PowerPoint-presentatie

Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes
gebruiken we de binomiale kansverdeling
Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door 2 getallen:
• Het aantal herhalingen van het experiment (n)
• De kans op succes bij één experiment (p)
Als we het aantal successen aangeven met de letter X , dan zeggen
we dat X binomiaal verdeeld is met de parameters n en p.
Een voorbeeld:
Als ik bij een multiple-choice-toets met 40 vierkeuzen-vragen de
antwoorden willekeurig invul, dan is het aantal goed beantwoorde
vragen binomiaal verdeeld met parameters n=40 en p=0.25
Ofwel: als we het aantal goede antwoorden X noemen dan geldt:
X = bin(40; 0.25)
Als ik nu wil uitrekenen hoe groot de
kans is dat ik precies 17 goede
antwoorden heb, dan kan dat met de
volgende formule:
 40   1   3 
       
 17   4   4 
17
P(X=17)=
23
In wiskunde-jargon:
P( X=17)
met
X=bin(40 ; 0.25)
 40   1   3 
       
 17   4   4 
17
23
De kans op
succes:
P=1/4
Het aantal
succesen
 40   1   3 
       
 17   4   4 
17
23
 40   1   3 
       
 17   4   4 
17
23
De kans op mislukking:
1-1/4=3/4
Het aantal
mislukkingen:
40-17=23
 40   1   3 
       
 17   4   4 
17
23
 40   1   3 
       
 17   4   4 
17
23
Het aantal manieren waarop je 17 successen en
23 mislukkingen in volgorde kunt zetten.
 40   1   3 
       
 17   4   4 
17
23
Deze zogenaamde
binomiaalcoëfficiënt kun je op
de GR uitrekenen met de
functie nCr , die je vindt onder
het knopje MATH, (submenu
PRB) Typ eerst het bovenste
getal dan nCr, dan het
onderste getal en vervolgens
de ENTER-toetsë
In formulevorm:
Als X = bin(n;p) , dan geldt:
P(X=k) =
n
k
nk
    p   1  p 
k 
Ook kun je de grafische rekenmachine de berekening laten
uitvoeren.
Je gaat dan als volgt te werk.
Onder de functie
distr vind je een
menu met
kansverdelingen
Het tiende menu-item is de benodigde
functie: binompdf
Eerst vermeld je het aantal herhalingen (n)
Vervolgens de kans op succes (p)
Je kunt deze kans ook als
breuk invoeren:
Bijvoorbeeld 1/4
En tenslotte het aantal successen
Na het indrukken van de entertoets zie je dat deze kans
ongeveer 0,007 is (=0,7%)
Met binompdf(n,p,k) kun een kans uitrekenen van de vorm:
P ( X = k)
Als je moet uit rekenen P(X  5) met X=bin(20 ; 0.4), dan zou
je met binompdf dat als volgt moeten doen:
P(X  5) = binompdf(20, 0.4 ,0)+ binompdf(20, 0.4 ,1) +
binompdf(20, 0.4 ,2) + binompdf(20, 0.4 ,3) +
binompdf(20, 0.4 ,4) + binompdf(20, 0.4 ,5).
Voor dit soort cumulatieve kansen is er een aparte functie:
binomcdf
(te vinden in het menu distr)
Met deze functie kun je in één keer de kans uitrekenen P(X  5)
Het derde getal in binomcdf(n,p,k) is de bovengrens, de
ondergrens is altijd nul.
Berekeningen met binomcdf
Stel je doet 20 keer een experiment met kans 0.3 op succes.
Noem het aantal successen X
Dan is X binomiaal verdeeld met n=20 en p=0.3
Kansen als P(X=8) en P(X8) kunnen rechtstreeks bepaald:
P(X=8) = binompdf(20 , 0.3 , 8)
P(X8) = binomcdf(20 , 0.3 , 8)
Hoe groot is
P(X>10) ?
(n=20 , p=0.3)
Stel eerst vast welke getallen dat zijn:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
De kans op één van de andere getallen kan uitgerekend:
P(X 10) = binomcdf(20 , 0.3 , 10)
Gebruik de complementregel:
P(A) = 1 – P(niet-A)
P(X>10) = 1 – P(X 10) = 1 – binomcdf(20 , 0.3 , 10)
Hoe groot is
P(X10) ?
(n=20 , p=0.3)
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Gebruik weer de complementregel:
P(X  10) = 1 – P(X  9) = 1 – binomcdf(20 , 0.3 , 9)
Hoe groot is
P(5<X<10) ?
(n=20 , p=0.3)
X5
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
X9
P(5<X<10) = P(X  9) – P(X  5)
= binomcdf(20 , 0.3 , 9) – binomcdf(20 , 0.3 , 5)
Hoe groot is
P(7  X  13) ?
(n=20 , p=0.3)
X6
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
X  13
P(7  X  13) = P(X  13) – P(X  6)
= binomcdf(20 , 0.3 , 13) – binomcdf(20 , 0.3 , 6)