INHOUD - MOZA-IK
advertisement
INHOUD
III
INHOUD
Voorwoord ................................................................................................................. VII
Visie op basisonderwijs .............................................................................................. IX
I
Richtsnoer bij het leerplan wiskunde in de basisschool ................................... 1
Inleiding ................................................................................................................................ 3
Hoofdstuk I:
Visie van OVSG op Wiskunde ................................................................ 5
Hoofdstuk II:
Evaluatie in en van het wiskundeonderwijs ........................................ 15
Hoofdstuk III: Gebruik van het leerplan ...................................................................... 21
II
Domeinoverschrijdende doelen en katernen ....................................................... 25
Hoofdstuk I:
1
Strategieën en probleemoplossende vaardigheden ..................................................... 28
2
Wiskundeattitudes ...................................................................................................... 40
Hoofdstuk II:
III
Domeinoverschrijdende doelen ............................................................ 27
Didactische katernen ............................................................................. 45
1
Werken met contexten ................................................................................................ 45
2
Ontluikende gecijferdheid........................................................................................... 64
Domein 1: GETALLEN ................................................................................ 83
Hoofdstuk 1:
Leerlijnen getallen ................................................................................ 85
A
Getallenkennis ........................................................................................................... 86
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Tellen .......................................................................................................................... 86
Getallen lezen en noteren............................................................................................ 87
Getallen voorstellen en positiestelsel.......................................................................... 89
Vergelijken en ordenen ............................................................................................... 91
Functies van getallen .................................................................................................. 94
Delers en veelvouden .................................................................................................. 95
Patronen ...................................................................................................................... 98
Afronden (hoeveelheden schatten) ............................................................................. 99
IV
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
B
Bewerkingen ........................................................................................................... 100
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
Begripsvorming - Rekentaal..................................................................................... 100
Optellen en aftrekken tot 10 ..................................................................................... 101
Optellen .................................................................................................................... 102
Aftrekken.................................................................................................................. 104
Maal- en deeltafels tot 100 ....................................................................................... 105
Vermenigvuldigen .................................................................................................... 106
Delen ........................................................................................................................ 109
Relatie tussen bewerkingen ...................................................................................... 111
Werken met numerieke verhoudingen ..................................................................... 112
Tabellen en grafieken ............................................................................................... 113
Schatten .................................................................................................................... 117
Cijferend optellen ..................................................................................................... 118
Cijferend aftrekken................................................................................................... 119
Cijferend vermenigvuldigen ..................................................................................... 120
Cijferend delen ......................................................................................................... 121
Cijferen algemeen .................................................................................................... 122
De zakrekenmachine ................................................................................................. 123
Hoofdstuk II: Didactische katernen .............................................................................. 125
1
2
3
4
5
6
7
IV
Rekenen tot 20.......................................................................................................... 125
Hoofdrekenen ........................................................................................................... 140
Automatiseren van de tafels ..................................................................................... 157
Breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten ............................................ 165
Tabellen en grafieken ............................................................................................... 183
Cijferalgoritmen ....................................................................................................... 191
De zakrekenmachine ................................................................................................ 203
Domein 2: METEN .................................................................................................... 213
Hoofdstuk 1:
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Leerlijnen meten .................................................................................. 215
Classificeren volgens kwalitatieve eigenschappen................................................... 216
Meten van lengte, gewicht, inhoud, oppervlakte, omtrek en volume ...................... 217
Schaal ....................................................................................................................... 223
Meten van tijd .......................................................................................................... 225
Meten van snelheid .................................................................................................. 229
Meten van temperatuur ............................................................................................ 230
Meten van hoeken .................................................................................................... 232
Geld .......................................................................................................................... 233
Hoofdstuk II: Didactisch katern meten ........................................................................ 235
1
2
3
4
Inleiding ................................................................................................................... 235
Fasen in de ontwikkelingslijn meten ........................................................................ 236
Meten van specifieke grootheden ............................................................................. 248
Meetstands................................................................................................................ 268
INHOUD
V
V
Domein 3: MEETKUNDE ....................................................................................... 277
Hoofdstuk I:
Leerlijnen meetkunde .......................................................................... 279
A
Vormleer .................................................................................................................. 280
3.1
3.2
3.3
3.4
Vormen beschrijven, herkennen, construeren, benoemen en classificeren............... 280
Vormen classificeren op grond van eigenschappen .................................................. 283
Puzzelen, bouwen, omstructureren, construeren ...................................................... 285
Relaties tussen geometrische figuren (meetkundige transformaties)........................ 287
B
Meetkundige wereldoriëntatie ............................................................................... 289
3.5
3.6
3.7
Positiebepaling.......................................................................................................... 289
Beweging en richting ................................................................................................ 291
Viseerlijnen en schaduw ........................................................................................... 293
Hoofdstuk II: Didactisch katern meetkunde ................................................................. 295
1
2
3
4
5
6
7
8
VI
Inleiding .................................................................................................................... 295
Tendensen in de basisschool ..................................................................................... 295
Fasen in het meetkundig denken en didactische principes ....................................... 300
Groei van de meetkundige oriëntatie bij kleuters ..................................................... 304
Vormleer ................................................................................................................... 306
Meetkundige wereldoriëntatie .................................................................................. 312
Horizontale samenhang ............................................................................................ 318
Slot ............................................................................................................................ 322
Verklarende woordenlijst, materialen en bibliografie ................................. 325
1
2
3
Verklarende woordenlijst.......................................................................................... 327
Materialen ................................................................................................................. 331
Bibliografie ............................................................................................................... 333
VISIE OP BASISONDERWIJS
VII
VOORWOORD
Met het decreet van 15 juli 1997 werden de ontwikkelingsdoelen en eindtermen voor het gewoon
basisonderwijs door de Vlaamse Regering bekrachtigd.
Hiermee bepaalt de overheid een minimumkwaliteitsnorm waaraan de schoolwerking moet voldoen
om te worden erkend.
Hoe deze minimumdoelen worden bereikt, hoe aan de eindtermen/ontwikkelingsdoelen wordt
gewerkt, bepaalt elke inrichtende macht zelf, onder meer via het ontwerpen van of via haar keuze
voor een bepaald leerplan.
Het niveaudecreet basisonderwijs van 25 februari 1997 bepaalt in artikel 45 dat ieder schoolbestuur
over een leerplan moet beschikken dat door de Vlaamse Regering goedgekeurd is.
In overleg met inrichtende machten werd ervoor geopteerd om binnen het OVSG een werking op te
zetten inzake ontwikkeling van leerplannen voor het gemeentelijk basisonderwijs.
Deze leerplannen werden opgevat als een leidraad voor leraren en schoolteams om speelleer- en
onderwijsleersituaties te creëren op basis van ontwikkelingsdoelen en eindtermen enerzijds en het
lokale pedagogische project anderzijds.
De leerplannen zijn samen met het lokale pedagogische project de basis voor de uitwerking van een
schoolwerkplan. Ze zijn een bron van informatie, op basis waarvan de leraren en schoolteams
worden aangezet tot reflectie op hun eigen klas- en schoolpraktijk.
Bij de aanmaak van de leerplannen werd rekening gehouden met een aantal belangrijke criteria:
* De leerplannen OVSG bevatten minimaal de ontwikkelingsdoelen en de eindtermen als te
bereiken doelen. Het verband tussen het leerplan en de na te streven ontwikkelingsdoelen en
eindtermen wordt duidelijk aangegeven.
* De leerplannen kunnen naast eindtermen en ontwikkelingsdoelen ook andere basis- en
uitbreidingsdoelen bevatten.
* De leerplannen bieden ten aanzien van het schoolteam voldoende informatie over:
de visie op basisonderwijs;
de visie op het leergebied.
* De leerplannen bieden mogelijkheden om differentiatie en zorgbreedte in de onderwijspraktijk in
te bouwen.
* De leerplannen moeten bruikbaar zijn bij andere groeperingsvormen dan het klassieke
leerstofjaarklassensysteem.
Ze zijn een belangrijk instrument voor de realisatie van continuïteit in de schoolloopbaan van de
kinderen.
VIII
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
* De leerplannen leggen ook klemtonen op attitudes en waarden.
* De leerplannen zetten aan tot integratie van leergebieden en leerdomeinen.
* De leerplannen bevatten naast doelstellingen ook didactische suggesties.
* De leerplannen komen tegemoet aan het goedkeuringscriterium ‘studielast’ dat stelt dat een
leerplan realiseerbaar moet zijn binnen de daarvoor geraamde en noodzakelijk geachte tijd.
Er werd geopteerd voor een leergebiedoverschrijdende bijlage bij de leerplannen. Deze bijlage, in
de vorm van de brochure ‘Onderwijstijd: studielast van het leerplan en suggesties voor concreet
onderwijstijdgebruik’, moet dan ook samen met de leerplannen als één geheel worden gezien.
In mei 1993 werd met de leerplanwerking binnen OVSG gestart.
Er werd gewerkt binnen 7 commissies - in overeenstemming met de structuur van de leergebieden en in verschillende deelcommissies of werkgroepen.
Een 60-tal medewerkers werd bereid gevonden om naast hun dagelijkse onderwijswerkzaamheden
op een intensieve manier mee te werken aan de leerplannen van het gemeentelijk basisonderwijs.
Naast directies en leraren, afgevaardigd door verschillende inrichtende machten, participeerden
medewerkers uit de pedagogische centra van Gent en Antwerpen, leden van de stedelijke inspectie
en medewerkers uit de navorming en begeleiding van OVSG aan de werking.
Leden van de dienst Basisonderwijs van OVSG namen de coördinatie en de administratieve
ondersteuning op zich.
De werkzaamheden van deze commissies werden afgerond in februari 1997. Vanwege het arrest van
het Arbitragehof van 18 december 1996 tot vernietiging van het decreet van de Vlaamse
Gemeenschap van 22 februari 1995 betreffende de ontwikkelingsdoelen en eindtermen voor het
gewoon kleuter-/lager onderwijs waren wij ertoe genoodzaakt in de eerste druk geen verwijzingen te
maken naar de ontwikkelingsdoelen en eindtermen.
In deze tweede druk worden de verwijzingen naar de ontwikkelingsdoelen en eindtermen
toegevoegd op basis van het besluit van de Vlaamse regering tot bepaling van de
ontwikkelingsdoelen en eindtermen van het gewoon basisonderwijs d.d. 27 mei 1997 dat werd
bekrachtigd bij decreet van 15 juli 1997.
Het leerplan WISKUNDE VOOR DE BASISSCHOOL werd goedgekeurd op 20 april 1998 .
De Raad van Bestuur van OVSG wenst, in naam van alle inrichtende machten die dit leerplan
kiezen als leidraad voor de werking van hun schoolteam(s), alle medewerkers aan de
ontwikkeling van voorliggend leerplan uitdrukkelijk te bedanken.
Brussel, mei 1998
VISIE OP BASISONDERWIJS
IX
VISIE OP BASISONDERWIJS
Inleiding
In deze tekst wordt op beknopte wijze de visie weergegeven van OVSG op het basisonderwijs. Deze
visie sluit nauw aan bij de 'uitgangspunten eindtermen basisonderwijs', zoals geformuleerd door de
Dienst voor Onderwijsontwikkeling.1
OVSG oordeelt dat de eindtermen basisonderwijs een rijk kader bieden voor het creëren van
kwalitatief onderwijs in de basisscholen. De eindtermen, als verplicht minimaal te bereiken
einddoelen, vormen als dusdanig de criteria voor belangrijke kwaliteitsparameters, zoals
bijvoorbeeld doelmatigheidsbeleving van leerkrachten, werkvoorwaarden, professionalisering van
leerkrachten en de mate waarin de beoogde doelen bereikt worden.
Kwaliteit voor een school betekent meer dan de mate waarin en de wijze waarop doelen worden
gerealiseerd. De kwaliteit van een school uit zich op de eerste plaats in het dagelijks pedagogisch
klimaat, het samenlevingsmodel dat de school uitbouwt, de leef- en werkcultuur die er heerst.
De kwaliteit heeft met andere woorden alles te maken met het pedagogisch project dat de
inrichtende macht vooropstelt en dat samen met de schoolgemeenschap concreet vorm krijgt. Vanuit
dit pedagogisch project werkt het lerarenteam op zodanige wijze aan de realisatie van de
vooropgestelde doelen, dat er recht wordt gedaan aan de kenmerken van goed basisonderwijs.
Deze kenmerken zijn:
.
samenhang
.
totale persoonlijkheidsontwikkeling
.
zorgverbreding
.
actief leren
.
continue ontwikkelingslijn.
Samenhang
OVSG gaat ervan uit dat kinderen iets moeten kunnen doen met datgene wat ze op school leren.
Vanuit deze optiek is een leergebieden- of vakkengesplitste benadering van de realiteit niet
aanbevolen. Kinderen beleven en ervaren de realiteit immers niet in vakjes.
Wil de school kinderen competenter maken in het omgaan met bepaalde leefsituaties, dan zal zij
ervoor moeten zorgen leersituaties te creëren die voor hen herkenbaar zijn. Het pedagogisch project
1
DIENST VOOR ONDERWIJSONTWIKKELING, document ‘Uitgangspunten eindtermen basisonderwijs’
(16/11/93)
X
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
is bepalend voor de uitbouw van deze leersituaties en de wijze waarop de kinderen begeleid worden.
Zowel in de concrete leersituaties als in de schoolorganisatie zullen de kinderen de centrale plaats
innemen.
De schoolgemeenschap dient er daartoe op de eerste plaats voor te zorgen dat de kinderen zich
veilig en goed voelen op de basisschool. Ten tweede zullen leraren leersituaties creëren die zoveel
mogelijk rekening houden met wat kinderen reeds kunnen, reeds ervaren hebben. De aangeboden
leerinhouden en leersituaties moeten de kinderen wegwijs maken in het geheel van onze
maatschappij vanuit de eigen wijze waarop zij deze maatschappij bekijken, betekenis geven en
kunnen hanteren.
Zo zal het schoolteam, via de realisatie van horizontale samenhangen binnen het onderwijsaanbod,
zo veel mogelijk betekenisvolle leersituaties creëren.
Samenhang binnen basisonderwijs betekent echter nog meer. De doelstellingen van het
basisonderwijs hebben niet enkel betrekking op kennis opdoen. Ook het verwerven van inzichten,
vaardigheden en attitudes met betrekking tot verschillende werkelijkheidsgebieden zijn belangrijke
doelstellingen. Daarnaast dienen 'leren leren', 'probleemoplossend denken' en 'sociale vaardigheden'
door de basisschool heen in verschillende leergebieden aandacht te krijgen.
In die zin wordt 'samenhang' als kenmerk voor 'basisvorming' het geheel van kennis, inzichten,
vaardigheden en attitudes die kinderen verwerven binnen voor het kind herkenbare leersituaties op
de basisschool.
Totale persoonlijkheidsontwikkeling
De vorming die de basisschool biedt, moet harmonisch zijn. Alle aspecten van de persoonlijkheid
dienen via de aangeboden vorming in hun ontwikkeling te worden gestimuleerd en dit op
evenwichtige wijze.
Vaardigheden die kinderen via de basisschool verwerven, hebben dus niet enkel te maken met het
cognitieve, maar liggen ook duidelijk op het vlak van het sociale, het psychomotorische, het
dynamisch-affectieve, het muzisch-creatieve.
Bij de keuze van doelen, leerprocessen, leerinhouden, werkvormen, groeperingsvormen,
leermiddelen, evaluatiewijzen ... houden schoolteamleden er rekening mee dat al deze facetten van
de leersituatie hun impact hebben op de persoonlijkheidsvorming die men vanuit de school
aanbiedt. Aandacht voor de totale persoonlijkheidsvorming houdt dan ook in dat het schoolteam
zich beraadt over een evenwichtig vormingsaanbod en een evenwichtige activiteitenplanning.
Elk kind is anders, reageert anders, heeft reeds een bepaalde persoonlijkheid ontwikkeld en brengt
andere ervaringen mee uit het eigen culturele en sociale milieu. Dit beïnvloedt het verloop en de
resultaten van de vorming die het kind op school wordt aangeboden.
Wil de school haar doel bereiken, namelijk het kind basisvaardigheden laten verwerven op
verschillende terreinen van zijn persoonlijkheid, dan houdt ze in haar aanbod niet alleen rekening
met de verschillende ontwikkelingsterreinen maar ook met de verschillen in
persoonlijkheidsontwikkeling.
Aandacht voor de totale persoonlijkheidsontwikkeling impliceert daarom een gerichtheid op
individualiserend onderwijs.
VISIE OP BASISONDERWIJS
XI
Zorgverbreding
Een veelheid van factoren (cognitieve, emotionele, sociale, economische, culturele, etnische) zorgen
ervoor dat het onderwijs voor een grote groep kinderen in meer of mindere mate problematisch
verloopt.
De verklaring van problemen mag echter niet alleen bij de kinderen worden gezocht. Ook
schoolfactoren en factoren uit de thuissituatie kunnen het probleemgedrag mee veroorzaken. Een
goede interactie tussen kind en leraar, die ook rekening houdt met de thuissituatie, is noodzakelijk
om tot succesvolle oplossingen te komen.
Zorgbreedte heeft te maken met de aandacht die de school aan kinderen wil geven, met de wijze
waarop ze omgaat met verschillen tussen kinderen.
Er worden twee aspecten onderscheiden in het begrip 'zorgbreedte'. Een eerste aspect heeft
te maken met de vraag of een school zich richt op een gedeelte van de kinderen dan wel
bekommerd is om ieder kind. Daarnaast heeft zorgbreedte betrekking op de mate waarin
een school, in aanpak en aanbod, alle ontwikkelingsdomeinen de ruimte geeft die hen
toekomt.2
Het concreet werken aan zorgbreedte noemen we zorgverbreding.
Binnen zorgverbreding kunnen we twee belangrijke facetten onderscheiden:
1/ het voorkomen van leer- en gedragsproblemen;
2/ het signaleren, analyseren, diagnosticeren en remediëren van leer- en/of gedragsproblemen bij
kinderen en het evalueren en eventueel bijsturen van de begeleiding.
Het eerste leerjaar vormt binnen vele scholen het grote struikelblok. Hoewel
ontwikkelingsachterstand reeds vroeger kan aanwezig zijn, treedt die bij de overgang van het
kleuter- naar het lager onderwijs sterker naar voren.
Enerzijds illustreert deze vaststelling de belangrijke educatieve rol van de kleuterschool. Anderzijds
leert ze ons dat bij het uitwerken van meer zorgverbreding zeker ook structureel moet gedacht
worden. Soepele overgangen van kleuterniveau naar lager onderwijs en tussen leeftijdsgroepen
dienen te worden gecreëerd. Doorbreken van het traditionele leerstofjaarklassensysteem in de lagere
school is mogelijk.
Voor het realiseren van zorgverbreding is de houding van het schoolteam een cruciale factor. De
schoolteamleden moeten overtuigd zijn van de belangrijke opdracht van het basisonderwijs: bij zo
veel mogelijk kinderen een brede basisvorming realiseren. Vanuit een gemeenschappelijke
gerichtheid op de doelen van het basisonderwijs - zoals weergegeven in het door de inrichtende
macht erkende leerplan en het eigen pedagogisch project - trachten de schoolteamleden hun
onderwijs af te stemmen op de mogelijkheden van de individuele kinderen die ze op school
begeleiden.
2
LAEVERS, F., Zorgverbreding in het kleuteronderwijs. Forum Basisonderwijs; Vlor, april 1994; pag. 129
XII
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
Dit impliceert dat de school aan een aantal organisatorische voorwaarden voldoet:
overlegmogelijkheid, flexibele klasorganisatie, ... Daarnaast moeten de leraren de attitude hebben
om met elkaar over hun onderwijspraktijk te overleggen, systematisch te reflecteren op de eigen
praktijk, de ouders bij het schoolgebeuren te betrekken en open te staan voor nieuwe inhoudelijke
vormen van onderwijsondersteuning en -remediëring.
Zorgverbreding betekent ook afstappen van een te eenzijdig cognitief gerichte benadering.
Leermoeilijkheden bij kinderen zijn vaak niet op te lossen door orthodidactische en remediërende
werkvormen toe te passen rond de drie basisvaardigheden lezen, rekenen en schrijven. Zonder
hieraan afbreuk te doen, hebben kinderen met schoolachterstand vaak een ondersteuning nodig die
op een ander terrein ligt dan het cognitieve en waarmee ze meer gebaat zijn in relatie met hun
sociale omgeving, waartoe ook de school behoort.
Zorgen dat kinderen zich goed en geaccepteerd voelen op school, er gaan functioneren en er plezier
beleven, behoort tot de essentie van zorgverbreding.
Een school die werkt aan zorgverbreding, zal differentiatievormen inbouwen met het oog op het
ondersteunen van elk kind in zijn ontwikkelingsmogelijkheden. Differentiëren betekent op
organisatorisch vlak: klasoverschrijdend werken, leerlingen tijdelijk hergroeperen, werken met
niveaugroepen, individuele begeleiding binnen de taakklas, werken met een extra leraar binnen de
klasgroep.
Op het vlak van onderwijsinhouden betekent differentiëren: werken aan basis-, uitbreidings- en
verdiepingsdoelen en stimuleren van eigen leerprocessen bij kinderen via het invoeren van
pluriforme leeractiviteiten.
Op het vlak van evaluatie betekent differentiëren: in de school een systeem ontwikkelen om
kinderen systematisch op te volgen en wanneer nodig aangepaste remediëring en opvang zo vlug
mogelijk aan te bieden.
Actief leren
Men spreekt van ‘actief leren’ wanneer het kind zich in die mate betrokken weet bij het
onderwijsgebeuren dat het zelf het leerproces op gang brengt, initiatieven neemt en
gedragsveranderingen teweegbrengt.
Actief leren is dus voor het kind een productief proces. Het is leren dat van het kind zelf uitgaat en
door het kind spontaan als betekenisvol wordt ervaren. Het kind heeft belang bij wat het doet en
gaat daarom volledig op in het anticiperen en oplossen van problemen.
Het onderwijsgebeuren op school is bovendien een interactief proces tussen het kind en zijn
stimulerende omgeving. De sociale interactie tussen leraar en leerling en tussen leerlingen onderling
is een essentieel onderdeel van dit interactief proces.
Om actief leren op school te stimuleren, dienen realistische en betekenisvolle probleemsituaties
binnen de leersituatie te worden gecreëerd. De gekozen leerinhouden, de voorgestelde leeropdrachten, de gehanteerde werkvormen, de groeperingsvormen, de voorgestelde leermiddelen en de
hulpbronnen maken hier deel van uit. Zij zullen bepalen of het kind al dan niet zijn eigen leren in
VISIE OP BASISONDERWIJS
XIII
handen neemt en op welke wijze.
Met het oog op actief leren is het wenselijk frontaal lesgeven te beperken. Bij voorkeur wordt
gekozen voor lessituaties, waarbij een grotere interactie tussen leerlingen onderling mogelijk wordt
en de interactie tussen leraar en leerling andere kenmerken krijgt. Ook vormen van zelfstandig
werken aan leertaken en een leerstofkeuze die gebaseerd is op waarneming in de onmiddellijke
omgeving, zullen de motivatie tot spontaan en actief leren ten goede komen.
Bij actief leren ligt de klemtoon eerder op het verwerken van, dan op de hoeveelheid aan
leerinhouden. Kennis en inzicht zijn in die mate belangrijk dat zij gekoppeld kunnen worden aan
denkhandelingen en strategische vaardigheden. Hierdoor worden ze voor het kind hanteerbaar
binnen probleemsituaties en worden ze hefbomen voor actief leren en ontwikkeling.
Onder denkhandelingen verstaan we onder meer: actief waarnemen, memoriseren, analyseren,
beoordelen, redeneren ...
Tot de strategische vaardigheden rekent men algemene probleemoplossende vaardigheden zoals
plannen, schematisch voorstellen, hoofd- en bijzaken onderscheiden, heuristiek hanteren,
vergelijken ... en meer specifieke vaardigheden die samenhangen met bepaalde aspecten van
leergebieden, zoals een rapport opstellen, een vraagstuk oplossen, expressief hardop lezen, een tekst
samenvatten ...
Het basisonderwijs schenkt met het oog op actief leren veel aandacht aan het verwerven van
strategische vaardigheden en denkhandelingen door kinderen.
Continue ontwikkelingslijn
Het aangeboden onderwijs wordt zowel naar moeilijkheidsgraad als naar inhoud afgestemd op de
ontwikkelingsmogelijkheden en -behoeften van de leerlingen. Dit vanuit de bekommernis het kind
continu ontwikkelingskansen te bieden.
Aandacht voor 'continuïteit' binnen onderwijs betekent ook dat men de drempels tussen de
verschillende fasen van de schoolloopbaan, tussen leergebieden (zie samenhang), tussen thuis- en
schoolervaringen van de leerlingen, zo laag mogelijk maakt.
De begeleiders van het kind door de basisschool moeten deze continuïteit nastreven. Voor de
schoolteamleden betekent dit gelijkgerichtheid, stimuleren van een doorlopende leer- en
ontwikkelingslijn, afspraken maken en nakomen: wie brengt welke leersituaties aan?
Schoolwerkplanning komt hier aan de orde. Bovendien zal veel aandacht gaan naar het bepalen van
de beginsituatie van de leerlingen. Informatie over hoe leerlingen leren en welke leerervaringen ze
reeds achter de rug hebben, moet de leraren helpen het kind adequaat verder te begeleiden in zijn
ontwikkeling. Deze informatie heeft niet alleen betrekking op leerinhouden, maar ook op werk- en
groeperingsvormen en op de emotionele draagkracht van het kind in verschillende leersituaties,
thuis en op school.
Afsluitend willen we opmerken dat de continuïteit binnen de basisschool moet doorgetrokken
worden naar het secundair onderwijs.
XIV
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
Geraadpleegde bronnen
DVO, Ontwerp visietekst eindtermen basisonderwijs, december 1992
DVO, Uitgangspunten eindtermen basisonderwijs, 16 november 1993
Het VLO in ontwikkeling, Informatieblad jrg. XXII, speciaal nummer, september 1987
OVSG, Pedagogisch project, brochure, 1992
OVSG, Maatregelen rond zorgverbreding, nota, 8 januari 1993
OVSG, Visie op zorgbreedte, Project zorgbreedte, brochure 1, september 1994
VLOR, Zorgverbreding: onze zorg, Forum Basisonderwijs, 30 april 1994
VLOR, Zittenblijven in het basis- en secundair onderwijs, advies, 1994
VLOR-Commissie Migranten, Doorstroming, document, 1992
VLOR-Raad Basisonderwijs, Aanbeveling: Eindtermen kleuter- en lager onderwijs,
RBO/PDL-JVW/AVW/001, Vlor, 8 februari 1994
INLEIDING
3
INLEIDING
Met dit leerplan wil OVSG krachtlijnen uittekenen voor de optimalisering van het
wiskundeonderwijs in de basisscholen, autonome kleuterscholen en lagere scholen.
Dit leerplan wil in de eerste plaats een leidraad zijn voor de leraren, waarmee ze in de praktijk aan
de slag kunnen.
Door één leerplan te ontwerpen dat geldt voor zowel kleuter- als lager onderwijs, wordt aandacht
besteed aan de noodzakelijke 'doorlopende lijnen', waardoor - naar we hopen - de drempels tussen
de niveaus worden afgebouwd.
Dit leerplan biedt de mogelijkheid tot uitwerking ervan in een schoolwerkplan, een eigen
beleidsinstrument van en voor de school, dat over de verscheidene jaren wordt ontwikkeld en
waarbij rekening wordt gehouden met de lokale omstandigheden, de eigen prioriteiten en waarden.
Het laat aan iedere inrichtende macht de mogelijkheid om eigen accenten te leggen, naargelang het
pedagogisch project dat wordt nagestreefd.
De vertaling van dit leerplan naar een eigen schoolwerkplan, eventueel klaswerkplan, levert een
belangrijke bijdrage bij het zoeken naar mogelijkheden om alle kinderen van de school op weg te
zetten naar een actieve benadering van de wiskundige aspecten in de eigen leefwereld, ongeacht
leeftijd, begaafdheid, herkomst of sociale omstandigheden.
Het OVSG-leerplan wiskunde bestaat uit zes delen.
In het eerste deel, het ‘Richtsnoer bij het leerplan wiskunde in de basisschool’, wordt de OVSGvisie op wiskunde - de basis voor dit leerplan - uiteengezet. Er wordt ingegaan op de
evaluatieproblematiek en op het gebruik van het leerplan.
Het tweede deel bevat de domeinoverschrijdende doelen en katernen.
De doelen - de strategieën en probleemoplossende vaardigheden enerzijds en attitudes
anderzijds - worden doorheen alle wiskundige activiteiten nagestreefd. Deze doelen zijn bovendien
niet leeftijdsgebonden; bepaalde aspecten van deze doelen kunnen bij verschillende leeftijdsgroepen
worden nagestreefd.
Bij de katernen treffen we 'Werken met contexten' en 'Ontluikende gecijferdheid' aan.
Het katern 'Werken met contexten' vormt de grondslag voor de vernieuwde aanpak van het
wiskundeonderwijs. In het katern 'Ontluikende gecijferdheid' wordt dieper ingegaan op aspecten, die
vooral in het kleuteronderwijs - doorheen de drie domeinen van wiskunde - aan bod komen.
In het derde, vierde en vijfde deel worden de drie domeinen van wiskunde - getallen, meten en
meetkunde - verder uitgewerkt. Deze indeling in drie domeinen werd gekozen omdat ze overeenkomt met de domeinen zoals ze in de eindtermen zijn vastgelegd. Elk van deze delen is
onderverdeeld in twee hoofdstukken. Hoofdstuk I bestaat uit de leerlijnen of concrete doelen voor
dit domein. Het tweede hoofdstuk bevat de didactische katernen bij het overeenkomstige domein.
Deel zes tenslotte bestaat uit de verklarende woordenlijst, de materiaallijst en de bibliografie.
HOOFDSTUK 1
Hoofdstuk 1:
VISIE OP WISKUNDE
5
VISIE VAN OVSG OP WISKUNDE
In de eindtermen voor het basisonderwijs worden voor wiskunde de minimumdoelstellingen
vermeld die op het einde van de basisschool door de meerderheid van de kinderen moeten worden
bereikt. OVSG werkt een leerplan wiskunde uit dat aangeeft hoe de gestelde eindtermen
gerealiseerd kunnen worden. Dat leerplan bevat een aantal leerlijnen waarin verschillende
tussendoelen omschreven worden. De doelen voor de kleuters komen in die leerlijnen dus voor als
tussendoel.
Iedere reeks tussendoelen leidt uiteindelijk tot de verwezenlijking van een einddoel. Zo ontstaat een
beeld van het leerproces voor wiskunde dat een kind doorloopt doorheen de basisschool. Dit beeld,
gevormd door de leerlijnen, wordt gekleurd door de visie van de samenstellers die actief zijn op het
leergebied in de basisschool. Die visie zal antwoord moeten geven op de vragen wat, hoe en
wanneer.
In dat visiestuk worden in een eerste paragraaf enkele inhoudelijke keuzes aangegeven: aan welke
criteria moeten onderwijsdoelen binnen het leergebied van de wiskunde voldoen om in het leerplan
van de basisschool opgenomen te worden?
Ook de volgorde waarin de geselecteerde doelen aangeboden worden - op welke leeftijd verwachten
we dat kinderen die doelen bereiken? - is zo'n inhoudelijke keuze. Die hangt ook samen met
didactische overwegingen: hoe leren kinderen wiskunde en hoe kan je daar als leraar best bij
aansluiten? Hierop wordt in een tweede paragraaf ingegaan.
De basisschool is per definitie zeer heterogeen. Er is immers geen preselectie, alle leerlingen
doorlopen de basisschool. Zowel inhoudelijk als didactisch zullen we hiermee rekening moeten
houden door verschillende vormen van differentiatie in het leerplan in te bouwen. De bekommernis
om de zorgbreedte binnen het wiskundeonderwijs zal doorheen de hele visietekst tot uiting komen.
Uiteindelijk leiden al deze overwegingen tot enkele uitgangspunten voor het wiskundeonderwijs in
de basisschool (paragraaf 3).
1
Doelen en inhouden
Een groot deel van de inhoudelijke keuze werd reeds bepaald bij de formulering van de
ontwikkelingsdoelen en eindtermen. Daarbij werden criteria gehanteerd van haalbaarheid en
noodzaak.
-
Wat kunnen de meeste kinderen aan op wiskundig gebied op het einde van de kleuterschool
of van de lagere school?
Wat is qua wiskunde voor henzelf en/of voor de maatschappij, waar de school hen op
voorbereidt, vereist om te leren?
Overwegingen van haalbaarheid zullen niet alleen de keuze van doelstellingen bepalen, maar ook
de volgorde. We moeten echter niet te strikt afbakenen wat kinderen van een bepaalde leeftijd
aankunnen. Dat is immers van zo veel factoren afhankelijk dat we daar moeilijk algemeen geldende
(voor alle leerlingen, voor alle scholen) uitspraken kunnen over doen. Bij de meeste doelstellingen
zullen we dan ook in een zekere leeftijdsspreiding voorzien.
Een leerdoel hoeft dus niet per se in een welbepaald leerjaar bereikt te worden. Op grond van de
haalbaarheid zal de school hier ook zelf beslissingen moeten nemen. Overigens kunnen we in het
kader van een leerplan ook uitbreidingsdoelstellingen opnemen waarvan we overtuigd zijn dat niet
6
de
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
RICHTSNOER
HOOFDSTUK 1
VISIE OP WISKUNDE
7
meerderheid doch zelfs slechts een kleine minderheid van de leerlingen ze kan halen. Welke
doelstellingen daarvan in de klas(sen) nagestreefd zullen worden, en met welke leerlingen, wordt
dan ook weer een keuze van de leraren op schoolniveau.
Bij de keuze van wiskundige ontwikkelingsdoelen en eindtermen werd de noodzaak dat het
leerdoel moet bijdragen tot het maatschappelijk functioneren, als norm genomen. Daarnaast zullen
we ook nog doelstellingen opnemen die om een andere reden voor de leerling interessant of de
moeite waard zijn, ook al zijn ze niet strikt noodzakelijk. Of deze doeleinden door de meerderheid
van de leerlingen moeten gehaald worden (basisdoel) of niet (uitbreidingsdoel) zal dan afhangen
van twee criteria:
Is het doel haalbaar?
Is het inhoudelijk interessant en/of nuttig voor alle leerlingen?
Om tot haalbare en interessante doelen te komen, zal men rekening moeten houden met:
-
de leerlingen uit de basisschool, hun mogelijkheden, hun ontwikkeling en de noden die
daarbij aansluiten;
de wereld waarin zij leven, in de eerste plaats 'hier en nu', maar ook elke voorstelbare wereld
'daar en dan'. De school bereidt ook voor op een toekomstige maatschappij;
de wiskunde als 'vak' of discipline (theoretisch) en haar toepassingsgebieden (praktisch).
Elk van deze drie punten werken we even uit, om de consequenties voor het leerplan te kunnen
aangeven.
1.1
Mogelijkheden en noden van de kinderen van de basisschool
Bij elke wiskundige activiteit op school zullen we rekening moeten houden met de beginsituatie
van de leerlingen. Daarbij houden we ook voor ogen dat die beginsituatie binnen de groep kinderen
met wie we werken, sterk verschillend kan zijn. Ze kan niet zonder meer afgeleid worden uit de
wiskundige activiteiten die voordien met de leerlingen gebeurd zijn (volgens het leerplan, het
schoolwerkplan of het handboek). Niet alle leerlingen zullen immers die voorafgaande activiteiten
op dezelfde manier verwerkt hebben. Bovendien zijn we er ons sterk van bewust dat ook heel wat
wiskunde geleerd wordt buiten de wiskundeactiviteiten of lessen.
Vooreerst wordt er veel intuïtieve of ervaringskennis opgedaan buiten de school en in het
thuismilieu. Het is belangrijk voor de school om op die spontaan verworven kennis voort te
bouwen, ze niet te negeren. Hetzelfde geldt voor leraren lager onderwijs t.a.v. de kleuterschool. De
basis van het wiskundig denken wordt (thuis en op school) op kleuterleeftijd gelegd. Denken we
maar aan het getalbegrip, het tellen, de ruimtelijke oriëntatie, ... .
Continuïteit in het leren van kinderen zal dan berusten op een weloverwogen volgorde in de
doelen die binnen een leerlijn van het leerplan voorgesteld worden, maar ook op een voortdurende
bijsturing t.a.v. de beginsituatie van de leerlingen waarmee je als leraar werkt.
Wiskunde is een leergebied dat we bij uitstek als cognitief kunnen omschrijven.
Cognitie verwijst in de eerste plaats naar denkprocessen en de resultaten daarvan. We zijn er ons
wel van bewust dat we dat denken onmogelijk kunnen stimuleren door (zeer resultaatgericht)
kinderen een reeks voor hen zeer ondoorzichtige procedures aan te leren. Wiskunde mag niet
gereduceerd worden tot kennis van de passende trucjes om tot een gewenste uitkomst te komen.
Daarom stellen we als basisprincipe voorop in dit leerplan enkel doelen op te nemen die vallen
binnen
8
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
RICHTSNOER
de cognitieve mogelijkheden van een basisschoolkind.
Iedereen zal om die reden beseffen dat bv. het formeel uitvoeren van algebraïsche bewerkingen met
negatieve getallen ('min maal min is plus') buiten de basisschool gehouden wordt. Voor allerlei
andere begrippen en procedures is dat minder evident, omdat ze in vele gangbare leerplannen en
wiskundemethodes wel opgenomen waren.
Als we, vanuit het principe dat we enkel opnemen wat voor kinderen begrijpelijk is, beslissen
om een aantal zaken niet als basisdoel op te nemen, gaan we daarmee zeer bewust in tegen een
zekere traditie binnen het wiskundeonderwijs. We denken hier bv. aan
het gros van de begrippen en bewerkingen uit de verzamelingen- en relatieleer ('moderne'
wiskunde);
een aantal formules voor oppervlakte- en inhoudsberekening;
een aantal meetkundige constructies met de passer, e.d..
Deze beperking lijkt ons onvermijdelijk omdat we expliciet op elk moment rekening willen houden
met de cognitieve mogelijkheden van de meerderheid van de leerlingen.
Datzelfde principe geldt niet alleen bij de selectie van leerdoelen, maar ook bij het vaststellen van
de volgorde ervan binnen een leerlijn. Wanneer zijn bv. kinderen cognitief voldoende ver gevorderd
om de procedure te begrijpen van de negenproef, die we wel als basisdoel behouden?
Selectie en volgordebepaling van leerdoelen, aansluitend bij de mogelijkheden van leerlingen,
gebeurt in een leerplan in een abstracte vorm, voor de niet bestaande gemiddelde school en leerling.
Dit betekent dat je het moet aanpassen aan de concrete situatie van jouw school en leerlingengroep.
Ook t.a.v. de keuze van uitbreidingsdoelen verwachten we dat je als leraar slechts aan die
uitbreidingsdoelen werkt, die minstens bevattelijk zijn voor dat deel van je groep aan wie je ze
aanbiedt.
Hoewel wiskunde dus in de eerste plaats een cognitief leergebied is, zou het toch een
veronachtzaming zijn van de noden van de kinderen als enkel doelstellingen van cognitieve aard
worden geformuleerd. Die kinderen zitten immers met hun totale persoonlijkheid en niet enkel met
hun hoofd in onze klas. Heel wat wiskundeactiviteiten bevatten trouwens ook affectieve, sociale,
muzische en fysisch-motorische aspecten.
Sommige daarvan zullen in andere leergebieden als expliciete doelstelling worden geformuleerd.
Waar mogelijk zullen we naar deze vakoverschrijdende doelen verwijzen. Andere nemen we toch
expliciet op als doel binnen het wiskundeonderwijs, al is de beslissing hierover wel wat arbitrair te
noemen.
In het leerplan van OVSG wordt ook aandacht besteed aan de ontwikkeling van zelfvertrouwen en
een positieve houding t.a.v. wiskunde. Zelfs het plezier vinden in wiskundeactiviteiten wordt
beschouwd als een belangrijk affectief doel. Leren samenwerken, overleggen en argumenteren over
wiskundeproblemen beantwoordt niet alleen aan een nood van de kinderen maar ook aan een
maatschappelijke behoefte.
Bij het muzische denken we niet alleen aan bv. het herkennen of realiseren van wiskundige patronen
in plastische en muzikale werken, maar evengoed aan het speels-creatieve oplossen van
wiskundeproblemen ('puzzels'), spel met wiskundige inslag (strategiespelen, zoals bv. dammen en
schaken), of het maken van schetsen en tekeningen binnen bv. het meetkundedomein.
Bij dit laatste voorbeeld stellen we ook de motorische vaardigheid om instrumenten als een passer
of een tekendriehoek te hanteren , als een wiskundig doel voorop.
HOOFDSTUK 1
VISIE OP WISKUNDE
9
Evenmin beperken we ons bij de formulering van wiskundedoelen tot kennis, inzichten en
vaardigheden die sterk inhoudelijk of leerstofgebonden zijn. Zo behoren eveneens tot het doel van
het wiskundeonderwijs:
de ontwikkeling van breder toepasbare vaardigheden zoals bv. een heuristiek t.a.v.
probleemoplossing in het algemeen en wiskundeproblemen in het bijzonder;
de uitbouw van bepaalde attitudes, zoals zin voor systematiek, nauwkeurigheid,
planmatigheid, reflectie, controle, e.d..
Dit was trouwens ook binnen de ontwikkelingsdoelen en eindtermen reeds aangegeven.
1.2
Wiskundige wereldoriëntatie
De wereld waarin we leven komt op ons af als een globale realiteit. Om daarin goed te kunnen
functioneren is het van belang die realiteit te begrijpen, o.m. door te analyseren.
Dit kan slechts door op het moment van reflectie
afstand te nemen van de globaliteit;
abstractie te maken van heel wat deelaspecten van de werkelijkheid;
te proberen één deelaspect, bv. het wiskundige, wat dieper te doorgronden.
Binnen de wiskunde kan je ook nog zeer ver opsplitsen, maar dat lijkt ons voor het
wiskundeonderwijs niet opportuun. Het onderlinge verband tussen de deelaspecten en de band met
de realiteit waaruit ze gekomen zijn, dreigt daarbij verloren te gaan. Daarom houden we ons in dit
leerplan aan de drie grote domeinen die ook bij de eindtermen onderscheiden werden: getallen,
meten en meetkunde. Het onderlinge verband is ook belangrijk: bv. bij oppervlakteberekening (een
meting) worden bewerkingen op getallen uitgevoerd in functie van de vorm van een meetkundige
figuur.
In de leerlijnen die we weergeven in het leerplan zijn we vaak enkel met de wiskundige objecten uit
de drie domeinen bezig. Maar het blijft de primaire bedoeling van deze uitwerking dat het bereiken
van wiskundige doelen de kinderen helpt om de wiskundige aspecten van de hen omringende wereld
te begrijpen en er zo vat op te krijgen. Naar analogie met geletterdheid als doel van taalonderwijs,
zouden we dat gecijferdheid kunnen noemen. Dat is een bekwaamheid die maatschappelijk
functioneel is.
Leerlingen moeten eerst de wiskundige aspecten uit hun eigen leefwereld leren beheersen. We
dienen ze echter ook voor te bereiden op de maatschappelijke context waarin ze als volwassenen
moeten functioneren. Ook wiskundige aspecten uit de wereld van de volwassenen (voor zover ze
voor de basisschoolkinderen te begrijpen zijn) komen dus in het leerplan voor. Vandaar bv. de
leerlijn i.v.m. de zakrekenmachine.
We kunnen slechts van gecijferdheid spreken als wat wiskundig uitgewerkt is ook kan toegepast
worden in reële situaties. Het heeft bv. geen enkele zin kinderen procedures te leren om snel en
correct bewerkingen met getallen uit te voeren, als ze in een reële situatie niet weten welke
bewerking op welke getallen past. Het kunnen 'verwiskundigen' van realiteiten, inzicht verwerven in
de wiskundige aspecten van een context of situatie, is dus een algemeen doel van het
wiskundeonderwijs dat we ten zeerste op de voorgrond willen plaatsen.
Toch zit er in dit leerplan geen onderdeel 'vraagstukken'. Het is immers niet de bedoeling situaties
te selecteren waarbinnen de wiskundige inzichten, vaardigheden en attitudes afzonderlijk moeten
functioneren. We stellen dus niet dat leerlingen op een bepaalde leeftijd problemen moeten kunnen
oplossen van een bepaald type (bv. inkoop-verkoop-winst-verlies of bruto-tarra-netto e.d.). Wel
eisen we dat al de opgebouwde wiskundige kennis, die in het leerplan opgenomen werd, kan
toegepast worden in realistische contexten.
10
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
RICHTSNOER
Het criterium voor deze contexten is dat ze relevant zijn voor de leerlingen, nu (eigen leefwereld) of
in de toekomst (maatschappelijk relevante contexten).
Het woord realistisch moet daarbij niet te strikt begrepen worden. Een fictieve wereld van bv.
heksen en kabouters kan in de leefwereld van basisschoolleerlingen even relevant zijn.
1.3
Oriëntatie in de wiskunde
In de vorige delen gaven we aan op grond van welke criteria we de wiskundedoelen in het leerplan
willen beperken:
ze moeten binnen de mogelijkheden van de leerlingen vallen;
die doelen moeten voor hen of voor de maatschappij relevant zijn;
ze dienen een band te vertonen met de werkelijkheid.
Binnen deze beperking is het aannemelijk dat we naast de eindtermen en ontwikkelingsdoelen
weinig basisdoelstellingen toevoegen aan het leerplan. Wel zullen we via de leerlijnen basisdoelen
aangeven die de weg naar de eindtermen (gespreid over negen jaar basisonderwijs) kunnen
verduidelijken. Maar we willen het leerplan geenszins overladen.
Vandaar dat we ook niet in de eerste plaats ons leerplan afgestemd hebben op wat nu in het
secundair onderwijs gangbaar is als vertrekpunt voor de wiskundeleergangen. Toch zal het duidelijk
zijn dat leerlingen, die de basisdoelen uit dit leerplan bereiken, alle kansen hebben om in om het
even welke richting van het secundair onderwijs hun schoolloopbaan met succes voort te zetten.
De continuïteit is hier trouwens ook mede de verantwoordelijkheid van het vervolgonderwijs.
De logica van het wiskundig systeem heeft ook haar rechten bij leerplanontwikkeling, maar de
andere criteria geven daarvan de grenzen aan. Vanuit een puur wiskundig standpunt is het zeer
aannemelijk om te vertrekken vanuit de abstracte wiskundige structuur (bv. de verzameling) en alle
wiskundige kennis op te bouwen door ze in die verzamelingentheorie in te passen, ze er logisch
deductief uit af te leiden. Het sombegrip bv. wordt dan gedefinieerd als het kardinaalgetal van de
vereniging van twee gescheiden verzamelingen. Deze wiskundige lijn strikt volgen is in het
verleden niet haalbaar gebleken voor basisschoolleerlingen, wat aanleiding gaf tot allerlei
compromissen waarbij van de wiskundige structuur wel nog allerlei begrippen aan bod kwamen,
maar de logische samenhang verdween. Verzamelingen- en relatieleer werden zo een apart
vakonderdeel met te verregaande abstracties, hoewel men het in zijn schematische vorm (bv.
venndiagram) wel kan hanteren als een handig ordeningsmiddel, bv. in de vormleer.
Aangezien kinderen in hun cognitieve ontwikkeling eerder inductief en (zeker beneden de 12 jaar)
niet logisch-deductief kennis opbouwen, kunnen we dat laatste toch niet als enige basis voor de
aanmaak van leerlijnen blijven hanteren. De leerlijnen zullen wel moeten aansluiten bij de wijze
waarop kinderen wiskunde leren.
2
Wiskunde leren
In deze paragraaf zullen we ons algemeen uitgangspunt toelichten, nl. dat kennisverwerving en
vaardigheidsontwikkeling - ook op het wiskundig terrein - maar plaatsvinden wanneer het actief in
de geest van de lerende opgebouwd wordt. Deze idee van constructief leren zal in de klas moeten
ondersteund worden door de leerlingen te confronteren met reële problemen, die ze oplossen alleen
of in groep, waarbij die oplossingen overdacht en besproken worden met leraar en medeleerlingen.
In het oplossen van wiskundige problemen zit er een evolutie van concreet handelen naar abstract
HOOFDSTUK 1
VISIE OP WISKUNDE
11
denken, waarbij we kinderen bij die ontwikkeling kunnen helpen. Die hulp brengt ons bij de rol van
de leraar als begeleider van deze wiskundeactiviteiten.
2.1
Leren als constructief proces
Het meest gehanteerde onderwijsmodel op school is dat van de kennisoverdracht. De leraar geeft
informatie aan de leerlingen, toont de stappen van een procedure, verklaart en legt uit. Dat deze
overdracht van kennis niet altijd tot het gewenste resultaat leidt, weet elke leraar: er zal altijd een
verschil zijn tussen de leerstof die de leraar in de klas 'gezien' heeft en wat de leerlingen er nadien
nog van weten of kunnen. Leerlingen zijn geen lege vaten die je kan volgieten met leerstof. Als er in
hun hoofd niets gebeurt, geen mentale verwerking is van wat de leraar overdraagt, blijven de vaten
leeg.
Het leren van nieuwe kennis en vaardigheden is dus een actief proces, dat mentale inspanning en
concentratie vergt. De leerlingen moeten daartoe gemotiveerd zijn. Dit leerproces is ook cumulatief;
de mentale verwerking van nieuwe informatie gebeurt juist door het inpassen ervan in hetgeen de
leerling vooraf reeds weet en kan.
Goed wiskundeonderwijs zal er dus moeten voor zorgen dat leerlingen meer doen dan kijken en
luisteren. Hun voorkennis zal eerst moeten geactiveerd worden - niet alleen de schoolse voorkennis,
maar ook hun zogenaamd 'gezond verstand'. Als ze daarmee gewapend zijn, kunnen ze iets nieuws
verwerken en die nieuwe kennis tot hun persoonlijke eigendom maken.
Het klassieke model van de kennisoverdracht biedt weinig garantie voor die mentale activiteit van
de leerlingen. Die activiteit is er wel wanneer leerlingen zelf oplossingen zoeken voor wiskundige
problemen, oplossingen die niet voorgekauwd werden maar die ze zelf moeten construeren en
uitproberen. Constructief leren vergt dus probleemgericht onderwijs.
2.2
Wiskunde leren vertrekt vanuit reële problemen
Een probleem ontstaat in een situatie waarin iemand iets wil bereiken en niet onmiddellijk weet wat
hij moet doen om dat te verkrijgen. Niet elk probleem dat in wiskundelessen aan bod komt, is in die
zin een echt probleem voor de leerlingen. Vaak worden die problemen opgelost omdat de leraar dat
wil of omdat ze 'toevallig' als opdracht in het handboek staan.
In dat geval zijn de wiskundeproblemen geen probleem voor de leerling, het zijn de problemen van
iemand anders. Dan hebben we net als in kennisoverdrachtsituaties geen enkele garantie dat
leerlingen gemotiveerd en actief aan de oplossing van dat probleem zullen werken, geen garantie op
leren dus.
Daarom zouden de problemen waarmee we leerlingen in de wiskundelessen confronteren, door
henzelf als een probleem moeten ervaren worden, d.w.z. aan minstens enkele (en liefst zo veel
mogelijk) van de onderstaande criteria beantwoorden:
het probleem wordt door leerlingen zelf gesteld;
leerlingen willen het probleem oplossen omwille van de intrinsieke waarde ervan. Ze ervaren
het als de moeite waard, doen het niet alleen voor de 'schone ogen' van de leraar;
het probleem is betekenisvol en begrijpelijk voor de leerlingen, niet alleen voor de leraar;
het probleem heeft relevantie voor het dagelijks leven van de leerlingen binnen of buiten de
school. In dit verband spreken we van 'realistische' problemen, die met de wereld buiten de
wiskunde te maken hebben;
12
-
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
RICHTSNOER
de oplossingen en oplossingsmethoden zijn niet voor de hand liggend en er zijn er zelfs
verschillende mogelijk.
Aan het eerste criterium kan uiteraard slechts occasioneel tegemoetgekomen worden. Problemen die
door de leerlingen aangedragen worden, zullen niet beantwoorden aan de systematisch geplande
volgorde waarin we wiskundeleerlijnen willen laten verwerken.
Anderzijds zou het zeer jammer zijn dergelijke kansen op actief en betrokken leren te laten liggen,
door de leerlingproblemen af te doen als tijdverlies of als niet haalbaar omdat niet alle kinderen het
gestelde probleem al zouden aankunnen (“Ze kunnen dat niet, want we hebben dat nog niet
gezien.”). Het is juist bij de zelfaangebrachte problemen dat de kinderen actief hun voorkennis - ook
de informele, buitenschoolse - zullen inzetten om oplossingen te bedenken. Het werken rond reële
problemen is in deze visie zeker niet beperkt tot toepassen van wat voordien in de lessen aan bod is
gekomen. Het zelf oplossen van problemen leidt de kinderen juist tot nieuwe kennis en inzichten die
nadien in verdere wiskundige activiteiten kunnen uitgediept en ingeoefend worden.
Misschien lijkt het wel alsof we er voorstander van zijn dat elk kind voor zichzelf de wiskunde
opnieuw uitvindt. Dit is slechts ten dele waar, omdat we het leren binnen een probleemgerichte
onderwijscontext niet als een individueel proces, maar ook als een sociaal proces zien. Het is niet
omdat elke leerling zijn eigen kennis construeert dat hij niet kan leren van anderen.
2.3
Wiskundeonderwijs is interactief
Het is duidelijk dat wiskunde maar kan geleerd worden in interactie met anderen die meer bekwaam
zijn op dat vlak dan de lerende zelf. Anders kan je op de beperkte schooltijd onmogelijk komen tot
een geheel aan kennis en vaardigheden die de mensheid vele eeuwen gevergd heeft. Het zal in de
eerste plaats de taak van de leraar zijn om op het gepaste moment de leerlingen wiskundige
begrippen, symbolen en procedures aan te reiken, die hen van nut kunnen zijn bij de oplossing van
problemen.
In dit kader kan er geen sprake zijn van eenrichtingsverkeer van de leraar naar de leerling. De
leerlingen geven zelf hun oplossingswijzen, moeten hun denkprocessen verwoorden om de leraar de
kans te geven daarop in te spelen. Het kan ook de start zijn van een groepsdiscussie waarbij
leerlingen elkaars pogingen tot probleemoplossing vergelijken, over de verschillende
oplossingswijzen reflecteren en daaruit conclusies trekken. Zo leren ze ook in kleine groepjes of in
een klassengesprek van elkaar.
In een dergelijk interactief wiskundeonderwijs is er ook nog wel plaats voor individueel schriftelijk
werk, vooral in een inoefenfase waarbij bepaalde procedures die reeds verworven zijn, naar een
automatisme kunnen groeien of in een toetssituatie, waarin de leraar wil nagaan hoe ver elke
leerling gevorderd is in de verwerking van de wiskundeleerstof. Een te grote nadruk op dit
individueel schriftelijk werk, dat toch doorgaans veel tijd van de wiskundelessen inneemt, houdt
echter een aantal gevaren in, die slechts in interactie met leraar en medeleerlingen kunnen vermeden
worden. De kans is immers reëel dat bij een te lang individueel werken onhandige of zelfs foute
rekenprocedures ingeslepen worden.
Bovendien krijgt de leraar bij het nakijken van schriftelijk werk van de leerlingen enkel zicht op de
resultaten (product van het denken), maar niet op de wijze waarop die resultaten ontstaan zijn (het
denkproces zelf). Zijn eventuele hulp aan leerlingen die fouten maken moet nochtans op het proces
gericht zijn.
HOOFDSTUK 1
VISIE OP WISKUNDE
2.4
Didactische hulpmiddelen
13
Het wiskundig denken stoelt op concrete handelingen in de realiteit. Kinderen zullen geen sommen
kunnen maken als ze niet eerst dingen geteld en bij elkaar gevoegd hebben. Ze zullen niet kunnen
werken met breuken en verhoudingen als ze niet eerst concrete verdeelsituaties hebben
meegemaakt. Ze zullen eerst figuren bekeken, gevouwen, geknipt en getekend hebben voor ze deze
kunnen beschrijven en klasseren op grond van meetkundige eigenschappen, enzovoort.
Hoewel al deze concrete handelingen ook buiten de klas voorkomen, zullen we die in het
wiskundeonderwijs zelf moeten voorzien, om zeker te zijn dat we er voor alle leerlingen kunnen op
voortbouwen. Het is pas als deze ervaringskennis in voldoende mate aanwezig is, dat de stap naar
de mentale voorstelling en het zgn. 'verinnerlijkt' handelen met die mentale voorstellingen of met de
wiskundige symbolen die daarvoor staan, kan gezet worden.
Voor veel leerlingen is die stap niet gemakkelijk. Goed wiskundeonderwijs zal hen daarbij helpen
door tussen het concrete (de realiteit) en het abstracte (de wiskunde) een brug te slaan aan de hand
van schema's, voorgestructureerd didactisch materiaal en modellen. Voorbeelden van dergelijke
tussenstappen op weg naar de uitvoering van wiskundige operaties of denkprocessen zijn o.m. het
busmodel, getalbeelden, het honderdveld, de abacus, de verhoudingstabel, stroken en roosters... Bij
het aanbieden van deze schema's, modellen en materialen staat de leraar voor didactische keuzes:
welk materiaal zal hij aanbieden, aan wie, wanneer, enz.
In het kader van dit leerplan zullen we daar vooral op ingaan in de katernen met didactische
suggesties.
2.5
De rol van de leraar
Ook in een vernieuwd wiskundeonderwijs waar de activiteit en de eigen productie van de kinderen
aan belang winnen, blijft de leraar de spilfiguur, die de verantwoordelijkheid draagt voor de
wiskundige vorming van de kinderen. Hoewel hij niet meer in de eerste plaats zijn eigen wiskundige
kennis overdraagt aan de kinderen door uit te leggen en te demonstreren, is die kennis wel een eerste
vereiste. De leraar moet de verbanden zien binnen de wiskunde, hij stelt vragen die vanuit de
realiteit de wiskundige problemen oproepen, ... . Het is uiteraard ook de leraar die, geholpen door
een leerplan en eventuele handboeken, de systematiek en de volgorde van de wiskundeactiviteiten in
de klas zal bepalen.
Op de didactische rol van de leraar zijn we in de vorige paragraaf al even ingegaan in verband met
de keuze van didactische hulpmiddelen. Hoewel we er geen voorstanders van zijn om snel formele
regels en vaste procedures aan alle kinderen aan te leren, blijft het de beslissing van de leraar welke
kinderen hij welke hulp zal bieden bij het oplossen van wiskundige problemen. De tussenstappen en
procedures die daarbij aangereikt worden, mogen uiteraard de algemene doelstelling van het
wiskundeonderwijs (kinderen kunnen zelfstandig wiskundeproblemen oplossen die zich in de
werkelijkheid voordoen) niet tegengaan. Dat wil zeggen dat de hulp van de leraar erop moet gericht
zijn dat de kinderen met die hulp verder actief kunnen zoeken, niet dat het denken in hun plaats
gebeurt.Leerlingen met rekenmoeilijkheden zullen vaak terugvallen op een „veilige‟ strategie: ze
werd hen door de leraar aangereikt, is vaak minder flexibel maar geeft hun toch de zekerheid om
ook tot een oplossing van het probleem te komen. Centraal bij deze benadering die erop gericht is
rekenproblemen te voorkomen, blijft dat ook zwakkere rekenaars recht hebben op (in)zicht op wat
ze aan het doen zijn. We mogen ons bij deze kinderen niet beperken tot inslijpen van algoritmes en
trucs die dan blind worden toegepast. Ze moeten zich bij de oefeningen die ze maken altijd iets
kunnen voorstellen.
Wiskundeonderwijs is, zoals reeds duidelijk werd gesteld, in sterke mate interactief. Dat betekent
dus
14
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
RICHTSNOER
ook dat de leraar in de eerste plaats een gespreksleider is. Hij zorgt daarbij voor een ordelijk verloop
van het gesprek door een aantal regels af te spreken (niet door elkaar praten, hand opsteken als
iemand iets niet begrijpt, e.d.). Maar hij is vooral inhoudelijk de gespreksleider, door de vragen die
hij stelt aan de kinderen, door in te gaan op wat de kinderen aanbrengen, door de ideeën van
kinderen met elkaar te confronteren, door de discussie (dus goede verwoording van een wiskundige
gedachtegang) te stimuleren enz.
Terwijl de leerlingen alleen of in groep aan het werk zijn, heeft de leraar een observerende rol. Hij
kijkt daarbij niet alleen of een antwoord op een wiskundige opdracht juist of fout is, maar richt zich
in de eerste plaats op het achterhalen van hoe bij de kinderen de antwoorden totstandkomen.
Evaluatie en diagnose gaan hier samen. Dan pas kan hij specifieke hulp geven aan de kinderen die
dat nodig hebben. Die specifieke, gedifferentieerde hulp aan kinderen lijkt ons het belangrijkste
aspect van zorgbreedte in het wiskundeonderwijs. Die eerste remediëring van rekenmoeilijkheden
behoort tot de basisverantwoordelijkheid van de klasleraar. Hij stelt een handelingsplan voor waarin
activiteiten vermeld worden die het moeten mogelijk maken dat de leerling zo snel mogelijk
opnieuw aansluit bij het in de leerlijn geschetste leerproces. Bij de uitvoering van dat plan kan een
taakleraar ondersteuning bieden.
Samengevat kunnen we de rol van de leraar, als begeleider van het wiskundeleerproces van
kinderen, omschrijven als een samengaan van vijf functies:
wiskundige
didacticus
gespreksleider
observator
helper.
Bij het vervullen van die meervoudige rol wil dit leerplan een hulp zijn voor de leraren.
3
Uitgangspunten van het onderwijs in wiskunde
De basisschool heeft de taak om haar leerlingen de basisvaardigheden i.v.m. rekenen en wiskunde
bij te brengen. De wijze waarop dit moet gebeuren is de laatste jaren onderwerp van heel wat
discussie. Een fundamenteel element in deze discussie is de tegenstelling rond het uitgangspunt van
het 'wiskunde-onderwijzen' op de basisschool.
Enerzijds kan je als uitgangspunt het logisch geordende wiskundesysteem nemen. Een getal is dan
bv. een voorstelling van de kardinale eigenschap van een verzameling. Een vierhoek is dan een
vlakke figuur gevormd door snijdende rechten. Logischerwijs wordt het getalinzicht dan ook
opgebouwd door te werken met hoeveelheden (elementen) geordend in verzamelingen. Het
meetkundeonderwijs start dan met de initiatie in begrippen als 'punt', 'rechte' en 'evenwijdig'. Het
schijnbare voordeel van deze onderwijsstrategie is dat leerlingen 'van meet af aan' de juiste, vaak
theoretische begrippen leren hanteren.
Het wiskundesysteem wordt op een logisch geordende manier verkend. Fouten van leerlingen
worden door de strikte structurering van de leerinhouden vermeden, terwijl ze juist van fouten leren
als ze actief, al experimenterend, een leerdomein verkennen. De realisatie van het inzicht in het
systeem wordt zonder 'overbodige' zijsprongen aangepakt. De dagelijkse realiteit, waarin kinderen
met wiskunde worden geconfronteerd, wordt zo veeleer als een stoorzender gezien. Het leerproces
van de leerlingen wordt dan in grote mate bepaald door de cursorische opbouw van het vak. Het
kind wordt aan het begin van het leerproces als een onbeschreven blad beschouwd.
HOOFDSTUK 1
VISIE OP WISKUNDE
15
Anderzijds kan je als uitgangspunt de leefwereld van de kinderen nemen. Je reken-wiskundeonderwijs start dan met de vraag wat kinderen al kunnen en kennen. Voor welke begrippen en vaardigheden vertonen kinderen, rekening houdend met hun ontwikkeling, spontane belangstelling?
Volgens deze opvatting start de ontwikkeling naar getalbegrip bij het vaak spontane, intuïtieve
tellen van het kind. Het meetkundeonderwijs start met het bekijken van een aantal vormen die voor
kleine kinderen 'herkenbaar' zijn: het vierkant, de rechthoek, de cirkel. Theoretische begrippen
worden niet van meet af aan aangeboden maar moeten 'groeien' tijdens het leerproces. Er wordt
gestart vanuit situaties die in de leefwereld van de leerlingen 'voorstelbaar' zijn. Inzicht in het
wiskundesysteem kan pas ontstaan nadat het kind inzicht heeft in de context van de reken- of
wiskundesituatie. Dit leerproces wordt bepaald door de ontwikkeling van het kind en door zijn
eigen leefwereld. De leerinhouden van het wiskundesysteem vormen niet het uitgangspunt van het
onderwijs in de basisschool. De leraar organiseert het onderwijsleerproces zò dat het maximaal
aansluit bij de belangstelling van de leerlingen.
De leerlijnen, die door OVSG werden uitgewerkt, leunen dichter aan bij de tweede visie dan bij de
eerste. De keuze om te vertrekken bij de leefwereld van het kind kan verantwoord worden door
te verwijzen naar de uitgangspunten wiskunde zoals ze werden geformuleerd in het document
'Eindtermen' van de DVO. Ten overvloede wordt onderstreept dat in het basisonderwijs niet
gestreefd moet worden naar een grote 'wiskundekennis' bij de leerlingen. De kwantiteit zal in dit
verband eerder een belemmering zijn voor de kwaliteit van het wiskundeonderwijs.
Naast de basisvaardigheden die in ruime mate aan bod dienen te komen, moet vooral aandacht
besteed worden aan de wiskundige activiteit van de leerlingen, aan de band van het rekenen en de
wiskunde met de realiteit, aan het samen ontdekken van structuren, problemen en oplossingswijzen.
Dat wil niet zeggen dat de volgorde van doelen die we nastreven, niet mee door het wiskundig
systeem bepaald is, bv. bij de geleidelijke opbouw van het tiendelig talstelsel (van klein naar groot),
of in de volgorde van de bewerkingen (eerst begripsvorming in optellen en aftrekken, nadien
vermenigvuldigen en delen), ... .
Het wiskundig systeem is daarbij echter niet prioritair. We hechten meer belang aan hoe kinderen
cognitief ontwikkelen, hoe ze dus wiskunde kunnen leren en hoe we daarbij aansluitend wiskunde
kunnen onderwijzen.
HOOFDSTUK 2
EVALUATIE IN EN VAN HET WISKUNDEONDERWIJS
Hoofdstuk 2:
15
EVALUATIE IN EN VAN HET WISKUNDEONDERWIJS
In een leerplan wordt uitgestippeld welke algemene en concrete leerdoelen op welk moment bereikt
moeten worden. Het spreekt dan haast vanzelf dat daarbij ook aangegeven wordt op welke manier
een leraar kan nagaan of zijn leerlingen die doelen effectief bereikt hebben. We stelden trouwens
reeds eerder (Hfst. 1, 2.5.) dat observatie, evaluatie en diagnose expliciet tot de rol behoren van de
leraar die wiskunde onderwijst.
Deze problematiek is uiteraard niet nieuw. Leraren hebben altijd het toetsen van wiskundeprestaties
van hun kinderen tot hun opdracht gerekend en hadden daar weinig problemen mee. Heel wat
wiskundeleerstof is relatief makkelijk toetsbaar. In alle wiskundemethodes voor de basisschool
vinden we opgaven bedoeld om individueel en schriftelijk door de leerlingen te laten uitvoeren.
Deze kunnen ook als een toets beschouwd worden. Het probleem is wel dat ze zich meestal
beperken tot rekenfeitjes, cijferprocedures en standaardoplossingen bij toepassingsproblemen. In de
eindtermen - en derhalve ook uiteraard ook in dit leerplan - zijn echter ook heel wat andere doelen
geformuleerd. Deze andere doelen vergen een ander soort toetsing.
1 Nieuwe doelen, nieuwe toetsen
In de doelen van het wiskundeonderwijs kunnen we verschillende niveaus onderscheiden en bij elk
van die niveaus passen andere toetsen of toetsprocedures (Van Reeuwijk, 1994).
- Lagere doelen: de traditionele schoolwiskunde behoort tot deze categorie. Definities, feiten,
technische basisvaardigheden, standaardalgoritmes situeren zich op dit niveau. In het leerplan
zijn die terug te vinden in de domeingebonden leerlijnen, getallen, meten en meetkunde. Deze
doelen zijn eenvoudig te toetsen bv. via een rij kale sommen (schriftelijk) of via een tempotoets
(optellen en aftrekken tot 10, splitsingen, tafels,...)
- Middendoelen: integreren van verschillende leerstofgebieden, leggen van verbanden, oplossen
van problemen in toepassingssituaties. Dergelijke doelen komen in het leerplan vooral
domeinoverschrijdend voor (Strategieën en probleemoplossende vaardigheden, Deel II, hfst. 1,
1), maar zijn soms ook binnen één domein geformuleerd. Bv. grafieken (leerlijn 1.18 van domein
getallen - bewerkingen) en schaal (leerlijn 2.3 van domein meten) zijn weliswaar in één domein
ondergebracht, maar de meeste daar geformuleerde doelen vergen een integratie van doelen in de
drie domeinen, doen beroep op getallenkennis, meetvaardigheid en meetkundige inzichten.
Toetsen naar doelen op dit niveau zullen hoofdzakelijk vraagstukken bevatten die via
verschillende oplossingswegen en -strategieën kunnen opgelost worden.
- Hogere doelen: op dit niveau plaatsen we complexe doelen zoals wiskundig redeneren,
communiceren, ontwikkelen van een kritische houding, creativiteit, interpreteren, reflecteren,
mathematiseren... Deze hogere doelen zijn in het leerplan vooral bij de attitudes (Deel II, hfst. 1,
2.) terug te vinden. Toetsing van deze doelen zal naast schriftelijke individuele antwoorden op
open vragen, ook observatie vergen van de interactie in de klas bij het oplossen van problemen.
Niet elke toets die een leraar van de kinderen afneemt moet doelen bevatten op deze drie niveaus.
Maar het evaluatieprogramma van de school op jaarbasis zal toch moeten vermijden dat men zich te
eenzijdig concentreert op de lagere doelen. Het ontwikkelen van een evaluatieprogramma kan best
vertrekken van volgende principes (De Lange, 1992):
- toetsen moeten een geïntegreerd deel uitmaken van het leerproces, zodat het leren zelf erdoor kan
verbeteren;
16
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
RICHTSNOER
- toetsen zouden eerder moeten laten zien wat leerlingen weten of kunnen, dan wat zij (nog) niet
weten (positieve toetsing);
- het geheel aan toetsen zou alle doelen van het wiskundeonderwijs moeten omvatten;
- de toetsvorm of inhoud zou niet in de eerste plaats bepaald mogen worden door de
mogelijkheden om gemakkelijk te corrigeren of objectief te scoren;
- toetsen moeten praktisch genoeg zijn in afnameprocedure om in de courante schoolpraktijk te
kunnen opgenomen worden.
Laten we eerst nog voorbeelden bekijken van vragen en opdrachten die de mogelijkheid in zich
houden om hogere doelen te toetsen. Wellicht zijn daar nog concrete aanwijzingen uit te halen voor
een meer evenwichtig toetsprogramma.
Voorbeeld 1:
Uit: Jansen, 1996
p.6
Een beer weegt 500 kg
Hoeveel kinderen wegen samen net zoveel
als een beer?
Het antwoord dat de kinderen hier geven in het hokje is op zichzelf van weinig belang, er zijn
trouwens meerdere antwoorden mogelijk, afhankelijk van de veronderstelling die de leerling maakt
over het gemiddeld gewicht van een kind. Als de kinderen het algoritme van de staartdeling geleerd
hebben zal deze vraag wellicht vooral die rekenvaardigheid toetsen (doel op lager niveau). Maar de
vraag is zeer goed bruikbaar bij kinderen die dat nog niet kennen en het probleem op een andere
manier oplossen. Bij een dergelijke vorm van ‘vooruit-toetsen’ krijgt de leraar zicht op hun
strategieën en probleemoplossende vaardigheden, en op het niveau van hun wiskundig redeneren.
Door niet de uitkomst, maar de kladblaadjes te bekijken (de oplossingsweg) krijg je informatie over
middendoelen en weet je als leraar ook hoe je verder je onderwijs kan afstemmen op het wiskundig
functioneren van kinderen op dat moment.
(zie voorbeelden van kladblaadjes: afb. 2, Janssen, 1996, p.7)
HOOFDSTUK 2
EVALUATIE IN EN VAN HET WISKUNDEONDERWIJS
17
Voorbeeld 2: (Schwartz, 1992)
Je kan van een toetsvraag die peilt naar een lager doel (cijferalgoritme bv. voor de aftrekking) ook
een vraag maken die eerder een beroep doet op inzicht in de betekenis van de aftrekking, dan op de
mechanische beheersing van de rekenprocedure.
In plaats van:
een vraag met één correct antwoord,
krijg je dan een vraag met zeer veel mogelijke correcte
(en wellicht nog veel meer foute) antwoorden.
Bereken
7 102
- 4 595
Hieronder zie je twee aftrekkingen. Schrijf nu een aftrekking op
waarvan het resultaat ligt tussen de uitkomsten van de twee gegeven
aftrekkingen
7 102
- 4 595
6 421
- 3 976
18
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
RICHTSNOER
Zoals bij het voorbeeld van de beer zullen de kladblaadjes de leraar weer veel leren (bv. rekenen de
kinderen de twee aftrekkingen eerst uit?), al is er hier uit het antwoord zelf ook al een en ander af te
leiden over het inzicht en de inventiviteit van de leerlingen.
Dit voorbeeld toont aan dat deze hogere orde capaciteiten ook kunnen getoetst worden in domeinen
waar men vaak minst variatie mogelijk acht zoals het cijferen.
Het toetsen van echte hogere doelen (attitudes en wiskundige redeneringen) vergt dan weer wat
meer: een opdracht die veel eigen productie van de leerlingen noodzakelijk maakt, zowel in groep
als individueel. Kladblaadjes en schriftelijke notities zullen dan aangevuld moeten worden met
observatie van de interactie tussen de leerlingen.
Voorbeeld 3: (naar Treffers, De Moor en Feijs, 1989)
Na enkele lessen waarbij de leerlingen van het hoogste leerjaar gezocht hebben hoe groot de
oppervlakte van België is, volgt een toetsles vertrekkende van volgende probleemstelling: Zou de
hele Belgische bevolking in theorie op 1 km² kunnen staan? Zou de wereldbevolking in de provincie
Oost-Vlaanderen kunnen staan? De eerste vraag als groepswerk, de tweede individueel op te lossen.
Samenvattend kunnen we t.a.v. het wiskundetoetsprogramma voor een schooljaar stellen:
- Conventionele, individuele, schriftelijke toetsen blijven een belangrijk onderdeel van het
toetsprogramma.
- Deze toetsen kunnen door de leraar zelf opgesteld worden, uit de methodes gehaald worden of
verkregen bij instanties die grotere populaties toetsen (OVSG-eindtoets, CITO-toetsen,...).
- De toetsvragen voor de lagere doelen zijn vaak vragen met één correct antwoord, dat kort te
geven is. Meerkeuzevragen zijn in wiskundetoetsen vaak overbodig om ze objectief te kunnen
scoren. Enkel bij bepaalde onderdelen (schatten bv.) is deze vraagvorm interessant.
- Om midden en hogere orde doelen te kunnen toetsen moeten in het toetsprogramma ook opgaven
zitten waarbij meerdere antwoorden mogelijk zijn en waarbij naast het resultaat ook de
oplossingsweg in rekening gebracht wordt (‘kladblaadjes’ zijn een wezenlijk onderdeel van het
antwoord op de toetsopgave).
- Eigen productie van leerlingen als reactie op open probleemstellingen bieden de kans om hogere
doelen te toetsen. Die productie is zowel mondeling als schriftelijk, zowel individueel als in
groep. Observatie van interactie vormt dus een noodzakelijke aanvulling in een uitgebalanceerd
evaluatieprogramma.
2 Waarom toetsen?
Ook in het doel zelf van toetsen en evalueren is een verschuiving merkbaar. De reden waarom we
een wiskundetoets afnemen in de klas zal niet meer in de eerste plaats zijn dat je zo op een relatief
gemakkelijke en objectieve manier een rapportcijfer kan verkrijgen. Toetsen gaan we vooral
afnemen omdat je daarmee feedback kan geven aan de leerlingen zelf en hun ouders. Rapportering
blijft dus een evident vervolg van een toetsing. Maar je kan beter meer rapporteren dan enkel een
cijfer of een score. Die score krijgt meer betekenis wanneer je daarbij kan aangeven hoe die score
ontstaan is, voor welk toetsonderdeel (welk wiskundedoel) de prestatie boven of onder de
verwachting lag (vergeleken bij andere kinderen van de klas of van die leeftijdsgroep in geval je
werkt met genormeerde toetsen), wat de mogelijke oorzaken zijn van fouten in de toets en wat je
daar als leraar kan aan verhelpen...
Wanneer je als leraar deze gegevens aan een toetsscore toevoegt bij de rapportering heb je meteen
de basis gelegd voor je verdere didactisch handelen met de getoetste groep leerlingen. Want de
feedback voor de leraar zelf is natuurlijk de hoofdreden om toetsen in de klas af te nemen. Hoewel
de leraar door dagelijks met de kinderen te werken wel een globaal idee heeft over de sterke en
HOOFDSTUK 2
EVALUATIE IN EN VAN HET WISKUNDEONDERWIJS
19
zwakke punten van hun wiskundig functioneren kan een toets heel wat bijkomende en meer
objectieve specifieke informatie opleveren, waarmee de leraar nadien aan de slag kan gaan.
Voor leerlingen die zwak presteren zal een periodieke beheersingstoets over de verschillende
onderdelen van de wiskundeleergang meestal niet volstaan. Voor een beperkte groep (bv. de 25%
zwakste presteerders op de beheersingstoets) moet de diagnose fijner zijn, om hen effectief te
kunnen helpen. Die verfijning kan de vorm aannemen van een diagnostische toets (een beperkt
onderdeel met vooral aandacht voor hoe fouten tot stand komen) eventueel aangevuld met een
individueel diagnostisch gesprek met de leerling om duidelijker te zien hoe hij te werk gaat en waar
zijn problemen liggen bij het oplossen van wiskundeopgaven. Op deze diagnostische gegevens kan
dan een handelingsplan gebaseerd worden: voor een groepje leerlingen (differentiatie) of voor een
individuele leerling (remediëring eventueel in samenwerking met een taakleraar).
Omdat het wiskunde leren in continuïteit verloopt kan de begeleiding door de leraren ook best een
continu proces vormen.
Daarom is het aangewezen de toetsgegevens van de leerlingen samen te brengen in een of ander
leerlingvolgsysteem, dat doorheen de hele basisschool bijgehouden wordt.
Minimaal is daarin de screening opgenomen voor alle leerlingen voor hun wiskundig functioneren.
Dat betekent dat minstens tweemaal per jaar een beheersingstoets wordt afgenomen, waarbij ook
aandacht is voor de hogere doelen van het wiskundeonderwijs. Voor de zwakste groep komen in het
leerlingvolgsysteem bijkomende diagnostische gegevens, acties ter remediëring en de resultaten van
die acties.
Op die manier zal een toetsingsprogramma doorheen de hele school het wiskunde leren van alle
kinderen ondersteunen, en kunnen we de zorgbreedte bereiken die we beogen.
HOOFDSTUK 3
GEBRUIK VAN HET LEERPLAN
Hoofdstuk 3:
21
GEBRUIK VAN HET LEERPLAN
Om het leerplan efficiënt te kunnen gebruiken, geven we hierna enige verduidelijking bij:
de domeinoverschrijdende doelen;
de leerlijnen (voor de domeinen: getallen, meten en meetkunde);
de didactische katernen.
1
Domeinoverschrijdende doelen
De domeinoverschrijdende doelen zijn niet leeftijdsgebonden. Aspecten van de doelen kunnen
zowel bij jongere als bij oudere leerlingen aan bod komen. Van deze doelen zijn daarom geen
leerlijnen gemaakt.
1.1
Strategieën en probleemoplossende vaardigheden
Voor de strategieën en probleemoplossende vaardigheden werd de volgende structuur gehanteerd.
doelstelling
1
Fase 1
III
I
doelstelling IV
ET
II
Aspecten: V
-
Voorbeelden
VI
I
Nummer van de doelstelling en de doelstelling
II
ET = eindterm
In deze kolom staat het nummer van de eindterm(en) waarmee de doelstelling overeenstemt.
Eindtermen die met een * zijn aangeduid, zijn na te streven doelen.
III
Sommige doelen worden opgesplitst in fasen. In dergelijke gevallen krijgen de fasen een
nummering.
IV
De doelstelling bij de overeenstemmende fase
V
Elk doel omvat een aantal aspecten. De opsomming van de aspecten is niet limitatief.
VI
Bij elk doel worden een aantal voorbeelden gegeven. Soms geven we voorbeelden van bij
jonge kinderen, soms van bij oudere kinderen. Bepaalde aspecten van bijna elk doel kunnen
zowel bij jongere als bij oudere leerlingen worden nagestreefd.
22
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
1.2
RICHTSNOER
Wiskundeattitudes
In het kader wordt het doel met de verwijzing naar de overeenkomstige eindterm gegeven. In
de tekst onder het kader wordt het doel verduidelijkt en worden verschillende voorbeelden
gegeven.
2
Leerlijnen
Het eerste hoofdstuk binnen de domeinen getallen, meten en meetkunde geeft telkens de
leerlijnen voor het overeenkomstige gebied.
Hierna geven we de structuur die gehanteerd wordt bij de leerlijnen.
OD
ET
Domein
I
kleuters
lagereschoolkinderen
III
IV
II
1ste
fase
1.1
LEERLIJN V
1
doelstelling
2
doelstelling
3
doelstelling
4
doelstelling
2de
fase
6j.
->
8j.
->
10j.
->
VI
VII
VIII
IX
X
XI
I
Naam van het domein
De naam van het domein, eventueel aangevuld met een onderverdeling van het domein (bv.
domein getallen wordt onderverdeeld in getallenkennis en bewerkingen).
II
OD = ontwikkelingsdoel; ET = eindterm
Het nummer verwijst naar het ontwikkelingsdoel of de eindterm.
Eindtermen die met een * zijn aangeduid, zijn na te streven doelen.
III
De kleuterperiode wordt ingedeeld in twee ontwikkelingsfasen.
IV
De lagereschoolperiode wordt ingedeeld volgens de leeftijd van de leerlingen.
HOOFDSTUK 3
GEBRUIK VAN HET LEERPLAN
23
V
Nummer en naam van de leerlijn
Elk leerdomein telt verschillende leerlijnen.
VI
Doelstelling en haar nummering binnen de leerlijn.
VII
Grijsgetint vak links van een vak met een zwarte streep
De doelstelling kan in deze groep enkel bij die kinderen die eraan toe zijn worden
nagestreefd.
VIII
Grijsgetint vak met onderaan een zwarte streep
De doelstelling wordt uitdrukkelijk bij deze groep(en) nagestreefd.
IX
Grijsgetint vak rechts van een vak met een zwarte streep
De doelstelling zal waarschijnlijk door een groot deel van de leerlingen bereikt zijn, maar ze
wordt nog nagestreefd door leerlingen die ze nog niet (ten volle) hebben bereikt.
X
Witte vakken rechts van grijsgetinte vakken
Er mag verwacht worden dat de overgrote meerderheid van de leerlingen de doelstelling
heeft bereikt.
XI
Cursief gedrukte doelstelling
Dit is geen basisdoel maar een uitbreidingsdoel. Er worden dan ook geen vakken voorzien
met een zwarte streep. De school beslist zelf of en voor wie ze dit doel in hun werkplan
opneemt. De grijsgetinte vakken geven aan bij welke groepen leerlingen deze doelstellingen
eventueel kunnen worden nagestreefd.
3
Didactische katernen
De link tussen de leerlijnen en de verschillende didactische katernen verschilt van katern tot
katern.
Het katern 'Werken met contexten' is niet te koppelen aan een of meer leerlijnen. Contexten
vormen de rode draad doorheen het hele wiskundeonderwijs.
Het katern 'Ontluikende gecijferdheid' geeft specifieke suggesties voor het kleuteronderwijs.
De suggesties zijn te koppelen aan verschillende leerlijnen uit de drie domeinen van
wiskunde.
De andere katernen zijn volledig opgenomen binnen één van de drie domeinen van
wiskunde.
Voor de domeinen meten en meetkunde is telkens één katern voorzien.
Bij het domein getallen treffen we zeven katernen aan.
Sommige van deze katernen sluiten aan bij één leerlijn (bv. tabellen en grafieken), andere
geven suggesties bij verschillende leerlijnen uit dit domein (bv. katern cijferen bij de
leerlijnen 1.20 tot en met 1.24).
HOOFDSTUK 1
DOELEN
Hoofdstuk 1:
VAARDIGHEDEN EN STRATEGIEEN
27
DOMEINOVERSCHRIJDENDE DOELEN
In de eindtermen, wiskunde werden naast specifieke kennis en vaardigheden per domein (getallen,
meten, meetkunde), ook een aantal meer algemene doelen opgenomen. Het betreft hier strategieën
en probleemoplossende vaardigheden enerzijds en wiskundige attitudes anderzijds. Deze doelen
worden ontwikkeld via wiskundige activiteiten in de drie domeinen. Hoewel de aard van die
activiteiten verschillend zal zijn naargelang van de leeftijd van de kinderen, hebben we voor deze
algemene doelen geen echte leerlijnen ontwikkeld. We geven hier dan ook geen leeftijdsgebonden
tussendoelen aan die de weg naar de eindtermen uitstippelen. Zoals deze doelen geformuleerd zijn,
kan je ze trouwens ook moeilijk als een eindpunt beschouwen. Ook na de basisschool zal er aan de
verdere ontwikkeling van deze strategische vaardigheden en wiskundige attitudes moeten gewerkt
worden, zij het aan de hand van andere activiteiten.
De basisschool heeft in dit verband vooral een inspanningsverplichting. Dat wil zeggen dat er via
een weloverwogen keuze van wiskundige activiteiten gekoppeld aan interactie en reflectie bij elke
leerling een groeiproces op gang gebracht wordt. De begeleidende leraar houdt hierbij voortdurend
de ontwikkeling van de strategische vaardigheden en attitudes voor ogen. Hoe dat kan op
verschillende leeftijdsniveaus, zullen we aan de hand van voorbeelden proberen concreter maken.
De doelstellingen zijn terug te vinden op de hiernavolgende bladzijden. Per doel geven we een of
meer voorbeelden ter illustratie. Ze zijn afwisselend te situeren bij oudere of jongere kinderen. Maar
dat betekent niet dat de doelen enkel door die leeftijdsgroep moeten nagestreefd worden. Zoals
gezegd vormen deze doelen zowat de rode draad, het na te streven ideaal, voor alle
wiskundeactiviteiten doorheen de hele basisschool.
28
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
1 Strategieën en probleemoplossende vaardigheden
1.1
ET
1.29*
De leerlingen ontwikkelen heuristische werkwijzen om wiskundige problemen m.b.t.
getallen, meten en meetkunde op te lossen.
Ze werken daarbij planmatig en doorlopen een aantal fasen.
4
(leren leren)
Fase 1
De leerlingen zijn in staat wiskundige problemen te begrijpen.
Aspecten:
- ze kunnen zich inleven in de situatie door deze aandachtig te bevragen, te lezen, te
bekijken, te beluisteren, ...;
- ze onderkennen dat er een probleem is dat deels via wiskundige vaardigheden op te
lossen is;
- ze kunnen de gegevens en het gevraagde of datgene wat ze willen bereiken
onderscheiden;
- ze kunnen het probleem met eigen woorden weergeven;
- ze kunnen niet-relevante gegevens buiten beschouwing laten en aangeven welke
gegevens eventueel ontbreken;
- ze kunnen de samenhang in de gegevens ontdekken, de kerngegevens die relevant zijn
om tot een oplossing te komen, vinden in de probleemsituatie, en deze ordenen;
- ...
Voorbeelden
Kleuters
In de klas ligt tekenpapier van verschillende grootte (even groot als de kinderen - kleiner - groter - tweemaal,
driemaal, viermaal zo klein, ...)
De leraar vertelt: voor het grootouderfeest gaan we onze oma‟s en opa‟s verrassen met een tekening van onszelf.
Het zou leuk zijn als die tekening even groot zou zijn als jijzelf bent.
De lei(d)(st)er kan hier samen met de kleuters het probleem in kaart brengen:
- wat betekent dat: „even groot als ...‟; dat is niet voor iedereen hetzelfde;
- vertel eens wat je moet doen;
- weet iedereen wat we gaan doen?
- ...
Lagere school: 6 j. en >
De volgende situatie wordt geschetst: voorgelezen en/of verteld door de leraar, al dan niet ondersteund met concreet
materiaal of een schematische voorstelling, zelf gelezen door de leerlingen, ...
Nils heeft 25 knikkers: 17 blauwe en 8 groene.
Hij begon vandaag met 22 knikkers en won er 3 bij.
Hij heeft er 7 meer dan zijn vriend Bert, die alleen blauwe knikkers heeft.
Eva heeft 15 knikkers: 7 groene, 8 blauwe.
Hoeveel knikkers heeft Bert?
Lagere school: 10 j. en >
Je tante die in Amerika woont, wil eens een foto of tekening van je school zien. Ze wil ook heel graag weten hoe
groot je school wel is.
Om alvast te beginnen zorg je voor het vooraanzicht van de school. Schrijf er ook de afmetingen bij.
Werk nauwkeurig.
De drie gegeven voorbeelden worden verder uitgewerkt over de verschillende fasen van deze doelstelling.
HOOFDSTUK 1
Fase 2
DOELEN
VAARDIGHEDEN EN STRATEGIEEN
De leerlingen kunnen een oplossingsplan maken en een oplossingsweg kiezen.
Aspecten:
- ze kunnen verwoorden hoe ze te werk zullen gaan om het probleem op te lossen, ze
kunnen een globaal oplossingsplan opstellen;
- ze kunnen het probleem opsplitsen en de deelproblemen stap voor stap oplossen;
- ze kunnen de oplossingsweg in kaart brengen (gegevens - probleem - deelstappen in één
kader samenbrengen);
- ze kunnen het probleem schematiseren (bij het probleem een tekening, schets of schema
van de gekende en onbekende elementen en de relaties daartussen maken);
- ze kunnen het probleem mathematiseren (bv. 8-3=.);
- ze kunnen het probleem materialiseren;
- ze kunnen het resultaat op één of andere manier schatten;
- ...
29
ET
1.29*
4
(leren leren)
Voorbeelden
Kleuters
De verschillende oplossingswegen van het probleem laten verwoorden:
- per twee werken;
- verschillende materialen opsommen (papier, karton, lapjes stof, ...);
- afspraken maken en daaruit een keuze maken.
Lagere school: 6 j. en >
Bij het knikkerprobleem beslissen de leerlingen hoe ze het probleem zullen oplossen: direct op mentaal niveau of
eerst op schematisch of materieel niveau.
Ze kunnen ook een rekenkundige bewerking kiezen om tot de oplossing van het probleem te komen.
Lagere school: 10 j. en >
Het meetprobleem kan best in groep worden opgelost onder begeleiding:
- de leraar bespreekt samen met de leerlingen het oplossingsproces en de stappen erin;
- samen met de leraar brengen de leerlingen het probleem in kaart (wat is het gegeven - wat is gevraagd - wat doen
we met de tussenresultaten) en splitsen het probleem in een aantal deelproblemen;
- er wordt een globaal oplossingsplan opgesteld.
30
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
Fase 3
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
De leerlingen kunnen het oplossingsplan en de gekozen oplossingsweg uitvoeren.
Aspecten:
- ze kunnen ordelijk en systematisch werken;
- ze kunnen zich aan een plan en aan de gemaakte afspraken houden;
- ze kunnen bewerkingen kiezen en de volgorde bepalen om de bewerkingen uit te voeren;
- ze kunnen de bewerkingen uitvoeren;
- ze kunnen erop letten of tussenresultaten de oplossing dichterbij brengen;
- ze kunnen, indien op basis van de tussenresultaten de oplossing niet naderbij komt, het
oplossingsplan bijstellen;
- ...
ET
1.28
5
(leren leren)
Voorbeelden
Kleuters
De kleuters maken een levensgrote tekening aan de hand van de door hen gekozen oplossingsweg.
Ze zorgen zelfstandig voor de geschikte materialen en houden zich aan de gemaakte afspraken.
Lagere school: 6 j. en >
Bij het knikkerprobleem kunnen de leerlingen het probleem
- materialiseren (de situatie naspelen met echte knikkers of vervangvoorwerpen);
- schematiseren;
- mathematiseren (omzetten in een wiskundige bewerking);
- de juiste bewerking kiezen en uitvoeren;
- ...
Lagere school: 10 j. en >
De leerlingen voeren nu een globaal oplossingsplan uit.
Om dat te realiseren dienen ze ordelijk en systematisch (stap voor stap) te werken:
- meten van de lengte;
- schatten van de hoogte door bv. de hoogte van het schoolgebouw te vergelijken met een referentiepunt zoals bv.
de hoogte van een volwassen persoon, van een boom die voor de school staat, ...;
- de afmetingen een aantal keer verkleinen;
- tekeningen maken, maten bijschrijven;
- ...
HOOFDSTUK 1
Fase 4
DOELEN
VAARDIGHEDEN EN STRATEGIEEN
De leerlingen kunnen beslissingen nemen over het resultaat.
Aspecten:
- ze kunnen het resultaat op één of andere manier controleren,
bv.: - vergelijken met schatting;
- verifiëren t.o.v. realiteit;
- omgekeerde bewerking of negenproef uitvoeren;
- ...;
- ze kunnen het gevonden resultaat terug in de situatie plaatsen;
- ze kunnen het resultaat correct en volledig noteren (bv. niet 25 maar 25 m²);
- ze beseffen wanneer een probleem opgelost is;
- ze kunnen op het oplossingsproces reflecteren en, indien de oplossing niet geslaagd is,
de oplossingsweg bijsturen (ook over elk van de drie vorige fasen);
- ze kunnen, indien voor een probleem verschillende oplossingen werden gevonden, de
best passende oplossing identificeren.
31
ET
5.4*
5
(leren leren)
Voorbeelden
Kleuters
De kleuters zullen het resultaat controleren:
- sta ik er helemaal op?
- ben ik dat? (haarkleur, kleding vergelijken)
- bijsturen waar het nodig is;
- bespreken van de gevolgde weg en verantwoorden van hun keuze.
Lagere school: 6 j. en >
De oplossing van het knikkerprobleem kunnen
- de leerlingen in de situatie plaatsen (Klopt het dat Bert 18 knikkers heeft? Bezit Nils er inderdaad 7 meer dan
Bert? Dan heeft Bert er 7 minder dan Nils, ...);
- controleren door de omgekeerde bewerking uit te voeren (18 + 7 = 25);
-...
Lagere school: 8 j. en >
Het controleren van een meetprobleem zou men als volgt kunnen aanpakken:
- twee groepjes wisselen hun aanpak en resultaten uit: wat komt overeen? , Wat verschilt er? , Waar is het fout
gelopen? , ...;
- het resultaat (de tekening met de afmetingen) doorspelen aan een parallelklas die het beoordeelt op zijn
realiteitswaarde;
- met de hele klas en onder de leiding van de leraar de metingen opnieuw uitvoeren, de aanpak van de
verschillende groepjes vergelijken en bespreken, de manier van schatten bespreken, de schaal vaststellen, ...;
- de meest bruikbare tekening uitkiezen.
32
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
1.2
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
De leerlingen weten, zien in en kunnen verwoorden en met voorbeelden illustreren dat
ET
voor één en hetzelfde wiskundig probleem i.v.m. getallen, meten en meetkunde soms
4.1
verschillende oplossingswegen en soms zelfs verschillende oplossingen mogelijk zijn,
afhankelijk van de instelling (= bekwaamheden, houdingen, verwachtingen waarmee
een leerling een probleem tegemoet treedt) t.a.v. het probleem en de aanpak ervan (=
wat de leerling doet tijdens het verloop van het oplossingsproces).
Aspecten:
ze kunnen verwoorden welke oplossingswijze en welke deelstappen zij ondernamen om tot
een oplossing te komen;
ze kunnen verwoorden waarom zij een bepaalde oplossingsweg hebben gekozen;
ze kunnen verschillende oplossingswegen met elkaar vergelijken;
ze kunnen, door verschillende oplossingswegen te vergelijken, die oplossing kiezen die voor
hen het meest bruikbaar is.
Voorbeelden
Kleuters
Wanorde van rijwielen op de speelplaats.
De kleuters kunnen zelf een oplossing zoeken om voor elk rijwiel een geschikte parking te tekenen.
Er zullen verschillende oplossingen gevonden worden (een lijn om de fiets trekken, de oppervlakte van de fiets
schatten en controleren, een parking tekenen met een meetlat, ...). Ze verwoorden hun oplossing, vergelijken de
verschillende oplossingen en kiezen de beste oplossing.
Lagere school: 8 j. en >
Probleem: Jij verjaart. Je trakteert de 15 leerlingen uit je klas met een verrassingspakje waarin gezonde snoep en
een stukje speelgoed zitten. Eén verrassingspakje kost 28 fr. hoeveel fr. moet je betalen?
Tijdens de klassikale bespreking of bij individuele begeleiding kunnen de leerlingen hun aanpak verwoorden.
Enkele voorbeelden:
-aanpak 1
15 x 28 = (10 x 28) + (5 x 28) = 280 + 140 = 420 (splitsen van 15 in 10 en 5 (toepassen van de distributiviteit van x
t.o.v. +) en vermenigvuldigen met 5 is de helft nemen van vermenigvuldigen met 10).
-aanpak 2
15 x 28 = (15 x 20) + (15 x 8)
Splitsen van 28 in 20 en 8 en dan de vermenigvuldiger
= ((10 x 20) + (5 x 20)) + ((10 x 8) + (5 x 8))
nog eens splitsen in 10 en 5 (toepassen van
= (200 + 100) + (80 + 40)
distributiviteit van x t.o.v. +).
= 300 + 120
= 420
-aanpak 3
15 x 28 = 28 x 15 (toepassen commutativiteit)
Splitsen van 28 in 20 en 8 / 20 nogmaals splitsen in 10
= (20 x 15) + (8 x 15)
en 10 (toepassen van de distributiviteit van x t.o.v. +),
= ((10 x 15)+(10 x 15)) + (8 x 15)
vermenigvuldigen met 8 via 10 maal het getal - 2 maal
= 150 + 150 + ((10 x 15)- (2 x 15))
het getal (toepassen van de distributiviteit van x tov. -)
= 300 + (150 - 30)
= 300 + 120
= 420
-aanpak 4
15 x 28 = (30 x 14)
Bij een vermenigvuldiging mag men de ene factor met
= (10 x 14) + (10 x 14) = (10 x 14)
een getal vermenigvuldigen als men de andere factor
= (10 x 14) + (10 x 14) = (10 x 14)
door datzelfde getal deelt / maal 30 gesplitst in 3 keer
= 140 + 140 + 140
10 ( distributiviteit van x t.o.v. + )
= 420
-aanpak 5
15 x 28 = toepassen van het kruispuntenmodel
- aanpak 6
15 x 28 = toepassen van het rechthoekmodel
HOOFDSTUK 1
DOELEN
VAARDIGHEDEN EN STRATEGIEEN
1.3 De leerlingen kunnen bij een gegeven situatie, een context of een realiteit één of meer
(wiskundige) vragen formuleren.
33
ET
3
(leren leren)
Aspecten:
ze kunnen adequate van inadequate vragen onderscheiden;
ze kunnen niet-relevante gegevens buiten beschouwing laten om een adequate vraag te
formuleren;
ze kunnen bij een zelfgeformuleerde vraag een antwoord geven;
...
Voorbeelden
Kleuters
Raadspel
Eén kind is buiten de klas; de anderen schikken voorwerpen verschillend naar kleur, vorm, grootte, hoogte,
gewicht,... Er wordt een voorwerp afgesproken dat de „buitenstaander‟ moet raden. Door vragen te stellen en te
elimineren ontdekt de kleuter het geselecteerd voorwerp.
Lagere school: 8 j. en >
Gegeven: enkele prenten met situaties en getalsmatige gegevens erop. De leerlingen dienen vragen te formuleren en
deze uit te wisselen met andere leerlingen.
Bij de aangeboden prenten kiest elke leerling minstens één prent en formuleert daarover een vraag en het antwoord
erop. Hij/zij schrijft de vraag op de voorkant van een steekkaart en op de achterkant komt het antwoord.
34
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
1.4
De leerlingen kunnen reflecteren op hun eigen oplossingsproces en oplossingsgedrag.
1.4.1
De leerlingen kunnen reflecteren op een oplossingsproces en oplossingen die fout zijn
gelopen en zo het oplossingsproces bijsturen en de oplossing aanpassen.
ET
5.4*
5
(leren leren)
6
(leren leren)
Aspecten:
- ze weten dat ordelijk en gestructureerd aan een probleem werken, voordelen biedt;
- ze hebben de attitude om elke oplossing en elk oplossingsproces op een of andere manier te controleren;
- ze hebben de attitude de gevonden oplossing te toetsen aan de realiteit;
- ze kunnen verwoorden dat ze ergens in het oplossingsproces fout waren;
- ze kunnen verwoorden waar ze in het oplossingsproces fout waren;
- ze kunnen verwoorden hoe de fout is ontstaan;
- ze kunnen de fout in het oplossingsproces herstellen;
- ze kunnen verwoorden hoe ze een gemaakte en gecorrigeerde fout in de toekomst kunnen vermijden;
- ....
Voorbeelden
Kleuters
Bij het rijgen van parels, het volgen van patronen, het knopen van de eigen jas, ... kijken waar het fout is gelopen en
het bespreken.
Lagere school: 10 j. en >
De leraar biedt het volgende probleem aan.
Dit is de kamer bij jullie thuis. Ze is 7,90 m lang en 6,85 m breed.
Vlak voor de winkels sluiten, besluiten ze bij jullie thuis dat ze een nieuwe vloerbedekking in die kamer willen. Ze
vragen jou heel vlug ongeveer uit te rekenen hoeveel m² vloerbedekking ze nodig hebben. Doe dat eens.
De leerlingen gaan aan het werk. Na 30 seconden moeten de leerlingen stoppen met rekenen, want dan moet de
oplossing zeker gekend zijn.
Waarschijnlijk komt er van enkele leerlingen protest omdat ze te weinig tijd kregen om het probleem op te lossen.
De leraar kan hier wijzen op de fouten die ontstaan zijn bij die leerlingen die probeerden exact de oppervlakte van
de kamer uit te rekenen.
Waarom ga je het exact uitrekenen? Wat staat er in de tekst? (heel vlug - ongeveer)
Bedenk nog eens situaties waarbij er ongeveer of heel snel moet gerekend worden (tellen van vogels die opvliegen,
tellen van deelnemers aan een betoging, ...).
HOOFDSTUK 1
1.4.2
DOELEN
VAARDIGHEDEN EN STRATEGIEEN
De leerlingen kunnen reflecteren op de eigen oplossingsweg.
Aspecten:
- ze kunnen verwoorden wat ze zelfstandig aankunnen/aankonden en waar ze hulp nodig
hebben/hadden tijdens het oplossingsproces;
- ze kunnen verwoorden hoe ze te werk zijn gegaan om tot een oplossing te komen;
- ze kunnen hun oplossingsweg en hun oplossing vergelijken met andere oplossingswegen en
oplossingen en zo adequate strategieën onderscheiden van minder adequate strategieën;
- ...
35
ET
5.4*
5
(leren leren)
Voorbeelden
Kleuters
Bij het bouwen van torens met dozen ervaren ze problemen als ze de kleine dozen onderaan plaatsen. Bij het
puzzelen (bv. strookpuzzel) ervaren ze dat de tekening niet klopt als ze een strook verkeerd plaatsen.
Lagere school: 8 j. en >
Probleem: er is een tekening gegeven waarop een jongetje naast een deur staat. Hoe groot is deze jongen van het
derde leerjaar in werkelijkheid?
Een leerling antwoordt: 1 meter.
Bij elk probleem zouden de leerlingen hun oplossing dienen te controleren. Welke controlemiddelen kunnen nu bij
dit probleem ingebouwd worden?
Bv.
deur in werkelijkheid meten en vergelijken: de lengte van de jongen is ¾ van de hoogte van deur:
deur = 2 m hoogte, dan kan de jongen onmogelijk 1 meter zijn. Hij moet groter zijn dan 1 meter
en kleiner dan 2 meter,
kan dit wel in de werkelijkheid? Ikzelf meet 1,45; het moet dan wel een erg kleine jongen zijn als
hij maar 1 meter zou meten,
...
Leerlingen die zo hun oplossing controleren, reflecteren niet alleen op de oplossing maar ook op hun
oplossingsproces.
36
1.4.3
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
De leerlingen kunnen reflecteren op hun eigen ontwikkeling op wiskundig gebied en hun
heuristisch denken.
Aspecten:
- ze weten dat het geheugen feilbaar is;
- ze kennen hun eigen sterke en zwakke kanten als probleemoplosser en houden hiermee rekening als
ze problemen oplossen: bv. bij het kiezen van een voor hen passende oplossingsweg;
- ze weten dat een min of meer complex probleem eerst op een lager beheersingsniveau
(schematiseren, materialiseren) kan worden opgelost;
- ...
ET
5.4*
6
(leren leren)
Voorbeelden
Lagere school: 6 j. en >
De leerlingen dienen de volgende vraag te beantwoorden i.v.m. hun wiskundige ontwikkeling van de afgelopen jaren
door de drie zinnen die het meest waar zijn aan te kruisen.
In een klasgesprek gaan de leraar en de leerlingen dieper in op de antwoorden. Wat voor de een waar is, is dat niet
altijd voor de ander.
Je hebt op school leren rekenen. Hoe komt dat?
O Mijn ouders helpen mij bij mijn sommen.
O Niemand weet precies hoe je leert, het gebeurt gewoon in je hoofd.
O In de klas moeten wij veel sommen maken.
O Ik probeer over een som na te denken.
O Ik ga altijd vroeg slapen.
O Ik heb met de getallenlijn leren rekenen.
O Ik heb met rekenblokjes leren rekenen.
O Ik heb met het rekenrek leren rekenen.
O Ik vind rekenen heel leuk.
O Ik heb leren schatten.
O Ik heb ook leren meten.
O De meester/juf legt de rekenles altijd goed uit.
O Ik reken dikwijls samen met anderen.
O Dat is moeilijk te zeggen: de ene heeft een rekenknobbel, de andere een taalknobbel.
HOOFDSTUK 1
1.4.4
DOELEN
VAARDIGHEDEN EN STRATEGIEEN
De leerlingen kunnen zich verplaatsen in een ander.
Aspecten:
- ze kunnen begrijpen hoe anderen te werk gingen bij het oplossen van problemen;
- ze kunnen fouten in oplossingen en oplossingswegen (van anderen) ontdekken, verwoorden en
verbeteren;
- ze kunnen als begeleider functioneren van andere, zwakkere, probleemoplossers;
- ...
Voorbeelden
Kleuters
Kleuters becommentariëren elkaar als ze samen iets doen:
- je moet dat zo doen bij het kleuren, bouwen,... ,
- “de voetjes moeten naar beneden” bij het puzzelen,
- “de grote blokken moeten in de groene bak” bij het opruimen,
- ...
Lagere school: 10 j en >
Aan de leerlingen wordt het volgende probleem aangeboden.
De Ronde van België telt 8 ritten van respectievelijk 165 km, 225 km, 275 km, twee van 195 km, 180 km, 105 km
en 55 km (een tijdrit).
Bereken de gemiddelde afstand die de renners per rit moeten afleggen.
De leerlingen dienen dit probleem op te lossen en te controleren met de juiste oplossing (165 + 225 + 275 + 195 +
195 + 180 + 105 + 55 = 1395 km / 1395 km: 8 = 174,3 km: de gemiddelde afstand per rit bedraagt 174,3 km.)
Daarna krijgen de leerlingen de volgende vraagjes.
Op de toets lossen enkele leerlingen het probleem fout op.
Kun jij hun fout ontdekken?
Hoe zou jij die leerlingen helpen?
a. Davy antwoordt: de gemiddelde afstand bedraagt 1743 km.
b. Sara lost het zo op:
De gemiddelde afstand bedraagt 150 km.
c. En dit lezen we in de schrift van Wim.
De gemiddelde afstand is 1614,3 km.
a. Davy: b. Sara: c. Wim: -
komma (decimaal teken) vergeten in de uitkomst
Hoe helpen? Controle laten uitvoeren, vragen of deze oplossing wel echt kan, ... .
Een rit van 195 km vergeten
Hoe helpen? Vraag aandachtig lezen en herlezen, de gegevens opschrijven, nagaan of ze wel 8
getallen heeft opgeschreven, want er zijn 8 ritten , ... .
cijferfout: 6 x 8 = 48; er is een rest van 11!
Hoe helpen? Hem zeggen of laten vinden dat de rest bij een deling nooit gelijk of groter kan zijn
dan de deler, opnieuw laten uitrekenen, laten narekenen met een zakrekenmachine, ... .
37
38
1.5
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
De leerlingen kunnen geleerde begrippen, inzichten, procedures, m.b.t. getallen, meten
en meetkunde efficiënt hanteren in betekenisvolle, realistische toepassingssituaties,
zowel binnen als buiten de klas.
Aspecten:
- ze kunnen in realistische probleemsituaties een wiskundig probleem herkennen;
- ze kunnen bij een probleemsituatie soepel de transfer maken naar geleerde begrippen, inzichten en
procedures uit de wiskunde;
- ze kunnen deze geleerde begrippen, inzichten en procedures soepel, handig en zinvol toepassen in
probleemsituaties;
- ze kunnen bij getalsmatige en meetkundige gegevens een concreet voorbeeld uit hun leefwereld
formuleren;
- ze kunnen „kale‟ wiskundige bewerkingen omzetten naar min of meer realistische probleemsituaties
en deze oplossen;
- ...
ET
4.2
3
(leren leren)
Voorbeelden
Lagere school: 6 j. en >
Men biedt de leerlingen verschillende realistische situaties aan. Zij moeten er een rekenkundige bewerking bij
vinden.
Bv.Op de bus zitten 5 mensen. Er stappen er 6 op.
Op de bus zitten 14 mensen. Bij de eerste halte stappen er 3 mensen af. Bij de tweede halte stappen er nog
eens 5 mensen af.
...
Lagere school: 10 j. en >
Oppervlakteprobleem:
Gegeven: drie vlakke figuren, niet-veelhoeken
Proficiat: jij bent op een of andere slinkse manier in het bezit gekomen van deze schatkaart. Op het kleinste eiland in
deze zee van het land Loam is de eeuwenoude piratenschat van zeerover Lin verstopt. Zoek het kleinste eiland en
volg dan nauwkeurig de bijhorende opdrachten op de achterkant van deze schatkaart.
De leerlingen kunnen dit probleem op verschillende manieren aanpakken en deze verwoorden, bv.
- de tekeningen beleggen met één frank-stukken en deze tellen;
- de tekeningen overbrengen op roosterpapier (centimeter- of millimeterpapier) en de som maken van de hele cm²
en de halve cm² of de cm² tellen die volledig binnen de figuur vallen en de cm² tellen die gedeeltelijk binnen de
figuur vallen en deze voor een halve cm² nemen of de cm² tellen die volledig binnen de figuur vallen-van de
andere hokjes volledige cm² maken; hiervan het gemiddelde nemen;
- de niet-veelhoeken omtrekken met veelhoeken of in de niet-veelhoeken veelhoeken tekenen die de juiste
oppervlakte benaderen;
- de juiste schaal gebruiken en de werkelijke afmetingen schatten;
- ...
Een leerling kan de niet-veelhoek verdelen in veelhoeken die de oppervlakte benaderen omdat hij / zij de
oppervlakteformules kent en kan toepassen.
Een andere leerling voelt zich beter met het werken op ruitjespapier en kiest voor een telaanpak, omdat hij de
oppervlakte van bv. een trapezium nog niet kan of niet meer kan berekenen.
HOOFDSTUK 1
DOELEN
VAARDIGHEDEN EN STRATEGIEEN
1.6 De leerlingen kunnen met concrete voorbeelden uit hun leefwereld verwoorden welke de rol en
het praktisch nut van wiskunde is in de maatschappij.
ET
4.3
Aspecten:
- ze kunnen verwoorden dat wiskundige aspecten in verkeerssituaties (bv. wegwijzers,
stijgingspercentage) hen helpen in het verkeer;
- ze kunnen verwoorden dat uurtabellen (tv-programma‟s) nuttig zijn;
- ze kunnen verwoorden dat geld een handig ruilmiddel is;
- ze kunnen verwoorden dat getallen (bv. op genummerde kaarten bij een toneelvoorstelling, een
voetbalwedstrijd) een hulpmiddel zijn om evenementen vlotter te laten verlopen;
- ze kunnen verwoorden dat communicatie tussen personen in sommige gevallen duidelijker, vlotter,
exacter, ... verloopt door het gebruik van getallen (bv. gebruik van paginanummering om iets op te
zoeken in een encyclopedie, huisnummers, ...);
- ...
Voorbeelden
Lagere school: 8 j. en >
Op een werkblad worden aan de leerlingen pictogrammen, die illustreren wat de leerlingen al leerden, aangeboden.
De leerlingen dienen bij de pictogrammen te verwoorden waarvoor ze de uitgebeelde wiskundige procedure in de
werkelijkheid nodig kunnen hebben.
Bv.
klok
kloklezen: uur van aanvang tv-programma‟s in krant opzoeken
geld
betalen in de winkel
lengtematen bij het spel op de speelplaats/het speelplein de penaltystip bepalen.
39
40
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
2
Wiskundeattitudes
2.1
Waardering voor menselijke inventiviteit
De leerlingen brengen waardering op voor wiskunde als dimensie van menselijke
inventiviteit.
ET
5.1*
Wiskunde is een product van de menselijke geest, waarmee de omringende wereld beter kan
geordend worden. Dat wiskunde niet in de werkelijkheid zelf gegeven is, maar door mensen
geconstrueerd, wordt slechts bewustgemaakt bij kinderen wanneer ze zelf ervaren dat de wiskunde,
die ze hanteren, toch niet zo evident is. Vaak brengen we in onze opvoeding (en onderwijs) kennis
over alsof daar niet een lange zoektocht aan voorafgegaan is, alsof er geen keuzes konden gemaakt
worden waar mensen in de loop der geschiedenis geprobeerd hebben een soort „beste‟ keuze te
maken.
Oog krijgen voor de menselijke inventiviteit achter de wiskunde zal slechts bereikt worden door de
kinderen zelf inventief te laten zijn op wiskundig gebied. Pas als ze zelf allerlei maten hebben
uitgeprobeerd om een lengte af te passen, zullen ze waardering kunnen opbrengen voor het metriek
stelsel van geijkte maten. Het is ook interessant kinderen zelf voorstellen te laten formuleren om tot
een standaardmaat te komen en dat te vergelijken met hoe de meter (tienmiljoenste deel van de
afstand van pool tot evenaar via Parijs) ontstaan, geijkt en verspreid is.
Heel wat historische anekdotes (Archimedes in zijn bad bv.) kunnen voor kinderen meer betekenis
krijgen via deze „re-invention‟-didactiek: de Romeinen hadden geen symbool voor nul, probeer eens
de getallen tot 100 te schrijven zonder dat symbool. Confrontatie met de Romeinse cijfers is ook
interessant om de waarde van het positiestelsel te vatten. We kunnen kinderen ook eens laten
zoeken hoe ze met andere dan het tientallig systeem zouden werken: laat ze maar eens zoeken op
mogelijke cijfersymbolen voor een twaalftallig, twintigtallig of zestigtallig systeem. Kunnen ze
daarbij voortbouwen op de logica achter de Arabische cijfers (het aantal hoeken dat de symbolen
vormen) om een symbool te maken voor 10 en 11, bv. in een twaalftallig positiesysteem.
Uit : De Boever, 1995, p.217
Ook andere codes die niet rechtstreeks met getallen te maken hebben, maar waar een wiskundig
patroon kan in gevonden worden, lenen zich tot „heruitvinding‟ of eigen variaties (brailleschrift,
morsetekens, streepjescode ...). Het ontwerp voor blindenschrift van de 9-jarige Murat bracht zijn
klas overigens op andere wiskundige vragen zoals: hoeveel dergelijke letterpatronen kunnen we
maken met 2 stippen, hoeveel verschillende patronen met deze 3 x 2-structuur zijn er te maken ... .
HOOFDSTUK 1
DOELEN
ATTITUDES 41
Een vraag als “Hoe zit dat met die schrikkeljaren?” kan aanleiding zijn om zelf een kalender uit te
werken. Kunnen we dat mooier maken zonder schrikkeljaren, met ronde getallen ... - en hoe is men
tot de huidige kalender gekomen? Waardering voor de inventiviteit van de mens in de geschiedenis
van de wiskundige oplossingen voor concrete problemen, zal telkens ontstaan vanuit eigen activiteit
van kinderen waarvan de resultaten geconfronteerd worden met de historische vondsten. Die eigen
wiskundige activiteit is trouwens essentieel bij de ontwikkeling van zowel wiskundige kennis,
vaardigheden als attitudes. We zullen er dan ook herhaaldelijk op terugkomen.
2.2
Kritische houding
De leerlingen ontwikkelen een kritische houding ten aanzien van allerlei
cijfermateriaal, tabellen, berekeningen waarvan in hun omgeving bewust of onbewust,
gebruik (misbruik) gemaakt wordt om mensen te informeren, te overtuigen, te
misleiden, ... .
ET
5.2*
Informatie wordt vaak doorgegeven via cijfermateriaal. Daarbij is het ook mogelijk mensen die niet
zo‟n goed doorzicht hebben in die wereld van getallen, iets te laten geloven dat door de
cijfergegevens niet aangetoond of geïllustreerd wordt. Een goed begrip van het wiskundig materiaal
is dus een eerste vereiste om kritisch te kunnen staan t.a.v. de opvattingen of (zogezegde) feiten die
men ermee wil overdragen.
Voortdurend worden kinderen en volwassenen met getallen geconfronteerd, waarvan ze de
betekenis maar half snappen. Dat begint al bij de 6 à 7-jarige, bv. die fier zijn nieuwe schoenen laat
zien in de klas en erbij vertelt dat hij al maat 32 heeft. Waarom zouden we de kinderen die schoenen
(en van andere leerlingen) eens niet laten nameten? Of nemen we zomaar aan dat het om cm gaat
i.p.v. om „Franse steken‟ van 2/3 cm (maat 32 is dan iets meer dan 21 cm ...). Gaan we ons geen
vragen stellen bij het krantenbericht dat ons meldt dat de trillende ramen die ons vannacht wakker
maakten een gevolg waren van een lichte aardschok (3,7 op de schaal van Richter). Het is toch ook
niet gek als we willen te weten komen wat de betekenis van het getal is, dat we intikken om op de
tekstverwerker de grootte van de letters te kiezen (puntgrootte). En wat bedoelde onze weervrouw
met die zware storm van meer dan 10 Beaufort die gisteren die vissersboot deed kantelen? Eigen
onderzoek van de leerlingen (schoenen of lettergroottes nameten en vergelijken met de opgegeven
maten) kan ons al een eind op weg helpen. In andere gevallen zal de leraar of een andere
informatiebron (bv. het boekje van M. Blocksma en H. Van Maanen, De schaal van Richter en
andere getallen, 1992) moeten bijspringen. Het belangrijkste is hierbij hoe dan ook dat we altijd
proberen te achterhalen wat er achter de getalleninfo steekt, dat we het betrekken op iets dat we wel
al kennen of kunnen vatten (cm of km/u. bijvoorbeeld). Verder is het ook niet onbelangrijk te
beseffen dat berichten die bewerkingen met getallen inhouden (bewust of onbewust) fout kunnen
zijn.
Kunnen deze berichten waar zijn?
- De proloog van de Tour werd door Zülle gewonnen met een voorsprong van 1 sec. Na 8,9 km
klopte hij Berzin dus met een verschil van nog geen 2 meter.
42
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
- De officiële wapenuitvoer naar Ruanda is sedert het conflict in Oost-Zaïre met 200 % gedaald.
Ook interessant is de analyse van reclameboodschappen. Wanneer gaat men cijfermateriaal gebruiken, wat poogt men daarmee aan te tonen, te bereiken bij de ontvanger van de boodschap, is de
juistheid te controleren, geeft men grafische voorstellingen (is dat de enig mogelijke voorstelling) ...
. Leerlingen worden kritischer en doorgronden deze technieken beter, wanneer ze zelf kunnen
proberen met een bepaald doel wiskundige gegevens te manipuleren.
Het doorprikken van de schijn van objectiviteit die aan cijfermateriaal wordt toegekend is ook een
belangrijk aspect van de ontwikkeling van een kritische houding. Om dat met de kinderen te
bespreken kunnen we hen bv. zelf eens punten laten geven op een dictee en op een tekening. Wat
betekent 6 op 10 in het ene en in het andere geval? Is dat even objectief? Wat betekent het
gemiddelde van alle beoordelingen? Tot op hoeveel cijfers na de komma zouden we dat uitrekenen?
Een echt kritische houding zal pas vanaf 10 jaar kunnen ontstaan. Maar de daarmee gepaard gaande
(of voorafgaande) gerichtheid op begrijpen en controleren van informatie en manipulatie (bewerkingen) met getallen kan al veel vroeger.
2.3
Wiskunde is voor iedereen toegankelijk
De leerlingen ervaren dat bezig zijn met wiskunde een actief en constructief proces is
dat kan groeien en uitbreiden als gevolg van eigen denk- en leeractiviteiten; ze
ontwikkelen bijgevolg de opvatting dat alle leerlingen wiskundige bekwaamheid
kunnen verwerven die kan leiden naar studies en beroepen waarin wiskunde aan bod
komt.
ET
5.3*
Kinderen ervaren in de klas of ze het met rekenen moeilijk hebben of niet, ze weten ook vlug van
elkaar wie de goede en de zwakkere rekenaars zijn. Dit kan bij die zwakke rekenaars tot een
vicieuze cirkel leiden: hun zwakke prestaties tasten het zelfvertrouwen aan, daardoor geven ze het
vlug op nieuwe dingen te begrijpen, daardoor presteren ze weer zwak ... .
Leraren die daar attent op zijn zullen pogen die neerwaartse trend op alle mogelijke manieren te
doorbreken, in de eerste plaats door wiskundeactiviteiten zo te kiezen dat iedereen daarbij succes
ervaart. Dat kan door opdrachten te differentiëren, aan te passen aan waar een leerling op dat
moment staat. Maar dat kan zeker ook door geregeld de klas te laten werken aan wiskundige
opdrachten waarbij het best kan gebeuren dat zwakkere rekenaars meer succesvol zijn. Het is niet
ondenkbaar dat kinderen die wat meer moeite hebben met de systematisch opgebouwde wiskundige
leerlijnen (het getallensysteem en de procedures voor de bewerkingen bv.), toch inventiever zijn bij
het oplossen van andere problemen, die toch ook duidelijk herkenbaar wiskundig van aard zijn.
Voorbeeld: In een klas 8- en 9-jarigen werd onderstaand probleem opgelost. Probeer een vierkant zo
te verdelen, dat elk deeltje terug een vierkant is. De deelvierkantjes
moeten niet gelijk zijn. Sommige verdelingen zijn gemakkelijk: bv. in 4
of in 9.
De vraag is: kan je dat ook met 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, ... .
Teken elke verdeling die je gevonden hebt.
Zoek een regel of een systeem zodat je onmiddellijk kan antwoorden op de vraag : kan het met 23,
of met 57, ... (Heyerick, 1989).
De twee grote doorbraken in de oplossing, nl. 4 + 3 = 7
en
6
werden aangedragen door kinderen die op de rekentoetsen in de klas eerder zwak presteerden. Deze
constatatie bevestigde het commentaar van Freudenthal (1982) aan wie dit probleem ontleend werd:
HOOFDSTUK 1
DOELEN
ATTITUDES 43
“Aan een Franse universiteit stelden heuristiekonderzoekers (wat zijn dit?) aan vierdejaars
wiskundestudenten in groepen van vier dit probleem. Tot 10 speelden ze het klaar; met 11 lukte het
44
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
hen niet meer. Ik gaf het vraagstuk aan een derde klas lagere school uit de Parijse „banlieu‟. De 8jarigen speelden klaar wat de wiskundestudenten niet was gelukt; ze losten het probleem helemaal
op. Iets voor u en voor de kinderen onder uw hoede?” (p.217)
Er leven in schoolverband soms ook hardnekkige vooroordelen t.a.v. het wiskundig presteren van
groepen leerlingen, bv. “wiskunde is niets voor meisjes” of “Turkse kinderen leren niet goed
wiskunde”. Dergelijke vooroordelen bestaan misschien ook al in de basisschool, maar kunnen daar
meestal op het niveau van de klas al doorbroken worden. Laat de kinderen maar wat tabellen
opmaken van de wiskundetoetsen in de klas en die interpreteren vanuit deze vragen: zijn jongens
beter dan meisjes in wiskunde? Als het bij onze klas (gemiddeld genomen) waar is, geldt het voor
alle meisjes, voor alle onderdelen van wiskunde, weten we nu of dat ook in andere klassen zo zou
zijn ... . Hetzelfde kan je doen met een vergelijking tussen Vlaamse en verschillende groepen
allochtone kinderen als die in de klas aanwezig zijn. Dit is terzelfder tijd een aanleiding om in te
gaan op de problemen die (sommige) allochtone kinderen in het wiskundeonderwijs ondervinden:
bv. de getal-taalverbinding (twintig-één i.p.v. éénentwintig), andere algoritmes voor cijferen in hun
cultuur, moeilijke taal bij vraagstukken ... (Van Amersfoort, 1995).
2.4
Plezier in wiskunde
De leerlingen ontwikkelen zelfvertrouwen doorheen hun wiskundig bezig zijn zowel
op school als daarbuiten. Daardoor is de kans groter dat ze plezier beleven in
wiskundige activiteiten.
ET
6
(leren leren)
Omgaan met problemen is de essentie van het wiskundig bezig zijn. Wanneer kinderen er geregeld
in slagen wiskundige problemen op te lossen, alleen of in groep, ontwikkelen ze als vanzelf de
nodige dosis zelfvertrouwen om ook nieuwe problemen aan te pakken. In dat geval moeten ze niet
extra gemotiveerd worden, ervaren ze wiskunde niet in de eerste plaats als iets moeilijks, maar als
aan-genaam. Dan wordt wiskunde een spel.
Dat spelelement kan trouwens expliciet in het wiskundeonderwijs opgenomen worden. Soms is dat
om de saaie pil van bv. inoefening en herhaling te vergulden. Dat dit lukt zien we wanneer
leerlingen de tafels inoefenen aan de hand van een of ander computerspel. Maar veel belangrijker
zijn die spelen die een wiskundig probleem bevatten. Dat kunnen individuele rekenpuzzels zijn,
zoals dit bv. (Speelpenning, 1986, p.244):
Aan de acht ribben van de piramide zitten
balletjes. Daarin mag je getallen invullen. Je kan
kiezen uit de getallen tussen 1 en 10. Elk getal
mag maar een keer gekozen worden. Twee van de
tien getallen mogen niet meedoen.
Je moet proberen de getallen zo te plaatsen dat de
getallen op de balletjes van de ribben die in een
hoekpunt samenkomen opgeteld 16 zijn.
Als je in plaats van 16 een totaal van 18 maakt is
er ook precies een oplossing. Waarschijnlijk
mogen er dan andere getallen niet meedoen, al
weet je dat vooraf niet zeker...
ZOEKEN MAAR !!!
HOOFDSTUK 1
DOELEN
ATTITUDES 45
Er zijn ook heel wat strategiespelen (dammen, schaken, vier op een rij ...) die een wiskundige
(meetkundige) ondergrond hebben. Het zoeken van een winnende strategie doet een beroep op heel
wat vaardigheden en attitudes die ook bij het oplossen van andere wiskundige problemen aan bod
komen. We denken aan: durven proberen, systematisch en planmatig werken, bewust keuzes maken,
evalueren en terugkoppelen, structureren of ingebouwde structuur herkennen, ... .
We geven nog enkele voorbeelden van strategiespelen die vooral bij oudere kinderen de
structureringstendentie zullen aanwakkeren.
- Voorbeeld 1: Broekman, 1986, p.19
x
0
x
0
Speler A heeft de fiches X, speler B de fiches 0. Het enige dat een speler, die aan de beurt is, mag doen is
één fiche een of meer plaatsen voor- of achteruit verplaatsen.
Springen is niet toegestaan. Twee fiches op één hok mag niet, veranderen van „baan‟ is evenmin
toegestaan. Degene die geen fiche meer kan zetten, heeft verloren.
De motivatie om bij dit spel een winnende strategie te zoeken, verhoogt door de vakken op de
grond te tekenen en de fiches te vervangen door telkens 2 kinderen.
- Voorbeeld 2: Varianten van het Oud-Chinese NIM-spel.
Van een stapel voorwerpen mogen er om beurt een aantal weggenomen worden (maximum
vooraf te bepalen). Wie het laatste moet wegnemen, verliest.
- Voorbeeld 3: Getallen maken. Elke speler gooit om beurt met een dobbelsteen en schrijft het
speler A
speler B
aantal ogen in een van de 3 vakken. Wie na 3 keer gooien het grootste getal heeft, wint.
Dit laatste is een voorbeeld van een spel dat niet enkel op strategie maar ook op kans gebaseerd is,
zodat de strategie minstens met het kanselement rekening moet houden. De meeste spelen met
kaarten (eenentwintigen bv.) of dobbelstenen (yahtzee bv.) zijn van die aard. Het interessante
daaraan is dat ook kinderen die zwakkere strategieën hanteren, af en toe kunnen winnen, succes
ervaren en zo geleidelijk aan ook meer plezier in wiskundige activiteiten kunnen krijgen.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
Hoofdstuk 2:
1
WERKEN MET CONTEXTEN
45
DIDACTISCHE KATERNEN
Werken met contexten
Voorwoord
Het onderstaande versje van G.W. Lovendaal is zeker niet zomaar uit de lucht gegrepen en alleen
maar wegens het leuke woordenspel neergeschreven. Het houdt een boodschap in.
Lees maar.
Huiswerk
Die nare sommen, wat verdriet!
Ik kan ze niet en 'k maak ze niet!
Ze denken maar dat je alles weet
En nooit een snars vergeet.
Je hebt tienduizend kapitaal ...
Dat lees ik nu al twintig maal
Tienduizend gulden, ik? ... da's lak
Ik heb geen duit op zak.
Laat A maar zoeken naar zijn procent,
Scheelt jou het, als je platzak bent?
't Zijn goocheltoeren met een breuk,
Nooit vin-je'reis: die's leuk.
Die nare sommen, wat verdriet!
Ik kan ze niet en „k maak ze niet!
En buiten schijnt de zon zo blij ...
Is dat geen plagerij?
G.W. Lovendaal
Het is niet moeilijk de opgave achter dit versje te vinden.
Duidelijk is dat hier de leerstof centraal staat en daardoor de opgave geen realiteitswaarde inhoudt
voor het kind.
Werken met contexten kan hieraan verhelpen.
Dat contexten reeds vroeger gebruikt werden, blijkt uit volgende opgave in een rekenboek uit de
16de eeuw van Peter van Halle.
Daer syn twe ghesellen die tsamen over wech wandelde den welke den eenen van hun beijden ter
sijen gaende sijn water maecte aen eenen gracht soe siet hij bij ghelucke int water een sacxken
welck hi vuttreckende vint daer inne 6448 gouden croenen welck den anderen gheselle siende
coemt hij terstont gheloepen willende hebben die helft van den voirschreeuen ghelde oft en is
des niet soe wilt hijs den heere van dien lande ouerdraghen welck den anderen hem toelaet
beloeuende hem die helft te gheuene op dat hijt niemanden seggen en soude soe dan is nu die
vraeghe hoe veel dat elck hebben sal van dien ghevonden ghelde
46
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
Een vrije vertaling luidt:
“Twee vrienden maken een wandeling. Eén van beiden krijgt hoge nood en watert in een gracht.
Daar vindt hij een zak met 6448 gouden kronen. Zijn vriend dwingt hem de buit met hem te
delen, anders zal hij de eigenaar van de grond van de vondst op de hoogte brengen. De gelukkige
vinder kan niets anders doen dan instemmen. Hoeveel krijgt ieder?”
Uit dit traktaat van Peter van Halle is duidelijk dat hij zich richtte tot de gewone lezer, die
vraagstukjes uit de alledaagse werkelijkheid van de zestiende eeuw wilde oplossen.
Vaak gaat het bij hem om praktische, realistische contexten.
De zestiende-eeuwse vraagstukjes zouden ook passen in het hedendaagse rekenonderwijs, waarbij
reële contexten worden gebruikt om de wiskundige inhouden die aan de orde komen betekenis te
geven voor de kinderen. Werken met contexten houdt didactisch gezien een forse koerswijziging in.
In deze katern willen we laten zien wat deze koerswijziging concreet inhoudt.
1.1
Wat zijn contexten?
In onze visie speelt het idee dat uitgegaan moet worden van contexten, een centrale rol. Globaal
gezien bedoelen we daarmee dat kinderen, bij de keuze en uitvoering van hun rekenhandelingen,
steun moeten kunnen vinden in een voor hen betekenisvolle omgeving. Zo'n omgeving ondersteunt
het proces van betekenisverlening aan woorden of handelingen.
Bij kleine kinderen is het zo, dat zij heel dikwijls nog een concrete situatie als context nodig
hebben, om te begrijpen wat volwassenen bedoelen. In de loop van hun ontwikkeling gaan zij zich
wel geleidelijk van de concrete situatie losmaken maar de gebondenheid aan contexten blijft.
Zonder context is een betekenis niet te achterhalen of over te dragen. Het is bijvoorbeeld moeilijk,
zonder context, de juiste betekenis aan het woord 'tafels' te geven. 'Tafels' zijn in de rekenles geen
gewone dingen waar je kan aan eten, schilderen of tekenen maar rijtjes 'keer'-sommen. En welke
betekenis geven we dan aan het woord 'meer'? Bedoelen we nu „bijdoen‟, „een groot water‟, „niet
evenveel‟, „sterker‟, „een merrie‟ of nog iets anders?
Een algemene en sluitende omschrijving geven van het begrip 'context' is moeilijk, omdat contexten
onderling sterk kunnen verschillen naargelang van de functie die ze in het onderwijsleerproces
vervullen en naargelang van de vroegere ervaringen en beschikbare kennis. En die verschillen nog
wel eens bij kinderen.
Als we in de klas werken met tekstopgaven, proberen we situaties uit de wereld van de kinderen te
gebruiken. Maar in een tekst kunnen we niet alles van een situatie beschrijven. Meestal blijft er veel
ruimte om nog van alles aan te vullen of er zelf bij te bedenken op basis van eigen ervaringen,
kennis of fantasie. En dat is nu juist de context.Contexten bestaan niet alleen uit wat in de opgave
(de tekst) staat, maar ook uit wat de situatie oproept.
Bij het werken met contexten wordt de ervaringskennis van kinderen gemobiliseerd en bovendien
geeft ze betekenis aan hun eigen handelen.
Nelissen en van Oers (1990) geven, vermits een precieze omschrijving niet mogelijk is, een
voorlopige werkdefinitie: “een context is een voor kinderen een aansprekelijke en in principe
herkenbare situatie, die werkelijk maar ook fictief kan zijn en die bij de kinderen ervaringskennis,
bijvoorbeeld op wiskundig gebied, oproept, welke de betekenisverlening aan het eigen handelen in
de situatie ondersteunt.”
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
WERKEN MET CONTEXTEN
47
Er zijn een aantal verschillen tussen de klassieke vraagstukken en contextopgaven.
- Een vraagstuk geeft soms een verschraalde werkelijkheid, waaraan elke zin ontbreekt.
- Een vraagstuk dringt kinderen zijn (taal)structuur op; in een context kunnen kinderen hun eigen,
alledaagse taal gebruiken.
- Een vraagstuk schrijft vaak de oplossingsmanier voor, terwijl een context een open structuur
heeft. Kinderen mogen bij contexten hun eigen strategie kiezen en die mag aansluiten op hun
alledaagse oplossingsmanieren en handelingen.
- Klassieke vraagstukken zijn vaak toepassingen achteraf; contextopgaven kunnen ook heel goed
een introductie van het probleem zijn.
Een context is een zinvolle en inleefbare situatie, gebaseerd op de realiteit.
De context zelf hoeft echter niet altijd reëel te zijn. Een context kan ook een fantasiegebeurtenis
zijn, een gefingeerde locatie of een andere wereld. Er wordt een levensecht probleem geanalyseerd
en opgelost. De realiteit, de ervaringen die kinderen in de dagelijkse leefwereld opgedaan hebben,
en de geschetste situatie spelen in het oplossingsproces samen een rol.
Kenmerkend voor een context is de ruimte voor eigen inbreng van de kinderen, dat wil zeggen voor
een eigen interpretatie van de situatie en voor eigen oplossingswijzen en soms ook voor eigen
oplossingen en antwoorden. Net als in de werkelijkheid van alledag zijn er ook op het gebied van
rekenen/wiskunde problemen waarvoor verschillende oplossingen mogelijk zijn.
Het doel van een context is niet alleen het ontdekken van wiskundige relaties, maar vooral ook het
betekenis-geven aan die wiskundige relaties.
Eerst even een voorbeeld van een contextopgave waarin duidelijk ruimte is voor reële verwegingen.
We gaan met de twee zesde leerjaren van onze school op leeruitstap. Nu overleggen we samen
hoe we dit het best organiseren. Zo moeten we bijvoorbeeld beslissen of we met de trein of de
bus zullen gaan.
Deze context biedt enorm veel mogelijkheden tot wiskundig onderzoek en nodigt uit tot interactie.
Vooreerst kunnen er heel wat vragen worden gesteld, zoals:
1 Wat is het voordeligst, bus of trein?
2 Hoeveel tijd hebben we nodig voor de verplaatsing
a) met de trein?
b) met de bus?
3 Welke voordelen zijn er volgens jou
a) aan het reizen met de trein?
b) aan het reizen met de bus?
Bovendien zullen kinderen met elkaar moeten bespreken welke gegevens ze moeten bijeenbrengen
om de situatie te kunnen onderzoeken.
Bij dit voorbeeld kunnen we spreken over een rijke context en wel om volgende redenen:
- kinderen kunnen hier hun eigen kennis, ervaring, ... met betrekking tot deze situatie activeren en
gebruiken;
- in het uiteindelijke antwoord kan er ook rekening gehouden worden met overwegingen die niet
rechtstreeks te maken hebben met de uitkomst van de uitgevoerde berekening;
48
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
-
andere criteria zoals comfort, persoonlijke voorkeur, ... kunnen eveneens in aanmerking
genomen worden.
Hoe sterker dus de context meespeelt hoe rijker het probleem.
Soms is het nodig het leerproces te sturen. Een ingeperkte context is dan aangewezen.
Een voorbeeld (Treffers, de Moor en Feijs,1989)
Op een ouderavond van de school komen 81 ouders. Aan één tafel kunnen zes ouders zitten.
Hoeveel tafels moeten er geplaatst worden?
De oplossingsmethoden uit één klas van zeventien leerlingen uit de tweede graad zijn de volgende.
- Zeven leerlingen tellen herhaald op '6+6+6+6+...' of '6,12,18,...' of lopen de tafelrij af '1x6=6,
2x6=12, 3x6=18,...'
- Zes leerlingen rekenen verkort. Ze nemen eerst '10x6=60' en rekenen vervolgens vanaf 60
verder, soms via optellen, soms via vermenigvuldigen.
- Eén leerling weet dat '6x6=36'. Vervolgens verdubbelt hij 36 en daarna plaatst hij er nog twee
tafels bij.
- Van drie leerlingen is niet te achterhalen hoe ze tot hun resultaat kwamen.
In de nabespreking brengt de leraar de drie genoemde oplossingsmethoden naar voren. Afgewogen
wordt, welke oplossingswijze het meest efficiënt is. Hoe kan de oplossing het snelst worden
gevonden?
In een tweede fase wordt door de leraar het staartdelingsschema geïntroduceerd.
Later kan ook met kale rekensommen worden geoefend. Maar de hiervoor geschetste
contextopgaven blijven dan wel op de achtergrond staan. Al rekenend worden de leerlingen
aangespoord zich de ouderavond weer voor de ogen te halen. De procedurehandelingen krijgen als
het ware een concrete achtergrond en controle op en sturing van het rekenwerk blijven mogelijk.
Ook worden kinderen in de gelegenheid gesteld zelf opgaven te bedenken.
Op het allerhoogste niveau kan ten slotte de structuur van de staartdeling zelf tot onderwerp van
onderzoek worden gemaakt.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
WERKEN MET CONTEXTEN
49
Waar komen nu die contextproblemen vandaan?
Contextopgaven kunnen meestal bestaande, regelrecht uit het leven gegrepen stukjes tekst zijn (een
verhaal, een interview, een krantenknipsel, een reclamefolder, een prentenboek, ...) waarover één of
meer interessante kwantitatieve vragen kunnen worden gesteld. Bovendien worden de gegevens
vaak niet louter in tekstvorm gepresenteerd; er wordt daarnaast gebruikgemaakt van foto's, prenten,
tabellen, figuren, ... .
50
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
Uiteraard kunnen we zelf ook sleutelen aan opgaven om er contextrijke toepassingen van te maken.
We geven een voorbeeld hoe je van een kale rekensom over een ingeklede bewerking en een
vraagstuk tot een rijke context komt.
We kijken hoe we dat kunnen doen.
a) kale rekensom
2 % van 9500 =
b) allerlei variaties van ingeklede bewerking tot vraagstuk
-
ingeklede bewerking
Verkoopprijs is 9500 fr.
Bij contante betaling -2%
Wie deze opgave wil oplossen, moet de gebruikte woorden begrijpen. 'Verkoopprijs',
'contante betaling' hebben een zeer bijzondere betekenis.
Je zou dezelfde opgave net zo goed anders kunnen zeggen.
-
vraagstuk
In het Rijwielpaleis staat een prachtige fiets voor 9500 fr. De verkoper vertelt je dat je
bij directe betaling ook nog 2% minder hoeft te betalen. Hoeveel moet er in je spaarpot
zitten als je de fiets direct wil betalen?
Of, als je er een 'echt' probleem van wilt maken:
c) rijke context
Stel je voor, je mag van je spaargeld een fiets kopen. Nu heb je er een zien staan in het
Rijwielpaleis en een in het Fietsencenter. Ze zijn allebei hetzelfde, maar in het
Rijwielpaleis is de prijs 9500 fr. Daar mag je bij directe betaling nog 2% in mindering
brengen. In het Fietsencenter krijg je die korting niet maar daar staat op het prijskaartje:
9200 fr. Wat zou je doen en waarom?
Je merkt, dat er in het laatste geval sprake is van een inleefbare situatie. Dat kan ertoe leiden dat er
bij kinderen andere vragen opkomen. Bijvoorbeeld: wie geeft de beste service? Of: welke winkel is
het dichtstbij? De open vraagstelling moet in feite dit soort nieuwe vragen oproepen.
De leraar die zich heeft voorgenomen ook het reken-wiskundeonderwijs aan de kleuters realistisch
in te richten, zorgt ervoor dat de rijke contexten van het dagelijks leven deel uitmaken van de
leeromgeving. De leeromgeving van kleuters wordt namelijk gevormd door het leven van alledag:
thuis, op straat, in de school, in de zandbak, in de supermarkt,... Alledaagse gebeurtenissen leveren
steeds weer nieuwe ervaringen en gelegenheden tot ontwikkeling op. Zo ook op het gebied
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
WERKEN MET CONTEXTEN
51
van rekenen-wiskunde. De dagdagelijkse activiteiten in de klas zoals: winkeltje spelen, spelen in de
poppenhoek of in de bouwhoek, ..., bieden enorme mogelijkheden om wiskundig actief te zijn.
Soms is het ook in het kleuteronderwijs wenselijk om systematischer terug te keren op bepaalde
contexten en wiskundige aspecten.
De kleuteronderwijzer kan hierbij o.m. een beroep doen op prentenboeken. Kleuters zijn immers
geboeid door prentenboeken. Ook deze scheppen heel wat kansen om wiskundig bezig te zijn. Wat
kleuters fijn vinden om te doen, zien ze ook graag in de verhalen en illustraties terug. Zo beschouwd
kunnen prentenboeken enerzijds de kleuterwereld weerspiegelen, anderzijds kunnen ze hun wereldje
verrijken. Prentenboeken scheppen dus een inspirerende leeromgeving.
Hoe kunnen we te werk gaan?
Als voorbeeld nemen we het prentenboek 'Doe maar mee' van Quentin Blake en vertaald door
Willem Wilmink.
De tekst luidt als volgt:
We kunnen dit prentenboek als uitgangspunt van een activiteit nemen. Dit betekent dan dat de
rekenactiviteit meer specifieke aandacht krijgt door middel van probleemstellingen, vragen,
conflictsituaties (wiskundige), materialen en onderzoeksopdrachten bij het verhaal en de prenten.
Met de prent 'keukenpannen soort bij soort' kan een activiteit 'sorteren' geïntroduceerd worden.
52
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
Het prentenboek 'Met tien in bed' van Penny Dale kan als context dienen voor het introduceren van
het tellen in dalende orde.
Als oefencontext voor de begrippen 'kleiner en groter' kan dan weer het prentenboek 'Klein in de
grote wereld' goed gebruikt worden. Het is van de hand van Svend Otto S., vertaald door Th. van
Yperen.
HOOFDSTUK 2
1.2
DIDACTISCHE KATERNEN
WERKEN MET CONTEXTEN
53
Functies van contextopgaven
Contexten hebben verschillende functies.
1.2.1 De zingevende en begripsvormende functie van een context
Een context kan betekenis geven aan een wiskundige structuur, procedure of strategie.
De zingevende functie zit hierin, dat de kinderen het contextprobleem herkennen als een probleem
uit hun eigen leefwereld of kunnen vertalen naar een voor hen zinvolle (bekende) situatie.
Getallen kunnen bijvoorbeeld plotseling veel meer zeggen als ze gekoppeld worden aan een
concrete situatie. Een los getal als 15 hoeft een kind niet veel te zeggen. Maar 15 mensen vóór je in
de supermarkt is een heleboel. Daartegenover is 15 punten behalen op een toets heel weinig als je
weet dat het maximaal aantal punten 100 was.
Wanneer kinderen een bepaalde leergang aanvatten, bezitten ze vaak al een intuïtieve kennis en
informele vaardigheden die kunnen worden benut om de beoogde formeel-wiskundige concepten en
procedures te ontwikkelen. Contexten hebben een begripsvormende functie wanneer we kinderen
confronteren met situaties die een beroep doen op deze intuïtieve, informele kennis en
vaardigheden, maar die tegelijk de kinderen uitnodigen tot het vormen van de beoogde meer
formele begrippen of procedures.
Hierna geven we een voorbeeld van een context als introductie voor de vermenigvuldiging.
Een knecht is er met een zak goudstukken op uitgestuurd om pinda's te kopen voor de sultan.
Samen met een aantal andere knechten trekt hij van stad tot stad, maar nergens zijn pinda's te
krijgen.
Dan eindelijk weet een van de knechten de hand te leggen op een grote voorraad pinda's. Vol
trots snelt hij naar de andere knechten toe met acht kamelen beladen met kisten pinda's. Elke
kameel draagt precies zes kisten.
"Morgen komt de koopman zijn geld ophalen", zegt die ene knecht. "Maar wat gaat dat kosten?",
vragen de anderen bezorgd.
"Oh, vier goudstukken per kist", zegt die ene knecht. "Dat kan nooit zoveel zijn."
"Eh... nee, nee", zeggen de anderen onzeker.
Die nacht proberen de knechten samen uit te zoeken of ze genoeg goudstukken hebben. Ze
hebben alle munten op de grond uitgespreid, maar ze komen er maar niet uit... .
Uit: Gravemeijer, K., 1983-1987
Het verhaal is bedoeld bij de introductie van de vermenigvuldiging als verkorting van de herhaalde
optelling.
54
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
1.2.2 Een context als toepassingsgebied
De toepasbaarheid is de kern van het reken-wiskundeonderwijs want wiskundige vaardigheden zijn
slechts zinvol voor basisschoolleerlingen als ze kunnen toegepast worden.
Contextproblemen leggen de realiteit als toepassingsgebied bloot. Ook kunnen specifieke
vaardigheden in toepassingssituaties geoefend worden.
Contexten die de functie hebben van toepassing zijn toepassingsopgaven, waarbij de rekenwiskundige stof niet nieuw is voor de kinderen. De situaties zijn echter wel herkenbaar en ook
aantrekkelijk.
Hoofdrekenen leent zich heel goed om in een context van praktische toepassingssituaties te
plaatsen. Vragen die dan in wisselende situaties opduiken zijn: hoeveel kost het? Heb ik genoeg
geld bij me? Wat is het voordeligst? Hoe ver is het? Hoe kan ik eerlijk delen? ...
In het volgende voorbeeld kunnen verschillende wiskundige vaardigheden (aftrekken,
vermenigvuldigen, delen, herleiden) worden toegepast.
Eva gaat tijdens de vakantie naar Frankrijk. Op een ochtend wil ze op het reisbureau de treinreis
gaan regelen. Ze stapt het kantoor van het bureau binnen en trekt een volgnummer: 110. Ze kijkt
naar het bord. Allemensen! Nummer 62 is pas aan de beurt. Na een tijdje wachten heeft ze door
dat het per klant toch gauw tien minuten tot een kwartier duurt. Er zijn gelukkig vier mensen
tegelijk achter de balie aan het helpen. Toch duurt het wel lang. Aan de overkant van het
reisbureau is er een winkel. Ze zou best even gauw nog wat vakantie-inkopen kunnen doen. Hoe
lang zou Eva ongeveer weg kunnen blijven?
Op bovenstaande opgave is geen eenduidig antwoord mogelijk.
Als de tijdsduur van 10 minuten kan aangehouden worden, dan kan Eva er twee uur tussenuit. Maar
er kan van alles veranderen:
- er kunnen een paar klanten vlugger geholpen worden;
- er kunnen mensen weggaan die vinden dat het te lang duurt;
- één van de vier mensen achter de balie kan even pauzeren;
- er kan een erg ingewikkeld probleem moeten behandeld worden dat heel lang duurt.
Toch is het zinvol om de tijdsduur ongeveer uit te rekenen; het is immers zonde om twee uur te
gaan zitten wachten als je in die tijd ook leuke dingen kunt gaan doen. In een dergelijke situatie kan
een rekenbewerking weliswaar geen exact antwoord geven, maar is het wel een betekenisvolle
handeling, een activiteit die zin heeft.
1.2.3 De oefenfunctie van een context
Het gaat hier om situaties waarin kinderen de door hen geleerde rekenhandelingen op een zinvolle
manier kunnen oefenen.
Het oefenen wordt uitdagender en aantrekkelijker als het gekoppeld is aan een concrete vraag.
Voorbeeld
De gemeenteraad gaat stemmen over een heel belangrijke zaak. Om geldig te kunnen stemmen
moeten minstens vijf zesde deel van alle raadsleden aanwezig zijn. 19 van de 24 blijken
aanwezig. Kan er gestemd worden over deze belangrijke kwestie? Waarom wel/niet?
Bij het oplossen van oefenopgaven is het uitdrukkelijk de bedoeling dat de kinderen hun
ervaringskennis gebruiken naast wat ze op school geleerd hebben.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
WERKEN MET CONTEXTEN
55
1.2.4 De modelvormende functie van contexten
Hiermee bedoelen we contexten die zich gemakkelijk laten vertalen in een model (schema,
tekening, ...) dat opnieuw kan gebruikt worden om andere wiskundige probleemsituaties op te
lossen.
Waar het bij modelvormende contexten op aankomt, is dat het probleem realiteitswaarde heeft in
die zin dat de kinderen zich in de situatie goed kunnen inleven en het probleem binnen deze situatie
kunnen oplossen.
Dit houdt bijvoorbeeld in dat contexten niet altijd realistisch in de zin van 'uit het dagelijkse leven
gegrepen' hoeven te zijn. Zij kunnen ook gesitueerd worden in een fantasiewereld, zoals een dorp
waarin een heks woont die een toverketel heeft die alles verdubbelt, of een land dat bewoond is door
mensen die slechts vier vingers hebben aan elke hand ... .
Dit geldt ook voor contexten met begripsvormende functie.
In vergelijking met de toepassingsgerichte contexten wordt er bij de modelvormende contexten
minder de nadruk gelegd op praktische overwegingen, precies omdat men de kinderen wil richten
op de wiskundige kern die in de situatie vervat zit.
Als een context een modelfunctie heeft gebeurt dat bijvoorbeeld door het probleem weer te geven in
een model of schema, zoals in het voorbeeld hieronder.
Welke kleren trek je vandaag aan?
Je hebt 4 verschillende T-shirts en 3 verschillende broeken.
Op hoeveel verschillende manieren kun je je aankleden?
Het kruispuntmodel kan hier het probleem verduidelijken en ondersteunt het denkproces.
Het belang van modellen is dat ze iets laten zien van de grondstructuur van problemen waarin bv
een vermenigvuldiging vervat ligt en ze maken tevens bepaalde eigenschappen van de betreffende
bewerking zichtbaar, bv. 3 x 4 = 4 x 3
Het kruispuntmodel leent zich er tevens toe om denkhandelingen die via combinatierekenen aan bod
komen, te ondersteunen.
56
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
1.2.5 Tenslotte is het de bedoeling dat het werken met contexten een aanzet is tot het
ontwikkelen van een 'wiskundige houding'.
Zo'n attitude kan niet eenduidig beschreven worden. Er zijn wel verschillende voorbeelden van te
geven.
a) Snel en vanzelfsprekend een link met de alledaagse realiteit leggen
Hoeveel sneetjes brood kan je smeren uit een groot lang brood van 800 gram?
Riet weet direct te zeggen dat 1 sneetje wit brood ongeveer 30 gram weegt. Dat weet ze
immers van haar moeder die telkens als ze een poging doet om enkele kilo's te vermageren per
dag 90 gram brood mag eten. En haar moeder eet dan 3 sneetjes per dag. Als we dan zoeken
hoeveel keer 30 gram in 800 gram past, dan is de klus vlug geklaard zegt ze.
Zij noteerde: 10 + 10 + 6 = 26
Iemand anders noteerde als gevolg van de tussenkomst van Riet: 10 x 90 = 900
900 - 90 = 810 dus 30 - 3 = 27
Het verschil in uitkomst kan een boeiend gesprek opleveren.
b) Het herkennen van een wiskundig probleem in de realiteit
Joost, acht jaar oud, gaat met zijn moeder mee inkopen doen. Moeder heeft eieren
nodig om cakes te bakken. Ze beloofde aan de trainer van de voetbalploeg om 6 cakes
te bakken.
“In een doosje zitten 6 eieren. Voor 6 cakes hebben we 4 doosjes nodig”, zegt moeder.
Enthousiast zegt Joost: "Ik weet hoeveel er dat zijn! 24. Dat hebben we geleerd op school:
2 x 6 = 12 en 4 x 6 dat is 2 x 12 = 24."
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
WERKEN MET CONTEXTEN
57
1.3 Mogelijkheden van contexten
Werken met contexten creëert heel wat interessante mogelijkheden.
1.3.1 De kinderen kunnen beter gemotiveerd worden om het antwoord op het gestelde probleem te
achterhalen omdat het leren verbonden wordt met zinvolle situaties, m.a.w. met situaties die
voor de kinderen betekenis hebben en die uit zichzelf al bekende en zinvolle handelingen
situeren.
1.3.2 Contexten kunnen een bron van inzicht vormen waarop de kinderen, als dat nodig is, altijd
kunnen terugvallen. Het kan als het ware een houvast bieden bij het vinden van een
oplossingswijze.
"Juf, moet ik optellen of aftrekken?" Dit is zeker een vraag die veel leraren herkennen. Die
vraag komt vaak voort uit het feit dat een reken-wiskundebewerking geen betekenis heeft voor
de kinderen. Het zegt hen niets en ze kunnen er zich niets bij voorstellen.
Een duidelijk voorbeeld hiervan is een stipoefening als deze: . - 3 = 5. Dit is voor kinderen
een betekenisloze formule. Een context geeft vaak al een richtlijn over de oplossingswijze,
alleen al doordat het om een concrete situatie gaat.
De volgende context heeft voor kinderen een betekenis en zal daardoor een bron van inzicht
zijn om de 'stipoefening' op te lossen.
Fien nam vanochtend voor het eerst haar 'flippo's‟ mee naar school. Tijdens het
speelkwartiertje speelde ze tegen Sarah, haar vriendinnetje. Tijdens het spel verloor ze er 3
aan Sarah. Een beetje droevig om het verlies, ziet Fien dat ze nu nog maar 5 flippo's heeft.
Weet jij hoeveel „flippo's‟ Fien deze morgen bij zich had?
1.3.3 Contexten bieden aan kinderen de ruimte en de mogelijkheid hun eigen constructies te
maken. Zij kunnen hun eigen ervaringskennis en beschikbare rekenkennis inzetten om de
aangeboden contextproblemen op te lossen. In eerste instantie zullen zij omslachtige en vrij
primitieve oplossingsprocedures gebruiken. Maar door een geschikte keuze van een reeks van
opgaven kunnen de kinderen gestimuleerd worden tot het verkorten en het vereenvoudigen
van hun oplossingsmethoden.
De eigen strategieën en de eigen vondsten van de kinderen kunnen zo als aangrijpingspunt
voor het leerproces dienen.
1.3.4 Rijke contexten stimuleren en ondersteunen de begripsvorming.
Begripsvorming steunt op de dagelijkse ervaringen van kinderen. Wiskundige begrippen
ontwikkelen zich uit woorden die de kinderen vaak al vroeg hebben geleerd. Denk aan
woorden als 'veel', 'hoeveel', 'meer', ... . Dit zijn eerst nog globale woordbetekenissen, die
steeds preciezer worden bepaald.
Via rijke contexten kunnen kinderen het begrip eerst in hun normale omgangsbetekenis
gebruiken. Het mathematiseren, het verwiskundigen van het begrip komt pas daarna door het
onderzoeken en vergelijken van de situaties.
Een voorbeeld ontleend aan Freudenthal (1984):
Een volwassene vertelt dat in de supermarkt 's middags gemiddeld meer publiek is dan 's
ochtends.
Een elfjarige vraagt wat 'gemiddeld' betekent.
De volwassene: "Neem bijvoorbeeld eens 24, 13, 35. Kun je die optellen?" ... "Goed, en nu
door 3 delen."
Deze volwassene kent nog de schoolse definitie van het begrip 'gemiddelde' en denkt dat dat
de beste manier is om het begrip uit te leggen. Terwijl in het dagelijks gebruik het woord
58
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
'gemiddelde' natuurlijk een bredere, vagere betekenis heeft.
Het begrip 'gemiddelde' kunnen we laten ontdekken vanuit een meetactiviteit. Wanneer
kinderen bijvoorbeeld gedurende een week, elke dag de ochtendtemperatuur gemeten hebben,
kunnen we vragen: "Hoe koud was het deze week?"
Het onderzoeken van deze situatie kan een ingang zijn tot het mathematiseren van het begrip.
Als kinderen bovendien ook andere situaties met voorbeelden van 'gemiddelde' onderzoeken,
zullen ze inzien waarvoor ze 'gemiddelde' zinvol kunnen gebruiken.
Het is duidelijk dat contexten hierin een belangrijke rol spelen omwille van de
betekenisgeving, zoals eerder reeds is aangehaald.
1.3.5 Rijke contexten stimuleren tot reflecteren.
Onder reflecteren verstaan we het nadenken over het eigen denken en handelen.
Kinderen moeten voortdurend de gelegenheid krijgen en gestimuleerd worden om na te
denken over:
- wat ze moeten doen;
- hoe ze iets moeten doen;
- hoe ze iets gedaan hebben;
- hoe ze nu in een nieuwe situatie iets gaan doen.
Reflecteren doe je echter niet zonder aanleiding. Zelden of nooit zullen kinderen reflecteren
op het eigen handelen bij opgaven die ze reeds kennen. Reflectie wordt slechts opgeroepen als
zich problemen voordoen bij het:
- horizontaal mathematiseren: welke zijn de wiskundige aspecten en handelingen in deze
situatie (context), hoe breng ik structuur aan?
- verticaal mathematiseren: met welke wiskundige middelen (schema's, modellen, ...) kan het
probleem worden aangepakt?
Nadenken over deze aanpak is reflectief handelen. Reflectief handelen is dus nauw verbonden
met de inhoud (begrippen, structuren, procedures) van het mathematiseren.
In wiskundeactiviteiten kunnen we reflectie stimuleren tijdens 'bewustmakingsmomenten':
wat hebben we gedaan, geleerd, hoe zijn we tot deze kennis gekomen?
In rijke betekenisvolle contexten zijn meestal verschillende aanpakken mogelijk. Daardoor
kan reflectie worden uitgelokt. Een kind kan immers heel goed redeneren over situaties die
herkenbaar zijn. Het wordt zich bewust van zijn gebruik van vaardigheden als het deze in een
context kan aanwenden.
Aan de hand van een concreet voorbeeld gaan we het reflecteren eens nader bekijken (vrij
naar: Nelissen en van Oers, 1990).
Een leraar uit het derde leerjaar geeft de volgende opgave.
Vier vrienden helpen hun lerares haar tuin voor de winter in orde te krijgen. Snoeien,
bladeren ruimen, grasmaaien, enz. Een enorme karwei want de tuin is groot. Na een
hele dag werken zijn ze klaar. Natuurlijk hoefden ze niet voor niets te werken. Ze
krijgen ieder 500 fr. en bovendien een kist met heel grote, lekkere appels. “Eerlijk delen
hoor”, zegt ze.
De appels worden geteld. Het zijn er veel, 132 om precies te zijn. Hoeveel voor ieder?
Hoe reken je dat uit?
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
WERKEN MET CONTEXTEN
59
De opgave is nieuw voor de kinderen en daarom moeten ze maar eens zien, zegt de leraar, of
ze er zelf uitkomen. Erover praten mag gerust.
In een eerste fase zullen kinderen de context analyseren en het probleem 'verwiskundigen'.
Reflectie stimuleren kan door bv. te vragen: „Wat moeten we doen?‟
Eenmaal de kinderen ontdekten dat ze moeten verdelen, kan je reflectie stimuleren door te
vragen: „Hoe ga je dat doen?‟.
Hierdoor worden kinderen aangezet om na te gaan:
- Heb ik vroeger al een verdeelsituatie opgelost?
- Hoe heb ik die vroeger aangepakt ?
- Kan ik die oplossingswijze hier opnieuw toepassen?
Eenmaal de kinderen een „plannetje‟ hebben gemaakt, zullen ze het uitvoeren.
Hierna beschrijven we kort hoe Peter, Marijke en Harry tot een oplossing kwamen.
Harry zegt: "Eerlijk verdelen over 4 kinderen, dan teken ik vier bakken”.
Marijke weet het nu: "Voor ieder kind één appel en die moet je dan van de 132 afdoen. En
zo iedere keer 4 appels verdelen."
In elk bakje wordt een appel (een rondje) getekend.
-
132
4
128
Peter: "Nu zijn er 128 over en kunnen we verdergaan. In ieder bakje weer een appel."
Marijke: "Ja en nu die 4 van 128 aftrekken."
En zo gaat het nog even door. Al 8 keer zijn de bakjes opnieuw gevuld en Harry wordt
ongeduldig.
"Ja zeg, dat duurt uren en uren, we kunnen toch iedere keer vijf appels ineens geven."
100
- 20
80
Peter: "Voor ieder kind vijf appels. Dat is dan 20 aftrekken."
Nu zijn ze er snel uit: voor ieder van de vier kinderen zijn er 33 appels.
Tijdens het handelen hebben de kinderen zelf ingezien dat het vlugger kon. Ze hebben hun
handelen verkort door telkens vijf appels ineens in een bakje te leggen. Dit is een mooi
voorbeeld van reflectie tijdens het handelen.
60
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
Eenmaal de kinderen de oplossing vonden, kan je reflectie stimuleren door bv. te vragen:
„Als je nog eens appels moet verdelen, zou het dan nog vlugger kunnen?‟
Harry, Peter en Marijke ontdekten tijdens het handelen dat 'ieder 5 appels in één keer'
vlugger ging dan 'één voor één'.
Misschien zien ze in dat ze de volgende keer ineens 10 of 20 appels aan ieder kunnen
geven.Hier stimuleren we om achteraf na te denken over de gevolgde strategie.
Inge loste dezelfde opgave als volgt op:
Ook zij tekende 4 bakjes. Verdelen onder vier deed haar echter terugdenken aan de
deeltafels. Ze verdeelde onmiddellijk per 10. Bovendien tekende ze de appels (rondjes) niet
maar plaatste ze getallen in de 'bakjes'.
10
10
10
132
- 40
92
10
Om de 12 te verdelen onder 4 deed ze opnieuw een beroep op haar voorkennis van de
deeltafels.
3
10
10
10
3
10
10
10
3
10
10
10
3
10
10
10
92
- 40
52
- 40
12
- 12
0
Sofie loste de opgave als volgt op:
voor elk kind
132
- 40
10
92
-40
10
52
-40
10
12
-12
3
0
33 voor elk
Misschien hebben Harry, Peter en Marijke wel gezien hoe Inge of Sofie het probleem
oplosten en kan dit hen aanzetten om na te denken over de eigen denkhandeling.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
WERKEN MET CONTEXTEN
61
Als leraar kan je reflectie op het eigen handelen stimuleren door kinderen te confronteren
met elkaars oplossingsstrategieën.
Samengevat kunnen we zeggen dat kinderen door te reflecteren:
- zich meer bewust worden van hun eigen handelen;
- zich meer kritisch leren opstellen tegenover het handelen van zichzelf en anderen;
- zelfstandiger worden in hun denken;
- planmatiger te werk leren gaan;
- komen tot generalisatie;
- meer zelfvertrouwen krijgen;
- meer waardering krijgen voor het eigen kunnen.
Maar wat het grote belang van reflectie ook moge zijn, het heeft niet veel zin reflectie als
zodanig, los van een zinvolle context, te trainen.
1.3.6 Werken met contextopgaven laat interactie toe.
Een interactieve les houdt in dat er uitwisseling van ideeën plaatsvindt. Oplossingsstrategieën
worden nabesproken en gewogen: wat is de handigste werkvorm, waarom is dit verkeerd, ...?
Contexten vormen hierbij de omgeving die voor de kinderen het gesprek, de discussie moet
ondersteunen. Het leerproces berust dan op een 'onderhandeling' over betekenissen tussen
kinderen onder elkaar en tussen kinderen en leraar.
Nemen we opnieuw het voorbeeld van daarnet.
Harry, Peter en Marijke krijgen de kans om hun oplossingsstrategie, via interactie, te
vergelijken met die van Inge en Sofie. Ze zien misschien in dat Inge handiger te werk is
gegaan. De werkwijze van Sofie begrijpen ze misschien nog niet.
Door uitwisseling van ideeën worden de kinderen gestimuleerd om verschillende
oplossingsstrategieën kritisch te bekijken en te reflecteren op de eigen strategie..
Dit kan alleen maar in een soepele didactische aanpak want zelfs de rijkste context wordt aan
banden gelegd met een starre aanpak.
1.3.7 Contexten laten ruimte voor eigen inbreng en voor reële overwegingen van de kinderen. Dit
komt zeker tot uiting in het toetsen van een uitkomst op haar waarde, afhankelijk van de
context.
Als voorbeeld nemen we een reeks opgaven waarin telkens dezelfde bewerking voorkomt:
26 : 4 =
1
De uitkomst is respectievelijk: 7 - 6 - 6 - 6,5 - 6 rest 2 - 6,5 , naargelang van de situatie.
2
62
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
(Treffers e.a., 1987)
a) Er worden 26 mensen per auto vervoerd. In iedere auto kunnen er 4. Hoeveel auto's zijn
er nodig?
b) Van een touw van 26 meter worden stukken van 4 meter geknipt. Hoeveel stukken
kunnen eruit gehaald worden?
c) Er worden 26 bananen eerlijk verdeeld over 4 even grote groepen. Hoeveel bananen
krijgt iedere groep?
d) Een wandelroute van 26 kilometer wordt in 4 gelijke etappes afgelegd. Hoe lang is ieder
stuk?
e) Ik zet 26 boompjes in rijen van 4. Hoeveel rijen krijg ik?
f) Een rechthoekig terras van 26 m2 heeft een breedte van 4 meter. Hoe lang is dat terras?
Dat we daarbij met erg realistische overwegingen rekening kunnen houden, blijkt uit het
volgende probleem (analoog met a):
Er moeten 187 voetbalsupporters vervoerd worden. In een bus kunnen 62 passagiers.
Hoeveel bussen zijn er nodig?
Dat kan aanleiding geven tot de bedenking of het wel zin heeft om voor een resterende
passagier een extra bus te huren.
1.3.8 Reële problemen aanbieden impliceert nog dat er in hoge mate een beroep kan gedaan worden
op schattend rekenen.
Een kenmerk van probleemsituaties uit het dagelijkse leven is dat snel en uit het hoofd een
benaderende uitkomst bepalen, vaak meer is aangewezen dan via pen en papier een oplossing
tot twee cijfers na de komma nauwkeurig berekenen.
Vermits we met ons reken-wiskundeonderwijs meer praktisch bruikbare rekenkennis en vaardigheden op het oog hebben, ligt het voor de hand om in contextrijk onderwijs vaak
opgaven te geven waarbij het antwoord bepaald kan of moet worden via schattend of handig
rekenen. De gegevens waarmee gerekend wordt, zijn veelal zelf geschat of onnauwkeurig. In
deze gevallen kan zeker geopteerd worden voor een geschat antwoord.
1.4 Beperkingen
Tot nu toe hebben we gesproken over de vele voordelen van het werken met contexten. We zullen
nu even blijven stilstaan bij enkele beperkingen die contexten met zich meebrengen.
Om te beginnen is het zo dat een context de kinderen zo kan aanspreken dat hun aandacht wordt
afgeleid van datgene wat hij beoogt.
Voorbeeld:
Kinderen in het eerste leerjaar zijn druk bezig met het optellen en aftrekken tot 10. Als context
wordt het busverhaal gebruikt. Kinderen stappen enthousiast in en uit de bus. Sommigen verlaten de
bus tijdens het rijden. Anderen vallen uit de bus. Hun aandacht gaat meer naar het spel op zich in
plaats van naar het rekenen. Kortom, ze beleven veel plezier.
In dit voorbeeld wordt de vorming van de begrippen optellen en aftrekken eerder geblokkeerd in
plaats van gestimuleerd.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
WERKEN MET CONTEXTEN
63
Het kan ook zijn dat kinderen geen afstand kunnen doen van een voor hen vertrouwde situatie, ze
blijven eraan vastzitten. Denk maar aan de kinderen die steeds met de blokjes spelen. Voor hen
dient dit materiaal om te bouwen en niet om te rekenen.
Daarnaast dreigt ook nog het gevaar dat kinderen zich te lang vasthouden aan concrete contexten.
Hierdoor wordt dan de begripsvorming op hoger niveau in gevaar gebracht. Bij een staartdeling
bijvoorbeeld moet op een bepaald ogenblik de context verlaten worden om meer aandacht te
besteden aan het plannen, het schatten en het werken met grote getallen.
Uiteraard wegen deze beperkingen niet op tegen al de voordelen.
1.5 Besluit
In deze katern hebben we enkele zaken op een rijtje gezet met betrekking tot 'contexten' in het
rekenonderwijs.
We hebben proberen te tonen wat we nu juist bedoelen met contextrijk rekenonderwijs. Hiervoor
hebben we gebruikgemaakt van een ruim aantal voorbeelden.
Ter afsluiting willen we nog enkele zaken de revue laten passeren die in dit kader van belang zijn.
1 Ons pleidooi voor contextrijk rekenonderwijs betekent niet dat er in het vraagstukkenonderwijs
geen plaats meer zou zijn voor een denkmodel, een standaardoplossing (bv. verhoudingstabel)
waarop gevarieerd wordt geoefend. Sommige kinderen hebben immers moeite om zelf een
hogere oplossingsstrategie te ontwikkelen. Bij het oplossen van een aantal problemen kunnen ze
teruggrijpen naar de standaardoplossing.
2 De term contextopgave heeft in feite niet zozeer betrekking op de formulering en/of presentatie
van een rekenprobleem als zodanig, maar wel op de wijze waarop er door de leraar in de klas
wordt mee omgesprongen. Zelfs het rijkste contextprobleem kan door een starre didactiek
worden gekortwiekt.
3 Modelvormende contexten worden zo gekozen dat ze veelzijdig kunnen worden aangewend om
verschillende probleemsituaties op te lossen, ook in andere leergebieden.
4 Automatiseren is belangrijk maar het mag pas komen na inzichtelijk werken op basis van
verkortingen van de oplossingsprocedure.
Als slotbeschouwing nog het volgende: het belangrijkste voordeel van het werken met contexten is,
dat het de kinderen aanzet tot betekenisvol handelen en hen hierbij ondersteunt vanuit de betekenis
die de situatie voor de kinderen heeft en hen stimuleert om gebruik te maken van ervaringskennis.
64
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
2
Ontluikende gecijferdheid
2.1
Het begeleiden van de ontluikende gecijferdheid
De ontwikkelingsdoelen wiskunde kleuters zijn een verzameling van aspecten van de ontluikende
gecijferdheid. Hierdoor wordt aangegeven dat het kleuteronderwijs zich dient te richten op iets wat
in wording is, iets dat ontluikt. Er wordt hier gekozen voor ontwikkelingsgericht onderwijs. De
leraren zullen dan aanknopen bij ontwikkelingsprocessen die spontaan op gang komen. De kinderen
zullen bewegend, ontdekkend, spelend, experimenterend, nabootsend, ... op hun eigen manier
ervaringen opdoen in verband met die aspecten van gecijferdheid.
In deze reeks didactische suggesties worden mogelijkheden voorgesteld om de ontluikende
gecijferdheid evenwichtig te begeleiden.
2.2.1
Ontwikkelingsgericht onderwijs
Ontluikende gecijferdheid vraagt tijdens de periode van het kleuteronderwijs en het eerste leerjaar
veel aandacht van de betrokken leraren. Bij deze leeftijdsgroepen wordt verondersteld dat de leraren
aansluiten bij de ontwikkelingsprocessen, die spontaan op gang komen.
Dit houdt in dat de aanpak niet methodisch vastligt. De begeleidende leraar speelt in op momenten
en situaties. Er wordt van zeer dichtbij „op de bal‟ gespeeld. Het houdt een zeer flexibele houding
in.
Gestimuleerd vanuit de situatie voert het kind spontaan allerlei (wiskundige) activiteiten waardoor
het wiskundige ervaringen opdoet en zijn eigen (wiskundig) ontwikkelingsproces bepaalt.
Dat ervaren is steeds een totaliteitservaren. Wat door een kind geleerd wordt, hangt sterk samen
met de situatie en hoe het hierop reageert. Het gaat steeds om een geïntegreerd gebeuren, bepaald
door de situatie waarin het kind zich bevindt, zijn motivatie, zijn vroegere ervaringen, zijn fantasie
... Wiskundige aspecten worden dus niet op een geïsoleerde manier door het kind benaderd. Elk
kind ontwikkelt zich op zijn manier en bepaalt zelf de wiskundige activiteiten waarlangs het
wiskundige begrippen verwerft.
De leraar dient deze wijze van bezig zijn met wiskunde te herkennen en te waarderen.
Hij/zij dient dit alles te beschouwen als de onmisbare bouwstenen en zal dit ervaringsproces
stimuleren via:
- het scheppen van situaties waarin kinderen wiskundige activiteiten kunnen verrichten;
- het aangrijpen van spontane situaties;
- het plannen van geïntegreerde activiteiten met wiskundige aspecten over een lange periode;
- het praten met kleuters over hun ervaringen;
- het analyseren van problemen;
- het creëren van „conflict‟-situaties;
- ... .
Vanuit probleemsituaties, thema‟s, belangstellingspunten, ... wordt dan gewerkt. Alleen vanuit hun
eigen ervaringen en belevingen zullen jonge kinderen met een onderwerp kunnen bezig zijn en
nieuwe kennis integreren in de reeds bestaande.
Vroegere methoden waren dikwijls zeer gericht op het ontwikkelen van rekenvoorwaarden. Ze
werden als „voorbereiden tot rekenen‟ of „voorbereidend rekenen‟ aangeduid en waren afgestemd op
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
ONTLUIKENDE GECIJFERDHEID
65
de systematiek van de lagere school.
Het begeleiden van die ontluikende gecijferdheid omvat echter veel meer. Door afzonderlijk aan die
rekenvoorwaarden te werken mist men te veel kansen binnen de totale ontwikkeling.
Ontwikkelingsprocessen verlopen immers niet bij iedereen op precies dezelfde wijze, noch op
telkens hetzelfde ogenblik, noch in hetzelfde tempo, ... .
Om een duidelijker overzicht te kunnen verstrekken, werden de betreffende ontwikkelingsdoelen in
domeinen gefragmenteerd aangeboden. Dit gebeurde echter niet vanuit de verwachting dat ze dan
ook in die volgorde en in die geleding worden ontwikkeld bij de kleuters.
Jassen aan- en uitdoen, puzzels opbergen, wintersoep maken ... het zijn telkens situaties waarbij
verschillende aspecten kansen kunnen krijgen: conservatie (leerlijn 1.4: Vergelijken en ordenen),
correspondentie (leerlijn 1.4: Vergelijken en ordenen), maatbegrip (leerlijn 2.2: Lengte, gewicht,
inhoud, oppervlakte, omtrek, volume), classificatie (leerlijn 2.1: Classificeren volgens kwalitatieve
eigenschappen), seriëren (leerlijn 1.4: Vergelijken en ordenen), tellen (leerlijn 1.1: Tellen), ... .
Allerlei ontwikkelingsdoelen kunnen hierbij tegelijkertijd ontwikkelingskansen krijgen. Indien de
leraren goed hun activiteiten kiezen, kunnen veel van deze ontwikkelingsdoelen geïntegreerd
worden verworven. De kleuteronderwijzer heeft hier een grote verantwoordelijkheid voor de
inhouden en de werkvormen.
2.1.2
Nog andere voorbeelden
Tal van spontane, occasionele en geplande speelse situaties die in de kleuterschool aan bod komen,
kunnen aanleiding zijn tot wiskundige activiteiten van kleuters:
- spelen met zand en water:
vullen, ledigen, vergelijken, tellen, meten, ...
- spelen met klei:
vervormen, verdelen, correspondentie, conservatie, ...;
- knutselen, timmeren, naaien:
meten, vergelijken, passen, ...;
- bouwen met constructiemateriaal:
groeperen, meten, passen, vergelijken, ontdekken van vormen, classificeren, ...;
- uitzoeken en verdelen van materialen:
classificeren, tellen, 1-1-relatie leggen, ordenen, seriëren, ...;
- bewegingsspel:
lichaamsschema ontdekken, ruimtelijke oriëntatie, begripsvorming, ...;
- kalenders en speciale borden:
oriëntatie in de tijd, tellen, ordenen, seriëren, ...;
- winkelspel:
meten, symbolen hanteren, 1-1-relatie leggen, classificeren, seriëren, tellen, ...;
- huishoudelijk spel:
classificeren, wegen, meten, tellen, symbolen hanteren, seriëren, ... ;
- ... .
66
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
2.2
De ontwikkeling van wiskundige begrippen
2.2.1
Het verwerven van begrippen
(leerlijn 1.9: Begripsvorming - Rekentaal)
Het verwerven van deze begrippen impliceert een langzaam groeiproces bij de kinderen.
Alvorens een begrip werkelijk geassimileerd is en het kan functioneren in verschillende situaties,
moeten kinderen concrete ervaringen rond dit begrip opgedaan hebben.
Daarbij kunnen verschillende aspecten worden onderscheiden.
Handelen
Bij kleuters is handelen de belangrijkste voorwaarde in het proces van begripsverwerving.
Een kleuter leert immers zichzelf en de dingen kennen door doen. Door exploreren en
experimenteren, door waarnemen met zo veel mogelijk verschillende zintuigen en met een
verscheidenheid aan materiaal, doen kleuters op een volkomen natuurlijke wijze ervaringen op. Uit
een combinatie van die ervaringen, belevingen, voorstellingen en herinneringen krijgen begrippen
stilaan vulling.
Enkele voorbeelden:
Sigrid ontdekt dat de grote pop niet in het kleine bed kan.
Bart ervaart dat het lastiger is de lengte van de speelplaats te lopen dan de lengte van de
klas. Hij ervaart wat „lang‟ en „kort‟ is.
Met één vinger houdt Jos de ballon in de lucht. Wel vijf kleuters moeten de leidster helpen
om de Zweedse banken en de matten te verplaatsen.
Na ervaringen aan de hand van het eigen lichaam en met materialen kunnen de kleuters ervaringen
toepassen in het platte vlak. Dit kan bijvoorbeeld door middel van plaatjesmateriaal, dat gesorteerd
en geordend wordt en via het aanbrengen op het flanelbord van figuren van de in de ruimte
verworven begrippen.
Verwoorden
Een ander aspect binnen het proces van begripsverwerving is het verwoorden. Begrippen zijn
moeilijk grijpbaar. We hebben een hulpmiddel nodig om ze aan te duiden. Aangewezen
hulpmiddelen zijn woorden of andere symbolen. Kleuters ontdekken dat dingen een naam hebben.
Ze willen de naam van alle dingen kennen. Door zelf een correcte taal te gebruiken en door de
kleuters kansen te geven tot praten in diverse omstandigheden, zal de leidster de taal, in het
bijzonder de rekentaal, en het denken van de kleuters op een steeds hoger niveau brengen.
Overdrijving om taal geforceerd uit te lokken, is niet aangewezen.
In vele gevallen werkt dat hinderend op het handelen zelf.
Uitdrukken
Als kleuters iets beleefd hebben, willen ze dat uitdrukken. Ze maken enthousiast een tekening na
een waarneming, een viering of een verhaal. Dat „voorstellen‟ beperkt zich niet alleen tot het maken
van een tekening. De kleuters kunnen een aanduiding maken op een stok of een strook om
bijvoorbeeld de lengte van iets aan te duiden.
De kleuters zaaien bloemen of planten. Op bepaalde tijdstippen meten ze hoe groot hun plant is en
maken een aantekening op een stok. Dat zijn rijke kansen tot vergelijken, verwoorden en bv.
situeren in de tijd.
Waarschuwing
Pas na het handelen, het waarnemen en het verwoorden kan worden overgegaan tot evaluatie via
een speelwerkblad.
HOOFDSTUK 2
2.2.2
DIDACTISCHE KATERNEN
ONTLUIKENDE GECIJFERDHEID
67
Soorten wiskundige begrippen
Maatbegrippen
(leerlijnen 2.1 en 2.2)
Maatbegrippen vertellen wat over een kwaliteit, een eigenschap, de aard van de dingen zoals de
kleur, de vorm, de grootte, de omvang, de inhoud, de lengte, de smaak, ... .
Hiermede kan je ze beter beschrijven: groot, klein, even groot als ..., even klein als ..., groter,
kleiner, lang, kort, breed, smal, scherp, stomp, zwaar, licht, dik, dun, lekker, rood, ... .
Hoeveelheidsbegrippen
(leerlijnen 1.1; 1.2; 1.4 en 1.8)
Hoeveelheden kunnen aangegeven worden zonder getallen te gebruiken: veel, weinig, evenveel,
meer, gelijk, alles, een beetje, een paar, niet veel, meest, minst, ... . Hoeveelheden zijn ook met
getallen weer te geven. Beide types hoeveelheidsbegrippen ontwikkelen zich gelijktijdig.
Ruimtelijke begrippen
(leerlijnen 3.1 en 3.5)
Ruimtelijke begrippen zijn o.a.: onder, boven, voor, achter, dichtbij, veraf, binnenin, naast,
voorzijde, achterzijde, hoogte, recht, schuin, links, rechts, ... .
Tijdsbegrippen
(leerlijn 2.4)
Voorbeelden hiervan: vroeg, laat, nu, straks, avond, middag, later, hiervoor, daarna, eerst, later,
vroeger, oud, jong, nieuw, ...
Begrippen bij wiskundig handelen
(leerlijn 1.9: Begripsvorming - Rekentaal)
Bij het wiskundig handelen kunnen o.a. volgende begrippen aan bod komen: erbij doen, nemen,
verdelen, halveren, verminderen, samenleggen, wegen, meten, afnemen, ... .
2.2.3
Het ontwikkelen van het maatbegrip
Hieronder verstaan we:
- datgene wat de kleuter verwerft na veelvuldig metend handelen;
- het kunnen meten met wisselende maateenheden;
- een onderdeel van het schatten, vergelijken en meten van voorwerpen.
Suggesties
- Als de kleuter een tafel meet met wascokrijtjes, zal hij een veel groter aantal krijtjes nodig
hebben dan wanneer hij ze meet met een penseel, omdat de maateenheid kleiner is. Het wegen en
meten met geïmproviseerde (niet-conventionele) maateenheden vormt een niet te verwaarlozen
basis voor een goed inzicht in het maatbegrip.
- Stefanie zal de planten gieten. De gieter is licht. Als ze er water in doet, wordt hij steeds
zwaarder. Nu is er veel water in. Als ze de planten giet, wordt de gieter lichter. Er is nu minder
water in.
- Kleuters meten de lengte van het klaslokaal met „reuzenstappen, dwergstapjes‟... .
Idem met voeten, gestrekte armen, ... .
68
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
- Ze meten de lengte van een tafel met speelgoedauto‟s, boekenruggen, pennen ... .
Ze ervaren dat je een groter aantal van de kleinste auto moet nemen om eenzelfde lengte te
bekomen.
- Handelen en verwoorden bij het vergelijken van figuren of voorwerpen.
Toon de grootste (of de kleinste) vis. Vertel het.
Toon het dikste (of het dunste) boek of ... of ... .
Vertel waar de langste (of het kortste) sok is.
Zeg waar de hoogste (of de laagste) is.
- Bert zegt waar hij er het meeste van nodig heeft om te weten hoeveel er in dat (die) ... gaat.
Binnen het maatbegrip onderscheiden we de volgende aspecten:
conservatie,
classificatie,
seriatie.
A Conservatie
Dit betekent dat het kind zich moet kunnen losmaken van alle toevalligheden en enkel de gevraagde
eigenschap in het oog houdt. D.w.z. dat ondanks het feit dat de uiterlijke vorm of de ruimtelijke
ordening van een geheel verandert, het kind moet beseffen dat het oorspronkelijke geheel behouden
blijft.
Met dat geheel bedoelen we hier:
- een lengte (hoogte, dikte, afstand),
- een gewicht,
- een oppervlakte,
- een inhoud,
- een omvang,
- ... .
Een goede conservatie wordt gekenmerkt door het besef van reversibiliteit of omkeerbaarheid.
Suggesties
- Rik giet 3 bekers zand in een fles en eveneens 3 dezelfde bekers zand in een grote schaal. Hij
stelt vast dat er evenveel zand is in de fles als in de schaal.
- Griet giet water uit een fles in bekers. Ze kan 5 bekers vullen. Ze ervaart dat de hoeveelheid
water gelijk blijft of het nu in de fles of in de bekers is.
- Twee identieke glazen: kinderen ervaren dat ze evenveel water bevatten.
Bij het overgieten van één van de glazen in een smal, hoog glas, blijft de hoeveelheid behouden.
Jonge kinderen (tot een heel stuk in de lagere school) laten zich misleiden door de hoogte van het
waterpeil.
Kleuters worden geholpen bij het conservatieprobleem door:
- een correcte taal te gebruiken;
- hen te helpen de juiste criteria te hanteren (evenveel - even hoog);
- niet af te gaan op indrukken maar door een hulpmiddel te leren inschakelen (bv. de kleuters
meetinstrumenten laten gebruiken om te controleren);
- de één-één-relatie toe te passen (bij aantallen).
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
ONTLUIKENDE GECIJFERDHEID
69
B Classificatie
Classificatie is het rubriceren (sorteren) op basis van gemeenschappelijke kenmerken of
eigenschappen.
We onderscheiden:
- classificeren naar 1 eigenschap (sorteren);
Zet alle gele auto‟s bij elkaar.
- classificeren naar 2 eigenschappen;
Spel met bv. fietsen of logiblokken: fietsen kunnen nieuw/oud, rood/geel, voor dames/heren,
klein/groot, city-/mountain, ... zijn.
Wijs in het fietsenrek alle blauwe fietsen voor meisjes aan.
Wijs alle nieuwe gele fietsen aan.
- classificeren naar 3 eigenschappen;
Bv. de groep van de grote, ronde, blauwe parels
Om het echte classificeren voor te bereiden, laten we de kleuters eigenschappen van voorwerpen
onderzoeken en beschrijven: overeenkomst en verschil ontdekken en verwoorden. De kleuters
noemen ook eigenschappen die de dingen niet hebben, bv. “Alle kleuters die geen laarzen
aanhebben, mogen overvaren” (bij het spel: Schipper mag ik ...).
Kunnen de kleuters classificeren op basis van één eigenschap, dan pas leren we ze met twee of
meer eigenschappen tegelijk rekening houden. Het ligt voor de hand dat er materiaal voorhanden
is dat het onderzoeken waard is en de kleuters boeit.
Classificeren gebeurt in principe op basis van kwalitatieve eigenschappen (vorm, kleur, ...). Het
kan ook op basis van kwantificeerbare eigenschappen (grootte, lengte, oppervlakte, ...) als er een
inperking van categorieën aanwezig is: bv. klein en groot bij de logiblokken. Dan kan je
klasseren zoals met kwalitatieve eigenschappen. Als alle voorwerpen verschillen in grootte zal je
ze niet meer kunnen onderbrengen in een categorie „groot of klein‟, - dat zijn relatieve begrippen
- dan moet je ordenen.
C Ordenen
Het gaat bij ordenen om het vinden van verschillen bij soortgelijke dingen:
* stokken rangschikken op basis van hun lengte;
* ballen ordenen van klein naar groot;
* ... .
Mogelijke variaties in de activiteiten zijn o.a.:
- het rangschikken van één reeks voorwerpen op concreet niveau;
- het rangschikken van één reeks voorwerpen op schematisch niveau;
- twee reeksen onderling vergelijken op concreet niveau;
- twee reeksen onderling vergelijken op schematisch niveau.
.
Het ordenen van één reeks voorwerpen op concreet niveau
Rangschik deze auto's van groot naar klein.
Idem maar nu met verschillende voorwerpen: eerst 5, daarna 7 en misschien zelfs 9.
Activiteit met Russische poppetjes die in elkaar passen.
70
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
Het ordenen van één reeks voorwerpen op schematisch niveau (tekeningen, foto’s)
Rangschik deze kegels van groot naar klein.
Deze activiteiten worden herhaald met meer dan 3 voorwerpen.
Twee reeksen onderling vergelijken op concreet niveau
Onder of naast elkaar staan 3 kaarsen van een verschillende lengte en 3 flessen van
een verschillende grootte.
Zet de langste kaars bij de grootste fles.
Zet de kortste kaars bij de kleinste fles.
Deze activiteiten kunnen zich herhalen met andere voorwerpen:
Dergelijke oefeningen kunnen nadien worden hernomen met meer dan 3 voorwerpen.
Twee reeksen onderling vergelijken op schematisch niveau
De vorige oefeningen worden hernomen maar op schematisch niveau.
Voorbeelden van mogelijke seriaties van kleuters in hun vrij spel:
- spontaan leggen ze de grootste blok onderaan als ze gaan stapelen;
- in de keukenhoek zet Jozefien de grootste kom onderaan, daarin een kleinere en dan de kleinste.
Korte seriatiemomentjes kunnen worden geïntegreerd in allerlei activiteiten;
- tijdens een activiteit 'schoenen poetsen' worden de schoenen op een rij gezet van klein naar groot;
- groenten vergelijken en rangschikken kan als deelmoment van een kookactiviteit;
Welke is de dikste wortel?
Welke prei is de langste?
Welke appel smaakt het zoetst?
Uitnodigende materialen in uitdagende situaties zullen de kleuters aanzetten tot seriëren. De leidster
zal af en toe vragen stellen of activiteiten organiseren, die uitnodigen tot vergelijken. Bij de jongste
kleuters beginnen we met twee of drie voorwerpen.
Naargelang de kleuters met het seriëren vertrouwd geraken, breiden we de reeks uit of maken we ze
ingewikkelder. Allerlei relatiebegrippen komen hier aan bod: hoger, langer dan, meer dan, lichter
dan, ... .
2.2.4 Het ontwikkelen van het getalbegrip
Binnen het getalbegrip onderscheiden we de volgende aspecten:
- correspondentie,
- conservatie,
- tellen,
- symboolbewustzijn.
A Correspondentie (1-1-relatie)
Het correspondentiebegrip duidt de handeling aan die het mogelijk maakt bv. het aantal prenten van
een collectie te vergelijken met het aantal prenten van een andere collectie. Indien twee aantallen
met elkaar overstemmen, dan weten we, zonder te tellen, dat het om eenzelfde hoeveelheid gaat.
In de klas staat bv. in iedere bloempot één plant.
Er zijn dus evenveel bloempotten als planten in de klas.
Voorstellingen kunnen kleuters in de war brengen. De één-één-relatie kan dan hulp bieden. Als een
kleuter twee rijen blokken ziet, gelooft hij dat de langste rij uit meer blokken bestaat dan de kortste
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
ONTLUIKENDE GECIJFERDHEID
71
rij. De ruimtelijke ordering bepaalt zijn denkpatroon.
Door het oefenen van de één-één-relatie moeten kinderen kleine hoeveelheidsverschillen kunnen
aanduiden. In een eerste fase moeten ze kunnen aanduiden waar er meer, minder of evenveel zijn. In
een latere fase moeten ze kunnen aangeven hoeveel er meer of minder zijn.
Suggesties
- Twee reeksen voorwerpen die naar elkaar verwijzen
Materialen die in de één-één-relatie bij elkaar horen, zijn belangrijke hulpmiddelen om
correspondentie bij te brengen. We denken bijvoorbeeld aan: bokalen en deksels, poppen en
bedden, bouten en moeren, ... .
Jan speelt met auto‟s. In elke garage mag precies één auto.
Zijn er meer / minder auto‟s dan garages?
- Twee reeksen voorwerpen die neutraal staan tegenover elkaar
Kinderen vergelijken het aantal appels met het aantal kastanjes.
- Meer abstracte voorwerpen
Twee kleuters vullen met twee identieke bekers twee emmers waarvan de inhoud verschilt.
Telkens ze een beker in de emmer gieten, leggen ze een blok. Na het vullen vergelijken ze
de blokken. Waar zijn er meer/minder?
- Voorwerpen die duidelijk in grootte verschillen
kabouters en bomen
grote en kleine blokken
bijen en bloemen
- In een latere fase kan men vragen: hoeveel meer? Hoeveel minder?
Hierbij komt ook het tellen aan bod.
Nadat de kinderen de één-één-relatie toegepast hebben, tellen ze het resterende deel van de
grootste hoeveelheid.
Een kleuter dekt de tafel voor vier poppen. Hij neemt de borden uit de kast en zet telkens
één bord bij één pop. De kleuter heeft twee borden over. Hij zegt eerst: “Er zijn meer
borden dan poppen.” Later zegt hij: “Er zijn 2 borden meer.”
- Eén-één-relatie toepassen op meer dan twee hoeveelheden
Bij oudere kleuters kan men meer dan twee groepen laten vergelijken met de uitgangsgroep.
De kleuter voert de één-één-relatie dan telkens opnieuw uit met de uitgangsverzameling.
Vijf poppen 'zitten' aan een tafel. Fien dekt de tafel. Achtereenvolgens krijgt elke pop
een bord, een glas, een mes, een lepel, een vork, ... .
Kleuters hangen hun jas, muts, handschoenen, ... aan de kapstok.
Dergelijke oefeningen kunnen vaak worden ingebouwd in allerlei opruim- of verdeelsituaties.
72
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
B Conservatie
Reeds bij de ontwikkeling van het maatbegrip werden aspecten van conservatie besproken. Hier
gaat het om de conservatie van discontinue (telbare) hoeveelheden.
Het kind moet zich kunnen losmaken van alle toevalligheden en enkel de hoeveelheid voor ogen
houden.
Twee reeksen gezichten worden in rijen naast elkaar gelegd. De kleuters stellen vast dat er evenveel
gezichten zijn. Legt men één van de rijen verder uit elkaar, dan moeten ze beseffen dat de
hoeveelheid gelijk blijft.
C Tellen
Een definitie van tellen
Tellen kunnen we omschrijven als het tot stand brengen van een één-één-relatie tussen:
- een bepaald aantal voorwerpen en
- de geordende rij van telwoorden.
Binnen het tellen zijn er twee einddoelen, nl.:
- het bepalen van een hoeveelheid (kardinaal aspect) en
- het bepalen van de rangorde (ordinaal aspect).
Het opzeggen van de rij van de getallen is dus eigenlijk geen „echt‟ tellen.
Het belang van het tellen
Tellen is een interessante bezigheid voor de kinderen. Het is de grondslag voor het rekenen.
Binnen de wiskundige ontwikkeling heeft tellen daarom een uitzonderlijke betekenis. Immers,
optellen en aftrekken zijn in wezen verkorte vormen van tellen, waarbij het tellen op een specifieke
manier wordt ingezet om bv. het totaal van twee hoeveelheden te bepalen.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
ONTLUIKENDE GECIJFERDHEID
73
Tellen: een ontwikkelingsproces
Tellen is een vaardigheid die zich geleidelijk aan ontwikkelt.
Binnen de ontwikkeling van het tellen kunnen we een aantal stappen onderscheiden. Deze
overlappen elkaar ten dele maar zijn in het ontwikkelingsproces vaak duidelijk te onderscheiden en
worden bij ongeveer alle kinderen volgens dezelfde fasering doorlopen.
Akoestisch tellen
Kinderen leren de telrij al voor ze echt hoeveelheden kunnen tellen. De telrij is niets anders dan
het opzeggen van specifieke klanken die als een opzegversje worden geleerd. Akoestisch tellen
heeft weinig te maken met hoeveelheden. De betekenis van de telwoorden is in dit stadium sterk
verbonden met het liedje, versje of het spel waarin ze worden gebruikt en met de bewegingen en
de rijmpjes die de opeenvolging structureren.
Voorbeelden:
“Eén, twee, drie, vier, hoedje van, hoedje van, ...”
“Heb je al gehoord van de zeven, de zeven, ...
... en dat is één (beweging), ...
... en dat is twee (beweging), ...”
Bij verstoppertje spelen: “Eén, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven, acht, negen, tien wie niet
weg is, is gezien.”
Veelal komen er onvolkomenheden voor in deze telrijen en maken kinderen hun eigen telrij. We
merken dat kinderen soms een bepaald telwoord overslaan (bv. één, twee, drie, vier, zes, zeven,
...) of dat ze na een bepaald telwoord terugschakelen (bv. één, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven,
acht, negen, tien, elf, twaalf, zeven, acht, negen, ...). Deze onvolmaaktheden zijn voor het kind
niet van belang. Het kunnen opzeggen van de telrij betekent immers nog niet dat dit ook gebruikt
wordt voor het tellen van hoeveelheden die als beeld te overzien zijn.
Van asynchroon naar synchroon tellen
In de loop van de tijd komen kinderen erachter dat ze met hun telwoorden ook iets kunnen tellen,
dat je door tellen kunt aanduiden hoeveel dingen er zijn.
Voorbeeld:
Een kind bouwt een toren (8 blokken) en begint spontaan de „hoogte‟ te tellen door de blokken
aan te wijzen en de telrij op te zeggen. Daarbij houdt het opzeggen van de telrij echter geen
gelijke tred met het aanwijzen van de blokken.
Het kind concludeert dat er zes blokken zijn.
Dit kind weet al heel goed hoe het tellen in elkaar zit: je zegt de telrij op en beweegt tegelijkertijd
met je vinger langs de dingen die je wilt tellen. Het laatste telwoord geeft aan hoeveel er in het
totaal zijn.
Eén ding loopt nog fout. Het opnoemen van de telrij houdt nog geen gelijke tred met het
aanwijzen van de dingen. Je moet telkens één ding aanwijzen en daarbij telkens precies één
telwoord zeggen. Het tellen verloopt m.a.w. asynchroon. Dit asynchrone tellen is een verschijnsel
dat vrijwel bij elk kind op een bepaalde leeftijd voorkomt. Veelal duurt het een hele tijd voor het
kind tot synchroon tellen komt en ontwikkelt dit zich stapsgewijs.
Synchronisatie door het meer „totaal‟ lichamelijk handelen te koppelen aan het opzeggen
van de telrij.
Hier liggen veel mogelijkheden in bewegingsopvoeding en in muzikale momenten. Zo
kunnen we de kinderen bv. reuzenstappen laten tellen;
Voorwerpen vastpakken en verplaatsen bij het tellen;
Voorwerpen tellen door ze aan te tikken of aan te raken;
74
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
-
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
Voorwerpen tellen met aanwijzen (van op afstand).
Dit kan in een eerste fase gebeuren door aan te wijzen met de vinger. Later kan dit door
enkel aan te wijzen met de ogen. Je ziet als het ware de kinderen met de ogen volgen bij
het tellen.
Gaandeweg ontwikkelt het één-voor-één tellen zich steeds verder. De hoeveelheden die een kind
op deze wijze kan tellen worden steeds groter. Kinderen raken steeds beter vertrouwd met de
regels van het synchroon tellen:
er moet een één-één-relatie gelegd worden tussen de telwoorden uit de telrij en de te tellen
voorwerpen. Elk voorwerp moet corresponderen met één telwoord en omgekeerd;
de telrij moet in goede volgorde worden opgezegd en er mag geen telwoord worden
overslagen.
Zeven is het eerste cijfer dat bestaat uit twee lettergrepen. Dit heeft bij sommige kleuters tot gevolg
dat een reeks van 8 voorwerpen, bij het tellen met aanwijzen en verklanken, als 7 wordt
aangegeven. De leidster besteedt hier bijzondere aandacht aan.
o
o
o
o
o
o
o
o
één
twee
drie
vier
vijf
zes
ze- ven
Resultatief tellen
Resultatief tellen betekent dat kinderen beseffen dat het laatst uitgesproken telwoord (bij dat
tellen) aangeeft hoeveel er zijn.
Het auditief geheugen speelt hierbij een rol. Het is daarom belangrijk dat men na het tellen van
een hoeveelheid steeds vraagt: „Hoeveel waren er nu?‟.
Via resultatief tellen ontwikkelt het kind het hoeveelheidsbegrip. Een hoeveelheid blijft gelijk
ook al verandert men de voorwerpen van plaats of al verandert men de volgorde van de
voorwerpen. Veelal zien we dan ook dat kinderen de reeks voorwerpen gaan structureren bij het
tellen. Ze organiseren hun telactiviteit.
Correct tellen, met echt hoeveelheidsbesef, veronderstelt dat het resultaat van het synchroon en
het resultatief tellen, met de correcte hoeveelheid overeenstemt.
Verdertellen en terugtellen
Verdertellen vanaf een willekeurig punt kunnen we gebruiken bij het samenvoegen van
hoeveelheden.
Stel dat we vier knopen hebben en we doen er twee bij. We kunnen de totale hoeveelheid bepalen
door opnieuw te tellen: 1 ... 6. Een stap verder naar rekenen toe is bij het totaal van de vier eerste
knopen twee bij te tellen (4 ..., 5, 6).
Als we al vier voorwerpen hebben en we moeten verdertellen, betekent dit dat we moeten
beginnen te tellen op vijf. Dat geeft vaak aanleiding tot „startproblemen‟ of startfouten.
Het terugtellen kan gebruikt worden om hoeveelheden te verminderen. Als we zes knopen
hebben en we doen er twee af, dan kunnen we de nieuwe hoeveelheid tellen. Voor kleuters die
het aankunnen, is het interessanter om terug te tellen. Dus 6..., 5, 4. Ook hier zullen we weer
extra aandacht moeten besteden aan de „start‟.
Aftellen vooraleer te laten starten is hierbij ook onder te brengen: vier ... drie ... twee ... één ...
start !
Een ander voorbeeld:
“Vijf poesjes op een rij
Snoepten van de rijstebrij
steeds maar meer
steeds maar meer
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
ONTLUIKENDE GECIJFERDHEID
75
Eén werd ziek en lust niet meer”
“Vier poesjes op een rij
...”
“Eén poesje heel alleen
sabbelde op haar grote teen
wat een strop
wat een strop
alle rijstebrij is op.”
Tellen met wisselende teleenheden
Zoals het tellen tot nu toe beschreven is, namen we telkens één voorwerp als eenheid. Als we
bijvoorbeeld de treden van de trap tellen, dan is elke trede één eenheid. Bij het tellen kan ook al
eens een andere eenheid afgesproken worden. In sommige omstandigheden ligt dat voor de hand.
We kunnen schoenen tellen, maar ook evengoed de paren. Een paar is dan de teleenheid. Bij het
kaartspel kunnen we slagen tellen, één slag is dan de teleenheid.
Bij het tellen van blokken kunnen we afspreken om torens van drie te tellen. Het resultaat kan
vergeleken worden met het resultaat bij het tellen van torens van twee.
Met het wisselen van de teleenheid kunnen we echter pas beginnen wanneer kinderen het tellen
al heel goed beheersen. Zij moeten zich eerst bewust worden van de eenheden in de zin van één
voorwerp en weten dat bij het tellen telkens één voorwerp bijgevoegd wordt. Later kunnen paren
of drietallen geteld worden.
Rangorde: het ordinale aspect van het tellen
Essentieel voor rangordeopgaven is dat via een telactiviteit slechts één bepaald voorwerp uit een
gerichte rij wordt aangegeven nl.: ... het vijfde, ... het achtste, ...
Een ander kernpunt bij het ordinale tellen is het in acht nemen van de juiste telrichting. Het moet
voor de kleuter duidelijk zijn waar het startpunt ligt van de telrij.
Wanneer er géén telrichting steekt in de aard van de aangeboden rij, begint men links te tellen,
volgens de leesrichting.
Eventuele gradaties op concreet niveau
Telrichting is duidelijk uit de aard van de aangeboden rij.
Een trein met wagonnetjes
Vraag : Wijs de ... .
Een rij auto‟s wordt geteld in de rijrichting.
Vraag: Wijs de derde auto.
-
De gradatie om te tellen met aanraken, met aanwijzen en zonder aanwijzen
(enkel het ... vijfde voorwerp wijst men aan) geldt hier eveneens.
Geen telrichting in de aard van de aangeboden rij.
Een rij ballen.
Vraag: Wijs de vierde bal.
Eventuele gradaties op schematisch niveau
Telrichting is duidelijk uit de aard van de aangeboden rij.
76
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
Kleur het derde wagonnetje.
-
Geen telrichting in de aard van de aangeboden rij
Kleur de zevende kaars.
Evolutie
Eens kinderen goed kunnen tellen, gaat de verdere opbouw van het getallensysteem snel vooruit.
Oudere kleuters kunnen dikwijls veel verder tellen dan hun getalbegrip reikt. Niet zelden zijn er
vijfjarigen die akoestisch perfect tot 100 tellen. We kunnen echter niet verwachten dat zij al een
goed beeld hebben van hoeveelheden tot 100. Toch is dat tellen heel zinvol, want daardoor krijgt
het kind kijk op de systematiek in de opbouw van het getallensysteem.
Het inzicht groeit dat „verder in de telrij‟ ook „meer‟ betekent. Elf is meer dan negen, want het
komt erna bij het tellen. De ordening van de getallen, de opbouw van de getallenlijn wordt dus
door het tellen zeker ondersteund.
Verder wordt ook de structuur van het tientallig positiestelsel ontdekt. Door het tellen snappen
kinderen dat zestien tien en zes is, drieëntwintig twintig en drie, enz.
Soms horen we bij het tellen fouten, bijvoorbeeld „tien-en-twintig‟. Zulke uitspraken tonen hoe
het kind bezig is met structureren.
Telactiviteiten in de klas
Telactiviteiten van kleuters spruiten enerzijds voort uit de eigen belangstelling (eigen initiatieven en
ontdekkingen) van het kind. Anderzijds kan de wijze waarop de omgeving (bv. spelmaterialen in de
klas) van het kind is ingericht, stimulerend werken om de ontwikkeling te bevorderen. Bij het
begeleiden van de ontluikende gecijferdheid zal de leraar in de kleuterschool de kinderen
ruimschoots de kans laten om zelf initiatieven te ontplooien en zelf een keuze te maken uit allerlei
activiteiten. Daarnaast kan de leraar activiteiten organiseren die voor een groep kinderen bestemd
zijn.
Qua tellen onderscheiden we een drietal verschillende soorten activiteiten:
- spontane activiteiten,
- activiteiten met ontwikkelingsmateriaal,
- gerichte groepsactiviteiten.
Spontane activiteiten
Dit zijn situaties waarbij het tellen spontaan aan bod komt. We denken hier bv. aan:
het eerlijk verdelen van allerlei voorwerpen;
de symbolen bij de hoeken die aanduiden dat een beperkt aantal kinderen (drie, vier, vijf)
in een bepaalde hoek mogen spelen;
spelen in de winkelhoek.
Bijna dagelijks dienen zich mogelijkheden aan waarbij het tellen als vanzelfsprekend ingebed is
in de bezigheden die op dat moment in de interessesfeer van de kinderen liggen.
Voor de school komt het erop aan om deze spontane telactiviteiten aan te grijpen om het tellen
verder te ontwikkelen. Het groeien naar bepaalde feesten toe (Sinterklaas, carnaval, schoolreis,
...) is bv. een bijzonder goede gelegenheid om gerichter aandacht te besteden aan de ontwikkeling
van het tellen en het getalbegrip.
Activiteiten met ontwikkelingsmateriaal
Activiteiten met ontwikkelingsmateriaal bieden de kinderen de mogelijkheid om een uitbreiding
en een verdieping te geven aan de eigen, spontane ervaringen. Deze ontwikkelingsmaterialen
kunnen variëren van bouwmaterialen (vergelijken van torens) en mozaïeken tot specifieke
telmaterialen zoals tellotto‟s en telkwartetten. Zo kan bv. in heel wat materialen worden voorzien
die de kinderen de één-één-relatie laten oefenen.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
ONTLUIKENDE GECIJFERDHEID
77
78
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
Ook gezelschapsspelen met dobbelstenen bieden heel wat mogelijkheden om het tellen te
oefenen. Waarom zou er geen plaats zijn voor een telhoek in de klas?
Gerichte groepsactiviteiten
Bij groepsactiviteiten spelen de sociale aspecten een belangrijke rol (met elkaar van gedachten
wisselen, samen een oplossing zoeken, kennisnemen van elkaars oplossing). Via dergelijke
activiteiten kan de leraar de kinderen stimuleren om na te denken over het eigen handelen. Zo
sturen ze het eigen handelen en komen tot een beter inzicht in het wezenlijke van de handeling.
Het is evident dat deze groepsactiviteiten steeds voortspruiten uit de belangstelling van de
kinderen.
D Symboolbewustzijn
Getalbeelden zijn vaak de eerste symbolen voor hoeveelheden waar kleuters mee in aanraking
komen, althans in de klas, want daarbuiten zien ze ook geregeld cijfersymbolen.
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
In getalbeelden kunnen de elementen geteld worden, zodat er een direct verband is met de
hoeveelheid. Toch hebben getalbeelden reeds een symboolfunctie. Bij het ganzenbordspel
bijvoorbeeld betekenen drie bolletjes op de dobbelsteen dat we drie stappen verder mogen op het
speelbord.
In het begin zullen kleuters de bolletjes in de getalbeelden tellen, maar na een tijd wordt het aantal
onmiddellijk herkend en benoemd.
Cijfers zijn als symbool abstracter dan getalbeelden want er is geen direct visueel verband meer met
het aantal. Toch moeten we niet aarzelen om vijfjarigen er ervaringen mee te laten opdoen, ook al
hebben de getalbegrippen nog niet helemaal een invulling. Integendeel, door het omgaan met de
cijfersymbolen zal een kind een getal eerder los kunnen maken van concrete voorwerpen en van
concrete hoeveelheden.
Voor kleuters zijn getallen altijd gekoppeld aan concrete voorwerpen: drie koeken, vier blokken,
één appel, ... . Als een kind de lagereschoolleeftijd bereikt, heeft het al heel wat ervaring met
concreet materiaal. Het kan dan stilaan getallen losmaken van de concrete hoeveelheden. Het kan
over „drie‟ praten zonder dat het nog per se aan drie appels of drie knopen moet denken. Cijfers
kunnen deze overgang helpen maken.
- Cijfermateriaal in de klas kunnen we zien als een soort milieuverrijking. Cijfers behoren tot het
wereldbeeld van de kinderen. We vinden ze op de scheurkalender, op de klok, op de kaarten van
het kaartspel, op de prijsetiketten van artikelen in de winkel, als maat op schoenen en
kledingstukken, ... . Al deze dingen zijn dan ook in een kleuterklas terug te vinden.
- Cijfers kunnen bij kleuters eventueel samen met het getalbeeld aangeboden worden. Zo worden
ze spontaan geleerd.
Natuurlijk zien we de cijfers in de kleuterschool als aanvullend materiaal. Ze mogen in geen geval
het handelen met concrete voorwerpen gaan vervangen. Het is zeker niet de bedoeling te willen
bereiken dat alle kleuters alle cijfers kunnen lezen.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
ONTLUIKENDE GECIJFERDHEID
79
Besluit:
Pas als er voldoende op concreet vlak gewerkt is, kan de leidster overgaan tot voorstellingen of
tekeningen.
Wij achten het belangrijker dat alle basisbegrippen voldoende vulling krijgen dan dat er met cijfers
en bewerkingssymbolen gewerkt wordt in de kleuterklas.
2.3
Didactische aandachtspunten bij de begeleiding van de ontluikende
gecijferdheid
In 2.2 van dit katern werden suggesties gegeven naar deelaspecten van ontluikende gecijferdheid
toe. Dit mag echter niet de indruk geven dat deze deelaspecten ook elk afzonderlijk worden
behandeld met de kinderen. Ze dienen in een voortdurend samenspel op elkaar te worden betrokken.
Verder is het ook zeer belangrijk te beseffen dat bij deze suggesties geen optie werd genomen voor
vervroegde leerinstructie. Het zijn mogelijkheden voor een ongedwongen en vruchtbare sfeer van
ontluikende gecijferdheid in de kleuterschool.
Tal van spontane, occasionele maar ook geplande speelse situaties kunnen aanleiding zijn tot
wiskundige activiteiten van kleuters.
Bij het opzetten en begeleiden van zulke activiteiten worden een aantal didactische principes
gerespecteerd.
2.3.1
Van bij de jongste kleuters worden ervaringen gestimuleerd naar ontluikende
gecijferdheid toe
Ontluikende gecijferdheid is geen zaak voor vijfjarigen, maar begint vroeger. Eenvoudige begrippen
als veel, weinig, leeg, hoog, laag, in, uit, ... worden al bij de jongste kleuters gevormd. Deze
begripsvorming wordt gestimuleerd als kleuters interessant experimenteermateriaal wordt
aangeboden, in een „rijke‟ omgeving, waarbij hun veel kansen worden gegeven om de ruimte
motorisch te verkennen.
Het abstract denken groeit vanuit het sensomotorisch handelen. Daarom maken we dit
sensomotorisch bezig-zijn zo aantrekkelijk mogelijk. We zorgen ervoor dat jonge kleuters (en
natuurlijk ook oudere kleuters) actief kunnen zijn en heel veel ervaringen kunnen opdoen.
2.3.2
Er wordt gezorgd voor een ‘rijk’ milieu
We zullen niet passief de ontwikkeling van de kleuter volgen, maar wel zo goed mogelijk inspelen
op zijn ontwikkelingsbehoeften. In een rijk milieu, met materiaal dat uitdaagt tot verkennen en
ontdekken, kan de kleuter veel van zijn omgeving leren. We willen hierbij niet vergeten dat de
leidster deel uitmaakt van dat rijke milieu. Zij kan door gepaste impulsen en door een rijke en
ervaringsgerichte dialoog de kleuter enorm stimuleren.
80
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
2.3.3
De leraar ziet mogelijkheden in het spontaan spel van de kleuter en het zelf
ontdekken
Het spontaan spel van de kleuter biedt veel kansen. Die mogelijkheden zien en benutten vraagt van
de leidster wel een brede achtergrond in verband met ontluikende gecijferdheid en wiskundige
initiatie.
De kleuter beschikt over heel wat materiaal tijdens zijn spel en gaat daarmee spelen, handelen en
experimenteren. Hij ontdekt eigenschappen van de dingen. Het kind denkt hierbij aanschouwelijk
(concreet materiaal). Het assimileert taaltermen, mede met de hulp van de leid(st)er. Hij/zij
begeleidt de handelingen van de jongste kleuters met taal en zet oudere kleuters aan om hun
handelingen en hun ontdekkingen zelf te verwoorden.
2.3.4
Voortdurend is er aandacht voor een ervaringsgerichte dialoog
Door het gesprek met de kleuters helpen we hen om ervaringen te verwoorden en om die ervaringen
bewust te verwerken. Als we een kind de gelegenheid geven om zijn gedachten te verwoorden,
kunnen we bovendien beter volgen hoe het redeneert en kunnen we daar goed op inspelen. Ook de
dialoog tussen kleuters onderling is erg waardevol. Om die te bevorderen kunnen we de kleuters
zelfstandig maken: elkaar laten helpen en in de mate van het mogelijke samen problemen laten
oplossen.
2.3.5
Kleuters worden voor problemen gesteld
We stellen kleuters voor problemen, zetten ze aan tot denken, dagen ze uit om oplossingen te
vinden en om verschillende oplossingen met elkaar te vergelijken.
2.3.6
Functionele en geïntegreerde activiteiten worden aangeboden
Ontluikende gecijferdheid staat niet op zichzelf, maar helpt de kleuter bij de opbouw van zijn
wereldbeeld. Daarom zullen we de aspecten ervan integreren in andere activiteiten. We gebruiken
de weegschaal bij een kookactiviteit, in de winkel, bij een waarneming van fruit, ... . We sorteren bij
het inrichten van de winkel, het waarnemen van schoenen, het verkennen van een spel kaarten, ... .
Begrippen i.v.m. ruimtelijke posities en richtingen worden verwerkt in een ritmiekactiviteit, ... .
De beleving van het kind is steeds een totaliteitsbeleving. Dingen worden dus maar echt geleerd
wanneer ze voor het kind deel uitmaken van de totale situatie. Pas dan krijgen ze betekenis en leiden
opgedane ervaringen tot „ontwikkeling‟. Dit geldt ook voor de wiskundige ervaringen en de
wiskundige ontwikkeling van het kind.
2.3.7
Het leergebied wordt ruim benaderd
We zoeken aanknopingspunten bij aspecten van fysische en van sociale kennis. Wanneer we bv. een
winkelspel organiseren, zorgen we ervoor dat dit spel in een ruime context geplaatst wordt. In een
kringgesprek kunnen de kleuters hun ervaringen i.v.m. winkelen verwoorden. We brengen een
bezoek aan een winkel, maken er foto‟s en brengen prenten en koopwaar in de klas.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
ONTLUIKENDE GECIJFERDHEID
81
Het werken met spiegelbeelden geeft aanleiding tot het opdoen van informatie over de spiegel zelf:
waarvoor een spiegel gebruikt wordt, waarvan hij gemaakt is, spiegelende voorwerpen verzamelen,
zelf spiegels maken, ... .
Het wegen geeft mogelijkheden om ervaringen op te doen met zwaartekracht en evenwicht.
Pluimpjes omhoog blazen, spelen met een wip, een mobiel maken, ...
2.3.8
De betrokkenheid wordt verhoogd. Motivatie staat voortdurend in de kijker
Vertrekkend vanuit het spel of vanuit een verantwoord thema kunnen allerlei probleemstellingen
naar voren komen. De interesse opwekken is noodzakelijk wil het kind gemotiveerd aan een
activiteit deelnemen. Oefeningen en activiteiten die voor het kind té moeilijk of té gemakkelijk zijn,
zullen de motivatie doen verdwijnen.
Wil men de kinderen stimuleren dan zal het nodig zijn de beginsituatie van de kinderen te kennen.
De leraar zorgt voor een ruim en interessant aanbod, zodat alle kleuters materiaal vinden dat hen
aanspreekt en waar ze actief mee kunnen bezig zijn. Enkel op deze manier zullen we de
betrokkenheid realiseren die nodig is voor het echte leren.
Een voorbeeld: voor het stimuleren van het getalbegrip kunnen we een brede waaier van activiteiten
organiseren. We kunnen een knopendoos aanbieden, werpspelen organiseren, kaart- of
dobbelspelletjes aanleren, werkbladen ter beschikking stellen, ... . De kleuter kan dan zelf een keuze
maken uit deze activiteiten.
2.3.9
Het zelfstandig werk wordt bevorderd
We zullen ons aanbod zo organiseren, dat kleuters er zo zelfstandig mogelijk mee overweg kunnen:
- voor een dobbelsteenspel worden de spelregels symbolisch voorgesteld op een afleesfries;
- het recept voor het maken van deeg staat uitgetekend op een werkfries;
- de opdracht voor een werkblad staat symbolisch genoteerd;
- ... .
2.3.10
Er wordt een glijdende moeilijkheidsgraad ingebouwd
Deze activiteiten zijn dikwijls groepsactiviteiten waar de kleuters vrij voor kiezen. We organiseren
die activiteiten dan zo, dat er een variatie in de moeilijkheidsgraad mogelijk is.
Op die manier kunnen we tegemoetkomen aan het ontwikkelingsniveau van de kleuters waar we
toevallig mee werken:
- bij gezelschapsspelletjes is er een variatie in de spelregel;
- werkbladen worden individueel gegeven volgens het niveau van de kleuter;
- tijdens een logispel kan gebruikgemaakt worden van één, twee, drie of vier kenmerken van het
materiaal, ... .
82
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE
2.3.11
Kleuters worden gestimuleerd op hun eigen niveau
Kleuters kunnen, wat hun ontwikkelingsniveau betreft, enorm verschillen. Het is dan ook een grote
uitdaging om aan al die verschillende ontwikkelingsbehoeften te voldoen. We proberen alle kleuters
te stimuleren en ze zo ver te brengen in hun ontwikkeling als kan. Dat impliceert aandacht geven
aan kansarme kleuters, aan kleuters met een trage ontwikkeling of bepaalde achterstanden, maar er
ook voor zorgen dat „slimme‟ kleuters voldoende aan hun trekken komen. Een rijk klasmilieu en
een vrij kleuterinitiatief bieden daartoe zeker kansen.
2.3.12
Schematische voorstellingen komen daarna ...
Na het manipuleren van allerlei materialen kan het kind denken en handelen met afbeeldingen
ervan. Werken met prentmateriaal komt na het handelen met materiaal.
2.3.13
Evaluatie
Dagelijkse observatie is nodig om ontwikkelingen van de kleuters te kunnen volgen.
Om vast te stellen hoe het kind het leerproces doorgemaakt heeft, kan naast de permanente
observatie af en toe met speelwerkbladen worden gewerkt. Het veelvuldig gebruik ervan in de
kleuterschool is echter af te raden.
2.3.14
Foutenanalyse - remediëring
Via observatie kan worden vastgesteld welke kinderen de beoogde wiskundige begrippen hebben
geassimileerd en welke niet. De namen worden genoteerd in een volgsysteem en deze gegevens zijn
het vertrekpunt bij de daaropvolgende ondersteuningen.
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN
GETALLENKENNIS
Hoofdstuk 1
LEERLIJNEN GETALLEN
85
86
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
A Getallenkennis
Domein 1: GETALLEN
Getallenkennis
OD
ET
kleuters
1ste
fase
1.1
TELLEN
1
-
De leerlingen kunnen:
de getallenrij akoestisch opzeggen van 1 tot
en met 10; ....................................................
-
de mondeling begonnen getallenrij tot en
met 10 verderzetten in klimmende orde: 1,
2, 3, ... 10; ....................................................
-
de mondeling begonnen getallenrij tot en
met 10 verderzetten in klimmende orde,
ergens in de rij beginnend: 3, 4, 5, ... 10; .....
-
idem, maar in dalende orde.......................... .
2
De leerlingen kunnen van een beperkte
hoeveelheid (£ 5) aangeven hoeveel er zijn
door:
-
materieel handelend te tellen (verschuiven,
aanraken, aanwijzen);
-
verinnerlijkt te tellen;
-
ineens te overzien (zonder tellen).
3
De leerlingen kunnen met eenheden, tweetallen, vijftallen en machten van 10 tellen
en terugtellen in intervallen tussen 0 en:
10 ..................................................................
20 ..................................................................
100................................................................
1 000 .............................................................
10 000 ...........................................................
100 000 .........................................................
1 000 000 ......................................................
1 000 000 000 ...............................................
4
De leerlingen kunnen gestructureerde hoeveelheden onmiddellijk herkennen (zien
hoeveel er zijn) en zelf zo'n structuur aanbrengen in ongestructureerde hoeveelheden
tot en met 20.
OD
1.2
ET
1.1
2de
fase
lagereschoolkinderen
6j.
>
8j.
>
10j.
>
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN
Domein 1: GETALLEN
Getallenkennis
GETALLENKENNIS
OD
ET
kleuters
1ste
fase
1.2
GETALLEN LEZEN EN NOTEREN
1
De leerlingen kunnen de cijfersymbolen
(0,...,9) lezen en schrijven.
2
De leerlingen kunnen natuurlijke getallen
lezen en noteren tot en met
ET
1.5
20 .................................................................
100 ...............................................................
1 000 ............................................................
10 000 ..........................................................
100 000 ........................................................
1 000 000 .....................................................
1 000 000 000 ..............................................
Zij kunnen dat ook met kommagetallen (tot
en met 3 cijfers na de komma). ....................
3 De leerlingen kunnen gehele getallen < 0 lezen,
noteren en interpreteren in concrete situaties
(bv.: lift).
4 De leerlingen kunnen natuurlijke getallen groter
dan een miljard lezen en noteren:
-
met cijfers; .....................................
-
met machten van 10 (bv. 5 miljard
= 5 x 109 ). ...................................
Ze kunnen een beperkt aantal namen van
grote getallen hanteren (biljoen, triljoen,...,
gogol). ..........................................................
5
De leerlingen kunnen getallen met
Romeinse cijfers lezen en noteren:
-
tot en met XII (symbolen I, V, X); ...............
-
grotere getallen met symbolen: L, C, D, M. .
6
De leerlingen kunnen een intuïtieve
breukentaal hanteren:
-
de helft, een halve, een vierde (een kwart)
als resultaat van een verdeling in 2 of 4
gelijke delen; ................................................
ET
1.7
ET
1.4
2de
fase
87
lagereschoolkinderen
6j.
>
8j.
>
10j.
>
88
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
Getallenkennis
DOMEIN 1: GETALLEN
OD
ET
kleuters
1ste
fase
-
als operator: de helft, een vierde (een
kwart) nemen van een hoeveelheid of een
grootheid. .....................................................
7
De leerlingen kunnen de formele
breukentaal (een derde, twee vijfde...)
hanteren:
-
1
3
breuken lezen en noteren (
, ½,
,
2
4
2de
fase
lagereschoolkinderen
6j.
ET
1.5
ET
1.6
¾, ...); ..........................................................
-
de terminologie: stambreuk, breuk, teller,
noemer, breukstreep hanteren. .....................
8
De leerlingen kunnen de begrippen
natuurlijk getal, kommagetal en gemengd
getal hanteren.
9
De leerlingen kunnen het begrip procent
hanteren en het symbool % lezen en
noteren.
ET
1.4
ET
1.3
1.6
10
De leerlingen kunnen het begrip promille
hanteren en het symbool ‰ lezen en
noteren.
1.3
GETALLEN VOORSTELLEN EN POSITIESTELSEL
>
8j.
>
10j.
>
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN
Domein 1: GETALLEN
Getallenkennis
GETALLENKENNIS
OD
ET
kleuters
1ste
fase
1
De leerlingen kunnen in ongestructureerde
hoeveelheden tot 100 een tientallige
structuur aanbrengen en de hoeveelheid als
getal noteren.
2
De leerlingen kunnen, in concrete situaties,
hoeveelheden groeperen met als basis 2, 3,
4, 5... en deze groeperingen verwoorden,
tekenen en in het gegeven talstelsel lezen en
noteren. Ze beseffen dat de cijfers, die ze
daarbij gebruiken, altijd kleiner zijn dan de
groeperingsbasis.
3
ET
1.8
De leerlingen kunnen natuurlijke getallen
voorstellen met gestructureerd materiaal
(bv. MAB) en voorgestelde getallen
benoemen tot en met:
20 ................................................................
100 ...............................................................
1 000 ............................................................
4
De leerlingen kunnen van elk cijfer in een
gegeven getal de werkelijke waarde
bepalen. Ze doen dit met natuurlijke
getallen tot en met:
20 ................................................................
100 ..............................................................
1 000 ............................................................
10 000 .........................................................
100 000 ........................................................
1 000 000 .....................................................
1 000 000 000 ..............................................
en met kommagetallen tot 3 cijfers na de
komma.
5
De leerlingen kunnen getallen splitsen en
noteren in een tabel:
ET
1.5
2de
fase
89
lagereschoolkinderen
6j.
>
8j.
>
10j.
>
90
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
Getallenkennis
DOMEIN 1: GETALLEN
OD
ET
kleuters
1ste
fase
-
met tienen, énen .............................
-
met honderden, tienen, énen. ..........
Ze maken daarbij gebruik van de termen en
symbolen :
6
-
D (duizendtal), H (honderdtal), T
(tiental), E (eenheid), ................
-
TD (tienduizendtal), t (tiende), h
(honderdste), d (duizendste) .........
-
HD (honderdduizendtal) ................
-
Md (miljardtal), M (miljoental). ...
De leerlingen kunnen getallen omzetten in
de symbolen en omgekeerd
(bv.: 3045 = 3 D + 4 T + 5 E
2 E + 3 d = 2,003) tot en met:
1 000 (enkel natuurlijke getallen) .................
10 000 ..........................................................
100 000 ........................................................
1 000 000 .....................................................
1 000 000 000 ...............................................
7
De leerlingen kunnen op een tekening een
verdeelsituatie weergeven en de
bijpassende breuk noteren. Omgekeerd
kunnen ze bij een gegeven breuk de
verdeelsituatie tekenen en verwoorden.
8
De leerlingen kunnen op gestructureerd
materiaal (bv. honderdveld) een percentage
aanduiden en voorstellen.
1.4
VERGELIJKEN EN ORDENEN
ET
1.3
2de
fase
lagereschoolkinderen
6j.
>
8j.
>
10j.
>
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN
Domein 1: GETALLEN
Getallenkennis
GETALLENKENNIS
OD
ET
kleuters
1ste
fase
1
2
De leerlingen kunnen aangeven dat een
hoeveelheid gelijk blijft ook na een
herschikking in de ruimte (conservatie).
OD
De leerlingen kunnen zonder te tellen, maar
door een 1-1-relatie uit te voeren, twee
hoeveelheden vergelijken. Zij kunnen
daarbij de begrippen: (is) meer (dan), (is)
minder (dan),(is) evenveel (als), (is) gelijk
(aan), genoeg, te veel, te weinig, meest,
minst, één meer (dan), één minder (dan),
hoeveel meer, hoeveel minder, veel meer,
veel minder, verschil (tekort, rest,
overschot,...) hanteren.
OD
3
De leerlingen kunnen een beperkt aantal
hoeveelheden (van identieke of
verschillende elementen) ordenen van klein
naar groot en van groot naar klein.
4
De leerlingen kunnen, als plaats en richting
afgesproken zijn, een rangorde aanduiden
en verwoorden . Ze maken daarbij gebruik
van volgende begrippen:
5
-
rangtelwoorden: eerste, tweede,...,
laatste, voorlaatste, middelste .......
-
volgende, vorige, voor, na, naast,
tussen, boven, onder ......................
-
links, rechts ....................................
De leerlingen kunnen de conventie hanteren
dat een rangschikking, tenzij anders
afgesproken, verloopt van links naar rechts
en van boven naar beneden.
1.5
1.1
OD
1.3
2de
fase
91
lagereschoolkinderen
6j.
>
8j.
>
10j.
>
92
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
Getallenkennis
DOMEIN 1: GETALLEN
OD
ET
kleuters
1ste
fase
6
De leerlingen kunnen natuurlijke getallen
vergelijken, ordenen en plaatsen op een
getallenas. Zij kunnen een interval bepalen
en vaststellen of een getal al dan niet tot een
gegeven interval behoort in zo'n geordende
rij getallen tot en met:
ET
1.5
20 .................................................................
100 (ook plaatsen in honderdveld) ...............
1 000 ............................................................
10 000 ..........................................................
100 000 ........................................................
1 000 000 .....................................................
1 000 000 000 ..............................................
Ze kunnen dat ook met kommagetallen tot 3
cijfers na de komma.
7
De leerlingen kunnen de symbolen voor
vergelijking van aantallen =, ¹, < en >
hanteren en die koppelen aan de termen: is
evenveel als (gelijk), is niet evenveel als
(verschillend, niet gelijk), is minder dan
(kleiner), is meer dan (groter) .
8
De leerlingen kennen de symbolen £, ³ en
kunnen die koppelen aan de termen: is
minder dan of is evenveel als (kleiner of
gelijk), is meer dan of is evenveel als
(groter of gelijk),
9
De leerlingen kunnen stambreuken (tot en
met noemer 10) ordenen en daarbij
verwoorden dat de breuk kleiner wordt
naarmate de noemer groter wordt.
10
De leerlingen kunnen eenvoudige breuken
ordenen en plaatsen op een getallenlijn.
11
De leerlingen kunnen eenvoudige breuken
> 1 omzetten in zogenaamde gemengde
getallen en omgekeerd
(bv.
3
1
= 1 ).
4
4
ET
1.6
ET
1.5
2de
fase
lagereschoolkinderen
6j.
>
8j.
>
10j.
>
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN
Domein 1: GETALLEN
Getallenkennis
GETALLENKENNIS
OD
ET
kleuters
1ste
fase
12
13
14
De leerlingen kunnen de termen
gelijkwaardige en gelijknamige breuken
correct gebruiken.
De leerlingen kunnen gelijkwaardige
breuken vinden van een gegeven breuk (bv.
met behulp van een verhoudingstabel). Op
grond daarvan kunnen ze een breuk
vereenvoudigen (omzetten in
gelijkwaardige breuk met de kleinste
noemer) of breuken gelijknamig maken om
ze te kunnen ordenen.
De leerlingen kunnen decimale breuken
(noemer is een macht van 10) omzetten in
een kommagetal en omgekeerd
(bv.
ET
1.4
ET
1.22
ET
1.18
35
= 0,35) ........................................
100
Ze kunnen decimale breuken omzetten in
procenten en omgekeerd
(bv.
15
35
= 35 %). .......................................
100
De leerlingen kunnen eenvoudige breuken,
decimale breuken, kommagetallen en
procenten naar elkaar omzetten
(bv.
3 75
=
= 0,75 = 75 %).
4 100
ET
1.18
2de
fase
93
lagereschoolkinderen
6j.
>
8j.
>
10j.
>
94
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
Getallenkennis
DOMEIN 1: GETALLEN
OD
ET
kleuters
1ste
fase
1.5
FUNCTIES VAN GETALLEN
1
De leerlingen weten dat een natuurlijk getal
een hoeveelheid kan aanduiden. Ze
hanteren het begrip 'hoeveel' en geven
daarop een antwoord door te schatten, te
tellen of te rekenen.
1.2
De leerlingen weten dat een natuurlijk getal
een rangorde kan aangeven. Ze kunnen de
rangtelwoorden hanteren.
ET
2
3
4
5
6
7
1.6
De leerlingen gebruiken een natuurlijk getal
als maatgetal, zowel bij niet-conventionele
(handen, voeten, stappen...) als bij conventionele maateenheden (m, l, kg, ...).
De leerlingen weten dat een natuurlijk getal
ook kan gehanteerd worden om een code
weer te geven.
De leerlingen kunnen de verschillende
functies van natuurlijke getallen in
contexten onderscheiden en verwoorden. Ze
kunnen zelf voorbeelden bedenken bij elke
functie (aantal, maatgetal, rangorde,
code...).
De leerlingen kunnen (mondeling of
schriftelijk) met een breuk weergeven of een
breuk interpreteren als:
een deel (stuk) van ........................
-
het resultaat van een (ver)deling ....
-
een operator....................................
-
een verhouding ..............................
-
een getal ( met een plaats op de
getallenas)
-
een kans ..........................................
De leerlingen kunnen met een procent
weergeven of als een procent interpreteren:
een verhouding ..............................
-
een deel van ...................................
-
een kans ..........................................
-
een verandering (stijging of daling)
DELERS EN VEELVOUDEN
ET
1.2
ET
1.2
ET
1.2
ET
1.2
ET
1.4
2de
fase
lagereschoolkinderen
6j.
>
8j.
>
10j.
>
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN
Domein 1: GETALLEN
Getallenkennis
GETALLENKENNIS
OD
ET
kleuters
1ste
fase
1
2
De leerlingen kunnen door manipuleren (bv.
1-1-relatie) de volgende hoeveelheden
verdelen in 2 gelijke groepen (met en
zonder rest):
-
2, 3, 4, 5 ........................................
-
6, 7, 8, 9, 10 ...................................
-
hoeveelheden tussen 10 en 20 .......
De leerlingen kunnen in concrete situaties
verdelingen maken van:
een continue grootheid (bv. een
appel voor 4 kinderen) .................
OD
1.4
OD
2.4
-
3
een hoeveelheid, waarbij de
verdeling al dan niet een rest geeft:
( bv. 8 snoepjes voor 3 of 5
kinderen) .......................................
OD
1.4
een aantal continue grootheden
(bv. 3 koeken voor 2 kinderen) ....
De leerlingen kunnen de begrippen (eerlijk
of gelijk) verdelen, halveren, de helft,
verdubbelen, het dubbel, even (paar),
oneven (onpaar), correct hanteren en
toepassen op aantallen:
< 10 .............................................................
< 20 .............................................................
< 100 ...........................................................
< 1 000 .........................................................
> 1 000 ........................................................
4
De leerlingen weten wanneer een natuurlijk
getal een deler is van een ander. Ze weten
dat elk natuurlijk getal 1 en zichzelf als
deler heeft. Ze kunnen, in zinvolle
contexten, alle delers vinden van
natuurlijke getallen:
< 20 ..............................................................
< 100 ...........................................................
> 100 ...........................................................
ET
1.3
2de
fase
95
lagereschoolkinderen
6j.
>
8j.
>
10j.
>
96
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
Getallenkennis
DOMEIN 1: GETALLEN
OD
ET
kleuters
1ste
fase
5
6
7
De leerlingen weten dat een natuurlijk getal
met juist 2 delers (1 en zichzelf) een
priemgetal is en zij kunnen van de getallen
£ 100 vinden of het een priemgetal is.
Ze ontwikkelen een procedure om van
grotere getallen (> 100) vast te stellen of
het een priemgetal is.
De leerlingen kunnen van 2 natuurlijke
getallen (£ 100) de gemeenschappelijke
delers vinden en kunnen aangeven wat de
grootste gemeenschappelijke deler is. Ze
verwoorden in welke situaties ze die handig
kunnen gebruiken.
Ze kunnen dit ook voor meer dan 2 getallen
en/of voor grotere getallen.
De leerlingen verwoorden wanneer een
natuurlijk getal een veelvoud is van een
ander. Ze weten dat elk natuurlijk getal een
veelvoud is van 1 en dat elk getal 0 en
zichzelf als veelvoud heeft.
Ze kunnen enkele veelvouden opsommen
van getallen:
< 10 .............................................................
< 100 ...........................................................
< 1 000 .........................................................
ET
1.19
1.3
ET
1.3
2de
fase
lagereschoolkinderen
6j.
>
8j.
>
10j.
>
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN
Domein 1: GETALLEN
Getallenkennis
GETALLENKENNIS
OD
ET
kleuters
1ste
fase
ET
8
De leerlingen kennen de kenmerken van
deelbaarheid door:
-
2, 10 ..............................................
-
4, 5 ................................................
-
machten van 10 (100, 1 000...) .....
-
3, 9 ................................................
1.12
Ze verwoorden in welke situaties ze die
kenmerken handig kunnen gebruiken (bv.
bij de negenproef).
Ze kunnen vaststellen en verwoorden
wanneer een natuurlijk getal deelbaar is
door 8, 11, 25. ..............................................
Door combinatie van kenmerken van
deelbaarheid kunnen zij ook vaststellen
wanneer een getal een veelvoud is van 6
(deelbaar door 2 en 3), 12 (deelbaar door 3
en 4). ............................................................
9
De leerlingen kunnen van 2 natuurlijke
getallen (£ 20) gemeenschappelijke
veelvouden vinden en aangeven welk getal
het kleinste gemeenschappelijk veelvoud is.
Ze kunnen verwoorden in welke situaties ze
die handig kunnen gebruiken.
Ze kunnen dit ook voor meer dan 2 getallen
en/of voor grotere getallen (> 20).
10
De leerlingen kunnen natuurlijke getallen
opsplitsen in priemfactoren en dit als basis
gebruiken voor een algoritme om de g.g.d.
en het k.g.v. te vinden.
ET
1.20
1.3
2de
fase
97
lagereschoolkinderen
6j.
>
8j.
>
10j.
>
98
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
Getallenkennis
DOMEIN 1: GETALLEN
OD
ET
kleuters
1ste
fase
1.7
PATRONEN
1
-
2
De leerlingen kunnen een patroon
(in de realiteit gegeven of
getekend) van 2, 3 of 4 elementen,
verderzetten.
-
Ze kunnen ook de mondeling
geformuleerde samenstelling van
een patroon van 2, 3 of 4
elementen realiseren.
-
De leerlingen kunnen
zelfontworpen en -gerealiseerde
patronen verwoorden.
De leerlingen kunnen in een gegeven reeks
getallen een patroon herkennen, de rij
verder zetten en dit verwoorden bij:
-
2de
fase
OD
3.4
ET
1.12
een enkelvoudig patroon (bv.
telkens + 4 ); ..................................
een gecombineerd patroon (bv.
telkens +4, dan -3: bv. 1 5 2 6 3 7
...) ...................................................
3
1.8
De leerlingen kunnen de regelmaat in een
reeks getallen weergeven via een formule
met lettersymbolen en zo enige notie
verwerven van het begrip variabele.
AFRONDEN (HOEVEELHEDEN SCHATTEN)
lagereschoolkinderen
6j.
>
8j.
>
10j.
>
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN
Domein 1: GETALLEN
Getallenkennis
GETALLENKENNIS
OD
ET
kleuters
1ste
fase
1
2
3
4
De leerlingen kennen hoeveelheidsbegrippen die een benadering van een exact aantal
weergeven: veel, weinig, sommige, geen
(niets), alle(s), allemaal, een beetje, enkele,
een paar, ongeveer, bijna, ruim,... .
OD
De leerlingen kunnen strategieën hanteren
om in ongestructureerde hoeveelheden
structuur aan te brengen om zo tot een
schatting van het aantal te komen.
ET
De leerlingen kunnen natuurlijke getallen
afronden naar de dichtstbijzijnde macht van
10 (10, 100, 1 000...).
Zij houden daarbij rekening met het doel
van de afronding en de context om o.m. de
graad van nauwkeurigheid te bepalen.
De leerlingen kunnen kommagetallen en
gemengde getallen afronden naar de
dichtstbijzijnde eenheid, tiende of
honderdste. Zij houden daarbij rekening met
het doel van de afronding en de context om
o.m. de graad van nauwkeurigheid te
bepalen.
5
De leerlingen kunnen het symbool +
(ongeveer, plusminus) gebruiken om aan te
geven dat het daaropvolgende getal niet
exact maar slechts benaderend de
hoeveelheid weergeeft.
6
De leerlingen hebben enige notie van het
begrip oneindig.
Ze weten dat oneindig geen getal is,
niettegenstaande er een symbool (¥) voor
bestaat. Ze beseffen dat je voor elk gegeven
getal een nog groter getal kunt bedenken.
1.1
1.17
ET
1.15
ET
1.15
2de
fase
99
lagereschoolkinderen
6j.
>
8j.
>
10j.
>
100
B
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Bewerkingen
Domein 1: GETALLEN
Bewerkingen
OD
ET
kleuters
1ste
fase
1.9
BEGRIPSVORMING - REKENTAAL
1
De leerlingen hanteren vlot de rekentaal
i.v.m. bewerkingen:
OD
1.4
ET
1.9
erbij (en) - eraf
samen
bijdoen - wegdoen - afdoen
(bij)krijgen - weggeven
(bij)winnen - verliezen
keer (maal)
Zie ook leerlijnen getallen: 1.4 doel 2, 1.5
doel 1, 1.6 doel 3, 1.8 doel 1.
2
De leerlingen kunnen in concrete situaties
rekenhandelingen uitvoeren m.b.t. het
aantal en de hoeveelheid.
OD
1.4
3
De leerlingen kunnen deze rekenhandelingen verwoorden door gebruikmaking van de juiste begrippen.
(zie leerlijn 1.9 doel 1)
OD
1.4
ET
1.9
4
De leerlingen kunnen volgende begrippen
i.v. m. bewerkingen hanteren:
ET
1.3
1.9
-
optellen - aftrekken - vermenigvuldigen delen - plus - min - som - verschil vermeerderen - verminderen ........................
-
quotiënt - deeltal - deler - rest - term factor - product - aftrektal - aftrekker vergroten - verkleinen .................................
-
macht - exponent - wortel - kwadraat. ........
5
De leerlingen kunnen de symbolen - die bij
de rekenhandelingen horen - benoemen,
noteren en hanteren:
+, -, x en :
Ö (wortel) en ² (kwadraat)
ET
1.6
1.9
2de
fase
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN GETALLEN
Domein 1: GETALLEN
Bewerkingen
OD
ET
BEWERKINGEN
kleuters
1ste
fase
1.10
OPTELLEN EN AFTREKKEN TOT 10
1
De leerlingen kunnen optellen tot 10.
2
De leerlingen kunnen bij optellingen,
waarvan de som £ 10, de ontbrekende term
vinden (indirecte sommen of stipsommen).
3
De leerlingen kunnen van een natuurlijk
getal £ 10 een natuurlijk getal aftrekken.
4
De leerlingen kunnen natuurlijke getallen
£10 splitsen in 2 of meer getallen.
Bv.
6 = 3 en 3, 4 en 2, 5 en 1, ...
5
De leerlingen kunnen bij aftrekkingen
waarbij aftrektal en aftrekker £ 10, de
ontbrekende term vinden (indirecte
sommen of stipsommen).
6
De leerlingen kunnen in een vergelijking
met getallen £ 10, ontbrekende symbolen
(vergelijkingssymbool, bewerkingsteken,
getal) invullen.
ET
1.10
ET
1.10
ET
1.9
2de
fase
101
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
102
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
Bewerkingen
OD
ET
DOMEIN 1: GETALLEN
kleuters
1ste
fase
1.11
OPTELLEN
1
-
De leerlingen kunnen twee of meer getallen
optellen:
natuurlijke getallen; som £ 20 ....................
-
natuurlijke getallen; som £ 100 ..................
-
natuurlijke getallen; som £ 1000 ................
-
gelijknamige breuken .................................
-
natuurlijke getallen; som > 1000 ................
-
natuurlijk getal + kommagetal (of
breuk/gemengd getal) .................................
-
kommagetal (of breuk/gemengd getal) +
natuurlijk getal ............................................
-
kommagetal (of breuk/gemengd getal) +
kommagetal (of breuk/gemengd getal) ......
-
ongelijknamige breuken (gemengde
getallen) ......................................................
2
De leerlingen kunnen bij optellingen,
flexibel en inzichtelijk een doelmatige
oplossingsmethode toepassen, op basis van
inzicht in de eigenschappen van bewerkingen en in de structuur van de getallen.
het splitsen van getallen ..............................
bv.
47 + 26 = (47 + 20) + 6 = 67 + 6 = 73
/\
20 6
6 + 7 = (6 + 6) + 1 =12 + 1 = 13
/\
6 1
-
(verdubbelregel)
-
het aanvullen van getallen (compenseren) ...
bv.
47 + 26 = (47 + 30) - 4 = 77 - 4 =
73
-
het toepassen van de commutativiteit
(verwisselregel) ...........................................
bv.
6+9=9+6
ET
1.13
ET
1.23
ET
1.11
1.13
1.14
2de
fase
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN GETALLEN
Domein 1: GETALLEN
Bewerkingen
OD
ET
BEWERKINGEN
kleuters
1ste
fase
-
het toepassen van de associativiteit
(schakelen) .................................................
bv.
(8 + 3) + 4 = 8 + (3 + 4) =
11 + 4 = 8 + 7
-
het groeperen van getallen ..........................
bv.
13 + 25 + 17 + 15 =
(13 + 17) + (25 + 15) =
30
+
40
= 70
-
gelijknamig maken van breuken. .................
bv.
-
2 3
8
9
+
=
+
3 4 12 12
breuken in kommagetallen omzetten en
omgekeerd ..................................................
bv.
0,25 +
ET
1.22
ET
1.18
1
= 0,25 + 0,25
4
3
De leerlingen kunnen grote getallen met
eindnullen optellen.
bv. 32 000 + 12 000
ET
1.13
4
De leerlingen zijn in staat tot onmiddellijke
reproductie van correcte resultaten bij
optellingen tot 20.
ET
1.10
2de
fase
103
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
104
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
Bewerkingen
OD
ET
DOMEIN 1: GETALLEN
kleuters
1ste
fase
1.12
AFTREKKEN
1
De leerlingen kunnen twee of meer getallen
van elkaar aftrekken:
-
natuurlijke getallen £ 20 ..............................
-
natuurlijke getallen £ 100 ............................
-
natuurlijke getallen £ 1000 ..........................
-
gelijknamige breuken ..................................
-
natuurlijke getallen > 1000 ..........................
-
kommagetal - natuurlijk getal ......................
-
natuurlijk getal - kommagetal (of breuk,
gemengd getal) ............................................
kommagetal (of breuk/gemengd getal) kommagetal (of breuk/gemengd getal) .......
-
ongelijknamige breuken (gemengde
getallen) ......................................................
2
De leerlingen kunnen bij aftrekkingen
flexibel en inzichtelijk een doelmatige oplossingsmethode toepassen, op basis van
inzicht in de eigenschappen van be-werkingen en in de structuur van de getallen.
het splitsen van getallen...............................
bv. 36 - 28 = (36 - 20) - 8 = 16 - 8 = 8
/\
20 8
-
ET
1.13
ET
1.23
ET
1.11
1.14
-
het aanvullen van getallen (compenseren).
bv. 74 - 57 = (74 - 60) + 3 = 14 + 3 = 17
-
gelijknamig maken van breuken ..................
-
breuken en kommagetallen in elkaar
omzetten .....................................................
3
De leerlingen kunnen grote getallen met
eindnullen van elkaar aftrekken.
bv.
400 - 100
ET
1.13
4
De leerlingen zijn in staat tot onmiddellijke reproductie van correcte resultaten bij aftrekkingen met getallen tot 20.
ET
1.10
5
De leerlingen zien in dat de aftrekking niet
commutatief is en niet associatief is.
bv.
5-3¹3-5
8 - 5 = (8 - 3) - 2 ¹ 8 - (3 - 2)
2de
fase
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN GETALLEN
Domein 1: GETALLEN
Bewerkingen
1.13
1
OD
ET
ET
1.10
1.11
bv. 2 + 2 + 2 = 3 x 2
2
De leerlingen zien in dat bij een deling
of
-
een hoeveelheid in gelijke delen verdeeld
wordt (verdelingsdeling)
ET
1.10
1.11
dat er nagegaan wordt hoeveel keer een
getal in een hoeveelheid gaat
(verhoudingsdeling).
bv. 21 : 7 = 3 want 7 x 3 = 21
21 : 7 = 3 want 7 gaat 3 keer in 21
3
De leerlingen kunnen vermenigvuldigingen
verbinden aan de corresponderende delingen.
ET
1.10
1.11
bv. 3 x 6 = 18 « 18 : 3 = 6
4
De leerlingen zijn in staat tot een onmiddellijke
reproductie van correcte resultaten bij tafels
van vermenigvuldiging tot en met de tafel van
10 en de bijhorende deeltafels.
kleuters
1ste
fase
MAAL- EN DEELTAFELS TOT 100
De leerlingen zien in dat de vermenigvuldiging
een verkorte vorm is van herhaald optellen van
gelijke getallen.
BEWERKINGEN
ET
1.10
2de
fase
105
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
106
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
Bewerkingen
1.14
1
OD
ET
-
natuurlijke getallen; product £ 100 ..........
-
natuurlijke getallen £ 100; product £ 1000
-
natuurlijke getallen; product ³ 1000 .......
-
natuurlijk getal x kommagetal (ook < 1)
(of breuk/gemengd getal) .........................
-
kommagetal (ook < 1) (of breuk/gemengd
getal) x natuurlijk getal..............................
-
kommagetal (ook < 1) (of breuk) x
kommagetal (ook < 1) (of breuk)...............
2
De leerlingen kunnen bij een stambreuk als
operator de gelijkwaardigheid hanteren van:
een breuk x...
een breuk van ...
... delen door de noemer van de
breuk.
bv. 1/3 van 21 = 1/3 x 21 = 21 : 3
3
De leerlingen kunnen bij een breuk als operator
de gelijkwaardigheid hanteren van:
een breuk x...
een breuk van ...
... delen door de noemer en
vermenigvuldigen met de teller
van de breuk.
bv. 2/3 van 21 = 2/3 x 21 = (21 : 3) x 2
4
De leerlingen kunnen natuurlijke getallen
vermenigvuldigen met
10 ..............................................................
-
100 ............................................................
-
1000 ..........................................................
-
10 000 .......................................................
-
100 000. ....................................................
kleuters
1ste
fase
VERMENIGVULDIGEN
De leerlingen kunnen twee of meer getallen met
elkaar vermenigvuldigen:
DOMEIN 1: GETALLEN
ET
1.13
1.14
ET
1.23
ET
1.13
2de
fase
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN GETALLEN
Domein 1: GETALLEN
Bewerkingen
5
De leerlingen kunnen natuurlijke getallen
vermenigvuldigen met veelvouden van 10.
6
De leerlingen kunnen kommagetallen
vermenigvuldigen met machten van 10.
bv. 14,7 x 10
4,7 x 100
14,7 x 1000
7
De leerlingen kunnen bij vermenigvuldigingen,
flexibel en inzichtelijk een doelmatige
oplossingsmethode toepassen, op basis van
inzicht in de eigenschappen van de
bewerkingen en in de structuur van de getallen.
het hanteren van steunpunten .....................
bv. 19 x 7 is één maal 7 minder
dan 20 x 7
-
het toepassen van de commutativiteit
(verwisselregel) ..........................................
bv. 3 x 6 = 6 x 3
23 x 3 = 3 x 23
-
het toepassen van de associativiteit
(schakelen) .................................................
bv. 7 x 2 x 5 = 7 x 10 = 70
-
het toepassen van de distributiviteit van de
vermenigvuldiging t.o.v. de optelling
(= splitsen van het vermenigvuldigtal of de
vermenigvuldiger) ......................................
bv. 6 x 5 = (5 + 1) x 5 =
(5 x5) + (1 x 5) =
25 + 5 = 30
7 x 124 =
7 x (100 + 20 + 4) =
(7 x 100) + (7 x 20) + (7 x 4) =
700 + 140 + 28 = 868
-
het toepassen van de distributiviteit van de
vermenigvuldiging t.o.v. de aftrekking .....
bv. 9 x 5 = (10 - 1) x 5 =
(10 x 5) - (1 x 5) =
50 - 5 = 45
4 x 73 =
4 x (75 - 2) = (4 x 75) - (4 x 2) =
300 - 8 = 292
-
met inzicht vermenigvuldigen met
OD
ET
BEWERKINGEN
kleuters
1ste
fase
2de
fase
107
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
ET
1.13
ET
1.13
ET
1.11
1.13
1.14
De leerlingen kunnen een int
de helft, een halve, een vierde (e
108
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
Bewerkingen
van een kommagetal een breuk maken en
omgekeerd .................................................
bv. 2 x 0,75 = 2 x
-
8
3 6
=
4 4
van een percentage een breuk of een
kommagetal maken ....................................
bv. 40 % van 20 =
kleuters
1ste
fase
machten en veelvouden van 10 naar
analogie met de tafels ................................
-
OD
ET
DOMEIN 1: GETALLEN
2
van 20 = 8
5
De leerlingen kunnen natuurlijke getallen
vermenigvuldigen met 5; 25 en 50 ....................
De leerlingen kunnen kommagetallen
vermenigvuldigen met 5; 25 en 50 .....................
2de
fase
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN GETALLEN
Domein 1: GETALLEN
OD
Bewerkingen
ET
1.15
1
DELEN
De leerlingen kunnen twee getallen door elkaar
delen:
-
natuurlijke getallen; quotiënt, deler en
deeltal £ 100 ; zonder rest .........................
(60 : 3 / 60 : 20 / 75 : 5 / 75 :25)
-
natuurlijke getallen; quotiënt, deler en
deeltal £ 100 ; met rest ..............................
(60 : 7 / 65 : 20 / 45 : 7 / 47 : 25)
-
natuurlijke getallen; quotiënt, deler en
deeltal £ 1000 ; zonder rest .......................
(560 : 10 / 560 : 100 / 450 : 9 /
336 : 7 / 388 : 4 / ...)
-
natuurlijke getallen; quotiënt, deler en
deeltal £ 1000 ; met rest ............................
(566 : 10 / 566 : 100 / 455 : 9 /
-
392 : 7 / 378 : 4 / ...)
natuurlijke getallen delen door:
10 .........
100 .......
-
-
1000 .....
Het quotiënt blijft een natuurlijk getal.
natuurlijke getallen delen door: 10; 100;
1000
Het quotiënt wordt een kommagetal. .........
kommagetallen delen door: 10; 100 ...........
-
natuurlijke getallen delen door 10 000,
100 000, ... ................................................
-
kommagetallen delen door 1000, 10 000,
100 000, ... ................................................
-
natuurlijke getallen delen door
-
25; 50...
Het quotiënt blijft een natuurlijk getal.
natuurlijke getallen delen door: 5; 25; 50 ..
Het quotiënt wordt een kommagetal.
kommagetallen delen door: 5; 25; 50 .........
-
5 ...........
natuurlijke en kommagetallen delen door
0,1 / 0,01 / 0,001 .......................................
natuurlijk getal : kommagetal of breuk ......
kommagetal of breuk : natuurlijk getal......
kommagetal of breuk : kommagetal of
breuk .........................................................
ET
1.13
BEWERKINGEN
kleuters
1ste
2de
fase
fase
109
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
110
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
OD
Bewerkingen
ET
2
3
De leerlingen zien in dat de deling niet
commutatief is ( 6 : 3 ¹ 3 : 6).
De leerlingen zien in dat de deling niet
associatief is
ET
1.14
ET
1.14
bv. (15 : 3) : 2 ¹ 15 : (3 : 2)
4
De leerlingen kunnen bij delingen, flexibel en
inzichtelijk een doelmatige oplossingsmethode
toepassen, op basis van inzicht in de
eigenschappen van bewerkingen en in de
structuur van de getallen.
-
ET
1.11
1.13
1.14
het hanteren van steunpunten .....................
bv. 6550 : 5 = 2 x (6550 : 10) =
2 x 655 = 1310
-
een getal opsplitsen in factoren ..................
bv. 120 : 4 = (120 : 2) : 2 = 60 : 2 = 30
-
het toepassen van de distributiviteit van de
deling t.a.v. de optelling (= splitsen van
het deeltal) .................................................
bv. 75 : 5 = (50 : 5) + (25 : 5) =
10 + 5 = 15
-
het toepassen van de distributiviteit van de
deling t.o.v. de aftrekking ..........................
bv. 45 : 5 = (50 : 5) - ( 5 : 5) =
10 - 1 = 9
395 : 5 = (400 : 5) - (5 : 5) =
80 - 1 = 79
-
met inzicht delen in getallen met nullen. ....
bv. 3000 : 15 = 200 ® 30 : 15 = 2 ;
deeltal is 100 keer groter : quotiënt is
ook 100 keer groter.
-
het toepassen van de eigenschap 'het quotiënt verandert niet van waarde als men
het deeltal en de deler met eenzelfde getal
vermenigvuldigt of deelt............................
bv. 123 : 5 = 246 : 10 = 24,6
1.16
RELATIE TUSSEN BEWERKINGEN
DOMEIN 1: GETALLEN
kleuters
1ste
2de
fase
fase
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN GETALLEN
Domein 1: GETALLEN
OD
Bewerkingen
ET
1
De leerlingen weten dat optellen en aftrekken
omgekeerde bewerkingen zijn en passen dit toe
als controlemiddel.
2
De leerlingen weten dat vermenigvuldigen en
delen omgekeerde bewerkingen zijn en passen
dit toe als controlemiddel.
3
De leerlingen kunnen in sommige zinvolle
contexten gebruikmaken van de relaties tussen
bewerkingen.
BEWERKINGEN
kleuters
1ste
2de
fase
fase
ET
1.11
ET
1.11
ET
1.11
bv. winkelsituatie: teruggeven op 1000 fr.
(aftrekking) wordt uitgevoerd door bij te
passen tot 1000 fr.
4
De leerlingen kunnen in een vergelijking de
ontbrekende symbolen (vergelijkingssymbool,
bewerkingsteken, getal) invullen.
bv. 8 . 6 = 4 . 2
5
6
De leerlingen weten dat bij een serie
opeenvolgende bewerkingen de
vermenigvuldiging en de deling voorgaan op
de optelling en de aftrekking en dat het gebruik
van haakjes dit kan doorbreken.
ET
1.6
De leerlingen weten dat machtsverheffing een
verkorting is van herhaald vermenigvuldigen:
bv. 2³ = 2 x 2 x 2
1.17
WERKEN MET NUMERIEKE VERHOUDINGEN
111
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
112
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
OD
Bewerkingen
ET
1
2
De leerlingen kunnen een numerieke
verhouding vaststellen, bv. de verhouding
tussen de rode en zwarte kralen is 2 op 3.
ET
1.21
De leerlingen beheersen een passende strategie
om verhoudings- en kansproblemen op te
lossen.
bv. schikken in een verhoudingstabel,
opstellen van een rooster
3
De leerlingen kunnen twee of meer numerieke
verhoudingen vergelijken, bv. is de verhouding
ET
1.21
3 : 5 gelijkwaardig aan 5 : 7 ? ............................
Bij gelijkwaardige verhoudingen kunnen zij de
evenredigheidsfactor berekenen,
bv. 5 : 12 en 25 : 60 zijn gelijkwaardig, de
evenredigheidsfactor is 5. ..................................
4
5
De leerlingen kunnen gelijkwaardige
verhoudingen maken, al dan niet met een
gegeven evenredigheidsfactor. ..........................
1.21
Ze kunnen een verhouding omzetten in een
breuk of een procent en omgekeerd.
ET
Ze kunnen ook een procent berekenen ...............
1.25
De leerlingen kunnen bij twee gelijkwaardige
verhoudingen een ontbrekend
verhoudingsgetal (de vierde evenredige)
vinden.
ET
6
De leerlingen kunnen vaststellen of twee
verhoudingen recht of omgekeerd evenredig
zijn.
7
De leerlingen beseffen dat niet alle verhoudingen lineair zijn.
v. de kans op succes en het aantal pogingen
ET
1.21
DOMEIN 1: GETALLEN
kleuters
1ste
2de
fase
fase
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN GETALLEN
Domein 1: GETALLEN
OD
Bewerkingen
ET
1.18
1
TABELLEN EN GRAFIEKEN
De leerlingen kunnen 2 (of meer) stapels/rijen
gelijke voorwerpen (bv. brikken melk/choco)
vergelijken naar aantal aan de hand van de
hoogte/lengte van de stapels/rijen, en deze
vergelijking verwoorden.
2
De leerlingen kunnen 2 (of meer) reeksen
voorwerpen vergelijken naar aantal door de
reeksen voorwerpen te vervangen door
stapels/rijen gelijke blokken, en deze
vergelijking verwoorden.
3
De leerlingen kunnen 2 (of meer) reeksen
voorwerpen vergelijken naar aantal door de
reeksen voorwerpen te vervangen door gelijke
vakken en deze vergelijking verwoorden.
4
5
6
De leerlingen kunnen stapels/rijen schematisch
voorstellen door:
-
een symbool in elk corresponderend vak te
tekenen; ......................................................
-
slechts één symbool aan de rij te koppelen
(legende). ...................................................
De leerlingen kunnen een beeldgrafiek
samenstellen:
-
1 teken = 1 voorwerp; .................................
-
1 teken = het in de legende gegeven aantal
voorwerpen. ...............................................
De leerlingen kunnen kwantitatieve gegevens
aflezen op een horizontaal of verticaal
opgebouwde beeldgrafiek en met deze
gegevens eenvoudige berekeningen uitvoeren:
-
1 teken = 1 voorwerp; .................................
-
1 teken = het in een legende gegeven aantal
voorwerpen ................................................
OD
1.1
ET
1.8
BEWERKINGEN
kleuters
1ste
2de
fase
fase
113
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
114
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
OD
Bewerkingen
ET
7
8
9
De leerlingen kunnen reeksen voorwerpen in
een blokgrafiek voorstellen en daarbij de
verschillende reeksen benoemen:
-
1 teken = 1 voorwerp; .................................
-
1 teken = het in de legende gegeven aantal
voorwerpen;................................................
-
1 teken = een zelf te bepalen aantal
voorwerpen. ................................................
De leerlingen kunnen van een blokgrafiek
kwantitatieve gegevens aflezen en met deze
gegevens eenvoudige berekeningen uitvoeren:
-
1 teken = 1 voorwerp; .................................
-
1 teken = het in de legende gegeven aantal
voorwerpen. ................................................
De leerlingen kunnen zelfopgebouwde
blokgrafieken over dezelfde gegevens
vergelijken en de verschillen interpreteren.
10 De leerlingen kunnen een enkelvoudige tabel
samenstellen.
bv. leerjaar aantal lln.
1
17
2
21
3
24
...
...
11 De leerlingen kunnen van een enkelvoudige
tabel kwantitatieve gegevens aflezen en met
deze gegevens eenvoudige berekeningen
uitvoeren.
12 De leerlingen kunnen een kruistabel (= indeling
op meerdere categorieën) samenstellen.
bv.
leerj.
jongens meisjes totaal
1
9
8
17
2
11
10
21
3
12
14
26
...
DOMEIN 1: GETALLEN
kleuters
1ste
2de
fase
fase
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN GETALLEN
Domein 1: GETALLEN
OD
Bewerkingen
ET
13 De leerlingen kunnen van een kruistabel
kwantitatieve gegevens aflezen en met deze
gegevens eenvoudige berekeningen uitvoeren.
14 De leerlingen kunnen in een kruistabel
verbanden tussen gegevens ontdekken en
interpreteren.
15 De leerlingen kunnen bij een staafgrafiek (of
histogram) de betekenis van de twee assen
afleiden en vanuit deze gegevens de staven
benoemen.
16 De leerlingen kunnen van een staafgrafiek (of
histogram) de keuze van de intervallen, de
maateenheden, de meetpunten en de verhouding
met de reële kwantitatieve gegevens vaststellen.
17 De leerlingen kunnen van een staafgrafiek (of
histogram) kwantitatieve gegevens aflezen en
met deze gegevens eenvoudige berekeningen
uitvoeren.
18 De leerlingen kunnen een staafgrafiek (of
histogram) samenstellen.
19 De leerlingen kunnen een staafgrafiek (of
histogram) interpreteren.
20 Als in een staafgrafiek een evolutie wordt
weergegeven, kunnen de leerlingen die
ontdekken en verwoorden.
Dit soort staafgrafiek kunnen ze omzetten naar
een lijngrafiek.
21 De leerlingen kunnen van een lijngrafiek de
keuze van de intervallen, de maateenheden en
de verhouding met de reële kwantitatieve
gegevens vaststellen.
22 De leerlingen kunnen van een lijngrafiek
kwantitatieve gegevens aflezen en met deze
gegevens eenvoudige bewerkingen uitvoeren.
23 De leerlingen kunnen een lijngrafiek
samenstellen.
24 De leerlingen kunnen, bij een lijngrafiek,
schattingen van kwantitatieve gegevens maken
tussen twee meetpunten.
25 De leerlingen kunnen de evolutie die door een
lijngrafiek wordt weergegeven ontdekken,
verwoorden en interpreteren.
ET
5.2*
BEWERKINGEN
kleuters
1ste
2de
fase
fase
115
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
116
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
OD
Bewerkingen
ET
26 De leerlingen kunnen van een cirkelgrafiek (of
sectordiagram) verwoorden dat:
-
de oppervlakte van de cirkel het totaal
aanduidt; .....................................................
-
de sectoren de delen of percentages van het
geheel aanduiden. .......................................
27 De leerlingen kunnen van een cirkeldiagram (of
sectordiagram) kwantitatieve gegevens aflezen
en met deze gegevens eenvoudige bewerkingen
uitvoeren.
28 De leerlingen kunnen een cirkelgrafiek (of
sectordiagram) tekenen aan de hand van
gegevens.
Op de cirkel is de verdeling gegeven.
29 De leerlingen kunnen het gemiddelde bepalen
van een aantal hoeveelheden aangeboden in een
opsomming, een tabel, een grafiek.
30 De leerlingen kunnen verschillende grafische
voorstellingen van dezelfde gegevens met
elkaar vergelijken en kritisch beoordelen.
31 De leerlingen kunnen van een aantal
hoeveelheden, aangeboden in een opsomming,
een tabel of een grafiek, de modus en de
mediaan bepalen.
ET
5.2*
DOMEIN 1: GETALLEN
kleuters
1ste
2de
fase
fase
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN GETALLEN
Domein 1: GETALLEN
OD
Bewerkingen
ET
BEWERKINGEN
kleuters
1ste
fase
1.19
1
2
SCHATTEN
De leerlingen kunnen het resultaat van een te
maken bewerking schatten.
De leerlingen kunnen schattingsstrategieën vlot
toepassen
ET
1.16
ET
1.16
bv.
-
bepalen van de beste schatting
5 x 47 ® 5 x 40 of 5 x 50 of 5 x 60 of ...
-
groter - kleiner, meer - minder
4200 : 7 = 600 dus 4235 : 7 is meer dan
600
-
plaatsen tussen tientallen, honderdtallen,
...
12 x 26 ligt tussen 10 x 20 en 20 x 30
-
rekenen met afgeronde getallen
382 + 819 ® 400 + 800
3
4
De leerlingen maken spontaan een schatting bij
cijferoefeningen en contextopgaven.
De leerlingen hanteren de schatting als een
handig controlemiddel bij cijferoefeningen en
contextproblemen.
ET
1.16
ET
1.16
bv. bij cijferen: verifiëren of de komma (juist)
geplaatst is.
5
Indien de schatting te veel afwijkt van het
bekomen resultaat bij cijferoefeningen en
contextproblemen, sporen de leerlingen
spontaan de fout op.
6
In een bespreking van een opgave, voorgesteld
in vorige doelen, kunnen de leerlingen hun
schatprocedure verwoorden, vergelijken met
andere procedures en de meest effectieve
vinden en toepassen.
7
De leerlingen weten wanneer een exacte of een
geschatte berekening aangewezen is en kunnen
dit toepassen in contexten.
8
De leerlingen kunnen bij schatting de graad van
nauwkeurigheid (te groot, te klein) bepalen en
aanpassen aan de context.
ET
1.16
2de
fase
117
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
118
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
OD
Bewerkingen
ET
DOMEIN 1: GETALLEN
kleuters
1ste
fase
1.20
1
CIJFEREND OPTELLEN
De leerlingen kunnen natuurlijke getallen
cijferend optellen.
ET
1.24
( max. 5 getallen, som < 10 000 000)
2
3
De leerlingen kunnen natuurlijke getallen en
kommagetallen cijferend optellen.
De leerlingen kunnen kommagetallen cijferend
optellen.
ET
1.24
ET
1.24
2de
fase
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN GETALLEN
Domein 1: GETALLEN
Bewerkingen
OD
ET
BEWERKINGEN
kleuters
1ste
fase
1.21
1
CIJFEREND AFTREKKEN
De leerlingen kunnen natuurlijke getallen
cijferend aftrekken.
ET
1.24
(aftrektal < 10 000 000 - max. 8 cijfers)
2
De leerlingen kunnen een natuurlijk getal
cijferend aftrekken van een kommagetal.
3
De leerlingen kunnen kommagetallen cijferend
aftrekken zowel van een natuurlijk getal als
van een kommagetal.
ET
1.24
2de
fase
119
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
120
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
OD
Bewerkingen
ET
DOMEIN 1: GETALLEN
kleuters
1ste
fase
1.22
1
CIJFEREND VERMENIGVULDIGEN
De leerlingen kunnen een natuurlijk getal
vermenigvuldigen met een ander natuurlijk
getal bestaande uit:
-
één cijfer.....................................................
-
twee cijfers .................................................
-
drie cijfers ..................................................
2
De leerlingen kunnen een natuurlijk getal en/of
kommagetal cijferend vermenigvuldigen met
een ander natuurlijk getal en/of kommagetal
(vermenigvuldiger maximum drie cijfers product maximum 8 cijfers).
3
De leerlingen kunnen bij vermenigvuldigen met
een kommagetal de plaats van de komma
bepalen via een schatting of via de som van het
aantal cijfers na de komma in beide factoren.
4
De leerlingen kunnen de commutativiteit van
de vermenigvuldiging toepassen bij de keuze
van de vermenigvuldiger voor de uitvoering
van het algoritme.
ET
1.24
ET
1.24
2de
fase
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN GETALLEN
Domein 1: GETALLEN
OD
Bewerkingen
ET
BEWERKINGEN
kleuters
1ste
fase
1.23
1
CIJFEREND DELEN
De leerlingen kunnen een natuurlijk getal
cijferend delen door:
-
een natuurlijk getal van één cijfer tot op 1
nauwkeurig. ..............................................
-
een natuurlijk getal van twee cijfers tot op
1 nauwkeurig .............................................
-
een natuurlijk getal van één cijfer tot op
0,1 en 0,01 nauwkeurig (tot op 0,001
nauwkeurig). .............................................
De leerlingen kunnen een kommagetal cijferend
delen door een natuurlijk getal van één cijfer
tot op 1 - 0,1 - 0,01 nauwkeurig (tot op 0,001
nauwkeurig) . .....................................................
De leerlingen kunnen een natuurlijk getal of
kommagetal cijferend delen door :
-
een natuurlijk getal bestaande uit meer dan
één cijfer tot op 1 - 0,1 - 0,01 nauwkeurig
(tot op 0,001 nauwkeurig). .......................
-
een kommagetal bestaande uit 2 of 3
cijfers tot op 1 - 0,1 - 0,01 nauwkeurig
(tot op 0,001 nauwkeurig). ........................
2
De leerlingen kunnen de eigenschap 'het
quotiënt verandert niet van waarde als men het
deeltal en de deler vermenigvuldigt met of
deelt door eenzelfde getal' toepassen om bv. de
komma of de nullen weg te werken.
3
De leerlingen kunnen na de uitvoering van het
algortime van de deling de juiste waarde van
het resterend getal bepalen.
1.24
CIJFEREN ALGEMEEN
ET
1.24
2de
fase
121
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
122
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 1: GETALLEN
OD
Bewerkingen
ET
DOMEIN 1: GETALLEN
kleuters
1ste
fase
1
De leerlingen kunnen de getallen van een
cijferoefening ordelijk schikken, waar nodig
aanvullen met nullen en de oefening
zorgvuldig uitwerken.
2
De leerlingen kunnen het resultaat van een
cijferoefening controleren door:
-
het resultaat te vergelijken met de
schatting, ...................................................
-
de omgekeerde bewerking uit te voeren, ....
-
de bewerking uit te voeren met de
zakrekenmachine, ......................................
-
het resultaat te toetsen aan de realiteit die
in de context is weergegeven, ....................
-
de negenproef toe te passen ........................
en beseffen ook de beperkingen van elk van
deze strategieën.
3
4
Bij cijferoefeningen kunnen de leerlingen een
ontbrekende term berekenen.
Bij cijferoefeningen kunnen de leerlingen
ontbrekende cijfers in de termen vinden (=
vleksommen)
bv.
629
x
. 5
3.4.
. . 8 7
5
De leerlingen kunnen reflecteren over de
cijferalgoritmes.
bv. De leerlingen kunnen fouten in eigen of
andermans uitwerking opsporen,
corrigeren en ontwikkelen strategieën om
deze fouten te vermijden.
6
De leerlingen hebben weet van andere
cijferalgoritmes.
ET
1.11
ET
1.11
2de
fase
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN GETALLEN
Domein 1: GETALLEN
OD
Bewerkingen
ET
BEWERKINGEN
kleuters
1ste
fase
1.25
DE ZAKREKENMACHINE
1
De leerlingen kunnen de zakrekenmachine aanen uitzetten; ze kunnen ermee experimenteren
en exploreren het gebruik ervan.
2
De leerlingen kunnen de volgende toetsen
correct gebruiken:
+
-
x
¸
=
ET
1.6
............................................
1.26
............................................
1.27
. (kommatoets) ...........................................
C- en CE-toets ...........................................
% en geheugentoets ..................................
3
De leerlingen weten wanneer ze een
zakrekenmachine zinvol kunnen gebruiken.
4
De leerlingen kunnen verbaal aangeboden
natuurlijke getallen intikken.
5
6
Ze kunnen verbaal aangeboden kommagetallen
intikken.
ET
1.26
ET
1.26
Ze kunnen de zakrekenmachine vlot en correct
gebruiken bij de hoofdbewerkingen met
grotere getallen in zinvolle contexten en/of als
controlemiddel. .................................................
Ze kunnen dit ook met:
7
-
kommagetallen;
-
grotere reeksen getallen. ............................
Ze kunnen de zakrekenmachine correct
gebruiken bij het omzetten van breuken in
kommagetallen.
1.26
1.27
8
Ze kunnen de zakrekenmachine correct
gebruiken om percentages te berekenen.
ET
1.25
9
Ze kunnen een reeks opeenvolgende
bewerkingen (eventueel met haakjes ) correct
berekenen met de zakrekenmachine.
10 Ze kunnen met de zakrekenmachine de rest
bepalen van een deling.
11 De leerlingen weten dat er verschillende
rekenmachines bestaan en zijn in staat om deze
te exploreren.
ET
2de
fase
123
lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
REKENEN TOT 20
125
Hoofdstuk 2: DIDACTISCHE KATERNEN GETALLEN
1
Rekenen tot 20
1.1 Inleiding
De periode van het aanvankelijk rekenen beschouwen we als die periode waarin het kind leert om
praktisch gebruik te maken van 'getallen en andere rekensymbolen'.
Dit praktisch gebruikmaken van getallen en rekensymbolen onderstelt een voortschrijdend proces
van mathematisering. Bij dit proces wordt er vertrokken van de realiteit en de handelingswereld van
het kind om via materialen (rekenrek, multilinkmateriaal ...), modellen (busmodel, teltrein ...),
schema's (lege getallenlijn ...), tabellen en notatiewijzen uiteindelijk, in een latere fase, tot het
formele rekenen te komen.
Rekenen is mentaal handelen, maar kan (moet kunnen) terugvallen op concreet handelen. Vandaar
het belang van het vertrekken vanuit de realiteit en van het veelvuldig gebruik van materiaal.
Telervaringen sluiten zeer nauw aan bij de leefwereld van het kind. Tijdens het spel van kinderen
wordt er onbewust heel wat geteld.
Het vertrekpunt voor het aanvankelijk rekenen in het eerste leerjaar is dan ook het tellen, maar de
getelde hoeveelheden worden dan wel onmiddellijk gestructureerd.
126
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
1.2 Rekenen tot 10
Stappen in het proces
Materialen
Stap 1: Aftellen
Tijdens deze fase leren de kinderen de telwoorden in de
juiste volgorde opzeggen. Er worden geen hoeveelheden geteld.
De kwantitatieve ordeningsbegrippen: meer, minder,
evenveel, komen tijdens deze fase ook aan bod.
De hoeveelheden worden vergeleken door middel van
de één-één-relatie.
Voor meer suggesties bij deze stap verwijzen we naar
het didactisch katern Ontluikende gecijferdheid waar
zowel op begripsvorming als op tellen dieper wordt
ingegaan.
liederen en/of versjes
aftelspelletjes
Stap 2: Resultatief tellen
De kennis van de telrij wordt gekoppeld aan het tellen van hoeveelheden. (Hoeveel zijn er?)
Het resultatief tellen is zeer complex. Het
moeilijkheidsniveau wordt bepaald door:
- de verinnerlijking: we laten de voorwerpen
manipuleren, vervolgens aanwijzen en ten slotte
tellen met de ogen.
- de organisatie van het materiaal: een geordende rij
is gemakkelijker dan een ongestructureerde hoop.
Dezelfde voorwerpen tellen makkelijker dan
verschillende. Sommige dingen kun je niet aanraken, andere moet je tellen terwijl ze bewegen.
- de context: hoe dichter de telervaring aansluit bij
de concreet herkenbare situatie, hoe makkelijker;
kleurpotloden in een doos tellen is makkelijker dan
tellen hoeveel appels er getekend staan.
Ook over tellen en resultatief tellen vind je meer in het
didactisch katern Ontluikende gecijferdheid.
allerlei materialen uit de reële leefsituatie
van de kinderen: kleurpotloden,
speelgoed, dingen uit de poppenkast,
materialen in de kast, de stoelen en
tafels, de jassen aan de kapstok, de
fietsen in het fietsrek, de appels onder
de boom, de kinderen zelf, ...
schematisch voorgestelde realiteiten
Stap 3: Koppeling symbool - hoeveelheid
We leren de cijfersymbolen aan: de leerling neemt een gepaste hoeveelheid bij een gegeven cijfer en
omgekeerd.
-
-
concreet materiaal
schematisch materiaal
(hoeveelheidskaarten)
symboolkaarten
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
Stap 4: Hoeveelheden
vergelijken
(en
hun
REKENEN TOT 20
127
symbolen)
Al tellend (niet meer door de één-één-relatie) bepaalt
het kind of een hoeveelheid meer of minder is dan een andere. Er worden ook symbolen (cijfers) vergeleken.
concreet materiaal
schematisch materiaal
(hoeveelheidskaarten)
-
symboolkaarten
Stap 5: Kleine hoeveelheden 'op zicht' herkennen.
-
Deze stap is fundamenteel. Het herkennen van kleine
hoeveelheden zonder te tellen is een voorwaarde voor
het automatiseren van de basissommen tot 10. De
hoeveelheden worden gestructureerd aangeboden.
In een latere fase worden de hoeveelheden ook
ongestructureerd aangeboden en door de kinderen zelf
in een vaste structuur gelegd of getekend.
-
hoeveelheidskaarten met een structuur
(steeds dezelfde!)
vijfstructuur
kwadraat
domino
flashkaarten
Stap 6: Splitsen van hoeveelheden
Met concreet materiaal worden de reeds aangeleerde
hoeveelheden en hun symbolen gestructureerd in twee groepjes.
Het is een zuiver materiële fase: de splitsing wordt gelegd, verwoord en eventueel genoteerd. Het
automatiseren volgt later.
concrete materialen
splitsdozen
Stap 7: Ordenen van de getallen op de getallenlijn
Alle gekende getallen worden geordend van klein naar groot en gesitueerd op een getallenlijn. De kinderen
leren deze lijn gebruiken als 'telstructuur' Ze leren
door- en terugtellen (van 5 door tot 8, van 8 terug tot 3). Dit door- en terugtellen is een belangrijke
handelingsstructuur voor de latere automatisatie van de
basissommen.
Alle getallen tot 10 worden op dezelfde wijze
aangepakt. Uiteindelijk kunnen de kinderen de
hoeveelheden tot 10 tellen, benoemen, ordenen en
structureren.
een klassikale 'ballenketting' (een ketting
met ballen i.p.v. kralen)
een getallenlijn
128
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Stap 8: Omzetten van een handeling in een formule
(HÞF)
We gebruiken getallen niet enkel om hoeveelheden te benoemen, maar ook (en vooral) om erbij- en erafhandelin-gen te ‘mathematiseren’.
De bewerkingssymbolen (+, -) en het gelijkheidsteken
(=) worden in deze fase aangeleerd.
Bij het omzetten van een verhaal in een som en bij het
bedenken van een verhaal bij een som, kan
gebruikgemaakt worden van modellen. Zo een model
moet in een zinvolle context geplaatst kunnen worden.
Een voorbeeld daarvan is het 'busmodel’ of de
‘busverhaaltjes'.
reële situaties
prentsituaties
-
bus- of treinmodel
-
bewerkings- en cijfersymbolen
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
Stap 9: Automatiseren van de sommen tot 10
De sommen tot 10 moeten vlot uit het hoofd opgelost
kunnen worden. Op zeker moment moeten we dus het materiaal kunnen weglaten wanneer we sommen gaan
maken.
Om in deze fase tellen te vermijden, laten we de
kinderen met een kralenketting of met een rekenrek
werken. Door het werken met gestructureerde
materialen, groeien vaste getalbeelden en kunnen
kinderen hoeveelheden in één keer identificeren (zie
stap 5). Wij opteren voor materialen met een
vijfstructuur (kralenketting, rekenrek) omdat ze ook
kunnen worden gebruikt bij het rekenen tot 20 en
omdat ze een gemakkelijke overgang naar de
getallenlijn en later ook naar een kralenketting met 100
kralen mogelijk maken. Ook bieden ze het voordeel dat
ze voor kinderen heel gemakkelijk te hanteren zijn. Het
is echter evident dat ook andere materialen (met bv.
een kwadraatstructuur) kunnen worden gebruikt om de
sommen tot 10 stapsgewijs te automatiseren. Wel is het
belangrijk dat de voorstelling van een bepaalde
hoeveelheid (bv. 3) zichtbaar blijft in de volgende
hoeveelheden (bv. in 4, in 6). Bij dominobeelden is dit
niet het geval. Het gebruik van Cuisenaire-staafjes
heeft als nadeel dat het aantal (bv. 5) niet zichtbaar is.
Het getal wordt gekoppeld aan een kleur (bv. 5 is geel)
en een lengte, maar de kinderen zien in de staaf geen '5'
blokjes, eenheden.
Hierna bespreken we aan de hand van het gebruik van
de kralenketting een aantal stappen om de sommen tot
10 stapsgewijs te verinnerlijken.
9.1 De sommen worden volledig materieel op de
kralen-ketting geschoven.
9.2 Een gedeelte van de handeling wordt innerlijk
verricht. Enkel het uitgangsgetal wordt gelegd,
erbij en eraf wordt ‘gekeken’. Verwoording zoals
in 9.1
9.3 De handeling wordt innerlijk verricht. De
kinderen mogen wel naar de kralenketting
wijzen. De verwoording blijft zoals in 9.1
9.4 De kralenketting blijft voor de kinderen liggen.
Er wordt niet meer hardop verwoord. De leerling
verwoordt innerlijk, terwijl hij kijkt. Hij mag wel
gebaren maken om zijn verwoording te
ondersteunen.
9.5 De kralenketting wordt niet meer gebruikt. Er is
wel een groot klassikaal schema van de ketting,
dat biedt visuele ondersteuning, nu echter in
twee dimensies.
9.6 De sommen worden nu volledig mentaal
opgelost.
REKENEN TOT 20
kralenketting (met 2 vijfstructuren)
rekenrek
129
130
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Stap 10: Automatiseren van de splitsingen tot 10
De automatische kennis van de splitsingen tot 10 is
onontbeerlijk voor het verdere rekenproces.
10.1 Met behulp van de kralenketting wordt een
hoeveelheid gesplitst, de twee termen worden benoemd en de splitsing wordt genoteerd.
10.2 Zie 10.1 De splitsing wordt niet meer uitgevoerd op de kralenketting, maar visueel aangeboden in
schematische vorm. De kinderen verwoorden en
noteren in T-schema of als som (9=5+4)
10.3 Zie 10.2 De splitsing wordt niet meer visueel
aan-geboden. De leerling krijgt enkel nog steun
van het volledige (ongesplitste) getal.
10.4 De splitsingen worden volledig mentaal opgelost.
kralenketting
rekenrek
splitsingsdoosjes (met deksel dat in 2
helften opengaat)
Verworven deelvaardigheden
Alhoewel de hierboven beschreven stappen in de realiteit niet ten volle van elkaar te scheiden zijn
en in elkaar overvloeien, moeten we erover waken dat een aantal deelvaardigheden zeker verworven
zijn. Tussentijds kunnen volgende deelvaardigheden worden getoetst:
-
kunnen tellen (aftellen en resultatief);
de koppeling symbool - hoeveelheid beheersen;
hoeveelheden en hun symbolen kunnen vergelijken;
kleine hoeveelheden op zicht kunnen herkennen;
hoeveelheden tot 10 kunnen structureren en splitsen;
de getallen kunnen ordenen op een getallenlijn;
een handeling in een formule kunnen omzetten en omgekeerd en daarbij de gepaste cijfer- en
rekensymbolen kunnen hanteren;
rekenhandelingen kunnen uitvoeren en verwoorden;
de sommen (+ en -) en de splitsingen tot 10 geautomatiseerd hebben.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
REKENEN TOT 20
131
1.3 Rekenen tot 20
Als basis voor het rekenen nemen we het veelvuldige, spontane tellen van kinderen. Rekenen is
immers gebaseerd op tellen. Tellen is het één voor één afgaan van de telrij. Optellen en aftrekken is
het sprongsgewijze tellen waarbij een hoeveelheid in zijn geheel wordt beschouwd (6 is 6 en niet 1,
2, 3, 4, 5, 6). Optellen en aftrekken zijn dus gebaseerd op tellen.
Het bijzondere van ons getalsysteem komt pas tot uiting als we met getallen groter dan 10 gaan
werken. Om het rekenen met getallen groter dan 10 onder de knie te krijgen, moeten kinderen
inzicht verwerven in het positiestelsel. Dit inzicht beduidt dat het kind, bij het structureren van
hoeveelheden in getallen, steeds van maateenheid wisselt na een afgesproken hoeveelheid. Tien
losse blokjes worden een staaf, tien staven worden een plak, tien plakken worden ingewisseld in een
blok enzovoort. Dankzij dit inwisselprincipe kunnen we oneindig grote of oneindig kleine getallen
schrijven met slechts tien symbolen.
Dit inzicht in de getalstructuur hebben we in een later stadium nodig als basis voor het
'hoofdrekenen' en het 'cijferen'.
132
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
1.3.1 Getalbegrip tot 20
Stappen in het proces
Materialen
Stap 11: Tellen tot 20
De kinderen leren hoeveelheden tellen tot 20. We
controleren of iedereen de telrij kent.
Dan koppelen we het tellen aan resultatief tellen: tellen
om de hoeveelheid te bepalen. Bij grotere
hoeveelheden kan dit het makkelijkst door de
hoeveelheid te ordenen: we groeperen steeds eerst tien
en tellen dan de rest.
-
Stap 12: Koppelen van symbolen aan getelde
hoeveelheden
De hoeveelheden worden gestructureerd en geteld in
een schema. Onderaan wordt genoteerd wat er gelegd
werd.
-
De leerlingen gebruiken concreet materiaal (bv. een
volle eierdoos, die dan dichtgaat en een tweede doos
met nog drie losse).
Nadien kan o.a. ook multilink-materiaal gebruikt
worden om het inwisselprincipe te visualiseren (tien
losse blokjes worden samengeklit tot een staaf).
Het lezen en schrijven van tweecijferige getallen
We blijven even stilstaan bij het lezen van
tweecijferige getallen omdat dat in onze taal meer
problemen geeft dan in andere talen. Daarom is het
belangrijk om bij activiteiten er regelmatig op te wijzen
(zelfs in te oefenen), dat wij eerst de losse zeggen en
daarna de groepjes van 10. Van links naar rechts
schrijven we eerst de groepjes van tien en dan de losse.
concrete voorwerpen
eierdozen van 10
kralenketting
rekenrek
twintigveld met vijfstructuur
eierdozen
multilink-materiaal
optima-blokken
MAB-materiaal (staven, losse)
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
REKENEN TOT 20
Stap 13: Hoeveelheden tot 20 vergelijken
Al tellend bepaalt het kind of een hoeveelheid meer of minder is dan een andere.
Er kunnen concrete hoeveelheden vergeleken worden
en ook de getalsymbolen zelf. In dat laatste geval moet
het kind steeds kunnen teruggrijpen naar concreet
materiaal om deze symbolen voor te stellen.
hoeveelheidskaarten
symboolkaarten
Stap 14: Snel herkennen van voorgestructureerde
hoeveelheden
Er worden aan de kinderen voorgestructureerde hoeveelheden aangeboden (op flashkaarten, op een bedekbaar transparant, ...)
De hoeveelheden worden echter steeds geordend in 10
en nog losse (die op zich ook gestructureerd zijn).
flashkaarten
transparanten
Stap 15: Getallen tot 20 structureren in een tiental
en eenheden
Met materiaal wordt ieder getal systematisch
gestructureerd.
De wijze van structurering is afhankelijk van het
gekozen materiaal, essentieel is evenwel dat steeds een
ordening naar tien wordt gemaakt. In een twintigveld
met vijfstructuur werken, lijkt ons de meest
aangewezen weg. Twee eierdozen van 10 eieren zijn
prachtig en goedkoop materiaal; een kaart met een
eenvoudig raster waarop kinderen hoeveelheden
voorwerpen (bv. blokjes, flippo's, kroonkurken) kunnen
structureren, voldoet ook. De kralenketting met
vijfstructuur is hier iets minder interessant omdat het
structureren in tien en losse hier hoofddoel is. Een
kralenketting met tienstructuur is wel zinvol, vooral
omdat deze ook uiterst nuttig kan worden aangewend
bij het uitbreiden van de getallenrij tot 100.
De structurering in geautomatiseerd (15 is 10 en 5).tien
en losse wordt
-
splitskaarten
rekenrek
kralenketting
eierdozen van 10
twintigveld met vijfstructuur
-
T-schema
133
134
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Stap 16: Opbouwen van de getallenlijn tot 20
De hoeveelheden tot 20 en de symbolen worden
geordend op een getallenlijn.
-
getallenlijn
ballenketting (klassikaal)
De ballenketting (zie ook stap 7) is eigenlijk een
grote klassikale kralenketting, die geleidelijk
met de kinderen opgebouwd wordt. Telkens er
een getal aangeleerd wordt komt er een nieuwe
bal bij op die ketting (op elke bal staat een
cijfersymbool). Tussen elke bal wordt een
wasknijper geplaatst. De ballen kunnen gekleurd
zijn zodat we hier ook weer de vijfstructuur
kunnen inbrengen.
Het is vooral de bedoeling om de gekende
getallen te ordenen op de getallenlijn en om
door- en terug-teloefeningen op deze lijn uit te
voeren. Er moet ook op de wasknijpers gewerkt
worden: de leraar toont een knijper en vraagt
aan de kinderen: 'Hoeveel ballen hebben we
moeten tellen om bij deze knijper te komen?' Dit
soort oefeningen is noodzakelijk om de
volgende stap te zetten naar de getallenlijn
zonder symbolen. Op een bepaald ogenblik
vervangt
de
leraar
de
ballen
door
symboolkaarten die aan de wasknijpers worden
gehangen. Hij/zij moet deze stap samen met de
kinderen zetten: aan de eerste spijker hadden we
nog geen enkele bal geteld (symboolkaartje 0),
aan de tweede knijper hadden we één bal geteld
(symboolkaartje 1) en zo verder.
De leerlingen leren door- en terugtellen op deze lijn.
De kinderen bouwen een getallenlijn op en
Het werken met een getallenlijn biedt het voordeel dat krijgen meteen inzicht in de positie van de nul
de relatie tussen de getallen verduidelijkt wordt. op de lijn. Bij het streepje van nul hebben we
Bovendien is de getallenlijn een handig instrument bij immers nog niet geteld.
het hanteren van rekenstrategieën, zowel bij optellen en
aftrekken tot 20 en verder.
kralenketting
Verworven deelvaardigheden
De hierboven beschreven stappen zijn in de realiteit niet ten volle van elkaar te scheiden. Toch moeten we
erover waken dat een aantal deelvaardigheden verworven zijn. Tussentijds kunnen volgende
deelvaardigheden worden getoetst:
- kunnen 'tellen' tot 20;
- de koppeling symbool-hoeveelheid beheersen;
- voorgestructureerde hoeveelheden tot 20 snel kunnen herkennen;
- getallen tot 20 kunnen structureren in een tiental en eenheden;
- een getallenlijn tot 20 kunnen opbouwen.
HOOFDSTUK 2
1.3.2
DIDACTISCHE KATERNEN
REKENEN TOT 20
Bewerkingen tussen 10 en 20
Stap 17: Bewerkingen tussen 10 en 20
17.1 Handelingen uit de realiteit dienen te worden
omgezet in een somnotatie, een formule. Het
busmodel, ook wel buscontexten of busverhalen
genoemd, kan daarbij een belangrijk hulpmiddel
zijn.
Ook een of andere teltrein kan op gelijkaardige
wijze worden aangewend en biedt bovendien
mogelijkheden om de stap naar het meer
schematische twintigveld of het rekenrek te
vergemakkelijken. Deze trein bestaat immers uit
een locomotief en twee wagons met telkens tien
passagiers (houten poppetjes) verdeeld in twee
rijen van vijf.
Nadien wordt gegeneraliseerd via andere verhaaltjes.
Vervolgens wordt de formule uitgerekend met behulp
van de kralenketting, de getallenlijn, het rekenrek of
het twintigveld met vijfstructuur.
Ten slotte worden de somnotaties stapsgewijs
verinnerlijkt.
We illustreren dit aan de hand van het
rekenrek/twintigveld:
-
-
Eerst wordt met het rekenrek/twintigveld
geschoven, eventueel bijgelegd/weggenomen.
De handeling wordt verwoord.
Het erbij/eraf wordt erbij of eraf 'gekeken'.
Het materiaal wordt niet meer aangeraakt, de
hele handeling wordt 'gekeken'.
De opgave wordt opgelost op perceptief niveau
(kijken naar het klassikale rek).
Mentaal niveau: geen ondersteuning van
materiaal en geen luidop verwoorden meer.
17.2 Optelsommen waarbij de tweede term groter is
dan de eerste.
Dit soort oefeningen wordt steeds opgelost via de
commutativiteit. We laten de kinderen ervaren via
concreet materiaal, busschema, ... dat de termen bij een
optelling verwisseld mogen worden.
- rekenverhalen
- kralenketting
- teltrein
(bv. twee eierdozen met wieltjes)
135
136
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
1.3.3 Bewerkingen met overschrijden van het tiental
Stap 18: Bewerkingen met overschrijden van het
tiental.
De bewerkingen met overschrijding van het tiental tot
twintig zijn een belangrijke stap in het leerproces en
moeten de nodige aandacht krijgen. Dit wil echter niet
zeggen dat de school er niet kan voor opteren om eerst
de getallenrij tot 100 uit te breiden en zelfs optellingen
en aftrekkingen tot 100 binnen hetzelfde tiental (bv. 37
+ 2, 88 - 7) aan te bieden. Het overbruggen doen we
echter grondig tot 20 voor we de andere
overbruggingen aanpakken.
Rekenvaardige kinderen zullen als het ware op een
bijna natuurlijke wijze op zoek gaan naar een strategie
bij het overbruggen van 10. Deze kinderen zullen 7+6
oplossen als 7+3+3 of zullen bijvoorbeeld de
verdubbeling gebruiken en 7+6 oplossen als 6+6+1.
Rekenzwakke leerlingen hebben echter behoefte aan
één vaste basisstructuur. We opteren voor hen voor de
techniek van 'aanvullen tot 10' (8+5=8+2+3) als
basisprincipe.
Daarvoor moet het kind niet alleen de splitsingen van
alle getallen tot 10 blindelings kennen. Het moet ze ook
in zijn geheugen kunnen vasthouden. Het eerste getal
aanvullen tot 10 met het eerste deel van de splitsing en
dan pas de rest van deze splitsing bij 10 voegen. Het
materiaal moet aanzetten tot het sprongsgewijs tellen.
De kralenketting en het rekenrek of het twintigveld met
vijfstructuur blijven het meest aangewezen materiaal
om het splitsen en het sprongsgewijs tellen onder de
knie te krijgen.
Later wordt er overgestapt naar het werken met een
lege getallenlijn. Deze lege getallenlijn is bijna een
natuurlijk vervolg op de kralenketting en is allicht één
van de krachtigste hulpmiddelen bij het rekenen tot 100
(en tot 20).
De voorwaarde om de lege getallenlijn te kunnen
hanteren is echter wel dat het kind de
basisvaardigheden van het splitsen en het
sprongsgewijs tellen bezit.
- kralenketting
- rekenrek
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
18.1 Vertrekkend vanuit contexten met een
modelfunctie (bv. busmodel of de teltrein) wordt
de handeling omgezet in een formule. Kinderen
zien de dynamische verandering, daardoor
realiseren ze zich wat er gebeurt. Aan de
handeling kunnen kinderen een bepaalde
betekenis koppelen. Ook het nulprobleem
kunnen we binnen deze contexten bevattelijk
maken (0 betekent dat er niemand op de
bus/trein zit, dat er niemand op- of afstapt of dat
iedereen afstapt).
18.2 Gebruikmakend van gestructureerd materiaal
worden de oefeningen opgelost. Door de
structuur kunnen de kinderen het resultaat ineens
'zien'.
18.3 Stapsgewijze verinnerlijken we met behulp van
hetzelfde gestructureerd materiaal.
Als voorbeeld werken we dit hierna uit met
behulp van het rekenrek/twintigveld:
-
-
Eerst wordt met het rekenrek/twintigveld
geschoven, eventueel bijgelegd/
weggenomen. De handeling wordt
verwoord.
Het erbij/eraf wordt erbij of eraf 'gekeken'.
Het materiaal wordt niet meer aangeraakt,
de hele handeling wordt 'gekeken'.
De opgave wordt opgelost op perceptief
niveau (kijken naar het klassikale rek).
Mentaal niveau: geen ondersteuning van
materiaal en geen luidop verwoorden meer.
REKENEN TOT 20
137
138
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Stap 19: Integratie van alle somtypen: gebruik van
de lege getallenlijn
Alle mogelijke sommen tot 20 kunnen nu worden
opgelost. De kinderen gebruiken gestructureerd
materiaal met vijfstructuur.
Daarnaast kunnen zij deze sommen ook oplossen met
behulp van de getallenlijn. Zo worden ze aangespoord
om sprongsgewijze te blijven rekenen en dit met een
hulpmiddel (model) dat ook bij het rekenen tot 100 en
1000 grote diensten zal kunnen blijven leveren.
We vatten de stappen even samen:
de lege getallenlijn wordt aan de kralenketting
gekoppeld;
er worden sommen gemaakt met behulp van de
lege getallenlijn: er wordt sprongsgewijze
geteld naar het tiental (rijgmethode);
sommen tot 20 worden volledig mentaal
opgelost.
Stap 20: Automatiseren van de splitsingen tot 20
De splitsingen tot 20 worden geautomatiseerd.
De automatische kennis van de splitsingen tot 20 is
belangrijk voor het verdere rekenproces.
Zowel de splitsingen zonder brug (type 17 is 4 en 13)
als splitsingen met brug (17 is 8 en 9) komen aan bod.
Deze automatisering gebeurt door dergelijke types
oefeningen geregeld in te oefenen volgens de stappen
die we in 18.3 opsomden.
Een zinvolle oefenvorm is de splitsing die aangeboden
wordt in T-schema.
- kralenketting (ruiters)
- ballenketting (wasknijpers)
- getallenlijn
HOOFDSTUK 2
1.4
DIDACTISCHE KATERNEN
REKENEN TOT 20
139
Besluit
Het proces dat kinderen doormaken bij het leren rekenen is ongetwijfeld een ingewikkeld en
complex proces. Kinderen ontwikkelen bij het rekenen vaak ook eigen strategieën, waarin
wij als leraar niet meteen inzicht hebben. We hebben de didactiek van het rekenen tot twintig
in deze katern in twintig stappen opgedeeld.
We beseffen heel goed dat deze opdeling, zoals elke opdeling, altijd wat kunstmatig zal
blijven en de beschreven stappen in de realiteit niet ten volle van elkaar te scheiden zijn en
in elkaar zullen overvloeien.
Toch hebben we voor deze vorm gekozen omdat we leraren een belangrijk hulpmiddel ter
hand willen stellen.
-
Ten eerste verwachten we dat de ingewikkelde rekenprocessen voor leraren op die
manier duidelijker zullen worden.
-
Ten tweede hebben we vanuit de zorgverbredingsgedachte leraren een instrument ter
hand willen stellen dat hen kan helpen bij de evaluatie en de remediëring.
Door de indeling in stappen moet het immers mogelijk zijn voor de leraren om in de
meest voorkomende gevallen vrij snel te ontdekken in welke stap van het proces
kinderen vastlopen. Daaraan gekoppeld kan uit deze suggesties opgemaakt worden
met welk soort oefeningen en met welk soort materialen kinderen weer op het juiste
spoor kunnen gezet worden.
140
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
2
Hoofdrekenen
2.1
Wat is hoofdrekenen?
DOMEIN 1: GETALLEN
Hoofdrekenen wordt meer en meer benadrukt in de recente ontwikkelingen van het
reken/wiskundeonderwijs. Hier zijn allerlei redenen voor:
Hoofdrekenen heeft men in het dagelijkse leven veel meer nodig dan cijferrekenen.
Ondanks het invoeren van de zakrekenmachine blijft het handig de berekening vlug uit het
hoofd te kunnen maken.
Hoofdrekenen is maatschappelijk heel belangrijk. Personen die vaardig en met inzicht
kunnen hoofdrekenen, winnen aan zelfvertrouwen. Zij krijgen greep op de wiskundige
elementen van hun omgeving.
Hoofdrekenen helpt bij het maken van een vlugge schatting. Zo'n vlugge schatting geeft ons
onmiddellijk een benaderende uitkomst en geeft meteen een goede controle op de
uitgerekende oplossing. Denk maar aan de correcte plaatsing van de komma in
kommagetallen.
Hoofdrekenen bevordert de kritische houding ten aanzien van getalsmatige informatie.
Hoofdrekenen heeft een belangrijke vormende waarde:
Het leert een verantwoorde keuze te maken bij het kiezen van een
oplossingsmethode. Het probleemoplossend, flexibele denkvermogen wordt
geactiveerd en gestimuleerd.
Het afwegen tegenover elkaar van mogelijke oplossingswijzen kan bij de leerlingen
de attitude tot stand brengen zich eerst te bezinnen alvorens te beginnen.
Het individuele denken wordt gestimuleerd. De leerling moet steeds bedacht zijn op
het vinden van kortere en betere oplossingsmethodes.
Het biedt een enorme hulp bij het cijferen.
Bij het werken met contexten speelt het hoofdrekenen een zeer belangrijke rol. Bij het
opsporen van een mogelijke oplossingsweg is het zeer handig al hoofdrekenend bij
benadering de gevolgen van een gekozen weg te onderzoeken.
In verband met de term 'hoofdrekenen' zijn er echter verscheidene omschrijvingen en stromingen
aan te geven. Traditioneel werd het hoofdrekenen geïnterpreteerd als het puur rekenen uit het hoofd,
rekenen zonder papier, snel en zonder aarzelingen. Een typische uitwerking hierbij is het
zogenaamde commandorekenen.
In een modernere visie wordt meer aandacht besteed aan het handig werken met structuren van
getallen en hun eigenschappen. Of er gebruik wordt gemaakt van pen en papier, is niet zo
belangrijk.
Wij interpreteren hoofdrekenen als een vorm van rekenen, waarbij de leerling flexibel gebruikmaakt
van:
bijzonderheden van getallen;
eigenschappen van bewerkingen;
relaties tussen getallen;
relaties tussen bewerkingen.
Hoofdrekenen omschrijven we niet zozeer als rekenen-uit-het-hoofd maar eerder als rekenen-methet-hoofd.
Er kan papier worden gebruikt om tussenuitkomsten te noteren of om tekeningen te maken. Elke
leerling kiest zijn eigen werkwijze om de bewerking te zoeken en uit te rekenen. Hiervoor is het
noodzakelijk dat zij varianten van oplossingswegen leren kennen. Rekenvoordelen worden
afgewogen. Er wordt gezocht naar de meest efficiënte werkwijze.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
HOOFDREKENEN
141
De basis voor hoofdrekenen wordt gelegd in het getallengebied tot 100, waarin geen plaats is voor
cijferen. Dat wil zeggen dat cijferen noch in het eerste noch in het tweede leerjaar expliciet aan bod
komt.
2.2
Voorwaarden
2.2.1
Voorwaarden naar de rekenaar toe
Een goed getalbegrip beheersen
Dit houdt in dat de rekenaar:
inzicht heeft in de getalopbouw;
de structuur van de getallenrij kent;
de rekenaar moet de structuur van de telrij goed kunnen doorzien en zich
gemakkelijk mentaal over die telrij kunnen verplaatsen, daarbij steunend op
de getallenlijn;
tevens is inzicht in het positiesysteem een voorwaarde;
in hogere leerjaren houdt het in dat de rekenaar o.a. weet dat:
5 % = 5/100 = 0,05
20 % = 20/100 = 1/5 = 0,20
½ = 5/10 = 50/100 = 0,5
betekenis kan geven aan het getal en aan de bewerkingen hiermee.
Elementaire vaardigheden bezitten
Het gaat hier dan om:
het tellen;
het automatiseren van optellen en aftrekken tot 20;
het kunnen optellen en aftrekken over het tiental heen;
het kunnen optellen en aftrekken met zuivere tientallen, honderdtallen, duizendtallen,
... (afhankelijk van de leeftijdsgroep);
het automatiseren van de tafels (vermenigvuldigingen en delingen);
het rekenen tot 100;
het kunnen vermenigvuldigen van bv. 30 x 60 als een afleiding van de
tafelproducten;
in hogere leerjaren: het kunnen werken met kommagetallen, procenten en breuken in
eenvoudige situaties.
2.2.2
Voorwaarden naar het hoofdrekenonderwijs toe
Gebaseerd op bovenstaande voorwaarden kan een programma 'flexibel hoofdrekenen'
uitgewerkt worden. Ook hierin onderscheiden we enkele belangrijke condities:
-
Het hoofdrekenonderwijs moet een belangrijke plaats krijgen in het rekenonderwijs.
De school volgt bewust een leerlijn voor hoofdrekenen, voorziet in voldoende tijd op
de lesroosters en legt de aanpak vast in het schoolwerkplan;
-
Het hele schoolteam hanteert dezelfde visie in verband met hoofdrekendidactiek.
Het hele korps stapt af van de idee dat onder hoofdrekenen enkel wordt verstaan: het
uit het hoofd uitrekenen van bewerkingen, met als doel het automatiseren van
elementaire vaardigheden.
142
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
-
Het moet inzichtelijk worden onderbouwd.
Een voorwaarde om vlot en vaardig te kunnen hoofdrekenen is dat de leerlingen
bewust gebruikmaken van de bijzonderheden van getallen, eigenschappen van de
bewerkingen, relaties tussen getallen en relaties tussen bewerkingen.
-
De leerlingen worden begeleid in de richting van een gevarieerd en flexibel rekenen.
Interactief werken is hierbij de aangewezen weg.
De leerlingen ontdekken een brede waaier van oplossingsmogelijkheden.
Passend gebruik van schema's en modellen bevordert eveneens de flexibiliteit.
De verschillende gevolgde werkwijzen worden met de leerlingen besproken en
vergeleken, zodat elke leerling voor zichzelf de meest efficiënte werkwijze kan
kiezen. De gekozen werkwijze kan verschillend zijn voor elke leerling.
Onderzoek wees uit dat kinderen en volwassenen veelvuldig gebruikmaken van
eigen informele oplossingsmethoden. Die zijn niet altijd even effectief of handig.
Het bespreken van die informele strategieën van leerlingen is daarom een noodzaak.
Verschillende oplossingsmogelijkheden moeten worden uitgelokt.
-
Elke leraar is ervan overtuigd dat hoofdrekenen in de eerste plaats keuzerekenen is.
De leerlingen kiezen, individueel of met partner(s), de meest efficiënte werkwijze
om een bewerking uit te voeren, afhankelijk van de uit te voeren opdracht en de aard
van de getallen. Op grond van reflectie wordt een keuze gemaakt: hoe zou ik het hier
kunnen doen? Welke weg uit mijn 'arsenaal' leent zich hier het best toe?
Voorbeeld :
11 x 99 = (10 x 99) + (1 x 99) = 990 + 99 = 1089
11 x 99 = 99 x 11 = (100 x 11) - (1 x 11) = 1100 - 11 = 1089
11 x 99 = ...
De gemakkelijkste weg is hier niet voor elke leerling dezelfde.
-
De leerlingen worden aangezet via hoofdrekenen de oplossing van hun
rekenproblemen vooraf bij benadering te schatten en achteraf te verifiëren.
-
De werksituaties moeten kort en uitnodigend (motiverend) zijn.
Het hoofdrekenen wordt voortdurend gekoppeld aan praktische situaties uit de
ervarings- en belevingswereld van de lerenden.
Het aanbieden van problemen in herkenbare contexten maakt deze problemen
toegankelijk voor de leerlingen en ondersteunt de keuze van efficiëntere
oplossingsmogelijkheden.
Voorbeeld van zo'n context: de afvalberg
In de kring brengt Sandra het probleem ter sprake dat steeds meer kinderen een blikje
cola of limonade of een individueel brik fruitsap meebrengen om 's middags bij hun
boterhammen op te drinken. Er ontstaat een discussie over hoe (on)gezond deze
drankjes zijn, over de hoeveelheid afval dat dit blik of brik oplevert, over recyclage
van afval, over hoe vervelend het is voor kinderen die geen drankje meehebben, ... .
Ze willen weten hoe groot de afvalberg in een schooljaar zou zijn als alle kinderen
van de school alle dagen een blikje zouden meebrengen.
-
De leerlingen krijgen voldoende tijd en oefengelegenheid om zich de nieuwe kennis
en inzichten eigen te maken en de vaardigheid te verwerven.
De aangeleerde kennis en de vaardigheden zullen bij de meeste leerlingen pas na veel
training en oefening tot het beschikbare repertorium gaan behoren. Dit integreren
heeft de grootste kans van slagen als de leerlingen gevarieerde oefenvormen
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
HOOFDREKENEN
143
aangeboden krijgen, het geleerde in wisselende situaties wordt gehanteerd en als de
opgaven een beroep doen op die kennis en dat inzicht.
2.3
Vormen van hoofdrekenen
Bij hoofdrekenen wordt vaak een onderscheid gemaakt tussen het precieze hoofdrekenen en het
schattend rekenen.
-
Het precieze hoofdrekenen
Bij het precieze hoofdrekenen dient het eindresultaat 100 % correct te zijn. Soms is dit niet
mogelijk of het kan niet doelmatig worden uitgevoerd. Het resultaat voldoet niet altijd of is
soms minder betekenisvol. Het is een misvatting dat je in situaties die een precieze uitkomst
vergen best de zakrekenmachine inschakelt of een cijferprocedure hanteert. De keuze is
afhankelijk van de getallen.
Het precieze hoofdrekenen kan gestandaardiseerd (gestileerd) aangepakt worden of
gevarieerd (flexibel):
-
-
Het gestandaardiseerd of gestileerd hoofdrekenen
We spreken van gestandaardiseerd hoofdrekenen als rekenaars bewerkingen van een
bepaald type steeds op een bepaalde manier (leren) oplossen. Het is van oudsher de
meest beoefende vorm van hoofdrekenen in de praktijk van het onderwijs.
Deze vorm kan noodzakelijk blijken voor kinderen die moeilijk zelfstandig tot de
oplossing komen. Het mag dan wel niet beperkt worden tot het leren hanteren van
een trucje.
-
Het gevarieerd en flexibel hoofdrekenen
Hierbij gaat het niet om een vaste oplossingswijze. Verschillende methodes zijn
mogelijk, afhankelijk van de structuur van de getallen, hun combinaties en hun
bewerkingen.
Om flexibel te kunnen hoofdrekenen moet de rekenaar weten welke oplossingsweg
in welke situatie de meest passende is. Afhankelijk van de situatie, de getallen, het
eigen opgebouwd inzicht, het beheersen van allerlei mogelijke oplossingswegen en
de eigen voorkeur wordt dan gekozen.
Het schattend rekenen
Bij schattend rekenen werken we met benaderingen, afrondingen, (on)nauwkeurigheden in
toepassingssituaties of met kale bewerkingen.
Als we schattend rekenen, berekenen we niet exact de uitkomst. We gokken ook niet. Aan
de hand van steunpunten bepalen we ongeveer de uitkomst.
We werken dan met grotere gehelen. De rekenaar ziet de getallen achter de cijfers en weet
bv. dat fouten bij het optellen van honderdtallen grotere gevolgen hebben dan fouten met
eenheden.
Schattend rekenen kwam in het vroegere rekenonderwijs nauwelijks voor. Dat kwam omdat
het vanwege het gebrek aan nauwkeurigheid minderwaardig werd geacht. Schatten is vooral
zinvol als het gaat om het ruwweg bepalen van de uitkomst en het globaal controleren van
de uitkomst van een berekening.
Het schattend rekenen geeft inzicht in de bewerkingen.
Waarom wijkt mijn schatting af?
144
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Waarom is mijn schatting te groot? Te klein?
Soms is alleen maar schattend rekenen mogelijk omdat bv. de gegevens voor exacte
berekening ontbreken.
In allerlei andere situaties kan het zinvoller zijn enkel een benaderend resultaat te geven,
zoals bv. in de volgende context:
Elk kind van onze klas krijgt elke dag één brikje melk.
Hoeveel brikjes zijn dat dan per dag voor heel onze school?
Per week?
Tot aan Kerstmis?
Tot het einde van het schooljaar?
Is het nodig dat we dat correct aangeven, tot op het brikje?
Kunnen we afronden? 20 kinderen per klas ... 12 klassen ... 5 dagen ... 10 weken ...
40 weken ...
2.4
Precies en flexibel hoofdrekenen
2.4.1
Doelstellingen
Wegen kenbaar maken
De eerste doelstelling bij de didactische aanpak zal erin bestaan de leerlingen een waaier van
keuzemogelijkheden te laten ontdekken en ervaren. Sommige wegen kunnen door de leraar
zelf als aanvulling worden aangereikt, indien ze niet door de leerlingen zelf worden ontdekt.
De leraar zal wel niet opleggen die steeds te hanteren.
Alhoewel in vele gevallen de keuzemogelijkheden zeer groot zijn, kunnen ze toch gebundeld
worden. Een zeer belangrijke taak is dan ook deze basiswerkwijzen te leren kennen.
-
Relatie tussen getallen
.
25 % is 25/100 = 1/4 = 0,25
.
25 % nemen van een getal kan bv. door dit getal te delen door 4.
.
Vermenigvuldigen met 25 kan worden gevonden door het vermenigvuldigtal
te vermenigvuldigen met 100 en daarna te delen door 4.
.
...
-
Inzicht in de structuur van de getallen
.
Het splitsen van getallen
484 - 270 = (484 - 200) - 70 = 284 - 70 = 214
.
...
-
Toepassen van de eigenschappen van de bewerkingen
.
De commutatieve eigenschap (wisselen) kan bij de optelling en de
vermenigvuldiging worden gehanteerd.
a+b=b+a
360 + 2 540 = 2 540 + 360
axb=bxa
460 x 5 = 5 x 460
HOOFDSTUK 2
.
DIDACTISCHE KATERNEN
HOOFDREKENEN
145
De associatieve eigenschap (schakelen) van de optelling en de
vermenigvuldiging
(a + b) + c = a + (b + c)
(84 + 75) + 25 = 84 + (75 + 25) = 84 + 100 = 184
(a x b) x c = a x (b x c)
(34 x 25) x 4 = 34 x (25 x 4) = 34 x 100 = 100 x 34 = 3400
-
.
De distributieve eigenschap van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling
(aftrekking)
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
7 x 44 = 7 x (40 + 4) = (7 x 40) + (7 x 4) = 280 + 28 = 308
.
De distributieve eigenschap van de deling t.o.v. de optelling (aftrekking)
(a + b) : c = (a : c) + (b : c)
848 : 8 = (800 + 48) : 8 = (800 : 8) + (48 : 8) = 100 + 6 = 106
Toepassen van wiskundige aspecten
.
Een som verandert niet van waarde als men bij de ene term een getal bijtelt
dat van de andere term wordt afgetrokken (compenseren).
865 + 398 = (865 - 2) + (398 + 2) = 863 + 400 = 1263
.
Een verschil verandert niet van waarde als men aftrektal en aftrekker
vermeerdert of vermindert met hetzelfde getal (compenseren).
387 - 198 = (387 + 2) - (198 + 2) = 389 - 200 = 189
587 - 305 = (587 -5) - (305 - 5) = 582 - 300 = 282
.
Een product verandert niet van waarde als men de vermenigvuldiger deelt
door een getal dat met het vermenigvuldigtal wordt vermenigvuldigd en
omgekeerd.
16 x 45 = (16 : 4) x (4 x 45) = 4 x 180 = 720
5 x 48 = (2 x 5) x (48 : 2) = 10 x 24 = 240
.
Een quotiënt verandert niet van waarde als men deeltal en deler
vermenigvuldigt met (of deelt door) hetzelfde getal.
840 : 60 = (840 : 10) : (60 : 10) = 84 : 6 = 14
24 : 0,6 = (10 x 24) : (10 x 0,6) = 240 : 6 = 40
Een verantwoorde keuze maken
De volgende doelstelling is dat de leerlingen, als zij over keuzemogelijkheden beschikken,
een persoonlijke maar verantwoorde keuze kunnen maken tussen de respectieve
mogelijkheden.
Dit houdt in dat individuele verschillen worden geaccepteerd en zelfs benut bij het
bespreken van mogelijke oplossingsmethodes.
146
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Interactief onderwijs is dan noodzakelijk.
Interactief leren is een voorwaarde om de leerlingen voldoende gelegenheid te geven tot een
eigen inbreng en tot reflectie op de oplossingsmogelijkheden. Slechts bij een goede
interactie krijgen meer algemene doelstellingen van reken/wiskundeonderwijs een kans:
reflecteren op eigen wiskundige activiteiten,
eenvoudige verbanden, regels en structuren opsporen,
onderzoeks- en redeneerstrategieën in eigen woorden beschrijven en gebruiken.
Het flexibel toepassen van het geleerde en de wendbaarheid van het geleerde binnen het
rekensysteem worden zo ontwikkeld. Het flexibel kunnen gebruiken van kennis en
vaardigheden is noodzakelijk.
2.4.2
Verschillende hoofdrekenactiviteiten
Hoofdrekenen dient niet alleen schriftelijk plaats te vinden, maar vooral ook mondeling
binnen het interactief onderwijs in korte activiteiten van een kwartier.
A
Intentionele activiteiten
Bij de intentionele activiteiten ligt het hoofdaccent op het bespreken en vergelijken van
gevolgde oplossingswegen. Het is immers zeer belangrijk dat de leerlingen een brede waaier
ontdekken.
Het is noodzakelijk dat die verschillende gevolgde werkwijzen worden besproken en
beoordeeld, zodat elke leerling voor zichzelf de meest efficiënte werkwijze kan kiezen. Ook
het bespreken van eigen informele strategieën van leerlingen moet kansen krijgen.
De uiteindelijk gekozen werkwijze kan verschillen van persoon tot persoon.
Een passend gebruik van schema's en modellen bevordert de flexibiliteit.
Schriftelijke oefenvormen
'sommen'rijtjes
pijldiagrammen
machientjes
getallenmolens
getallenblokken
tovervierkanten
doolhoven
geheimschriften
tabellen
...
Mondelinge oefenvormen
aanvullen tot 100, 1000, ...
kettingsommen
grenssommen, waarin bepaald wordt of uitkomsten al dan niet binnen bepaalde
grenzen vallen (bv. £ 100 , £ 1000).
is er een rest?
...
4
HOOFDSTUK 2
B
DIDACTISCHE KATERNEN
HOOFDREKENEN
147
Open vraagstelling
Ook hier zijn schriftelijke en mondelinge oefenvormen mogelijk.
Het berekenen van bv. de afvalberg (voorgesteld bij 2.2.2) is een zeer open vraagstelling.
Ook de leraar weet niet vooraf exact welke sommen daarbij zullen uitgerekend worden.
2.4.3
Specifieke suggesties bij optellen en aftrekken
De leerlijnen 1.11 en 1.12 van het domein GETALLEN geven een mogelijke spreiding aan
voor de respectieve leeftijdsgroepen. Tevens worden enkele strategieën aangeboden.
Hierna geven we een aantal verschillende oplossingsmethoden die kinderen spontaan
gebruiken bij het optellen en aftrekken. In de reële klassituatie komen ze telkens voor binnen
aangereikte contextproblematieken. Contexten brengen immers leerprocessen op gang en de
kinderen abstraheren deze contexten tot bruikbare modellen en schema's. Opgaven worden
dikwijls gemakkelijker doorzien als ze aangeboden worden in een context.
Belangrijk blijft dat aanvankelijk telkens tijd wordt uitgetrokken om een oplossingsweg te
bepalen.
Bij optellingen:
149 + 126 = ?
Geert doet het als volgt:
149 = 100 + 40 + 9
126 = 100 + 20 + 6
149 + 126 = (100 + 100) + (40 + 20) + (9 + 6) =
200 + 60 + 15 =
275
Ann rekent zo:
149 + 126 = 149 + (100 + 20 + 6) =
249 + (20 + 6) =
269 + 6 =
275
148
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Wim doet het nog anders:
149 + 126 = (150 - 1) + (130 - 4) =
150 - 1 + 130 - 4 =
150 + 130 - 1 - 4 =
250 + 30 - 5 =
280 - 5 =
275
Johan volgt deze weg:
149 + 126 = 149 + (130 - 4) =
249 + 30 - 4 =
279 - 4 =
275
Nancy kiest voor deze aanpak:
149 + 126 = (150 - 1) + 126 =
150 + 126 - 1 =
276 - 1 =
275
Bij aftrekkingen:
75 - 38 = ?
Geert doet het zo:
38 = 40 - 2
75 - 38 = 75 - (40 - 2) = 75 - 40 + 2 =
35 + 2 = 37
Ann rekent zo:
75 - (30 + 8) =
75 - 30 - 8 = 45 - 8 = 37
Wim doet het op deze manier:
75 = 80 - 5
75 - 38 = (80 - 5) - 38 = 80 - 38 - 5 = 37
De leraar kan de leerlingen wijzen op een andere aanpak in bepaalde gevallen. Daarom
zetten we die nog even op een rij.
HOOFDSTUK 2
A
DIDACTISCHE KATERNEN
HOOFDREKENEN
149
Het splitsen van getallen
Als de 2 getallen van de bewerking worden gesplitst in (duizendtallen), honderdtallen,
tientallen en eenheden en zo bij elkaar worden opgeteld of van elkaar afgetrokken, spreken
we van een splitsmethode. Deze manier leunt sterk aan bij het cijferrekenen.
Geert volgt deze werkwijze voor de optelling. Hij is flexibel genoeg om bij de aftrekking
een andere strategie te hanteren want het splitsen van het eerste getal geeft problemen bij
aftrekking met overbrugging: 70 - 30 en 5 - 8 ???
B
Het rijgen van getallen
Een eenvoudige manier van optellen en aftrekken is die van het aanvullen of rijgen. Hierbij
blijft het eerste getal volledig en het tweede getal wordt daar met sprongen bijgedaan of
afgetrokken.
C
De verwisselregel
Op basis van de commutativiteit kan bij optellingen de volgorde van de termen worden
verwisseld
56 + 132 = 132 + 56
D
E
Het schakelen (gebruikmaken van de associativiteit van de bewerking)
Het groeperen van getallen
150
2.4.4
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Specifieke suggesties bij vermenigvuldigen en delen
Zie de leerlijnen 1.14.7 en 1.15.4.
A
De verwisselregel
Op basis van de commutativiteit kunnen de factoren van plaats worden verwisseld. De
verwisselregel kan enkel gehanteerd worden bij de vermenigvuldiging.
6 x 15 = 15 x 6
B
Het schakelen
Op basis van de associativiteit kan bij de vermenigvuldiging worden geschakeld.
C
Het toepassen van de distributiviteit
D
Het toepassen van de verdubbeling en de halvering
Je kan dit interpreteren als een toepassen van de ontbinding in factoren. In plaats van iets in
één keer achtmaal te berekenen, neemt men driemaal het dubbele, wat hetzelfde
eindresultaat geeft.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
HOOFDREKENEN
151
Delen door 8 kan dan betekenen dat je bv. driemaal achtereenvolgens de helft neemt.
F
Flexibel hanteren van de tafelkennis
Dit sluit sterk aan bij het vorige gedeelte. Ook hier kan gesproken worden van een
ontbinden in factoren.
Vermenigvuldigen met 12 kan bv. tot gevolg hebben dat een leerling kiest voor de weg
(afhankelijk van de getallen, de context, de eigen vaardigheid, ...): eerst met 4
vermenigvuldigen en dan nog eens met 3.
2.4.5
Keuzerekenen
Op grond van reflectie wordt een keuze gemaakt.
Het is duidelijk dat om te kunnen kiezen verschillende oplossingswegen moeten gekend zijn. De
didactiek bij hoofdrekenen heeft dus tot doel de leerlingen verschillende mogelijkheden te laten
ontdekken en/of ervaren. Daarna moeten ze de kans krijgen om zelf een verantwoorde keuze te
maken tussen de (vele) benaderingen.
2.4.6
Reflectie
Permanent dient aandacht te worden besteed aan het reflecteren op de gekozen oplossingswijze:
Kwam ik tot het goede resultaat?
Koos ik een goede werkwijze?
Nam ik een korte weg?
Hoe kon ik het nog vinden?
...
Reflectie komt niet enkel achteraf. Het speelt ook een rol in het keuzeproces:
Welke weg uit mijn 'arsenaal' kan ik hier gebruiken?
Welke weg is hier de gemakkelijkste? De kortste?
Deze fase wordt in het onderwijs te dikwijls vergeten. Het resultaat wordt wel beoordeeld, maar het
proces wordt te vaak verwaarloosd in de bespreking. Leraren verwijzen dan naar de grote
tijdsinvestering die dat veronderstelt. Bij fouten zal het soms nog wel gebeuren, maar bij een correct
antwoord hoeft het niet meer!
Dit kan worden opgevangen door te werken met partner(s). Hierbij wordt de eigen gevolgde
werkwijze verduidelijkt en vergeleken met de oplossingswijze van de partner. Door hardop met
elkaar na te denken over oplossingen, reflecteer je op de gekozen weg, kun je besluiten trekken en,
zo nodig, nieuwe wegen leren bewandelen.
152
2.4.7
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Plezier
Tijdens deze activiteiten moet de leraar aandacht besteden aan de noodzakelijke vaardigheden bij
hoofdrekenen en schattend rekenen, moet hij oog hebben voor de verscheidenheid in mogelijke
volgwegen, voor het ondersteunend strategiegebruik en voor voldoende en gevarieerde
oefensituaties. Van groot belang is echter ook dat onderwijssituaties worden gecreëerd waarin het
loont en het plezierig is om uit het hoofd te rekenen.
2.4.8
Differentiatie
Ook bij hoofdrekenen is differentiatie noodzakelijk. Minder begaafde leerlingen kiezen één
oplossingswijze, knappe leerlingen kunnen meer werkwijzen toepassen en toelichten.
2.5
Schattend rekenen
Zie de leerlijn 1.19
Als we schattend rekenen, zoeken we niet naar de exacte uitkomst. We zijn echter ook niet aan het
raden. Aan de hand van enkele 'steunpunten' trachten we de uitkomst ongeveer te bepalen.
Schatten is zinvol als het gaat om:
het ruwweg bepalen van de uitkomst;
het globaal controleren van de uitkomst van een berekening;
niet exact bepaalde gegevens, waar het onmogelijk is of absurd om precieze berekeningen te
maken.
"Mijn papa werkt wel 200 uur per week!" zegt Tom tot zijn kameraad.
Kan dat ?
Neen, want in een week zijn er maar 5 werkdagen.
Dat zou willen zeggen dat die papa per werkdag gewoonlijk 40 uur werkt en er
zijn maar 24 uren.
Zelfs als er 10 dagen in een week kon worden gewerkt, was dat nog 20 uur per
dag.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
HOOFDREKENEN
153
Bij het schattend rekenen werken we veel met benaderingen en afrondingen.
Is het te groot of te klein?
Is dat mogelijk?
...
Hierbij hebben we oog voor het gegeven dat bij grote getallen een afronding tevens een grotere
afwijking van het correcte resultaat tot gevolg heeft.
We weten dat bij het afronden naar
honderdtallen de afwijking groter zal zijn dan bij het afronden naar tientallen.
2.5.1
Contexten die uitnodigen tot schatten
Voor de basisschool is het belangrijk dat uiteindelijk de leerlingen weten in welke situaties
schattend rekenen de voorkeur heeft (zie leerlijn 1.19.7) en weten hoe nauwkeurig er moet worden
geschat (zie leerlijn 1.19.8).
Allerlei contexten zullen de rekenaars in contact brengen met dergelijke situaties. Deze moeten
zoveel mogelijk verschillend van aard zijn. De leerlingen moeten ervaren dat schattend rekenen in
heel veel gevallen afdoende en lonend is.
-
Moet de behanger exact berekenen hoeveel m papier hij nodig heeft of moet hij het aantal
rollen uittellen?
...
Ook de vragenstelling kan uitnodigen tot schattend rekenen:
Heb ik met mijn briefje van 2 000 BEF voldoende om al de artikelen van dat
boodschappenlijstje te kopen?
Hoeveel cijfers moeten er in het product van 58 x 9 voorkomen?
Is 7 x 499 meer of minder dan 4 000?
...
Schattend rekenen zou in elke activiteit aan bod dienen te komen. De leraar moet daarom zoeken
naar opgaven die uitnodigen tot het schatten.
154
2.5.2
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Werkwijzen ontwikkelen
Het is nodig bij de leerlingen enkele vaardigheden te helpen ontwikkelen, die het schattend rekenen
ondersteunen. Hierbij denken we dan aan:
het handig hoofdrekenen;
het afronden;
het rekenen met nullen;
het compenseren;
het herformuleren van de reken opdracht;
het vertalen;
het besef bij de keuze dat de afwijking groter wordt naargelang de afronding:
18 x 983 = ?
18 x 1000 =
20 x 1000 =
Bij 20 x 1000 is de afwijking groter dan bij 18 x 1000.
A
Handig hoofdrekenen
Hierbij komt opnieuw ter sprake wat in het vorig hoofdstuk werd voorgesteld bij de
suggesties voor precies en flexibel hoofdrekenen. We denken o.a. aan de volgende
werkwijzen:
het splitsen van getallen;
het aanvullen van getallen;
de verwisselregel;
het schakelen;
het toepassen van de distributiviteit;
het toepassen van de verdubbeling;
het toepassen van de halvering;
...
B
Afronden
In heel veel gevallen bepalen de getallen zelf hoe je afrondt. Zo zal 488 meestal worden
afgerond naar 500 en 408 naar 400.
Als we echter 458 ook naar 500 gaan afronden, kan de berekening in bepaalde situaties vrij
grof overkomen. Als we dan nog een hele rij dergelijke afrondingen uitvoeren, is er in die
omstandigheden werkelijk sprake van een 'zeer ruwe' berekening.
Daarom is het belangrijk de leerlingen te laten ervaren dat het afronden niet enkel bepaald
wordt door de grootte van de getallen, maar tevens door de context. Hoe dicht moeten de
ronde getallen liggen waarnaar we afronden? De nauwkeurigheidsgraad wordt bepaald door
de situatie (de realiteit), maar ook door de bewerkingen die je met de afgeronde getallen
uitvoert: 595 afgerond naar 600 geeft een afwijking van 5 bij de som, maar van 1000 bij het
product.
595 + 200
600 + 200 = 800
595 x 200
600 x 200 = 120 000
Het afronden mag grover gebeuren als we al schattend bij de uitkomst van een cijferoefening
willen nagaan of de komma juist geplaatst werd.
Dikwijls maakt men bij het afronden een combinatie van verschillende basiswerkwijzen.
Bv.
194 - 37 =
200 - 40 = 160
Het resultaat van 194 - 37 ligt in de buurt van 160.
HOOFDSTUK 2
C
DIDACTISCHE KATERNEN
HOOFDREKENEN
155
Rekenen met nullen
Rekenen met nullen kunnen we gebruiken als een strategie bij grove schattingen.
Bij de berekening van 600 x 40 kan, naar analogie van de tafels, 6 x 4 x 100 x 10 worden
uitgevoerd om vlug de uitkomst te vinden.
D
Compenseren
Bij compenseren gaat het om het aanpassen van de schatting op basis van de veranderingen
die bij het herformuleren of het vertalen zijn aangebracht. Zo is de schatting nauwkeuriger
als we in een product de ene factor wat naar boven en de andere factor wat naar beneden
afronden:
598 x 127
600 x 120
E
Herformuleren
Bij het herformuleren worden de numerieke gegevens in een meer hanteerbare vorm
veranderd. Dit gebeurt via afronden (zie hierboven) of door gelijkwaardige vormen te
gebruiken of een combinatie van beide (bv. ¼ in plaats van 0,27).
F
Vertalen
Vertalen houdt in dat de wiskundige structuur wordt gewijzigd in een meer hanteerbare
vorm (bv. door gebruik te maken van een gemiddelde of een referentiepunt). Zo wordt de
hoogte van een schoolgebouw geschat op basis van de gekende hoogte van een kamer.
Niet enkel bij het meten komt schattend rekenen ter sprake. Ook bij het schattend benaderen
van een som, een verschil, een quotiënt, een product, ... is het een efficiënte hulp.
HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN
AUTOMATISEREN VAN DE TAFELS 157
3
Automatiseren van de tafels
3.1
Belang van het kennen van de tafels
-
Het kennen van de tafels is een echte basisvaardigheid: de tafels onvoldoende beheersen is
een belangrijke bron van fouten bij vermenigvuldigen en delen, zowel bij cijferend als bij
hoofdrekenen.
-
Tafelkennis is ook heel belangrijk bij het 'dagelijkse' rekenen. In de realiteit worden
kinderen en volwassenen zeer dikwijls geconfronteerd met de tafels en 'herhaalde
telstructuren': 6 stukken van 5 BEF zijn samen 30 BEF, in het zwembad zwem je 4 lengtes
van 25 meter, 12 maandelijkse afbetalingen van 4500 BEF, ... .
Het kennen van de tafels is dus een vaardigheid die rechtstreeks verband houdt met
integratie in de maatschappij.
3.2
Tafels leren in de vernieuwde rekendidactiek
-
In de traditionele rekendidactiek werd elke tafel in zijn geheel aangeboden en werd er zeer
snel overgegaan naar het snel en foutloos opdreunen van de tafelproducten. Had een kind
problemen bij het vinden van het product 8 x 7, dan diende het eerst de tafel van zeven op te
zeggen tot het bij het te zoeken product belandde.
-
De vernieuwde rekendidactiek tracht in te spelen op de verschillende oplossingsstrategieën
die kinderen kunnen hanteren bij het oplossen van maal- en deelsommen.
Deze rekendidactiek stuurt niet uitsluitend en direct aan op de reproductie van tafelkennis,
maar probeert dit mede door een proces van kennisopbouw via vaardig rekenen te realiseren.
Kennis van tafels is hier het resultaat van een proces van steeds verdergaande verkorting van
handig rekenen, met als laatste stap het volledig inprenten.
Die verkorting geschiedt onder meer door het efficiënt gebruiken van eigenschappen en
strategieën, het benutten van reeds gekende tafelproducten, het uitbuiten van bepaalde
structuren in het getalsysteem en ... het gericht oefenen. Memoriseren wordt zo het resultaat
van een gefaseerd leerproces.
3.3
Fasen voor het automatiseren van de tafels
We onderscheiden vier fasen, die elk als een apart onderdeel van het volledige leerproces kunnen
worden beschouwd.
3.3.1
Introductiefase
-
In deze fase vindt begripsvorming van de bewerkingen plaats.
De belangrijkste aspecten van de operaties komen aan bod.
-
De begrippen 'keer' en 'maal' dienen aangebracht en vastgezet te worden, alsook de
begrippen 'vermenigvuldigen met' en 'delen door'.
158
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
-
In deze fase moet ook reeds het inzicht groeien dat de vermenigvuldiging en de deling
omgekeerde bewerkingen zijn, de vermenigvuldiging en de deling moeten m.a.w. aan elkaar
worden gekoppeld. In latere stadia moet men immers kunnen terugvallen op de
vermenigvuldiging bij de deling.
Aan elke vermenigvuldiging (bv. 3 x 5 = 15; 3 keer 5) kunnen twee delingen worden
gekoppeld; namelijk:
de verdelingsdeling waarbij gevraagd wordt naar de grootte van de gelijke delen (bv.
15 : 3 = verdeel 15 in 3 gelijke delen). De verdelingsdeling zal normaliter eerst
aan bod komen omdat men hierbij kan uitgaan van het intuïtieve begrip 'eerlijk
verdelen' dat ook jonge kinderen reeds bezitten;
de verhoudingsdeling waarbij gevraagd wordt naar het aantal delen
(bv. 15 : 5= hoeveel keer gaat 5 in 15?). De verhoudingsdeling kan worden
beschouwd als een vorm van verkort aftrekken.
Beide operaties (verdelen in gelijke delen en verkort aftrekken) monden uiteindelijk uit in de
deling. Toch veronderstellen ze andere contexten. Alhoewel sommige methodes ervoor
opteren om slechts één deling (ofwel verdelingsdeling ofwel verhoudingsdeling) te koppelen
aan de vermenigvuldiging, vinden wij het belangrijk om beide vormen aan bod te laten
komen vanuit verschillende contexten om een brede begripsvorming (-vulling) te realiseren.
-
Inzicht in de operaties 'vermenigvuldigen' en 'delen' is fundamenteel om de tafels te leren.
Dit alles dient aangebracht te worden in zinvolle situaties, zinvolle contexten.
bv.
klaswinkel: 1 doosje kost 4 BEF. Hoeveel kosten 3 doosjes?
2 rijen van 5 conservenblikken. Hoeveel blikken?
10 conservenblikken verdelen in rijen van vijf. Hoeveel rijen?
Jan heeft 24 BEF.
Hoeveel snoepjes van 3 BEF elk kan hij kopen?
opdrachten:
... keer in de handen klappen, ...
... keer op de trom slaan, ... keer een glas vullen en in een kom gieten,
4 keer 5 blokjes leggen, leg ... maal een hoopje van 6, bouw ... keer
een toren van 7 blokken;
bv. verhoudingsdeling: haal telkens 3 blokjes weg, hoeveel keer kan
je er wegnemen? ...
Belangrijk hierbij is het handelen en het verwoorden (van materiële handeling tot mentale
handeling).
-
Het verwerven van inzicht gebeurt via allerlei modellen, die iets laten zien van de grondstructuur van problemen waarin een vermenigvuldiging/deling vervat ligt en maken bepaalde
eigenschappen van de desbetreffende bewerking zichtbaar. Zodoende komen ze zowel het
rekenen als het toepassen ten goede. De keuze van modellen is afhankelijk van de context.
Voor het begrip van de vermenigvuldiging en de deling is het verkennen van een aantal
verschillende modellen heel belangrijk. Hierdoor worden de eigenschappen van deze
bewerkingen duidelijk en leren kinderen het verband zien tussen de vermenigvuldiging en de
deling.
HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN
AUTOMATISEREN VAN DE TAFELS 159
Groepjesmodel
De structuur van enerzijds een vermenigvuldiging als herhaalde optelling en
anderzijds de deling als verkorte aftrekking (verhoudingsdeling) komt hiermee het
duidelijkst tot uiting.
4 kersen + 4 kersen of 2 x 4 kersen
8 kersen Hoeveel groepjes van 4 kersen?
Dozenstructuur
De dozenstructuur wordt gebruikt om de leerlingen te dwingen groepsgewijs te
tellen. In plaats van zichtbare hoeveelheden worden de leerlingen geconfronteerd met
een schematische voorstelling van dozen, waarop genoteerd staat hoeveel erin zit.
5
5
5
4x5
5
De dozenstructuur kan ook worden gebruikt om leerlingen 'eerlijk' te laten verdelen.
Ze kunnen daarbij één voor één, maar ook groepsgewijs verdelen
2
*
3
2
3
2
3
2
3
20 : 4 *
bv. groepsgewijs verdelen: eerst overal 2 en dan elk nog 3
Stroken
Hiermee komt het verhoudingsaspect van vermenigvuldigen in beeld. Het
sprongsgewijs tellen kan hiermee worden geoefend.
7
7
7
7
7
4x7
Getallenlijn
Het sprongkarakter van zoveel keer komt in beeld.
Ook hiermee kan het sprongsgewijs tellen handig worden geoefend.
-
Elke sprong is 2 meter ver. Jan maakt 5 sprongen 5 x 2 =
Elke sprong is 2 meter ver. Jan komt terecht op 10 meter. 10 : 2 =
160
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Rechthoek- of oppervlaktemodel
Het herhaald optellen geraakt wat op de achtergrond en het vermenigvuldigen krijgt
nu een geheel eigen status. Een opgave als 4,2 m x 7,3 m i.v.m. oppervlakte
weerspiegelt dit: deze opgave is nog maar moeilijk als herhaald optellen te
interpreteren.
'Puzzelproblemen' dienen als introductie tot het rechthoek- of oppervlaktemodel.
4 rijen van 4 = 4 x 4
Dit model biedt later ook steun bij het introduceren van 'handige' telstrategieën.
bv.
de 'verwisselregel' (commutativiteit) wordt hier direct geïllustreerd, dit is niet
het geval met voorgaande modellen, ... .
4x5=5x4
Kruispuntenmodel
Dit model is bijzonder geschikt om combinatorische problemen te verduidelijken.
Bv. hoeveel combinaties met 4 voorgerechten en 8 hoofdgerechten?
HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN
AUTOMATISEREN VAN DE TAFELS 161
Als criterium voor de modelkeuze geldt de mate waarin een model de eigenschappen
van vermenigvuldigen, die bij het leren van de tafels en het maken van de toepassingen ervan een sleutelrol vervullen, goed zichtbaar maken.
-
Verschillende aspecten van de vermenigvuldigings- en delingssituatie (de context, de
formulering die bij de context past, de notatie, het uitrekenen) dienen samen in relatie met
elkaar aangeboden te worden.
-
Contexten, situaties zijn belangrijk. We werken eerst concreet, dan schematisch, dan
abstract.
-
Gradatie van informele formulering (in de taal van het kind: 9 keer 4, 4 maal 5, 3 groepjes
van 6, ...) naar formele formulering (9 x 4, 4 x 5, 3 x 6, ...). Zo ook van eerlijk verdelen naar
gedeeld door.
-
De tafels van vermenigvuldiging en de bijkomende deeltafels dienen met inzicht te worden
aangeleerd.
Inzicht hebben betekent o.m. dat:
de vermenigvuldiging wordt gezien als een verkorte optelling van gelijke getallen;
de deling kan worden gezien als een verkorting van herhaald aftrekken;
voor de juiste bewerking (vermenigvuldiging of deling) wordt gekozen om een
probleem op te lossen;
in het probleem een vermenigvuldigings- of delingsstructuur wordt herkend;
de vermenigvuldiging of deling uit het probleem kan worden geïsoleerd;
men ook eens de omgekeerde weg kan bewandelen: van de abstracte formulering tot
een zinvolle context.
Bv.
3 x 6 = 18 ® vertel daar eens iets bij - schrijf er een kort verhaaltje bij;
men vermenigvuldigingen kan koppelen aan corresponderende delingen en vice
versa:
3 x 6 = 18
18 : 3 = 6 (verdeel 18 in 3 gelijke delen verdelingsdeling)
18 : 6 = 3 (hoeveel keer gaat 6 in 18 verhoudingsdeling).
162
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
3.3.2
Reconstructiefase
-
Hoe bijvoorbeeld de tafel van 7 gereconstrueerd en gememoriseerd kan worden, wordt
hieronder weergegeven.
1x7
2x7
3x7
4x7
5x7
6x7
7x7
8x7
9x7
10 x 7
een weetje
verdubbelen; wordt snel een weetje
via (2 x 7) + 7 - één maal meer
verdubbelen van 2 x 7
halveren van 10 x 7; de helft van 70
via (5 x 7) + 7 - één maal meer of verdubbelen van 3 x 7
gevarieerd, snel een weetje
(7 x 7) + 7 of verdubbelen van 4 x 7
(10 x 7) - 7 - één maal minder
door de verwisselregel toe te passen (7 keer 10 = 70) of als een weetje (nul
achter de 7 zetten)
-
Uit de hier gegeven opsomming leiden we de belangrijkste onderwijsregel voor de tafels af:
richt de leerlingen op de centrale steunpunten van tweemaal (verdubbelen), tienmaal
en vijfmaal (halveren tienmaal).
Via één-maal-meer en één-maal-minder is dan het grootste deel van de betreffende
getaltafel te bestrijken.
Ook de verwisselregel (3 x 7 = 7 x 3) wordt doeltreffender naarmate de leerlingen meer
tafelkennis bezitten. Door de verwisseleigenschap wordt elke tafel in feite steeds
opengebroken, waardoor de leerlingen flarden van andere tafels van meet af aan
meememoriseren.
-
Voor kinderen die daar moeite mee hebben kunnen we het leerproces in een zestal stappen
onderverdelen.
1
2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
kapstokproducten
2
3
omdraaien
4
5
één keer meer
6
7
omdraaien
8
9
één keer minder
10
omdraaien
Uit: Vandenbussche, P.
HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN
1
AUTOMATISEREN VAN DE TAFELS 163
Aanleren van de kapstokproducten: deze producten zijn de basis voor het verdere
leerproces. In de bijhorende tabel ziet u deze producten aangeduid:
2x1
2x2
2x3
...
2 x 10
10 x 1
10 x 2
10 x 3
...
10 x 10
2
Deze kapstokproducten worden vervolgens uitgebreid door de commutativiteit toe te
passen: via 2 x 6 wordt nu ook 6 x 2 gevonden. Op de tabel ziet u hoe het aantal
producten dat snel kan worden berekend, aangroeit.
3
In een derde stap leren de kinderen de strategie van 'één keer meer' toepassen.
Daarmee kunnen ze de kapstokproducten uitbreiden: van 5 x 3 vinden ze nu ook
6 x 3 (6 x 3 = 15 + 3).
4
De producten die in de derde stap aan de tabel werden toegevoegd, kunnen ook weer
omgedraaid worden. Weer krijgen we een uitbreiding van de 'uitrekenbare'
producten.
5
Via de strategie van 'één keer minder' wordt een product als 4 x 4 berekend: vijf maal
vier is twintig, vier eraf geeft zestien.
6
Nemen we van deze laatste producten ook het omgekeerde, dan blijkt dat vrijwel de
volledige leerstof van de tafels tot 10 'berekend' kan worden via toepassing van
slechts een drietal, nauw aan elkaar verbonden strategieën. Er blijven dan nog vier
producten over, die waarschijnlijk 'ingedrild' zullen moeten worden tijdens de
reproductiefase: 7 x 7; 7 x 8; 8 x 7 en 8 x 8.
3.3.3
Reproductiefase
-
In deze fase willen we drie doelen verwezenlijken:
1
2
3
-
5x1
5x2
5x3
...
5 x 10
Nog bestaande hiaten in het kennisbestand opvullen via gevarieerde
oefenopdrachten.
Memoriseren van alle tafels. Uit de opgebouwde kapstokken en het gebruik van
rekenstrategieën zal blijken dat er nog slechts weinig echte 'moeilijke' producten
overblijven.
Differentiëren naar opdrachten toe: in remediëringskansen voorzien voor wie nog
hiaten vertoont in zijn/haar kennisbestand.
Aan te wenden middelen:
oefenspelen: varianten van bingo, domino, kwartet e.d. om snelheid, handigheid en
kennis te oefenen.
gevarieerde oefenopdrachten: het maken van tafelproducten wordt verbonden met
een bepaalde opdracht waarin zelfcontrole besloten ligt, bv. het verbinden van
punten, zodat een mooie tekening ontstaat, het kleuren van gebieden, het ontcijferen
van geheimschriften, het doorlopen van doolhoven, ... .
164
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
het type opdrachten dat vraagt in welke tafels een bepaald getal, bv. 24, voorkomt.
Bij deze type taken kunnen eigenschappen van de producten uit de verschillende
tafels ontdekt worden:
bv.
.
een oneven product komt uit een 'oneven' tafel, maar als het product
even is, zegt dat over de herkomst uit een even of oneven tafel nog
niets;
.
een product dat op een nul eindigt moet uit de tafel van tien of vijf
komen: eindigt het op vijf, dan kan het uit de tafel van vijf of uit een
andere oneven tafel komen;
.
...
De verwisseleigenschap (commutativiteit) van de vermenigvuldiging gaat door dit
type opgave echt leven voor het kind.
Tafeldictee of andere vormen van mondelinge lesjes stimuleren het memoriseren.
De computer opent nieuwe mogelijkheden en kansen: tafels oefenen al dan niet in
spelvorm, met remediëringskansen (bv. onder de vorm van visuele modellen en
schema's), ... .
3.3.4
Fase van consolidatie en uitbreiding
-
Het maken van toepassingen gebeurt in alle fasen. In de fase van uitbreiding gaat het echter
speciaal om toepassingen die al wat buiten het besloten terrein van de tientafels liggen en in
de richting van het hoofdrekenen en het cijferen gaan.
De toepassingen krijgen gestalte in allerlei contexten. Eventueel kan er gebruikgemaakt
worden van de modellen.
Tracht als leraar toepassingssituaties aan te wenden waarbij de antwoorden context-afhankelijk zijn (zie didactisch katern contexten).
-
Ook in hogere leerjaren moet geregeld aandacht besteed worden aan consolidatie en
uitbreiding. Dit kan bv. door contexten aan te bieden waarbij de oplossing van het probleem
een decimaal getal is; bv. een wandelroute van 26 kilometer wordt in één dag in 4 gelijke
etappes afgelegd. Hoe lang is ieder stuk? (6,5).
HOOFDSTUK 2
4
DIDACTISCHE KATERNEN
BREUKEN, KOMMAGETALLEN, ... 165
Breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten
Inleiding
In dit katern zullen we enige aanwijzingen geven hoe een leergang breuken kan opgezet worden
vanuit een concrete basis van realistische contexten. Het zijn deze contexten die het inzicht kunnen
bevorderen en de samenhang met verhoudingen, kommagetallen en procenten duidelijker maken.
In de basisschool wordt het onderdeel „breuken‟ als een van de moeilijkste ervaren. Dit heeft o.m. te
maken met het feit dat in de traditionele breukendidactiek de begripsvorming verwaarloosd of te
eenzijdig benaderd wordt en meestal helemaal los van het werken met verhoudingen,
kommagetallen en procenten. Op deze wankele basis wordt dan vrij vlug doorgestoten naar het
formele rekenen met breuken. Voor heel wat leerlingen krijgen de rekenregels die ze dan niet
kunnen doorgronden de status van magische trucjes, die ze al gauw door elkaar gaan haspelen of
slechts fragmentarisch kunnen toepassen.
Het hoeft dan ook niet te verwonderen dat we in elk onderdeel van dit katern de nadruk zullen
leggen op de begripsvorming.
4.1
Breuken
4.1.1
Ontwikkeling van het breukbegrip
De traditionele breukendidactiek benadrukt het deel-geheelaspect in het breukbegrip. In dat verband
spreekt men zelfs van „echte‟ breuken (deel van één geheel) en „onechte‟ breuken (groter dan één
geheel). Met dat laatste hebben de kinderen dan conceptueel uiteraard veel moeite. Deze didactiek,
met als concrete basis de versneden taart (breuken als cirkelsectoren), veronachtzaamt de wijze
waarop breuken in de realiteit ontstaan: als resultaat van een eerlijke verdeling of als een verfijning
bij het meten (met niet-conventionele maten). We richten ons eerst op deze twee bronnen van de
breuken.
A
Eerlijk verdelen
Het eerlijk verdelen waarbij iedereen een (zo) gelijk (mogelijk) aandeel krijgt, behoort zeker en vast
tot de wereld van het kind, ook reeds van kleuters. Soms levert zo‟n eerlijke verdeling een rest op
waar je mee blijft zitten: bv. bij de verdeling van 9 snoepjes, knikkers, flippo‟s, kleurpotloden, ...
onder 4 kinderen. In andere gevallen kan die rest vermeden worden door te snijden of te breken: bv.
bij de verdeling van 6 appels, bananen, koekjes, pizza‟s, pannenkoeken, wafels, chocoladerepen ...
onder 4 kinderen. Het eerste breukbegrip ontstaat dan als een beschrijving van de bekomen delen:
één en een halve appel, één en twee kwart pizza‟s, ... . In veel gevallen levert de beschrijving van
deze verdeelresultaten zogenaamd gemengde getallen op, bestaande uit een geheel gedeelte en een
breukgedeelte. Begripsmatig is dat voor kinderen geen probleem, het kan wat lastiger zijn wanneer
ze eraan toe zijn om de verkregen resultaten ook wiskundig te noteren: anderhalf wordt dan 1 1/2,
1 2/4 ... . Over deze notatiewijze bestaan nogal wat misverstanden. We gaan er dus even op in, maar
eerst willen we erop wijzen dat het noteren van de breuk pas komt nadat kinderen veelvuldig verdelingen in de realiteit of schematisch (op tekeningen) hebben uitgevoerd en in woorden
beschreven:
166
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
6 pannenkoeken verdeeld over 4 kinderen
elk kind één hele en één halve, anderhalve pannenkoek
elk kind 3 halve pannenkoeken
elk kind 1 en 2 kwart pannenkoeken
elk kind 6 kwart pannenkoeken
Uit het voorbeeld met de pannenkoeken blijkt ook dat in dit soort verdeelsituaties niet alleen het
breukbegrip zelf opgebouwd wordt maar ook de relatie (gelijkwaardigheid) tussen bv. 1 1/2, 3/2, 1
2/4, 6/4, ...,omdat verschillende oplossingen van het verdeelprobleem door de kinderen kunnen
aangedragen worden.
Notatie van gemengde getallen
Vanuit de formele benadering en de gerichtheid op het wiskundig systeem vinden we in de meeste
wiskundemethodes in Vlaanderen een soort ontkenning van het bestaan van (uit de realiteit
gegroeide) gemengde getallen. Wanneer men deze toch tegenkwam, dienden ze genoteerd als een
rationeel getal (verhouding tussen 2 gehele getallen): 3/2, 6/4, ... of als een bewerking tussen een
geheel getal en een rationeel getal: 1 + 1/2, 1 + 2/4 ... . Het plusteken tussen het gehele en
breukgedeelte werd verantwoord vanuit de idee dat later, in het secundair onderwijs, de kinderen
twee opeenvolgende getallen als een vermenigvuldiging dienden te interpreteren: 3 5/8 zou dan 3 x
5/8 betekenen. Dit slaat uiteraard nergens op. Dit zou betekenen dat de notatie 57 zou moeten
gezien worden als 5 x 7 i.p.v. als zevenenvijftig. In de algebraïsche notatie wordt het teken voor de
vermenigvuldiging slechts weggelaten als er geen dubbelzinnigheid mogelijk is:
bv.
ab = a x b
7y = 7 x y.
Wanneer 34 als 3 x 4 gezien moet worden zullen we een notatie als 3 x 4, 3.4 of 3(4) gebruiken.
Aangezien we vierendertig als 34 noteren en niet als 30 + 4, kunnen we ook twee en een half blijven
noteren als 2 ½ en niet als 2 + 1/2.
Overigens zijn gemengde getallen bevattelijker dan rationele getallen. Om een idee te krijgen van
hoe groot 16/3 bv. is (waar plaats je dat getal op een getallenlijn?), zal je dat quasi automatisch
omzetten naar een gemengd getal: 5 1/3 zegt meer, het ligt tussen 5 en 6. Het is dus een goede
gewoonte om de kinderen breuken met een grotere teller dan noemer, te laten omzetten in gemengde
getallen opdat die breuken voor hen meer betekenis zouden krijgen. Dat is vooral van belang in
latere stadia van het breukenonderwijs, bij het uitvoeren van bewerkingen (naakt of in context). Bij
elk resultaat van een bewerking met breuken moeten kinderen zich nog iets kunnen voorstellen, het
mag geen ondoorzichtig gegoochel met cijfers boven en onder de breukstreep worden.
HOOFDSTUK 2
B
DIDACTISCHE KATERNEN
BREUKEN, KOMMAGETALLEN, ... 167
Breuken als verfijnde maten
Hans stapt de lengte van de klas af. Bij zijn twaalfde stap komt zijn voet tegen de muur terecht. “11
stappen en nog wat” zegt hij. We concentreren ons op het “nog wat”-gedeelte. De meeste kinderen
schatten dat op iets meer dan een halve stap.
Vanuit de meetactiviteit komen deze kinderen tot de ervaring dat een voorafgekozen maateenheid
vaak niet volstaat om een reëel voorwerp te meten, dat de maat verfijnd moet worden. Vertrekkend
van dit gegeven kunnen we van de stappen van Hans een strook maken en op die strook verdere
verfijningen aanbrengen, bv. via een aantal keren halveren van de maateenheid (in twee vouwen van
de strook):
De lengte van de klas wordt nu bepaald op 11 5/8 stap van Hans. Zoals bij de verdeelsituaties
komen we weer op gemengde getallen uit, nu als beschrijving van het meetresultaat. En ook hier
krijgen we onmiddellijk zicht op de relaties tussen de breuken (5/8 is iets meer dan ½, 1/4 = 2/8 ...).
Het meten met stroken is daarmee ook een goede introductie van de breuk als getal, met een plaats
op de getallenlijn. Met het strokenmodel in het achterhoofd zullen de kinderen in een later stadium
van hun leerproces breuken kunnen situeren op de getallenlijn, eventueel zelf onderverdelingen
aanbrengen op de strook (die nu een lijnstuk geworden is):
Plaats 3/5 en 1 6/10 op de getallenlijn.
168
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
De overschakeling van het in-woorden-beschrijven van de delen naar de formele breuknotatie is ook
handig te maken binnen het taartmodel: Ik snij een taart (breukstreep) in 5 stukken (noemer: zo‟n
stukje noem ik dan een vijfde) en ik neem er 2 van (teller): 2/5.
Een nadeel van de eigen identiteit van elke (stam)breuk binnen het geheel is wel dat de breuken dan
te vlug als onbenoemde getallen beschouwd worden die enkel tussen 0 en 1 te situeren zijn. Het
verdient dus aanbeveling om naast het deel-geheelaspect bij de begripsvorming ook de andere
aspecten uit te werken en in de aanvangsfase de breuken te benoemen: 2/5 taart, 1 ½ appel, 11 5/8
stap of strook, ... . De verwijzing naar concrete realiteiten is in deze fase nog te belangrijk.
D
De breuk als operator
De idee van de breuk als operator ontstaat op een vrij natuurlijke manier: van het „ver-delen‟ naar
het deel van een geheel, naar het deel van een aantal. Als we een appel in twee verdelen krijgen we
twee halve appels. De helft van een appel is een halve appel. Als we 4 snoepjes in twee verdelen
krijgt ieder ook de helft. De helft van die 4 snoepjes is twee. Het weergeven van de verdeeloperatie
als een stambreuk van één geheel of van een aantal is niet zo‟n groot probleem voor kinderen van 6
à 7 jaar. Ook de latere uitbreiding naar breuken met een teller groter dan 1, lukt nog wel: in een
rolletje snoep zitten er 20. Mirko heeft er op één dag al 3/4 van opgegeten. Hoeveel zijn er dat? De
redenering dat 3 vierde 3 keer een vierde of de som van 1/4 + 1/4 + 1/4 is wordt hier door de
kinderen gevolgd. Dus 3/4 van 20 is 3 x 5 of 5 + 5 + 5 = 15.
Het conceptueel probleem ligt vooral in de gelijkschakeling van „deel van een aantal‟ met de
vermenigvuldiging: 3/4 (deel) van 20 is hetzelfde als 3/4 x 20. Deze formalisering is ver van
evident: intuïtief lijkt een deel nemen van iets en iets zoveel keer nemen niet direct hetzelfde. We
kunnen hierbij best weer met gemengde getallen werken in een voorstelbare context.
Voorbeeld: De piste rond het voetbalveld is 400 m. De atleten lopen er 2 en een halve keer rond.
Hoeveel m lopen ze? 2 1/2 x 400 m = 1.000 m.
Hiermee leggen we de verbinding tussen de helft (van een ronde) van 400 m en 1/2
keer (maal) die 400 m.
Daarna kunnen we dat met getallen (onbenoemd):
1 1/2 keer 12 = 1 keer 12 + 1/2 (keer of de helft van) 12
= 12 + 6 = 18.
Pas als deze verbinding goed gelegd is gaan we in de klas door elkaar een „deel van een aantal‟
noteren als de breuk maal dat aantal : 1/3 van 12 = 1/3 x 12 = 4.
E
Verhoudingen en kansen
Numerieke verhoudingen komen eerst aan bod als zoveel op (van) zoveel. Bij een kralenketting is 1
op 4 kralen een rode, 4 van die 10 eieren zijn bruin, er zijn nog 3 van de 8 plaatsen leeg in dat
minibusje. Bij de verwoording kan aandacht gegeven worden aan 1 op 4, 1 van de 4, 1/4 van de
kralen zijn rood.
Globaal schattend kan de verhoudingentaal en de breukentaal al verbonden worden: Ik heb al 43
bladzijden van mijn boek gelezen (in totaal 121 bladzijden). Welk deel is dat ongeveer? ongeveer
1/3 ...
Verhoudingen komen ook vrij vroeg in beeld via toepassingssituaties waarin de recht-evenredigheid
een rol speelt: met z‟n drieën hebben we een hele fles limonade uitgedronken. Hoeveel limonade
hebben we nodig om de dorst van heel de klas te lessen (24 kinderen)? Ruilsituaties (met of zonder
geld) zijn ook op verhoudingen gebaseerd: één potlood voor 5 flippo‟s. Wat krijg ik voor 15
flippo‟s? Het vlees staat 570 BEF per kg. Hoeveel betaal ik voor 200 g ...? Bij dit soort situaties kan
eventueel de verhoudingstabel al geïntroduceerd worden die dan weer van nut zal zijn om verdeel-.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
BREUKEN, KOMMAGETALLEN, ... 169
situaties en breuken die daarbij ontstaan te vergelijken (zie 1.2.1)
gewicht
1 kg
2 kg
prijs
570 fr.
1 140 fr.
200 g
114 fr.
Ook het begrip „kans‟ verschijnt eerst als een verhouding: Als ik bij een spel met dobbelstenen
minstens 3 moet gooien om nog te kunnen winnen, heb ik 4 kansen op 6 om dat te doen. Een kans
noteren als breukvorm komt in een latere fase, bv. via 1 kans op 2 dat het nieuwe kindje in mama
haar buik een jongetje is. De kans op een jongen is ½ (en dus levert ca. de helft van de geboortes
een jongen op). De relatie tussen kans en de werkelijkheid is echter een zeer lastige. Slechts bij zeer
grote aantallen komen kans en realiteit bij elkaar. Het is de ervaring van kinderen dat ze vaak meer
dan 6 keer moeten gooien met de dobbelsteen om bv. een zes te gooien. Of dat ze in hun gezin met
3 meisjes zijn ... . Hoe zit dat dan met die kans van ½ voor jongens en 1/6 om een 6 te gooien? Met
kinderen van 10 à 12 jaar kan hierover al gereflecteerd worden, maar over de betekenis van kans en
waarschijnlijkheid bestaan ook bij volwassenen nog veel misverstanden, die we in de basisschool
zeker niet allemaal uit de weg zullen ruimen: bv. als je twee keer gooit, heb je dan dubbel zoveel
kans om minstens één 6 te gooien?
(die kans is 11/36 en niet 2/6 : kans op een 6 enkel de eerste keer : 1/6 x 5/6 (kans op geen zes) =
5/36
kans op een 6 enkel de tweede keer: 5/6 x 1/6 = 5/36
kans op 2 zessen: 1/6 x 1/6 = 1/36
kans op (minstens) 1 keer zes bij twee keer gooien is 5/36 + 5/36 +
1/36 = 11/36)
F Breuk als getal
We vertrekken met breuken als benoemd getal: 2 1/2 banaan, 3/4 appel, 1/2 reep chocolade, 2 1/4
meetstrook... . Zoals we eerder al stelden kan de associatie van de serie meetstroken naar de
getallenlijn gemakkelijk gelegd worden. Waar we op de bovenste tekening nog 3 ½ strook situeren,
gaan we op de onderste het getal 3 ½ plaatsen.
Maar de breuk als (onbenoemd) getal met een plaats op de getallenlijn komt niet in de aanvangsfase
van de vorming van het breukbegrip. Breuken ordenen op een getallenlijn kan pas als de
gelijkwaardigheid tussen bv. 2/3, 4/6, 6/9, ... ook duidelijk geworden is, nadat breuken herhaaldelijk
vergeleken zijn. Dat vergelijken vormt dan weer de aanzet tot bewerkingen met breuken, in de
eerste plaats de aftrekking: als we een verschil gevonden hebben, willen we ook wel weten hoe
groot dat verschil is ... .
170
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
4.1.2
Bewerkingen met breuken
A
Vergelijken, aftrekken en optellen
DOMEIN 1: GETALLEN
Voor de basisoperaties van het vergelijken van breuken, het verschil bepalen tussen 2 breuken en
breuken optellen kan men vertrekken vanuit verschillende contexten die dan als model kunnen
gehanteerd worden in de verdere leergang. We geven twee voorbeelden. Het ene gebaseerd op
verhoudingen, het andere op deel-geheelaspect.
- De pizzacontext en de verhoudingstabel
In een pizzarestaurant zijn er tafels met 4 stoelen. Voor de 4 kinderen aan tafel bestellen we maar
3 pizza‟s, want het zijn grote. De kinderen aan de tafel verdelen die eerlijk.
Een andere groep schuift 2 tafels bij elkaar, die krijgen 6 pizza‟s voor 8 kinderen. Is dat
evenveel? Hoeveel krijgt elk? Zijn er nog tafelschikkingen waar ze evenveel krijgen?
In verhoudingstabel:
Pizza‟s
3
6
Kinderen
4
8
Deze tabel is links en rechts uitbreidbaar om de verschillende vragen op te lossen: naar rechts
krijg je gelijkwaardige verhoudingen. Naar links (hoeveel krijgt elk) komt de breuk tevoorschijn:
P
3/4
3
6
9
12
15
K
1
4
8
12
16
20
Bij de volgende stap gaan we ons richten op het verschil: 3 pizza‟s voor 4 kinderen aan tafel 1, 2
pizza‟s voor 3 aan tafel 2. Wie krijgt meest?
Hoeveel meer?
tafel 1
P
3
6
9
K
4
8
12
P
2
4
6
8
K
3
6
9
12
tafel 2
De verhoudingstabellen worden voortgezet tot we een vergelijkbare situatie vinden.
Die vergelijkbaarheid ontstaat eerst in de teller: aan tafel 1 6 pizza‟s voor 8 kinderen, aan tafel 2
evenveel voor 9 kinderen. Dan weten we al dat men aan tafel 1 wat meer krijgt. Om te vinden
hoeveel meer moet de verhoudingstabel nog wat voortgezet worden, tot het aantal kinderen (de
noemer) gelijk is.
Aan tafel 1: 9 pizza‟s voor 12 kinderen, aan tafel 2 maar 8 pizza‟s voor 12 kinderen. Als we in
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
BREUKEN, KOMMAGETALLEN, ... 171
beide gevallen de pizza‟s stuksgewijze verdelen krijgt de 1ste groep elk 9/12 pizza, de tweede
groep 8/12. Aan tafel 1 hebben ze dus 1/12 pizza meer.
In formele breukentaal (gelijknamig maken) wordt dit
3/4 - 2/3 = 9/12 - 8/12 = 1/12.
Hoeveel pizza heeft iemand gegeten als hij eerst aan tafel 1 zat en daarna aan tafel 2? Het gelijknamig maken van de op te tellen breuken verloopt dan op dezelfde manier als bij het vinden
van het verschil. Aan tafel 1: 9/12 pizza en dan nog 8/12 pizza aan tafel 2; samen 17/12 of 1 5/12
pizza, dat is iets minder dan anderhalve pizza.
- De chocoladereepcontext (deel van geheel - deel van aantal)
Wouter en Willem hebben elk een reep chocolade gekregen. Wouter eet de helft op, Willem een
derde. Hoe ziet die reep eruit waar je zowel 1/2 als 1/3 kunt van nemen? Hoeveel stukjes heeft
die? Kinderen van een vierde leerjaar vinden gauw dat een reep met 6 stukjes daar best bij past.
Wouter
½ reep: 3 van de 6 stukjes
Willem
1/3 reep: 2 van de 6 stukjes
Het verschil is 1 stukje (1 van de 6 stukjes, dus 1/6).
Samen hebben ze 5 stukjes opgegeten (5 van de 6 stukjes of 5/6)
Om te kunnen vergelijken, verschil en som bepalen, kunnen we dus altijd op zoek gaan naar een
passende verdeling in onze chocoladereep of -plak (als we meer stukjes nodig hebben).
Wie heeft het meest chocolade gegeten deze week? Wouter 3/5 van een plak, Willem 5/8 plak.
Een plak van 40 stukjes kan je zowel in 5 als in 8 verdelen.
Willem heeft dan 5 keer 1/8 plak verorberd, dat is 5 keer 5 stukjes of 25 stukjes van de 40; 25/40
172
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
plak.
Wouter at 3 keer 1/5, 3 x 8 stukjes of 24/40. Willem heeft 1 stukje van zo‟n 40-plak meer
gegeten, het verschil is 1/40.
Het eindpunt is ook hier na het gelijknamig maken (zoek een geschikte reep of plak) het formele
noteren: 5/8 - 3/5 = 25/40 - 24/40 = 1/40. Uiteindelijk mondt een dergelijk opgebouwde
leergang uit in het herkennen van de gelijke noemer (40) als kleinste gemeenschappelijk
veelvoud van de aparte noemers: 5 en 8. Maar door deze opbouw kunnen ook kinderen die aan
die formalisatie niet toe zijn op hun niveau - bv. met behulp van het chocoladereepmodel dezelfde breukproblemen oplossen als de andere leerlingen in de klas.
B Vermenigvuldigen en delen
De vermenigvuldiging van een breuk met een natuurlijk getal hebben we reeds aangegeven bij de
omzetting van „een deel van een aantal‟ naar „breuk x aantal‟ (zie 4.1.1 D: breuk als operator).
Een breuk delen door een natuurlijk getal is een voortzetting van verdeelsituaties: Er is reeds een
halve taart op, nog 4 kinderen willen een stuk; hoeveel krijgt ieder? Op dat moment weten de
leerlingen al dat „delen door 4', „1/4 van‟ en „1/4 x‟ hetzelfde betekenen.
1/2 : 4 = 1/4 x 1/2 (breuk maal stambreuk)
Dit kan weer met het chocoladerepenmodel benaderd worden.
Een reep van 8 stukjes kan ik eerst in 2 en dan nog eens in 4 verdelen.
1/2 reep is 4 stukjes, 1/4 van 1/2 reep is 1 stukje (van de acht, dus 1/8).
De onderverdeling van de chocoladeplakken is verder ook bruikbaar als veralgemening van het
rechthoeksmodel van de vermenigvuldiging, waardoor „breuk x breuk‟ altijd te visualiseren is. Deze
didactische aanpak kan veel verhelderen voor kinderen en zo „breuk x breuk‟ toch toegankelijk
maken voor hen hoewel we het in onze leerlijn enkel als uitbreidingsdoel opnamen (leerlijn 1.14,
doel 1, zesde gedachtestreepje)
Hoeveel is twee derde van driekwart (2/3 x 3/4 ?)
1/4
2/4 3/4
Een plak van 12 stukjes kan eerst in 3 en dan in 4 verdeeld
worden. De vermenigvuldiging 2/3 x 3/4 levert 6 van de 12
stukjes op, dat is de helft: 2/3 x 3/4 = 6/12 = 1/2.
Langs deze weg kan de algemene regel (vermenigvuldig de noemers en de tellers met elkaar)
geleidelijk ontdekt worden.
Het formele delen door een breuk (met het „trucje‟: vermenigvuldig met het omgekeerde) zouden
we willen reserveren voor het voortgezet onderwijs. Delen door een breuk kan wel als
verhoudingsdeling in voorstelbare contexten die ook oplosbaar zijn zonder een „deling‟ uit te
voeren: bv.
- Ik heb eindjes touw nodig van 3/4 m. Op mijn bol zit 12 m.
Hoeveel stukken touw kan ik daaruit snijden?
- Een wijnfles (0,7 l) wordt op tafel gezet. Hoeveel glazen van ongeveer 1/8 liter kan ik vullen met
een fles?
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
BREUKEN, KOMMAGETALLEN, ... 173
- Mijn papa heeft onze tuin afgepast en kwam rond in 120 stappen. Een stap van mij is slechts 2/3
van die van mijn vader. Hoeveel passen heb ik nodig om rond de tuin te gaan?
- Ik heb 3 repen chocolade. Als ik halve repen wil uitdelen, hoeveel kinderen kan ik dan gelukkig
maken? En als ik stukken van 1/3 reep ga uitdelen?
Bij dat laatste voorbeeld kan je weer met ondermaten werken.
Het probleem 3 : 1/2 of 3 : 1/3 wordt dan weer omgezet in een verdeling van gehele stukjes.
(1/3 reep is 2 stukjes; 3 repen is 18 stukjes)
3 : 1/3 wordt dan (in stukjestaal) : Hoeveel keer kan ik 2 stukjes uit 18 stukjes nemen?
18 : 2 = 9
3 : 1/3 = 9
Deze situatie met repen en stukjes (als ondermaat) is ook op een soort dubbele getallenlijn neer te
zetten om het verband tussen de gehelen en breuken (repen) aan de ene kant en de gehele getallen
die een hulpmiddel voor berekeningen vormen (de stukjes) aan de andere kant duidelijk aan te
geven
4.2
Kommagetallen
Kommagetallen kunnen via drie verschillende wegen geïntroduceerd worden bij de leerlingen: als
voortzetting van het positiestelsel van ons getalsysteem, als andere schrijfwijze van tiendelige
breuken (1/10, 1/100, 1/1000,...), als verfijning van maateenheden. We denken dat de instap via
meetcontexten meest aangewezen is, omdat daarbij de band met de realiteit een inzichtelijke
begripsvorming best kan ondersteunen.
4.2.1
Begripsvorming
Kinderen worden in hun dagelijks leven met kommagetallen geconfronteerd als benoemde
maatgetallen: op een brikje appelsap staat 0,2 l, een fles limonade bevat 1,5 l, de kilometerteller van
zijn fiets geeft aan dat iemand 3.78 km van school woont, ze zien dat in de garage waar papa tankt
een liter benzine 37,08 fr. kost ... . De invoering van de euro zal trouwens het werken met
kommagetallen in geldcontexten wellicht vlugger in de kinderwereld brengen dan nu met de op de
achtergrond geraakte centiemen.
Lengtemeting is door haar visueel karakter de meest concrete instap voor kinderen. Als we bv. in de
turnles noteren hoe ver iedereen uit de klas kan springen, hebben we een schat aan gegevens
174
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
waarmee in de rekenles kan gewerkt worden.
DOMEIN 1: GETALLEN
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
BREUKEN, KOMMAGETALLEN, ... 175
Vanuit de notatie in m en cm gaan we over naar een nieuwe notatie: Elke sprong 3 m en 12 cm; we
noteren 3,12 m en plaatsen dat op onze grote „springmeter‟ in de klas.
Door met de m en de cm te werken gaan we onmiddellijk 2 cijfers na de komma noteren. Dit maakt
het mogelijk om van bij de aanvang de notatiewijze van 3 m en 8 cm (de sprong van Joeri) als
probleem te stellen:
De sprong van Jo was 3 m en 80 cm 3,80 m.
De sprong van Joeri was 3 m en 8 cm: kunnen we dat noteren als 3, 8m? Onmiddellijk komt de
plaatswaarde van de cijfers (naar analogie met de gehele getallen) in het vizier. De 8 van Jo‟s
sprong is 80 cm of 8 dm waard. Die van Joeri is maar 8 cm waard. Die mag dus niet op dezelfde
plaats staan. Die moet op de plaats van de cm. We lossen dat op door 3,08 m te noteren.
Van bij de aanvang verbinden we de benoemde maatgetallen met de positiewaarde. Bij de overgang
naar onbenoemde kommagetallen leggen we dan de band met de tiendelige breuken. Moeten we na
de eenheid verfijnen, dan krijgen we in het positiestelsel tienden
(1 dm is 1/10 m, is 0,1 m) en honderdsten (1 cm is 1/100 m, is 0,01 m):
T
m
dm
cm
E
t
h
3,
0
8
Als de leerlingen na deze instap nog materialiseringen nodig hebben voor de positiewaarde van het
gedeelte na de komma, kunnen we daar de abacus bij gebruiken. Hebben ze dat ook nodig voor de
relatie met tiendelige breuken, dan kan het MAB-materiaal misschien dienstig zijn, al moeten we
opletten voor verwarring als de kinderen dat materiaal ook op vroegere leeftijd op een andere
manier gebruikten (het blok als 1000, de plak als 100, ...).
Binnen de meetcontext kan ook van bij de aanvang van de leergang kommagetallen de band gelegd
worden met de gewone breuken: 3,50 m is 3 m en 50 cm, is 3 ½ m; 250 g is 1/4 kg, is 0,250 kg; 0,2
l is 2 dl (of 20 cl), is 1/5 l ... .
176
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
In de fase van de begripsvorming (en ook later nog) zal de leraar bijzondere aandacht moeten
schenken aan twee sterke foutenbronnen bij het werken met kommagetallen: het asymmetrisch
karakter van de kommagetallen en de kommascheiding.
- asymmetrie t.o.v. de komma:
Hiermee wordt bedoeld dat de tientallen en de tienden, de honderdtallen en de honderdsten, ... in
het positiestelsel niet symmetrisch staan t.o.v. de komma, maar wel t.o.v. de eenheden.
Dit kan tot misverstanden aanleiding geven in bv. 233,087 : de 7 betekent 7 honderdsten (3
plaatsen na de komma geeft honderdsten, want 3 plaatsen vóór de komma zijn honderdtallen).
Deze foutenbron speelt echter niet zo‟n grote rol als de kommascheiding.
- kommascheidingsfout:
Hiermee wordt bedoeld dat de getallen voor en achter de komma als een zelfstandigheid worden
opgevat en behandeld.
Bv. 0,3 is kleiner dan 0,12 want 3 is kleiner dan 12
3,8 ¹ 3,80 want 8 ¹ 80
3,14 + 2,4 = 5,18 want 14 + 4 = 18
Deze veelvoorkomende fout hangt samen met de manier waarop kommagetallen meestal gelezen
worden:
3,14 als “drie komma veertien”;
2,4 als “twee komma vier”.
Vandaar dat in de fase van de begripsvorming deze (later niet te ontlopen) courante leeswijze
beter kan vermeden worden. Aanvankelijk zal men bij het lezen van kommagetallen aandacht
geven aan de plaatswaarde en bv. 3,14 lezen als “3 en 14 honderdste” of “3 en één tiende en 4
honderdste”.
Oefeningen in het vergelijken en ordenen van kommagetallen (met plaatsing op getallenas) zijn
in deze fase van belang.
Bv. - Schrijf van klein naar groot:
0,3 0,237 0,24 0,23 1/4
- Welk getal ligt net tussen 1,4 en 1,5 ?
4.2.2
Rekenen met kommagetallen
Algemeen kunnen we hierbij stellen dat schatten op grond van afrondingen, en dus hoofdrekenen,
belangrijker is dan het hanteren van strikte rekenregels bij het cijferen. Didactisch is het
aangewezen de rekenregels (bv. over de plaats van de komma) te laten ontdekken i.p.v. ze vooraf te
geven en dan in oefeningen te laten toepassen. Ook hier staat een meer inzichtelijke opbouw op de
voorgrond.
Het praktisch belang van cijferen met kommagetallen neemt trouwens af door het gebruik van de
zakrekenmachine.
HOOFDSTUK 2
A
DIDACTISCHE KATERNEN
BREUKEN, KOMMAGETALLEN, ... 177
Optellen en aftrekken
Bij het optellen en aftrekken van kommagetallen is de grote moeilijkheid dat men de bewerkingen
moet uitvoeren met de plaatswaarde van de cijfers in het achterhoofd. Bij hoofdrekenen zal men dus
vooral de kommascheidingsfout moeten vermijden, bv. door te herformuleren: 3,37 - 1,7 als 3,37 1,70. Bij het cijferen is het vooral een kwestie van ervoor te zorgen de getallen zo te schikken dat de
overeenkomstige posities onder elkaar staan.
Om het inwisselen inzichtelijk te laten verlopen kan men teruggrijpen naar de abacus en een
positiekaart. Geleidelijk aan evolueert dit naar ordelijk schikken (komma‟s onder elkaar eventueel
aanvullen met nullen achteraan) zonder hulpmiddelen.
Voorbeeld: 1,675 + 1,49
abacus
positiekaart
ordelijke schikking
1, 6 7 5
+1, 4 9 (0)
3, 1 6 5
uit: Streefland, 1995, p.42
“Abacus en positiekaart zijn beide gericht op het uitstellen van het inwisselen en de overdracht,
wat de belasting van het werkgeheugen sterk vermindert.
Op de abacus kan men naar believen de komma op de gewenste plaats aanbrengen. Beide
hulpmiddelen staan in dienst van de inzichtelijke onderbouwing, gebaseerd op maatverfijning en
het benadrukken van de samenhang in een kommagetal.”
B
Vermenigvuldigen en delen
Bij het vermenigvuldigen en delen van kommagetallen met natuurlijke getallen loert de
kommascheidingsfout ook altijd om het hoekje:
2,24 x 5 = 10,120 (2 x 5 is 10 en 24 x 5 is 120)
8,24 : 4 = 2,6 (8 : 4 is 2 en 24 : 4 is 6)
Bij het aanvankelijke hoofdrekenen kunnen we dan ook best het kommagedeelte benoemen: 2 m en
178
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
24 cm x 5 of 2 en 24 honderdsten x 5 omdat dan de plaatswaarde van de verkregen getallen
expliciet in rekening gebracht wordt: 5 keer 24 cm is 120 cm, is 1,20 m; 5 x 24 honderdsten = 120
honderdsten of 1,20; dat mag ik niet schrijven als 0,120 want dat zijn 120 duizendsten of 12
honderdsten... .
De kommaplaatsingsregel bij het (cijferend) vermenigvuldigen hoeft niet vooraf gesteld. We
vertrekken van een schatting. Bv. we zoeken de oppervlakte van een kamer van 3,8 m op 5,2 m. Dat
is ongeveer 4 m op 5 m, dus zowat 20 m². Uitrekenen (zonder komma‟s) levert:
38
x
52
76
1900
1976
Gezien de schatting van 20 zullen we de komma na de 9 plaatsen: 19,76 m². Dit kan ook door de m
in dm om te zetten. 38 dm x 52 dm is 1976 dm² (zonder komma‟s). En nadien herleiden (1 m = 10
dm, 1 m² = 100 dm²) : 3,8 m x 5,2 m = 19,76 m²
Door eerst te schatten of via herleiden te werken vermijdt men blind toepassen van de regel: tel het
totaal aantal cijfers na de komma in beide getallen, het product heeft evenveel cijfers na de komma
als dat totaal.
De rekenregels bij het delen door kommagetallen, in het bijzonder het wegwerken van de komma in
de deler, dienen voorbereid door het vermenigvuldigen en delen met machten van 10, het ontdekken
van de daarmee samenhangende regels voor kommaverschuiving (102 : 10 = 10,2
3,62 x 100 =
362 ...) en door de deling op te vatten als een verhouding. Via de verhoudingstabel vinden we dat
3,7 : 10 gelijkwaardig is aan 37 : 100 ... .
Deze voorbereiding zal het mogelijk maken 8 : 0,4 inzichtelijk om te zetten naar 80 : 4.
Het werken met uitsluitend natuurlijke getallen in de lagere leerjaren heeft bij de meeste kinderen de
opvatting doen ontstaan dat vermenigvuldigen altijd betekent “groter maken” en dat delen een
verkleinend karakter heeft. Naast kommascheiding kunnen veelvoorkomende fouten als 0,4 x 0,2 =
0,8 of 5 : 0,1 = 0,5 ook met deze misvatting te maken hebben. Daarom is het nodig aan het
vermenigvuldigen en delen met kommagetallen kleiner dan 1 apart aandacht te besteden.
Verbinding met breuken < 1 is hierbij ook belangrijk; 3 : 0,5 is 3 : 1/2, te vertolken als hoeveel
stukken van een half kan ik uit bv. 3 volledige repen chocolade halen? Het quotiënt 6 is duidelijk
groter dan het deeltal 3.
Bij die relatie tussen breuken en kommagetallen zal men dan ook nog oog moeten hebben voor
fouten die ontstaan uit een soort gelijkstellen van de komma met de breukstreep: 1,4 = 1/4 , 3/8 =
3,8 e.d..
HOOFDSTUK 2
4.3
DIDACTISCHE KATERNEN
BREUKEN, KOMMAGETALLEN, ... 179
Procenten
Procenten (zoveel op honderd) vormen een soort standaardbreuk of -verhouding. Ze beschrijven
deel-geheelrelaties of veranderingssituaties (toename of afname, geheel plus- of min-deel) of fungeren daarbij als operator. Percentages komen in het dagelijks leven zeer veel voor, leiden daar als
het ware een eigen leven, maar worden niet altijd correct gebruikt omdat ze soms moeilijk te vatten
zijn. We geven eerst een overzicht van de verschillende situaties, met telkens een voorbeeld.
1
Deel-geheelrelaties
a. Becker heeft in de eerste set 28 van de
35 eerste opslagen goed geslagen.
Wat is zijn % geslaagde 1ste services?
b. In een potje jam zit 40 % vruchten.
Hoeveel is dat in een pot van 450 g?
c. Jan besteedt 5 % van zijn spaargeld aan
een nieuwe cd van 550 fr. Hoeveel spaargeld had hij?
Geheel
Deel
Procent
35
28
?
450 g
?
40%
?
550 F
(Begin)
(Eind)
5%
2 Geheel min of plus deel
a. Een fiets kostte eerst 5 000 fr., nu 4 200 fr.
Hoeveel % ging eraf?
b. Een krant van 30 fr. wordt 10 % duurder.
Hoeveel moet ik nu betalen?
c. Een auto kost 450 000 fr., 25 % BTW inbegrepen. Hoeveel kost die zonder BTW?
5 000
30
4 200
?
?
(Verandering)
?
10%
450 000
25%
In een didactische opbouw zullen we er rekening moeten mee houden dat deze problemen sterk
verschillen in moeilijkheidsgraad: veranderingssituaties zijn moeilijker dan deelgeheelbeschrijvingen; het zoeken van het geheel of terugkeren naar de beginsituatie is moeilijker
dan het deel of % opsporen ... . Als vertrekpunt kunnen we best 1a-situaties nemen, waarbij we
verschillende verhoudingen willen vergelijken. Het is omwille van die vergelijking dat de noodzaak
van een normering wordt aangevoeld, een beetje zoals bij de overstap van meten met
onconventionele naar geijkte maateenheden.
De start kan bijvoorbeeld liggen bij een probleem als dit:
De griepepidemie heeft ook in onze school toegeslagen: 7 van de 25 kinderen van ons 5de leerjaar
zijn ziek. Meester Patrick hoorde deze morgen van de juffen van het eerste dat er bij hen al 10 van
de 40 kinderen ziek zijn. Waar zijn er nu procentueel gezien de meeste zieken? Bij het zoeken van
de percentages (hoeveel zouden er ziek zijn op 100) kan de verhoudingstabel weer dienstig zijn:
180
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
5de leerjaar
28 %
ziek
7
14
28
Tot.
25
50
100
1ste leerjaar
25 %
ziek
10
5
25
Tot.
40 20 100
Het is belangrijk om van bij de aanvang de verbinding te leggen met breuken en kommagetallen.
Deze kunnen zeer bruikbaar zijn bij berekeningen, als het percentage als operator gehanteerd wordt:
- 25 % van 4 800 F is 1/4 van 4 800 fr.
- 40 % van 450 g is 4/10 (2/5) van 450 g of 450 g x 0,4
Als deze gelijkwaardigheid goed functioneert kan die flexibel ingezet worden bij het oplossen van
problemen. Dan moeten we slechts zeer zelden teruggrijpen naar de dwangmatige 1%-regel : 40 %
van 450 g ?
1 % = 450 g
100
40 % = 450 g x 40
100
Bij problemen van groei of afname moeten we speciaal aandacht vestigen op de asymmetrie: bv. een
verdubbeling betekent een toename met 100 %, een halvering betekent echter een afname met 50 %!
Dit probleem kunnen we aan de orde stellen via de context van het kopieerapparaat. We beschikken
over twee kopieën in de verhouding 4 : 5 (de paperclip is op het ene blad 5 cm lang, op het andere 4
cm). De vraag is: op welk % was het apparaat ingesteld? We weten wel niet welk blad het origineel
was.
Sommige kinderen nemen het kleinste als origineel. 4 cm is dan de beginsituatie of 100 %. 5 cm
(een verschil van 1 cm = 1/4 of 25%) is de eindsituatie. We krijgen dus een toename van 25 %. Het
apparaat was ingesteld op 125 %. De groep die het andere standpunt innam (5 cm is het origineel =
100 %), vindt een verschil van 1 cm = 1/5 of 20 %. Voor hen was het apparaat ingesteld op 80 %.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
begin
eind
BREUKEN, KOMMAGETALLEN, ... 181
verandering
= 100 % 4 cm
5 cm
+ 25 %
= 100 % 5 cm
4 cm
- 20 %
In dit geval kan je kiezen wat je als 100 % beschouwt. In het probleem van de auto zonder BTW
(2 c) is dat niet zo. Het probleem is wel al half opgelost als je daar het correcte standpunt inneemt:
450 000 F is 125 %. We moeten dus niet 1/4 van 450 000 fr. aftrekken, maar 1/5.
Een andere kwestie die in de eindfase van de basisschool aandacht zal moeten krijgen, is het
samenstellen van percentages. Er kan gerekend worden met percentages van een percentage, bv. :
On-geveer 60 % van de Vlamingen gaat jaarlijks op vakantie. 40 % daarvan gaat naar het
buitenland. Hoeveel zijn er dat?
Iets anders is het (vaak ten onrechte) optellen van percentages. We moeten kinderen daar ook mee
confronteren om ze de waarde van statistische argumenten kritisch te leren bekijken.
Bv.
In het eerste leerjaar kampt ongeveer 15 % van de kinderen met leesproblemen.
En 10 % heeft last met rekenen. Zo‟n kwart van de leerlingen riskeert dus al te moeten
overzitten in het eerste leerjaar! Mag je die conclusie hier trekken?
Zicht op de relativiteit van het begrip percentage moet in elk geval tot de doelstellingen van het
basisonderwijs behoren. Een stijging van 2 naar 3 of van 1 000 naar 1 500 is telkens 50 %. Om daar
echt de betekenis van te vatten zullen we toch naar de context moeten kijken ... . En 5 % (van wat?)
is natuurlijk niet altijd kleiner dan 10 % (van iets anders?).
Omwille van deze relativiteit is het beter procenten niet als een getal op te vatten (met een plaats op
de getallenas). Getallen hebben immers een absolute waarde. Die kunnen ook altijd opgeteld
worden ... .
4.4
Verhoudingen
In elk van de vorige onderdelen kwam de idee van verhoudingen reeds aan de orde. We zouden
kunnen stellen dat verhoudingen het fundament vormen voor het werken met breuken,
kommagetallen en procenten, als een rode draad door die leergangen lopen en er samenhang aan
geven. Dit zou misschien kunnen suggereren dat het werken met verhoudingen beperkt is tot
numerieke verhoudingen.
De eerste ervaringen en noties van verhouding worden door kinderen nochtans opgedaan met
visueel waarneembare dingen, en niet zozeer met getallen. Het gaat dan vooral over vergroten en
verkleinen, vergelijken van speelgoedautootjes met echte, van poppen met mensen, van foto‟s met
de werkelijkheid of van foto‟s in verschillende formaten van dezelfde werkelijkheid. Allerlei
sprookjes en verhalen (Kleinduimpje en de reus, Nils Holgersson, Gulliver, ...) kunnen aanleiding
zijn tot verkenningen op dit terrein vanaf de kleuterleeftijd. Een bezoek aan Mini-Europa of
Madurodam, het maken van een kijkdoos, een maquette, een situatie in de zandtafel ... breidt de
ervaringskennis die kinderen ook buiten de school opdoen uit. Het is niet onbelangrijk om dit nietnumerieke spoor bij de verhoudin-gen ook in latere fasen van de basisschool te blijven uitbouwen in
het kader van de leergangen meten en meetkunde (werken rond gelijkvormigheid, schaalrekenen,
schaduwmodel voor hoogteberekening, grafieken, ...).
182
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
In onderstaande figuur zien we een overzicht van de verhoudingsproblemen die in de basisschool
aan de orde zijn (numeriek en niet-numeriek).
Uit: Van den Heuvel-Panhuizen, 1990, p 24
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
BREUKEN, KOMMAGETALLEN, ... 183
Heel wat verhoudingsproblemen kunnen opgelost worden met behulp van een verhoudingstabel.
Die biedt het voordeel van een grotere flexibiliteit dan bv. de regel van drie, waarbij de vierde
evenredige altijd gezocht werd via de verhouding t.a.v. de eenheid: In het snoepwinkeltje om de
hoek kan ik 12 snoepjes kopen voor 20 fr.. Ik heb 50 fr. op zak. Zal ik heel de klas (28 kinderen)
kunnen trakteren voor mijn verjaardag?
regel van drie :
12 snoepen kosten 20 fr.
1 snoep kost 20 : 12 = 1,666...fr.
28 snoepen kosten 28 x 1,666...fr. = 46,648...fr.
Verhoudingstabel:
sn.
12
24
6
30
fr.
20
40
10
50
De leerlingen kunnen zelf bepalen hoeveel en welke stappen ze nodig hebben om het probleem op
te lossen. Ze kunnen ook een eenvoudigere versie van de tabel hanteren (dubbele getallenlijn). Bv.
bij een grenswisselkantoor krijg je voor 100 BEF 5 gulden (f). Wat staat er voor de Nederlanders
(hoeveel BEF voor 100 f ?)
BEF
f
100
5
200
10
2000
100
of
f
BEF 100
5
50
1000
2000
100
Meer formele kenmerken van het verhoudingsrekenen (bv. uit de gelijkwaardigheid
a/b = c/d volgt ad = bc en vice versa) zouden we willen reserveren voor het voortgezet onderwijs.
Wel tot het perspectief van de basisschoolleerling behoort het zinvol samenstellen van „nieuwe‟
grootheden op basis van verhoudingen:
bv.:
snelheid als verhouding tussen afstand en tijd;
bevolkingsdichtheid als verhouding tussen aantal (inwoners) en oppervlakte;
„sterkte‟ van de koffie: verhouding schepjes koffie en water;
„zoetheid‟ van de limonade: verhouding lepels stroop en water;
dichtheid (soortelijk gewicht): verhouding tussen massa (gewicht) en volume.
In de derde graad zullen we kinderen ook confronteren met verhoudingen die niet noodzakelijk
rechtevenredig en lineair zijn: vinden we een verhoudingsrelatie tussen lengte en gewicht van
mensen, tussen oppervlakte en omtrek van figuren, tussen de zijde van een vierkant en de
oppervlakte, tussen het aantal mensen dat een werk uitvoert en de tijd die dat vergt, ... . Het gaat hier
om relaties die de leerlingen wel eens op het verkeerde been kunnen zetten en daardoor aanzetten
tot bespreking en reflectie, een kans bieden op verdieping van inzicht. Niet onbelangrijk dus, maar
misschien niet meer weggelegd voor alle leerlingen.
Wel voor iedereen is het voortdurend leggen van het verband tussen de in dit katern besproken
onderdelen: via de verhoudingen de samenhang en gelijkwaardigheid verankeren met breuken,
kommagetallen en procenten.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
5
Tabellen en grafieken
5.1
Inleiding
TABELLEN EN GRAFIEKEN
183
Met tabellen en grafieken worden hoeveelheden, reeksen hoeveelheden en verhoudingen grafisch
weergegeven.
De begrippen 'grafiek' en 'diagram' worden wisselend gebruikt.
'Grafiek' is een algemene en overkoepelende term voor een grafische voorstelling van gegevens.
We kunnen daarmee continue (snelheid, tijd, afstand, ...) en discontinue grootheden (aantallen,
hoeveelheden) voorstellen.
In de basisschool worden door middel van tabellen en grafieken vooral kwantitatieve gegevens
gevisualiseerd.
In de latere schoolloopbaan (secundair onderwijs) zal men hieraan een specifieke vulling geven: de
functies.
5.2
Kleuterschool
Kleuters kunnen reeds geconfronteerd worden met voorstellingen van tabellen en grafieken.
In de kleuterschool visualiseren we op vele manieren aantallen in concreto. Het gaat dan om
handelingen waarbij een stuk realiteit aan bod komt.
Zo kunnen de kleuters een stapel maken van al de melkbrikken die in onze klas nodig zijn.
Daarnaast komt de stapel met de chocobrikken. De kleuters zien welke stapel het hoogst is en
relateren dit aan 'meer'. Ze verwoorden dat ook. Er zijn meer kinderen die choco drinken dan
kinderen die melk drinken want de stapel met de chocobrikken is hoger. Er wordt in de klas minder
melk gedronken door de kinderen want de stapel met de melkbrikken is lager of kleiner.
In plaats van in de hoogte kan er ook in de lengte gewerkt worden. Dan zullen daarbij passende
begrippen gebruikt worden.
Rekenkundige begrippen als 'hoog, laag, hoger, lager, kort, lang, korter, langer, meer, minder ...'
functioneren.
Dit stapelen doen kleuters dikwijls spontaan. Duploblokken worden per kleur gesorteerd en er wordt
per kleur een toren gemaakt.
Er zijn meer gele dan groene blokken want de gele toren is hoger. Er zijn minder groene dan gele
blokken want de groene toren is niet zo hoog als de gele toren.
Kleuters kunnen gelijkvormige en evengrote voorwerpen al handelend vergelijken en de daarbij
horende rekentaal functioneel gebruiken.
In een volgende stap gebruiken we gelijkvormige en even grote blokken als symbool voor een
product. De witte blokken stellen de melkbrikken voor. De blokken met een andere kleur stellen de
chocobrikken voor. Hierbij wordt de één-één-relatie veelvuldig gelegd.
184
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
5.3
Lagere school
5.3.1
Een graduele opbouw
DOMEIN 1: GETALLEN
- Concrete handelingen
De concrete handelingen zoals beschreven in de kleuterschool blijven uiteraard ook in de lagere
school doorlopen. Dit handelen blijft steeds de eerste fase.
- Het beelddiagram
Huisdieren van kinderen in onze klas
Wat Sinterklaas bracht ...
Uit: van Dam, 1984
Het beelddiagram is eigenlijk een tabel, waarbij in plaats van met getallen de aantallen weer te
geven, de aantallen door middel van beelden (afbeeldingen) worden weergegeven.
In een eenvoudige vorm correspondeert één beeld met één reëel object. In een meer complexe
vorm staat één beeld voor verschillende objecten. Deze gradatie vinden we ook terug in de
leerlijn 'Tabellen en grafieken' (leerlijn.1.18 doelstelling 5).
- Het blokdiagram
Punten behaald bij het spel
Resultaten van 10 minuten rondjeslopen
Uit: van Dam, 1984
Het blokdiagram is eigenlijk een beelddiagram waarin het beeld vervangen wordt door een blok.
Ieder blokje stelt één object voor en stemt daarin overeen met het eenvoudig beelddiagram.
De blokken kunnen zowel horizontaal als verticaal worden geordend.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
TABELLEN EN GRAFIEKEN
185
De rijbenoeming wordt nu een kolombenoeming. Vanuit de aangebrachte blokjes is op
eenvoudige wijze een schaalverdeling op één van de assen aan te brengen.
- De enkelvoudige tabel
Uit: van Dam, 1984
De enkelvoudige tabel heeft nog een sterke overeenkomst met de beeldgrafiek. De beelden
worden echter vervangen door getallen. Soms wordt een bijkomende regel toegevoegd.
De enkelvoudige tabel deelt in naar één categorie.
Dit soort tabellen biedt de gelegenheid om het turven overzichtelijk te maken en samen met de
leerlingen te zoeken naar de handigste oplossing om te turven: het doorkruisen van vier verticale
streepjes om het aantal 5 weer te geven.
- De kruistabel
Vier op een rij ...
spelers
gespeeld
gewonne
n
verloren
Johnny
20x
12x
8x
Odin
20x
4x
16x
Martijn
20x
10x
10x
Rogier
20x
14x
6x
Uit: van Dam, 1984
De kruistabel onderscheidt zich van de enkelvoudige tabel door een indeling op verschillende
categorieën.
In plaats van rijen die moeten gekozen worden, moet voor de betekenis van de cellen nu op twee
zaken worden gelet: de rij- en de kolomopschriften.
Bij de totalen zijn rij-, kolom- en een algemeen totaal te onderscheiden.
186
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
- Het staafdiagram of het histogram
Aantal keren nachtvorst per maand
Inwonersaantallen
Uit: van Dam, 1984
Ook het staafdiagram (of het histogram) bouwt verder op het blokdiagram.
In de staaf zijn nu niet meer de eenheden te onderscheiden. Voor het aflezen van de hoogte (van
het aantal) moet nu naar de schaalverdeling op de verticale as worden gekeken.
Staven kunnen aaneen of los van elkaar worden getekend.
- De lijngrafiek
Een lijngrafiek geeft steeds een ontwikkeling weer. Meetpunten worden verbonden ook al
worden de tussenliggende punten niet gemeten.
De lijn wordt aangewend als hulpmiddel om te laten zien welke punten bij elkaar horen.
Voor de betekenis van de meetpunten moet op de horizontale x-as en de verticale y-as worden
gekeken. Een rooster als achtergrond kan dit aflezen vergemakkelijken.
Meestal worden de meetpunten extra gemerkt.
De verwijzingen op de x-as staan nu recht onder de meetpunten. Hier zit een wezenlijk verschil
met het blok- en staafdiagram waar de verwijzingen onder de blokken en onder de staaf staan.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
Aantal nieuwgebouwde huizen
TABELLEN EN GRAFIEKEN
187
De productie van granen en maïs
Uit: van Dam, 1984
Lijngrafieken met meer dan één lijn zijn geschikt voor vergelijkingen.
- Het cirkeldiagram of het sectordiagram
Verdeling van de leden van de vier sportverenigingen naar leeftijd
Het aantal auto's in de 'Schoolstraat'
A 06.00 u. C 16.00 u.
B 08.00 u. D 19.00 u.
Uit: van Dam, 1984
Het cirkeldiagram of het sectordiagram kenmerkt zich door het ontbreken van een
schaalverdeling waarop absolute aantallen vermeld worden.
Wel kunnen bijkomend verhoudingen met getallen worden weergegeven.
188
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Bij het cirkeldiagram duidt de oppervlakte van de cirkel het totaal aan. De sectoren geven de
aandelen of percentages van het geheel weer.
Aansluitend hierop verwijzen we naar het didactisch katern met betrekking tot breuken (4.1.1C:
de breuk als deel van een geheel).
Wanneer de leerlingen in de basisschool zelf een cirkeldiagram maken, zal de verdeling op de
cirkelomtrek gegeven worden.
Recente computerprogramma's maken het mogelijk de meeste diagrammen in perspectief weer te
geven. Gegevens die verzameld worden in de klas, kunnen bij wijze van spreken onmiddellijk in
een diagram gebracht worden. Daarbij kunnen de leerlingen verschillende voorstellingen met
elkaar vergelijken.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
TABELLEN EN GRAFIEKEN
189
- Een schematische voorstelling
De schematische voorstelling van deze graduele opbouw zien we aldus:
Volgorde
5.3.2
diagrammen en grafieken
1
concreet handelen
2
het beelddiagram
3
het blokdiagram
tabellen
4
de enkelvoudige tabel
5
de kruistabel
6
het staafdiagram
7
de lijngrafiek
8
het cirkeldiagram
De didactische stappen
De logisch opeenvolgende stappen bij de opbouw zijn: van de concrete situatie over de tabel en het
diagram naar de formule. Hierbij onthouden we dat de formule niet meer behoort tot de leerstof
voor de basisschool.
De didactische stappen bij de opbouw zullen eerder zijn:
1
de concrete situatie;
2
de diagrammen;
3
de tabellen;
4
de formule.
Zoals reeds eerder beschreven gaan het beeld- en het blokdiagram de tabellen vooraf. Men dient
eerst dit soort diagrammen te kunnen lezen vooraleer men komt tot het maken, het lezen en het
interpreteren van tabellen.
Ook hier zijn de didactische stappen duidelijk te onderscheiden:
1
het maken van diagrammen;
2
het lezen van de diagrammen;
3
het interpreteren van de diagrammen.
De verhouding die men kiest tussen de reële gegevens en de verticale en de horizontale as van de
lijngrafiek maakt het mogelijk visuele indrukken te manipuleren. Het is zeker nuttig leerlingen van
de derde graad hiermee ervaringen te laten opdoen.
190
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
De afbeelding bovenaan lijkt een weergave van het profiel van een parcours van een rit uit de Ronde
van Frankrijk met aankomst op een steile alpencol.
De afbeelding onderaan zou eerder het profiel weergeven van de Ronde van Vlaanderen met de
aanloop naar en de top van de Muur van Geraardsbergen.
In ieder geval ziet de tweede voorstelling van het aantal uitsluitingen uit de werkloosheid in België
in de aangegeven periode er minder dramatisch uit dan de eerste voorstelling (Uit Heyerick, 1995).
Wanneer men kruistabellen heeft gemaakt kan men ook het staafdiagram, de lijngrafiek en het
cirkeldiagram verder uitwerken.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
6
Cijferalgoritmen
6.1
Inleiding
CIJFERALGORITMEN
191
In het leven gebruiken we vaak 'algoritmen' om problemen op te lossen. Een algoritme is een
oplossingsmethode die uit een vaste rij elementaire handelingen bestaat. Wanneer ik deze handelingen in de goede volgorde uitvoer dan 'leidt' het algoritme me tot een zekere oplossing van het
probleem. Je vindt algoritmen in een kookboek, een knutselboek, een telefooncel, ... .
Mensen maken graag gebruik van algoritmen. Ze geven zekerheid. Wanneer je ze veel gebruikt
'moet je zelfs niet meer nadenken' over de te zetten stappen.
Op school leren we kinderen vanaf het derde leerjaar algoritmen aan om te rekenen. Kenmerkend
bij het gebruik van deze algoritmen is dat hoofdzakelijk gewerkt wordt met de losse cijfers van het
getal. Vandaar ook de naam 'cijferen'. Wanneer leerlingen van de lagere school cijferen zou men de
handelingen die ze uitvoeren, als volgt kunnen omschrijven.
Het cijferen geschiedt:
- schriftelijk:
je kan je werk overlezen en eventueel verbeteren;
- gestandaardiseerd:
ieder volgt dezelfde werkwijze;
- met verkortingen:
kleine stappen worden samengevoegd tot één grote;
- efficiënt:
de procedure is zo opgesteld dat ze rechtstreeks naar een oplossing leidt;
- automatisch:
inzicht in wat men doet is niet meer nodig;
- symbolisch:
er wordt gecijferd met getallen die niet noodzakelijk een reële situatie
moeten beschrijven;
- algemeen:
waar mogelijk wordt de procedure gebruikt voor alle mogelijke getallen,
ongeacht hun grootte;
- onnatuurlijk:
de procedure wijkt vaak sterk af van de wijze waarop je spontaan het
rekenprobleem zou oplossen;
- positioneel:
men werkt met E, T, H, D enzovoort, zonder dat men zich daar
voortdurend van bewust is;
- routineus:
men streeft naar het vlot hanteren van de procedure, zonder nog bij elke
stap te moeten nadenken.
Bovenstaande opsomming geeft niet aan hoe leerlingen leren cijferen. Het is een aanduiding van
het cijferen op het moment dat de procedure volledig verworven is. Er werd reeds verschillende
malen gewezen op het gevaar van het vroegtijdig aanleren van cijfertechnieken. Het moet nogmaals
onderstreept worden dat het aanleren van technieken niet het eerste en enige doel is van het
rekenonderwijs.
Vooraleer het leerproces van de cijferalgoritmen kan worden aangevat, moet de leerling een aantal
basisvaardigheden verworven hebben.
Ten eerste moet hij inzicht hebben in de context waarin de cijferprocedure kan worden toegepast
(wanneer optellen, delen, ... ?).
Daarnaast moet de leerling, afhankelijk van de procedure, voldoende inzicht hebben in het
getalsysteem (positiewaarde, wisselprincipe, functie van de nul).
Ten slotte moet de leerling de verschillende deelstappen van het algoritme op vrijwel automatisch
niveau kunnen uitvoeren (schattend rekenen, werken met 'nullen', tafels, ...). Getallen met een nul
behoren immers tot de realiteit en kunnen dan ook het vertrekpunt zijn. Je koopt in een supermarkt
toch niet enkel de producten die geen nul in hun prijs hebben!
192
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLEN
In dit katern wordt dieper ingegaan op het leerproces van het cijferen. Uitgaande van inzicht in een
oplossingsprocedure zal het kind via stapsgewijze verkorting 'zijn cijferalgoritme' zelf ontwikkelen.
Invloed van cultuur
Het is een misvatting te denken dat de cijferalgoritmen die we gebruiken unieke, universele en
onveranderlijke modellen zijn. Binnen de 'rekenkunde' is er waarschijnlijk geen enkel onderdeel dat
zo sterk cultureel bepaald wordt als het cijferen. Je kan voor elke hoofdbewerking vrij makkelijk
verschillende procedures terugvinden die op een bepaalde plaats, op een bepaald moment algemeen
worden gebruikt. Nemen we bijvoorbeeld het algoritme voor een staartdeling, dan vinden we in
verschillende landen ook verschillende procedures, die soms sterk afwijken van wat bij ons
gangbaar is.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
CIJFERALGORITMEN
193
Het zal duidelijk zijn dat niet alle procedures even makkelijk toe te passen zijn.
Algemeen geldt dat naarmate de procedure korter wordt, ze verderaf staat van het doorzichtige
'logische' rekenen. Het algoritme zoals het in Joegoslavië wordt gebruikt is zeker moeilijk aan te
leren. De tussenuitkomsten worden bijna volledig weggelaten. De procedure is zeer kort en
abstract. Het is niet makkelijk om in dit deelalgoritme de oorspronkelijke 'verdeelhandeling' terug te
vinden.
Wanneer we kinderen bepaalde procedures willen aanleren, moeten we ons de vraag stellen in
welke mate deze procedures een verkorte weergave moeten zijn van de oorspronkelijke
rekenhandeling.
Een leerlijn 'staartdelingen'
Bij wijze van voorbeeld bepreken we hier twee verschillende invalshoeken bij het aanleren van het
algoritme. Eerst bespreken we een werkwijze die snel leidt naar het vertrouwde en verkorte
'standaardalgoritme'. Centraal bij deze aanpak staat het inzicht in het positiesysteem en het werken
met gestructureerd rekenmateriaal. Vervolgens bespreken we een methode die niet rechtstreeks leidt
tot het toepassen van een standaardprocedure. Bij deze werkwijze moeten de leerlingen zelf de
‘verkortingen’ binnen het algoritme ontdekken. Deze werkwijze steunt eerder op het inzicht in de
reële verdeelhandelingen dan op het inzicht in de eigenlijke structuur van het getalsysteem.
6.2
Delen
6.2.1
Werkwijze 1: progressieve complicering
Via inzicht in het positiesysteem naar de standaardprocedure
Het inzicht in ons tiendelig positiesysteem staat bij deze werkwijze centraal. Het kind moet dit
inzicht hanteren bij het opbouwen van het cijferalgoritme. Groot knelpunt is het gepast kunnen
wisselen van maateenheden uit het deeltal. Net als bij de optelling, aftrekking en vermenigvuldiging
wordt de volledige procedure opgebouwd met behulp van de positiekaart en het MAB-materiaal.
Stap 1: Schattend rekenen
Stap 2: Manipuleren van gestructureerd materiaal en voorstellen op de positiekaart
(HET : E , zonder wisselen bij het begin)
De leerlingen hebben in een voorgaande fase ondervonden dat het zeer moeilijk wordt om
onderstaande oefeningen 'uit het hoofd' te berekenen. Een nieuwe schrijfwijze wordt door
de leraar voorgesteld. Het deeltal wordt 'geanalyseerd' en gelegd met MAB-materiaal.
Vervolgens werken de leerlingen de deling volledig uit met het MAB-materiaal. Ze delen
eerst de 'honderden', dan de 'tienen' en ten slotte de 'enen'. Soms zullen ze de rest van de
honderden of tienen moeten 'wisselen' om verder te kunnen werken. Het is van wezenlijk
belang dat de leerling de bewerking ook volledig kan uitvoeren met het MAB-materiaal.
De volledige bewerking wordt genoteerd in een voorgestructureerd schema, een 'positiekaart'.
194
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLEN
-
-
Stap 3:
H
T
E
5
4
8
3
2
4
2
4
0
8
-
6
3
H
T
E
1
8
2
2
Manipuleren van gestructureerd materiaal waarbij de deler bestaat uit één cijfer en
er van meet af aan moet worden gewisseld
Op dezelfde wijze worden nu oefeningen aangeboden en verwerkt waarbij van meet af
aan moet 'gewisseld' worden. De steun van het MAB-materiaal blijft in deze fase
onmisbaar.
-
H
T
E
1
8
9
1
6
Stap 4:
-
4
H
2
9
2
8
T
E
4
7
1
Manipuleren van gestructureerd materiaal (de deler bestaat uit één cijfer, nullen in
deeltal of quotiënt, met wisselen)
Noodgedwongen zal in een aparte stap aandacht moeten besteed worden aan het werken
met nullen in deler en quotiënt. De leerlingen moeten 'weten' dat, vóór ze gaan
inwisselen, een 0 in het quotiënt moet geschreven worden wanneer een bepaalde
hoeveelheid niet kan verdeeld worden. De functie van de nul 'als plaatshouder' is voor
vele leerlingen zó abstract dat ze in een aparte stap specifieke oefening nodig hebben om
het inzicht te verwerven. De notatie in het positieschema helpt het kind bij deze fase.
H
T
E
9
0
8
9
0
0
-
0
0
8
-
6
2
3
H
T
E
3
0
2
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
CIJFERALGORITMEN
195
196
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLEN
Stap 5: Uitbreiden in de getallenrij, afbouwen van het gebruik van het MAB-materiaal
Stelselmatig wordt de procedure toegepast met grotere deeltallen. Het gebruik van het
MAB-materiaal wordt stilaan afgebouwd. Uiteindelijk kunnen de leerlingen de procedure
(het wisselen) verwoorden zonder het materiaal. De oefening wordt genoteerd in het
positieschema.
Stap 6: Gebruik van het positieschema bij delingen met twee cijfers in de deler
Dit is voor vele leerlingen een zeer moeilijke stap. Steeds doen we een beroep op inzicht in
het wisselprincipe. Zo moeten leerlingen 8 duizenden en 0 honderden samen nemen tot 80
honderden. Deze moeten dan verdeeld worden in 33. Het schatten van de (deel)uitkomst
wordt steeds belangrijker. Enkel op die wijze kan worden voorkomen dat leerlingen 'nullen'
in het quotiënt vergeten, of dat het notatieschema erg slordig en onoverzichtelijk wordt.
Het manipuleren van materiaal in deze fase is niet meer noodzakelijk. De leerling moet
voldoende inzicht hebben in de structuur van de positiekaart vooraleer hij aan deze stap
kan beginnen.
-
-
D
H
T
E
8
0
5
9
6
6
1
4
5
1
3
2
1
3
9
1
3
2
-
33
D
H
T
E
2
4
4
7
Stap 7: Delingen zonder positieschema
Uiteindelijk wordt het positieschema weggelaten. De notatie van het deelalgoritme wordt dus
'verkort' tot zijn bekende vorm.
Besluit bij werkwijze 1
Zoals gesteld beschrijft deze leerlijn in zeven grote stappen een leerproces dat gebaseerd is op het
inzicht in het positiesysteem en het inwisselen van onze getallen. De procedure wordt aangeboden
door de leraar. De leerlingen moeten deze procedure leren reproduceren. De opbouw van de leerlijn
wordt gekenmerkt door een progressieve complicering:
- de gebruikte getallen in deeltal en deler worden steeds groter;
- de uit te voeren handelingen worden complexer (eerst zonder wisselen, dan met wisselen, de rol
van de nul, ...);
- de leerlingen kunnen het algoritme op zich niet flexibel aanpassen: van meet af aan wordt de
standaardprocedure gehanteerd.
Het verloop van het leerproces (en de eventuele differentiatie) is gebaseerd op:
- het al dan niet gebruiken van het rekenmateriaal;
- het al dan niet gebruiken van het positieschema;
- het stelselmatig compliceren van de te verwerken getallen.
HOOFDSTUK 2
6.2.2
DIDACTISCHE KATERNEN
CIJFERALGORITMEN
197
Werkwijze 2: progressieve schematisering
Via inzicht in de verdeelhandeling naar een verkorte deelprocedure
Deze werkwijze vertrekt van totaal andere uitgangspunten dan de bovenstaande. Het kind leert een
algemene procedure waarmee het vanaf het begin reeds alle mogelijke verdelingen kan oplossen.
Gaandeweg zal het zelf de noodzaak van een verkorting van deze, soms zeer uitgebreide, procedure
ervaren. De mate van verkorting hangt af van zijn eigen rekenvaardigheden en van zijn inzicht in
het getalsysteem. Niet zozeer het wisselprincipe van ons getalsysteem staat centraal, maar wel het
logisch kunnen werken met 'mooie getallen' en het schattend kunnen rekenen. Deze procedure leidt
niet rechtstreeks naar het bekende deelalgoritme. Zij biedt de leerling een open structuur aan
waarmee alle verdeelsituaties kunnen worden opgelost.
Stap 1: Schattend rekenen
Stap 2: Werken met materiaal en met een verdeeltabel (alle mogelijke getallen, deler niet
groter dan 10)
De leerlingen lossen alle mogelijke verdeelsituaties op. Ze leren daarbij een soort
'verdeeltabel' hanteren. Deze tabel wordt als steun gebruikt om de uitgevoerde
'verdeelhandeling' te noteren. Uiteraard wordt in deze fase steeds 'materieel' verdeeld.
Om praktische redenen kan in deze stap de grootte van de deler beperkt blijven tot een
getal kleiner dan 10. De lengte van de oplossing wordt bepaald door de leerling zelf. Ze is
afhankelijk van het inzicht in het getalsysteem en van de rekenvaardigheden van de
individuele leerling.
349
Jan
Rik
Mia
Dirk
Eva
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
5
5
5
5
5
20
4
4
4
4
4
4
69
69
69
69
69
- 100
249
- 100
149
- 100
49
-
25
24
-
198
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLEN
Stap 3: Verdelingen noteren in een 'verdeeltabel'
Dezelfde werkvorm als in stap 2
Het effectief werken met materiaal wordt nu vervangen door de schematische werkwijze in
de verdeeltabel. De leerling kan de verdeling verwoorden zonder steun van de materiële
handeling. De oplossing kan nog steeds zeer uitvoerig zijn.
Stap 4: Verkorting van het verdeelschema
De leerlingen ervaren zelf de noodzaak tot een verkorten van het schema. Zeker bij grote
delers (tot 100) wordt duidelijk dat ze in het schema steeds hetzelfde schrijven. Vandaar
dat dit schema ook verkort kan worden. Je noteert dan gewoon in hoeveel keer we het
deeltal moeten verdelen (hoeveel kolommen je eigenlijk zou moeten trekken in één keer!).
-
1427
55
550
10
877
-
550
10
327
-
275
+5
52
25
Stap 5: Verkorting van de rekenstappen
Vanaf nu wordt systematisch gewerkt aan het verkorten van de rekenoperaties. Deze
verkorting kan de evolutie van de rekenvaardigheden van de leerling volgen. De leerling
wordt aangezet tot het nemen van zo groot mogelijke 'happen' van het deeltal (rekenen met
duizenden, honderden, tienen, ...) Toch blijft dit verkorten afhankelijk van de
mogelijkheden van ieder kind. De kennis van de tafels, het kunnen vermenigvuldigen met
veelvouden van tien en het cijfermatig kunnen aftrekken zijn basisvoorwaarden om deze
procedure vlot en verkort te kunnen toepassen.
Besluit bij werkwijze 2
Het bovenstaande maakt duidelijk dat de leerprocedure voor het aanleren van een algoritme sterk
wordt bepaald door het gekozen uitgangspunt.
Bij werkwijze 2 wordt de leerlijn
- gebaseerd op het inzicht in de verdeelhandeling;
- gekenmerkt door een constructief proces van de leerlingen (aansluitend bij de visie in de
eindtermen). De leerling bepaalt in belangrijke mate zelf hoe hij de verdeling oplost.
De procedure sluit zeer nauw aan bij de functionele verdeelhandeling. Het aldus verkregen
algoritme is niet erg verkort. De rekenweg is minder gestandaardiseerd dan deze van werkwijze 1.
Dit algoritme behoudt daarentegen een erg transparante structuur:
de kinderen weten op elk moment heel duidelijk waarmee ze bezig zijn;
de deelstappen zijn eerder inzichtelijk dan automatisch van aard;
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
CIJFERALGORITMEN
199
-
de leerlijn wordt gekenmerkt door een progressieve schematisering: van in het begin kan
het algoritme worden toegepast op alle mogelijke oefeningen, gaandeweg 'ontdekt' het kind
alle mogelijke verkortingen.
Deze werkwijze lijkt zeer waardevol voor leerlingen die moeite hebben met het inzicht in het
wisselprincipe. Vooral wanneer gekozen wordt voor een elementaire behandeling van
cijferalgoritmen als rekentechniek, en voor een vroegtijdig en functioneel gebruik van de
zakrekenmachine bij het werken met grote decimale getallen, kan deze werkwijze een te overwegen
alternatief zijn voor de meer 'traditionele' didactiek van werkwijze 1.
6.2.3
Conclusies bij werkwijze 1 en werkwijze 2
Hoe korter het algoritme hoe verder weg het ligt van de eigenlijke handeling die eraan ten grondslag
ligt. Bij het kiezen van een didactische leerweg voor het aanleren van een algoritme zal met dit
principe rekening gehouden moeten worden.
De beschreven werkwijzen hebben beide voor- en nadelen.
- Zo sluit werkwijze 2 zeer direct aan bij de eigenlijke 'verdeelhandeling' en kan ze
ogenblikkelijk worden toegepast in alle mogelijke situaties. Het probleem is echter dat deze
werkwijze niet echt leidt tot een 'verkort deelalgoritme' zoals we het reeds jaren kennen.
Werkwijze 2 kan je ook niet zo eenvoudig gaan toepassen bij het werken met decimale getallen.
- Werkwijze 1 heeft als grote voordeel dat het uiteindelijk leidt tot een procedure waarmee je alle
mogelijke problemen kan oplossen. Doordat de procedure vrij sterk verkort is, behoeft dit
algoritme een langere en minder 'doorzichtige' leerweg.
Welk uitgangspunt ook gekozen wordt, steeds zal vertrokken moeten worden van de zeer concrete
materiële rekenhandeling. Zowel bij een leerlijn gebaseerd op 'inzicht in het wisselsysteem' als bij
een leerlijn gebaseerd op 'inzicht in de verdeelhandeling', wordt vertrokken van een inzichtelijke
benadering.
6.3
Optellen en aftrekken met behulp van een cijferalgoritme
Bij het aanleren van de cijfertechniek voor optellingen en aftrekkingen hanteren we steeds deze
handelwijze:
1
de oefening leggen met MAB-materiaal
of
de oefening leggen op de lusabacus;
2
de oefening noteren op de positiekaart;
3
de oefening noteren in een ruitjesschrift als 'echte' cijferoefening.
De keuze of gewerkt wordt met de lusabacus of met het MAB-materiaal is afhankelijk van het
schoolteam. Werken met MAB-materiaal is voor vele leerlingen op dit moment een vertrouwd iets.
Het materiaal geeft duidelijk de tiendelige structuur van ons getalsysteem weer.
Om problemen met de lege positie (zoals met 0) te voorkomen, kan het materiaal worden gelegd op
een voorgestructureerd 'legblad' waarbij de leerling gedwongen wordt om de honderden, de tienen
en de enen op een eigen plaats te leggen. Dit legblad sluit zodoende aan bij wat wordt genoteerd op
de positiekaart.
De abacus geeft ons het probleem van de 0 niet. Je ziet bij het getal 708 ogenblikkelijk dat op de
staaf van de tienen geen kralen worden gelegd. Toch is het werken met de (lus)abacus niet altijd een
makkelijke zaak. Bij de aftrekking is het wisselen vaak een omslachtige handeling : je moet één
200
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLEN
kraal wisselen voor tien andere kralen, die bij de lusabacus aan de achterkant van de abacus te
vinden zijn.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
CIJFERALGORITMEN
201
Opbouw van het onderdeel optellen en aftrekken
Bij het werken met MAB, abacus en positiekaart zijn twee werkwijzen bekend. Een eerste manier is
om het wisselen uit te stellen tot de hele oefening 'gelegd' is. Hieronder zie je een voorbeeld van dit
uitgesteld wisselprincipe (zie ook 4.2.2 rekenen met kommagetallen).
+
H
T
E
H
T
E
7
1
6
6
1
9
5
2
1
4
2
5
8
12
10
5
2
0
4
12
5
8
13
0
4
2
10
4
12
5
9
3
0
2
6
7
-
Je kan ook onmiddellijk wisselen. Hoewel deze werkwijze aanvankelijk misschien niet zo
overzichtelijk is, sluit ze beter aan bij de uiteindelijke cijfertechniek waar we naartoe willen. Het
volgende voorbeeld toont de techniek van het onmiddellijk wisselen aan.
H
T
E
H
T
E
10
+
1
1
7
1
6
6
1
9
9
13
10
-
4
0
12
5
2
1
4
2
5
2
6
7
Nadien wordt deze notatie verkort, zodat ze al zeer nauw aansluit bij de uiteindelijke cijfertechniek:
H
T
E
H
T
E
10
+
1
1
7
1
6
6
1
9
9
3
0
-
-
-
10
5
2
1
4
2
5
2
6
7
Op deze wijze proberen we het inzicht in het cijferalgoritme zo goed mogelijk te ontwikkelen. Niet
ieder kind in de klas zal op hetzelfde ogenblik op dezelfde manier de som kunnen oplossen.
Gestreefd moet worden naar de mogelijkheid om te differentiëren op handelingsniveau.
202
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLEN
De twee voorgestelde werkwijzen, met al dan niet onmiddellijk inwisselen, kunnen ook
gecombineerd worden. Je kan bv. met concreet materiaal het wisselen uitstellen, nadien noteren op
de positiekaart wat er gebeurd is en daar dan wel onmiddellijk inwisselen. Eens het concreet
materiaal (MAB, abacus) niet meer nodig is, werken we uitsluitend op de positiekaart met
onmiddellijk inwisselen.
6.4
Vermenigvuldigen met behulp van een cijferalgoritme
Net als bij de tafels bekijken we de 'grotere' vermenigvuldigingen steeds als een herhaalde optelling.
We vertrekken dan ook van een optelling met verschillende gelijke getallen. Vooraleer we echter
het algoritme voor de vermenigvuldiging aanbieden, moeten leerlingen vlot kunnen
vermenigvuldigen met veelvouden van 10.
Dit is essentieel omdat bij een oefening als 54 x 23 de leerling moet inzien dat het resultaat van 54
x 20 steeds eindigt op een 0. Dit inzicht zal dan gebruikt worden bij het aanleren van het
cijferalgoritme waarbij vermenigvuldigd wordt met meer dan één cijfer. Zoals gezegd starten we de
leergang om te komen tot het vertrouwde cijferalgoritme, met een optelling.
D
H
T
E
1
1
2
2
2
1
1
1
6
6
6
4
4
4
6
4
19
12
3 keer
U merkt dat de leerling hier het voor hem vertrouwde algoritme van de optelling (met
onmiddellijk inwisselen) kan toepassen. De enige wijziging ten opzichte van de optelling is de
toevoeging naast het algoritme van het maalteken en het aantal keer dat het getal opgeteld
moet worden.
D
H
T
E
2
1
2
.
.
2
1
.
.
1
6
.
.
6
4
.
.
4
8
6
25
16
x4
Natuurlijk moeten we deze notatiewijze verkorten wanneer we verschillende (7 of 8) getallen
moeten optellen. We doen dit dan door puntjes te zetten. We kunnen aan het getal naast de oefening
toch zien hoeveel keer we elk cijfer moeten nemen.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
CIJFERALGORITMEN
203
De volgende stap brengt ons dan al heel dicht bij het eigenlijke cijferalgoritme. Je merkt dat we op
deze wijze proberen het algoritme van de vermenigvuldiging inzichtelijk aan te leren. De leerling
moet maximaal zijn bestaande kennis van de optelling kunnen gebruiken bij het aanleren van de
vermenigvuldiging.
D
H
T
2
1
2
1
6
4
4
8
6
25
16
x
E
Een andere benadering leunt vooral aan bij het hoofdrekenen. Aanvankelijk wordt gewerkt met de
reële waarden van de cijfers en alle tussenproducten worden genoteerd. Latere verkortingen zullen
erin bestaan het aantal tussenproducten te verminderen (bv. eerst 4 x 43 en dan 50 x 43).
D
6.5
H
T
E
x
4
5
3
4
+
2
1
1
0
1
6
5
0
2
0
0
0
2
3
2
2
4 x 3
4 x 40
50 x 3
50 x 40
Besluit
Het blijft enorm belangrijk dat de leerlingen, vooraleer ze aan het rekenen slaan, zich afvragen of
het in de gegeven situatie aangewezen is van exact of bij benadering uit te rekenen.
Vereist de situatie een exact resultaat, dan moet een procedure gekozen worden: hoofdrekenen,
cijferen of gebruik van de zakrekenmachine.
Wordt gekozen voor cijferen, dan wordt de procedure uitgevoerd op niveau van verkorting en
abstractie waar de leerling aan toe is (bv. met of zonder materialen, met of zonder positiekaart, met
veel of weinig tussenresultaten).Er wordt bij de leerlingen een gerichtheid ontwikkeld om het
resultaat van elke cijferoefening te controleren door: een proef, het uitrekenen op de
zakrekenmachine, nagaan van de realiteitswaarde, vergelijken met een schatting, ... .
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
7
De zakrekenmachine
7.1
Inleiding
ZAKREKENMACHINE
203
Reeds in de vroegste tijden gebruikte de mens lichaamselementen bij het tellen en het rekenen. Zelfs
in ons taalgebruik vinden we daarvan aanwijzingen terug. Denken we maar aan 'een teentje’
knoflook en 'een handvol' noten.
Bij het tellen van het aantal dagen die liggen tussen twee opgegeven data zullen velen onder ons
gaan 'vingertellen'.
Illustreren de gegeven voorbeelden niet het gebruik van 'machines' die we steeds bij de hand
hebben?
Werd het gebruik van dergelijke machines overgedragen vanuit een toenmalige maatschappelijke
evolutie of omwille van het praktisch nut ervan?
Thans wordt het gebruik van de zakrekenmachine gestimuleerd vanuit de maatschappelijke evolutie.
Het praktisch gebruik ervan zal een aantal rekenhandelingen vereenvoudigen en ons sneller het
(juiste) resultaat geven.
Het gebruik van de zakrekenmachine (ZRM) in de basisschool wekt bij sommige leraren en ouders
nogal wat aversie op. Ze vrezen immers dat het gebruik van de zakrekenmachine ertoe zal leiden dat
kinderen minder rekenvaardig worden, zowel in hoofdrekenen als in cijferend rekenen.
De voornamelijk Amerikaanse onderzoeksresultaten m.b.t. de rekenvaardigheid en het gebruik van
de ZRM tonen aan dat leerlingen die vanaf hun eerste schooldag met de ZRM hebben gewerkt geen
nadeel ondervonden in hun rekenvaardigheid.
Dit wordt elders bevestigd. Op voorwaarde dat het hoofd- en cijferrekenen blijvend wordt geoefend,
geeft het gebruik van de ZRM geen nadeel.
Gebruik van de ZRM heeft te maken met situaties waarin zinvol van het apparaat gebruik kan
worden gemaakt. En dit zinvol leren gebruiken is een taak van het onderwijs.
Het geïntegreerd opnemen van de ZRM in het onderwijs biedt ons inziens ook meer duidelijkheid
over het gebruik ervan naar de praktijk toe. Daarmee wordt het gebruik van de ZRM minder als iets
vrijblijvends ervaren.
Door het regelmatig gebruik wordt de ZRM, door de onmiddellijke controle, zelfs een hulpmiddel
bij het hoofdrekenen.
De zakrekenmachine kan, door verantwoord gebruik, ertoe bijdragen om het zinloos en buitengewoon tijdrovend mechanisch cijferen om te buigen tot tijdwinst voor zinvolle probleemgerichte
rekentoepassingen.
Het Instituut voor Onderwijsonderzoek (RION) van de Rijksuniversiteit van Groningen begeleidde
gedurende twee jaar een grootschalig experiment m.b.t. het gebruik van de ZRM in de groepen 7 en
8 van de basisschool (Edelenbos, P., Harskamp, E.G., 1988).
204
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Zij besluiten:
het is hoopgevend dat de leerlingen sneller inzicht krijgen in de plaatswaarde in
kommagetallen;
de leerlingen leren beter schatten;
het oplossen van toepassingsopgaven verbetert;
(al dan niet zelfontdekte) oplossingsstrategieën worden met meer inzicht toegepast.
De uitvoering van allerhande bewerkingen kan door gebruik te maken van de ZRM feilloos
verlopen.
Dit moet vooral zwakke rekenaars stimuleren. Het verminderen van het aantal rekenfouten zal hun
zelfvertrouwen weer opvijzelen en de aversie die vanuit het cijferen tegen rekenen is ontstaan, kan
verdwijnen. Het toestel geeft vertrouwen en kan aldus motiverend werken.
Het beheersen van een aantal basisvaardigheden blijft noodzakelijk:
inzicht in de wereld van de getallen;
inzicht in het positiestelsel;
kennis van de basisbewerkingen;
inzicht in de relaties tussen de bewerkingen.
De betere leerlingen worden aangezet om te experimenteren en te controleren.
Voor het vraagstukkenonderwijs kan de ZRM een grote verlichting betekenen. Er is dan zeker
tijdwinst. Die tijd kan besteed worden aan het zoeken naar oplossingswegen en het bespreken ervan.
We dienen de zakrekenmachine te zien als de 'snelle rekenaar'.
De ZRM kan in de basisschool goed worden gebruikt om:
-
kale sommen (388 x 433) uit te rekenen;
de berekening van sommen te controleren;
de geschatte uitkomst te controleren;
het inzicht in de rekenvaardigheid te verdiepen;
het uitrekenen van ingewikkelde cijferopgaven;
het werken met heel kleine of heel grote getallen;
het uitrekenen van redactieopgaven.
7.2
Functies (gebruiksmogelijkheden) van de zakrekenmachine
7.2.1
De ZRM als ’experimenteermiddel’
Na het oefenen van wat bedieningsaspecten kan je een aantal dingen ontdekken:
wat is 'ON-OFF' of 'AAN-UIT'? Dat is nieuwe rekentaal;
deze nieuwe rekentaal vinden we ook terug bij o.a. './.';
de punt vervangt op een ZRM de komma;
symbolen verdwijnen bij het intoetsen van nieuwe gegevens;
de bewerkingstekens verschijnen niet op het scherm;
de ZRM breekt af of rondt af: 2/3 = 0,6666666 of 0,6666667;
op de ZRM is ½ + ½ niet gelijk aan 1, wel aan 0,75.
Hoe komt dat?
hoeveel cijfers na de komma in de oefening: 2,14 x 3,08?
...
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
ZAKREKENMACHINE
205
206
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
7.2.2 De ZRM als 'snelle rekenaar'
De ZRM kan worden gebruikt om kale sommen snel en correct uit te rekenen.
Om de ZRM als handige rekenaar te gebruiken, moet je wel weten welke bewerkingen of reeks van
bewerkingen je moet uitvoeren. Je moet eveneens weten hoe je die reeks bewerkingen op de ZRM
(handig) kunt uitvoeren.
Dat geldt ook ten aanzien van het hoofdrekenen. Soms gaat het hoofdrekenen sneller dan het
gebruiken van de ZRM.
Stellen wij ter illustratie deze voorbeelden naast elkaar:
4 x 9 x 25 =
6 x 9 x 0 x 5 x 10 =
23,9 x 43 =
Je moet je de eenvoudige bedieningsaspecten eigen maken. Dit wil nog niet zeggen dat je alle
rekenproblemen zomaar oplost. Er is vooreerst een preoperationele (voorbereidende) activiteit
nodig: bedenken wat je moet berekenen.
Je moet inzicht hebben in de aard van de opgave om zinvol van de ZRM gebruik te maken.
Leerlingen leren snel dat je als gebruiker bedieningsfouten kunt maken. Dat is een zinvolle
aanleiding om vooraf al enigszins in te schatten wat het resultaat kan zijn:
3 x 44 x 8
3 x 37 x 8
----> tussen 120 x 8 en 150 x 8
----> 8 x 120
Toch kan de ZRM niet alles. Er is de beperkte capaciteit en getallen boven 9 999 999 worden niet
meer weergegeven. Dit geeft ons de mogelijkheid om, wanneer we werken met grote getallen,
handig te groeperen (bv.: nullen laten wegvallen en splitsen).
Bv.
75 579 x 125
125 kan worden gesplitst in 100 en 25. 100 x 75 579 kan gemakkelijk
door hoofdrekenen worden uitgerekend. 75 579 x 25 wordt
uitgerekend met de ZRM.
De ZRM kan de vlotte en foutloze rekenaar zijn op voorwaarde dat er voldoende inzicht is in de
getallen- en bewerkingswereld en in het gebruik van het apparaat.
15 16
of ? De kinderen kunnen vlug opmerken dat beide breuken 1 deel minder
16 17
zijn dan één geheel. Ze kunnen nu de vraag stellen: 'Wat zou nu groter zijn:
1
1
1 of 1 ?' Nu kunnen ze een beroep doen op hun ervaring met stambreuken om te weten wat
16
17
1
1
meer of minder is:
of . Bij stambreuken geldt immers: 'hoe groter de noemer, hoe kleiner de
16
17
1
1
15
16
waarde van de breuk'. Dus 1 is kleiner dan 1
of
is kleiner dan
. Nadien kan snel en
16
17
16
17
foutloos gecontroleerd worden met de ZRM.
Wat is het meest?
HOOFDSTUK 2
7.2.3
DIDACTISCHE KATERNEN
ZAKREKENMACHINE
207
De ZRM als 'controlemiddel'
Het gebruik van de ZRM maakt het mogelijk het resultaat van uit het hoofd berekende opgaven snel
te controleren.
Deze controle kan ook worden uitgevoerd na het cijferen.
Het stelt ons tevens in staat onze schatting te controleren:
Bv.
5043 x 45,2 = schatting:
5000 x 40 = 200 000
5000 x 50 = 250 000
De ZRM wordt dan het controlemiddel van een rekenprocedure.
Zo kan je bij de controle van een deling het quotiënt nog eens vermenigvuldigen met de deler.
Bij delen met 'rest' geeft de ZRM de rest niet aan. Je krijgt een kommagetal. Je moet je realiseren
wat daar de betekenis van is. Je kan een manier bedenken om met de zakrekenmachine de rest te
berekenen of te controleren.
Bv.
5043 : 11 delen tot op één nauwkeurig
Op de zakrekenmachine verschijnt als quotiënt: 458.45454
Het quotiënt is dus 458. Om de rest te berekenen trekken we het quotiënt (458) af. Op de
ZRM verschijnt nu: 0.45454. We vermenigvuldigen met 11. We zien op de ZRM: 4.99994.
We weten dat de rest 5 is.
7.2.4
De ZRM als 'ontdekker en inzichtgevend hulpmiddel'
De reeds verworven rekenkundige kennis kan verdiept worden.
De relatie tussen de breuk, de deling, het decimaal getal en het procent is hiervan een voorbeeld.
Door experimenteren zullen de leerlingen een aantal aspecten van de leerstof en van het apparaat
zelf kunnen ontdekken.
Specifieke functies (o.a. de geheugentoets) en rekenprocedures (percentberekening bijvoorbeeld)
kunnen worden aangewend.
De ZRM is hier het middel tot het ontdekken of het realiseren van bepaalde rekenrelaties.
In de 'breukenwereld' vinden we voorbeelden om de ZRM te gebruiken bij het ontdekken of het
realiseren van bepaalde rekenrelaties.
Hoe reken je bijvoorbeeld ½ + 1/4 uit?
Op het toetsenbord vind je ½ en 1/4 niet! En toch kan je het op de ZRM uitrekenen.
De breuk moet dan in 'machinetaal' worden omgezet: ½ wordt 1:2 en 1/4 zie je als 1:4.
Als som vind je evenmin een breuk, maar een kommagetal. De relatie tussen breuken en delingen en
breukgetallen en kommagetallen wordt hier onderwerp van gesprek. Hoe zit dat nu eigenlijk? En
hoe interpreteer je ten slotte de uitkomst weer als een breuk?
Meer complexe breukopgaven kunnen ook via de ZRM worden opgelost.
Neem bijvoorbeeld volgende breuksom: 3/8 + 5/13
Zal de som groter zijn dan 1? Waarom wel of waarom niet?
Zal de som groter zijn dan ½? Waarom wel of waarom niet?
79
Door de breuken gelijknamig te maken komt men via hoofdrekenen tot de oplossing
. Dit
104
208
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
70
80
en
ligt.
100
100
Bij het uitrekenen van het antwoord op de ZRM krijg je als uitkomst: 0,7596153.
betekent dat de uitkomst tussen
Nu kan je in een leergesprek verder ingaan op de betekenis van het getal en op de relatie tussen
kommagetallen en breuken.
Een tekening kan hier voor de nodige ondersteuning zorgen:
Deze afbeelding leert ons dat 5/12 iets meer is dan 3/8. Dan zal 5/13 ongeveer even groot zijn als
3/8.
Op die manier kom je uit op ongeveer 6/8 of 3/4. Dat is 0,75, te vergelijken met de uitkomst op de
ZRM. Het inzicht in de relatie tussen breuken en kommagetallen wordt hier door het gebruik van de
ZRM verdiept.
7.2.5
De ZRM in toepassingssituaties en als middel om strategieën te doorzien
Hierbij denken we vooral aan realistische contextopgaven. De denkweg wordt niet gehinderd door
de complexiteit van de bewerkingen en er kan heel wat tijdwinst geboekt worden.
Waar koop ik het voordeligst twee jassen?
In een kledingzaak kost een jas 7340 BEF en krijg ik op de tweede jas 30 % korting.
In een andere zaak kost elke jas 5000 BEF.
Denken we aan de ZRM als een middel om strategieën te doorzien, dan speelt naast de grootte van
de getallen zeker de uit te voeren bewerking ook een rol.
Hoe krijg je 709 op het venster van je ZRM zonder de 0-toets aan te raken (bv. 711 - 2).
Maak van 1594 het getal 994 zonder het venster van de ZRM eerst leeg te maken.
Wat gebeurt er als je met de ZRM 18 x 36,50 doet?
Wat is juist? 39 x 99 = (39 x 100) - 1 of (39 x 100) - 39
Controleer!
HOOFDSTUK 2
7.2.6
DIDACTISCHE KATERNEN
ZAKREKENMACHINE
209
De ZRM als 'spelletjesbron' via inzicht in de getallen
Talrijke rekenspellen kunnen via de ZRM worden uitgevoerd.
Volgende strategiespelen kunnen hierbij als voorbeeld volstaan:
1
Joris begint met 2 en vermenigvuldigt de uitkomst steeds met 2.
Griet begint bij 80 en telt steeds 80 bij de uitkomst.
Wie zal het eerst over de 1000 zijn?
2
Doelschieten
7.3
De zakrekenmachine neemt niet de plaats in van het rekenen
Het resultaat van een bewerking op een ZRM moet steeds worden beoordeeld. De uitkomst moet
m.a.w. worden gecontroleerd.
Deze controle kan gebeuren aan de hand van:
een schatting
en/of
de werkelijkheidswaarde van wat berekend wordt.
210
7.3.1
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Controle aan de hand van een schatting
Om eventuele bedieningsfouten onmiddellijk op te merken, dienen wij een benaderende
uitkomst te kennen.
Voorbeeld:
706 x 98,7 =
De schatting levert ons deze gegevens:
- 706 x 98,7 zal ongeveer (700 x 100) 70 000 zijn
- én we hebben zeker één cijfer na de komma.
Deze schatting is nodig om op te merken dat het product 7501,2 bijvoorbeeld veroorzaakt is
door een toetsfout (het vergeten van de 0 in 706).
Krijgen we als resultaat 6968,22 dan leert de schatting ons opnieuw dat er iets mis is gegaan
(9,87 ingetoetst i.p.v. 98,7).
69 682,2 is de juiste uitkomst.
Dit resultaat is vrij betrouwbaar vermits
- het kort bij de geschatte 70 000 ligt;
- er slechts 1 cijfer na de komma is.
7.3.2
Controle aan de hand van de werkelijkheidswaarde van wat berekend wordt
Voorbeeld:
Een winkelier betaalt voor een karton (12 stuks) 'erwtjes en wortelen'
312 BEF.
Hij verkoopt ze tegen 36,50 BEF het stuk. Bereken zijn winst!
Bekom je als resultaat 1210 BEF winst dan voel je onmiddellijk aan dat een dergelijke winst
niet aanvaardbaar is.
Je gaat dus opnieuw rekenen. Ditmaal bekom je 12,10 BEF als winst. Dit resultaat is
eveneens twijfelachtig. De winkelier verkoopt 12 blikken en verdient slechts 12,10 BEF. Dat
is amper 1 BEF per blik.
Vanuit deze logische gedachtegang dringt een derde berekening zich op. Ditmaal bekom je
een winst van 121 BEF. Dat is ongeveer 10 BEF per blik ... en dat is realistisch.
De controle door het maken van een schatting en het nagaan van de werkelijkheidswaarde
gaan hand in hand.
7.4
De zakrekenmachine en zorgverbreding
Wat kan de ZRM betekenen voor het onderwijs aan zwakke rekenaars in de basisschool?
De vraag heeft twee aspecten:
-
kunnen zwakke rekenaars in de basisschool steun hebben aan de ZRM?
hoe kan het rekenonderwijs met behulp van de ZRM worden ingericht?
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCHE KATERNEN
ZAKREKENMACHINE
211
We vinden dat het gebruik van de ZRM (eindterm 1.26) ook geldt voor zwakrekenende kinderen.
Het is van belang dat kinderen vertrouwen krijgen in hun eigen mogelijkheden om rekenopgaven op
te lossen met behulp van de basisvaardigheden en rekenstrategieën.
Willen kinderen echter voldoende zelfvertrouwen krijgen bij het gebruik van de ZRM dan zullen ze
daarmee een aantal ervaringen moeten opdoen.
Vaardigheid met de ZRM geeft deze leerlingen de mogelijkheid te kiezen tussen een mentale
oplossing of een oplossing met behulp van de ZRM. De leerlingen moeten uiteindelijk zelf
bepalen welke werkwijze de meest efficiënte is.
Het aanleren en oefenen van basisvaardigheden met de getallen tot 20 kan de zwakke rekenaar al
voor problemen plaatsen.
Ondanks een gerichte didactiek en een aangepaste training vallen op dat onderdeel al een aantal
kinderen uit. Oorzaken van dit uitvallen kunnen zitten in het tempo en in het onvoldoende een
beroep kunnen doen op het geheugen.
Wanneer deze leerlingen de basisvaardigheden uiteindelijk beheersen, hebben zij soms al een
behoorlijke achterstand opgelopen. Bovendien blijft het toepassen van de verworven vaardigheden
meestal een probleem.
Voor sommige leerlingen kan de ZRM een uitkomst bieden. Er zijn leerlingen die een behoorlijk
inzicht hebben in de rekenbewerkingen maar niet zo snel de uitkomst van een som (re)produceren.
De tafels zijn niet paraat gekend of ze hebben moeite met de overschrijdingen.
Op een dergelijk moment zou de ZRM een passend hulpmiddel kunnen zijn omdat pen en papier (en
soms de vingers) tijdrovend zijn.
Om welke reden de zwakke rekenaars ook gebruikmaken van de ZRM, zij zullen aan zekere
voorwaarden moeten voldoen:
-
kunnen optellen en aftrekken tot en met 10;
inzicht hebben in de getallen tot 100;
inzicht hebben in de positiewaarde van de cijfers in een getal;
inzicht hebben in de keuze van verschillende bewerkingen en de notatie ervan.
Wij gaan ervan uit dat bij gebruik van de ZRM eerst wordt geschat. Voor zwakke rekenaars is het
schatten een moeilijke opgave. Daarnaast kan voor hen als controlemiddel ingebouwd worden dat
de opgave tweemaal wordt ingetoetst. De eerste keer zal de bewerking de volle aandacht krijgen en
wordt de oplossing vergeleken met de schatting. De tweede keer ligt de nadruk op het controleren
en het vergelijken van de gevonden oplossing.
Omdat de ZRM het vaak (te) moeilijk cijferwerk overneemt, ontstaat er meer gelegenheid om
aandacht te besteden aan de oplossingsstrategieën. Kinderen raken soms weer gemotiveerd als zij de
zakrekenmachine mogen gebruiken. De ZRM geeft kinderen vaak weer plezier in rekenen.
Omdat zwakke rekenaars ook geheugenproblemen kunnen hebben, zullen zij vergeten wat ze al
hebben ingetoetst. Om dat te vermijden, zullen ze de te maken som eerst op een blad noteren en
eventueel doorstrepen wat al is uitgevoerd.
Bij deze kinderen zullen wij tijd moeten besteden aan datgene wat er allemaal gebeurt wanneer zij
iets met de toetsen doen
212
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 1: GETALLEN
Volgend schema kan hen daarbij helpen:
ik toets
op het scherm zie ik ...
ON
0 verschijnt
5
0 verdwijnt, 5 verschijnt
+
5 blijft
6
5 verdwijnt, 6 verschijnt
=
6 verdwijnt, 11 verschijnt
Ondertussen verwoorden de leerlingen wat de ZRM doet.
Wij menen te mogen stellen dat de ZRM ook past in het rekenonderwijs aan zwakke kinderen. Zij
vervangt echter de essentiële elementen uit het aanvankelijk en voortgezet rekenonderwijs niet,
maar vult die aan en verrijkt zo het rekenonderwijs.
Het goed kunnen rekenen met behulp van de ZRM is een relevante maatschappelijke vaardigheid
die inmiddels bijna net zo gewoon is als het kunnen draaien of intoetsen van een telefoonnummer.
7.5
Aanbevelingen
Voor het begin van het rekenonderwijs met de zakrekenmachine moet worden nagegaan in hoeverre
leerlingen aan een aantal rekenvoorwaarden voldoen, zoals voldoende kennis van de
basisautomatismen en inzicht in de plaatswaarde van de cijfers. Dat wil niet zeggen dat de
leerlingen niet voordien reeds het apparaat kunnen exploreren en leren kennen. Maar dat is nog geen
doelgericht onderwijs met de zakrekenmachine.
We gaan ervan uit dat de leerlingen steeds de som uit het hoofd uitrekenen of schatten alvorens de
ZRM wordt gebruikt.
De school schaft de zakrekenmachines aan en beperkt zich tot één type. Naderhand kan de
confrontatie met andere types ook zeer boeiend zijn.
Bij het bepalen van het type dient het schoolteam zich af te vragen welke voorwaarden aan de ZRM
moeten worden gesteld.
Volgende voorwaarden kunnen richtinggevend zijn:
-
een goed afleesbaar toetsenbord,
de meest noodzakelijke toetsen voor de hoofdbewerkingen,
licht terugverende toetsen zodat de leerling voelt dat de toets werd ingedrukt,
zonnecellen besparen op energie en batterijen.
HOOFDSTUK 2
7.6
DIDACTISCHE KATERNEN
ZAKREKENMACHINE
213
Tot slot
Inpassing van de zakrekenmachine in het basisonderwijs eist een zorgvuldige analyse van de
mogelijke gebruikswijzen en van de methodische opbouw van bepaalde leerstof.
Bepaalde ervaringen met de zakrekenmachine hebben niettemin al aangetoond, dat er op dit gebied
mogelijkheden zijn. In het algemeen blijkt dat kinderen gemakkelijk en gemotiveerd met de ZRM
werken.
Gesteld kan worden dat de ZRM ten aanzien van verschillende knelpunten van het rekenwiskundeonderwijs een rol kan spelen:
-
bij het vergroten van de toepasbaarheid, doordat het rekenen zelf minder problemen oplevert
en het gebruik van 'moeilijke getallen' geen extra moeilijkheden geeft;
-
bij het verminderen van de tijd die voor het cijferen wordt ingeruimd; te denken valt dan met
name aan het cijferen met erg grote getallen;
-
bij het handig rekenen en schatten, via het handig en bewust hanteren van 'rekenwijzen' op
de ZRM;
-
bij het hanteren van relaties tussen breuken, kommagetallen en procenten.
HOOFDSTUK 1 LEERLIJNEN
215
Hoofdstuk 1
LEERLIJNEN METEN
216
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 2: METEN
OD
ET
DOMEIN 2: METEN
Kleuters
1ste
fase
2 de
fase
Lagereschoolkinderen
6j.
8j.
2.1
CLASSIFICEREN VOLGENS KWALITATIEVE EIGENSCHAPPEN
1
De leerlingen kunnen kwalitatieve
eigenschappen bij zichzelf, bij anderen, bij
voorwerpen (kleur, geur, smaak, gevoel,
geluid, vorm, ...) verwoorden.
2
De leerlingen kunnen twee objecten
vergelijken en classificeren steunend op
één kwalitatieve eigenschap.
OD
2.1
3
De leerlingen kunnen meer dan twee
objecten in twee groepen classificeren
steunend op één kwalitatieve eigenschap .
OD
2.2
4
De leerlingen kunnen meer dan twee
objecten classificeren, steunend op een
combinatie van twee kwalitatieve
eigenschappen.
OD
2.2
10j.
HOOFDSTUK 1 LEERLIJNEN
Domein 2: METEN
Lengte, gewicht, inhoud,
Oppervlakte, omtrek, volume
2.2
217
OD
ET
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j.
8j.
10j.
METEN VAN LENGTE, GEWICHT, INHOUD, OPPERVLAKTE, OMTREK EN
VOLUME
2.2.1 Ordenen volgens kwantificeerbare eigenschappen
1 De leerlingen kunnen kwantificeerbare
eigenschappen (continue) bij zichzelf, bij
anderen, bij voorwerpen verwoorden en
gebruiken daarbij de begrippen:
-
voor lengte: lang, kort; hoog, laag;
groot, klein.
-
voor gewicht: zwaar, licht
-
voor inhoud: vol, leeg, veel,
weinig
-
voor oppervlakte: groot, klein
-
voor volume: groot , klein
OD
2.1
Ze beseffen dat het relatieve begrippen zijn.
Bv. iets is slechts klein of groot in vergelijking
met iets anders.
2 De leerlingen kunnen, door manipuleren en
kijken, twee objecten vergelijken, steunend op
één kwantificeerbare eigenschap, en gebruiken
daarbij de begrippen:
-
voor lengte: lang, langer, kort,
korter, even lang/kort;
idem voor hoog, laag; groot, klein
-
voor gewicht: zwaar, licht,
zwaarder, lichter, even
zwaar/licht (weegt evenveel)
-
voor inhoud: vol, leeg, meer of
minder gevuld (voller, leger),
even vol/leeg (evenveel) ..............
-
voor oppervlakte: groot, klein,
groter, kleiner, even groot/even
klein .............................................
-
voor volume: groot, klein, groter,
kleiner, even groot/even klein ......
OD
2.2
2.3
218
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 2: METEN
Lengte, gewicht, inhoud,
Oppervlakte, omtrek, volume
OD
-
3 De leerlingen kunnen door manipuleren en
kijken meer dan twee objecten vergelijken en
ordenen volgens toenemende of afnemende mate
in:
lengte: langst, kortst (hoogst,
laagst, grootst, kleinst)..................
OD
2.3
-
ET
gewicht: zwaarst, lichtst ................
Ze kunnen dit met gelijkvormige objecten ook
voor:
inhoud: meest gevuld, minst
gevuld (volst, leegst) ....................
-
oppervlakte: grootst, kleinst ..........
-
volume: grootst, kleinst .................
4 De leerlingen ervaren en kunnen verwoorden dat
lengtes, gewichten, inhouden, oppervlakten en
volumes gelijk kunnen blijven ook als de vorm
van het object verandert (conservatie).
5 De leerlingen kunnen grootheden (oppervlakte,
volume, inhoud) omstructureren om ze beter te
kunnen vergelijken.
6 De leerlingen kunnen voorbeelden geven van
objectieve en subjectieve metingen.
OD
2.5
DOMEIN 2: METEN
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j.
8j.
10j.
HOOFDSTUK 1 LEERLIJNEN
Domein 2: METEN
Lengte, gewicht, inhoud,
Oppervlakte, omtrek, volume
219
OD
ET
1ste
fase
2.2.2 Werken met niet-conventionele maateenheden
1 De leerlingen kunnen een lengte (bv. van de
pennenzak) samenstellen uit twee of meer
lengtes (bv. uit een potlood en een gom).
Ze kunnen dit ook voor inhoud, gewicht,
oppervlakte en volume.
2 De leerlingen kunnen objecten meten met een
niet-conventionele maateenheid.
Ze ordenen ze op grond van het meetresultaat
naar:
de lengte,
het gewicht,
de inhoud,
de oppervlakte,
het volume.
OD
2.6
3 De leerlingen kunnen grootheden veranderen
door er iets aan toe te voegen of van weg te
nemen, en deze verandering verwoorden.
OD
2.4
4 De leerlingen kunnen aangeven dat de maat van
een object niet beïnvloed wordt door zijn plaats,
richting, oriëntatie in de ruimte, ... .
OD
2.5
5 De leerlingen kunnen, in functie van wat ze
willen meten, zelf oordeelkundig een nietconventionele maateenheid kiezen om een object
te meten en, indien nodig, omschakelen van
maateenheid tijdens de meetact. (bv.: de lengte
van de muur is acht stappen en vijf voeten)
OD
2.6
6 De leerlingen kunnen, na het kiezen van een
niet-conventionele maateenheid, het maatgetal
schatten.
7 De leerlingen kunnen objecten meten met
verschillende niet-conventionele maateenheden.
Ze kunnen het verband zien tussen de grootte
van de maateenheid en de grootte van het
maatgetal en dat verband ook verwoorden.
ET
2.1
Lagereschoolkinderen
Kleuters
2de
fase
6j.
8j.
10j.
220
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 2: METEN
Lengte, gewicht, inhoud
Oppervlakte, omtrek, volume
2.2.3
OD
ET
Werken met conventionele maateenheden
1 De leerlingen kennen volgende maateenheden en
hun symbolen en kunnen daarmee meet- of
berekeningsresultaten noteren:
m ..................................................................
cm ................................................................
dm, mm ........................................................
km ................................................................
g ...................................................................
kg .................................................................
ton ................................................................
l ....................................................................
dl ..................................................................
cl ..................................................................
ml .................................................................
m², dm², cm², km² ........................................
m³, dm³, cm³ (cc) .........................................
a, ha, ca .......................................................
2 De leerlingen kunnen geschikte meetinstrumenten kiezen om respectievelijk lengte,
inhoud en gewicht te meten (bv. het gewicht van
een leerling meet ik met een personenweegschaal
en niet met een vouwmeter).
3 De leerlingen kunnen, in functie van wat ze
willen meten en van de beoogde nauwkeurigheid, de geschikte maateenheid en het
gepaste meetinstrument kiezen en correct
gebruiken.
ET
2.1
2.2
DOMEIN 2: METEN
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j.
8j.
10j.
HOOFDSTUK 1 LEERLIJNEN
221
Domein 2: METEN
Lengte, gewicht, inhoud
Oppervlakte, omtrek, volume
OD
-
4 De leerlingen kunnen een geschikte berekeningswijze hanteren voor het bepalen van de omtrek
van veelhoeken.
ET
2.9
ET
5 De leerlingen kunnen een geschikte manier
hanteren om de omtrek van niet-veelhoeken
(cirkels, ovalen, eilandjes) te bepalen.
6 De leerlingen kennen de formule om de omtrek
van een cirkel te berekenen.
7 De leerlingen kunnen de oppervlakte van een
rechthoekige vlakke figuur meten door die te
bedekken met vierkantjes (van bv. 1 cm²).
8 De leerlingen kunnen een geschikte berekeningswijze hanteren voor het bepalen van de
oppervlakte van een rechthoek.
ET
2.9
9 De leerlingen kennen de formule om de oppervlakte van een rechthoek te berekenen.
ET
2.9
10 De leerlingen kunnen, door omstructurering, de
oppervlakte van andere veelhoeken bepalen.
ET
2.9
11 De leerlingen kunnen een geschikte manier
hanteren om de oppervlakte van niet-veelhoeken
(cirkels, ovalen, eilandjes, kaart van België) bij
benadering te bepalen.
ET
2.9
12 Ze kunnen veelhoeken tekenen die de omtrek en
de oppervlakte van grillige figuren benaderen.
13 De leerlingen kennen de formule om de
oppervlakte van een cirkel te bepalen.
14 De leerlingen kunnen een geschikte berekeningswijze hanteren voor het bepalen van het
volume van een balk.
15 De leerlingen kennen de formule om het volume
van een balk te berekenen.
16 De leerlingen kunnen de berekeningswijze die ze
hanteren om het volume van een balk te bepalen,
gebruiken om het volume van andere lichamen
te bepalen:
door omstructurering
of
naar analogie.
17 De leerlingen kunnen het volume van een
cilinder bepalen door gebruik te maken van de
formule van de oppervlakte van een cirkel.
ET
2.10
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j.
8j.
10j.
222
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 2: METEN
Lengte, gewicht, inhoud
Oppervlakte, omtrek, volume
OD
-
18 De leerlingen komen, na veelvuldig meten, tot
afspraken over herkenbare, voorstelbare en/of
zichtbare referentiepunten en kunnen die
gebruiken bij het schatten.
ET
2.3
2.8
19 De leerlingen kennen, omwille van het systeem,
het opbouwprincipe van de rij maateenheden
voor lengte, inhoud, gewicht, oppervlakte en
volume en kunnen daarbij de relatie leggen
tussen de grootheid en de maateenheid. ...............
ET
2.1
ET
Daarbij kunnen ze het systeem aanvullen met
een aantal ontbrekende maateenheden, zoals
o.m.: dam, hm, hl, ... ...........................................
20 De leerlingen kunnen enkele frequent voorkomende maateenheden, die niet binnen het
metriek stelsel te plaatsen zijn, gebruiken zoals
bijvoorbeeld:
mijl, zeemijl, pond, halfpond, ... .
21 De leerlingen geven, door frequent meten,
eenzelfde maat op verschillende manieren weer.
Ze kunnen:
hun meetresultaten op verschillende manieren lezen en
noteren;
de voor- en nadelen van de
verschillende notaties inzien en
verwoorden;
betekenisvolle herleidingen
uitvoeren;
op een zinvolle manier
meetresultaten afronden.
Ze kunnen daarbij aangeven dat maateenheid en
maatgetal omgekeerd evenredig zijn.
ET
2.6
22 De leerlingen zien het verband tussen inhoud,
gewicht en volume en kunnen het verwoorden (1
l water weegt 1 kg en heeft een volume van
1 dm³).
ET
2.6
23 De leerlingen kunnen de relatie tussen de
omtrek, de oppervlakte en het volume van
figuren onderzoeken, vaststellen en verwoorden.
(bv. deze 4 figuren met eenzelfde oppervlakte,
hebben alle een verschillende omtrek.)
ET
2.6
ET
2.2
ET
2.7
DOMEIN 2: METEN
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j.
8j.
10j.
HOOFDSTUK 1 LEERLIJNEN
223
OD
-
Domein 2: METEN
Schaal
ET
2.3
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j
>
8j
>
10j
>
SCHAAL
Vooraf: Hier beperken we ons tot het noteren van de schaal en het meten en rekenen met de schaal. Het spreekt voor
zich dat eerst het schaalbegrip vulling moet krijgen vooraleer men de doelstellingen uit deze leerlijn kan
nastreven.
Voor de opbouw van het schaalbegrip verwijzen we naar 'Domein 3: Meetkunde':
Vormleer leerlijn 3.4: 'Relaties tussen geometrische figuren';
Meetkundige wereldoriëntatie:
leerlijn 3.5: positiebepaling;
leerlijn 3.6: beweging en richting.
Tevens verwijzen we naar het leerplan Wereldoriëntatie, deel 7: Domein Ruimte.
1
De leerlingen kunnen de verhouding tussen
een werkelijkheid en een gelijkvormige
afbeelding ervan exact bepalen en
verwoorden (... keer zo groot/zo klein als
...).
Ze weten dat de verhouding bepaald wordt
door de verkleinings-/vergrotingsfactor van
één dimensie aan te duiden.
2
De leerlingen kennen het begrip schaal als
verkleinings-/vergrotingsfactor.
Ze kunnen de schaal verwoorden en
noteren:
-
als breuk:
1
1000
-
als verhouding:
1 : 1000
-
in een metrieke schaal:
1cm = 10 m
-
2
1
2:1
1cm = 5 mm
in een lijnschaal
0
10 m
0
5 mm
Ze kunnen de verschillende
schaalaanduidingen onderling naar elkaar
omzetten.
3
De leerlingen kunnen de schaalaanduiding
bij een afbeelding van een werkelijkheid
gebruiken om de reële afstand tussen twee
punten te bepalen door:
gebruik te maken van stroken
papier (afpassen van de
lijnschaal);
te meten en gebruik te maken van
een verhoudingstabel;
te meten en te berekenen.
ET
2.4
224
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 2: METEN
Schaal
OD
ET
4
De leerlingen hebben inzicht in de relatie
tussen: lengte, oppervlakte en volume bij
het hanteren van de schaal,
bv.: schaal
1
betekent: lengte in
2
werkelijkheid 2 keer groter, oppervlakte 4
keer groter, volume 8 keer groter.
5
De leerlingen kunnen een percentage
interpreteren en hanteren als schaal
(verkleinen op 75 %, vergroten op 150 %).
6
De leerlingen kunnen van een
werkelijkheid (of van een afbeelding van
een werkelijkheid) een afbeelding op
schaal tekenen (bv. grondplan van de
klas).
DOMEIN 2: METEN
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j
>
8j
>
10j
>
HOOFDSTUK 1 LEERLIJNEN
Domein 2: METEN
Tijd
225
OD
ET
2.4
METEN VAN TIJD
1
De leerlingen kunnen onderscheiden wat:
nu, ervoor (voor nu) en erna (na nu) is.
2
De leerlingen kunnen het onderscheid 'dagnacht' hanteren.
3
De leerlingen beseffen dat het begin en het
einde van een activiteit kan worden
aangeduid aan de hand van een signaal of
van een tijdsinstrument (bv. zandloper).
Ze kunnen zelf zo'n aanduiding gebruiken.
De leerlingen kunnen, bij vergelijking van
2 gekende activiteiten, verwoorden welke
het langst of het kortst duurt. ......................
4
De leerlingen beseffen, op grond van
ervaring, dat tijdsduur (lang - kort) een
relatief en subjectief begrip is.
5
De leerlingen kunnen verschillende
kalenders begrijpen en kunnen deze
hanteren:
6
7
-
een activiteitenkalender per dag ....
-
weekkalender ................................
-
maandkalender ..............................
-
jaarkalender...................................
De leerlingen kunnen volgende
tijdseenheden begrijpen en verwoorden:
-
dag ................................................
-
week ..............................................
-
maand ............................................
-
jaar. ...............................................
De leerlingen ervaren en beseffen dat uurwerken en kalenders middelen zijn die
mensen gebruiken om tijd (tijdstip en
tijdsduur) te meten en aan te duiden.
OD
2.8
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j
>
8j
>
10j
>
226
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 2: METEN
Tijd
OD
ET
8
De leerlingen kunnen aan de hand van een
kalender de dagen aftellen tussen het nu en
een speciale gebeurtenis binnen de periode
van een week.
OD
2.9
9
De leerlingen kunnen een kalender
gebruiken om het aantal dagen tussen 2
gebeurtenissen correct te bepalen.
De gebeurtenissen vallen binnen:
ET
2.3
-
een week ........................................
-
een maand .....................................
-
een jaar ..........................................
Ze kunnen de tijd tussen 2 gebeurtenissen
correct bepalen zonder gebruik te maken
van een kalender. Ze kunnen daarbij zelf
bepalen welke maateenheid het meest
geschikt is.
10
11
De leerlingen kunnen gebeurtenissen,
handelingen in volgorde rangschikken; ze
gebruiken daarbij begrippen als:
-
nu, eerst, laatst, ervoor, erna,
voorbij, vroeger, later, ... .............
-
morgen (ochtend), middag, avond,
nacht, voormiddag, namiddag ..... .
-
vandaag, morgen, gisteren .............
-
vorige week, volgende week .........
-
eergisteren, overmorgen ................
-
voor ... weken, over ... weken,
vorige maand, volgende maand ....
-
voor ... maanden, over ...
maanden, vorig jaar, volgend jaar
-
voor ... jaren, over ... jaren ............
De leerlingen kunnen de datum op
verschillende wijzen lezen en schrijven.
ET
2.2
DOMEIN 2: METEN
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j
>
8j
>
10j
>
HOOFDSTUK 1 LEERLIJNEN
Domein 2: METEN
Tijd
227
OD
ET
12
De leerlingen kunnen een wijzerklok lezen
en instellen met een nauwkeurigheid van:
-
een uur en een halfuur ...................
-
een kwartier...................................
-
5 minuten ......................................
-
1 minuut ........................................
ET
2.1
2.2
13
De leerlingen kunnen een digitale klok
lezen en instellen.
ET
2.2
14
De leerlingen kunnen tijdsnotaties uit een
24-urenschaal omzetten in een 12urenschaal en omgekeerd.
ET
2.2
15
De leerlingen kennen het onderscheid
tussen tijdstip en tijdsduur.
16
De leerlingen kunnen:
- afkortingen, noteren en ge-bruiken:
17
-
u. .....................................
-
min. .................................
-
sec. ..................................
-
symbolen lezen: h, min,
s, ' en " (bv. 3u.6'23") ....
De leerlingen kunnen eenvoudige uurtabellen lezen en interpreteren in
betekenisvolle situaties (tv-programma's,
tabel openbaar vervoer, openings- en
sluitingsuren, ...)
ET
2.2
ET
2.3
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j
>
8j
>
10j
>
228
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 2: METEN
Tijd
OD
ET
18
De leerlingen kennen de samenhang tussen
de maateenheden:
-
1 week = 7 dagen,
1 jaar = 12 maanden ......................
-
1 maand = ± 30 dagen,
1 jaar = ~ 52 weken = 365 (of
366) dagen.....................................
-
1 dag = 24 uur,
1 uur = 60 minuten,
½ uur = 30 minuten,
1 kwartier = ¼ van 1 uur = 15
minuten..........................................
-
1 minuut = 60 seconden ................
-
1 seconde wordt tiendelig
verdeeld (in 10den, 100sten,
1000sten) ......................................
ET
2.12
19
De leerlingen kunnen zinvolle herleidingen
van tijdsintervallen maken.
ET
2.6
20
De leerlingen kunnen, in functie van wat ze
willen meten en van de beoogde
nauwkeurigheid, de geschikte maateenheid
en het gepaste meetinstrument kiezen en
correct gebruiken (eierklok, zandloper,
wijzerklok, chronometer ...).
ET
2.3
21
De leerlingen kunnen de tijdsduur schatten
en berekenen.
ET
2.12
DOMEIN 2: METEN
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j
>
8j
>
10j
>
HOOFDSTUK 1 LEERLIJNEN
Domein 2: METEN
Snelheid
229
OD
ET
2.5
METEN VAN SNELHEID
1 De leerlingen ervaren en verwoorden het
verschil tussen :
traag en snel (vlug)........................
-
OD
2.1
heel traag en traag; heel snel en
snel ...............................................
2 De leerlingen kunnen een beweging trager of
vlugger uitvoeren of een voorwerp (bv. een bal)
trager of vlugger doen bewegen.
OD
2.7
3 De leerlingen kunnen levende wezens en/of
mechanische voorwerpen rangschikken op basis
van hun normaal ontwikkelende snelheid,
bv.:
slak, haas;
fiets, auto, vliegtuig.
OD
2.3
4 De leerlingen ervaren en verwoorden dat
bewegende elementen een snelheid hebben of
ontwikkelen (bv. water in een rivier).
OD
2.7
5 De leerlingen beseffen op grond van ervaringen
dat snelheid een relatief en subjectief begrip is
(bv. vliegtuig in de lucht).
6 De leerlingen kunnen verwoorden in welke
situaties (bv. de snelheid van de wind) de
snelheid wordt uitgedrukt in:
km per uur .....................................
-
m per seconde ...............................
-
de schaal van Beaufort, Mach ......
ET
2.1
2.3
Ze kunnen dit lezen en noteren met afkortingen
en symbolen:
km/u. .............................................
-
m/sec. ............................................
7 De leerlingen kennen uit hun eigen leefwereld
referentiepunten i.v.m. snelheid,
bv.:
wandelen aan 4 km/u.
fietsen aan 16 km/u.
autorijden aan 70 km/u.
ET
2.8
8 De leerlingen kunnen verschillende snelheidsmeters aflezen en interpreteren.
ET
2.2
9 De leerlingen kunnen de relatie leggen tussen
afstand (afgelegde weg), tijd en gemiddelde snelheid.
Ze kunnen het ontbrekende gegeven berekenen
wanneer twee elementen gegeven zijn.
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j
>
8j
>
10j
>
230
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 2: METEN
Temperatuur
OD
ET
2.6
METEN VAN TEMPERATUUR
1
De leerlingen ervaren en verwoorden het
verschil tussen:
-
koud en warm ................................
-
ijskoud en koud, warm en heet ......
-
lauw, koud en warm ......................
2
De leerlingen beseffen, op grond van
ervaring, dat temperatuur (koud - warm)
een relatief en subjectief begrip is.
3
De leerlingen weten dat de thermometer
het instrument is om temperatuur objectief
te meten.
4
De leerlingen kunnen temperaturen aflezen
op de thermometer en ze correct noteren.
Ze hanteren daarbij het symbool °.
-
positieve temperaturen ..................
-
negatieve temperaturen ..................
5
De leerlingen ervaren en kunnen verwoorden dat 0° C overeenkomt met het
vriespunt van water (smeltpunt van ijs) en
dat 100° C overeenkomt met het kookpunt
van water (verdampingspunt).
6
De leerlingen kunnen temperatuurverschillen vaststellen of berekenen:
7
-
met uitsluitend positieve temperaturen .............................................
-
ook met negatieve temperaturen. ...
De leerlingen kunnen de gemiddelde temperatuur berekenen (ook met negatieve
temperaturen).
OD
2.1
ET
2.1
2.2
2.5
ET
2.5
ET
2.4
DOMEIN 2: METEN
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j
>
8j
>
10j
>
HOOFDSTUK 1 LEERLIJNEN
Domein 2: METEN
Temperatuur
231
OD
ET
8
De leerlingen weten dat er naast de
temperatuurschaal in Celsius (°C) ook een
temperatuurschaal in Fahrenheit (°F) is.
Ze kunnen een omrekentabel tussen beide
schalen lezen. ..............................................
De leerlingen kunnen het verband
ontdekken tussen beide schalen. .................
9
De leerlingen kunnen, in functie van wat ze
willen meten en van de beoogde graad van
nauwkeurigheid, de geschikte thermometer
kiezen en correct gebruiken.
bv.: lichaamstemperatuur meten en noteren
tot op 1/10° nauwkeurig.
ET
1.7
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j
>
8j
>
10j
>
232
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
Domein 2: METEN
Hoeken
OD
ET
2.7
METEN VAN HOEKEN
1
De leerlingen weten dat de grootte van een
hoek wordt bepaald door de stand van de
benen ten opzichte van elkaar.
2
De leerlingen kunnen twee hoeken in het
vlak op zicht vergelijken.
3
De leerlingen kunnen hoeken vergelijken
met verschillende hulpmiddelen
(uitknippen, op elkaar leggen, met
transparant papier, ...).
4
De leerlingen kunnen hoeken ordenen
volgens grootte.
5
De leerlingen kunnen hoeken vergelijken
met een rechte hoek (een tekendriehoek,
een zelfgeplooide rechte hoek, ...).
6
De leerlingen kennen de maateenheid van
hoekgrootte (graad) en het daarbij horende
symbool (°).
ET
2.1
7
De leerlingen kunnen hoeken meten met
een graadboog (een geodriehoek) en het
meetresultaat noteren.
ET
2.2
-
hoeken tot 180° .............................
-
hoeken groter dan 180° .................
8
De leerlingen kunnen met behulp van een
graadboog (een geodriehoek) een hoek van
een bepaalde grootte tekenen.
9
De leerlingen weten dat een rechte hoek
90° meet.
10
De leerlingen weten dat een kwartdraai
90°, een halve draai 180° en een volledige
draai (cirkel) 360° meet.
ET
2.1
ET
2.3
DOMEIN 2: METEN
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j
>
8j
>
10j
>
HOOFDSTUK 1 LEERLIJNEN
Domein 2: METEN
Geld
233
OD
ET
2.8
GELD
1 De leerlingen beseffen dat dingen een verschillende waarde hebben.
De leerlingen kunnen daar in ruilsituaties
rekening mee houden.
OD
2.1
2 De leerlingen ervaren en beseffen dat geld een
ruilmiddel is.
Ze hanteren daarbij de begrippen:
duur en goedkoop, duurder en
goedkoper, kosten en betalen,
kopen en verkopen .......................
-
winst en verlies .............................
-
intrest en rentevoet ........................
3 De leerlingen kunnen alle geldige en gebruikelijke muntstukken in ons land t.e.m. 100 frank
(1 - 5 - 20 en 50 frank) herkennen en gebruiken.
Ze hanteren daarbij frank als maateenheid en de
daarbij horende afkorting (fr.) of symbolen
(BEF).
ET
2.2
4 De leerlingen beseffen, op grond van ervaring,
dat waarde en kostprijs relatieve en subjectieve
begrippen zijn.
5 De leerlingen kennen, binnen de rij van de
gekende getallen, de bestaande munten en
biljetten en kunnen ze gebruiken bij het betalen,
teruggeven, natellen van wisselgeld en wisselen.
ET
2.11
6 De leerlingen kunnen op verschillende manieren
eenzelfde bedrag betalen (met of zonder
teruggeven) en in de situatie de meest passende
betalingswijze kiezen.
ET
2.11
7 De leerlingen kennen benaderende prijzen van
voorwerpen binnen de eigen interessesfeer en
kunnen die hanteren ter controle van
(be)rekeningen.
ET
2.11
8 De leerlingen kunnen kastiketten en prijslijsten
lezen en interpreteren.
ET
2.11
9 De leerlingen kunnen eenvoudige omrekeningstabellen voor vreemde munten lezen.
Ze stellen daarbij vast dat de verhouding tussen
verschillende valuta’s (in tegenstelling tot bv.
lengtematen) niet vast is.
ET
2.11
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j
>
8j
>
10j
>
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
235
Hoofdstuk 2: DIDACTISCH KATERN METEN
1
Inleiding
Zowel in het dagelijks als professioneel leven wordt iedereen, jong en oud, passief en actief,
geconfronteerd met meten, maten en meetresultaten. Meten in de meest ruime betekenis is een
culturele vaardigheid ten dienste van persoonlijke redzaamheid.
In de geschiedenis heeft meten heel wat veranderingen ondergaan. De mensheid ondervond en
ondervindt voortdurend de noodzaak het meten te verfijnen en te komen tot algemeen geldende
afspraken zodat effectieve communicatie mogelijk wordt. Die evoluties die het meten onderging
vertonen heel wat gelijkenissen met de stappen waarin een kind zich ontwikkelt in het domein
meten. Het reconstrueert in zijn ontwikkeling als het ware dit evolutieproces.
We illustreren dit even.
Het vaststellen en vergelijken van de grootte van voorwerpen (naar één dimensie: lengte, omtrek;
naar 2 dimensies: oppervlakte; naar drie dimensies: volume) is een spontane bezigheid van
kinderen, die dikwijls vertrekt vanuit een competitief element: is er in mijn glas evenveel limonade
als in dat van mijn zusje?, ik spring verder dan jij, mijn koek is kleiner dan de jouwe, ik ben de
grootste van de klas, mijn toren is hoger dan de tafel, ...
Aanvankelijk gebeurt dat „op zicht‟, wat voor lengte vaak volstaat om te kunnen vergelijken. Maar
als je met meer dan één dimensie rekening moet houden, is dat „zicht‟ vaak bedrieglijk. Je kan dan
overstappen naar echt meten met maateenheden. Eerst nog met vrij gekozen, niet-conventionele
eenheden, die in de onmiddellijke omgeving voorhanden zijn: potloden, stappen, touwtjes, ... voor
lengte; handen, blaadjes papier, roostervakjes, ... voor oppervlakte; lepels, flesjes, kommen, blokjes,
... voor inhoud. Geleidelijk aan zal de nood aangevoeld worden om over te stappen naar
conventionele, geijkte maateenheden om meetresultaten helemaal vergelijkbaar te maken. Met de
introductie van de lengtematen, vierkante maten en kubieke maten wordt het meten meer en meer
geformaliseerd. Vroeger werd die „formalisering‟ ook snel opgevat als „formulisering‟: vanaf de 2de
graad werd er nog weinig gemeten op school. Omtrek, oppervlakte en inhoud van meetkundige
figuren moesten berekend worden aan de hand van gememoriseerde specifieke formules:
ba x h
(l + b) x 2,
, r² x h, enz.
2
Onze leerlijnen monden slechts zelden uit in een formule. De hoofdzaak is om in realistische
contexten het meten functioneel te maken (het moet ergens voor dienen) en kinderen daarbij de kans
te geven gestelde meetproblemen zelf op te lossen. De meetkundige vorm van de te meten
voorwerpen zal mee de oplossingswijzen bepalen: als je de omtrek van een vierkant moet vinden,
kan je volstaan met het meten van één zijde en die dan vermenigvuldigen met 4, de oppervlakte van
een parallellogram kan je vinden door eerst om te structureren naar een rechthoek (verknippen,
verplakken, „vertekenen‟, ...) enz. De leerlijnen meetkunde en meten zijn hier dus duidelijk met
elkaar verbonden.
Gelijkaardige evoluties, zowel bij de ontwikkeling van het meten bij kinderen als historisch, treffen
we ook aan voor gewicht, tijd, snelheid en temperatuur.
236
2
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
Fasen in de ontwikkelingslijn meten
(zie ook didactisch katern ontluikende gecijferdheid : 2.2.3 ontwikkelen van het
maatbegrip)
2.1 Ontdekken van kwalitatieve eigenschappen en classificeren
(zie leerlijn meten 2.1)
Door het omgaan met de dingen, het bekijken, het beluisteren, het hanteren... onderscheidt de
kleuter eigenschappen aan zichzelf en aan objecten. Bij het heel jonge kind hebben deze
eigenschappen een erg emotionele en subjectieve betekenis.
Deze speelgoeddiertjes zijn zacht en plezierig om mee te spelen, die andere diertjes niet.
De opgedane ervaringen zijn aanvankelijk woordloze notities. Deze vorm van primitief
classificeren gebeurt nog vooraleer de peuter die specifieke eigenschappen kan benoemen.
Ouderen praten over de dingen en hun eigenschappen. Met taal als basis wordt het ordenend
denken van de kleuter verder ontwikkeld. Een goed maar begrijpelijk taalgebruik is daarom
heel belangrijk om dit gericht verkennend bezig zijn te stimuleren.
Peuters en kleuters bouwen regelmatig groepen of verzamelingen op. Voor volwassenen
vertonen deze ordeningen niet altijd een samenhang of structuur. Het spelend kind legt deze
objecten bij elkaar omdat ze in zijn leef- en belevingswereld bij elkaar horen.
Classificeren gebeurt als het kind beseft, dat twee of meerdere objecten bij elkaar horen,
omdat ze in een bepaald opzicht gelijk zijn. Dat 'gelijk zijn' kan het verwoorden (is bewust) en
wordt ook door anderen herkend. Het gebruikt voor zijn classificeren criteria die door anderen
worden aangenomen en mogelijk ook objectief zijn.
Kleuters moeten veel kansen krijgen om classificaties uit te voeren zodat ze de aangeboden
dingen expliciet gaan vergelijken naar bepaalde eigenschappen als vorm, kleur ... .
Berg al de rode blokjes in de kleine doos, de niet-rode in de grote ronde doos.
Rood, rond ... zijn vaste, onveranderlijke eigenschappen. Bij het meten gaat het echter vooral
om relatieve eigenschappen als groot, dik, zwaar ... .
2.2 Ordenen volgens kwantificeerbare eigenschappen
(zie leerlijn meten 2.2.1)
Jan trekt vaders schoenen aan en merkt dat er iets eigenaardigs mee is. Het verschil in
schoeisel van hemzelf en van de volwassene boeit hem, hij experimenteert ermee. De
volwassene geeft dat 'eigenaardige' een naam:
“Die schoenen zijn te groot (voor jou).”
“Laat mama‟s tas maar staan, hij is te zwaar (voor jou).”
Dit voorbeeld laat zien dat 'grootte' en 'gewicht' subjectieve en relatieve begrippen zijn. Vaders
schoenen zijn groot omdat ze te groot zijn voor Jan. Voor Jan betekent 'groot' hier 'groter dan
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
237
de eigen schoenmaat' en is 'groot' dus subjectief.
'Groot' is hier ook relatief omdat de schoenmaat van Jan als vergelijkingsnorm geldt.
Vergelijkt men vaders schoenen echter met die van een reus, dan zullen vaders schoenen
'klein' zijn.
Driejarigen beginnen zich te interesseren voor maatverschillen. In het begin merkt het kind
alleen op dat iets groot, zwaar, vol ... is. Het vergelijkt het ten opzichte van zichzelf of met
voor hem heel bekende dingen. Eerst gebeurt deze vergelijking lichamelijk en concreet, in een
latere fase mentaal.
Bij het vergelijken van twee of meer objecten blijkt het ene meer vol, lang, groot, zwaar, ...
dan het andere. De begrippen 'meer' en 'minder' worden belangrijke begrippen in hun
gedachtewereld. Het gebruik van 'meer' of 'minder' geeft de betrekkelijkheid aan. Het
vergelijken gebeurt bewust als zij de begrippen meer en minder betrekken op diverse
kwantificeerbare eigenschappen: zwaar, vol, groot, lang ... en hun tegengestelden: licht, leeg,
klein, kort ... .
Dit alles is voor een kind niet eenvoudig, want iets dat groot is, kan tezelfdertijd ook klein
zijn. Een poes is t.o.v. een muis groot, maar klein t.o.v. een beer. Bij het onder woorden brengen
moet het leren gebruikmaken van de vergrotende trap en de overtreffende trap: 'onze poes is
groot, maar de beer is groter, hij is de grootste.'
Een grote diversiteit aan indrukken, maar ook veel herhalingen zullen nodig zijn vooraleer de
kleuter tot inzicht komt dat groot en klein geen vaste maar relatieve eigenschappen zijn.
Wanneer daarmee voldoende ervaring is opgedaan kan hij verschillende objecten vergelijken
en ordenen van klein naar groot, van kort naar lang, van zwaar naar licht, van vlug naar traag,
van warm naar koud, ... . Normaliter zal je in de klassituatie niet te veel voorwerpen ineens
aanbieden. Het uitvoeren van zo'n opdracht vergt immers heel wat strategische vaardigheden.
Bij het paarsgewijs vergelijken rijst soms het probleem hoe veel groter, voller ... iets is,
vergeleken met het ander object. Om daarop een antwoord te geven zijn maateenheden nodig.
238
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
2.3 Samenstellen
(zie leerlijn meten 2.2.2; doel 1)
Hans is een vuist groter dan Jimmy.
Mijn pennendoos is even lang als mijn potlood en mijn slijper.
Op de balans weegt de zak kastanjes evenveel als de zak noten en de zak snoepjes.
De lengte van Hans wordt samengesteld uit twee lengten: die van Jimmy en van een vuist.
Het gewicht wordt samengesteld uit twee gewichten. Het gaat om een soort niet-numerieke
optelling.
Deze fase is een tussenstap naar het werken met niet-conventionele maateenheden, naar het
antwoord op de vraag hoe groot, vol, zwaar, ... een object is.
2.4 Werken met niet-conventionele maateenheden
(zie leerlijn meten 2.2.2)
Door de ruilhandel en het belastingstelsel had de mensheid behoefte aan eenheden om
preciezer af te meten. Oorspronkelijk werden alle maateenheden ontleend aan voorwerpen uit
de natuur, vooral aan het menselijk lichaam. Een mijl van de Romeinen bv. betekende 1 000
(milia) stappen.
Uit: Feys (1990)
Ook nu nog worden natuurlijke maateenheden veelvuldig gebruikt: een mespuntje peper, een
drieduimsspijker, een handvol noten, ... .
Er zijn diverse redenen om bij het meten te starten met niet-conventionele maateenheden:
het sluit aan bij de leefwereld van de kinderen. In heel wat van hun spelen maken ze er
gebruik van omdat ze gemakkelijk hanteerbaar zijn. Zo tellen ze bij verstoppertje spelen
bv. 5 keer tot 10 om de andere kinderen voldoende tijd te geven om zich te verstoppen;
jonge kinderen hebben meer greep op natuurlijke maateenheden dan op de
conventionele maateenheden van de volwassenen. Zo ruilen ze bv. hun potlood voor vijf
flippo‟s i.p.v. geld te gebruiken of tellen ze de „dagen‟ door te zeggen: “Nog drie keer
slapen voor de sint komt”;
ze bieden meer inzicht in de essentiële eigenschappen van grootheden zoals oppervlakte;
ze bieden kansen tot het bedenken van heel wat creatieve oplossingen zoals in de
opgave hieronder.
Welke lap is het grootst?
De leerlingen zullen een manier moeten zoeken om de twee lappen stof te vergelijken.
Ze kunnen dit bv. door op elkaar leggen en knippen, door bedekken met bierviltjes, ...
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
239
maar ook door in de stof een patroon te ontdekken (een vierkant met „zwarte‟ en/of
„witte‟ bloemen) en te vergelijken.
De leerlingen zullen m.a.w. een maat zoeken om te kunnen vergelijken.
Uit: Wiskobas-Bulletin
Om met deze maateenheden te meten is enig hoeveelheidsbesef noodzakelijk en moeten
kinderen resultatief kunnen tellen.
De grootte van de gekozen maateenheid mag bij kleuters niet te veel afwijken van die van het
te meten object, het aantal keren dat de maateenheid past moet te overzien zijn (3 tot 5 keer).
In de eerste fase is het aan te bevelen de maateenheid zichtbaar te laten, zodat ze naderhand
kunnen tellen (bv. een reeks blokjes).
1
2
3
4
In een latere fase kan afpassend gemeten worden.
1 keer
2 keer
3 keer
4 keer
Ten slotte kan gebruikgemaakt worden van een meetstrook
Het hanteren van meetstroken zal het latere nauwkeurig meten met en aflezen
van meetinstrumenten bevorderen.
Via allerhande meetactiviteiten worden kinderen bewustgemaakt dat de grootte van het
maatgetal afhankelijk is van de gebruikte maateenheid.
240
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
Bij het vullen van de watertafel bv. merken ze dat ze minder grote emmers nodig hebben dan
kleine emmers, dat hoe groter de maateenheid is hoe minder aantal keren die maateenheid
moet gehanteerd worden en hoe vlugger ze klaar zijn met het meten.
Deze ervaringen vormen onmisbare achtergronden en inzichten naar herleidingen, nl. de
omgekeerde evenredigheid tussen maateenheid en maatgetal (zie verder).
Het meten leidt op een gegeven moment tot het gebruiken van een passende maateenheid die
best niet te klein is (het vullen van een kookpan gebeurt beter niet met een soeplepel maar bv.
wel met een pollepel). Het blijkt soms dat die grote maateenheid niet precies een aantal keren
in het te meten object gaat. Op dat ogenblik wordt de noodzaak aangevoeld om de
maateenheid te verfijnen. Dit kan aanleiding geven tot kiezen van een kleinere maateenheid
(bv. van stap naar voet) of tot een overgang naar breuken (bv. een halve stap) (zie ook 4.1.1 B:
breuken als verfijnde maten).
Niet-conventionele maateenheden zijn niet algemeen bekend, meestal onnauwkeurig, en
bemoeilijken de communicatie. Bovendien staan ze los van elkaar, er is geen vaste verhouding
bv. tussen een stap en een voet. Leerlingen ervaren via het meten met niet-conventionele
maateenheden de nood aan afspraken, aan eenheden die geen betwisting mogelijk maken, aan
conventionele maateenheden.
2.5 Werken met conventionele maateenheden
(zie leerlijn meten 2.2.3)
Het meten met hoofdmaateenheden zonder gradatie - meter, liter, kilogram - levert over het
algemeen geen moeilijkheden op. Wel is het belangrijk dat deze eenheden niet in de abstractie
blijven maar geïntegreerd en vastgezet worden (zie verder referentiematen).
De noodzaak tot preciezer meting leidt tot gebruik van kleinere maateenheden die een vaste
verhouding hebben (= metriek stelsel) met de hoofdmaateenheid. In aanvang wordt elke
maateenheid gebruikt als meetinstrument op zichzelf en wordt de maat genoteerd in tabelvorm
of als opsomming.
Deze waterketel bevat:
l
cl
2
5
2l + 5 cl
2l 5cl 2,05l
Het is wenselijk om in de aanvangsfase te meten met een ongegradueerde maateenheid en een
onderdeel ervan en nog niet met een gegradueerde maateenheid. Werken met een
ongegradueerde maateenheid biedt ook mogelijkheden om breuken te introduceren (zie
domein 1: getallen, didactisch katern procenten, breuken, kommagetallen en verhoudingen).
Door ze te gebruiken als aparte meetinstrumenten zullen ze beter beklijven. Deze
ervaringskennis hebben ze later nodig bij het schatten. Bovendien stelt het aflezen van
metingen met gegradueerde meetinstrumenten sommige kinderen voor problemen. Pas na
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
241
veelvuldig meten met ongegradueerde instrumenten komt het meten met gegradueerde
meettoestellen aan bod.
Bij het omgaan met de verschillende maateenheden leren de kinderen diverse
meetinstrumenten kennen en gebruiken. Daarbij wordt ook aandacht besteed aan het kiezen
van het meest geschikte meetinstrument. Deze wordt bepaald door de aard van het te meten
voorwerp, de beschikbare meetinstrumenten en de graad van nauwkeurigheid vereist in de
context.
In welke context gebruik je bij voorkeur een robervalbalans, een winkelbalans, een personenweegschaal, een brievenweger, een keukenweegschaal, een veerbalans, ...? Hoe nauwkeurig
weegt elk weeginstrument?
242
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
2.6 Relaties tussen maateenheden, nauwkeurigheid bij het meten en
herleidingen (zie leerlijn 2.2.3 doelen 19 t.e.m. 23)
2.6.1 Relaties tussen maateenheden
De onderlinge verhoudingen tussen de maateenheden zijn, net als in ons getalstelsel,
gebaseerd op de decimale structuur. Het is noodzakelijk dat de kinderen de onderlinge
verhouding tussen de courante maateenheden kennen.
In de tabel hierna zie je de volledige rij van de maateenheden voor lengte, oppervlakte,
volume, inhoud en gewicht.De maateenheden tussen haakjes zijn maateenheden die volgens
de leerlijn niet als basisleerstof worden beschouwd (zie leerlijn meten 2.2.3 doelen 1 en 19).
De pijlen in de tabel duiden op de omzettingen (herleidingen) die zinvol kunnen zijn. De
streepjeslijnen wijzen op het verband tussen inhoud en volume (zie leerlijn meten 2.2.3 doel
22).
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
243
De verhoudingen tussen de maateenheden voor tijd zijn minder eenduidig. Toch is het
noodzakelijk dat kinderen ook deze onderlinge verhoudingen kennen om zinvolle
herleidingen te kunnen maken. In de tabel hierna geven we de verschillende maateenheden
voor tijd met de onderlinge verhoudingen.
eeuw 100 jaar365/366 dag 24 uur 60 minuut 60 seconde
12
±52
7
maand
week
±4
tiende
honderdste
Voor geld kennen we slechts één maateenheid, nl. Belgische frank. Toch is het belangrijk dat
de kinderen de onderlinge verhoudingen tussen de bestaande munten en biljetten kunnen
gebruiken bij het betalen, teruggeven, wisselen (zie leerlijn meten 2.8). De onderlinge
verhoudingen tussen de verschillende munten en biljetten leveren voor de kinderen meestal
geen problemen op omdat het omgaan met geld steeds in concrete situaties gebeurt.
Toch moeten kinderen ook weten dat er naast onze munteenheid andere munteenheden
bestaan en dat de onderlinge verhouding tussen de verschillende munteenheden niet vast is
Kennis over de relaties tussen maateenheden wordt opgebouwd in concrete situaties waarbij
een nauwkeurigere meting noodzakelijk blijkt. Dan wordt een kleinere maateenheid
geïntroduceerd. De onderlinge verhoudingen tussen de maateenheden moeten regelmatig
opnieuw worden vastgesteld en dienen langdurig gevisualiseerd te worden.
Soms is het omzetten in een grotere maateenheid functioneler om te grote getallen te
vermijden. Om die reden wordt bv. het waterverbruik uitgedrukt in m3 i.p.v. in liter.
Het oordeelkundig kiezen van de geschikte maateenheid in een bepaalde context is voor de
kinderen niet eenvoudig. Het is belangrijk er aandacht aan te besteden.
Kies de goede maat.
-
Onze bank is 0,8 ... hoog.
Een wandelaar stapt ongeveer 5,5 ... per uur.
Een volle fles limonade van 1 l weegt ongeveer 1300 ... .
Ons moestuintje is ongeveer 2500 ... groot.
2.6.2 Nauwkeurigheid bij het meten en meetfouten
De nauwkeurigheid van een meting is o.m. afhankelijk van de context. Hierbij stellen zich de
volgende vragen:
Is het nodig hier heel precies te meten?
Is een dergelijke nauwkeurigheid reëel?
244
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
-
DOMEIN 2: METEN
Wat is de meetfout?
Het interpreteren van maatgetallen naar nauwkeurigheid en naar
maximale meetfout verdient aandacht.
Zo is de maximale meetfout bij de zwemproef 50 meter, want alles
wat tussen 3,850 m en 3,950 m ligt wordt afgerond naar 3,9 km. De
maximale meetfout bij het fietsen bedraagt 500 m en bij het nieuwe
record ½ seconde. In dergelijke contexten kan de regel voor het
afronden van getallen op een realistische manier aangebracht
worden.
2.6.3 Herleidingen
Herleiden is het omzetten van een maateenheid in een andere maateenheid. Deze procedure is
soms noodzakelijk om twee of meer gelijksoortige metingen met elkaar te vergelijken of om
de grootte van de maatgetallen aan te passen. Het herleiden (of naar 'verhouding' de waarde
weten) start zeker niet en gebeurt niet enkel met conventionele maateenheden.
Het vindt zijn oorsprong bij
gewone
dagelijkse
activiteiten
met
nietconventionele maateenheden.
De kijk- en belevingswereld
van de kinderen kan een rijke
bron zijn om het inzicht in
wat herleiden in essentie is,
op te bouwen.
Herleiden is geen geïsoleerd onderdeel van het domein meten, maar sterk verweven met
andere elementen van rekenen en wiskunde: maal- en deeltafels, schaal, breuken,
kommagetallen, procenten ... . Om die reden is het noodzakelijk het niet te behandelen als een
op zichzelf staand fenomeen, maar het in te bedden in het groot gebied van verhoudingen
(zie ook didactisch katern breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten: 4.4
verhoudingen en leerlijn 1.17)
.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
245
Het herleiden steunt op heel wat wiskundige inzichten en verworvenheden:
het onderlinge verband tussen de grootte van de maateenheid en de grootte van het
maatgetal;
de onderlinge verhouding tussen (courante) conventionele maateenheden;
positiestelsel en kommagetallen;
vermenigvuldigen en delen met machten van 10 zowel met gehele als met
decimale getallen.
Het te vroeg formaliseren van herleidingen is nefast. Het gebruik van modellen die dit
complex denkproces ondersteunen, lijkt ons onmisbaar. Ze geven inzicht en brengen als
het ware het 'hoe' en 'waarom' aan het licht. Bij herleiden dienen de gebruikte modellen
zowel het rekenen als het denken te ondersteunen.
In een volledige triatlon wordt 3,8 km gezwommen. Hoeveel meter is dat?
0 km
1
2
3
4
3,8
...
0m
1000
2000
3000
4000
km
1
2
3
m
1000
2000
3000
3,8
4
....
km
1
3,8
3,8 km = ... m
m
1000
...
Van dubbele getallenlijn naar verhoudingstabel of -blok
Een dubbele getallenlijn of een verhoudingstabel (verhoudingsblok) bieden een prima
ondersteuning bij het herleiden. Gelijksoortige grootheden worden als het ware bij elkaar
gehouden en ondersteunen het uitrekenen. Voor de kinderen is het een flexibel model. Ze
kunnen zelfstandig het aantal tussenstappen bepalen om tot een oplossing te komen. Voor de
leraar biedt dit het voordeel dat zo'n model zowel de oplossingswijze alsook het niveau
weergeeft. Zo kan de gedachtegang van de kinderen beter gevolgd worden en doeltreffende
remediëring verstrekt worden.
246
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
2.7 Referentiepunten en schatten
2.7.1 Referentiepunten
De courante maateenheden mogen niet in de abstractie blijven. Door ze te verbinden met het
eigen lichaam of te koppelen aan de realiteit om hen heen worden ze voor de kinderen
voorstelbaar, ze verwijzen naar een realiteit. Deze koppeling kan - afhankelijk van de soort zowel motorisch (bv. een stap van 1 m), visueel (bv. de deur van de klas is precies 1 m breed),
kinetisch (bv. als ik mijn armen strek is de afstand tussen mijn handpalmen ongeveer 1 m) of
mentaal gebeuren. In het concreet maken ervan is het belangrijk een aantal referentiepunten te
kiezen die één maateenheid voorstellen (zoals 1 m, 1 l, 1 kg, 1 m², 1m³, ...).
Refererentiepunten die één maateenheid voorstellen noemen we 'referentiematen' (bv. Een
doos melk van 1 l, een doos klontjessuiker van 1 kg). Het kan voor een school interessant zijn
om een aantal referentiematen vast te leggen die uniform zijn voor alle klassen zodat men
ernaar kan verwijzen in concrete klassituaties. Daarnaast kunnen en mogen kinderen ook
individuele referentiematen gebruiken. Voor sommige maateenheden zoals bv. voor de m² en
de m³ vinden we in de omgeving niet altijd referentiematen. Niets belet ons echter om voor
deze maateenheden zelf referentiematen te maken en bv. een m² op de speelplaats te
schilderen.
Referentiematen bieden de kinderen het nodige houvast bij het gebruik van deze eenheden
alsook bij het schatten.
Belangrijk is ook dat de referentiematen, die we voor de school vastleggen, werkelijke visuele
steunpunten vormen, daarom:
worden ze verspreid over diverse plaatsen;
blijven ze gedurende een langere tijd zichtbaar voor de kinderen.
Naast het gebruik van referentiematen is het voor kinderen belangrijk dat zij ook beschikken
over andere referentiepunten.
In hun dagelijkse realiteit worden ze immers geconfronteerd met verschillende meetacts
waarbij ze niet onmiddellijk het geschikte meetinstrument bij de hand hebben of
meetresultaten moeten controleren en dus schattend moeten meten/controleren aan de hand
van een referentiepunt. Referentiepunten ontstaan door het intuïtieve gevoel voor grootte,
afstand, oppervlakte, inhoud, tijd ... te ontwikkelen, door veelvuldig te focussen op maten bij
henzelf en om hen heen. In het voorbeeld hierna is „de lengte van Ann‟ referentiepunt om de
hoogte van de vuurtoren te schatten.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
247
Bij de diverse leeftijdsgroepen moet daaraan aandacht besteed worden. Zo zullen de kinderen
over een steeds uitgebreider arsenaal aan referentiepunten beschikken. Dit lukt alleen wanneer
ze gelegenheid krijgen hun opgedane kennis en ervaringen in verschillende contexten toe te
passen.
In het kader van een project over 'vliegen' gaan de leerlingen van het tweede leerjaar (in
hun verbeelding) met het vliegtuig op vakantie. De volgende ochtend hebben de kinderen
allemaal gerief mee dat ze in hun handbagage willen stoppen. Straks moet elk groepje
voorbij het controlepunt, daar wordt de handbagage gewogen die maximaal 5 kg mag
wegen. Iedere groep krijgt een pak suiker van 1 kg en met dit hulpmiddel bepalen ze
schattend wat bij elkaar ongeveer 5 kg zwaar is.
2.7.2 Schatten
Schatten zit tussen het raden en precies rekenen in. Precies rekenen steunt op exacte gegevens,
schatten daarentegen kan ook op basis van onvolledige gegevens.
Bij het schatten in de sfeer van meten wordt gebruikgemaakt van 'passende' referentiepunten
en 'passende' hoofdreken- en schatstrategieën. Een sterk uitgebouwd net van referentiepunten
vergemakkelijkt de keuze van een 'passende' maat. Deze wordt als het ware de nieuwe
maateenheid om de grootheid van het object bij benadering te bepalen.
Het maatgetal 'past' bij een gegeven probleem als dit getal de realiteit ongeveer dekt en als het
bovendien geschikt is voor een hoofdreken- of schatstrategie. De strategie 'past' als ze in de
gegeven context wiskundig correct is en aansluit bij het gekozen maatgetal zodat snel en
handig kan worden gerekend. Bij het schatten hoort de kunst van het fouten maken. De kunst
bestaat erin te kunnen inschatten hoe groot de onnauwkeurigheid is en na te gaan of deze
toelaatbaar is in de gegeven context.
248
3
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
Meten van specifieke grootheden
3.1 Omtrek, oppervlakte, volume
Veel kinderen blijken de begrippen omtrek en oppervlakte te verwarren. Uit een peilingsonderzoek
in Nederland (Wijnstra, 1988) bleek dat slechts 45 % van de leerlingen van de bovenbouw van het
basisonderwijs volgende oefening correct oplosten: "Je wilt te weten komen hoeveel graszoden je
moet kopen voor je tuintje. Wat moet je meten?"
A
de lengte
B
de omtrek
C
de oppervlakte
D
de inhoud.
Uit deze opgave blijkt dat heel wat kinderen onvoldoende inzicht hebben in de begrippen omtrek,
oppervlakte en volume.
De belangrijkste oorzaak is wellicht te vinden in het feit dat omtrek, oppervlakte en volume in de
basisschool vooral aan bod komen vanaf de tweede graad van het lager onderwijs. De 'leerstof'
werd bijna uitsluitend beperkt tot het 'meten' van rechtlijnige en regelmatige voorwerpen en
meetkundige figuren. Bovendien wordt dit 'meten' vrijwel onmiddellijk verengd tot berekenen met
standaardmaten aan de hand van specifieke formules.
Willen we de begrippen omtrek, oppervlakte en volume voldoende vulling geven dan zullen we
kinderen veelvuldig meetervaringen moeten laten opdoen met veel soorten maateenheden in
gevarieerde situaties. Dit betekent dat het meten niet beperkt wordt tot het meten van typisch
(schoolse) meetkundige figuren en dat kinderen veelvuldig ervaringen kunnen opdoen door te
meten met niet-conventionele maateenheden vooraleer men de conventionele maateenheden
introduceert.
3.1.1 Omtrek
In de leerlijn meten (leerlijn meten 2.2.3; doelen 4, 5 en 6) komt het meten van de omtrek voor het
eerst uitdrukkelijk aan bod bij de 8-jarigen. Dit betekent echter geenszins dat het begrip omtrek pas
dan vulling kan krijgen. Meten van omtrek is een vorm van meten van lengte met dat verschil dat
bij omtrek 'OM' iets heen wordt gemeten, m.a.w. dat het begin- en eindpunt van de lengte die we
meten samenvallen.
'Omtrek' betekent 'er rond gaan', 'eromheen gaan'. Kinderen moeten dus in eerste instantie meetacts
kunnen uitvoeren waar men 'de lengte' van iets bepaalt door rond iets te meten waarbij men een
willekeurig beginpunt kiest en meet tot men opnieuw bij dat beginpunt komt. Dit 'er rond gaan'
wordt door de kinderen verwoord.
Deze meetacts worden op verschillende soorten voorwerpen uitgevoerd.
Zo kan men bv. de omtrek van het hoofd meten met een touw om een passende kroon te maken voor
de jarige of de hand- en polsomtrek meten om een armband te maken die niet over de hand kan
schuiven.
Ook bij grotere voorwerpen wordt dit 'er rond gaan' ervaren.
Ze kunnen bv. een gracht maken rond hun zandkasteel.
Ze kunnen rond het huis gaan en de stappen tellen. Ze moeten daarbij goed weten waar ze gestart
zijn (bv. bij de voordeur).
Het 'er rond gaan' ervaart men ook bij het tekenen van de omtrek van voorwerpen.
Kinderen tekenen bv. hun hand door die te omlijnen. Ze tekenen hun lichaam door op de grond te
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
liggen en er rond te gaan met krijt. Ze tekenen rond een kartonnen doos.
249
250
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
Het spreekt voor zich dat de fasen in de ontwikkelingslijn meten (zie 2) ook bij het meten van
omtrek gevolgd worden.
Bij het meten van omtrek met niet-conventionele maateenheden wordt vaak gewerkt met touwen en
linten. Met deze „meetinstrumenten‟ kan men de omtrek (ook deze van grillige figuren) heel exact
meten. Als men niet over dergelijke „plooibare‟ materialen beschikt, dan wordt de omtrek van
(grillige) figuren meestal benaderend en/of schattend gemeten. Zo kan men de omtrek van het
konijnenhok benaderend meten door er rond te stappen (de omtrek is zes stappen en nog drie
voeten).
Geleidelijk zal de behoefte ontstaan om de omtrek van voorwerpen en meetkundige figuren te
meten met conventionele maateenheden.
Het meten van de omtrek met conventionele maten kan op verschillende wijzen en met
verschillende soorten meetinstrumenten:
-
meten van de omtrek met touwen, deze omvormen tot een rechte lijn en nameten;
-
meten van de omtrek met meetinstrumenten die ook geschikt zijn om de omtrek van grillige
figuren te meten (bv. een lintmeter, een rolmeter; een kilometerteller op de fiets om de omtrek
van het meer fietsend te meten; een curvimeter om, op een kaart, de omtrek van het meer van
Genève te meten);
-
meten van de omtrek van voorwerpen en meetkundige figuren met alleen rechte zijden door
elke zijde te meten en de som van de zijden te maken.
Het is belangrijk dat kinderen veelvuldige meetkansen krijgen. Enkel op deze wijze zullen ze tot het
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
251
inzicht komen dat werkwijze 3 (omtrek = som van de zijden) een handige manier is om de omtrek
van veelhoeken te meten.
Deze meetvorm via berekening (som van de zijden) is de enige vorm van 'formulisering' die in dit
leerplan als basisdoel bij het meten van omtrek is opgenomen.
Sommige leerlingen kunnen, op basis van inzicht in de eigenschappen van veelhoeken (zie leerlijn
3.2: vormen classificeren op grond van eigenschappen) a.h.v. deze berekeningswijze komen tot een
versnelde procedure voor het berekenen van bv. de omtrek van een vierkant of een rechthoek. Ze
zien dan bv. in dat het voldoende is om één zijde van een vierkant te meten om de som van de
zijden te kunnen maken. Het is echter absoluut onzinnig om de verkorting van de berekeningswijze
voor deze 'speciale' veelhoeken om te zetten in formules omdat die niets toevoegen aan het inzicht
m.b.t. meten of berekenen van omtrek op zich.
3.1.2 Oppervlakte
Oppervlakte is een grootheid waarmee kinderen in hun dagelijkse bezigheden veel te maken
hebben: een rol papier, de muur van een huis die ze bouwen, de speelplaats, het bord in de klas, ... .
Kinderen ervaren oppervlakken door erover te wrijven, door ze te bouwen, door ze te bekleven,
door ze te kleuren, ... . Deze oppervlakken zijn zowel gebogen (bv. het hoofd van hun pop w assen)
als vlak (bv. het bord in de klas schoonmaken).
We spreken van oppervlakte zodra we de grootte van een oppervlak uitdrukken.
Oppervlakken vergelijken en ordenen
Kinderen kunnen reeds vrij vroeg verschillende oppervlakken vergelijken en ordenen.
Dit vergelijken kan op verschillende wijzen gebeuren:
-
vergelijken op zicht
Kinderen kunnen gelijkvormige oppervlakken die duidelijk in
oppervlakte verschillen vaak op zicht
Figuur b
vergelijken. Bij niet-gelijkvormige
figuur
a
oppervlakken maken kinderen vaak
„fouten‟ omdat ze zich vastpinnen op
één dimensie. Bv. De lengte van
figuur a is langer dan de lengte van figuur b, maar is figuur a ook de grootste?
-
vergelijken door op elkaar leggen
Door op elkaar te leggen kan je van sommige voorwerpen of figuren onmiddellijk zien welke
de grootste is.
bv. 2 pannenkoeken
252
-
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
vergelijken door knippen, scheuren en plakken
Sommige oppervlakken kan je niet vergelijken door op elkaar te leggen omdat het ene
oppervlak niet 'past' op het andere.
Dergelijke oppervlakken kunnen pas worden vergeleken wanneer men één van de figuren
omstructureert door knippen en plakken.
bv.
Welke figuur heeft de grootste oppervlakte?
Bij het vergelijken van oppervlakken via omstructureren, ervaren de leerlingen dat de
oppervlakte van een figuur niet wijzigt als de vorm of de plaats in de ruimte wijzigt
(conservatie).
Ook
gebogen oppervlakken (bv. cilinder) kunnen worden omgevormd tot vlakke
oppervlakken (bv. rechthoek) zonder dat de oppervlakte wijzigt.
Oppervlakten meten (vergelijken en ordenen) met niet-conventionele maateenheden
Oppervlakte kan ook worden gemeten door gebruik te maken van niet-conventionele maateenheden.
Dit meten kan op twee wijzen gebeuren:
-
bedekken met een niet-conventionele maateenheid
Als je bv. de oppervlakte van het tafelblad wil vergelijken met de oppervlakte van de deur dan
kan dit niet (of moeilijk) door op elkaar leggen en evenmin door omstructureren.
Het vergelijken door gebruik te maken van niet-conventionele maateenheden is dan een
volgende stap in het leerproces.
Men zal het tafelblad en de deur beleggen (beplakken) met bv. DIN-A4-bladen. Door het
aantal bladen te tellen kan men de oppervlakte meten en vergelijken.
Meestal kunnen de oppervlakken niet precies worden bedekt met de niet-conventionele maat.
Men kan dan de niet-conventionele maat verknippen om het hele oppervlak te kunnen
bedekken.
Je kunt er ook voor opteren om de 'restjes' te laten bedekken met een andere maateenheid (bv.
bierviltjes) i.p.v. te bedekken door verknippen.
Indien je op deze wijze werkt moeten de leerlingen inzien dat ze de verhouding tussen de twee
verschillende maateenheden moeten kennen om oppervlakten te kunnen vergelijken.
HOOFDSTUK 2
bv.
DIDACTISCH KATERN METEN
253
De deur (78 op 200 cm) is bedekt met 18 DIN-A4-bladen en 43 bierviltjes. De tafel (90
op 180 cm) is bedekt met 24 DIN-A4-bladen en 9 bierviltjes.
De leerlingen moeten weten dat de oppervlakte van een DIN-A4-blad ongeveer overeenkomt
met de oppervlakte van 6 bierviltjes om deze twee oppervlakten te kunnen vergelijken. Ik heb
6 DIN-A4-bladen meer gebruikt bij het meten van de tafel. Uit 43 bierviltjes kan ik 6 DINA4-bladen halen (6 x 6 = 36) en dan heb ik nog 7 bierviltjes over. Nu kan ik vergelijken. De
oppervlakten van de tafel en de deur zijn ongeveer even groot. De oppervlakte van de tafel is
iets groter (2 bierviltjes) dan die van de deur.
254
-
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
bedekken met roosterfiguren
Het is niet handig om steeds opnieuw de gekozen maateenheid te moeten leggen op het
oppervlak (bv. de DIN-A4-bladen netjes tegen elkaar totdat het hele oppervlak bedekt is). In
plaats daarvan kan men een meetrooster tekenen op een plasticvel met als maateenheid bv.
een DIN-A4-blad.
De oppervlakte wordt dan uitgedrukt in ... aantal hokjes. Verschillende oppervlakten worden
vergeleken door het aantal hokken te vergelijken.
De onvolledige hokjes worden geschat en zo mogelijk omgezet tot volledige hokjes.
In het voorbeeld hierboven vergeleken we rechthoekige oppervlakken. Ook andere oppervlakken
(van bv. driehoeken, trapeziums, onregelmatige veelhoeken, cirkels, ovalen en grillige figuren zoals
van eilandjes, de kaart van België) kunnen bij benadering worden vergeleken door gebruik te maken
van niet-conventionele maateenheden en meetroosters.
Reeds bij het werken met niet-conventionele maateenheden zullen sommige kinderen inzien dat het
tellen van het aantal gebruikte maateenheden niet noodzakelijk één per één moet gebeuren. Ze
zullen opmerken dat er bv. 3 rijen zijn en dat elke rij 5 bladen telt. Ze gaan m.a.w. het één-voor-één
tellen vervangen door een berekeningswijze.
Oppervlakte meten (vergelijken en ordenen) met conventionele maateenheden
Bij het meten (bedekken) met niet-conventionele maateenheden ervaren de leerlingen dat er nood is
aan conventionele maateenheden. Deze nood ervaren ze het meest als de te meten oppervlakte door
zijn vorm geen exact veelvoud is van de gebruikte maateenheid. Bij bedekken moeten ze de
gebruikte maateenheid verknippen of een kleinere maateenheid gebruiken. Bij meten met een
meetrooster moeten ze de grootte van de overblijvende stukjes schatten.
Deze ervaringen wekken de behoefte om te kunnen meten met verschillende conventionele
maateenheden waarbij voor de leerlingen duidelijk is welke (vaste) verhouding er is tussen de
verschillende maateenheden.
Afhankelijk van de context waarin de oppervlaktematen aan bod komen, zal de leraar opteren om
eerst de m², dm² of cm² te introduceren.
Start men bv. met de m² dan zal vlug de noodzaak ontstaan om de 'restjes' te kunnen meten met een
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
255
kleinere maateenheid. Vertrekt men bij de cm² dan zal, bij het meten van grotere oppervlakten, de
nood aan een grotere maateenheid zich opwerpen.
Wel is het belangrijk dat de leraar referentiematen van de verschillende maateenheden zichtbaar
maakt in de klas.
Ook hier zullen de leerlingen, op basis van ervaringen met het meten met niet-conventionele
maateenheden, vlug doorzien dat ze handige telstrategieën kunnen hanteren om de oppervlakte (van
rechthoeken) te berekenen. De berekening van de oppervlakte van de rechthoek mondt uit in het
hanteren van de formule. Vanuit het tellen van hokjes (eenheidsmaat) overstappen naar een
vermenigvuldiging van 2 afmetingen (lengte x breedte) is voor kinderen niet zo‟n grote stap.
We beperken ons in het leerplan tot deze formule.
Toch zullen de leerlingen nog geconfronteerd worden met de moeilijkheid om de oppervlakte van
grillige figuren en andere veelhoeken zo exact mogelijk te bepalen.
We onderscheiden:
meten van de oppervlakte van veelhoeken;
meten van de oppervlakte van andere figuren (o.m. grillige figuren, cirkels, ovalen, ...).
Meten van de oppervlakte van driehoeken en vierhoeken
Op grond van de kennis van de eigenschappen van figuren (zie leerlijn 3. 2: vormen
classificeren op grond van eigenschappen en 3.3: puzzelen, bouwen, omstructureren en
construeren) zullen de meeste leerlingen in staat zijn om bv. een parallellogram om te
structureren tot een rechthoek of om een driehoek bv. aan te vullen tot een
parallellogram en zodoende de oppervlakte te vinden.
We vertrekken daarbij van een meetkundige benadering waarbij de berekeningswijze
van de oppervlakte van een rechthoek model staat voor alle andere. Doel is dat de
leerlingen de oppervlakteberekening vanuit meetkundig standpunt begrijpen.
Uitgangspunt is dat de leerlingen begrip hebben van oppervlakte en het rechthoekmodel
kennen.
We illustreren dit met een aantal mogelijke activiteiten voor de berekening van de
oppervlakte van het parallellogram en de driehoek (de Moor, 1991).
Van een rechthoek een aantal parallellogrammen en driehoeken maken
De leerlingen hebben bv. elk 4 rechthoeken van 6 bij 10 cm en vormen deze om
tot parallellogrammen door bv. een driehoek af te knippen of op de diagonaal te
knippen.
De gelijkheid van de oppervlakte van rechthoek en parallellogram wordt direct
herkend op basis van inzicht in het begrip oppervlakte (conservatie).
256
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
Bij verknippen op de diagonaal „zien‟ de leerlingen onmiddellijk dat de
oppervlakte van de driehoek de helft is van die van de rechthoek of het
parallellogram.
-
Werken tussen 2 evenwijdige rechten (rails)
Vertrekkend van de rechthoek tussen de twee evenwijdigen worden de
parallellogrammen tussen dezelfde „rails‟ bekeken en omgestructureerd naar de
rechthoek. Op deze wijze begrijpen de kinderen dat de oppervlakte van een
parallellogram kan worden „gezien‟ (via omvorming, al dan niet in gedachten) als
een rechthoek met dezelfde lengte (basis) en breedte (hoogte).
Tussen de rails zie je gewoon hoe de oppervlakte kan worden berekend. Er
ontstaat m.a.w. een beeld van de manier om de oppervlakte van een parallellogram
te berekenen, nl. het beeld van de rechthoek met dezelfde oppervlakte. En bij die
rechthoek hoort de formule lengte x breedte.
Ook de oppervlakte van de driehoek kan door de leerlingen worden „gezien‟ als
we werken tussen twee rails.
De leerlingen zien dat de oppervlakte van elke driehoek met een rechthoek of
parallellogram (die op zijn beurt weer om te vormen is tot een rechthoek) is te
vergelijken.
Op deze wijze bouwen ze een beeld op van de berekeningswijze van de
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
oppervlakte van de driehoek.
257
258
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
-
DOMEIN 2: METEN
Een bijzondere moeilijkheid: hoogte (breedte) valt buiten het parallellogram of de
driehoek.
Uit: De Moor (1991)
Hier is het handig om de figuur eens van de andere kant te bekijken. Deze
werkwijze biedt bovendien het voordeel dat de leerlingen ervaren dat de benaming
lengte (basis) en breedte (hoogte) een arbitraire keuze inhoudt.
Meten van de oppervlakte van andere figuren (o.m. grillige figuren, cirkels, willekeurige
veelhoeken, ...).
In de leerlijn beperken we ons tot het vinden van een geschikte wijze om de oppervlakte
van dergelijke figuren bij benadering te vinden.
Dit kan o.m. door:
omstructureren of samenstellen uit verschillende figuren bij veelhoeken;
te bedekken met een meetrooster (met conventionele maateenheden) waarbij de
'restjes' worden geschat;
door een figuur (waarvan men de oppervlakte kan berekenen) te tekenen op de
grillige figuur.
Bv. Ik teken zowel aan de binnenkant als aan de buitenkant van dit ovaal een
rechthoek. De oppervlakte van het ovaal ligt tussen de oppervlakten van
beide rechthoeken.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
259
Deze werkwijze hanteren we ook voor de
„meting‟ van de oppervlakte van de cirkel (zie
Heyerick; 1995).
3.1.3 Volume
Volume (uitgedrukt in kubieke maten) en inhoud (uitgedrukt in inhoudsmaten) sluiten heel nauw bij
elkaar aan.
Om volumes te vergelijken zullen de leerlingen als vanzelfsprekend de relatie tussen inhoud en
volume hanteren.
Volumes vergelijken en ordenen
Kinderen vergelijken volumes op verschillende wijzen:
-
op zicht
Kinderen kunnen bv. drie dozen (die qua vorm min of meer gelijk zijn maar in grootte
duidelijk verschillen) ordenen van groot naar klein.
-
door in elkaar te steken
Ik kan in die grote doos. Die doos is groter dan ik.
-
door vullen en vergieten met vormloos materiaal (zand, water, ...)
Aan de zandtafel vult een kleuter een potje met zand. Hij wil het overgieten in een ander potje
en stelt vast dat het zand er niet allemaal in kan. Het loopt over. Het tweede potje is kleiner
dan het eerste. Hier doet de kleuter ook ervaringen op die ertoe leiden dat hij de begrippen
volume (omvang, grootte van een omhulsel) en inhoud (wat er in kan), die aanvankelijk
intuïtief iets anders betekenen (vandaar twee soorten maateenheden), als identiek gaat
beschouwen; althans vanuit wiskundig oogpunt.
Volumes meten (vergelijken en ordenen) met niet-conventionele maateenheden
Dit meten kan gebeuren door:
-
meten met vormhebbend materiaal
Hier kunnen we twee vormen onderscheiden:
het volume is een geheel (bv. een kartonnen doos);
het volume is opgebouwd uit delen (bv. een toren uit blokken).
260
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
Het meten van een volume als geheel kan gebeuren door het volume op te vullen met een
gekozen maateenheid.
Bv. De speelgoedauto's worden bij het opruimen in de bak gelegd, maar ... ze kunnen
er niet in. Ze worden in een andere bak gelegd waar ze wel in kunnen. De tweede
bak is groter dan de eerste.
Het volume van de twee bakken wordt hier gemeten en vergeleken door de voorwerpen
ongeordend in de bakken te vullen.
In andere situaties kunnen de leerlingen ervaren dat een aantal voorwerpen in een doos kunnen
als ze geordend zijn.
Bv. Fien neemt de blokkendoos en maakt allerlei constructies. Bij het opruimen wil
het maar niet lukken om alle blokken weer in de doos te krijgen.
Vanaf het ogenblik dat kinderen weten dat volumes meten, veronderstelt dat er geen 'gaten'
meer mogen zijn (cf. het voorbeeld van de auto's bij meten met niet-conventionele
maateenheden) ervaren ze dat meten met vormhebbend materiaal bijna uitsluitend kan door
gebruik te maken van balkvormige maateenheden bij het meten van het volume van
balkvormige voorwerpen.
Bij het vullen van een volume met een niet-conventionele maateenheid zal men vaststellen dat
men het volume in veel gevallen niet nauwkeurig kan bepalen. Er zijn nog openingen. Deze
openingen kan men vullen met een kleinere maateenheid.
Bv. De grootte van een kast wordt gemeten door ze op te vullen met de ontdekdozen
(schoenendozen). De 'gaatjes' worden gevuld met houten blokken.
In de kast kunnen 24 ontdekdozen en nog 18 blokken.
Wil men twee volumes, die men op deze wijze gemeten heeft, vergelijken, dan is het
noodzakelijk dat de leerlingen de verhouding tussen de gebruikte maateenheden kennen (zie
ook bij oppervlakte).
Bij het tellen van het aantal gebruikte maateenheden (voor het meten van het volume van een
balk) zullen sommige leerlingen het één-voor-één tellen verkorten. Ze zullen bv. de blokken
van één laag tellen en dit vermenigvuldigen met het aantal lagen. Anderen zullen misschien
het aantal blokken van één laag berekenen door gebruik te maken van hun inzicht in de
berekening van de oppervlakte en pas daarna vermenigvuldigen met het aantal lagen.
Sommige volumes zijn opgebouwd uit een aantal delen (bv. blokken).
Bij constructies waarbij de gebruikte delen even groot zijn, kan één deel als maateenheid
worden gebruikt om de volumes van de verschillende constructies te vergelijken.
Bv. In kabouterdorp hebben kabouter Roodmuts en kabouter Groenmuts allebei een
nieuw huisje gebouwd. Ze zijn heel trots. Wel vragen ze zich af wie nu het
grootste huis heeft. Zowel kabouter Roodmuts als kabouter Groenmuts beweren
dat zijn huis het grootste is. Wie heeft gelijk?
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
261
Deze ervaringen kunnen ook bijdragen tot de groei van conservatie m.b.t. volume. Als de
huisjes bv. even groot zijn, zien de leerlingen dat de vorm van de huisjes kan verschillen maar
dat het volume gelijk is.
Meten van volumes met vormhebbend materiaal vormt de basis voor het meten van volumes
met conventionele kubieke maten.
-
meten met vormloos materiaal
De leerlingen kunnen volumes meten door deze te vullen met bv. een beker. Ze stellen vast
dat er 8 bekers water in de vaas kunnen. De beker is de maateenheid.
Als ze met dezelfde maateenheid ook een ander volume gaan meten (van bv. een waterkan),
kunnen ze volumes vergelijken.
Bij deze vorm van vergelijken zullen de leerlingen soms ervaren dat ze, naast de gebruikte
maateenheid, nog een kleinere maateenheid nodig hebben om het volume exact te kunnen
bepalen. In de vaas kunnen bv. 8 bekers water en nog drie soeplepels. De nood aan kleinere
maateenheden ervaart men vooral bij het vergelijken van bijna even grote volumes.
Meten van volumes met vormloos materiaal vormt de basis voor het meten van inhouden met
conventionele inhoudsmaten.
Volumes meten met conventionele maateenheden
Bij het meten van volumes met niet-conventionele maateenheden met vormhebbend materiaal
ervaren de kinderen de noodzaak aan verschillende conventionele maten.
Deze kubieke maten worden slechts bij de oudste lagereschoolkinderen geïntroduceerd.
Afhankelijk van de context waarin de kubieke maten aan bod komen, zal de leraar opteren om eerst
de m³, dm³ of cm³ te introduceren.
Start men bv. met de dm³ dan zal vlug de noodzaak ontstaan om de 'gaatjes' te kunnen opvullen met
een kleinere maateenheid. Vertrekt men bij de cm³ dan zal, bij het meten van grotere volumes, de
nood aan een grotere maateenheid zich opwerpen.
Wel is het belangrijk dat de leraar referentiematen van de verschillende maateenheden zichtbaar
maakt in de klas.
Ook hier zullen de leerlingen, op basis van ervaringen met het meten met niet-conventionele
maateenheden, vlug doorzien dat ze handige telstrategieën kunnen hanteren om het volume van
balken te berekenen. De berekeningswijze die kinderen hanteren kan verschillen van kind tot kind.
Sommigen zullen een berekeningswijze hanteren die overeenstemt met de formule voor het
berekenen van het volume van een balk. Enkel voor die leerlingen kan het zinvol zijn om deze
berekeningswijze ook als formule te noteren (oppervlakte grondvlak x hoogte of l x b x h).
Meten van volumes van 'niet-balken'
Om het volume van 'andere' lichamen te meten zijn er een aantal mogelijkheden:
-
omstructureren tot balken
Bepaalde volumes kunnen worden omgestructureerd tot een of meer balken. We denken bv.
aan een kartonnen doos waarvan het grondvlak een ruit is.
262
-
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
naar analogie
Eens de leerlingen inzien dat het volume van een balk kan worden berekend door de
oppervlakte van het grondvlak te vermenigvuldigen met de hoogte (aantal lagen), kunnen ze,
op basis van inzicht in de berekening van de oppervlakte van veelhoeken, het volume
berekenen.
Bv. Het volume van een recht prisma met een driehoek als grondvlak wordt berekend
naar analogie met de berekeningswijze van de oppervlakte van een driehoek.
-
gebruikmaken van de relatie inhoudsmaten - kubieke maten
Het volume van grillige lichamen (bv. een cilinder, een fles) kan worden gemeten door de
inhoud ervan te meten en deze te vergelijken met kubieke maten.
Bv. Het volume van deze fles is 1 dm³ en 500 cm³ want de inhoud is 1,5 l.
Het volume van deze bol is 700 cm³ want er kan 70 cl water in.
-
toepassen van de wet van Archimedes
Ik dompel een voorwerp onder in een volle kookpot en vang het water dat overloopt op. Het
overgelopen water is bv. ½ l. Het volume bedraagt dus ½ dm³.
3.1.4 Verband tussen omtrek, oppervlakte en volume; de relatie met de vorm van de dingen
Bij niet-gelijkvormigheid
Zoals we reeds onder 3.1.2 bij 'vergelijken van oppervlakte op zicht' stelden is de lengte van
een figuur (of soms ook de omtrek) een grote misleider bij het bepalen van de oppervlakte van
een figuur.
Het is belangrijk dat de leerlingen kunnen ervaren dat een figuur met een bepaalde
oppervlakte verschillende vormen kan aannemen met telkens een andere omtrek.
In het voorbeeld hierna is dit duidelijk vast te stellen.
Ook het omgekeerde, nl. dat een figuur met een bepaalde omtrek verschillende vormen kan
aannemen met telkens een verschillende oppervlakte, moeten kinderen kunnen ervaren.
Bv. Teken 3 verschillende rechthoeken met een omtrek van 16 cm (6 op 2 cm, 7 op 1 cm, 4
op 4 cm, 3 op 5 cm, ...).
De oppervlakte van de verschillende rechthoeken wordt daarna gemeten (berekend) en
vergeleken.
Ook bij volume (inhoud) laten we ons vaak misleiden door één van de drie dimensies (bv. de
hoogte van een fles). De industrie speelt daar handig op in bij het ontwerpen van allerhande
verpakkingen.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
263
Om kinderen dit te laten ontdekken, kunnen we ze verschillende kokers laten maken uit
ruitjespapier en laten nagaan hoeveel papier ze nodig hebben voor elke koker. Door de kokers
daarna te laten vullen, zullen kinderen ontdekken dat de koker waarvoor men het meeste
papier nodig had, niet noodzakelijk het grootste volume heeft.
Bij gelijkvormigheid
Voor het schilderen van een muur van 6 m bij 3 m hebben we 20 liter verf nodig. Hoeveel liter
verf hebben we nodig voor een muur die tweemaal zo lang is en tweemaal zo hoog? Veel
leerlingen denken spontaan dat 40 liter volstaat. (Feys, R., 1995)
Leerlingen verkijken zich op het feit dat bij vergrotingen (of verkleiningen) van figuren twee
dimensies betrokken zijn. Bij het vergroten of verkleinen van lichamen gaat het zelfs om drie
dimensies. Tussen de twee (bij oppervlakte) of drie dimensies (bij volume) is er een vaste
verhouding.
In de bovenstaande oefening is de relatie tussen enerzijds lengte en breedte (omtrek) en
anderzijds oppervlakte niet duidelijk omdat dit op abstract niveau moet worden opgelost.
Laten we de kinderen de muur effectief vergroten, dan zullen veel meer kinderen tot de juiste
oplossing komen.
3m
6m
264
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
Ook volumes kan men laten vergroten. Een kubus met een zijde van 1 cm heeft een volume
van 1 cm³. Hoeveel blokjes van één cm³ hebben we nodig om een kubus te maken met een
zijde van 4 cm (4 x 4 x 4)?
Conclusie
Kinderen moeten kansen krijgen om te ervaren dat de relatie tussen omtrek, oppervlakte en
volume verband houdt met de vorm van de dingen en zodoende kunnen ontdekken dat de
vaste relatie (nl. de verhouding) enkel bestaat bij gelijkvormigheid.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
265
3.2 Tijd
Tijd is belangrijk in het leven van de westerse mens. Er zijn maar weinig dingen in het leven
die niet aan een bepaald tijdstip gekoppeld zijn. Opstaan, opmaak, eten, werken, ontspanning,
... , bijna alles doen we met het uurwerk in de hand. Het gebeurt maar zelden dat iets ons zo in
beslag neemt dat we „de tijd vergeten‟.
Toch beleven we tijd meestal subjectief. Deze subjectieve gegevens worden echter vergeleken
met objectieve maten. We beperken ons hier verder tot de ontwikkeling van tijdsbegrip d.m.v.
tijd als meetsysteem. De subjectieve tijdsbeleving van kinderen vormt daarbij het
uitgangspunt. De confrontatie van de eigen tijdsbeleving met een vorm van tijdmeting draagt
ertoe bij dat kinderen beseffen dat tijdsduur subjectief is en dat er nood is aan objectieve
tijdmaten.
3.2.1 Ontwikkeling van het tijdsbegrip
Ook jonge kinderen ervaren dat dagen een ritme hebben. Na het opstaan volgen het aankleden
en het ontbijt, de school, het middageten, even slapen of terug naar school, eten, tv-kijken,
slapen. Ook ervaren ze dat dag en nacht afwisselen. In een eerste fase kunnen kinderen deze
gebeurtenissen enkel situeren vanuit het nu. Ze onderscheiden m.a.w. wat nu is en wat „voor
nu‟ (voor het middageten, voor vandaag) was. Wat er „na nu‟ (vandaag, morgen of over enkele
dagen) zal gebeuren, is nog heel vaag.
De relatie tussen heden, verleden en toekomst ontwikkelt zich door kinderen inzicht te laten
verwerven in de volgorde van de gebeurtenissen van een dag. Een belangrijk middel daarbij is
het gebruik van klokken en kalenders.
De verschillende gebeurtenissen worden (vaak als tijdstip) op de activiteitenkalender per dag
(tijdlijn van een dag) of dagklok geplaatst.
Door gebeurtenissen op een kalender te plaatsen, krijgen ze letterlijk een plaats in de
geschiedenis.
De activiteitenkalender per dag groeit uit tot een weekkalender; na de dag wordt een strook
voor de nacht aangebracht. Kinderen worden zich bewust van de continuïteit van tijd. Na
iedere dag volgt er een nieuwe dag die er ongeveer uitziet als de vorige dag (een aantal
gebeurtenissen komen dagelijks terug). De dag- en weekklok zijn handige middelen om deze
continuïteit te illustreren.
Tijdsduur is nog moeilijker dan tijdstip. Zoals eerder reeds gesteld is tijdsduur ook voor
kinderen subjectief. Om kinderen tijdsduur te laten ervaren moeten we ze confronteren met
tijdsinstrumenten die tijdsduur op een of andere wijze visualiseren (bv. een zandloper). Ze
beseffen dat een gebeurtenis een begin (startsein voor het opruimen van de poppenhoek is het
omdraaien van de zandloper), een duur (opruimen kan zolang de zandloper loopt) en een
einde (er loopt geen zand meer) heeft. Dergelijke instrumenten maken het mogelijk om
verschillende activiteiten qua duur te vergelijken.
Ook klokken en kalenders zijn uitstekende hulpmiddelen om tijdsduur voor te stellen. Dit
veronderstelt dat men op de klok of de kalender niet alleen de tijdstippen van bepaalde
gebeurtenissen aangeeft maar dat men ook de duur voorstelt door de afstand aan te duiden
tussen begin- en eindtijdstip van een gebeurtenis. Bovendien moet men alle gebeurtenissen
met hetzelfde meetinstrument meten (zandloper, waterklok met schaal). Bv. van „s morgens
tot aan de speeltijd duurt het vijf streepjes op de waterklok; de speeltijd zelf duurt maar één
streepje.
266
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
3.2.2 Kloklezen
A
Analoge tijd
Kloklezen lijkt simpel. Je kijkt even naar de stand van de wijzers en je weet de juiste
tijd. Bij heel wat klokken ontbreken de cijfers zelfs geheel of gedeeltelijk. Toch vormt
kloklezen voor heel wat lagereschoolkinderen een struikelblok. Dit heeft o.i. te maken
met de twee wijzers van de klok die elk hun eigen schaal hebben. De kleine wijzer
(indeling van de uren) wordt weergegeven op een schaal van 1 tot en met 12 en gaat 2
keer per dag helemaal rond. De zestigdelige schaal hoort bij de grote wijzer en geeft de
minuten weer.
We stellen voor om, tijdens de aanvangsfase, de klok te leren lezen met enkel de kleine
wijzer. Want eigenlijk hebben we enkel de kleine wijzer nodig om de klok „goed‟ te
kunnen aflezen. Je kunt bv. een klok (met één wijzer) die slaat op de hele uren in de
klas, plaatsen. De klok slaat 4 keer, het is vier uur, de wijzer wijst precies naar de vier.
Later kan dit verfijnd worden. Vragen als „Hoelang duurt het nog voor de klok weer
slaat?, Hoeveel keer zal hij dan slaan?, Hoeveel van het uur is nu voorbij? zullen ertoe
leiden dat kinderen aan de hand van de stand van de klok ongeveer de juiste tijd kunnen
aangeven (halftien, kwart over vier, bijna twaalf uur, iets over drie). Pas als ze de klok
met één wijzer vrij goed kunnen lezen en als ze de noodzaak voelen om tijd
nauwkeuriger te meten, komt de minuutwijzer erbij. Om kinderen duidelijk te maken
dat de twee wijzers van een klok twee verschillende dingen aangeven, kunnen we (als
tussenstap tussen de één- en twee-wijzerklok) twee aparte klokken maken.
Bij het oefenen met een tweewijzerklok is het evident dat „echte‟ klokken worden
gebruikt. Met „echte‟ klokken bedoelen we klokken waarbij de twee wijzers niet
onafhankelijk ten opzichte van elkaar kunnen worden verplaatst. Bij het oefenen met
de klok moeten de leerlingen steeds de relatie tussen grote en kleine wijzer ervaren.
HOOFDSTUK 2
B
DIDACTISCH KATERN METEN
267
Digitale tijd
Sinds de jaren „70 worden naast wijzerklokken ook veel digitale horloges gebruikt.
Dagelijks heeft bijna iedereen te maken met zowel analoge als met digitale tijd. De
digitale tijdsnotatie treffen we immers ook aan in televisiegidsen, tabellen van openbaar
vervoer, ... .
Omzetten van analoge tijd naar digitale tijd (of omgekeerd) levert meestal geen ernstige
problemen op als kinderen voldoende inzicht hebben in de verschillende schalen van de
twee wijzers van een wijzerklok. Toch is het belangrijk dat de link tussen analoge en
digitale steeds gelegd wordt. 11.43 moet onmiddellijk het beeld „bijna kwart voor 12'
oproepen.
Een bijkomende moeilijkheid bij digitale tijd is dat deze wordt genoteerd in een 24-uurschaal. Dit betekent dat je vanaf de namiddag steeds 12 uur van de gegeven stand moet
aftrekken, 21.06 betekent 6 over 9. Deze 24-uur-schaal biedt echter de mogelijkheid om
een volledige dag, een etmaal, voor te stellen. Een tijdlijn met zowel analoge als digitale
tijd kan hier ondersteunend werken.
We willen erop wijzen dat de 24-uur-schaal enkel in Europa wordt gehanteerd. Kinderen
kunnen ook worden geconfronteerd met bv. de Angelsaksische tijdsnotatie voor 21.09 is
dan 9.09 p.m..
P.m. komt van „post meridiem‟, Latijn voor „na het midden van de dag‟. Tijden voor de
middag worden aangeduid met a.m. (ante meridiem - „voor het midden van de dag‟).
3.2.3 Tijdsduur berekenen
Om te kunnen uitrekenen hoe lang iets duurt (verschil tussen twee tijdstippen: begin en einde),
moet je de onderlinge verhoudingen tussen de verschillende maateenheden kennen. Voor tijd
zijn die niet eenduidig (zie ook 2.6.1 van dit katern).
Verwarrend daarbij is dat we gewoon zijn om in decimalen te rekenen en dat we bij tijd
verschillende schalen gebruiken.
268
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
3.3 Snelheid
Snelheid is een samengestelde grootheid op basis van de verhouding tussen afstand en tijd.
Net zoals bij andere verhoudingen zullen we ook bij snelheid veelvuldig gebruikmaken van de
verhoudingstabel. We verwijzen hiervoor naar het didactisch katern „Breuken,
kommagetallen, verhoudingen en procenten‟ (Domein 1 Getallen, hoofdstuk 2, katern 4).
3.4 Temperatuur
Reeds vrij vroeg ervaren kinderen het verschil tussen warm en koud, maar beseffen ze ook dat
temperatuur (warm, koud) een subjectief en relatief begrip is. Voor het ene kind is het water
van het zwembad koud terwijl het voor een ander kind warm aanvoelt. Temperatuur kan
moeilijker dan andere grootheden gemeten worden met niet-conventionele maateenheden. De
thermometer wordt daarom vrij vlug geïntroduceerd als instrument om temperatuur objectief
te meten.
Het meten van negatieve temperaturen is een van de weinige concrete mogelijkheden om
gehele getallen < 0 aan bod te laten komen (zie leerlijn getallen 1.2 doel 3).
Temperaturen worden vaak gemeten gedurende een bepaalde periode. Om de evolutie van de
temperaturen visueel duidelijk te maken, worden de gemeten temperaturen vaak voorgesteld
in grafieken (blokdiagram, staafdiagram of lijngrafiek). We verwijzen hiervoor naar het
didactisch katern „Tabellen en grafieken‟ (domein 1 Getallen, hoofdstuk 2, katern 5).
3.5 Hoekgrootte
De begripsvulling van hoeken vertrekt meestal vanuit het intuïtieve hoekbegrip (de hoek van
de kast, de hoek van de tafel, ...). Toch hebben een aantal leerlingen moeite om, vanuit het
intuïtieve hoekbegrip, hoeken in het vlak te herkennen. De grootste moeilijkheid bij hoeken is
het meten van hoeken. De hoekgrootte wordt immers bepaald door de stand van de benen
t.o.v. elkaar en niet door bv. de lengte van de benen.
Om dit inzicht te verwerven is het belangrijk dat de leerlingen veel kansen krijgen om hoeken
te vergelijken en te meten. Ze kunnen hoeken vergelijken door ze uit te knippen en op elkaar
te leggen, door te tekenen op transparant papier, ... .
Een handig middel om het inzicht in hoekgrootte te verwerven is gebruikmaken van een
(zelfgemaakte) hoekmeter.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
269
Hoeken kunnen ook geïntroduceerd worden via draaien. Leerlingen weten dat je een draai
moet maken als je van richting wenst te veranderen. Vervolgens moeten de leerlingen inzien
dat het maken van een draai tot gevolg heeft dat het spoor dat je achterlaat een hoek maakt
(bv. voor vliegroutes).
3.6 Geld
Het is evident dat geld vooral gebruikt wordt in reële ruilsituaties. In concrete situaties kunnen
de leerlingen met de bestaande muntstukken en biljetten betalen, teruggeven, wisselgeld
natellen en wisselen. Ze leren daarbij de meest geschikte betalingswijze hanteren.
Omgaan met geld gaat bij de meeste leerlingen vrij vlot voorzover dit in concrete situaties
gebeurt.
Het valt te verwachten dat leerlingen heel wat meer problemen zullen kennen tijdens de
(overgangs)periode waarbij zowel de Belgische munten en biljetten als de euro naast elkaar
zullen worden gebruikt als betaalmiddel. De leerlingen zullen immers de verhouding tussen de
BEF en de euro moeten kunnen hanteren. We zullen de leerlingen vrij vroeg vertrouwd
moeten maken met omrekeningstabellen van BEF naar euro.
270
4
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
Meetstands
Een van de mogelijkheden om de kleuters en lagereschoolkinderen meer kansen te geven om te
meten is het werken met meetstands. Meetstands zijn in feite alle mogelijke meetactiviteiten die
leerlingen zelfstandig (in kleine groepen) kunnen uitvoeren aan de hand van een opdracht(kaart).
Meetstands zijn geen doel op zich, maar een middel om elk kind meer meetkansen te geven.
4.1 Meetstands voor kleuters
Hierna geven we enkele voorbeelden van meetstands voor kleuters. Meetstands voor kleuters
zijn activiteiten waarbij de kleuters voldoende tijd en ruimte krijgen om te experimenteren.
Voorbeelden voor de jongste kleuters
-
Activiteit i.v.m. lengte
Met grote kartonnen buizen van verschillende hoogtes torens bouwen
Dat gebeurt tegen een muur waarop de vereiste hoogtes van tevoren werden aangeduid.
-
Activiteit i.v.m. inhoud
In de zandbak flessen vullen volgens een voorbeeld:
1ste fles is helemaal vol;
2de fles is half vol;
3de fles is maar een klein beetje gevuld.
Voorbeeld voor de oudste kleuters
-
Activiteit i.v.m. lengte
De kleuters laten verschillende auto's vanaf een startlijn zo ver mogelijk rijden. De
afstand die de auto's afgelegd hebben passen ze af met de voeten. Voor iedere pas die ze
zetten, trekken ze een streep op een blad.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
271
4.2 Meetstands voor de lagere school
Hierna geven we enkele mogelijke opdrachtkaarten voor meetstands.
LEERJAAR:
1
ASPECT:
Lengte, meten met niet-conventionele maateenheden
OPDRACHT:
Meet de bank eerst met een pen, dan met een schrift en tenslotte met een boek.
NOTEER:
Schrijf op hoeveel keer je de pen, het schrift en het boek op de bank kunt
leggen.
MATERIAAL: bank, pen, schrift, taalboek
272
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
LEERJAAR:
1
ASPECT:
Lengte, begrippenkader verruimen
OPDRACHT:
Ga na of de voorwerpen kleiner of groter zijn dan of gelijk zijn aan de meetstok
(1 m)
- het weerkalenderbord
- het leesbord
- de deurbreedte
- de bank
- de bordvleugel
NOTEER: Noteer: ' is groter dan 1 m', 'is kleiner dan 1 m' of 'is gelijk aan 1 m'
1
2
3
4
5
MATERIAAL: meetstok
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
LEERJAAR:
2
ASPECT:
Oppervlakte
OPDRACHT:
Hoeveel kleine witte bladen heb ik nodig om het tafelblad te bedekken?
Hoeveel grote gekleurde bladen heb ik nodig om het tafelblad te bedekken?
NOTEER:
Ik kan ..... kleine witte bladen op de tafel leggen.
Ik kan ..... grote gekleurde bladen op de tafel leggen.
MATERIAAL: kleine witte bladen, grote gekleurde bladen, tafel
273
274
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
LEERJAAR:
2
ASPECT:
Inhoud
OPDRACHT:
Hoeveel kopjes kunnen in de karaf en in de kruik?
Hoeveel bekers kunnen in de karaf en in de kruik?
Hoeveel sauslepels kunnen in de karaf en in de kruik?
NOTEER:
Kleur telkens het passend aantal kopjes, bekers en sauslepels
MATERIAAL: trechter, water, kleurpotloden, karaf, kruik, sauslepel, kopje, beker
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
LEERJAAR:
3-4
ASPECT:
Inhoud
OPDRACHT:
Jeroen heeft twee drinkbussen. De ene voor op zijn fiets; de andere neemt hij
met draagriem mee naar school.
Schat welke bus de grootste inhoud heeft.
Meet daarna hoeveel er in elke drinkbus kan.
Bereken hoeveel er meer kan in de grootste.
NOTEER:
Ik schat dat ................................. de grootste inhoud heeft.
Ik controleer.
In de grootste drinkbus kan ..................... .
In de kleinste drinkbus kan ...................... .
Ik kleur de grootste drinkbus.
In de grootste drinkbus kan ................ meer dan in de kleinste drinkbus.
MATERIAAL: -
twee drinkbussen
een emmer water
een trechter
voldoende inhoudsmaten
een dweil
275
276
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 2: METEN
LEERJAAR:
5-6
ASPECT:
Oppervlakte
OPDRACHT:
Als hoofd van de firma V.L.A.G. krijg je de opdracht om deze vlaggen te
vervaardigen. Welke hoeveelheid witte en zwarte stof heb je nodig voor elke
vlag als je weet dat de vlaggen op schaal 1/100 getekend zijn?
NOTEER: VLAG
1
2
3
4
witte stof
.............
.............
.............
............
zwarte stof
.................
.................
.................
.................
MATERIAAL: schaar, meetlat, lijm, centimeterpapier, millimeterpapier
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN METEN
ASPECT:
Volume
OPDRACHT:
Hieronder zie je drie bankkluizen.
Welk van de drie bankkluizen is de grootste?
Kleur de grootste bankkluis.
MATERIAAL: rekenmachientje
277
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN
VORMLEER
Hoofdstuk 1
LEERLIJNEN MEETKUNDE
279
280
OVSG -LEERPLAN WISKUNDE
A
DOMEIN 3: MEETKUNDE
Vormleer
MEETKUNDE
Vormleer
OD
ET
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
3.1 VORMEN BESCHRIJVEN, HERKENNEN, CONSTRUEREN, BENOEMEN EN
CLASSIFICEREN
1
De leerlingen kunnen op grond van vormherkenning insteek- en inlegpuzzels voltooien.
OD
3.3
2
De leerlingen kunnen in concrete situaties
onderstaande begrippen in hun juiste, intuïtieve
betekenis gebruiken:
OD
3.1
3
-
in, uit, op, boven, onder, naast, voor, achter, tussen, schuin (scheef), op elkaar, in
elkaar, onder elkaar, binnen, buiten, rondom ...........................................................
-
recht, rond, gebogen (krom), effen (vlak,
plat, glad) ...................................................
-
rand (boord, kant), lijn, hoek ......................
-
bovenkant, onderkant, voorkant, zijkant,
achterkant, binnenkant, buitenkant. ............
De leerlingen kunnen een patroon van vormen
voortzetten, waarbij:
-
in een rij twee verschillende vormen
voorkomen ................................................
-
in een rij eenzelfde vorm in verschillende
standen voorkomt ......................................
-
in een vlak verschillende patronen
voorkomen (tegelpatroon- mozaïek). .........
4
De leerlingen kunnen een beperkt aantal
geometrische figuren globaal herkennen en
intuïtief benoemen en classificeren : vierkanten,
rechthoeken, driehoeken, cirkels (rondjes),
eieren (eivormig), ‘vierkante blokjes’
(kubussen), ballen (bollen), ... .
5
Tevens kunnen zij vierkanten, rechthoeken en
driehoeken construeren door te vouwen, prikken, knippen, tekenen, scheuren, omlijnen,
leggen ... .
Ze kunnen daarbij o.a. een schaar, een potlood,
een meetlat, een touw, een spijkerbord,
roosterpapier, ... als hulpmiddelen hanteren.
OD
3.4
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN
MEETKUNDE
Vormleer
VORMLEER
OD
ET
6
Ze kunnen resultaten van knipfiguren (een stukje
wegsnijden uit een gevouwen blad) voorspellen.
Ze kunnen zelf knipfiguren maken: vrij of naar
model.
7
De leerlingen kunnen volgende begrippen correct
hanteren:
8
9
-
rechte lijnen (rechten) en kromme lijnen
(krommen, gebogen lijnen) ........................
-
evenwijdige en snijdende rechten en lijnen
-
zijde, hoek, hoekpunt, benen van een hoek
-
rechte hoek, scherpe hoek, stompe hoek ....
-
lijnstuk, punt, diagonaal .............................
-
loodrecht, loodlijn, horizontaal, verticaal,
schuin .........................................................
-
lengte (basis), breedte (hoogte) ..................
-
straal, diameter (middellijn), middelpunt ...
-
omtrek, oppervlakte ...................................
-
volume (inhoud), ribbe, grondvlak,
bovenvlak, zijvlak. .....................................
-
kruisende lijnen en rechten. .......................
De leerlingen kunnen met behulp van een tekendriehoek, een geodriehoek of een rolliniaal
volgende meetkundige objecten tekenen:
-
snijdende en evenwijdige rechten ..............
-
hoeken .......................................................
-
rechte, scherpe en stompe hoeken. .............
De leerlingen kunnen globaal een aantal driedimensionale geometrische figuren herkennen en
benoemen:
kubus, balk, piramide, bol, cilinder ............
-
ET
3.2a
ET
3.4
ET
3.2b
prisma, kegel. ............................................
10 De leerlingen kunnen de symbolen voor
loodrechte stand () en evenwijdigheid (//) lezen,
noteren en gebruiken.
ET
3.3
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
281
Lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
282
OVSG -LEERPLAN WISKUNDE
MEETKUNDE
Vormleer
OD
ET
11 De leerlingen kunnen volgende termen correct
hanteren:
-
vlakke figuur, veelhoek .............................
-
lichaam, veelvlak. ......................................
12 De leerlingen kunnen op grond van het aantal
zijden (of hoeken) veelhoeken benoemen.
ET
3.2
DOMEIN 3: MEETKUNDE
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN
MEETKUNDE
Vormleer
VORMLEER
OD
ET
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j.
->
3.2 VORMEN CLASSIFICEREN OP GROND VAN EIGENSCHAPPEN
1
2
De leerlingen kunnen driehoeken classificeren op
grond van de eigenschappen van:
-
de hoeken: stomphoekige, scherphoekige,
rechthoekige driehoeken ............................
-
de zijden : gelijkbenige, gelijkzijdige,
ongelijkbenige, ongelijkzijdige, willekeurige
driehoeken .................................................
-
hoeken en zijden samen: bv. rechthoekige
gelijkbenige driehoeken.
Zij kunnen hierbij ook eigenschappen
onderzoeken, ontdekken en verwoorden, bv.
gelijkzijdige driehoeken zijn altijd
scherphoekig en hebben gelijke hoeken. ..
De leerlingen kunnen bij onderstaande
vierhoeken de eigenschappen van zijden en
hoeken ontdekken en verwoorden en omgekeerd
op grond van die eigenschappen de figuren
benoemen:
-
vierkant: alle zijden gelijk, alle hoeken recht
(gelijk), tegenoverliggende zijden
evenwijdig .................................................
-
rechthoek: tegenoverliggende zijden gelijk,
alle hoeken recht (gelijk),
tegenoverliggende zijden evenwijdig ........
-
ruit: alle zijden gelijk, tegenoverliggende
hoeken gelijk, tegenoverliggende zijden
evenwijdig .................................................
-
parallellogram: tegenoverliggende zijden
gelijk, tegenoverliggende hoeken gelijk,
tegenoverliggende zijden evenwijdig ........
-
trapezium: 1 paar tegenoverliggende zijden
evenwijdig ................................................
vlieger: 2 paar aan elkaar liggende zijden
gelijk, 1 paar tegenoverliggende hoeken
gelijk. .........................................................
-
3
De leerlingen zijn ook in staat, op grond van die
eigenschappen, de vierhoeken hiërarchisch op te
delen en te benoemen, bv. een parallellogram
met 4 gelijke zijden is een ruit.
ET
3.4
ET
3.4
ET
3.4
283
8j.
->
10j.
->
284
OVSG -LEERPLAN WISKUNDE
MEETKUNDE
Vormleer
OD
ET
4
De leerlingen kunnen andere eigenschappen
van vierhoeken onderzoeken, ontdekken en
verwoorden, bv. in een ruit staan de diagonalen
loodrecht op elkaar en ze delen elkaar
middendoor.
5
De leerlingen weten dat een regelmatige
veelhoek gelijke zijden en hoeken heeft. Ze
kunnen andere eigenschappen onderzoeken,
ontdekken en verwoorden, bv. in een
regelmatige achthoek lopen 2 diagonalen
evenwijdig aan elke zijde.
6
De leerlingen kunnen van een willekeurige
veelhoek aangeven of hij convex of concaaf is.
7
De leerlingen kunnen de eigenschappen van de
cirkel onderzoeken, ontdekken en verwoorden.
8
De leerlingen kunnen bij onderstaande
veelvlakken de eigenschappen van de
begrenzende vlakken en hun onderlinge stand
ontdekken en verwoorden en omgekeerd op
grond van de eigenschappen het veelvlak
benoemen:
9
-
kubus: alle vlakken zijn (gelijke)
vierkanten, tegenoverliggende vlakken
zijn evenwijdig ...........................................
-
balk: alle vlakken zijn rechthoeken, tegenoverliggende vlakken zijn evenwijdig en
gelijk ..........................................................
-
prisma: 2 vlakken zijn evenwijdig, alle
ribben, die niet in die vlakken liggen, zijn
evenwijdig. .................................................
De leerlingen kunnen andere eigenschappen
van kubussen en balken onderzoeken,
ontdekken en verwoorden, bv. een diagonaal
vlak van een kubus is een rechthoek.
ET
3.2
DOMEIN 3: MEETKUNDE
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN
MEETKUNDE
Vormleer
VORMLEER
OD
ET
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j.
->
3.3 PUZZELEN, BOUWEN, OMSTRUCTUREREN, CONSTRUEREN
1
De leerlingen kunnen (al dan niet met een
constructievoorschrift) een model nabouwen
-
in de ruimte................................................
-
in het vlak ..................................................
De complexiteit van zowel de constructie als van
het constructievoorschrift, neemt toe met de
leeftijd.
2
De leerlingen kunnen een driedimensionale
blokkenconstructie (met kubussen) nabouwen:
-
met een tweedimensionale tekening als
model .........................................................
-
met een grondplan als model, waarbij het
aantal blokken door een cijfer op het plan is
weergegeven ..............................................
Zij kunnen van een dergelijk bouwsel een
grondplan maken .............................................. .
3
De leerlingen kunnen een puzzel met geometrische figuren (bv. tangram) naar een model
oplossen.
4
De leerlingen kunnen veelhoeken (mentaal)
omstructureren naar rechthoeken en driehoeken
door verdeling, aanvulling en compensatie.
5
De leerlingen kunnen in en om vlakke figuren die
geen veelhoek zijn (cirkels, ovalen, eilandjes,...)
veelhoeken tekenen die in omtrek en/of
oppervlakte die figuren benaderen.
6
De leerlingen kunnen veelvlakken
omstructureren naar balken door verdeling,
aanvulling en compensatie.
7
De leerlingen kunnen driehoeken en vierhoeken
tekenen volgens een constructievoorschrift dat
gegrond is op de eigenschappen van de figuur,
bv. teken een ruit met diagonalen van 5 cm en 4
cm.
Ze maken daarbij gebruik van hulpmiddelen
zoals liniaal, tekendriehoek, rolliniaal, passer,
graadboog.
285
8j.
->
10j.
->
286
OVSG -LEERPLAN WISKUNDE
MEETKUNDE
Vormleer
OD
ET
8
De leerlingen kunnen een passer hanteren als
een instrument om punten of lijnen te tekenen
op een gelijke afstand van een punt. ..................
Zij kunnen zo ook een cirkel tekenen met
gegeven straal.....................................................
Zij kunnen met passer en liniaal een loodlijn
construeren op een rechte, al dan niet door een
gegeven punt buiten of op die rechte, en
kunnen de constructieprocedure begrijpen en
verwoorden. .......................................................
9
De leerlingen kunnen van kubussen een uitslag
(ontplooiing, ontwikkeling, bouwplaatje)
tekenen en van getekende uitslagen nagaan
welke een kubus kunnen opleveren. ...................
Ze kunnen dat ook voor andere lichamen, bv.
door na te gaan welke uitslag van een
verpakking bruikbaar is voor een gegeven
vorm. ..................................................................
10 De leerlingen kunnen in het kader van een
constructietaak zelf passende hulpmiddelen
kiezen en hanteren, eventueel zelf maken (bv.
een toestel om evenwijdige lijnen te tekenen).
ET
3.5
DOMEIN 3: MEETKUNDE
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN
MEETKUNDE
Vormleer
VORMLEER
OD
ET
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
3.4 RELATIES TUSSEN GEOMETRISCHE FIGUREN (meetkundige transformaties)
1
De leerlingen kunnen 2 geometrische vlakke
figuren met elkaar vergelijken door ze op elkaar
te leggen. ...........................................................
ET
3.6
Ze weten dat 2 figuren gelijk zijn als ze elkaar
volledig bedekken..............................................
Ze hanteren daarbij de term congruent. ............
2
De leerlingen kunnen in de realiteit, op foto's en
tekeningen gelijkvormige en niet-gelijkvormige
figuren ontdekken. .............................................
ET
3.6
Ze kunnen met behulp van roosterpapier zelf
gelijkvormige figuren (al dan niet met gegeven
vergrotings- of verkleiningsfactor) en nietgelijkvormige figuren (vervormingen) tekenen.
3
De leerlingen kunnen de basiseigenschappen
van gelijkvormige veelhoeken
(overeenkomstige hoeken gelijk,
overeenkomstig zijden in constante verhouding)
onderzoeken, ontdekken en verwoorden.
Ze kunnen gelijkvormige veelhoeken tekenen
op grond van die eigenschappen.
ET
3.6
4
De leerlingen kunnen in de realiteit, op foto's en
tekeningen spiegelbeeldige (symmetrische)
figuren ontdekken en de symmetrie controleren
aan de hand van een spiegel of 'doorkijkspiegel'.
ET
3.6
5
De leerlingen kunnen in (geometrische) figuren
spiegelassen ontdekken en ze vouwen of
tekenen.
ET
3.6
6
De leerlingen kunnen de eigenschappen van
symmetrie onderzoeken, ontdekken en
verwoorden, bv. elk punt van een figuur en zijn
spiegelbeeld ligt even ver van de spiegel(as).
7
De leerlingen kunnen een getekende
geometrische figuur spiegelen om een gegeven
spiegelas:
- op roosterpapier .............................................
- enkel met passer en liniaal. .............................
ET
3.6
287
->
288
OVSG -LEERPLAN WISKUNDE
MEETKUNDE
Vormleer
OD
ET
8
9
De leerlingen kunnen elementaire meetkundige
transformaties toepassen op het eigen lichaam
en met reële voorwerpen en die ook
verwoorden, gebruikmakend van volgende
termen:
-
vooruit, achteruit ........................................
-
links, rechts ..............................................
-
verschuiven, draaien ...................................
-
halve draai, kwartdraai ..............................
-
draaien om een hoek van x graden,
verschuiven over een afstand van x cm...
De leerlingen kunnen op een getekende
geometrische figuur een draaiing (rotatie) met
gegeven draaihoek en een verschuiving met
gegeven verschuivingslijnstuk uitvoeren door
het beeld te tekenen.
DOMEIN 3: MEETKUNDE
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j.
->
8j.
->
10j.
->
HOOFDSTUK 1
B
LEERLIJNEN
MEETKUNDIGE WERELDORIËNTATIE
Meetkundige wereldoriëntatie
MEETKUNDE
Meetkundige wereldoriëntatie
OD
ET
3.5
1
POSITIEBEPALING
De kinderen kunnen zichzelf, anderen en
voorwerpen in de ruimte situeren aan de hand
van volgende plaatsbepalende begrippen (zie
ook vormleer 3.1 doel 2 )
-
voorste (eerste), achterste (laatste),
voorlaatste, op één na laatste,
middelste, de eerste drie, de eerste
vier,... ................................................
-
in de buurt van, rechts van, links
van, opzij van, midden, hier, daar,
waar, ver weg, dichtbij... ...................
OD
3.1
Zij kunnen ook op grond van een plaatsbeschrijving iets of iemand in de ruimte
vinden. De complexiteit van de plaatsbeschrijving neemt toe met de leeftijd.
2
289
De leerlingen kunnen vanuit verschillende
gezichtspunten, die ze in de ruimte innemen,
verwoorden hoe eenzelfde voorwerp of
persoon, of de plaats van verschillende dingen
t.o.v. elkaar, verandert of lijkt te veranderen.
OD
3.2
Ze maken hierbij gebruik van de termen
vooraanzicht, bovenaanzicht, zijaanzicht, ... .
ET
3.1
3
De leerlingen kunnen aangeven of foto's van
dichtbij of van ver genomen zijn en
verwoorden dat dingen dichtbij groter lijken
dan ver weg.
4
De leerlingen kunnen mentaal een standpunt
innemen en de relatie leggen tussen dat
ingenomen standpunt en het uitzicht (in
werkelijkheid, op foto, tekening).
ET
3.7
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j
->
8j
->
10j
->
290
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
MEETKUNDE
Meetkundige wereldoriëntatie
OD
ET
5
De leerlingen kunnen van een reële
ruimtelijke situatie een voorstelling maken:
-
in 3 dimensies (zandtafel, maquette,
kijkdoos,...) ......................................
-
in 2 dimensies (plattegrond, kaart,...)
Naarmate ze ouder worden, kunnen ze daarbij de reële verhoudingen nauwkeuriger
weergeven.
Ook kunnen ze van deze voorstellingen aangeven met welke realiteit ze overeenkomen:
-
driedimensionaal ...............................
-
tweedimensionaal ..............................
Ze kunnen de relatie leggen tussen verschillende voorstellingen van eenzelfde
realiteit.
Ze kunnen zich er een mentale voorstelling
van maken en die beschrijven of selecteren.
6
De leerlingen kunnen op een rooster,
plattegrond of kaart coördinaten zetten of
gegeven coördinaten hanteren om een plaats
aan te duiden of terug te vinden.
De coördinaten bestaan uit:
een letter en een cijfer ......................
-
enkel natuurlijke getallen .................
-
positieve en negatieve gehele
getallen..............................................
ET
3.7
DOMEIN 3: MEETKUNDE
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j
->
8j
->
10j
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN
MEETKUNDE
Meetkundige wereldoriëntatie
MEETKUNDIGE WERELDORIËNTATIE
OD
ET
3.6
1
BEWEGING EN RICHTING
De leerlingen kunnen aanwijzingen geven en
volgen i.v.m. beweging en richting en hanteren
daarbij volgende woorden en begrippen:
-
OD
3.1
ET
3.1
(ga) naar, omhoog (naar boven),
omlaag (naar beneden), vooruit,
achteruit,... ........................................
-
naar links, naar rechts, doorheen,
onderdoor, tussendoor, overheen,
hierheen, daarheen, in de richting
van...
(zie ook vormleer 3.4 doel 8) .......................
2
3
-
noord, oost, zuid, west .......................
-
tussenwindstreken (noordoost,
zuidwest, enz...). ................................
De leerlingen kunnen pictogrammen in verband
met 'richtingen' als symbool hanteren:
pijlen ................................................
-
wegwijzers.........................................
-
windroos ...........................................
De leerlingen kunnen in een concrete ruimte de
kortste weg vinden tussen 2 plaatsen (in lege
zaal, in doolhof,...) ...........................................
OD
3.1
ET
3.
ET
3.1
Ze kunnen het begrip afstand (hemelsbreed/ vogelvlucht of langs een route) correct hanteren.
4
De leerlingen kunnen op plattegronden en
kaarten routes bepalen en met elkaar vergelijken
(qua afstand, snelheid, tijd).
Ze kunnen een verband leggen tussen de plaats
op een kaart en de realiteit (bv. wegwijzers op
een kruispunt).
5
De leerlingen kunnen op grond van een routebeschrijving de weg vinden in de realiteit en op
kaart de route aanduiden. ..................................
Omgekeerd kunnen ze ook van een gevolgde weg
of een route op kaart een wegbeschrijving geven.
Ze kunnen ook met behulp van een kaart de weg
vinden in een niet-vertrouwde omgeving. .........
ET
3.7
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
291
Lagereschoolkinderen
6j
->
8j
->
10j
->
292
OVSG - LEERPLAN WISKUNDE
MEETKUNDE
Meetkundige wereldoriëntatie
OD
ET
6
De leerlingen kunnen op grond van de
legende, inclusief een schaalaanduiding, een
verband leggen tussen een kaart en de
realiteit.
7
De leerlingen kunnen een verband leggen
tussen pictogrammen met stijgingspercentage
(verhouding hoogteverschil - afstand) en de
grafische voorstelling van een helling.
8
De leerlingen kunnen tabellen hanteren met
gegevens over route en tijd van trein, tram,
bus.
DOMEIN 3: MEETKUNDE
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
Lagereschoolkinderen
6j
->
8j
->
10j
->
HOOFDSTUK 1
LEERLIJNEN
MEETKUNDE
Meetkundige wereldoriëntatie
MEETKUNDIGE WERELDORIËNTATIE
OD
ET
3.7
VISEERLIJNEN EN SCHADUW
1
De leerlingen kunnen experimenteren met licht
en schaduw en conclusies trekken over de
relatie tussen:
de vorm (lengte) en de plaats van de
schaduw
en
de onderlinge posities van de
lichtbron en het voorwerp dat
schaduw geeft.
2
De leerlingen kunnen in concrete situaties
experimenteren met viseerlijnen (bv. bij
verstoppertje spelen).
3
De leerlingen kunnen de relatie verklaren
tussen:
de vorm (lengte) en plaats van
schaduwbeelden (met de zon als
lichtbron)
en
het tijdstip van de dag.
4
De leerlingen kunnen viseerlijnen hanteren om
op tekeningen aan te geven waar schaduw valt
of om na te gaan wat er vanuit een bepaald
standpunt zichtbaar is (rekening houdend met
obstakels).
5
6
De leerlingen kunnen de vaste verhouding
hanteren tussen de lengte (hoogte) van
voorwerpen en de lengte van hun
schaduwbeeld op een bepaald moment en een
bepaalde plaats, om de hoogte van bv. bomen
of gebouwen te schatten.
De leerlingen kunnen fenomenen i.v.m. licht
en schaduw (bv. zons- en maansverduistering)
verklaren en op een schets weergeven.
ET
1.29*
ET
1.21
1.29*
Kleuters
1ste
fase
2de
fase
293
Lagereschoolkinderen
6j
->
8j
->
10j
->
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
295
Hoofdstuk 2: DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
1
Inleiding
De meetkunde als wetenschap heeft zijn oorsprong in het praktische meten. ‘Geometrie’ betekent
niets anders dan het meten van de aarde.
Meetkunde is dat deel van de wiskunde waarin eigenschappen van de ruimte of een vlak en van
lichamen of vlakke figuren bestudeerd worden.
De oorsprong van de meetkunde ligt in de 'studie van het meten'. Meetkunde is ontstaan vanuit het
bestuderen van en het zoeken naar oplossingen voor praktische problemen. We denken hierbij aan
bouwen, het opmeten van een eigendom, ... .
Daardoor is er ook een grote verbondenheid tussen de meetkunde en het metend rekenen. Dit stelt
ons in staat de plaats van een schip op zee te bepalen, de omtrek van de aarde te kennen, de afstand
tot de zon te berekenen, de hoogte van een berg nauwkeurig te bepalen, de oppervlakte van een land
vast te leggen, ... .
Meetkunde heeft een sterk aanschouwelijk karakter en kan ook op aanschouwelijke basis,
mathematisch gefundeerd, opgebouwd worden.
Daartegenover staat een andere benadering van de meetkunde, namelijk een deductieve.
Het deduceren, het afleiden van de ene waarheid uit andere gebeurt volgens logische regels. Logica
stond en staat model voor wat men noemt: zuiver denken.
Beide tendensen kwamen in het meetkundeonderwijs van de lagere school voor.
2
Tendensen in de basisschool
De meetkunde deed zijn intrede in de lagere school vanaf de negentiende eeuw, onder de naam
vormleer. In de handboeken uit die tijd werd een opbouw voorgesteld van het meest elementaire
naar het meer complexe: eerst punten, dan lijnen of lijnstukken, daarna hoeken en vlakke figuren.
De doelstellingen richtten zich enerzijds naar begripsvorming ter voorbereiding van de formele
meetkunde in het secundair onderwijs. Anderzijds stonden de doelstellingen in relatie met het
metend rekenen voorop.
Men vond het nuttig specifieke vormkenmerken van de meetkundige figuren te bestuderen. Dit
leidde tot de keuze van een gepaste formule voor de berekening van de omtrek, de oppervlakte of
de inhoud van de figuur.
"Meetkunde is een vak waarin je eerst ziet en daarna pas gaat formaliseren." Vanuit dit standpunt
werd in het leerplan van 1957 (Ministerie van het Openbaar Onderwijs) een andere volgorde van
aanbieden van de meetkundige objecten voorgeschreven.
Vormleer start vanuit de waarneming, vanuit concrete figuren die ontdekt worden in de
werkelijkheid. Deze figuren worden getekend, gevouwen en geknipt. Verwoording van de
eigenschappen en berekeningsformules kregen later een plaats.
Memoriseren en inoefenen van standaardprocedures was vaak de belangrijkste taak van en voor de
leerlingen.
In de jaren '70 verdween grotendeels de interesse voor dit soort meetkunde onder invloed van de
New Math-beweging. Het afzonderlijk bestuderen van figuur na figuur was uit den boze en de
296
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 3: MEETKUNDE
opbouw werd volledig omgekeerd. Men startte met de verzameling van alle vlakke figuren waarin
door bijkomende criteria meer structuur werd aangebracht.
Zo kwam men tot o.a.:
- vlakke figuren;
- figuren met uitsluitend hoeken (veelhoeken);
- veelhoeken met vier hoeken (vierhoeken);
- vierhoeken met 1 paar evenwijdige zijden (trapezia);
- vierhoeken met 2 paar evenwijdige zijden (parallellogrammen);
- parallellogrammen met vier rechte hoeken (rechthoeken);
- rechthoeken met vier gelijke zijden (vierkanten).
Het vierkant, de figuur met de rijkste inhoud en de meest specifieke eigenschappen, kwam het laatst
aan bod. De keuze en de volgorde van de onderwerpen in de lessen meetkunde werden niet meer
bepaald door de waarneming (wat opvalt, in het oog springt, ...) in de werkelijkheid maar door een
bepaalde systematiek van het wiskundig systeem.
Het praktisch nut van de vormleer voor de berekeningen van de omtrek, de oppervlakte of de inhoud
van een figuur of lichaam werd niet echt aan de kant geschoven. Toch werd de denkontwikkeling
meer benadrukt. De meest kenmerkende meetkundeactiviteit werd dan ook het rubriceren van
meetkundige figuren.
Daarnaast duiken enkele nieuwe onderwerpen op: spiegelingen, verschuivingen, draaiingen,
projecties, ... die echter soms op een zeer abstract niveau werden aangepakt.
In Nederland bracht WISKOBAS een kentering door de klemtoon te leggen op de band tussen de
realiteit en de meetkundige activiteiten op school.
De leerlingen krijgen een totaal ander soort oefeningen aangeboden die we eerder onder de noemer
‘meetkundige wereldoriëntatie’ kunnen vatten.
In allerlei meetkundige thema's en projecten vinden we roosteroefeningen, topologische
onderwerpen, transformatieaspecten, tangramoefeningen, spijkerbordoriëntaties, grafieken,
blokkenbouwsels, bouwpatronen, schaduwen, foto-opnamen, bouwplaten en uitslagen, ... .
Gravemeijer en Kraemer (1984) schrijven hieromtrent het volgende:
" Stel je voor dat je als leerling aan de hand van je leermeester de wereld doortrekt. Hij
maakt je attent op allerlei verschijnselen, laat je verwonderen en vragen stellen, probeert
samen met jou achter antwoorden te komen, filosofeert verder over antwoorden, vragen,
verschijnselen, beschrijvingen, generalisaties, abstracties ... .
Dit is wereldoriëntatie en afhankelijk van de soort vragen en antwoorden, wiskundige
wereldoriëntatie. Men kan namelijk ‘de wereld-om-ons-heen’ in een meetkundige context
beschouwen. Niet zo triviaal als men vroeger in oude vormleerboekjes deed. Daarin zag men
slechts in vensters rechthoeken, in schaakborden vierkanten en in feestmutsen kegels. We
treffen hier een papiermeetkunde aan waarbij leraar en leerling over datgene praten wat in
boeken staat: een kant-en-klare meetkunde waar kant-en-klare oplossingen voor zijn.
Onderwijs mag niet langer een kwestie van voorzeggen, nazeggen, voordoen en nadoen
zijn."
Dit is de aanzet tot een nieuwere visie met een ander soort oefeningen waarvan we ter illustratie
enkele concrete voorbeelden geven:
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
297
- Roosteroefeningen en bouwpatronen
Uit: Sannen, R., 1996
- Topologische onderwerpen
Uit: Janssens, I., 1995
Welke eigenschappen blijven onder dergelijke transformaties onveranderd?
- Randpunten blijven randpunten.
- Grens blijft grens.
- Een gesloten lijn blijft gesloten.
- Inwendige (uitwendige) punten blijven inwendig (uitwendig).
- De bestaande volgorde blijft behouden.
Welke eigenschappen veranderen onder dergelijke transformaties?
- Vorm en grootte veranderen.
- Een rechte lijn kan krom worden.
Soortgelijke zaken kunnen al in de kleuterschool aan bod komen. Het spiegelbeeld op het
298
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 3: MEETKUNDE
wateroppervlak waarin een steen wordt gegooid, kan ook hier onderwerp van onderzoek,
bespreking, reflectie zijn.
- Transformatieaspecten
Vergrotingen en verkleiningen
Ook hier wordt nagegaan welke eigenschappen onveranderd blijven en welke er zullen
veranderen.
- Tangramoefeningen
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
299
- Spijkerbordoefeningen
Uit Janssens, L., 1995
Bij de formuleringen van de eindtermen werden zowel doelen voor vormleer als voor meetkundige
wereldoriëntatie opgenomen.
De kernvraag van de meetkundige activiteiten is steeds "Waarom?". Deze vraag is ook op
basisniveau te beantwoorden.
Waarom is de vouwlijn van een stuk papier een rechte lijn?
Hoe rolt een plastieken beker en waarom rolt die zo?
...
De meetkunde tracht door denken en redeneren een verklaring te geven voor de verschijnselen in de
ruimte. Dat is wat we kunnen noemen het begrijpen van de ruimte.
Het visualiseren is daarbij een didactisch middel en niet een doel van de meetkunde.
De basisschool heeft de bedoeling de kinderen de 'ons omringende wereld' te leren bekijken, te
bestuderen en te structureren.
Het lijkt ons dan ook logisch dat in de meetkundelessen vanuit die werkelijkheid gewerkt wordt.
Dat die dingen bestudeerd worden waarmee de kinderen vertrouwd zijn en waarmee de kinderen te
maken hebben.
300
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 3: MEETKUNDE
3
Fasen in het meetkundige denken en didactische principes
Gravemeijer en Kraemer (1984) beschrijven de evolutie vertrekkende van de ruimtelijke oriëntatie
van kleuters die zou kunnen uitmonden in ruimtelijk inzicht op het einde van de basisschool. Om
dat te kunnen realiseren moeten er wel meetkundige activiteiten volgens die ontwikkelingslijn
georganiseerd worden.
Daarin herkennen zij vijf fasen:
1
de directe en indirecte waarneming waardoor de intuïtieve meetkundige begrippen
ontstaan
Een vliegtuig op een hoogte van 8000 m lijkt klein maar is het helemaal niet.
Huizen in de verte lijken op een afbeelding kleiner dan
deze die we kortbij zien.
2
het (mentaal) innemen van een standpunt
In eerste instantie gebeurt ook dit in de realiteit.
Bij het uithalen van enig kattenkwaad op de speelplaats zullen kinderen eerst het
standpunt innemen van de toezichthoudende leraar om na te gaan of ze probleemloos
kunnen handelen.
Later gebeurt dit aan de hand van afbeeldingen en plattegronden.
HOOFDSTUK 2
3
DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
301
de beschrijving van een object die geleidelijk preciezer wordt
Zo maakt het gebruik van coördinaten een grote precisie mogelijk bij de
plaatsbepaling. Deze precisie kan met een verbale omschrijving moeilijk worden
gegeven.
4
de mentale beeldvorming
5
het handelen aan een mentale voorstelling waarbij een beroep gedaan wordt op het
ruimtelijke voorstellingsvermogen
Deze twee laatstgenoemde fasen vragen al een zekere vorming. Dit houdt in dat we
deze sporadisch terugvinden in de derde graad. We denken hierbij aan
ontwikkelingen van lichamen.
Vier didactische principes zullen hierbij aan bod komen:
1
2
Bij de keuze en de volgorde van meetkundige activiteiten laten we ons leiden door
het niveau van de denkontwikkeling van de leerlingen en niet steeds door de
systematiek van het wiskundig systeem.
Voor elke van de vijf ontwikkelingsfasen zorgen we voor ruim voldoende
302
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 3: MEETKUNDE
activiteiten vooraleer over te gaan naar een volgende ontwikkelingsfase.
3
We geven de leerlingen steeds de kans terug te keren naar een vorige denkfase
wanneer ze het moeilijk hebben bij de verwerking van nieuwe zaken.
Indien de leerlingen er niet in slagen de volgende opgave tot een goed einde te brengen, stellen we de leerlingen het materiaal ter beschikking en laten ze deze
constructie maken.
4
Handelen belangrijker dan tekenen ...
Tekenen is wellicht de meest voorkomende handeling in het meetkundeonderwijs.
Zich bewegen in de ruimte, bouwen met constructiemateriaal, vouwen, knippen en
plakken, ... gaan het tekenen vooraf.
De meetkundehoek bevat legobouwpakketten. Hier houden de leerlingen rekening
met de vorm, de positie, de opeenvolging van de handelingen. Vooral in dat handelen
zullen de leerlingen eigenschappen van de meetkundige objecten ervaren en leren
kennen.
Leerlingen leren als ze actief betrokken zijn bij een constructie(probleem) en
reflecteren op hun eigen handelen of oplossingswijze.
Zo vindt men achter een puzzel een meetkundige wereld van begrippen met
betrekking tot de gelijkvormigheid. Daarnaast speelt ook de vergrotingsfactor
meestal mee.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
303
Bij het werken met bouwpatronen maken de leerlingen een aantal constructies:
De leerlingen krijgen de gelegenheid op een voor hen passend niveau een typisch
wiskundige werkwijze te volgen, namelijk deze van het proberen, bewijzen en
weerleggen.
Dit gebeurt zeker wanneer het gaat om redeneren op basis van aanzichten.
Van een blokkenbouwsel zijn plattegrond, voor- en zij-aanzicht gegeven. Zet de
hoogtegetallen in de plattegrond.
Het handelen blijft ook naar het einde van de basisschool toe voor sommige
oefeningen, zoals bv. bij onderstaande oefening, belangrijk.
304
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 3: MEETKUNDE
4
Groei van de meetkundige oriëntatie bij kleuters
4.1
Van een sensomotorische naar een gerepresenteerde ruimte
4.1.1
De egocentrische ruimte
De geboorte betekent voor de baby het verlaten van een veilige ruimte en terechtkomen in een grote,
onbekende ruimte.
Van bij de geboorte beschikt de baby ook over zintuigen en reflexen.
Daarmee zal hij de wereld actief verkennen en veroveren.
Allereerst door het betasten, dingen in de mond te stoppen.
Ruimte is driedimensionaal, de dingen bieden weerstand (geven in mindere of meerdere mate mee),
ze hebben een bepaalde grootte.
Verder is het reiken naar dingen en het kunnen bewegen door de ruimte nauw verbonden met het
begrip 'afstand'. Afstand is allereerst: dat wat je al of niet ‘onder je bereik’ hebt en wat meer of
minder beweging (kruipen) kost om het te bereiken.
Ervaringen worden opgedaan door het motorisch bezig zijn. Door het oprichten van het eigen
lichaam krijgt het jonge kind begrip van wat ‘boven’ en ‘onder’ betekenen.
Essentieel voor deze beleefde ruimte is ook dat ik altijd ergens ben, ik ben niet op meer plaatsen
tegelijk.
Dit houdt in dat ik een bepaald perspectief op de omgeving heb. Mijn lichaam, zo gezien, is het
centrum van de wereld en van daaruit is er een mij omgevende horizon, bepaald door mijn
standpunt.
4.1.2
De ervaringsruimte
De ervaringsruimte groeit vanuit het zintuiglijk waarnemen en de motoriek.
De ruimte daagt uit, lokt uit tot steeds verder exploreren en handelen.
De handelingsruimte
Ik wil de weg vinden en weer thuiskomen en heb daarvoor oriëntatiepunten nodig. Ik ga gericht op
zoek naar de bloemenkramen op de markt ... Kinderen die aan het hinkelen zijn, gaan zich aan de
opgelegde beperkingen aanpassen en daarmee spelen; ze ‘luisteren naar de ruimte’. Maar
omgekeerd nodigt de ruimte van de gymzaal uit tot hardlopen, een muurtje tot eroverheen lopen,
eraf springen ... .Voor kinderen is de denk-handelingsruimte vooral een vitale ruimte, uitlokkend tot
beweging, tot het benutten van die ruimte, het inschatten van afstanden, het steeds opnieuw bepalen
van posities.Of en hoe ik de ruimte als handelingsruimte beleef, hangt af van de gestelde ruimte, of
ik durf, of ik mij uitgedaagd voel, of ik me vertrouwd en veilig voel.
De aanschouwingsruimte
Het jonge kind exploreert actief zijn omgeving. Vanuit het zien, het voelen en het manipuleren van
de dingen, vormt het innerlijke beelden. Handelingen die met voorwerpen uitgevoerd worden,
brengen voorstellingen tot stand.De ons omringende ruimte is in grote mate mathematisch
gestructureerd: de regelmatige patronen in bestratingen, het parket in huis, ramen en deuren in
gebouwen, ... . We kunnen spreken van een aanschouwingsruimte.
Het is de ruimte als object, waar ik tegenover sta en die ik kan bestuderen, beschrijven.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
305
Zodra je iemand de weg moet uitleggen, word je meer bewust van de vaak onbewuste beleving van
de eigen omgeving, moet je ook taal vinden en kennen om die te beschrijven.
4.1.3
De gerepresenteerde ruimte
Begrippen zoals in, uit, rand, open, gesloten, tussen, naast, ... vormen de eerste ruimtelijke
verbanden die het kind kan representeren. Deze begrippen zijn onafhankelijk van de plaats van de
waarnemer. Daarom kunnen ze het gemakkelijkst begrepen worden.
Wanneer het kind bewegingen in de ruimte kan representeren, zal het begrijpen dat een persoon die
op een andere plaats staat de dingen ook anders ziet. Het kind wordt zich bewust van de dimensies
boven-onder, voor-achter en links-rechts. Het jonge kind begint de schijnbare vorm- en grootteveranderingen van bewegende voorwerpen te zien. Het kan zich indenken hoe de dingen er aan de
andere kant uitzien.
Nochtans ... een driejarige kleuter vindt gemakkelijk zijn weg in een vertrouwde omgeving. Zonder
moeite kan hij zelfstandig naar zijn kamer gaan. Vragen we hem de afgelegde weg uit te leggen, dan
zal hij daar moeite mee hebben.
Een driejarige kleuter kan vlot blokken in geometrische vormen in de gelijkvormige gaten van een
insteekdoos steken. Deze vormen worden visueel herkend. Tijdens een voelspel zal de kleuter
moeilijk een vierkante blok herkennen. Een vierkant visueel herkennen kan hij wel, een vierkant
representeren niet.
Een kind dat bewegingen in de ruimte kan representeren heeft hier geen moeite meer mee.
Stellen we dit ten slotte schematisch voor:
van egocentrisch ------------------>----------------- naar decentratie
ervaringsruimte
gerepresenteerde ruimte
(handelings- en aanschouwingsruimte)
Deze opbouw houdt in dat wanneer een kind problemen ervaart met de gerepresenteerde ruimte, de
stap terug moet worden gezet. De ervaringsruimte moet voldoende geëxploreerd zijn voor een kind
erin slaagt de ruimte te representeren.
4.2
De grootte- en vormconstantie
Jonge kinderen nemen hun omgeving waar in de vorm van statische beelden. Deze statische beelden
komen en gaan, volgen elkaar op zonder dat het kind in staat is ze met elkaar in verband te brengen.
Naarmate de zintuigen zich meer ontwikkelen, ziet het kind de bewegingen die voorwerpen in zijn
omgeving maken. Zo gaat het kind geleidelijk meer verbanden leggen tussen de ruimtelijke beelden.
Via de ogen groeit het visueel beeld van een voorwerp. De grootte van dat beeld is afhankelijk van
zijn afstand tot het voorwerp. Is het voorwerp verder verwijderd dan wordt het beeld kleiner. Is het
dichterbij dan wordt het beeld groter. Door het ontwikkelen van de grootteconstantie groeit het
vermogen om een voorwerp steeds als even groot te beoordelen.
Het visuele beeld dat het jonge kind van een voorwerp krijgt, wisselt voortdurend van vorm. Bekijkt
306
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 3: MEETKUNDE
het dit voorwerp vanuit een andere hoek dan verandert het beeld ervan.
De vormconstantie is het vermogen om aan een voorwerp in de ruimte een vaste vorm toe te
kennen.
Wanneer een kind de grootte- en de vormconstantie heeft opgebouwd, kent het een vaste vorm toe
aan een vast voorwerp.
De perceptie van de specifieke vorm van de dingen ontwikkelt zich verder met de leeftijd.
Sensomotorische activiteiten (zien, voelen, manipuleren, vervormen, ...) liggen aan de basis
daarvan. Vierjarigen kunnen blokken volgens de vorm, de grootte, de kleur, ... sorteren en
eenvoudige geometrische vormen zoals de cirkel, het vierkant en de driehoek herkennen en
benoemen.
4.3
Van een egocentrisch standpunt naar een decentratie
Ervaringen worden opgedaan door het motorisch bezig zijn. Door het oprichten van het eigen
lichaam krijgt het jonge kind begrip van wat ‘boven’ en ‘onder‘ betekenen. Op driejarige leeftijd
begint de constructie van een boven- en onderliggende ruimte.
Vanaf vier jaar wordt de kleuter zich bewust van de ruimte voor en achter hem. Omdat het kind de
ruimte achter zich niet ziet, is de opbouw van de achterliggende ruimte moeilijk.
Rond de leeftijd van vijf tot zes jaar maakt de kleuter onderscheid tussen zijn linker- en rechterkant,
tussen de ruimte links en rechts van hem.
De volledige ruimtelijke oriëntatie is nu opgebouwd. Vanuit de eigen ruimteoriëntatie worden nu
voorwerpen in de ruimte georiënteerd.
In bed ligt het knuffeldier voor of achter, boven of onder, links of rechts van hem. Het kind
oriënteert voorwerpen ten opzichte van zichzelf.
Daarna zal het kind voorwerpen ten opzichte van elkaar oriënteren. Het knuffeldier ligt nu op,
onder, ..., links of rechts in het bed.
Dit ziet het kind vanuit een eigen gezichtspunt. Het is er zich niet van bewust dat voor en achter,
links en rechts voor iemand anders omgekeerd kunnen zijn.
Dit wordt het grote keerpunt in de representatie van de ruimte. Naarmate het vermogen om zich te
verplaatsen in de ruimte groeit, ontdekt het kind dat een ander persoon, vanuit een ander standpunt,
de dingen anders ziet.
Vanaf zeven tot acht jaar kan het kind de linker- en rechterkant aanduiden van een persoon die
tegenover hem staat. Het kan ook de begrippen voor en achter overbrengen op die persoon.
Pas vanaf 9 jaar kan een kind volledig decentreren en de plaats van een ander persoon innemen.
Dan zit het kind in fase 2 van het meetkundig denken.
5
Vormleer
5.1
Begripsontwikkeling vertrekt in de driedimensionale ruimte
Kinderen bewegen in de driedimensionale ruimte. Ze ervaren die ruimte en verwerven geleidelijk
een ruimtebewustzijn.
Dat maakt dat ze zich moeten leren oriënteren in de ruimte. Geleidelijk verwerven ze daarbij
ruimte-lijk inzicht. De school zal zorgen voor activiteiten waarin het ruimtelijk inzicht gestimuleerd
wordt.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
307
Aanvankelijk groeit een intuïtieve meetkunde. Aan de formele wiskunde gaat een intuïtieve
meetkunde vooraf.
De eerste meetkundige activiteiten moeten een kind de gelegenheid bieden om, al reflecterend en al
experimenterend, zich bewust te worden van de eigen intuïtieve kennis. Ervaringskennis opdoen in
de werkelijkheid komt hoe dan ook eerst. De problemen komen voort uit de echte realiteit of uit een
voor de kinderen aangepaste maar wel motiverende realiteit. De problemen moeten uitnodigen tot
onderzoek.
Werken vanuit de 'realiteit' (en waar mogelijk in contexten) betekent dus vertrekken vanuit de
waarneming en de manipulatie van materiaal. Zo zal het intuïtieve hoekbegrip groeien vanuit de
ervaringen in de driedimensionale ruimte met de hoek van een tafel en een hoek van de woonkamer.
We kunnen de driedimensionale ruimte bestuderen en daarin de tweedimensionale en de
eendimensionale elementen vinden.
Daarnaast 'zien' de kinderen vele figuren en voorwerpen met allerlei kenmerken. Voortdurend
ontwikkelen zich daarmee begrippen. Deze begripsontwikkeling moet gestimuleerd en begeleid
worden.
De begripsvorming van evenwijdigheid, rechte hoek, ... gebeurt via
- het herkennen,
- het zelf tekenen,
- het zich voorstellen.
5.2
Van globale herkenning naar de analyse van vormkenmerken
Tijdens meetkundeactiviteiten kunnen we ons concentreren op één facet: de vorm. Dan nemen we
afstand van de andere meetkundige kenmerken: grootte, plaats en stand, patroon, ... .
Vanuit de ontwikkelingsaspecten die we hierboven beschreven, is het zich toespitsen op de vorm
niet de eerste meetkundige activiteit waarmee we kinderen confronteren.
Het herkennen, benoemen en classificeren van meetkundige figuren op basis van de
vormkenmerken sluit het dichtst aan bij wat we kennen als het vak 'vormleer'.
Vertrekken vanuit de waarneming en niet vanuit de definities (leerplan 1957) is niet in tegenspraak
met een realistische visie. De ‘criterium- en classificatieaanpak’ is dat wél. Het lijkt ons logisch dat
men werkt vanuit datgene wat de leerlingen het meest zien en niet vanuit figuren waarmee ze eerder
sporadisch geconfronteerd worden.
We dienen aan te sluiten bij de psychologische ontwikkeling van de begripsvorming en de
ruimtelijke oriëntatie bij kinderen. Het meetkundeonderwijs zal dan vertrekken vanuit de intuïtieve
begrippen die kinderen zich reeds gevormd hebben: rondjes (cirkels), vierkanten, driehoeken,
blokjes (kubussen).De globale herkenning van specifieke vormen is een goede start voor het
vormleeronderwijs.
Dit geldt eveneens voor de ontwikkeling van andere meetkundige begrippen zoals punten, lijnen en
hoeken.Een lijn getrokken met een dikke stift of een potlood is duidelijk verschillend. Het intuïtieve
begrip van een lijn dient dus verfijnd te worden.
Door meetkundige figuren te vouwen, te knippen en te tekenen ervaren de leerlingen een aantal
vormkenmerken. Het systematisch onderzoeken ervan gebeurt later. Niet alle in het verleden
behandelde leerstof met betrekking tot het rubriceren en definiëren van de vierhoeken is
basisleerstof.
308
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 3: MEETKUNDE
Om de vlakke figuren te rubriceren moeten de leerlingen uiteindelijk volgende criteria
(ordeningsmiddelen) kunnen gebruiken: de gelijkheid van hoeken en zijden en de evenwijdigheid.
Leerlingen kunnen pas hiërarchisch rubriceren wanneer het 'oerbeeld' van de figuren is afgebroken.
Dit betekent o.m. dat een figuur, bv. een vierkant, in om het even welke stand als die figuur wordt
herkend, maar ook dat op grond van aanwezigheid van kenmerken die figuur ook als een andere bv.
een ruit of een rechthoek, kan worden gezien. (Het oerbeeld van die figuren is anders).
Het ‘oerbeeld’ van ruit , rechthoek en vierkant zijn duidelijk verschillend, daarom is het voor
kinderen zo moeilijk om te zeggen dat een vierkant (altijd) een ruit is en een ruit soms (als de
hoeken recht zijn) een vierkant.
Noot:
Voor elke meetkundige figuur kan een verschillende, uitsluitend voor die figuur geldende, formule
gevonden worden voor de berekening van de omtrek, de oppervlakte en de inhoud.
Het kennen van al deze formules is zuivere ‘weetjeskennis’ die geleerd en dikwijls snel weer
vergeten wordt.
Formules worden inzichtelijk geleerd waarbij we gebruikmaken van de kenmerken van
meetkundige figuren. Zo kan de evenwijdigheid van twee zijden van een vierhoek gebruikt worden.
De afstand tussen de evenwijdige rechten wordt de breedte of de hoogte.
Door omstructureren worden parallellogrammen gezien als rechthoeken, worden driehoeken gezien
als de helft van een rechthoek of een parallellogram.
Dit zijn beelden waaruit rekenkundige formules om de omtrek en de oppervlakte te berekenen,
kunnen groeien en waarbij de beperking van het aantal formules als vanzelfsprekend gezien wordt.
Beelden van formules lijken handiger dan de formules zelf en gaan er in de opbouw van een
leergang zeker aan vooraf.
Wij verwijzen hierbij naar het didactisch katern meten (3.1), hoofdstuk met betrekking tot de
omtrek- en oppervlakteberekening.
5.3
Relaties en transformaties
Het zijn activiteiten die te maken hebben met spiegelen, draaien, verschuiven.
Kinderen zijn vertrouwd met deze dingen. Alleen de spiegel al geeft aanleiding tot intrigerende
probleemstellingen als: waarom wisselen in de spiegel wel links en rechts maar niet onder en
boven?
Aan het begrip spiegeling gaan dus tal van activiteiten vooraf:
HOOFDSTUK 2
-
DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
309
Van een inktvlek maken de kinderen een symmetrisch beeld door hun blad te
vouwen; de afdruk is een spiegelbeeld, de vouw de spiegelas.
Zit de dia in de projector goed?
Kunnen we elkaars spiegelbeeld spelen?
...
Evenwijdigheid, symmetrie, gelijkvormigheid, ... kunnen beschouwd worden als het resultaat van
meetkundige transformaties.
In de ons omringende wereld kunnen relaties ontdekt worden zonder dat de transformatie zichtbaar
is.
Symmetrie vind je ook in de realiteit zonder een spiegel te gebruiken: op het eigen lichaam, in
handwerk, in patronen, ... .
Symmetrie, evenwijdigheid en loodrechte stand worden in de werkelijkheid ontdekt als een
vormkenmerk van figuren.
Om spiegelassen en symmetrische patronen in een figuur te ontdekken, maken we best gebruik van
een 'mira-spiegel’ (gekleurd glas dat voldoende reflecteert om te spiegelen maar waar je toch
doorheen kan zien).
Het hoekbegrip (wellicht één van de moeilijkste begrippen in de basisschool) kan vulling krijgen via
bijvoorbeeld volgende opdrachten:
310
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 3: MEETKUNDE
Eén vak is één stap.
Begin bij de pijl.
Ga drie stappen vooruit.
Draai naar rechts en doe twee stappen.
Draai naar links en doe vijf stappen.
Draai naar links en doe vijf stappen.
Draai naar links en doe drie stappen.
Draai naar rechts en doe twee stappen.
Draai naar rechts en doe drie stappen.
Draai naar links en doe drie stappen.
Draai naar links en doe vijf stappen.
Hierbij kan de relatie tussen een draaihoek en een statisch gegeven hoek groeien.
De leerlingen voeren de draaiingen uit en zetten de stappen eerst in een getekend patroon op de
speelplaats, daarna op een afbeelding.
Tekent men daarna wat men heeft gedaan dan krijgt men lijnen met een bepaalde stand ten opzichte
van elkaar. Loodrechte lijnen en evenwijdige lijnen kunnen op deze manier ook vulling krijgen.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
311
Vergrotingen en verkleiningen (gelijkvormigheid) zijn gemakkelijk aan te brengen dankzij het
kopieerapparaat dat ons heel wat mogelijkheden biedt.
312
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 3: MEETKUNDE
Door middel van roosters kunnen bijvoorbeeld patronen worden ontdekt en voortgezet.
Later kunnen deze patronen geschematiseerd worden en vanuit deze schematisering voorgesteld
worden op het roosterpapier. Hierin vinden we toepassingen op de ruimtelijke oriëntatie.
6 Meetkundige wereldoriëntatie
Naar aanleiding van gestelde problemen tijdens ruimtelijke ervaringen kunnen we wiskundige
vragen stellen.
Tevens werken we aan een stelselmatige verruiming van het blikveld.
Immers de ruimte waarin we ons oriënteren wordt steeds groter, van de wieg van de baby tot het
heelal op het einde van de basisschool. Vertrekkend vanaf de ruimtelijke oriëntatie bij kleuters
komen we geleidelijk tot ruimtelijke inzichten op latere leeftijd.
In wezen is de meetkundige wereldoriëntatie eindeloos.
Er wordt door ons een keuze gemaakt:
- oriënteren en lokaliseren
- viseren en projecteren.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
313
6.1 Oriënteren en lokaliseren
6.1.1 Dichtbij en veraf
Zullen we een foto nemen van een groep kinderen.
Ze gaan niet allemaal op de foto. Wat doen we? De fotograaf gaat een paar stappen achteruit. Nu
lukt het wel. Waarom verplaatst de fotograaf zich en niet de groep kinderen?
Kijk eens naar de maan tijdens een heldere nacht. Hoe we ook gaan het lijkt of zij voortdurend met
ons meereist. Waarom lijkt dat zo?
Visualiseren maakt hier duidelijk dat het om een hoekverandering gaat bij voorwerpen die dichtbij
zijn en dat bij voorwerpen die verder weg staan die hoek zich minder snel of vrijwel in het geheel
niet wijzigt. Daarom geeft de maan de illusie dat zij meeloopt of meerijdt.
6.1.2 Zich mentaal verplaatsen
Kunnen dit foto's zijn van eenzelfde situatie?
Wie nog nooit een wandeling gemaakt heeft en daarbij zijn ogen de kost gaf, zal onderstaand
probleem (het mentaal innemen van een standpunt) nooit kunnen oplossen (Heyerick, L., 1995, pp.
156-157).
314
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 3: MEETKUNDE
Omzettingen van drie dimensies (de werkelijkheid) naar twee dimensies (een foto, een tekening, een
plattegrond,...) en omgekeerd is een noodzakelijk element in een leergang meetkundige
wereldoriëntatie (zie leerlijn 3.5 doel 5).
We willen immers allemaal weten hoe we met een tweedimensionale kaart in de hand onze weg
kunnen vinden in drie dimensies. We kunnen ons voorstellen hoe ons huis er zal uitzien als de
architect iets aan het grondplan verandert en hoe we onze reële wensen of droombeelden min of
meer naar dat plan kunnen vertalen.
We kunnen werken met een plattegrond van een camping:
Op een bandrecorder is een vossenjacht te horen. Steeds komt er een vos die een geluid laat
horen.
Vanuit zijn directe omgeving horen we: het rinkelen van een geluidssignaal aan de overweg,
het geluid van stromend water in de douches,...
Waar ben ik op het plan? Zoek en duid de plaats aan.
Het gaat hier om oriënteringsopdrachten waarbij we ons 'in gedachten' in de ruimte bewegen.
6.1.3 Werken met coördinaten
De juf neemt een muurprent in gedachten. De kinderen moeten verplicht op hun plaats blijven zitten
maar mogen vragen stellen om te ontdekken welke prent de juf bedoelt.
- Is dit het blad?
Nee.
- Dit dan?
Nee.
- Is het blad groen gekleurd? Een gedeelte heeft een groene kleur.
- Hangt het in het midden? Nee.
- Hangt het hoog of laag?
Het hangt hoog.
Geleidelijk merken de kinderen dat de ene vraag tot meer informatie leidt dan de andere en dat ze
gedwongen worden om een structuur te ontwerpen (bv. een coördinatensysteem).
Plannen met rasters zijn een eerste aanzet om met coördinaten te werken. Ook kan je bv. een
flatgebouw als rooster gebruiken.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
315
Oriëntatieoefeningen vormen een ander bindend element in de meetkundige wereldoriëntatie:
Met dergelijke oefeningen begint men pas als er in de concrete ruimte, in de werkelijkheid,
oriëntatieoefeningen zijn uitgevoerd.
In dit voorbeeld bewegen we ons reeds op het mentaal vlak. Bij oriëntatieoefeningen dienen we de
leerlijn (leerlijn 3.6, doelen 3, 4, 5 en 6) te respecteren.
6.2 Viseren en projecteren
Viseerlijnen zijn denkbeeldige lijnen vanuit de plaats waar men staat naar het punt waarnaar men
kijkt, dat men viseert.
Kinderen weten dat de toren minder hoog gaat uitsteken naarmate je dichter komt.
Visualisering maakt hier wel duidelijk dat het om de hoekverandering gaat bij voorwerpen die
dichtbij zijn en dat bij voorwerpen die verder weg staan die hoek zich minder snel of vrijwel in het
geheel niet wijzigt.
316
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 3: MEETKUNDE
Die ervaring kan schematisch worden weergegeven door de viseerlijnen te tekenen.
Dit model kan men ook hanteren als een hulpmiddel bij het oplossen van de vragen in de
onderstaande oefening.
Schaduwen
De leerlingen experimenteren met licht en schaduw en trekken conclusies over de relatie tussen de
vorm (lengte) van de schaduw en tussen de onderlinge posities van de lichtbron en het voorwerp dat
schaduw geeft.
Hierbij zullen de leerlingen gebruik maken van viseerlijnen om op een tekening aan te geven waar
de schaduw valt.
Het intuïtieve begrip van 'gelijkvormigheid' bewuster maken, kan door transformaties te laten
uitvoeren of bekijken waarbij de vorm wel verandert. In de realiteit zal men dergelijke
'vervormingen' tegenkomen bij schaduwbeelden.
In en buiten de klas kan men gemakkelijk experimenteren met schaduwen door gebruik te maken
van binnenvallend zonlicht of van het licht van een sterke lamp, een projectieapparaat bijvoorbeeld.
Naargelang men het scherm recht of schuin plaatst kan men daar zowel gelijkvormige als nietgelijkvormige beelden mee produceren.
-
Wat gebeurt er met het diabeeld als je het projectietoestel op verschillende afstanden van het
scherm plaatst?
-
Waarom worden schaduwen langer als je van de lantaarnpaal wegloopt en niet als je van de
zon wegloopt?
-
Heeft de schaduw van de
neushoorn dezelfde vorm
als de neushoorn?
Hoe zie je dat?
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
317
Bij deze opgave realiseren kinderen zich dat het gaat om gelijkvormigheid of juist niet. Dit hebben
ze in verschillende contexten onderzocht. Ze hebben geleerd hoe je zo'n situatie meetkundig kan
beschrijven.
De verhouding vormt hierbij vaak een probleem.
Bij het verklaren van schaduwen gaan kinderen gebruik maken van tekeningen. In een later stadium
gaan ze het schaduwmodel zien als een brug tussen hun intuïtieve noties van schaduw en de
meerwiskundige relatie tussen de vorm van een driehoek en de verhouding van de zijden.
Dit driehoeksmodel met viseerlijnen kan helpen bij de verklaring van de grootte van de schaduwen.
Wanneer de kinderen ook enig begrip hebben van de zonnestand kan ook onderstaande oefening aan
bod komen.
Uit: Bergervoet, e.a., 1993
318
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 3: MEETKUNDE
7 Horizontale samenhang (geen geïsoleerde meetkunde)
Meetkunde heeft in andere leerdomeinen naast een voorbeeldfunctie ook een sterk ondersteunende
functie.
We willen dit illustreren met een aantal voorbeelden zowel buiten als binnen de wiskunde.
7.1 Buiten de wiskunde
Meetkunde in wereldoriëntatie en ruimte
Elementen uit meetkunde zijn bij onderstaande oefeningen onmisbaar.
Meetkundige wereldoriëntatie vormt de basis voor aardrijkskundige vaardigheden als kaartlezen,
interpreteren van bouwplannen, plattegronden (leerlijn...).
Ze wordt aldus een noodzakelijke voorbereiding op allerlei inzichten.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
319
Welke weg volgt Lies?
Lies en Petra gaan naar het zwembad. Lies haalt eerst Petra op. Bij bakker Smulpaap kopen de
meisjes een broodje.
Noteer de gevolgde weg van Lies. .....................................................................................................
............................................................................................................................................................
Lies kan een andere weg volgen. Noteer deze ook. ............................................................................
............................................................................................................................................................
Vicky moet van mama eerst naar dokter Geneesgraag. Daarna doet ze een aantal
boodschappen in het warenhuis OLMO.
Welke weg volgt Vicky? ......................................................................................................................
............................................................................................................................................................
Kan Vicky nog een andere weg nemen? Welke? ...............................................................................
............................................................................................................................................................
Meetkunde in wereldoriëntatie en verkeer en veiligheid
Net zo min als men bijvoorbeeld pictogrammen met betrekking tot de veiligheid in gebouwen los
kan zien van meetkundige elementen.
Uit: Personeelsblad van de Kredietbank, 1996
Of nog: wat betekent dit bord? De stijging van de weg is ongeveer 10%. De kinderen kunnen zich
dat als volgt voorstellen: als je 10 meter
vooruit rijdt, rijd je ook 1 meter omhoog.
Is dat veel een stijgingspercentage van 10%?
Ja, een helling van 10% is een flinke hindernis.
320
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 3: MEETKUNDE
In het vlakke Vlaanderen of Nederland kom je dergelijke hellingen nauwelijks tegen.
De leerlingen kunnen hellingen tekenen. Ze kunnen daarbij gebruik maken van dingen die ze al
eerder hebben gebruikt: ruitjespapier. Een helling van 50%, dat betekent: in 100 hokjes 50 hokjes
hoger geraken, maar verhoudingsgewijs ook: per 2 hokjes 1 hokje omhoog. Hierbij kunnen de
kinderen met verhoudingstabellen werken.
Dit kan het resultaat zijn:
Meetkunde en wereldoriëntatie en technologische opvoeding
Constructies met legoblokken zijn de moeite waard. Bij het construeren moeten immers vorm,
positie, opeenvolging van handelingen,... in rekening gebracht worden.
Uit: Gravemeijer en Kraemer, 1984, p. .127
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
321
7.2 Binnen de wiskunde
Meetkunde en verhoudingen
Hier zullen we eerst streven naar visuele verhoudingen vooraleer we getalsmatige verhoudingen aan
bod laten komen.
De meetkunde is dan vaak het bindend element. Je kan namelijk dingen indirect meten zonder
standaardmaten, zonder instrumenten.
Je begint meestal met een vergelijking, op het oog en het zicht.
Daarna kijkt men naar meetkundige eigenschappen en relaties. Kinderen hebben hier in het gewone
leven geen problemen mee. Denk maar aan de legoconstructies waarin ook vlot op schaal gewerkt
wordt.
Uit: Treffers, De Moor en Feijs, 1989, pag. 116
Wanneer kinderen een tekening van het bord natekenen, gaan ze spontaan in een verhouding
tekenen.
We verwijzen hierbij ook naar het didactisch katern met betrekking tot de breuken en de
schaalberekening.
Meetkunde in breuken
Met stroken en met een cirkeldiagram kan je het verdelingsaspect van breuken visueel vastleggen.
Ook hier verwijzen we naar het didactisch katern met betrekking tot de breuken.
322
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
DOMEIN 3: MEETKUNDE
Meetkunde in tabellen, diagrammen en grafieken
Tabellen, grafieken en diagrammen behoren tot ons dagelijks omgaan met de media. Men kan deze
getallenitems niet los zien van een meetkundige voorstelling. De meetkundige voorstelling is hier én
hulpmiddel én basiselement.
De verhouding die men kiest tussen de reële gegevens en de verticale en de horizontale as van de
grafiek, laten je toe visuele indrukken te manipuleren (zie domein 1 getallen, didactisch katern 5:
Tabellen en grafieken). Het is nuttig leerlingen uit de derde graad hier ervaringen mee te laten
opdoen om zo hun kritische kijk aan te scherpen.
Visualisering in grafieken moet worden voorbereid. Het geregeld meetkundig weergeven van
verhoudingen is daar een belangrijke stap in.
Meetkunde in omtrek- en oppervlakteberekening
Men kan oppervlakken vergelijken zonder te meten door het stellen van een aantal meetkundige
handelingen zoals omvormen, omstructureren, terug samenstellen (het indirect meten).
In het didactisch katern met betrekking tot meten vindt men hiervan nog talrijke andere
voorbeelden.De hier gegeven voorbeelden bewijzen hoe meetkunde in andere leergangen een
voorbeeld- én ondersteunende functie heeft.
8 Slot
Meetkunde en meetkundige wereldoriëntatie verdienen een plaats in de basisvorming omdat het de
kinderen en de volwassenen begeleidt in hun evolutie van de eigen ruimtelijke oriëntatie in de hun
omringende wereld en de daarin gevormde intuïtieve begrippen en meetkundige inzichten.
Vanuit de reeds gevormde intuïtieve begrippen en inzichten gaan we verder bouwen om zo
geleidelijk meer formele kennis te laten groeien.
Deze formele kennis zien we als een einddoel voor het voortgezet onderwijs. In de basisschool gaat
het om het proces van kijken, doen, ervaringen opdoen en denken, en aldus inzicht verwerven.
Wanneer in de leergang breuken delen van grootheden (meetkundige figuren) worden genomen,
moet de grootheid worden verdeeld in een aantal gelijke (evengrote) delen.
HOOFDSTUK 2
DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE
323
Er wordt gewerkt met verhoudingen. De meetkundige elementen zijn bruikbaar en nuttig om in de
verhoudingen inzicht te krijgen.
Het begrip 'schaal' kan hiervan een voorbeeld zijn. Het afstappen van de kilometer kan aanleiding
zijn om het schaalbegrip aan te brengen. Of wordt het dan meten?
Daarmee zitten we terug in wat in de aanhef van dit katern reeds aan bod kwam: de relatie tussen
meten en meetkunde. Gescheiden van elkaar maar niet te scheiden...
VERKLARENDE WOORDENLIJST
1
327
VERKLARENDE WOORDENLIJST
Akoestisch tellen
Akoestisch tellen is het na elkaar opzeggen van woorden uit de
telrij zonder dat er verwezen wordt naar een concreet aantal.
Algoritme
Dit is een oplossingsmethode die uit een vaste rij elementaire
handelingen bestaat. Zo bestaan er bv. cijferalgoritmen maar je
vindt ook algoritmen in een kookboek, een knutselboek, een
telefooncel.
Associatief
Een bewerking is associatief als bij een reeks van die bewerkingen,
het geen rol speelt in welke volgorde die bewerkingen worden
uitgevoerd. Dit heeft geen invloed heeft op de uitkomst. In
hoofdrekenen worden de associativiteit en de commutativiteit vaak
terzelfder tijd toegepast. Men neemt bv. het eerste en het derde
getal eerst bij elkaar. Bij de eindtermen wordt gesproken van
'schakelen'.
Axioma
Dit is een uitspraak die men aanvaardt zonder ze te bewijzen.
Cijferen
Cijferen is schriftelijk bewerkingen op getallen uitvoeren waarbij
hoofdzakelijk gewerkt wordt met de losse cijfers van de getallen.
Zie didactisch katern cijferalgoritmen.
Cirkel
Wiskundig wordt een cirkel gedefinieerd als de verzameling punten
die op gelijke afstand (r) van een punt liggen. In strakke zin slaat
die definitie enkel op de omtrek van de cirkel. Naar analogie met de
andere vlakke figuren (bv. rechthoek) kunnen we echter evengoed
over de oppervlakte van een cirkel spreken (deel van het vlak dat
door de cirkel begrensd wordt). De term schijf hanteren we daar
niet voor.
Classificeren
zie bij kwalitatieve eigenschap
Commutatief
Een bewerking is commutatief als de volgorde van de termen/de
factoren geen belang heeft. Bij de eindtermen gebruikt men de term
'wisselen' om deze eigenschap aan te geven.
Concave figuren
Dit zijn niet-convexe figuren.
Er zijn zijden die (bij
verlenging) de figuur in twee
verdelen.
Figuur 2 in
afbeelding 1 is een concave
figuur.
Congruente figuren
Het zijn figuren met dezelfde
vorm en dezelfde grootte. Ze
bedekken elkaar volkomen. Ze
zijn gelijk.
328
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
Afbeelding 1
VERKLARENDE WOORDENLIJST
329
Conservatie
Ondanks het feit dat de uiterlijke vorm of de ruimtelijke ordening
van een geheel verandert, dient het kind te beseffen dat het
oorspronkelijk geheel behouden blijft.
Context
Een context is een betekenisvolle situatie die kinderen steun biedt
bij de uitvoering van rekenhandelingen.
Zie didactisch katern werken met contexten.
Continue hoeveelheid
Het is een niet-aftelbare hoeveelheid. De lengte van een stuk touw,
een vloeistof in een fles, de tijdsduur, ... zijn voorbeelden.
Convexe figuren
Er is geen enkele zijde die (bij verlenging) de figuur in twee
verdeelt. Figuur 1 in afbeelding 1 is een convexe figuur.
Coördinaten
Met coördinaten bedoelt men een stel getallen dat de plaats van één
punt of van een vak in een rooster bepaalt. In de wiskunde wordt
bij de coördinaten eerst de horizontale, daarna de verticale plaats
afgelezen.
Discontinue hoeveelheid
Dit is een hoeveelheid die je één per één kunt tellen: een stapel
potloden, een hoopje knikkers, ...
Distributief
Een bewerking is distributief t.o.v. een andere als ze in meerdere
deelbewerkingen kan worden opgesplitst. Bij de eindtermen
gebruikt men de term 'splitsen' om deze eigenschap aan te geven.
Voorbeeld : 6 x (60 + 3) = (6 x 60) + (6 x 3)
Gelijkvormige figuren
Ze hebben dezelfde vorm maar kunnen verschillen in grootte. De
overeenkomstige hoeken zijn gelijk en de verhouding tussen
overeenkomstige lijnstukken is constant.
Gemiddelde
Gemiddelde is de centrale waarde van een reeks hoeveelheden door
de hoeveelheden te sommeren en te delen door hun aantal.
Gogol
Er zijn nog afzonderlijke benamingen voor getallen groter dan
miljard. Zo noteren we o.a. een cijfer 1, gevolgd door:
12 nullen voor 1 biljoen
18 nullen voor 1 triljoen
24 nullen voor 1 quadriljoen
30 nullen voor 1 quintiljoen
100 nullen voor 1 gogol.
De Amerikaanse benamingen voor getallen verschillen van de onze
(bv. miljard wordt in de VS ‘one biljon’ genoemd).
Grafiek
Hiermede bedoelt men de grafische voorstelling van één of meerdere kwantitatieve eigenschappen of het verloop van die eigenschappen in één of meerdere lijnen, staven, sectoren of andere symbolen
... . De term "diagram" wordt doorgaans als synoniem gebruikt.
Heuristiek
Een heuristiek is een zoekstrategie, gericht op het oplossen van een
probleem.
330
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
Hoofdrekenen
Hoofdrekenen is flexibel rekenen. Bij hoofdrekenen maakt men
gebruik van de onderlinge relaties en structuren van getallen en
bewerkingen.
Kwalitatieve eigenschap
Een kwalitatieve eigenschap is een kenmerk van voorwerpen op
grond waarvan men ze in een rubriek (soort bij soort, kleur bij
kleur, functie bij functie, ...) kan onderbrengen. Dat noemen we
classificeren. Van zodra er in deze rubrieken een ordening kan
worden gemaakt, ook al is die subjectief, noemen we de eigenschap
kwantificeerbaar: er kan minstens een rangordegetal aan
toegekend worden. Bij het gebruik van kwalitatieve termen voor
kwantificeerbare eigenschappen stelt zich het probleem van de
relativiteit van die begrippen; iets is maar groot, koud, mooi, zacht,
... in vergelijking met iets anders.
Kwantificeerbare eigenschap zie bij kwalitatieve eigenschap en bij meten
Maat
De maat is de notatie van een meetresultaat. Bv. : 5 m.
Maateenheid
De maateenheid geeft aan waarin men meet. De maateenheid noemt
de maatstaf waarmee men werkt. Men onderscheidt conventionele
maateenheden en niet-conventionele.
Conventionele maateenheid
Vanuit de vaststelling dat natuurlijke (niet-conventionele)
maateenheden niet eenduidig zijn en kunnen afwijken van elkaar,
ervaren de kinderen de noodzaak aan een vaste, geijkte
maateenheid, bij conventie vastgelegd en gestandaardiseerd. Meter,
liter, kilogram, ... zijn hier voorbeelden van.
Natuurlijke of niet-conventionele maateenheid
Hiermede bedoelt men de natuurlijke maatstaf die vrij gekozen
wordt bij meten.
Natuurlijke maateenheden zijn niet eenduidig: mijn voetstap is
korter dan die van jou ...
Voorbeelden van zo'n maateenheden: een handspan, een armlengte,
een voetstap, de inhoud van een kopje of een glas, het gewicht van
deze knikker, de lengte van deze stok, ... .
Maatgetal
Het maatgetal duidt de verhouding aan met de gekozen
maateenheid (conventionele of niet-conventionele). Het is een
onbenoemd getal. Bij het meten duidt het maatgetal aan hoe
dikwijls de gekozen maatstaf voorkomt in het op te meten object.
Exacte maatgetallen aan-geven veronderstelt een verfijning van de
meetapparatuur.
Mediaan
Het middelste getal van een in opklimmende/dalende orde
gerangschikte reeks noemt men de mediaan. Bij een even aantal in
die reeks neemt men het gemiddelde van de middelste twee
waarden.
Een kwantificeerbare eigenschap kan in principe gemeten worden.
We spreken slechts van meten wanneer het toegekende getal
verbonden wordt aan een maateenheid. Anders gebruiken we de
Meten
VERKLARENDE WOORDENLIJST
331
Modus
term ordenen of rangschikken.
Dit is de meest voorkomende waarde in een reeks
Ordenen
zie ook kwalitatieve eigenschap en meten
Rij
In een rekenkundige rij nemen de getallen toe of af met een gelijk
verschil. Elke term is gelijk aan de vorige, vermeerderd of
verminderd met eenzelfde getal. In een meetkundige rij is elke term
gelijk aan de vorige, vermenigvuldigd of gedeeld door eenzelfde
getal.
Referentiematen
Onder ‘referentiematen’ verstaat men de maten van objecten uit de
onmiddellijke omgeving die worden geassocieerd met één
maateenheid: dit is net één meter, dit weegt precies één kg,
Referentiepunten
Met ‘referentiepunten’ bedoelt men de maat van voorwerpen uit de
onmiddellijke omgeving die men hanteert om de maat van andere
voorwerpen te bepalen, bv. een deur is ongeveer 2 meter hoog, in
zo'n emmer kan 6 liter, ...
Regelmatige veelhoek
Een veelhoek waarvan alle zijden even lang en alle hoeken even
groot zijn. Bv. Een vierkant is een regelmatige veelhoek, een
parallellogram niet.
Resultatief tellen
Dit is tellen om de hoeveelheid te bepalen.
Viseerlijn
Een viseerlijn is een denkbeeldige lijn van de plaats waar je staat
naar het punt waar je naar kijkt, dat je 'viseert'.
Willekeurig
Met deze term geeft men aan dat er geen voorwaarden bepaald zijn.
Een willekeurig getal kan om het even welk getal zijn: natuurlijk
getal, kommagetal, breuk, gemengd getal, ... . Een willekeurige
driehoek kan om het even welke driehoek zijn: ongelijkzijdig,
gelijkbenig, gelijkzijdig.
MATERIALEN
2
331
MATERIALEN
Deze opsomming werd beperkt tot die materialen die vermeld worden in de leerlijnen. In de
katernen met didactische suggesties worden ook andere materialen vernoemd.
Deze lijst mag niet worden geïnterpreteerd als een inventarisatie van de materialen waarover elke
leerling moet beschikken. Slechts op bepaalde momenten dienen de leerlingen hiervan gebruik te
maken.
brikken, doosjes, blokken
chronometer
digitale klok
eierklok
geodriehoek
geometrische figuren
graadboog
honderdveld
inlegpuzzels
insteekpuzzels
kalenders
MAB-materiaal
passer
personenweegschaal
plattegrond, kaart, zandtafel ...
rolliniaal
spiegel of 'doorkijkspiegel'
tekendriehoek
thermometer
uurtabellen, tv-programma's, openingsuren ...
vouwmeter
wijzerklok
zakrekenmachine
zandloper
BIBLIOGRAFIE
3
333
BIBLIOGRAFIE
Bergervoet, S., e.a., Pluspunt: reken/wiskundemethode voor de basisschool, Opdrachtenboek voor
groep 7, Malmberg, Den Bosch, 1993
Bladergroen, W. J., Rekenvoorwaarden - Vademecum, IJmuiden, 1978
Blake, Q., Wilmink, W., Doe maar mee, Bekadidact, Baarn
Blocksma, M., Vanmaanen, H., De Schaal van Richter en andere getallen, Bert Bakker,
Amsterdam, 1992
Borghouts - Van Erp, J. W. M., Rekenproblemen: Opsporen en oplossen,Wolters - Noordhoff,
Groningen, 1978
Broekman, H., Vermeulen,W., De zakrekenmachine de school in, Panama-Post, jg. 12 (3), 1994,
pp. 39-40
Broekman, H.G.B., Spelen in het wiskundeonderwijs, Nieuwe Wiskrant, jg. 6(1), 1986, pp. 15-20
Buys, K., Telactiviteiten voor kleuters, Bekadidakt, Baarn, 1991
Claes-Van Waes,S., Rigaux, H., Kleuterinitiatie in vorm en maat, Levende didactiek, De Sikkel,
Antwerpen, 1974
Dale P, Met tien in bed, Clavis, Hasselt
De Boever, R., e.a., Een cultuurverruimende benadering van wiskunde, VLOR, Brussel, 1995
De Corte, E., Psychologie en reken/wiskundeonderwijs, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een
nieuwe reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 1, STOHO/ Acco,
Leuven, 1995, pp.50-92
Decraene, R., Coppens, P., Van Geet, R., Rekenkriebels, De Sikkel, Antwerpen, 1989
De Grande-De Kimpe, Wat is het grootste getal, in Van den Hoof, M., e.a., De grote magazijnen,
BRT-Brussel, 1988, p. 124
Dejong, R., Treffers, A., Wijdeveld, E., Wiskobas bulletin, leerplanpublicatie 2, Instituut
ontwikkeling wiskunde onderwijs, Utrecht, jg 5(2-3), 1975
De Lange, J., Assessing mathematical skills, understanding and thinking, in R. Lesh en S.J. Lamon
(eds.), Assessment of authentic performance in school mathematics, AAAS Press, Washington,
1992, pp. 195-214
De Lange, J., Feijs, E., Verschillende koersen leiden tot een hoek, Tijdschrift voor nascholing en
onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, jg. 13(2), 1995, pp. 10-15
de Moor, E., Een beeld van een formule. Willem Bartjens, jg. 10 (2/3), 1991, pp. 113-122
334
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
de Moor, E., Vormleer, Panamapost, jg. 9(1), 1990, pp. 34-44
Dijkstra, R., e.a., De meetlijn, Handelend rekenen voor de basisschool, Jacob Dijkstr, Groningen
Dumont, J., Kok, J, Curriculum schoolrijpheid (deel 1), Malmberg, 's Hertogenbosch, 1973
Dumont, J.J., Leerstoornissen deel 1 Theorie en Model, Lemniscaat, Rotterdam, 1985
Dewinne, P., Friant, L., Wiskundig Lexicon, Standaard Educatieve Uitgeverij, Antwerpen, 1995
Edelenbos, P., Harskamp, E.G., Zakrekemachines in de Basisschool, deelrapport. Instituut voor
Onderwijsonderzoek, Rijksuniversiteit Groningen, 1988
Edelenbos, P., De zakrekenmachine in de basisschool, Didaktief, jg. 22(3), 1992, pp. 14-15
Elchardus, M., e.a., De school staat niet alleen, Rapport aan de Koning Boudewijnstichting,
Kapellen, 1994
Erades, L., Koster, K.B., Het rekenen van de kleuter: een begeleiding van het kwantificeren bij 5 tot
7-jarigen, Zwijsen, Tilburg, 1974, p. 133
Feys, R., Meten en metend rekenen, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe
reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 3, STOGO/Acco, Leuven,
1995, pp. 96-135
Feys, R., Metend rekenen, Cursus lagere normaalschool, Pedagogisch Hoger Onderwijs, Torhout,
1990
Freudenthal, H., Dat zie je toch zo, Willem Bartjes, jg. 2(2-3),1983
Freudenthal, H., Appels en peren, wiskunde en psychologie, Walraven, Apeldoorn, 1984
Freudenthal, H., Wiskundig didactische doordenkingen, Willem Bartjens, jg. 1(4), 1982, pp. 214215
Gillard, R., Bouwen en rekenen, Willem Bartjens, jg. 6(2), 1987
Gobien, S., e.a. , Zo gezegd, zo gerekend 2, experimentele versie, Plantyn, Deurne, 1996
Goffree, F., Gecijferdheid, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe
reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 1, STOHO/ Acco, Leuven,
1995, pp. 16-49
Goffree, F., Wiskunde & Didactiek, Wolters-Noordhoff, Groningen, 1983
Goffree, Met het oog op ruimte (door de bril van een lerarenopleider), Willem Bartjes, jg. 5(4), 1986
Goffree,F. (red.), Handboek voor de rekencoördinator deel 1: In de context van schattend rekenen,
CPS, Hoevelaken, 1995
BIBLIOGRAFIE
335
Gravemeijer, K., 'De vernieuwing van het reken-wiskundeonderwijs in de praktijk', School & begeleiding, jg. 7(25), 1990, pp.17-23
Gravemeijer, K., Meetkunde op de baisschool: een meetkundige wereldoriëntatie, In Gids voor het
Basisonderwijs, Samson, Brussel, 1988
Gravemeijer, K., e.a., Rekenen en Wiskunde, Bekadidact, Baarn, 1983-1990
Gravemeijer, K., Kraemer, J.M., Met het oog op ruimte, Zwijsen, Tilburg, 1984
Het Laatste Nieuws, NV Hoste, Asse-Kobbegem, 1996
Heyerick, L., Vierkantig denken, een rekenprobleem, Onderwijskrant, nr. 57, 1989, pp. 21-22
Heyerick, L., Levend rekenen in het donker, De viervoeter, jg.9(2) 1995, pp. 3-6
Heyerick, L., Meetkunde, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie deel 3,STOHO/Acco, Leuven, 1995, pp. 136 170
Huitema, S., van der Klis, A., Timmermans, M., De wereld in getallen, Ideeënboek voor groep 1 en
2, Malmberg, Den Bosch, 1991
Inspectie van het onderwijs, Hoofdrekenonderwijs, De Meern, Den Haag, 1994
Jansen, Toetsen en realistisch reken-wiskundeonderwijs. Interview met Marja van de HeuvelPanhuizen, Willem Bartjens, jg 16(2), 1996, pp. 4-12
Janssens, I., Wiskundige initiatie voor kleuters, deel: Ruimte, Plantyn, Deurne, 1995
Janssens, I., Wiskundige initiatie voor kleuters, Plantyn, Deurne, 1994
Kephart, Chaney, Ebersole, Hekkesluiters 2, Programma voor ontwikkelingsbevordering ,
Lemniscaat, Rotterdam, 1973
Kredietbank, KB-bulletin, personeelsblad van de Kredietbank, jg. 54(7), 1996, p. 7
Kool, M., 'Een zak met goud of een kat in de zak', Willem Bartjens, jg. 14(2), 1995, pp. 34-36
Korthoudt, L., e.a., Zo gezegd, zo gerekend 1, experimentele versie, Plantyn, Deurne, 1996
Koster, K. B., De ontwikkeling van het getalbegrip op de kleuterschool, Tjeenk Willink, Groningen,
1975
Kraemer, J.M., Meetkunde geïntegreerd deel 1 - deel 2, Willem Bartjes, jg. 5(1-2), 1985
Lowagie,P., Staelens, R., Vaardig en vlot met de zakrekenmachine, De Garve, Brugge, 1995
Luyten, R., Hoofdrekenen, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe
reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 2, STOHO/ Acco, Leuven,
1995, pp. 204-226
336
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
Luyten, R., Cijferrekenen,
in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe
reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 2, STOHO/ Acco, Leuven,
1995, pp. 228-261
Ministerie van Nationale Opvoeding en Nederlandse Cultuur, Metend rekenen en vormleer, Weken
van voorlichting en pedagogische volmaking ingericht in 1961, Brussel, 1961
Ministerie van Onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap, Directie van het Basisonderwijs, Metend
rekenen, Tweeënveertigste pedagogische week, Brussel, 1988
Ministerie van Onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap, Directie van het Basisonderwijs, Werken
met getallen en met vormen, Vierenveertigste pedagogische week, Brussel, 1990
Ministerie van Onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap, Directie van het Basisonderwijs,
Problemen oplossen, een vraagstuk !, Drieenveertigste pedagogische week, Brussel, 1989
Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap, Departement Onderwijs, Basisonderwijs,
Ontwikkelingsdoelen en eindtermen, decretale tekst en uitgangspunten, Ministerie van de Vlaamse
Gemeenschap, Departement Onderwijs, Centrum voor Informatie en Documentatie, 1995
Nelissen, J.M.C., Kinderen leren wiskunde. Een studie over constructie en reflectie in het
basisonderwijs, De Ruiter, Gorinchem, 1987
Nelissen, J., Toetsen, praktijkcahier reken/wiskundeonderwijs, De Ruiter, Gorinchem, 1990
Nelissen, J., van Oers, B., Rekenen als realiteit, Zwijsen, Tilburg, 1990
Nelissen, J., e.a., Rekenwerk 8, De Ruiter, Gorinchem, 1989
Nelissen, J., Hoe werken kinderen met ruimtelijke beelden?, in 'Hoe kijken jonge kinderen naar
zichzelf en naar anderen? Over representaties en mispresentaties' De wereld van het jonge kind,
jg. 22(5), 1996
OVSG, OVSG-toets 6de leerjaar, schooljaar 1996-1997, OVSG, Brussel, 1997
OVSG, Beschouwingen bij OVSG-toets zesde leerjaar 1995-1996, OVSG, Brussel, 1996
OVSG, Rekenremediëring, Tellen tot 20, Project Zorgverbreding,Vormingspakket 3, Brochure 3,
OVSG, Brussel, 1995
Pinxten, R., Cultuur en wiskunde, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe
reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 1, STOHO/ Acco, Leuven,
1995, pp. 130-154
Ruesink, N., Een walvis op het puntje van zijn neus is net zo hoog als deze flat, Meten in het rekenwiskundeonderwijs, Willem Bartjens, jg. 13(3), 1994, pp. 4-8
Ruijssenaars, A.J.J.M.,
Rotterdam, 1992
Rekenproblemen, Theorie, diagnostiek, behandeling, Lemniscaat,
BIBLIOGRAFIE
Sannen, R. e.a. , Zo gezegd, zo gerekend 3, experimentele versie, Plantyn, Deurne, 1996
337
338
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
Schwartz, J.L., The intellectual prices of secrecy in mathematics assessment, in R. Lesh en
S.J. Lamon (eds.), AAAS Press, Washington, 1992, pp. 427-437
Speelpenning, J., Piramide, Willem Bartjens, jg. 5(4), 1986, pp. 244
Streefland, L., De Moor, E., Treffers, A., Proeve van een nationaal programma voor het
reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (14) - procenten - didactische notities,
Panama-post, jg. 10(1), 1991, pp. 29-38
Streefland, L., De Moor, E., Treffers, A., Proeve van een nationaal programma voor het
reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (7), Panama-post, jg. 8(2), 1989, pp. 50-58
Streefland, L., De Moor, E., Treffers, A., Proeve van een nationaal programma voor het
reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (21) - kerndoelen procenten, Panama-post, jg.
12(1), 1993, pp. 42-46
Streefland, L., De Moor, E., Treffers, A., Proeve van een nationaal programma voor het
reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (8) - Verhoudingen, Panama-post, jg. 8 (3),
1990, pp. 43-64
Streefland, L., Breuken en kommagetallen., in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een
nieuwe Reken/wiskunde-didactiek voor de basisschool en de basiseducatie deel 3,
STOHO/Acco, Leuven, 1995, pp. 17 - 51
Streefland, L., Procenten en verhoudingen, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een
nieuwe Reken/wiskunde-didactiek voor de basisschool en de basiseducatie deel 3,
STOHO/Acco, Leuven, 1995, pp. 52 - 94
Svend Otto, S., van Yperen, Th., Klein in de grote wereld, Thieme-Zuthpen
Sweers, W., Rekenen en wiskunde ter overbrugging, Zwijsen, Tilburg, 1982
ter Heege, H., Het meten van oppervlakte, De Grabbelton, SLO projectbulletin, jg. 10(27),
1988
ter Heege, H., Vermenigvuldigen en delen als elementaire rekenvaardigheden, in
Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe reken/wiskunde-didactiek voor de
basisschool en de basiseducatie deel 2, Stoho/Acco, Leuven, 1995, pp.132-169
ter Heege, H., de Moor, H., Wiskobas bulletin, leerplanpublicatie 7,Instituut ontwikkeling
wiskunde onderwijs, Utrecht, jg. 7(1-2), 1977
Treffers, A., Streefland, L., De Moor, E., Proeve van een nationaal programma voor het
reken-wiskundeonderwijs op de basisschool, deel 3A: Breuken, Zwijsen, Tilburg, 1994
Treffers, A., Streefland, L., De Moor, E., Proeve van een nationaal programma voor het
reken-wiskundeonderwijs op de basisschool, deel 3B: Kommagetallen, Zwijsen, Tilburg,
1996
BIBLIOGRAFIE
339
Treffers, A., de Moor, E., Feijs, E., Proeve van een nationaal programma voor het rekenwiskundeonderwijs op de basisschool, Deel 1, Overzicht einddoelen, Zwijsen,Tilburg, 1989
Treffers, F., de Moor, E., Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs
op de basisschool,Deel 2, basisvaardigheden en cijferen, Zwijsen, Tilburg, 1990
Treffers, A., de Moor, E., De stille revolutie in het rekenwiskundeonderwijs, Jeugd in school en
wereld, jg 79 (3), 1994, pp. 4-10
Treffers, A., e.a., Beredeneerde eindtermen, Willem Bartjens, jg. 8(1), 1988, pp. 46
Turpyn, V., Realistisch rekenen binnen het B.L.O.: een haalbare kaart?, OVSG, Brussel, 1993
Van Amersfoort J., Reken/wiskunde-onderwijs aan allochtonen, in Verschaffel en De Corte (red.),
Naar een nieuwe reken/wiskunde-didactiek voor de basisschool en de basiseducatie deel 4,
Stoho/Acco, Leuven, 1995
van Dam, P.R.L., Tabellen en grafieken, Opgavenboekje A, CITO, Instituut voor toetsontwikkeling,
Arnhem, 1984
van Dam, P.R.L., Tabellen en grafieken,Handleiding, CITO, Instituut voor toetsontwikkeling,
Arnhem, 1984
Van den Berg, W., Van Eerde, H., Kwantiwijzer voor leerkrachten, Infoboek, Meerhout, 1993
van den Boer, C., Dolk, M. (red.), Modellen, meten en meetkunde, Freudenthal Instituut,
Universiteit Utrecht, 1996
Van den Bussche, P., Rekenen met rekenzwakke leerlingen, ontwerp leerlijn "tafels", Pedagogisch
Centrum Antwerpen, Antwerpen, p.13
Vandenbussche, P., 'Rekenen met rekenzwakke leerlingen' Pas op je tellen!, Tel maar verder tot 20!
, Pedagogisch Centrum Antwerpen, Antwerpen
Van den Heuvel-Panhuizen, M., Lijn in verhoudingen, Panamapost, 9 (2), 1990, pp. 21 - 26
Van den Heuvel-Panhuizen, M., Toetsen bij reken/wiskundeonderwijs, in Verschaffel en De Corte
(red.), Naar een nieuwe reken/wiskunde-didactiek voor de basisschool en de basiseducatie deel 1,
Stoho/Acco, Leuven, 1995, pp. 197-246
Van den Heuvel-Panhuizen, M., Realistic arithmetic/mathematics instruction en tests, in
Gravemeijer, K., Van den Heuvel, M., Streefland, L., (red.), Context, free productions, tests, and
geometry in realistic mathematics education, Vakgroep Onderzoek Wiskundeonderwijs en
Onderwijs Computercentrum, Universiteit, Utrecht, 1990
Van Galen, F., Boswinkel, N., Tijd, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe
reken/wiskunde-didactiek voor de basisschool en de basiseducatie deel 3, Stoho/Acco, Leuven,
1995, pp.172-201
340
OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
Van Hove, W., Verstraete, G., RVT/3K1L, Rekenvoorwaardentoets derde kleuterklas - leerlingen
lagere school, C.S.B.O., Brussel, 1977
Van Keymeulen, G., De tafels van vermenigvuldiging en de deeltafels in verruimd perspectief, Gids
voor het basisonderwijs, CURR 7312, Samson, Brussel, 1996
Van Kuyk, Leerlingvolgsysteem, CITO, Arnhem, 1989
Van Reeuwijk, M., Nieuwe doelen, nieuwe toetsen, Panamapost, jg 13(2), 1996, p.32 - 35
Verschaffel, L., Visie op reken/wiskundeonderwijs, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een
nieuwe reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 1, STOHO/ Acco,
Leuven, 1995, pp. 94-128
Verschaffel, L., Gravemeijer, K., Contextrijk reken-/wiskundeonderwijs, Gids voor het
basisonderwijs, CURR 7420/5,Samson, Brussel, 1990
VLO-begeleidingsteam W.VL, Als de vraag stuk is ... zitten we met problemen, Deel schoolniveau,
OVSG, Brussel, 1990
Vuurmans, A., Klukhuln, W., e.a., Rekenwerk, De Ruiter, Gorichem, 1989
Wijnstra, J.M., Balans van het rekenonderwijs in de basisschool, CITO, Arnhem, 1988
275-1
Didactische bijlage bij het leerplan wiskunde: katern meten
5
De euro
5.1
Euromunten en -biljetten
In alle lidstaten van de Europese muntunie zijn vanaf 01 januari 2002
acht munten in gebruik met als waarde:
- 1, 2, 5, 10, 20 en 50 eurocent;
- 1 en 2 euro.
De munten hebben een Europese en een nationale zijde. De Europese zijde is uniform in
alle landen. De nationale zijde toont het land van herkomst. Wel zijn alle munten in alle
landen geldig. Na verloop van tijd zullen Spaanse, Duitse, Franse, ... en Belgische munten
door elkaar worden gebruikt.
Daarnaast zijn er zeven biljetten met als waarde: 5, 10, 20, 50,
100, 200 en 500 euro.
De eurobiljetten hebben, in tegenstelling tot de munten, geen nationale zijde. Ze zijn dus
identiek in alle landen van de Europese muntunie.
Didactische bijlage bij het OVSG-leerplan wiskunde: katern meten
5.2
275-2
Het symbool
Er is alleen een symbool voor de euro:
Voor de eurocent is geen symbool voorzien.
Verder zal 'EUR' internationaal worden gebruikt.
Omwille van de schrijfwijze van de euro kan verondersteld worden dat er geen afkorting
komt voor de eurocent. Indien in Vlaanderen toch een afkorting van de eurocent zou
opduiken, zal dat in relatie zijn met de vroegere 'cent' (ct). In het dagdagelijks taalgebruik
zal 'eurocent' snel 'cent' worden.
5.3
De schrijfwijze
Op 31 december 1998 werd ten opzichte van de Belgische frank de correcte waarde van de
euro vastgelegd: 40,3399.
Vanaf 01 januari 2002, wanneer de nationale munten verdwijnen, heeft de op 31 december
1998 vastgelegde waarde van de euro ten opzichte van de Belgische frank, geen betekenis
meer en zal dan ook verdwijnen.
In de realiteit wordt gewerkt met getallen tot twee cijfers na de komma. Door bedragen
steeds te noteren tot twee cijfers na de komma zullen tienden spontaan omgezet worden
naar honderdsten.
In de realiteit van de prijsaanduidingen worden wij en de kinderen geconfronteerd met
getallen als:
7,19
17,75
12,50
19,95
99,99
50,90
214,05
210,25
263,10
199,09
555,35
450,50
5.4
De leeswijze
In de loop van de jaren, door het veelvuldig dagelijks gebruik, zal de leeswijze allicht
veranderingen ondergaan in functie van de spreektaal.
In belang van het inzicht in de waarde van de cijfers voor en na de komma (het decimaal
teken) opteren we in de school voor de hierna volgende leeswijzen in de aanvangsjaren.
Prijzen in euro lees je als:
- 7,75
- 7 euro 75 eurocent
- 7 euro 75 cent
- 7 euro 75
- 7 komma 75 (euro)
275-3
5.5
Didactische bijlage bij het leerplan wiskunde: katern meten
- 12,05
- 12 euro (en) 5 eurocent
- 12 euro (en) 5 cent
- 12 euro (en) 5
- 12 komma nul vijf (euro)
- 15,40
- 15 euro 40 eurocent
- 15 euro 40 cent
- 15 euro 40
- 15 komma veertig euro
- 200,50
- 200 euro 50 eurocent
- 200 euro 50 cent
- 200 en een halve euro
- 200 komma vijftig (euro)
Werken binnen het getalbereik conform de leerlijnen in het leerplan wiskunde
Het schrijven en lezen van waarden in euro heeft consequenties met betrekking tot het
aanbod aan getallen bij lagereschoolkinderen.
Nochtans blijven we met de natuurlijke getallen binnen het getalbereik van de leerlijnen
(leerlijn 1.2 pag. 87):
- 6-jarigen: tot en met 20;
- 7-jarigen: tot en met 100;
- 8-jarigen: tot en met 1000;
- 9-jarigen: tot en met 10 000;
- 10-jarigen: tot en met 1 000 000;
- 11-jarigen: tot en met 100 000 000.
Wij wijken evenmin af van de voorgestelde leerlijnen met betrekking tot de kommagetallen: maximaal 3 cijfers na de komma.
(Zie het didactisch katern 'Breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten' pag. 175
en volgende.)
5.6
Inhouden per leeftijdsgroep
5.6.1
Kleuterschool
kleuters
1ste fase
2 de fase
Lagereschoolkinderen
6j.
6
8j.
6
10j.
6
De kleuters vertrouwd maken met de gebruikte terminologie: 'euro' en 'eurocent'.
Didactische bijlage bij het OVSG-leerplan wiskunde: katern meten
5.6.2
275-4
Lagere school
kleuters
1ste fase
2 de fase
Lagereschoolkinderen
6j.
6
8j.
6
10j.
6
De leerlingen:
kennen de geldige en gebruikelijke muntstukken in het eurostelsel (1, 2, 5, 10 en 20
eurocent, 1 en 2 euro) binnen het getalbereik en kunnen ze gebruiken;
kennen de geldige en gebruikelijke biljetten in het eurostelsel (5, 10 en 20 euro)
binnen het getalbereik en kunnen ze gebruiken;
kennen binnen de rij van de gekende getallen, de bestaande munten en biljetten en
kunnen ze gebruiken bij het tellen, het betalen, het teruggeven, het natellen van
wisselgeld en het wisselen;
bv.:
2 keer 1 eurocent = 2 eurocent
2 keer 10 eurocent = 20 eurocent
...
2 euro = 2 keer 1 euro
5 euro = 1 euro + 1 euro + 1 euro + 1 euro + 1 euro
5 euro = 5 keer 1 euro
20 euro = 10 keer 2 euro
...
Combinaties van euro én eurocent komen niet voor.
kunnen op verschillende manieren eenzelfde bedrag betalen en kiezen in de situatie
de meest passende betalingswijze.
Bij de zesjarigen komen geen kommagetallen voor.
kleuters
1ste fase
2de fase
lagereschoolkinderen
6j.
6
8j.
6
10j.
6
De leerlingen:
kennen alle geldige en gebruikelijke muntstukken in het eurostelsel (1, 2, 5, 10, 20
en 50 eurocent, 1 en 2 euro) en kunnen ze gebruiken;
kennen de geldige en gebruikelijke biljetten in het eurostelsel (5, 10, 20, 50 en 100
euro) binnen het getalbereik en kunnen ze gebruiken;
kunnen de euro als maateenheid hanteren en de daarbij horende symbolen ( € en
EUR) gebruiken;
kennen binnen de rij van de gekende getallen, de bestaande munten en biljetten en
kunnen ze gebruiken bij het tellen, het betalen, het teruggeven, het natellen van
wisselgeld en het wisselen;
- teruggeven:
- te betalen: 1,43 euro (lezen als 1 euro 43 eurocent)
275-5
-
-
Didactische bijlage bij het leerplan wiskunde: katern meten
- terug te geven: 57 (euro)cent
- doortellen of aanvullen (winkelrekenen)
- te betalen: 1,43 euro
- 1 euro en 43(euro)cent + 57 (euro)cent = 2 euro
kunnen op verschillende manieren eenzelfde bedrag betalen en in de situatie de
meest passende betalingswijze kiezen;
kennen de verbanden tussen de verschillende munten:
1 euro = 100 eurocent;
2 keer 50 eurocent = 100 eurocent = 1 euro;
5 keer 20 eurocent = 100 eurocent = 1 euro;
kunnen prijzen in euro ( met twee cijfers na de komma) lezen als
- 12,15
- 12 euro 15 (euro)cent;
- 20,85 EUR
- 20 euro 85 (euro)cent;
- 75,25 euro
- 75 euro 25 (euro)cent.
kleuters
1ste fase
2 de fase
lagereschoolkinderen
6j.
6
8j.
6
10j.
6
De leerlingen:
kennen alle geldige en gebruikelijke muntstukken in het eurostelsel (1, 2, 5, 10, 20
en 50 eurocent, 1 en 2 euro) en kunnen ze gebruiken;
kennen alle geldige en gebruikelijke biljetten in het eurostelsel (5, 10, 20, 50, 100,
200 en 500 euro) en kunnen ze gebruiken;
kunnen de euro als maateenheid hanteren en de daarbij horende symbolen (€ en
EUR) gebruiken;
kennen binnen de rij van de gekende getallen, de bestaande munten en biljetten en
kunnen ze gebruiken bij het tellen, het betalen, het teruggeven, het natellen van
wisselgeld en het wisselen;
- teruggeven:
- te betalen: 1,43 euro (lezen als 1 euro 43 eurocent)
- terug te geven: 57 (euro)cent
- doortellen of aanvullen (winkelrekenen)
- te betalen: 1,43 euro
- 1 euro en 43(euro)cent + 57 (euro)cent = 2 euro
kunnen op verschillende manieren eenzelfde bedrag betalen en in de situatie de
meest passende betalingswijze kiezen;
kennen de verbanden tussen de verschillende munten:
1 euro = 100 eurocent;
2 keer 50 eurocent = 100 eurocent = 1 euro;
5 keer 20 eurocent = 100 eurocent = 1 euro;
200 euro = 2 keer 100 euro = 4 keer 50 euro = 10 keer 20 euro;
...
kunnen prijzen in euro ( met twee cijfers na de komma) lezen als:
- 12,15
- 12 euro 15 (euro)cent;
- 20,85 EUR
- 20 euro 85 (euro)cent;
- 75,25 euro
- 75 euro 25 (euro)cent.
Didactische bijlage bij het OVSG-leerplan wiskunde: katern meten
kleuters
1ste fase
2de fase
275-6
lagereschoolkinderen
6j.
6
8j.
6
10j.
6
De leerlingen:
kennen alle geldige en gebruikelijke muntstukken en biljetten in het eurostelsel en
kunnen ze gebruiken;
kunnen de euro als maateenheid hanteren en de daarbij horende symbolen (€ en
EUR) gebruiken;
prijzen in euro lezen en noteren (ook als kommagetallen);
kennen binnen de rij van de gekende getallen, de bestaande munten en biljetten en
kunnen ze gecombineerd gebruiken bij het tellen, het betalen, het teruggeven, het
natellen van wisselgeld en het wisselen;
kunnen op verschillende manieren eenzelfde bedrag betalen en in de situatie de
meest passende betalingswijze kiezen;
kennen alle verbanden tussen de verschillende munten en biljetten;
kunnen bewerkingen met geld in decimalen uitvoeren:
bij het vermenigvuldigen is de vermenigvuldiger kleiner dan 10;
bij de deling is de deler is de deler kleiner dan 10.
kleuters
1ste fase
2de fase
Lagereschoolkinderen
6j.
6
8j.
6
10j.
6
De leerlingen:
kennen alle geldige en gebruikelijke muntstukken en biljetten in het eurostelsel en
kunnen ze gebruiken;
kunnen de euro als maateenheid hanteren en de daarbij horende symbolen ( € en
EUR) gebruiken;
prijzen in euro lezen en noteren als kommagetallen;
kennen binnen de rij van de gekende getallen, de bestaande munten en biljetten en
kunnen ze gecombineerd gebruiken bij het betalen, het teruggeven (doortellen), het
natellen van wisselgeld en het wisselen;
kunnen op verschillende manieren eenzelfde bedrag betalen en in de situatie de
meest passende betalingswijze kiezen;
kennen alle verbanden tussen de verschillende munten en biljetten;
kunnen bewerkingen met geld in decimalen uitvoeren;
verbanden leggen met niet-Europese munten en met munten die niet tot de unie
behoren;
decimale getallen afronden van 4 of 3 naar 2 decimalen.
