1 Rationale functies - Beter Onderwijs Nederland

Zomercursus Wiskunde
Katholieke Universiteit Leuven
Groep Wetenschap & Technologie
September 2008
Limieten en asymptoten van rationale functies
(versie 1 juli 2008)
1
1.1
Rationale functies
Inleiding
Functies als
f1 : x 7→
5x
,
x−5
f3 : x 7→
3x2 + 7x
4
f2 : x 7→
x2 − 3x + 1
2x − 1
en f4 : x 7→
x4
1
−1
waarbij f (x) een quotiënt is van twee veeltermen noemen we rationale functies.
De functies
f5 : x 7→
√
x−1
,
x−1
zijn geen rationale functies omdat
f6 : x 7→
√
sin x
x
en
f7 : x 7→
2x
x+1
x − 1, sin x en 2x geen veeltermen zijn.
2
Opmerking 1: De rationale functie f3 : x 7→ 3x 4+7x kan ook geschreven worden als een
veeltermfunctie f3 : x 7→ 34 x2 + 74 x. Veeltermfuncties zijn dus bijzondere gevallen van
rationale functies.
Opmerking 2: Rationale functies zijn niet gedefinieerd in de eventuele nulpunten van
de noemer, ze hebben daar dus geen functiewaarde.
2
Limieten en asymptoten van rationale functies
1.2
De functie f : x 7→
1
x
Eén van de eenvoudigste rationale functies is f : x 7→ x1 . We bestuderen deze functie
van naderbij:
- In 0 is er geen functiewaarde omdat de noemer dan nul wordt. Het domein van
de functie is dus R0 en de grafiek heeft geen snijpunt met de Y-as.
- Er is ook geen snijpunt met de X-as. Dit komt omdat
functie heeft dus geen nulpunten.
1
x
6= 0 voor elke x. De
- Het tekenverloop is :
x
f(x)
0
|
–
+
- Nadert x langs rechts naar 0, d.w.z. langs waarden die groter zijn dan 0, dan
worden de functiewaarden onbegrensd groot in de positieve zin. We zeggen dat
f (x) naar plus oneindig nadert als x langs rechts naar 0 nadert.
x
1
2
1
3
...
→0
f(x)
2
3
...
→ +∞
Notatie :
1
x
>
1
= +∞
x→0 x
>
→ +∞ als x → 0 of : lim
>
Analoog zien we dat
1
x
→ −∞ als x → 0 of lim
<
1
x→0 x
<
= −∞.
1
niet bestaat omdat de linker- en rechterlimiet verschillend zijn.
x→0 x
Merk op dat lim
De rechte x = 0 (de Y-as) noemen we een verticale asymptoot van (de grafiek
van) f .
- Als we kijken naar de functiewaarden voor zeer grote waarden van x, in positieve
en negatieve zin, dan zien we dat
1
x
→0
als
x → +∞
of
1
=0
x→+∞ x
1
x
→0
als
x → −∞
of
1
=0
x→−∞ x
lim
lim
De rechte y = 0 (de X-as) noemen we een horizontale asymptoot van (de grafiek
van) f .
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
2. Limieten
2
3
Limieten
We gaan hier niet in op de exacte definitie van limiet, maar beperken ons tot het
berekenen van limieten. Het berekenen van de limiet van een rationale functie in een
punt c ∈ R dat geen nulpunt van de noemer is levert weinig problemen. De limiet is
dan immers gelijk aan de functiewaarde. We geven enkele voorbeelden:
• lim (2x3 − 5x2 ) = 2.23 − 5.22 = −4
x→2
3.32 − 6.3 + 1
10
3x2 − 6x + 1
=
=
x→3 2x2 + 11x − 8
2.32 + 11.3 − 8
43
• lim
Het berekenen van de limiet van een rationale functie in een punt c ∈ R dat wel
een nulpunt van de noemer is wordt behandeld in paragraaf 2.3. Voor het zoeken
van horizontale en schuine asymptoten is het ook nodig de limiet van een functie te
bepalen voor x → +∞ of x → −∞. Hierover gaat paragraaf 2.2. Voor we deze
gevallen behandelen kijken we eerst naar de rekenregels van limieten, in paragraaf 2.1.
Maar eerst nog een grafische oefening:
Oefening
Welke limieten hebben de volgende functies in −∞ en +∞ als de pijlen op de grafiek
aangeven hoe de functies verder verlopen ?
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
4
Limieten en asymptoten van rationale functies
2.1
Rekenregels voor limieten voor x → c met c ∈ R of c = ±∞
Deze rekenregels gelden voor willekeurige functies f en g maar in de voorbeelden en
oefeningen gebruiken we steeds rationale functies.
Deze rekenregels gelden voor x → c met c ∈ R of c = ±∞.
- Als limf (x) = a ∈ R en limg(x) = b ∈ R dan is :
x→c
x→c
lim[f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) = a + b
x→c
x→c
x→c
lim[f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x) = a − b
x→c
x→c
x→c
lim[f (x) · g(x)] = lim f (x) · lim g(x) = a · b
x→c
x→c
limf (x)
f (x)
a
= x→c
=
x→c g(x)
limg(x)
b
lim
x→c
x→c
als
b 6= 0
- Als limf (x) = limg(x) = +∞ dan is :
x→c
x→c
lim[f (x) + g(x)] = +∞
x→c
lim[f (x) · g(x)] = +∞
x→c
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
5
2. Limieten
Deze laatste twee regels kunnen we ook symbolisch schrijven als :
(+∞) + (+∞) = +∞
(+∞) · (+∞) = +∞
- Met dezelfde symbolische schrijfwijze gelden ook de volgende regels:
(−∞) + (−∞) = −∞
(+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞
(−∞) · (−∞) = +∞
a + (+∞) = (+∞) + a = +∞ voor elke
a + (−∞) = (−∞) + a = −∞ voor elke
a · (+∞) = (+∞) · a = +∞ als a > 0
a · (+∞) = (+∞) · a = −∞ als a < 0
a · (−∞) = (−∞) · a = −∞ als a > 0
a · (−∞) = (−∞) · a = +∞ als a < 0
a
a
=
=0
+∞
−∞
a∈R
a∈R
Voor volgende uitdrukkingen kan er echter geen regel geformuleerd worden, men
noemt dit onbepaalde vormen :
(+∞) + (−∞)
(−∞) + (+∞)
0 · (+∞) en
0 · (−∞) en
∞
0
en
0
∞
(+∞) · 0
(−∞) · 0
De reden hiervoor is dat in die gevallen, afhankelijk van welke functies f en g
precies zijn, verschillende waarden voor de limiet kunnen voorkomen. Voor de
onbepaalde vorm 0 · (+∞) geven we enkele voorbeelden:
x2
= lim x = 0
x→0 x
x→0
>
>
lim
x
= lim 1 = 1
x→0
x→0 x
>
>
lim
1
x
= lim = +∞
2
x→0 x
x→0 x
>
>
lim
1
= 0 · (+∞)
x→0 x
>
lim x2 · lim
en
x→0
>
en
1
= 0 · (+∞)
x→0 x
>
lim x · lim
x→0
>
en
1
x
= lim = bestaat niet
2
x→0 x
x→0 x
lim
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
1
= 0 · (+∞)
x→0 x2
>
lim x · lim
x→0
>
en
1
= 0 · (+∞)
x→0 x2
lim x · lim
x→0
6
Limieten en asymptoten van rationale functies
Dus als limf (x) = 0 en limg(x) = +∞ dan kunnen we
x→c
x→c
niet schrijven dat
lim[f (x) · g(x)] = lim f (x) · lim g(x)
x→c
x→c
x→c
Samenvattend kunnen we zeggen dat de limiet van een som de som is van de
limieten, de limiet van een product is het product van de limieten en de limiet
van een quotiënt is het quotiënt van de limieten, tenzij je daardoor een onbepaalde
vorm krijgt.
2.2
Limiet in c = ±∞
Hoe kunnen we volgende limiet uitrekenen?
lim (3x2 − 4x + 2)
x→+∞
We kunnen
niet schrijven dat
lim (3x2 − 4x + 2) = lim 3x2 − lim 4x + lim 2.
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x→+∞
want dan krijgen we de onbepaalde vorm (+∞) − (+∞).
Om deze limiet uit te rekenen gaan we volgende regel gebruiken:
(+∞) · a = +∞
als
a>0
We schrijven deze eerst terug volledig en nemen c = +∞, dan krijgen we:
Als lim f (x) = +∞ en lim g(x) = a met a > 0 dan is
x→+∞
x→+∞
lim [f (x) · g(x)] = +∞
x→+∞
We beginnen de berekening met:
lim (3x2 − 4x + 2) = lim [x2 (3 −
x→+∞
x→+∞
4
2
+ 2 )]
x x
We weten dat
lim x2 = +∞
x→+∞
2
4
+ 2) = 3
x→+∞
x x
dus als we de limiet van dit product van functies schrijven als het product van
de limieten krijgen we geen onbepaalde vorm:
4
2
lim (3x2 − 4x + 2) = lim [x2 (3 − + 2 )]
x→+∞
x→+∞
x x
2
4
= lim x2 · lim (3 − + 2 )
x→+∞
x→+∞
x x
= (+∞) · 3
= +∞
lim (3 −
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
7
2. Limieten
- Nog enkele voorbeelden van gelijkheden die we
zo onbepaalde vormen krijgen:
niet mogen schrijven omdat we
1
x3
= lim
· lim x3
x→±∞ x x→±∞
x→±∞ x
lim
−x
1
= lim
· lim −x
x→±∞ x
x→±∞ x x→±∞
lim
We kunnen deze limieten wel gemakkelijk uitrekenen:
x3
= lim x2 = +∞
x→±∞ x
x→±∞
lim
lim
x→±∞
−x
= lim −1 = −1
x→±∞
x
Oefeningen
I Juist of fout ?
lim (3x2 − 4x + 2) = lim 3x2 − lim 4x + lim 2.
x→−∞
x→−∞
x→−∞
x→−∞
II Bereken met behulp van voorgaande rekenregels
(a) lim (2x3 − 5x2 )
x→±∞
3x2 − 6x + 1
x→±∞ 2x2 + 11x − 8
(b) lim
Door het toepassen van de rekenregels zie je dat de limiet voor x → ±∞ gelijk is
aan de limiet van de hoogstegraadsterm voor een veeltermfunctie, en gelijk is aan
het quotiënt van de hoogstegraadstermen in teller en noemer voor een rationale
functie.
III Bereken nu
(a) lim (−4x5 + 7x4 − 11)
x→±∞
−x2 + 3x − 2
x→±∞
3x − 7
(b) lim
2x2 − 3
x→±∞ x3 − x + 2
(c) lim
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8
Limieten en asymptoten van rationale functies
x3 − 1
x→±∞ x − 1
(d) lim
x6 + 5x2 + 1
x→±∞
x4 − x6
(e) lim
2.3
Limiet in een nulpunt van de noemer
1
Als f (a) = 0 voor a ∈ R, dan zal f (x)
oneindig groot worden in positieve of negatieve
1
.
zin als x naar a nadert. We noemen a dan een pool van de functie f (x)
Als f (a) = 0 dan geldt:
• Als f (x) > 0 in een omgeving van a dan is lim
1
x→a f (x)
= +∞.
1
= −∞.
x→a f (x)
• Als f (x) < 0 in een omgeving van a dan is lim
• Als f (x) > 0 voor x > a en f (x) < 0 voor x < a
1
1
= +∞ en lim
= −∞
dan is lim
x→a f (x)
x→a f (x)
<
>
• Als f (x) < 0 voor x > a en f (x) > 0 voor x < a
1
1
dan is lim
= −∞ en lim
= +∞
x→a f (x)
x→a f (x)
>
<
1
niet.
x→a f (x)
Opmerking : Als de linker- en rechterlimiet verschillen bestaat lim
Oefeningen
Bereken :
1
x→1 (x − 1)2
(a) lim
x2 + x − 1
x→1
x−1
>
(b) lim
x2 + x − 1
(c) lim
x→1
x−1
<
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
9
2. Limieten
x−3
x→1 x2 − 1
>
(d) lim
x−3
x→1 x2 − 1
<
(e) lim
x
(Dit is geen rationale functie)
x→π sin x
<
(f) lim
In de vorige oefeningen (behalve in de laatste) werd telkens gevraagd om de (linker of
rechter) limiet in 1 te berekenen, en 1 was een nulpunt van de noemer maar geen nulpunt
van de teller. Om de limiet te berekenen in een nulpunt van teller en noemer moet je
eerst teller en noemer ontbinden in factoren en dan vereenvoudigen. We illustreren dit
met een voorbeeld:
x2 − 4
(x − 2)(x + 2)
= lim
= lim (x + 2) = 4
x→2 x − 2
x→2
x→2
x−2
lim
Dus als a een nulpunt van de noemer is en we kunnen door ontbinden in factoren en
vereenvoudigen de factor x − a wegdelen in de noemer, dan is de limiet voor x → a
2 −4
eindig. Teken de grafiek van f : x → xx−2
om dit te verduidelijken!
Oefening
Bereken :
x3 − 1
x→1 x − 1
<
(a) lim
x3 − 3x + 2
x→1 (x − 1)3
<
(b) lim
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
10
3
3.1
Limieten en asymptoten van rationale functies
Asymptoten
Voorbeeld
We gaan na hoe we een schets kunnen maken voor de grafiek van f : x 7→
3x − 5
.
x
(a) Wat is het domein van f ?
(b) Zoek de nulpunten van f .
(c) Om het tekenverloop van een rationale functie te vinden, bepaal je eerst het
tekenverloop van de teller en noemer afzonderlijk.
0
x
5
3
3x-5
x
f (x) =
3x − 5
x
3x − 5
3x − 5
en
lim
.
x→−∞
x→+∞
x
x
Voor x → +∞ en x → −∞ zal de grafiek steeds meer naderen tot de rechte met
als vergelijking y = 3.
De rechte y = 3 noemen we een horizontale asymptoot van (de grafiek van) f .
(d) Bereken lim
(e) Omdat 0 een nulpunt is van de noemer en niet van de teller zal
groot worden als x naar 0 nadert.
Uit het tekenverloop weten we dat
3x − 5
= +∞
x→0
x
<
lim
en
3x−5
x
oneindig
3x − 5
= −∞.
x→0
x
>
lim
De rechte x = 0 noemen we een verticale asymptoot van (de grafiek van) f .
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
11
3. Asymptoten
3.2
Verticale asymptoten
Definitie:
De rechte met vergelijking x = a is een verticale asymptoot van (de grafiek van) f ⇔
lim f (x) = +∞
x→a
<
of
lim f (x) = −∞
x→a
<
Ligging van de grafiek t.o.v. de asymptoot
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
of lim f (x) = +∞
x→a
>
of
lim f (x) = −∞
x→a
>
12
Limieten en asymptoten van rationale functies
Oefeningen
Ga na waar de volgende functies een verticale asymptoot hebben. Schets ook de ligging
van de grafiek t.o.v. de asymptoot.
2x + 1
x−1
x−3
f : x→ 2
x −9
f : x→
3.3
Horizontale asymptoten
Definitie
De rechte met vergelijking y = a is een horizontale asymptoot van (de grafiek van) f
⇔ lim f (x) = a
x→+∞
of
lim f (x) = a
x→−∞
Oefeningen
Ga na of de volgende functies een horizontale asymptoot hebben :
1
−1
2x − 5
f : x→
4x + 1
x2 − 1
f : x→
x−2
f : x→
x2
Kan je hieruit een besluit trekken over het bestaan van een horizontale asymptoot bij
een rationale functie als je kijkt naar de graad van teller en noemer?
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
13
3. Asymptoten
3.4
Schuine asymptoten
x2 − 1
We gaan het gedrag onderzoeken van de functie f : x →
voor zeer grote waarden
x−2
van x.
x2 − 1
x2 − 1
lim
= +∞ en
lim
= −∞
x→+∞ x − 2
x→−∞ x − 2
Als we de euclidische deling uitvoeren krijgen we :
Dus
x2 −1
x−2
deeltal
rest
3
x2 − 1
=
= quotiënt +
=x+2+
.
x−2
deler
deler
x−2
− (x + 2) =
3
.
x−2
x2 − 1
3
= 0, is ook lim [
− (x + 2)] = 0.
x→±∞ x − 2
x→±∞ x − 2
Vermits lim
2
−1
Grafisch betekent dit dat voor x → +∞ en x → −∞ de grafiek van f : x → xx−2
steeds meer nadert tot de rechte met als vergelijking y = x + 2. De rechte y = x + 2
noemen we een schuine asymptoot van (de grafiek van) f .
Definitie :
De rechte met vergelijking y = ax + b (a 6= 0) is een schuine asymptoot van (de
grafiek van) f ⇔
lim [f (x) − (ax + b)] = 0
x→+∞
of
lim [f (x) − (ax + b)] = 0
x→−∞
Voor een willekeurige functie f kunnen we de parameters a en b bepalen door de
volgende limieten uit te rekenen:
f (x)
x→±∞ x
a = lim
en b = lim (f (x) − ax) .
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
x→±∞
14
Limieten en asymptoten van rationale functies
Indien deze limieten niet bestaan of geen reële getallen zijn heeft f geen schuine asymptoot.
Voor rationale functies kunnen we op een eenvoudigere wijze de schuine asymptoot
vinden als deze bestaat, door de euclidische deling uit te voeren, zoals in bovenstaand
voorbeeld.
Oefeningen
(a) Laat zien dat lim (f (x) − (ax + b)) = 0 niet hetzelfde is als lim f (x) =
x→+∞
x→+∞
lim (ax + b).
x→+∞
(b) Ga na of de volgende functies een schuine asymptoot hebben.
6x2 − x + 7
f :x →
3x + 1
x4
f :x → 2
x −1
Kan je hieruit een besluit trekken over het bestaan van een schuine asymptoot bij een
rationale functie als je kijkt naar de graad van teller en noemer?
3.5
Samenvatting
Is f (x) =
am xm +...+a1 x+a0
(m, n
bn xn +...+b1 x+b0
dan geldt :
∈ N0 ; am 6= 0, bn 6= 0)
- Is m < n, dan is de X-as een horizontale asymptoot van de grafiek van f .
- Is m = n, dan is de rechte met vergelijking y =
van de grafiek van f .
am
bn
een horizontale asymptoot
- Is m = n + 1, dan heeft de grafiek van f een schuine asymptoot.
- Is m > n + 1, dan heeft de grafiek van f geen horizontale en geen schuine
asymptoot.
- Is a een nulpunt van de noemer van f en kunnen we door ontbinden in factoren
en vereenvoudigen de factor x − a niet volledig wegdelen in de noemer, dan is
de (linker-, rechter-) limiet voor x → a oneindig. De grafiek heeft een verticale
asymptoot met vergelijking x = a.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
15
3. Asymptoten
- Is a een nulpunt van de noemer van f en kunnen we door ontbinden in factoren
en vereenvoudigen de factor x−a volledig wegdelen in de noemer, dan is de limiet
voor x → a eindig. De grafiek van de functie vertoont een opening voor x = a.
- Is a geen nulpunt van de noemer van f , dan is de limiet voor x → a gelijk aan
de functiewaarde.
Oefeningen
Geef de asymptoten van de volgende functies :
x3
x2 − 9
x
f2 :x →
x+1
3x − 5
f3 :x →
x+2
x2
f4 :x →
x+1
f1 :x →
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie