avt = = - - = ∆ ∆ 20 10 45 15 3 3 , , , m/s2

Arbeid
1
A
B
C
D
SKATES
Een enthousiast van 45 kg nadert met 10 m/s een afdaling, versnelt daarop en rijdt met een
hogere snelheid verder en verdwijnt uit het zicht.
De snelheid wordt als functie van de tijd
vastgelegd en weergegeven in de bijgaande
grafiek. De skater is gedurende 5,5 s gevolgd.
Leid uit de grafiek de versnelling af tijdens de
afdaling.
Bepaal de verplaatsing in die 5,5 s.
De enthousiast kan een vermogen leveren
van 200 W.
Bereken de wrijving die hij/zij maximaal mag
ondervinden om de snelheid van 20 m/s op
een horizontale weg te kunnen handhaven.
De enthousiast levert op een ander moment
een vermogen van 160 W. Het rendement
van het lichaam bij het omzetten van voedingsmiddelen in mechanisch vermogen is 25%.
Pindakaas bevat 27 × 106 J/kg.
Bereken hoeveel pindakaas de enthousiast gegeten moet hebben om dat vermogen 10
minuten lang te kunnen leveren, in de veronderstelling dat alle energie van die pindakaas
komt.
uitwerking:
a
a
 v 20  10

 3,3 m / s 2
 t 4,5  1,5
b
De verplaatsing is de oppervlakte onder de grafiek. Verdelen we de tijd in 3 perioden, dan is
de verplaatsing
in de eerste periode: x = v × t = 10 × 1,5 = 15 m,
in de tweede periode: x = <v> × t = 15 × (4,5-1,5) = 45 m en
in de laatste periode: x = v × t = 20 × 1,0 = 20 m
De totale verplaatsing x = 15 + 45 + 20 = 80 m.
c
P = F × v  200 = F × 20  F = 10 N
De voorwaartse kracht is 10 N. De wrijving moet dan ook maximaal 10 N zijn..
d
E = P × t = 160 × (10 × 60) = 96 × 103 J
Dit is nuttig en 25% van de energie van de pindakaas.
Epindakaas = 4 × 96 × 103 = 384 × 103 J
Per kilogram levert de pindakaas 27 × 106 J, per gram dus 27 × 103 J
Gegeten pindakaas: 384 / 27 = 14 g
2
HELLING
De wrijving mag je in deze opgave verwaarlozen
Een kar van 3500 kg wordt met
constante snelheid de helling van 40
opgetrokken door een kabel.
In het horizontale stuk vóór de helling
krijgt de kar een versnelling van 1,1
m/s².
A
Bereken de netto-kracht die voor
die versnelling nodig is.
Op de helling stijgt de kar 50 m.
B
Bereken de arbeid die de kabel
heeft verricht.
a
b
Uitwerking:
F = m × a = 3500 × 1,1 = 3,85  103 N
W = F × s = (3500 × 9,81) × 50 = 1,7  106 J.
Het idee hierachter is dat de kabel een even grote arbeid moet verrichten als de
zwaartekracht, anders is de snelheid niet constant.
Je kunt natuurlijk ook de component uitrekenen van de zwaartekracht langs de helling en de
lengte van de helling.
Fzx = Fz × sin 40= 3500 × 9,81 × sin 40 = 22,1  103 J
De kracht van de kabel moet dan even groot zijn.
sin 40∘ 
50

helling
helling = 77,8 m.
De lengte van de helling volgt uit:
W = F × s × cos   = 22,1 103 × 77,8 × cos 0 = 1,7  106 J.
3
a
b
FIETSEN
Na flink vaart gezet te hebben rijdt Roy
met zijn mountainbike een stuk helling op
en komt dan vier seconde later weer op
een horizontaal stuk. De snelheid als
functie van de tijd is een tijdje gemeten en
in de grafiek weergegeven.
Bepaal de versnelling van Roy op de
helling.
Bereken de afstand die hij in de 9,0 s dat
wij hem volgden, aflegde.
4
A
B
C
5
VOLLEY
Anne springt tijdens het volleyen omhoog. Anne weegt 45 kg. Tijdens de sprong brengt zij
haar zwaartepunt 50 cm omhoog in 0,3 s.
Bereken het tijdens deze sprong door Anne geleverde vermogen.
Bereken de kracht die Anne moet uitoefenen op de vloer om zichzelf een versnelling van
2,0 m/s2 te geven.
In rust ontwikkelt Anne een vermogen van 100 W. Dat is nodig voor de levensfuncties zoals
ademen, bloedsomloop en temperatuurbeheersing van het lichaam. Zij voorziet in haar
energie door suikers te ‘verbranden’ met een rendement van 28%. De verbrandingswarmte
van deze suikers is 16,50 kJ/g.
Bereken hoeveel g suikers er in 24 uur door haar worden verbrand, als alle energie
daarvandaan zou komen en het ontwikkelde vermogen constant 100 W is.
HELLING
De wrijving mag je in deze opgave verwaarlozen.
Een kar van 3500 kg wordt met een constante snelheid
50 m langs een helling omhooggetrokken door een
kabel. De hellingshoek is 50.
Bereken de arbeid die deze kabel daarbij verricht.
6
FUNICULARE
Je ziet twee figuren bij deze opgave. Figuur 1 is een foto van een trein die bedoeld is om
personen langs een steile helling te vervoeren. Aan de constructietekening van een
dergelijke trein in figuur 2 kun je zien dat ondanks de helling de personen toch gewoon op
een horizontale bank kunnen zitten. De ‘truc’ van een funiculare is dat terwijl aan de ene kant
een trein omhoog gaat, er aan de andere kant een even zware trein omlaag gaat.
Figuur 1
(foto Heimwehfluh Bahn, bewerkt)
Figuur 2
De vragen en gegevens hebben alleen betrekking op figuur 1, dus een trein op een helling
aan een kabel. Deze kabel loopt evenwijdig aan de helling
De massa van de in figuur 1 weergegeven trein met passagiers is 3,5  103 kg. Van de lege
trein is dat 2,5  103 kg. De lengte van het traject is 1275 m. De hellingshoek kun je in
figuur 1 opmeten; de hellingshoek is constant. Met eventuele vertekening hoef je geen
rekening te houden. De snelheid van het treintje is 5 m/s. De wrijvingskracht bestaat alleen
uit rolwrijving en is 1% van de normaalkracht.
Vermeld steeds je veronderstellingen!!
A
B
C
D
Bereken hoeveel arbeid er door de spankracht in de kabel verricht moet worden om de trein
met passagiers over die 1275 m te verplaatsen.
Bereken het vermogen dat van de spankracht in de kabel vereist wordt om de trein met
passagiers naar boven te trekken.
Het gaat erom de passagiers naar boven te vervoeren.
Bereken het rendement van de in vraag 1 berekende arbeid.
Een van de passagiers die in de trein zit, is Th.P. Hij weegt 80 kg. Op hem werken twee
krachten, de zwaartekracht en de normaalkracht.
Bereken de arbeid die door de normaalkracht is verricht tijdens de rit langs de helling naar
boven.
A
Uitwerking
We noteren de niet afgeronde
waarden. Afronden doen we
pas bij de einduitkomst.
De zwaartekracht FZ = mg = 3,0
103 × 9,81 = 29430 N
Fzy = FN = FZ × cos  = 29430 ×
cos 34 = 24399 N
Fzx = FZ × sin  =
29430 × sin 34 = 16457 N
Fw = 0,01 × FN = 244 N
Vanwege de constante snelheid
omhoog moet
FS = Fzx + Fw = 16457 + 244 =
16701 N.

De arbeid van de spankracht is
nu uit te rekenen:
W = F × s = 16701 × 1275 = 21  106 J
B
P
W 21  10 6

 84 kW
t
1275 / 5
De tijd is de tijd die je met een snelheid van 5 m/s nodig hebt voor 1275 m.
Je kunt ook gebruik maken van P = F × v = 16701 × 5,0 = 84 kW.
C
De door de kabel verrichte arbeid is 21 × 106 J. Nuttig is alleen het omhoog brengen van de
passagiers, die samen 500 kg wegen. Zij gaan 1275 × sin 34 = 713 m omhoog.
Daarvoor is een arbeid nodig van W = F × s = 500 × 9,81 × 713 = 3,5  106 J.

Het rendement is
Wnuttig
Wverricht

3,5
 0,16
21
. Dat betekent 16%.
7
A
B
C
A
B
C
AUTO
Een auto, de zwaartekracht is 8,0 kN, ondervindt tijdens zijn rit van 12 km met 72 km/h een
wrijvingskracht van 720 N. Het rendement van de motor is 30%.
Bereken de door de motor verrichte arbeid.
Bereken het door de motor geleverde vermogen.
Bereken het benzineverbruik tijdens die rit.
Uitwerking:
De kracht van de motor is bij constante snelheid even groot als de ‘tegenwerkende’
wrijvingskracht en dus 720 N. De snelheid 72 km/h = 20 m/s.
De rit duurt 12000/20 = 600 s.
W = F × s = 720 × 12  103 = 8,64  106 J
a
P = F × v = 720 × 20 = 14,4 kW of P = W/t = 8,64  106 / 600 = 14,4 kW.
nuttig
8,64  10 6

 0,30 
 erin  0,288  108 J
erin
erin
28,8  10 6
6  0,87 liter
Iedere liter levert 33  106 J en dus is er nodig 33  10
.
8
SLEETJE
Tijdens de wintersport glijden Henry en Marleen samen met een slee een helling af. De slee
met belading weegt 130 kg. De tocht is 650 m lang. De wrijvingskracht is maar 20 N.
De tekening laat de helling met blokje, symbolisch voor slee met belading, zien met de juiste
hellingshoek ten opzichte van de
gestippelde horizon.
A
B
Geef daarin alle krachten aan in de juiste richting en zet hun grootte erbij.
Bereken van elke kracht de verrichte arbeid tijdens de tocht.
A
B
9
Uitwerking:
De hellingshoek is 15.
WZ = WFzx = 330 × 650 = 215  103 J
ook te berekenen met
F × s × cos  = 1275 × 650 × cos 75
WFzy = 0 J, geen verplaatsing in Yrichting
WN = 0 J, geen verplaatsing in Y-richting
WFw = 20 × 650 = 13 kJ
BENZINEVERBRUIK
Het blijkt dat de rolwrijvingkracht die een auto ondervindt 115 N is. De luchtwrijvingskracht
die kwadratisch evenredig is met de snelheid, is bij 60 km/h gelijk aan 500 N. Het benzineverbruik is dan 6 liter per 100 km. Bereken het benzineverbruik bij 90 km/h.
Uitwerking:
Het rendement is niet veranderd, anders was dat gegeven. Dat geldt ook voor de
rolwrijvingskracht.
Het verhouding in het benzineverbruik hangt vanwege dat gelijkblijvend rendement af van de
verhouding van de nuttige arbeid.
W = F  s. In beide gevallen is de verplaatsing s = 100 km.
De verhouding in verbruik is dus de verhouding in F.
F = Fw,rol + Fw,lucht = 115 + 500 = 615 N bij 60 km/h.
90 km/h = 1,5  60 km/h.
Vanwege het kwadratisch verband is Fw,lucht = 500  1,52 = 1125 N
F(90 km/h) = 1125 + 115 = 1240 N = 2,0  615 N.
De kracht is het dubbele en vanwege het voorgaande dus ook het benzineverbruik:
12 liter per 100 km.
10
A
B
A
B
AUTO 1
Tijdens een 60 km lange rit met constante snelheid die 45 minuten duurt, levert de motor van
een auto een nuttig vermogen van 15 kW bij een rendement van 30%.
Bereken de door de motor nuttig verrichte arbeid tijdens de rit.
Bereken het benzineverbruik, uitgedrukt in aantal liters per 100 km.
Uitwerking:
W = P × t = (15  103) × (45 × 60) = 40,5  106 J.
Het kan ook met W = F × s, maar dan moet je eerst F berekenen, bijvoorbeeld via P = F × v.

nuttig
40,5  10 6
 0,30 
 erin  135  10 6 J
erin
erin
Met 33  106 J per liter heb je dus voor 60 km 135/33 = 4,09 liter nodig en voor 100 km
4,09/0,6 = 6,8 liter.
11
SKILIFT
In Rauland, Noorwegen, werkt een skilift van een type waarvan hier een situatieschets is
getekend. De opgave gaat over de route langs de helling. Je ziet dat de kabels een beetje
doorzakken. Dat mag je voor deze som verwaarlozen. Het gaat om een tweetal uit klas 4VB,
die samen met de stoeltjeslift 150 kg zwaar zijn. Zij gaan met 3,6 m/s langs de helling naar
boven en merken niets van wrijving.
A
Bereken het vermogen, dat nodig is om de stoeltjeslift met leerlingen met die snelheid evenwijdig aan de helling naar boven te brengen.
B
C
De volgende vraag gaat uitsluitend over het ‘blokje’ van 150 kg, voorstellende de stoeltjes
met de twee leerlingen. Dit ‘blokje’ hangt aan een stang.
Maak een tekening van het ‘blokje’ op je proefwerkpapier en teken daarin de op het ‘blokje’
werkende krachten, terwijl het met 3,6 m/s langs de helling omhoog gaat.
Bereken van elk van de in vraag 5 voorkomende krachten de verrichte arbeid over de 1250
m lange helling.
A
Uitwerking:
Je moet bedenken, dat het óf gaat om de snelheid dan wel verplaatsing naar boven in de
richting van de zwaartekracht, óf om de kracht in de richting van de snelheid.
P = F  v = 259  3,6 = 932 W of
P = F  v = 1470  0,634 = 932 W.
B
C
Er werken maar twee krachten: de stang en de zwaartekracht. Die twee
zijn even groot, maar tegengesteld gericht.
De arbeid:
Wstang = Fstang  s = 1470  220 = 323 kJ
Wz = Fz  s = 1470  220 = 323 kJ.
Samen nul, de snelheid is immers constant.
Ook hiermee had je het vermogen kunnen uitrekenen, maar dan moet je
weten hoe lang de tocht duurt.
s = v  t  1250 = 3,6  t  t = 347 s.
P
W 323  10 3

 932 W
t
347
.
12
A
B
C
13
A
B
14
WINTERPRET
Piet trekt een slee van 11 kg met
constante snelheid voort op de
dichtgevroren IJzeren Man.
De spankracht in het touw is 15 N.
Het touw waar Piet aan trekt
maakt daarbij een hoek van 30
met de grond. Piet trekt de slee
over een afstand van 150 m voort. Piet zelf weegt 50 kg.
Bereken de arbeid die de spierkracht van Piet in die tijd op de slee heeft verricht.
Bereken ook de arbeid die de wrijvingskracht in die tijd heeft verricht.
Op weg naar huis komt Piet met slee bij een besneeuwde helling. Piet gaat erop zitten en
glijdt de helling af die 40 m lang is en een hellingshoek heeft van 2.
Bereken de arbeid die de zwaartekracht verricht op de combinatie Piet-slee bij het naar beneden glijden langs de helling.
PARKIETJE
Een parkiet van 35 g vliegt met een snelheid van 10,7 m/s door een 50 m lange hal van de
ene naar de andere kant. De luchtweerstand bij die snelheid is 0,078 N.
Bereken het voor die vlucht benodigde vermogen.
De verbrandingswarmte van brood is 17 MJ/kg. Het rendement van het
verbrandingsmechanisme van een parkietje stellen we op 25%.
Bereken hoe vaak een parkietje op en neer zou kunnen vliegen na 1 gram brood te hebben
gepikt. Je hoeft geen rekening te houden met het omkeren aan het einde van de hal.
(De gegevens zijn ontleend aan Henk Tennekes, De wetten van de vliegkunst. Over stijgen,
dalen en vliegen , Aramith 1992)
Auto
De wrijvingsweerstand Fw die een auto ondervindt, kun je berekenen met de formule
Fw = cr × Fn + ½cw × A ×  × v2.
De c’s zijn evenredigheidsconstanten. Fn is de normaalkracht, A het frontoppervlak,  de
dichtheid van de lucht en v de snelheid. Voor een bepaald type auto met een massa van 980
kg zijn de c’s respectievelijk 0,0020 en 1,00; het frontoppervlak is 1,2 m2 en de dichtheid van
de lucht is 1,3 kg/m3.
Op de snelheidsmeter is als grootste waarde 240 km/h aangegeven. Maar dat haalt die auto
niet.
Bereken of deze auto met een nuttig vermogen van 40 kW de 200 km/h kan halen.
15
Op een achtbaan raas je in een treintje met een massa van 5,65  103 kg langs een helling
van 35 in 3,5 s omlaag. Boven aan de helling is de snelheid 2,6 m/s.
De wrijvingskracht op het treintje is 4,6  103 N.
Bereken de snelheid onder aan de helling.
16
Een fietser rijdt zonder beginsnelheid een helling af. Na uitrijden op het horizontale gedeelte
komt hij tot stilstand. Deze beweging is weergegeven in de tekening.
Bereken de gemiddelde wrijvingskracht op de fiets met fietser tijdens deze beweging.
Uitwerking
De zwaarte-energie gaat verloren aan warmte door wrijving. De wrijving verricht negatieve
arbeid en voor datzelfde bedrag ontstaat warmte. Dus: m  g  h = Fw  s
80  9,81  0,10 = Fw  (8,0 + 2,0)  Fw = 7,8 N.
17
Jij fietst een helling op met een hellingshoek van 2,0. Jij en je fiets wegen samen 100 kg. De
helling is 260 m lang.
Bereken hoeveel arbeid de zwaartekracht op die 100 kg tijdens jouw rit heeft verricht.
Je gaat 260  sin 2 = 9,1 m omhoog. De
verplaatsing in de richting van de
zwaartekracht is dus  9,1 m.
De verrichte arbeid dus W = F  s = 100 
9,81  9,1 =  8,9  103 J.
Mooier is het als je gebruikt maakt van een
tekening:
W = F  s  cos 
= 100  9,81  cos 92 =  8,9  103
J.
18
Een voorwerp dat omhoog gegooid wordt, voelt de zwaartekracht en ondervindt dus ook de
vertraging van 9,81 m/s².
Je gooit een steentje omhoog met 20 m/s. We zien af van wrijving.
Teken de snelheid-tijd-grafiek en leid daaruit af hoe hoog het steentje komt.
Ieder seconde gaat er van de 20 m/s 9,81 m/s
af.
Dus na 20 / 9,81 = 2,04 s is de snelheid nul
en heeft het voorwerp zijn hoogste punt
bereikt.
De oppervlakte is de verplaatsing = ½¸ 2,04 
20 = 20,4 m
Een fietser rijdt zonder beginsnelheid een helling af. Na uitrijden op het horizontale gedeelte
komt hij tot stilstand. Deze beweging is weergegeven in de tekening.
Bereken de gemiddelde wrijvingskracht op de fiets met fietser tijdens deze beweging.
Uitwerking:
De zwaarte-energie gaat verloren aan warmte door wrijving. De wrijving verricht negatieve
arbeid en voor datzelfde bedrag ontstaat warmte. Dus: m  g  h = Fw  s
80  9,81  0,10 = Fw  (8,0 + 2,0)  Fw = 7,8 N.
Van een hoogte van 1,20 m laat men een stuiterbal vallen. Bij het neerkomen raakt deze
telkens 15% van zijn kinetische energie kwijt.
Bereken hoe hoog de bal maximaal terugstuitert na de 4e tik op de grond.
Uitwerking:
Bij de eerste stuitering gaat 15% van de energie verloren. Er blijft dus 85% over, ofwel 0,85
 Ebegin. Na de tweede stuitering is er weer 0,85-ste deel over. Dat is 0,85²  Ebegin. Na de
derde 0,853  Ebegin en na de vierde 0,854  Ebegin = 0,854  m  g  h.
De hoogte die hij bereikt is dus
0,854  1,20 = 0,63 m.
Ik ga zonder trappen en remmen met de fiets een helling van 4% af. Dus iedere 100 m
afgelegde weg, ben ik 4 m gedaald. Mijn fiets en ik wegen samen 120 kg. De wrijving
schatten we op slechts 10 N. De beginsnelheid is 5 m/s.
Bereken de snelheid na een afgelegde weg van 200 m.
Uitwerking:
Iedere 100 m daal ik 4 m. Op de afstand van 200 m dus 8 m. Zowel de zwaartekracht als de
wrijving verrichten arbeid. De verrichte arbeid komt ten goede aan de bewegingsenergie,
zodat
Wz + Wwrijving = (½  m  v²)
100  9,81  8 + 10  200 = ½  100  v²  v = 12 m/s.
A
B
C
A
B
C
EEN KAR
De beweging van een kar van 80 kg langs een rechte lijn wordt gedurende 14,4 s gevolgd en
is als volgt te omschrijven:
Eerst 10 s met een constante snelheid v waarbij 40 m wordt afgelegd; vervolgens ondervindt
de kar gedurende 3,4 s een versnelling a van 2,0 m/s² om dan in 1,0 s tot stilstand te komen.
Teken de v,t-grafiek van de beschreven beweging.
Bereken de afgelegde weg in de beschreven 14,4 s.
De kar ondervindt tijdens deze rit een constante wrijvingskracht van 40 N.
Bereken de arbeid die de aandrijving van de kar gedurende de 3,4 s met de versnelling van
2,0 m/s² moet verrichten.
WATERGLIJBAAN
Op een recht stuk glijbaan, waar de wrijving verwaarloosd mag worden, blijkt je te versnellen
met 4,7 m/s².
Bereken de hellingshoek van dat stuk glijbaan.
Een ander stuk van die glijbaan, nog steeds met verwaarloosbare wrijving, heeft een
hellingshoek van maar liefst 62°. Jij glijdt van die helling af. Ik neem aan dat je je eigen
massa kent, maar je mag ook uitgaan van 50 kg.
Teken op schaal de helling en de op jou werkende krachten. De zwaartekracht moet hierbij
voorgesteld worden door een vector van tenminste 5 cm.
Tijdens het afdalen blijkt je snelheid op een stuk baan toe te nemen van 2,0 m/s tot 8,0 m/s.
Bereken het minimale hoogteverschil tijdens die afdaling.
AANDRIJVING
Tijdens het arbeid verrichten wordt door een motor 2856 J nuttige arbeid verricht. Hierbij
blijkt 12 g brandstof met een verbrandingswarmte van 31  106 J/kg te zijn verbruikt.
Bereken het rendement van de omzetting.
LOOPING
Lang geleden werden machines niet aangedreven door elektromotoren, maar via lieren
aangedreven door met steenkool gestookte
stoomturbines.
Stel je voor dat je met een karretje wordt
opgetakeld door de lier. Dat is tevens de
enige aandrijving. Zoals op de foto te zien is,
ga je eerst omhoog langs een rechte helling
en boven gekomen ga je dank zij de
zwaartekracht weer met een bocht naar
beneden. In deze opgave maak je daarbij
geen bocht, maar stellen we ons voor dat de
helling omhoog en de baan naar beneden in
één verticaal vlak liggen, zoals in de tekening
eronder.
Jij en je karretje hebben samen een massa
van 110 kg.
Je hebt de snelheid-tijdgrafiek opgemeten
van het betreffende traject. Ook die is hierbij
afgedrukt.
A
B
C
Je gaat gedurende 12 s met een snelheid
van 2,8 m/s omhoog en bent dan 19,3 m
hoger dan bij het vertrekpunt.
Bereken de minimaal door de aandrijving
verrichte arbeid in die 12 s.
Naar beneden gaand neemt de snelheid
toe. Zie grafiek.
Bepaal de versnelling op t = 13 s.
Bereken de verplaatsing die behoort bij de
eerste 14 s van de grafiek.
E
Tijdens een andere afdaling is de
hellingshoek 33°. De wrijving tijdens die afdaling mag je verwaarlozen.
Teken die helling met de juiste hellingshoek en de op de massa van 110 kg werkende krachten op schaal. De zwaartekracht stel je daarbij voor door een pijl van 5,0 cm.
Bereken de versnelling tijdens die afdaling.
F
De afdaling begon met een snelheid van 10 m/s. Op zeker moment was het karretje 8,0 m
lager.
Bereken met energiebehoud de snelheid op dat moment.
D
G
De aandrijving verricht in een zekere periode 264 kJ nuttige arbeid bij een rendement van
21%.
Bereken hoeveel steenkool daarbij verbrand is.
De verbrandingswarmte van steenkool is 29  106 J / kg.
UITWERKING:
A
We verwaarlozen de wrijving, omdat naar minimale waarde wordt gevraagd.
Twee mogelijke manieren:
a Je bedenkt dat de verrichte arbeid ten goede komt aan de
zwaarte-energie en dus dat W = mgh = 110  9,81  19,3
= 20827 = 20,8 kJ
b W = F  s, dus de spankracht maal de verplaatsing in de
richting van de kracht. Om de spankracht te berekenen
maak je eerst een tekening met de krachten erin. Als
assenstelsel kies je de richting van de helling en de richting
er loodrecht op. Omdat de verplaatsing in de x-richting is,
ben je alleen geïnteresseerd in de componenten van de
krachten parallel aan het hellend vlak. Dat zijn de
spankracht van de aandrijving en de x-component van de
zwaartekracht, Fx = mg  sin  = 110  9,81  sin 35
= 619 N.
De verplaatsing s = vt = 2,8  12 = 33,6 m.
W = F  s = 619  33,6 = 20797 = 20,8 kJ.
a
B
C
D
E
F
G
v
t

raaklijn
18  2,8
 7,6 m / s2
14  12
verplaatsing s = x = opp. onder grafiek = vt + <v>  t =
2,8  12 + 10,4  2 = 54 m.
De resulterende kracht die voor de versnelling zorgt, is
Fzx = mg  sin  = 110  9,81  sin 33 = 588 N.
Zie de tekening.
Met F = ma volgt dan 588 = 110  a en dus a = 5,3 m/s2.
Voor het beantwoorden van vraag 4 heb je natuurlijk als een
schets gemaakt. Nu moet je hem goed op schaal tekenen.
Eboven = Ebeneden
Omdat wrijving geen rol speelt, hoeven we alleen kinetische
en zwaarte-energie in rekening te brengen.
(Ekin + Ez)boven = (Ekin + Ez)beneden
(½  mv2 + mgh)boven = (½  mv2 + mgh)beneden
½  110  10² + 110  9,81  8,0 = ½  110  vbeneden² + 0
Je kunt de massa eruit delen.
vbeneden = 16 m/s.

nuttig
264
 0,21 
 erin  1257 kJ
erin
erin
Per kilogram levert steenkool 29  106 J.
1257  10 3
 0,043 kg
6
Nodig 29  10
HELLING AF
Door te remmen ga je met een constante snelheid van 30 km/h een helling af van 4%, dus
sin(hellingshoek) = 0,04. Jij en je fiets wegen samen 80 kg.
Bereken de door de zwaartekracht per seconde verrichte arbeid.
Uitwerking:
Als voor de hellingshoek geldt sin  = 0,04 en dus  = 2,29, geldt voor de hoek tussen de
zwaartekracht en de verplaatsing dat die gelijk is aan  = 90 - 2,29 = 87,7
De verplaatsing in 1 s, 30 km/h = 8,33 m/s, is 8,33 m
W = F × s × cos  = 80 × 9,81 × 8,33  cos 87,7 = 261 J
opmerking: cos 2,29 maximaal .. punten
óf
W = -Ezw
de daling is h = s × sin  = 8,33 × 0,04 = 0,333 m
W = mg × h = 80 × 9,81 × 0,333 = 261 J
BUNGEE JUMPING
Als test laten we een betonnen kogel van 70 kg als bungee jumper laat vallen van 65 m
hoogte. Hij blijkt dan net de grond te raken. De lengte van de onbelaste elastiek is 25 m.
We vereenvoudigen het verhaal door het volgende te veronderstellen.
a. de beweging vindt alleen in verticale richting plaats,
b. de luchtweerstand is te verwaarlozen evenals de grootte van de kogel,
c. de elastiek oefent een kracht uit op de ‘jumper’ volgens F =  Cu en heeft geen massa,
d. tot de ‘jumper’ voor de eerste maal terugveert -- de hoogte is dan 0 m -- spelen alleen
zwaarte-energie, kinetische energie en veerenergie een rol.
Er zijn een paar interessante momenten tijdens de val:
i.
de start van het vallen: t = 0
ii.
het moment dat de elastiek een kracht begint uit te oefenen: t = te
iii.
het moment dat de snelheid maximaal is: t = ts
iv. het moment dat de veer maximaal uitgerekt is: t = tv.
A
B
C
A
B
C
Leg uit of de momenten t = te en t = ts samenvallen of welk moment eerst komt.
Schets in één assenstelsel de grafieken van elke energievorm als functie van de hoogte van
de ‘jumper’ van het begin van de val totdat hij terugveert. Geef een toelichting bij iedere grafiek.
Bereken de veerconstante van de elastiek.
UITWERKING:
Het elastiek gaat pas een kracht uitoefenen, zodra het uitgerekt wordt. en pas als het zover
uitgerekt is dat de veerkracht gelijk is aan de zwaartekracht neemt de snelheid niet meer toe.
Dus eerst te en dan pas ts.
Ez = mgh en dus lineair in de hoogte
Ev = ½ Cu2 is kwadratisch in de
uitrekking en geeft dus een parabool
met top u = 0
De som van Ev, Ez en Ekin is constant.
Als Ez en Etotaal lineair zijn en Ev
kwadratisch dan moet ook Ekin
kwadratisch zijn in de hoogte
De zwaarte-energie in het hoogste
punt is omgezet in veerenergie in het
laagste punt
mgh = ½Cu2
70 × 9,81 × 65 = ½ × C × (65-25)2
C = 56 N/m
Bunjee jumpen
Van de bungee jumper hebben we een model gemaakt en daarvan grafieken geproduceerd.
Zie de bijlagen.
Hiernaast een situatieschets.
De jumper is vervangen door een betonnen
kogel van 70 kg. Het nog slap hangende
elastiek heeft onbelast een lengte van 25 m.
Als de jumper de streeplijn, x = 0, passeert
wordt het elastiek pas gespannen. De elastiek
is een andere dan bij eerdere experimenten.
In de tabel op de bijlage is het gebruikte model
met startwaarden weergegeven, waarin na het
maken van de grafieken twee echte fouten zijn
aangebracht.
Het gaat niet om hoofdletters of zo, maar bij
het model om een niet-geoorloofde
verwisseling van stukjes. Het model werkt nu
niet meer.
A
B
Welke fout is in de modelregels veroorzaakt
door mij?
Welke startwaarde ontbreekt of welke ontbreken?
D
In de grafieken C en D staan resp. de veerenergie en de kinetische energie als functie van
de hoogte. Niet als functie van de tijd.
Beschrijf hoe de grafiek D door het programma als functie van de tijd is doorlopen. Je kunt
daartoe pijltjes zetten in de grafiek. Ook je naam erbij dan!
Leid uit grafiek C de maximale uitrekking van de elastiek af
E
Grafiek A, de hoogte van de kogel als functie van de tijd, stemt binnen 5% met de videoopname overeen. Veranderen van dt maakt dat de overeenstemming verloren gaat.
Welke waarde van dt beschouw jij in dat opzicht als grenswaarde en licht je keuze toe
F
G
We bekijken nu de eerste 10 s van de valbeweging nader in grafiek A en B.
Arceer de tijd waarin het elastiek niet gespannen is en
beschrijf wat voor soort(en) beweging de kogel achtereenvolgens uitvoert in die 10 s
H
We veronderstellen dat het afnemen van de maximale hoogte veroorzaakt wordt door
warmteverliezen.
Bereken het warmteverlies in de eerste 8 s.
C
BIJLAGEN:
regel
model
startwaarden
functie modelregel
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
t=t+dt
als x>0 dan f = fz
a=f/m
v = v + a*dt
x = x + v*dt
u=0
anders f = fz + fv
fv = - c * x
a=f/m
v = v + a*dt
v=w*v
dx = v*dt
x = x + dx
u=x
eindals
h = x + xo
veer = 0.5*abs(c)*u^2
kin = 0.5*m*v^2
zw = m*g*h
t=0
dt = 0.01
x = 25
m = 70
g = -9.81
fz = m*g
v=0
c = 56
w = 0.998
klok
elastiek slap? dan...
uitrekking elastiek
berekening resulterende kracht als u  0
verwerking van de verliezen in elastiek
uitrekking elastiek
‘veer’-energie van de elastiek
kinetische energie
zwaarte-energie
A
B
C
D
E
F
G
H
UITWERKING:
in regel 7 en 8 moeten fv = - c*x en f = fz + fv omgewisseld worden
xo moet gegeven zijn.
iedere teveel genoemde grootheid - .. pt
de jumper begint op de grootste hoogte( 0 s), gaat naar de laagste (4,5 s), dan weer omhoog
(8,0 s) en omlaag enz.
De elastiek heeft alleen energie als hij uitgerekt is; uit
grafiek C leid je af dat de uitrekking plaatsvindt van h =
38 m tot h = 6 m. De 38 m-grens is onduidelijk, omdat
de grafiek kan samenvallen met de as voor kleine
uitrekkingen.
De maximale uitrekking is dan 38 - 6 = 32 m.
Bij een goed model zal de
overeenstemming alleen maar beter
worden als je de stap-grootte verkleint.
Dat de overeenstemming verloren gaat,
gebeurt dan bij grotere dt’s.
De verandering van versnelling wordt niet
‘tijdig’ verwerkt.
Met name bij oscillaties is dat fnuikend.
In een kwart trillingstijd verandert de
versnelling van maximaal naar nul.
De helft van die tijd is al ‘gevaarlijk’ Dus in
dit geval 1 s. Bijgaande afbeelding laat het
verschil zien tussen dt = 0,01 s en dt = 1,0
s.
Als de elastiek niet gespannen is, hebben
we met een vrije val te maken, is de
versnelling constant en de v,t-grafiek is dan een rechte lijn. Dus vrije val van 0 tot 2,4 s. Zo
vinden we ook de hoogte 40 m en punt P. Dan
ook geen gespannen elastiek boven de 40 m
tussen Q en R.
tot P : eenparig versnelde beweging
P tot Q: harmonische trilling, eventueel gedempte
Q tot R: eenparig versneld
na R: harmonische trilling.
Door de warmteverliezen komt de jumper niet
meer tot de oorspronkelijke hoogte.
De ontwikkelde warmte is gelijk aan de afname
van de zwaarte-energie,
dus Q = - mg × h = 70 × 9,81 × (45 - 65) = - 14
kJ.
AUTO OP HELLING
Een auto van 1000 kg rijdt met constante snelheid 100 m een helling van 4% op.
De ondervonden wrijving is 1% van de normaalkracht. Het rendement van de benzinemotor
is 25%.
Bereken de benodigde hoeveelheid benzine.
Antw: 6 ml
a.
b.
c.
GLIJBAAN
Een kind van 40 kg klimt de trap op om van de superglijbaan af te glijden.
Het klimt daarbij 6,0 m omhoog en glijdt dan een 20 m lange baan af naar beneden, waar het
met 5,6 m/s in een zandbak aankomt.
Bereken de arbeid die het heeft moeten verrichten om boven te komen.
Bereken met welke snelheid het beneden aangekomen zou zijn, als de glijbaan wrijvingsloos
was geweest. Gebruik hiervoor de theorie van dit hoofdstuk.
Leid af hoeveel energie tussen broek en glijbaan in warmte is omgezet.
BLOK OP HELLING
Een blok van 400 g ligt op een vlak dat 32 helt. Als het
wordt losgelaten gaat het schuiven. De maximale
wrijvingskracht die het ondervindt, is 0,80 N groot.
Bereken de snelheid van het blok nadat het 60 cm is
gedaald.
1.
2.
BRANDSTOFVERBRUIK
Bij een bepaald type auto hoort de volgende specificatie: max. nuttig vermogen 100 kW bij
een snelheid van 202 km/h. De volgende twee vragen hebben op deze situatie betrekking.
Bereken de wrijvingskracht.
Bereken hoeveel benzine per seconde nodig is bij een rendement van 35%.
uitwerking:
1
2
W F s
F  202  10 3

 100  10 3 
 F  1782
t
t
3600
, dus F = 1,78 kN
3
Pnuttig
100  10

 0,35 
 Perin  285,.... kW = 285,...kJ / s
Perin
Perin
.
P
De stookwaarde van benzine is 33×109 J/m3.
285714
6
3
9  8,7  10 m  8,7 mL
Iedere seconde is dus aan benzine nodig: 33  10
.
a
b
a
BRANDSTOFVERBRUIK
De wrijving die een bepaald type auto ondervindt, is te berekenen met F = 300 + 0,40v2.
Deze auto blijkt bij 120 km/h een benzineverbruik van 8,1 L per 100 km te hebben.
Bereken het rendement van de motor onder die omstandigheden.
Bereken het nuttig vermogen van de auto onder die omstandigheden.
Voor het rendement moet je weten wat er aan energie ingaat en wat nuttig besteed wordt.
Hiervoor bekijken we een afstand van 100 km. v = 120 km/h = 33,33 m/s
Enuttig = F × s = (300 + 0,40 × 33,33²) × 10010³ = 74106 J
Eerin = 8,1 × 33106 = 267106 J

b
E nuttig
E

74
 0,28
267
of 28 %
erin
Het rendement
Pnuttig = F × v = (300 + 0,40 × 33,33²) × 33,33 = 25103 W
ARBEID EN ENERGIE
Een kind van 30 kg glijdt van de glijbaan af. De glijbaan bestond uit een rechte roestvrijstalen
baan met een hellingshoek van 30 en het hoogteverschil tussen begin- en eindpunt was
3,00 m.
Bereken de door de zwaartekracht op het kind verrichte arbeid.
De eindsnelheid blijkt 6 m/s te zijn.
Bereken de warmte-ontwikkeling door de wrijving aan het contactvlak kind-baan, als alleen
die wrijving van belang is.
Uitwerking:
W = F × s = 30 × 9,81 × 3,00 = 883 J
De kinetische energie van het kind beneden is Ekin = ½mv² = ½ × 30 × 6² = 540 J
Aan warmte is ontwikkeld 883 - 540 = 343 = 3,4102 J
LOOPING
Het hoogste punt van een
looping is 19 m boven het
maaiveld. Een karretje is
losgelaten op 24,5 m hoogte
met verwaarloosbare
snelheid.
Bereken de snelheid die het
karretje op basis van deze
gegevens maximaal in de top
van de looping kan hebben
Uitwerking: mgh = mgh + ½mv² , dus 9,81 × (24,5 - 19) = ½ v² en v = 10,4 m/s.
KAR
Over een horizontale weg trek ik een kar voort met
constante snelheid van 2,5 m/s. De kracht
waarmee ik trek is 50 N en wijst in de richting zoals
die uit de tekening blijkt.
Bereken hoeveel arbeid ik verricht heb als ik de kar
20 m heb voortgetrokken.
Uitwerking:
Alleen de horizontale component Fik, x van mijn kracht verricht arbeid.
Fik, x = 50 × cos 33,5 = 41,69 N.
W=F×s=
41,69 × 20 = 833,9 = 8,310² J
Je kunt ook de verplaatsing in de richting van de kracht bepalen. Je ontbindt dan de 20 m in
een component langs die 50 N en een component daar loodrecht op.
De component langs de 50 N is groot:
20×cos 33,5° = 16,7 m.
De arbeid is dan
W = F×s = 50 × 16,7 = 834 J.
HAZELNOOTJES
De benodigde energie haal ik uit hazelnootjes.
Dat gebeurt met een rendement van 5%.
De energie in hazelnootjes is volgens de voedingstabel 2893 kJ per 100 gram.
Bereken hoeveel hazelnootjes ik moet eten om 10103 J arbeid te verrichten.
Uitwerking:
Wnuttig = 1010³ J;  = 5%
W
10  103
  nuttig  0,05 
 Eerin  200 kJ
Eerin
Eerin
In nootjes zit 28,93 kJ per gram, dus aan
200 / 28,93 = 6,9 g heb ik genoeg.
KAR OP HELLING
Een kar trek ik een helling op en stop dan.
Ik oefen een kracht Fik uit van 50 N, maar de kar
blijft stil staan. De kracht die ik uitoefen, en de
zwaartekracht zijn op schaal getekend en de
hoeken juist weergegeven.
Zie de figuur hiernaast.
Verder is er nog een normaalkracht en een
wrijvingskracht.
Bepaal door constructie de grootte van de
wrijvingskracht.
Uitwerking:
3
De kar staat stil, dus de som van de krachten
evenwijdig aan het vlak moet nul zijn.
Je construeert eerst Fik, x en Fz, x.
Het verschil tussen beide is Fw
In mijn tekening blijkt het verschil 14 mm, terwijl
Fik, = 50 N  33 mm.
14
 50  21 N
Dus is Fw 
33
1
2
KARRETJE
Het hiernaast getekende karretje, met inhoud samen
20 kg, trek ik met een constante snelheid van 1,5 m/s
langs de helling omhoog over een afstand van 25 m.
De tekening is op schaal. Zie tekening.
Bepaal de daarbij door de zwaartekracht verrichte
arbeid.
Bepaal de daarbij door mij verrichte arbeid.
Aanvullende vragen:
Bereken het door mij geleverde vermogen en het
rendement.
UITWERKING
Als je arbeid moet uitrekenen, dan gaat het om kracht
en verplaatsing in de richting van die kracht. Je moet
dus eerst zeggen van welke kracht (A) je de arbeid wilt
uitrekenen en dan kijken hoe groot de verplaatsing in de richting van die kracht is.
Wordt gevraagd naar de arbeid van de zwaartekracht, dan kun je in het geval van een
hellend vlak ook ervoor kiezen om die zwaartekracht te ontbinden (B) in een component
langs het vlak en een in de richting loodrecht op dat vlak.
Tenslotte kun je ook nog kiezen (C) voor de uitgebreide formule om de arbeid te berekenen.
Waar je ook voor kiest, snap wat je doet en werk het compleet uit. We zullen alle drie de
methoden bespreken. Op een proefwerk kies je natuurlijk voor één van de methoden.
Realiseer je dat de opdracht ‘bepaal’ betekent dat je informatie uit de tekening moet halen.
A
We gebruiken W = F × s.
F = Fz = 20 × 9,81 = 196,2 N.
Afronden en op significante cijfers letten doen we pas aan het eind.
s =…? De vraag is hoeveel meter gaan we naar beneden.
Je kunt in de tekening zien dat bij de verplaatsing s = 25 m een verplaatsing in de richting
van de kracht hoort die we aangegeven hebben met h.
Teken de pijl langs de helling bijv. 50 mm lang, dan blijkt de kar 8,5 mm in de tekening te
stijgen. Als 50 mm vanwege de schaal hoort bij 25 m, dan hoort bij 8,5 mm een afstand van
4,25 m. Dus: W = F × s = 196,2 ×  4,25 =  834 J
Let op het minteken; de kar gaat omhoog, de pijl van h is tegengesteld gericht aan de pijl Fz.!
Vanwege de significantie in de gegevens en de tekennauwkeurigheid maak je hiervan
W =  8,3102 J.
De lengte van h kun je ook berekenen nadat je de hellinghoek opgemeten hebt. Die blijkt 10
te zijn.
Dan is h = 25 × sin 10 = 4,34 m en is W = F × s = 196,2 ×  4,34 =  852 =  8,5102 J.
Duidelijk blijkt dat een derde cijfer geen zin heeft.
B
De zwaartekracht, Fz = 20 × 9,81 = 196,2 N, is te ontbinden in Fzx langs het vlak en Fzy
loodrecht op het vlak.
De component loodrecht op het vlak verricht geen arbeid; er is geen verplaatsing loodrecht
op het vlak.
De arbeid van de zwaartekracht wordt dus helemaal verricht door Fzx.
De grootte van Fzx kun je berekenen met Fzx = Fz × sin 10 = 34,1 N of opmeten.
Ik meet een Fz van 79 mm en een Fzx van 14 mm, waaruit volgt dat Fzx = 35 N.
W = F × s = 35 ×  25 =  875 = 8,8102 J.
C
De uitgebreide formule luidt:
W = F × s × cos  = 20 × 9,81 × 25 × cos (90 +
10) =  852 =  8,5102 J.
Voor  moet je de hoek invullen tussen F en s.
De door mij verrichte arbeid.
De meest voor de hand liggende methode lijkt nu
om de kracht te ontbinden in een componenten
langs het vlak en een er loodrecht op.
De zwaartekracht is in de tekening 79 mm lang en ik meet voor Fik,x een lengte van 23 mm.
We schrijven de berekening uit:
Fik, x 23
Fik, x
23



 Fik, x  57,1 N
Fz
79
20  9,81 79
W = F × s = 57,1 × 25 = 1428 = 1,4103 J.
Aanvullende vragen:
Antwoorden:
Bij vermogen gaat het om de arbeid per tijdseenheid. De tijd waarin de boven berekende
arbeid wordt verricht, is de tijd die nodig is om met 1,5 m/s die 25 m af te leggen.
Met s = v × t  25 = 1,5 × t  t = 16,666 s. Dus:
P
W
1428

 86 W
t
16,7
Ook kun je gebruik maken van P = F × v = 57,1 × 1,5 = 86 W.
Als je het rendement wilt berekenen, moet je weten hoeveel arbeid je verricht hebt en
hoeveel daarvan nuttig is besteed.
Je hebt 1428 J arbeid verricht en als het nuttige eruit bestaat dat het karretje 4,25 m omhoog
nuttig 852

 0,60  60% .
is gebracht, dan is het rendement  
erin
1428
Als je bedenkt dat je jezelf ook naar boven hebt vervoerd, is het 852 J nog steeds het nuttige
deel, maar heb je veel meer arbeid verricht en zakt het rendement. Bereken maar eens de
arbeid die het kost om de trap op te lopen.
1
2
1
2
KARRETJE
Een karretje waarop een zwaartekracht van 600 N werkt, rolt met een constante snelheid
van 4,0 m/s een helling af over een afstand van 20 m. De hellingshoek is 5. De enige
krachten die werken zijn de zwaartekracht, de wrijvingskracht en de normaalkracht.
Bereken de daarbij door de zwaartekracht verrichte arbeid.
Bereken het daarbij door de wrijvingskracht geleverde vermogen.
UITWERKING:
W=F×s
De arbeid van de zwaartekracht = de
zwaartekracht × de afstand in de
richting van de zwaartekracht. Dat is
dus de afstand naar beneden. Langs de
helling 20 m betekent verticaal 20 × sin
5 = 1,74 m.
W = F × s = 600 × 1,74 = 1046 J =
1,010³ J.
Andere mogelijkheid: Je berekent de
component van de zwaartekracht langs
het vlak. Dat is 600 × sin 5 = 52, 3 N. Dan is W = F × s = 52,3 × 20 = 1,010³ J.
Hier zijn ook meer mogelijkheden.
a.
Je bedenkt dat de snelheid constant is en dus de resulterende kracht nul is en er ook
geen arbeid wordt verricht. Als dan de zwaartekracht 1046 J arbeid verricht, moet de wrijving
– 1046 J arbeid verrichten. Bij vermogen is de tijd waarin die arbeid wordt verricht van
belang. Je 'ziet' zo dat dat 5,0 s is, maar 'netjes' zeg je:
s = v × t  20 = 4,0 × t  t = 5,0 s.
Dan P 
W
 1046

 209   2,1 10 2 W
t
5,0
b.
Je berekent de grootte van de wrijvingskracht, dan de arbeid ervan en dan het
vermogen.
De grootte van de wrijvingskracht = de component van de zwaartekracht langs het vlak,
want dan is de som van de krachten langs het vlak nul: F = 0.
Dus de wrijvingskracht is 52,3 N; zie vorige vraag.
De verplaatsing in de richting van de kracht is – 20 m.
De verrichte arbeid is dus W = F × s = 52,3 ×  20 =  1046 J
Voor het vermogen moet je weten in welke tijd die arbeid is verricht en schrijf je
s = v × t  20 = 4,0 × t  t = 5,0 s.
Dan. P 
W
 1046

 209   2,1 102 W
t
5,0
c.
Je kunt ook nog gebruik maken van P = F × v.
Je hebt dan de grootte van wrijvingskracht nodig: 52,3 N, zie vorige vraag.
P = F × v = 52,3 × 4,0 = 209 J. Ook moet je nog bedenken dat de kracht en de verplaatsing
tegengesteld gericht zijn en dus dat het gevraagde vermogen negatief is.
BETONBLOK
Een benzinemotor heeft een rendement van 31%.
Voor het optillen van een blok beton verricht hij 57103 J arbeid.
Bereken hoeveel benzine hiervoor nodig was.
UITWERKING:
Het rendement van de benzinemotor is 31%.
De verbrandingswarmte van benzine is 33109 J/m3. Gecombineerd levert dit dat 1 L benzine
10106 J arbeid kan verrichten en 1 mL dus 10103 J.
57 103
 5,6 10 3 L  5,6 mL .
Als er 57103 J arbeid verricht wordt, is ervoor nodig:
10,2 10 6
Andersom kun je ook zeggen dat  
nuttig
57  103
. Er moet dus 184103 J energie
 0,31 
erin
erin
in de vorm van benzine in. Daarvoor is nodig
184  103
 5,6  10 6 m3 benzine.
33  109
VERMOEIEND
Je energie haal je uit brinta. Volgens tabel 74 van Binas zit daar 1554 kJ per 100 g in.
Het rendement van je lichaam is bij het omzetten van brinta slechts 5%.
Je gaat de trap op naar de 2e verdieping naar lokaal 306. Dat ligt 6,2 m hoger dan je
vertrekpunt. Dat kost je energie.
Bereken hoeveel brinta jij daartoe gegeten moet hebben. Als je niet weet hoe zwaar je bent,
neem je maar 50 kg als je gewicht.
UITWERKING
1554 kJ per 100 g betekent 15,54 kJ per gram.
Hiervan wordt maar 5% en dus 0,05 × 15,54 kJ = 777 J nuttig gebruikt.
De arbeid die je verricht, is jezelf tegen de zwaartekracht in omhoog verplaatsen.
Je verricht dus W = F × s = 50 × 9,81 × 6,2 = 491 × 9,2 = 3041 J arbeid.
Je moet dus eten: 3041 / 777 = 3,9 gram brinta. Smakelijk.
Helling
Op een spiegelgladde helling met een hellingshoek van 20 ligt een kist. Deze wordt op zijn
plaats gehouden dankzij een kabel die evenwijdig aan de helling gespannen is. De trekkracht
in deze kabel is 20 N.
Bepaal door constructie de grootte van de zwaartekracht op de kist.
De kist wordt vervolgens 3,72 m langs de helling omhooggetrokken. De spankracht in de
kabel is daarbij gemiddeld 20 N.
Bereken de door de spankracht verrichte arbeid.
Trappen lopen.
Je brengt een doos van 5,0 kg naar de eerste verdieping. Die verdieping ligt 3,0 m hoger dan
de begane grond en de trap maakt een hoek van 40 met de horizon.
Bereken de arbeid die je daarbij verricht.
Aardbeien
Volgens de voedingstabel van BINAS zit in 100g aardbeien 99 kJ energie.
Ik veronderstel even dat het lichaam deze aardbeien kan omzetten in nuttige energie met
een rendement van 10%. Tevens veronderstel ik dat het lichaam functioneert met een
vermogen van 100 W.
Bereken hoe lang het lichaam dankzij het eten van een doosje aardbeien van 250 g kan
functioneren.
1.
2.
BRANDSTOFVERBRUIK
Bij een bepaald type auto hoort de volgende specificatie: max. nuttig vermogen 100 kW bij
een snelheid van 202 km/h. De volgende twee vragen hebben op deze situatie betrekking.
Bereken de wrijvingskracht.
Bereken hoeveel benzine per seconde nodig is bij een rendement van 35%.
uitwerking:
1
W F s
F  202  10 3
3
P

 100  10 
 F  1782
t
t
3600
, dus F = 1,78 kN

2
Pnuttig
Perin
 0,35 
100  10 3
 Perin  285,.... kW = 285,...kJ / s
Perin
.
De stookwaarde van benzine is 33×109 J/m3.
285714
6
3
9  8,7  10 m  8,7 mL
Iedere seconde is dus aan benzine nodig: 33  10
.
-x
BRANDSTOFVERBRUIK
De wrijving die een bepaald type auto ondervindt, is te berekenen met F = 300 + 0,40v2.
Deze auto blijkt bij 120 km/h een benzineverbruik van 8,1 L per 100 km te hebben.
Bereken het rendement van de motor onder die omstandigheden.
Bereken het nuttig vermogen van de auto onder die omstandigheden
uitwerking:
Voor het rendement moet je weten wat er aan energie ingaat en wat nuttig besteed wordt.
Hiervoor bekijken we een afstand van 100 km. v = 120 km/h = 33,33 m/s
Enuttig = F × s = (300 + 0,40 × 33,33²) × 10010³ = 74106 J
Eerin = 8,1 × 33106 = 267106 J

E nuttig
E

74
 0,28
267
of 28 %
erin
Het rendement
Pnuttig = F × v = (300 + 0,40 × 33,33²) × 33,33 = 25103 W
--
ARBEID EN ENERGIE
Een kind van 30 kg glijdt van de glijbaan af. De glijbaan bestond uit een rechte roestvrijstalen
baan met een hellingshoek van 30 en het hoogteverschil tussen begin- en eindpunt was
3,00 m.
Bereken de door de zwaartekracht op het kind verrichte arbeid.
De eindsnelheid blijkt 6 m/s te zijn.
Bereken de warmte-ontwikkeling door de wrijving aan het contactvlak kind-baan, als alleen
die wrijving van belang is.
uitwerking:
W = F × s = 30 × 9,81 × 3,00 = 883 J
De kinetische energie van het kind beneden is Ekin = ½mv² = ½ × 30 × 6² = 540 J
Aan warmte is ontwikkeld 883 - 540 = 343 = 3,4102 J
-VAKANTIE-ELLENDE
Moet je weer naar het strand. Zwaar bepakt en ook nog eerst het duin over lopen. En het is
al zo heet.
Voor een deel is de ellende te voorkomen door een bolderkar te gebruiken; daar kan in ieder
geval de koelbox, het windscherm, de parasol, de matjes, de handdoeken, de studieboeken
en wat al niet op.
Ik veronderstel dat je niet bij de mensen hoort die de andere strandgangers gaat vervelen
met een soundblaster. Maar nu de natuurkunde.
Het pad over het duin maakt een hoek van 4 met de horizon. Het pad is 100 m lang en jij
trekt een bolderkar van 15 kg het pad op en loopt met een constante snelheid van 0,50 m/s
terwijl je met een kracht van 20 N aan de bolderkar trekt. Die kracht van 20 N is evenwijdig
aan de helling.
a
b
c.
d.
Bereken de arbeid die jij hebt verricht bij het lopen over dat pad door het trekken van de kar.
Bereken het door jou geleverde vermogen tijdens het lopen over dat pad.
Bereken hierbij de door de wrijving verrichte arbeid
Bereken de door de zwaartekracht verrichte arbeid.
-MIR
De MIR komt terug in de dampkring en wat niet verbrandt, plonst in de oceaan.
Beschrijf dit proces in energietermen.
Antw: Ez  Ekin + Q; Q betekent T-stijging en faseovergangen
GLIJBAAN
Het nevenstaande speeltoestel is te koop
via internet.
Het begin van de glijbaan bevindt zich
130 cm boven het maaiveld en het einde
8 cm boven dat maaiveld.
De lengte van de glijbaan is 237 cm.
e.
Voor een kinderfeestje wordt de baan
ingesmeerd met groene zeep en ook nog
nat gespoten. De baan is dus spiegelglad.
Anna  een van de kinderen op het feestje,
de massa van Anna is 18 kg  gaat op de
baan zitten, laat zich los en glijdt naar
beneden. Pure lol.
Bereken met behulp van energiebehoud met welke snelheid Anna van de glijbaan afglijdt.
f.
Als Anna een tweede keer van de baan wil glijden, geeft Henkie haar een zetje, waardoor de
beginsnelheid al 1,5 m/s is.
Bereken de snelheid waarmee Anna, dit keer al huilend, beneden aan de baan aankomt.
g
Anna gaat voor een derde maal. Ze gaat zitten, laat zich los en glijdt naar beneden.
Ze komt echter maar met een snelheid van 3,5 m/s beneden aan, omdat ze dit keer op de
baan wrijving ondervindt.
Bereken de gemiddelde wrijvingskracht die ze deze laatste keer op de baan ondervond.
Uitwerking:
e
f
g
EA,totaal = EB, totaal
Ez,A + Ek,A = Ez,B + Ek,B
mghA + 0 = 0 + ½mvB²
18×9,81×(1,30  0,08) = ½×18×v²
 v = 4,9 m/s
mghA + ½mvA² = 0 + ½mvB²
De massa kun je wegdelen.
9,81×1,22 + ½×1,5² = ½×v²
 v = 5,1 m/s
We gebruiken de 'wet ' dat de
verrichte arbeid gelijk is aan de toename
van de bewegingsenergie.
Arbeid wordt verricht door de zwaartekracht
en door de wrijvingskracht.
Wz + Wwr = Ek,B  Ek,A  (F×s)z + (F×s)wr = ½ m vB²  0.
18×9,81×(1,30  0,08) + Fwr, gem × ( 2,37) = ½ × 18 × 3,5²  Fwr, gem = 44 N.