pi-weetjes - Scilogs.be

pi-weetjes
Wist u dat . . .
• . . . het vandaag π-dag is? Waarom? Omdat
in de Amerikaanse schrijfwijze de datum 14
maart genoteerd wordt als 3/14 en 3,14 is
een benadering voor het getal π.
• . . . het getal π tot op 500 cijfers na de
komma gelijk is aan:
3.141592653589793238462643383279502
88419716939937510582097494459230781
64062862089986280348253421170679821
48086513282306647093844609550582231
72535940812848111745028410270193852
11055596446229489549303819644288109
75665933446128475648233786783165271
20190914564856692346034861045432664
82133936072602491412737245870066063
15588174881520920962829254091715364
36789259036001133053054882046652138
41469519415116094330572703657595919
53092186117381932611793105118548074
46237996274956735188575272489122793
818301194913
• . . . het getal π de verhouding geeft van de
omtrek van een cirkel tot de diameter?
• . . . waarschijnlijk de eerste keer dat de notatie π gebruikt wordt voor deze verhouding is in het boek Synopsis Palmariorum
Mathesos (1706) (vrij vertaald: een nieuwe
inleiding tot de wiskunde) van ene William
Jones (1675-1749)?
toenemend aantal zijden.
Deze waarden geven begrenzingen naar onder en naar boven voor het getal π. Het
getal π wordt daarom soms ook de constante van Archimedes genoemd.
• . . . de oudste exacte uitdrukkingen waarmee
je het getal π kan berekenen, de volgende
zijn?
(1579) de productformule van Viète
s
r
r
q
q
q
2
1
1
1
1
1
1
1
1
= 2 · 2 + 2 · 2 · 2 + 2 · 2 + 2 · 12 ·. . .
π
(rond 1650) de productformule van Wallis
2
1·3 3·5 5·7
=
·
·
· ...
π
2·2 4·4 6·6
(1655) de kettingbreuk van Lord Brouncker
De grote wiskundige Leonhard Euler (17071783) zorgde voor de verspreiding van deze
notatie.
• . . . er absoluut geen regelmaat of periode zit
in de decimalen van het getal π? Er is dan
ook geen breuk met gehele teller en noemer
te vinden die als waarde π heeft.
• . . . Archimedes al rond het jaar 250 vóór
Christus benaderingen berekende voor het
getal π? Hij deed dit door te vertrekken
van een cirkel met straal 1 en de halve omtrek te berekenen van ingeschreven en omgeschreven regelmatige veelhoeken met een
12
4
=1+
π
32
2+
52
2+
72
2+
92
2+
...
(rond 1670) de reeks van Gregory-Leibniz
π
1 1 1 1
= 1 − + − + − ...
4
3 5 7 9
was al gekend rond 1400 door de Indische
wiskundige Madhava van Sangamagrama.
• . . . Ludolph Van Ceulen (1540-1610), een
Duits wiskundige, een groot deel van zijn
leven spendeerde aan het (met de hand)
uitrekenen van decimalen van π. Hij deed
dit met de methode van Archimedes en geraakte tot aan de 35-ste decimaal. Daarom
wordt π ook het Ludolfiaans getal genoemd.
• . . . dit hem werd nagedaan door William
Shanks (1812-1882), een Brits amateurwiskundige? Hij rekende 20 jaar aan de eerste 707 decimalen. Hij had een vaste routine: ’s morgens decimalen berekenen, ’s namiddags de berekeningen checken.
• . . . William Shanks een fout had gemaakt
bij het 527ste cijfer na de komma, en dat
de rest van zijn berekeningen dus ook waardeloos was?
• . . . de meestgebruikte formule voor de berekening van decimalen van π de formule
van Machin is? Hier is ze:
π
1
1
= 4 · Bgtg − Bgtg
4
5
239
• . . . de Japanse ingenieur Akira Haraguchi
op 4 oktober 2006 de eerste 100 000 decimalen van π uit het hoofd heeft opgezegd?
Dit nieuwe wereldrecord werd echter (nog)
niet erkend door het Guinness Book of Records.
• . . . er sinds kort een algoritme bestaat waarmee je een welbepaald cijfer na de komma
van het getal π kan berekenen zonder eerst
al de vorige uit te rekenen? Spijtig genoeg
werkt het algoritme enkel in het hexadecimale talstelsel.
• . . . het getal
• . . . de 707 decimalen berekend door Shanks
in 1937 op het plafond van een van de zalen
van het Palais de la Découverte in Parijs
werden geschilderd, en dat de foute decimalen pas in 1947 werden verbeterd?
•
ln(640 3203 + 744)
√
163
•
•
•
tot op 30 cijfers na de komma gelijk is aan
het getal π?
. . . er in 1998 een langspeelfilm is uitgekomen met als titel π?
. . . in de Amerikaanse staat Indiana de
waarde van het getal π in 1897 bijna bij
wet is vastgelegd op 3,2?
. . . er heel wat mnemotechnische middelen
zijn om te decimalen van π te helpen onthouden? Bijvoorbeeld:
How I want a drink, alcoholic of course,
after the heavy lectures involving quantum
mechanics.
. . . er een dichtvorm gebaseerd is op het getal π? Hier is een voorbeeld ervan (let op
het aantal lijnen per strofe) door Drs. P:
Pi-sonnet
Drie, een, vier, een en vijf . . . verstijft u even?
Goed - tweeëntwintig dan, gedeeld door zeven
Precies, dat is wat ik bedoelde: π
Een Fransman wou daar een sonnet mee maken
• . . . het 1 241 100 000 000-ste cijfer na de
komma van het getal π een 5 is?
En dat de berekening hiervan door de computerwetenschapper Yasumasa Kanada 602
uren geduurd heeft op een Hitachi SR8000
computer met een geheugen van 1 terabyte?
• . . . je als je interesse hebt de eerste 70 miljard decimalen van π kan downloaden van
het internet?
(http://ja0hxv.calico.jp/pai/epivalue.html)
Die reeks vertoont wel weinig symmetrie
Maar veertien in totaal is een gegeven
Twee losse regels tot refrein verheven Zo wordt het een gedicht, wel wis en drie
Jacques Bens wist dus een nieuw sonnet te maken
Wie zou hiervan niet in vervoering raken?
Na twintig jaar belandde ’t goed en wel
In onze taal. U moet van ijver blaken
Om op zo’n innovatie in te haken
(Hij noemde die sonnet irrationnel)