-vlak: P = (5, 0), Q = (5, −5), R = (0, −5), S = (−3, −4) en
T = (−5, 5). Welke van de volgende antwoorden bestaat uit drie punten die behoren tot dezelfde cirkel met
middelpunt in de oorsprong?
(A) P, Q, R
(B) Q, S, T
(C) Q, R, T
(D) P, R, T
(E) P, R, S
Oefening 13
Een complex getal z kunnen we schrijven als z = a + ib met a en b reële getallen en i2 = −1. Beschouw
volgende vierkantsvergelijking
(1 − i)z 2 + (3 + 2i)z − (2 − i) = 0
Welke van onderstaande getallen is een oplossing van deze vergelijking?
(A) 1 − i
(B)
−1−i
2
(C) −2 − 2i
(D) −1 − 2i
(E) −2 − 4i
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 9/16
Oefening 14
Gegeven een kegelvormig vat met de top naar beneden, met een totale hoogte van 1m en met een bovenvlak
van 1m2 . Dit vat wordt via een kraan gevuld met water volgens een debiet van 10 liter per minuut. Bepaal
een uitdrukking voor de hoogte van het water in het vat in functie van de tijd. Of, bepaal de functie h(t)
met h de hoogte (uitgedrukt in meter) en t de tijd (uitgedrukt in minuten).
Tip: De inhoud I van een kegel bereken je met I = GH
3 , met G de oppervlakte van het grondvlak en H de
hoogte van de kegel.
1
(A) h(t) = (0.01t) 3
1
(B) h(t) = (10t) 3
1
(C) h(t) = (30t) 3
1
(D) h(t) = (0.03t) 3
(E) h(t) = (0.03t)3
Oefening 15
B.
C.
D.
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
A.
E.
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
Als je uitsluitend de vier onderstaande stukken hebt om een kubus te stapelen, welke stapeling is dan onmogelijk? De afzonderlijke blokjes waaruit de stukken zijn samengesteld, hebben aan iedere zijde dezelfde
kleur en de stukken kunnen niet uiteen worden gehaald in afzonderlijke blokjes.
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 10/16
Oefening 16
Betreffende een soort kever weten we het volgende: de kevers sterven enkel in de winter; van de nuljarigen
overleeft 14 de eerste winter; de helft hiervan overleeft ook de tweede winter; geen enkele kever overleeft de
derde winter. Een kever die de eerste winter overleeft, noemen we een eenjarige kever. Elke eenjarige kever
brengt vlak na de eerste winter 2 nakomelingen ter wereld. Elke tweejarige kever brengt vlak na de tweede
winter 4 nakomelingen ter wereld. We starten vlak voor de winter van 2011 met een populatie van 1200
nuljarigen, 600 eenjarigen en 300 tweejarigen. Wat is dan de totale populatie vlak voor de winter van 2013?
(A) 2100
(B) 2550
(C) 2750
(D) 3000
(E) 5250
Oefening 17
Beschouw de functie f : R → R : x 7→ f (x) = x3 − 9x2 + 15x + 20.
Bepaal het absolute minimum van deze functie voor x ∈ [0, 3].
(A) -5
(B) 0
(C) 5
(D) 11
(E) 27
Oefening 18
Een ontwerper moet een doosje voor ronde pralines met een diameter van 2 cm ontwerpen. Hij ontwerpt een
vierkant doosje met tussenschotten volgens de diagonalen, zodanig dat de pralines er net in passen. Welke
van onderstaande waardes is de beste benadering voor de lengte van de zijde van het doosje? De dikte van
de tussenschotten mag verwaarloosd worden.
(A) 4 cm
(B) 4.4 cm
(C) 4.8 cm
(D) 5.1 cm
(E) 5.4 cm
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 11/16
Oefening 19
Een foute positie- en lenskeuze door een fotograaf resulteerde in een sterk vervormde foto. Gegeven is dat
de vervorming lineair was, zodat het punt met coördinaten (x, y) na vervorming terechtkwam op de locatie
met coördinaten (x0 , y 0 ) waarbij
 
 
x0 
x
  = A 
y0
y
(1)
met A een reële 2 × 2 matrix. Bovendien weten we dat punten met coördinaten van de vorm (α, 2α) na
vervorming terechtkwamen op (3α, 6α). Punten met coördinaten van de vorm (2α, α) kwamen terecht op
(18α, 9α).
Wat is de som van de elementen van de matrix A?
(A) 3
(B) 4
(C) 9
(D) 12
(E) 36
Oefening 20
Welk object kan je openplooien tot onderstaande vlakke figuur?
B.
C.
D.
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
A.
E.
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 12/16
De samengestelde oefeningen bestaan telkens uit 3 deelvragen.
Samengestelde oefening 1
Beschouw het punt a met coördinaten (2 sin 4, −2 cos 4) (hoeken in radialen).
Vraag 21
Waar situeert het punt a zich?
(A) in het eerste kwadrant (x > 0, y > 0)
(B) in het tweede kwadrant (x < 0, y > 0)
(C) in het derde kwadrant (x < 0, y < 0)
(D) in het vierde kwadrant (x > 0, y < 0)
(E) op een coördinaatas (x-as of y-as)
Vraag 22
Wanneer de cirkel met middelpunt (0,0) en straal 2 doorlopen wordt in tegenwijzerzin vanaf het punt (2,0)
tot het punt a, wordt een cirkelboog beschreven. Welke uitspraak over de lengte l van deze cirkelboog is
correct?
(A) l < 2
(B) 2 ≤ l < 3
(C) 3 ≤ l < 4
(D) 4 ≤ l < 6
(E) 6 ≤ l
Vraag 23
Welk van onderstaande vectoren is een raakvector (= vector evenwijdig met de raaklijn) in het punt a aan
de cirkel met middelpunt (0,0) en straal 2?
(A) de vector met coördinaten (1,0)
(B) de vector met coördinaten (0, 1)
(C) de vector met coördinaten (cos 4, sin 4)
(D) de vector met coördinaten (− sin 4, cos 4)
(E) de vector met coördinaten (sin 4, cos 4)
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 13/16
Samengestelde oefening 2
Bekijk onderstaande figuur met daarin de grafiek van de reële functie f . We noteren met g de reële functie
met voorschrift g : R → R : x 7→ g(x) = 2f (sin(x)).
f (x)
1
x
−1
−1
1
2
Vraag 24
Bepaal g(π/3).
(A) 0
(B) 1
(C)
√
3
√
(D) 2 3 − 2
√
(E) 2 3 − 1
Vraag 25
Bepaal de afgeleide f 0 (π/3).
(A) -1
(B) 0
(C) 1/2
(D) 1
(E) 2
Vraag 26
Bepaal de afgeleide g 0 (π/3).
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 2
(E) 4
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 14/16
Samengestelde oefening 3
Om twee wielen te koppelen in een aandrijfsysteem, wordt een riem gebruikt. De stralen van deze wielen
zijn respectievelijk 20cm en 5cm, en de afstand tussen de centra van de wielen bedraagt 30cm (zie figuur).
Vraag 27
Als het grote wiel 1 omwenteling maakt, hoeveel omwentelingen maakt het kleine wiel dan?
(A) 1/6
(B) 1/4
(C) 1
(D) 4
(E) 6
Vraag 28
Als het grote wiel 1 omwenteling per seconde maakt, welke snelheid heeft de riem dan?
(A) 1 m/s
(B) 20 cm/s
(C) 25π cm/s
(D) 40π cm/s
(E) 400π cm/s
Vraag 29
Bereken de lengte van de riem.
√
(A) 30(π − 3) cm
√
(B) 20(π + 3) cm
√
(C) 30(π + 3) cm
√
(D) 20(π − 3) cm
(E) 20(π + 3) cm
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 15/16
Samengestelde oefening 4
De rechte a is de raaklijn aan de kromme in het xy-vlak met cartesiaanse vergelijking xy = 12 in het punt
(3, 4).
Vraag 30
Welke is de richtingscoëfficiënt van de rechte a?
(A) 43
(B) 43
(C) −3
(D) −4
4
3
(E) 12
Vraag 31
Welke van volgende vectoren is evenwijdig met de rechte a?
(A) de vector met coördinaten (3, 4)
(B) de vector met coördinaten (4, 3)
(C) de vector met coördinaten (−3, 4)
(D) de vector met coördinaten (−4, 3)
(E) de vector met coördinaten (1, 12)
Vraag 32
Bepaal cos θ, met θ de scherpe hoek tussen de rechte a en de y-as.
1
3
4
(A) 12
(B) 12
(C) 12
(D) 43
(E) 45
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 16 september 2013 - reeks 1 - p. 16/16
Samengestelde oefening 5
Gegeven de functie f met functievoorschrift
x2 + 1
f : R → R : x 7→ f (x) = √
x2 − 1
Vraag 33
Welke asymptoten vertoont de grafiek van deze functie?
(A) Enkel de vertikale asymptoten x = 1 en x = −1.
(B) De vertikale asymptoten x = 1 en x = −1 en de horizontale asymptoten y = 1 en y = −1.
(C) De vertikale asymptoten x = 1 en x = −1 en de schuine asymptoot y = x.
(D) De vertikale asymptoten x = 1 en x = −1 en de schuine asymptoten y = x en y = −x.
(E) De vertikale asymptoten x = 1 en x = −1 en de schuine asymptoten y = x − 1 en y = −x + 1.
Vraag 34
Welke lokale extrema vertoont de grafiek van deze functie?
(A) Geen.
√
√
(B) Twee lokale minima in x = 3 en x = − 3 en een lokaal maximum in x = 0.
√
√
(C) Drie lokale minima in x = 3 en x = − 3 en x = 0.
√
√
(D) Twee lokale minima in x = 3 en x = − 3.
(E) Twee lokale minima in x =
√1
3
en x = − √13 .
Vraag 35
Welke buigpunten vertoont de grafiek van deze functie?
(A) Geen.
√
√
(B) x = 3 en x = − 3 en x = 0.
(C) x =
√1
3
en x = − √13 en x = 0.
(D) x = 0.
√
√
(E) x = 3 en x = − 3.