X rekenen/wiskunde - HU

Onderzoeksplan OWPO
t.b.v. Master Wiskunde
juli 2014
Irene Vis
(studentnummer 1628391)
Docent:
Lisette Munneke
Inhoud
1.
Inleiding .................................................................................................................................................... 2
2.
Theoretisch kader...................................................................................................................................... 3
3.
Voorgestelde interventie ........................................................................................................................... 5
4.
Voorgestelde methode .............................................................................................................................. 7
5.
Planning en organisatie ........................................................................................................................... 11
6.
Literatuurlijst........................................................................................................................................... 12
BIJLAGE I. Onderzoeksvoorstel ‘Wiskundige denkactiviteit in praktijk’ .......................................................... 14
1
1. Inleiding
Dit onderzoeksplan beschrijft de aanpak van het praktijkonderzoek dat ik in het kader van mijn studie
‘master wiskunde’ aan de Hogeschool Utrecht zal gaan uitvoeren in studiejaar 2014-2015. Het is,
samen met een reflectieverslag, tevens het eindproduct van het vak OWPO (Onderwijswetenschap
en Praktijkonderzoek). Het onderzoek wordt uitgevoerd op Het Nieuwe Eemland in Amersfoort waar
ik als wiskundedocent werk. Dit is een mavo-havo-vwo school met ongeveer 1300 leerlingen.
Mijn praktijkonderzoek wordt uitgevoerd binnen de setting van een door het NRO (Nationaal
Regieorgaan Onderwijsonderzoek) gesubsidieerd praktijkonderzoek Wiskundige denkactiviteiten in
praktijk. Het onderzoeksvoorstel is opgenomen in Bijlage I. De centrale praktijkvraag binnen dit
project is welke kenmerken een wiskundeopdracht denkactief maken en op welke manieren een
wiskundedocent de denkactieve mogelijkheden van een opdracht in de les kan benutten. Dus
concreet: hoe organiseer je dat leerlingen tijdens de wiskundelessen nadenken? Er wordt een aantal
denkactieve opdrachten ontworpen en bij het inzetten ervan in de les wordt in kaart gebracht welke
lesmethoden effectief zijn. Om de producten binnen het vak Onderwijswetenschap en
Praktijkonderzoek (OWPO) als zodanig te kunnen beoordelen is dit onderzoeksplan op zich staand
beschreven, maar wel afgestemd op de planning van het NRO-project.
De aanleiding voor mijn probleemstelling heeft te maken met het volgende: de inhoudelijke en
organisatorische invulling en onderlinge verhouding van verschillende lesonderdelen hangen af van
het doel dat de individuele wiskundedocent nastreeft met zijn onderwijs. Binnen de onderlinge
verhouding van lesonderdelen heeft het doel ‘het vloeiend kunnen uitvoeren en kennen van
procedures’ nu een groot aandeel. Idealiter zou ik meer ruimte willen maken voor ‘bewustzijn en
waardering van wiskunde’ (Swan 2011). In een praktische probleemverkenning is op basis van
lesobservaties onderzocht of nadenken zichtbaar gemaakt kan worden. Bij het werken aan
denkactieve opgaven was een betrokken houding waar te nemen, leerlingen zaten naar elkaar en het
werk toegebogen en praatten met elkaar. Daarnaast leidde het vinden van een oplossing zichtbaar
tot voldoening (‘scoren’). Verder zijn klassengesprekken geanalyseerd over oriëntaties van leerlingen
met betrekking tot wiskunde leren. Hierin kwam naar voren dat leerlingen wiskunde graag willen
begrijpen en hiervan het belang onderkennen. Tegelijkertijd accepteren ze het dat dit soms niet lukt
en vinden dat ze dan toch procedurele vaardigheden (trucjes en stappenplannen) moeten trainen
zonder inzicht. Dit vinden leerlingen minder wenselijk, maar doen ze wel veel. Deze praktische
verkenning onderstreept de waarde van wiskundige denkactiviteit in de les.
Een verkenning van de literatuur met betrekking tot inzicht krijgen in wiskundige concepten en
ontwikkelen van wiskundige vaardigheden is in het theoretische kader in hoofdstuk 2 van dit plan
beschreven. Binnen het onderzoek wordt uitgegaan van een constructivistisch standpunt waarbij
inzicht in een nieuw concept ontstaat door het zelf maken van verbindingen door leerlingen met
reeds aanwezige inzichten (Piaget 1966).
De onderzoeksvraag is aan de hand van deze probleemverkenning en het opzetten van het
onderzoeksplan verder aangescherpt tot: “Leidt het inzetten van een wiskundige denkactiviteit in de
les tot het beter begrijpen en beter aanleren van procedurele vaardigheden?” Met beter begrijpen
2
wordt hier bedoeld dat het wiskundige concept en/of de wiskundige procedure op een logische wijze
ingebed is in wat de leerling al weet en met beter aanleren wordt bedoeld dat de vaardigheid niet
alleen onthouden wordt, maar ook aangepast en ingezet kan worden bij het oplossen van nieuwe
problemen. Deze omschrijving is gebaseerd op de definitie van begrip die James Hiebert hanteert in
Making Sense (2000). Bij het beschrijven van de interventie in hoofdstuk 3 wordt nader ingegaan op
de organisatorische en didactische eisen die het onderzoek stelt aan het inzetten van een wiskundige
denkactiviteit; in feite een lesonderdeel waarbij leerlingen over het algemeen tot communicatie en
reflectie over wiskunde aangezet worden. In dit onderzoek in het bijzonder voorafgaand aan het
aanleren van een nieuwe procedurele vaardigheid.
De in dit plan voorgestelde interventie behelst het ontwerpen en uitvoeren van twee van zulke
wiskundige denkactiviteiten in vwo 3. Bij het uitvoeren van deze interventie worden drie deelvragen,
gericht op relevante mechanismen, onderzocht die in hoofdstuk 3 zijn toegelicht:
1. Op welke abstractieniveaus communiceren leerlingen met elkaar n.a.v. de wiskundige
denkactiviteit?
2. Komen er in de reflectie en communicatie door leerlingen n.a.v. de wiskundige denkactiviteit
verbanden tussen aanwezige voorkennis en aspecten van de nieuw te leren procedure naar voren?
3. Worden leerlingen tijdens de wiskundige denkactiviteit aangezet tot het verklaren van hun ideeën
aan groepsgenoten?
2. Theoretisch kader
Het besteden van aandacht aan lesonderdelen die andere doelen hebben dan het ontwikkelen van
procedurele kennis is een actueel vraagstuk. Zo houdt de vernieuwingscommissie wiskunde cTWO
een pleidooi voor een belangrijke plaats voor wiskundige denkactiviteiten in de curricula (cTWO,
2013). Dit sterkt mij in de overtuiging dat het probleem dat ik ervaar, namelijk een te eenzijdige
nadruk op het aanleren van procedurele kennis, relevant is. Er moet meer ruimte komen voor het
(beter worden in) nadenken over wiskunde.
Besef van het belang van nadenken over wiskunde is niet nieuw. In het Handboek wiskundedidactiek
(Drijvers, Van Streun & Zwaneveld 2012) wordt verwezen naar Polya (1945) en zijn theorie over
probleemaanpak en naar Freudenthal (1973): ‘het gaat Freudenthal niet zozeer om de leerstof, de
wiskundige inhoud, die moet worden onderwezen maar om de wiskundige activiteit die de leerlingen
als doel van het wiskundeonderwijs moeten leren’.
Verschillende vakdidactici bespreken verbanden tussen het succesvol procedurele vaardigheid
opbouwen enerzijds en nadenken over wiskunde anderzijds. Van Dormolen (1982) benadrukt het
belang van activiteiten die kernen en probleemsituaties met elkaar verbinden. Wiskundige Thurston
(1990) waarschuwt voor een focus op het alleen maar oefenen van operaties voor de toets. Voor
interessante zijsporen is vaak geen tijd, wat leidt tot ‘smalle hoge stellages van kennis’ die
uiteindelijk omvallen. Beter is een brede basis. Tenslotte wijst hij erop dat wiskunde intuïtief en
werkelijk is en dat het zelf praten en denken over wiskunde gestimuleerd moet worden.
3
Psycholoog Jean Piaget benoemt in zijn boek over de psychologie van het kind (1966) het fenomeen
dat een sociale activiteit alleen effectief is als er actieve assimilatie tegenover staat. Pure overdracht
en receptie voldoen niet. De genoemde actieve assimilatie vindt middels denkactiviteit plaats. Deze
theorie betreft algemene, sociale ontwikkeling maar versterkt mijns inziens (vergelijkbare) inzichten
binnen de wiskundedidactiek.
Er is ook een tegengeluid te horen, waarbij juist het belang van het ‘kaal’ trainen van procedurele
vaardigheden wordt benadrukt, zodat routines worden ontwikkeld. Het ontwikkelen van deze
routines vormt hierbij de belangrijkste doelstelling van wiskundeonderwijs en niet het begrip. Zowel
in Nederland (Van de Craats 2009) als in California (Schoenfeld 2004) heeft dit tot stevige discussies
binnen het wiskundeveld geleid. In dit onderzoek wordt aangesloten bij de beschouwing van
Schoenfeld over de zogenaamde ‘Math Wars’, waarin hij stelt dat het overgrote deel van de
wiskundedocenten en –didactici zich wil begeven op de middle ground waarbij zowel aandacht is
voor procedurele vaardigheden als voor conceptuele vaardigheden. Voor allebei zijn immers
argumenten. Daar de nadruk de laatste jaren vooral gelegen heeft op het eerste –dit is onder meer
waar te nemen in de lesmethoden, die steeds meer voor zelfstandig gebruik geschreven zijn;
denkactieve opgaven zijn schaarser-, is een bewuste aandacht voor het tweede gewenst. Door te
leren dat dit soort vaardigheden in nieuwe wiskundige probleemsituaties toegepast kunnen worden,
geef je de leerlingen de mogelijkheid om deze parate vaardigheden flexibel in te zetten.
Het probleem dat in de probleemverkenning gespecificeerd is, is dat zowel de leerlingen als ik willen
dat de leerlingen wiskunde begrijpen, maar dat dat niet altijd lukt. In dat geval willen leerlingen de
procedures zonder begrip leren. De onderzoeksvraag is aan de hand van deze verkenning en het
opzetten van een onderzoeksplan verder aangescherpt tot: “Leidt het inzetten van een wiskundige
denkactiviteit in de les tot het beter begrijpen en beter aanleren van procedurele vaardigheden?” Het
gevoel van succes en eigen aanpak zijn hierbij nog altijd belangrijke doelen, maar er moet een
duidelijkere, herkenbare koppeling komen met de ‘wiskunde uit het boek’. Hiermee speelt het
onderzoek zich af op het raakvlak tussen conceptuele kennis en procedurele kennis. Tussen ‘weten
waarom en weten hoe’ enerzijds en ‘weten dat’ anderzijds. En dan met name in de richting van
conceptueel naar procedureel. Andersom is ook een versterking mogelijk (Drijvers, Van Streun &
Zwaneveld 2011), maar dat wordt binnen de beperkte scope van dit onderzoek niet bekeken.
In de theorie is veel te vinden over factoren die leiden tot een beter begrip bij het leren van
wiskunde, dit geeft een aantal aanknopingspunten voor het kiezen van een interventie. Twee
mechanismen die essentieel lijken bij het begrijpen van wiskunde zijn communicatie en reflectie
(onder meer Van Hiele 1981, Hiebert et al. 2000 en Abrantes Garcêz Palha 2013). Hiebert beschrijft
bovendien welke factoren (in samenhang) in de wiskundeles deze mechanismen in gang zetten. De
keuze van de lestaak, die een duidelijk probleem moet betreffen en mogelijkheid moet bieden tot
het onderzoeken van verschillende oplossingsmethoden. Bovendien moet de taak uitnodigen tot
reflectie over relevante wiskundige concepten. De docent stimuleert communicatie en reflectie en
heeft hierin een voorbeeldrol. De sociale cultuur in de groep is erop gericht dat iedereen aan deze
communicatie deelneemt en dat alle ideeën de moeite van het (gezamenlijke) onderzoek waard zijn;
hierin is de bijdrage van iedereen gelijkwaardig. Wiskundige tools die in de les voorhanden zijn
(schriftelijk, mondeling en materieel), zijn van invloed op het soort oplossingen en aanpakken dat
gevonden wordt. Deze factoren geven verschillende invalshoeken die gekozen kunnen worden bij het
4
ontwerpen van een passende interventie in de les. Gedacht kan worden aan een interventie gericht
op de sociale cultuur binnen een klas of aan het inzetten van concrete wiskundige materialen of het
ontwerpen en inzetten van op verbinding gerichte lestaken.
In How We Think analyseert Schoenfeld (2011) in detail de factoren die van invloed zijn op de
beslissing die een docent neemt op het moment dat hij in gesprek is met een leerling of klas. Wel of
niet op een vraag van een leerling ingaan? En zo ja, hoe dan? Deze factoren zijn het doel, de
vaardigheden en kennis van de docent en tenslotte zijn oriëntaties (denk aan waarden,
overtuigingen, visie). In welke mate wordt in deze gesprekken een sfeer gecreëerd waarin
communicatie over wiskunde en reflectie door de leerling gestimuleerd wordt? De in dit boek
beschreven theorie biedt een reflectiekader waarbinnen een interventie ontworpen zou kunnen
worden die gaat over het handelen van mijzelf als docent en mijn communicatie met leerlingen over
het verband tussen conceptuele en procedurele vaardigheden.
In het onderzoek van Abrantes Garcêz Palha (2013) worden zogenaamde shift-problem lessen
uitgevoerd. De kern van deze aanpak bestaat uit het vervangen van een deel van de lessen uit de
methode (het schoolboek) door probleemgericht samenwerken in kleine groepen. Deze problemen
sluiten aan op de opgaven die in het boek staan. De interventie omvatte tevens een investering in de
sociale cultuur om samenwerkend leren te bevorderen. De interventie in zijn geheel past bij het idee
van zoeken naar middle ground, omdat gekozen is voor een haalbare manier van probleemgericht
wiskundeonderwijs binnen reguliere lessen, zonder dat sprake is van het radicaal omgooien van het
roer, waarbij er geen aandacht meer zou zijn voor het routinematig oefenen van procedurele
vaardigheden. Het uitsluiten van dat laatste is nadrukkelijk niet de bedoeling. In het onderzoek is een
relevant mechanisme: de communicatie door leerlingen, geanalyseerd. Dit communiceren wordt
verrijkingsproces genoemd omdat de opzet is dat er begrip op een hoger niveau geconstrueerd wordt
(level raising) en het cognitieve schema van de leerlingen verrijkt wordt. Daarnaast is outcome
onderzocht in een semi-experimentele vergelijking. Het laatste heeft nog geen significante resultaten
opgeleverd.
Er wordt bij het vaststellen van de interventie van de volgende theorie uitgegaan:
Het onderzoek wordt uitgevoerd vanuit een constructivistisch standpunt. Begrip houdt in dat
verbanden zijn ontstaan tussen bestaande kennis en inzichten enerzijds en nieuwe concepten
anderzijds. Het begrijpen van een wiskundige procedure draagt bij aan het aanleren ervan. Het
probleem dat centraal staat, namelijk dat leerlingen wiskundige concepten en bijbehorende
procedurele vaardigheden die zij moeten aanleren niet goed genoeg begrijpen, kan worden
aangepakt door ervoor te zorgen dat leerlingen communiceren en reflecteren over deze wiskunde.
Door lesactiviteiten in te zetten die hiertoe aanzetten kan begrip worden bevorderd.
3. Voorgestelde interventie
In het theoretisch kader is beschreven dat een interventie op verschillende aspecten gericht zou
kunnen zijn: het handelen en de manier van communiceren door de docent, het ontwerpen en
inzetten van geschikte lestaken, het vormen van de sociale cultuur van een klas. Gekozen wordt voor
5
het ontwerpen en inzetten van geschikte lestaken die communicatie en reflectie bevorderen. Er zou
ook naar andere lesinvullingen gezocht kunnen worden die dit doen. Deze aanpak sluit echter het
beste aan bij het overkoepelende NRO-project en biedt de mogelijkheid om, geïnspireerd door het
onderzoek van Abrantes Garcêz Palha (2013), de wiskundige denkactiviteit op een natuurlijke wijze in
de huidige lessen te integreren.
Interventie
In de interventie worden twee wiskundige denkactieve lesactiviteiten ontworpen en ingezet die
direct vooraf gaan aan de aan te leren lesstof, in deze lesstof staan dan procedurele vaardigheden
centraal. De denkactiviteit is een opmaat naar het aanleren van routines. Het creatieve proces
waarin deze denkactiviteiten ontworpen/geselecteerd gaan worden vindt plaats in samenwerking
met de vijf collega-docenten binnen het consortium van het NRO-project en is op dit moment nog
niet heel concreet beschreven. Voorbeelden van waaraan gedacht kan worden staan in bijvoorbeeld
de artikelen van Doorman et al. (2012) en Dreyfus (2012).
De doelgroep is een vwo 3-klas. De precieze samenstelling van deze klas is op dit moment nog niet
bekend. De leerlingen in deze klas hebben 1 en 2 havo/vwo doorlopen en zijn in het derde schooljaar
in een vwo 3 klas geplaatst. De interventie vindt plaats in het tweede trimester van het schooljaar
tijdens reguliere wiskundelessen die ik aan deze klas geef. Op Het Nieuwe Eemland wordt gewerkt
met de wiskundemethode Getal & Ruimte. Binnen deze situatie vindt het onderzoek plaats.
Ontwerpeisen
De literatuur (Hiebert 2000 en Abrantes Garcêz Palha 2013) geeft inzicht in relevante ontwerpeisen
voor wiskundige denkactiviteiten. Ook stelt het overkoepelende NRO-project een aantal
randvoorwaarden.
Organisatorisch:
 De manier waarop de activiteit in de les wordt ingezet is beschreven.
 De activiteiten zijn variaties binnen het lesprogramma, maar veranderen of vertragen de
doorlooptijd van dit programma niet (kortweg: vervangen opgaven uit het boek die anders
gemaakt zouden worden).
 De lessen vinden plaats in VWO 3.
 Bij het werken aan de opgaven is communicatie over mogelijke aanpakken tussen leerlingen
essentieel . Hierbij moeten ideeën over een mogelijke benadering van het probleem uitgewisseld
en besproken kunnen worden.
Didactisch/inhoudelijk:
 De activiteiten hebben een engagerend karakter, zijn uitdagend maar haalbaar (bevinden zich in
de naaste zone van ontwikkeling).
 Leerlingen moeten in de taak duidelijk een realistisch probleem zien dat opgelost kan worden. Dit
probleem hoeft niet perse in een contextrijke opgave gevat te zijn, als maar duidelijk is dat het
een probleem is dat opgelost kan worden (dat er ‘gescoord’ kan worden). Uit een eigen
6



literatuuronderzoek (Vis 2014) blijkt dat kunnen ‘scoren’ wiskunde aantrekkelijk kan maken voor
leerlingen.
Er zijn meerdere benaderingen mogelijk (voldoende complex)
Kennis en vaardigheden die leerlingen al hebben bieden aanknopingspunten om een begin te
maken met het oplossen van het probleem. Hier schuilt een risico, omdat niet elke leerling in een
klas dezelfde kennis en vaardigheid heeft. Hier zou in feite differentiatie nodig zijn om de taak
precies op de voorkennis van de leerling toe te snijden. Om de scope van het onderzoek te
bewaken, wordt ervan uitgegaan dat er in grote lijnen dezelfde voorkennis aanwezig is. Er wordt
gewerkt met heterogene groepjes, zodat eventueel het uitwisselen van relevante voorkennis een
onderdeel van de samenwerking kan zijn.
De taak biedt een kader waarbinnen op relevante wiskunde (de aan te leren procedurele
vaardigheid) gereflecteerd kan worden. Deze wiskunde is ook nodig, de taak kan niet op een
eenvoudigere manier opgelost worden.
Verwachte mechanismen en outcome:
Deze lesactiviteiten stimuleren communicatie over de manier waarop de opgave wordt aangepakt en
reflectie op de wiskunde die daarbij gebruikt wordt. Deze communicatie en reflectie over wiskunde
door leerlingen wordt in veel bronnen (Hiebert 2000; Schoenfeld 2011; Abrantes Garcêz Palha 2013;
Jonassen 2011; Van Hiele 1981) als onontbeerlijk beschouwd voor het ontwikkelen van begrip.
Wanneer leerlingen over wiskunde gaan praten kunnen ze actief koppelingen maken met hun
bestaande cognitieve schema (assimileren). De reflectie zorgt ervoor dat ze, eventueel middels een
eigen explicitering (van Hiele 1981), beter begrijpen wat ze vervolgens gaan oefenen (procedurele
vaardigheden aanleren). Ik verwacht dat leerlingen het verkrijgen van routines die begrepen worden
gemakkelijker gaat, omdat leerlingen dan beter in staat zijn om deze routines te reconstrueren en in
samenhang met andere procedures te zien. Ook wordt zo voorkomen dat kleine, geïsoleerde brokjes
kennis ontstaan waarbij leerlingen bij elke kleine variatie nieuwe oplossingsprocedures moeten leren
(Kilpatrick et al 2001, volgens het Handboek wiskundedidaktiek – geen directe bron geraadpleegd). Omdat
leerlingen gezien hebben hoe bruikbaar de nieuwe routines zijn en een werkelijk wiskundig
probleem aangepakt hebben, zien zij het belang van het kunnen uitvoeren van de routines en
begrijpen ze beter waarom ze deze routines moeten oefenen (Thurston 1990). Leerlingen onthouden
en begrijpen de wiskundige procedures beter en kunnen deze beter inzetten in nieuwe situaties.
4. Voorgestelde methode
In het NRO-project worden met name de taken en de manier van inzetten onderzocht en outcome
gemeten. De onderzoeksopzet, die een ontwerpfase, een uitvoeringsfase en een analysefase omvat,
leidt ten eerste tot een collectie van digitale en papieren denkactieve wiskundeopgaven voor klas 3
van havo en vwo. Een tweede product is een handreiking denkactieve wiskundelessen, die
wiskundedocenten ondersteunt in het ontwerpen en gebruiken van wiskundige denkactiviteiten in
de klas. De effectiviteit van de lesactiviteiten wordt gemeten middels een voor- en natoets.
In mijn praktijkonderzoek wil ik daarom aanvullend juist de communicatie en reflectie door
leerlingen onderzoeken. De onderzoeksvraag: “Leidt het inzetten van een wiskundige denkactiviteit in
7
de les tot het beter begrijpen en beter aanleren van procedurele vaardigheden?” wordt beantwoord
door het onderzoeken van drie deelvragen:
1. Op welke abstractieniveaus communiceren leerlingen met elkaar n.a.v. de wiskundige
denkactiviteit?
Dit is een explorerende vraag, er wordt een beeld geschetst van het niveau waarop gecommuniceerd
wordt. Dit kan informatie geven over de mate waarin op een conceptueel niveau begrip kan
ontstaan.
Methode:
 Eenheid: leerlingen vwo 3 die aan een denkactieve opgave werken in groepjes
 Variabele: niveau van de communicatie
 Instrumenten: observatie (analyse van videofragmenten groepje aan het werk) en
klassengesprek (analyse geluidsfragment)
In het onderzoek van Abrantes Garcêz Palha (2013) worden communicatie (door leerlingen
onderling) en reflectie expliciet genoemd en geanalyseerd. Dit wordt een verrijkingsproces genoemd.
Hiertoe werden vier soorten communicatie onderscheiden:
 Empirical-based reasoning, waarin het redeneren van de leerlingen alleen verband houdt met de
situatie in de opgave-setting;
 Relational reasoning, waarin het redeneren gebaseerd is op de leerlinginterpretaties van de
opdracht-setting, die bestaan uit connecties tussen elementen van de opgave-setting en
wiskundige eigenschappen, inclusief pseudo-wiskunde;
 Theoretical-based reasoning, waarin het redeneren is gebaseerd op de relatie tussen wiskundige
concepten en eigenschappen;
 Formal expressed reasoning, waarin het leerling-redeneren onafhankelijk is van de specifieke
voorstellingen van de opgave-setting.
Deze indeling biedt een bruikbaar kader voor een analyse van het proces waarin leerlingen door een
taak worden gestimuleerd om hun cognitieve schema uit te breiden middels communicatie en
reflectie. Gaat de communicatie met name over het begrijpen en oplossen van het probleem
(empirical en relational reasoning), dan zal minder begrip geconstrueerd worden dan de situatie
waarin uiteindelijk ook naar bekende en nieuwe wiskundige concepten en eigenschappen gekeken
wordt (theoretical-based en formal expressed reasoning). Er worden in het eerste geval namelijk
minder verbanden (of aanzetten daartoe) gelegd binnen het wiskundig cognitief schema van de
leerling.
Het nabespreken van de opdracht met de klas wordt opgenomen. Hierbij wordt gevraagd naar
obstakels, strategieën en oplossingen. Dit geluidsfragment kan geanalyseerd worden, waarbij
uitspraken gelabeld worden op basis van de indeling van Abrantes Garcêz Palha. In meer detail wordt
de communicatie van één of twee groepjes opgenomen en eveneens geanalyseerd en gelabeld. Zo
wordt een totaalbeeld geschetst, aangevuld met gedetailleerde informatie van een deel van de
communicatie. Het kan praktisch blijken om hierbij de context van het onderzoek iets uit te breiden
en ook bij een collega-docent in vwo3 te observeren wanneer de activiteit wordt ingezet. Zo zou
meer data verzameld kunnen worden. In deze groep is mogelijk een andere sociale cultuur en andere
8
begeleiding door de docent. Dit zijn voorbeelden van factoren die de betrouwbaarheid kunnen
beïnvloeden van uitspraken met betrekking tot mijn eigen onderwijscontext.
2. Komen er in de reflectie en communicatie door leerlingen n.a.v. de wiskundige denkactiviteit
verbanden tussen aanwezige voorkennis en aspecten van de nieuw te leren procedure naar voren?
Bij deze toetsingsvraag wordt gekeken of er een verband ontstaat van het bestaande cognitieve
schema van leerlingen met de nieuw te leren procedure die de docent voor ogen staat bij het
inzetten van de denkactiviteit.
Methode:
 Eenheid: leerlingen vwo 3 die aan een denkactieve opgave werken in groepjes
 Variabele: inhoud (onderwerp) van de communicatie
 Instrumenten: survey (analyse van kladpapier en uitwerkingen en een vragenlijst) en observatie
van één of twee groepjes (analyse van videofragmenten)
Er wordt onderzocht of deze procedure al dan niet naar voren komt in het werk van de leerlingen. Dit
kan in pseudo-wiskundige vorm en zelfs niet helemaal correct of compleet zijn. Zijn leerlingen in
staat om aan de hand van een taak zelf een stap in de richting van deze ‘nieuwe’ wiskunde te komen
of te herkennen dat dit nodig is? Dit mechanisme zou tot gevolg hebben dat het aanleren van de
wiskundige procedure een logischere plaats krijgt in het cognitieve schema van de leerling. Hij/zij
heeft immers al aan een probleem gewerkt waarbij ervaren werd dat deze vaardigheid van pas kan
komen.
Om een breed beeld te krijgen worden kladpapier en uitwerkingen van alle groepjes leerlingen in de
klas geanalyseerd. Is de procedure (of een deel daarvan) te onderscheiden en in welke vorm? De
vragenlijst richt zich meer op de ervaring van leerlingen. Deze zal na het aanleren en oefenen van de
procedurele vaardigheid afgenomen worden en gaat over hoe de leerlingen terugkijken. Herkennen
zij nu dat de vaardigheid iets te maken heeft met het probleem waar ze aan gewerkt hebben? Bij het
opstellen van deze vragenlijst moet uitgekeken worden voor suggestieve vragen en hierbij zal de
deelvraag, die in eerste instantie een toetsingsvraag is, een meer explorerend karakter krijgen. Er
wordt beschreven hoe leerlingen terugkijken op de koppeling tussen de denkactiviteit en het
oefenen van de procedure.
Voor meer detail wordt het videofragment, dat ook voor vraag 1 en 3 gebruikt wordt, nogmaals
geanalyseerd. Bij deze tweede analyse wordt bekeken of de procedure binnen de mondelinge
communicatie naar voren komt.
De betrouwbaarheid van de conclusies van deze analyse wordt beïnvloed door de kwaliteit van de
taak. De beschreven ontwerpeisen moeten deze kwaliteit waarborgen. Met betrekking tot de
validiteit moet steeds voor ogen gehouden worden, dat een nadrukkelijk doel is de koppeling tot
stand te laten komen met de procedurele vaardigheid. Communicatie en reflectie op andere
(wiskunde)gebieden kunnen waardevol zijn, maar dragen niet perse aan deze koppeling bij.
3. Worden leerlingen tijdens de wiskundige denkactiviteit aangezet tot het verklaren van hun
ideeën aan groepsgenoten?
Ook dit is een toetsingsvraag. Het uitgangspunt is dat reflectie leidt tot begrip en dat het moeten
verklaren van eigen ideeën dwingt tot reflectie. Treedt dit mechanisme in werking? Gebaseerd op de
9
genoemde literatuur, zou een taak die voldoet aan de in hoofdstuk 2 beschreven ontwerpeisen
hiertoe moeten leiden. Maar is dit ook zo?
Methode:
 Eenheid: leerlingen vwo 3 die aan een denkactieve opgave werken in groepjes
 Variabele: inhoud (onderwerp) van de communicatie
 Instrument: observatie (analyse van videofragmenten)
Ten behoeve van deze vraag worden in het videofragment momenten gelabeld waarbij een nieuwe
oplossingsrichting of een nieuwe invalshoek wordt ingezet (los van of deze ook tot succes leidt of
over een bepaald wiskundig concept gaat). Hoe vaak gebeurt dit? Vragen anderen ook om een
verklaring? Wordt deze gegeven (of wordt dit geprobeerd)?
Er wordt nog gezocht naar een vorm van triangulatie bij deze vraag. Wellicht door in elk groepje een
notulist aan te stellen die de opdracht krijgt om oplossingsrichtingen te noteren. Dit kan in ieder
geval een breder beeld geven van het aantal ideeën dat naar voren is gebracht in de verschillende
groepjes, het geeft nog geen informatie over het al dan niet aan de anderen verklaren van deze
ideeën. Een andere mogelijkheid is een korte vragenlijst direct na de opdracht, waarbij aan
leerlingen gevraagd wordt welke ideeën zij hadden en hoe het lukte om deze in gesprek met de
anderen te verifiëren.
Een risico met betrekking tot de betrouwbaarheid is dat de groepjes waar de video-opname gemaakt
wordt, niet willekeurig gekozen worden maar op basis van bepaalde (positieve) verwachtingen van
de docent. Dan zou het groepje dat in detail bekeken wordt niet representatief zijn voor de hele
groep. Het streven is om in ieder geval de communicatie binnen twee groepjes nader te analyseren
en deze willekeurig te kiezen.
Algemeen:
In een vroeg stadium zal overleg plaatsvinden met de NRO-projectmedewerker van het CITO om na
te gaan of de betrouwbaarheid van de resultaten kan worden vergroot door ook gebruik te maken
van de onderzoeksgegevens binnen het overkoepelende project. Het is nu nog niet bekend welke
data binnen het NRO-project verzameld gaan worden. Hierbij moet bij het trekken van conclusies
stilgestaan worden bij verschillen in context tussen beide projecten (derde klassen van zes docenten
versus een derde klas van mijzelf – de praktische probleemverkenning is immers alleen in mijn eigen
klassen uitgevoerd).
10
5. Planning en organisatie
Volgens deze planning van maand-tot-maand wordt mijn praktijkonderzoek globaal uitgevoerd. Dit
sluit aan bij de planning van het overkoepelende NRO-project. Met activiteit 1 en 2 worden de twee
lesactiviteiten bedoeld die binnen dit onderzoek worden onderzocht (binnen het NRO-project
worden meer dan twee lesactiviteiten ingezet gedurende die periode).
’14 – ‘15
Actie
September
Start ontwerpproces
Communicatie rond het project opzetten (met overkoepelde
projectorganisatie, collega’s, leerlingen)
on going: ontwerpproces interventies
afstemmen met NRO-projectmedewerker CITO
afstemmen met NRO-onderzoeksmedewerker
on going: vervolg ontwerpproces interventies
kiezen en ontwerpen tweede instrument bij vraag 3
Deadline ontwerpen interventie
Ontwerpen vragenlijst
Beschrijven analysemethode kladpapier/werk leerlingen en
analysemethoden (3x) video-opname
on going: Uitvoeren interventie
opzetten ‘nabespreken opdracht’
organiseren: video opnamen en
geluidsopname
on going: Uitvoeren interventie (o.a. activiteit 1)
m.b.t. activiteit 1:
uitvoeren analyse kladpapier/werk leerlingen uitvoeren
analyse vragenlijst leerlingen
uitvoeren analyses videofragmenten
uitvoeren analyse geluidsfragment ‘nabespreken’
on going: Verslaglegging (deels )
on going: Uitvoeren interventie (o.a. activiteit 2)
Uitloop
m.b.t. activiteit 2:
uitvoeren analyse kladpapier/werk leerlingen uitvoeren
analyse vragenlijst leerlingen
uitvoeren analyses videofragmenten
uitvoeren analyse geluidsfragment ‘nabespreken’
on going: Verslaglegging (deels )
on going: Verslaglegging (deels )
Uitloop
Presenteren onderzoek
Oktober
November
December
Januari
Februari
Maart
April
Mei
Juni
Juli
Betrekking op
deelvraag:
11
3
2
2
1, 2, 3
2
1, 2, 3
2
1
2
1, 2, 3
2
1
2
1, 2, 3
2
6. Literatuurlijst
Abrantes Garcêz Palha, P. (2013). Shift-problem lessons: Fostering mathematical reasoning in regular
classrooms [Nederlandse samenvatting van het proefschrift]. Amsterdam, Nederland:
Universiteit van Amsterdam.
Abrantes Garcêz Palha, P. & Dekker, R. (2009). Designing and implementing shift problems for
mathematical discussion, reasoning and level raising. In: Quaderni Di Ricerca in Didattica
(Matematica),( nummer 2, pp. 308 – 312). Palermo, Italië: Universiteit van Palermo.
Baarda, d. B., Goede, d., M.P.M. & Teunissen, J. (2005). hoofdstukken 8. interviewen en 9.
observeren, hoe doe ik dat? In: Basisboek kwalitatief onderzoek (tweede editie, pp. 224 – 292).
Houten, Nederland: Wolters-Noordhoff bv.
Bramall, S. & White, J. (2000). Why learn maths? Londen, Groot-Brittanie: Bedford Way Papers.
Collins, A., Brown, J. S. & Holum, A. (1991). Cognitive apprenticeship: Making thinking visible. In: The
American Educator, winter 1991. Verenigde Staten van Amerika.
Commissie Toekomst wiskunde onderwijs, cTwo. (2012). Denken & doen, wiskunde op havo en vwo
per 2015 No. 1. Utrecht, Nederland.
Craats van de, J. (2009). Twee bewogen jaren. In: het Nationaal archief voor wiskunde, maart 2009.
Nederland.
Doorman, M., Kooij v.d., H. & Mooldijk A. (2012). Denkactiviteiten, onderzoekend leren en de rol van
de docent. In: de Nieuwe Wiskrant, 31-4. Nederland.
Dormolen van, J. (1982). Aandachtspunten: A priori analyse van leerteksten voor wiskunde bij het
voortgezet onderwijs. [Nederlandse samenvatting van het proefschrift]. Rijksuniversiteit
Utrecht, Nederland.
Dreyfuss, T. (2012). Constructing mathematical knowledge in context. In: het programma van The
12th International Congress on Mathematical Education in juli 2012. Tel Aviv Universiteit, Israël.
Drijvers, P., Streun van, A. & Zwaneveld, B. (2012). Handboek wiskundedidactiek (eerste editie).
Utrecht, Nederland: Epsilon Uitgaven.
Gude, R. & Sloterdijk, P. (2012). De balans tussen disciplinering en liberalisering. In: Stralen, G. van &
Gude, R. (eds.) ...En denken! Bildung voor leraren (pp. 56 - 66). Leusden, Nederland: ISVW
Uitgevers.
Guedj, D. (1999). De stelling van de papegaai [Nederlandse vertaling van Le Theoreme du Perroquet
door J. Vermeulen, vijfde editie, 2007]. Amsterdam, Nederland: Ambo|Anthos uitgevers.
12
Harinck, F. (2006). Paragraaf 6.4 Verwerking van kwalitatieve gegevens. In: Basisprincipes
praktijkonderzoek (pp. 121 - 128). Apeldoorn, Nederland: Garant-uitgevers.
Hiebert, J. (2000). Hoofdstuk 1. Introducing the critical features of the classroom. In: Making Sense,
teaching and learning mathematics with understanding (pp. 1 - 15). Portsmouth, Verenigde
Staten van Amerika: Heineman.
Hiele van, P. M. (1981). Struktuur. Purmerend, Nederland: Muusses-purmerend.
Jonassen, D. (2011). Arguing to learn to solve problems. In: Learning to solve problems, a handbook
for designing problem-solving learning environments (pp. 321 - 330). New York, Verenigde
Staten van Amerika: Routledge.
Piaget, J. & Inhelder, B. (1966). De psychologie van het kind [Nederlandse vertaling van La
psychologie de l'enfant door F. Graaff, tweede druk, 1973]. Parijs, Frankrijk: Lemniscaat.
Sautoy du, M. (2009). Het symmetriemonster [Nederlandse vertaling van A mathematician's journey
through symmetry door F. B. Hendriks, tweede editie, 2011]. Amsterdam, Nederland: Uitgeverij
Nieuwezijds.
Schoenfeld, A. H. (2004). The math wars. In: Educational Policy, januari/maart 2004, pp. 253 - 286.
Verenigde Staten van Amerika: Corwin Press.
Schoenfeld, A. H. (2011). How we think. New York, Verenigde Staten van Amerika: Routledge.
Suri, G. & Singh Bal, H. (2007). A certain ambiguity (vierde editie, 2010). Princeton, New Jersey,
Verenigde Staten van Amerika: Princeton University Press.
Swan, M. (2011). Desiging tasks that challenge values, beliefs and practices: A model for the
professional development of practicing teachers. In: Zaslavsky, O. & Sullivan, P. (eds)
Mathematics Teacher Education 6. New York, Verenigde Staten van Amerika: Springer
Thurston, W. (1990). Mathematical education. In: Notices of the AMS, nummer 37, pp. 1 t/m 12.
Verenigde Staten van Amerika.
Vis, I. (2014) Hoofdstuk Leervraag 1: Talentontwikkeling. In: Persoonlijk ontwikkelverslag t.b.v.
master wiskunde WAB2 (bladzijde 4 t/m 7). Hogeschool Utrecht, Nederland.
13
BIJLAGE I. Onderzoeksvoorstel ‘Wiskundige denkactiviteit in praktijk’
Programmaraad Praktijkgericht Onderzoek (PPO)
Aanvraagformulier voor kortlopend onderzoek
Eerste ronde 2013 - 2015
Registratie
1. Dossier nummer (door NWO in te vullen):
2. Contactpersoon consortium
Contactpersoon
Naam, titel(s): dr. Paul Drijvers
X Man
Organisatie: Universiteit Utrecht
 Vrouw
Postadres: Postbus 85170
Postcode: 3508AD
Plaats: Utrecht
Telefoon: 06 43563821
E-mail: [email protected]
2. Projecttitel: Wiskundige denkactiviteit in praktijk
3. Projectthema
Wat is het kernthema van uw aanvraag? Kruis één thema aan:
 Differentiatie in de klas
 ICT in het onderwijs
Vakdidactiek:
 taal
X rekenen/wiskunde
Indien uw aanvraag ook betrekking heeft op andere thema’s, kruis deze dan hieronder aan:
 Differentiatie in de klas
X ICT in het onderwijs
Vakdidactiek:
 taal
 rekenen/wiskunde
14
4. Looptijd van het project
(De uiterlijke datum waarop de beoogde output in het bezit van het NRO moet zijn is 1 oktober 2015.
Het project mag in totaal maximaal 16 maanden in beslag nemen)
Geplande startdatum:
1 augustus 2014
Geplande einddatum:
1 oktober 2015
Onderzoeksvoorstel
5. Samenvatting van het onderzoeksvoorstel
(Maximaal 250 woorden, voeg woordentelling toe. In het geval dat de aanvraag wordt gehonoreerd, zal deze samenvatting worden gebruikt
voor NWO publicatie doeleinden rondom aankondigingen van subsidietoekenningen)
Het praktijkonderzoek richt zich op de manier waarop wiskundige denkactiviteiten (WDA) in het
wiskundeonderwijs kunnen worden geïntegreerd. WDAs spelen een belangrijke rol in de nieuwe
examenprogramma’s wiskunde van havo en vwo, en ook de diagnostische tussentijdse toets lijkt een
denkactieve invulling te krijgen. De centrale praktijkvragen zijn welke kenmerken een
wiskundeopdracht denkactief maken en op welke manieren een wiskundedocent de denkactieve
mogelijkheden van een opdracht in de les kan benutten. Eerder wetenschappelijk onderzoek naar
wiskundige denkactiviteiten en probleemoplossen moet, evenals kennis rond formatieve toetsing en
instrumentele orkestratie, vertaald worden naar de praktijknabije handvatten voor docenten. Hoe
organiseer je in concreto dat leerlingen tijdens de wiskundelessen nadenken?
De onderzoeksvragen worden beantwoord door (1) een aantal denkactieve opdrachten te
ontwerpen die passen bij het reguliere curriculum en (2) de ontworpen denkactieve opgaven te
gebruiken in de les en daarbij in kaart te brengen welke lesmethoden effectief zijn. De
onderzoeksopzet, die een ontwerpfase, een uitvoeringsfase en een analysefase omvat, leidt ten
eerste tot een collectie van digitale en papieren denkactieve wiskundeopgaven voor klas 3 van havo
en vwo. Een tweede product is een Handreiking denkactieve wiskundelessen, die wiskundedocenten
ondersteunt in het ontwerpen en gebruiken van WDAs in de klas. De effectiviteit van de lesactiviteiten
wordt gemeten middels een voor- en natoets.
De resultaten van het onderzoek worden onine verspreid via de websites van de Nederlandse
Vereniging van Wiskundeleraren en het Freudenthal Instituut. Verder disseminatie vindt plaats
middels workshops en publicaties in tijdschriften met verschillende doelgroepen.
(242 woorden)
6. Vraagarticulatie
(Maximaal 250 woorden, voeg woordentelling toe)
Beschrijving van de manier waarop het consortium tot de probleemstelling en onderzoeksvragen is gekomen en de rol die de leden hebben
gespeeld bij de totstandkoming ervan (zie beoordelingscriterium D10 in paragraaf 4.3.2 van de call for proposals).
Het consortium is ontstaan door uitwisseling tussen verschillende scholen en de contactpersoon. Het
contact met het Maurick College in Vught ontstond door een artikel over een denkactieve praktische
opdracht dat een docent publiceerde in het tijdschrift van het Freudenthal Instituut (Bakker, Klerx, &
Sterk, 2013). Een van de docenten van Het Nieuwe Eemland (Amersfoort) bezocht op de conferentie
‘Bèta onder de Dom’ een werkgroep over wiskundige denkactiviteiten. Een collega van het Farel
College (Amersfoort) nam in het voorjaar 2013 contact op in verband met een onderzoeksvraag rond
het thema van wiskundige denkactiviteiten, wat leidde tot nader overleg op de NROmatchingsbijeenkomt.
Het consortium is op 31 oktober 2013 bijeengekomen, waarbij gesproken is over de kernvragen
van de deelnemende scholen en over de manier waarop deze vragen beantwoord kunnen worden in
een vorm die daadwerkelijk handvatten biedt voor de onderwijspraktijk. Op basis van het verslag van
15
deze bijeenkomst is de discussie via email voortgezet. Een samenvatting is opgesteld en de docenten
hebben het draagvlak binnen hun eigen school onderzocht, zowel op het niveau van de schoolleiding
als binnen de vaksectie. De schoolleidingen van de partnerscholen hebben zich bereid verklaard ook
zelf in het onderzoek te willen investeren, waardoor de capaciteit van de inzet van docenten is
vergroot. Twee externe experts, prof. Dr. Anne van Streun als ‘geestelijke vader’ van de wiskundige
denkactiviteiten in de Nederlandse curricula, en mevr. Drs. Marian Kollenveld als voorzitter van de
Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren en lid van cTWO, zijn bereid gevonden als adviseur op
te treden.
(249 woorden)
7. Beschrijving van het onderzoek
(Maximaal 2500 woorden, voeg woordentelling toe)
Bij de beschrijving van het onderzoeksproject dient u de volgende indeling aan te houden (tussen haakjes vindt u de verwijzing naar de criteria
in paragraaf 4.3.2 van de call for proposals waarop dit onderdeel beoordeeld wordt).
a. Probleemverkenning en probleemstelling
Het praktijkprobleem waarop deze aanvraag zich richt, betreft de manier waarop wiskundige
denkactiviteiten (afgekort tot WDA) in het wiskundeonderwijs kunnen worden geïntegreerd. Dit
probleem is om verschillende redenen actueel. Ten eerste heeft de vernieuwingscommissie wiskunde
cTWO, die de conceptprogramma’s voor wiskunde ABCD van havo en vwo per 2015 heeft ontwikkeld,
een krachtig pleidooi gehouden voor een belangrijke plaats voor wiskundige denkactiviteiten in de
curricula (cTWO, 2007, 2013). De commissie benoemt een aantal wiskundige denkactiviteiten. Tevens
waarschuwt ze voor een te eenzijdige nadruk op procedurele kennis ten koste van conceptuele kennis
en beschrijft ze wiskundige denkactiviteiten als “een van de belangrijkste overkoepelende elementen
van de vakvernieuwing wiskunde” (cTWO, 2013, p. 31). De commissie beveelt in haar eindrapport
aan een vervolg te geven aan de ontwikkelingen rond wiskundige denkactiviteiten die ze in gang heeft
gezet, ook in het licht van doorlopende leerlijnen. cTWO staat in deze opvatting niet alleen: de
internationaal toonaangevende ‘standards’ van NCTM (n.d.) bevatten vergelijkbare standpunten en
onderzoekend leren of ‘inquiry based learning’ staat internationaal sterk in de belangstelling (zie
bijvoorbeeld http://www.jiblm.org/). cTWO heeft een zestal wiskundige denkactiviteiten
onderscheiden: modelleren en algebraïseren, ordenen en structureren, analytisch denken en
probleemoplossen, formules manipuleren, abstraheren, en logisch redeneren en bewijzen. Afgezien
van een kleine pilot rond WDA gericht op de onderbouw (cTWO, 2012) geeft de commissie echter
geen handreikingen over de inhoud van dergelijke activiteiten en de manier waarop die in de klas
effectief kunnen worden ingezet. De praktijk staat daarmee met lege handen, terwijl er grote
behoefte is aan zowel concrete denkactieve opdrachten voor leerlingen als aan een handreiking voor
docenten die dergelijk materiaal gaan gebruiken.
Een tweede aanleiding om aandacht te besteden aan wiskundige denkactiviteiten vormt de
diagnostische tussentijdse toets in klas2 vmbo en klas 3 havo-vwo, waarvoor een wetsvoorstel in
behandeling is. Deze toets wil de diepere, domeinoverstijgende moeilijkheden van leerlingen in beeld
brengen (Cito, 2013, p. 19). De verwachting is dat deze oorzaken (mede) op het terrein van
wiskundige denkactiviteiten liggen.
Ten derde heerst bij het consortium de overtuiging dat wiskundig denken en
probleemoplossende vaardigheden tot de kerndoelen van het wiskundeonderwijs behoren, maar dat
de omstandigheden in de dagelijkse lespraktijk maken dat deze kern in praktijk vaak te weinig
aandacht krijgt. Zo zijn enkele examenprogramma’s overladen, zijn de schoolmethoden sterk gericht
op procedurele kennis en op zelfwerkzaamheid (denk aan het studiehuis) en is de lestijd beperkte.
Deze gebrekkige aandacht voor kerndoelen vormt een belangrijk probleem, omdat juist
kernvaardigheden als probleemoplossen en analytisch denken van grote vormende waarde zijn voor
leerlingen, ook wanneer zij een vervolgopleiding of beroep zullen kiezen waarin wiskunde geen grote
rol speelt.
Het voorstel bouwt voort op eerder onderzoek naar wiskundige denkactiviteiten, en naar
probleemoplossen in het bijzonder. Van Streun en Kop (2012) geven een overzicht van beschikbare
literatuur en wijzen erop dat het hier geschetste probleem niet nieuw is: Polyá (1945) analyseert
16
methoden van probleemoplossen en identificeert een aantal heuristieken. Doorman et al. (2007)
beschrijven welke vormen aandacht voor probleemoplossen in het Nederlandse wiskundeonderwijs
kan aannemen. Schoenfeld (1992, 2007) gaat in op manieren waarop de docent de interactie met de
klas kan realiseren, zodat een geschikt klimaat ontstaat voor probleemoplossen. In dit verband
spreken Stein, Engle, Smith en Hughes (2008) van productieve orkestraties. Ook Trouche (2004)
gebruikt de term orkestraties, maar dan met name voor onderwijsleersituaties waarin ICT een rol
speelt. Henningsen en Stein (1997) geven een overzicht van factoren die in de klas het ‘high-level
mathematical thinking and reasoning’ kunnen ondersteunen. Het recente proefschrift van Abrantes
Garcêz Palha (2013) beschrijft een poging om twee wiskundige onderwerpen in de Tweede Fase van
vwo een denkactiever karakter te geven. Op deze reeds beschikbare kennis kan het voorgestelde
praktijkonderzoek voortbouwen. Waar het gaat om de daadwerkelijke toepassing in de Nederlandse
onderwijspraktijk van havo en vwo, en met het oog op de nieuwe programma’s in het bijzonder, biedt
de beschikbare kennis echter onvoldoende concrete handvatten en materialen die het docenten
mogelijk maken om structureel aandacht te besteden aan wiskundige denkactiviteiten, wat de
noodzaak van het voorgestelde onderzoek verklaart.
De vraag is dus op welke manier wiskundige denkactiviteiten in het wiskundeonderwijs kunnen
worden
geïntegreerd.
In
dit
onderzoek,
dat
een
ontwikkelingscomponent
en
een
implementatiecomponent kent, wordt de brug naar de praktijk geslagen door (1) denkactieve
opdrachten bij de reguliere schoolmethoden te ontwikkelen, (2) deze in praktijk te beproeven, en (3)
op basis van de ervaringen een handreiking te ontwerpen voor docenten die WDA in hun lespraktijk
willen integreren.
Het consortium bestaat uit Het Nieuw Eemland (Amersfoort), het Maurick College (Vught), het
Farel College (Amersfoort), het Freudenthal Instituut van de Universiteit Utrecht, en Cito (Arnhem).
Alle vijf partners zullen het onderzoek uit eigen middelen co-financieren.
b. Onderzoeksvragen
Uitgaande van de hierboven beschreven probleemstelling kent het onderzoek de volgende
onderzoeksvragen.
1.
2.
Welke kenmerken maken een wiskundeopdracht denkactief?
Op welke manieren kan een wiskundedocent de denkactieve mogelijkheden van een
opdracht in de les tot zijn recht laten komen?
Het woord ‘denkactief’ in deze vragen verwijst naar de door cTWO geformuleerde wiskundige
denkactiviteiten en met name naar de aspecten analytisch denken en probleemoplossen. Een
opdracht die beroep doet op probleemoplossen noemen we een probleem, door Van Streun en Kop
(2012, p. 348) als volgt omschreven: “Een opgave is voor de oplosser een probleem als deze niet
onmiddellijk een oplossingsweg ziet”. Daarnaast heeft een denkactieve opgave door inhoud of
presentatie in de klas ‘iets sprankelends’ dat leerlingen uitdaagt of inspireert.
De eerste onderzoeksvraag zal worden beantwoord door een aantal denkactieve opdrachten te
ontwerpen die wiskundig-inhoudelijk aansluiten bij de hoofdstukken van de schoolboeken die in de
betreffende klassen aan de orde zijn. Deze opdrachten zullen voor een deel geheel nieuw zijn;
daarnaast worden ook opgaven uit de reguliere schoolboeken aangepast om ze denkactiever te
maken. Een deel van deze opgaven wordt in de vorm van interactieve applets aangeboden. De
overige opdrachten zijn papier-en-pen opdrachten, die wel via digitale middelen worden verspreid.
Door reflectie op het ontwerpproces worden de kenmerken gedestilleerd die het antwoord op de
eerste onderzoeksvraag vormen, en die worden vervat in een ‘ontwerpgids wiskundige
denkactiviteiten’ met checklist voor ontwerpers zoals docenten of auteurs van digitale of folio
leermiddelen.
De tweede onderzoeksvraag zal worden beantwoord doordat de betrokken docenten de
ontworpen denkactieve opgaven gebruiken in hun lessen en daarbij door (zelf)observatie in kaart
brengen welke manieren van gebruik effectief zijn. De effectiviteit van de aandacht voor wiskundige
denkactiviteiten zal worden gemeten door een digitaal afgenomen voor- en natoets. Een
retrospectieve analyse van de lespraktijken en van de succesfactoren daarbinnen zal leiden tot een
17
‘Handreiking denkactieve wiskundelessen’ waarin deze ervaringen op een toegankelijke en concrete
manier overdraagbaar gemaakt worden voor collega-docenten en leraren in opleiding.
In aanvulling op het in 7a beschreven onderzoek naar denkactiviteiten, probleemoplossen en
orkestraties kan het onderzoek bij het ontwerpen van interactieve online opdrachten ook
voortbouwen op inzichten over instrumentatie (Drijvers, 2007). Daarnaast zullen bij het gebruik van
denkactiviteiten in de klas bevindingen uit het onderzoek naar formatieve toetsing (of classroom
assessment) steun kunnen bieden bij het inrichten van interacties tussen docent en leerling (Black &
Wiliam, 1998; Bokhove, 2011; Veldhuis, Van den Heuvel-Panhuizen, Vermeulen, & Eggen, in druk).
c.
Onderzoeksplan inclusief een beschrijving van activiteiten, instrumenten en planning
(600w)
Het voorgestelde onderzoek richt zich op klas 3 van havo en vwo. Argumenten voor deze keuze zijn
(1) dat het verwerven van een denkactieve houding vanuit de gedachte van doorlopende leerlijnen al
in de onderbouw VO moet beginnen, (2) dat het curriculum van klas 3 meer ruimte biedt dan dat van
de Tweede Fase, en (3) dat de Diagnostische Tussentijdse Toets in klas 3 naar verwachting ook een
denkactieve insteek zal krijgen.
Het onderzoek kent drie fasen: een ontwerpfase, een uitvoeringsfase en een analysefase. De
ontwerpfase
(augustus-december
2014)
omvat
een
bescheiden
literatuurstudie,
de
instrumentontwikkeling en het ontwerp van denkactieve opgaven. De literatuurstudie zal worden
uitgevoerd door een junior onderzoeker van de Universiteit Utrecht en leidt tot een door annotatie
toegankelijk gemaakte database van relevante publicaties. De instrumentontwikkeling omvat ten
eerste het ontwerp van een digitale voor- en natoets gericht op denkactiviteiten. Deze wordt
ontwikkeld door Cito. Als digitale toetsomgeving wordt de Digitale WiskundeOmgeving (DWO)
gebruikt, die is ontwikkeld door het Freudenthal Instituut van de Universiteit Utrecht. De DWO is een
in Nederland veelgebruikte digitale leeromgeving voor wiskunde, die in internationaal vergelijkend
onderzoek als uitstekend is beoordeeld (Bokhove & Drijvers, 2010). Vanuit het Freudenthal Instituut
wordt de DWO-technische kant van de toetsconstructie ondersteund. Een tweede instrument is een
formulier voor (zelf)rapportage over denkactieve lesactiviteiten, dat zowel door de uitvoerende docent
als door een observant kan worden ingevuld. De zogeheten Orkestratiekaart die in het DPICTonderzoek is ontwikkeld vormt hiervoor een geschikt uitgangspunt (Drijvers, Tacoma, Besamusca,
Doorman, & Boon, 2013). Het ontwerp van denkactieve opgaven betreft zowel geheel nieuwe
opgaven als denkactieve aanpassingen van bestaande opgaven in de reguliere schoolboeken, en
zowel digitale als papier-en-pen activiteiten. De opgaven passen bij de hoofdstukken uit de
marktleidende wiskundemethodes Getal en ruimte en Modernde wiskunde die op de partnerscholen
worden gebruikt. De onderwerpen betreffen algebra en meetkunde; bij drie hoofdstukken worden elk
minimaal vier denkactieve opgaven ontworpen, zo mogelijk in overlap voor beide methoden. Deze 12
denkactieve opgaven verschillen in omvang en bijbehorende werkvorm. Tevens worden handreikingen
gegeven voor de manier waarop deze denkactiviteiten in de les aan de orde kunnen worden gesteld.
Suggesties voor dit laatste komen uit literatuur over orkestraties en formatieve toetsing. Docenten
vormen de hoofdontwerpers en werken in tweetallen per school. De concepten worden centraal
digitaal opgeslagen. Ze worden door het consortium besproken in een viertal face-to-face
bijeenkomsten en voorgelegd aan de twee externe experts. De digitale activiteiten worden in de DWO
gerealiseerd door de junior medewerker. Gezamenlijk wordt een checklist ontwikkeld voor het
ontwerpen van denkactivieve opdrachten, die de basis vormt voor een ontwerphandleiding
denkactieve opdrachten. Door het Freudenthal Instituut wordt het ontwerpproces vastgelegd.
De uitvoeringsfase (januari – mei 2015) vangt aan met de afname van de digitale voortoets.
Gedacht wordt aan zes klassen met in totaal ruim 150 leerlingen. Vervolgens behandelen de zes
betrokken docenten de geselecteerde hoofdstukken met de daarbij ontworpen denkactieve opgaven in
klas 3 hv. De docenten rapporteren middels het (zelf)rapportageformulier over de voorbereiding, de
aanpak in de klas en de ervaringen van elk van de 12 denkactieve opgaven. Daarnaast wordt de
uitvoering van minimaal twee denkactieve opgaven door de collega-docent van dezelfde school
geobserveerd, en worden twee andere denkactiviteiten op video opgenomen voor nadere analyse
door onderzoekers van het Freudenthal Instituut. Op elke school wordt ook een les door een
professionele cameraploeg gefilmd ten behoeve van disseminatieactiviteiten na afloop van het
onderzoek. De ingevulde (zelf)rapportageformulieren worden digitaal gedeeld en worden besproken
18
gedurende een drietal face-to-face bijeenkomsten van het consortium; de opbrengsten daarvan
vormen de basis voor de handreiking wat betreft de uitvoering van denkactiviteiten. De
uitvoeringsfase sluit af met een natoets voor de betrokken leerlingen.
In de analysefase (juni-september 2015) worden ten eerste de toetsgegevens door Cito
geanalyseerd volgens de ToetsItemAnalyse-methode TIA. In de gegevens over het ontwerpproces
worden door het Freudenthal Instituut cruciale criteria en stappen voor het ontwerpen van
denkactieve opdrachten geïdentificeerd. De (zelf)rapportageformulieren en de videoregistraties
worden geobserveerd met behulp van software voor kwalitatieve data-analyse (Atlas ti) en aan de
hand van het kader van orkestratie en formatieve toetsing. Uit de professionele videopnames worden
clips geselecteerd en gemonteerd die de wezenlijke bevindingen in beeld brengen ten behoeve van
disseminatie. Een en ander leidt tot conclusies met betrekking tot de twee onderzoeksvragen over het
ontwerpen en inzetten van wiskundige denkactiviteiten. Deze worden in concept besproken met de
externe adviseurs en vervolgens gefinaliseerd. Tot slot wordt in deze fase gerapporteerd over de
bevindingen (zie punten 7d en 7e).
Het volgende schema vat het onderzoeksplan samen. Bij elke deelactiviteit zijn de
hoofduitvoerders vermeld; vanzelfsprekend zijn ook andere partners bij die activiteit betrokken. In
geval van onverwachte omstandigheden kent het plan in de ontwerpfase flexibiliteit in het aantal
ontworpen denkactieve opdrachten. In de uitvoeringsfase is er flexibiliteit in de omvang van de
lesactiviteiten. Bij onverhoopte uitval van personen zorgt de betreffende instelling voor vervanging.
Hoofduitvoerder ->
Cito
Farel
College
Maurick
College
Nieuwe
Eemland
Universiteit
Utrecht
Onderzoeksactiviteit:
Literatuurstudie
1: Ontwerpfase
(sept– dec 2014)
X
Instrumentontwikkeling
X
Ontwerp opgaven
X
X
X
X
X
X
Afname voor- en natoets
X
X
X
X
Vastleggen ervaringen
X
X
X
Lesobservaties
X
X
X
2: Uitvoeringsfase
(januari-mei 2015)
Analyse voor- en natoets
X
X
3: Analysefase
Analyse (zelf)rapportages
X
(juni-sept 2015)
Analyse videoregistratie
X
Conclusies en rapportage
X
19
X
X
X
X
d. De beoogde opbrengsten van dit project
De beoogde opbrengst van het onderzoek omvat antwoorden op de twee onderzoeksvragen, naar de
kenmerken van denkactieve wiskundeopgaven en naar manieren om dergelijke opgaven in de klas in
te zetten, die in de volgende vorm worden gegeven:
1.
2.
Een collectie van denkactieve wiskundeopgaven voor klas 3 van havo en vwo. Het betreft zowel
digitale als pen-en-papier activiteiten, die alle online beschikbaar worden gesteld met suggesties
voor gebruik in de klas. De opgaven sluiten aan bij de marktleidende wiskundemethoden.
Een Handreiking denkactieve wiskundelessen, die wiskundedocenten kan ondersteunen in hun
eerste stappen op weg naar denkactief wiskundeonderwijs. De Handreiking bestaat uit twee
delen:
a. Het deel ‘Ontwerpen van denkactieve wiskundeopdrachten’, waarin criteria en
ontwerpheuristieken worden gegeven.
b. Het deel ‘Denkactieve wiskundeopdrachten in de klas’, waarin op basis van de ervaringen
suggesties worden gedaan voor werkvormen die passen bij denkactieve
wiskundeopdrachten, als ook tips voor de concrete uitvoering daarvan.
Deze Handreiking wordt digitaal ter beschikking gesteld via de website van de Nederlandse
Vereniging van Wiskundeleraren en die van het Freudenthal Instituut.
Daarnaast worden ten behoeve van de disseminatie en lerarenopleiding een drietal korte videofilms
gemonteerd op basis van de professionele videoregistraties, waarin de kern van de opbrengsten naar
voren komt en die bruikbaar zijn voor initiële nascholing en scholing voor zittende leraren.
Deze opbrengsten zijn overdraagbaar en onmiddellijk toepasbaar in de onderwijspraktijk, waar ze
bijdragen aan innovatie en verbetering van het onderwijs waar het wiskundige denkactiviteiten
betreft. Voor de partners draagt het onderzoek bij aan schoolontwikkeling en professionalisering van
de betrokkenen.
e. Kennisbenutting
De hierboven beschreven opbrengsten kunnen op verschillende manieren worden benut: collega
docenten kunnen de ontworpen activiteiten en de Handreiking denkactieve wiskundelessen direct
gebruiken bij het vormgeven van het eigen onderwijs. Lerarenopleiders kunnen studenten de
opbrengsten laten gebruiken bij het ontwerpen en inzetten van denkactieve opdrachten in hun lessen,
of als aanleiding voor praktijkgericht vervolgonderzoek. Auteurs van schoolmethoden kunnen de
opbrengsten als richtinggevende inspiratiebron gebruiken bij het werken aan nieuwe edities.
Het communicatieplan voorziet in (1) de verspreiding van de opbrengsten via websites van de
Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren en het Freudenthal Instituut, (2) rapportage over het
onderzoek in Euclides, vakblad voor wiskundeleraren, (3) een korte bekendmaking in Didactief, (4)
een wetenschappelijk artikel in een internationaal tijdschrift voor onderzoek van wiskundeonderwijs,
(5) een aankondiging in digitale nieuwsbrieven zoals de wiskunde-brief, (6) een presentatie in de
vorm van een workshop op de studiedag van NVvW of Nationale Wiskundedagen, (8) verspreiding
van de videoclips via YouTube, en (9) het onder de aandacht brengen van de opbrengsten ten
behoeve van de lerarenopleiding via het ELWIeR netwerk van lerarenopleiders wiskunde. Mogelijke
verdere spin-off voor initiële opleiding en nascholing wordt onderzocht in overleg met ELWIeR en
PWN.(2499 woorden)
8. Geraadpleegde bronnen
(Maximaal 2 pagina’s, woordentelling is niet nodig)
Abrantes Garcêz Palha, S. (2013). Shift-problem lessons: Fostering mathematical reasoning in regular
classrooms. Dissertatie. Amsterdam: Universiteit van Amsterdam.
Bakker, M., Klerx, M. & Sterk, H. (2013). Houtje-touwtje wiskunde. Nieuwe Wiskrant, tijdschrift voor
Nederlands wiskundeonderwijs, 32(4), 14-22.
Black, P., & Wiliam, D. (1998). Inside the black box: raising standards through classroom assessment.
Phi Delta Kappan, 80(2), 139–149.
20
Bokhove, C. (2011). Use of ICT for acquiring, practicing and assessing algebraic expertise. Dissertatie.
Utrecht: Freudenthal Instituut.
Bokhove, C., & Drijvers, P. (2010). Digital tools for algebra education: Criteria and evaluation.
International Journal of Computers for Mathematical Learning, 15(1), 45-62.
Cito (2013). De diagnostische tussentijdse toets. Tussenstand in ontwikkeling. Geraadpleegd op 7
november 2013 op
http://www.cito.nl/nl/Over%20Cito/pers/diagnostische_toets_voortgezet_onderwijs.aspx.
cTWO (2007). Rijk aan betekenis. Utrecht: cTWO.
cTWO (2012). Databank met voorbeeldopgaven en uitwerkingen bij tussendoelen 3 havo/vwo.
Geraadpleegd op 7 november 2013 op http://www.ctwo.nl.
cTWO (2013). Denken & doen. wiskunde op havo en vwo per 2015. Utrecht: cTWO.
Doorman, M., Drijvers, P., Dekker, T., Van den Heuvel-Panhuizen, M., De Lange, J., & Wijers, M. (2007).
Problem solving as a challenge for mathematics education in the Netherlands. ZDM, the International
Journal on Mathematics Education, 39(5-6), 405–418.
Drijvers, P. (2007). Instrument, orkest en dirigent: een theoretisch kader voor ICT-gebruik in het
wiskundeonderwijs. Pedagogische Studiën, 84(5), 358-374.
Drijvers, P., Tacoma, S., Besamusca, A., Doorman, M., & Boon, P. (2013). Digital resources inviting
changes in mid-adopting teachers’ practices and orchestrations. ZDM Mathematics Education, 45(7),
987-1001.
Henningsen, M., & Stein, M. K. (1997). Mathematical tasks and student cognition: Classroom-based
factors that support and inhibit high-level mathematical thinking and reasoning. Journal for Research
in Mathematics Education, 28(5), 524-549.
National Council of Teachers of Mathematics (n.d.). Standards & focal points. Geraadpleegd op 7
november 2013 op http://www.nctm.org/standards/.
Polyá, G. (1945). How to solve it. Princeton: Princeton University Press.
Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and
sensemaking in mathematics. In D. Grouws (Ed.), Handbook for research on mathematics teaching
and learning (pp. 334-370). New York: MacMillan.
Schoenfeld, A. H. (2007). What is mathematical proficiency and how can it be assessed? In A. H.
Schoenfeld (Ed.), Assessing mathematical proficiency (pp. 59-73). New York: Cambridge University
Press.
Stein, M. K., Engle, R. A., Smith, M. S., & Hugues, E. K. (2008). Orchestrating Productive Mathematical
Discussions: Five Practices for Helping Teachers Move Beyond Show and Tell. Mathematical Thinking
and Learning, 10, 313–340.
Trouche, L. (2004). Managing the complexity of human-machine interactions in computerized learning
environments: Guiding students’ command process through instrumental orchestrations. International
Journal of Computers for Mathematical Learning, 9, 281–307.
Van Streun, A., & Kop, P. (2012). Wiskundige denkactiviteiten. In Drijvers, P., Van Streun, A., &
Zwaneveld, B. (2012), Handboek Wiskundedidactiek (pp. 339-368). Amsterdam: Epsilon.
Veldhuis, M., Van den Heuvel-Panhuizen, M., Vermeulen, J.A., Eggen, T.J.H.M. (in press). Teachers’ use
of classroom assessment in primary school mathematics education in the Netherlands. CADMO.
21
9. Beschrijving van het consortium
(Maximaal 200 woorden, voeg woordentelling toe)
Beschrijving van de deskundigheid van het consortium, de samenwerking en de taakverdeling voor dit project (zie beoordelingscriteria G16, G17,
G18 in paragraaf 4.3.2 van de call for proposals).
Het consortium bestaat uit Het Nieuw Eemland (Amersfoort), het Maurick College (Vught), het Farel
College (Amersfoort), het Freudenthal Instituut van de Universiteit Utrecht, en Cito (Arnhem). Alle
partners zullen op eigen wijze het onderzoek co-financieren. De onderstaande tabel geeft voor elke
partner de expertise, de taak en de eigen investering weer.
Investering in voorgestelde
onderzoek
Partner
Expertise
Taak in voorgestelde onderzoek
Cito
Toetsdeskundigheid, digitaal
toetsen, toetsonwikkeling en
psychometrische toetsanalyse
Ontwikkeling en analyse van digitale
voor- en natoets gericht op
wiskundige denkactiviteiten
Reductie van dagtarief van € 880 tot
€ 600 en inzet software toetsanalyse
Farel College
Praktijkdeskundigheid, didactische
ervaring, kennis van
schoolmethodes en lespraktijken
Schetsmatig ontwerp van denkactieve
wiskundeopdrachten, uitvoering
daarvan in de les, (zelf)observatie
10 docentdagen uit eigen middelen
Maurick College
Idem
Idem
0,2 fte uit eigen middelen
Nieuwe Eemland
Idem
Idem
10 docentdagen uit eigen middelen
Universiteit
Utrecht
Vakdidactisch onderzoek,
wiskundige denkactiviteiten,
digitaal lesmateriaal
Eindontwerp opgaven, lesobservatie,
data-analyse, projectleiding
DWO-licentie voor partners incl. LVS
en support
Samenwerking vindt plaats in een zevental bijeenkomsten en tussentijdse digitale communicatie. De drie
scholen vullen elkaar aan qua ervaring en kenmerken. Twee externe adviseurs zullen bij cruciale
beslissingen en evaluatiemomenten worden betrokken.
(190 woorden)
22