Vlaamse Wiskunde Olympiade 2012

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2012-2013: de tweede ronde
1. Als x 6= 0 en x =
p √
y 4 x , dan is
(A) x 3 = y
(B) x 3 = y 4
2. Het getal −1(−1
−1 )
(A) −1
(C) x 4 = y 3
(D) x 5 = y 2
(E) x 7 = y 4
(D) 1
(E) 2
is gelijk aan
(B) 0
(C)
1
2
3. Wat is de omtrek van deze veelhoek, omgeschreven aan een cirkel met straal 3?
3
(A) 6π
(B) 21
(C) 24
(D) 27
(E) 9π
4. Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) = (4 − x)(3 − x)(2 − x)(1 − x)?
(A) 0
(D) 4
(B) 1
(E) oneindig veel
(C) 2
5. De vergelijking x 2 +px +q = 0, met p en q gehele getallen, heeft precies één oplossing.
Dan is
(A) p oneven
(D) q even
(B) p even
(E) die oplossing oneven
(C) q oneven
6. Hoeveel waarden van de uitdrukking 6x − x 2 met x een reëel getal, zijn natuurlijke
getallen?
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 10
7. Twee even lange, cilindervormige kaarsen worden tegelijkertijd aangestoken. De ene
kaars heeft een brandduur van drie uur, de andere kaars heeft een brandduur van één
uur. Na hoeveel tijd is de ene kaars precies dubbel zo lang als de andere?
(A) 18 minuten
(D) 36 minuten
(B) 24 minuten
(E) 42 minuten
c
Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw 2013
(C) 30 minuten
8. De kleinste diagonaal van een regelmatige zeshoek met zijde 5 heeft lengte
√
√
√
(A) 5
(E) 10
(B) 5 2
(C) 5 3
(D) 5 5
9. Liesbeth tekent een patroon van een jurk over. Ze
moet een gekromd stuk stof knippen dat afgebakend
is door twee cirkelbogen met hetzelfde middelpunt
M en twee lijnstukken. Hoe groot is de straal van de
kleinste cirkel?
34
15
28
15
M
(A) 18
10. De uitdrukking
(A) 1
(B) 35
√
π 2 − 6π + 9 +
(C) 47
√
(B) 2
(D) 63
(E) 70
π 2 − 8π + 16 is gelijk aan
(C) 7
(D) 2π − 7
(E) 7 − 2π
11. Voor hoeveel waarden x bereikt de functie f (x) = |x| − x 2 een relatief extremum?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
12. Als x(x + y ) = 1 en y (x + y ) = 3, dan is xy gelijk aan
(A)
1
4
(B)
1
2
(C)
3
4
(D)
5
4
(E) 2
13. Als a en b natuurlijke getallen zijn met 0 < a < b, dan is
a+1
1
b+1
1
a+2
2
b+2
·
2
·
a+3
a+b
· ...·
3
b
b+3
a+b
·
· ...·
3
a
·
gelijk aan
(A) 1
(B) a
(C) b
(D)
a
b
(E)
b
a
14. De functie f voldoet aan f (x + y ) = f (x) − f (y ) voor alle reële getallen x en y . Dan
is f (5) gelijk aan
(A) −5
(B) 0
(C) 5
(D) 10
(E) 25
15. Op een toets behalen de leerlingen van een klas 1, 4, 5 of 8 punten. Het aantal
leerlingen dat 4 punten behaalt is gelijk aan het aantal leerlingen dat 5 punten behaalt.
Het totaal aantal behaalde punten is 63 groter dan het aantal deelnemers. Hoeveel
leerlingen behalen 5 of meer punten?
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 11
(E) 12
16. Op een grasveld van 10 m bij 10 m zitten 101 vogels. Dan geldt zeker:
(A) minstens 2 vogels zitten minder dan 1,5 m uit elkaar
(B) hoogstens 2 vogels zitten meer dan 1,5 m uit elkaar
(C) minstens 2 vogels zitten meer dan 1,5 m uit elkaar
(D) hoogstens 2 vogels zitten minder dan 1,5 m uit elkaar
(E) precies 2 vogels zitten precies 1,5 m uit elkaar
17. Met n! bedoelen we het product van alle natuurlijke getallen van 1 tot en met n.
Bijvoorbeeld: 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Als je 10! deelt door 9! − 1 krijg je als rest
(A) 0
18. Als a =
(B) 1
(C) 8
(D) 9
(E) 10
2012
2013
en b =
, dan geldt
2011 · 2013
2012 · 2014
1
<a<b
2013
1
(D) b < a <
2013
(A)
1
<b<a
2013
1
(E) a <
<b
2013
(B)
(C) a < b <
19. In de figuur is de oppervlakte van het gearceerde
vierkant de helft van de oppervlakte van het grote
vierkant. Hoe groot is de hoek α?
1
2013
α
α
α
α
(A) 10◦
(B) 15◦
(C) 20◦
(D) 30◦
(E) 60◦
20. √
Stel α een hoek
√ in het eerste kwadrant. Wat is het rekenkundig gemiddelde van
1 + sin α en 1 − sin α?
√
√
α
α
2
(A) cos
(B) sin
(D) cos α
(E) 1
(C)
2
2
2
21. In de zes vakjes van een eierdoosje legt men
twee witte en vier bruine eieren. Wat is
de kans dat de twee witte eieren in twee
aangrenzende vakjes liggen?
(A)
1
3
(B)
2
3
(C)
4
15
(D)
7
15
(E)
8
15
22. Vier mensen kiezen los van elkaar een getal uit de verzameling {1, 2, . . . , 100}. We
noemen deze getallen a, b, c en d. Wat is dan de kans dat ab + cd even is?
(A)
6
16
(B)
7
16
(C)
8
16
(D)
9
16
(E)
10
16
23. Hoe groot is de hoek tussen de getekende zijvlaksdiagonalen van de kubus hiernaast?
(A) 0◦
(B) 30◦
(C) 45◦
(D) 60◦
(E) 90◦
24. De oppervlakte van het grondvlak van een kegel
is 25π en die van de mantel 40π. Hoe groot is
het apothema van deze kegel?
?
(A) 4
(B) 5
(C) 8
(D) 10
(E) 15
25. Alfred, Jodocus en Kwak willen acht zakjes eendenkroos verdelen. De zakjes bevatten
respectievelijk 2, 5, 7, 13, 14, 20, 24 en 26 gram eendenkroos. Alfred krijgt vier zakjes,
Jodocus krijgt er drie en Kwak krijgt er slechts één. Als je weet dat Alfred dubbel zoveel
eendenkroos heeft gekregen als Jodocus, hoeveel gram eendenkroos heeft Kwak dan
gekregen?
(A) 13
(B) 14
(C) 20
(D) 24
(E) 26
26. In een doos zitten 24 voorwerpen. Acht daarvan zijn bollen, de overige voorwerpen zijn
kegels en piramiden. Ieder voorwerp is zwart, geel of rood gekleurd. Tien van de 24
voorwerpen zijn geel. Vijf bollen zijn zwart, 6 kegels zijn geel en 9 piramiden zijn rood.
Hoeveel gele piramiden zitten er in de doos?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
27. Bij welke van volgende gelijkbenige trapezia staan er genoeg gegevens om de oppervlakte te kennen?
a
(A)
b
(B)
b
a
r
(C)
r α
(D)
α
(E)
α
a
28. Een koordenveelhoek is een veelhoek waarvan al de hoekpunten op één en dezelfde
cirkel liggen. Als ABCDEF een koordenzeshoek is, dan is
(A) Â = D̂
(D) Â + Ĉ + Ê = 360◦
(B) Â + D̂ = 180◦
(E) Â + B̂ + Ĉ = 360◦
(C) Â = Ĉ = Ê
29. In een rechthoekige driehoek maken de zwaartelijn en de hoogtelijn uit de rechte hoek
een hoek α. De kleinste hoek van de driehoek is dan gelijk aan
1
α
2
(D) 45◦ − α
(A)
1
(C) 45◦ − α
2
(B) α
(E) 90◦ − 2α
30. Een vijfhoek heeft vier hoeken van 120◦ . De zijden hebben achtereenvolgens lengte 8,
2, x, 5 en 5, waarbij de overstaande hoek van de zijde met lengte x de hoek is die niet
gelijk is aan 120◦ . Bepaal x.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5