Deel 2: Rekenen met letters (algebra)

VBC WisA 2014
Deel 2: Rekenen met letters (algebra)
Inleiding
In de praktijk moet je vaak met formules of vergelijkingen rekenen waarin een of meerdere letters
staan. In een formule staan de letters er om een vast verband te beschrijven, bijvoorbeeld:
W  O  K waarin W = winst, O = omzet, K = kosten
In vergelijkingen gebruik je de letter(s) om een (of meerdere) onbekenden aan te geven, waar je de
waarden nog voor moet vinden, bijvoorbeeld:
2x + 7 = x – 9
Ook worden letters gebruikt om algemene regels in de wiskunde aan te geven, zoals bijvoorbeeld (zie
ook beneden) de wisseleigenschap a + b = b + a (geldt altijd, voor ieder paar van twee getallen dat je
kunt verzinnen).
Deze letters houden als het ware een plaats ‘gereserveerd’ waar op een gegeven moment dan een getal
voor ingevuld kan worden. Je zou net zo goed vraagtekens, stippeltjes of plaatjes in plaats van letters
kunnen gebruiken, maar letters zijn wat makkelijker (en eenduidiger) te gebruiken. Twee belangrijke
afspraken zijn:

Binnen een uitdrukking staat dezelfde letter altijd voor hetzelfde getal. Dus als je in
2a 2  3a  b voor a = 3 en voor b = 1 in moet vullen, dan heb je
2  32  (3  3) 1 18  9 1 10



Bij producten met letters (met of zonder getallen) laat je het maalteken vaak weg. Als er een
getal betrokken is schrijf je die altijd eerst. Voorbeelden:
a  b  ab
4  a 2  4a 2
3  a  c  3ac
Toepassen van rekenregels
Je kunt uitdrukkingen met letters ook bewerken zonder er eerst getallen voor in te vullen. Dit is
bijvoorbeeld belangrijk als je uit meerdere deelgegevens één formule op wilt stellen. Bij deze
bewerkingen gebruik je veel van de ‘gewone’ rekenregels. Bijvoorbeeld betekent ‘a + b’ gewoon ‘de
som van a en b’ (net als ‘2 + 3’ ‘de som van 2 en 3’ betekent) – alleen kun je het niet concreet
berekenen als je geen waarden voor a en b kent.
De regels die wij al bij gewone getallen hebben gezien zijn:
 Volgorderegels:
Alles gebeurt in volgorde van links naar rechts, maar vermenigvuldigen en delen
hebben voorrang. Voorbeeld:
a b  cd e  f  g
 a  b  (cd )  e  f  g
 cd 
 a b  f  g
 e 


Let altijd op plus- en mintekens (zet zo nodig weer haakjes)
Voorbeelden: a  b  a  (b) ; a  (b)  (a  b)  ab
de commutatieve wetten (wisseleigenschap) in zowel sommen als producten:
a + b + c + d = d + c + b + a = c + a + d + b = …..
LET OP: dit werkt ook met – , maar laat het min dan bij het getal:
Voorbeeld: a – b + c = c + a – b = - b + a + c
a x b x c x d = d x c x b x a = c x a x d x b .= …..
22
VBC WisA 2014

LET OP: dit werkt NIET met ÷
de associatieve wetten (schakeleigenschap) in zowel sommen als producten:
a + (b + c) = (a + b) + c
a x (b x c) = (a x b) x c
LET OP: deze werken NIET met – en ÷
Extra aandacht krijgen hieronder het rekenen met machten, haakjes en breuken met letters.
Machten en wortels
Voor het rekenen met machten van letters gelden dezelfde definities en regels als voor het rekenen
met machten van getallen:
a  a  a  a3
Als je de letter a n keer (n is een getal) met zichzelf vermenigvuldigt, dan krijg je an.
Rekenregels
a a a
n
1
1
 a n
n
a
a0  1
m
an  n a

nm
2
3
( 2  3)
 a5
Voorbeeld 1: a  a  a
2
3
5
want a  a  (a  a)  (a  a  a)  a  a  a  a  a  a
4
2
( 42)
 a2
Voorbeeld 2: a  a  a

4
2
4
want a  a  a 
an bn  (a b)n
1 a4 a  a  a  a


 a  a  a2
aa
a2 a2
3
3
3
Voorbeeld: a  b  ( a  b )
3
3
3
want a  b  a  a  a  b  b  b  (a  b)  (a  b)  (a  b)  (a  b)

(an )m  anm
2 3
( 23)
 a6
Voorbeeld: (a )  a
2 3
2
2
2
6
want (a )  a  a  a  (a  a)  (a  a)  (a  a)  a

Net als bij getallen met machten kun je bepaalde dingen ook bij letters met machten NIET doen:
 Een a 2 is niet hetzelfde als een a 3 (een 32 = 9 is ook niet hetzelfde als een 33 = 27). Je kunt
die twee daarom ook niet gewoon bij elkaar optellen.
a 2  a3  a 2  a3 de uitdrukking moet zo blijven staat tot je weet wat a is
Je mag hier NIET de machten bij elkaar optellen: a 2  a 3  a 5 !!!!
 Ook een a 3 en een b 3 zijn niet hetzelfde en mogen daarom niet zomaar bij elkaar opgeteld
worden.
a3  b3  a3  b3 de uitdrukking moet zo blijven staat tot je weet wat a en b zijn
3
3
3
Je mag hier NIET de grondtallen bij elkaar optellen: a  b  ( a  b) !!!!
23
VBC WisA 2014
Rekenen met haakjes
Uitwerken van haakjes:
 Gebruik de distributieve wetten: bij vermenigvuldigen van iets binnen haakjes moet ieder
element binnen de haakjes met het element ervoor (getal, letter of nog een haakje)
vermenigvuldigd worden:
2(a  b)  2a  2b
a(a  b)  (a  a)  (a  b)  a 2  ab
2a(a  3b  c)  (2a  a)  (2a  3b)  (2a  c)  2a 2  6ab  2ac
Deel je een gehele som door hetzelfde dan mag je ieder onderdeel van de som individueel
delen:
2a 2  6ab  2ac 2a 2 6ab 2ac



 a  3b  c
2a
2a
2a
2a
Maar LET OP: een som in de noemer van een breuk kun je niet zomaar opsplitsen:

2a 2
2 a 2 2a 2


dus deze kun je niet vereenvoudigen!
2a  b
2a
b
Bij haakjes binnen sommen (dat wil zeggen er staat voor de haakjes een plus- of minteken)
mag je de haakjes gewoon weglaten (zie de schakeleigenschap boven), MAAR: let goed op
voor het minteken – als voor de haakjes een minteken staat moet je de tekens binnen de
haakjes dan omdraaien als je de haakjes weglaat, bijvoorbeeld:
c  (a  b)  c  a  (b)  c  a  b
c  (a  b)  c  a  (b)  c  a  b
c(a  b)  c  (a  b)  (c  a)  (c  b)
c(a  b)  c  (a  b)  (c  a)  (c  (b))  ac  bc
Factoren buiten haakjes brengen:

Draai de distributieve
wetten om: als een factor in ieder element binnen de haakjes staat, mag je hem
voor de haakjes zetten:
2a 2  2b  ( 2  a 2 )  (2  b)  2( a 2  b)
3ab  6a  (3a  b)  (3a  2)  3a (b  2)
5a 2  10a  (5a  a )  (5a  2)  5a (a  2)
16a 3 b 2  8a 2 b  4ab  ( 4ab  4a 2 b)  (4ab  2a )  (4ab  1)  4ab(4a 2 b  2a  1)
Bananenformule
De bananenformule is eigenlijk alleen maar een koppeling van toepassingen van de distributieve
wetten. Als je de formule zoals hij in het boek staat makkelijk te onthouden vindt is dat prima, maar je
kan hem ook altijd zo weer uit de distributieve wetten afleiden:
 (a  b)(c  d)  (a  b) c  (a  b)  d  ac bc ad bd  ac ad bc bd
Merkwaardige producten
Bijzondere gevallen van de bananenformule zijn de merkwaardige producten. Je kunt ze ook
kwadraatformules noemen, omdat je ermee sommen binnen of buiten een kwadraat brengt. Deze
komen heel vaak voor, dus het is handig om ze te onthouden!
Kwadraat van een som of een verschil:
24
VBC WisA 2014

(a  b) 2  (a  b)(a  b)  a 2  2ab  b 2
(a  b) 2  (a  b)(a  b)  a 2  2ab  b 2
Het verschil van twee kwadraten:
 a 2  b 2  (a  b)(a  b)
En ook nog handig: het product van twee sommen met een gemeenzame factor:
 (a  p)(a  q)  a 2  aq  ap  pq  a 2  a( p  q)  pq
Voorbeelden:
(x  4) 2  x 2  (2  4  x)  4 2  x 2  8x 16
(x  3)(x  3)  x 2  32  x 2  9
2001  1999  (2000 1)(2000 1)  2000 2 12  4000000 1  3999999
 Breuken met letters
(N.B.: dit wordt niet expliciet getoetst, maar hoort hier voor de volledigheid nog bij)
Voor het rekenen met letters in breuken gelden in principe dezelfde regels als voor rekenen met
breuken zonder letters.
Bij het onder een noemer brengen van breuken moet je wel opletten – dat is een klein beetje
ingewikkelder als er een letter in de noemer staat.
Splitsen van breuken
 Dit doe je meestal door een som in de teller te splitsen.

3a  2b 3a 2b 3 2b
 2 2   2
a2
a
a
a a
Sommen (of verschillen) in de noemer mag je niet zomaar splitsen. Je kan de noemer in dat
gevel in haakjes zetten om duidelijk te maken dat je hem als eenheid moet behandelen:


3a
3a
3
a



3a  2b (3a  2b) 3a  2b 3a  2b
Producten in de noemer kan je wel splitsen.

3a
3a 1


3a  2b
3a
2b
Onder een noemer brengen:
 Voor twee breuken doe je dit door elke breuk (teller en noemer) met de gehele noemer van de
breuk te vermenigvuldigen.
andere
1
2b

a 1 3a
1  3a
2b  (a 1)


(a 1)  3a 3a  (a 1)
3a
2ab  2b
 2
 2
3a  3a 3a  3a
3a  2ab  2b

3a 2  3a
25

VBC WisA 2014

De kwadraatformules zijn hier vaak handig
1
2

a 1 a 1
1  (a 1)
2  (a 1)


(a 1)  (a 1) (a 1)  (a 1)
a 1 2a  2
 2

a 1 a 2 1
3a 1
 2
a 1
Vereenvoudigen van breuken met letters:
 Soms kan je teller en noemer door hetzelfde getal, door dezelfde letter, of zelfs door dezelfde

som delen.
4a
4a
a


16b 4  4b 4b
3a 2
3  a2
a2


6ab  9c 3  (2ab  3c) 2ab  3c
4a  4 4  (a 1) 4

 4
a 1
1  (a 1) 1

Maar: let altijd op de voorwaarden: de noemer mag nooit 0 worden. Schrijf de voorwaarden
expliciet op voordat je met vereenvoudigen begint. Dezelfde voorwaarden blijven voor de
vereenvoudigde versie geldig.

6a
moet de volgende voorwaarde hebben: a0
4a 2  a
6a
6
Maar als je de breuk uitwerkt:
dan mag a nog steeds niet 0 zijn,

2
4a  a 4 a  1
Bijvoorbeeld:
hoewel de uitgewerkte breuk voor a=0 wel oplosbaar is.
26