Een piramide van Pascal 4 1 1 2 1 2 1 2 2

Een piramide van Pascal
Dion Gijswijt
”Mijnheer, zouden we niet eens een piramide kunnen bouwen, met net zulke eigenschappen als de driehoek van Pascal?”
Een idee van Peter, een leerling van het vijfde jaar industriële wetenschappen, campus Glorieux. Het idee is gelanceerd, de
zoektocht is gestart. Twee uur intensief rekenwerk leveren resultaat op! De piramide
komt niet alleen op papier, maar wordt ook
in werkelijkheid gebouwd. Twee houten
torens prijken nu in de wiskundeklas van
Jo Verstraete en de leerlingen van klas 5
IW.
Het bouwen van de piramide
Zodra het bedenken van de driedimensionale uitbreiding van de driehoek van Pascal begonnen is, rijst meteen de vraag:
”Hoeveel zijden moet de piramide krijgen?
Drie, vier, zes?” Welke piramide het makkelijkst werkt of de mooiste eigenschappen
bezit is niet meteen duidelijk. Uiteindelijk bijt Peter zich vast in de driezijdige piramide en werkt Stijn aan een vierzijdige
variant. Kristof, Stefaan, Wesley, Lesley
en Kristof springen in waar nodig, schrijven bewerkingen uit, testen hypothesen
en doen enorm veel rekenwerk, met een
prachtig resultaat.
De vierzijdige piramide
De piramide van Stijn is opgebouwd uit
vierkante lagen. De toplaag bestaat uit een
enkel blokje met het getal 1. De tweede
laag bestaat uit vier blokjes, de derde uit
negen, de vierde uit zestien, en zo verder.
Het getal op een blokje wordt berekend
door de getallen op de vier blokjes erboven op te tellen. Blokjes in de zijvlakken
van de piramide hebben minder dan vier
bovenburen, dus tellen we de ontbrekende
blokjes als 0. Zo bestaat de tweede laag uit
4 enen, want elk blokje heeft maar 1 bovenbuur. De derde laag wordt al iets interessanter:
1
1
2
1
1
2
1
4
1
2
1
2
1
Reken je van nog een aantal lagen de getallen uit, dan is er iets dat meteen in het oog
springt: op de zijvlakken komt de driehoek
van Pascal weer tevoorschijn!
1
4
6
1
3
1
4
4
2
1
2
3
4
4
1
3
6
6
3
1
1
4
3
1
1
1
1
1
2
3
1
1
2
1
3
6
4
3
1
4
1
Een tweede verrassende eigenschap openbaart zich als we de vijfde laag wat beter
bekijken.
1
4
6
4
1
4
16
24
16
4
6
24
36
24
niet in een zijvlak ligt) heeft nu precies 3
bovenburen. Hier zie je een plaatje van het
bovenste gedeelte van de driezijdige piramide. In de tekening zijn zeshoeken gebruikt, maar de echte piramide bestaat uit
houten kubusjes.
1
6
4
16
24
16
4
1
4
6
4
1
Elk getal is precies gelijk aan het product
van de bijbehorende getallen op twee zijden. Dit blijkt ook te gelden voor alle getallen in alle andere lagen van de piramide.
Om de getallen binnenin de piramide te
weten te komen hoef je dus enkel de juiste
twee getallen op de zijvlakken met elkaar
te vermenigvuldigen.
O PGAVE 1. Elk van de randen van de piramide bestaat uit enkel enen. Hoe ziet de rij
daaronder eruit?
O PGAVE 2. Bereken de som van de getallen in de tweede laag en doe hetzelfde voor
de getallen in de derde laag en die in de
vierde laag. Kun je verklaren waarom de
som van de getallen in de opeenvolgende
lagen steeds met een factor 4 groeit?
de driezijdige piramide
De piramide van Peter bestaat uit driehoekige lagen. Het getal in de top is weer 1
en om het getal van een ander blokje te berekenen tel je de getallen van zijn directe
bovenburen bij elkaar op. Elk blokje (dat
1
4
1
4
3
1
1
1
1
6
2
3
4
6
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
3
6
4
1
1
1
Ook deze piramide heeft de driehoek van
Pascal als zijvlakken. Als je voor iedere
laag de som van de getallen berekent, dan
komt een tweede eigenschap tevoorschijn.
In de eerste laag staat alleen een 1. De
som van de getallen in de tweede laag is
3. De derde laag geeft als som 9, daarna
27, 81 enzovoorts. De som van de achtereenvolgende lagen verdrievoudigd dus telkens. De reden hiervoor is simpel. Om de
getallen in een zekere laag te berekenen,
neem je steeds de som van de drie getallen erboven. Elk van de getallen in de laag
erboven tel je zo precies driemaal. De som
van de getallen in een laag is dus driemaal
de som van de getallen in de laag erboven.
O PGAVE 3. Tel je het aantal blokjes in de
eerste 1, 2, 3 en 4 lagen, dan vindt je de
eerste vier piramide-getallen: 1, 4, 10, 20.
Zoek de piramide-getallen op in de driehoek van Pascal en bepaal, zonder te tellen,
het aantal kubusjes in de driezijdige piramide op de foto.
O PGAVE 4. Wat voor £guur krijg je als je
uit de piramide alle blokjes met een even
getal weglaat?
Doe zelf een onderzoek
De driehoek en piramides van Pascal zitten
vol leuke en merkwaardige eigenschappen,
waarvan we er slechts enkele hebben kunnen noemen en vele waarschijnlijk nog niet
zijn ontdekt. Heb je zelf iets aardigs in de
driehoek van Pascal gevonden, laat het ons
dan weten en stuur een briefje naar de redactie.
Meer informatie
De antwoorden van de opgaven en verdere
informatie over dit onderwerp kun je vinden op de homepage van Pythagoras:
http://www.wins.uva.nl/misc/pythagoras
Het je geen Internet, of heb je andere vragen of opmerkingen over de driehoek van
Pascal, stuur dan een briefje naar het redactieadres.