Complexe Getallen

Hoodfstuk 3. Exponentiële functies
$1 Herhaling
Zoals bekend is het algemene voorschrift voor exponentiële functies f : x  a x met a > 0.
Voor de afgeleide van deze functies geldt: f ' ( x)  c a  f ( x) want:
f ( x  h)  f ( x) a x  h  a x (a h  1)a x a h  1 x a h  1



a 
 f ( x) en bij overgang naar de
h
h
h
h
h
limiet h  0 krijgen we f ' ( x)  f ' (0)  f ( x)  c a  f ( x) voor zekere ca.
Voor een zekere waarde van a geldt dat ca = 1, dat getal noemen we e (het getal van Euler +/- 1750)
met e  2,71828… .Dus voor f ( x)  e x geldt dat f ' ( x)  f ( x) .
Met behulp van de kettingregel kunnen we dan ook de afgeleide van bijvoorbeeld
f ( x)  e 2 x berekenen: f ' ( x)  2  f ( x) .
In het algemeen:
f ( x)  e kx dan f ' ( x)  k  f ( x)
$2 De formule van Euler.
We bekijken de functie E van R naar C, gedefinieerd door E ( x)  cos x  i sin x .
Differentiëren geeft E ' ( x)   sin x  i cos x  i(cos x  i sin x)  i  E ( x) .
Deze uitdrukking doet ons denken aan hetgeen we in paragraaf 1 zijn tegengekomen!
We kunnen de functie E dan ook schrijven in de gedaante E ( x)  e ix .
Op deze manier ontstaat de bekende formule van Euler:
e ix  cos x  i sin x
Breiden we het definitiegebied van onze functie uit tot C dan krijgen we (zonder bewijs) de functie
E ( z )  cos z  i sin z  e iz .
Opgaven:
1. Laat zien dat je de voorstelling van een complex getal in poolcoördinaten ook kunt vervangen
door z  r  e i .
1
i
2. Bereken e i , e 2i en e 2 .
3. Bewijs dat e z  2 ki  e z met k een geheel getal.
4. Laat zien dat
a. als z  e ix dan z  1
b. als z  e ix dan z  e ix
c. e z  e Re z
5. Bereken (1i)10 .
6. Teken in het complexe vlak alle getallen z waarvoor geldt: z  z  e i .
1
7. Teken in het complexe vlak alle getallen z waarvoor geldt: z  e 2
i
 z  ei .
14
$3 De complexe functie f : z  e z

Wat is het bereik van f in het geval z een reëel getal voorstelt?
Waarop wordt de reële as dus afgebeeld?

Wat is het bereik van f in het geval z een imaginair getal voorstelt?
Waarop wordt de imaginaire as dus afgebeeld?
Bij de vorige vraag zul je gemerkt hebben dat er meerdere imaginaire getallen zijn die door de
functie f op hetzelfde getal worden afgebeeld.
Kijk maar naar bijvoorbeeld i en 3i .Voor beide getallen geldt dat het f – beeld –1 is (waarom?)
In het algemeen kun je de vraag stellen of er complexe getallen zijn die onder de functie f op
eenzelfde getal worden afgebeeld?
Neem twee verschillende complexe getallen z1 en zz waarvoor geldt dat f ( z1 )  f ( z 2 ) .
Dus geldt e z1  e z2 ofwel e z1  z2  1 .
Dat betekent dat z1  z 2 een oplossing is van de vergelijking e z  1 .
Hoe zien de oplossingen van de vergelijking e z  1 er uit?
Stel z = x + yi dan geldt e x  yi  e x  e yi  e x  1  e x  1 . Met andere woorden x = 0.
Maar dan is e z  e yi  1 ofwel cos y  i sin y  1 , maar dat betekent dat cos y  1 én sin y  0 .
Hieraan voldoen alle getallen van de vorm y = 2k met k een geheel getal.
De oplossingen van e z  1 zijn dus van de vorm z  2ki .
Teruggaand naar onze vraag betekent dit dat z1  z 2  2ki ofwel z1  z 2  2ki .
Eigenschap: de functie f : z  e z is een periodieke functie met periode 2i
Voor onderzoek van onze functie f kun je dus volstaan met de verzameling van alle complexe
getallen waarvoor geldt 0 Im z <2, anders gezegd: in de horizontale strook 0 Im z <2 neemt
f al zijn waarden aan.
Opgaven:
1. a. Teken in het complexe vlak alle getallen z waarvoor geldt:Re z = 0.
Bepaal het beeld van deze getallen bij de volgende complexe functie: f : z  e z .
b. Dezelfde vraag voor alle getallen z waarvoor geldt:Re z = 2.
2. a. Teken in het complexe vlak alle getallen z waarvoor geldt:Im z = 0.
Bepaal het beeld van deze getallen bij de volgende complexe functie: f : z  e z .
b. Dezelfde vraag voor alle getallen z waarvoor geldt:Im z = 2.
Conclusie: door de functie f : z  e z wordt
a. de reële as afgebeeld op de positieve reële as.
b. de imaginaire as afgebeeld op de eenheidscirkel.
c. een rechte lijn evenwijdig aan de reële as afgebeeld op een halve rechte lijn
door O(0,0).
d. een rechte lijn evenwijdig aan de imaginaire as afgebeeld op een cirkel om
O(0,0).
15
Vervolg opgaven:
3. Teken in het complexe vlak alle getallen z waarvoor geldt:1 Re z <2.
Bepaal het beeld van deze getallen bij de volgende complexe functie: f : z  e z .
4. Teken in het complexe vlak alle getallen z waarvoor geldt:1/2 Im z <.
Bepaal het beeld van deze getallen bij de volgende complexe functie: f : z  e z .
5. Bepaal het f  origineel van alle complexe getallen z waarvoor geldt: z  1 en 0arg z 
met f : z  e z .
6. Bepaal het f  origineel van alle complexe getallen z waarvoor geldt: z  1 en
1
/2arg z  met f : z  e z .
7. a. Teken in het complexe vlak alle getallen z waarvoor geldt: arg z = 13  .
Onderzoek wat het beeld van deze getallen is bij de volgende complexe
functie: f : z  e z .
b. Dezelfde vraag voor alle getallen z waarvoor geldt: arg z = 43  .
c. Wat is nu het f – beeld van een rechte lijn door O(0,0)?
16
$4 Het oplossen van de vergelijking z n  1

Los de vergelijking z 4  1 op. Schrijf je oplossingen in de vorm x+yi.
Minder eenvoudig op te lossen is de vergelijking z 5  1 .
5
Voor alle oplossingen z geldt in ieder geval z  1 want z 5  z  1 .
De oplossingen liggen dus op de eenheidscirkel!
Deze oplossingen kunnen we schrijven in de vorm z  e yi en er geldt dat z 5  e 5 yi  1 .
Ja, zelfs z 5  e 5 yi  1  e 2 ki !
2 ki
5
Hieruit volgt dat y 
en onze oplossingen zijn nu z  e met k = 0, 1, 2, 3 en 4.
Onze vergelijking heeft dus vijf oplossingen en we spreken ook wel van de 5-de eenheidswortels.
2 k
5
Opgaven:
1. Waarom vormen de 5-de eenheidswortels in het complexe vlak een regelmatige vijfhoek?
2. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking
a. z 6  1
b. z 6  1 .
3. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking z 5  32 .
4. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking z 3  i .
5. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking z 3  2  2i .
17