Wetenschap van het Midden - Beginscherm J.P.Hogendijk

Wetenschap van het Midden
Meesterwerken uit de oud-Chinese wis- en sterrenkunde
Sjoerd Boersma
Alje Boonstra
Danny Chan
Lars Einarsen
Valentijn Karemaker
Marleen Kooiman
Leslie Molag
Sietske Tacoma
Egbert Rijke
Frits Veerman
Maria Velema
Sonja de Zwarte
Dick van Dam (redactie)
Jan Hogendijk (begeleiding)
Bundeling essays horend bij het vak
Seminarium Geschiedenis van de Natuurwetenschap in China (WISM481)
Juni 2008
Een uitgave van de deelnemers van het vak
Seminarium Geschiedenis van de Natuurwetenschap in China (WISM481)
Universiteit Utrecht
Sjoerd Boersma
Alje Boonstra
Danny Chan
Lars Einarsen
Valentijn Karemaker
Marleen Kooiman
Leslie Molag
Sietske Tacoma
Egbert Rijke
Frits Veerman
Maria Velema
Sonja de Zwarte
Dick van Dam (redactie)
Jan Hogendijk (begeleiding)
Datum: 25 juni 2008
Oplage: 75 exemplaren
Vragen?
Redactie: [email protected]
Begeleiding: [email protected]
Een boek is als een tuin op zakformaat.
China
4
Voorwoord
你好数学家!
Waar denkt een willekeurige voorbijganger op straat aan bij het woord ‘wiskunde’? Veel
mensen zullen moeilijk kijken, sommigen zullen misschien met de regel van Pythagoras op de
proppen komen. Mocht je een steekproef nemen in de buurt van het Wiskundegebouw, dan
is de kans zeer groot dat je iemand tegenkomt die enthousiast begint te vertellen over Meester
Sun en z’n Chinese telstokjes of de reststelling van Ch’in. Hoe dan ook, het laatste waar men
aan denkt is de prachtige Chinese architectuur, volledig opgebouwd volgen de regels van Fēng
Shuı̌.
Fēng Shuı̌ (letterlijk vertaald “Wind en water”) is de filosofie die inmiddels al meer dan 3000
jaar aangeeft hoe de omgeving het geluk kan beı̈nvloeden. Tegenwoordig zie je dat veel terug
in de manier waarop Chinezen hun huis inrichten, maar oorspronkelijk schrijft de filosofie in
veel bredere zin voor hoe en waar je moet leven en waar je het best begraven kunt worden.
Het ultieme doel is om een balans te vinden tussen de elementen en objecten in het leven van
Chinezen. Uiterst zweverig en onmogelijk te bevatten voor ons Bèta’s.
Het is wel duidelijk dat Fēng Shuı̌ het leven van Chinezen beheerst, het is dus niet vreemd
dat de filosofie ook terug te vinden is in de Chinese architectuur. Juist in die architectuur is
er toch een opvallende relatie te vinden met de wiskunde, en wel in de vorm van de Gulden
Snede:
√
a
1+ 5
a+b
= =ϕ=
≈ 1.6180339887 . . .
a
b
2
De Gulden Snede kun je terugvinden in heel veel onderdelen van
de Chinese bouwstijl en in de inrichting van veel Chinese huizen.
Denk hierbij aan de vorm van pilaren, ramen, vazen, fonteinen en
ornamenten. Op de foto hiernaast zie je een typisch voorbeeld van
een deur in Fēng Shuı̌ stijl, waarvan de verhoudingen van de ramen
overeenkomen met de verhouding van de Gulden Snede.
Het is natuurlijk niet ongebruikelijk om de Gulden Snede te
gebruiken bij het ontwerpen van een gebouw, dat deden de oude
Grieken ook al. Maar wie had gedacht dat onze nuchtere wiskunde
zo veel met het oeroude Chinese bijgeloof van doen zou hebben? Dit
boekwerk toont aan dat we de Chinese wiskunde zeker niet moeten
onderschatten, misschien moesten we ook de traditionele Chinese
levenswijze maar eens wat serieuzer nemen!
Figuur 1: Deur in
Fēng Shuı̌ stijl
Ik ben iedereen die een bijdrage heeft geleverd aan dit boekwerk bijzonder dankbaar,
waarbij ik in het bijzonder Jan Hogendijk wil bedanken. Mede door zijn inzet is er een
prachtig seminarium ontstaan, waar alle deelnemers volgens mij veel van hebben geleerd.
Ik hoop dat ook ikzelf van die nieuw verworven kennis gebruik mag maken tijdens onze
avonturen in China!
Met hartelijke Chinese groet,
Bas van Schaik
Voorzitter Reiscommissie 2008 van A–Eskwadraat
“Rijst voor jou!”
6
Inhoudsopgave
1 Inleiding
1.1 De geschiedenis van China
1.2 Ambtenarij . . . . . . . . .
1.3 De rol van sterrenkunde in
1.4 Filosofieën . . . . . . . . . .
1.4.1 Taoı̈sme . . . . . . .
1.4.2 Confucianisme . . .
1.4.3 Boeddhisme . . . . .
1.5 Wiskundige problemen . .
1.6 Getalnotatie . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
10
10
11
11
11
12
12
12
12
2 De Huainanzi; de filosofie van de vroege Han
2.1 Over de Huainanzi . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Ontstaan . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Filosofie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kosmograaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Doel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Uiterlijk . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Ideaalbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Hoofdstuk drie, over de patronen van de hemel
2.3.1 Kosmogonie . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Opdeling van de hemel . . . . . . . . . .
2.3.3 Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Opdeling van het jaar . . . . . . . . . . .
2.4 Hoofdstuk vier, topografie . . . . . . . . . . . . .
2.5 Hoofdstuk vijf, de regels der seizoenen . . . . .
2.6 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
15
16
17
17
17
18
19
19
20
21
23
24
25
26
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
het oude China
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Meetkunde in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù en India
3.1 Meetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Meetkunde in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù .
3.1.2 Meetkunde in Indiase werken . . . . .
3.1.3 Verschillen en overeenkomsten . . . . .
3.2 Vorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Opbouw . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Taalgebruik . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Soorten bewijs . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Historische context . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Plaats in de nationale geschiedenis . .
3.3.2 Auteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Beoogd publiek . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Zijn de verschillen en overeenkomsten
India en China? . . . . . . . . . . . . .
7
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
te verklaren
. . . . . . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
door
. . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
contact
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
tussen
. . . . .
27
28
28
29
31
35
35
35
36
36
36
38
39
41
8
4 Algebra in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù
4.1 Chinese Algebra . . . . . . . . .
4.2 Indiase algebra . . . . . . . . . .
4.3 Verschillen en overeenkomsten
4.3.1 Negatieve getallen . . . .
4.3.2 Algebraı̈sche methoden .
4.4 Conclusie . . . . . . . . . . . . .
INHOUDSOPGAVE
en
. .
. .
. .
. .
. .
. .
India
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
43
43
44
45
45
45
49
5 De Suàn Shù Shū: zo oud dat het nieuw is
5.1 Wiskunde op bamboestroken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 De wiskunde in de Suàn Shù Shū . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Een verzameling textlets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 De Suàn Shù Shū en de Negen Hoofdstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Overeenkomsten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Verschillen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 De relatie tussen de Suàn Shù Shū en de Negen Hoofdstukken . . . . . . . . . . .
5.5.1 Theorie 1: Alle gelijkenis berust op toeval . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Theorie 2: De Negen Hoofdstukken is ouder dan de Suàn Shù Shū . . . . .
5.5.3 Theorie 3: De Suàn Shù Shū heeft als basis voor de Negen Hoofdstukken
gediend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Theorie 4: De Suàn Shù Shū was deels bekend bij de makers van de Negen
Hoofdstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 De invloed van de ontdekking van de Suàn Shù Shū . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
51
52
53
54
54
56
57
57
57
6 Op zoek naar de oorsprong van onze getallen
6.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Meester Sun en de Chinese telstokjes . . . .
6.3 De ontwikkeling van getalnotatie in India .
6.4 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 De hypothese van Lam en Ang . . . .
6.4.2 Discussie . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
61
64
69
74
74
75
7 Ch’ins reststelling
7.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Geschiedenis . . . . . . . . . . . .
7.3 De ontvangst van Ch’ins methode
7.4 ’Wat is wiskunde’-methode . . . .
7.5 Ch’ins methode . . . . . . . . . . .
7.6 Reduceren van de wên-shu . . . .
7.6.1 Voorbeeld I,4 . . . . . . . .
7.6.2 Voorbeeld I,6 . . . . . . . .
7.6.3 Theoretische toetsing . . .
7.6.4 Controle voorbeeld I,4 . . .
7.6.5 Controle voorbeeld I,6 . . .
7.6.6 Gevolg . . . . . . . . . . . .
7.7 Analyse en conclusie . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
79
79
79
81
81
82
87
87
88
88
89
90
90
90
8 Nawoord
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
58
58
59
91
Hoofdstuk 1
Inleiding
Je verdiepen in de Chinese natuurwetenschap is als het binnentreden in een nieuwe
wereld. De Chinese natuurwetenschap voor 1500 is zeer moeilijk te vergelijken met de
natuurwetenschap zoals wij die kennen. Het niveau van de wis- en sterrenkunde — andere
natuurwetenschap kenden de Chinezen niet — is misschien nog het meest vergelijkbaar. De
manier waarop de wetenschap werd bedreven was echter heel anders.
Het is zeer belangrijk om je dit te realiseren. Immers, het is voor een hedendaagse
wetenschapper moeilijk om het verband met bijgeloof en symboliek te zien, terwijl dit voor
China gemeengoed was. Dit verband uitte zich in de onderlinge verwevenheid van wiskunde
en pseudowetenschap en het was dan ook eerder regel dan uitzondering dat wiskundige
sommen werden afgewisseld met teksten over levenswijzen en filosofieën. Elders in dit boekje
zal hierbij uitgebreid worden stilgestaan. Verschillen uitten zich ook in de notatie en in de
aard van de wiskundige problemen. Tevens was de methode anders; bewijzen en theoretische
toetsing kwamen weinig voor, in tegenstelling tot rekenvoorschriften en voorbeelden.
Door al deze verschillen heen echter loopt de rode draad van de wiskunde: diverse wiskundige
meesters — al dan niet bij naam bekend — hebben boeken volgeschreven over wiskundige
regels en stellingen die in Europa pas eeuwen later in zwang kwamen. Niet uitgesloten is
dat alsnog wiskunde uit China in Europa is terechtgekomen; een voorbeeld hiervan is het
notatiesysteem, waarover veel meer valt te lezen in hoofdstuk 6.
Omdat het zeer gewenst is om wat achtergrondinformatie te hebben alvorens je te storten op
de wiskunde volgen nu een aantal inleidingen op thema’s binnen het China van voor 1500.
Daarna zullen, in de hoofdstukken 2 tot en met 7, enige “meesterwerken” uit de wis- en
sterrenkunde aan de orde komen. Tevens wordt de vergelijking tussen het oude China en
India gemaakt. Het is fascinerend om te zien dat de Chinezen qua stijl en wiskundig niveau
zowel uniek als hun tijd ver vooruit waren!
9
10
HOOFDSTUK 1. INLEIDING
1.1
De geschiedenis van China
Om China kunnen we tegenwoordig niet meer heen. Een bloeiende economie en met 1.3
miljard inwoners woont maar liefst een vijfde van de wereldbevolking in dit land.
China heeft een zeer rijke en onrustige geschiedenis die terug gaat naar de prehistorie. De
laatste vierduizend jaar kan in de Chinese geschiedenis worden in gedeeld in verschillende
dynastieën. Een dynastie is een uitgebreide familie, inclusief aangetrouwde familie, die over
twee of meer generaties invloed of macht heeft uitgeoefend in een land. In China werd ook
wel de stamnaam gebruikt voor de benaming van een bepaalde dynastie.
Ruim drieduizend jaar geleden was China een ontwikkeld en welvarend rijk met een heerser,
adel en ondergeschikten. Rond 500 voor Christus maakte het land, dat toen bestond uit een
verzameling losse feodale staten, een woelige periode door met veel oorlog. In deze tijd leefde
Confucius, die verkondigde dat de mensen volgens traditionele waarden moesten leven zodat
er weer orde in de chaos van die tijd zou komen.
In het jaar 221 voor Christus vond er een belangrijke verandering plaats in de Chinese
geschiedenis: China werd verenigd onder de eerste keizer, Qin Shi Huangdi Di1 , die de
Qin-dynastie stichtte. Vanaf toen is ook de traditie begonnen van de keizer als leider van
China. De naam China is van de naam Qin afgeleid. Keizer Qin heeft twee opmerkelijke
bouwwerken nagelaten: hij is begonnen met de bouw van de Chinese Muur en heeft het
Terracottaleger laten bouwen voor zijn graf in de buurt van Xi’an. Na Qin’s dood regeerde
zijn zoon slechts vier jaar, waarna het land weer in chaos verviel. In 206 v.Chr. werd
de Qin-dynastie voorgoed omvergeworpen door rebellen onder leiding van Liu Bang. Na
een vierjarig durende oorlog tegen de aristocratisch generaal, Xiang Yu, versloeg Liu Bang
zijn tegenstander en riep zich zelf uit tot eerste keizer van de Han-dynastie. Tijdens de
Han-dynastie (206 v.Chr.-220 n.Chr.) werd het rijk uitgebreid tot in Korea, Vietnam en
Centraal-Azië. Deze dynastie was een bloeiperiode voor de Oude Chinese wiskunde en er
zijn verscheidene klassieke werken teruggevonden die uit deze tijd dateren. Verder werd in de
Han-dynastie China officieel een Confuciaanse staat, maar werd ook het Boeddhisme vanuit
India naar China gebracht. De etnische meerderheid van de Chinese bevolking is nog steeds
Han Chinees.
Het Chinese keizerrijk kende vele perioden van bloei en verval. Een ander hoogtepunt in
de Chinese geschiedenis was in de periode rond 700 tot 1200 na Christus: de Tang- en
Sungdynastie. In die tijd werden verscheidene belangrijke uitvindingen gedaan zoals het
buskruit, de boekdrukkunst, het kompas en papiergeld. Op dit gebied liepen de Chinezen
ver voor op het Westen dat zich in de Middeleeuwen bevond. Verder was bijvoorbeeld de
Chinese zijde beroemd tot in Europa, waar de langste handelsweg ter wereld, de zogenaamde
Zijderoute, haar naam aan dankt. Het is ook de tijd dat Marco Polo zijn reis naar China
maakte.
De laatste dynastieën van China, Ming en Qing, hebben naar verhouding het grootste
culturele erfgoed achtergelaten met de Verboden Stad in Beijing als de bekendste. Aan het
begin van de vorige eeuw werd de laatste keizer afgezet en dit betekende een eind van een
lang tijdperk van keizerlijke dynastieën.[Ebr]
1.2
Ambtenarij
Deze vereniging van China in 221 v.C. bracht een grote standaardisering met zich mee. Overal
in het keizerrijk bestonden bijvoorbeeld verschillende maten en gewichten en dat is natuurlijk
niet handig in een rijk. Ook moest er een standaardmunt komen en een standaardschrift. Om
zo’n groot rijk te besturen had de keizer een uitgebreide bureaucratie die de macht verdeelde
over een heleboel ambtenaren verspreid door het rijk. Deze ambtenarij werd voortgezet door
latere dynastieën en kreeg steeds meer macht.
Niet iedereen kon zomaar ambtenaar worden. Hiervoor moest je een zware opleiding
doorlopen en een examen afleggen. In praktijk was dit enkel weggelegd voor bovenste lagen
van de bevolking: de mensen die de opleiding konden betalen.
1 Qin
Shi Huangdi betekent: De eerste keizer van Qin.
1.3. DE ROL VAN STERRENKUNDE IN HET OUDE CHINA
11
De leerstof was strikt vastgelegd en werd “de klassieken” genoemd. Wiskunde was een
van de onderdelen hiervan, maar zeker niet het meest belangrijke. In sommige perioden
werd er helemaal geen wiskunde geëxamineerd. Er waren standaardboeken die speciaal
het doel hadden om ambtenaren op te leiden en alle kennis die en in die tijd bestond in
China moest daar uit komen. Twee van deze boeken gingen over wiskunde, en zijn nu
de voornaamste bronnen van oude Chinese wiskunde. Oudere wetenschappelijke werken
bestonden nauwelijks want die had Qin allemaal laten verbranden.
Als een student deze kennis allemaal beheerste moest hij het gaan toepassen, bijvoorbeeld
voor de belastingheffingen. Daardoor bestond er geen ruimte om meer onderzoek te doen en
wiskunde te ontwikkelen. Er was wel een enkele wetenschapper die dat wel deed maar als
je niet bij het officiele ambtanaren systeem hoorde kon je ook geen school oprichten en dus
geen nieuwe kennis doorgeven. Ook teksten moesten goedgekeurd worden door de overheid
voordat ze gekopieerd mochten worden.
Hierdoor is de kennis van wiskunde in China over een lange periode nagenoeg constant
gebleven.
1.3
De rol van sterrenkunde in het oude China
In China was de wetenschap van astronomie sterk verbonden aan de astrologie.
Gebeurtenissen aan de hemel werden direct in verband gebracht met gebeurtenissen op
aarde. Zo werden zonsverduisteringen en andere plotselinge gebeurtenissen aan de hemel
gezien als onheilsvoorspellingen. Soms werd er zelfs zoveel waarde aan gehecht dat ze het
einde van een dynastie konden betekenen.
Om deze reden was het erg belangrijk om goede voorspellingen te kunnen doen over de stand
van de hemellichamen. De keizerlijke astronoom en astroloog waren dan ook twee van de
machtigste mannen aan het hof.
De wetenschap in China werd voornamelijk bedreven door enorm stelsel van goed
opgeleide ambtenaren. Tijdens hun opleiding leerden ze zaken als kalligrafie, wiskunde en
astronomie. Hierdoor waren er door het hele land mensen met kennis van de astronomie die
waarnemingen konden doen. Deze ambtenarij was de drijvende kracht achter de ontwikkeling
van de wetenschap in China. Door hun opleiding in de wiskunde had men de benodigde
kennis om voorspellingen te doen over de standen van hemellichamen.
De kennis van astronomie werd achter angstvallig geheim gehouden door de regering
opdat niet iedereen de voortekenen zou kunnen lezen. Hierdoor werd de ontwikkeling van
de wetenschap vertraagd, zeker op het gebied van instrumentenbouw. De makers van
meetinstrumenten, gewone handarbeiders, mochten namelijk niet leren hoe de instrumenten
die ze bouwden werkten. Hierdoor was het lastig voor ze om verbeteringen aan te brngen.
Als ze lang genoeg in het vak hadden gezeten had men genoeg ervaring om de werking te
snappen, deze kennis ging dan echter na hun dood weer verloren.
1.4
Filosofieën
Er waren in het oude China natuurlijk talrijke verschillende denkwijzen. Centraal in de
meeste denkwijzen hiervan was dat er in cycli werd gedacht in plaats van een rechtlijnig
tijdsbeeld.
Er ontstond later een aantal belangrijke filosofische stromingen die het leven in China
sterk beı̈nvloedden. Het interessante is dat deze stromingen naast elkaar bestonden en vaak
gecombineerd werden tot een soort overkoepelende filosofie.
1.4.1
Taoı̈sme
Het Taoı̈sme is een erg oude stroming, het is onduidelijk wanneer het precies ontstond. In
elk geval weten we dat het voor het eerst in boekvorm werd vastgelegd in de Tao Te Ching. In
de tweede eeuw na Christus werd het ook als officiële godsdienst erkend.
12
HOOFDSTUK 1. INLEIDING
Het Taoı̈sme heeft als belangrijke punten een zoektocht naar een balans in het universum.
Deze kan bereikt worden door het in balans brengen van de Yin en de Yang. Het woord Tao
staat dan ook voor de kracht die het universum in balans houdt.
1.4.2
Confucianisme
Confucianisme stamt uit de vijfde eeuw voor Christus. Het is ontstaan uit de geschriften van
Confucius. Het respect voor anderen is een van de punten die centraal staat in deze filosofie.
Een ander belangrijk punt waardoor veel staten blij waren met deze filosofie was het respect
dat men behoorde te hebben voor zijn meerderen. Hieronder vielen onder meer ouders, maar
ook de keizer zelf.
1.4.3
Boeddhisme
De laatste filosofie die sterke invloed heeft gehad op het denken in China was het Boeddhisme.
Centraal in deze “religie” staat het principe dat mensen al het lijden kunnen beëindigen door
een staat van verlichting te bereiken. Een ander belangrijk concept is het karma, wie zich
goed gedraagt in het leven zal in een later leven reı̈ncarneren in een beter leven of tot een
soort van half-god. Mensen die zich misdragen zullen wedergeboren worden als dier.
1.5
Wiskundige problemen
Ten tijde van de Qin (221 – 209 v.C.) en Han (206 v.C. – 220 n.C.) dynastieën was de wiskunde
vooral gericht op haar toepassing in de ambtenarij. Van ambtenaren werd verwacht dat zij
bijvoorbeeld correct belasting konden innen en met dit doel moesten ze kunnen optellen,
aftrekken, vermenigvuldigen en delen; ze moesten ook kunnen rekenen met breuken en
ze moesten oppervlakteberekeningen kunnen uitvoeren. Daarnaast speelde ook het ruilen
van graan een belangrijke rol. Er waren verschillende soorten en kwaliteiten graan die
allemaal een andere waarde hadden. Wilde men graan van een goede kwaliteit ruilen tegen
graan van een mindere kwaliteit, dan moest een ambtenaar kunnen uitrekenen wat de
juiste verhouding was waarin het graan geruild diende te worden. Daarom kwamen in de
wiskundewerken problemen voor waarin zulke berekeningen werden gedaan. Deze waren
niet altijd zo eenvoudig als hierboven beschreven, vaak werden in de problemen combinaties
van meerdere soorten en kwaliteiten graan geruild.
De wiskundewerken die we tegenwoordig nog hebben uit het oude China, dienden
waarschijnlijk vooral als een referentie voor de ambtenaren. Een hulp dus bij het rekenen.
Zo’n boek bestond uit vele voorbeelden die de ambtenaar in iedere situatie vooruit moesten
helpen met zijn (reken)probleem.
Wel moet opgemerkt worden dat niet alle problemen als directe referentie voor ambtenaren
dienden. Van een paar problemen kan niet direct het practisch nut aangewezen worden en
men vermoedt dus dat ook in het oude China al mensen bezig waren met wiskunde puur om
de wiskunde.
1.6
Getalnotatie
Iedere cultuur heeft haar eigen kenmerken. Zo zijn Nederlanders dol op aardappelen,
Indiërs op kerrie, Japanners op wasabi en Chinezen op babi pangang. Toch zijn er veel
overeenkomsten te vinden in al die verschillende culturen: zo kennen alle moderne culturen
de stelling van Pythagoras, de Chinese reststelling en bovenal de methode van het schrijven
van getallen. Het gebruik van de getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 is in alle moderne culturen
ingeburgerd. ’s Ochtends ’goedemorgen’ zeggen, wordt niet in elk land begrepen, terwijl het
probleem x6 = 2 wel in elk land bekend is. Dit is niet altijd zo geweest. China heeft in haar
lange geschiedenis gebruik gemaakt van veel verschillende getalnotaties.
Voor China begon de geschiedenis van getalnotatie al zeer vroeg. Wanneer men precies begon
1.6. GETALNOTATIE
13
met het noteren van hoeveelheden in symbolen is onbekend. Zeker is wel, dat men in China
symbolen gebruikte toen de ontwikkeling van wiskunde en sterrenkunde begon. De eerste
symbolen voor getallen waarvan men bewijzen heeft gevonden, stammen uit de 14e tot 11e
eeuw voor Christus (figuur 1.1).
Deze notatie staat bekend als de ’orakel- bot-vorm’. In
latere eeuwen (10e-3e eeuw voor Chr.) werd er gebruik
gemaakt van een notatiesysteem dat een ontwikkeling was van
de ’orakel-bot-vorm’ (figuur 1.1).
China kende zeker op 200 v. Chr. al een methode die het
rekenen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) met
grote getallen op een overzichtelijke wijze versimpeld. Deze
methode maakte gebruik van telstokjes. Door de telstokjes op
een bepaalde manier te ordenen kon je symbolen vormen die
stonden voor de getallen één, twee, drie etc. Dit systeem van
getalnotatie werd alleen gebruikt bij het rekenen. China had
zo verschillende symbolen voor in de geschreven teksten en
in de rekenpraktijk. Om een beeld te krijgen van de symbolen
die werden gebruikt, wordt er verwezen naar figuur 1.1. De
getallen één tot en met vier in de ’orakel-bot-vorm’ zien er
precies hetzelfde uit als in de telstoknotatie. De telstokken
waren erg handig om mee te rekenen. Getallen konden uit
andere getallen worden gevormd. Zo kreeg je een vier uit een
Figuur 1.1: Getalnotatie uit de drie, door een stok toe te voegen bij de drie. Bij het gebruik
14e-11e eeuw voor Chr.
en van de telstokken hoorde een telbord. Dit bestond uit vakken
waarin de symbolen konden worden neergelegd. De positie op
10e-3e eeuw voor Chr.
het telbord gaf ook de waarde van het getal aan. Het had een
speciaal vak voor de eenheden, tientallen, honderdtallen etc.
In de Han-dynastie is er een algemene notatie ingevoerd met betrekking tot de stokjesnotatie.
Vanaf toen werd er in heel China op eenzelfde methode gerekend met telstokken.
Wanneer je de stokjesnotatie en de notatie van getallen in de literatuur naast elkaar legt,
dan zien we bij bepaalde getallen (zoals de getallen één, twee en drie) gelijkenissen. Zoals
hierboven is geschreven, was in het begin de notatie voor die getallen zelfs hetzelfde. Het is
daarom vermoedelijk zo dat de stokjesnotatie invloed heeft gehad op de ontwikkeling van de
getalnotatie in de wiskundige literatuur.
De verzameling van gehele getallen bestaat naast de natuurlijke getallen ook uit negatieve
getallen en het speciale getal nul. Negatieve getallen kende China al erg vroeg (circa 200
voor Christus). Deze werden in de notatie vaak aangeduid in het rood. Het getal nul kwam
daarentegen zeer laat in de geschiedenis van China. Het getal nul kom voor het eerst voor in
het boek Su Shu Chiu Chang van Chhin Chiu-Shao (ongeveer 1247 na Christus). Het getal
nul werd toen geschreven als een cirkel. Het ontbreken van het symbool van nul betekent
niet dat de Chinezen het getal nul niet kenden; in de stokjesmethode werd er wel duidelijk
gebruikt gemaakt van dit symbool. Om van het getal twee in de stokjesmethode naar één te
gaan moet je één stokje weghalen. Zo ook voor het getal nul, om het getal nul te krijgen haal
je een stokje weg van het getal één. Zo komt er in het telbord een plek voor waar geen stok in
ligt; dit is het symbool voor nul.
Opmerkelijk is het gebruik van de matrixnotatie. De Chinezen gebruikten deze notatie,
net als in de moderne wiskunde, om stelsels op te lossen met meerdere vergelijkingen en
variabelen. De notatie van toentertijd verschilt alleen in de richting van lezen. Dit zorgde
ervoor dat er geen sprake was van rijoperaties maar kolomoperaties.
14
HOOFDSTUK 1. INLEIDING
Hoofdstuk 2
De Huainanzi; de filosofie van de
vroege Han
Marleen Kooiman en Lars Einarsen
2.1
2.1.1
Over de Huainanzi
Ontstaan
De Huainanzi is ontstaan aan het hof van
koning Liu An. Liu An leefde van 180 tot
122 voor Christus en regeerde vanaf 164
voor Christus over Huainan. Hij was een
koning met imperialistische ambities. Liu An
was de kleinzoon van Liu Bang, de stichter
van Huainan. Toen hij beschuldigd werd
van verraad na een mislukte coup, heeft hij
zelfmoord gepleegd.
Liu An was zeer geı̈nteresseerd in
wetenschap. Daarom was hij beschermheer
van wetenschappers die aan zijn hof leefden.
De Huainanzi is een verzameling artikelen
van deze mensen. Het werk is gepubliceerd
in 139 voor Christus en bestond uit drie
Figuur 2.1: Huainan, het koninkrijk van Liu An
delen; de Neishu, over het taoı̈sme; de
Zhongshu, over de alchemie; en de Waishu,
over filosofie. Na zijn dood zijn twee delen, de Zhongshu en de Waishu, verloren gegaan. De
Neishu kennen wij nu als de Huainanzi. Mogelijk zijn in de Huainanzi na de dood van Liu An
artikelen van na 139 voor Christus die ook aan het hof geschreven zijn, toegevoegd.
Onderzoek
Direct na de dood van Liu An was er weinig aandacht voor zijn werk. Hij werd immers
beschuldigd van corruptie en had zelfmoord gepleegd. Dit is mogelijk ook de oorzaak van
het zoekraken van twee delen van de Huainanzi.
In 79-78 voor Christus is de Neishu door Liu Xiang bewerkt. Hij gaf het werk de naam
15
16
HOOFDSTUK 2. DE HUAINANZI; DE FILOSOFIE VAN DE VROEGE HAN
Huainan zi. In de eerste eeuw na Christus zijn de eerste commentaren geschreven. De
twee belangrijkste commentaren, die van Xu Shen (58 tot 148 na Christus) en van Gao You
(geschreven tussen 205 en 212 na Christus), ontwikkelden zich tot afzonderlijke versies van
het werk, die naast elkaar geaccepteerd werden. Tijdens de Songdynastie zijn deze versies
weer samengevoegd tot de versie die vandaag de dag bekend is.
Het werk is pas in 1934 voor het eerst vertaald naar een westerse taal. Het is nog steeds
niet in zijn geheel vertaald, maar wel zijn alle afzonderlijke delen vertaald door verschillende
vertalers.
Inhoud
De Huainanzi is een soort encyclopedische samenvatting van de wetenschap ten tijde van
Liu An. Dit soort samenvattende werken werden vaker geschreven in het oude China.
De Huainanzi bevat hoofdstukken over tao, de hemel, de aarde, de seizoenen en militaire
strategie. Wij behandelen alleen de hoofdstukken 3, 4 en 5 uitgebreid; dat zijn de
hoofdstukken over kosmologie. Hoewel het boek is geschreven in een Taoistische traditie,
komen ook confucianistische ethiek en bureaucratische principes aan bod.
De vorm van taoı̈sme die in de Huainanzi naar voren komt, vertoont veel overeenkomst met
het Huang-Lao taoı̈sme. De kern van deze vorm van taoı̈sme is dat er geen fundamentele
verschillen zijn tussen de verschillende niveaus in de kosmos, de natuur, de staat en het
menselijk lichaam. Dit komt doordat alles is doordrongen van tao.
Overeenkomst met andere werken
De Huainanzi vertoont veel overeenkomsten met andere boeken uit de Han-periode en de
periode daarvoor, zowel inhoudelijk als wat taalgebruik betreft. In de gehele Huainanzi zijn
meer dan 800 min of meer letterlijke citaten van andere werken te vinden, vooral uit werken
uit het Zhou-tijdperk (1122 tot 256 voor Christus) en de vroege Hanperiode.
Een verklaring hiervoor is het encyclopedische karakter van het werk. Het is daarom logisch
dat de wetenschappers aan het hof van Liu An boeken van anderen lazen. Verderop geven we
hier concrete voorbeelden van.
De Huainanzi vertoont de meeste overeenkomsten met:
• de Zhuangzi, een Taoistisch boek uit de derde eeuw voor Christus
• werk van Lao Tzu (551 tot 479 voor Christus), een zeer belangrijke taoı̈st. Het is niet
zeker of Lao Tzu daadwerkelijk bestaan heeft, en of al het gedachtegoed wat aan hem
wordt toegeschreven ook van hem is.
• artikelen van Han Fei Tzu (ca. 280 tot 233 voor Christus). Han Fei Tzu was oorspronkelijk
confucianistisch opgeleid, maar hij neigde zelf meer naar legalisme. Legalisme is een
filosofische stroming die zich bezig houdt met hoe een heerser zou moeten handelen en
hoe de wetten zouden moeten zijn.
• Lüshi Chunqui, verschenen rond 240 voor Christus. De Lüshi Chunqui is een werk dat
als standaardwerk voor een heerser bedoeld is. Het is, net als de Huainanzi, geschreven
door meerdere personen.
De invloed van de Zhuangzi, Lao Tzu en Han Fei Tzu op de hoofdstukken 3, 4 en 5 is beperkt;
de Lüshi Chunqui heeft juist een zeer grote overeenkomst met deze hoofdstukken.
2.1.2
Filosofie
In het oude China hechtte men veel waarde aan de samenhang tussen gebeurtenissen. Het
hele belang van astronomie werd dan ook veroorzaakt doordat men zich erg liet beı̈nvloeden
door wat er zich afspeelde in de hemel. De stand van de zon, van de maan, van de planeten,
alles gaf informatie over wat er ging gebeuren op aarde. Een belangrijke invloed op het
Chinese denken kwam uit het taoı̈sme en was het principe van dualiteit. Bijna alles in de
2.2. KOSMOGRAAF
17
wereld bevatte een bepaalde hoeveelheid Yin en een hoeveelheid Yang. In sommige voorwerpen
waren deze in balans, terwijl in andere één van de twee in overvloed aanwezig was. Yin
stond symbool voor vrouwelijkheid en water terwijl Yang symbool stond voor mannelijkheid
en vuur. Door het toenemen of verminderen van de hoeveelheid Yin verklaarde men allerei
tegenstellingen zoals: Hemel en Aarde, Hoog en Laag, Man en Vrouw, Licht en Donker en
Vliegend en Lopend.
Niet alleen dit soort tegenstelingen bevatte een bepaalde symboliek, men zag ook heel veel
vijftallen die een onderlinge samenhang hadden. Deze beschouwde men vaak als fases die in
elkaar overliepen door een verandering van de Yin/Yang balans. Men hechtte erg veel belang
aan dit verloop van een fase naar een andere en leidde dan ook veel dingen af aan de hand
van deze overgangen.
• Vijf elementen: Aarde, Vuur, Water, Metaal en Hout
• Vijf richtingen: Noord, Oost, Zuid, West en Midden
• Vijf planeten: Mercurius, Venus, Mars, Jupiter en Saturnus.
2.2
Kosmograaf
In de Huainanzi wordt vaak gerefereerd aan de kosmograaf.
Hierbij wordt
dit instrument niet expliciet genoemd,
maar worden verschijnselen aan de
hemel uitgelegd aan de hand van dit instrument.
Omdat in de Huainanzi
niets over de kosmograaf vermeld staat, maar dit apparaat wel bekend wordt
verondersteld bij de lezer, is het nuttig iets meer van dit instrument te weten.
2.2.1
Doel
De kosmograaf dient om te allen tijde, dus
ook overdag en als het bewolkt is, de
sterrenhemel te kunnen observeren. De
kosmograaf heeft ongeveer dezelfde functie
als een planisfeer; een sterrenkaart waarmee
je aan de hand van de tijd en de datum kunt
bepalen hoe de hemel eruit ziet. Zie ook
figuur 2.2.
2.2.2
Uiterlijk
De kosmograaf bestaat uit een vierkante
plaat die de aarde voorstelt, en een
ronde, draaiende plaat voor de hemel.
Op de hemelplaat is de Grote Beer in het
midden afgebeeld en aan de rand de 28
maanhuizen, gebieden aan de hemel waar
de maan ongeveer een dag verblijft, en de
soms 24 perioden van 15 dagen tegen de
klok in genummerd, zie paragraaf 2.3.4.
Op de aardplaat staan aan de rand de
twaalf aardse afdelingen, acht van de tien Figuur 2.2: Een moderne planisfeer, die bij
hemelse stammen en in de hoeken de bijvoorbeeld de sterrenwacht te koop is.
vier hoekpunten die de windrichtingen
aangeven. Deze gegevens staan met de klok
mee geordend, zie figuur 2.3.
18
HOOFDSTUK 2. DE HUAINANZI; DE FILOSOFIE VAN DE VROEGE HAN
Door de hemelse schijf gedurende de dag met de klok mee te draaien, is de stand van
de hemel ten opzichte van de aarde te bepalen op elk moment van de dag. Hierbij geven de
12 aardse afdelingen op de aardplaat de tijd aan. Omdat op de hoeken van de aardplaat de
windrichtingen is aangegeven en op de hemelplaat de maanhuizen, weet men nu in welke
richting men een bepaald maanhuis moet zoeken.
Gedurende het jaar moet men de hemelschijf tegen de klok in draaien ten opzichte van de
aardschijf. Immers, de sterren staan in de winter anders dan in de zomer. Hiervoor staan
aanwijzingen in de Huainanzi. Zo staat bijvoorbeeld bij de omschrijving van de 24 periodes
van 15 dagen waar de Grote Beer heen wijst op een bepaalde datum. Zo staat er:
Als (het handvat van) de Grote Beer naar zi wijst (in de middernacht), is het
winterzonnewende.
Zi is een aardse afdeling, die is aangegeven op de rand van de aardplaat. Er staat dus dat
midden in de winter de Grote Beer in de richting van zi wijst. Elke 15 dagen wijst de Grote
Beer om middernacht naar een andere aardse afdeling, hemelse stam of naar een hoekpunt,
aangegeven op de aardplaat. De 24 tekens op de rand van de aardplaat komen overeen met
de 24 perioden van 15 dagen.
2.2.3
Figuur
2.3: De kosmograaf;
op de vierkante
van astrologische
voorspellingen.
plaat staan twaalf aardse afdelingen, acht hemelse
stammen en de vier hoekpunten aangegeven. Op
de hemelcirkel staat in het midden de Grote Beer,
en aan de rand de 28 maanhuizen.
Ideaalbeeld
Hoewel het principe van de kosmograaf
klopt, is er nog wel iets af te dingen
op de nauwkeurigheid van het apparaat.
Zo hebben de 28 sterrenbeelden in de
maanhuizen op de kosmograaf precies
dezelfde onderlinge afstand, terwijl dit in
werkelijkheid zeker niet zo is. Daarnaast
is op de kosmograaf niet af te lezen welke
delen van de hemel zichtbaar zijn en welke
niet. Ten slotte gaat de kosmograaf uit
van een jaar van 360 dagen, waardoor
afwijkingen ontstaan. Dit werd gecorrigeerd
met schrikkeldagen, zie ook paragraaf 2.3.4.
Al met al blijkt de kosmograaf een niet erg
betrouwbaar model van de hemel. Het was
dan ook niet zozeer een instrument voor
nauwkeurige astronomische waarnemingen,
maar vooral een hulpmiddel voor het doen
2.3. HOOFDSTUK DRIE, OVER DE PATRONEN VAN DE HEMEL
2.3
19
Hoofdstuk drie, over de patronen van de hemel
2.3.1
Kosmogonie
Het derde hoofdstuk van de Huainanzi begint met kosmogonie, verhalen over het ontstaan van
de hemel en de aarde. Onder andere wordt de schepping en de rol van Yin en Yang beschreven.
Impliciet wordt antwoord gegeven op vragen over natuurverschijnselen, bijvoorbeeld het
bestaan van seizoenen of het feit dat de aardas gekanteld is.
Schepping
De schepping wordt in de Huainanzi niet beschreven als een proces dat door iets of iemand
van buitenaf wordt gestuurd, maar meer als een logisch gevolg van de eigenschappen van de
aarde. Dao wordt wel genoemd, maar speelt als schepper niet de hoofdrol.
Een voorbeeld hiervan is regel 8 en 9 in het eerste fragment. De vorming van hemel en aarde
ontstaat door de verschillende eigenschappen van de qi, in plaats van ten gevolge van een
handeling van een buitenstaander.
Wij zullen hier het scheppingsverhaal uit de Huainanzi citeren in de vertaling van John S.
Major [Maj93]:
When Heaven and Earth were yet unformed,
All was ascending and flying, diving and delving.
Thus it was called the Great Inception.
The Dao began in the Nebulous Void.
The Nebulous Void produced spacetime;
5
Spacetime produced the primordial qi.
A shoreline divided the primordial qi.
That which was pure and bright spread out to form Heaven;
The heavy and turbid congealed to form Earth.
It is easy for that which is pure and subtle to converge,
10
But difficult for the heavy and turbid to congeal.
Therefore Heaven was completed first, and Earth fixed afterwards.
Het verhaal vertelt hierna kort dat Yin en Yang ontstaan uit de gezamelijke eigenschappen
van de Hemel en de aarde. Er wordt verteld dat het toe- en afnemen van Yin en Yang de
seizoenen veroorzaakt. Verderop in de tekst wordt veel uitgebreider gesproken over Yin en
Yang. Verder wordt uiteengezet wat tot de hemel hoort, namelijk de zon, de maan, de sterren
en de planeten, en wat tot de aarde. Het verhaal vervolgt met een andere mythe. We citeren
de vertaling van John S. Major.
Anciently Gong Gong and Zhuang Xu fought,
each seeking to become Thearch.
Enraged, they crashed against Mount Buzhou;
Heaven’s pillars broke, the cords of Earth snapped.
15
Heaven tilted to the northwest, and thus
The sun and moon, stars and planets shifted in that direction.
Earth became unfull in the southeast, and thus
The watery floods and mounding soils subsided in that direction.
In dit fragment van de Huainanzi vallen een aantal woorden op. Allereerst wordt er gesproken
over qi. Qi werd meestal gezien als een immaterieel medium. Echter, hier ontstaat uit de qi
alle materie, de hemel en de aarde.
Daarnaast lijkt het woord ’spacetime’ in regel 6 enigszins vreemd. Hier wordt bedoeld dat
het vage niets (The Nebulous Void) een gebeurtenis met logische tijd wordt en dat er een
20
HOOFDSTUK 2. DE HUAINANZI; DE FILOSOFIE VAN DE VROEGE HAN
materiële ruimte is waarin nu de dingen gebeuren. Met andere woorden, deze regel geeft aan
dat er een begin der tijden is geweest. Elders is spacetime ook wel vertaald als ’de kosmos
zoals die voortduurt’. Een ander opvallend woord in dit fragment is Thearch in regel 13. De
Thearch is zowel een soort van godheid als een oude mythische koning en de positie speelt
een belangrijke rol in vele Chinese mythes. Daarnaast wordt in regel 2 gesproken over Mount
Buzhou. Dit is een mythische berg, die wordt gezien als het midden van de aarde.
Modern gesproken verklaart deze mythe waarom de ecliptische evenaar, het vlak waarin de
aarde om de zon draait, niet samenvalt met de aardse evenaar.
Dit scheppingsverhaal uit Huainanzi 3 vertoont veel overeenkomst met de Tian Wen. De
Tian Wen is een mythisch verhaal uit het oude China. Het is aannemelijk dat de auteurs van
Huainanzi 3 de Tian Wen gekend hebben, omdat er typische overeenkomsten in woordgebruik
zijn tussen beide werken. Zo wordt bijvoorbeeld het woord fengyi, in regel 2 van het eerste
fragment vertaald als ’flying and ascending’, gebruikt in beide boeken.
Er is echter ook een duidelijk verschil in stijl tussen beide boeken. De Huainanzi is veel
duidelijker en concreter. Daarnaast geeft de Huainanzi antwoorden op impliciete vragen die
in de Tian Wen worden opgeworpen. In de Tian Wen staat bijvoorbeeld dat:
Kang Hui [Gong Gong] was enraged; the land leaned
southeast.
Vergelijk dit eens met het tweede fragment van de Huainanzi; de lezer van Tian Wen moet
als het ware zelf het verhaal kennen en conclusies trekken, terwijl in de Huainanzi uitgelegd
wordt waarom de hemel naar het noordwesten is gekanteld.
Yin en Yang
Yin en Yang worden geı̈ntroduceerd als vormen van qi. Yang wordt geassocieerd met vuur, met
de zon en de vogels; Yin met water, de maan en verborgen schepsels. In de zomer is Yang op
zijn maximum en in de winter Yin.
Yin en Yang worden gebruikt om weersverschijnselen te verklaren. Als bijvoorbeeld Yang de
overhand krijgt, ontstaat dauw, maar als Yin de overhand krijgt, ontstaat er vorst en sneeuw.
Donder wordt verklaard vanuit het samenkomen van Yin en Yang. Dit is in de lente en de
herfst. In dit geval moet donder niet alleen letterlijk genomen worden, maar het kan ook
geassocieerd worden met seks en het geboren worden van jonge dieren in de lente.
Met behulp van Yin en Yang worden ook volkswijsheden verklaard. Zo staat er dat bij
wassende maan, dus als Yin toeneemt, vissenhersenen kleiner worden. Bij afnemende maan,
dus als Yin afneemt, dan zouden krabben en wespen krimpen. Krabben en wespen zijn
verborgen schepsels, en worden daarom geassocieerd met Yin.
Mens en hemel
Hierna wordt de relatie tussen de mens en de hemel kort uitgelegd. Er wordt met name
uitgelegd hoe de daden van de heerser terug te zien zijn in de hemel. Als er bijvoorbeeld
straffen of wreedheid zijn, treden er wervelwinden op, en foute executies veroorzaken
droogheid.
Uit deze korte sectie blijkt dat het beoogde publiek van de Huainanzi de heerser van het rijk
was, of meer algemeen, de machthebbers.
2.3.2
Opdeling van de hemel
Negen velden
De Han deelden de hemel op in negen velden; één centraal veld en acht velden
daar omheen. Er staat geschreven dat elk veld drie (of vier) van de 28 maanhuizen
bevat, zie ook figuur 2.4.
In werkelijkheid liggen deze maanhuizen niet zo netjes
over de negen velden verdeeld, maar om astrologische redenen werd dit toch op deze
manier aangegeven. Deze negen velden houden verband met negen gebieden op aarde.
2.3. HOOFDSTUK DRIE, OVER DE PATRONEN VAN DE HEMEL
21
Tabel 2.1: De 5 departementen met hun belangrijkste eigenschappen
departement
oost
zuid
west
noord
centrum
seizoen
lente
zomer
herfst
winter
-
element
hout
vuur
metaal
water
aarde
planeet
Jupiter
Mars
Venus
Mercurius
Saturnus
bestuurlijk apparaat
landbouw
militaire zaken
algemene orde
publieke werken
metropoolzaken
Vijf departementen
Naast de opdeling van de hemel in negen
velden, is er ook een opdeling in vijf paleizen
of departementen.
Ook hier is er een centraal departement,
en vier departementen daar omheen. Elk
departement wordt geassocieerd met een
element, een god en een assistent, een
instrument, een seizoen, een planeet,
een (mytisch) dier, een muzieknoot en
twee dagen.
Daarnaast is elk van de
vijf departementen gerelateerd aan een
onderdeel van het bestuurlijke apparaat.
De landbouw is gerelateerd aan het oosten.
Dit is logisch, omdat het oosten ook
gerelateerd is aan de lente. De lente is een
belangrijk seizoen voor de landbouw.
Het zuiden is gerelateerd aan militaire
zaken. Dit is te verklaren door het vuur dat
ook bij het zuiden hoort.
Het westen houdt verband met de algemene
orde.
Hierbij hoort ook het straffen en Figuur 2.4: De opdeling van de hemel in negen
eventueel doden van mensen. Dit verklaart velden met per veld de maanhuizen.
ook de relatie met metaal en dus met het
westen.
Het noorden hoort bij de publieke werken. De winter is een relatief rustig seizoen, en daarom
is dit het juiste seizoen om aan publieke werken te werken. Daarnaast zijn de waterwerken
een belangrijk onderdeel. Daarom zijn de publieke werken gerelateerd aan het noorden dat
bij de winter en het water hoort.
De metropoolzaken horen tot het centrum. Het is duidelijk waarom juist dit beleidsonderdeel
hoort bij het centrum.
2.3.3
Planeten
In de Huainanzi worden verschillende planeten beschreven die met het blote oog te zien zijn.
Sommige van deze omschrijvingen zijn technisch van aard, maar bij andere wordt er veel
meer nadruk gelegd op de astrologische betekenis van de planeet.
Jupiter
Jupiter werd bij de Chinezen de ’jaarster’ genoemd. Jupiter had een belangrijke betekenis in
de astrologie, omdat Jupiter zeer goed zichtbaar is. De periode van Jupiter is zeer nauwkeurig
aangegeven in de Huainanzi. Meestal wordt een periode van twaalf jaar gebruikt. Dit versterkt
het astrologische belang van Jupiter, aangezien een jaar ook ongeveer twaalf maanden bevat.
Dat een getal meerdere malen voorkomt in de beschrijving van de hemel toont namelijk aan
dat er diepere verbanden bestaan.
22
HOOFDSTUK 2. DE HUAINANZI; DE FILOSOFIE VAN DE VROEGE HAN
Mars
Mars wordt ook wel de ’schitterende misleider’ genoemd.
De astronomische beschrijving van Mars in de Huainanzi is zeer vaag. Uit de tekst is wel
indirect af te leiden dat de periode ongeveer 24 maanden is.
De astrologische betekenis van Mars is wel duidelijk: Mars heerst over staten die in religieus
opzicht ongehoorzaam zijn. De planeet veroorzaakt daar wanorde, rovers, ziekte, rouw,
honger en strijd.
Saturnus
Saturnus wordt ook wel de ’onderdrukkende ster’ genoemd.
De astronomische beschrijving van de periode van Saturnus is gedetailleerd, maar wel
volstrekt onjuist. Het is aannemelijk dat dit een astrologische oorzaak heeft.
In de tekst wordt aangegeven dat Saturnus in het eerste jaar van zijn periode op de 51e dag in
het maanhuis Grote Beer staat, en dat Saturnus elk jaar één maanhuis verplaatst. Saturnus
zou dus een periode van 28 jaar hebben. In werkelijkheid is de periode van Saturnus 29,45
jaar. Ook hier geeft het feit dat het getal 28 meerdere keren voorkomt aan dat er een verband
is.
De onjuistheid in de periode was ook bij de Han bekend. De Wuxingzhan en de grote
oerkalender, beide werken met een minder astrologisch karakter, geven veel preciezere
waarden.
Als Saturnus niet, of niet op tijd, in een bepaald maanhuis verschijnt, zal de
corresponderende staat land verliezen. Echter, verschijnt Saturnus te vroeg, dan zal de staat
een succesjaar hebben en land winnen.
Venus
Venus wordt ook wel de ’Grote Witte’ genoemd. Dit heeft niets van de romantische betekenis
die de planeet in het westen gekregen heeft, maar wordt veel meer geassocieerd met metaal
en wapengekletter. De astrologische betekenis houdt ook verband met oorlog: als Venus te
vroeg aan de hemel verschijnt, of te laat in het zonlicht verdwijnt, betekent dit dat er oorlog
tussen de staten komt. Als de planeet echter niet verschijnt, of al vroeg weer in het zonlicht
verdwijnt, dan zullen legers zich terugtrekken.
Het is lastig een goede beschrijving van Venus te geven, omdat de planeet zo dicht bij de zon
staat. Daarom wordt de beweging van Venus beschreven aan de hand van verschijnen en
verdwijnen. In de Huainanzi staat dat Venus gedurende 240 dagen zichtbaar is. Echter,
in de Wuxingzhan staat een periode van 224 dagen, wat veel beter overeen komt met
de werkelijkheid. Het is daarom aannemelijk dat de auteurs of de vroege kopiisten een
overschrijffout hebben gemaakt. De echte periode van Venus is namelijk 224,7 dagen.
Mercurius
Mercurius wordt ook wel de ’klokster’ genoemd.
Mercurius is de planeet die het dichtst bij de zon staat en is daardoor moeilijk waar te nemen.
Ook Mercurius wordt beschreven in termen van verschijnen en verdwijnen. Mercurius
verschijnt vier keer per jaar; bij de equinox in de lente en de herfst, en op de langste en
de kortste dag, en blijft dan twintig dagen zichtbaar.
Omdat de planeet zo moeilijk waar te nemen is, is Mercurius van weinig astrologisch belang,
en is de betekenis vaag. Als Mercurius in een seizoen niet verschijnt, zal er ongeluk zijn. Er
is niet nader gespecificeerd wat voor ongeluk men kan verwachten.
2.3. HOOFDSTUK DRIE, OVER DE PATRONEN VAN DE HEMEL
2.3.4
23
Opdeling van het jaar
Bij de Han werden verschillende kalenders naast elkaar gebruikt.
Astronomische kalender
De astronomische kalender is gebaseerd op waarnemingen van de zon en de maan. De lengtes
van de periodes waren bij de Han al bekend. De periodes die werden gebruikt zijn:
• het zonnejaar, dat 365 41 dagen duurt;
• de maanmaand, lopend van nieuwe maan tot nieuwe maan, die 29 499
940 dagen duurt. Een
maanjaar bevat precies twaalf maanden.
• een periode van negentien zonnejaar, dus 6939 34 dagen, waarin precies negentien
maanjaren en zeven schrikkelmaanden passen;
• vier periodes van 19 jaar, zodat in de deze cyclus een geheel aantal dagen zit.
60 dagen
De dagen werden gegroepeerd in periodes van 60
dagen, een soort weken. Al deze dagen hadden
een eigen naam, net als in onze maatschappij
met een week van 7 dagen. In de Huainanzi
wordt deze indeling bekend verondersteld bij de
lezer en niet nader besproken.
60 jaren
De jaren doorliepen in China een cyclus van 60
jaar. Eigenlijk is dit de samenstelling van een
cyclus van 10 jaar en één van 12 jaar (60 is het
kleinste gemene veelvoud van 10 en 12).
Kleine jaar
Het kleine jaar bestaat uit 360 dagen. Op
verschillende manieren wordt dit jaar opgedeeld
in seizoenen:
8 × 45 dagen De windseizoenen.
45 dagen na de kortste dag bereikt de
eerste wind, de tiao-wind, zijn maximum.
Telkens 45 dagen later bereikt de volgende
wind zijn maximum. In de verschillende
windseizoenen gelden aanwijzingen voor de
heerser, bijvoorbeeld stel grenzen vast, of
eer hooggeplaatsten.
24 × 15 dagen De seizoensknopen.
De
verschillende
standen
worden
aangeduid met de stand van de Grote Beer.
Elke seizoensknoop wordt geasssocieerd
met één van de twaalf muzieknoten; het Figuur 2.5: De 8 windseizoenen en de 24
tweede halve jaar is precies gespiegeld aan seizoensknopen.
het eerste.
5 × 72 dagen
Elk van deze vijf periodes wordt geassocieerd met een element (hout, vuur, aarde, metaal
of water) en een kleur rook. Ook hoort bij elke periode een specifiek beleidsadvies.
Het is duidelijk dat, omdat een jaar in werkelijkheid langer dan 360 dagen duurt, het jaar
van 360 dagen opschuift in het zonnejaar. In de Huainanzi wordt hier nauwelijks expliciet op
ingegaan, maar er zijn af en toe wel verwijzingen naar correcties af te leiden.
24
HOOFDSTUK 2. DE HUAINANZI; DE FILOSOFIE VAN DE VROEGE HAN
Zo wordt bijvoorbeeld gesteld dat de eerste van de acht winden zijn maximum bereikt
45 dagen na de winterzonnewende. Hiermee wordt geı̈mpliceerd dat deze cyclus elk jaar op
nieuw ’geijkt’ wordt op de kortste dag, maar dit wordt niet expliciet vermeld.
In de beschrijving van de 24 periodes van 15 dagen wordt ook vermeld dat de eerste periode
begint op de kortste dag, maar er wordt hier ook expliciet vermeld dat 15 dagen na de 24e
periode de eerste periode weer begint. In de Huainanzi wordt het probleem van het opschuiven
van het jaar dus genegeerd. In latere kalenders zijn wel op de juiste momenten schrikkeldagen
ingevoerd, zodat dit jaar precies in een zonnejaar past.
De enige paragraaf waarin expliciet een correctie wordt genoemd, is de paragraaf over vijf
seizoenen van 72 dagen. Aan het eind van de vijf seizoenen van 72 dagen zitten namelijk zes
schrikkeldagen. Er wordt uitgelegd dat het eerste seizoen daarom elk jaar zes dagen later
begint in de periode van zestig dagen. Na tien jaar begint het eerste seizoen weer op dezelfde
dag.
2.4
Hoofdstuk vier, topografie
Hoofdstuk vier van de Huainanzi beschrijft de manier waarop de aarde is opgebouwd, het
omschrijft de landen van China zelf en de landen eromheen. Ook wordt er een verklaring
gegeven voor de eigenschappen van het land en de mensen.
Indeling
Het hoofdstuk begint met het vertellen dat de aarde gecontroleerd wordt door de hemel en de
sterren. Het interessante is dat het boek categorisch, stap voor stap verschillende gebieden
opnoemt. Een steeds terugkerend patroon is dat een aarde die verdeeld is een grid van 3 bij
3 vierkanten. Dit patroon komt voor in allerlei aspecten zoals de provincies, de continenten,
de belangrijke bergen en andere. Er zijn een aantal uitzonderingen hierop, zo zijn er maar
acht winden, wat verklaard wordt doordat er natuurlijk maar acht windrichtingen zijn waar
de wind heen kan, aangezien er geen centrale wind is.
Men vervolgt met het omschrijven van de dimensies van China en de aarde. De groottes
hiervan liggen echter ver van realistische waardes af zoals we ze nu kennen. Dit konden
ze ook weten doordat men voor de berekende grootte van de wereld op meer uitkwam dan
men met de meetapparatuur van toen kon berekenen. China zelf was opgedeeld in negen
provincies, die elk in één van de richtingen lag.
Mythologie
De omschrijvingen in dit hoofdstuk zijn zowel mythologisch als op waarheid gebaseerd en
zijn vaak een mengelmoes van beiden. De berg Kunlun wordt beschreven als een soort
mythische plek geschapen door de goden. Maar ook zijn er omschrijvingen van expedities
naar de berg die duidelijk een basis in de werkelijkheid hebben, deze verhalen staan dan niet
in de Huainanzi, maar wel in andere verhalen. Ook waren van de zes grote rivieren van China
zoals hier opgesomd er twee mythologische rivieren die geen tegenhanger hadden in de echte
wereld en ontsprongen uit Kunlun.
Verre landen
Het hoofdstuk gaat verder met een omschrijving van de wereld buiten China. Net zoals China
is opgedeeld in negen provincies, zo is de rest van de wereld opgedeeld in opeenvolgende lagen
van acht gebieden, waarbij het centrum steeds de vorige laag is. Er zijn totaal drie lagen:
• Verre regionen
• Afgelegen gebieden
• Terrae Ultimae
2.5. HOOFDSTUK VIJF, DE REGELS DER SEIZOENEN
25
Er zijn een aantal interessante punten aan deze tekst, zowel op mythologisch, als op
werelds gebied. Zo wordt er een interessante kennis van de omliggende wereld tentoongesteld.
De Chinezen geven het gebied ten noordwesten van China de naam Bactria, wat er duidelijk
op duidt dat de Chinezen kennis hadden van het bestaan van dat rijk. Dit gebied is het
huidige Afghanistan. Bactria was ten tijde van de Huainanzi op zijn hoogtepunt en grensde
dan ook aan India wat het ook aannemelijk maakt dat er kennis is doorgesijpeld.
Een ander punt dat duidt op een (relatief) uitgebreide kennis van de wereld in China is het
afgelegen gebied van het zuiden. Deze wordt het land van de omgekeerde deuren genoemd.
Deuren werden in China altijd op het zuiden gebouwd zodat ze uitkeken op de zon. Als een
land ver genoeg naar het zuiden lag, dan zou de zon dus in het noorden liggen, waardoor de
deuren aan de tegengestelde kant gebouwd worden. Een verklaring voor dit feit is dan ook
dat de Chinezen een kennis hadden van de evenaar.
Een interessant mythologisch punt is dan weer dat van de Terrae Ultimae de hoekpunten
genoemd zijn naar de elementen. Dit terwijl de elementen op hun hoogtepunt zijn in de
precieze windrichtingen. Zo is het zuiden in het element vuur. Toch is het zuidwesten
vernoemd naar het element vuur, terwijl dit juist in het teken staat van het opkomende vuur.
Hieruit zie je weer het belang dat er gehecht werd aan de overgangen tussen de verschillende
fases.
2.5
Hoofdstuk vijf, de regels der seizoenen
Yueling
Deel vijf van de Huainanzi beschrijft de loop van het jaar en de voortgang van de seizoenen.
Het is een variant van een tekst genaamd de ”Yueling”. Er zijn ook nog andere varianten van
deze tekst, maar allemaal omvatten ze hetzelfde onderwerp: de manier waarop de acties van
mensen invloed hebben op de kosmos.
Toch zijn er wel verschillen tussen de oorspronkelijke tekst en de tekst in de Huainanzi.
Deze zijn vermoedelijk ontstaan door aanpassingen van de auteurs van de Huainanzi. De
verschillen zijn namelijk vrij groot. Ook zijn het vaak steeds dezelfde type verschillen, wat het
onwaarschijnlijk maakt dat het om overschrijffouten gaat. Zo worden de voorspellingen over
de posities van hemellichamen niet meer gegeven in de vorm van: “De zon staat in maanhuis
X”. Ze worden daarentegen gegeven aan de hand van de kosmograaf, deze werd namelijk in
deze tijd veel meer gebruikt.
De kalender
Het jaar begint met de eerste maand van de lente en is opgedeeld in vijf seizoenen. Dit zijn
dezelfde seizoenen als we nu kennen, plus een extra seizoen dat tijdens de zesde maand van
het jaar valt, deze wordt midzomer genoemd. Op deze manier stemmen de seizoenen weer
overeen met de vijf fasen die in het wereldbeeld van de Huainanzi passen. Het jaar zelf heeft
twaalf maanden. Deze maanden zijn opgedeeld in paren van twee, die steeds zes maanden
van elkaar afliggen. Deze paren worden coördinaten genoemd en beı̈vloeden elkaar sterk. Als
men in maand n een ritueel verkeerd uitvoert, dan heeft dat consequenties in maand n+6.
Ook wordt er gesproken over de vijf posities, deze worden behandeld als de vijf gewone
richtingen, noord, oost, zuid, west en centrum. Ze passen echter duidelijk in het patroon van
de vijf fases en er is dan ook een sterke overeenkomst tussen elke positie en elk seizoen.
De seizoenen
Een groot deel van de inhoud is wederom duidelijk gebaseerd op het veranderen van
de verhoudingen tussen Yin en Yang. Elke maand heeft zo bepaalde eigenschappen die
afhankelijk zijn van de fase waar ze mee in overeenstemming zijn. Elk seizoen staat in het
teken van een bepaald element.
26
HOOFDSTUK 2. DE HUAINANZI; DE FILOSOFIE VAN DE VROEGE HAN
Het begin van het jaar, oftewel
de lente, staat in het teken van
hout.
In dit seizoen neemt de
invloed van Yang dan ook toe. De
zomer staat vervolgens in het teken
van vuur, wat betekent dat de
Yang zijn hoogtepunt bereikt. Er
worden dan ook rituelen gehouden
om ervoor te zorgen dat deze niet
verder zal toenemen, zo mogen er
geen grote vuren gestookt worden.
De zesde maand van het jaar is
dan de midzomer, deze staat in
het teken van de aarde. Hierna
volgen de herfst, in het teken van
metaal en de winter, in het teken
van water. In deze seizoenen neemt
Yin toe en neemt Yang weer af.
De beschrijvingen van de
maanden
bevatten
behalve
geboden en rituelen ook algemene
Figuur 2.6: Het verloop van de fases
wijsheden over het jaar. Zo trekken
de ganzen aan het einde van de winter naar het noorden en staan bomen in volle bloei in de
zomer. Deze regels volgen duidelijk uit gewone waarnemingen in de natuur.
Rituelen
De rituelen die aan elke maand gebonden waren hadden hun oorsprong ook te vinden in de
balans tussen Yin en Yang. Het is in sommige gevallen niet meer duidelijk wat de precieze
gedachtengang erachter is geweest. Er zijn veel verschillende rituelen, waarvan sommige
eigenlijk meer verordeningen zijn dan rituelen. Zo staat voor elke maand beschreven wat
voor kleding de keizer moet dragen. De kleur van de kleding is dan in overeenkomst met de
fase waarin men zit. Ook wordt er omschreven wat voor offers er aan welke god gebracht
moeten worden.
Straffen
Als men zich niet houdt aan de rituelen zoals deze beschreven zijn in de Huainanzi, dan zullen
er een half jaar later problemen ontstaan. Deze problemen hangen ervanaf wat de fouten zijn
die gemaakt zijn qua rituelen. Als men in de zomer, het hoogseizoen van Yang, rituelen van
de herfst uitvoert, dan worden er rituelen gehouden die bedoeld zijn voor Yin. Dit zal dan ook
overstromingen veroorzaken, aangezien water veel Yin bevat. Op soortgelijke wijze zullen er
bosbranden optreden als men in de herfst de rituelen van de zomer uitvoert.
2.6
Conclusie
De Huainanzi is een boek dat ons zeer veel kan vertellen over het wereldbeeld in China in
de vroege Han-dynastie. In deze periode was het taoisme nog van grote invloed en dit valt
dan ook op te maken uit het boek. De vijf fasen en de Yin/Yang mythologie komen in allerlei
aspecten naar voren.
Ook geeft het boek een interessant beeld over de staat van de natuurwetenschappen in de
periode. Het valt op dat men wel een goed beeld had van de natuurverschijnselen en dat men
wist wanneer deze optreden, maar dat als het vanuit een filosofisch oogpunt goed uitkwam
men fysische waarnemingen toch tegensprak.
Hoofdstuk 3
Meetkunde in de Jiǔ Zhāng Suàn
Shù en India
Danny Chan en Valentijn Karemaker
De antieke Chinese wiskunde kent een belangrijk standaardwerk: De Jiǔ Zhāng Suàn Shù.
Deze titel is door Joseph Needham vertaald als ’De negen hoofdstukken van de wiskundige
kunst’. Het is ontstaan in de vroege Hanperiode, ongeveer in de eerste eeuw voor Christus. In
negen hoofdstukken wordt alle wiskunde behandeld die men in die tijd kende. Het kent een
strakke structuur van opgaven, antwoorden en regels. Commentatoren, met als belangrijkste
onder hen Liu Hui, hebben toelichting gegeven op deze regels en de Jiǔ Zhāng Suàn Shù van een
rekenboek in een wiskundeboek veranderd.
Ook in de klassieke Indiase wiskunde zijn invloedrijke werken te vinden. Er is niet goed
één boek aan te wijzen dat alle antieke Indiase wiskundige kennis bevat. In plaats daarvan
hebben wij drie verschillende werken onderzocht. Dat zijn de Āryabhat.ı̄ya van Āryabhat.a I
uit 499 na Christus, de Brāhma-sphut.a-siddhānta van Brahmagupta uit 628 na Christus en de
Gan.ita-sāra-sangraha van Mahāvı̄ra uit ca. 850 na Christus.
In dit hoofdstuk beschrijven we de meetkunde die in deze geschriften behandeld wordt. We
vergelijken vervolgens niet alleen de inhoud van de Jiǔ Zhāng Suàn Shù met die van de Indiase
werken, maar ook de vorm en de historische context. Om tenslotte een antwoord te geven
op de vraag hoe overeenkomsten en verschillen te verklaren zijn, onderzoeken we het contact
tussen India en China. Hiermee hopen we een beeld te schetsen van monumentale werken,
uit twee grote rijken, die hoogstaande wiskunde bevatten.
27
28
3.1
3.1.1
HOOFDSTUK 3. MEETKUNDE IN DE JIǓ ZHĀNG SUÀN SHÙ EN INDIA
Meetkunde
Meetkunde in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù
Van de negen hoofdstukken uit de Jiǔ Zhāng Suàn Shù gaan er vier over meetkunde. We geven
hieronder een kort overzicht van de inhoud van deze hoofdstukken om duidelijk te maken
welke meetkundige kennis men in China in de eerste eeuw voor Christus bezat [KCL99].
Hoofdstuk 1 Fang Tian (Veldmeten)
Het eerste hoofdstuk gaat over het berekenen van oppervlaktes van velden met verschillende
vormen. Er worden regels geponeerd voor de oppervlakte van rechthoeken, driehoeken,
vierhoeken, cirkels, bolachtige velden, cirkelsegmenten en ringen.
De formules voor
bolachtige velden en cirkelsegmenten waren fout; de segmentregel zullen we hieronder
uitgebreid bespreken. In alle gevallen werd de waarde van π op drie gesteld. De volgorde
binnen het hoofdstuk is in zekere zin op moeilijkheid gebaseerd: als men bijvoorbeeld
eenmaal driehoeken en rechthoeken begrijpt, is een vierhoek te zien als een rechthoek met
twee driehoeken erbij. Dit wordt ook door Liu Hui zo uitgelegd.
Bij dit hoofdstuk hoort ook een groot aantal regels voor breukrekenen, zodat de
lezer vervolgens aan velden met ’breuklengtes’ kan rekenen. Twee basisbewerkingen zijn
homogeniseren en unformiseren van verschillende breuken; homogeniseren wil zeggen dat
iedere teller met de andere noemers vermenigvuldigd wordt en uniformiseren betekent
dat alle noemers met elkaar vermenigvuldigd worden. De regels gaan vervolgens over
het vereenvoudigen van breuken, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen en het
gemiddelde nemen van breuken. Er wordt een variant van het Euclidisch algoritme uitgelegd,
dat verrassend genoeg geen gebruik maakt van priemgetallen omdat deze nog onbekend
waren.
Hoofdstuk 4 Shao Guang (Korte breedte)
In dit hoofdstuk staat één techniek centraal: het terugrekenen van een gegeven oppervlakte
of inhoud naar de lengte van een zijde van een figuur. Het numeriek oplossen van
vergelijkingen dat later in China onderzocht werd, is dan ook gebaseerd op dit hoofdstuk.
Er worden kwadratische en derdegraadsvergelijkingen opgelost, waarbij vierkants- en
derdemachtswortels als speciale gevallen worden beschouwd. Hiervoor wordt een ingenieuze
manier geı̈ntroduceerd, en meetkundig toegelicht door Liu Hui, zodat men een wortel met
rekenstaafjes kan bepalen. Ook wordt een regel voor de inhoud van bollen gegeven maar
hierbij gaat men er onterecht vanuit dat een bol gelijk is aan twee op elkaar geplaatste
paraplu’s. Liu Hui merkt dit al op maar kan geen betere formule geven.
Daarnaast wordt, in het verlengde van het breukrekenen in hoofdstuk 1, de Shao
Guang-regel uitgelegd die gebruikt kan worden om het kleinste gemene veelvoud van getallen
te vinden. Ook deze regel maakt geen gebruik van priemgetallen maar levert wel altijd het
juiste antwoord op.
Hoofdstuk 5 Shang Gong (Constructie-aanwijzingen)
Dit hoofdstuk gaat over civiele techniek. De bijbehorende opdrachten zijn in drie groepen in
te delen: Het berekenen van inhouden van voorwerpen; de zijde, hoogte of omtrek van een
figuur (bijvoorbeeld een cylindrische graanschuur) vinden uit de inhoud; en het berekenen
hoeveel arbeiders voor een taak nodig zijn.
Voorbeelden van inhouden zijn rechthoekige of cirkelvormige ’forten’, met een rechthoekig
of cirkelvormig grondvlak en een bepaalde hoogte. Hier moet uiteraard de oppervlakte van het
grondvlak vermenigvuldigd worden met de hoogte. Maar ook berekeningen aan ingewikkelder
voorwerpen worden voorzien van een heldere uitleg.
3.1. MEETKUNDE
29
Een typische vraag over de hoeveelheid arbeiders zou zijn: Er moet een dijk gebouwd
worden van een bepaalde lengte, hoogte en breedte. Een arbeider bouwt per dag een bepaalde
volume-eenheid. Hoeveel arbeiders zijn er nodig als het werk in vijf dagen af moet zijn?
De formules voor inhouden die in dit hoofdstuk gegeven worden, zijn allemaal correct.
Ook is het hoofdstuk zo helder opgebouwd en beredeneerd (weer door Hui) dat de formules
tot de dag van vandaag in het basisonderwijs van China gebruikt worden. Hui geeft ook vaak
meerdere oplosmethoden voor één probleem en het niveau wordt weer geleidelijk hoger.
Hoofdstuk 9 Gougu (Rechthoekige driehoeken)
In China kende men ook al de stelling van Pythagoras, die daar de Gougu-regel heette. In
een rechthoekige driehoek heetten de rechthoekszijden namelijk gou respectievelijk gu. In dit
hoofdstuk wordt het worteltrekken zoals dat in hoofdstuk vier is ingevoerd vaak toegepast.
Er worden verschillende groepen formules afgeleid uit de Gougu-regel. Al deze formules zijn
correct en worden door Hui meetkundig beredeneerd. Zo wist men: Als de rechthoekszijden a
en b bekend zijn en c is de schuine zijde, dan wordt de lengte c − b gegeven als oplossing van
de vergelijking x2 + bx = a2 . Het is hierbij wel belangrijk om op te merken dat dit moderne
notatie is: ten tijde van de Jiǔ Zhāng Suàn Shù gebruikte men nog geen letters voor variabelen
en beschreef men alles in woorden.
Het blijft uiteraard niet bij formules; een grote hoeveelheid meetkundige, praktische
toepassingen passeert de revue zodat de formules ook gebruikt kunnen worden. Overigens is
het maar de vraag in hoeverre deze vragen werkelijk praktisch waren, omdat de beschreven
situaties niet gauw zullen voorkomen.
Ook wist men al het een en ander over Pythagoreı̈sche drietallen, ookwel Gougu-getallen.
Dit zijn getallen (x, y, z) die voldoen aan x2 + y 2 = z 2 . In de Jiǔ Zhāng Suàn Shù staat zelfs al
een genererende formule voor zulke drietallen, verpakt in een opgave. Voor willekeurige m, n
2
2
2
2
, y = mn en z = m 2+n voldoen en dit is correct. In de rest van de
wordt gesteld dat x = m −n
2
opgaven komen veel verschillende Gougu-getallen voor.
Verder bevat het hoofdstuk berekeningen aan ingeschreven vierkanten en cirkels in
rechthoekige driehoeken - zie sectie 3.1.3 voor een uitgebreide behandeling. Tenslotte zijn er
opgaven die rekenen met gelijkvormige driehoeken en verhoudingen. Deze problemen hebben
wellicht praktisch nut gehad bij landmeten.
3.1.2
Meetkunde in Indiase werken
Āryabhat.ı̄ya
Dit werk is het eerste boek dat is geschreven door een identificeerbaar persoon die omstreeks
500 na Christus leefde, genaamd Āryabhat.a (zie pagina 38).
De Āryabhat.ı̄ya is in de eerste plaats een sterrenkundeboek: van de 121 verzen gaan er 33
over pure wiskunde. Āryabhat.a geeft een geocentrisch planeetmodel, waarbij alle planeten en
de zon om de aarde draaien in variabele epicykels. Dit was niet nieuw, maar hij is wel de
eerste die bijvoorbeeld voorstelt dat de aarde om haar as draait om dag en nacht te verklaren.
Voor astronomische waarnemingen zijn sinustabellen handig; deze geven immers uit een
gemeten hoek een afstand of andersom. Āryabhat.a’s sinustabellen zijn zo nauwkeurig dat ze
tot de komst van betere, Westerse metingen, werden gebruikt bij het maken van kalenders.
Het is een bijzonder werk door de bondige stijl van de Sanskrietverzen en door nieuwe
berekeningsmethoden. Dat het veel gelezen werd, blijkt onder andere uit het grote aantal
commentaren dat is geschreven. Deze commentaren komen uit alle streken van India,
waaruit blijkt dat de Āryabhat.īya door heel India verspreid werd. Buiten India was het
overigens minder bekend. Na Āryabhat.a’s dood werd de Āryabhat.a School opgericht, waar
lesgegeven werd in Āryabhat.a’s wiskunde [Jag86].
30
HOOFDSTUK 3. MEETKUNDE IN DE JIǓ ZHĀNG SUÀN SHÙ EN INDIA
Brāhma-sphut.a-siddhānta
Dit omvangrijke werk, bestaande uit 1008 verzen, is geschreven door de astronoom
Brahmagupta (zie pagina 38). Wat rekenkunde betreft zit het boek op hetzelfde niveau als
de Āryabhat.ı̄ya maar in de meetkunde en algebra geeft Brahmagupta veel innovatieve methoden.
Hij corrigeert op dit gebied dan ook uitvoerig zijn voorgangers, onder wie Āryabhat.a [Kay15].
De Brāhma-sphut.a-siddhānta is ook een astronomisch werk. Hiervan gaan zes hoofdstukken
uit het deel ’Gan.ita’ over meetkunde:[Col17]
Hoofdstuk 4 - Vlakke meetkunde: Dit is het grootste en belangrijkste meetkundehoofdstuk.
De stelling van Pythagoras komt er in voor, met veel slimmigheidjes om de stelling
in bijzondere gevallen te kunnen gebruiken. Er worden oppervlaktes uitgerekend, ook
bijvoorbeeld van koordenvierhoeken (vierhoeken ingeschreven in een cirkel), waar men in
China nog helemaal niet van gehoord had. Hierbij onderscheidt Brahmagupta een grove en een
precieze inhoud. Hij geeft opgaven over het berekenen van zijden, segmenten en diagonalen
van de meest ingewikkelde figuren en komt vaak ineens met een zeer vernuftige formule
√
zonder uit te leggen waar deze vandaan komt. In formules met cirkels wordt π = 3 of π = 10
aangehouden, afhankelijk van of een grove of ’precieze’ waarde gevraagd wordt.
Hoofdstuk 5 - Opgravingen: Er wordt uitgelegd hoe inhouden van verschillende figuren te
berekenen zijn. Brahmagupta onderscheidt drie soorten inhoud: De praktische inhoud incorrect maar handig om mee te rekenen -, de grove inhoud - de geschatte inhoud, die altijd
iets te groot is- en de precieze inhoud. De aanpak verschilt, afhankelijk van welke inhoud er
gevraagd wordt. Als de diepte van bijvoorbeeld een rivier verandert, wordt voor de precieze
inhoud het gemiddelde gebruikt. Ook wordt bijvoorbeeld berekend wat de oppervlakte is van
de ’naald’ (een piramide) die in een balk past; deze wordt correct op 1/3 van de inhoud van de
balk gesteld.
Hoofdstuk 6 - Stapels: Dit is in feite hetzelfde als ’Opgravingen’ maar hier wordt diepte aangeduid
met hoogte. Er worden dus inhouden berekend, soms met een variabele breedte waar dan
het gemiddelde van genomen wordt.
Hoofdstuk 7 - Zagen: Er staat een erg kort stuk over het berekenen van arbeid of kosten die
gemoeid zijn met het zagen van een bepaald figuur in een vastgesteld aantal stukken.
Hoofdstuk 8 - Bergen graan: Dit is een kort, technisch hoofdstukje waarbij wordt uitgelegd hoe je,
afhankelijk van het materiaal, de inhoud van een stapel kunt berekenen uit zijn hoogte en
omtrek.
Hoofdstuk 9 - Schaduwrekenen: Dit hoofdstuk gaat over het rekenen met een gnomon, het
rechtopstaande staafje van een zonnewijzer. Feitelijk is dit rekenen met gelijkvormige
driehoeken om uit de hoogte van een schaduw bijvoorbeeld de lengte van het echte object
te vinden. De voorbeeldopgaven zijn in uiteenlopende mate praktisch.
Gan
. ita-sāra-sangraha
Dit boek is geschreven door Mahāvı̄ra, een wiskundige uit Zuid-India die leefde
van ongeveer 800 tot 870 na Christus (zie pagina 39).
Mahāvı̄ra had zijn boek
bedoeld als een verbeterde versie van de Brāhma-sphut.a-siddhānta.
Het lijkt er dan
ook in veel opzichten op. De meetkundehoofdstukken zijn bijvoorbeeld ’Oppervlaktes’,
’Opgravingen’ en ’Schaduwrekenen’, waarin hij versimpelingen van en uitbreidingen op
de Brāhma-sphut.a-siddhānta geeft [Kay15]. Al in het dankwoord schrijft Mahāvı̄ra hoeveel hij
verschuldigd is aan onder anderen Brahmagupta en Āryabhat.a.
Ondanks dit alles is de Gan.ita-sāra-sangraha beter te zien als een samenvatting van de Jaina
(een religie) wiskundekennis in de negende eeuw. Zo behandelt hij ook typische Jaina
wiskunde als permutaties en combinatoriek. De Gan.ita-sāra-sangraha is daarnaast bijzonder
omdat er nieuwe, onopgeloste problemen behandeld worden, zoals over cirkelsegmenten en
ellipsen. De cirkelsegmentregel zal hieronder uitgebreid besproken worden. Het werk was
vooral in omloop in Zuid-India.
31
3.1. MEETKUNDE
3.1.3
Verschillen en overeenkomsten
Om een beter beeld te krijgen van verschillen en overeenkomsten tussen de Jiǔ Zhāng Suàn
Shù en de Indiase wiskunde worden in deze sectie enkele concrete voorbeelden behandeld.
Het is belangrijk om te beseffen dat er meer verschillen dan overeenkomsten zijn tussen de
Jiǔ Zhāng Suàn Shù en de Indiase wiskunde. De overeenkomst die we hier behandelen is dus
een uitzondering en is niet per se representatief voor de vergelijking tussen de Jiǔ Zhāng Suàn
Shù en de Indiase wiskunde.
Overeenkomsten: De oppervlakte van een cirkelsegment
Het gaat hier om de ’Regel van segmentvelden’ uit hoofdstuk
1 van de Jiǔ Zhāng Suàn Shù, opgaven 1.35 en 1.36 en de
Gan.ita-sāra-sangraha van Mahāvı̄ra verzen 7.43 en 7.70 21 . In beide
boeken wordt in bovengenoemde regels/verzen de oppervlakte
van een cirkelsegment behandeld. Opmerkelijk is dat er bij de
Jiǔ Zhāng Suàn Shù opgaven, antwoorden en een onderbouwing
gegeven wordt, terwijl in de Gan.ita-sāra-sangraha slechts de
methode staat.
In figuur 3.1 zien we een cirkelsegment dat is gekleurd
in grijs. In beide boeken worden er twee gegevens naar
voren gebracht om de oppervlakte van het cirkelsegment te
berekenen. Deze zijn de lengte van de koorde (k) en de lengte
van de sagitta (s). Opmerkelijk is dat beide boeken zowel een
grove als een exacte methode geven voor het berekenen van
de oppervlakte van het cirkelsegment. We zullen zowel de
grove als de exacte methode behandelen.
Figuur 3.1: Cirkelsegment
In de Gan.ita-sāra-sangraha stond in vers 7.43 het volgende over de grove methode: ’Bij een
boogvormig veld wordt de oppervlakte gegeven door de sagitta toe te voegen aan de koorde en deze
som te vermenigvuldigen met de helft van de sagitta.’ [Ran12] In moderne notatie wordt dus het
2
volgende bedoeld: Oc = (s+k)∗ 2s . Dit is ook wel Oc = s +ks
2 . Hierin is Oc de oppervlakte van het
cirkelsegment, s de lengte van de sagitta en k de lengte van de koorde. De Gan.ita-sāra-sangraha
geeft voor haar formule geen argumentatie. Het is onduidelijk hoe Mahāvı̄ra (of anderen) aan
deze formule is gekomen, ook al zijn er wel verklaringen voor te bedenken. Één van deze is die
van het trapezium. Opvallend is de gelijkenis met vers 7.43 met de ’Regel van segmentvelden’
uit de Jiǔ Zhāng Suàn Shù. Deze zegt het volgende: ’Neem de koorde vermenigvuldigd met de
sagitta, kwadrateer de sagitta, voeg ze samen en halveer het.’ [KCL99] In moderne notatie staat
2
dit gelijk aan de volgende formule: Oc = s +ks
. ita-sāra-sangraha en de Jiǔ Zhāng Suàn
2 . De Gan
Shù geven dus dezelfde formule voor het berekenen van de oppervlakte van het cirkelsegment.
Een belangrijk verschil tussen de Gan.ita-sāra-sangraha en de Jiǔ Zhāng Suàn Shù is dat er in
de Ganita-Sara-Sangraha geen opgaven stonden en in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù wel. De opgaven
in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù luidden als volgt:
’[Probleem 35] Nu gegeven een veld dat een segment is van een cirkel, waarvan de koorde
30 bu en de sagitta 15 bu is. Vertel: wat is de oppervlakte?’ ;
’[Probleem 36] Gegeven een ander veld dat een segment van een cirkel is, waarvan de
koorde 78.5 bu en de sagitta 13 97 is. Vertel: wat is de oppervlakte?’
Interessant is de keuze van de schrijver voor de getallen 15 bu en 30 bu bij probleem 35. Een
koorde van 30 bu en een sagitta van 15 bu legt namelijk een cirkelsegment vast dat gelijk is
aan een halve cirkel met een straal van 15 bu. Bekend is dat er in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù een
formule staat voor het berekenen van de oppervlakte van een cirkel (dus ook van een halve
cirkel). Het is daarom mogelijk dat de schrijvers expres voor deze getallen hebben gekozen
om de waakzame student te testen.
32
HOOFDSTUK 3. MEETKUNDE IN DE JIǓ ZHĀNG SUÀN SHÙ EN INDIA
In tegenstelling tot de oude Indiase werken zijn er in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù wel
onderbouwingen te vinden voor de gegeven formules. Deze bestaan voornamelijk uit
commentaar van de Chinese ambtenaar Liu Hui. Over de ’Regel van segmentvelden’ schreef
Liu Hui erg uitgebreid. Hij gaf in zijn commentaar niet alleen een onderbouwing voor de
(on)juistheid van de formule, maar hij gaf ook een verbeterde methode voor het berekenen
van de oppervlakte van het cirkelsegment. Het letterlijke commentaar van Liu Hui is moeilijk
te begrijpen. We zullen daarom een gewijzigde versie geven, waarvan de inhoud minimaal
afwijkt van de originele tekst. Liu Hui schreef het volgende: Neem een vierkant met een
ingeschreven cirkel, de oppervlakte van de ingescheven regelmatige twaalfhoek in de cirkel is 3/4
maal de oppervlakte van de vierkant. (figuur 3.2) [KCL99]
Liu Hui geeft voor het verband tussen de ingeschreven
twaalfhoek de vierkant geen onderbouwing.
Bekend is
wel dat het aangegeven verband juist is. Neem immers
sin( π6 ) vermenigvuldigd met de straal (R). sin( π6 ) staat in de
eenheidscirkel voor de hoogte van de y-coördinaat bij een hoek
van π6 radialen. Als je deze vermenigvuldigt met R krijg je de
hoogte van die lijn in een cirkel met straal R. Vermenigvuldig
je dit product vervolgens opnieuw met R, dan krijg je de
oppervlakte van twee ’taartpunten’ van de twaalfhoek (door
oppervlakten te verschuiven van de verkregen rechthoek).
Door het product te vermenigvuldigen met zes krijgen
we vervolgens de oppervlakte van de twaalfhoek. Ofwel
π
π
Figuur 3.2: Dodecagon met O = 6R2 sin( 6 ) met sin( 6 ) = 1/2. Dus O = 3R2 , de oppervlakte
omgeschreven cirkel en vierkant van de vierkant is 4R2 , de verhouding is dus 3 op 4. Na deze
passage vertelt Liu Hui dat zijn redenering gebaseerd is op een
halve cirkel. Hij gaat verder: Neem de koorde vermenigvuldigd
met de sagitta en halveer. Deze oppervlakte is gelijk aan vier punten
van de regelmatige twaalfhoek. (zie figuur 3.3)
Vervolgens schrijft hij: kwadrateer de sagitta en halveer
het, je krijgt dan het licht gearceerde deel (figuur 3.4).
De
redenatie hiervoor geeft Liu Hui wederom niet. Zoals in
figuur 3.3 is weergegeven staat de oppervlakte van s∗k
2 gelijk
aan 1/4 van de oppervlakte van de vierkant. Voor een
1
twaalfhoek is dat 1/4
Dat zijn 4 taartpunten van
3/4 = 3 deel.
de twaalfhoek, wat overeenkomt met het licht gearceerde
deel van de twaalfhoek.
Op eenzelfde manier is te
Figuur
3.3:
Koorde controleren dat s2 gelijk staat aan het donker gearceerde
2
2
vermenigvuldigd
met
de
deel (figuur 3.4). Bij het samenvoegen van s∗k
en s2 krijg
2
sagitta gedeeld door 2 is de gele
je dus de oppervlakte van de halve twaalfhoek (figuur 3.5).
oppervlakte
Liu Hui schrijft vervolgens dat wanneer het cirkelsegment te
sterk afwijkt van een halve cirkel, het beter is om de exacte
methode te gebruiken. Deze zal verderop in deze sectie
worden behandeld.
Opvallend is dat er in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù en in
de Gan.ita-sāra-sangraha dezelfde onnauwkeurige formule wordt
gegeven voor het berekenen van de oppervlakte van het
cirkelsegment. Dit ondanks het feit dat de Gan.ita-sāra-sangraha
minimaal 6 tot 7 eeuwen later is ontstaan dan de Jiǔ Zhāng
Suàn Shù. Het doet ons vermoeden dat contacten tussen China
en India enigszins een rol hebben gespeeld bij het voorkomen
van deze regel in India.
Figuur 3.4:
Sagitta in het
kwadraat gedeeld door 2 is de
blauwe oppervlakte
3.1. MEETKUNDE
33
Mahāvı̄ra gaf in zijn Gan.ita-sāra-sangraha een methode om
de oppervlakte van het cirkelsegment exact te bepalen. Hij
schreef het volgende bij vers 7.70 12 : ’Men moet weten dat
de lengte van de koorde vermenigvuldigd met 1/4 van de lengte
van de sagitta en dan vermenigvuldigd met de wortel van 10, de
(precieze) waarde geeft van de oppervlakte van een figuur met als
buitenlijn de vorm van een boog. . . ’
In moderne notatie
staat dit gelijk aan het volgende:
√
Oc = k ∗ 4s ∗ 10. Ook deze methode is onnauwkeurig.
Bekend is dat Mahāvı̄ra wist van het bestaan van de formule
voor √de oppervlakte van een halve cirkel: π ∗ 2R ∗ R/4, met
π = 10 en R de straal van de cirkel. Als je nu 2R vervangt
door k (dus de koorde staat gelijk aan de diameter), R/4
Figuur 3.5: Oppervlakten van door s/4 (dus de sagitta staat gelijk aan de straal) en π door
2
√
s∗k
s
10 dan zijn de twee formules equivalent aan elkaar. Het
2 en 2 samengevoegd
is daarom waarschijnlijk dat Mahāvı̄ra zijn exacte methode
baseerde op de formule voor de oppervlakte van de halve
cirkel. [Ran12]
In tegenstelling tot Mahāvı̄ra gaf Liu Hui een exacte methode
die totaal vernieuwend was voor zijn tijd. Hij zei het volgende:
’Als het segment minder is dan een halve cirkel is de regel nog
grover. Het zou dan passend zijn om de ’Regel van de cilindrische
Figuur 3.6: Exacte methode voor pilaar te gebruiken”. Het gaat te ver om hier de hele ’Regel van
berekenen van Oc van Liu Hui
de cilindrische pilaar’ uit te leggen. Wat Liu Hui bedoelde is te
zien in figuur 3.6 [KCL99].
Het is duidelijk dat de oppervlakte van de grootste driehoek in figuur 3.5 wordt gegeven
Liu Hui geeft verder aan dat de twee overige zijden van de grootste driehoek
door s∗k
2 .
te bepalen zijn. Hij stelt hierbij voor om de Gougu-regel te gebruiken, oftewel de stelling
van Pythagoras. Wanneer de lengten van de twee overige zijden zijn bepaald, merkt hij
op dat deze gelijk zijn in lengte (het is een gelijkbenige driehoek) kun je de twee overige
oppervlakten van het cirkelsegment zien als twee nieuwe kleinere cirkelsegmenten. Ook hier
is de oppervlakte van de ingeschreven driehoek te bepalen (met de Gougu-regel). ’Door dit vaak
genoeg te herhalen’, zegt Liu Hui, wordt de exacte waarde van de oppervlakte van het cirkelsegment
bepaald. In moderne notatie wordt hier een limiet bedoeld. Limieten zijn een centraal begrip
in de moderne wiskunde, het is opmerkelijk dat deze worden aangetroffen in de oude Chinese
wiskunde.
Verschillen: ingeschreven en omgeschreven cirkel
Zoals eerder is gezegd, waren er tussen de Jiǔ Zhāng Suàn Shù en de Indiase wiskunde
veel meer verschillen dan overeenkomsten. In deze sectie zullen twee voorbeelden worden
gegeven. In het eerste voorbeeld zal er een onderwerp worden behandeld dat wel in de Jiǔ
Zhāng Suàn Shù staat, maar niet in de Indiase werken. Het tweede voorbeeld gaat over een
onderwerp dat wel in de Indiase werken staat (de Brāhma-sphut.a-siddhānta) en niet in de Jiǔ
Zhāng Suàn Shù.
Een onderwerp dat wel in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù werd behandeld maar niet in de Indiase
werken is dat van de diameter van de ingeschreven cirkel in een rechthoekige driehoek. Het
gaat hier om het negende hoofdstuk (Gougu) van de Jiǔ Zhāng Suàn Shù, opgave 16. Het
probleem gaat als volgt: ’[Probleem 16] Nu gegeven de horizontale zijde en de verticale zijde die
8 bu respectievelijk 15 bu lang zijn. Vertel: wat is de diameter van de ingeschreven cirkel?’ Als
methode gaf de Jiǔ Zhāng Suàn Shù het volgende: ’Methode: zoek de langste zijde. Sommeer
alle drie de zijden als noemer. Neem de horizontale zijde vermenigvuldigd met de verticale zijde.
Neem twee keer hiervan als teller. Deel vervolgens, de uitkomst is de diameter.’ Belangrijk om
te weten is dat de Jiǔ Zhāng Suàn Shù hier een rechthoekige driehoek bedoelt. Ook leuk
34
HOOFDSTUK 3. MEETKUNDE IN DE JIǓ ZHĀNG SUÀN SHÙ EN INDIA
om op te merken is dat de lengte van de zijden in de voorbeelden in het boek natuurlijke
getallen zijn (een Pythagoreı̈sch drietal). Liu Hui geeft bij dit probleem wederom een
redenering die de methode inzichtelijk maakt. Liu Hui gaf eerst aan dat elke driehoek
als volgt is te verdelen (dit is een gewijzigde versie van de tekst van Liu Hui) [KCL99]:
Trek de lijn die elke hoek in twee gelijke hoeken deelt. Deze drie
lijnen zullen elkaar snijden in één punt, met de eigenschap dat dit
punt gelijk staat aan het middelpunt van de ingeschreven cirkel van
de driehoek.
Het is bekend dat deze eigenschap inderdaad klopt. De lezer
kan dit zelf nagaan. Vervolgens neem je de loodlijn vanuit dat
punt op elk van de zijden (figuur 3.7). De lengtes van deze
lijnen zijn aan elkaar gelijk en gelijk aan de straal van de
ingeschreven cirkel. De driehoek is nu gelijk verdeeld in zes
rechthoekige driehoeken waarvan er drie verschillende zijn.
Liu Hui zegt dat je nu de horizontale zijde en de verticale zijde
van de originele driehoek met elkaar moet vermenigvuldigen
en deze moet verdubbelen. Noem de horizontale zijde, de
verticale zijde en de schuine zijde van de originele driehoek
Figuur 3.7: Indeling van de respectievelijk a, b en c. Hui wil dus dat je kijkt naar de
rechte driehoek
oppervlakte 2ab. Deze is gelijk aan de oppervlakte van vier
originele rechthoekige driehoeken. Elk van die driehoeken
kun je op bovenstaande manier verdelen in zes kleinere
rechthoekige driehoeken. De oppervlakte van 2ab is dus gelijk
aan de oppervlakte van vier maal zes kleinere driehoeken.
Liu Hui wil nu deze vierentwintig rechthoekige driehoeken,
acht van elke soort, zo ordenen dat er een rechthoek ontstaat.
De eis is dat één van de lengtes van de zijde gelijk is aan de
lengte van de diameter van de ingeschreven cirkel. Dit kan op
de volgende manier (wij geven hier een parafrasering van het
commentaar van Liu Hui):
(figuur 3.8) Neem de rechthoekige driehoek die in de originele
driehoek bij de bovenste hoek zit. Van deze soort zijn er acht. De
kortste zijde van deze driehoek is hier gelijk aan de straal van
de ingeschreven cirkel. Plak nu vier van deze driehoeken samen
zodat het een rechthoek wordt met lengte 2r (r is de straal van de
ingeschreven cirkel). Doe dit ook met de resterende vier driehoeken
van deze soort. Zo krijg je dus twee rechthoeken waarvan de
Figuur 3.8: 24 kleinere rechte lengte 2r is. Dit doe je vervolgens ook met de andere twee soorten
driehoeken geordend
driehoeken. Door deze zo te ordenen als in figuur 3.8 krijg je een
rechthoek met lengte 2r en breedte a + b + c.
We hebben dus een andere formule gevonden voor de oppervlakte van 2ab. Deze is namelijk
gelijk aan 2r(a + b + c). Vervolgens deel je de vergelijking 2ab = 2r(a + b + c) door (a + b + c).
2ab
. Liu Hui toonde op deze manier aan dat de formule uit de Jiǔ Zhāng
Zo krijg je 2r = d = a+b+c
Suàn Shù inderdaad klopt. Het was niet alleen in deze opgave dat Liu Hui de formule bewijst
met behulp van verschuivingen van figuren. In de Jiǔ Zhāng Suàn Shù zijn tal van vergelijkbare
bewijzen te vinden.
Wij hebben in de Indiase werken die wij bekeken hebben niet eenzelfde opgave gevonden.
Een hierop lijkende regel die wel in de Indiase werken te vinden is, betreft de straal van
de omgeschreven cirkel van een willekeurige driehoek. Deze regel staat beschreven in de
Brāhma-sphut.a-siddhānta van Brahmagupta. Het gaat hier om Gan.ita hoofdstuk 4 vers 26. Hier
staat het volgende: ’Het product van twee zijden van een driehoek, gedeeld door twee keer de
hoogtelijn is de centrale lijn (straal van de omgeschreven cirkel) en het dubbele hiervan is de diameter
van de omgeschreven cirkel.’ Noem de zijden van een willekeurig driehoek a, b en c. En noem
de hoogtelijn op de zijde c, h. Dan geeft vers 26 de volgende formule voor de straal van de
ab
omgeschreven cirkel [Col17]: Romgeschrevencirkel = 2h
.
3.2. VORM
35
Het is onduidelijk hoe Brahmagupta aan deze formule is gekomen. Het is gebruikelijk in de
Indiase werken om geen redenaties te geven van de formules. Wel is nu bekend dat de
formule van Brahmagupta voor de straal van de omgeschreven cirkel klopt. Het bewijs van de
formule (niet van Brahmagupta, deze liet niets merken van een bewijs) is zeker niet trivaal. De
vraag is nu hoe deze formule is bedacht: zijn de Indiërs er toevallig op gekomen, of heeft
wiskundig inzicht in de meetkunde door de tijd heen tot deze formule geleid? Vermoedelijk
heeft de methode zijn oorsprong niet in China. In geen enkel groot wiskundewerk uit China is
een opgave gevonden die overeenkomsten vertoont. Wanneer de formule authentiek Indiaas
is, zou het een aanwijzing zijn voor het vermoeden dat de Indiase wiskundigen in die tijd
wel degelijk redeneringen hadden bij de formules. Deze zijn immers nodig om tot nieuwe
formules te komen.
3.2
Vorm
In deze sectie zullen de opbouw van de boeken, het taalgebruik en de manier van bewijzen in
de Indiase en de Chinese boeken worden vergeleken.
3.2.1
Opbouw
Wanneer we de Jiǔ Zhāng Suàn Shù bekijken, valt op dat deze is verdeeld in negen
hoofdstukken.
Elk van die hoofdstukken bevat regels, problemen en eventuele
onderbouwingen van Liu Hui of andere commentatoren. Een groot verschil tussen de Jiǔ
Zhāng Suàn Shù en de Indiase werken is het feit dat er in de Indiase werken in principe geen
tot weinig onderbouwing is voor de formules. Kijken we naar de indeling, dan zien we dat
ook de boeken uit India waren verdeeld in hoofdstukken. Het is niet te zeggen of de Indiase
werken in het algemeen wel of geen opgaven bevatten; Sommige werken gaven wel opgaven
en sommige weer niet, dit duidt erop dat het geven van opgaven in wiskundeboeken geen
verplichting was voor de schrijver. Wat dus wel duidelijk overeenkomt met de Jiǔ Zhāng Suàn
Shù is het hanteren van de indeling in hoofdstukken. Of deze overeenkomst te verklaren is
door de uitwisseling van kennis tussen China en India is onduidelijk. Wel is duidelijk dat het
hanteren van hoofdstukken in grotere boeken fundamenteel is bij het ordelijk houden van
de inhoud. Het zou daarom niet raar zijn als de ontwikkeling van hoofdstukken in boeken
onafhankelijk heeft plaatsgevonden.
3.2.2
Taalgebruik
Een interessant verschil tussen de Jiǔ Zhāng Suàn Shù en sommige Indiase werken is het
taalgebruik. Jiǔ Zhāng Suàn Shù is in zijn keuze voor taal erg zakelijk. De opgaven en regels
worden kort en duidelijk overgedragen. Dit in tegenstelling tot de verzen in veel Indiase
werken. De verzen liggen, zoals de naam ’vers’ al suggereert, goed in het gehoor. De reden
voor deze stijl is dat het onthouden van de methoden erdoor vereenvoudigd wordt. Verzen
worden immers makkelijker onthouden dan de meeste prozaı̈sche teksten. Een voorbeeld
uit de Brāhma-sphut.a-siddhānta Cuttaca is vers 15 uit hoofdstuk 1 [Col17] : Degene die de oceaan
van de pulverizer (dit is een Engelse vertaling van een wiskundige term in het Sanskriet)
heeft doorstaan. Vertel het aantal overgebleven dagen, wanneer de rest van de graden gelijk staat aan
4400. Opvallend is het gebruik van metafoor en de versachtige zinsbouw. We bekijken nu
een opgave uit de Jiǔ Zhāng Suàn Shù, het gaat hier om hoofdstuk 1 opgave 25: ’Gegeven een
driehoekig veld met basis 12 bu en hoogte 21 bu. Vertel: wat is de oppervlakte?’ Deze vraagstelling
is in vergelijking met de Brāhma-sphut.a-siddhānta zeer zakelijk en kort. Dit zegt overigens niet
dat de ambtenaren in opleiding de opgaven niet hoefden te onthouden. Deze mogelijkheid
staat nog steeds open.
36
HOOFDSTUK 3. MEETKUNDE IN DE JIǓ ZHĀNG SUÀN SHÙ EN INDIA
3.2.3
Soorten bewijs
Wanneer we naar de formules in de meetkunde kijken van de Jiǔ Zhāng Suàn Shù en de Indiase
werken zien we een verschil dat niet op het eerste gezicht duidelijk is: De meetkunde in
de Jiǔ Zhāng Suàn Shù bevat geen formules waarbij de lengten vier maal met elkaar worden
vermenigvuldigd. Hier zouden vele redenen voor kunnen zijn; Zo zou het kunnen zijn dat
de problemen die ze behandelden geen vier vermenigvuldigingen nodig hadden of dat de
formules uit de Jiǔ Zhāng Suàn Shù waren gebaseerd op meetkundige tekeningen zoals in
sectie Overeenkomsten en Verschillen. De reden dat meetkundige redeneringen formules
met vier vermenigvuldigingen tegenwerkt, is dat de vermenigvuldiging van vier lengten niet
te visualiseren is. Bij vier vermenigvuldigingen zou je immers een vierde dimensie moeten
zien en het is duidelijk dat de mens hier niet toe in staat is. Dit is de reden dat de Indiase
wiskunde niet al haar formules heeft kunnen baseren op meetkundige redeneringen. In
de Brāhma-sphut.a-siddhānta staat namelijk een formule waarbij vier vermenigvuldigingen van
lengten worden uitgevoerd. Deze formule is zeer diepgaand en moeilijk tot stand te brengen
door louter te proberen. Het is daarom mogelijk dat het niveau van de Indiase wiskunde
al zo hoog was dat deze kon afstappen van de visuele redeneringen naar de iets abstractere
redenering (waarschijnlijk heeft hierbij de ontwikkeling van de algebra geholpen, wat in China
duidelijk minder was). Vermoedelijk zijn de formules uit de Jiǔ Zhāng Suàn Shù gevormd door
te redeneren uit meetkundige tekeningen. Liu Hui had immers voor elk meetkundige formule
een bijpassend meetkundige redenering. Belangrijk is om op te merken dat de redeneringen
pas na de voltooiing van het boek zijn toegevoegd. De optie dat de schrijvers van het boek op
een totaal ander manier tot de formules zijn gekomen staat nog altijd open.
3.3
Historische context
Omdat de Jiǔ Zhāng Suàn Shù, Āryabhat.ı̄ya, Brāhma-sphut.a-siddhānta en Gan.ita-sāra-sangraha door
verschillende mensen in verschillende culturen in verschillende tijdperken voor verschillende
lezers zijn geschreven, kunnen we de werken niet slechts op inhoud vergelijken en daar
conclusies uit trekken. Het is belangrijk om de boeken in hun context te plaatsen en ook op
bovengenoemde punten te vergelijken, zodat we de gevonden verschillen en overeenkomsten
in perspectief kunnen zien.
3.3.1
Plaats in de nationale geschiedenis
Jiǔ Zhāng Suàn Shù en de Handynastie
De Handynastie, de periode waarin de Jiǔ Zhāng Suàn Shù tot stand gekomen is, liep van 206
voor Christus tot 220 na Christus en was de opvolger van de Qindynastie. De heersers van de
Handynastie wilden aan de ene kant breken met de Qindynastie door terug te gaan naar het
feodale stelsel dat daarvoor in gebruik was, maar namen aan de andere kant ook wat dingen
over. Het breken met de Qindynastie gebeurde ook in de vorm van boekverbrandingen in het
begin van de tweede eeuw voor Christus.
Deze periode had een gunstig wiskundig/wetenschappelijk klimaat, door verschillende
oorzaken:
• In de Handynastie werden grote delen van China een eenheid. Door het hele rijk werden
wegen aangelegd zodat verschillende gebieden voor het eerst makkelijk met elkaar in
contact kwamen. De eenheid bracht veel bureaucratie met zich mee omdat op allerlei
gebieden gestandaardiseerd werd. Het betrof alle aspecten van het dagelijks leven, van
munteenheid tot de afmetingen van karren. Hier moest veel aan gerekend worden.
• De eenwording van China zorgde voor een grote toename van productiviteit waardoor
meer ruimte kwam voor cultuur en wetenschap. Ook de wiskunde heeft hiervan
geprofiteerd.
3.3. HISTORISCHE CONTEXT
37
• Er kwamen een provincie-indeling en economische hervormingen zoals belastingen.
Beide maatregelen vroegen om veel rekenwerk door ambtenaren.
• Bovendien werd het onderwijs verbeterd waarbij intelligentie belangrijker werd dan
komaf en er een klasse van geletterden kon ontstaan. Er werden scholen opgericht
waar men kon leren voor het ambtenaarsexamen. Dit bestond uit zes vaardigheden
(riten, muziek, boogschieten, paardrijden, schrijven en wiskunde) en het slagen hiervoor
was noodzakelijk om voor een ambtenaarsfunctie in aanmerking te komen.
• In verschillende takken van de wetenschap ontstond een systematisch bibliografie. Er
kwamen dus standaardwerken over bijvoorbeeld botanie en aardwetenschappen. De Jiǔ
Zhāng Suàn Shù is goed te beschouwen als zo’n samenvatting van de wiskunde.
Het politieke klimaat werd bepaald door twee dominante filosofische stromingen: Het
confucianisme en het taoı̈sme. Het confucianisme had een tweeslachtige houding tegenover
wetenschap. Aan de ene kant werd rationalisme aangemoedigd; aan de andere kant was het
vooral mensgericht en toonde het geen interesse voor natuurlijke processen. Het taoı̈sme is
vooral mystiek en in die zin niet tegen wetenschap. Taoı̈sten zijn empiristen, wat belangrijk
is voor natuurwetenschap maar niet per se voor wiskunde. Dit was vooral een zakelijke
wetenschap, handig voor praktische rekenproblemen zoals de ambtenaren ze dagelijks
moesten oplossen. Hierdoor werd wiskunde door de regering aangemoedigd [Nee59a].
Het Indiase subcontinent
Het huidige India is al bewoond vanaf het eerste millennium voor Christus door Arische
stammen. Vanaf de zesde eeuw voor Christus ontstond hier een traditie van het mondeling
overdragen van kennis in versvorm, de Sanskrietverzen. De astronomische kennis was alleen
toegankelijk voor een bepaalde bevolkingsgroep, de Brahmanen (zie pagina 40) en wordt al
vanaf deze tijd gebruikt om de heersende klasse aan de macht te houden. Sterrenkunde geeft
immers informatie over ’magische’ verschijnselen als zonsverduisteringen en is noodzakelijk
voor het opstellen van kalenders. Toen Alexander de Grote in 327 voor Christus naar India
kwam, nam hij ook geleerden mee om India tot een beschaafd land te maken. De Indiërs
vonden zichzelf al beschaafd maar namen wel wat astronomische kennis over, die weer uit
Babylon afkomstig was.
India zelf bestond tegen die tijd uit kleine rijkjes, bijvoorbeeld het Kushanrijk, die onderling
streden om de macht. Onder de Gupta’s werd noord-India verenigd. Dit heeft geduurd
van 320 tot 544 na Christus en zorgde voor een grote bloei van cultuur en wetenschap.
Het Hindoeı̈sme leefde op ten koste van het Boeddhisme, zodat dit tijdperk ook wel de
Hindoeı̈stische Gouden Eeuw genoemd wordt. De kunst, geneeskunde maar ook wiskunde
ontwikkelden zich snel en universiteiten en scholen werden opgericht (deze verschillen sterk
van onze tijd). In deze tijd leefde Āryabhat.a. Uiteindelijk valt het uiteen door invallen van
buitenaf. Maar een culturele eenheid was inmiddels al gevormd, zodat er over één Indiase
wiskunde gesproken kan worden. Brahmagupta leefde in de zesde eeuw in de Gurjaradynastie.
Op dat moment vonden invallen plaats door Moslims [Kat93].
In Zuid-India streden ondertussen verschillende Dravidische dynastieën om de macht. De
Pallawadynastie was in de zevende en achtste eeuw na Christus op het hoogtepunt van haar
macht. Aan het einde van de achtste eeuw werd Mahāvı̄ra geboren in het gebied van de
Pallawa’s, tijdens de regeringsperiode van Amoghavarsa Nr.patunga (814-817) [Jag86].
In al deze tijdperken echter werd de sterrenkunde aangemoedigd omdat zij voor iedere
heerser belangrijk was.
Zo kwam het dat de wiskunde zich vooral ontwikkelde als
hulpwetenschap voor de sterrenkunde, waardoor veel belangrijke wiskundewerken zoals ook
de Āryabhat.ı̄ya en de Brāhma-sphut.a-siddhānta eigenlijk astronomische werken zijn. Toch was er
in het algemeen veel waardering voor de wiskunde op zich, zoals blijkt uit citaten van Mahāvı̄ra
[Jag86].
38
HOOFDSTUK 3. MEETKUNDE IN DE JIǓ ZHĀNG SUÀN SHÙ EN INDIA
Conclusies
De Jiǔ Zhāng Suàn Shù is geschreven in een periode van grote bloei van de cultuur als geheel
die werd veroorzaakt door een eenwording van het rijk. Hetzelfde is aan de hand bij de
Āryabhat.ı̄ya, dat geschreven is in de Guptadynastie. Mahāvı̄ra’s Gan.ita-sāra-sangraha is geschreven
net na een machtshoogtepunt maar nog steeds in een groot gebied dat nog niet lang een
eenheid is. Kennelijk brengen zulke perioden vaker grote werken voort. Dit is ook niet
verwonderlijk, aangezien eenwordingen de uitwisseling van kennis uit verschillende gebieden
bevordert en omdat er in een sterk land in vredestoestand meer ruimte is voor culturele
uitingen zoals wetenschap. Brahmagupta’s werk is hierop een prominente uitzondering: Ook
al leefde hij in een klein rijk dat geteisterd werd door invallen, hij produceerde toch een
wiskundig werk van formaat. Maar hij bevond zich dan ook in hoge kringen en kon hierdoor
min of meer ongehinderd aan sterrenkunde en wiskunde werken.
3.3.2
Auteurs
Om te begrijpen wie de mensen waren achter de werken die wij gelezen hebben, hebben
wij onderzoek gedaan naar de auteurs. Dit kan meer inzicht geven in hun benadering van
wiskundige problemen.
Auteurs en commentatoren van de Jiǔ Zhāng Suàn Shù
Voor de Jiǔ Zhāng Suàn Shù is niet goed een schrijver aan te wijzen. Er zijn sterke aanwijzingen
dat de vragen en antwoorden uit verschillende tijdperken stammen [IRD+ 07]. Er moeten
dus meerdere mensen, waarschijnlijk ambtenaren, aan gewerkt hebben. Waarschijnlijk is
hun gezamenlijke wiskundige kennis voor het eerst samengevoegd in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù
door twee Chinese ambtenaren: Zhang Cang en Geng Shouchang. Zij hebben hun werk gedaan
tussen 206 voor Christus en 8 na Christus, dus in de vroege Hanperiode. Behalve deze grove
datering en hun namen, is er over hen niets bekend.
Hetzelfde geldt voor de belangrijkste commentator van de Jiǔ Zhāng Suàn Shù: Liu Hui.
Vermoedelijk leefde hij tussen 220 en 280 na Christus[KCL99]. Het is bekend dat hij zijn
commentaar in 263 na Christus geschreven heeft en uit zijn opmerkingen blijkt dat hij niet
alleen een begaafd wiskundige maar ook een bescheiden man was. Meer dan dit is over hem
echter ook niet bekend. Het is wel waarschijnlijk dat hij een ambtenaar was.
Āryabhat.a (476-550)
Āryabhat.a leefde van 476 tot 550 na Christus. Hij wordt ook wel Āryabhat.a I genoemd om hem
niet te verwarren met een naamgenoot uit de tiende eeuw na Christus.
=Aryabhat.a is waarschijnlijk een Hindoe van het Brahmanvarna (zie pagina 40). Er wordt
aangenomen dat hij geboren werd in of nabij Pataliputra (het huidige Patna), de hoofdstad
van het Hindoeı̈stische Guptarijk, of in de nabijgelegen stad Kusumapura. Zowel Pataliputra
als Kusumapura bood een gunstig klimaat dat het succes van Āryabhat.a’s werk verklaart:
Kusumapura omdat ze toentertijd, met Ujjain, het belangrijkste wetenschapscentrum van
India was; Pataliputra omdat ze de hoofdstad en dus het communicatiecentrum was.
Wat wel zeker is, is dat Āryabhat.a een sterrenkundeleraar was [Jag86]. Dat wordt verteld
door zijn belangrijkste commentator, Bhāskara I, die ook leerlingen van hem noemt. In 499 na
Christus, dus toen hij 23 was, schreef hij de Āryabhat.ı̄ya (al noemde hij het zelf niet zo). Dit is
een astronomisch werk dat bestaat uit 121 Sanskrietverzen in vier hoofdstukken.
Brahmagupta (598-665)
Brahmagupta leefde van 598 tot 665 na Christus. Hij was een Brahman (zie pagina 40
e.v.). Zijn vader, Jisnugupta, was ook een astronoom/wiskundige en heeft hem waarschijnlijk
het vak geleerd. Later werd Brahmagupta zelf hoofd van het astronomisch observatorium in
39
3.3. HISTORISCHE CONTEXT
Ujjain, het belangrijkste wiskundecentrum van India in die tijd. Zijn belangrijkste werk, de
Brāhma-sphut.a-siddhānta, schreef hij toen hij dertig jaar oud was. Brahmagupta deed dit in de stad
Bhillamala (het huidige Bhinmal), wat de hoofdstad van de Gurjaradynastie was. Hij stond
onder patronage van koning Vyaghramukha van de Chapa-dynastie.
Mahāvı̄ra (ca. 800-870)
Mahāvı̄ra, ook wel Mahāvı̄racharya (’Mahāvı̄ra de leraar’) genoemd, leefde waarschijnlijk van
800 tot 870 na Christus en werd geboren in Mysore in Zuid-India. Daar was hij later als
leraar verbonden aan een wiskundeschool. Hij was geen Hindoe maar een Jain, wat wellicht
verklaart waarom zijn (enige) werk, de Gan.ita-sāra-sangraha, het eerste wiskundeboek is waarin
wiskunde niet wordt ingebed in sterrenkunde (zie pagina 40 e.v.).
In figuur 3.9 staan de geboorteplaatsen van de
Indiase wiskundigen aangegeven.
Conclusies
Al is van de Indiase auteurs ook geen precieze
biografie op te stellen, er is zonder twijfel meer
informatie over hen voorhanden dan over de
Chinese wiskundigen. In China werd wiskunde
beoefend door elke ambtenaar om praktische
problemen mee op te lossen.
Men was zich
bewust van het belang van wiskunde maar het
beoefenen ervan op een creatieve manier werd niet
aangemoedigd. In India was dit anders en dit
resulteert dan ook in auteurs die trots zijn op
hun werk en op zichzelf, zodat er informatie over
hen bewaard is gebleven tot vandaag. Brahmagupta
valt zijn voorgangers bijvoorbeeld soms scherp
Figuur 3.9:
Kaart van India met aan, om aan te geven hoeveel beter hij is. Dit
vermoedelijke
geboorteplaatsen
van zou in China niet voorkomen want hier was
Āryabhat.a (Pataliputra), Brahmagupta (Ujjain) men vol eerbied voor de klassieken, die wel
en Mahāvı̄ra (Mysore)
becommentarieerd of aangevuld mochten worden
maar zeker niet aangevallen.
3.3.3
Beoogd publiek
Om te begrijpen waarom alle behandelde werken zo beroemd en succesvol werden dat we ze
tot op de dag van vandaag kennen en lezen, is het nodig om te onderzoeken wat voor publiek
de werken hadden en hoe dit per land verschilt.
Publiek van de Jiǔ Zhāng Suàn Shù
In de Han-dynastie (206 v. Chr - 220 n. Chr.) dus tijdens het verschijnen van de Jiǔ Zhāng
Suàn Shù, was er al een groot ambtenarenapparaat nodig om het enorme rijk draaiende
te houden. Wie ambtenaar wilde worden moest hiervoor een examen afleggen. Iemand
prestaties bij dit examen waren belangrijker dan iemands komaf. Het examen bestond uit
de volgende onderdelen: Kennis van riten, muziek, boogschieten, paardrijden, schrijven en
wiskunde. Het leren van wiskunde werd dus door de regering aangemoedigd en gestimuleerd
door bijvoorbeeld het oprichten van het Keizerlijke College van Wiskunde. Hierbij ging het
erom de kandidaten methoden aan te leren om rekensommen op te lossen die bijvoorbeeld
over belastingen gingen. Creativiteit werd dus niet echt aangemoedigd, hoewel Liu Hui hier
zeker blijk van geeft [Kat93].
40
HOOFDSTUK 3. MEETKUNDE IN DE JIǓ ZHĀNG SUÀN SHÙ EN INDIA
Waarschijnlijk is de Jiǔ Zhāng Suàn Shù als lesmateriaal op zulke colleges gebruikt. Het
is hier ook uitermate geschikt voor door zijn opbouw: vragen, oplossingen en regels volgen
elkaar rap en zakelijk op, waarbij het niveau van de vragen toeneemt naarmate je verder komt
in het hoofdstuk. Ook voor degenen die al een ambtenaarspost hebben, is het boek nuttig als
naslagwerk omdat het een volledig overzicht is van alle wiskunde die in die tijd bekend was.
Publiek van Indiase werken
Over het onderwijssysteem in India ten tijde van Āryabhat.a, Brahmagupta en Mahāvı̄ra is weinig
bekend. Er waren wel scholen voor bijvoorbeeld sterrenkunde, Āryabhat.a gaf hier immers les
als betaalde docent. Ook Mahāvı̄ra werkte op een wiskundeschool. De Āryabhat.a School werd
gerund door vrijwilligers en er waren kloosteropleidingen waar men het als religieuze plicht
zag om anderen te onderwijzen. Tenslotte kwam het ook vaak voor dat men les kreeg van een
familielid. Dit had alles te maken met de indeling van de maatschappij [IRD+ 07].
India kende namelijk, en kent nog steeds, een strikte indeling op basis van varna’s en
kasten. Varna betekent letterlijk kleur en er waren vier zulke varna’s: De Brahmanen (de
priesters en geleerden), Kshatriya’s (de strijders en mensen met wereldlijke macht), Vaishya’s
(boeren en handelaren) en de Shudra’s (burgers en arbeiders). Helemaal onderaan stonden
nog de zogenaamde onaanraakbaren, die het ondankbare werk moesten doen en sowieso geen
recht hadden op onderwijs.
Het hiërarchische kastensysteem, ookwel jati, heeft een andere oorsprong dan het
varnasysteem. Een familie had dezelfde kaste; omdat iemands kaste ook iemands beroep
bepaalt, werden beroepen van vader op zoon doorgegeven. Dit verklaart waarom familieleden
vaak optraden als onderwijzers. Iedere kaste behoort tot een varna, maar dit kan veranderen
wanneer een familie bijvoorbeeld verhuist naar een andere stad.
Brahmagupta was een orthodoxe hindoe die tot de Brahmanenkaste behoorde. Zoals gezegd
was sterrenkunde belangrijk om de heersende klasse aan de macht te houden, waardoor de
Brahmanen ook vaak de astronomen waren. Vooral leden van de Jyotsikaste waren vaak
astronomen of astrologen. Āryabhat.a is waarschijnlijk ook een hindoe, wat blijkt uit het feit
dat zijn Āryabhat.ı̄ya een overzicht geeft van de hindoe wiskunde die in zijn tijd bekend was.
Vermoedelijk was Āryabhat.a ook een Brahmaan.
Dit strakke hindoeı̈stische systeem werd verworpen door Boeddhisten en Jains zoals
Mahāvı̄ra. Wanneer zij wetenschap beoefenden, gebeurde dit voornamelijk vanuit religieus
oogpunt. Omdat Mahāvı̄ra geen Brahmaan kon zijn, geeft dit een verklaring voor het feit dat
zijn Gan.ita-sāra-sangraha niet de wiskunde behandelt als hulp bij sterrenkunde maar als aparte
wetenschap.
Brahmanen beheersten dus de sterrenkunde maar dit betekent niet dat zij de enigen waren
die toegang hadden tot deze wiskundige kennis. Dit blijkt ook uit de aanhef bij een vraag uit
de Brāhma-sphut.a-siddhānta, die luidt: ”Beste van de koopmannen,..”. Hieruit wordt duidelijk
dat ook Vaishya’s en dus wellicht anderen wiskunde leerden, omdat dit praktisch nut had
of gewoon omdat het mooi gevonden werd. Wiskunde stond in heel India namelijk in hoog
aanzien, zoals ook blijkt uit een citaat van Mahāvı̄ra. Kennis van wiskunde was dus verspreid
over de bevolking, waardoor veel mensen kennis namen van belangrijke werken zoals de
Āryabhat.ı̄ya en Brāhma-sphut.a-siddhānta.
Conclusies
In China was wiskundige kennis waarschijnlijk vooral aanwezig bij de grote groep
ambtenaren. Over de wiskundige kennis van de rest van de bevolking is weinig bekend.
Zeker is dat de Jiǔ Zhāng Suàn Shù een groot en divers lezerspubliek trok omdat iedereen in
principe ambtenaar kon worden. Ook de Indiase werken werden veel gelezen door mensen uit
verschillende lagen van de systematisch opgedeelde bevolking, zij het vanuit een iets ander
oogpunt. Als de werken niet zo’n groot publiek hadden bereikt, hadden wij er waarschijnlijk
ook veel minder over geweten.
3.3. HISTORISCHE CONTEXT
3.3.4
41
Zijn de verschillen en overeenkomsten te verklaren door contact
tussen India en China?
In het bovenstaande hebben we enkele overeenkomsten en verschillen in de meetkunde van
India en China aangestipt. Het is interessant om te onderzoeken in hoeverre contact tussen
de landen hiervoor een verklaring kan geven.
Welke contacten bestonden er tussen het antieke China en India?
Tussen ongeveer 130 voor Christus en 90 na Christus ontstonden diplomatieke banden
tussen China en het Kushanrijk, dat later een deel van Noord-India zou veroveren. Vanaf het
begin van de jaartelling vonden er ook op kleine schaal handelsexpedities plaats. Pas vanaf
de vierde eeuw na Christus zijn er aanwijzingen voor bezoeken aan elkaars land. Dit had
alles te maken met het Boeddhisme, dat zich vanuit India verspreidde over Azië. Er gingen
namelijk zowel Indiase monniken richting China om het geloof te verkondigen, als Chinese
monniken naar India om als pelgrims op zoek te gaan naar boeddhistische geschriften.
Sommige Chinese monniken schreven hier ook over, zoals Fa Xian, Xuan Zhuang, Hui Seng
en Sung Yung.
Fa Xian was in India tussen 399 en 414 na Christus. Net als Xuan Zhuang, die in 627 na
Christus in India was, bezocht hij onder andere de steden Pataliputra en Ujjain. Aangezien dit
in die tijd belangrijke wetenschapscentra waren waar ook veel aan wiskunde gedaan werd, is
het mogelijk dat hier uitwisseling van wiskundige kennis heeft plaatsgevonden. Fa Xians boek,
Fo Kuo Chi (”Verslagen van Boeddhistische landen”), behandelt echter alleen Boeddhistische
kennis. Xuan Zhuang verbleef in kloosters waar veel aan geneeskunde, sterrenkunde en dus
wiskunde gedaan werd. Ook hij schreef een verslag van zijn reis. Hier komt ook een passage
in voor waarin hij aan zijn gastheren vertelt waarom de Chinese (taoı̈stische) wetenschap
superieur is aan de Indiase. Vergelijkbare passages komen voor in de geschriften van Hui
Seng en Sung Yung, die van 518 tot 522 na Christus op reis waren. Deze trotse houding
betekent echter niet dat er geen kennis is overgenomen, zoals blijkt uit het verschijnen van
boeken over Brahmaanse sterrenkunde en wiskunde in China tussen Fa Xians reizen en het
begin van de achtste eeuw. Ondanks het feit dat deze Indiase werken snel kwijtraakten, is
dit een significant gegeven.
Officieel duurde het contact voort tot 1015 in de vorm van ambassades, maar na de
zevende eeuw na Christus nam het contact al duidelijk af. Beide landen kregen toen
steeds meer te maken met Arabische landen. Via deze weg zijn verschillende Indiase werken
uiteindelijk in West-Europa terecht gekomen [Nee59a].
Wat zijn de aanwijzingen voor uitwisseling van wiskundige kennis?
Er is vaak opgemerkt dat de wiskundige ontwikkeling van China en India duidelijke
overeenkomsten vertoont. Ook verschillen beide tradities van die in het Westen. Hiervoor
zijn concrete voorbeelden te vinden in de hier behandelde werken: enkele formules voor
het berekenen van inhouden of oppervlaktes uit de Jiǔ Zhāng Suàn Shù komen ook voor in
de Āryabhat.ı̄ya of de Brāhma-sphut.a-siddhānta; Sommige opgaven, bijvoorbeeld over de stelling
van Pythagoras - die in beide landen uiteraard anders genoemd werd - zijn ook letterlijk
hetzelfde. Āryabhat.a’s Gan.ita bevat problemen over landmeten die hetzelfde zijn als problemen
uit Liu Hui’s zogenaamde Tiende Hoofdstuk dat hij aan de Jiǔ Zhāng Suàn Shù heeft toegevoegd
[Kay15]. Ook tussen andere Chinese en Indiase werken zijn parallellen te trekken.
Er zijn dus zeker aanwijzingen voor uitwisseling van kennis. Maar het is moeilijk om
hier direct bewijs voor te vinden. Dit komt deels doordat het lastig is om Indiase teksten te
dateren, aangezien er geen goede chronologie is. Chinese wetenschappers gaven duidelijk
aan welke bronnen ze gebruikten of welke werken ze vertaalden, maar zo’n traditie ontbrak
in het antieke India [Kay15].
42
HOOFDSTUK 3. MEETKUNDE IN DE JIǓ ZHĀNG SUÀN SHÙ EN INDIA
Conclusies
Uit bovenstaande aanwijzingen is het een en ander af te leiden. We weten vrij zeker dat
China India beı̈nvloed heeft wat traditionele wiskunde betreft, terwijl er van het omgekeerde
waarschijnlijk geen sprake is [Kay15]. Immers, de traditionele Chinese wiskunde zoals die
samengevat is in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù was al geschreven voordat er grootschalig contact was
tussen de landen. Ook is de Jiǔ Zhāng Suàn Shù veel completer dan de Indiase werken, wat
invloed van India hierop onwaarschijnlijk maakt [Kay15].
Omdat er tussen het verschijnen van vergelijkbare wiskundefragmenten in beide landen
gemiddeld twee eeuwen voorbijgaan, is het in principe ook mogelijk dat India en China zich
onafhankelijk wiskundig hebben ontwikkeld. Maar het grote aantal concrete voorbeelden
zoals in de vorige alinea spreekt dit tegen [Nee59a].
Een interessante hypothese die enkele overeenkomsten zou kunnen verklaren, is dat
bepaalde astronomische theorieën die zowel in China, India als Griekenland bekend waren
oorspronkelijk allemaal uit Mesopotamië komen. Deze basiskennis zou vervolgens in alle
landen op een andere manier gebruikt en ontwikkeld zijn.
Dat China India beı̈nvloed heeft, wil overigens niet zeggen dat Indiase wiskundigen zelf
niets bedacht hebben. Integendeel, Indiase antieke meetkunde bevat erg veel aspecten
die in China niet bekend waren, waaronder de diverse berekeningen in verband met de
koordenvierhoek. Ook worden er ingewikkelde en/of algebraı̈sch af te leiden formules
geponeerd die men in China totaal niet had. Daarnaast was Brahmagupta bijvoorbeeld
uitzonderlijk goed in het behandelen van vergelijkingen met oneindig veel gehele oplossingen
[Kay15]. Deze kende men in China wel maar ze werden niet goed beheerst.
Hoofdstuk 4
Algebra in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù
en India
Leslie Molag
In dit hoofdstuk worden de algebra uit de Jiǔ Zhāng Suàn Shù en die van de Indiase
wiskunde met elkaar vergeleken. Met de Indiase wiskunde zal de wiskunde vóór omstreeks
het jaar 700 bedoeld worden. Uit de Indiase wiskunde zullen vooral de Brāhma-sphut.a-siddhānta
en de Āryabhat.ı̄ya worden gebruikt. Nadruk zal gelegd worden op de overeenkomsten en
verschillen tussen de algebra uit de Jiǔ Zhāng Suàn Shù en die van India.
4.1
Chinese Algebra
In de Jiǔ Zhāng Suàn Shù hebben vijf hoofdstukken betrekking op algebra. In die hoofdstukken
worden telkens regels gegeven, daarna gerelateerde problemen alsmede hun antwoorden.
Het werk wordt becommentarieerd door Liu Hui, een derde eeuwse Chinese wiskundige. Zijn
commentaren betreffen over het algemeen uitwerkingen behorende bij de antwoorden, maar
ook verduidelijkingen van bepaalde regels.
Hoofdstuk 2: Millet and rice.
In dit hoofdstuk staat de Jinyou-regel (ook wel de regel van drie genoemd) centraal. Het gaat
over de ruil tussen verschillende graanproducten. Bij het omrekenen van een hoeveelheid
graan naar een hoeveelheid graan van hogere kwaliteit is de verhouding tussen de prijzen
van de graansoorten van belang. In het hoofdstuk wordt een graantabel gegeven die bij
elke graansoort een soort index noemt. Stel dat graansoort A index a heeft en graansoort
B een index van b, en verder dat van graansoort A een hoeveelheid c is. Om nu erachter te
komen hoeveel (x) je daarvoor van graansoort B kunt krijgen, moet je er voor zorgen dat de
verhoudingen gelijk blijven. Dus a/c = b/x. Hieruit volgt x = bc/a. Dit is in essentie hetzelfde
als wat de Jinyou-regel zegt, zij het met woorden in plaats van symbolen.
Hoofdstuk 2 heeft het grootste aantal problemen, in totaal 46, die allen min of meer met
behulp van de Jinyou-regel worden opgelost. Naast de Jinyou-regel worden er meerdere regels
gegeven in dit hoofdstuk maar deze zijn allen terug te leiden op de Jinyou-regel.
Uit didactisch oogpunt is dit hoofdstuk goed geschreven. De moeilijkheid van de opgaven
loopt langzaam omhoog. Dat hoort ook, want de Jiǔ Zhāng Suàn Shù werd gebruikt voor
examens voor ambtenaren.
43
44
HOOFDSTUK 4. ALGEBRA IN DE JIǓ ZHĀNG SUÀN SHÙ EN INDIA
Hoofdstuk 3: Distribution by proportion.
Dit hoofdstuk kan worden gezien als een direct vervolg op hoofdstuk 2. De in totaal twintig
problemen gaan over proportionele verdelingen, een onderwerp dat veel te maken heeft met
de Jinyou-regel. Nieuw ten opzichte van het vorige hoofdstuk is het idee van een voortgezette
verdeling, dat is: een verdeling waarbij de verhouding tussen meerdere hoeveelheden is
gegeven. Bijvoorbeeld: zij een getal A gegeven. En er zijn getallen a1 , a2 , ..., an waartussen
verhoudingen bekend zijn, a1 : a2 : ... : an . A moet nu zodanig worden opgedeeld in n
delen dat de verhoudingen tussen die delen hetzelfde zijn als de verhoudingen van de ai . De
proportionele verdelingsregel zegt nu dat deze delen gelijk moeten zijn aan Aai /(a1 +a2 +...+an ).
Hoofdstuk 6: Fair Levies.
Dit 28 opgaven tellende hoofdstuk is veelal een vervolg op hoofdstuk 6, het gaat vooral over
verdelingsregels. Er worden uiteenlopende problemen behandeld waardoor men door dit
hoofdstuk waarschijnlijk een dieper begrip krijgt van verdelingsregels. De problemen zijn
gevarieerd en gaan over afstanden afleggen, belasting, eerlijk verdelen en dergelijke.
Hoofdstuk 7: Excess and deficit
Hier wordt de vergelijking ax + b = c beschouwd. In de oudheid was niemand in staat deze
vergelijking op te lossen. Verklaring daarvoor is waarschijnlijk het feit dat toen nog geen
symbolen werden gebruikt. In de Jiǔ Zhāng Suàn Shù staat een algoritme om dit op te lossen.
Eerst worden twee oplossingen x1 en x2 uitgeprobeerd, met resten c1 en c2 respectievelijk.
ax1 + b = c + c1 en ax2 + b = c + c2 .
De zogenaamde regula falsi zegt nu dat de oplossing wordt gegeven door:
x = (a2 c1 − a1 c2 )/(c1 + c2 )
Dit klopt inderdaad, zoals gemakkelijk kan worden nagerekend.
Hoofdstuk 8: Rectangular arrays.
Uit algebraı̈sch oogpunt gezien is dit een belangrijk hoofdstuk. Er worden achttien problemen
over lineaire vergelijkingen opgelost. De methode, de zogenaamde ’rooster regel’, die men
gebruikt is verbazingwekkend modern; op verwaarloosbare verschillen na identiek aan het
matrixvegen van tegenwoordig. Op één probleem na hebben alle problemen precies één
oplossing.
4.2
Indiase algebra
Een en ander is al verteld in het vorige hoofdstuk dat Chinese en Indiase meetkunde
beschreef. Daarom zal slechts de algebra van de boeken worden besproken en verder geen
extra informatie over de boeken worden gegeven.
Āryabhat.ı̄ya
Dit boek is het eerste bekende werk waarin diophantische vergelijkingen voorkomen die wij
tegenwoordig noteren als ax − by = c waarin a, b, c gehele getallen zijn. Deze vergelijkingen
kwamen voort uit berekeningen van de omwentelingstijd van de planeten. Āryabhat.a lost dit
soort stelsels op met de zogenaamde kuttaka(ook wel pulverizer genoemd)-methode. Deze
methode houdt in met behulp van het Euclidisch algoritme de grootste gemene deler van a
en b te vinden. Verder werden rekenkundige rijen behandeld als ook sommen van de eerste n
kwadraten en derdemachten.
4.3. VERSCHILLEN EN OVEREENKOMSTEN
45
Brāhma-sphut.a-siddhānta
Zeker vier hoofdstukken van de Brāhma-sphut.a-siddhānta gaan geheel over wiskunde. Hoofdstuk
12, Gan.ita, gaat over rekenkundige rijen en meetkunde. Het achttiende hoofdstuk, de Cuttaca,
behandelt de methode van Āryabhat.a om diophantische vergelijkingen van de vorm hierboven
op te lossen. Brahmagupta kon ook tweedegraads onbepaalde (diophantische) vergelijkingen
zoals N x2 + 1 = y 2 oplossen.
4.3
4.3.1
Verschillen en overeenkomsten
Negatieve getallen
Brahmagupta heeft negatieve getallen gedefinieerd en geeft ook regels voor het
vermenigvuldigen met zulke getallen in hoofdstuk 18 van de Brāhma-sphut.a-siddhānta. Hij
gebruikte ze ook voor het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen. In de Jiǔ Zhāng Suàn Shù
is dit ook te vinden, daarin worden negatieve getallen met rood aangegeven (en positieve
getallen met zwart). In beide boeken wordt het principe van het getal nul begrepen. In de Jiǔ
Zhāng Suàn Shù vindt men namelijk: ”Like signs substract. Opposite signs add. Positive without extra,
make negative; negative without extra, make positive. Opposite signs substract; Same signs add; positive without
extra, make positive; negative without extra, make negative.” ([KCL99], p. 104)
Wat hier in feite staat is het volgende: het gaat over het aftrekken van getallen. Wanneer twee
getallen met hetzelfde teken van elkaar moeten worden afgetrokken, tel dan de getallen met
ongelijk teken bij elkaar op. Trek een positief getal van nul af om een negatief getal te maken,
trek een negatief getal af van nul om een positief getal te maken. Hier is nul de logische
vertaling voor ’nothing’. Hierna wordt een soortgelijke formule gegeven voor het geval twee
getallen van tegengesteld teken van elkaar af worden getrokken.
In de Jiǔ Zhāng Suàn Shù wordt nog geen symbool voor nul gebruikt.
4.3.2
Algebraı̈sche methoden
Over het algemeen werden in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù de volgende algebraı̈she methoden
gebruikt.
1. De regel van drie
2. Regula Falsi
3. Eliminatie (rooster-regel)
4. Inversie
Deze zullen met de Indiase methoden worden vergelijken; met behulp van voorbeelden
zullen verschillen en overeenkomsten tussen de algebra in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù en de
Indiase wiskunde worden duidelijk gemaakt.
Regel van drie
De regel van drie komt voor in zowel de Jiǔ Zhāng Suàn Shù als de Indiase geschriften.
In de Brāhma-sphut.a-siddhānta wordt de regel als volgt verwoord:
”In the rule of three, argument, fruit and requisition: the first and last terms must be similar. Requisition,
multiplied by the fruit, and divided by the argument, is the produce.” ([Cla30], p. 283)
46
HOOFDSTUK 4. ALGEBRA IN DE JIǓ ZHĀNG SUÀN SHÙ EN INDIA
In de Jiǔ Zhāng Suàn Shù wordt de Jinyou-regel gegeven door:
”Take the given number [suoyoushu] to multiply the sought rate [suoqiulu]. [The product] is the dividend. The
given rate [suoyoulu] is the divisor. Divide.” ([KCL99], p. 141)
Bij beide regels worden de termen benoemd. Argument, fruit, requisition en produce
worden in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù given rate, given number, sought rate en sought number
genoemd respectievelijk. Er zijn twee verhoudingen gelijk, namelijk de verhouding tussen
de given rate en de given number en de verhouding tussen de sought rate en de sought
number. De sought number is hetgeen nog onbekend is. Beide regels zeggen dat de sought
number kan worden verkregen door de given number met de sought rate te vermenigvuldigen
en vervolgens te delen door de given rate. Beide regels zijn vrijwel hetzelfde met als enige
verschil dat de regel in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù ogenschijnlijk meer stappen geeft. Er wordt
precies aangegeven wat er gedeeld moet worden, waardoor het gedeeld moet worden en zelfs
dat die deling ook moet worden uitgevoerd.
De regel wordt over het algemeen toegeschreven aan India. Dit is niet geheel terecht, er zijn
namelijk geen Indiase geschriften gevonden die de regel van drie bevatten én vóór de Jiǔ
Zhāng Suàn Shù geschreven zijn.
Regula Falsi
Deze regel is niet te vinden in de Indiase geschriften. Wel in latere geschriften, zoals het
Bakshālı̄-manuscript. Het is merkwaardig dat deze regel wel te vinden is in de Jiǔ Zhāng Suàn
Shù terwijl in hoofdstuk 8 hele lineaire stelsels kunnen worden opgelost. In dat hoofdstuk
wordt de regel dan ook niet meer gebruikt. Een reden dat de regel toch nog in de Jiǔ Zhāng
Suàn Shù staat is waarschijnlijk dat de samensteller(s) van de Jiǔ Zhāng Suàn Shù het een
mooie regel vond(en).
Eliminatie (rooster-regel)
Zoals gezegd is de techniek van de Jiǔ Zhāng Suàn Shù om lineaire stelsels op te lossen
equivalent met het matrixvegen (Gauss-eliminatie) van tegenwoordig. Het enige verschil is
de manier waarop ze een matrix opschreven. In plaats van de matrix zoals wij die zouden
schrijven transponeren ze die en verwisselen ze de kolommen. Daarna wordt de zogenaamde
’rooster-regel’ gebruikt, die in feite hetzelfde is als matrixvegen.
In de Indiase wiskunde kon men lineaire stelsels oplossen.
voorbeeld:
Āryabhat.a geeft het volgende
”The sum of all the combinations of the unknown quantitys, except one, wich is given separately, should
be added together and the sum should be written down separately and divided by the number of unknown
quantities minus one: the quotient thus obtained is certainly the total of all the unknown quantities. The total
diminished severally by the given sums gives the various unknown quantities” [Cla30]
Er zijn hier n onbekenden x1 , x2 , ..., xn gegeven en die voldoen allen aan (x1 + x2 + ... + xn ) − xi =
ai .
Dan zegt het verhaaltje dat de oplossing voor de xi wordt gegeven door
(a1 + a2 + ... + an )/(n − 1) − ai . Hetgeen inderdaad kan worden ingezien. Tel namelijk
alle vergelijkingen bij elkaar op, dan weet je dat x1 + x2 + ... + xn = (a1 + a2 + ... + an )/(n − 1)
waaruit direct de oplossing volgt.
Dit kan inderdaad ook met matrixvegen worden ingezien.
Echter, alle voorbeelden van lineaire stelsels in de Indiase geschriften zijn speciale
gevallen. De Chinezen konden met hun methode elk willekeurig lineair stelsel oplossen, dit
in tegenstelling tot de Indiërs. De Indiërs hadden geen systematische manier om lineaire
stelsels op te lossen.
4.3. VERSCHILLEN EN OVEREENKOMSTEN
47
Inversie
Inversie is een techniek die beide landen kenden. Bij inversie worden operaties geı̈nverteerd.
Een voorbeeld van inversie in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù wordt hieronder gegeven, dit voorbeeld
komt uit hoofdstuk 7.
”Now a buissinessman invests money in Shu [een koninkrijk]. The interest rate is 10 : 3 [30%
dus]. He withdraws 14 000 the First time; 13 000 the next time; 12 000 the next time; 11 000 the next time;
10 000 the last time. After 5 withdrawals, the capital and interest are both exhausted. Tell: the capital and the
interest, what is each.” ([KCL99], p. 383)
Antwoord: Capital 30468 + 84876/371293 coins, interest 29531 + 286417/371293.
Hetgeen gebeurd is:
((((x(1+3/10)−14000)(1+3/10)−13000)(1+3/10)−12000)(1+3/10)−11000)(1+3/10)−10000 = 0.
Inversie geeft:
x = ((((10000 : (1 + 3/10) + 11000) : (1 + 3/10) + 12000) : (1 + 3/10) + 13000) : (1 + 3/10) + 14000) :
(1 + 3/10).
In de Āryabhat.ı̄ya wordt inversie als volgt weergeven:
”Multipliers become divisors and divisors become multipliers, addition becomes substraction and substraction
becomes addition.”([Cla30], p. 41)
Een voorbeeld van inversie uit de Indiase wiskunde wordt gegeven door:
”A certain lay follower of Jainism (een religieuze traditie) went to Jina temple with four gate-ways,
and having taken (with him) fragrant flowers offered them in worship with devotion (at each gate). The flowers
in his hand where doubled, trebled, quadrupled and quintupled (respectively in order) as he arrived at the gates
(one after another). The number of flowers offered by him was 5 at each gate. How many flowers were originally
taken by him?” [Cla30]
Antwoord: 43/12
(((x ∗ 2 − 5) ∗ 3 − 5) ∗ 4 − 5) ∗ 5 − 5 = 0
Inverteren geeft:
x = (((5 : 5 + 5) : 4) + 5) : 3 + 5) : 2 = 43/12
Hetgeen natuurlijk een raar antwoord is.
Onderbepaalde vergelijkingen
In de Nine Chapters komt één algebraı̈sch probleem voor van een totaal nieuw concept;
namelijk een stelsel waar niet een eenduidig antwoord op bestaat. Er wordt bij dat probleem
een lineair stelsel gegeven dat uit minder lineair onafhankelijke vergelijkingen bestaat dan
variabelen.
48
HOOFDSTUK 4. ALGEBRA IN DE JIǓ ZHĀNG SUÀN SHÙ EN INDIA
”Now there is a communal well for 5 households. The deficit [in length to the water] of A’s 2 ropes is one
of B’s ropes. The deficit [in length to the water] of B’s 3 ropes is one of C’s ropes. The deficit [in length to the
water] of C’s 4 ropes is one of D’s ropes. The deficit [in length to the water] of D’s 5 ropes is one of E’s ropes. The
deficit [in length to the water] of E’s 6 ropes is one of A’s ropes.” ([KCL99], p. 413)
De matrix waar we mee beginnen is (ter herinnering: de matrix wordt getransponeerd
en kolommen worden omgewisseld):


1 0 0 0 2
 0 0 0 3 1 


 0 0 4 1 0 


 0 5 1 0 0 


 6 1 0 0 0 
1 1 1 1 1
De rij enen staan voor de lengte tot het water. Het inproduct van een kolom vector van de
matrix met de oplossing van het probleem is dus gelijk aan nul.

 
 

0
0 0 0 2
0 0 0 0 2
0 0 0 0 2
 −1 0 0 3 1   0 0 0 3 1   0
0 0 3 1 

 
 

 0 0 4 1 0   1 0 4 1 0   0
0 4 1 0 

∼
∼

 0 5 1 0 0   0 5 1 0 0   −1 5 1 0 0 

 
 

 12 1 0 0 0   36 1 0 0 0   144 1 0 0 0 
15 1 1 1 1
4 1 1 1 1
1 1 1 1 1
Liu Hui krijgt de volgende matrix:








0
0
0
0
721
76
0
0
0
5
1
1
0
0
4
1
0
1
0
3
1
0
0
1
2
1
0
0
0
1








Merk op dat nu steeds moet worden geveegd met kolommen in plaats van rijen. Dit nu, geeft
de lengte van E uitgedrukt in de lengte tot het water. De overige lengten worden dus ook
uitgedrukt in de lengte tot het water. Maar die is nog niet bekend. Liu Hui lost dit probleem
nu op door te kiezen voor een lengte van 7 chi 6 cun. In feite is dit slechts één van de oneindig
vele oplossingen. Dit is overigens het oudste probleem dat bekend is waarbij een stelsel
wordt gebruikt dat geen eenduidige oplossing heeft.
Wat Liu Hui hier doet is echter minder raar dan men zou verwachten. Brahmagupta doet
iets soortgelijk. Brahmagupta geeft in zijn Brāhma-sphut.a-siddhānta de volgende opgave, die
voortkwam uit een sterrenkundig probleem: 197x − 1644y − z = 6302. Hierbij moeten x, y
en z allen geheel zijn. De oplossing hiervan is niet eenduidig. Echter, Brahmagupta doet iets
soortgelijks als in de Nine Chapters. Hij neemt aan dat z = 131. Dit leidt tot de vergelijking:
x = (1644y + 6433)/197. Dit is weer een vergelijking waarvan de oplossing niet eenduidig
is. Met de zogenaamde pulverizer-methode (euclidisch algoritme) vindt hij dan y = 1 en x = 41.
Ze geven dus beiden niet alle oplossingen, maar beperken zich tot één oplossing door
vaste waarden voor enkele variabelen te kiezen. In Indiase wiskunde bestaan veel meer van
dit soort opgaven.
4.4. CONCLUSIE
4.4
49
Conclusie
Ik acht het onwaarschijnlijk dat informatie over algebra via China naar India is overgebracht.
Dit omdat hun begrip van het oplossen van lineaire stelsels duidelijk minder diep was dan
dat van de Chinezen. Ze hebben geen regula falsi en ook geen rooster-regel. Iets dat zo
uitzonderlijk handig is als de rooster-regel zou toch niet worden vergeten, lijkt me.
Het is wel mogelijk dat de inversie regel tussen beide landen is uitgewisseld. Dit is echter
een vrij natuurlijke regel (het principe van terugredeneren), dus denk ik dat de twee landen
die afzonderlijk zouden kunnen hebben bedacht.
Voor de Jinyou-regel geldt ook iets dergelijks. Bij het bedrijven van handel is de Jinyou-regel
naar mijn inzicht onvermijdelijk. Mensen die handel dreven moeten in feite vanzelf achter
deze regel zijn gekomen. Hier hoeft dus ook weer niet sprake te zijn van contact tussen beide
landen.
In de Indiase wiskunde komen wat geavanceerdere onderwerpen voor over bijvoorbeeld
kwadratische (diophantische) vergelijkingen.
De reden dat het niveau van dit soort
onderwerpen hoger ligt dan in de Jiǔ Zhāng Suàn Shù is waarschijnlijk dat de Indiase
geschriften pas eeuwen later zijn geschreven.
50
HOOFDSTUK 4. ALGEBRA IN DE JIǓ ZHĀNG SUÀN SHÙ EN INDIA
Hoofdstuk 5
De Suàn Shù Shū: zo oud dat het
nieuw is
Egbert Rijke en Sietske Tacoma
5.1
Wiskunde op bamboestroken
In 1983 werd bij opgravingen in Zhāngjiāshān (Húběi, China) een bijzondere ontdekking
gedaan. Bij het openen van de graftombe van een onbekende ambtenaar vond men een
wiskundeboek uit de vroege Han dynastie. Deze ambtenaar kennen we nog steeds niet, maar
het lijkt waarschijnlijk dat hij heeft gediend onder de regeringen van de Qı́n dynastie (221–209
v.C.) en later onder de Hán dynastie (206 v.C.–220 n.C.). Uit de gevonden spullen in het graf
heeft men kunnen opmaken dat de tombe gesloten is aan het begin van de tweede eeuw voor
Christus, rond 186 v.C.
Het wiskundewerk waar het hier om gaat heet de Suàn Shù Shū. Dit wordt door
verschillende mensen verschillend vertaald, maar het betekent iets als ’boek over getallen
en berekeningen’.
De Suàn Shù Shū is geschreven op 190 bamboestroken. Deze bamboestroken waren
ongeveer 30 centimeter lang en zeven centimeter breed en waren aan elkaar bevestigd met
touwtjes. Samen vormden ze zo een mat die makkelijk opgerold kon worden. Als de mat
uitgerold was, was hij ongeveer twee meter lang. In de tweeduizend jaren dat het werk
in de tombe lag zijn de touwtjes echter weggerot, en wat de archeologen aantroffen was
een wirwar van bamboestroken met wiskundige teksten. Het heeft dan ook tot eind jaren
negentig geduurd tot het werk vertaald was en in een logische volgorde was geordend. Over
de volgorde zijn wetenschappers het echter nog steeds niet eens. Dit artikel is gebaseerd op de
interpretaties van prof. dr. Christopher Cullen (The Suàn Shù Shū, ‘Writings on reckoning’)[Cul04]
en van prof. dr. Joseph Dauben (Suàn Shù Shū, A book on Numbers and Computations)[Dau08].
Tot de vondst van de Suàn Shù Shū was Negen Hoofdstukken in de Wiskunde het oudst bewaard
gebleven wiskundeboek uit China. Voor historici had het de status die De Elementen van
Euclides ook had (zie hoofdstuk 3). De vondst van de Suàn Shù Shū is dus vergelijkbaar
met de vondst van nóg een Grieks wiskundewerk uit de tijd van Euclides. Het geeft ons de
gelegenheid beter te kunnen beoordelen wat voor betekenis de Negen Hoofdstukken destijds
had. Hier zal in dit artikel op worden ingegaan.
Van de ambtenaar die de Suàn Shù Shū meenam in zijn tombe is niet veel bekend.
Waarschijnlijk was hij een niet zo hoge functionaris met een bijzondere interesse voor
wiskunde. Het is zelfs niet duidelijk wat zijn relatie is met de Suàn Shù Shū. Waarschijnlijk
51
52
HOOFDSTUK 5. DE SUÀN SHÙ SHŪ: ZO OUD DAT HET NIEUW IS
is het over een langere periode ontstaan en is deze ambtenaar dus niet de auteur. Het is
echter heel goed mogelijk dat hij wel heeft bijgedragen aan het werk, of dat hij de Suàn Shù
Shū samengesteld heeft. We zullen in dit artikel de mogelijkheid beschouwen dat de Suàn Shù
Shū een verzameling van textlets is, dat zijn kleine stukjes informatieve tekst geschreven op
één of enkele bamboestroken. Dat zou bijvoorbeeld tot gevolg kunnen hebben dat er maar
één Suàn Shù Shū bestond, die een toevallige samenstelling was van deze textlets.
5.2
De wiskunde in de Suàn Shù Shū
De wiskunde in de vroege Chinese keizerrijken stond in dienst van de ambtenarij. Daarop
vormt de Suàn Shù Shū geen uitzondering: veel van de problemen die hierin behandeld worden
gaan over belastingen, betalen en eerlijk delen of over het berekenen van de oppervlakte van
een stuk land. Allemaal dingen die je als ambtenaar werd geacht te kunnen.
De Suàn Shù Shū bestaat uit allemaal korte secties of problemen. Deze secties zijn over het
algemeen hetzelfde geordend: een schets van het probleem, gevolgd door het antwoord en
tenslotte de methode die tot de oplossing leidt. Dit wordt duidelijk in het volgende voorbeeld1 .
Probleem 48. Yu shi: pijlen voorzien van veren. De norm: één persoon maakt in één dag 30 pijlen, of
voorziet 20 pijlen van veren. Als men nu wil dat één persoon de pijlen maakt én ze van veren voorziet, hoeveel
kunnen er dan in één dag gemaakt worden? Het antwoord: 12. De methode: Combineer de pijlen en het van veren
voorzien als de noemer; neem de pijlen vermenigvuldigd met het voorzien van veren als de teller.
Er vallen meteen een aantal dingen op aan dit probleem. De wiskundige operaties in de
methode worden helemaal in woorden uitgeschreven; er werd nog geen gebruik gemaakt van
symbolen die een (variabel) aantal representeren. Tegenwoordig zou men bijvoorbeeld zeggen:
het aantal pijlen A dat op een dag gemaakt wordt is 30; het aantal pijlen V dat op een dag
van veren kan worden voorzien is 20. Het aantal pijlen dat op een dag gemaakt kan worden
en van veren kan worden voorzien kan dan worden berekend met:
A×V
A+V
Ten tweede wordt er niet bij vermeld waarom deze methode correct is. In dit geval is het
makkelijk in te zien, maar in het volgende probleem gaat het mis2 :
Probleem 21. Fu zhi: Wevende vrouwen. Er zijn drie vrouwen, de oudste weeft in één dag 50 chı́, de
middelste weeft in twee dagen 50 chı́ en de jongste weeft in drie dagen 50 chı́. Als ze nu samen 50 chı́ produceren,
hoeveel chı́ heeft ieder gemaakt? Het resultaat zegt: de oudste produceert 25 chı́, de middelste produceert 16 12
18
6
chı́ en de jongste produceert 8 18
chı́. De methode zegt: leg 1 neer [op een telbord], leg 2 neer, leg 3 neer, samen
vormt dit de noemer. Neem 10 keer 5 als de teller; delen geeft het resultaat in chı́. Als het aantal chı́ niet geheel is,
neem dan de noemer om de breuk te bepalen; 3 (keer dit aantal) is de teller van de oudste, 2 (keer dit aantal is de
teller) voor de middelste en 1 (keer dit aantal is de teller) voor de jongste. Yang heeft dit gecontroleerd.
Eén van de dingen die opvallen is dat de noemer van het antwoord niet overeenkomt met
de noemer van de methode: de eerste is 18 en de tweede is 1+2+3=6. De methode volgend
zouden we 25, 16 64 en 8 62 als antwoord verwachten. Ook is het een beetje gek dat in de
methode staat dat men 10 keer 5 als teller moet nemen, terwijl in het probleem de waarde 50
voor de teller al gegeven is (en dus niet uitgerekend hoeft te worden).
1 Uit
2 Uit
[Dau08]; vertaald uit het Engels
[Dau08]; vertaald uit het Engels
5.3. EEN VERZAMELING TEXTLETS
53
Ten tweede valt op dat in het antwoord de oudste vrouw niet twee keer zoveel produceert
als de middelste, terwijl dat in het probleem wel wordt verondersteld. De methode en het
antwoord zijn dus niet correct. Stel dat de oudste vrouw O produceert; dan produceert de
middelste vrouw 12 O en de jongste vrouw 13 O. We vinden dat:
1
1
11
O+ O+ O=
O = 50,
2
3
6
7
3
1
chı́. De middelste produceert de helft, dus 13 11
, en de jongste produceert 9 11
ofwel O = 27 11
chı́. Het dient echter opgemerkt te worden dat dit de enige fout van wiskundige aard is.
We zien ook dat in dit probleem ervan uit wordt gegaan dat de lezer een telbord kan
gebruiken om de berekeningen te doen. Ook in andere problemen komt vaak de tekst voor:
‘leg x neer’ of ‘combineer x en y’. Hiermee worden operaties op het telbord bedoeld: de eerste
is gewoon doen wat er staat en de tweede staat voor het optellen van x en y (op het telbord
bij elkaar leggen). In de Suàn Shù Shū wordt de lezer nergens geı̈ntroduceerd in het gebruik
van een telbord of in het gebruik van telstokjes. Men wordt kennelijk geacht hiermee al te
kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Met dit in ons achterhoofd wordt
het taalgebruik in de Suàn Shù Shū een stuk duidelijker.
Probleem 21 is ondertekend door Yang; het is echter niet duidelijk wie hij is. Lang niet alle
problemen zijn ondertekend. Sommige problemen zijn ondertekend door Mang.
Ten slotte zullen we nog een voorbeeld geven van een berekening aan de oppervlakte van
een stuk land. Dit soort opgaven nemen een belangrijk deel van de Suàn Shù Shū in beslag3 .
Probleem 64. Qi guang : vind de breedte. Als de lengte van een veld 30 bu is, hoe breed is het als het
een veld is van 1 mu [in oppervlakte]. (Het antwoord) zegt: de breedte is 8 bu. De methode zegt: gebruik 30 bu
als de deler en gebruik 240 (vierkante) bu als de teller. Het vinden van de lengte kan op dezelfde manier gedaan
worden.
In deze opgave valt op dat men niet de moeite heeft genomen onderscheid te maken
tussen de eenheden voor oppervlakte en voor lengte. Eén bu kan zowel voor een oppervlakte
als voor een lengte gelden. Het moet uit de context blijken wat er dan bedoeld wordt.
5.3
Een verzameling textlets
De Suàn Shù Shū is aan het begin van de tweede eeuw voor Christus in de graftombe
terecht gekomen. Behalve de Suàn Shù Shū lagen in de graftombe ook textlets met medische
informatie. Dit waren op bamboestroken geschreven stukjes tekst met daarop een recept of
medisch advies. Deze textlets waren in het bezit van deskundigen op dit gebied die hadden
gezworen deze kennis niet door te geven naar leken. Onder de deskundigen konden deze
textlets zich echter wel verspreiden4 .
Het is niet ondenkbaar dat eenzelfde systeem ook bestond onder de functionarissen die
een speciale affiniteit hadden met wiskunde. Van ambtenaren werd verwacht dat ze met het
bovengenoemd soort wiskunde wisten om te gaan. Gaan we ervan uit dat ook wiskundige
textlets goed verspreid waren, dan kunnen we aannemen dat er ook functionarissen waren
die aanzienlijke verzamelingen van deze textlets hadden. De stap naar het bundelen van deze
textlets is dan niet zo groot meer.
Mocht de Suàn Shù Shū zo’n bundeling van textlets zijn, dan is het mogelijk het enige
exemplaar in deze vorm. We zullen de consequenties hiervan voor de relatie met de Negen
Hoofdstukken in sectie 5.5.4 behandelen. Voordat we verder gaan met een beschouwing van
de relatie tussen de Suàn Shù Shū en de Negen Hoofdstukken dient nog te worden opgemerkt
3 Uit
[Dau08]; vertaald uit het Engels
theorie over textlets die hier wordt gepresenteerd is voornamelijk gebaseerd op de ideeën van Cristopher
Cullen, zie [Cul07]
4 De
54
HOOFDSTUK 5. DE SUÀN SHÙ SHŪ: ZO OUD DAT HET NIEUW IS
dat het handschrift in de Suàn Shù Shū zeer uniform is. Dit zou betekenen dat de Suàn Shù
Shū door slechts één persoon geschreven is, door één kopiı̈st gekopieerd is of door een kleine
groep mensen die de moeite hebben genomen hun handschriften op elkaar af te stemmen
is geschreven. Het werkt de textlettheorie echter niet in de hand: men zou op basis hiervan
verwachten dat vele specialisten hun eigen textlets schreven en doorgaven. Als de Suàn
Shù Shū een bundeling van deze textlets is, dan zou men niet mogen verwachten dat het
handschrift door het hele werk heen zo uniform is.
5.4
De Suàn Shù Shū en de Negen Hoofdstukken
Eén van de langst bekende en best bewaard gebleven wiskundige werken uit het oude China
is de Negen Hoofdstukken (Jiǔ Zhāng Suàn Shù, zie hoofdstuk 3). Als de geschiedenis van de
Chinese wiskunde werd onderzocht, was vaak de grootste vraag wat voor werk de Negen
Hoofdstukken was. Waar komt het precies vandaan, wat voor rol had het, wie heeft het
geschreven, hoe oud is het? De ontdekking van de Suàn Shù Shū kan bijdragen aan het vinden
van antwoorden op deze vragen. Vooral over hoe oud de Negen Hoofdstukken is kunnen we
nu meer zeggen. Maar dat is niet het enige. Door de ontdekking van de Suàn Shù Shū kunnen
we ook een breder beeld krijgen van de wiskunde in die tijd. We hadden alleen de wiskunde
die in de Negen Hoofdstukken staat, maar wisten niet of dat normaal was voor die tijd en
of alle wiskundewerken er zo uitzagen. Nu kunnen we in elk geval de Negen Hoofdstukken
vergelijken met een ander wiskundig werk uit ongeveer dezelfde tijd, namelijk de Suàn Shù
Shū. We zullen eerst allerlei overeenkomsten en verschillen behandelen. Daarna kunnen we
op zoek naar verklaringen van deze overeenkomsten en verschillen.
5.4.1
Overeenkomsten
De Suàn Shù Shū is niet een compleet ander soort werk dan de Negen Hoofdstukken. Er
zijn veel overeenkomsten. Allereerst wordt de basis voor beide werken gevormd door de
problemen. Een wiskundeboek zoals we dat nu kennen bestaat vaak uit stukken tekst en
dan eventueel een paragraaf met problemen. De Suàn Shù Shū bestaat volledig uit problemen,
zonder uitleggende tekst tussendoor. De Negen Hoofdstukken bestaat ook voornamelijk
uit problemen. In de enige tekst die tussen de problemen door voorkomt worden regels
beschreven om bepaalde problemen op te lossen.
Bijna alle problemen in beide werken zijn hetzelfde opgebouwd: Eerst wordt een probleem
verteld, daarna de oplossing en dan de methode om het probleem op te lossen. Wel is het zo
dat in de Negen Hoofdstukken de problemen netjes zijn geordend in hoofdstukken, terwijl
in de Suàn Shù Shū de problemen achter elkaar doorlopen en geen duidelijke structuur te
ontdekken is. Verder is het opvallend dat sommige titels in beide werken overeenkomen.
Alle problemen in de Suàn Shù Shū hebben een titel, net als alle hoofdstukken in de Negen
Hoofdstukken. Drie van deze titels zijn precies hetzelfde: Fang Tian is de titel van hoofdstuk
1 van de Negen Hoofdstukken en van probleem 53 in de Suàn Shù Shū. De problemen in het
eerste hoofdstuk van de Negen Hoofdstukken gaan over het berekenen van oppervlakten
en het rekenen met breuken. Probleem 53 uit de Suàn Shù Shū gaat over een vierkant veld
waarvan de oppervlakte bekend is en de lengte van de zijde uitgerekend moet worden. Het
is dus niet zo dat het om precies dezelfde soort problemen gaat, maar wel zo dat de titels
letterlijk overeen komen.
Hoofdstuk 2 van de Negen Hoofdstukken heet Su mi, net als probleem 45 in de Suàn Shù
Shū. Su Mi betekent graan en de opgaven gaan over kopen en ruilen van verschillende soorten
graan, die niet allemaal evenveel waard zijn.
5.4. DE SUÀN SHÙ SHŪ EN DE NEGEN HOOFDSTUKKEN
55
De derde titel die overeenkomt is Shao Guang, voor hoofdstuk 4 in de Negen Hoofdstukken
en probleem 66 in de Suàn Shù Shū. Probleem 66 gaat over een veld met oppervlakte 1 mu.
In het eerste deel wordt gegeven dat de breedte van het veld 1 + 1/2 bu is en moet de lengte
uitgerekend worden. In het volgende deel is de breedte 1 + 1/2 + 1/3 bu en moet weer de lengte
uitgerekend worden, enzovoorts. In de eerste elf opgaven van hoofdstuk 4 van de Negen
Hoofdstukken wordt dezelfde vraag gesteld, met dezelfde oppervlakte en breedtes van het
veld. De methode die in de Negen Hoofdstukken gebruikt wordt om de lengte uit te rekenen
is wel wat overzichtelijker.
Ook de manier waarop problemen opgelost worden komt vaak (deels) overeen. Zo wordt
in beide werken het volume van een kegel berekend. In de Suàn Shù Shū is dat probleem 57
en gaat het als volgt:5
Probleem 57. Xuan su: volume van een kegel gierst Een kegel gierst is 5 chı́ hoog, de omtrek van het
grondoppervlak is 3 zhang , het volume is 125 chı́. Omdat 2 chı́ 7 cun equivalent is met 1 shi, is de kegel gierst
gelijk aan 46 8/27 shi. De methode zegt: Vermenigvuldig de omtrek van het grondoppervlak met zichzelf,
vermenigvuldig met de hoogte, deel door 36. Het volume is 4500 chı́.
In dit probleem wordt in de eerste regel gelijk het probleem en de oplossing verteld. In
het probleem wordt geen vraag geformuleerd, maar het zou zoiets zijn als: wat is het volume
van een kegel die 5 chı́ hoog is en waarvan de omtrek van het grondoppervlak 3 zhang is?
Het antwoord is 125 chı́. Dit wordt gekregen door 3 zhang met zichzelf te vermenigvuldigen.
Omdat 1 zhang gelijk is aan 10 chı́, is 3 zhang vermenigvuldigd met 3 zhang gelijk aan 900
chı́. Dit vermenigvuldigen we met de hoogte, dat levert 4500 chı́. De maker van deze opgave
is daarna vergeten door 36 te delen, daarom staat aan het einde 4500 chı́. In de eerste regel
gaat het wel goed, want 4500/36=125.
Het gevonden volume wordt ook nog omgerekend in de eenheid shi, vandaar dat nog wordt
gedeeld door 2,7 (1 chı́ is 10 cun). Dan krijgen we 46 8/27 shi.
Problemen 5.13 en 5.23 uit de Negen Hoofdstukken lijken allebei erg op dit probleem.
Probleem 5.13 is het volgende6 :
Nu is er een kegel. De omtrek van het grondoppervlak is 3 zhang 5 chı́; de hoogte is 5 zhang 1 chı́.
Vraag: wat is het volume? Antwoord: 1735 5/12 chı́. Methode: De omtrek van het grondoppervlak wordt
vemenigvuldigd met zichzelf; vermenigvuldig met de hoogte; neem 1 voor 36.
En probleem 5.23 gaat als volgt7 :
We hebben een stapel graan op de grond. De omtrek van het grondoppervlak is 12 zhang , de hoogte is 2
zhang. Vraag: wat is het volume en hoeveel hu gierst is het? Antwoord: het volume is 8000 chı́; er is 2962 26/27
hu graan.
De methode voor opgave 5.23 wordt apart gegeven, in de ’Regel voor een stapel graan’.
Het gaat dan om een kegelvormige stapel en de regel is als volgt8 :
De regel voor een stapel graan Kwadrateer de omtrek van het grondoppervlak, vermenigvuldig met de
hoogte en deel door 36. Als de stapel tegen een muur staat, deel door 18. Als de stapel in een hoek staat, deel door
9. 1 hu gierst is 2 7/10 chı́ in capaciteit. 1 hu rijst is 1 62/100 chı́ en 1 hu sojabonen, kleine bonen, sesamzaad of
tarwe is allemaal 2 43/100 chı́.
In probleem 5.13 wordt precies dezelfde methode beschreven voor het uitrekenen van
het volume van de kegel als in de Suàn Shù Shū. Er is hier geen sprake van graan, dus er
5 Uit
[Dau08],
[KCL99],
7 Uit [Dau08],
8 Uit [Dau08],
6 Uit
vertaald
vertaald
vertaald
vertaald
uit
uit
uit
uit
het
het
het
het
Engels
Engels
Engels
Engels
56
HOOFDSTUK 5. DE SUÀN SHÙ SHŪ: ZO OUD DAT HET NIEUW IS
wordt niets omgerekend naar shi. Ook in de regel die bij probleem 5.23 hoort, wordt dezelfde
formule gegeven. Als je deze methode gebruikt, vind je inderdaad 8000 chı́. Dit volume wordt
nog omgerekend naar een aantal hu. Nu is het zo dat 1 hu precies even veel is als 1 shi, dus
ook deze berekening gaat hetzelfde als in de Suàn Shù Shū. In de gebruikte methode voor het
uitrekenen van de kegel is overigens voor π de waarde 3 gebruikt. In de Suàn Shù Shū werd dit
overal gedaan.
5.4.2
Verschillen
Naast alle overeenkomsten, zijn er ook belangrijke verschillen te ontdekken tussen de Suàn
Shù Shū en de Negen Hoofdstukken. Het opvallendste verschil is het verschil in systematiek
en structuur. In de Negen Hoofdstukken is een indeling gemaakt in hoofdstukken en staan
problemen die wat met elkaar te maken hebben dus dicht bij elkaar. Ook wordt in de Negen
Hoofdstukken bijvoorbeeld een overzicht gegeven van alle relatieve waarden van de granen
die in het werk gebruikt worden. In de Suàn Shù Shū moet de lezer dat zelfs steeds uitzoeken.
De Negen Hoofdstukken is in bepaalde opzichten ook een uitgebreider werk dan de
Suàn Shù Shū. Er staan bijvoorbeeld in hoofdstukken 8 en 9 problemen over rechthoekige
driehoeken en de stelling van Pythagoras (hoewel deze natuurlijk niet zo werd genoemd) en
over het oplossen van stelsels vergelijkingen. Zulke problemen ontbreken in de Suàn Shù Shū.
Ook worden algemene regels gegeven in de Negen Hoofdstukken, om soortgelijke problemen
op dezelfde manier op te lossen, terwijl het in de Suàn Shù Shū voornamelijk blijft bij specifieke
oplossingsmethoden voor elk probleem.
Een ander opvallend verschil zit in de gebruikte terminologie. Het komt meer dan eens
voor dat voor hetzelfde voorwerp of dezelfde eenheid verschillende woorden worden gebruikt
in de twee werken. Dit is niet heel gek, want een taal kan veel veranderen door de tijd
heen. Ook op verschillende plaatsen kunnen er verschillen zijn in een taal. In Twente
praten mensen anders dan in Rotterdam, dat zal in China niet heel anders geweest zijn. De
verschillen in terminologie die we vinden in de beide werken kunnen ons wel helpen om te
bepalen hoe oud ze zijn. Een voorbeeld hiervan is de grootste capaciteitseenheid die wordt
gebruikt. In de Suàn Shù Shū is dit shi, maar in de Negen Hoofdstukken wordt hu gebruikt
(zie het voorbeeld hierboven). Eén shi is evenveel als één hu, alleen de naam is dus anders.
Nu is het bekend dat Wáng Mǎng in zijn regeerperiode van 9 na Christus tot 23 na Christus
een aantal veranderingen heeft doorgevoerd, waaronder de naamgeving van deze eenheid.
Hieruit kunnen we echter niet gelijk de conclusie trekken dat de Negen Hoofdstukken later
geschreven is dan deze verandering. Het kan ook zijn dat Liu Hui of een andere commentator
deze eenheden heeft veranderd, omdat hij na de verandering het werk las en vond dat het
niet meer klopte.
Er is al gezegd dat over het algemeen de problemen en oplossingsmethoden uit de
Negen Hoofdstukken gestructureerder en algemener zijn dan die in de Suàn Shù Shū. Dit is
bijvoorbeeld het geval in hoofdstuk 4 van de Negen Hoofdstukken, vergeleken met probleem
66 uit de Suàn Shù Shū. Toch zijn er ook soorten problemen die in de Negen Hoofdstukken
niet voorkomen en in de Suàn Shù Shū wel. Het gaat hier bijvoorbeeld om problemen over
belasting, waarbij een fout is gemaakt in het berekenen van de belasting. Aan de hand van
de gegevens moet dan de goede belasting uitgerekend worden.
5.5. DE RELATIE TUSSEN DE SUÀN SHÙ SHŪ EN DE NEGEN HOOFDSTUKKEN
5.5
57
De relatie tussen de Suàn Shù Shū en de Negen
Hoofdstukken
Nu we de belangrijkste overeenkomsten en verschillen tussen de Suàn Shù Shū en de Negen
Hoofdstukken in kaart hebben gebracht, kunnen we proberen deze te verklaren. De grootste
vraag hierbij is wat de relatie was tussen de Suàn Shù Shū en de Negen Hoofdstukken. Hierover
zijn een aantal theorieën. Omdat de Suàn Shù Shū minder systematisch is, lijkt het erop dat
de Suàn Shù Shū ouder is dan de Negen Hoofdstukken. In de tijd tussen de Suàn Shù Shū en
de Negen Hoofdstukken is dan de wiskunde wat gestructureerder geworden. Maar we weten
niet zeker of dit inderdaad zo is. Het kan juist andersom zijn, of misschien hadden de makers
van het ene werk nog nooit van het andere werk gehoord en andersom. Daarom zullen we de
volgende theorieën behandelen:
1. De Suàn Shù Shū en de Negen Hoofdstukken zijn volledig onafhankelijk van elkaar tot
stand gekomen.
2. De Negen Hoofdstukken is ouder dan de Suàn Shù Shū en was bekend bij de makers van
de Suàn Shù Shū.
3. De Suàn Shù Shū is ouder dan de Negen Hoofdstukken en de Suàn Shù Shū heeft als basis
of voorbeeld voor de Negen Hoofdstukken gediend.
4. De Suàn Shù Shū is ouder en delen waren bekend bij de makers van de Negen
Hoofdstukken.
5.5.1
Theorie 1: Alle gelijkenis berust op toeval
De eerste theorie zegt dat de Suàn Shù Shū en de Negen Hoofdstukken volledig onafhankelijk
van elkaar tot stand zijn gekomen. Dit betekent dat de één geen invloed gehad heeft
op de ander en dat alle gelijkenissen dus op toeval berusten. Dit kan komen doordat
kennis die in de boeken staat erg wijdverspreid was. Als over 2000 jaar mensen twee
schoolwiskundeboeken vinden van nu, zullen ze ook zeggen dat de boeken op elkaar lijken,
omdat in allebei differentiëren wordt behandeld. Toch hoeft de maker van het ene boek niet
het andere boek gelezen te hebben om te weten hoe hij moet differentiëren.
Deze theorie roept wel vragen op. De makers van beide werken moeten namelijk toch
op een manier aan hun kennis zijn gekomen en het is duidelijk dat zij in elk geval deels
over dezelfde kennis beschikten. Dit maakt het wel erg aannemelijk dat zij over bronnen
beschikten die beiden van eenzelfde soort bron afstamden. Als dat niet zo is, moeten ze
namelijk onafhankelijk van elkaar dezelfde wiskunde hebben bedacht en deze ook nog vaak
op ongeveer dezelfde manier geformuleerd hebben. Bovendien moeten ze dan meerdere
problemen toevallig op bijna dezelfde manier hebben opgeschreven.
Als ze beiden over eenzelfde soort bron beschikten, berust alle gelijkenis uiteindelijk dus
niet helemaal op toeval. Wel kan het zo zijn dat de makers van de Suàn Shù Shū nooit de Negen
Hoofdstukken hebben gezien en andersom. Dan is echter de vraag welke gezamenlijke bron
ze hebben, aangezien er niet een derde werk bekend is wat zoveel overeenkomsten vertoont
met de Suàn Shù Shū en de Negen Hoofdstukken.
5.5.2
Theorie 2: De Negen Hoofdstukken is ouder dan de Suàn Shù Shū
Liu Hui, de bekendste commentator van de Negen Hoofdstukken, schreef in zijn commentaar
op de Negen Hoofdstukken dat dit werk ontstaan is in de eerste of tweede eeuw voor Christus
58
HOOFDSTUK 5. DE SUÀN SHÙ SHŪ: ZO OUD DAT HET NIEUW IS
en gebaseerd was op oudere werken, van voor de verbranding van de boeken in 213 voor
Christus (zie [Cul07], p. 32-33). Volgens deze theorie zou de Negen Hoofdstukken dus
al bestaan hebben op het moment dat de Suàn Shù Shū in 186 voor Christus in de tombe
werd gestopt. We hebben de mogelijkheid al behandeld dat de overeenkomsten op toeval
berusten. Het zou echter ook zo kunnen zijn dat de makers van de Suàn Shù Shū de Negen
Hoofdstukken kenden en dat zij ook zoiets wilden maken. Dit lijkt echter niet waarschijnlijk.
Het is dan heel vreemd dat er in de Suàn Shù Shū bijvoorbeeld geen problemen staan over
rechthoekige driehoeken en in de Negen Hoofdstukken wel. Ook is het vreemd dat dan van
een systematisch werk als de Negen Hoofdstukken zo’n ongeordend werk als de Suàn Shù Shū
voortkomt.
Wel lijkt het aannemelijk dat de Negen Hoofdstukken niet binnen een zeer korte tijd is
geschreven en dat dus sommige delen al wel geschreven waren voordat de Suàn Shù Shū
geschreven werd. Deze delen kunnen dan bekend zijn geweest bij de makers van de Suàn
Shù Shū. Deze delen kunnen voorlopers zijn geweest van de definitieve versie, en nog in een
ongeordende vorm zijn geweest. De vraag is dan wel in hoeverre je ze al als onderdeel van de
Negen Hoofdstukken kan beschouwen en of het dan niet meer een gezamenlijke bron is waar
de makers van beide werken gebruik van hebben gemaakt.
5.5.3
Theorie 3: De Suàn Shù Shū heeft als basis voor de Negen
Hoofdstukken gediend
Vanwege alle gelijkenissen tussen de Suàn Shù Shū en de Negen Hoofdstukken zou het
zo kunnen zijn dat de Negen Hoofdstukken gebaseerd is op de Suàn Shù Shū.
Veel
problemen lijken op elkaar, andere problemen kunnen geactualiseerd of verbeterd zijn. Ook
kunnen dan in de Negen Hoofdstukken nieuwe methoden zijn opgenomen, bijvoorbeeld voor
worteltrekken, die ten tijde van de Suàn Shù Shū nog niet bekend waren. Bovendien kunnen de
makers van de Negen Hoofdstukken begonnen zijn met het systematisch maken van de Suàn
Shù Shū en daarna van alles toegevoegd hebben. Als we deze theorie willen geloven, zullen we
wel verklaringen moeten vinden voor de verschillen.
Het verschil in systematiek valt te verklaren door een tijdsverschil tussen het maken van
de twee werken. De Negen Hoofdstukken kan gemaakt zijn in een tijd dat de systematiek al
veel belangrijker was. Men heeft dan in de tussentijd een beetje orde in de chaos van alle
wiskundeproblemen kunnen scheppen.
Het verschil in terminologie kan ook verklaard worden door de verschillende tijden waarin
de werken geschreven zijn. Als je nu een bron uit 1800 gebruikt, pas je ook het taalgebruik
uit die bron aan, zodat je modern Nederlands schrijft.
Dat in de Suàn Shù Shū geen problemen staan over worteltrekken en rechthoekige
driehoeken, kan er op wijzen dat de wiskunde tussen het schrijven van de twee werken
methodes voor dit soort problemen zijn ontwikkeld. Wel is het vreemd dat in de Suàn Shù
Shū sommige dingen algemener behandeld worden dan in de Negen Hoofdstukken. Als de
Suàn Shù Shū als basis heeft gediend, moet deze kennis beschikbaar zijn geweest voor de
samenstellers van de Negen Hoofdstukken. Ze kunnen er bewust voor gekozen hebben om
er niets mee te doen, of ze erkenden het misschien niet als goede wiskunde. Een andere
verklaring hiervoor is theorie 4.
5.5.4
Theorie 4: De Suàn Shù Shū was deels bekend bij de makers van
de Negen Hoofdstukken
De laatste theorie gaat er vanuit dat de Suàn Shù Shū niet als één boek moet worden
beschouwd, maar als een collectie textlets. Als het inderdaad zo is dat in het oude China
wiskunde verspreid werd via textlets, dan is de Suàn Shù Shū waarschijnlijk een collectie
textlets geweest. Ook de Negen Hoofdstukken is dan waarschijnlijk gebaseerd op textlets.
Overeenkomsten tussen beide werken kunnen verklaard worden door het feit dat dezelfde of
gelijksoortige textlets in de collecties van de makers hebben gezeten. Verschillen kunnen
5.6. DE INVLOED VAN DE ONTDEKKING VAN DE SUÀN SHÙ SHŪ
59
verklaard worden door het ontbreken van textlets in de verzameling van de makers van
de Suàn Shù Shū of juist in de verzameling van de Negen Hoofdstukken. Dat laatste kan
een verklaring zijn waarom de Suàn Shù Shū op sommige punten algemener is dan de Negen
Hoofdstukken.
De verschillen in terminologie kunnen ook verklaard worden door het beschikbaar zijn
van verschillende textlets en het verschil in tijd. Ook textlets zullen door de jaren heen
geactualiseerd zijn, dus ook op textlets zal het taalgebruik veranderd zijn.
Het verschil in structuur tussen de beide werken wordt weer verklaard door het
tijdsverschil. In de 200 jaar tussen de beide werken was het idee over het maken van een
wiskundewerk waarschijnlijk veranderd.
5.6
De invloed van de ontdekking van de Suàn Shù Shū
Tot slot is het interessant om na te gaan hoe het beeld van de oude Chinese wiskunde
veranderd is door de ontdekking van de Suàn Shù Shū. In elk geval is het vermoeden ontstaan
dat wiskunde, net als geneeskunde, bij de oude Chinezen bestudeerd en doorgegeven werd
met behulp van textlets. De Suàn Shù Shū bestaat uit veel verschillende kleine stukjes tekst,
die samengevoegd zijn tot één geheel. Dit is precies wat men zich voor kan stellen bij het
verzamelen en ordenen van textlets.
De vele opvallende overeenkomsten en verschillen tussen de Suàn Shù Shū en de Negen
Hoofdstukken kunnen verklaard worden door het wel of niet beschikbaar zijn van dezelfde
textlets bij de auteurs.
Als meer werken zoals de Suàn Shù Shū worden ontdekt, kan gekeken worden in hoeverre
deze werken op elkaar lijken. Dit zal meer informatie geven over het mogelijke gebruik van
textlets. Als er namelijk weer zulke opvallende overeenkomsten worden ontdekt, terwijl beide
werken toch erg anders zijn, zal dit een belangrijk argument voor de textlettheorie zijn.
Ook als de textlettheorie niet blijkt te kloppen, heeft de ontdekking van de Suàn Shù Shū een
belangrijke invloed op het onderzoek naar de geschiedenis van de Chinese wiskunde gehad.
Omdat we vrij precies weten hoe oud de Suàn Shù Shū is, kunnen we dit werk beschouwen als
een goed voorbeeld van hoe een wiskundewerk eruit zag in het begin van de tweede eeuw voor
Christus. Aan de hand van dit werk kunnen we nadenken over het hoe en wat van wiskunde
in die tijd. Wat voor rol had het in de samenleving, wie waren er mee bezig en wat deden ze
ermee? Over de Negen Hoofdstukken zijn dit soort vragen al lang gesteld. Met behulp van
de Suàn Shù Shū kunnen we hier meer antwoorden op vinden. Vooral het feit dat de Negen
Hoofdstukken zo veel gestructureerder en algemener is dan de Suàn Shù Shū, geeft nieuwe
inzichten over de rol en datering van de Negen Hoofdstukken.
60
HOOFDSTUK 5. DE SUÀN SHÙ SHŪ: ZO OUD DAT HET NIEUW IS
Hoofdstuk 6
Op zoek naar de oorsprong van
onze getallen
Frits Veerman en Sonja de Zwarte
6.1
Inleiding
Iedereen die op school getallen op leert schrijven, wordt geleerd daar tien tekens voor te
gebruiken die staan voor de getallen één tot en met negen en nul; deze tekens noemen we
’cijfers1 ’. Grotere getallen als vijftien schrijven we door het cijfer 1 en het cijfer 5 naast
elkaar te schrijven, waarbij de volgorde uitmaakt. Hadden we 51 geschreven, dan hadden
het getal éénenvijftig bedoeld. De plaats van het cijfer heeft op deze manier invloed op de
waarde; het meest rechtse cijfer telt de eenheden, het cijfer daar links van de tientallen, en
zo verder. Merk op dat deze schrijfrichting een - ogenschijnlijk willekeurige - keuze is; als we
vandaag met z’n allen afspreken de schrijfrichting van getallen om te draaien, werkt dat net
zo goed. Bovendien gebruikt dit getalsysteem het getal tien als grondtal. We kunnen ook een
teken toevoegen (bijvoorbeeld χ), dat staat voor het getal tien. Op die manier krijgen we een
getalsysteem met grondtal elf. Vijftien zou hierin worden weergegeven als 14, 21 als 1χ en 22
als 20. Aan de mate waarin deze schrijfwijze tegen onze intuı̈tie in gaat, merken we hoe sterk
het tientallig positiestelsel is ingeburgerd.
Toch is het notatiesysteem dat wij tegenwoordig gebruiken betrekkelijk nieuw; het werd pas
in het begin van de dertiende eeuw in het Christelijke Europa door Fibonacci geı̈ntroduceerd
in zijn boek Liber Abaci. Fibonacci had gestudeerd in Algerije, waar hij het getalsysteem van
de Arabieren had geleerd. De Arabieren zelf hadden dit systeem op hun beurt overgenomen
uit India, getuige het boek Over berekeningen met Hindoe-cijfers van Al-Khwārizmı̄ uit het jaar 825.
De vraag is nu waar de Indiërs dit decimaal positiesysteem vandaan hadden. Hebben ze
het zelf bedacht? Is het een uitvinding geweest van een geleerde of is het geleidelijk ontstaan
vanuit eerdere notatiesystemen? Of is het overgenomen uit een ander land, zoals China?
Deze laatste stelling wordt verdedigd door de auteurs van Fleeting Footsteps, Lam Lay Yong
en Ang Tian Se. Aan de hand van een Chinees werk over wiskunde uit de vierde eeuw
na Christus, de Sun Zi suanjing ofwel de wiskundige verhandelingen van Meester Sun,
beargumenteren zij dat ons decimaal positiesysteem zijn wortels heeft in het oude China. Dit
gaat in tegen de mening van de meeste geschiedkundigen, die de oorsprong in India leggen.
1 Het
woord cijfer is afgeleid van het Arabische zifr, dat ’nul’ betekent.
61
62
HOOFDSTUK 6. OP ZOEK NAAR DE OORSPRONG VAN ONZE GETALLEN
In de komende paragrafen zullen we beide standpunten toelichten, om daarna –hopelijk–
antwoord te kunnen geven op de vraag:
Komt ons decimaal positiesysteem oorspronkelijk uit India of uit China?
6.1. INLEIDING
63
Figuur 6.1: Een pagina uit Liber Abaci van Fibonacci. De rechterkolom geeft de eerste dertien
Fibonacci-getallen weer in Hindoe-Arabische cijfers, met hun rangnummer daaronder in het
Latijn (eerst uitgeschreven, daarna in Romeinse cijfers).
64
6.2
HOOFDSTUK 6. OP ZOEK NAAR DE OORSPRONG VAN ONZE GETALLEN
Meester Sun en de Chinese telstokjes
In de derde eeuw na Christus was er een bloeiperiode in de Chinese wiskunde. In deze
periode schreven mannen als Liu Hui hun commentaar op reeds bestaande teksten als de
Negen Hoofdstukken. Sun Zi zag dat er een grote behoefte was aan een relatief aanvoudige
tekst waarin de rekenmethode van de Chinezen werd uitgelegd en voorgedaan en hoe men
mathematische operaties moet uitvoeren. Dit heeft geleid tot het werk Sun Zi suanjing,
waarvan de vertaling De wiskundige klassieker van Meester Sun is. Het wiskundig niveau van het
werk van Sun Zi is misschien minder hoog dan dat van de prestaties van Liu Hui, maar het
heeft minstens zoveel wiskundige en vooral historische waarde. Het is een bron waarin, voor
zover wij weten, voor het eerst duidelijk wordt uitgelegd hoe men met de Chinese telstokjes
moet rekenen en het bevat een opgave over de beroemde Chinese reststelling met een uitleg
van de werkwijze.
Over de persoon Sun Zi2 ofwel Meester Sun is zeer weinig bekend. Hij was waarschijnlijk
geen man met een hoge politieke positie of iemand met een hoge sociale status. Er wordt
vermoed dat hij een leerling van het Boeddhisme was door sommige vragen die hij behandelt
en door de strekking van de inleiding van zijn werk. Niet alleen het bepalen van de auteur is
moeilijk, ook de datering van het werk is onduidelijk. De schattingen zijn vooral gebaseerd
op bewijs dat terug te vinden is in de opgaven in het werk van Meester Sun. De tekst van
Sun Zi wordt gedateerd tussen 280 en 473 na Christus. Dit komt door de taxatie van de zijde
waarop het werk geschreven is. Hierdoor kan de tekst niet ouder zijn dan 280 na Christus en
na 473 werden de lengtematen chi en duan anders van hoeveelheid en Meester Sun gebruikt
de oude waarden. ([F.R59], p. 33)
De Chinezen kenden net als wij een tientallig getalsysteem. Het geschreven schrift is tot
op de dag van vandaag amper veranderd. Ze hebben namen voor de eerste negen getallen:
yi (1), er (2), san (3), si (4), wu (5), lui (6), qi (7), ba (8), iu (9).
Verder hadden ze ook namen voor de machten van tien en deze gaat door tot astronomische
groottes als 1080 De benaming voor deze grote getallen wordt gegeven in het werk van Meester
Sun:
shi (10), bai (100), qian (1000), wan (104 ), shi wan (105 ), bai wan (106 ), qian wan (107 ),
yi 3 (108 ), zhao (1016 ), jing (1024 ), gai (1032 ), zi (1040 ), rang (1048 ), gou (1056 ), jian (1064 ),
zheng (1072 ), zai (1080 ).
Het getal 73598 wordt genoteerd als qi wan san qian wu bai jiu shi ba. De vertaling hiervan
is ’zeven tienduizend drie duizend vijf honderd negen tien acht’. Dit lijkt veel op de wijze
waarop we tegenwoordig zo’n woord uitspreken.
In het klassieke China werden de geschreven getallen alleen voor de notatie gebruikt
en niet voor het daadwerkelijk rekenen met deze getallen. Daarvoor hadden ze stokjes,
meestal van hout, de luxere waren gemaakt uit been. Deze stokjes werden door voornamelijk
ambtenaren in buidels meegedragen zodat ze altijd in de buurt waren als er moeilijke
berekeningen uitgevoerd moesten worden. De stokjes worden vooral ’Chinese telstokjes’
genoemd en de oppervlakte waarop ze geplaatst werden wordt het ’telbord’ genoemd ([F.R59],
p. 9).
2 Zi is een eretitel die gegeven werd aan belangrijke personen ongeacht of de volledige naam bekend was, vandaar
dat Sun Zi meestal wordt vertaald als Meester Sun.
3 Deze yi lijkt hetzelfde als de yi die één betekent, maar dit Chinese teken ziet er anders uit en wordt ook anders
uitgesproken.
6.2. MEESTER SUN EN DE CHINESE TELSTOKJES
65
De eerste negen getallen, gevormd door de telstokjes, zijn te zien in figuur 6.2.
Figuur 6.2: 1 tot en met 9 in Chinese telstokjes
Voor getallen groter dan negen is er een systeem bedacht waarbij de positie van de
telstokjes bepaalt wat de grootte van het getal is. Om verwarring te voorkomen door alle
stokjes maar verticaal achter elkaar te plaatsen zijn de negen figuren die door de stokjes
gevormd worden hetzelfde voor de honderdtallen, tienduizendtallen e.d. Voor de tientallen,
duizendtallen en honderdduizendtallen worden de stokjes gedraaid, dit is te zien in figuur
6.3.
Figuur 6.3: 10 tot en met 90 in Chinese telstokjes
De telstokjes worden horizontaal naast elkaar geplaatst en moeten net zoals bij onze
getallen van links naar rechts gelezen worden. Als er ergens een nul in het getal staat, dan
blijft die plaats leeg. Ter illustratie, de notatie van 84167 komt er uit te zien als figuur 6.4:
Figuur 6.4: Het getal 84167
Het werk van Sun Zi bevat drie hoofdstukken en een kort voorwoord waarvan de vertaling
hieronder staat. Hierin wordt duidelijk dat hij de wiskunde niet alleen ziet als een methode
om praktische zaken op te lossen, maar dat zij juist een hoger doel heeft. Dit is interessant
aangezien dit een aanwijzing kan zijn dat Meester Sun is beı̈nvloed door het Boeddhisme.
Meester Sun zegt: Wiskunde bepaalt de lengte en breedte van de hemelen en de aarde; (het) beı̈nvloedt
de levens van alle wezens; (het) vormt de alfa en de omega van de vijf deugden; (het) is als de ouders
voor yin en yang; (het) stelt symbolen vast voor de sterren en de sterrenbeelden; (het) maakt de
dimensies van de drie lichtende lichamen zichtbaar; (het) behoudt het evenwicht van de vijf fasen;
(het) stuurt het begin en eind van de vier seizoenen; het beschrijft de oorsprong van de tienduizend
dingen; en bepaalt de beginselen van de zes kunsten.
De functie van wiskunde is de opbouw en afbraak van de orden der natuur te onderzoeken, de
opkomst en neergang van de twee qi (yin en yang) te bepalen, de afwisselende gang der seizoenen te
berekenen, de afstanden van de hemelse lichamen vast te stellen, de belangrijke tekens van de wegen
van de hemelen te zien, de fysieke eigenschappen van de aarde te aanschouwen, de posities van de
hemelse en aardse geesten te bepalen, de oorzaken van succes en falen te verifiëren, de beginselen van
moraliteit uit te buiten, en de aard van het leven te bestuderen.
66
HOOFDSTUK 6. OP ZOEK NAAR DE OORSPRONG VAN ONZE GETALLEN
Wiskunde bestrijkt het gebruik van het kompas en het timmermansvierkant om vierkanten en cirkels
te bepalen, bij het vaststellen van de standaardmaten om afstanden te meten, en het vaststellen van
maten en gewichten te bepalen.
Wiskunde heeft duizenden jaren standgehouden en is uitgebreid bestudeerd zonder beperkingen.
Wanneer men de studie ervan verwaarloost, zal men niet in staat zijn om uitmuntendheid en
grondigheid te bereiken. Er is inderdaad een hoop om te beheersen als men wiskunde in zijn context
bekijkt. Wanneer men geı̈nteresseerd raakt in wiskunde, zal men volledig verrijkt worden; aan de
andere kant, als men het onderwerp ontwijkt, schiet men in intellectueel opzicht tekort. Als men
wiskunde bereidwillig bestudeert als een jong iemand met een open geest zal men onmiddelijk verlicht
worden. Als men daarentegen wiskunde benadert als een oude man met een stugge houding, zal men
er niet vaardig in zijn. Daarom, als men vruchtbaar wiskunde wil leren, moet men zelfdiscipline
hebben en opperste concentratie willen bereiken; op deze manier is succes in het leren verzekerd.4
In het eerste hoofdstuk legt Meester Sun voornamelijk uit op welke wijze men moet
rekenen met de Chinese telstokjes; alleen het vermenigvuldigen en delen wordt besproken.
Waarschijnlijk vond hij het optellen en aftrekken te makkelijk om in zijn werk te bespreken.
In de laatste twee hoofdstukken staan verscheidene opgaves met daarbij een uitleg hoe men
geacht wordt deze opgaves op te lossen.
Over het vermenigvuldigen zegt Sun Zi dat de twee getallen die men wil vermenigvuldigen
geplaatst moeten worden in twee posities, zodat het ene getal boven het andere staat. Als
het getal twee cijfers bevat dan moet de eenheid van het onderste getal onder het tiental van
het bovenste staan. Als het getal drie cijfers bevat dan moet de eenheid van het onderste
getal onder het honderdtal van het bovenste staan. Dit gaat zo verder. Daarna wordt het
gehele onderste getal vermenigvuldigd met het uiterst linkse cijfer in het bovenste getal en de
uitkomst hiervan wordt in het midden geplaatst. Dan verwijder je het cijfer dat linksboven
staat en het onderste getal schuift één plaats naar rechts. Vervolgens herhaal je dit proces
totdat het getal in de bovenste positie is verdwenen.
Om dit te verduidelijken staat er in figuur 6.5 aan de hand van de telstokjes hoe men
de vermenigvuldiging van 7239 met 23 moet oplossen. Dit is ook een opgave die in het
werk van Meester Sun staat. In figuur 6.6 staan dezelfde stappen uitgewerkt maar dan in
Hindoe-Arabische getallen.
Bij de opgave 7239 x 23 wordt 7239 in de bovenste positie geplaatst en 23 in de onderste
waarbij de 3 van 23 onder de 7 van 7239 staat. Nu wordt er in twee stappen 7 met 23
vermenigvuldigd wat 161 geeft. (Dit staat dus eigenlijk voor 161000.) 161 wordt tussen de
beide getallen gezet. Dan verdwijnt de 7 van 7239 en wordt de 23 één plaats naar rechts
verschoven. Nu moet men 2 maal 23 uitrekenen; dit geeft 46, dat bij 1610 moet worden
opgeteld. We onthouden nu 1656(00), de bovenste 2 verdwijnt en 23 gaat weer een positie
naar rechts. Dit geeft 3 x 23 = 69 en dat bij 16560 opgeteld moet worden. Dit is 16629(0)
en de bovenste 3 mag weer weggehaald worden; het getal 23 schuift voor de laatste keer naar
rechts. De laatste stap is 9 maal 23, dat geeft 207 dat bij 166290 opgeteld wordt. Dit geeft
een uiteindelijk antwoord van 166497.
We zien dat deze methode met het rekenen met telstokjes dus uitermate geschikt is om grote
getallen met elkaar vermenigvuldigen.
4 Vertaling:
FV
6.2. MEESTER SUN EN DE CHINESE TELSTOKJES
Figuur 6.5: 7239 x 23 in Chinese telstokjes
Figuur 6.6: 7239 x 23 in Hindoe-Arabische getallen
67
68
HOOFDSTUK 6. OP ZOEK NAAR DE OORSPRONG VAN ONZE GETALLEN
Ook het delen komt aan bod in het werk van Meester Sun. Hierover zegt hij dat de methode
voor het delen gelijk is aan het ongekeerde van de methode voor het vermenigvuldigen. De
deler wordt in de onderste positie geplaatst en het gedeelde in de middelste.
Figuur 6.7: 100 : 6 in Chinese telstokjes
Ook het delen is het makkelijkst uit te leggen aan de hand van een voorbeeldsom die terug
te vinden is in het werk van Meester Sun, namelijk 100 gedeeld door 6. Deze berekening
is terug te vinden in figuur 6.7 en 6.8. Hierbij is 6 de deler of noemer en 100 het gedeelde
ofwel de teller. In het midden komt dus 100 te staan en daaronder 6. De 6 staat onder de
eenheid van 100 als men eerst de breuk gewoon neerlegt. Nu wordt de 6 helemaal naar links
verschoven en ligt hij onder de 1. In dit geval krijg je dus 1 gedeeld door 6 en deze deling is
niet mogelijk. Dan schuift de 6 één plaats naar rechts. De 6 past één keer in 10 en daarom
wordt er een 1 in de bovenste positie geplaatst. De rest hiervan is 4(0) en de 6 gaat nogmaals
naar rechts. De 6 past 6 maal in 40 dus komt er een 6 in de bovenste positie achter de 1, wat
16 geeft. De rest van 40 delen door 6 is 4 en het uiteindelijke antwoord staat nu in stokjes,
namelijk 16 46 .
Figuur 6.8: 100 : 6 in Hindoe-Arabische getallen
Een vertaling van het werk van Meester Sun is terug te vinden achter in het boek Fleeting
Footsteps van Lam Lay Yong en Ang Tian Se uit 1992. Het eerste gedeelte is voornamelijk
gewijd aan het uitleggen van de tekst van Meester Sun. Alleen in het laatste hoofdstuk wordt
er een interessante hypothese gesteld, namelijk dat ons Hindoe-Arabische getalsysteem zijn
oorsprong heeft in het systeem van de Chinese telstokjes. Zo is het Chinese systeem veel
ouder en kon het vrij gemakkelijk via handelsroutes in India terecht zijn gekomen ([LA92], p.
133-148). De volledige argumentatie behandelen we in de conclusie.
Doordat er in het werk van Meester Sun Boeddhistische invloeden zijn terug te vinden is
het handig te kijken welke invloed de verspreiding van het Boeddhisme gehad kan hebben op
overdracht van getalsystemen tussen India en China.
Het Boeddhisme is gesticht door Gautama Boeddha. Boeddha, die geboren werd als
Siddhartha Gautama, leefde in de vijfde eeuw voor Christus in het huidige Nepal ([Har90],
p. 5,9). Het Boeddhisme kwam in China vanuit India tussen 70 en 160 na Christus. De
periode van grote boeddhistische uitwisseling was in het midden van de vierde eeuw waarin
er Indiase monniken naar China kwamen; vervolgens gingen er weer Chinese pelgrims naar
India ([Nee59a], p. 207). Het decimale positiesysteem is waarschijnlijk aan het begin van
de zevende eeuw na Christus in India ontstaan. Door het Boeddhisme was er al ruim twee
eeuwen veel contact en uitwisseling tussen India en China.
6.3. DE ONTWIKKELING VAN GETALNOTATIE IN INDIA
6.3
69
De ontwikkeling van getalnotatie in India
Om meer te zeggen over herkomst van ons decimale positiesysteem, is het nuttig om te kijken
hoe de getalnotatie in India zich ontwikkeld heeft. Voordat de Indiërs hun getallen schreven
met de ons welbekende tien cijfers, had men verschillende methoden ontwikkeld om getallen
weer te geven. Hieronder komen deze methoden aan bod, inclusief het opduiken van het
decimale positiesysteem aan het begin van de zevende eeuw.
De oudste Indiase geschriften waarin wiskundige kennis voorkomt zijn de Śulbasūtra’s,
waarin aanwijzingen voor het bouwen van Vedische5 altaren worden gegeven. Voor ons
is vooral de manier waarop getallen worden weergegeven van belang. In de Vedische
geschriften wordt dit nog gedaan door de getallen volledig in woorden weer te geven. De
volgorde waarin dit gebeurde was nog niet van belang, hoewel er wel een bepaald gebruik
ontstond om de grootste machten van tien eerst op te schrijven. Een uitzondering hierop
zijn de eenheden en de tientallen, waarbij de eenheden voor de tientallen werden geschreven6 .
In India was, net zoals bij ons, het getal tien het grondtal van het getalsysteem. In de
Yajurveda Saṁhitā vinden we een opsomming van namen van machten van tien, tot 1012 (Datta,
p 9):
Eka (1), daśa (10), sata (100), sahasra (1000), ayuta (104 ), niyuta (105 ), prayuta (106 ), arbuda
(107 ), nyarbuda (108 ), samudra (109 ), madhya (1010 ), anta (1011 ), parārdha (1012 ).
Samen met de namen voor de getallen 1 tot en met 9 (eka, dvi, tri, catur, pañca, s.at.,
sapta, as..ta, nava) werden getallen gevormd als pañcadaśa (’vijftien’) en trı̄n.i śatāni catur-vimśati
(’drie honderd vier twintig’). Aan deze notatie werd niet strikt gehanteerd: getallen als
negentien werden meestal geschreven als ekānna-viṁśati (’twintig-min-één’), hoewel soms ook
nava-daśa (’negen-tien’) werd gebruikt. Omdat vrijwel alle Sanskriet-literatuur in versvorm is
geschreven, veroorloofden de auteurs zich in dit opzicht een grote notationele vrijheid om
de tekst zijn metrum te laten behouden. Zo wordt in de Lı̄lāvatı̄ 297 geschreven als 300 − 3
(Datta, p 16).
Figuur 6.9: Getalsymbolen in het Kharos..thı̄-schrift.
5 De Veda’s zijn oude geschriften in het Sanskriet.
Het is de oudste verzameling heilige teksten van het
Hindoeı̈sme. De datering loopt erg uiteen; algemeen wordt aangenomen dat de Veda’s tijdens het eerste millennium
voor Christus zijn ontstaan.
6 Vergelijk éénentwintig, einundzwanzig. In niet-Germaanse talen is het echter andersom: twenty-one, vingt-et-un.
70
HOOFDSTUK 6. OP ZOEK NAAR DE OORSPRONG VAN ONZE GETALLEN
Naast woorden werden er ook symbolen gebruikt om getallen weer te geven. De oudste
bronnen waarin deze symbolen zijn gevonden zijn inscripties uit de regeerperiode van
Aśoka, die duurde van 273 tot 232 voor Christus. Aśoka vaardigde edicten uit door middel
van inscripties in stenen en pilaren, waarvan sommige bewaard zijn gebleven. De meeste
inscripties zijn geschreven in het Brāhmı̄-schrift; in andere wordt het Kharos..thı̄-schrift gebruikt.
Het Kharos..thı̄ wordt van rechts naar links geschreven.
Het grootste deel van de
Kharos..thı̄-inscripties is gevonden in Gāndhāra, op de grens van het huidige oost-Afghanistan
en noord-Punjab. In de inscripties van Aśoka worden alleen de getallen 1, 2, 4 en 5 gevonden,
geschreven als groepjes verticale strepen. In latere inscripties (tussen 100 voor Christus en
200 na Christus) komen meer getallen voor. Een overzicht hiervan is te zien in figuur 6.9.
Inscripties in het Brāhmı̄-schrift zijn te vinden in bijna geheel India. De schrijfrichting
is van links naar rechts. Er is een duidelijk verschil tussen de Kharos..thı̄-symbolen en de
Brāhmı̄-symbolen te zien. Wederom komen in de Aśoka-inscripties weinig getalsymbolen voor,
zie figuur 6.10. Een uitgebreider gebruik van getalsymbolen in het Brāhmı̄-schrift is gevonden
in de grotinscripties in de Nānāghāt-heuvel, midden-west-India. Deze inscripties stammen
uit de tweede eeuw voor Christus. De daar gebruikte getalsymbolen zijn te zien in figuur 6.11.
Figuur 6.10: Getalsymbolen in het Brāhmı̄-schrift, Aśoka-inscripties.
Figuur 6.11: Getalsymbolen in het Brāhmı̄-schrift, Nānāghāt-inscripties.
In oude Vedische geschriften vinden we nog een andere manier om getallen weer te geven,
de zgn. woord-getallen. Dit waren woorden die door hun betekenis een bepaalde getalswaarde
aanduidden. Het getal één werd bijvoorbeeld weergegeven door iets dat duidelijk uniek is,
zoals de zon, de maan of de aarde. Voor het getal twee werd iets gekozen dat altijd in paren
voorkomt, zoals handen of voeten. Nul werd aangeduid door woorden als leegte of lucht.
Dit systeem gaf de auteur veel vrijheid om de getallen binnen het metrum van de tekst en
passend in de context weer te geven.
6.3. DE ONTWIKKELING VAN GETALNOTATIE IN INDIA
71
Aanvankelijk werden de woord-getallen gebruikt zonder dat de plaats van het getal
in de zin invloed had op de grootte ervan: met andere woorden, het systeem had nog
geen plaatswaarde. In de B.hrat-saṁhitā van Varahamihira (± 550 na Christus) werden de
woord-getallen echter voor het eerst met plaatswaarde gebruikt. Hier wordt het getal
1582237800 weergegeven als
kha (0) kha (0) as..ta (8) muni (7) rāma (3) aśvi (2) netra (2) as..ta (8) śara (5) rātripāh. (1).
Het is interessant om op te merken dat voor het getal 2 twee verschillende woorden worden
gebruikt; kennelijk paste dit beter in het metrum van de tekst. In de Pañca-siddhāntiká van
Varahamihira werd dit systeem ook toegepast. Latere werken als de Brāhma-sphut.a-siddhānta
en de Gan.ita-sāra-saṁgraha gebruikten eveneens woord-getallen met plaatswaarde. De eerste
inscripties waar dit systeem werd gebruikt zijn gevonden in Cambodja. Beide inscripties
dateren uit de eerste helft van de zevende eeuw.7
In zijn Āryabhat.īya (499 na Christus) gebruikt Āryabhat.a een ander systeem om grote getallen
te noteren. Dit wordt uitgelegd in vers 2 (Elfering, p 29):
Vargāks.arān.i varge ’ varge ’ vargāks.arān.i kāt ṅmau yah. /
khadvinavake svarā nava varge ’ varge navāntyavarge vā //
De ”Varga-medeklinkers” op de ”Varga-plaatsen”,
op de ”Avarga-plaatsen” de ”Avarga-medeklinkers”;
beginnend met ”ka”; ṅmau = yah.;
de negen klinkers in het uit 2 x 9 nullen bestaande schema,
zowel in Varga- als Avarga(plaatsen);
of in de Vargragroep, die op de negen (klinkers) volgt.8
Deze wat cryptische omschrijving wordt duidelijker met enige kennis van het
Sanskriet-alfabet. Hierin staan, in tegenstelling tot ons alfabet, de letters gegroepeerd
naar klank. Alle klinkers staan vooraan, gevolgd door de groepen medeklinkers, die
ingedeeld zijn als stemloos, stemhebbend, gutturaal, labiaal, etc., in rijen van vijf. Deze
geklassificeerde medeklinkers noemt men Varga-medeklinkers. Aan het eind van het alfabet
komen acht niet geklassificeerde medeklinkers, de Avarga-medeklinkers.
Figuur 6.12: Het klinker-schema van Āryabhat.a.
7 Dit systeem wordt tegenwoordig nog gebruikt om lange getallen makkelijk te onthouden. De eerste veertien
decimalen van π kun je uit de volgende zin halen door het aantal letters van ieder woord te tellen: How I want
a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics! Joseph Shipley heeft in 1960
zelfs een gedicht gemaakt volgens dit systeem: But a time I spent wandering in bloomy night; / Yon tower, tinkling
chimewise, loftily opportune. / Out, up, and together came sudden to Sunday rite, / The one solemnly off to correct
plenilune. De eerste 740 decimalen van π in dichtvorm kunnen op de site van Michael Keith gevonden worden:
http://users.aol.com/s6sj7gt/mikerav.htm.
8 Vertaling: FV
72
HOOFDSTUK 6. OP ZOEK NAAR DE OORSPRONG VAN ONZE GETALLEN
De klinkers worden in schema van figuur 6.12 gezet. Vervolgens worden de medeklinkers
genummerd volgens figuur 6.13 en figuur 6.14. Een getal wordt vervolgens gevormd door de
medeklinkers afwisselend te laten volgen door de bijbehorende klinker. Een paar voorbeelden:
ka = 1
gi = 3 · 102 = 300
ma = 25
ki = 100
ña = 10
mu = 25 · 104 = 25000
kau = 1 · 106
ni = 10 · 102 = 1000
ya = 3 · 10 = 30
yi = 3 · 103 = 3000
ra = 4 · 10 = 40
ha = 10 · 10 = 100
śa = 7 · 10 = 70
hi = 10 · 103 = 10000
In het bovenstaande schema is te zien dat er meerdere mogelijkheden zijn om hetzelfde
getal uit te drukken: het getal 100 kan zowel als ki als als ha worden geschreven, zowel ku
als hi staat voor 10000. Deze mogelijkheden worden nog eens uitgebreid door het feit dat
Āryabhat.a deels vasthoudt aan de oude traditie om getallen als som te noteren. Zo wordt 26
geschreven als kma of kāma = 1 + 25 en 24 wordt zowel met bha als met ghna = ghana = 4 + 20
aangeduid. Omdat deze samenstellingen van lettergrepen ook andere betekenissen hebben
(zo betekent kāma wens of begeerte en ghana vast of dicht) werd er veel gebruik gemaakt van
de dubbelzinnige betekenis.
Dat een getal op meerdere manieren geschreven kan worden, laat Āryabhat.a zien met de regel
’ṅmau = yah.’, waarin ṅma(u) = 5 + 25 (gebruik makend van Varga-medeklinkers) en yah. = 30
(gebruik makend van Avarga-medeklinkers).
Figuur 6.13: De Varga-medeklinkers met hun getalswaarden volgens Āryabhat.a.
Figuur 6.14: De Avarga-medeklinkers met hun getalswaarden volgens Āryabhat.a.
In de inscripties in de zgn. Gujara-plaat uit Sankheda, Gujarat, India, treffen we voor het
eerst een getal aan dat geschreven is in een decimaal positiesysteem; dat wil zeggen dat het
getal wordt geschreven met behulp van tien symbolen en dat de plaats van het symbool de
waarde ervan aangeeft. De inscripties hebben het over het jaar Saṁvat 346 (585 na Christus),
dat aan het eind van het document zowel in woorden (driehonderd plus zes-en-veertig)
als in symbolen wordt weergegeven. Vanaf de tweede helft van de zevende eeuw duiken
er steeds meer gegraveerde platen op waar de datum in de decimale positienotatie wordt
weergegeven. In de periode tot het jaar 1000 verschilden de symbolen nog sterk van elkaar,
maar langzamerhand begonnen ze steeds meer op elkaar te lijken.
6.3. DE ONTWIKKELING VAN GETALNOTATIE IN INDIA
73
De huidige symbolen voor 1 tot en met 9 (an.ka) en 0 (śūnya) in het Nāgāri-schrift zijn
te zien in figuur 6.15. Andere Hindi-schriften hebben iets afwijkende symbolen, maar de
Nāgāri-symbolen worden het meest gebruikt.
Figuur 6.15: De symbolen voor de getallen 1 tot en met 9 en 0 in het Nāgāri-schrift.
Aan de plaat-inscripties is goed te zien hoe het nieuwe decimale positiesysteem het oude
woord-systeem overnam. Op de grote plaat van koning S̄ı̄lāditya (circa 760 na Christus) wordt
het jaar Gupta 441 geschreven als 4041 omdat de auteur per ongeluk ’veertig-honderd’ in
plaats van ’vier-honderd’ schreef. Andere platen laten een dergelijke overgang zien; rond het
begin van de tiende eeuw gaven de auteurs van de inscripties geen blijk meer van kennis van
het oude woord-systeem.
Het systeem verspreidde zich snel. In een werk uit het jaar 662 heeft de Syrische
priester Severus Sebokht het over het feit dat de Hindoes een goede manier hebben om
berekeningen uit te voeren ’met behulp van negen tekens’. Merk op dat Severus Sebokht
het niet over de nul9 heeft; misschien zag hij het niet als teken. In de Brāhma-sphut.a-siddhānta
(628) van Brahmagupta wordt het decimaal positiesysteem uitgebreid gebruikt. Ook in
het Bakhshālı̄-manuscript (blad 58) komen decimaal genoteerde getallen voor. In enkele
berekeningen wordt ’nul’ gebruikt, en op blad 58 (VII 13 in de volgorde van Hayashi) wordt
het getal 2653296226447064994(2)8321(1)87 zowel in het decimale positiesysteem als
door middel van woord-getallen (met positiewaarde) geschreven. Het probleem met het
Bakhshālı̄-manuscript is dat het moeilijk te dateren is. Het is opgegraven in 1881 in het dorpje
Bakhshālı̄, nabij Peshawar, India. Door blootstelling aan de buitenlucht is de boomschors
waarop het is geschreven snel in kwaliteit achteruit gegaan. Hayashi plaatst het werk in de
zevende eeuw na Christus. Het fragment waarop het bovenstaande getal staat, is te zien in
figuur 6.16.
De veelheid van manieren waarop een getal gelezen kan worden, kan ook aanleiding geven
tot de ogenschijnlijk verkeerde conclusies. Zo stelt Pingree [Pin78] in zijn vertaling van de
Yavanajātaka van Sphujidhvaja dat het woord s.at.pañcaka 65 (zes-vijf) betekent. Dit zou betekenen
dat dit de eerste keer is dat het decimaal positiesysteem voorkomt in een tekst, nog voor
de Gujara-inscriptie. De Yavanajātaka is een Sanskriet vertaling van een Griekse (Yavana)
astronomische tekst. De originele Griekse tekst wordt geschat op circa 120 voor Christus
en zijn vertaling in het Sanskriet op circa 150 na Christus. De versie van Sphudjidhvaja komt
uit het jaar 269. De interpretatie van Pingree wordt bestreden door Shukla [Shu89]. Deze
beargumenteert dat s.at.pañcaka voor 6 x 5 = 30 staat, wat zou betekenen dat het getal nog
op de oude manier genoteerd is. Het is moeilijk om de originele tekst goed te interpreteren
doordat er in de loop van de tijd veel aan is veranderd en toegevoegd. Vooral het hoofdstuk
waarin de bewuste passage staat, heeft hier veel van te lijden gehad.
Het decimaal positiesysteem met punt als symbool voor de nul wordt gebruikt in de
Chiu-chih li, een Chinees werk over astronomie uit het jaar 718, samengesteld door Indiase
wetenschappers voor de Chinese keizer. Ook verspreidde het zich snel richting Arabië, waar
het de vorm aannam die wij vandaag gebruiken.
9 In de Pañca-siddhāntikā (circa 575) van Varahamihira wordt het getal nul (śūnya) gebruikt in dezelfde functie
als andere getallen: ” . . . twice each of three, two, one, and zero are the minutes in the Sines in Gemini.” (IV, 12;
Datta, p 78 verwijst per abuis naar VI, 12)
74
HOOFDSTUK 6. OP ZOEK NAAR DE OORSPRONG VAN ONZE GETALLEN
Figuur 6.16: Blad 58 of VII 13 uit het Bakshālı̄-manuscript.
6.4
6.4.1
Conclusie
De hypothese van Lam en Ang
De auteurs van Fleeting Footsteps, Lam en Ang, beargumenteren dat het Hindoe-Arabische
getalsysteem zijn wortels heeft in China. Hun redenering is als volgt:
Het lijkt vreemd om twee systemen te verbinden die uiterlijk van elkaar verschillen.
Het Hindoe-Arabische systeem is een geschreven getalsysteem, terwijl het Chinese
stokjes-systeem een rekenmethode is die gebruik maakt van stokjes. Het gaat echter
niet om de vorm die het systeem aanneemt, maar om de conceptuele achtergrond. Het
concept van de twee systemen is hetzelfde: er zijn negen symbolen voor de eerste negen
getallen; grotere getallen worden hieruit opgebouwd met behulp van een positiesysteem, dat
hetzelfde is in beide systemen. De nul wordt aangegeven door een lege plaats, respectievelijk
door een punt. Deze plaats wordt ’leeg’ genoemd (kong resp. śūnya). Het Chinese systeem
wordt gedateerd vóór de periode van de strijdende staten (475 - 221 voor Christus), terwijl de
eerste Indiase inscriptie die gebruik maakt van het decimaal positiesysteem dateert uit 585
na Christus. Daarom is het mogelijk dat het Hindoe-Arabische systeem oorspronkelijk uit
China komt.
Lam en Ang geven twee alternatieven, die ze daarop proberen te ontkrachten. Mogelijkheid
A is dat het concept van het Hindoe-Arabische systeem in India is gekomen vanuit een ander
systeem dan het Chinese. Mogelijkheid B is dat het Hindoe-Arabische systeem een Indiase
uitvinding is.
De eerste mogelijkheid wordt ontkracht met de bewering dat het Chinese stokjessysteem het
énige systeem is dat conceptueel overeenkomt met het Hindoe-Arabische systeem. Andere
systemen mogen dan wel het getal tien als grondtal hebben of een plaatswaarde-systeem
hebben (zoals te zien is bij het Babylonische cuneivorm-systeem en het Maya-systeem), het
komt nooit allebei tegelijk voor. Ingaand op de tweede mogelijkheid wordt eerst aangehaald
dat Indiase historici in het duister tasten over de oorsprong van het Indiase decimale
positiestelsel. De hypothese dat het Hindoe-Arabische systeem Indiase wortels heeft,
wordt volgens Lam en Ang voornamelijk op drie redenen gebaseerd: De symbolen zijn van
Indiase origine, Arabische teksten hebben het over Indiase of Hindoe-getallen en sommige
onderwerpen die in het Hindoe-Arabische systeem behandeld worden komen nauw overeen
met die in sommige Indiase wiskundige werken. Hoewel deze redenen geldig zijn, zijn ze
volgens Lam en Ang niet voldoende om te concluderen dat het Hindoe-Arabische systeem
alleen uit India kan komen. De laatste twee redenen zijn volledig consistent met de bewering
6.4. CONCLUSIE
75
dat het Indiase systeem ergens anders vandaan komt. In verband met de eerste reden voeren
zij aan dat de cijfers terug te voeren zijn op het Brāhmı̄-schrift, dat veel meer dan negen tekens
kende. Dit is in tegenspraak met de conceptuele overeenkomst tussen het Chinese en het
Hindoe-Arabische systeem.
Als bewijs voor een Chinese oorsprong van het Hindoe-Arabische systeem geven Lam en
Ang dat de reden dat het decimale positiesysteem destijds in China bedacht is dezelfde is
als de reden waarom het Hindoe-Arabische decimale positiesysteem zo snel de rest van de
wereld heeft veroverd: het is zeer geschikt om de vier basis-manipulaties (optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen en delen) toe te passen op grote getallen. De manier waarop in de Sun Zi
suanjing vermenigvuldigen en delen wordt omschreven, komt stap voor stap overeen met de
methode in drie Arabische teksten10 . Zo’n overeenkomst kan natuurlijk toevallig zijn. Lam
en Ang stellen echter dat een verzameling procedures om een bewerking uit te voeren voor
een groot deel een kwestie van conventies is en onvermijdelijk verbonden is met de culturele
achtergrond van het systeem.
De overeenkomst is nog treffender als in ogenschouw wordt genomen hoe verschillend de
media zijn waarmee wordt gerekend (schrift respectievelijk stokjes). De procedures die
beschreven worden door Sun Zi zijn duidelijk bedoeld en geschikt voor manipulaties voor
stokjes op een rekenbord. Het verplaatsen van stokjes en het opschuiven van plaatsen is niet
geschikt voor een geschreven systeem. Dat deze operaties evenwel voorkomen in de vroege
Islam suggereert dat ze zijn overgenomen van een niet-geschreven getalsysteem. Er is zelfs
een ontwikkeling te zien in de manier waarop men rekenoperaties uitvoerde, naarmate men
het Hindoe-Arabische systeem beter onder de knie kreeg. Lam en Ang stellen dat sommige
operaties, zoals de zogenaamde ’scratch method’, die populair was in het Europa van de
vijftiende eeuw, oorspronkelijk de Chinees/Arabische delingsmethode was. De stappen
waarbij de stokjes-getallen aangepast of weggehaald werden, waren vervangen door het
wegstrepen van getallen op papier.
6.4.2
Discussie
De nadruk die Lam en Ang leggen op de conceptuele overeenkomst kan in een ander
perspectief worden gezien als we het boek De geschiedenis van het getal van George Ifrah [Ifr85]
bekijken. Hierin wordt uitgelegd dat de keuze voor het grondtal tien minder willekeurig is
dan deze op het eerste gezicht lijkt. De keuze van het grondtal tien in verschillende culturen
is volgens hem ingegeven door het feit dat de mens begonnen is met tellen en het bijhouden
van getallen met behulp van zijn eigen lichaam: de handen. De menselijke anatomie zadelt
ons nu eenmaal op met tweemaal vijf vingers; daar zullen we het in beginsel mee moeten doen.
De ontwikkeling van de getalnotatie in India biedt ook meer mogelijkheden voor de
autonome ontwikkeling van een decimaal positiesysteem. Hierbij kan de versvorm van het
Sanskriet als drijvende kracht worden gezien. Er is een trend waarneembaar van afkorting
van getallen; deze werden eerst omschreven met woord-getallen (één = aarde, zon, etc.)
die door hun dubbelzinnigheid een functie hadden in de literaire context. Daarna werden
lettergrepen gebruikt voor notatie van getallen zodat ze, ingepast in het metrum, een groot
getal weer konden geven11 . Ook de alfabetische notatie van Āryabhat.a, die helemaal geënt is
op het gebruik van lettergrepen en metrum, laat zien dat hij veel aandacht besteedde aan
de esthetische en literaire kwaliteit van zijn werk12 . Nu maakt de notatie van Āryabhat.a,
hoewel tientallig, nog niet gebruik van een positiesysteem; Varahamihira en latere auteurs als
Brahmagupta gebruiken deze combinatie wel.
10 Een Latijnse vertaling van al-Khwārizmı̄’s werk over rekenkunde, de Kitāb al-Fusūl fı̄ al-Hisāb al-Hindı̄ van
al-Uqlı̄disı̄ en de Kitāb fı̄ Usūl Hisāb al-Hind van Kūshyār ibn Labbān.
11 Deze notatie wordt voor het eerst gevonden in werken van Varahamihira, zie pagina 71.
12 [Elf75], p. 29, over vers 2: ”In dieser gedrängten Zusammenfassung haben wir gleich zu Beginn des Werkes
en Beispiel für den knappen Ausdrucksstil unseres Autors in seinem nach den Regeln der indischen Dichtkunst
verfassten Lehrbuch.”
76
HOOFDSTUK 6. OP ZOEK NAAR DE OORSPRONG VAN ONZE GETALLEN
Als we aannemen dat het Indiase systeem over is gewaaid uit China, blijft nog wel de vraag
bestaan op welke manier dit precies gebeurd is. Omdat India en China aangrenzende rijken
waren, werd er geregeld handel gedreven. Op handelsgebied kan er dus zeker contact worden
verondersteld. De vraag is of dit contact direct genoeg was: veel handel ging via buurlanden
als Cambodja en Vietnam. Pas met de opkomst van het Boeddhisme was er sprake van iets
dat ’handel in denkbeelden’ kan worden genoemd: de leer van het Boeddhisme werd door
monniken naar China gebracht en kreeg daar voet aan de grond. Pas later, rond het begin
van de vijfde eeuw, begonnen de eerste Chinese monniken pelgrimstochten te maken naar
India.
Of dit de overdracht van het Chinese getalsysteem zou bevorderen, is nog maar zeer de vraag.
De pelgrims kwamen naar India met een spiritueel doel; hun focus lag niet bij de in China
toch als zeer practisch beschouwde rekenkunde. Bovendien werd wiskunde in China en in
India op een totaal verschillende manier bedreven. In China was de rekenkunst onderdeel
van het ambtenaren-examen; de kennis ervan was wijd verbreid en vooral practisch gericht.
In India daarentegen was de wiskunde vooral gekoppeld aan astronomie. Deze had een sterk
religieuze functie en werd daarom vrijwel uitsluitend beoefend door brahmaanse priesters.
Deze priesters hadden door hun functie vanzelfsprekend niet altijd even veel op met het
Boeddhisme. Het feit dat in India de wiskunde als religieuze bezigheid werd gezien, had tot
gevolg dat de wiskunde op zichzelf als mooi werd gezien en dus niet direct practisch nut
hoefde te hebben. Dit werkt vrij en creatief denken in de hand, zeker als de wiskunde wordt
uitgeoefend in een literaire traditie.
Het ligt meer voor de hand om een eventuele overdracht van het Chinese positiesysteem
te zoeken in de handelsbetrekkingen. Een paar van de vroegste Indiase inscripties waar
het decimale positiesysteem voor het eerst wordt gebruikt, zijn gevonden in landen als
Cambodja en Vietnam en op Sumatra. Deze landen hadden, hoewel ze op dat moment
onder invloed stonden van India, ook sterke handelsbanden met het aangrenzende China.
Handelaren waren ook de mensen die het stokjessysteem dagelijks gebruikten om hun
prijzen uit te rekenen. Dit houdt de mogelijkheid open voor het feit dat het Chinese systeem
op twee verschillende plaatsen op twee verschillende manieren kan zijn overgenomen, met
twee verschillende manieren van notatie. Lam en Ang gebruiken deze mogelijkheid om te
verklaren waarom er in de Arabische landen twee versies van het Hindoe-Arabische systeem
in omloop waren. Het oost-Arabische systeem had een nul, die schreven werd als punt. Het
west-Arabische systeem, ook wel aangeduid met gubar-getallen, had geen nul en gebruikte
puntjes boven de getallen om hun volgorde aan te duiden. Het ontstaan van het ene systeem
uit het andere systeem zou deze verschillen moeilijk kunnen verklaren. Het ligt, volgens
Lam en Ang, meer voor de hand dat het Chinese stokjessysteem via twee verschillende
schrijfwijzen de Arabische wereld is binnengekomen.
Er zijn nog een paar open plekken. Zo hebben wij niet gekeken naar de eventuele
invloed van het Babylonische getalsysteem (met plaatswaarde) op de ontwikkeling van het
Indiase systeem. Ook leunt de redenering van Lam en Ang zwaar op de rekenmethode
van de Chinezen. Over de rekenmethode van de Indiërs weten we weinig tot niets. Er zijn
aanwijzingen dat voor berekeningen een schoolbord ([Sar85], p 175 e.v.) of een met stof
bedekt bord werd gebruikt. Dit laatste kan de reden zijn dat Brahmagupta astronomische
berekeningen ’dhūlı̄karman’, stofwerk noemde. Ook is er in sommige filosofische werken uit de
derde tot vijfde eeuw sprake van een kraal of ’teller’ (gulikā / vartikā) die naar gelang zijn plaats
van waarde wisselde [Rue78]. Dit lijkt erop te wijzen dat de Indiërs in de eerste eeuwen na
Christus een soort abacus gebruikten. Het kan zijn dat deze in onbruik raakte naarmate het
gebruik van op een bord geschreven cijfers –of op een bord gelegde stokjes– aan populariteit
won. Er is echter niets bekend over het systeem dat men gebruikte om berekeningen uit te
voeren. Kennis daarvan zou veel open vragen over de eventuele overdracht van de Chinese
methode kunnen beantwoorden.
6.4. CONCLUSIE
77
Het antwoord op de hoofdvraag, Komt ons decimaal positiesysteem oorspronkelijk uit India of uit
China?, is dubbelzinnig. Aan de ene kant lijkt het onwaarschijnlijk dat in twee landen die
relatief dicht bij elkaar liggen en op zowel handels- als kennisgebied in meer of mindere mate
contact hadden, onafhankelijk van elkaar hetzelfde decimale positiesysteem kan ontstaan.
Het is in dit opzicht opvallend dat in India aan het begin van de zevende eeuw in vrij korte
tijd alle wiskunde- en astronomieboeken het decimale positiesysteem beginnen te gebruiken.
Aan de andere kant is in de ontwikkeling van de getalnotatie in India een duidelijke
trend te zien in de richting van een decimaal positiesysteem. Al hebben de Indiërs het
misschien niet zelf bedacht, het paste wel naadloos in hun eigen traditie. De vrijheid en
creativiteit die Indiase wiskundigen aan de dag legden, maakt het autonoom ontwikkelen
van een decimaal positiesysteem zeker niet onwaarschijnlijk, vooral gezien de verschillende
inventieve notatiemethoden die al in omloop waren.
Wie het ook bedacht heeft, de introductie van het Hindoe-Arabische decimale
positiesysteem heeft zeker gezorgd voor een bloei in de Europese wiskunde en heeft vele
verdere ontwikkelingen mogelijk gemaakt.
78
HOOFDSTUK 6. OP ZOEK NAAR DE OORSPRONG VAN ONZE GETALLEN
Hoofdstuk 7
Ch’ins reststelling
Alje Boonstra, Dick van Dam, Maria Velema
7.1
Inleiding
De oude Chinezen hadden, zoals in deze bundel duidelijk wordt, veel interessante wiskundige
ideeën. Het grootste deel hiervan is voor een moderne wiskundige weinig relevant, omdat de
westerse wiskunde veel breder toepaspaar en makkelijker in gebruik is. Een van de weinige
wiskundige bedenksels van de Chinezen die we tegenwoordig nog wel gebruiken is de Chinese
Reststelling. Deze stelling, of beter, dit algoritme, wordt gebruikt om problemen op te lossen
van het type N ≡ ri (mod mi ), waarbij de ri en mi gegeven zijn, en N gevraagd is. De methode
die we tegenwoordig gebruiken om dit op te lossen vertoont grote gelijkenis met een methode
die in het jaar 1247 werd beschreven in de Shu-shu Chiu-chang (Wiskundige verhandeling
in negen hoofdstukken) door Ch’in Chiu-shao. Onze moderne methode is gestroomlijnder
en we hebben, in tegenstelling tot Ch’in, een logische grondslag in de vorm van een bewijs,
maar inhoudelijk zijn de twee methoden zeer goed vergelijkbaar. Wij hopen in dit artikel
de overeenkomsten, maar ook de verschillen, op begrijpelijke wijze te illustreren, alsmede
inzicht te geven in de opmerkelijke prestatie die Ch’in Chiu-shao geleverd heeft.
7.2
Geschiedenis
Problemen met bekende resten en gevraagde N komen we voor het eerst tegen bij de Chinezen
in de Sun Zi suanjing, het boek van Meester Sun, gechreven tussen 280 en 473 na Christus.
Dit werk behandelt het volgende probleem:
”We hebben een onbekend aantal dingen; als we ze per 3 tellen, houden we 2 over; als we per 5 tellen
houden we 3 over; als we per 7 tellen houden we 2 over. Hoeveel dingen hebben we?”
De bijbehorende oplossing wordt gegeven als:
”Antwoord: 23
Methode: Als je per 3 telt en twee overhoudt, neem dan 140
Als je per 5 telt en 3 overhoudt, neem dan 63
Als je per 7 telt en 2 overhoudt, neem dan 30.
Tel deze op, dan krijg je 233. trek hier 210 van af en je krijgt 23.
79
80
HOOFDSTUK 7. CH’INS RESTSTELLING
Voor elke eenheid die je overhoudt als je per 3 telt, neem 70.
Voor elke eenheid die je overhoudt als je per 5 telt, neem 21.
Voor elke eenheid die je overhoudt als je per 7 telt, neem 15.
Als [de som] 106 of meer is, trek er dan 105 van af en je hebt het antwoord.”
Deze methode werkt wel, maar is uiteraard alleen toepasbaar op problemen met moduli 3, 5
en 7. Dit probleem komt zowel in China als in Europa veel voor in oude wiskundeboeken,
vaak als wiskundig vermaak.
In de eeuwen tussen het boek van Meester Sun en de Shu-shu Chiu-chang blijft het in
China vrij stil rondom dit soort problemen, met slechts enkele boeken die het probleem
van Meester Sun of een ander specifiek probleem oplossen. Sommige van deze oplossingen
zouden kunnen wijzen op een meer algemene methode, maar deze wordt nooit genoemd.
Enkele schrijvers geven verkeerde oplossingen voor hun problemen, hetgeen aangeeft dat
een eventuele algemene methode niet wijd verbreid was. De enige vooruitgang waarvan we
tegenwoordig bewijs hebben komt van een kalendermaker, Ho Ch’eng-t’ien, die in 443 N.C.
een nieuw kalendersysteem bedacht, gebruikmakend van een methode die Ch’in ook toepast
en toeschrijft aan Ho.
In India is al voor het jaar 1000 een methode gevonden om restproblemen op te lossen.
Āryabhat.a (rond 500 N.C.) heeft een methode gevonden om het probleem op te lossen met
twee resten en moduli. Deze werd later, door onder andere Brahmagupta, uitgebreid tot een
oplossingsmethode voor een willekeurig aantal vergelijkingen. Dit gebeurt door de methode
voor twee vergelijkingen herhaald toe te passen en de antwoorden te substitueren. Deze
methode, de Cuttaca, is fundamenteel anders dan de Chinese methode en de methode die
tegenwoordig meestal gebruikt wordt, dus wij zullen hem niet uitgebreid behandelen.
In Europa komt de behandeling van restproblemen vrij laat op gang. Fibonacci beschrijft in
1202 een probleem dat vrijwel identiek is aan dat van Meester Sun en enkele vergelijkbare
problemen. Hij weet echter alleen maar oplossingen voor die specifieke problemen, en
heeft geen algemene methode. In de daaropvolgende 250 jaar zijn geen noemenswaardige
vorderingen bekend. De Europese wiskunde komt een stapje verder rond 1450, als er een
manuscript verschijnt in München waarin restproblemen behandeld worden. Ook hier vinden
we behandelingen van specifieke problemen, zij het met een hogere moeilijkheidsgraad. Wat
veel interessanter is, is een passage waarin uitgelegd wordt waarom in het probleem van
Meester Sun de getallen 70, 21 en 15 voorkomen, evenals een methode om deze getallen
voor andere moduli te vinden1 . Deze methode is erg omslachtig, en niet erg bruikbaar bij
grote moduli. Dit is de eerste algemene oplossing in Europa. Hij werkt alleen voor moduli die
relatief priem zijn.
De volgende grote stap vinden we rond 1550, als er een manuscript verschijnt dat de methode
uit 1450 veralgemeniseert en versimpelt en, belangrijker, de logica achter de methode uitlegt.
De methode kan nog steeds niet goed uit de voeten met al te grote moduli, maar is duidelijk
beter. Er wordt ook een poging gedaan om het probleem op te lossen voor moduli die niet
relatief priem zijn, maar de gegeven methode is niet correct en werkt alleen voor het gegeven
voorbeeld. Als in de 17e eeuw de westerse wiskunde zich gaat richten op het deductief
bewijzen komt ook voor het oplossen van restproblemen een bewezen methode. De eerste
die iets dergelijks opschrijft is Beveridge in 1669. Hij bewijst echter maar een deel van
de methode. Euler en Gauss geven wel een volledig bewijs, maar kennen nog steeds de
oplossing voor moduli die niet relatief priem zijn niet. Dit komt pas in 1890 als Stieltjes de
totale oplossing vindt.
1 voor een set moduli vindt men de getallen door voor elke modulus de andere moduli met elkaar te
vermenigvuldigen, en dan de uitkomst zo vaak bij zichzelf op te tellen dat je 1 overhoudt modulus de modulus
waar we mee begonnen.
7.3. DE ONTVANGST VAN CH’INS METHODE
7.3
81
De ontvangst van Ch’ins methode
Hoewel Ch’in Chiu-shao een goed werkende methode had bedacht, werd deze niet snel bekend.
Na de 13e eeuw raakt de chinese wiskunde in verval, mede door de introductie van westerse
wiskunde door missionarissen van de Jezuieten-orde. Uit alle wiskundige werken die we
kennen uit die tijd en die restproblemen behandelen blijkt dat de schrijvers de methode
van Ch’in niet kennen. Zijn boek was echter wel bekend, want het werd opgenomen in een
15e -eeuwse bundeling van wiskundige werken, de Yung-lo tat-tien. Een mogelijke verklaring
is dat de wiskundigen in de tijd na Ch’in Chiu-shao de methode niet snapten, en er daarom
geen aandacht aan besteedden.
Pas in 1799, 550 jaar later, als de interesse in de oude Chinese wiskunde weer aan
het opbloeien is, komt Juan Yüan met een samenvatting van de Shu-shu Chiu-chang waarin
hij ook de ta-yen-regel samenvat. Hij laat weliswaar het reduceren van de moduli weg,
maar de rest van zijn uitleg is duidelijk en correct, zij het redelijk summier. In 1803 komt
Chang Tun-jên met een complete en uitgebreide uitleg. Hij maakt nog wel een fout in een
voorbeeld van het reduceren van de moduli, maar dit is waarschijnlijk een foutje waar hij
overheen heeft gelezen, omdat het antwoord bij het voorbeeld nog wel klopt.
In Europa wordt het werk van Ch’in uiteraard pas later bekend. Een missionaris die in
China gestationeerd is, Alexander Wylie, publiceert in 1852 een essay over de methode van
Ch’in in de North China Herald, de eerste Engelstalige krant van Shanghai. Deze krant werd
uiteraard in Europa niet gelezen, dus het duurt tot 1856 tot het artikel in Europa verschijnt,
in een vertaling naar het Duits door K.L. Biernatzki. Deze vertaling, de enige bron voor
Europese wiskundigen tot 1912, staat vol met fouten en onduidelijkheden2 . Hij laat zelfs de
uitleg van de ta-yen-regel weg, waardoor bijvoorbeeld Cantor dacht dat de Chinezen maar wat
gokten. Alle andere artikelen over de Chinese methode waren hierop gebaseerd, en maakten
de zaak zelf vaak nog onduidelijker3 . In 1876 zette Ludwig Matthiesen de meeste fouten in
Biernatzki’s artikel recht. Hoewel hij zelf ook geen beschikking had over goede bronnen wist
hij toch de juiste methode te reconstrueren, op enkele fouten en omissies, die overgenomen
werden van Biernatzki, na. De eerste uitleg van de ta-yen-regel zelf komt in 1912 via D.E.
Smith van de Japanse wiskundige Yoshio Mikami.
7.4
’Wat is wiskunde’-methode
In het eerste jaar van wiskunde wordt bij het vak ’Wat is wiskunde’ behandeld hoe je
restproblemen moet oplossen. Het principe achter deze methode is dat er bij het oplossen
van N ≡ ri (mod mi ) gezocht wordt naar getallen yi zodanig dat deze ≡ 1 (mod mi ), zodat
je hem met de gewenste rest kan vermenigvuldigen, en tegelijkertijd ≡ 0 (mod mj als j 6= i)
oftewel een veelvoud van alle andere moduli. Dit is handig omdat de verschillende y’s elkaar
dan niet verstoren. Met andere woorden, als je de yi allemaal optelt, is elke y verantwoordelijk
voor de rest modulo zijn eigen m en heeft geen invloed op andere resten.
Het zoeken naar zo’n y gebeurt bij dit van met behulp van het Euclidisch algoritme. Ch’in
had hier zijn ta-yen-regel voor, waar een uitgebreide uitleg van volgt.
2 Een mooi voorbeeld is het feit dat Biernatzki I-ching (een Chinese methode om de toekomst te voorspellen) en
I-Hsing (een Boedistische monnik en astronoom) beide vertaalt als I King, hetgeen geleid heeft tot veel verwarring bij
Europese wiskundigen.
3 vooral de Franse vertalingen door O. Terquem en J. Bertrand zijn bijzonder verwarrend.
82
7.5
HOOFDSTUK 7. CH’INS RESTSTELLING
Ch’ins methode
Ch’in beschreef in zijn werk de methode als een verhaal met een precieze instructie hoe de
getallen opgeschreven moeten worden en/of neergelegd op een telbord en welke operaties er
op de getallen uitgevoerd moeten worden. Dit deed hij aan de hand van praktijkproblemen
met een verhaaltje (niet altijd even realistisch) waar hij vervolgens de oplossing voor zocht.
Opvallend aan de methode is dat deze delen bevat die eigenlijk overbodig zijn. Die gaan
dan over speciale gevallen die toevallig zo uitkomen dat er stappen vereenvoudigd of zelfs
weggelaten kunnen worden. Echter, de stap ervoor bevat dan wel een onderzoek naar of de
getallen voeldoen aan dit speciale geval, wat het alleen maar onoverzichtelijker en langer
maakt. Wanneer je geen rekening houdt met deze speciale gevallen komt de algemene
methode ook gewoon uit. Daarom laten wij deze overbodige stappen weg.
Nu volgt een probleem uit de Shu-shu Chiu-chang. Het verhaaltje is uit het Engels vertaald wat
weer vertaald is uit het Chinees en geeft dus alleen maar globaal weer hoe de vraagstelling
eruit zag. Aan de hand van dit voorbeeld leggen we nu de methode uit. Door de oplossing heen
geven we dus stukjes tekst die instructie geven waarna we deze uitvoeren op ons voorbeeld.
Probleem 1.9
Het getal 1.9 komt van de telling in Shu-shu Chiu-chang. Het
probleem is als volgt.
Er is rijst gestolen uit een winkel uit drie gelijke manden die
vol waren. Het is onbekend hoe veel rijst er in een mand kan
maar wel hoeveel er nog over is in elke mand.
In de linker mand zit nog 1 ko, in de middelste mand zit nog 1
shêng 4 ko, ofwel 14 ko (want 1 shêng = 10 ko) en in de rechter
mand zit nog 1 ko.
Drie dieven zijn opgepakt. Dief A bekent dat hij met een grote
lepel uit de eerste mand zijn zak heeft gevuld, dief B bekent
zijn klomp te hebben gepakt om uit de middelste mand te
scheppen en dief C heeft een kom gebruikt. Alledrie hebben ze
inmiddels van de rijst gegeten en kunnen niet meer vertellen
hoeveel ze hebben gestolen. Van de drie voorwerpen wordt nu gemeten hoeveel rijst er in past
en daarmee moet uigezocht worden hoeveel elke dief gestolen heeft.
We moeten dus uitrekenen hoeveel rijst er in een mand kan. De vertaling van het probleem
in moderne notatie is als volgt: zoek een N zo dat: N ≡ 1 (mod 19) ≡ 14 (mod 17) ≡ 1 (mod
12), waarbij N de inhoud van de mand is en we vervolgens alleen de resten er af hoeven te
trekken om te zien hoeveel er gestolen is.
Oplossing
De methode van Ch’in Chiu-shao gaat als volgt. We introduceren meteen ook de Chinese
termen en omdat die in één keer te onthouden zijn, staat onder alle stappen een schema
waarin de getallen met hun namen genoteerd zijn.
stap 1: Reduceren van de wên-shu, de getallen uit het probleem modulo welke we rekenen. Dit
hoeft nu niet want ze zijn al relatief priem. De getallen 19, 17 en 12 zijn dus meteen de
gereduceerde getallen, ofwel de ting-shu.
stap 2: Vermenigvuldig de ting-shu. Het product heet de yen-mu, in ons voorbeeld 19 * 17 * 12 =
3876
stap 3: Deel de yen-mu door elke ting-shu. Elk van de quotienten heet de yen-shu. Deze zijn hier
dus: 204, 228 en 323
7.5. CH’INS METHODE
83
stap 4: Trek van de yen-shu zo veel mogelijk gehele ting-shu af. De resten die overblijven heten
de chi-shu. 204 − 10 ∗ 19 = 14; 228 − 17 ∗ 13 = 7; 323 − 26 ∗ 12 = 11
stap 5: Pas de ta-yen-regel toe op de chi-shu en ting-shu. De getallen die je krijgt heten de
ch’êng-lü, en komen overeen met de yi in de methode bij ’Wat is wiskunde’. In ons
voorbeeld voldoen: 15 ∗ 14 ≡ 1 (mod 19); 5 ∗ 7 ≡ 1 (mod 17); 11 ∗ 11 ≡ 1 (mod 12) Hoe je
deze getallen vindt, komt straks nog aan de orde.
stap 6: Vermenigvuldig de ch’êng-lü met de yen-shu.
15 ∗ 204 = 3060; 5 ∗ 228 = 1140; 11 ∗ 323 = 3553
De producten heten fan-yung:
stap 7: Vermenigvuldig fan-yung met de resten. De producten heten tsung: 3060, 15960 en 3553
stap 8: Tel alle tsung op: 22573
stap 9: Trek de yen-mu zo vaak mogelijk van deze som af. Wat overblijft is de gezochte N :
22573 − 5 ∗ 3876 = 3193
De oplossing is dus 3193 ko oftewel 319 shêng 3 ko. Dat betekent dat er in een volle mand
zoveel rijst zit en we nu weten hoe veel elk van de dieven gestolen heeft. Ch’in Chiu-shao merkt
niet op dat er nog meer oplossingen zijn, maar een veelvoud van yen-mu (het product van alle
moduli) meer of minder geeft natuurlijk ook een oplossing want die toevoeging verandert niks
aan de resten.
wên-shu
ting-shu
yen-mu
yen-shu
chi-shu
ch’êng-lü
fan-yung
resten
tsung-shu
som
N
19
19
204
14
15
3060
1
3060
17
17
3876
228
7
5
1140
14
15960
22573
3193
12
12
323
11
11
3553
1
3553
De cruciale stap in deze methode is de ta-yen-regel. In deze stap wordt gezocht naar de
ch’êng-lü met de volgende eigenschap:
ch’êng-lü ∗ chi-shu ≡ 1 (mod ting-shu).
Hoe je dit moet oplossen beschrijft Ch’in ongeveer zo:
Schrijf de chi rechtsboven, daaronder de ting-shu en linksboven t’ien-yüan (=1). Deel
rechtsonder door rechtsboven en vermenigvuldig met linksonder. Schrijf het linksonder in
de tweede positie...
In de vertaling van Libbrecht [Lib73] is dit een heel vaag verhaal. Gelukkig geeft hij ook een
uitleg erbij die Chang Tun-jên heeft gegeven van Ch’ins regel. Het is niet precies duidelijk hoe
Ch’in het noteerde of op een telbord uitrekende maar waarschijnlijk wel in een vergelijkbaar
schema of tabelletje.
Ik neem als voorbeeld (net als in het boek van Libbrecht) chi = 65 en ting-shu = 83.
Kijk hoe vaak 65 in 83 past, dit wordt q1 , de rest bij deling is r1 . Wij gebruiken de notatie van
Libbrecht.
84
HOOFDSTUK 7. CH’INS RESTSTELLING
q1
r1
1
65
83
18
Draai het dan om, hoevaak past de rest 18 in 65? Hieruit volgen dan q2 en r2 . Blijf
dit proces steeds herhalen totdat een rest die boven staat 1 is (dus rn = 1 met n even). Dit
zijn alle stappen:
q1
r1
1
65
83
18
r2
q2
11
65
18
3
q3
r3
1
11
18
7
r4
q4
4
11
7
1
q5
r5
1
4
7
3
r6
q6
1
4
3
1
Nu nu voert Libbrecht de notatie αn in door: αn = qn αn−1 + αn−2 (neem voor α0 = 1 en
α−1 = 0). Dan is αn de gezochte ch’êng-lü als rn = 1 (n even).
Reken alle α ’s uit.
n
1
2
3
4
5
6
qn
1
3
1
1
1
1
αn−1
1
1
4
5
9
14
α
1∗1+0=1
3∗1+1=4
1∗4+1=5
1∗5+4=9
1 ∗ 9 + 5 = 14
1 ∗ 14 + 9 = 23
Bij het vak ’Wat is wiskunde’ wordt bij de Chinese reststelling deze regel niet als zodanig
toegepast. In plaats daarvan wordt met het Euclidisch algoritme, wat je kan gebruiken om
de ggd4 van twee getallen te bepalen, teruggerekend wat de α en β zijn in de stelling van
Bachet-Bézout.
De stelling van Bachet-Bézout zegt: Voor alle gehele getallen a, b (niet 0), bestaan er gehele
getallen α en β zodat ggd(a, b) = αa + βb.
In dit speciale geval is de ggd 1 en nu is ook duidelijk te zien dat de ting-shu paarsgewijs ggd
1 moeten hebben oftewel onderling priem moeten zijn. Dan zijn namelijk vanzelf de ting-shu
onderling priem met de bijbehorende chi-shu.
Hieronder staat weergegeven hoe het werkt maar wel in de moderne algebraı̈sche notatie.
Euclides zelf schreef alles in woorden op in plaats van vergelijkingen maar daar ga ik nu niet
op in.
Dit gaat als volgt:
83 = 1 ∗ 65 + 18
65 = 3 ∗ 18 + 11
18 = 1 ∗ 11 + 7
11 = 1 ∗ 7 + 4
7=1∗4+3
4=1∗3+1
4 grootste
⇒ 18 = 83 − 65
⇒ 11 = 65 − 3 ∗ 18
⇒ 7 = 18 − 11
⇒ 4 = 11 − 7
⇒3=7−4
⇒ 1 = 4 − 3 (= ggd(83, 65))
gemene deler
7.5. CH’INS METHODE
85
Nu 1 omschrijven door terug naar boven te gaan:
1=4−3
1 = 4 − (7 − 4) = 2 ∗ 4 − 7
1 = 2(11 − 7) − 7 = 2 ∗ 11 − 3 ∗ 7
1 = 2 ∗ 11 − 3(18 − 11) = 5 ∗ 11 − 3 ∗ 18
1 = 5(65 − 3 ∗ 18) − 3 ∗ 18 = 5 ∗ 65 − 18 ∗ 18
1 = 5 ∗ 65 − 18(83 − 65) = 23 ∗ 65 − 18 ∗ 83
dus 23 ∗ 65 − 18 ∗ 83 ≡ 1 (mod 83).
Hieruit volgt dat 23 ∗ 65 ≡ 1 (mod 83) en dat is precies wat we zochten.
Er is duidelijk overeenkomst te zien tussen de twee methoden maar ze zijn toch echt
niet hetzelfde. Het herhaald delen met rest komt bij beide voor maar het bepalen van de
ch’êng-lü is bij Ch’ins methode makkelijker. Echter, wanneer je het Euclidisch algoritme
gebruikt zie je steeds waar je bent en waarom je dingen doet. Die manier is dus veel
inzichtelijker om te begrijpen en eigenlijk ook meteen een bewijs van de correctheid.
Hierin is weer eens te zien dat in de oud-Chinese wiskunde veel specifieke problemen en ook
wel algemene methoden voorkwamen maar niet het bewijs van algemene methoden! Het is
daarom ook niet te zeggen in hoeverre Ch’in zelf wist waarom zijn methode klopte (en soms
ook niet klopte). Bij zo’n modern bewijs komt ook duidelijk naar voren welke aan welke
voorwaarden een probleem moet voldoen om oplosbaar te zijn en ook dat vertelt Ch’in er niet
bij. Ook de ta-yen-regel werkt alleen als de getallen onderling priem zijn! Ch’ins opgaven zijn
(meestal) oplosbaar maar hij zal vast ook wel eens getalvoorbeelden hebben geprobeerd die
niet oplosbaar zijn. Maar omdat hij die niet in zijn boek heeft opgenomen weten we niet of
hij door had dat er een voorwaarde bestaat en wat die dan is. Het kan ook zijn dat hij alle
problemen heeft verzonnen uitgaande van de oplossing; door die in te vullen vond hij dan
de resten. Hij zou dan simpelweg nooit geprobeerd hebben om eerst willekeurige getallen te
kiezen als resten en daarbij de bijbehorende oplossing uit te rekenen.
Laten we terug gaan naar het eerste voorbeeld, en de ta-yen-regel daar op toepassen.
α ∗ 14 ≡ 1 (mod 19)
r1
1
14
19
5
n
1
2
3
4
qn
1
2
1
3
q1
r2
q2
αn−1
1
1
3
4
4
14
5
2
q3
r3
1
4
5
1
r4
q4
1
4
1
3
αn
1∗1+0=1
2∗1+1=3
1∗3+1=4
3 ∗ 4 + 3 = 15
Hier zie je een voorbeeld van een situatie waarin er al een rest is die 1 is, maar je nog een
stap verder moet gaan zodat een even rest 1 is. In die stap is 4 : 1 gelijk aan 3 rest 1.
Dit lijkt een beetje gek en opmerkelijk is ook dat niets vergelijkbaars voorkomt in het
Euclidisch algoritme. Daar stop je altijd bij rest=1. Duidelijk is wel dat het nodig is want 15
is een goede oplossing (15∗14 = 210 ≡ 1 (mod 19)) en 4 is geen oplossing (4∗15 = 60 ≡ 3 (mod 19).
86
HOOFDSTUK 7. CH’INS RESTSTELLING
Laten we kijken of er ook wat met dit voorbeeld aan de hand is wanneer we het Euclidisch
algoritme gebruiken.
19 = 1 ∗ 14 + 5
14 = 2 ∗ 5 + 4
5=1∗4+1
⇒ 5 = 19 − 14
⇒ 4 = 14 − 2 ∗ 5
⇒1=5−4
Nu 1 uitdrukken in 19 en 14:
1=5−4
1 = 5 − (14 − 2 ∗ 5) = 3 ∗ 5 − 14
1 = 3(19 − 14) − 14 = 3 ∗ 19 − 4 ∗ 14
Dus 3 ∗ 19 − 4 ∗ 14 ≡ 1 (mod 19);
dus ook −4 ∗ 14 ≡ 1 (mod 19).
Nu zien we dus dat het Euclidisch algoritme hier een negatieve oplossing geeft! Dit is
dezelfde oplossing want −4 ≡ 15 (mog 19). Wat je ook nog ziet is dat stoppen bij een oneven
rest 1 in de ta-yen-regel de oplossing geeft, maar wel zo dat je hem nog negatief moet maken.
In oude wiskunde werd nog niet zo veel gewerkt met negatieve getallen, zeker niet met zulke
praktijkvoorbeelden. Daarom is het vrij natuurlijk dat Ch’in dit niet gebruikte maar een
stapje verder deelde.
De andere twee ch’êng-lü zijn weer ”positief”.
α ∗ 7 ≡ 1 (mod 17)
q1
r1
n
1
2
2
r2
7
17
3
q2
qn αn−1
2
1
2
2
1
7
3
2
αn
2∗1+0=2
2∗2+1=5
α ∗ 11 ≡ 1 (mod 12)
q1
r1
n
1
2
1
r2
11
12
1
q2
qn αn−1
1
1
10 1
1
11
1
10
αn
1∗1+0=1
10 ∗ 1 + 1 = 11
7.6. REDUCEREN VAN DE WÊN-SHU
7.6
87
Reduceren van de wên-shu
Ch’in Chiu-shao had een methode om het oplossen van problemen van de vorm N ≡ ri mod mi
uit te breiden naar mi (wên-shu) die niet relatief priem zijn. Dit deed hij door factoren die in
meerdere moduli voorkomen slechts in een modulus te laten staan. In de Shu-shu Chiu-chang
geeft Ch’in Chiu-shao hiervoor vele voorbeelden. Aan de hand van enkele van deze voorbeelden
zullen wij deze reductiemethode te bespreken. Ch’in bewijst niets; hij vertelt wat er gedaan
moet worden, zonder daarbij uit te leggen waarom. Het is daarom lastig om precies weer te
geven wat de reden is van een bepaalde handeling. De methode is eigenlijk te splitsen in twee
verschillende handelingen: delen en compenseren. Van beide handelingen hebben we een
voorbeeld; uiteraard komen beide handelingen door elkaar heen voor; bij de meeste opgaven
zijn ze allebei nodig.
7.6.1
Voorbeeld I,4
We hebben het volgende probleem:
N
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
10 mod 12
0 mod 11
0 mod 10
4 mod 9
6 mod 8
0 mod 7
4 mod 6
De wên-shu zijn:
wên-shu
12
11
10
9
8
7
6
De methode is gebaseerd op het relatief priem maken van de wên-shu, dus voor elk paartje
wên-shu het verwijderen van elke grootste gemene deler groter dan 1. Oftewel; we zoeken
getallen die meerdere wên-shu delen. We zien dat 6 het grootste getal is dat daaraan voldoet.
Nu is het nodig om in één van de wên-shu de 6 niet uit te delen, hoewel 6 de betreffende
wên-shu wel deelt. Je mag kiezen in welke je de 6 laat staan; dit maakt voor de uitkomst niet
uit. Wij laten de 6 staan:
wên-shu
12
2
11
11
10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
:6
We zien nu een factor 3 die in zowel 9 als 6 zit. We mogen nu 6 reduceren tot 2; dan worden
beide getallen relatief priem. Vervolgens zien we dan de getallen 2, 10, 8 en 2 die allen
deelbaar zijn door 2. Dit doen we, waarbij we de 8 laten staan. Dan worden al deze getallen
namelijk relatief priem ten opzichte van elkaar.
wên-shu
ting-shu
12
2
2
1
11
11
11
11
10
10
10
5
9
9
9
9
8
8
8
8
We zien nu dat alle getallen relatief priem zijn; dit zijn de ting-shu.
7
7
7
7
6
6
2
1
:3
:2
88
HOOFDSTUK 7. CH’INS RESTSTELLING
7.6.2
Voorbeeld I,6
We hebben het volgende probleem:
Een leger wint een veldslag. Om 5 uur ’s ochtends worden drie boodschappers naar
de hoofdstad gestuurd. Ze arriveren om verschillende tijden en dagen: 1e om 5 uur
’s middags, 2e om 2 uur ’s middags, 3e om 9 uur ’s ochtends. Hun snelheden zijn
respectievelijk 300, 240 en 180 li per 12 uur. Wat is de afstand tot de hoofdstad?
Dit is equivalent met:
N
≡ 0 mod 300
≡ 180 mod 240
≡ 60 mod 180
De wên-shu zijn:
wên-shu
300
240
180
We zien onmiddelijk dat we de grootste gemene deler, 60, kunnen wegdelen. We kiezen om
180 te laten staan.
wên-shu
300
5
240
4
180
180
:60
We zien nu dat 180 niet relatief priem is met de andere twee. Delen mag niet meer; de factor
60 moet erin blijven, dus we mogen 180 niet zomaar door 4 of 5 delen. Wat wel kan is
compenseren: een van de getallen delen, een andere vermenigvuldigen met het zelfde getal,
teneinde de getallen relatief priem aan elkaar te maken. We kunnen bijvoorbeeld 180 delen
door 4, en 4 met 4 vermenigvuldigen. Dan worden beide getallen relatief priem zonder dat er
factoren uit de wên-shu verdwijnen. Vervolgens maken we ook 45 en 5 relatief priem door te
delen door 5 respectievelijk te vermenigvuldigen met 5.
wên-shu
ting-shu
300
5
5
25
240
4
16
16
180
180
45
9
compenseren met 4
compenseren met 5
Dit zijn de ting-shu, want ze zijn relatief priem.
7.6.3
Theoretische toetsing
De methode van het reduceren van de wên-shu komt bewerkelijk over. Het lijkt, zoals
Ch’in Chiu-shao het opschrijft, een vrij willekeurig geheel. Toch klopt het wel; om dit aan
te tonen volgt nu een stelling uit een artikel van Kurt Mahler [Mah57] .
Stelling: Het systeem van lineaire congruentie N ≡ ri mod mi met i ∈ {0, . . . , k} heeft gehele
oplossingen N dan en slechts dan als
ggd(mi , mj ) deelt (ri − rj ) voor alle paren i, j ∈ {0, . . . , k} met i 6= j.
Voor het bewijs van deze stelling gebruikt Mahler onder meer het volgende lemma.
(7.1)
7.6. REDUCEREN VAN DE WÊN-SHU
89
Lemma: Gegeven het stelsel van lineare congruentie N ≡ ri mod mi , voor i ∈ {0, . . . , k}.
Gegeven dat is voldaan aan de eis in vergelijking 7.1. Stel er zijn gehele µ1 , . . . , µk met de
eigenschappen
• µi deelt mi voor alle i ∈ {0, . . . , k} en
• kgv5 (µ1 , . . . , µk ) = kgv(m1 , . . . , mk ),
dan geldt dat elke oplossing N van het stelsel N ≡ ri mod µi óók een oplossing is van het
stelsel N ≡ ri mod mi .
Voor het bewijs van voorgaande stelling en lemma verwijs ik naar het genoemde artikel van
Mahler [Mah57]. Uit dit lemma volgt onmiddelijk een controlemethode voor de reductie van
Ch’in Chiu-shao:
1. Controleer of het stelsel oplosbaar is; de voorbeelden van Ch’in zijn dit altijd. Controleren
hiervan kan met de voorgaande stelling; het komt neer op het checken van de eis in
vergelijking 7.1.
2. Wanneer het stelsel oplosbaar is, is het enige wat nodig is de ting-shu toetsen aan de
eigenschappen in het lemma, namelijk:
• µi deelt mi voor alle i ∈ {0, . . . , k} en
• kgv(µ1 , . . . , µk ) = kgv(m1 , . . . , mk ).
Voor de volledigheid volgt nu de controle van beide voorbeelden.
7.6.4
Controle voorbeeld I,4
1. We hoeven alleen te kijken naar paren wên-shu die niet relatief priem zijn; anders is de
ggd namelijk 1 en dat deelt alles. Dus:
ggd(12, 10)
ggd(12, 9)
ggd(12, 8)
ggd(12, 6)
ggd(10, 8)
ggd(10, 6)
ggd(9, 6)
ggd(8, 6)
2.
=
=
=
=
=
=
=
=
2,
3,
4,
6,
2,
2,
3,
2,
deelt
deelt
deelt
deelt
deelt
deelt
deelt
deelt
(a − c)
(a − d)
(a − e)
(a − g)
(c − e)
(c − g)
(d − g)
(e − g)
• Voor de eerste eis van de ting-shu zien we dat iedere ting-shu de bijbehorende wên-shu
deelt.
• kgv(12,11,10,9,8,7,6) = 23 ∗32 ∗5∗7∗11 = 27720 en kgv(1,11,5,9,8,7,1) = 1∗11∗5∗9∗8∗7∗1
= 27720 (omdat de kgv van getallen die relatief priem zijn gelijk is aan hun product).
Dus ook hieraan wordt voldaan.
5 kleinste
gemene veelvoud
90
7.6.5
HOOFDSTUK 7. CH’INS RESTSTELLING
Controle voorbeeld I,6
1. Check of paren wên-shu niet relatief priem zijn:
ggd(300, 240) = 60, deelt (0 − 180)
ggd(300, 180) = 60, deelt (0 − 60)
ggd(240, 180) = 60, deelt (60 − 180)
2.
• Voor de eerste eis van de ting-shu zien we dat iedere ting-shu de bijbehorende wên-shu
deelt.
• kgv(300,240,180) = 24 ∗ 32 ∗ 52 = 3600 en kgv(25,16,9) = 25 ∗ 16 ∗ 9 = 3600. Dus ook
hieraan wordt voldaan.
7.6.6
Gevolg
Stel nu dat we beginnen met het uitrekenen van de kgv van de wên-shu, en vervolgens deze
kgv priemfactoriseren. We krijgen dan iets van de vorm pa1 1 ∗ pa2 2 ∗ . . . ∗ pann . Iedere factor pai i
deelt een van de wên-shu. We kunnen dus alle factoren pai i schrijven onder een van de wên-shu
en laten die de ting-shu vormen. Als er meerdere factoren pai i zijn die dezelfde wên-shu delen,
vermenigvuldigen we die met elkaar, en laten die de bijbehorende ting-shu vormen. De wên-shu
die overblijven krijgen een 1 als ting-shu. Op deze manier ‘ordenen’ we de priemfactoren naar
de wên-shu, en hebben we direct voldaan aan de eisen die worden gesteld aan de ting-shu.
Als voorbeeld passen we deze methode toe op voorbeeld I,6. kgv(300,240,180) = 24 ∗ 32 ∗ 52 =
3600. We zien dat 24 deelt 240, 32 deelt 180 en 52 deelt 300. Zo vinden we meteen de ting-shu.
Waarschijnlijk wist Ch’in Chiu-shao niet wat priemfactoriseren was en kon hij dus niet
controleren of de ting-shu klopten. We denken dat hij gewoon iets probeerde en wel enige
regelmaat zat in zijn methode, maar dat hij geen idee had waarom hij alles precies deed.
Omdat Ch’in zo onduidelijk is in zijn uitleg valt hier niet veel met zekerheid over te zeggen.
7.7
Analyse en conclusie
We kunnen stellen dat Ch’in Chiu-shao een flinke contributie heeft geleverd aan het oplossen
van restproblemen. Vooral zijn methode voor het oplossen van problemen met moduli die
niet relatief priem zijn was zijn tijd ver vooruit, aangezien dit in Europa pas in 1890 werd
ontdekt. De kern van de methode, de ta-yen-regel, is wiskundig redelijk equivalent aan de
westerse methode. Ook de rest van de methode is, op door het gebrek aan een samenhangend
notatiesysteem veroorzaakte omslachtigheid na, ongeveer gelijk aan de methode die we nu
gebruiken. Alleen de methode voor het reduceren van de moduli is duidelijk anders, en veel
minder efficient. Het is jammer dat het werk van Ch’in zo lang onbekend is gebleven. Als het
eerder was begrepen en verspreid was dit gebied van de wiskunde veel eerder ‘af’ geweest.
Hoofdstuk 8
Nawoord
Jan Hogendijk
De studiereis van A–Eskwadraat naar China was voor mij een welkome aanleiding een
seminarium te organiseren over geschiedenis van de exacte wetenschappen in China voor
1850. Bij “exacte wetenschappen” moeten we ons iets anders voorstellen dan we gewend zijn,
want van natuurkunde, scheikunde enzovoorts in de huidige zin van het woord was in het
oude China geen sprake. Wel hadden de oude Chinezen een hoog niveau bereikt in wis- en
sterrenkunde.
De Chinese wetenschap heeft zich tot 1600 praktisch zonder invloed van andere culturen
ontwikkeld. De “wetenschappelijke revolutie” die in de zeventiende eeuw in Europa begon, en
het aanzien van de wiskunde en natuurwetenschap heeft veranderd, heeft China pas in het
eind van de negentiende eeuw bereikt. Er zijn ook andere culturen geweest waarin wis- en
sterrenkunde onafhankelijk van het oude Griekenland en het moderne Westen is ontstaan,
bijvoorbeeld de Maya’s en de Azteken. Deze culturen zijn qua wiskundig en sterrenkundig
niveau absoluut niet te vergelijken met het oude China.
De diverse hoofdstukken van deze bundel geven een indruk hoe ver de Chinese wiskunde
gekomen is. Het blijkt dat de Chinezen al omstreeks het jaar 0 van onze tijdrekening in het
decimale positiestelsel (met telstokjes) konden rekenen. Zij konden stelsels vergelijkingen
oplossen door een methode die in de buurt komt van het moderne vegen in matrices. De
standaardmethode voor het oplossen van vergelijkingen met de “Chinese reststelling” blijkt
inderdaad Chinees te zijn, en te dateren uit 1247. De notatie en de vorm waarin de wiskunde
werd bedreven was in China wel heel anders dan wij tegenwoordig gewend zijn.
In het seminarium is ook aandacht besteed aan de culturele context. In het oude China
werd de wiskunde en sterrenkunde vooral beoefend door ambtenaren. Dit heeft de vorm
van de wiskunde voor een deel bepaald en is belangrijk geweest voor het behoud van de
wis- en sterrenkundige kennis. De ambtenaren waren maar een klein deel van de bevolking
en de meeste Chinezen hadden daarom geen toegang tot deze wis- of sterrenkunde. Het
grote ontzag voor traditie binnen de ambtenarij bracht een bepaalde starheid met zich mee.
Aan (wiskundige) ontdekkingen en vernieuwingen werd lang niet zoveel waarde gehecht als
tegenwoordig.
Op het eerste gezicht lijkt de oude wis- en sterrenkunde in China weinig invloed op andere
culturen heeft gehad te hebben, maar veel is nog onbekend. Tegenwoordig staat wel vast
dat het decimale positiestelsel zoals wij dit gebruiken (met symbolen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 0) uit India afkomstig is, en de meeste onderzoekers geloven dat dit een echt Indiase
uitvinding is. In hoofdstuk 6 heeft u kunnen lezen dat dit beeld misschien niet klopt: er
zouden invloeden van de Chinese telstokjes kunnen zijn geweest. De wieg van het moderne
tientallig positiesysteem zou ook in China hebben kunnen staan.
Het seminarium begon met een korte algemene inleiding door mij en daarna werden de
studenten in groepjes opgedeeld. Elk groepje hield een korte en een langere presentatie.
Doordat we het boekje dat u nu leest voor de studiereis klaar wilden hebben, is er met
enige tijdsdruk gewerkt. Alleen de stof uit de langere presentaties is opgenomen, en allerlei
91
92
HOOFDSTUK 8. NAWOORD
interessant materiaal uit de inleiding en de eerste presentaties is buiten de boot gevallen.
Hopelijk proeft u in de diverse hoofdstukken iets van het enthousiasme waarmee de meeste
studenten hebben gewerkt, en ook van hun (terechte) bewondering voor de oude Chinese
wetenschap en cultuur. Ik hoop dat het seminarium een goede culturele voorbereiding is
geweest voor de studiereis naar China, en dat dit boekje ook daarna nog nuttig zal kunnen
zijn.
Bibliografie
[Cla30] W. Clark. The Aryabhatiya of Aryabhata. The University of Chicago press, Illinois, 1930.
[Col17] Esq. H.T. Colebrooke.
Algebra with arithmetic and mensuration from the Sanscrit of
Brahmegupta and Bhascara. John Murray, London, reprint: 1973 dr. martin sandig
ohg. 6229 walluf bei wiesbaden. unveränderter edition, 1817.
[Cul04] Christopher Cullen. The Suàn shù shū, “Writings on reckoning”: A translation
of a chinese mathematical collection of the second century b.c., with explanatory
commentary. Needham Research Institute Working Papers, 1, 2004.
[Cul07] Christopher Cullen. The Suàn shù shū, “Writings on reckoning”: rewriting the
history of early Chinese mathematics in the light of an excavated manuscript.
Historia Math., 34(1):10–44, 2007.
[Dat38] A.N. Datta, B. en Singh. History of Hindu mathematics. A source book. Asia Publishing
House, Bombay, 1935/1938. 2 volumes, reprint in 1 volume: 1962.
[Dau08] J.W. Dauben. Suan Shu Shu. a book on numbers and computations. Arch. Hist.
Exact Sci., 62(2):91–178, 2008. Translated from the Chinese and with commentary
by Joseph W. Dauben.
[Ebr] P.B. Ebrey. The Cambridge Illustrated History of China.
[Elf75] K. Elfering. Die Mathematik des Âryabhat.a I. Text, }. 1975.
[F.R59] J. Needham F.R.S. Science and civilisation in China, volume III Mathematics and the science of
the heavens ande the earth. Cambridge University Press, 1959.
[Har90] P. Harvey. An Introduction to Buddhism. Teachings, history and practices.
University Press, Cambridge, 1990.
Cambridge
[Hay94] T. Hayashi. Indian mathematics. In Grattan-Guinness, I. (ed.) Companion Encyclopedia of the
History and Philosophy of the Mathematical Sciences, pages 118 – 130, 1994.
[Hay95] T. Hayashi. The Bakshâlı̂ Manuscript. An ancient Indian mathematical treatise. Egbert Forsten,
Groningen, 1995.
[Ifr85] G. Ifrah. De wereld van het getal. Servire Uitgevers, Katwijk aan Zee, 1985. Franken, V., trans.
[IRD+ 07] A. Imhausen, E. Robson, J. Dauben, K. Plofker, and J.L. Berggren. The mathematics of Egypt,
Mesopotamia, China, India and Islam. Princeton University Press, 2007.
[Jag86] O.P. Jaggi. History of science, technology and medicine in India. Atma Ram & Sons (H.O.),
1986.
[Kat93] V.J. Katz. A history of mathematics. HarperCollins College Publishers New York, 1993.
[Kat98] V.J. Katz. A History of Mathematics. An introduction. Addison Wesley Longman. Inc., Reading,
Massachusetts, second edition, 1998.
[Kay15] G.R. Kaye. Indian mathematics. Calcutta & Simla Thacker, Spink & Co (Calcutta), 1915.
93
94
BIBLIOGRAFIE
[KCL99] Shen Kangshen, John N. Crossley, and Anthony W.-C. Lun. The Nine Chapters on the
Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press, 1999.
[Koh94] Livia Kohn. Cosmology, myth, and philosophy in ancient china: New studies on the huainan zi.
Asian Folklore Studies, volume 53:319–336, 1994.
[LA92] L.Y. Lam and T.S. Ang. Fleeting Footsteps. Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra
in Ancient China. World Scientific Publishing, Singapore, 1992.
[Lib73] Ulrich Libbrecht. Chinese mathematics in the thirteenth century; the Shu-shu chiu-chang of
Ch’in Chiu-shao. Cambridge, Massachusesetts, [etc.]: MIT Press, 1973.
[Liu] Jeeloo Liu. An Introduction to Chinese Philosophy.
[Mah57] Kurt Mahler. On the Chinese Remainder Theorem. Mathematische Nachrichten, 18, 1957.
[Maj93] John S. Major. Heaven and Earth in early Han thought. State University of New York Press,
1993.
[Nee59a] J. Needham. Science and Civilisation in China. Volume I.
Cambridge, 1959.
Cambridge University Press,
[Nee59b] J. Needham. Science and Civilisation in China. Volume II.
Cambridge, 1959.
Cambridge University Press,
[NP71] O. Neugebauer and D. Pingree. The pañcasiddhântikâ of varâhamihira. part i & ii. Det
Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Historisk-Filosofiske Skrifter, 6:1 – 206 and 1 –
154, 1970/1971.
[Pin78] D. Pingree. The Yavanajâtaka of Sphujidhvaja, volume II. Harvard University Press, Cambridge,
Massachusetts, 1978.
[Ran12] M. Rangacarya. The Ganita-Sara-Sangraha of Mahaviracarya. Government Press, Madras, 1912.
[Rue78] D.S. Ruegg. Mathematical and linguistic models in indian thought: the case of zero and śûnyatâ.
Wiener Zeitschrift f}, 1978.
[Sar85] S.R. Sarma. Writing material in ancient india. Aligarh Journal of Oriental Studies, 2:175 – 194,
1985.
[Sel02] James D. Sellman. Timing and Rulership in Master Lu’s Spring and Autumn Annals (Lushi
Chunqiu). Suny Press, 2002.
[Shu89] K.S. Shukla. The yuga of the yavanajâtaka. david pingree’s text and translations reviewed.
Indian Journal of History of Science, 24:211 – 223, 1989.
[TTM06] Lao Tzu, Paul Tice, and Isabella Mears. Tao Te Ching. Filiquarian Publishing, LLC., 2006.
[Zhu69] Thomas Merton Zhuangzi. The Way of Chuang Tzu. New Directions Publishing, 1969.

Wetenschap van het Midden - Beginscherm J.P.Hogendijk

Related documents

Products

Support

Wetenschap van het Midden - Beginscherm J.P.Hogendijk

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib